Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar
TEMA 01
ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS
ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN La trigonometría en sus inicios se utilizó para resolver problemas de astronomía y navegación, por eso se le llamó la ciencia de la medida indirecta. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo alrededor de su origen. Según la rotación del rayo el sentido de un ángulo puede ser: • Antihorario: ángulo positivo. • Horario: ángulo negativo.
α
β
Sentido de “ α ” POSITIVO Sentido de “ β ” NEGATIVO ÁNGULOS COTERMINALES. Dos o más ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Su diferencia es un número entero de vueltas.
= β − α k (360º ), k ∈ Z
α
β
La medición de ángulos en áreas como la cartografía o la navegación se hace en grados sexagesimales, pero en análisis científicos como los movimientos ondulatorios de los cuerpos, se utiliza el sistema radial para medir ángulos. El SISTEMA RADIAL O CIRCULAR tiene como unidad de medida el radián (rad), definido como la medida del ángulo que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.
Al dividir la longitud de cualquier circunferencia (L) por la longitud de su diámetro (D) se obtiene el número irracional π , expresando esta relación en función del radio se tiene:
π=
L L = D 2r
De resultas que el ángulo de una vuelta (una circunferencia) mide 2 π radianes. Por tanto el sistema radial divide el ángulo de una vuelta en 2 x 3,1416 = 6,2832 partes aproximadamente, cada una de ellas llamada radián. Pero ¿Cuánto mide un radián? Antes de responder a esta pregunta, se analizará el caso general. Sean S y R las medidas del mismo ángulo en grados sexagesimales y radianes, respectivamente, estableciendo una proporción con respecto al ángulo de una vuelta:
S R = 360 2π A partir de ello se obtienen los algoritmos de conversión: De radianes a grados sexagesimales S = De grados sexagesimales a radianes R =
180R
π πS 180
Como caso práctico se hallará la medida de un radián:
1 rad =
180(1)
π
≈ 57,3º
LONGITUD DE ARCO: Es la medida en unidades de longitud, del arco correspondiente a un ángulo central medido en radianes.
Esto permite establecer la siguiente regla de tres simple
1 rad → r θ rad → L
Despejando L = θ r
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR: Estableciendo la proporcionalidad en una regla de tres simple. Si para un ángulo de 2 π radianes corresponde el área de un círculo, entonces para un ángulo de θ radianes corresponde un área A .
2π rad → π r 2 θ rad → A Luego A =
θ r2 2
EJERCICIOS RESUELTOS 1
Si α = 125º , ¿cuáles son los ángulos coterminales con α que cumplen: ser el menor positivo y el mayor negativo? Solución: El menor ángulo positivo coterminal con α será: 125º+360º=485º, y el mayor ángulo negativo coterminal con α será: 125º - 360º= -235º
2
Convertir 108º a radianes.
Solución: Usando equivalencias o factores de conversión
108º
3
π rad 3π = rad 180º 5
Convertir
2π rad a grados sexagesimales 5
Solución: Usando equivalencias o factores de conversión
2π º180 rad = 72º 5π rad
4
Convertir 11º15’ a radianes. Solución: Primero se convierten los 15’ a grados usando la equivalencia
1º 1 = 15' 15'= 0,= 25º º 60 ' 4 Luego:
45º π 1 π rad 11º15' = 11º + º = = rad 4 180º 16 4 5
Un arco mide 2,25 m y pertenece a un círculo de radio 1,8 m. Calcula el ángulo central en radianes. Solución: Puesto que L = θ R , se tiene reemplazando 2, 25 = θ (1,8) , de donde:
θ= 6
2, 25 5 = = 1, 25 rad. 1,8 4
Hallar el área de un sector circular sabiendo que el radio mide 10 m y el ángulo central es de 72º
72º π 2 = π rad 180º 5 2π 2 10 θ r2 La fórmula para el área del sector circular es= S = 5 = 20π m2. 2 2
Solución: Convirtiendo el ángulo a radianes= 72º
7
La figura muestra dos semicircunferencias de diámetros AM y NB, así como
y dos arcos MN AB de centro común O y ángulo central θ = 60º. Calcular el perímetro y el área de la región sombreada.
60º π π rad = 180º 3
Solución: Convirtiendo el ángulo a radianes= 60º
El perímetro de la figura es L = L + L + L + L AM
MN
NB
AB
juntos forman una circunferencia de diámetro 6 cm (r Los arcos AM y NB =3). Así: L = L + L = 2π (3) = 6π cm AM
NB
π
π
(6) 2π y = L (12) 4π . = = MN AB 3 3 L = 6π + 2π + 4π = 12π
L =
Luego
el
perímetro
es
El área está formada por dos semicírculos más el área del trapecio circular AMNB, el cual a su vez es la diferencia del sector circular mayor menos el menor.
π
Así A =π (3) 2 + 3
8.
122 2
π
−3
6 2
2
=9π + 18π =27π
Una camioneta está viajando a una velocidad de 65 mph. Sus llantas tienen un diámetro externo de 30,56 pulgadas. Encuentra el ángulo que gira una llanta en 10 segundos.
Solución: Al aparecer la noción del tiempo se trata de velocidades, la velocidad lineal es la distancia recorrida por unidad de tiempo, similarmente la velocidad angular es el ángulo girado por unidad de tiempo ( ω = problema, puesto que se sabe que L = θ R , dividiendo por el tiempo
L θ mi θ = R ↔ 65 = (15, 28 pulg) t t h t Efectuando las conversiones necesarias: 1 milla = 5280 pies 1 pie = 12 pulgadas
65
mi mi 1h 1min 5280pies pies =65 . . . ≈ 95,333 h h 60min 60seg 1mi seg
θ t
). En el
15,28 pulg=15,28 pulg
1 pie ≈ 1,27 pie 12 pulg
Luego reemplazando en la ecuación y despejando
pies θ = (1,27 pie)=(1,27pie)ω seg t 95,333 75,07 se obtiene la velocidad angular , entonces, para 10 seg, = ω = 1,27seg seg 95,333
θ = ωt ↔ θ = 75, 07(10) ≈ 751 , es el ángulo en radianes pedido.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
Completar la tabla que expresa en cada fila la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y radial S
R
15º 30º 45º 75º 120º
S
36º 1º 270º 12π / 5 3π / 8 12π / 5 32π / 9
135º
R
π/5 1 2π / 5 2π / 3
27’ 81’’ 72º54’
2
Expresar en radianes cada uno de los ángulos siguientes: a) 135º, b) 25º30’, c) 42º24’35’’
3
Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes:
4
Las medidas en radianes de los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si el menor de los ángulos mide 8/27 de la medida del mayor, halla la medida de los cuatro ángulos en grados sexagesimales y en radianes.
5
Determina en cada caso, el valor de θ en radianes.
a) 3π / 5 rad, b) 5π / 9 rad, c) 2 / 5 rad, d) 4 / 3 rad
a)
b)
θ θ
3π
θ
θ
θ
rad 10
114º
θ
c)
θ
l1 4
π rad
l2
9
2 π. 3
6
Encuentra un ángulo positivo y uno negativo que sean coterminales con
7
Encuentra la longitud de un arco de una circunferencia de radio 5 cm asociada con un ángulo de π /3 radianes.
8
Los radios de las ruedas de una bicicleta son de 40 cm y 1 m respectivamente. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de 1840 π radianes.
9
Se tiene un sector circular de radio “r” y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?
10 Una rueda gira a razón de 48 rpm (revoluciones por minuto o rev / min). Expresar esta velocidad angular en a) rev / seg. b) rad /min, c) rad / seg. 11 Un ángulo central determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 30 cm de radio. Expresar el ángulo central en radianes y en grados sexagesimales. 12 Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio hay que utilizar si la vía tiene que cambiar su dirección en 25º en un recorrido de 120 m? 13 La distancia entre dos ciudades situadas en un mismo meridiano es de 270 km. Encontrar su diferencia de latitud. 14 Dada la circunferencia de 24 pulgadas de radio, encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de a) 2/3 rad, b) 3π / 5 rad , c) 75º, d) 130º. 15 Una circunferencia tiene un radio de 30 pulgadas. ¿Cuántos radianes mide un ángulo central subtendido por un arco de a) 30 pul, b) 20 pul, c) 50 pul? 16 Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo central de a) 1 rad, b) 2/3 rad, c) 3 rad, d) 20º, e) 50º. 17 El extremo de un péndulo de 40 cm de longitud describe un arco de 5 cm. ¿Cuál es el ángulo de oscilación del péndulo?
