OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS CON LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS CON LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Conference Paper · August 2014

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1 author: Yeiber Edgardo Vides Vidal Corporación Universitaria de la Costa 1 PUBLICATION 0 CITATIONS SEE PROFILE

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Available from: Yeiber Edgardo Vides Vidal Retrieved on: 24 June 2016

OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS L. Anaya, E. Barragán, A. Beltrán, J. Jiménez, M. Santana, Y. De la Hoz, Y. Vides Universidad de la Costa CUC, Facultad de Ingeniería [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected].

RESUMEN: Basados en el teorema de los multiplicadores de Lagrange, el presente documento expone una aplicación del tema para los procesos de optimización referentes a la función de 3 turbinas hidráulicas de una compañía bajo diferentes situaciones por las cuales pueden ser sometidas en la generación de energía. Para la debida realización del paper, se tuvo en cuenta un conjunto de operaciones necesarias adheridas a la propiedad, de manera que se obtuvieran los resultados deseados. Se establecen las respectivas funciones con sus variables y las restricciones como puntos de apoyo y finalmente representar el análisis de los comportamientos de las anteriores.

Teniendo en cuenta el marco de ideas anterior, se va aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange para optimizar la función de 3 turbinas hidroeléctricas de una compañía prestadora de servicios de energía, bajo diferentes situaciones problema que puedan presentarse en las mismas y/o en las que pueda evaluarse la producción de cada una de ella.

2 REFERENTES TEORICOS Turbinas Hidráulicas. La función de una planta hidroeléctrica es utilizar la energía potencial del agua almacenada en un lago, a una elevación más alta y convertirla en energía mecánica y luego en eléctrica. Este proceso toma en consideración varios factores entre los cuales uno de los más importantes es la caída de agua (head). Este factor es decisivo al momento de escoger el tipo de turbina hidráulica que se instala en la planta.

PALABRAS CLAVE: Multiplicadores de Lagrange, optimización, turbinas hidráulicas. ABSTRACT: Based on the theorem Lagrange multipliers, this paper presents an application of the subject to optimization processes concerning the function of three hydraulic turbines of a company under different situations which may be submitted in the generation energy. For the proper performance of the paper, was taken into consideration a set of operations required to property attached, so that the desired results are obtained. The respective roles with their variables and constraints and support points are established and eventually represent the analysis of the behavior of the above. KEYWORDS: Lagrange multipliers, optimization, hydraulic turbines.

Fig. 1. Estructura general de una turbina hidroeléctrica. Tomada de “La energía hidráulica” por Jesús Enrique Mesa Alonso. http://www.vierayclavijo.org/html/paginas/cursos/cursos_ 2003/0307_azores/az_03_05.html

1 INTRODUCCIÓN En la formación de ingenieros, el estudio del cálculo vectorial es fundamental, debido a que ofrece un conjunto de técnicas útiles que hacen parte del análisis real de variables y condiciones asociadas a la observación con los enfoques gráficos, procurando la solución más convincente de los problemas, en este caso, cuando se opera una estación hidroeléctrica se busca generar energía, para ello se tiene el caudal del agua como una variable y depende de las condiciones externas. Emprender el análisis de problemas reales con aplicaciones de métodos matemáticos para resolver, prevalece en la optimización de cualquier proceso que pueda tratarse en este caso las turbinas hidráulicas.

La turbina hidráulica (Fig.1) es la encargada de transformar la energía por esto es de vital importancia saber elegir la adecuada para cada sistema hidroeléctrico. Las turbinas se pueden clasificar de varias maneras estas son:  Según la dirección en que entra el agua: Turbinas axiales: El agua (rojo) entra en el rodete en la dirección del eje.

1

Turbinas radiales: El agua (verde) entra en sentido radial, no obstante el agua puede salir en cualquier dirección.

cerrado, tal que la presión debida a la cabeza de la planta se mantiene sobre el rodete.

