D. Sistematika Penulisan Dalam penyelesaian penyusunan makalah ini penulis menggunakan study kepustakaan, yaitu penulis mencari buku-buku yang berhubungan dengan Al Jabar dan penerapann ya dalam dunia teknologi informasi dan juga dilengkapi dengan artikel-artikel yang diambil dari situs-situs tertentu.
BAB II AL JABAR DAN PENGGUNAANNYA PENGGUNAANNYA DALAM DUNIA TEKHNOLOGI INFORMATIKA
A. Pengertian Al Jabar Aljabar ( Algebra) Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya. Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing "), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik.
Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton. Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna leb ih luas daripada sekedar sekeda r Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Dalam D alam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menu ju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan ( fields). fields).
B. Pengertian Al Jabar Boolean Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabelvariabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fun gsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.
C. Penerapan Al Jabar Boolean dalam Pemograman DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA : Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus Masing-masing adalah benar / salah. Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’ Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian GERBANG (GATE) : Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ). Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya. Operasi logika NOT ( Invers ) Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya x = x’
Tabel Operasi NOT X 0 1
Simbol X’ 1 0
Operasi logika AND Operasi antara dua variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1
Simbol A
A.B
B
Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B)
Tabel operasi AND A B A.B 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
0
1
Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol Tabel Operasi OR A
A+B
A 0 0 1 1
B
B 0 1 0 1
A+B 0 1 1 1
Operasi logika NOR Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter. Simbol Tabel Operasi NOR
A
A+B
( A + B )’
B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
( A + B)’ 1 0 0 0
Atau A
( A + B )’
B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter.
Simbol A
B Atau
Tabel Operasi NAND A.B
( A . B )’
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
( A . B)’ 1 1 1 0
A
( A . B )’
B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah be rjumlah ganjil.
Simbol A
Tabel Operasi EXOR Y
B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
A+B 0 1 1 0
Operasi logika EXNOR Operasi ini akan menghasilkan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.
Simbol A
Tabel Operasi EXNOR Y
B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
A+B 1 0 0 1
DALIL BOOLEAN ; 1. X=0 ATAU X=1 2. 0.0=0 3. 1+1=1 4. 0+0=0 5. 1 .1 = 1 6. 1.0=0.1=0 7. 1+0=0+1=0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF A+B=B+A A. B=B .A 2. HK. ASSOSIATIF (A+B)+C = A+(B+C) (A.B) . C = A . (B.C) 3. HK. DISTRIBUTIF A . (B+C) = A.B + A.C A + (B.C) = (A+B) . (A+C)
6. HK. IDENTITAS A+A=A A . A=A 7. 0 + A = A ----- 1. A = A 1 + A = 1 ----- 0 . A = 0 8. A’ + A = 1 A’ . A =0
4. HK. NEGASI ( A’ ) = A’ (A’)’ = A 5. HK. ABRSORPSI A+ A.B = A A.(A+B) = A
9. A + A’ . B = A + B A . (A + B)= A . B 10. DE MORGAN’S ( A+ B )’ = A’ . B’ ( A . B )’ = A’ + B’
CONTOH : 1. A + A . B’ + A’ . B
= A . ( 1 + B’ B’ ) + A’ . B = A . 1 + A’ . B = A + A’ . B = A+B
2.
A B X
X = (A.B)’ . B
= (A’ + B’) . B = ( A.B )’ + B’.B = ( A.B )’ + 0 = A’.B
A B X = A’.B
ATAU A B
X = A’.B
Aljabar Boolean
Misalkan terdapat Dua operator biner: + dan Sebuah operator uner: ’.
-
B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’ 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B dari B..
Tupel ( B, B, +, , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 1. Closure: Closure:
(i) a + b B (ii) a b B
2. Identitas:
(i) a + 0 = a (ii) a 1 = a
3. Komutatif:
(i) a + b = b + a (ii) a b = b . a
4. Distributif:
(i) a (b + c) = (a (a b) + (a (a c) (ii) a + (b (b c) = (a (a + b) (a + c)
1
5. Komplemen : (i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1.
Elemen-elemen himpunan B himpunan B,,
2.
Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3.
Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai: -
B = {0, 1} operator biner, + dan operator uner, ’ Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
B a
a+b
a
a
a ’
b 0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1.
Closure : jelas berlaku
2.
Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 0
3.
Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a (a b) + (a (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: b
a (b +
ab
ac
(a b) + (a (a c)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
+c
c)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
(ii) Hukum distributif a distributif a + (b (b c) = (a (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5.
Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean. Ekspresi Boolean
Misalkan ( B, B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam ( B, B, +, , ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B dalam B,,
(ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean Contoh: 0 1 a b c a+b
ab a’ (b + c) a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya M engevaluasi Ek spre pr esi Bool ean
Contoh: a’ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: e kspresi:
0’ (1 + 0) = 1 1 = 1
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a (a . b) + (a (a c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a
a’b
a + a’b
a+b
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
’
Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i)
a(b + c) = ab + ac (ii)
a + bc = (a (a + b) (a (a + c)
(iii)
a 0 , bukan a0
Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah S adalah kesamaan (identity (identity)) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S * diperoleh dengan cara mengganti
dengan +
+ dengan
0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S * juga benar. S * disebut sebagai dual dari dual dari S .
Contoh. (i) (a (a 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b Hukum-hukum Aljabar Boolean
1.
3.