18 Un tramo de una vía férrea curvilínea está formado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20º con un radio de 2500 pies, y el segundo corresponde a un ángulo central de 25º con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de los dos arcos. 19 Un tramo de carretera está formada por tres arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 18 km y un ángulo central de 40º, el segundo tiene un radio de 36 km y un ángulo central de
5 π rad y el tercero tiene un radio de 21 km y 18
un ángulo central de 45º. Halla la longitud total del tramo de carretera. 20 La llanta de un vehículo tiene un diámetro externo de 24,877 pulgadas. Encuentra el ángulo en radianes que la llanta habrá girado cuando ha recorrido una milla.
TEMA 02
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Los valores de las razones trigonométricas (Rt) para un ángulo agudo se pueden interpretar como cocientes de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, por tanto ellas sólo dependen de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo, ya que los cocientes son iguales por proporcionalidad. En la figura se muestra un triángulo rectángulo recto en C, en el que se indican las longitudes de los lados del triángulo con las letras a, b y c. Luego, para el ángulo A se definen las siguientes razones trigonométricas: B
c
a
C
A
b Razón trigonométrica Seno Coseno Tangente Cotangente Secante cosecante
Definición
cateto opuesto a = hipotenusa c cateto adyacente b Cos A = = hipotenusa c cateto opuesto a Tan A = = cateto adyacente b cateto adyacente b Cot A = = cateto opuesto a hipotenusa c Sec A = = cateto adyacente b hipotenusa c Csc A = = cateto opuesto a Sen A =
Existe una relación entre las razones seno y cosecante, coseno y secante, y tangente y cotangente, estas parejas son RAZONES RECÍPROCAS, de donde:
sen A.csc A = 1 cos A.sec A = 1 tan A.cot A = 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. En el triángulo rectángulo mostrado arriba, los ángulos A y B son complementarios. Se observa que algunas razones trigonométricas relativas al ángulo B coinciden con algunas relativas a su ángulo complementario A, a las que se llamarán co-razones trigonométricas (co-Rt). Por ejemplo
b senB= =cosA c La misma observación es aplicable a las parejas tangente-cotangente y secantecosecante. La Rt de un ángulo es igual a la correspondiente co-Rt de su complemento.
sen15º = cos 75º csc10º = sec80º tan
π 6
= cot
π 3
ÁNGULO DE ELEVACIÓN. Es el ángulo agudo formado por la línea horizontal (LH) y la línea visual (LV) que sale del ojo del observador cuando el objeto está por encima de él. ÁNGULO DE DEPRESIÓN. Es el ángulo agudo formado por la línea horizontal (LH) y la línea visual (LV) cuando el objeto observado está debajo de él.
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Si α es un ángulo agudo y senα = 0, 6 , calcula las demás razones trigonométricas de dicho ángulo. Solución: En vista de que 0, 6 =
3 por proporcionalidad se tiene siguiente 5
triángulo rectángulo
5k
3k
4k De donde las demás razones trigonométricas serán:
cos α =
4 3 4 5 5 , tanα = , cot α = , sec α = , csc α = 5 4 3 4 3
2) En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que tan A=2. Calcula las demás razones trigonométricas del ángulo A. Solución: Del siguiente triángulo rectángulo
A 5k
1k
C
2k
B
Se obtienen las demás razones trigonométricas:
cosA =
3)
5 2 5 1 5 , senA = , cotA = , secA = 5, cscA = 5 5 2 2
Si se cumple que cos(7 x 2 + 3) sec(25 x − 9) − 1 = 0 , hallar x Solución: De la condición cos(7 x 2 + 3) sec(25 x − 9) = 1 Puesto que son razones recíprocas se tiene
7 x 2 + 3= 25 x − 9 7 x 2 − 25 x + 12 = 0 (7 x − 4)( x − 3) = 0 4 ∨ x= 3 x= 7 4) Si tan(2 x + 15) tan 51º = 1 , hallar el valor de x. Solución: De la condición
tan(2 x + 15) tan 51º = 1 1 tan(2 x + 15) = = cot 51 tan 51
Por ser co-razones se tiene
90 − 51 = 2 x + 15 2 x = 24 x = 12
5) Sabiendo que
sen(2 x − y ) csc 70º = 1 calcular x e y tan( x + y ) = cot 40º
Solución: La primera es una relación entre razones recíprocas y la segunda entre razones complementarias, lo que conduce al sistema
2x − y = 70 x+ y = 50
Resolviendo por eliminación 3 x= 120 ↔ x= 40 , de donde y = 10 6) Determina las 3 razones trigonométricas directas (sen, cos, tan) y sus inversas del ángulo B de un triángulo ABC, recto en C, sabiendo que a=3b Solución: Con respecto al ángulo B, por convención se tiene
b cateto opuesto a cateto adyacente c hipotenusa
c= a 2 + b 2 =
32 + 12 =
,
luego
tanB=
b 1 = , a 3
de
donde
10
Las razones directas son: senB =
1 3 1 , cosB= , tanB= 3 10 10
Y sus inversas (recíprocas) son: cotB=3, secB=
7) Simplifica la siguiente expresión C =
10 , cscB= 10 3
cos 20º cot 31º tan 45º sen70º tan 59º
Solución:
= C
cos 20º cot 31º sen70º tan 59º = = 1 tan 45º sen70º tan 59º (1) sen70º tan 59º
8) Se corta un árbol a 3 m del piso y al caer, la parte superior de este árbol forma con la superficie del piso un ángulo α . Si cos α = 0,4; calcular la altura del árbol. Solución: De los datos, puesto que 0,4 = 2/5 se forma el triángulo rectángulo
5k
3
2k
Por el teorema de Pitágoras: 32 + ( 2k = k ) (5k )2 ⇒= 2
Luego, 5k =
21 7
21 + 5 21 5 21 , por tanto la altura del árbol es 3 + 5k = m 7 7
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sabiendo que senx =
3 , calcula sec x 3
2) Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, dados a=2, c=2 5 3) Si cot( x + 10)= tan( x + 40) , halla un valor de x. 4) Completa la siguiente tabla: (Se sugiere construir triángulos notables)
sen cos tan cot sec csc
30º 1/2
60º
45º
37º
53º
1/2
5/4 5/4
*Los ángulos de 37º y 53º no son notables, pero los valores de sus razones trigonométricas son muy aproximados a los obtenidos a partir de un triángulo rectángulo de lados 3k, 4k y 5k 5) Determina el valor de cada expresión a) sen30º + tan 45º b)
sen60º − tan 30º sen 45º
c)
2 sen60º +1 tan 45º − tan 60º
d)
cos 2 30º.sec 2 45º 1 − sen53º
e)
csc 45º (tan 60º +1) cot 30º −1
6) Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, halla en cada caso las razones que faltan si:
4 13 b) tanC=1 17 c) cscA= 15 3 d) senA= 2
a) senA=
7) Determina el valor de θ en cada caso: a) csc(3θ − 20º ).cos(95º −2θ ) = 1 b) cos θ = sen 2θ
1 csc(2θ − 36º )
c) sen(θ − 10º ) =
8) Sabiendo que sen x=m, halla tan x 9) Si A es agudo y sen A=2x/3, determínense los valores de las otras funciones. 10) Si A es un ángulo agudo: a) ¿Por qué sen A<1? b) ¿Cuándo sen A= cos A? c) ¿Por qué sen A< csc A? d) ¿Por qué sen A < tan A? e) ¿Cuándo sen A < cos A? f) ¿Cuándo tan A > 1? 11) De la figura, calcular= K Tanα + Tanβ
B
α
4
D
5 A
β
C 4 5
12) Del gráfico calcular = K SecA − TanA
5x + 1
x −1
5x
A
13) Calcular x e y si:
Tan(2 x + 3 y )Cot (5 x + y − 6) = 1 x+ y = 27 14) En un triángulo rectángulo, el perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de sus ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de la hipotenusa. 15) Pepe se encuentra al frente de un poste y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º, se aproxima 5 m y vuelve a observar la parte alta pero ahora con un ángulo de elevación de 45º. ¿A qué distancia del poste estaba la primera vez? 16) Un fotógrafo aéreo que trabaja para una compañía de bienes raíces ha determinado a partir de la experiencia que la mejor foto a un caserío es tomada a una altura de aproximadamente 475 pies y una distancia de 850 pies del conjunto habitacional. ¿Cuál es el ángulo de depresión desde el aeroplano a las casas? 17) En un triángulo ABC, recto en B, AB=3 y BC= 1-tan A. Calcular tan A. 18) Una torre está situada en un terreno llano directamente al norte del punto A y al oeste de un punto B. La distancia entre los puntos A y B es de c metros. Si los ángulos de elevación del extremo superior de la torre medidos desde A y B, son α y β respectivamente, encontrar la altura h de la torre. 19) En la figura se muestra un cubo de 2m de arista donde M es el punto medio de la arista AB. Calcular el valor de E =
H
G
E
F
θ D A
C M
B
20) Cuál es mayor y por qué: a) ¿sen 55º o cos 55º? b) ¿sen 40º o cos 40º? c) ¿tan 15º o cot 15º? d) ¿ sec55º o csc 55º ?
sen3θ cos θ tan 2 θ + 1
TEMA 03
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal. Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto ( x, y ) tal que x 2 + y 2 = 1.
Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:
Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x . El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número. Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.
El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2π la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2π + x radianes son idénticos. Se puede definir ahora el seno de x como el seno del ángulo de x radianes.
Esta definición se extiende primero al intervalo [ -π ;0 ) de la forma siguiente:
= Cosx Cos = (- x) Senx -Sen(- x) Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica. Las figuras siguientes muestran esta extensión.
Las funciones seno y coseno son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:
-1 ≤ cos x ≤ 1, -1 ≤ senx ≤ 1 ∀ x ∈ El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:
tan x =
cos x 1 1 senx , cot ag = , sec x , cos ecx = = cos x cos x senx senx
En Resumen:
Función Seno
Análisis del Grafico
π 3π 0, 2 2 ,2π y . a) Es creciente en los intervalos π 3π 2, 2 . Es decreciente en el intervalo b) Dominio: {R} Recorrido:
{y ∈ ℜ / − 1 ≤ y ≤ 1}
c) Intersección con el eje X en el origen, en π y en 2 π . Intersección con el eje Y en el origen. d) Amplitud: 1. e)
Periodo: 2π .
f)
Fase: 0. Función Coseno
Análisis del Grafico a) Es creciente en el intervalo. [π ,2π ] Es decreciente en el intervalo. [0, π ] b) Dominio: {R}. Recorrido: {y ∈ ℜ / − 1 ≤ y ≤ 1}.
3π c) Intersección con el eje X en el punto 2 y en el punto 2 Intersección con en el eje Y en el punto (0,1) d) Amplitud: 1.
π
e) Período: 2π . π
f)
Fase: 2
Función Tangente
Análisis del Grafico a) Es creciente en todos los intervalos.
π π 3π 3π ≺ x ≤ 2π x ∈ ℜ / 0 ≤ x ≺ ∪ x ∈ ℜ / ≺ x ≺ ∪ x ∈ ℜ / 2 2 2 2 .
b) Dominio: Recorrido: {R}.
c) Intersección con el eje X en el origen, en π y en 2π . Intersección con el eje Y en el origen.
d) Amplitud: No se ve una amplitud clara. e)
Período: π
f)
Fase: Indefinido.
Función Secante
Análisis del Grafico
π π 0, 2 2 ,π y . a) Es creciente en los intervalos 3π 3π π , 2 2 ,2π y . Es decreciente en los intervalos π π 3π 3π ≺ x ≤ 2π x ∈ ℜ / 0 ≤ x ≺ ∪ x ∈ ℜ / ≺ x ≺ ∪ x ∈ ℜ / 2 2 2 2 . b) Dominio: Recorrido: {y ∈ ℜ / − 1 ≥ x ≥ 1}.
c) Intersección con el eje X, no hay.
Intersección con el eje Y en el punto (0,1)
d) Amplitud: (No tiene una amplitud definida). e)
Periodo: π .
f)
Fase:
π 2
.
Función Cosecante
Análisis del Grafico
π 3π ,π π , a) Es creciente en los intervalos 2 y 2 . π 3π 0, 2 2 ,2π y . Es decreciente en los intervalos b) Dominio: {x ∈ ℜ / 0 ≺ x ≺ π } ∪ {x ∈ ℜ / π ≺ x ≺ 2π }. c)
Recorrido: {y ∈ ℜ / − 1 ≥ x ≥ 1}.
No hay intersección, ni en los ejes ni en el origen. d) Amplitud: No esta definida en el gráfico. e) Periodo: π . f)
Fase: No esta definida en el gráfico
Función Cotangente
Análisis del Grafico a) Es decreciente en todos los intervalos. b) Dominio: {x ∈ ℜ / 0 ≺ x ≺ π } ∪ {x ∈ ℜ / π ≺ x ≺ 2π } . Recorrido: {R}.
π 2
3π 2
c) Intersección con el eje X en el origen, en y en Eje Y, no hay intersección. d) Amplitud: (No tiene una amplitud definida). e)
Período: π .
f)
Fase: No esta definida.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Cuál es el valor máximo y cuál el mínimo de las variaciones del seno y coseno? Solución: es 1 y -1 respectivamente. 2. ¿Cómo explica que tan 90º no existe?
tgx = senx / cos x
Solución:
x = 90º
si
= tg 90º sen = 90º / cos90º 1 / 0
lo cuál se considera infinito. 3. En el cuarto cuadrante, indique las funciones trigonométricas crecientes y decrecientes. Solución: En el cuarto cuadrante, son: Crecientes
: Seno, Coseno y Tangente;
y son
Decrecientes: Cotangente, Secante y Cosecante.
4. La ecuación trigonométrica y = 1 + Sen ( x ) , está graficada en:
a)
b) y
y
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2 x
x
-21p/11 -14p/11
-7p/11
7p/11
-2
-2
-4
-4
-6
-6
c)
d) y
y
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2 x
x
-21p/11 -14p/11
-7p/11
7p/11
-21p/11 -14p/11
-7p/11
7p/11
-2
-2
-4
-4
-6
-6
Solución: Recordamos la función Sen ( x ) : y
f(x)=sin(x)
5
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
Recordamos además que su extensión(léase rango), es de -1 a 1, lo que indica que la extensión de la función y = 1 + Sen ( x ) es de 0 a 2, es decir:
-1 ≤ senx ≤ 1 1 + (-1) ≤ 1 + senx ≤ 1 + 1 0 ≤ 1 + senx ≤ 2 De esto observamos que la gráfica debe desplazarse exactamente una unidad en el eje y hacia arriba, lo que nos indica que la gráfica es la correspondiente a “b)”.
5. Hallar el área de la región sombreada
a)
3 2 π 16
Solución:
b)
2 π 3
c)
2 π 3
d) 3
3 π 5
e)
3 3 π 5
como, necesitamos conocer en que ángulo menor que
x=
reconocemos que esto es verdadero en
π 4
;
π 2 π - ⋅ 4 2 El área de la región sombreada es :
f ( x) = 6 sen 2 (2 x + a)
π
b)
4
π
c) π
2
2
; senx = cos x;
Así que :
es decir :
2
6. Calcular el periodo de la función:
π
π 8
3 2 π 16
)+5
d) 2π
e) 4π
Solución: Para calcular el periodo (T) aplicamos la siguiente propiedad: Si:
f ( x) = a + b ( FT ) ( Kx + θ ) n
T FT ( x ) = ↔ n : par T 2K Se cumple: T FT ( x ) ↔ n : impar T= K Siendo: a, b, K y θ números reales Aplicamos en = f ( x) 6 sen 2 (2 x +
T=
π 8
)+5
T ( Sen ( x ) ) 2π = 2⋅2 4
→ T=
π 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el periodo de la función
f ( x) = sen3x + cos a) 3 π
b) π /3
c) 6 π
x 2
d) 2 π
e) 4 π
2. Calcular el periodo de la función.
f(x) = sen3x + cos a) 3 π
b) π /3
c) 6 π
x 2
d) 2 π e) 4 π
3. Siendo “Df” y “Rf” dominio y rango de una función “f”. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: I.
II.
III.
x 2 Dom ( f ) ∈ R; y Ran ( f ) ∈ [-1;1] f ( x) = sen
x ( x) 3 Dom ( f ) ∈ R; y Ran ( f ) ∈ [-7;7 ] f
= 7cos
= f ( x ) cos 2 x + 4 Dom ( f ) Ran ( f )
Dom ( f ) ∈ R; y a) VFV
Ran ( f ) ∈ [ 4;5]
b) VFF
c) FFF
d) VVV
e) FFV
4. Determinar el rango de la función
f= ( x) tan x + cot x a) [ −2; 2]
b) − 2;2
c) − 2;2 − {0}
[
e) − ∞,−2 ∪ 2, + ∞
d) − ∞,−2 ∪ 2,+∞ 5. De la siguiente función
f ( x ) = 1 + 5sen ( 2 x ) “A” es la amplitud y “T” el periodo, simplificar la expresión:
Aπ + T Aπ + T a) 1
b) 2
c) 3/2
6. Hallar el dominio de la función.
f ( x) = cos x -1 a) = x nπ ↔ n ∈ Ζ b) nπ ≤ x ≤ 2nπ ↔ n ∈ Ζ c) nπ < x < 2nπ ↔ n ∈ Z d) = x 2nπ ↔ n ∈ Z e) x= (2n + 1)π ↔ n ∈ Z
d) ½
e) ¼
7. Determinar el rango de la función:
= f ( x) cos 2 x - 6cos x + 2 a) [− 1;1]
b) [− 4;6]
c) [− 3;9]
d) [− 6;9]
e) [− 3;6]
8. Determinar el rango de la función:
f ( x) = 1 + Senx + Sen 2 x 3
a) ;3 4
b) [1;3]
c) [− 1;3]
d) 1;3
e) [0;3]
9. Si “Ran(f)” es el rango de la función: f ( x) = 2sen3x -1 y “Ran(g)” es el rango de la función: g ( x) = 3cos 4 x -1 Indicar: Ran ( f ) ∩ Ran ( g ) a) [ −1;3]
b) [− 4;2]
c) [− 3;1]
[
d) − 1; 3
e) [− 1; 2]
10. Indicar el rango de la función:
3π 3π x = - ; x ∈ π ; f ( x) sec 2 4 2 a) −1; 2
[
b) 1; 2
c) 1; 2
]
d) − 2 ;−1
e) 1; 2
11. Indicar el rango de la función:
π
= f ( x) 3 - 2cos(4 x + ) 4 a) − ∞;+∞ d)
− ∞; − 1] ∪ [1; + ∞
b) − ∞; − 1] e) − ∞; − 5] ∪ [1; + ∞
[
c) − ∞;1] ∪ 5; + ∞
TEMA 04
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE
ÁNGULO EN POSICION NORMAL Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las abscisas.
