73
Unidad 4 : DERIVADAS PARCIALES Tema 4.7 : Multiplicadores de Lagrange (Estudiar la Sección 14.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 18)
Ejemplo ilustrativo Para mostrar gráficamente el concepto de los valores extremos sujetos a restricciones, y para deducir la ecuación básica del método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange ∇ f = λ ∇g , analizaremos los valores extremos de la función f ( x, y ) = 9 − x − y con y sin la restricción 2
2
g ( x, y ) = x + y = 3
Extremos sin restricciones f x
= −2 x = 0
f y
= −2 y = 0
PC (0,0) 2
D = (− 2 )(− 2 ) − (0 ) f xx
Extremo sin restricción f(0,0)=9
Extremo con restricción f(1.5,1.5)=4.5
z
=4>0
= −2
f (0,0 ) = 9 es un máximo y
∇ f ∇g
x x +y =9 ∇ f = λ ∇g
Ejemplo Determine los valores extremos de la función dada sujeta a la restricción especificada. f ( x, y, z ) = x + 3 y + 5 z
f x
= λ g x → 1 = λ (2 x ) L (1)
f y
= λ g y → 3 = λ (2 y ) L (2)
f z
= λ g z → 5 = λ (2 z ) L (3)
;
g ( x, y, z ) = x 2
(1) : (2) (1) : (3)
1
=
3 1 5
=
2
+ y +
λ (2 x ) λ (2 y ) λ (2 x ) λ (2 z )
z2
=1
→ y = 3 x
→ z = 5 x
74
x = x
2
x
2
2
2
+ (3 x ) + (5 x ) = 1 2
+ 9 x + 25 x
2
35
;
± 3 35
y =
; z =
35
± 5 35
35
35 3 35 5 35 35 9 35 25 35 = , , 35 + 35 + 35 35 35 35
=1
2
±1
35
f
35 x = 1
x =
±
=
35
es el valor máximo =
±
35
35 3 35 5 35 = , , 35 35 35
f
35
35
−
35
−
35
9 35 35
−
25 35 35
= − 35
es el valor min imo
Ejemplo Determine las dimensiones de una caja rectangular sin tapa para que su volumen seas máximo, si su área superficial debe tener el valor de 12. V ( x, y, z ) = xyz ; A( x, y, z ) = xy + 2 xz + 2 yz = 12
V x
= λ A x → yz = λ ( y + 2 z ) L (1)
V y
= λ A y → xz = λ ( x + 2 z ) L (2 )
V z
= λ A z → xy = λ (2 x + 2 y ) L (3)
xy + 2 xz + 2 yz = 12 2
x = 2
;
→
x
y = 2
2
=4
;
z
λ ( y + 2 z )
=
λ ( x + 2 z )
→ y ( x + 2 z ) = x( y + 2 z )
xy + 2 yz = xy + 2 xz → 2 yz = 2 xz → y = x
(1) yz : (3) xy
x( x ) + x( x ) + x( x ) = 12 3 x = 12
(1) yz : (2) xz
=
λ ( y + 2 z ) λ (2 x + 2 y )
→ z (2 x + 2 y ) = x ( y + 2 z )
2 xz + 2 yz = xy + 2 xz → 2 yz = xy → 2 z = x =1
Para la próxima clase estudiar las secciones 14.8 Multiplicadores de Lagrange 15.1 Integrales Dobles sobre Rectángulos 15.2 Integrales Iteradas
Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 18 Multiplicadores de Lagrange
75
Ejemplo Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular situada en el primer octante, con tres caras en los planos de coordenadas y un vértice en el plano: x + 2 y + 3 z = 6.
(1) : (2) (1) : (3)
V ( x, y, z ) = xyz g ( x, y , z ) = x + 2 y + 3 z = 6 V x
= λ g x →
V y
= λ g y →
V z
= λ g z →
(1) xz = 2λ (2) xy = 3λ (3) yz = λ
yz
=
→ y =
2λ
xz yz
λ
=
xy
λ
→ z =
3λ
x 2
x 3
x + x + x = 6 → 3 x = 6 , y = 1 , z = 2 3
2 3
V = (2)(1) =
4 3
Ejemplo Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32,000 cm3. Encuentre las dimensiones que hagan mínima la cantidad de cartón utilizado.
