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N´ umeros umeros Complejos Gladys Cruz Yupanqui Marzo, 2018
´Indice 1. Motivaci´ Motivaci´ on on 2. La Unidad Unidad Imaginar Imaginaria ia i 3. N´ umero complejo ´ 4. Algebra de N´ umeros Complejos 5. Conj Conjug ugad ado o de un n´ umero complejo 6. Modulo o ´dulo de un N´ umero Complejo 7. Forma orma polar polar de un n´ umero complejo 8. Operaciones en forma polar 8.1. Multipl Multiplica icaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . 8.2. Co ciente . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Potenci Potenciaci aci´ on o´n (F´ormula de Moivre) . 8.4. Radicaci Radicaci´ on o´n en C . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
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. . . .
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9. Ecuaciones cuadr´ aticas con coeficientes coUseful mplejo s Not useful 10. Forma exp onencial en C
. . . .
. . . . . . ..
. . . .
. . . .
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Motiv otiva aci´ on on
Las primeras primer as explicaciones sobre la inexistencia de ra´ ra´ıces cuadradas cuadr adas de n´ umer negativos lo dan los matem´ aticos aticos hind´ ues tales como Mahavira (850), luego Bhaska ues (1150) describe de la siguiente manera:
El cuadrado de un n´ umero positivo o negativo, negativo, es positivo; la ra´ ra´ız cuadrada de n´ umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe ra cuadrada de un n´ umero negativo ya que un n´ umero negativo no es un cuadrado
En el siglo XVI, Jerome Cardan (Italia, 1501 1576) un matem´ atico, ati co, f´ısico ısic o y fil´osof osof public´o en 1545 su obra Ars obra Ars Magma en Magma en la cual describe un m´etodo etodo para resolv ecuaciones algebraicas de segundo y tercer grado. Un problema planteado por Ca dan en su trabajo es el siguiente: Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea . . . 40, es eviden que esta cuesti´ on es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguien forma. Cardan plante´ o el sistema de ecuaciones x ecuaciones x+ + y = 10, xy 10, xy = = 40 dando como soluci 5+ 15 y 5 15. Esta es la primera constancia co nstancia escrita esc rita de la ra´ ra´ız de un n´ nume ´ negativo y de su manejo algebraico. Nuevamente Nuevamente Cardan se encuentra con ra´ ra´ıces de n´ umeros negativo al resolver 3 ecuaci´on o n c´ ubica ubica x ax b = 0 cuyas soluciones est´ an an dadas por
−
√ −
− √ −
− −
x =
3
b + 2
b ( )2 2
− ( a3 )
3
+
− 3
b 2
b ( )2 2
− ( a3 )
3
Para la ecuaci´ on on x3 = 15x 15x + 4 esta f´ormula ormula nos da como soluci´on on x =
3
√ 2 + −21 +
− √ − 3
2
21
la cual Card´an an di´o por v´alida. alida. Fu´ e el ingeni ing eniero ero hidr´ hid r´aulico aulico Rafael Bombelli (Italia, 1526-1572), unos treinta treinta despu´es es de la publicaci´ public aci´on on de la obra de Cardan, quien di´ o sentido a sentido a las expresion Sign up to vote on this title sin sentido de Cardan. Carda n. Fue aqu´ aqu´ı que se produce pro duce el nacimiento de la variable comple Useful Not useful n´ Bombelli desarroll´o un c´alculo alculo de operaciones con umeros complejos que se ajus umeros a los que conocemos en la actualidad. Ren´ Descartes (F 1596-1650), bautiz´ o con el nombre de imaginari
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Bernoulli propon´ıa por contra, log i = i π2 . La controversia fue resuelta por Leonha Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad eiπ = 1. Euler fu´ e el primero en usar la notaci´ on i = 1, haciendo adem´ a s un u fundamental de los n´ umeros complejos al relacionar la exponencial con las funcion trigonom´etricas por la expresi´ on eix = cos x + i sin x. Incluso Carl Friedrich Gau (Alemania, 1777-1856), en cuya tesis doctoral (1797) se daba la primera prueb correcta del teorema fundamental del a´lgebra, apunt´ o a finales de 1825 que la verd metaf´ısica de 1 es elusiva . En el siglo XIX proponen algunos matem´ aticos, de Cambridge principalment que deber´ıa haber reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostra todas luces su utilidad para muchos. En 1833, William Rowan Hamilton (Inglater 1805-1865) da la primera definici´ on algebraica rigurosa de los complejos como par de n´ umeros reales. El 1847 es Agoustin-Louis Cauchy (Francia, 1789-1857) qui da una definici´ on abstracta de los n´ umeros complejos como clases de congruenci de polinomios reales, bas´andose en las clases de congruencias de enteros dada p Gauss. La b´ usqueda de soluci´ on de diversas ecuaciones algebraicas motiv´ o la introdu ci´on de los n´ umeros complejos. Diofanto ((200 284) aprox.) en su intento de c´ alcu de los lados de un tri´ angulo rect´ angulo de per´ımetro 12 y a´rea 7, plante´ o resolver 2 ecuaci´on 336x +24 = 172x de ra´ıces complejas como puede comprobarse f´ acilment El matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano Girolamo Cardano (1501 1576) en 15 Reading a Preview publica su obra Ars MagnaYou're (El Gran Arte) en la cual describe un m´etodo resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Por ejemplo, la ecuaci´ on
− √ −
√ −
−
−
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x3
−8=0
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que tiene una ra´ız real y dos complejas. Asimismo la siguiente ecuaci´ on cuadr´ ati no tiene soluci´on real x2 + 1 = 0
⇒ x = −1 ⇒ x = √ −1 2
la Leonard Euler (Suiza1707 1783) utiliz´o el s´ ımbolo representar i para Sign up to vote on this title i , con su identidad e πi = cuadrada de 1, denomin´andolo unidad imaginaria Useful Not useful Este t´ermino imaginario tambi´ en fue usado por Rene Descartes (Francia, 15 1650).