θ
ÁNGULO CUADRANTAL, es aquel que está en posición normal y cuyo lado final coincide con uno de los semiejes coordenados. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sean α un ángulo en posición normal, P(x; y) un punto diferente de (0; 0) en el lado terminal y la distancia= r x 2 + y 2 de P al origen, llamada radio vector de P. Las razones trigonométricas del ángulo α no cuadrantal en función de la abscisa, la ordenada y el radio vector son
= senα
ordenada y = radiovector r
= cosα
abscisa x = radiovector r
= tanα
ordenada y = abscisa x
= cotα
abscisa x = ordenada y
= secα
radiovector r = abscisa x
= cscα
radiovector r = ordenada y
De acuerdo con esto se deducen los signos de las razones trigonométricas según el cuadrante al que pertenezcan I sen + cos + tan + Cot + Sec + csc +
II + +
III + + -
IV + + -
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA, es aquella cuyo radio es 1 y cuyo centro coincide con el origen de coordenadas
Puesto que las razones trigonométricas no dependen de la longitud de los lados, y sólo dependen del ángulo, las razones trigonométricas en la circunferencia unitaria o trigonométrica tienen esta sencilla representación para un ángulo en posición normal no cuadrantal.
senα =
tanα=
y x
y =y 1
cosα=
x =x 1
cotα=
x y
cscα=
1 y
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS: Son segmentos de recta trazados en una circunferencia trigonométrica, los cuales nos representan las razones trigonométricas.
La línea seno es el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco hasta el eje X. Trazando la línea seno para diferentes ángulos, podemos observar las variaciones del seno en cada cuadrante. La línea coseno es el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco hasta el eje Y. Trazando la línea coseno para diferentes ángulos, podemos observar las variaciones del coseno en cada cuadrante. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE, se llama así al proceso mediante el cual se expresa una razón trigonométrica de un ángulo cualquiera en términos de otra razón equivalente de un ángulo agudo. ÁNGULOS DE REFERENCIA de una rotación es el ángulo agudo que forma su lado terminal con el eje x . II cuadrante
I cuadrante
y
y
θ
α
α
x
0
x
0
θ
α 180º −θ =
α =θ
III cuadrante
IV cuadrante
y
θ
α
θ 0
α= θ − 180º
x
α
= α 360º −θ
Ejemplo: Determina el ángulo de referencia para los siguientes ángulos a) 120º, solución 180º-120º = 60º b) 230º, solución 230º-180º = 50º c) 305º, solución 360º-305º = 55º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS USANDO ÁNGULOS DE REFERENCIA a) Menores que una vuelta. La siguiente tabla muestra dos formas equivalentes de representar un ángulo θ dependiendo del cuadrante donde se encuentre su lado terminal. En la primera forma, se utiliza un ángulo de referencia α , y en la segunda, un ángulo β formado por el lado terminal con el eje Y Ángulo a reducir
θ ∈ II
θ ∈ III
θ ∈ IV
Primera forma
= θ 180º −α
θ= π − α
Segunda forma
= θ 90º + β
θ=
= θ 180º +α
θ= π + α = θ 360º −α = θ 2π − α
π
+β 2 = θ 270º − β 3π = θ −β 2 = θ 270º + β = θ
3π +β 2
De acuerdo con la primera forma, la denominación de la función reducida no varía. El signo en la fórmula de reducción depende del signo de la función reducida en el cuadrante dado
180º FT ±α = ± FT(α ) 360º De acuerdo con la segunda forma, la denominación de la función reducida cambia por la co-función. El signo en la fórmula de reducción depende del signo de la función reducida en el cuadrante dado
90º FT ±β= ± Co-FT( β ) 270º b) Mayores que una vuelta, se utiliza el método del residuo para reducirlo al caso anterior (a), Si θ = 360º k + α , k ∈ Z
FT ( β ) = FT(α )
c) Negativos, se cumple que
sen(−θ ) = − senθ cos(−θ ) = cos θ tan(−θ ) = − tan θ cot(−θ ) = − cot θ sec(−θ ) = sec θ csc(−θ ) = − csc θ
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Si el punto P(-3; 4) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal. Calcular las 6 razones trigonométricas de dicho ángulo. Solución: El radio vector será: r = x 2 + y 2 = (−3) 2 + 42 = 5
y = r x cot θ= = y
senθ= Luego:
4 ; cos θ= 5 -3 ; sec θ= 4
x = r r = x
-3 ; tan θ= 5 5 ; csc θ= -3
y = x r = y
4 ; -3 5 4
-24 ; θ ∈ Q4 , calcular el valor de M = 25senθ - 24 tan θ 7
2) Si= cot θ
Solución: El radio vector será r= 242 + 7 2= 25 y debido a que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante x > 0; y < 0 Por tanto senθ =
-7 -7 −7 −7 y tan θ = , de donde M = 25( ) − 24( ) = 0 25 24 25 24
3) Calcular a) cos150º, b) sen 315º, c) cot
4π 11π , d) sec 3 6
Solución:
− 3 2
a) cos150º = cos(180º −30º ) = − cos(30º ) =
El signo de cos150º es negativo puesto que este ángulo termina en el segundo cuadrante donde la función coseno es negativa
− 2 El signo de sen315º es 2
b) sen315º = sen(360º −45º ) = − sen(45º ) =
negativo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función seno es negativa. c)
4π π 3 π = cot π + = cot = 3 3 3 3 4π El signo de Cot es positivo puesto que este ángulo termina en el 3 cot
tercer cuadrante donde la función cotangente es positiva. d)
11π π π 2 3 sec π - sec = sec 2= = 6 6 3 6 11π El signo de Sec es positivo puesto que este ángulo termina en el 6 cuarto cuadrante donde la función secante es positiva.
4) Calcular:
a) cos150º , b) sen315º , c) cot
4π 11π , d) sec 3 6
Solución: a) cos150º = cos ( 90º +60º=) -sen ( 60º=)
- 3 2
El coseno cambia a su co-función seno y el signo es negativo puesto que este ángulo termina en el segundo cuadrante donde la función coseno es negativa b) sen315º = sen ( 270º +45º =) -cos ( 45º =)
- 2 2
El seno cambia a su co-función coseno y el signo es negativo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función seno es negativa.
