Momento de Inercia de Figuras Compuestas

Momento de inercia de figuras compuestas

Conocimiento de Materiales

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Momento de inercia de figuras compuestas Radio de giro

Si consideramos una área  A que tiene un momento de inercia I X  con respecto al eje  x (figura 34a) y consideramos que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje  x  (figura 34b), esta área deberá tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x , y deberá colocarse a una distancia k  x desde el eje  x , donde k  x  estará definida por la relación: I X  = k  x 2 A (Beer et al., 2010, p. 476).

Figura 34: Radio de giro

Fuente: Beer et al., 2010, p. 476.

Despejando k  se obtiene: k  x = √ (I X  / A) Donde k  x  es el radio de giro de la figura con respecto al eje  x . Análogamente, se pueden describir los giros para k y  y k o y tomar las figuras 34c y 34d como referencia. k y = √ (IY / A) k o= √ (JO / A)

Este último radio de giro es el momento polar de inercia que veremos más adelante. Momento de segundo orden con respecto a ejes de un mismo origen

Como muestra la figura 35a, tenemos un cuerpo de masa m, un sistema de coordenadas rectangulares OXYZ, cuyo origen está en el punto arbitrario O y un sistema de ejes centroidales paralelos (un sistema cuyo origen está en el centro de gravedad G del cuerpo) denominado GX´Y´Z´, paralelos al anterior. x z  las coordenadas de G con respecto a Representando con y OXYZ, se escriben las siguientes relaciones entre las coordenadas x y z del elemento dm con respecto a OXYZ y las coordenadas x´ y´ z´ de dicho elemento con respecto a los ejes centroidales GX´Y´Z:

 x  = x´ + ̅

y  = y´ + 

z = z´ + ̅ (Beer et al., 2010, p. 476)

Figura 35: Momento de segundo orden respecto a ejes de un mismo origen

Fuente: Beer et al., 2010, p. 514.

Por otro lado, el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en términos de las coordenadas  x , y  y z  del elemento de masa dm. Por ejemplo, puede deducirse que el cuadrado de la distancia r  (figura 35b), desde el elemento dm hasta el eje y, es igual az 2 + x2 (Beer et al., 2010). Luego de algunos pasos de integración, obtenemos: I X =  ̅X´+ m (2+̅ 2)

Análogamente, se pueden obtener también: IY =  ̅Y´ + m (̅ 2+̅ 2) I Z =  ̅Z´ + m (̅ 2+2) Se puede verificar que la suma ( ̅ 2+̅ 2) representa el cuadrado de la distancia OB  entre los ejes y  e y´ . También, (2+̅ 2) y (̅ 2+2) representan, respectivamente, los cuadrados de la distancia entre los ejes x y x´   y entre los ejes z y z´ . Por lo tanto, representando con d   la distancia entre un eje arbitrario  AA´   y un eje centroidal paralelo BB´ (figura 35c) se puede escribir la siguiente relación general entre el momento de inercia I del cuerpo con respecto a  AA´  y su momento de inercia   ̅ con respecto a BB´ : I =   ̅ + md 2 (Beer et al., 2010, p. 476).

Ejes principales de inercia

Si consideramos, en la figura 36, el área  A  y los ejes coordenados  x  e y , y consideramos que los momentos y el producto de inercia están definidos, tenemos: I X = ∫() 2dA

IY = ∫()  2dA

I XY =∫()dA

A la última integral se la denomina producto de inercia. Se desea determinar los momentos y el producto de inercia I X´, I Y´ e IX´Y´ de A con respecto a nuevos ejes x´ e y´ que se obtienen rotando los ejes originales alrededor del origen a través de un ánguloθ  (Beer et al., 2010, p. 498). “

”

Luego de un desarrollo matemático, las ecuaciones resultantes son los que se presentan en la figura 37.

Figura 36: Sistema de coordenadas vs ejes principales de inercia

Fuente: Beer et al., 2010, p. 498.

Figura 37: Ecuaciones de los ejes principales de inercia

Fuente: Beer et al., 2010, p 499.

Estas ecuaciones de la figura son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Seleccionando un conjunto de ejes rectangulares y graficando un punto, para cualquier valor del parámetro   se obtendrá un círculo (Beer et al., 2010).

Figura 38: Ecuaciones paramétricas del círculo

Fuente: Beer et al., 2010, p. 499.

