M.Essert,J.Grilec - Elektricitet i magnetizam_fizikalne osnove.pdf

Digitalni udžbenik

M. Essert, J. Grilec

ELEKTRICITET i MAGNETIZAM - fizikalne osnove -

Katedra za strojarsku automatiku Fakulteta strojarstva i brodogradnje Zagreb, 2009.

Predgovor Ovaj udžbenik iz podruˇcja cja elektrotehnike, želi pomoći ci studentima obnoviti srednjoškolsko njoškolsko znanje elektrotehni elektrotehnike, ke, koja se uˇci ci u fizici, kako bi lakše svladali predmet ELEKTROTEH ELEKTROTEHNIKA NIKA na studiju. studiju. Namijenje Namijenjen n je ponajprije ponajprije studentima studentima Fakulteta strojarstva i brodogradnje , ali može korisno poslužiti i drugima. Pojam Pojam elektrotehni elektrotehnika, ka, ukljuˇcuje cuje u sebidva pojma. pojma. Prvi Prvi je upozna upoznavan vanje je osnov osnovnih nih fizikaln fizikalnih ih zakona zakona o elektri elektricite citetu tu i magneti magnetizmu,a zmu,a drugi drugi njiho njihovu vu primjen primjenu u u tehniˇ tehniˇckoj ckoj praksi. praksi. Upoznati Upoznati fizikalni fizikalni zakon najˇcešće ce znaˇci ci opisati posljedice posljedice njegova njegova djelovanja, dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. skriveni. Matematiˇ Matematiˇcki aparat kojim se u teoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naših prouˇcacavanja. Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi matematiˇcki cki aparat primjeren srednjoškolskoj matematici. Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena podruˇcja, cja, cije cˇ ije se discipline znatno isprepleću, cu, od mjeriteljstva do automatskog vodenja proizvodnih ¯ procesa. Budući ci da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrotehniku, ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim struˇcnjacima cnjacima u njihovoj svakodnevnoj praksi. Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvaćaju caju osnovna elektrotehniˇcka cka podruˇcja: cja: 1. elektrostatika 2. istosmjerna struja 3. magnetizam 4. prijelazne prijelazne pojave pojave 5. izmjeniˇcne cne struje Udžbenik koristi većinu cinu gradiva obradenog u rasprodanom izdanju udžbenika ¯ cnu orM. Essert, Z. Valter : "Osnove elektrotehnike ", SNL Liber 1991. god., a praktiˇcnu jentaciju interaktivnim applet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskom radu Valentine fizike. Svako Svako poglavlje poglavlje ukljuˇcuje cuje i niz zadataka s rješenjima, za Frankovi´ c , prof. fizike. provjeru nauˇcenog cenog gradiva. Kvalite Kvalitetan tan prijenos znanja traži danas i nove nove alate. Oni su prisutni ponajviše zahvaljujući ci raˇcunalima cunalima i razliˇcitim citim edukacijskim programima. Temeljna znaˇcajka cajka takvih programa programa je interaktivn interaktivnost ost i usmjerenost usmjerenost na fizikalne modele. modele. Raˇcunala i i

P REDGOVOR programi omogućuju da korisnik više razmišlja o tomu ’što’ i ’zašto’, nego o ’kako’. Sam izraˇcun - dobivanje numeriˇckog ili grafiˇckog rezultata, u takvim je metodama, programima, manje znaˇcajan. Java applet -i su popularni programi koji nude sve nabrojeno i danas su zahvaljujući Internetu dostupni na mnogim sveuˇcilištima i školama. Pisani su u besplatnom Java okruženju pa su već od samih poˇcetaka (oko 1995.) postali osnovna nastavna pomagala. Iako postoje applet-i za mnoga podruˇcja fizike (i ne samo nje), u ovom radu pokušalo se prikupiti najbolje uzorke za podruˇcje fizikalnih osnova elektrotehnike. Poštujući autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilago¯ deni su našim prilikama (za sluˇcaj da u nastavi nema mogućnosti korištenja Interneta i/ili da korisnici ne znaju engleski). Direktni linkovi na pojedinaˇcne Java applete navedeni su u dodatku, a obradeniiprilago deni ¯ ¯ appleti za ovaj udžbenik moguse dohvatitina adresi: http://scriptrunner4.fsb.hr/EIM. Naistom stroju, pod Scriptrunner sustavom nalazi se i digitalnioblik ovog udžbenika. Kako se s ovim sustavom provodi cjelokupna nastava iz nekoliko kolegija na našem Fakultetu (od predavanja i vježbi, modeliranja, rada na daljinu, interaktivnog cˇ itanja nastavnog sadržaja, domaćih zadaća, preko kolokvija i ispita, do ’studentskog kartona’) zamišljeno je da ovo bude prvi od triju udžbenika iz elektrotehnike. Iduća dva odnose se na gradivo iz kolegija "Elektrotehnika" - prvi za predavanja, a drugi za auditorne vježbe. Prednost ovakve realizacijeje mogućnost dodavanja interaktivnog sadržaja(’živi’PDF udžbenici, zahvaljujući Scriptrunner -u), smanjeni troškovi objavljivanja, besplatnodohvaćanje s web-a, ljepši višebojniizgledi na koncu, zaštita okoliša (manje papira, više šuma). Nadamo se da cé studenti biti zadovoljni ovakvim pogledam i još više ga podupirati. To nam pak, s druge strane, omogućuje trajno poboljšavanje objavljenog materijala, kako u ispravljanjueventualnih pogrešaka, tako i dodovanju novog, kvalitetnijeg sadržaja. Elektriˇcne sheme i slike izradio je student Matija Kovaˇ ci´ c i to u TikZ /PGF gra A fiˇckom paketu koji je dio LTE X programskog alata s kojim je složen ovaj udžbenik. Njemu, a takoder ¯ i svim kolegama s Katedre za strojarsku automatiku Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveuˇ cilišta u Zagrebu , koji su pogledali i komentirali rukopis, najsrdaˇcnije se zahvaljujemo.

