I. E. D. ESCUELA NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA PENSAMIENTO NUMERICO – NÚMEROS COMPLEJOS
ASIGNATURA: Matemáticas ________________ GRADO: ________________ INFORMACIÓN: 3
ESTUDIANTE: ___________________________________ DOCENTE: _____________________________________ FECHA: _______________________________________
de los números números reales y ESTÁNDARES: - Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de de las relaciones y las operaciones que existen entre ellos. - Identifico Identifico y utilizo utilizo la potenc potenciación, iación, la radicació radicación n y la logarit logaritmación mación para representar representar situaciones situaciones matemáticas y no matemáticas para resolver problemas. - Uso procesos procesos inductivos inductivos y lenguaje lenguaje algebraico algebraico para formular formular y poner a prueba prueba conjetu conjeturas. ras.
COMPETENCIA: Proponer situaciones modelo para el planteamiento y solución de un problema en cualquier tipo de pensamiento matemático. DESEMPEÑOS: - Identifica expresiones que corresponden a números imaginarios, escribe radicales como números imaginarios puros y calcula potencias de i. - Repres Represent enta a números números comp complej lejos os en su form forma a binomia binomiall o cartesi cartesiana ana y los grafi grafica. ca. - Halla Halla el conj conjuga ugado do y dete determi rmina na la norma norma de de un núme número ro comp complej lejo. o. - Escribe Escribe el opuest opuesto o de un un número número complej complejo, o, resuelve resuelve operaciones operaciones aditivas aditivas y multipli multiplicativ cativas as y halla halla su inverso multiplicativo. - Identi Identific fica a las propie propiedad dades es de la adició adición n y multipli multiplicac cación ión de númer números os comple complejos jos.. TEMA 1. NÚMEROS IMAGINARIOS (Libreta de teorías) Dar respuestas a ecuaciones como x 2 + a = 0, que no tienen solución en los números reales, permitió el surgimiento del conjunto numérico los números imaginarios. La principal característica de este conjunto consiste, en que, cualquiera de sus elementos elevado a un número par da como resultado un número negativo. La unidad principal o unidad imaginaria está representada por la letra i , y se define como i = . Los números imaginarios que pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria reciben el nombre de números imaginarios puros , y resultan al expresar raíces pares de cantidades negativa.
EJERCICIOS RESUELTOS: Escribir los siguientes radicales como números imaginarios puros.
a.
b.
c.
SOLUCIÓN
a.
b.
= = = 4 = 4.i
---------------------- Por Por la prop propie ieda dad d ------------------------- -- Cálculo de la raíz -------------------------- - Se remplaza
por i.
= = = = 32 = 9
i
------------- Por la propiedad ------------ Descomposición de 162 en factores primos. ------------ Cálculo de la raíz ----------- Solución de la potencia y remplazo por i
c. Queda para practicar individualmente (libreta de teoría)
TEMA 1.1. POTENCIAS DE i. Utilizando las propiedades de la potenciación y la definición de i , se calculan los valores de las cuatro primeras potencias denominadas potencias básicas de i . Así: i 1 = i i 2 = ( = -1 3 2 i = i . i = i = -1.i = -i i 4 = i 2 . I 2 = (-1).(-1) = 1
A partir de la quinta potencia i 5 los resultados se repiten en períodos de a cuatro. Así, para calcular el valor de una potencia de i con exponente mayor que cuatro se procede a sí: -
Se divide divide el expon exponent ente e de la potenci potencia a entre entre cuatro cuatro y se expres expresa a de la forma forma 4n + r, donde donde n es el cocie cociente nte y r es el residuo de la anterior división.
-
Para calcular el resultado se aplican las propiedades de la potenciación teniendo en cuenta las potencias básicas de i.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Calcular las siguientes potencias de a. i
i
b.
13
11
i
SOLUCIÓN:
a. i13 = i4 . 3 + 1 --------------------- Pues 13 = 4 * 3 + 1 = i4 . 3 . i1 --------------------- Por la propiedad an.am = an + m = ( i4)3 * i --------------------------------- -------- Por la propiedad (an)m = an.m = (1)3 . i --------------------------------- -------- Remplazando las potencias básicas =i ---------------------------------- --------- Resolviendo las operaciones indicadas b. i11 = i4.2 + 3 ----------------------------------- -------- Pues 11 = 4 * 2 + 3 4 2 3 = (i ) . i --------------------- Propiedad an.am = an + m = (1)2 .(-i) -------------------- Propiedad (an)m = an.m =i ------------------------------- -------- Solución de operaciones indicadas 2. Resolver las operaciones indicadas. a. 3i5 – 12i7 – 4i6 + 2i8
b. 3i(2i2 + 5i3)
SOLUCIÓN: a. 3i5 – 12i7 – 4i6 + 2i8 = 3i – 12(-i) – 4(-1) + 2(1) ------------ Cálculo de las potencias de i = 3i + 12i + 4 + 2 ------------ Solución de operaciones. = 15i + 6 = 6 + 15i b. . 3i(2i2 + 5i3) = 3i(2i2) + 3i(5i3) -------------------- Propiedad distributiva = .6i3 + 15i4 --------------------------------- ------ Solución de operaciones indicadas. = 6(-i) + 15(1) ------------------------------- -------- Cálculo de las potencias de i = -6i + 15 ------------------------------- ------ Solución de operaciones indicadas = 15 - 6i TEMA 1.2. NÚMEROS COMPLEJOS (Libreta de teorías) El conjunto de los números complejos está formado por los números de la forma a + bi. Este se nombra con la letra C. Es decir: C = {a + bi / a, b ЄR e i = } Al número a se le llama parte real del complejo y al número bi se le llama parte imaginaria del complejo. Ejemplo, en el número complejo -7 + 9i, la parte real es -7 y la parte imaginaria 9i. Un número real puede ser escrito como un número complejo de la forma a + 0i = a, por lo tanto todo número real es un número complejo. Luego R C c. y todo número imaginario puro puede ser escrito como un número complejo de la forma 0 + bi = bi. Por lo tanto, el conjunto de los números complejos contiene a los números imaginarios puros.
