Notas de apoyo
Particiones de intervalos reales y sumas de Riemann
David Alexander Durán Osorio Monitoria de Cálculo en una variable
Licenciatura en matemáticas y física
Universidad de Antioquia Facultad de educación Departamento de enseñanza de las ciencias y las artes
Medellín 2013
Definición (Partición)
sea ,un intervalo real,con ≠,entonces se define: P:particion del intervalo I al conjunto de intervalos: ,,…., tales que: ∪ ∪, … . , ∪ con ∩ ∅ ∀,∈ {1,2,…,} La partición P,puede ser representada también de la siguiente manera: ↔ < <, … , − < <, … , − < donde −, representa el iésimo sub intervalo de la partición Definición (El ancho de cada sub intervalo)
El ancho o longitud de cada sub intervalo se define mediante:
se tiene, ∆ se tiene, ∆
. . .
se tiene ∆ −
. . .
∆ − −
Definición (Norma de la partición)
La mayor longitud de los sub intervalos, se define como norma de la partición y se denota:
‖ ‖
, de manera que:
‖‖ á{ ∆, ∆, … , ∆}
Es decir, la norma de la partición es el mayor elemento del conjunto de las normas de los sub intervalos Definición (partición regular)
Una partición de un intervalo ,, se dice regular,si y solo si: ∆ ∆,…, ∆ Esto es, todos los sub intervalos tienen el mismo ancho o longitud.
De este modo, el ancho o longitud de cada sub intervalo puede denotarse simplemente
∆, donde: ∆ siendo n es el número de sub intervalos ,
El problema del área bajo la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo
Suponga que se desea calcular el área limitada por la gráfica de la función y limitada por el eje x y las rectas x=0 y x=2, es decir en el intervalo [0,2]
A continuación se muestra la gráfica de la función en cuestión
Naturalmente, las fórmulas conocidas de la geometría, no nos permiten resolver el problema. Lo que se hará a continuación será aproximar el área buscada mediante polígonos, cuya área si podremos calcular fácilmente. Estos polígonos serán inicialmente rectángulos. Para ello, se hará una partición del intervalo dado [0,2] y en cada sub intervalo se dibujará un rectángulo. Arquímedes de Siracusa, se anticipó a la idea básica del método que utilizaremos con un procedimiento para calcular el área de figuras curvas, conocido como método de exhaustación. Las aproximaciones al área podrán exceder dicha área, o ser inferior a ella. Consideremos el primer caso.
Aproximación mediante rectángulos por exceso
Supóngase que el intervalo [0,2] es dividido en 5 sub intervalos de igual longitud (partición regular), para facilitar los cálculos, y en cada sub intervalo se dibuja un rectángulo cuya altura se traza en el lado derecho del sub intervalo correspondiente, y llega hasta la gráfica de la función, como se ilustra en la siguiente figura.
Vemos que la suma de las áreas de los rectángulos ( Alude a la suma de las áreas de los rectángulos de altura en el extremo derecho de los sub intervalos) nos proporciona una aproximación por exceso del área A bajo la gráfica, limitada por el eje x y las rectas x=0 y x=2
<
En este caso, tenemos y puede notarse que si aumentamos el número de rectángulos amentando la cantidad de sub intervalos de la partición, obtenemos una aproximación mejor del área A, como se ilustra en la siguiente gráfica, donde se usaron 30 rectángulos.
0,4 0.4 0.4 0,8 0,4 1,2 0,4 1,6 0,42 ∆ 205 0,4 En el primer caso, el área
está dada por:
Note que 0,4 es la norma de la partición regular obtenida según la expresión para particiones regulares:
También, el extremo derecho de cada sub intervalo viene dado por: Para Para Para .
; ∆∆0∆0,4 ; 2∆020,4 0,8 ; 3∆030,4 1,2
. . Para .
; ∆0∆∆
. . Para
∆050,4 2
Nótese además que para cada rectángulo, el área viene dada por :
1≤≤5 0,40,40,8 1,2 1,6 2 se tiene que: 0,40,4 0,8 1,2 1,6 2 Para
Luego:
∆
Y como
3.52
En el segundo caso, procediendo análogamente se concluye que:
⋯2 ⋯2 2,814
¿Por qué? ¿Por qué?
Donde
es la norma de la partición ¿por qué?
Podemos concluir de estos dos procesos, que el área A sea un poco menor que 2.814 unidades cuadradas, y enunciar además una expresión general para aproximaciones usando rectángulos en cuyo extremo derecho se traza la altura hasta la gráfica de la función:
∑ ∆ = Donde ∆ es el área del i-ésimo rectángulo.
Analice la siguiente afirmación, y argumente su veracidad o falsedad
Para una función f(x) continua y positiva en un intervalo [a,b], la aproximación del área bajo su gráfica en un intervalo dado mediante rectángulos cuya altura se levanta desde su extremo derecho a la gráfica de la función, siempre excede el área bajo la gráfica limitada por el eje x y el intervalo en cuestión.