4π 3 3π π π c) = = cot cot = - tan 3 2 6 6 3 La cotangente cambia a su co-función tangente y el signo es positivo puesto que este ángulo termina en el tercer cuadrante donde la función cotangente es positiva. 11π 3π π π 2 3 d) sec = sec += csc = 6 3 3 2 3 La secante cambia a su co-función cosecante y el signo es positivo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva. 5) Calcular a) cos(-150º), b) sen (-210º), c) tan(-315), d) csc(
−4π ) 3
Solución:
− 3 2 1 b) Sen (-210º) = -sen (210º) = -sen (180º+30º) = -(-sen30º) = 2 a) Cos(-150º) = cos(150º) = cos (180º-30º) = -cos (30º) =
c) Tan (-315º) = -tan (315º) = -tan (360º-45º) = -(-tan 45º) = 1 d) Csc ( −
4π π 4π 3π π π ) = - Csc ( ) = -csc ( ) = sec = − ) = - (-sec 3 3 2 6 6 6
2 3 3 6) Calcular el valor de P =
tan 770º cot1120º
Solución: Según el algoritmo de la división:
= 770 360(2) + 50 = 1120 360(3) + 40 tan 770º tan 50º Luego: = P = = 1 cot1120º cot 40º
7) De la figura mostrada, hallar
P = 13 senα cos β
Solución: Por simetría con respecto al origen de coordenadas, un punto B en el ladofinal del ángulo β tendría coordenadas (-2;-3). El radio vector sería r=OA=OB= 22 + 32 = 13
3 −2 ; cos β = ; de donde 13 13 3 −2 P = 13 ( senα cos β ) = 13 = −6 13 13
sen α =
8) Los asientos de una rueda de la fortuna están a 35 pies del centro de la rueda. Al subir a la rueda, una persona se encuentra a 5 pies sobre el suelo. Después de haber girado un ángulo de 765º ¿A qué distancia del piso se encuentra dicha persona? Solución: Si la rueda de la fortuna estuviera en un plano, ubicamos su centro en el origen de coordenadas e identificamos el asiento más bajo con un punto en el semieje positivo de las abscisas, después de haber girado 765º, lo que equivale a 2 vueltas y 45º, el cual es un ángulo notable; usando este último ángulo, el asiento se habrá desplazado según la figura
Y la distancia con respecto al piso de la persona es
35 40 2 − 35 pies 5 + 35 − = 2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determina el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto (-7; 24) 2) Halla la tangente de un ángulo en posición normal que pertenece al tercer cuadrante, sabiendo que el seno del ángulo es -3/5. 3) En cada caso, halla las razones trigonométricas del ángulo φ si su lado terminal pasa por el punto P
a) P=(-1; 4), b) P = (3 2; 2) , c) P = ( 2;3) , d) P=(3, 5), e) P = (
2 2 ; ) 2 2
f)= P ( 3; −1) , g) P=(-6; 8), h) (4; 7), i) P=(-12; 5) 4) Sea B un ángulo en posición normal, en cada caso, halla las otras cinco razones trigonométricas de B a) Tan B = -3/4, B ∈ IIC b) Sen B = 2/3, B ∈ IC c) Cos B = -1/2, B ∈ IIIC d) Csc B = -3, B ∈ IVC 5) En cada uno de los siguientes ejercicios halla las razones trigonométricas de A, a partir de los datos dados. a) Cos A = -2/3, A ∈ IIC b) Tan A =5/12, A ∈ IIIC c) Sec A= -7/2, tan A es positiva d) Cos A =2/5, cot A es negativa 6) Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 240º, b) -210º, c) 150º, d) 480º, e) 300º, f) 165º 7) En cada caso halla las razones trigonométricas de γ
y
y
a)
x= y
c)
y = 3x
γ
γ 0
d)
b)
0
x
y
y y = 2.5 x
0
x
x = −y
γ x
γ x
8) Sea α un ángulo en la circunferencia trigonométrica. Analiza si sen α y cos α crecen o decrecen cuando el lado terminal de α gira de: a) 0º a 90º b) 90º a 180º c) 180º a 270º d) 270º a 360º e) 360º a 450º f) 630º a 720º
9) Ubica cada ángulo cuadrantal en una circunferencia trigonométrica, define en el lado terminal las coordenadas del punto P y completa la tabla hallando las razones trigonométricas correspondientes. ÁNGULO PUNTO CUADRANTAL DEL LADO sen TERMINAL 0º (1; 0) 90º (0; 1)
cos
tan
cot
sec
csc
π
270º 2π
5π 2 7π 2
10) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones: a) 5cos 90º −3sen90º −5cos 0º −6 cos 360º b) Para x = π ,
sen 2 x + sen 2 (2π − x) − 2 senx cos(2π − x) 3sen 2 x cos 2 (2π − x) + senx + cos x
11) Si tan θ < 0 y sec θ =4, hallar A=16sen θ cos θ 12) Evaluar sen(kπ ) + cos(kπ ) + tan(kπ ) , siendo k un número entero no negativo.
1 sec Q − csc Q ; 270º < Q < 360º . Calcular 4 1 − cot Q senx − 1 14) Determinar los cuadrantes donde es negativa la expresión: cot x
13) Sabiendo que cos Q =
15) Calcular el valor de: a)
sen 210º tan135º csc 300º sec 225º cot150º cos 330º
b) sen180º +2 cos180º +3sen 270º +4 cos 270º −5sec180º −6 csc 270º c)
tan 315º − sec120º sen 270º − cos 240º
16) Calcular cos (1140º) y tan (2385º) 17) Si α y β son ángulos agudos, simplifica la siguiente expresión:
= E
sen(270º −α ) tan(180º − β ) cot(450º −α ) sen( β − 90º ) + cot( β − 270º ) cos(540º +α ) cos(180º + β ) tan(360º +α )
18) Si 0
π 2
, simplifica las siguientes expresiones:
π
sen(π − x) + cos( − x) 2 a) G = tan(π + x)
π
sen( + x) − cos(π − x) tan(π + x) 2 b) H = − 3π 3π 2 tan(2π − x) sec( − x) cot − x 2 2 19) Si tan α = 2 , calcula el valor de R =
sen(−α ) cot(270º +α ) sec(180º +α ) cos(360º −α ) tan(α − 270º ) csc(α − 180º )
20) La tapa de la válvula de una rueda de bicicleta está a 12,5 pulgadas del centro de la rueda. Inicialmente ésta se encuentra junto a un rayo paralelo al piso, después de girar 390º, ¿A qué distancia por encima de la tierra está la tapa de la válvula? asumiendo que el radio exterior de la rueda es de 13,375 pulgadas.
Identidades
TEMA 05
Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad donde intervienen razones trigonométricas que se verifican para cada valor admisible de la variable. Las identidades trigonométricas fundamentales se clasifican en pitagóricas, recíprocas y por cociente como se muestra a continuación.
IDENTIDADES
sen 2α + cos 2 α = 1 2 2 1 + tan α = sec α 2 1 + cot α = csc 2 α 1 cot α = tan α 1 sec α = cos α 1 csc α = senα senα tanα= cosα cosα cotα= senα
PITAGÓRICAS
RECÍPROCAS
POR COCIENTE
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Halla E= cos90º.sec90º Solución: No existe el valor de la expresión porque sec90º no está definida. Por lo tanto no es posible aplicar la identidad recíproca. 2) Determina el valor de E tan 2 θ cos 2 θ − sen 2θ + 2 =
senθ 2 2 cos θ − sen θ + 2 cos θ 2
Solución: Aplicando una identidad por cociente = E Simplificando = E sen 2θ -= sen 2θ + 2 2
3) Determina el valor de E = 4 sen 2θ +4cos 2θ +csc 2θ − cot 2θ Solución: Factorizando: E = 4( sen 2θ +cos 2θ) +csc 2θ − cot 2θ
Aplicando identidades pitagóricas E = 4(1)+(1+cot 2θ) − cot 2θ Simplificando Ε = 5 4) Verifica que sen 2b − csc 2 b + cot 2 b = − cos 2 b Solución: En el primer miembro, se aplica una identidad pitagórica
sen 2b − (1 + cot 2 b) + cot 2 b sen 2b − 1 =− cos 2 b 5) Simplifica
2 sen 2 x + senx − 3 1 − cos 2 x − senx
Solución: El numerador se factoriza con aspa simple y en el denominador se usa una identidad pitagórica. Siguiendo una factorización en el denominador y una simplificación de la expresión para finalmente usar una identidad recíproca.