Rendimiento de una turbina El rendimiento de un turbina se determina por el cálculo entre el cociente entre la energía producida por la misma y la energía disponible, es por ello que el conocimiento del rendimiento de una central hidroeléctrica, dotada con uno o varios grupos turbinaalternador, se traduce en una mejor explotación de la misma mediante la optimización del aprovechamiento del agua disponible. La expresión que define el rendimiento de la turbina, en porcentaje, es:

Fig. 2. Turbinas axiales y radiales. Tomada de “Estudio teórico experimental de la agitación” por Sonia Ansó, Elena Barge y Stefanie Demming. http://www.unizar.es/dctmf/jblasco/AFTAgitacion/AFT200 40606.htm

( )

 De acuerdo al modo de obrar del agua: Turbinas a chorro o de acción simple o directa: Son aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión importante en su paso a través de rodete.

Donde Pa= potencia en barras del alternador, en kW; δa= pérdidas del alternador, en kW; δv= pérdidas en volantes de inercia, en kW; δc= pérdidas en cojinetes, en kW; δg= pérdidas en engranajes, en kW. ρ= densidad del agua, en kg.m-3; g= aceleración local de la gravedad, en m.s-2; Qt= caudal turbinado, en m3.s-1; Hn= salto neto, en m. [3], [5]

Hasta la mitad del siglo XIX, primero se empleó la denominada rueda tangencial introducida por el ingeniero suizo Zuppinger en 1846, que bajo las formas modificadas de hoy se conoce como rueda Pelton, es importante anotar que son muy eficientes, el rendimiento de las ruedas tangenciales ha llegado hasta 95%.

Teorema de Bernoulli

En la turbina Pelton, el agua tiene una presión muy alta. La válvula de aguja, que se usa para controlar el flujo de agua, deja pasar un chorro de agua que choca con los álabes de la turbina transfiriéndole su energía y haciendo girar la turbina. Esta, a su vez, hace girar un generador que está acoplado al eje de la turbina para producir energía eléctrica, como medida de seguridad se usa una válvula esférica [2], [9] .

En la aplicación de la energía en la hidrodinámica de fluidos (teorema de Bernoulli), nos india que la variación de la energía cinética más la variación de la energía potencial es igual a la variación del trabajo requerido esto es: ( ) ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

Es necesario saber que la fuerza es igual a la presión por el área a la que se ejerce la presión, con esto remplazamos fuerza por P*A (

)

(

)

Sin embargo área por distancia es igual a volumen (

)

(

)

(

Luego dividimos toda la igualdad por volumen Fig. 3. Turbina tipo Pelton. Tomada de: http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/maquinashi draulicas/turbinashidraulicas/turbinashidraulicas.html

( )

( )

( )

( )

Masa sobre volumen es densidad, asi que remplazamos en la ecuación

Turbina de sobrepresión o de reacción: La turbina de reacción actúa por el agua que se mueve a una velocidad relativamente baja, pero bajo presión. El agua llega al cuerpo de la turbina (rodete) a través de un sistema denominado de distribución que es totalmente

( )

( )

( )

( )

Posteriormente los términos iguales pasan de un lado de la igualdad

2

( )

( )

( )

( ) Donde: 3 Flujo que pasa por la turbina i en pies /s Potencia generada por la turbina i en kilowatts 3 Flujo total que pasa por la estación en pies /s

Finalmente las variables generales quedaran igualadas a una constante, es decir, la presión sumara a la densidad y a la velocidad y estas a su vez a la gravedad y a la altura [4], [10], [14] (1)

1.

Si se usan las tres turbinas, se desea determinar el flujo a cada turbina que dé la máxima producción total de energía. Nuestras limitaciones son que los flujos deben sumar el flujo total entrante y las restricciones de dominio anterior deben cumplirse. En consecuencia, utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de los flujos individuales (como funciones de ) que hagan máxima la producción total de energía sujeta a las restricciones y las restricciones de dominio de cada Q.

2.

¿Para qué valores de del lector?

3.