A( x, y, z ) = xy + 2 xz + 2 yz V ( x, y, z ) = xyz = 32000 A x
= λ V x →
A y
= λ V y →
A z
= λ V z →
y + 2 z = λ ( yz )
(1) x + 2 z = λ ( xz ) (2) 2 x + 2 y = λ ( xy ) (3)
(1) y + 2 z λ ( yz ) = → y = x : (2) x + 2 z λ ( xz ) (1) y + 2 z λ ( yz ) x = → z = : (3) 2 x + 2 y λ ( xy ) 2 x ( x)( x ) = 32000 →
2
x = 40 , y = 40 , z = 20
Ejemplo. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular con bordes paralelos a los 2
2
2
ejes, que pueda estar inscrita en el elipsoide: 9 x + 36 y + 4 z = 36
V ( x, y, z ) = (2 x )(2 y )(2 z ) = 8 xyz g ( x, y , z ) = 9 x V x
= λ g x →
V y
= λ g y →
V z
= λ g z →
2
2
+ 36 y + 4 z
8 yz = λ (18 x )
2
= 36
(1) 8 xz = λ (72 y ) (2) 8 xy = λ (8 z ) (3)
(1) : (2) (1) : (3)
8 yz
λ (18 x )
=
λ (72 y )
8 xz 8 yz
λ (18 x )
=
λ (8 z )
8 xy
→ y =
→ z =
x 2
3 2
x
x 2 9 x 2 + 4 = 36 9 x + 36 4 4 2
x =
2 3
(
V = 8 2
,
y =
)(
3 1
1 3
)(
3 3
, z =
)
3 = 16
3 3 3
76
Comparación del método normal y el método alternativo f ( x, y , z )
Función a maximizar o minimizar
g ( x, y, x ) = 0
Función de restricción
Método Normal ∇ f = λ ∇g = λ
f x , f y , f z f x , f y , f z
⇒
g x , g y , g z
= λ g x , λ g y , λ g z
f x
= λ g x
f y
= λ g y
f z
= λ g z
g
=0
Método Alternativo L = f − λ g L x
=0
L y
=0
L z
=0
Lλ
=0
⇒
f x
− λ g x = 0
f y
− λ g y = 0
f z
− λ g z = 0
−
g
⇒
=0
f x
= λ g x
f y
= λ g y
f z
= λ g z
g
=0
Ejemplo: Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular situada en el primer octante, con tres caras en los planos de coordenadas y un vértice en el plano: x + 2 y + 3 z = 6. λ = yz
V ( x, y, z ) = xyz
xz = 2 yz
g ( x, y , z ) = x + 2 y + 3 z = 6
xy = 3 yz
L = V − λ g L = xyz − λ ( x + 2 y + 3 z − 6 ) L x
= yz − λ = 0
L y
= xz − 2λ = 0
L z
= xy − 3λ = 0
Lλ
= −( x + 2 y + 3 z − 6 ) = 0
2 yz − xz = 0 3 yz − xy = 0
z (2 y − x ) = 0 y (3 z − x ) = 0
y =
x 2
; z =
x 3
x x x + 2 + 3 = 6 2
3
3 x = 6
x = 2 , y = 1 , z =
2 3
V = (2)(1) =
2 3
4 3
77
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA Tarea No 18 : Multiplicadores de Lagrange (Sección 14.8 del Stewart 5ª Edición)
Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo de la función dada, sujeta a la restricción dada.
P1 :
f ( x, y ) = x g ( x, y ) = x
P2 :
2
− y
2
+ y = 1
2
2
R3 :
2
f ( x, y , z ) = x
2
2
+ 2 y + 3 z
2
+ y + z 4
+ y + z
2
=6
R 4 : máximo
2
2
2
, mínimo
3
−2
3
2
4
R5 :
=1
+ y + z
2
2
+ t = 1
3
máximo
R6 :
f ( x, y, z , t ) = x + y + z + t g ( x, y , z, t ) = x
máximo en f (1,3,5) = 70 mínimo en f (− 1,−3,−5) = −70
= 35
f ( x, y , z ) = xyz
g ( x, y, z ) = x 4
P6 :
2
+ y + z
máximos f (± 2,1) = 4 mínimos f (± 2,−1) = −4
2
f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z
g ( x, y, z ) = x
P5 :
R 2 :
+ 2 y = 6
2
máximos f (± 1,0 ) = 1 mínimos f (0,±1) = −1
2
g ( x, y, z ) = x
P4 :
R1 :
f ( x, y ) = x y g ( x, y ) = x 2
P3 :
2
,
mínimo 1
1 1 1 1 2 2 2 2
máximo f , , , = 2
− 1 − 1 − 1 − 1 , , , = −2 2 2 2 2
mínimo f