Autori

ii

Sadržaj Predgovor

i

Sadržaj

iii

Popis slika

vii

1 ELEKTROSTATIKA 1.1 Struktura materije . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Elementarni naboj . . . . . . . . . . 1.1.2 Elektriˇcna svojstva tvari . . . . . . . 1.2 Elektriˇcno polje naboja . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Polarizacija i influencija . . . . . . . 1.2.2 Gustoća elektriˇcnog toka . . . . . . 1.2.3 Coulombov zakon . . . . . . . . . . 1.3 Elektriˇcni potencijal . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Elektriˇcni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Spojevi kondenzatora . . . . . . . . 1.5.2 Energija nabijenog kondenzatora . 1.5.3 Prirodni kondenzator . . . . . . . . 1.6 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Elektriˇcno polje naboja . . . . . . . 1.6.2 Test naboj u elektriˇcnom polju . . . 1.6.3 Elektroskop . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Kapacitet ploˇcastog kondenzatora . 1.6.5 Applet - prirodni kondenzator . . . 1.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 5 5 9 10 11 12 15 16 18 21 22 23 23 25 25 26 27 28

2 ISTOSMJERNA STRUJA 2.1 Elektriˇcni napon . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elektriˇcni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Elektriˇcna struja . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Elektriˇcni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Promjena otpora s temperaturom . 2.5 Ohm-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

31 32 32 34 35 35 37

iii

S AD RŽ AJ 2.6 2.7 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15

2.16

Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcna struja u ioniziranom plinu . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrokemijske pojave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Primarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Sekundarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realni naponski izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . 2.12.2 Spojevi elektriˇcnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mjerenje struje, napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar . Rad i snaga istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.1 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.2 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu . . . 2.15.4 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.5 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.6 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.7 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 MAGNETIZAM 3.1 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Magnetsko polje ravnog vodiˇca . . . . . . . . . . . . . 3.3 Magnetske veliˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Djelovanje magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Sila na gibljivi naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Sila na vodiˇc kojim teˇce struja . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Sila izmedu ¯ dva vodiˇca kojima teku struje . . . . . . . 3.7 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Lenz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Meduindukcija . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. ¯ 3.9 Energija magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Izmjeniˇcno magnetiziranje željeza . . . . . . . . . . . iv

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 39 40 41 41 42 44 46 47 48 50 52 54 56 57 58 61 62 66 67 67 68 69 70 70 71 72 73

. . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 78 79 80 85 87 89 89 92 94 95 98 98 99 101 102

3.9.2 Privlaˇcna sila magneta . . . . . . 3.10 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Naboj u magnetskom polju . . . 3.10.2 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . 3.10.3 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . 3.10.4 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . 3.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

104 105 105 106 107 108 109

. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 111 111 112 112 113 114 114 115 116 117 119 120 121 121 122 124

ˇ STRUJE 5 IZMJENICNE 5.1 Harmoniˇcki oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Frekvencija i kružna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Srednja i efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Faza i razlika faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Predoˇcivanje izmjeniˇcnih veliˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima . . . . . . . . 5.2.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Jednostavni krug izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Otpor u krugu izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Kapacitet u krugu izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Induktivitet u krugu izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . . . . 5.4 Spojevi R, L i C u krugu izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Serijski RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Serijski RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Serijski RLC -krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Paralelni RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Paralelni RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Paralelni RLC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 126 128 130 133 134 135 138 139 139 140 142 144 145 146 147 149 150 151 152

