1. Buktikan secara formal teorema berikut : Jika fungsi
,:, : → , , ∈ , , → lim = , lim () = lim → →
dan dan f kontinu di titik L, buktikan bahwa
Penyelesaian :
>0 lim = →
Untuk setiap |g(x) – L| < karena
terdapat > 0 sedemikian sehingga
|f(g(x)) – f(L)| <
, untuk suatu > 0 terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian sedemikian sehingga
0 < |x - | <
|g(x) – L| <
0 < |x - | < 2 => |f(g(x)) – f(L)| <
Terbukti bahwa :
lim = li li→m . → =
2. Diberikan
dengan A> 0. Tunjukkan bahwa f mempunyai sebuah
maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika Langkah-langkah:
"
a. Hitung
′
dan
3
> 0.
b. Tentukan bilangan kritis dari dan syarat mempunyai dua bilangan kritis. c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis. Penyelesaian :
a.
= 3 2 = 6 = 0 3 2 = 0 12 2 2 ±√4 ± √4 12 . = 6 3 2 2 ±2√ ± 2√ . = 6 ′
′
′
+ 2B
b. Fungsi memiliki bilangan kritis ′
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
3 ± √ . = 3 3 √ = 3 3 √ = 3 > 0 4 12 12 > 0 3 > 0
Syarat mempunyai dua bilangan kritis: determinan turunan pertama positif,
Determinan
.
’
Pembetulan: karena
= 0 3 2 = 0 ′
Karena persamaannya sebuah persamaan kuadrat pastilah membentuk sebuah kurva yang memiliki maksimum dan minimum dengan syarat D > 0.
sehingga di peroleh: D>0
c.
4 > 0 2 43 > 0 4 12 12 > 0 4 3 3 > 0 = 6 = 6 −+√ − = 6−+√ = 2B2B 2 2√ 3 = √4 12 12 = 6 −−√ − = 6−−√ = 2 2 2√ 3 = √4 12 12 = ± 44 12 12 ′
′
′
′
+ 2B
+ 2B
+ 2B
′
′
+ 2B
+ 2B
′′
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
3 √ 3 , 44 12 12 Jadi diperoleh f mempunyai sebuah maksimum local dan sebuah minimum local jika dan hanya jika
3 3 > 0 √4 12 12 √4 12 12 .
Maksimum local = Minimum local =
.
= 2
3. a) Lukislah daerah D yang dibatasi oleh kemudian hitung (i)
∫− 2
, sumbu
= 2 ,
, dan
=3
,
dan (ii) luas daerah D dengan berbagai cara yang Anda ketahui .
Apakah yang dapat Anda simpulkan simpulkan tentang tentang luas daerah? daerah? b)Dengan menggunakan daerah D pada (a), hitunglah volum benda yang terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu
menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan
dari kedua hasil jawaban tersebut. Penyelesaian
(a) Gambar dibawah ini adalah daerah D yang dibatas oleh
=3
= 2
= 2
, sumbu ,
, dan
Cara 2
Dari gambar dapat dilihat 2 buah segitiga, segitiga pertama yang terletak dibawah sumbu-x dengan alas 4 satuan dan tinggi 4 satuan dan segitiga kedua dengan alas 1 satuan dan tinggi 1 satuan. Maka diperoleh luas daerahnya adalah : L = L1 + L2
.4.4 + .1.1 =8+ = 8 satuan luas =
Berdasrkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa hasil dari luasnya yaitu
8
∫− 2
tidak sama dengan Hasil
satuan luas.
(b)
Gambar volume benda
putarnya sebagai berikut
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
(i)
Menghitung Volum benda putar menggunakan menggunakan Metode Cakram
∫− ∫− ∫− 2 ∫− 4 4 [ 2 4] 23 [ . 3 2.3 4.3 2 22 22 42 42] ] [ .27 .27 2.9 12 8 8 2.48] [91812 88] [3 5 ] [3 5 ] [ +5] [5 ] 21
V =
= = = = = = = = = = = = (ii)
satuan volume.
Menghitung Volum benda putar dengan Rumus Kerucut Berdasarkan gambar, volum daerah D dapat dihitung dengan menggunakan Rumus Volume Kerucut, dimana pada gambar terdapat dua buah kerucut, kerucut pertama memiliki jari-jari 4 satuan, dan tinggi 4 satuan, dan kerucut kedua memiliki memiliki jari-jari jari-jar i 1 satuan dan tinggi 1 satuan, sehingga diperoleh volume kerucut adalah: V = V1 + V2
π r t + π r t = π .4 . 4 + π .1 . 1 = π .64 + π .1 =
2 1 1
2 2 2
2
2
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa: volum benda yang terjadi apabila daerah D diputar
mengelilingi sumbu menggunakan metode cakram dan rumus kerucut memberikan hasil hitungan
21
volum yang sama yaitu sebesar
4.
π satuan volume.
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut : (a) (b)
1 1 1 = 0 3 2 2 2 = 0
Jawaban
(a) Persamaan diferensial tersebut dapat ditulis menjadi y 2 ( y 1)dx y 2 ( x 1)dy 0 y 2 ( y 1)dx y 2 ( x 1)dy dx dx
dx x 1 dx
y 2 ( x 1)dy y 2 ( y 1)
( x 1)dy ( y 1) dy
y 1 dy
0
x 1 y 1 Solusi persamaan diferensialnya adalah dx dy C 1 , C1 k onstan sebarang x 1 y 1 ln( x 1) ln( y 1) ln C , C konstan sebarang
ln( y 1)( x 1) ln C ( y 1)( x 1) C
y 1
C
x 1 C y 1 x 1 C x 1 y x 1
Dengan demikian, solusi persamaan diferensialnya adalah y
C x 1 x 1
dengan C konstan
sebarang. (b)
, , = 33 2 2 ⇒ = 2 , , = 22 ⇒ = 2 = = 2
Ternyata
dengan
demikian
3 2 2 2 = 0
merupakan
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
= 32 2
= 22 = = 22 1 = = 2 3 2 2 2 = 0 32 2 12 = 3 2 1 = , . . 2 2 , ′
′
Didapat
′
dan berarti
Jadi solusi persamaan diferensial eksak
adalah