2 sen 2 x + senx − 3 (2 senx + 3)( senx − 1) 2 senx + 3 3 = = = = 2+ 2 + 3csc x 2 2 1 − cos x − senx sen x − senx senx senx 6) Si 16 cos 2 x + 3sen 2 x = 7, halla tan 2 x Solución: A partir del dato y usando una identidad pitagórica
16 cos 2 x + 3sen 2 x = 7(1) = 7( sen 2 x + cos 2 x) Distribuyendo y transponiendo: 16 cos 2 x − 7 cos 2 x =7 sen 2 x − 3s en 2 x 9 9 cos 2 x = 4 sen 2 x ↔ tan 2 x = 4 7) Determina una relación entre a y b si senθ + cos θ = b y senθ cos θ = a 2 Solución: Elevando la primera ecuación al cuadrado: ( senθ + cos θ) 2 = b 2
sen 2θ + 2 senθ cos θ + cos 2 θ =b 2 Reemplazando
la
segunda
ecuación
sen θ + 2a + cos θ =b ↔ 1 + 2a = b 2
8) Halla A y B en
2
2
2
2
y
por
identidad
pitagórica
2
(2 csc x + 1)(csc x + cot x)(sec x −= 1) A sec x + B tan x
Solución: Trabajando con el primer miembro, expresado en senos y cosenos 2 cos x 1 2 1 2 + senx 1 + cos x 1 − cos x (2 + senx)(1 − cos x) + = 1 + − 1 = sen 2 x cos x senx senx senx cos x senx senx cos x (2 + senx)( sen 2 x) 2 + senx 2 senx = = + = 2sec x + tan x 2 sen x cos x cos x cos x cos x
Finalmente por comparación A=2 y B=1
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Analiza qué sucede con la igualdad senθ csc θ = 1,
si θ =180º y si θ =90º
2) Expresa sólo en función de tan θ a) sec 2θ + tan θ
cos θ b) csc θ + senθ
2
2
senθ cos θ + cos θ senθ senθ (1 + csc 2 θ ) cos θ 2 2 sec θ + csc θ 1 cotθ + cot θ senθ + cos θ cos θ 2 cos θ + 1 cos 2 θ 2
2
c) d) e) f) g) h)
3) Expresa cada una de las demás razones trigonométricas del ángulo θ en términos de senθ 4) Aplicar identidades y hallar el valor numérico de:
c)
tan 2 300º − sec 2 300º + csc 2 10º − cot 2 10º π π π π sen cot csc tan − 9 7 9 7 9 2 2 sec 20º − tan 20º + sec10º sen80º
d)
Sen 40º sec50º + 8
e)
Cot 15º cot75º - 3
a) b)
5) Si senx + cos x = 1, 2 ; halla senx cos x 6) Si senx cos x = 7) Si a) b) c) d)
1 ; hallar (senx + cos x) 4 3
sin x + cos x = a , hallar: 2 2 sen x + cos x senx cos x sen 3 x + cos3 x (senx − cos x) 2
e) sen 4 x + cos 4 x f) (senx + cos x) 4
8) Demuestra la siguiente identidad:
( senx + cos x) 2 − 1 = 2 tan 2 x cot x − senx cos x
9) Demuestra la siguiente identidad:
tan 2 x − sen 2 x = tan 2 xsen 2 x
10) Demostrar las identidades auxiliares a) sec 2 x + csc 2 x = sec 2 x csc 2 x b) sen 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sen 2 x cos 2 x c) sen 6 x + cos 6 x = 1 − 3sen 2 x cos 2 x 11) Suma y simplifica
cos x + tan x 1 + senx
12) Simplifica: a) sec x cos x − sen 2 x b)
1 1 + cot x + 1 tan x + 1
c)
senx sec 2 x − 1
d) csc 2 x − csc 2 y + cot 2 y
1 + senx 1 + sec x 1 + cos x 1 + csc x
e) cot x
f)
2 senx cos x − cos x 1 − senx + sen 2 x − cos 2 x
3sec 2 x + 4 tan x − 3 g) 3sec x tan x + 4sec x h)
tan x + sec x − 1 − sec x tan x − sec x + 1
13) Simplifica
cot(− x) csc(− x)
14) Determina A y B para que la igualdad sea una identidad. a)
(sec x − tan x) 2 − 1 A − csc x = (sec x + tan x) 2 − 1 A + csc x
b) (1 + 2 cos x tan x)(2 − sec x cot x) sec x = A tan x + B(tan x + 1)
15) Si
cos 2 x + 1 = q , halla el valor de = A cos3 x + sec3 x cos x
16) Halla una relación entre a y b si
senx + cos x = a= y tan x cos x
b
17) Identifica A y B para que la siguiente igualdad sea una identidad
1 + cot 2 x = A csc 2 x − B sec 2 x 18) Halla el valor de A, B y C para que la siguiente ecuación sea una identidad
4 sen 2 x + 3cos 2 x + 5sec 2 x + 7 tan 2 x = Asen 2 x + B tan 2 x + C 19) Si tan x + cot = x 6 y sec x + csc = x m , halla un valor de m. 20) Calcula sec x , sabiendo que 3senx + 4 cos x = 5
ÁNGULOS COMPUESTOS Y TRANSFORMACIONES SUMA A PRODUCTO Y VICEVERSA
IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS.
+ y) sen( x= sen( = x − y) x + y) cos(= x − y) cos(=
senx cos y + cos xseny senx cos y − cos xseny cos x cos y − senxseny cos x cos y + senxseny tan x + tan y tan( x + y ) = 1 − tan x tan y tan x − tan y tan( x − y ) = 1 + tan x tan y
IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE
sen(2 x) = 2 senx cos x = x) cos 2 x − sen 2 x cos(2 2 tan x tan(2 x) = 1 − tan 2 x IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
x 1 − cos x sen( ) = ± 2 2 1 + cos x x cos( ) = ± 2 2 x 1 − cos x tan( ) = ± 2 1 + cos x TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA Para ello tendremos presente las siguientes identidades: I.
2SenASenB = Cos ( A − B ) − Cos ( A + B )
II.
2SenACosB = Sen ( A + B ) + Sen ( A − B )
III.
2CosACosB = Cos ( A + B ) + Cos ( A − B )
IV.
2CosASenB = Sen ( A + B ) + Sen ( A − B )
TRANSFORMACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
I.
SenA + SenB = 2 Sen(
A+ B A− B )Cos ( ) 2 2
II.
SenA − SenB = 2Cos (
A− B A+ B ) Sen( ) 2 2
III.
CosA + CosB = 2Cos (
A+ B A− B )Cos ( ) 2 2
IV.
CosA − CosB = −2 Sen(
A+ B A− B ) Sen( ) 2 2
DE DIFERENCIA DE CUADRADOS A PRODUCTO I.
Sen 2 ( x) − Sen 2 ( y ) = Sen( x + y ) Sen( x − y )
II.
Cos 2 ( x) − Sen 2 ( y ) = Cos ( x + y )Cos ( x − y )
OTRAS IDENTIDADES TRANSFORMATIVAS
Sen( x + y ) Tan( x) + Tan( y ) = Sen( x)Cos ( y ) Sen( x − y ) Tan( x) − Tan( y ) = Sen( x)Cos ( y )
Sen( x + y ) Cot ( x) + Cot ( y ) = Sen( x) Sen( y ) Sen( y − x) Cot ( x) − Cot ( y ) = Sen( x) Sen( y ) si: A + B + C = 180º , entonces:
A B C Sen( A) + Sen( B ) + Sen(C ) = 4Cos ( )Cos ( )Cos ( ) 2 2 2 A B C Cos ( A) + Cos = ( B ) + Cos (C ) 4 Sen( ) Sen( ) Sen( ) + 1 2 2 2 Sen(2 A) + Sen(2 B) + Sen(2C ) = 4 Sen( A) Sen( B) Sen(C ) Cos (2 A) + Cos (2 B) + Cos (2C ) = −4Cos ( A)Cos ( B)Cos (C ) − 1
EJERCICIOS RESUELTOS Simplificar la expression E =
1.
sen( x + y ) − sen( x − y ) cos( x + y ) − cos( x − y )
Solución: Usando las identidades
E=
2.
senx cos y + cos xseny − ( senx cos y − cos xseny ) 2 cos xseny = = − cot x cos x cos y − senxseny − (cos x cos y + senxseny ) −2senxseny Simplifica la siguiente expression = E 2 tan(2 x) + 4 cot(4 x) Solución: Tratando al ángulo cuádruple como doble del original
2 tan 2 x 1 − tan 2 (2 x) tan(4= x) ⇒ cot(4= x) 1 − tan 2 (2 x) 2 tan 2 x Después de reemplazar en la expresión se tiene:
= E 2 tan(2 x) + 4 cot(4 x) 4(1 − tan 2 (2 x)) 2(1 − tan 2 (2 x)) = 2 tan 2 x + 2 tan 2 x tan 2 x 2 2 2(1 − tan 2 x) − 2 tan 2 x = = E = 2 tan 2 x + tan 2 x tan 2 x 2 tan x 1 − tan x = cot x − tan x E= tan x E= 2 tan 2 x +
3.
Calcular el valor de cos 22º 30’ Solución: Puesto que 22º 30 ' =
45º 2
45º cos 22º 30 ' = cos , puesto que este ángulo pertenece al IC 2 El resultado del coseno del ángulo mitad se toma con signo positivo, ya que el coseno es positivo ahí.
1 + cos 45º 45º cos = + 2 2 cos= 22º 30 '
2 1+ 2 = 2
Sabiendo que senx =
4.
2+ 2 = 4
2+ 2 2
12 , calcular: sen 2 x y cos 2x 13
Solución: A partir del dato para el seno del ángulo, se deduce que los lados del triángulo son proporcionales a 12, 13 y 5, de donde
cos x =
5 13
12 5 120 = sen 2 x 2 senx = cos x 2.= . 13 13 169 Para hallar cos 2x se puede usar la identidad cos = 2 x cos 2 x − sen 2 x puesto que tenemos ambos datos, pero también podemos hacerlo usando sólo el dato inicial apenas modificando la identidad para expresarla en términos de seno. Así:
cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 1 − sen 2 x − sen 2 x = 1 − 2sen 2 x
288 −119 12 cos 2 x = 1 − 2 sen 2 x = 1− 2 = 1− = 169 169 13 2
5
Factorizar: sen 35º + sen 25º
a) sen 5º
b) cos 15º
c) cos 5º d) sen 18º
Solución. Empleando la fórmula
35º +25º 35º -25º sen35º + sen 25º = 2 sen cos 2 2
= 2 sen30º cos 5º simplificando 1 = 2 ⋅ cos 5º = cos 5º 2 6. Reducir a producto sen 75º + sen 25º a) 2 sen 50º cos 15º c) 3 sen 25º cos 35º e) 2 cos 15º sen 75º
b) 2 cos 15º sen 75º d) 2 sen50º cos 25º
e) tg 5º
75º +25º 75º -25º sen75º + sen 25º = 2 sen cos 2 2 sen75º + sen 25º = 2 sen50º cos 25º
Solución.