4 PRIJELAZNE POJAVE 4.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . 4.1.2 Energija na otporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora . . . . . . . . 4.1.4 Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora . . . . . . . . 4.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Energija zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ukapˇcanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Iskapˇcanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . 4.4 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . 4.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

. . . . . . .

v

S AD RŽ AJ 5.6 Snaga i faktor snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Trofazni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . 5.7.2 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . 5.7.3 Snaga trofaznog sustava . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Elektriˇcni elementi u krugu izmjeniˇcne struje . 5.8.2 Složeni R, L i C strujni krugovi . . . . . . . . . . 5.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . .

154 155 157 157 158 159 159 159 160 162

A WEB-adrese applet-a

165

Literatura

167

Indeks

169

vi

Popis slika 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23

Sastav atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron) Ionizacija atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektiˇcna sila u okolišu nabijenog tijela . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcno polje jednog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcno polje dvaju naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogeno elektriˇcno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarizacija dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcna influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sila na naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ekvipotencijalne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektriˇcno polje i potencijal kondenzatora . . . . . . . . . . . . Simboli kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serijski spoj triju kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralelni spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mješoviti spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nabijanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applet - elektriˇcno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test naboj u elektriˇcnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektroskop - oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Model elektroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploˇcasti kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 6 7 8 9 9 10 11 14 17 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 27

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Istosmjerni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . Oznaˇcavanje naponskih i strujnih veliˇcina . Simbol i oznaka elektriˇcnog otpora . . . . . Ovisnost otpora i temperature . . . . . . . . I=f(V ) u metalnom vodiˇcu . . . . . . . . . . I Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . Paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . (V,I) karakteristika elektriˇcne struje u zraku Proces elektrolize . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

33 34 35 37 38 40 41 43 45 46

vii

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

P OPIS SLIKA 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37

Leclanché-ov element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Element baterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Olovni akumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vanjska karakteristika realnog izvora napona . . . . . . . . . . . . . Realni jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji elektriˇcne mreže Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realni naponski izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serijski spoj realnih elektriˇcnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralelni spoj realnih naponskih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . Pojedinaˇcno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu . . . . . . . Istodobno mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrument s pomiˇcnim svitkom i permanentnim magnetom . . . Proširenje mjernog podruˇcja voltmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . Proširenje mjernog podruˇcja ampermetra . . . . . . . . . . . . . . . Nadomjesna shema ommmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skala ommetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ommetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem . . . . . . . Mjerenje napona, struje i snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 50 51 52 54 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 63 64 65 65 67 68 69 69 70 71 71 72

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18

Magnetsko polje oko vodiˇca kojim teˇce struja . . . . . . . . . . . . . . Primjer uz zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetsko polje ravnog vodiˇca kroz koji teˇce struja . . . . . . . . . . Ovisnost H=f(r) ravnog vodiˇca kroz koji teˇce struja . . . . . . . . . . . Magnetsko polje ravnog vodiˇca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetsko polje zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije . . . . . . . . . . . . . . . Magnetsko polje ravnog vodiˇca, prstena i okvira . . . . . . . . . . . . Magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . . . . . . Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Petlja histereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetski materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem Magnetsko polje naboja u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gibanje nabijene cˇ estice u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . Sila na vodiˇc kojim teˇce struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijelovi galvanometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 79 80 81 81 82 82 83 84 86 86 87 88 90 91 91 92 93

viii

3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34

Galvanometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sila izmedu ¯ dva vodiˇca protjecana strujom . . . . . . . . . . Definicija jedinice amper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije . . . . . . . . Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gibanje vodiˇca po metalnom okviru . . . . . . . . . . . . . . Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Meduinduktivna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Izmjeniˇcno magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . Razmagnetiziranje jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Privlaˇcna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

RC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . v=f(t) u RC krugu . . . . . . . . . . . . RL krug . . . . . . . . . . . . . . . . . i=f(t) za ukljuˇcenje RL kruga . . . . . i=f(t) za iskljuˇcenje RL kruga . . . . . LC oscilator . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetski valovi . . . . . . . . RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetski oscilirajući krug .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