Luego de reformular, se llega a las ecuaciones de la figura 38, que no es más que la ecuación de un círculo de radio R que tiene su centro en el punto C cuyas coordenadas x e y son I prom y 0, respectivamente (Beer et al., 2010, p. 498). “

”

R2= (I X  - I prom)2+ I2 X´Y´

Figura 39: Círculo dado por la ecuación paramétrica

Fuente: Beer et al., 2010, p. 500.

Los dos puntos A y B donde el círculo antes mencionado interseca el eje horizontal son muy importantes: el punto A corresponde al máximo valor del momento de inercia I X´  mientras que el punto B corresponde al mínimo valor para dicha cantidad. Además, ambos puntos corresponden a un valor de cero para el producto de inercia I X´Y´ . Entonces, reordenando, se escribe: tan 2 m= - [2I XY /(I X  - IY )] Esta ecuación define dos valores de 2  m que están separados 180° y, por lo tanto, dos valores m que están separados 90°. Uno de estos valores corresponde al punto A en la figura 39 y también corresponde a un eje a través de O en la figura 36 con respecto al cual el momento de inercia del área dada es máximo, el otro valor corresponde al punto B y a un eje a través de O con respecto al cual el momento de inercia del área es mínimo. (Beer et al., 2010, p. 500)

Circunferencia de Mohr

La utilidad de esta demostración radica en que si se conocen los momentos y productos de inercia de un área  A respecto a dos ejes rectangulares  x e y   que pasan por un punto O, mediante una representación gráfica se pueden hallar los ejes y momentos principales de inercia con respecto al eje original, como así también de cualquier otro eje que consideremos (Beer et al., 2010).

Figura 40: Circunferencia de Mohr

Fuente: Beer et al., 2010, p. 507.

Consideremos un área dada A y dos ejes coordenados rectangulares x  e y  (figura 40a) y que los momentos de inercia I X  e IY   y el producto de inercia I XY   son conocidos y estarán representados en un diagrama al graficar un punto  X  de coordenadas I X  e I XY  y un punto Y de coordenadas IY  y I XY (figura 40b).

Si ahora unimos con una recta X  e Y  se representa con C  el punto de intersección de la línea  XY con el eje horizontal y se traza un círculo cuyo centro sea C   y su diámetro  XY , podrá verse que la abscisa de C  y el radio del círculo son iguales, respectivamente, a las cantidades Iprom y R (figura 40b). El círculo así generado es el círculo de Mohr para ese punto. (Beer et al., 2010, p. 506).

¿El punto A es el momento de inercia Imáx  del área? ¿Cuál es el punto que representa el Imín del área?

Momentos de inercia de figuras compuestas

En la siguiente tabla, se muestran los momentos de inercia de algunas formas comunes. Siempre podrá obtenerse el momento de inercia de una figura compleja descomponiéndola en figuras simples y calculando por separado cada momento de inercia, para luego sumarlos. Como en el caso de las áreas, el radio de giro de un cuerpo compuesto no se puede obtener sumando los radios de giro de las partes que lo constituyen. (Beer et al., 2010, p. 516)

Tabla 4: Momentos de inercia de masa de formas geométricas comunes

Fuente: Beer et al., 2010, p. 517.

Equilibrio de cuerpos vinculados Sistemas planos vinculados. Grados de libertad del punto En los capítulos anteriores analizamos el cuerpo sólido libre, sujeto a la acción de fuerzas. En la realidad, no es concebible un cuerpo rígido en estado de reposo sin que se halle vinculado a tierra, sea en forma directa o por intermedio de otro cuerpo rígido; tales cuerpos se denominan vinculados.

Grados de libertad del punto

Los grados de libertad de un sistema de puntos materiales es el número de coordenadas libres que posee ese punto, de modo tal que le permita realizar movimiento. Un punto material en el plano necesita de un par ordenado ( x 1,y 1) para que su ubicación quede definida y permanezca inmóvil. Por lo tanto, un punto material en el plano tiene dos grados de libertad (uno en el eje x  y otro en el eje y ).