Aproximaciones con rectángulos cuya altura se traza desde el extremo izquierdo de los sub intervalos hasta la gráfica de la función
Si consideramos la misma función en el mismo intervalo, con una partición regular de 10 sub intervalos, pero esta vez trazamos los rectángulos de manera que su altura se tome en el extremo izquierdo de los sub intervalos, la gráfica sería:
Claramente, si aproximamos el área esta vez, la aproximación no excederá el área bajo la gráfica limitada por el eje x y las rectas x=0 y x=2 es decir: Aquí se tendría que:
∆ 205 0,4
<
Y el extremo izquierdo de cada sub intervalo será: Para Para Para .
; 0 ; ∆0 0,4 0,4 ; 2∆020,4 0,8
. . Para .
;− 1∆0∆1∆
. .
; − 1∆040,4 1.6 ∆− ≈∆ ¿por qué? ≈0.40 0.4 0.8 1.2 1.6 ¿por qué? ≈1.92 Para
Aquí, para cada rectángulo, el área está dada por:
Así que el área A será aproximada por la suma de las Áreas de los rectángulos de altura en el extremo izquierdo ( Denota la suma de las áreas de los rectángulos con altura trazada en el extremo izquierdo de los sub intervalos) como sigue:
Si usamos treinta rectángulos, obtenemos como en el caso anterior un valor más próximo al área pero en este caso aún menor que el área que se busca.
Así, tendríamos que:
≈ 151 ⋯ ¿por qué? 1 1 2 29 ≈ 15 0 (15) (15) ⋯(15) ¿por qué? ≈2.5348
En resumen, al utilizar particiones regulares de cinco sub intervalos, se mostró que:
< <3.52 1 > > 1.92 2 1.92 <<3.52 < <2,814 1 > >2. 5348 2 2.5348 <<2,814 Es decir:
Luego se mejoró la aproximación con treinta sub intervalos, y se obtuvo
Es decir:
La expresión general para aproximaciones usando rectángulos en cuyo extremo izquierdo se traza la altura hasta la gráfica de la función es:
∆ ∑ − = Donde − ∆ es el área del i-ésimo rectángulo.
Aproximaciones mediante rectángulos cuya altura se toma en el punto medio de los sub intervalos.
Consideremos el i-ésimo sub intervalo intervalo puede hallarse mediante:
−2
−,
el punto medio de este sub
Y nuevamente si hacemos una partición regular de [a,b] en un número n de rectángulos, para aproximar el área bajo el gráfico de una función f en el intervalo en cuestión y entre las rectas x=a y =b, se tendrá:
∆ ∆(−2) ∆∆
Así, el área del i-ésimo rectángulo será:
Ahora, se sabe ya que:
− 1∆1∆ 2∆21 ∆(1∆∆ ) ( ) 2 2
Así:
Luego, la expresión general para aproximar el área mediante esta clase de rectángulos será:
2∆21 ∑ ∆ ∑( )∆ 2 = =
( Denota la suma de las áreas de los rectángulos con altura trazada en el punto medio de los sub intervalos) Ejercicio 1.
Graficar la partición con rectángulos cuya altura se toma en el punto medio, y aproximar el área usando 10 rectángulos. Luego compare esta aproximación con las presentadas anteriormente. ¿Qué puede concluir?
Aproximaciones trapezoidales
A continuación, se mostrará como obtener una mejor aproximación utilizando trapecios en lugar de rectángulos. Las bases de los trapecios se trazan en el extremo izquierdo y derecho de los sub intervalos, y llegan hasta la gráfica de la función como se ilustra a continuación
El área del trapecio construido en el i-ésimo rectángulo
−2 ∆ de nuevo, ∆ Siendo la partición regular
, estaría dada por:
1∆2 ∆ ∆ ¿por qué? 1∆∆ ∑= ∆ 2
Luego la expresión para aproximar el área mediante trapecios es:
Donde
(representa la suma de las áreas de los trapecios)
Aunque la expresión es un poco más tediosa de manejar, la aproximación es aún mejor. Al parecer lo que se gana de exactitud, se pierde en practicidad. Ejercicio 2
Graficar la partición regular con trapecios, y aproximar el área usando 10 trapecios. Resumen
∆ ∆ ∑ ∑ = = ∑ ∆ ∑ ∆ − − = = 2∆21 ∑ ∆ ∑ ∆ 2 = = 1∆∆ ∑= ∆ 2
1 2 3 4
En todos los casos, pudo evidenciarse que la aproximación mejora, a medida que la partición se hace más fina, es decir, a mayor número de sub intervalos, se tiene mayor número de polígonos y por lo tanto, la estimación se aproxima cada vez más al área.