93 94 95 95 96 97 98 100 101 103 104 105 105 106 107 108

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

112 114 115 115 117 118 120 121 122 122

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18

Istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Izmjeniˇcna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodiˇcke struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodiˇcka struja sa I s r ≈ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmoniˇcka struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora . . . . . Shematizirani prikazi generatora izmjeniˇcne struje . . . . . . . . . . Srednje vrijednosti struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odredivanje efektivne vrijednosti struje . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ Izmjeniˇcna struja i njezina efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . Fazni pomaci napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine . . . . . . . . . . . . . Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorski prikaz napona i struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbroj dviju struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu . . . . . . . . . . . Radni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 126 126 127 127 128 128 131 132 132 134 135 136 136 137 138 138 139

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

ix

P OPIS SLIKA 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 5.32 5.33 5.34 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 5.42 5.43 5.44

x

Napon i struja kroz radni otpor R . . . . . . . . . Kapacitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C . . Induktivitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L . . Serijski RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorski dijagram serijskog RL-kruga . . . . . . Trokuti napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . Serijski RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga . . . Serijski RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga . . . . . Trokut otpora serijskog RLC-kruga . . . . . . . . Paralelni RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . Paralelni RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . Paralelni RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijagrami paralelnog RLC-kruga . . . . . . . . . Trokuti otpora i snaga . . . . . . . . . . . . . . . . Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz . Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . Elektriˇcni elementi u krugu izmjeniˇcne struje . . Kombinacija R, L i C u krugu izmjeniˇcne struje .

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..

140 141 142 142 144 145 145 146 146 147 147 148 148 149 149 150 151 151 152 155 156 157 158 158 160 161

1

ELEKTROSTATIKA

P OGLAVLJE

Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izuˇcavanjem i primjenom elektriˇcnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izuˇcavanjemodvo pripada prirodnim znanostima i cˇini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom ˇcini nadgradnju i pripada tehniˇckim znanostima. U tumaˇcenju elektriˇcnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja strukture materije i njezinih elektriˇcnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanju elektriˇcnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Elektriˇcni naboji mogu se smatrati svojevrsnim elementarnim cˇ esticama, djelićima materije i nosiocima njezinih elektriˇcnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih vanjskih manifestacija, a to su elektriˇcne i magnetske sile. Djelovanje elektriˇc nih naboja ovisi i o znaˇcajkama prostora oko njih. Elektriˇcni naboji mogu u prostoru mirovati ilibiti u pokretu. Naboji u mirovanju nazivaju se statiˇ cki naboji . Naboji u gibanju mogu imati razliˇcite smjerove, a oni u usmjerenom gibanju cˇ ine elektriˇ cnu struju . Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastajuu prostoru oko mirujućih elektriˇcnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumaˇci se elektriˇcnim poljem, posebnim stanjem prostora, koje svaki naboj stvara u svom okolišu. U prostoru oko statiˇckih naboja zbivaju se elektriˇcne pojave, pa se to stanje prostora naziva elektriˇcnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju se uz elektriˇcne i magnetske pojave. U njemu se pored elektriˇcnog javlja i magnetsko polje, a zajedniˇcki se naziva elektromagnetskim poljem .

1.1

S TRUKTURA MATERIJE

Poznato je da se materija sastoji od tvari u cˇistom stanju i od onih u obliku smˇ jesa. Ciste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju kemi jskim elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti na jednostavnije. Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno nova svojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od razliˇcitih elemenata i spo jeva. 1

1. ELEKTROSTATIKA Najsitnije su cˇ estice elementa koje još predstavljaju element atomi . Danas je poznato 105 elemenata, a time i 105 razliˇcitih vrsta atoma. Najmanji medu ¯ njima je atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 · 10−10 m, a najveći je atomcezija, promjera 5,3 ·10−10 m. Veliˇcina svih ostalih atoma krećeseuspomenutim granicama. Svi atomi izgradeni su od elementarnih cˇ estica, a njihovu gradu ¯ ¯ utvrdili su fiziˇcari E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotaˇca (slika 1.1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne cˇestice koje cˇ ine njegovu jezgru. To su protoni , neutroni i ostale cˇ estice. Oko jezgre atoma kreću se velikim brzinama elektroni tako da cˇine omotaˇc oko nje. Elektroni su elementarne cˇesticekoje posjeduju negativni elektriˇcni naboj. Masa elektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase koju ima najmanji atom, atom vodika. Protoni su elementarne cˇ estice koje posjeduju naboj jednak po veliˇcini naboju elektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka jedinici atomske mase. omotaˇc atom

elektroni (+ naboj)