Chapa. Concepto. Grados de libertad. Corrimientos finitos e infinitésimos. Restricción de los grados de libertad. Vínculos. Reacciones compatibles. Distintos casos de vinculación de una chapa. Isostáticos, hipostáticos e hiperestáticos. Equilibrio de chapas vinculadas. Cálculo de reacciones. Problemas estáticamente determinados e indeterminados Chapa. Concepto

La mayor parte de los elementos estructurales utilizados en construcciones son de una configuración tal que admiten un plano de simetría, es decir que las sustentaciones, las fuerzas exteriores y, por lo tanto, las resultantes actúan todas en un plano de simetría. Se puede reemplazar al cuerpo rígido por un sistema plano de puntos materiales que se denomina chapa.

Grados de libertad

Una chapa posee tantos grados de libertad como número de coordenadas libres. Las coordenadas libres permiten algún tipo de movimiento en algún eje. Como puede verse en la figura 41, una chapa en el plano posee tres grados de libertad por tener tres coordenadas libres.

Figura 41: Grados de libertad

Fuente: Piatti, 2011, p. 1.

Corrimientos finitos e infinitésimos

Los desplazamientos finitos o infinitésimos a los que una chapa puede estar expuesta son los de rotación o los de traslación.

La rotación consiste en que todos los puntos de la chapa se desplacen sobre arcos de circunferencia de centro común, denominado polo o centro de rotación. La traslación consiste en que todos los puntos de la chapa se desplacen en una misma dirección. Otra manera de definir la traslación es como una rotación en torno a un polo infinitamente lejano. Dicho de otra manera: todo desplazamiento de una chapa en su plano es una rotación en torno a un polo, ya sea p róximo o no. (Piatti, 2011, p. 2). Un corrimiento infinitésimo es un desplazamiento de los puntos de la chapa tan pequeño como pueda imaginarlo. Este concepto es fundamental para numerosas teorías de estática que involucran derivadas e integrales, que no son objeto de este curso. Por otro lado, un corrimiento finito es aquel que es visible y que comúnmente posee una distancia determinada. La figura 42a es un ejemplo de movimiento finito. La figura 42b, de corrimiento infinitésimo. En estas rotaciones infinitesimales, los corrimientos de la chapa resultan normales a las rectas, determinados por los puntos y el polo de rotación. En este caso, la cuerda AA´ , el arco AA´  y la tangente AA´´ se confunden.

Figura 42: Vínculos

Fuente: Piatti, 2011, p. 2.

Restricción de los grados de libertad

Aprendimos que cada punto tiene dos grados de libertad y que dos puntos independientes entre sí tienen cuatro. Las restricciones de los grados de libertad

comienzan cuando a estos dos puntos los vinculamos (veremos más adelante la definición de vínculos) con un elemento rígido. Este elemento es externo y define una distancia constante y una restricción o limitación de movimientos, al conjunto.

Vínculos. Reacciones compatibles

El vínculo es una imposición geométrica que limite la posibilidad de movimiento de un cuerpo. Cada punto fijo que le imponíamos al sistema en el apartado anterior era un vínculo que agregábamos al sistema. El vínculo limita al movimiento. El vínculo es un elemento físico, real, capaz de generar magnitudes estáticas correspondientes con las magnitudes elásticas que impide. En otras palabras, al sistema activo generado por las cargas, se lo equilibrará con un sistema reactivo generado por las reacciones de vínculos.

Distintos casos de vinculación de una chapa. Isostáticos, hipostáticos e hiperestáticos

Existen dos tipos de magnitudes bien definidas y diferenciadas: las magnitudes elásticas (desplazamientos y rotación) y las estáticas (fuerza y momento). La magnitud elástica que el vínculo impide o la magnitud estática que genera se conocen como el grado de ese vínculo. El orden de los vínculos se corresponde con los grados de libertad que limitan o impiden. Un vínculo de grado uno limita un grado de libertad, un vínculo de grados dos limita dos grados de libertad y así sucesivamente. 1. Vínculos de primer grado: se elimina una de las dos magnitudes elásticas mediante una fuerza. El cuerpo aún puede tener desplazamiento en una dirección paralela, plano de deslizamiento y en giros alrededor de la articulación. a) Apoyo simple Restringe sólo 1 movimiento de traslación.

Figura 43: Apoyo simple

Fuente: Papajorge, 2013, p. 4.

b) Empotramiento libre: Restringe el movimiento de rotación (momento).

Figura 44: Empotramiento libre

Fuente: Papajorge, 2013, p. 5.

2. Vínculos de segundo grado: se eliminan las dos magnitudes elásticas. El cuerpo aún tiene un grado de libertad disponible. El único movimiento que le queda a la chapa es girar alrededor de un punto fijado. a) Apoyo doble: Restringe dos movimientos de traslación.

