PEMBUKTIAN DAN PENALARAN
DISUSUN OLEH: Prodi Matematika 2A kelompok 2
SEKOLAH TINGGI ILMU KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)
PGRI NGANJUK 2010/2011
1
KATA PENGANTAR Alhamdulullilah kami ucapkan, karena berkah dan rahmatNya kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini sebagai salah satu pemenuhan tugas pada mata pelajaran “Geometri” di semester II ini. Kami berharap dengan adanya makalah ini dapat memberikan wawasan kepada para pembacanya. Tak lupa kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan arahan dan motivasi sehingga penyusunan makalah ini dapat terselesaikan. Semoga Allah senantiasa memberi rahmat serta hidayahNya kepada kita semua. Kami menyadari bahwa makalah ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, jika ada kesalahan dalam penyampaian maupun penulisan, kami minta maaf
Nganjuk, April 2011 Penulis
2
DAFTAR ISI Kata pengantar …………………………………………………………………………………………………………….. 2 Daftar Isi ………………………………………………………………………………………………………………………. 3 Pendahuluan ……………………………………………………………………………………………………………….. 4 Pembahasan 1. Bukti tak langsung ……………………………………………………………………………………….
5
2. Bukti tak langsung dan hubungan segitiga ………………………………………………….
7
3. Keantaraan dan Pemisah ……………………………………………………………………………
8
Latihan Soal dan Kunci Jawaban …………………………………………………………………………………
9
Daftar Pustaka ……………………………………………………………………………………………………………
11
3
PENDAHULUAN Geometri adalah ilmu (sains) yang tidak hanya mementingkan jawaban, tetapi juga bagaimana dan mengapa anda menjawab itu. Untuk itu diperlukan adanya penalaran da pembuktian. Penting untuk dipahami bahwa geometri merupakan sistem matematika yang menggunakan penalaran deduktif (deduktif reasoning). Penalaran yaitu suatu kegiatan, suatu proses aktivitas, berfikir untuk menarik kesimpulan/ membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Dengan kata lainbahwa penalaran deduktif dapat diartikan : suatu proses penalaran yang menggunakan pernyataan yang telah diketahui kebenarannya terlebih dahulu, untuk kemudian digunakan dalam membuat kesimpulan dari suatu pernyataan baru. Pembuktian yaitu kegiatan seseorang untuk meyakinkan sesuatu itu benar malalui langkahlangkah logis. Pembuktian dibagi menjadi 2 yaitu pembuktian tak langsung di dalam bab ini hanya akan menekankan pada pembahasan pembuktian secara tidak langsung.
4
PEMBAHASAN I. BUKTI TAK LANGSUNG Bukti tak langsung yaitu suatu pembuktian yang menggunakan suatu pemisalan / suatu pengandaian. Bukti tak langsung dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi. Penggunaan bukti tak langsung memang agak rumit. Akan tetapi, dengan adanya pembuktian tak langsung dapat membantu kita manakala dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung. Beberapa teorema yang sukar dibuktikan dengan dengan bukti langsung, dengan menggunakan bukti tak langsung. Kesularan tersebut dapat diatasi. Bukti tak langsung juga bermanfaat ketika informasi yang diketahui langka atau kita mencoba menunjukkan bahwa sesuatu berbeda dari orang lain. Contoh soal: Diketahui : ΔABC siku-siku dengan garis berat .
. Buktikan ΔABC adalah sama kaki
5
Bukti langsung Pernyataan 1. ΔABC siku-siku dengan garis berat .
Alasan 1.diketahui
2. ∡ADC dan ∡ADB sudut siku-siku
2. definisi ketegak lurusan
3. ΔADC dan ΔADB segitiga siku-siku
3. definisi segitiga siku-siku
4.
≅
4. sifat reflektif
5. DC = DB
5. definisi garis berat
6.
6. definisi kongruensi segmen
=
7. ΔADC ≅ ΔADB 8.
≅
7. langkah 4,6, dan KK 8. akibat kongruensi segitiga
9. ΔABC sama kaki
9. definisi segitiga sama kaki
Bukti tak langsung Pernyataan 1. ΔABC siku-siku dengan garis berat .
Alasan 1. diketahui
2. andai ΔABC tidak sama kaki
2. pengandaian tak langsung
3.