−
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La Unidad Imaginaria i Todo n´ umero imaginario se escribe como ib donde i = Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria son:
√ −1 y b ∈ R.
i0 = 1, i1 = i, i2 = 1, i3 = i 2 i = i, i4 = i 3i = 1 i5 = i4 i = i, i6 = i 5 i = 1, i7 = i 6 i = i, i8 = i 7 i = 1
−
−
−
∈ N entonces
En general, si n
−
in = i 4q+r = i 4q .ir = (i4 )q .ir = 1.ir = i r
donde n = 4q + r, q
∈ N y 0 ≤ r < 4.
Ejemplo 1 Calcular las siguientes potencias de los n´ umeros imaginarios: a) i2866 = i 2864+2 = i 4q+2 = i 2 = 3 3
33
b) i
3 3
(4q 1)3
= i −
= i 4q−1 =
−1 33
−i por ser 3
un n´ umero impar.
c) Simplificar i343 + i5331 + i2542 + i412300 A = i−555 + i−242 + i−328 i4q+3 + i4q+3 + i4q+2 + i4q = i−(4q−1) + i−4q−2 i−4q 2i i i 1+1 You're = Reading a Preview = =2 i 1+1 i
− −
−− − −− Unlock full access with a free trial.
umeros imaginarios: Ejercicios 1 Calcular las siguientes potencias de los n´ a) i−31255i1024 . 22
b) i2 (i17 3 3
33
c) i
14
− +3i
+ i
d) E =
R.i.
5 5
55
i37 2i55
+
.
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+ 2i). R. 0.
2i96 i45 i127
−
.
e) A = 1 + i + i3 + i5 + i7 + i9 + . . . + i91 . Simplificar: f ) M =
i728+i521 +i313+i602 +i893
R. 3
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´ Algebra de N´ umeros Complejos
Definici´ on 1 . Dados los n´ umeros complejos z 1 = a + ib y z 2 = c + id, se define las siguientes operaciones en C: 1. SUMA z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
´ 2. MULTIPLICACION z 1 z 2 = (a + ib)(c + id) = (ac
− bd) + i(ad + bc)
3. IGUALDAD z 1 = z 2
⇐⇒ a + ib = c + id ⇐⇒ a = c ∧ b = d
Propiedades de la Suma y la Multiplicaci´ on a) Ley de cerradura. z 1 + z 2
∈ C
y
z 1 .z 2
b) Ley conmutativa. z 1 + z 2 = z 2 + z 1
c) Ley asociativa.
∈ C
You're Reading a Preview
y
z 1 .z 2 = z 2 .z 1 Unlock full access with a free trial. Download With Free Trial
z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3
y
z 1 .(z 2 .z 3) = (z 1 .z 2).z 3
d) Existencia del elemento neutro aditivo. Existe un u ´ nico elemento θ todo complejo z
∈ C de la forma θ = 0 + i0, tal que z + θ = z pa
e) Existencia del elemento inverso aditivo.
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Not useful Useful Existe un u ´nico elemento z C, de la forma z = a ib tal que z +( θ = 0 + i0 para todo complejo z .
− ∈
−
−−
−
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´ Definici´ on 2 SUSTRACCI ON z 1
− z = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d) 2
´ Definici´ on 3 DIVISI ON Para cada par de n´ umeros complejos z 1 = a + ib y z 2 = cid = 0 + i0 con z 2−1 =
c c2 + d2
d 2 + d2
− i c
existe un n´ umero complejo unico ´ z 3 llamado el cociente de z 1 y z 2 , denotado por o z 1 z 2 definido por
÷
z 3 =
z 1 c d ac + bd bc ad = z 1 .z 2−1 = (a + ib).( 2 + i ) = + i z 2 c + d2 c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2
−
−
Por tanto
z 1 ac + bd bc ad = 2 + i z 2 c + d2 c2 + d2
−
Ejercicios 2
1. Dados los n´ umeros complejos √ √ √ z = 3 + i, z = − 3 + 3i, z = 2 − 2 3i. Efectuar 1
2
3
− −
2z = z 22
z 3
z 2 z 1
You're Reading a Preview
2. Determinar los complejos z en cada uno de los siguientes casos full access with a free trial. −Unlock i b) z = i(1 + i) Download With Free Trial iz = (1 + i)(1 − i)
a) (1 + i) + z = d)
c
iz = (1 + i) (1
− i)
3. Efectuar las operaciones con n´ umeros complejos: a) (4 3i) + (2i d) 24−−3ii 4 9 +i16 g) 2−i i5−−i i10 −i15
b) 3( 1 + 4i) 2(7 i) c) 3 + 2i)(2 i) 4 e) (4 + i)(3 + 2i)(1 i) f ) (2i 1) 1− + i 30 19 2 3 i −i −i up to vote −title Sign h) 3 11+i 2 21+i i) on3ithis 2i−1 Useful Not useful 4. Expresar en forma bin´ omica o algebraica
−
− 8)
−
−
− −
−
√ √
(3 i)(2+i)
−
−
2 1
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Figura 1:
5.