Para un flujo de entrada de 2500 pies /s, determine la distribución a las turbinas y verifique (intentando algunas distribuciones cercanas) que su (el suyo) resultado sea máximo de verdad.

4.

Hasta ahora supusimos que las tres turbinas están operando; ¿es posible, en algunas situaciones, producir más energía usando sólo una turbina? Haga una gráfica de las tres funciones de potencia y úsela para ayudar a 3 determinar si un flujo entrante de 1000 pies /s debe distribuirse a las tres turbinas o llevarse sólo a una. (Si usted determina que debe usarse sólo una turbina, ¿cuál debe ser?)¿Qué 3 pasa si el flujo es de sólo 600 pies /s?

5.

Quizá para algunos niveles de flujo sería ventajoso usar dos turbinas. Si el flujo entrante 3 es de 1500 pies /s, ¿cuáles dos turbinas recomendaría usar? Utilice multiplicadores de Lagrange para determinar cómo debe distribuirse el flujo entre las dos turbinas para hacer máxima la producción de energía. Para este flujo, ¿es más eficiente usar dos turbinas que usar tres?

6.

Si el flujo entrante es de 3400 pies /s ¿qué recomendaría a la compañía?

Fundamento del método de Lagrange. Sean ( ) y ( ) funciones con derivadas parciales continuas. Sea ( ) un punto tal que ( ) ( ) y . Si f alcanza un extremo ) relativo en ( ) sujeto a la condición ( , existe un tal que: [15] ( ) ( ) (2) Para dos o más condiciones de ligadura: Sean ( ), ( ) y ( ) funciones con derivadas parciales continuas. Sea ( ) un punto tal que: (

)

(

)

Suponiendo que ( ) y ( ) son linealmente independientes. Si f alcanza un extremo ) relativo en ( ) sujeto a las condiciones ( ) y ( , existen valores y tales que: [1], [6], [13] (

)

(

)

es válido el resultado

(

)

(3)

2.1 PROBLEMA DE APLICACIÓN La Great Northern Paper Company de Millinocket, Maine, opera una estación generadora hidroeléctrica en el río Penobscot. El agua de una presa se lleva por tuberías a la estación generadora. La razón a la que circula el agua en las tuberías varía, dependiendo de condiciones externas. La estación generadora cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con función de potencia conocida (única), que da la cantidad de energía eléctrica generada como función de la cantidad de agua que llega a la turbina, de modo que el objetivo es determinar cómo distribuir agua entre las turbinas para dar la máxima producción total de energía para cualquier caudal. Usando evidencias experimentales y la ecuación de Bernoulli según Stewart [12], se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina, junto con los flujos permisibles de operación: (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

3

3

3 ANALISIS DE DATOS R// 1. Se desea maximizar la producción total de energía ( ) para un flujo total dado y hallar los flujos de cada turbina en términos de . Se puede decir que es fijo. Para simplificar los cálculos eliminamos el factor constante que posee cada flujo de la siguiente forma:

3

(

)

(

Igualando ③ y②:

)

Nos queda que: (

)

(

)

(

)

Sustituyendo ⑤ y ⑥ en ④:

Sujeto a la restricción ( ) Entonces: (

)

Utilizando Matlab para derivadas de la función ( instrucción diff, se tiene que:

(

) hallar

las primeras ) mediante la

Reemplazando

syms Q1 KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1.^2); diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q2 KW2=(-24.51+0.1358*Q2 -(4.69*10^5)*Q2.^2); diff(KW2) ans = 679/5000 (432576148528489*Q2)/4611686018427387 904 syms Q3 KW3=(-27.02+0.1380*Q3 -(3.84*10^5)*Q3.^2); diff(KW3) ans = 69/500 - (6*Q3)/78125 Simplificando y obtenidos se tiene que:

organizando

los

en ⑤ y ⑥: (

)

(

)

R// 2. Del resultado obtenido en el anterior punto se tiene que los valores de válidos son: Del dominio de cada turbina se tiene que: 





resultados

Obtenidos estos dominios de se concluye que los valores permitidos para el flujo total son de: Igualando la ecuación ① y ②: ⁄ entonces:

