CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS. a) Caso de dos variables Sea P ( x0 , y0 ) un punto crítico de la función de Lagrange L ( x, y, λ ) , obtenido para un valor concreto λ = λ 0 . Formamos la función de Lagrange para ese λ = λ0 , L ( x, y, λ0 ) = f ( x, y ) + λ0 g ( x , y )
Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos: (a‐1) Método de la diferencial segunda (a‐ El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para λ = λ 0 )
∂ 2 L 2 ∂2 L ∂2L 2 d L ( x0 , y0 , λ 0 ) = 2 dx + 2 dxdy + 2 dy ∂ x ∂x∂y ∂y a condición de que: g x dx + g y dy = 0 2
Si d 2 L > 0 la función tiene un mínimo condicionado, y si d 2 L < 0 la función tiene un máximo condicionado. (a‐‐2) Método del Hessiano (a Hallamos el Hessiano de la función de Lagrange L ( x, y, λ0 ) = f ( x, y ) + λ 0 g ( x, y ) , f xx ( x0, y0 )
En el punto crítico correspondiente, y sólo
podemos concluir en el caso de que sea positivo. ⎡ L xx ( x0 , y0 ) D ( x0 , y0 ) = ⎢ ⎣ L yx ( x0 , y0 )
Lxy ( x0 , y 0 ) ⎤
⎪⎧ Lxx ( x0 , y0 ) >→ Hay mí nim o condicional ⎥ >0⇒ ⎨ Lyy ( x0 , y 0 ) ⎦ ⎪⎩ Lxx ( x0 , y0 ) < 0 → Hay má ximo condicional Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo lo da Hay máximo condicional f xx ( x0 , y0 ) ; si es negativa máximo y si es positiva mínimo).
En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método) b) Caso de tres o más variables (caso general). Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en