Conjugado de un n´ umero complejo
umero complejo Definici´ on 4 Se llama conjugado de z = (a, b) = a + bi al n´ You're Reading abi = Preview z = a + bi = a (a, b)
−
−
Unlock full access with a free trial. Observar que dos complejos que son conjugados, sus puntos son sim´etricos con re pecto del eje real. Ver la Fig. 1. With Free Trial Por ejemplo, si z 1 = 1 + Download 3i, entonces z 1 3i o si el n´ umero z 2 = ( 53 , 1 = su conjugado es z 2 = ( 53 , 31 ).
−
− −
umero complejo z , z 1 , z 2 se cumple: Propiedades. Para todo n´
i) z = z ii) z + z = 2Re(z ) iii) z
− z = 2Im(z )
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Figura 2:
6.
M´ odulo de un N´ umero Complejo
odulo del complejo z = a + bi es la ra´ı z cuadrada no negati Definici´ on 5 El m´ de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria de z y se denota por You're Reading a Preview
√
2 + b 2 trial. Unlock full a free z access = awith
||
El m´ odulo de z representa la longitud o distancia z desde el punto correspondien Download With Free de Trial al origen.
−3 + 4i, entonces z = ( 3) + 4 = √ 25 = 5 b) Si z = 3 − 2i, z = −1 + i, entonces Sign up to vote on this title √ = 4 + (Not |z − z | = |(3 − 2i) − (−1 + i) = 4 3i Useful −3)useful= 25 = 5
Ejemplo 3
a) Si z =
1
2
1
2
| | − | | − | 2
2
2
2
Propiedades Para todo z, z z n´umeros complejos, se cumplen:
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viii) z 1 + z 2
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| ≤ |z | + |z | 1
2
Prueba. (viii) z 1 + z 2
|
| ≤ |z | + |z | 1
2
Por el cuadrado del m´ odulo, conjugado de la suma, distributividad del pr ducto respecto de la suma y por la propiedad (vi) se tiene que 2
|z + z | 1
2
= (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2 = z 1 2 + z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2
| |
2
| |
Por la propiedad ii) del conjugado de z se tiene que: z 1 z 2 = z 1 z 2 = z 1 z 2 Lueg z 1 z 2 + z 1 z 2 = z 1 z 2 + z 1 z 2 = 2Re(z 1 z 2 ) sustituyendo en la igualdad inicial tenemos 2
2
|z + z | = |z | 1
2
1
2
+ 2Re(z 1 z 2 ) + z 2
| |
Ahora bien, utilizando las propiedades vii), iii) y v) de m´odulo se tiene que 2Re(z 1 z 2 )
≤ 2(z z ) = 2 |z ||z | = 2 |z | |z | 1 2
1
2
1
2
You're Reading a Preview
sustituyendo en (6.1) seUnlock tienefullque access with a free trial. 2
2
2
+ z | ≤ |z | + 2 |z ||z | + |z | |z Download With Free Trial 1
2
1
1
2
2
ahora, factorizando el segundo miembro 2
|z + z | ≤ (|z | + |z |) 1
2
1
2
2
y como las bases no son negativas, resulta Sign up to vote on this title
+ |z |z + z | ≤ |z | |. Useful 1
2
1
2
Not useful
La prueba de las dem´as propiedades quedan como ejercicio.
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a) z 12 + 2z 3 d) z 1 z 2 + z 2 z 1 g) z 12 + z 2 2 2 + z 3 2
− | | | − z |
| |
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4. Si z 1 = 1 i, z 2 = 2 + 4i, z 3 = una de las siguientes expresiones:
−
Sistema de Ecuaciones -
2 2
√ 3 − 2i, hallar el valor num´erico de
b) 2z 2 3z 1 2 c) (z 3 z 1 )5 e) zz11−−zz22−−1i f ) (z 2 + z 3 )(z 1 h) Im(z 1 z 2 /z 3 ) i) 21 ( zz33 + zz33 )
| − | | |
−
− z
3
5. Describir y construir la gr´ afica del lugar representado por cada una de l ecuaciones siguientes: a) d)
|z − i| = 2 |z + 2i| + |z − 2i|
b) e)
z + 2i + z z 43 i = 41
| − |
| − 2i| = 4
c) f )
|z − 3| − |z + 3| = |z − (5 + 7i)| = 5
6. Describir gr´ aficamente la regi´ on representado por cada una de las ecuaci´ siguientes: 2
a) 1 < z + i 2 d) z + 2 3i + z
|≤ b) Re (z ) > 1 c) |z + 3i| > 4 | − | | − 2 + 3i| < 10 7. Demostrar que la elipse |z + 3 | + |z − 3| = 10 se puede representar en form |
rectangular como
x2 y2 + a Preview =1 You're Reading 25 16
Unlock full access with a free trial. 8. Representar los siguientes conjuntos:
{ ∈ C : |z | ≤Download } Trial 1, x ≤ 0, With y ≥ 0Free = {z ∈ C : −3 ≤ Im(z ) < 2 } = {z ∈ C : Re(z ) > Im(z )} = {z ∈ C : 10Re z + 5Im z − 1 ≤ |z |} = {z ∈ C : z = 0, Re( ) = 1}
A1 = z A2 A3 A4 A5
7.
