PENERAPAN APLIKASI ALJABAR LINIER DALAM GENETIKA
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah :
ALJABAR LINIER
Dosen Pembimbing :
Ustadzah Triana Harmini, M.Pd
Oleh :
Mochamad Alfi Syahrin 35.2014.6.1.0861
PROGRAM STUDI INFORMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS DARUSSALAM GONTOR
PONOROGO INDONESIA
2017
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN 1
LANDASAN TEORI 2
A. Gen 2
B. Hereditas 2
C. Hukum Mendel 3
D. Pengucualian Hukum Mendel 4
E. Matriks 4
APLIKASI MATRIKS DALAM PERSILANGAN 8
KESIMPULAN 9
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari , kita sering mendengarkan orang-orang di sekitar kita berkata, bettapa miripnya kita dengan ayah, atau dengan saudara kita. Perkataan itu ada benarnya, karena setiap individu dari kita merupakan jhasil percampuran antara kedua sel yang berbeda. Kedua sel ini masing-masing membawa gen dan difat yang berbeda pula. Sifat-sifat dalam gen inilah yang kemudian dapat muncul dalam suatu individu, dan sifat itu berasal dari orang tua. Gen in sudah ada di tubuh kita sejak lahir, dan tidak dapat diubah. Seumpam kode di dalam program, gen menentukan bagaimana bentuk tubuh kita dan sifat-sifat fisik unik yang tidak dimiliki oranglain, bahkan orangtua kita sendiri.
Meskipun untuk kepribadian dan perilaku , hal ini masih diperdebatkan, karakteristik fisik seseorang diturunkan dari orangtua. Orangtua yang mempunyai penyakit A, anaknya juga akan memilki kemungkinan untuk mengidap penyakit yang sama. Orangtua yang memilki mata berwarna hitam, anaknya kemungkinan mempunyai warna mata yang sama dengan orangtua. Penurunan sifat ini belum tentu sama untuk tiap anak. Anak kembar sekalipun bisa memiliki penampilan fisik yang berbeda. Sifat dalam gen ini dapat diprediksi. Dengan menganggap bahwa suatu gen pembawa sifat A adalah suatu variabel, maka kemungkinan munculnya suatu sifat A dapat diperhitungkan dengan melihat gen dari kedua orangtua.
Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menerapkan operasi matriks. Dari hasil perhitungan, maka kita dapat melihat sifat-sifat mana yang akan muncul dan berapa besar kemungkinannya dibandingkan dengan sifat lain.
LANDASAN TEORI
Gen
Genetika adalah bidang yang mempelajari tentang gen. Gen adalah bagian dari DNA, yang membawa suatu informasi. Iformasi itu menentukan fungsi tertentu dari tubuh kita. Dalam bidang teknik informatika, suatu kode merupakan informasi, kode itu kemudian diterjemahkan, dan kemudian program atau mesin akan menjalankan fungsinya sesuai informasi yang terdapat di kode tersebut. Demikian juga gen, merupakan faktor yang penting untuk menentukan sifat suatu individu.
Di dalam genetika ada yang disebut dengan genotip dan fenotip. Genotip adalah susunan gen yang terdapat pada individu. Susunan gen ini biasanya ditulis dengan huruf abjad. Masing-masing sifat dipresentasikan dengan 2 huruf yang sama. Untuk gen yang yang membawa sifat dominan ditulis dengan huruf besar, sementara untuk gen yang membawa sifat resesif ditulis dengan huruf kecil. Contoh penulisan untuk gen yang membawa sifat kerdil adalah Kk, kk, atau KK. Suatu sifat dinyatakan dominan apabila sifat itu ada di alam dan natural. Sifat –sifat yang langka dapat dinyatakan resesif.
Sedangkan fenotif adalah difat tampak. Fenotip dipengaruhi oleh genotip dan faktor lingkungan. individu yang mempunyai genotip yang sama belum tentu memiliki fenotip yang sama.
Hereditas
Hereditas adalah penurunan fenotip dari orangtua ke anaknya. Dengan adanya hereditas, maka akan meningkatkan variasi dalam suatu spesies. Contohnya adalah warna mata pada manusia. Tidak semua sifat berasal dari keturunan. Ada fenotip yang muncul karena pengaruh lingkungan, misalnya kulit terbakar. Ada juga dengan sifat yang muncul karena adanya perubahan gen. Perubahan ini disebut dengan mutasi.
