Paridad de una función En matemáticas matemáticas,, se puede clasificar a las funciones según su paridad paridad.. Las funciones pueden ser pares ser pares,, impares impares o o no tener paridad. Aquellas funciones funciones que que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría simetría,, con respecto a inversas aditivas. aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y potencias y series de Fourier . Deen su nomre a la paridad paridad de de las potencias de las funciones mon!micas que mon!micas que coinciden y por p or tanto satisfacen las n condiciones de paridad. Así, la funci!n x funci!n x es una funci!n par si n es un entero par o una funci!n impar si n es un entero impar.
Funciones pares "editar #
$ráfica de una funci!n par.
%na función par es par es cualquier funci!n que satisface la relaci!n
y si si x x es es
del dominio dominio de de f entonces entonces -x tami&n. tami&n. Desde un punto de vista geom&trico, una funci!n par es sim&trica con respecto al e'e y , lo que quiere decir que su gráfica gráfica no no se altera luego de una refle(i!n refle(i!n sore sore el e'e y . E'emplos de funciones pares son el valor asoluto, asoluto, x ), x *, cos cos++ x x , , y cosh cosh++ x x . .
Definición formal "editar # El t&rmino función par suele suele referirse a una clase especial de funciones de variale real- una funci!n es una funci!n par si para
se cumple la siguiente relaci!n-
La definici!n anterior puede generaliarse a funciones sore dominios más generales. /i A /i A es es un con'unto con cierta estructura algeraica en la que e(istan inversos aditivos +por e'emplo, los números comple'os C, una funci!n par sería toda funci!n-
que cumpla-
La definici!n de funci!n par presupone que si así no se podría definir
entonces necesariamente
, de no ser
.
Ejemplo"editar # La funci!n-
es par ya que para cualquier valor de x se cumple-
Demostrando que la funci!n es p ar. /i x 0), entonces-
Funciones impares "editar #
$ráfica de una funci!n impar
%na función impar es cualquier funci!n que satisface la relaci!n-
para todo x en el dominio de f . Desde un punto de vista geom&trico, una funci!n impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotaci!n de 123 grados alrededor del origen. E'emplos de funciones impares son x , x 4, seno+ x , sinh+ x , y la erf + x .
Ejemplo"editar # La funci!n-
es impar, ya que-
en este caso la funci!n no está definida en el punto
.
/i vemos la funci!n-
5odemos ver que-
6 esta funci!n si pasa por el punto +3,3.
Características"editar # 7ota- La paridad de una funci!n no implica que sea diferenciale o continua.
Propiedades"editar # •
La única funci!n que es tanto par e impar es la funci!n constante que es id&nticamente cero +o sea f + x 0 3 para todo x .
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La suma de una funci!n par y una impar no es ni par ni impar, a menos que una de las funciones sea el cero.
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La suma de dos funciones par es una funci!n par, y todo múltiplo de una funci!n par es una funci!n par.
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La suma de dos funciones impares es una funci!n impar, y todo múltiplo constante de una funci!n impar es una funci!n impar.
•
El producto de dos funciones pares es una funci!n par.
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El producto de dos funciones impares es una funci!n par.
•
El producto de una funci!n par y una funci!n impar es una funci!n impar.
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El cociente de dos funciones pares es una funci!n par.
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El cociente de dos funciones impares es una funci!n par.
•
El cociente de una funci!n par y una funci!n impar es una funci!n impar.
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La derivada de una funci!n par es una funci!n impar.
•
La derivada de una funci!n impar es una funci!n par.
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La composici!n de dos funciones pares es una funci!n par, y la composici!n de dos funciones impares es una funci!n impar.
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La composici!n de una funci!n par y una funci!n impar es una funci!n par.
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La composici!n de toda funci!n con una funci!n
par es par +pero no vice versa. •
8oda funci!n definida sore toda la línea real puede descomponerse en la suma de una funci!n par y una impar-
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La integral de una funci!n impar entre 9A y :A es cero +donde A es finito o infinito, y la funci!n no posee ninguna asíntota vertical entre 9A y A.
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La integral de una funci!n par entre 9A y :A es el dole de la integral entre 3 y :A +donde A es finito, y la funci!n no posee ninguna asíntota vertical entre 9A y A.
Función inversa
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Teoría
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Ejercicios
;r a...
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f −1(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4
Podemos observar que: l dominio de f −1 es el recorrido de f ! l recorrido de f −1 es el dominio de f ! Si queremos "allar el recorrido de una función tenemos que "allar el dominio de su función inversa! Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad! ( f o f −1) (x) = ( f −1 o f ) ( x ) = x
#as $r%ficas de f & f -1 son sim'tricas respecto de la bisectri del primer & tercer cuadr ante!
a& que distin$uir entre la función inversa* f −1(x)* & la inversa de una función* Cálculo de la función inversa
1.Se escribe la ecuación de la función con x e &! 2.Se despeja la variable x en función de la variable &! 3.Se intercambian las variables! Ejemplos alcular la función inversa de:
1.
!
Vamos a comprobar el resultado para x = ,
2.
3.