2
2
1 z
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Forma polar de un n´ umero complejo
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considerando los valores de x e y para la determinaci´ on de θ. Tambi´en se puede usa y x sen(θ) = |z | , cos(θ) = |z| , con lo cual se tiene: θ = arcsen
y z
||
x z
y θ = arc cos
||
.
umeros complejos Ejemplo 4 Determinar la forma polar de los siguientes n´ 1) z =
−2 + 2i.
Soluci´ on. Sea r = z = principal consideramos
||
−
( 2)2 + 22 =
cos θ =
√ 8
x 2 = = r 2 2
−√ −
√
= 2 2. Para el argumen
√ 2 2
√
y 2 2 sin θ = = = r 2 2 2
√
θ resulta del segundo cuadrante y es igual a 135 o .
√
Luego z = 2 2(cos 135o + i sin 135o). Ver fig. 4.
√
2) z = 5 3 + 5i
Soluci´ on.
You're Reading a√ Preview √ √ √ z = 5 3 + 5i = (5 3, 5), r = |z | = 5( 3 + i) = 5 3 + 1 = 10
θ = arctan
Unlock full access with a free trial. 3 = π/3 3
5 √ = arctan 5 3
√
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z = 10 cos
Ejercicios 4
π π + i sin 3 3
1. Halle la forma polar de los siguientes n´ umeros complejos:
(1)
−2 + 2i √ (2) z = −3 − 3 3i √ √ (3) z = 5 2 − 5 2i √ (4) z = 12 − 2i (5)
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Operaciones en forma polar
8.1.
Multiplicaci´ on
Sean z 1 = r 1(cos θ1 + i sin θ1 ) y z 2 = r 2 (cos θ2 + i sin θ2 ) donde r1 = z 1 , θ1 = Arg(z 1 ), r2 = z 2 y θ2 = Arg(z 2 ) , entonces el producto de z 2 se define por
| |
| |
z 1z 2 = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )] = r1 r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2 )]
−
El argumento del producto tiene la propiedad Arg(z 1z 2 ) = Arg(z 1) + Arg(z 2)
8.2.
Cociente
Sean z 1 = r 1(cos θ1 + i sin θ1 ) y z 2 = r 2 (cos θ2 + i sin θ2 ) donde r1 = z 1 , θ1 = Arg(z 1 ), r 2 = z 2 y θ2 = Arg(z 2 ) , entonces el cociente de z 1 se define por
| |
| |
z 1 r1 (cos θ1 + i sen θ1) r1 (cos θ1 + i sen θ1 )(cos θ2 = =Reading a Preview You're z 2 r2 (cos θ2 + i sen θ2) r2 (cos θ2 + i sen θ2 )(cos θ2 r1 full access with a free trial. = [cos(θ1 θ2 ) Unlock + i sen(θ θ2 )] 1 r2
−
−
Download With Free Trial z1
El argumento del cociente tiene la propiedad: arg arg(z 1 ) arg(z 2) + 2kπ, k Z.
z2
− isenθ ) − isenθ )
Soluci´ on.
−
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2
= arg (z 1 ) arg(z 2 ) , arg
− ∈ Ejemplo 5 Eval´ ue las expresiones siguientes utilizando la forma polar: √ √ a) (2 3 + 2i)(3 − 3 3i) b) − 1 +−11√ 3i 2 2
2
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a) Las representaciones polares de los n´ umeros complejos dados son:
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b) Las representaciones polares son: 0
−1 = cos 180
0
+ i sin 180 ,
−
√
1 1 + 3i = cos 1200 + i sin 1200 2 2
entonces utilizando la f´ ormula del producto, tenemos que el cociente es: 1 2
− + 8.3.
√
cos 1800 + i sin 1800 1 1 0 0 = = cos60 + i sin 60 = + 3. cos 1200 + i sin 1200 2 2 3i
−1 √ 1 2
Potenciaci´ on (F´ ormula de Moivre)
La potencia n-sima de un complejo en forma polar tiene por m´odulo la potenc n-sima de su m´odulo, y por argumento el producto de sus argumento por n. z = r(cos θ + i sin θ)
n
⇒ z
= r n (cos nθ + i sin θ), n
∈N
+
ua por inducci´ on completa. Prueba. Se efect´ umero entero positivo, entonces Teorema 1 (De Moivre) Si n es un n´ (cos θ i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ (cos θ i sin θ)−n = cos( nθ) i sin( nθ)
± ± You're Reading a Preview − ± arg(z ) = n arg(z ), n ∈ ZUnlock , full access with a free trial. arg(z ) = n arg(z ) + 2kπ, para alg´ un k ∈ Z, n ∈ Z. n
−
+
n
Download With Free Trial
1
√
Ejemplo 6 Utilizando la f´ ormula de Moivre, calcule (4 + 4 3)5 Soluci´ on. La representaci´ on polar es:
√
√
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1 1 useful0 4 + 4 3i = 8( + 3i) = 8(cos 600 + iUseful sin600 ) =Not 8cis60 2 2 utilizando la f´ormula de Moivre, se tiene
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4. 11+i −+
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i
i
5. (
3 + 23 2
√ 3i)(− − √ 3) 1 6
− √ 6. (2 3 + 2i)
6
7. 8. 9. 10.