protoni (- naboj) jezgra

neutroni ostale cˇestice

S LIKA 1.1: Sastav atoma

Koliˇcina naboja koju posjeduju elektron i proton naziva se elementarni naboj , jer ga u prirodi nema manjeg. Neutroni nemaju elektriˇcnog naboja, a masa im je približno jednaka masi protona, odnosno jedinici atomske mase. Ostale cˇestice u jezgri kao npr. pozitron , mezon , neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno i brzo se raspadaju. Pri raspadanju pretvaraju se jedne u druge i bez znaˇcenja su za elektriˇcne pojave. U normalnim uvjetima broj elektrona u omotaˇcu jednak je broju protona u jezgri, što znaˇci da svaki atom sadrži jednaku koliˇcinu pozitivnog i negativnog naboja i promatrano izvana elektriˇcki je neutralan. Dimenzije elektrona i protona nije moguće pouzdano odrediti, jer te cˇ estice nemaju oštre granice. Nije ih moguće ni vidjeti, već je moguće u odredenim uvjetima ¯ vidjeti i snimiti tragove koje ostavljaju pri prolazu kroz odre dena sredstva. Iz tih ¯ tragova moguće je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj. Izmedu ¯ protona, neutrona i ostalih cˇ estica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ih drže na okupu. To su nuklearne sile. Izmedu postoje ¯ protona i elektrona, medutim, ¯ elektriˇcne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom. Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u omotaˇcu istovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin . Uz to 2

Struktura materije se mijenja i položaj omotaˇca u odnosu na jezgru. Atomi razliˇcitih elemenata medusobno se razlikuju po broju protona u jezgri i ¯ broju elektrona u omotaˇcu. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan proton u jezgri i jedan elektron u omotaˇcu. Atom helija ima dva protona i dva elektrona, litija tri protona i tri elektrona itd. Atomi istog elementa mogu se medusobno razlikovati samo po broju neutrona. ¯ Pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masi zbograzliˇcitog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom je izotopurana U kojiima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neke jednostavnije primjere modela atoma prikazuje slika 1.2. Jedino je jezgra atoma obiˇcnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalih atoma pored protona sadrže i neutrone. Svi elektroniu omotaˇcu nemaju jednakuenergiju. S obzirom na sadržaj energije pojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omotaˇcu raspodjeliti u 7 ljusaka ili ovojnica .

e

L

e

K

p p

n

n p e

vodik 11 H

helij He

litij Li

S LIKA 1.2: Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron)

Te se ljuske prema svojem redoslijedu oznaˇcavaju slovima K , L , M , N , O , P i Q , pri cˇ emu se ljuska najbliža jezgri oznaˇcava s K , a najudaljenija s Q . Elektroni u ljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanjska ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 · n 2 , gdje je n broj ljuske raˇcunajući od jezgre. Na slici 1.2 prva dva atoma imaju jednu, a treći dvije ljuske.

1.1.1 E LEMENTARNI NABOJ U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je dogovorno pridodan naziv ’pozitivni ’ (kod protona), a drugima ’negativni ’ (kod elektrona). Iakojemasaprotonave´ ca od maseelektrona, njihov naboj je po apsolutnom iznosu jednak i iznosi:

Q 0 = 1,6 · 10−19 As 3

1. ELEKTROSTATIKA Veliˇcinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. god. fiziˇcar R. A. Millikan , a izražava se u ampersekundama [ As ] ili kulonima [C ]. Proton je cˇ vrsto vezanu jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijamamedu ¯ jezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do promjene sadržaja jezgre, a traju vrlo kratko. Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacije atoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u elektriˇcnim po javama je stoga aktivnije. Elektroni u atomu mogu posjedovati samo odredenu konaˇcnu koliˇcinu energije ¯ igibatiseputanjamaodre denimnjihovom energijom. Oni nastoje zaposjesti putanje ¯ koje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju ljuske bliže atomskoj jezgri. Takav se atom nalazi u normalnom stanju. Dovodenjem energije atomu u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže se nje¯ govo uzbudeno stanje, pri cˇ emu elektroni mogu primiti toliko energije da mogu ¯ promijeniti ljusku i prijeći u ljuske udaljenije od atomske jezgre. Mogu se cˇ ak i osloboditi veze s jezgrom i napustiti atom. Obratno, elektroni mogu izvana biti ubaˇceni u putanje oko jezgre. Postupak koji vodi do promjene broja elektrona naziva se ionizacijom . Ako elektron napusti atom, narušava se nabojska ravnoteža atoma, jer ukupni pozitivni naboj protona postane veći od ukupnog negativnog naboja preostalih elektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih naboja postaje pozitivni ion. Ako medutim u atom ude ¯ ¯ jedan elektron i time ukupni negativni naboj elektrona postane veći od ukupnog pozitivnog naboja protona, atom postaje negativni ion (slika 1.3).

atom

e

e

pozitivni ion

atom

negativni ion

S LIKA 1.3: Ionizacija atoma

Svaka kemijska veza temelji se na razmjeni elektrona medu ¯ atomima. U skupini atoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima u njoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se smatraju elektriˇcki nabijeni atomi ili njihove skupine. Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao naboj elektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao naboj pozitivnih iona.