Gen mempunyai beberapa variasi bentuk yang disebut alel. Alel merupakan representasi dari genotip. Untuk beberapa sifat yang berbeda, maka alel yang dituliskan juga lebih dari satu, misalkan BBKK untuk sifat bulat dan kuning. Pasangan alel yang sama (sepertiBB)dapat disebut dengan homozigot sementara yang berbeda dapat disebut dengan heterozigot.
Hukum Mendel
Mendel melakukan eksperimen dengan tanaman untuk melihat pengaruh dari gen. Mendel menyilangkan tanaman berwarna ungu dengan berwarna putih. Ia berspekulasi bahwa suatu keturunannnya adalah percampuran dari kedua warna itu, namun ternyata hasilkan adalah tanaman berwarna ungu. Pada saat keturunan tanaman itu disilangkan lagi, ia akan mendapatkan suatu perbandingan tanaman berwarna ungu dengan tanaman berwarna putih adalah 3 :1.
Dari hasil eksperimen tersebut, dia menemukan bahwa yang menentukan penurunan sifat bukanlah fenotip, tetapi suatu faktor lain yang ada di dalam tumbuhan tersebut. Faktor lain yang dimaksdu adalah gen. Tunbuhab berwarna ungu dan putih ketika disilangkan semuanya akan berwarna ungu, berarti gen pembawa warna putih tidak dominan. Kemudian saat keturunan suatu tumbuhan itu disilangkan lagi , maka akan muncul warna baru yaitu putih. Mendel menyimpulkan hasil ekperimennya dan membuat tiga hukum yaitu sebagai berikut :
Hukum Pemisahan, pada saat pembentukan sel gamet, alel akan terpisah sehingga tiap sel gamet hanya memilki satu alel. misalnya individu A mempunyai alel Aa, maka sel gamet yang dihasilkan ada dua yaitu sel dengan alel A dan sel dengan alel a.
Hukum Susunan Indefenden, setiap alel dengan sifat yang berbeda tidak mempengaruhi penurunan sifat lainya. Contoh dari kasus ini adalah untuk individu dengan alel BbKk, pemisahannya menjadi empat jenis, BK, Bk,bK, dan bk.
Hukum Dominasi, organisme yang memilki satu alel dominan, maka sifat yang muncul adalah sifat yang dominan.
Pengucualian Hukum Mendel
Untuk organisme yang berproduksi secara seksual, kebanyakan mempunyai pola hereditas yang lebih rumit. Contohnya untuk bunga pukul empat, kemungkinan warna yang dihasilkan tidak hanya ungu dan putih, namun untuk pasangan alel heterozigot menghasilkan warna antara, yaitu ungu muda. Hal ini dinamakan dominasi tidak sempurna.
Situasu yang berbeda muncul ketika ada sifat dari kedua alel yang muncul secara bersamaan. Misalkan ada sapi berwarna merah (RR) disilangkan dengan sapi yang berwarna putih (rr). Maka anak yang akan dihasilkan mempunyai warna merah dan puti. Kedua warna ini muncul secara bersamaan, kondisi ini disebut juga dominan. Hukum mendel menyatakan bahwa variasi alel hanya ada dua jenis, yaitu A untuk dominan dan a untuk alel resesif. Pada kenyataanya banyak organisme yang mempunyai alel banyak. Kemudian banyak sifat yang dipengaruhi oleh banyak gen, hal ini disebut dengan sifat poligenik.
Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari sebuah bilangan yang dibatasi dengan suatu tanda kurung (). Suatu matriks dapat terusun atas baris dan kolom, jika suatu matriks tersusun atas p baris dan q kolom maka dapat dikatakan matriks tersebut berukuran (berordo) p x q. Pada penulisan matriks biasanya dengan menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusny, dan sedangkan penulisan matriks berserta ukurran (matriks dengan p baris dan q kolom) adalah Apxq, Bpxq dan seterusnya.
Bentuk umum dari Apxq adalah :
Aij dapat disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
Matriks tersusun atas baris dan kolom. Untuk setiap elemen bvaris dinamakan dengan i dan kolom ditandakan dengan j, shingga untuk membentuk elemen baris i dengan kolom j pada matriks M, biasa disebut dengan elemen Mij. Ukuran matriks adalah baris kali kolom.
Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering dipergunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu sebagai berikut :
Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolom. Karena sifatnya yang demikian, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah element diagonal yang berjumlah p untuk matriks bujur sangkat yang berukuran pxp, yaitu : a11, a22,.....app
Contoh :
dengan elemen diagonal a11 dan a22
dengan elemen diagonal a11, a22, dan : a33
Matriks Diagonal
Adalah matriks yang elemen diagonalnya bernilai Nol. Dalam ha ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus nol
Contoh :
Matriks Nol
Merupakan matriks yang semua elemennya bernilai Nol.
Matriks Segitiga
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen digonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai nol.
Concoh :
Maka Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.
Matrtiks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemn diagonalnya bernilai 1.
Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
Suatu matrtiks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat berikut ini :
Untuk semua baris yang elemen –elemennya bukan nol, maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 (disebut satuan utama)
Untuk sembarang 2 baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih awal harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.
Jika suatu baris semua elemenya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.
Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.
Contoh :
Matriks A, B dan C adalah matriks –matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks-matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.
Contoh :
Matriks D bukan dalam bentuk eleson baris tereduksi karena elemen d12, bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke-4 (harusnya = 0, sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan barisan bukan nol, sehingga syarat ketiga tidah terpenuhi. Jika suatu matriks hnya memenuhi syarat 1-3 saja, maka dapat dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.
Operasi-operasi Matriks
Penjumlahan matriks
Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.
Aturan jumlah dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks contoh :
Perkalian matriks dengan matriks
Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B ) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.
Aturan perkalian misalkan Apq dan Bqr maka Apq Bqr = Cpr dimana elemen-elemen dari C (Cij) yang merupakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j Contoh :
Perkalian matriks dengan skalar
Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k.
Contoh :
Transpose matriks
Transpose matriks A (dinotasikan At) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan kolom dari A.
Contoh :
APLIKASI MATRIKS DALAM PERSILANGAN
Matriks dapat memudahkan kita dalam mempresiksikan hasil dari suatu persilangan dan sifat yang akan muncul. Dengan metode perhitungan matriks, perhitungan akan menjadi lebih mudah dimengerti. Misalkan pada suatu populasi ada tanaman yang mempunyai genotip AA,Aa dan aa. Alel A dominan terhadap alel a. Alel A menggambarkan tanaman yang tinggi, sementara alel a adalah tanaman yang kerdil. Jika diketahui pada suatu populasi, perbandingan tanaman dengan genotip AA,Aa dan aa adalah 1:1:1, maka kita dapat menentukan kemungkinan dari genotip keturunan yang dihasilkan.
Kasus pertama apabila semua tanaman disilangkan dengan tanaman genotip AA homozigot. Pertama kita melihat hasil persilangan tiap genotip. Genotip AA dengan AA akan dihasilkan AA lagi, genotip AA dengan aa akan menghasilkan Aa. Dari hasil persilangan keturunan pertama ternyata didapati tidak ada tanaman yang kerdil, karena hasil persilangan hanya genotip AA dan Aa, dengan perbandingan1:1:0.
Kemudian untuk keturunan kedua didapat lagi hasil yang sama, yaitu genotip AA dan Aa, hanya saja jumlah Aa lebih sedikit. Semakin lama jumlah Aa akan semakin mengecil dan akhirnya semua tanaman akan menghasilkan genotip AA. Jika digambarkan X1 = AX0 dimana Xn adalah keturunan ke-n. Dan A adalah matriks hasil persilangan.
Kasus kedua adalah jika semua tanamam disilangkan dengan genotip Aa, untuk genotip Aa adalah AA, Aa dan aa, dan untuk genotip aa adalah Aa dan aa. Dari keturunan pertama ternyata sudah muncul fenotip tanaman kerdil.
KESIMPULAN
Aljabar linier sangat luas aplikasinya, bahkan bisa diaplikasikan dalam bidang genetika. Pemodelan persoalan menggunakan sistem persamaan linier dan matriks dapat memudahkan persoalan, sehingg solusi yang didapatkan lebih baik dan mudah dimengerti.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Y. Sibaroni, "Buku Ajar Aljabar Linear," 2002.
[2] K. Supendi, I. T. Bandung, and J. G. Bandung, "Aplikasi Aljabar Linear Dalam Genetika," if2123, 2016.