√
−
6
−3
6 3+6i 6+6i
R. 1
R. 4096( 1 + 0i
5+5i √ 10 3+10i
1 6
1 i 512
R.
R. 41 + 41 i
5cis150 10cis450
R.
1 4096
− − 32√ 3) + (96 + 56√ 3)i.
4cis300 +4cis600 2cis150
R. ( 56
11. Expresar cada uno de los siguientes n´ umeros complejos en forma polar:
− √ √ − − −
√ √
√
a) 2 2i b) 1 + 3i c) 2 2 + 2 2i d) √ i e) 4 f ) 2 3 2i g) 2i h) 23 i) (1 + i)16 j) (1 i)16
− −
−
−
3i 2
12. Expresar en forma cartesiana los siguientes n´ umeros complejos: You're Reading a Preview o 6 Unlock fulloaccess a free trial. a) (5cis20o )(3cis40 b) with (2cis50 )
d)
(3e
πi
6
)(2e
5πi 4
−
)(6e
5πi 3
)
√
4
−i 1+i √ 33+i e) Free 2 1−i Download With Trial 2 3 (4e ) πi
c)
(8cis40o )3 (2cis60o )4
5
13. Expresar en su forma cartesiana
a) [4 cos π9 + i sin π9 ].[5 cos 7π + i sin 7π ] 18 18 b) [ 34 cos 7π + i ].[ 83 cos 4π + i sin 4π ] 18 9 9 c) d)
π π 4(cos 13 +i sin 13 36 36 )
2(cos
π
9
+i sin π9 )
π 6(cos 718 +i sin
7π 18
)
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Radicaci´ o n en C
Ra´ız n ´ esima de los N´ umeros complejos
−
Por definici´ on, si z es un n´ umero complejo, entonces w es una ra´ız n ´esim 1 z, escrita como w = z si y s´olo si z = w n .
−
n
Teorema 2 Todo n´ umero complejo no nulo admite n ´esimas ra´ıces distintas da por θ + 2kπ θ + 2kπ wk = r cos + i sin n n
−
√ n
donde k = 0, 1, 2, ..., n
r = z y θ = arg(z ).
− 1;
||
Prueba. Sean z = r(cos θ + i sin θ) y w = ρ(cos Φ + i sin Φ). Por definci´ o n de wn = tiene que ρn(cos nΦ + i sin nΦ) = r(cos θ + i sin θ)
Por igualdad de n´ umeros complejos [dos n´ umeros complejos dados en forma pol son iguales si y s´o lo si sus m´odulos son iguales y sus argumentos difieren en u m´ultiplo entero de 2π ]. ρn = r y nΦ = θ + 2kπ, k
∈ Z
You're Reading a Preview
de donde se obtiene que
Unlock full access with a free trial.
ρ =
√ r
θ + 2kπ ,k Download With Free n Trial n
y
∈ Z
Φ=
Luego reemplazando estos valores en (wk ) se obtiene la f´ormula, wk
√ = r n
θ + 2kπ cos + i sin n
θ + 2kπ n
, k = 0, 1, 2,..,n
−1
Todas las n ra´ıces de z tienen el mismo m´oduloSign y solo entitle su argument up todifieren vote on this puesto que el seno y coseno son funciones peri´ odicas con per´ 2π. Dando valor Not useful Useful ıodo a k Z en (8.3), tenemos que:
∈
θ + 2(0)
θ + 2(0)
θ
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Corolario 1 Las ra´ıces n ´esimas de la unidad son:
−
2kπ 2kπ wk = cos + i sin n n
Ejemplo 7
1. Halle las ra´ıces de
Soluci´ on.
√ ⇒
− 1.
√
− 4
, k = 0, 1, 2,...,n
4 + 4 3i
z = 4 + 4 3 r = z = 8, cos θ = −84 = −21 θ = 1200 = 2π , pues 3 corresponde a un punto del segundo cuadrante, el argumento de wk es
−
| |
⇒
Arg(z ) =
2π 3
+ 2kπ , k = 0, 1, 2, 3 4
luego las cuatro ra´ıces son w0 =
√
w1 =
√
w2 =
√
4
4
4
8(cos 300 + i sin300 ) =
√ √ 4
8(cos 1200 + i sin 1200 ) =
3 1 + i 2 2
8
√ 4
8( cos600 + i sin600 ) =
√
−
You're Reading 4 a Preview 0
8(cos 2100 + i sin 2100 ) =
8( cos30 + i sin300 ) =
−
Unlock full access with a free trial.
w3 =
√ 4
8(cos 600
√
√ 3
1 60 ) = With 8 Free i − i sinDownload − Trial 2 2 0
4
− √ √ √ 4
8
1 + 2
4
8
− 23
√
2. Halle la ra´ıces quintas de la unidad 5 1
Soluci´ on. z = 1 = 1 + 0i = (1, 0) = cos 00 + i sin00 , por lo que sus ra´ıces cuadradas Sign up to vote on this title
wk = cos
2kπ 2kπ Useful Not useful + i sin , k = 0, 1, 2, 3, 4. 5 5
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1. Calcular z 2 siendo z =
√ −1 √ 3. 1 √ 4. −1
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−1 + i +
√
2i
R. i, i
2.
− √ √ R. 1, − + i , − − i 3 2
1 2
3
3 2
1 2
6
5.