7. Simplificar:
E= a) 2tgθ
c) tgθ
b) ctg 2θ
Solución.
sen3θ - senθ cos θ - cos 3θ d) ctgθ
e) 1
sen(2θ + θ ) - sen(2θ - θ ) cos(2θ - θ ) - cos(2θ + θ ) 2cos 2θ .senθ = 2sen2θ .senθ cos 2θ = sen2θ = Cot 2θ
E=
8. Sabiendo que cos 70º = K ¿ A que es igual:
E = Sen 2 ( 25º ) - Sen 2 ( 5º ) ? a)
K 2
b) K c) 2K d) 4K
e) 5K
2 5º → 2 E 2sen 2 25º -2sen 2 5º Solución. E sen 2 25º -sen= =
2 E 2(1cos 2 25º ) - 2(1- cos 2 5º ) 2 - 2cos 2 25º -(2 - 2cos 2 5º ) = 2 E 2 - (cos 2(25º ) + 1) - (2 - (cos 2(5º ) + 1)) = = 2 E 1-= cos50º -(1- cos10º ) = 10º +50º 10º -50º = 2 E cos10º -cos50º -2sen sen = = 2 2 30º (-sen20º ) 2= = -2sen= sen30º.sen20º 1 = 2 sen20º= → 2 E sen20º 2 Dato : cos70º = K K 2 E =sen20º → 2 E =cos70º → 2 E =K → E = 2 9. Simplificar:
Sen( x + 3 y ) + Sen(3x + y ) .Sec( x + y ) Sen 2 x + Sen 2 y
a) 1 b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solución:
x + 3 y + 3x + y x + 3 y - (3x + y ) cos 2 2 sec( x + y ) = 2x + 2 y 2x - 2 y 2sen cos 2 2 2sen2( x + y )cos( x - y ) 2sen( x + y )cos( x + y )cos( x - y ) sec( x + y ) sec( x + y ) = = 2sen( x + y )cos( x - y ) sen( x + y )cos( x - y ) = 2cos( x + y )sec( x + y ) = 2 2sen Sen( x + 3 y ) + Sen(3x + y ) .Sec( x + y ) = Sen2 x + Sen2 y
10.
Calcular:
a) 1
( Sen ( 38º ) + Cos ( 68º )) Sec8º 1 1 b) 2 c) d) 2 4
e) −
1 2
Solución: Llamando “E” a la expresión: ( Sen ( 38º ) + Cos ( 68º )) Sec8º Tenemos : = E ( Sen38º +Cos68º ) Sec8º
= E ( Sen38º + Sen22º ) Sec 8º = E ( Sen(30º +8º ) + Sen (30º -8º )) Sec8º E = 2Sen30º Cos8º Sec8º 1 E = 2. 2 E =1 11.
Calcular:
Sen (81º ) Sen9º -Sen ( 48º ) Sen (12º ) a) 0 Solución:
b)
1 2
c) 1
d) -1
e) −
1 2
Sea
" E " la expresión :
E = Sen81º Sen9º -Sen48º Sen12º 2 E = 2Sen81º Sen9º -2Sen48º Sen12º 2 E = Cos 72º - Cos90º -(Cos36º -Cos60º ) 5 −1 5 +1 1 −0− + 4 4 2 5 −1− 5 −1+ 2 2E = 4 2E = 0 E =0
= 2E
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Demuestra la siguiente identidad sen(2 x) = 2 senx cos x
x 2
2. Demuestra la siguiente identidad sen = ±
3. Reducir = E
1 − cos x 2
sen( x + y ) − tan y cos x cos y
4. Calcula sen15º y tan105º. Sugerencia: expresar 15º=45º-30º y 105º=60º+45º 5. Reducir = M (tan 80º − tan10º ) cot 70º 6. Simplificar M =
1 + tan 2 3 x 1 − tan 2 3 x
7. Si tan 35º = 0,7; halla cos 70º.
2 tan x , a partir de ahí construir un 1 − tan 2 x triángulo rectángulo que relacione las razones trigonométricas del ángulo 2x y 1 − tan 2 x . deducir que cos 2 x = 1 + tan 2 x Sugerencia: usar la identidad tan 2 x =
8. Simplificar: E =
1 − cos x senx
Sugerencia: Expresar numerador y denominador en términos del ángulo mitad. 9. Determina el valor de senx y tan x , si cot 2 x = 10. Reducir K =
sen 2 x.cos x (1 + cos 2 x)(1 − cos x)
12 , tal que 2x ∈ IC 5
11 Reducir:
V =Sen ( 6 x ) ⋅ Sen ( 4 x ) - Sen (15 x ) ⋅ Sen (13 x ) + Sen (19 x ) ⋅ Sen ( 9 x )
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12 Hallar cos ( 2x ) si: y Senα = Cos(α + x)Cos(α - x) = m a) m
b) 2m
c) 3m
m +1 2 d) 4m
e) 5m
d) cot α
e) cot 5α
13 Reducir:
M=
Cos ( 4α ) ⋅ Cos ( 2α ) - Cos ( 7α ) ⋅ Cosα Sen ( 9α ) ⋅ Cosα - Sen ( 6α ) ⋅ Cos ( 4α )
a) tan α
b) tan 3α
c) tan 5α
14 Calcular:
Sen 40º − Sen 25º Sen70º
a)
2
2 2
b)
c)
2 3
d)
2 5
e)
2 7
15 Simplificar:
Cos ( 5 x ) ⋅ Cos ( 3x ) − Sen ( 3x ) ⋅ Senx Cos ( 2 x ) a) cos ( 2x )
b) cos ( 4x )
c) cos ( 8x )
d) cos ( 6x )
e) cos (10x )
16 Factorizar
= E Sen(α - β ) + Sen(γ - α )
a) Sen(
α −γ
) Sen(
α −β
) Sen(
β −γ
)
2 2 2 α −γ α −β β −γ c) 3Sen( ) Sen( ) Sen( ) 2 2 2
b) 2Sen(
α −γ
) Sen(
α −β
) Sen(
β −γ
) 2 2 2 α −γ α −β β −γ d) 4Sen( ) Sen( ) Sen( ) 2 2 2
e) 5Sen(
α −γ 2
) Sen(
α −β 2
) Sen(
β −γ 2
)
17 Transformar a producto:
senx + seny + senz − sen( x + y + z ) a) 4cos( x + y ) ⋅ cos( y + z ) ⋅ cos( x + z ) b) 4sen( x + y ) ⋅ sen( y + z ) ⋅ sen( x + z ) x+ y y+z x+z c) 4cos ⋅ cos ⋅ cos 2 2 2 x+ y y+z x+z d) 4sen ⋅ sen ⋅ sen 2 2 2 y−z x−2 e) 4sen ( x − y ) ⋅ cos ⋅ cos 2 2
18 Sabiendo que:
tan
θ 5θ ⋅ tan = 5−2 6 2 2 Hallar el valor de : secθ + sec ( 3θ )
a) 6
b)
16 c) 2 3 d) 2 6 e) 4 3
19 Del gráfico mostrado, hallar: tan θ − 2cos 4θ + tan 3θ Sabiendo que: AB = DC
θ 2θ a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) 0
20 Factorizar
E= tgα + tg ( 2α ) + sec ( 2α ) ⋅ tg ( 3α ) a) 2tg 3α
b) tg 3α
21 Hallar el valor de:
c) tg 2α
d) 2tg 2α
e) tgα
cos 25º − cos35º sen35º − sen25º = F + cos50º − cos 40º cos50º − cos 40º 2
a) ½
b) 2
c) 1/3
d) 1
2
e) 3
22 Calcular : sen 24 ⋅ cos 6º 5 +1 2
a)
5 −1 2
b)
c)
5 +1 4
d)-2
e) 1
5 −1 4
d)
5 +1 8
e)
23 Calcular.
Tan5º +Cot 5º -8 ⋅ Cos ( 20º ) 4
3
a)
b)
2
c) 2
24 Si se cumple la igualdad:
16sen5θ − 20sen3θ = senkθ − ksenθ
k −2
Indicar el valor de : a) 1
b) 2
c)
3
d)3
sen5
π 3π 5π + sen5 − sen5 7 7 7
1 −16
c)
25 Calcular:
a)
1 16
b)
e) 2 2
7 7 16
d)
−7 7 16
26 De las condiciones:
Cos 4θ Sen2θ = a ; Senθ Cosθ = b Halle sen ( 6θ ) en términos de “ a ” y “ b ” a) a − b b) 2a − 2b
c) a + b
d) 0
e) 2a + 2b
e)
7 16
TEMA 06
Funciones
trigonométricas Inversas
La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por
f −1 ( x ) = arcSen ( x ) estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente. Es inmediato comprobar que arc sen (- x)=- arc sen x para todo x en [-1, 1].