ˇ SVOJSTVA TVARI 1.1 .2 E LEKTRI CNA

4

Elektriˇcno polje naboja Pokretljivost i gustoća naboja nastalih ionizacijom, utjeˇce na osnovno elektriˇcno svojstvo tvari - elektriˇ cnu vodljivost . Tvari koje se odlikuju velikom elektriˇcnom vodljivošću nazivaju se vodiˇ cima . U njih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi medusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanju ¯ javlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i pritom nailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodiˇ ci . Vodiˇcimatakoderpripadaju ¯ elektroliti i vodljivi plinovi . Elektroliti su soli odnosno krute tvari kristalne strukture s ionskom vezom medu ¯ atomima, te kiseline i lužine otopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se odredeni ¯ broj suprotno nabijenih iona. Sliˇcno se stanje javlja i kod nekih plinova. Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretljivost i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, ˇcega pri gibanju elektrona nema. Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodiˇ cima . Uz vodiˇce postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom elektriˇcnom vodljivošću. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima . U njih se ubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi medusobno povezuju ¯ kovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su cˇ vrsto vezani uz jezgre fiksirane u kristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubra jaju i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir, staklo, mineralna ulja, cˇ ista voda i nevodljivi plinovi, te vakuum. Medu du atom¯ tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvariu kojih veza me¯ ima može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno man jom vodljivošću nego što je imaju vodiˇci, ali većom od one izolatora, pa se nazivaju poluvodiˇ cima . Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fiziˇckim i kemijskim utjecajima. Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija, germanija i selena. Slobodni elektroni u krutim vodiˇc ima gibaju se u prostoru izmedu ¯ atoma kaotiˇcno, bez rezultatntnog smjera, što podsjeća na gibanje molekula plina. Pritom je njihov statistiˇcki raspored takav da je vodiˇc, izvana promatrano, elektriˇcki neutralan. Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodiˇcu tek pod vanjskim utjeca jem, kojim se elektronu dodaje usmjerena komponenta. Srednja brzina kaoticnog ˇ 6 gibanja elektrona u vodiˇcu reda je veliˇcine 10 m /s , a brzina njihova usmjerenog gibanja 10−2 m /s . Pri prolazu struje kroz pojedine tvari mogu se ostvariti toplinski, magnetski, kemijski, svjetlosni i fiziološki uˇcinci. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i njima se bavi tehniˇcki dio elektrotehnike. Toplinski uˇcinci koriste se u elektrotermiji, magnetski kod elektriˇcnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a fiziološki u djelovanju elektriˇcne struje na žive organizme.

ˇ POLJE NABOJA 1.2 E LEKTRI CNO Prouˇcavanjeelektricitetapovijesno se bilo zapoˇceloprouˇc avanjemsilakojeseuoˇ cavaju izmedu ¯ nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatijinaˇcin elektriziranja (odvo5

1. ELEKTROSTATIKA denja ili dovodenja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uoˇcenih sila dovela ¯ ¯ je do zakljuˇcka da u elektriˇcnim pojavama postoje dvije elektriˇcne veliˇcine: naboj i polje. Elektriˇcni naboj javlja se kao svojstvo cˇ estica, a elektriˇcno polje se zamjećuje kao polje sila oko nabijenih cˇ estica, oko naboja. A. Coulomb je još 1785. godine uoˇcio i formulirao osnovni zakon o sili izme du ¯ elektriˇcki nabijenih tijela. Coulombova sila oblikom se izraza podudara s Newtocni naboji, novom gravitacijskomsilom , samo što u njoj umjesto masa dolaze elektriˇ a s obzirom da mogu biti i pozitivnii negativni, slijedi da se elektrizirana tijelamogu i odbijati, a ne samo privlaˇciti. Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu izme du ¯ vrlo malih elektriˇcnih tijela, koja se mogu smatrati matematiˇckim toˇckama (tzv. toˇckasti naboj ili test-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednostavne za prouˇcavanje i mjerenje kad se toˇckasti naboj nade ¯ u okolišu velikog, na primjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1.4). Neka se pretpostavi da su i tijelo i kuglica nabijeni pozitivnim elektriˇcnim nabojem. Pokusom se opaža da je sila na nabijenu kuglicu to već aštojeveći iznos Q naboja kojim je nabijena i to u bilo kojoj toˇcki prostora.