5
1 2
+
1 2
√ 3i
6. Determinar y representar las ra´ıces que se indican a)
√ 1 − i
b)
4
√ −i 3
c)
√ 8 3
√ 3
c)
3 + i
7. Hallar cada una de las ra´ıces indicadas y localizadas gr´ aficamente: a)
√ − 2 3
e) (i)
9.
2
1/2
b)
2/3
f )
( 4 + 4i)1/5
c) ( 16i)1/4 d) (64)1/6
4
g)
−−
√ 8 + 8 3i
− 6
−i √ 13+i
h)
6
1 i 1+i 3
−√
Ecuaciones cuadr´ aticas con coeficientes com plejos You're Reading a Preview
Una ecuaci´ on cuadr´ atica con coeficientes complejos es de la forma 2
Unlock full access with a free trial.
Az + Bz + C = 0, A, B, C C, A = 0.
∈
Download With Free Trial y se resuelve de la siguiente manera:
Primero: Completando cuadrados a Az 2 + Bz + C = 0 B C z 2 + z + =0 A A Segundo: Hacer z +
B 2A
= w y
wk = u 1/2
||
B 2 4AC 4A2
−
⇔
= u
B z + 2A
2
=
B2
− 4AC
4A2
to de vote donde on this title ∈ C =⇒Sign w up = u 2
Useful Not useful θ + 2kπ θ + 2kπ cos( ) + i sin( ) , k = 0, 1 2 2
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Ejemplo 8 Resolver: (1
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2
− i)z − 4z = −3 − 9i.
Soluci´ on. Primero: Dividir entre 1
4 z = 1 i
2
− i ⇒ z =
−
−3−9i 1−i
2
⇒ z + (−2 − 2i)z = 3 − 6i.
Segundo: Completando cuadrados: 2
z + ( 2
− − 2i)z + − − i)]
[z + ( 1
2
Tercero: z + ( 1
− −
− − 2
2i
2
2
=3
=3
− 6i +
||
1/2
− − i) = 5 z + ( 1
2
2i
2
2
− 4i ⇐⇒ z + ( −1 − i) = √ 3 − 4i
θ + 2kπ i) = u 1/2 cis 2
z + ( 1
− −
cis
θ 2
∨
, k = 0, 1 1/2
z + ( 1
− − i) = −5
cis
θ 2
− √ √ ∨ − − √ √
1/2
− − i) = 5
2 i + 5 5
2 i z +You're ( 1 Reading i) = 5a1/2 + Preview 5 5 z 1 Unlock i = full 2access + i with a freez trial.1 i = 2
− − − − − ∨ − − z = −1 + 2i ∨ z = 3 Download With Free Trial 0
−i
1
Ejercicios 7 1. Determine algebraicamente las ra´ıces cuadradas de los siguie tes n´ umeros complejos: a) z =
−15 − 8i b) z = 5 − 12i √
c) z = 8 + 4 5i
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2. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones en C :
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Forma exponencial en C Exponencial compleja
Por la expansi´ on de Taylor se demuestra que la exponencial real ex , sin x y cos admite el desarrollo en serie
x
e
x 2 x3 = 1 + x + + + ... = 2! 3!
x 3 x5 sin x = x + 3! 5! 2 x x4 cos x = 1 + 2! 4!
−
−
−
−
∞ xk
k=0
k!
2n−1 x7 n−1 x + ... + ( 1) 7! (2n 1)! 6 2n x nx + ..... + ( 1) 6! 2n!
−
−
−
x3 x4 x5 x6 x7 e = 1 + ix i + + i +i + .... 3! 4! 5! 6! 7! 2 4 6 3 x x x x x5 x7 cos x + i sin x = 1 + + ..... + i x + + ... 2! 4! 6! 3! 5! 7! ix
x2 2!
− − − −
− − −
−
Por consiguiente note que eix y cos x + i sin x son iguales en series. Estas seri naturalmente satisfacen las propiedades b´ asicas de e0 = 1 y e xey = e x+y . You're Reading a Preview A fin de preservar estas propiedades, definimos la exponencial compleja median Unlock full access with a free trial. la FORMULA DE EULER ix
e = cos x + i sinTrial x Download With Free y se verifica que eix .eiy = (cos x + i sin x)(cos y + i sin y) = (cos x cos y sin x sin y) + i(sin x cos y + cos x sin y) i(x+y) = cos(x + y) + i sin(x + y) = eSign up to vote on this title
−
Ahora consideremos la forma polar de z (cos θ
θ)
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Por ejemplo. π π 1 1 + i sin = + i 4 4 2 2 π π = cos + i sin = 0 + 1i = i 2 2
ei(π/4) = cos ei(π/2)
ei(3π/4) = cos
√ √
3π 3π + i sin = 4 4
− √ 12 + √ 12 i
eiπ = cos π + i sin π =
i( π)
iπ
−1 = e − = e− √ 3 1 7π 7π cos + i sin =− + i 6 6 2 2
ei7π/6 =
En t´erminos de la Exponencial Compleja podemos representar la forma polar un n´ umero complejo como sigue: z = x + yi = r(cos θ + i sin θ) = reiθ = r θ Por ejemplo, z =
√
3
√
− 3i = 2
Nota.