R// 3. Si (

) (

(

4

)

)

⁄ ⁄ ⁄

Entonces, simplificando: Realizando los cálculos en Matlab se tiene que: 

>> QT=2500; Q1=0.3411*QT-75.18 Q1 = 777.5700 >> Q2=20.95+0.2967*QT Q2 = 762.7000 >> Q3=0.3624*QT+54.23 Q3 = 960.2300

>> KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW1 = 8.917982835212801e+003 >> KW2=(-24.51+0.1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW2 = 8.285184079840001e+003 >> KW3=(-27.02+0.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW3 = 1.121365448458240e+004 >> KW1+KW2+KW3 ans = 2.841682139963521e+004

Entonces, simplificando:

Obtenidas estas comparaciones se puede decir para ⁄ ⁄ ⁄ se obtiene la producción máxima de energía. que

R// 4. Se graficaron las potencias de las tres turbinas en función de su dominio de admisión del flujo de agua, tomando las . Para esto se utilizó el programa Matlab, y se digitaron los siguientes códigos para trazar la gráfica:

clear, clc; x1=(250:50:1110); y1=(-18.89+0.1277*x1 -(4.08*10^5)*x1.^2); z1=y1.*(170-(1.6*10^-6)*x1.^2); plot (x1,z1); grid on; hold on; y2=(-24.51+0.1358*x1 -(4.69*10^5)*x1.^2); z2=y2.*(170-(1.6*10^-6)*x1.^2); plot (x1,z2,'r'); hold on; x2=(250:50:1225); y3=(-27.02+0.1380*x2 -(3.84*10^5)*x2.^2); z3=y3.*(170-(1.6*10^-6)*x2.^2); plot (x2,z3,'k');

Entonces simplificando se tiene que:

Tomando

:

>> QT=2500; >> Q1=780; >> Q2=765; >> Q3=955; >> KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW2=(-24.51+0.1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW3=(-27.02+0.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW1+KW2+KW3 ans = 2.841143480000001e+004

Luego de reemplazar estos valores en la ecuación de la producción total de energía y utilizando Matlab, se obtiene que:



Tomando

:


5

14000

12000

Energía producida (kW)

10000

8000 Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 6000

4000

2000

0 200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

Flujo de agua (pies 3/s)

Grafica 1. Energía producida de cada turbina, en función del flujo total entrante de agua realizada en Matlab.

>> KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW1 = 2.051596215150592e+003 >> KW2=(-24.51+0.1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW2 = 2.339848719355901e+003 >> KW3=(-27.02+0.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW3 = 4.009510809972738e+003 >>KW1+KW2+KW3 ans = 8.400955744479230e+003

Al observar la gráfica vemos que para un flujo de 3 agua de 1000 pies /s, la Turbina 3 produce la mayor potencia, aproximadamente 12100 kW. Si tomáramos 3 las tres turbinas para el flujo de 1000 pies /s, de los resultados del punto 1 se obtiene que: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Utilizando Matlab se tiene:

Entonces, con estos flujos se obtendría una producción total de energía de . Entonces se puede concluir que para un flujo 3 de 1000 pies /s es mejor utilizar una sola turbina (Turbina 3) ya que produce mayor energía que usando las tres.

>> QT=1000 QT = 1000 >> Q1=0.3411*QT-75.18 Q1 = 2.659200000000000e+002 >> Q2=20.95+0.2967*QT Q2 = 3.176500000000000e+002 >> Q3=0.3624*QT+54.23 Q3 = 4.166300000000000e+002

3

Si el flujo solo es de 600 pies /s no se podrían utilizar las tres turbinas, ya que el flujo mínimo de cada 3 turbina es de 250 pies /s, entonces supondremos utilizar una sola y al observar la gráfica nuevamente vemos que 3 la para un flujo de 600 pies /s, la Turbina 1, produce mayor energía.