P3 + +

P2

+

+ +

+

+ +

P1 +

+

S LIKA 1.4: Elektiˇ cna sila u okolišu nabijenog tijela

Ako se pak, uz neizmjenjen naboj kuglice, mijenja njezin položa j oko metalnog tijela (P 1 , P 2 , P 3 ,...) sila na kuglicu imat će općenito razliˇcitu veliˇcinu i smjer. Sila ovisi dakle i o fizikalnoj veliˇcini stvorenoj prisutnošću nabijenog tijela. Ta se veliˇcina zove elektriˇ cno polje nabijenog tijela i njen iznos oznaˇcuje se s E . Sila na toˇckasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih veliˇcina:

F = Q · E [N ]

(1.1)

gdje su:

Q - naboj [As] E - jakost elektriˇcnog polja [V/m] Elektriˇcno polje zamjećuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih ˇcestica. Kad se u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj 6

Elektriˇcno polje naboja naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okolnihnaboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Elektriˇcno polje je rezultat djelovanja svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog naboja u taj prostor mijenja se i polje). Jakost elektriˇ cnog polja E , u nekoj toˇcki jednaka je omjeru sile F na naboj (postavljen u tu toˇcku) i veliˇcine naboja Q , a smjer polja jednak je smjeru koji bi imala elektriˇcna sila na pozitivni naboj postavljen u tu toˇcku. J Jakost polja u odredenoj toˇcki prostora može se odrediti, poznavajući silu F na ¯ naboj Q (doveden u tu toˇcku) s pomoću jednadžbe

E =

F [V /m ] Q

Jedinica za jakost elektriˇcnog polja je volt po metru (V /m ). Silnice elektriˇcnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem elektriˇcne sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i usmjerene su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoća silnica razmjerna je gustoći elektriˇcnog polja. Obiˇcno se pod pojmom ’elektriˇcno polje’ misli na ’jakost elektriˇcnog polja’, tj. na iznos vektora. Budući da se sila u svakoj toˇcki općenito mijenja (po smjeru i/ili iznosu), znaˇci da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj toˇcki prostora, može se izravno iz izraza (1.1) izraˇcunati sila na bilo koji elektriˇcni naboj koji se dovede u bilo koju toˇcku tog prostora. Odavde se razabire praktiˇcna korist elektriˇcnih polja, koja se zbog toga i grafiˇcki predoˇcuju. Elektriˇcno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja posebno. Budući da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se predoˇciti linijama polja ili silnicama. Smjer elektriˇcnog polja jednak je smjeru djelovanja elektriˇcne sile na pozitivan naboj (slika 1.5), pa je u okolišu pozitivnog naboja suprotan od onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji je doveden u njihov okoliš.

a) električno polje pozitivnog naboja

b) električno polje negativnog naboja

S LIKA 1.5: Elektriˇ cno polje jednog naboja

7

1. ELEKTROSTATIKA Elektriˇcno polje dvaju naboja prikazuje slika 1.6. Tu je polje u svakoj toˇcki vektorski zbroj polja iz slike 1.5. Tangenta u svakoj toˇcki silnice pokazuje pravac djelovanja sile. I ovdje se ta sila zorno uoˇcava kao vektor sile test naboja. Dugo vremena su polja bila shvaćana kao matematiˇcke konstrukcije kojima su se pregledno mogle prikazati sile u okolišu elektriˇcnih naboja. Realnim su smatrane samo sile i naboji. Zahvaljujući Maxwell -u i Faraday -u, polja dobivaju realna obil ježja, ništa manje stvarna nego su vidljivi mehani cˇki predmeti koji nas okružuju. Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su prouˇcavanjem elektromagnetskih valova .

a) naboji suprotnog polariteta

b) naboji istog polariteta

cno polje dvaju naboja S LIKA 1.6: Elektriˇ

Tu naboji nemaju više svoja primarna znaˇcenja, već polje. Naboji postaju samo mjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru elektriˇcne silnice. Za pozitivan naboj kaže se da je izvor, a za negativan da je ponor elektriˇcnog polja (slika 1.6). Za elektriˇc nopoljevelisedaje homogeno akousvakojtoˇcki ima jakost jednakog inteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno elektriˇcno polje (slika 1.7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj −Q suprotna je smjeru polja. Budući da i dovedenielektriˇcni naboj stvara vlastito elektriˇcno polje, redovito se pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo. Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, poˇcinje na pozitivnim i završava na negativnim nabojima smještenim na površini. Budući da se naboji ko jim je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) medusobno odbijaju, sav se naboj ¯ rasporedi po površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema elektriˇcnog polja. Svo jstvo elektriˇcnih polja da završavaju na površinama vodiˇca koristi se kod zaštite ti jela od djelovanja elektriˇcnih polja zastorima od metalnih limova ilimetalnih mreža. To je naˇcelo tzv. Faraday -evog kaveza.