Figura 45: Apoyo doble

Fuente: Papajorge, 2013, p. 5.

b) Otro ejemplo es el de la figura 46, que impide un momento y una fuerza, dejando 1 grado de libertad (en X).

Figura 46: Vínculo de segundo grado genérico

Fuente: Papajorge, 2013, p. 6.

3. Vínculos de tercer grado: se eliminan los tres grados de libertad disponibles, el desplazamiento en los ejes y el giro. c) Empotramiento: Impide tres grados de libertad: dos fuerzas y un momento.

Figura 47: Empotramiento

Fuente: Papajorge, 2013, p. 7.

Vale aclarar que los vínculos estudiados hasta el momento son vínculos externos o absolutos. Como sabemos, una chapa tiene, en el plano, tres grados de libertad y para determinar la cantidad de vínculos necesarios, se procede a quitarle a la chapa todo tipo de movimientos. Esto significa anular todas las coordenadas libres y que la sumatoria de fuerzas de los ejes  x , y , z, así como la sumatoria de momentos en los ejes x , y , z deberán ser cero. De un modo más técnico, cuando las estructuras tienen tantos vínculos que le suprimen tantos grados de libertad como los que posee la chapa, están isostáticamente vinculadas o sustentadas y poseerán, en el sistema de ecuaciones, el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Cuando las estructuras tienen menos ecuaciones disponibles que incógnitas a resolver, están hiperestáticamente vinculadas. En este tipo de estructuras, las ecuaciones

de la estática son insuficientes para resolver las incógnitas, por lo que el número de ecuaciones faltantes serán aportadas por la teoría de la elasticidad. Existen casos, también, de estructuras hiperestáticamente vinculadas. Estas tienen más vínculos de los necesarios, para eliminar los grados de libertad. Equilibrio de chapas vinculadas. Cálculo de reacciones

Hemos explicado que una estructura deberá tener un mínimo de vinculación, de manera que pueda equilibrar cualquier tipo de carga que actúe sobre la ella. También hemos definido que una chapa en el plano posee tres grados de libertad y que, para determinar la mínima cantidad de vínculos necesarios, debemos eliminar dichos grados de libertad y asegurarnos que, a través de esos vínculos, pueda generarse un sistema reactivo de fuerzas capaz de anular el sistema activo. Conociendo la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura, es decir, la resultante del sistema activo, deberá originarse, a través de los vínculos, una resultante del sistema reactivo que tenga igual magnitud, dirección y recta de acción que la del sistema activo, pero en sentido opuesto, para que la estructura se encuentre en equilibrio. El concepto que se manifiesta en este punto es el principio de acción-reacción de fuerzas.

Problemas estáticamente determinados e indeterminados

La principal función de la mecánica es la determinación de fuerzas internas que afectan los procesos de construcción. La idea es evitar todas las fuerzas no deseadas. El problema y la solución serán muy distintas si la estructura está estáticamente determinada (isostática) o indeterminada (hiperestática).

Si todas las fuerzas internas en la construcción referente a la determinación y al esquema de cálculo adoptado, pueden ser determinadas solo con las ecuaciones de la estática, sin el estudio del estado de deformación de la construcción, entonces tales problemas se denominan estáticamente determinados o isostáticos. Pero, si todas las fuerzas internas en la construcción, o parte de ellas, no pueden ser determinadas solo con las ecuaciones de la estática, y para determinarlas se exige e l estudio del estado de deformación del sistema, entonces, tales problemas se denominan estáticamente indeterminados o hiperestáticos. En los problemas isostáticos, las fuerzas internas, cuya determinación se efectúa únicamente con las ecuaciones de equilibrio, no dependen de las dimensiones transversales, de la

forma y del material de los elementos estructurales por separado. En los problemas hiperestáticos, las fuerzas internas, cuya determinación está ligada con el estudio del estado de deformación del sistema, al depender este de las dimensiones, forma y material de los elementos por separado, dependen también de las dimensiones, de la forma de las secciones transversales y del material de los elementos estructurales por separado. (Recuperado de: http://documents.mx/documents/sistemasestaticamente-determinados.html)

Bibliografía de referencias Beer, F., Russel Jhonston, R., Mazurek, D., y Eisenberg, E. (2010). Mecánica vectorial

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