LABORATORIO Nº1 MOMENTO DE INERCIA 1. OBJETIVOS • Medir el momento de inercia de un cuerpo. • Comprobar el teorema de los ejes paralelos.
2. ASPECTO TEÓRICO Se denomina momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro. El momento de inercia expresala forma como la masa del cuerpo está distribuida con respecto al eje de rotación y, por tanto, su valor depende del eje alrededor del cual gire el cuerpo. Un mismo cuerpo tiene diferentes momentos de inercia, uno por cada eje de rotación que se considere. 3. PROCEDIMIENTO Se trabaja con el montaje indicado en la figura 1. La cuerda está enrollada en el cilindro giratorio de radio r, que está integrado a la cruceta debajo de ella, pasa por un sistema de poleas y es tensionada por las pesas. La tensión en la cuerda produce un momento de fuerza sobre el cilindro que lo hace girar. La masa m (porta pesas) se encuentra inicialmente a una altura h del piso y se deja caer. Cuando m se mueve hacia el piso la energía potencial gravitacional que pierde, se transforma en energía cinética de rotación de lacruceta y en su propia energía cinética de traslación, es decir: mgh=12Iω2+12 mv2(1.13)
Donde v1 es la velocidad de la masa m al llegar al piso, I es el momento de inercia de la cruceta y w la velocidad angular de la cruceta en el instante que m toca el piso. V1 es la misma velocidad tangencial dela cuerda en el cilindro giratorio cuando su velocidadangular es w y por tanto v1=wr. Figura 1. Montaje para medir Momentos de Inercia Entonces la ecuación 1.13, se puede escribir así: mgh=12Iv2r2+12 mv12 Por otra parte, si t es el tiempo que demora m en llegar al piso se tiene que: h=12 mv12yv=at Y Siendo a la aceleración de la masa m, de donde reemplazando y despejando I, se obtiene: I=mr2gt22h-1(1.14)
O sea, que para medir el momento de inercia de un cuerpo se debe, con base en el montaje de la figura 1.12, medir la altura h desde donde cae m, el tiempo que demora en llegar al suelo, el radio del cilindro giratorio y reemplazar estos valores en la ecuación (+). 4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Fotografía 1. Práctica momento de inercia • Se realizó el montaje indicado en la figura 1. (Fotografía 1). La cruceta queda nivelada yla cuerda
totalmente contenida en un plano vertical. • Se puso una masa (m) manten iendo la cruceta quieta. Posteriormente se soltó la cruceta y se dejó caer la masa (m) a través de la altura (h=75 cm≈ 0,75 m)
hasta el piso, esta altura permanece constante a través del procedimiento. Se midió el tiempoque demora la masa m en llegar al suelo. También se midió el radio del cilindro giratorio (r= 2,55 cm ≈ 0,0255 m).
Con losvalores obtenidos se calcula el momento de inercia de la cruceta aplicando la ecuación 1.14. (Ver tabla 1). • Se repite la operación anterior 5 veces con masas dife rentes y se calcula el valor promedio
del
momento de inercia de la cruceta (ver tabla 1). • Se colocó el disco sobre la cruceta y con las masas variables de m se repiten las
operacionesdescritas en los numerales anteriores. Aquí se calcula el momento de inercia del conjunto cruceta+ disco. Con este resultado se calculó el valor del momento de inercia del disco (ver tabla1) • Se colocó el anillo disponiéndose de un sistema cruceta + disco + anillo. Igualmente
secalculó el momento de inercia del conjunto cruceta, disco y anillo. Así se obtuvo el valorexperimental del momento de inercia del anillo. • Se dispuso de los dos cilindros que se dan para la práctica, dentro del anillo, en
posicionesdiametralmente opuestas y se repitieron las operaciones anteriores. Se calculó el momento deinercia del conjunto cruceta, disco, anillo y cilindros. Así se obtuvo el valor experimentaldel momento de inercia de los dos cilindros. • Se midieron las dimensiones y las masas de los elementos utilizados: disco, anillo y cilindro
y conlas fórmulas dadas en la tabla 1.1 se calculó el valor teórico de sus respectivos momentos deinercia. • Se analizaron los posibles errores que se presentan en la práctica y se calcula su valor
porcentual.