6

1200

⁄

R// 5. Al observar la gráfica del punto 4, vemos que 3 a partir de flujos de 450 pies /s, la Turbina 2 produce la menor cantidad de energía, entonces sería 3 recomendable repartir el flujo entrante de 1500 pies /s entre la Turbina 1 y 3. Entonces se desea optimizar la función sujeto a la restricción , ⁄ . pero

De ③: ⁄

⁄ ⁄

Entonces la producción total de energía es: Similar al punto 1: (

)

Si se utilizaran las tres turbinas la producción total de energía sería de: (

) ⁄

Nos queda que: ⁄ (

)

(

)

⁄ ⁄ ⁄ Sujeto a la restricción (

⁄

)

>> QT=1500 QT = 1500 >> Q1=0.3411*QT-75.18 Q2=20.95+0.2967*QT Q3=0.3624*QT+54.23 KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW2=(-24.51+0.1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) KW3=(-27.02+0.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2) Q1 = 4.364700000000000e+002 Q2 = 466 Q3 = 5.978300000000000e+002 KW1 = 4.838008733422594e+003 KW2 = 4.757073751040001e+003 KW3 = 6.948257102299139e+003 >> KW1+KW2+KW3 ans = 1.654333958676173e+004

Entonces: ( ) ( ) Realizando las respectivas derivadas parciales, se tiene que:

syms Q1 KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1.^2); diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q3 KW3=(-27.02+0.1380*Q3 -(3.84*10^5)*Q3.^2); diff(KW3) ans = 69/500 - (6*Q3)/78125 Simplificando e igualando se tiene:

Igualando la ecuación ① y ②:

Entonces para este flujo, sería mejor utilizar dos turbinas (Turbina 1 y 3) que utilizar las 3. R// 6. Observamos del punto 2 que el flujo entrante 3 de 3400 pies /s no está dentro del dominio hallado para el flujo total, así que no se puede trabajar con los anteriores cálculos. Por los dominios de cada turbina, se necesitarán usar las tres turbinas. Si sumamos el flujo máximo de las tres turbinas, resulta un flujo de 3425 3 3 pies /s que es mayor a 3400 pies /s, así que buscaremos cómo distribuir el flujo entrante.

Reemplazando Q1 en ③: ⁄ ⁄

7

⁄ De la Graf. 1 se observa que la Turbina 3 produce mayor energía cuando los flujos son altos, entonces sería recomendable utilizar la Turbina 3 en su máxima 3 capacidad de 1225 pies /s y distribuir el flujo restante entre la Turbina 1 y 2. Al igual que el punto 5 se desea optimizar la función sujeto a la restricción ⁄ . , pero

⁄ De ③: ⁄

Entonces: (

)

(

Se observa que el valor de Q1 supera el flujo máximo permitido para la Turbina 1, pero el resultado significa que el flujo está optimizado, entonces recomendaría a la empresa que utilice al máximo la 3 3 Turbina 1 y 3 con flujos de 1110 pies /s y 1225 pies /s 3 respectivamente, y el flujo restante de 1065 pies /s a la Turbina 2, y así se ha encontrado las distribuciones que optimizan la producción total de energía. Utilizando Matlab se tiene:

)

Nos queda que: (

)

(

)

Sujeto a la restricción (

⁄ ⁄

>> QT=3400 QT = 3400 >> Q3=1225 Q3 = 1225 >> Q1=1110 Q1 = 1110 >> Q2=1065 Q2 = 1065 >> KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW2=(-24.51+0.1358*Q2-(4.69*10^5)*Q2^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW3=(-27.02+0.1380*Q3-(3.84*10^5)*Q3^2)*(170-(1.6*10^-6)*QT^2); >> KW1+KW2+KW3 ans = 3.392404353692001e+004

)

Entonces: ( ) ( ) Realizando las respectivas derivadas parciales, se tiene que:

syms Q1 KW1=(-18.89+0.1277*Q1-(4.08*10^5)*Q1.^2); diff(KW1) ans = 1277/10000 (6021017265658797*Q1)/737869762948382 06464 syms Q2 KW2=(-24.51+0.1358*Q2 -(4.69*10^5)*Q2.^2); diff(KW2) ans = 679/5000 (432576148528489*Q2)/4611686018427387 904

Se obtiene una producción total de energía de .