La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Su función inversa la denotaremos por
f −1 ( x ) = arcCos ( x )
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.
PROBLEMAS RESUELTOS 1
Indique la relación incorrecta.
π π ; 2 2
a) Rango ( Arc sen x ) = −
b) Rango ( Arc sen x ) = [0; π ] − c) Rango
( Arc cot x ) =
π 2
0; π
π π
d) Rango ( Arc csc x ) = − ;
2 2
− {0}
e) Todas son correctas Solución: Porque: 2
la relación incorrecta es la d) π π
Rango ( arcCsc ( x ) ) ∈ - ; - {0} 2 2
Reducir:
(
)
(
Sec 2 arctan a − 1 + Sec 2 arctan b − 1
a) a + b
b) a − b
d) ab − 2
e) a + b + 2
)
c) a + b − 2
Solución: Llamamos “ E ” a la expresión:
(
(
)
E Sec 2 ArcTan a − 1 + Sec 2 ArcTan b − 1 =
)
( ) ( ) E= 2 + Tan ( ArcTan a − 1 ) + Tan ( ArcTan b − 1 ) E = 2 + ( a −1) + ( b −1) → E = 2 + a −1 + b −1 E = 1 + Tan 2 ArcTan a − 1 + 1 + Tan 2 ArcTan b − 1 2
2
E= a + b 3
Si:
2
Reducimos: 2
π
ArcSen ( a ) + ArcSen ( b ) = 6 Hallar : ArcCos ( a ) + ArcCos ( b ) a)
2π 3
b)
π
5π 6
c)
3
d)
7π 6
e)
3π 4
Solución: Llamamos “ θ ” a la expresión que nos piden:
= θ ArcCos ( a ) + ArcCos ( b )
π
= ArcSen ( a ) + ArcSen ( b ) 6
π
θ+ = 6
Sumamos
( ArcSen ( a ) + ArcCos ( a ) ) + ( ArcSen ( b ) + ArcCos ( b ) )
Aplicando las propiedades respectivas, obtenemos:
θ+ 4
π 6
=
π 2
+
π
→ θ+
2
π 6
=π → θ =
5π 6
Calcular:
( 2 )) ( Sec ( ArcCos ( 1 ) ) 3
Csc 2 ArcSen 1 2
a)
3 2
b) 0, 666
d) 0, 44
c) 2, 25
e) 1
Solución: Llamamos “ E ” a la expresión:
( 2 )) ( Sec ( ArcCos ( 1 ) ) 3 Csc ArcSen 1 ( 2 )) ( E = Sec ArcCos 1 ( 3 )) ( E=
Csc 2 ArcSen 1 2
5
2
( 2) E= 2 ( 3)
2
2
→
Indicar cuántas relaciones son falsas:
1 8
I. ArcSen + ArcCos
1 π = 8 2
4 → E = =0, 44 9
π
II. ArcSec ( −2 ) + ArcCsc ( −2 ) =
2
π
III. ArcTan ( −3) + ArcCot ( −3) =
2
− ArcCosx IV. ArcCos ( − x ) =
a) 1
6
b) 2
c) 3
d) 4
e) Todas son verdaderas
¿A qué es igual?
sec ( ArcTan ( b ) ) a) b − 1
b) 2b
d) 1 − b 2
c) −2b
e) b 2
Solución: Llamamos “ E ” a la expresión:
= E Sec ( ArcTan = ( b ) ) → E Secθ Es decir : ArcTan ( b ) = θ
A 1 + b2
b
θ C Pero : = θ ArcTan ( b ) Nos piden :
7
E =Secθ
B
1
→ Tan (θ= ) b → E = 1 + b2
Dada la ecuación
ArcTan ( x + 1) − Arc tan ( x − 1) = ArcTan ( 2 ) Indicar la suma de sus soluciones. a) -2
b) -1 Solución:
c) 0
d) 2
e) 1
De:
x + 1 − ( x − 1) = = ArcTan ( x + 1) − Arc tan ( x − 1) ArcTan ( 2 ) → ArcTan ArcTan ( 2 ) 1 + ( x + 1) ⋅ ( x − 1) 2 2 ArcTan 2 = ArcTan ( 2 ) → = −1 2 → x2 = 1 → x= 1 o x= 2 x x Luego, la suma de soluciones será: 1 + (-1) = 0
PROBLEMAS PROPUESTOS Indicar verdadero (V) o falso (F)
1.
a) VVV
I.
ArcSen ( Sen (100º ) ) = Sen (100º )
II.
Sen ArcSen 2 = 2
III.
2 ArcSen ( x ) = ArcSen ( 2 x )
(
b) FVF
)
c) FFF
d) FFV
e) VVF
Calcular:
2.
1 1 Tan 2 ArcTan + ArcTan 5 7
a) 5
36 289
b)
196 289
c)
63 298
d)
169 298
e) 1
Calcular:
7 5 5cos ArcTan + Cot Arcsen 6Sec ( ArcSec ( 5 ) ) 24 13 a) 36,2
6
b)36,9
d)
d)37,2 e) 35,2
Hallar “ x ”
7 Arcsenx = a)
c)39,6
2 2
6− 2 4
5π + ArcCos ( x ) 6 b)
1 2 e)
c)
6+ 2 4
3 2
7
Hallar “ θ ” para que la siguiente ecuación no tenga raíces.
( Arcsen ( x ) ) + ( ArcCos ( x ) ) 3
b) θ < 2
a) θ < 1
8
3
= θ ⋅π 3
d) θ <
c) θ > 1
1 32
e) θ < 0
Resolver
x2 + 1 π x −1 + Arc sec ArcCsc 2 = x +1 x −1 2
a)
5.
1 2
b) -1
c)1
d)0
e)
1 3
Calcular:
Sec 2 ( ArcTan3) + Csc 2 ( ArcCot 5 ) a) 34
6.
b) 36
I.
1 8 ArcSen = ArcCos 3 3
II.
ArcCos
III.
2π ArcTan − 3 = 3
8.
e) 24
2 3 = ArcSec 3 2
(
)
c) VVF
b) FFF
d) VFF
e) FFV
Hallar “ x ”
ArcCos a)
d) 8
Indicar verdadero(V) o Falso(F)
a) VVV 7.
c) 28
π 6
b)
8 = ArcSenx 3
8 9
c)
1 2
d)
1 3
e)
π 12
Hallar el valor o valores que verifican:
3 Cos ( ArcSenx ) + Sen ( ArcCosx ) = 2 a)
5 o 4
7 4
b)
7 4
c)
7 4
o -
7 4
d) −
7 4
e)
5 4
o -
5 4
Hallar “ x ”
9.
)
(
Tan ArcSen 1 − x 2 − Sen ( ArcTan 2 ) = 0 a) x = ±
5 3
c) x = ±
b) ∼ ∃ x
π
d) x = 1
3
e) x =
10. Hallar “ x ”
3 2 ArcCot 2 + ArcCos = ArcCscx 5 a) 0
b)
4 5
c)
24 25
d)
7 25
e)
25 24
11. Calcular:
ArcCos ( Cos1) + 2 ArcCos ( Cos3) + ArcCos ( Cos 6 ) a) 2π + 1
b) 2π − 1
c) 13
e) 2π
d) 6
12. Calcular:
7π ArcCot 4 Sen − 3 9 a)
5π 18
b)
2π 9
c)
4π 9
d)
3π 9
e)
π 6
13. ¿A que es igual?
ArcSen ( 5 ) ArcTan ( 5 ) + 23 5 ArcCos ArcTan 25 12 −1
a) 0
b) 1
c) 2
−1
d)
1 2
e)
3 2
d)
−2 7 3
14. Calcular:
7 Tan 2 Sen −1 − 4 a)
7
b) −3 7
c)
7 2
e) −
7 4
33 65
15. Simplificar:
1 1 1 ArcTan − ArcTan + ArcTan 3 5 7 a) ArcTan
ArcTan
1 11
b) ArcTan
2 11
c) ArcTan
3 11
d) ArcTan
7 11
16. Sabiendo que: 0 < a ≤ b Simplificar:
a 3π 1 Tan ⋅ ArcCos + b 4 2 a)
2a b
b) −
2b a
c) −
2a b
d)
a 3π 1 − Tan ⋅ ArcCos − b 4 2
2b a
e)
a b
5 11
e)