5. DATOS EXPERIMENTALES: Masa del cilindro = 1550 g Disco = 3558 g Anillo = 3893 g Cilindro de la cruceta ∅=5.1
cm
gancho 49.4 g m1=147.4 g m2=149.7 g m3=99.8 g m4=97.8 g m5=149.1 g 6.1. Momento de inercia de la cruceta: Tabla [ 1 ]. Cálculos Momentos de Inercia de la Cruceta. 6.2.1. Prueba para la determinación de datos anómalos o aberrantes. Como los errores obtenidos en las pruebas experimentales (laboratorios) pueden ser tan amplios, esto debido a muchos factores asociados con la incertidumbre de cada instrumento, el error humano, la inexperiencia, etc. Se establece (arbitrariamente) que para validar un dato se calcula la desviación estándar (sin el dato evaluado) y posteriormente se establece un rango de la media de la serie (sin el dato) más o menos tres veces la desviación estándar (σ). Mediante esta prueba se establece que el dato obtenido en el pesaje de la masa dos (m2) es anómalo pues es más alto que el promedio más tres veces la desviación estándar; por lo tanto se rechaza esta dato y no se tiene en cuenta para el cálculo de la incercia promedio del cilindro más cruceta. Tabla [ 2 ]. Determinación de datos anómalos 6.2. Momento de Inercia del Disco Tabla [ 3 ]. Momento de Inercia del Disco Tabla [ 4 ]. Prueba de datos anónalos
6.3. Momento de Inercia del Anillo Tabla [ 5 ]. Momento de Inercia del Anillo Tabla [ 6 ]. Prueba de datos anómalos 6.4. Momento de Inercia de los dos Cilindros Tabla [ 7 ]. Momento de Inercia dos cilindros Tabla [ 8 ]. Prueba de datos anómalos 6. PREGUNTAS* ¿Cómo se obtiene el valor del momento de inercia de un solo cilindro? ¿El momento de inercia obtenido para un solo cilindro es con respecto a su propio eje? Si l a respuesta es negativa, ¿Cómo se calcula el momento de inercia del cilindro alrededor de su propio eje? Sugerencia: se aplica el teorema de los ejes paralelos. R/ El momento de inercia de cada cilindro se calcula como si girara sobre su propio eje paralelo al eje central. * Uno de los errores que se presentan en la práctica es el correspondiente a la fuerza de rozamiento. Hay rozamiento en las poleas, en el cilindro giratorio y en el eje de rotación de la cruceta. ¿Cómo se puede calcular o minimizar esto? R/ El error originado por el rozamiento se puede calcular conociendo el coeficiente de rozamiento de los materiales utilizados durante la prueba e integrados a los resultados obtenidos. Una forma de pretender disminuir este error es utilizar elementos (poleas, cilindros giratorios y ejes de rotación) de materiales especiales con bajo coeficiente de rozamiento. * Otro error en este experimento se refiere a la elasticidad de la cuerda. ¿Cómo se puede medir este error? R/ Este error se puede calcular experimentalmente de la misma manera que se determina el coeficiente de elasticidad de un resorte (K) que es afectado por la masa que se suspenda y la gravedad. Así, en una prueba aparte se colocan varias masas de pesos conocidos suspendidos por la cuerdaestudiada y se mide milimétricamente la elongación que presente la laja. * Dado que la ecuación 1.14 permite hallar el momento de inercia y es válida para cualquier v alor de m, ¿Es conveniente utilizar masas grandes o masas pequeñas? Justifíquese la respuesta. I=mr2gt22h-1 R/ Es conveniente utilizar masas pequeñas debido a que estas son directamente proporcionales a la inercia, y al utilizar masas grandes la velocidad aumenta y los tiempos se vuelven más cortos aumentando la dificultad en la medición. 7. CONCLUSIONES * Se podría disminuir el error de medición si se aumentara la altura, ya que proporcionalmente aumentarían las fracciones de tiempo medidas.
* Conociendo la masa y el radio de un cuerpo que gire se puede conocer su momento de inercia. * Un elemento de radio y masa conocido, así no esté colocado en un centro de gravedad se le puede determinar su momento de inercia. * Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como las fuerzas de rozamiento, factor humano, falta de familiaridad con los equipos, incertidumbre de los elementos, etc. que aunque parecen despreciables sin embargo incidieron notablemente en los resultados.
3. INTRODUCCIÓN En el siguiente laboratorio se estudiara el momento de inercia de cada uno de los objetos: araña, disco y aro, que se propusieron para esta práctica. Se mostrara y comparara los resultados experimentales y teóricos, dándonos una visión de los que es el momento de inercia de objeto.
4. OBJETIVOS - Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de traslación de una partícula y la rotación del cuerpo rígido. - Analizar dicho sistema mecánico a partir de las leyes dinámicas de traslación y rotación, o alternativamente, del principio de conservación de la energía. - Interiorizar el concepto de inercia rotacional. - Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de cuerpos. - Reconocer el carácter aditivo del momento de inercia y verificar el teorema de ejes paralelos.
5. MARCO TEÓRICO
EL MOMENTO DE INERCIA (Moment of inertia, "MOI") es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede rescribir para la rotación:
F = Ma
F = fuerza M = masa a = aceleración lineal
T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional) SELECCIÓN DE LA POSICIÓN DE LOS EJES DE REFERENCIA
Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el Cg y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia de la forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado
"Teorema de los ejes paralelos".
Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos, ya que la masa sólo puede ser positiva.
CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA El MOI (a veces llamado el segundo momento),de una masa puntual, alrededor de un eje es:
I = Mr² donde:
I = MOI (slug ft² u otras unidades de masa longitud) M = masa del elemento (slug u otra unidad de masa) R = distancia de la masa puntual al eje de referencia.
Para varias masas puntuales o una masa distribuida. La definición general es:
FÓRMULA BÁSICA - RADIO DE GIRO El momento de inercia de cualquier objeto, puede ser expresado por la fórmula:
I = M k² donde:
I = momento de inercia M = masa (slug u otra unidad de masa dimensionalmente correcta) k = longitud (radio de giro) (ft)
La distancia (k) se llama radio de giro y se refiere a la distribución de masas.
Ejemplo, considérese un cuerpo consistente en dos masas puntuales de masa M / 2, separadas una distancia de 2 r. El eje de referencia pasa a través del punto medio (Cg). Las masas tiene cada una un MOI de M r² / 2. Su MOI combinado es M r². El segundo ejemplo muestra un tubo fino de radio r. Por simetría, el Cg cae sobre el eje central. De nuevo, la masa está localizada a una distancia r del eje de referencia, así que el MOI es Mr².
DEFINICIÓN: "El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del Cg, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el Cg."
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Si en el ejemplo anterior hubiésemos querido determinar el MOI del objeto alrededor del eje Xa en lugar de alrededor del eje X, que pasa por el Cg, entonces, el valor puede determinarse usando el teorema de los ejes paralelos : Ia = I + d² M Como I = k² M, entonces Ia = M (d² + k²)
El teorema de los ejes paralelos, se usa frecuentemente al calcular el MOI de un cohete u otro dispositivo aeroespacial. Primero se mide o se calcula alrededor del eje que pasa por el Cg, el MOI de cada componente del cohete, y el teorema de los ejes paralelos se usa para determinar el MOI total del vehículo con estos componentes montados en el lugar apropiado. "d" es la distancia del Cg del componente a la línea central del cohete. 4. o o o o o o o o o
Araña. Polea con su soporte. Juego de pesas. Cuerda. Diferentes sólidos (aro, disco) Cronómetro. Balanza electrónica Regla. Pie de Rey.
6. 1. El sistema de la figura 1, iniciamos con la araña sola y se pone en rotación alrededor de eje O O ’ por la tensión de la cuerda sobre el tambor de radio ro. Después hace lo mismo en todos los sólidos (Cilindro, aro, disco...) 2. Con el pie de rey mide el radio ro del tambor de la araña. 3. En el mismo procedimiento, mide el radio ro de cada sólido. 4. Usamos este formula I = mro2 [ (gt2/2h) - 1] para calcula M omento de I nerci a de la Ar añ a I 0 . Sin colocar todavía ninguno de los sólidos sobre la araña cuelgue de la cuerda una masa m de 200 g. Después suelte la masa desde una altura h previamente escogida y mida el tiempo de caída, mismo procedimiento repite 5 veces. 5. Repite el procedimiento 4 para cada sólido y con diferente masa m, el mismo medida de tiempo para la misma altura h. 6. Anotamos sus resultados en la tabla 1 y hallamos sus M omento de I nercia de los sóli dos .
7. Para hallar momento de inercia de los sólidos debemos reemplazando los datos a este formula para obtiene el momento inercia de los sólidos I = mro2 [ (gt2/2h) - 1].
Se obtiene el momento de inercia I del conjunto araña + sólido: I = Is + Io.
Y anotamos todos los resultados en la tabla 3.
7. PROCEDIMIENTO : 8. DATOS Y RESULTADOS En el Anexo se encuentra Tabla n.1 ro = radio-araña rd = radio-disco ra r= radio-aro ha = altura-araña ha = altura-araña hd = altura-disco ha r= altura aro ma = masa-araña md = masa-disco ma r= masa-aro It = momento inercia-teórico Ie = momento inercia-experimental Ia = momento inercia-araña Id = momento inercia-disco Ia r = momento inercia-aro
Para hallar los momentos de inercia
Donde:
M = masa del objeto que cuelga T = tiempo en que se demora en caer la masa que cuelga H = altura en que se puso el cuerpo que cuelga G = aceleración de la gravedad en Cali
G = 977cm/s2 La ecuación que utilizaremos para calcular el porcentaje de error será:
MOMENTO INERCIA DE LA ARAÑA I 0 :
= 27684.23 g cm2
MOMENTO INERCIA DEL DISCO:
= 267843.14 g cm2
rd =12.5 cm
MOMENTO INERCIA DE EL ARO I A:
8. En esta parte del informe se mostrara las principales causas de variabilidad del sistema. Al analizar los resultados descubrimos que entre ellos hay una inexactitud causado por: -Tiempo de reacción del operario -Falta de coordinación del operario -Imprecisión en el proceso de medida (altura, radios) -Ubicación de la araña respecto a la polea 9. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS 1. ¿Qué tan diferentes resultaron las medidas de sus momentos de inercia?. (¿Cuál es el cociente entre los dos resultados?). ¿Por qué?.
