Demostración Clases de Equivalencia para conjuntosDescripción completa
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Descripción: Tutorial para particionar un disco en el sistema operativo Windows 7.
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se describe la solucion para ael acceso al dispositivo y equipoDescripción completa
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2.3.1 Relaciones de equivalencia y particiones En el área de computación muchos algoritmos de búsqueda se basan en una técnica que “particiona” de manera sucesiva un conjunto A en subconjuntos cada vez más pequeños, haciendo que el procedimiento de búsqueda sea más eficiente. En esta sección estudiaremos el concepto de partición de un conjunto, y mostraremos como este concepto está íntimamente ligado al de relación de equivalencia. Definición: 2.3.2 partición de un conjunto. Una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos de A, los cuales son no vacíos y disyuntos entre sí cuya unión es A. Formalmente, una partición de un conjunto A es una familia siguientes propiedades: propiedades:
Cada conjunto
de subconjuntos no vacíos de A, con las
se llama celda o bloque de la partición.
Ejemplo:
Sea particiones de A de A..
. Cada una de las siguientes colecciones son
Ejemplo: Cada una de los siguientes conjuntos son particiones de
= el conjunto de números pares, impares.
.
= el conjunto de números
La siguiente definición de clase de equivalencia, nos servirá para mostrar como las relaciones de equivalencia y las particiones son descripciones del mismo concepto. definición: 2.3.3 Clase de equivalencia. Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada con respecto a R es el conjunto
, la clase de equivalencia de x
definido como sigue:
.
En otras palabras, es el conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con x. Cuando solamente una relación de equivalencia R se esté considerando, escribiremos
en vez de
.
Ejemplo:
Sea
y consideremos la siguiente relación de equivalencia en A:
Entonces
. Ejemplo: Consideremos las siguientes relaciones de equivalencia en
Dado
, tenemos que:
.
.
. Ejemplo: Consideremos la relación de equivalencia congruencia módulo 5.
Dado
, tenemos que:
Es decir, la clase de equivalencia del entero a es el conjunto de números y para los cuales la diferencia
es un múltiplo de 5. Así, por ejemplo,
Como se observa en este ejemplo, conjunto de números con residuo 0 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 1cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 2 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 3 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 4 cuando se dividen por 5. Además, se tiene que
.
En general para todo para algún . Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos cinco conjuntos. De manera más en general para la relación de equivalencia congruencia módulo
n: contiene a
, denotamos la clase de equivalencia que como . Esto es,
Generalizando el caso n = 5 podemos concluir que dado un entero positivo n,
=conjunto de números con residuo r cuando se dividen por n. Además s tiene que: para todo
.
Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos n conjuntos. Por lo tanto la colección de las clases de equivalencia de la relación congruencia módulo n es una partición de con n elementos. El resultado anterior se cumple en general para cualquier relación de equivalencia: la colección de las clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un conjunto A forman una partición de A. Para demostrar este resultado utilizaremos el siguiente teorema.
Teorema 2.3.1 Supongamos que R una relación de equivalencia en un conjunto
. Entonces
Demostración: Como
es reflexiva entonces
de clase de equivalencia,
. Luego por definición
.
Hay que demostrar las dos implicaciones:
( i ) Supongamos que
. Hay que probar
que:
. ( ii )supongamos que
.
por la parte
. Por lo tanto
. Entonces
.
Demostraremos que:
De esta forma concluimos que La parte (c) del teorema anterior afirma que las clases de equivalencias solo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disyuntas. Mostraremos en el siguiente teorema como una relación de equivalencia particiona un conjunto.