3. definisi segiga siku-siku
4.
sumbu
4. langkah 1 dan definisi garis bagi
5. A berjarak sama dari B dan C
5. definisi garis sumbu
6.
6. definisi jarak sama
7. .
7. definisi segmen kongruen
Pernyataan terahkir kontradiksi dengan pernyataan 3 jika pengandaian benar. Jadi pengandaian ΔABC tidak sama kaki adalah sama. Kunci pokok pembuktian tak langsung : mengetahui kapan sifat-sifat atau aksioma itu digunakan.
6
II PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG DAN HUBUBNGAN SEGITIGA Pembuktian tak langsung erat kaitannya dengan segitiga, terutama dengan segitiga sikusiku. Gagasan bahwa segitiga siku-siku itu ada, bergantung pada pembuktian tak langsung. Definisi segitiga siku-siku merupakan definisi sederhana tetapi penting. Sudut siku-siku merupakan dasar trigonometri. Contoh soal :
Diketahui : ΔABC siku-siku, ∡A siku-siku Buktikan : garis berat
berbeda dengan garis sumbu
Bukti : Pernyataan 1. dalam ΔABC, 2. misal
garis berat
garis sumbu
Alasan 1. diketahui 2. diandaikan
3. ∡BDA sudut siku-siku
3. definisi garis sumbu]
4. ∡A sudut siku-siku
4. diketahui
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku ada paling banyak 1 sudut siku-siku. Jadi pengandaian salah, seharusnya garis berat
dan sumbu
adalah ruang garis berbeda.
7
III KEANTARAAN DAN PEMISAH A. KEANTARAAN Definisi : keantaraan adalah suatu titik yang terletak ditengah antara 2 titik yang saling berhubungan. Misal : Diketahui titik A berhubungan dengan titik B dan ditengah-tengah garis penghubung titik A dan titik B terdapat satu titik keantaraan yaitu titik C. Titik inilah yang disebut keantaraan AB, karena terletak diantara 2 titik yang saling berhubungan.
C
A
B
B. PEMISAH Definisi : pemisah adalah suatu garis yang membagi sudut dalam segitiga atau bisa juga disebut dengan titik berat segitiga tang membagi sudut dalam segitiga menjadi 2 bagian segitiga yang kongruen. Misal : B D
A
C
8
LATIHAN SOAL 1.
Buktikan bahwa X dan Z berlainan pihak oleh K yang memuat Y! 2. diketahui garis m
bidang E dititik n. Buktikan bahwa bidang E memuat setiap garis yang
tegak lurus ke m di n!
. 3.Diketahui ΔPQR
Buktikan bahwa hanya ada satu sudut yang siku-siku pada gambar di samping!
9
KUNCI JAWABAN 1. Jawab: Y berada diantara X dan Z pada garis L. K dan L sebidang dan berpotongan di titik Y. dan Y berada diantara X dan Z. Jadi X dan Z berada di setengah bidang yang sama yang dibentuk oleh sembarang garis lain yang memuat Y 2. Bukti: Andai L tegak lurus ke L di P, dan L tidak terletak dalam bidang E. karena m 1 dan m dua garis berpotongan. Keduanya membentuk bidang F. misalkan m 2 berpotongan di bidang E dan F. menurut definisi garis dan bidang tegak lurus, m 2 tegak lurus ke m di n. adanya 2 garis dalam yang tegak lurus ke m di n bertentangan dengan teorema 5.1 yang berbunyi bahwa dalam sebuah bidang, garis sumbu sebuah ruas garis adalah garis yang tegak lurus. Ruas garis itu dititik tengahnya. Karena itu pengandaian tadi salah, dan secara tidak langsung pernyataan yang dimaksud (bidang E memuat setiap garis yang
ke m di n terbukti.
3. Bukti: Andai ∡P dan ∡Q sudut siku-siku, maka ada garis tegak lurus
yang melalui R. hal ini
kontradiksi dengan teorema 5.3 bahwa tepat satu garis melalui R yang tegak lurus
. Jadi
pengandaian ∡P dan ∡Q keduanya sudut siku-siku adalah salah. Seharusnya salah satu dari ∡P , ∡Q, atau ∡R yang siku-siku.
10
DAFTAR PUSTAKA www.google.com (penalaran dan pembuktian segitiga) Susanah dan Hartono. Geometri. Unesa University Press Anggota (KAP)
11