Hukum identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a Hukum komplemen:
(i) a + a’ = 1 (ii) aa’ aa’ = 0 5. Hukum involusi: (i) (a (a’)’ = a 7.
Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a (ii) ab = ba 9. Hukum distributif: (i) a + (b (b c) = (a (a + b) (a (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c
2.
Hukum idempoten:
(i) a + a = a (ii) a a = a 4. Hukum dominansi: (i) a 0 = 0 (ii) a + 1 = 1 6. Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 8. Hukum asosiatif: (i) a + (b (b + c) = (a (a + b) + c (ii) a (b c) = (a (a b) c 10. Hukum De Morgan: (i) (a (a + b)’ = a’b’ (ii) (ab (ab)’ )’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1 (ii) 1’ = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian: (i)
a + a’b
= (a (a + ab) ab) + a’b = a + (ab (ab + a’b)
(Penyerapan) (Asosiatif)
= a + (a (a + a’)b ’)b
(Distributif)
=a+1b
(Komplemen)
=a+b
(Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean n
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B dari B ke B ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
n
f : f : B
B
n
yang dalam hal ini B ini B adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut gandan (ordered n-tuple) n-tuple) di dalam daerah asal B asal B..
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f ( x, x, y, y, z ) = xyz = xyz + + x’ x’ y + y’ y’ z z Fungsi f Fungsi f memetakan memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 ( x, x, y, y, z ) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x berarti x = 1, y 1, y = 0, dan z dan z = =1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. 2. 3. 4.
f ( x) x) = x = x f ( x, x, y) y) = x = x’’ y y + xy’+ xy’+ y y’’ f ( x, x, y) y) = x = x’’ y’ f ( x, x, y) y) = ( x x + y)’ y)’
5.
f ( x, x, y, y, z ) = xyz = xyz ’
Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal .
Contoh: Fungsi h( x, x, y, y, z ) = xyz = xyz ’ pada contoh di atas terdiri dar i 3 buah literal, yaitu x yaitu x,, y, dan z dan z ’. ’.
Booelan f ( x, x, y, y, z ) = xy = xy z ’, ’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f Penyelesaian:
f ( x, x, y, y, z ) = xy = xy z ’ 0 0 0 0 0 0 1 0
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x peubah, x1 dan x dan x2, adalah Contoh. Misalkan f Misalkan f ( x, x, y, y, z ) = x = x(( y’ y’ z z ’ + yz + yz ), ), maka
f ’( f ’( x, x, y, y, z ) = ( x( x( y’ y’ z z ’ + yz + yz ))’ ))’ = x’ x’ + ( y’ y’ z z ’ + yz + yz )’ )’ = x’ x’ + ( y’ y’ z z ’)’ ’)’ ( yz )’ )’ ’ + (y + z ’ + z ’) ’) = x ) (y
Aplikasi Aljabar Boolean
2. Rangkaian Digital Elektronik
x
x
xy
y
x+ y
y
Gerbang AND
Gerbang OR
x
x'
Gerbang NOT (inverter )
fungsi f ( x, x, y, y, z ) = xy = xy + x’ x’ y y ke dalam rangkaian logika. Contoh. Nyatakan fungsi f Jawab: (a) Cara pertama x
xy
y
xy+x'y xy+x'y x
x' x'y
y
x y
xy
xy+x y 'y x' x y 'y
(b) Cara kedua
x
y xy
xy+x'y xy+x'y x' x'y
(b) Cara ketiga Gerbang turunan
x y
x
xy)' ( xy
Gerbang NAND
x y
x
y
Gerbang XOR
x ( x+y)'
y
( x x
y
Gerbang NOR
x
+y
( x + y)' ekivalen dengan
+
y)'
Gerbang XNOR
x y
x + y
( x x + y)'
x
x+y)' ( x+y
y
x'
x y ' '
y'
ekivalen dengan
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh. f ( x, x, y) y) = x = x’’ y y + xy’ xy’ + y + y’’
x' y'
x' + y'
ekivalen dengan
x y
( xy xy)'
disederhanakan menjadi
f ( x, x, y) y) = x = x’’ + y + y’’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
1.
f ( x, x, y) y) = x = x + x’ x’ y y
= ( x x + x’)( x’)( x x + y) y) = 1 ( x x + y ) = x + y
2.
f ( x, x, y, y, z ) = x = x’’ y’ y’ z + z + x’ x’ yz + yz + xy’ xy’ = x’ x’ z z ( y’ y’ + y + y)) + xy + xy’’ = x’ x’ z + z + xz ’
3.
f ( x, x, y, y, z ) = xy = xy + x’ x’ z + z + yz = xy + x’ x’ z + z + yz ( x x + x’) x’) = xy + x’ x’ z + z + xyz + xyz + x’ x’ yz yz = xy(1 xy(1 + z + z ) + x + x’’ z z (1 (1 + y + y)) = xy = xy + x’ x’ z z
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Aljabar ( Algebra) Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. 3 . Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan atu ran bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
Sedangkan aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstantakonstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Maka penggunaan aljabar sebagai dasar logika dari bahasa pemograman merupakan bukti nyata pentingnya aljabar dunia Tekhnologi Informasi
B. Penutup Demikian makalah ini kami buat sebagai tugas dari mata kulia Al Jabar linier, semoga bermanfaat terutama bagi penulis sendiri. Dan jika ada kesalahan dan kekurangan penulis memohon maaf yang sebesar besarnya.
Condong Catur, 06 Jan 2010 Maksum Rois Adin Saf 09.11.2680