Simplificando e igualando se tiene: Verificando con distribuciones cercanas ( ).


Igualando la ecuación ① y ②:

Reemplazando Q1 en ③: ⁄

8

[10] R. Mott. Mecanica de fluidos: Interpretación de la ecuación de Bernoulli. S.Helba, Ed México:D.F,2000, pp.157-158 [11] Rodríguez, R. Gráficas con Matlab. Disponible en http://www.mat.ucm.es/~rrdelrio/documentos/rrrescorial200 2.pdf [Consultado: 2/05/2014] [12] Stewart J. Cálculo Multivariable. Cuarta Edición. Ed. International Thomson. Editores. México. 2002. [13] Thomas F. Cálculo Varias Variables. Novena edición. Ed. Addison-Wesley. Iberoamericana. México. 1999. [14] Tippens P. Fisica I. McGraw-Hill Interamericana. México. 1995. Pág. 288-289 [15] Zill, Dennis G. Cálculo de varias variables. Cuarta Edición. Ed. McGraw-Hill. México. 2011.

Obteniendo así una producción total de energía de . Comprobando así que los valores hallados representan la distribución óptima para la mayor producción de energía.

4 CONCLUSIONES. Teóricamente las ecuaciones de potencia que demuestran la resolución de las funciones en el teorema de Lagrange son basadas en un análisis sistemático que determina el manejo de del cálculo en la ingeniería como base de los fundamentos físicos que se generan en los campos derivados de la física en general. Con base en esto, se determinó que el cálculo de las derivadas en las aplicaciones del teorema de lagrange en cada uno de los modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina, basadas en las evidencias experimentales y por la ecuación de Bernoulli, nos ayuda a determinar los comportamientos físicos que se generan en la parte hidroeléctrica como es tal caso, evidentemente se logró calcular la potencia generada por cada turbina obtenidas en cada una de las ecuaciones determinando así el flujo de agua producente de cada turbina. Además es aplicable la lectura y análisis de gráficas para evaluar el comportamiento que se genera físicamente dentro del proceso de manejo de potencia y el evento turbulento, y se logra concluir que la turbina tres genera mucho mayor energía cuando el caudal es mayor a 650 pies3/s y que puede ser utilizada para altos caudales siempre y cuando se tenga en cuenta su máximo dominio de admisión de flujo de agua.

5 REFERENCIAS [1]

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[3]

[4]

[5] [6]

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Amillo J. Funciones de varias variables. (2000). [En línea]. Disponible en [Consultado: 15/04/2014] Anónimo. Turbinas Hidráulicas. [En línea]. Disponible en [Consultado: 15/04/2014] ASEIng. Rendimiento de turbinas hidráulicas. [En línea]. Disponible en [Consultado: 11/05/2014] C. Mataix. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas: Ecuación fundamental de la hidronímica o ecuación de Bernoulli. A. Omega. Ed México: D.F. 2010. pp. 89-92. Domínguez, U. Máquinas Hidráulicas. Editorial Club universitario. España: Alicante. Larson R. Hostetler R. Calculo y geometría analítica. Quinta edición. Vol. 2. Ed. McGraw-Hill. Madrid, España. 1995. Larson R. Cálculo. Octava Edición. Ed. McGraw-Hill. México. 2001. Monsalve I. Centrales Hidráulicas: Turbinas Hidráulicas. [En línea]. Disponible en http://jaibana.udea.edu.co/grupos/centrales/files/capitulo% 204.pdf [Consultado: 15/04/2014] Moore H. MATLAB® para ingenieros. Primera Edición. Ed. Pearson Education Inc. México. 2007.

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OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS CON LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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