EJERCICIOS RESUELTOS: Identificar en cada número complejo la p arte real y la parte imaginaria. a. 9 -
b.
c.
SOLUCIÓN: a. 9 La parte real es 9 y la parte imaginaria es 4i. (Demuestra, ¿por qué? Queda como trabajo trabajo individual) b.
La parte real es 5 y la parte imaginaria es 0i.
c.
La parte real es 0 y la parte imaginaria es 3i. (Demuestra, ¿por qué? Queda como trabajo trabajo individual) Todo número complejo se puede expresar de dos formas, así: En forma binomial, como la suma o resta de la parte real y la parte imaginaria. Ejemplo 5 – 3i está expresado en forma binomial. En forma forma cartes cartesian iana, a, como como pareja pareja ordena ordenada da donde donde la primer primera a compon component ente e es parte parte real real y la segund segunda a componente es el coeficiente de la parte imaginaria.
•
•
EJERCICIOS RESUELTOS: Expresar en forma cartesiana los siguientes números complejos. a. 5i
b. 2 – 3i
c. 9
SOLUCIÓN: a. 5i se puede expresar como 0 + 5i. Luego su expresión cartesiana es (0, 5) b. 2 – 3i expresión cartesiana (2, -3), parte real 2 y pa rte imaginaria -3i. c. 9 es igual a 9 + 0i. Expresión cartesiana es (9, 0)
TEMA 1.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS (Libreta de teorías) teorías) Todo número complejo se puede representar geométricamente sobre el plano cartesiano. Plano Cartesiano Eje imaginario y
4
3
2
1
x
−4
− −3 3
− −2 2
−1
1
−1
−2
2
3
0
4
5
Eje real
−3
−4
El plano complejo está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular; la recta horizontal recibe el nombre de eje real, y sobre él se localiza la parte real de los números complejos. La recta vertical se llama eje imaginario, y en ell a se localiza la parte imaginaria de los números complejos. Para expresar números complejos en el plano complejo, es conveniente expresarlos en forma cartesiana. De tal manera, que la primera componente se ubica en el eje real y la segunda componente sobre el eje imaginario.
EJERCICIOS RESUELTOS: Representar los siguientes números complejos sobre el plano complejo. a. 2 + 3i
b. -3/2 + 2i
c. -3i
d. 4
y
4
(2,3)
3
(-3/2,2) 2
1
(4,0) x
−4
−3
−2 −2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
(0, -3)
La ubicación de estas parejas se muestra en el plano.
TEMA 1.4. CONJUGADO Y NORMA DE UN NÚMERO COMPLEJO (Libreta de teorías) teorías) El conjugado de un número complejo es otro número complejo que sólo difiere con el anterior en el signo de la parte imaginaria. imaginaria. El conjugad conjugado o del número número complejo complejo z se se denota denota . Si z = a + bi entonces entonces = a – bi. bi.
EJERCICIOS RESUELTOS:
Hallar el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos. a. 3 + 5i
b. -4 + 2i
c. – 2 – i
SOLUCIÓN: a. Si z = 3 + 5i, entonces, = 3 – 5i. b. Si z = -4 + 2i, entonces, = -4 – 2i. c. Si z = -2 – i, entonces, = -2 + i. La norma de un número complejo z = a + bi denotada |z|, es la distancia que hay desde el origen del plano complejo a la pareja ordenada (a, b). Gráficamente, se observa que la norma es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos a y b. Por tanto, al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que: |z|2 = a2 + b2 , de donde |z| =
, o sea, Si z = a + bi, entonces |z| =
EJERCICIOS RESUELTOS: Hallar la norma de los siguientes números complejos. a. z = -3 + 2i
b. z = -1/3 – 1/2i
SOLUCIÓN a. z = -3 + 2i. Con a = -3 y b = 2, se tiene que: |z| =
=
=
b. z = -1/3 – 1/2i, con a = -1/3 y b = -1/2
|z| =
=
=
=
TRABAJO INDIVIDUAL PARA PRACTICAR (Libreta de guías) 1. Escribir como número imaginario cada una de las siguientes raíces. a.
b. -
2. Reducir cada expresión y expresarla como un número imaginario
a.
b.
3. Hallar el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones.
a. m2 – 2 = 0
b.
4. Calcular las siguientes potencias a. i12
b. i43
5. Calcular a. (4i3)2
b. (-2i 5)4
6. Escribir la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos. Luego, expresarlo en forma cartesiana. a. 4 – 7i
b. 25 +
7. Escribir el conjugado de los siguientes números complejos. a. 6 – 3i
b. -5 -
8. Representar en el plano complejo los siguientes números. a. 1/2 - 3/4i
b. -3i