3(
You're Reading a Preview
√ 3
√ − √ = 2 with 3ea free trial.= 2 3e −Unlock2 fulli, )access
1 2
i( π/6)
iπ/6
√
= 2 3(−π/6)
Download With Free Trial
Debido a que las funciones seno y coseno son peri´odicas con periodo 2π : eiθ = cos θ + i sin θ = cos(θ + 2kπ) + isen(θ + 2kπ) = e i(θ+2kπ) para todo k Z : k = 0, 1, 2, 3,... . Por lo tanto para cualquier complejo z :
∈
± ± ±
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iθ
z = re = re
i(θ+2kπ)
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Propiedades de la Exponencial Compleja.-
1. eiθ = 1, para todo θ real ; asi, e iθ = 0.
2. eiθ1 eiθ2 = e i(θ1 +θ2) . 3. eiθ e−iθ = e i0 = 1. 4. ( e1 ) = e −iθ . iθ
iθ1
5. ( ee
iθ2
) = e i(θ1 −θ2 ) .
6. [eiθ ]n = e inθ , n
∈ Z.
7. Sean θ1 y θ2 dos n´ umeros reales . Entonces: eiθ1 = e iθ2
10.3.
⇐⇒ θ
1
= θ 2 + 2kπ,
∀k ∈ Z.
Operaciones en forma exponencial
Las f´ormulas del producto, cociente y potenciaci´ o n se efect´ uan con facilida Esto es: You're Reading a Preview
1. z 1 z 2 = r 1 eiθ1 (r2 eiθ2 ) = r 1r2 ei(θ1 +θ2 ) 2.
z1 z2
=
r1 eiθ1 r2 eiθ2
=
r1 i(θ1 θ2 ) e r2
Unlock full access with a free trial.
−
3. z n = (r1 eiθ )n = r n einθ
Download With Free Trial
La prueba de estas propiedades se deja como ejercicios.
Ejemplo 10 Utilizando la forma polar con la exponencial compleja, evaluar
√ − −√ −
(4 + 4i)( 3 +Sign 3i)up to vote on this title P = Useful Not useful ( 3 i)
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Logaritmos en C
Si z = ew entonces w = ln z , llamado el logaritmo natural de z . Entonces funci´on logar´ıtmica natural e la inversa de la funci´ on exponencial y lo definimos p w = ln z = ln r + i(θ + 2kπ)
k = 0, 1, 2,
± ± ···
donde z = reiθ = reiθ+2kπ . Observe que para cada z existen infinitos W = lnz. El valor principal o rama principal de lnz se define algunas veces como ln z = ln r + iθ, 0
≤ θ ≤ 2π
. Sin embargo cualquier intervalo de longitud 2π puede utilizarse, por ejemplo θ π, etc.
≤
−
1. Determinar los logaritmos naturales de los siguientes m´ umer Ejercicios 8 complejos a) z =
√ 3 − √ 3i
b) z =
i
−e
c) z =
1 2
−
√ 3 2
i.
2. Determinar los valores principales de las exponenciales
√ −
a) w = ( 3 You're i)1−i Reading b) w =a Preview (3i)2i c) w = (1
− i√ 3)
1/i
Unlock full access with a free trial.
3. Obtener el valor principal de z en los siguientes casos
√ 3
a)Download (1 i)z With = 1 Free b) Trial ( 1+i
−
2
)z = i
4. Representar los siguientes conjuntos: A1 = re jt : 1 A2 A3
{ = {4e = {re
jt
jt
≤ r ≤ 2, 0 ≤ t ≤} : − ≤ t ≤ − } Sign up to vote on this title : 0 ≤ r ≤ 1, ≤ t ≤ − } Useful Not useful π 2
5. Resolver las ecuaciones
π 4
π 2
3π 4
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d) Escriba en forma cartesiana z = a + bi el n´ umero complejo z =
12cis420o cis3π/3 cis675o cis195o
1.
a) Dados los vectores z 1 = 4 2i, z 2 = 2 + 3i y z 3 = 3 + 3i. Describ anal´ıtica y gr´aficamente la suma de los tres vectores y su m´odulo. π b) Escriba el n´ umero z = (cis( π9 ))12 [2cis( )]5 en su forma cartesiana. 6
2.
a) Halle las ra´ıces cuartas de i, y ub´ıquelas en el c´ırculo unitario.
−
−
−
−
b) Describa gr´ aficamente la regi´ on en el plano R = (x, y) : Re(z 2
{
3.
− 2z ) > 0 ∧
1 < z
| − 1| < 2}
a ) Encuentre dos aplicaciones lineales diferentes que mapeen el cuadrado v´ertices 0, 1, 1 + i en el plano z al cuadrado de v´ertices 0, 1 i, 2i, en el plano ω.
−− −
b) Halle la imagen del tri´angulo de v´ertices 0, 1 + i, 2 bajo la aplicaci´ ω = z 2 en el plano complejo. 4.
√
a ) Halle el valor principal de (1 + 3i)3i b) Halle z cuando sin z = cos z
You're Reading a Preview
c ) Use la representaci´ on exponencial de z = cosh ω para probar que 1 − cosh z = ln(z Unlock z 2 full 1)access with a free trial.
± √ −
Download Free Trial 5. Expresar en forma cartesiana el n´ uWith mero complejo
(3e
πi
6
)(2e
5πi 4
−
(4e
)(6e
5πi 3
)
2πi 2 3
)
− i√ 3)(√ 3 + i) = 2 + 2i√ 3 con a ∈ R ∧ 0 ≤< 2π
6. Use la forma polar para demostrar que i(1 7. Calcular z 4 siendo z =
a senα isenα
−
8. Hallar las ra´ıces de z 6 = 8 y localizar en el plano complejo. Sign up to vote on this title
9. Exprese en forma exponencial z = (1
1/i
Not useful ln((1 halle el − i√ 3) yUseful − i√ 3)
10. Exprese en forma polar los siguientes n´ umeros complejos:
).