Respuesta: La diferencia que se obtuvo es bastante grande ya que:
2. El disco y el aro tienen aproximadamente la misma masa. ¿Por qué?
Respuesta: Aunque en esta practica no hicimos este proceso, suponemos que esta situación el momento de inercia es el doble, ya que este depende directamente de la masa y al ser figuras iguales la relación es exactamente el doble. 3. ¿El momento de inercia del sistema de dos cilindros es igual al doble del momento Inercia de un solo cilindro?
Respuesta: ARO Incertidumbre valor experimental Variable de influencia
Componente de incertidumbre
(Nombre de la variable) Difícil lectura de la s divisiones de la regla Ubicación de la araña respecto a la polea Deformación de la cuerda
( Valor estimado)
Incertidumbre combinada Variable de influencia
Componente de incertidumbre
(Nombre de la variable) Estimación del tiempo Coordinación de los operarios Tiempo de reacción de los operarios Incertidumbre combinada Variable de influencia (Nombre de la variable) Inexactitud en la toma de la medida
( Valor estimado)
Componente de incertidumbre ( Valor estimado)
Incertidumbre combinada Incertidumbre del valor convencionalmente verdadero Variable de influencia
Componente de incertidumbre
(Nombre de la variable) Inexactitud en la toma de la medida
( Valor estimado)
Incertidumbre combinada Variable de influencia (Nombre de la variable) Difícil lectura de las divisiones del pie de rey Dificultad en el posicionamiento del pie de rey
Componente de incertidumbre ( Valor estimado)
Incertidumbre combinada Las incertidumbres halladas en los valores obtenidos experimentalmente y el valor convencionalmente verdadero esconde el valor hallado ya que las estimaciones de las posibles fuentes de error como los instrumentos de medida son considerablemente menores al obtenido, tomando en cuenta las operaciones realizadas en el proceso de solución 4. Al menos para uno de los sólidos, determine la incertidumbre del valor experimental de su momento de inercia y la incertidumbre del valor convencion almente verdadero que le corresponde. Diga sí estas incertidumbres "esconden" el error obtenido 6.8. 5. Observe cada error obtenido en 6.8 y trate de justificar su signo basándose en las características del montaje experimental.
Respuesta: Suponemos que el error porcentual obtenido en cada medida tiene un signo positivo es decir el valor original se vería afectado aumentándose a razón del error porcentual obtenido. Concluimos ya que la mayoría de fuentes de error como la medición del tiempo se ven afectadas de tal forma que el valor verdadero es aumentado al medirlo, esta situación es semejante al medir la masa y la longitud. Al realizar él calculo de la Inercia rotacional se realiza operaciones matemáticas que pueden disminuir el factor de cambio del valor real; a pesar de esto pensamos que el valor verdadero es afectado por el error en todos los casos experimentados de tal forma que este es aumentado. 10. PREGUNTAS 11. CONCLUSIONES o
o
o
o
Se logro determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas similares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momento del aro porque su masa esta distribuida en el borde la circunferencia Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como las fuerzas de rozamiento que aunque eran despreciables incidieron en los resultados. Se pudieron comparar dos métodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por medio de la relación de sus radios y sus masas y usando la araña Se puede concluir que entre mas alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su inercia. Esto se ve en los resultados obtenidos con el aro, mucho mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares
8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Física general con experimentos sencillos. Beatriz Alvarenga, Antonio Máximo. Editorial Harla, México. 1979, 1980, 1981 Guía de laboratorio FÍSICA I. Luis Alfredo Rodríguez Villegas Mauricio, Ramírez Ricardo, investiguemos 10, Voluntad, Bogota 1989 centros6.pntic.mec.es/cea.pablo.guzman www.goggle.com m (g)
h (cm)
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
t4 (s)
t5 (s)
tprom.
Araña
200
77.5
1.66
1.73
1.83
1.74
1.80
1.75
Disco Aro
700 700
71.6 71.6
2.71 3.60
2.75 3.75
2.84 3.68
2.68 3.59
2.80 3.76
2.75 3.67
CUERPO
Tabla 1.
(s)
M ( g ) SÓLIDO Disco Aro
R1 (cm) R2 (cm)
4591 4602
12.5 12.5
11.1
Presentado por:
Nathalia Guevara Maria Carolina Ortiz Carolina Ospina 5. LISTA DE MATERIALES EMPLEADOS