El área exacta, pude entonces definirse como el límite cuando el número de sub intervalos tienda a más infinito, de la aproximación en cuestión. Esto es:
̅ →+∞lim ∑ ∆ = Donde ̅ puede ser el extremo derecho, izquierdo o punto medio del i-ésimo sub intervalo tal como se ha mostrado hasta aquí, es decir:
→+∞lim →+∞lim ∑ ∆ = →+∞lim →+∞lim ∑ ∆ − = 2∆21 →+∞lim →+∞lim ∑ ∆ 2 = 1∆ ∆ →+∞lim →+∞lim ∑= ∆ 2
1 2 3 4
Para encarar estos límites es necesario recordar algunas propiedades de la sumatoria, y algunas sumatorias básicas para potencias de i
Propiedades de la sumatoria:
1. ∑= ∈ 2. ∑ ∑ = = 3. ∑= ± ∑ ± ∑ = = 1 4. ∑= 2 121 5. ∑= 6 1 6. ∑= ( 2 ) Cabe anotar que las expresiones 4, 5 y 6 pueden probarse por inducción matemática o utilizando la siguiente propiedad de las sumatorias, conocida como propiedad telescópica.
∑ 1 1 1 propi e dad t e l e scópi c a = La cual puede justificarse desarrollando la sumatoria. ∑ 1 2 1 3 2 ⋯ 1 1 = 1 1
A continuación se demuestra que:
1 ∑= 2 Demostración 1 Según la propiedad telescópica,luego: ∑1 1 = El lado izquierdo puede escribirse como: ∑= 21∑212∑ ∑1 ¿por qué? = = = Por lo tanto, 1 2∑= ∑1 1 ¿por qué? = 2∑= 1 1 ¿por qué? 1 1 ∑= 2 ¿por qué? 1 ∑= 2 ¿por qué? Utilizando procesos análogos pueden probarse las expresiones 5 y 6
Ejercicio 3
Demuestre 5 y 6 utilizando la propiedad telescópica de la sumatoria Ahora que tenemos las propiedades necesarias de la sumatoria, veamos como se calcula el área exacta para la función que hemos abordado antes haciendo uso de la expresión:
→+∞lim →+∞lim ∑ ∆ = ∆ →+∞lim ∑ l i m ∑0∆∆ →+∞ = = 2 2 4 2 2 2 →+∞lim ∑[(0 ) ] l i m ∑( ) l i m ∑ →+∞ →+∞ = = = 8 4121 →+∞lim ∑= →+∞lim 8 [121 ] l i m 6 →+∞ 3 8 8 →+∞lim 124 3 3 ≈2.66
Ahora que tenemos el valor exacto del área, podemos observar que en efecto, Las aproximaciones realizadas antes, se acercaban a este valor a medida que aumentábamos el número de polígonos. Ejercicio 4
Compruebe que con las expresiones siguientes, el cálculo del área da el mismo valor
→+∞lim →+∞lim ∑ ∆ − = 2∆21 →+∞lim →+∞lim ∑ ∆ 2 = 1∆ ∆ →+∞lim →+∞lim ∑= ∆ 2
Sumas de Riemann
El método abordado en estas notas, para aproximar el área bajo la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo [a,b] limitada por el eje x, se debe al matemático alemán Bernhard Riemann. Aquí se ha definido el concepto de partición en general, pero en los ejemplos se han considerado solo particiones regulares. Definición de suma de Riemann
a≠b
Sea P una partición de un intervalo [a,b] con y sea llPll la norma de la partición, llamamos suma de Riemman a la expresión:
̅ ∑ ∆ = Donde:
̅ es un punto arbitrario del iésimo sub intervalo,esto es: ̅ ∈−, ∆ es la longitid de iésimo sub intevalo, es decir: ∆ −
Puede ser el punto medio, el extremo izquierdo o derecho, como en los casos que se trataron, o cualquier otro punto del intervalo i-ésimo.
Esta expresión es más general, y también nos permite calcular el área exacta siempre que la norma de la partición tienda a cero, pues en ese caso, la longitud de todos los intervalos tenderá también a cero. Por lo tanto, el área bajo la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo [a,b] limitada por el eje x, puede escribirse en general:
̅ ̅ ∆ ∆ A lim→ ∑ lim ∑ →+∞ = =
Hay casos en que hacer una partición regular del intervalo, en lugar de facilitar el trabajo, lo hace más complicado. Considere que se le pide calcular el área bajo la gráfica de la función sobre el eje x en el intervalo [0,1]
√
Si se hace una partición regular del intervalo [0,1] y se usan aproximaciones mediante rectángulos con altura trazada en su extremo derecho, se tendrá que:
→+∞lim ∑ ∆ est o es: = →+∞lim ∑= pero no hay propiedades para calcular esta sumatoria En este caso, conviene elegir una partición no regular como sigue:
Elíjase de nuevo el extremo derecho de los sub intervalos, pero de tal forma que:
1 2 1 0; ; ;…. . ; − ; 1 1 Así: ∆ − 21 21 21 ̅ ∆ →+∞lim ∑ lim ∑ ( ) l i m ∑ ( ) →+∞ →+∞ = = = 21 21 1 →+∞lim ∑ ( ) lim ∑[( )( )] l i m ∑ 2 →+∞ →+∞ = = = 1 →+∞lim 1 [2121 ] ¿por qué? 6 2 1 4 2 →+∞lim 31 ¿por qué? 6 3 Entonces:
Una pregunta final: Para toda partición P, puede decirse que:
̅ ̅ ∑ ∆ ∆ ∑ = =
justifique su respuesta