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a) Escriba el n´ umero complejo en la forma a + ib i530 i81 3 E = 572 43 i i 6
o
| −− 6i3i | 2cis23 2
b) Halle todas las ra´ıces de (2 14.
NúmeroscomplejosSolu www.gratis2.com (1)
693o
1/5
− 2i)
2cis37o 5417 o
, y ub´ıquelas en el c´ırculo unitar
a) Halle tan−1 z , luego determine el valor de ´esta funci´ on para z = 2i. b) Describa gr´ aficamente la regi´ on en el plano R = (x, y) : 1 < z
{
15.
| − 1 − i| < 2 ∧
Im(z 2 ) < 2
a ) Encuentre una ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden tal que c1 cosx + c2senx es una soluci´on. b) Halle la imagen del tri´ angulo de v´ertices 1, i, 1 bajo la aplicaci´on ω en el plano complejo.
−
16. (a) Determine el logaritmo natural de z =
−e i √ (b) Halle el valor principal de w = (1 − i 3) 1/i
17. Demostrar ez You're = e w Reading z w = 2nπi a Preview
∧ n ∈ Z
⇔ −
18. En la ciudad Delta, losUnlock habitantes protegidos por los cyborgs que full access est´ withaanfree trial. ubican en las siguientes posiciones: z 1 = 2 + 4i, z 2 = 6cis30◦ y z 2 = 1 + (1
−
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a) Halle la posici´ on de los cyborgs que se ubican en z 2 y z 3 . b) Cu´anto distan los cybors que estan en z 1 y z 3 ? en Km.
c) Un d´ıa muy temprano el cyborg que esta en z 2 hace un a inspecci´ on en zona 2 Km a la redonda desde su ubicaci´ on . Describa matem´aticamen el a´rea inspeccionada. Sign up to vote on this title
d) Para mejor protecci´ on de la ciudad los cyborgs se reunen y deciden ape Useful 2 Not useful turar una nueva sede en el opuesto de (z 1 z 3 ) . Escriba la posici´o n la nueva sede.
−
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a) Re (1
{ − i) }. √
b) 1
2
c) ( i)−i
−
d) sen−1 2 e) cosh−1 i f) senh−1 (ln( 1))
−
21. Un aeroplano viaja 100 km en la direcci´ on noroeste, 60 km en direcci´on rec o al este, 150 km 30 hacia el sudeste y despu´es, 200 km hacia el noroe Determine anal´ıtica y gr´ aficamente a que distancia y en que direcci´ on est´ de su punto de partida. 22.
− 5√ 3i) b) Obtenga el valor principal de en ( − − ) = −i √ √ b) Halle las ra´ıces cuartas de z = 8+ i 8 y ub´ıquelas en el c´ırculo uni a) Determine el valor de z si ez = (5
2 2i z 3
23. En las siguientes expresiones halle el valor de z . a) (1 b) ez
z
− i) =√ 1. = 1 + i 3
You're Reading a Preview 3
(8cis40 ) full access 24. Halle el valor num´erico Unlock de (2cis60 . with a free trial. )4 ◦ ◦
25. Halle las ra´ıces c´ubicas de (i)2 . With Free Trial Download
26. Halle una ecuaci´ on para un c´ırculo de radio 3 con centro en ( 2, 3) y grafiqu
−
a) [3 ptos] Escriba el n´ umero complejo en la forma a + ib i432 i817 2 4i 2cis383o 2cis397o E = 322 103 Sign up to vote on this title i i 4 + 2i 233 557 Useful Not useful 1−i 1/5 b) [2 pto] Halle todas las ra´ıces de ( √ ) , y ub´ıquelas en el c´ırculo unitar 3+i
| − |
o
o
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a) Escriba el n´ umero 3π 3π ) + isen( ))]3 8 8 π π 10 [2cos( ) + isen( )] 6 6
[8(cos( z = en su forma cartesiana.
b) Halle el valor principal de ( i)1+i
−
16i 1/8 c Halle todas las ra´ıces de ( 1+i ) , y ub´ıquelas en el c´ırculo unitario.
31.
a) Escriba la ecuaci´ on de la Elipse de focos ( 2, 1) y (2, 1) cuyo eje may es 8 unidades.
−
b) Describa gr´ aficamente la regi´ on en el plano R = (x, y) : I m(z 2
{
− 2z ) > 2 ∧
1 < z
| − 1| < 2}
32. Halle todos los valores de z tal que sin z = cos z 33.
√ − − √ a) Use la forma polar para hallar el valor de
(1 i 3)8 ( 1+i)7 10 ) . ( 3+i
√ b) Halle Re{(1 − 3i) } 1+i
You're Reading 1−i 1/5a Preview c Halle todas las ra´ıces de ( √ ) , y ub´ıquelas en el c´ırculo unitario. 3+i Unlock full access with a free trial.
34. Describa gr´ aficamente la regi´ on en el plano
√ R = {(x, y) : I m{1/z } > | 3 − i| ∧ |z − 1| < Re{z } Download With Free Trial
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