1.2 .1 P OLARIZACIJA I INFLUENCIJA 8

Elektriˇcno polje naboja  E

+ + +

− −

F , +Q

−

+

+

− F , −Q −

+ +

− −

S LIKA 1.7: Homogeno elektriˇ cno polje

Kao neposredni rezultat djelovanja sile u elektriˇcnom polju uoˇcavaju se dvije važne pojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski uˇ cinci u vodljivim tijelima . Statiˇcka elektriˇcna polja pri mirujućim nabojima moguća su samo u elektriˇcki nevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i dielektrici (grˇcki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju elektriˇcne sile. U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se dielektrici unesu u elektriˇcno polje, u njima može doći samo do odredenog razmještanja naboja u atom¯ ima i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni u suprotnom, stvarajući tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1.8).  E + −+ −+ −+ + −+ −+ −+ +

... ...

− −+ − −+ −

. . .

+

−

. . .

+ −+ −+ −+ +

...

−+

− −

S LIKA 1.8: Polarizacija dielektrika

S druge pak strane, djelovanje polja na vodiˇce, koji imaju slobodne naboje, manifestirat c´ e se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka. Ta se pojava zove influencija (slika 1.9). Koliˇcina influenciranog naboja (razdvo9

1. ELEKTROSTATIKA jenog) jednaka je koliˇcini naboja koje je influenciju izazvalo (sluˇcaj a).

+ + + + + +

 E

− − − − − − − − −

+ + + + + + + + +

− −

 E

+ + + −−

− −

+

− −

+ +

+ −

a) pod 90o

+

−

+

−

α

+

−

+

+

− − −

+

+ − + − − − − −

b) pod 45o cna influencija S LIKA 1.9: Elektriˇ

Može se pokazati da koliˇcina influenciranog naboja ovisi i o površini na koju je polje djelovalo. Metalne ploˇcice postavljene u homogeno polje na slici 1.9 b ) pod kutem od 450 , zatim razdvojene u polju, pa izvuˇcene iz polja, primit c´ e svaka otprilike 71% naboja u odnosu na pokus a ).

´ ELEKTRI CNOG ˇ TOKA 1.2 .2 GUSTO CA

Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q , ˇcine u prostoru oko naboja elektriˇcni tok cavanja pojava u polju pri razliˇcitim dielektricima uvodi se nova Φ. Radi lakšeg prouˇ vektorska veliˇcina D . Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak plošnoj gustoći influenciranog naboja koji bi se na vodiˇcu u toj toˇcki elektriˇcnog polja izdvojio, inducirao. Naziv tog vektora je gusto´ ca elektriˇ cnog toka , dielektriˇ cni pomak , ili elektriˇ cna indukcija . Gustoća elektriˇcnog toka D u nekoj toˇcki prostora razmjerna je jakosti polja E : (1.2) D = ε · E Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektriˇ cnost (ili dielektriˇ cna konstanta ) i znacˇ ajka je tvari u kojoj se elektriˇcno polje nalazi. Dielektriˇcnost vakuma je ε0 = 8,85 · 10−12 [ As /V m ]. Dielektriˇcnost tvari iskazujese pomoću dielektriˇcnosti vakuma i relativnedielektriˇcnosti εr : ε

10

= ε0 · εr

Elektriˇcno polje naboja Relativna dielektriˇcnost εr je znaˇcajka pojedine tvari koja pokazuje koliko puta je veća gustoća elektriˇcnog toka u toj tvari, nego što bi, uz istu jakost polja, bila u vakumu. Relativna dielektriˇcnost ε r je bezdimenzijski broj i za većinu materijala manji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2 − 4 za staklo), u nekim keramiˇckim masama do 100, a najveće vijednosti idu cˇ ak i do 10000. Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru elektriˇcnoje polje u svakoj toˇcki potpuno odredeno. ¯ Primjerice, uz naboj na jednoj ploˇci Q i površinu ploˇce A , zagustoću elektriˇcnog toka D u homogenom polju, prema slici 1.7 vrijedi:

D =

Q A

U sluˇcaju kugle polumjera R 0 nabijene nabojem Q površinska gustoća naboja je iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj tocki ˇ površine:

Q D = 4R 0 2 π

C m 2

 

(1.3)

1.2.3 C OULOMBOV ZAKON Sila F kojom elektriˇcno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na toˇckasti naboj Q  (u toˇcki A , slika 1.10 a) jednaka je:

F = Q  · E = Q  · gdje je k =

1 4π · ε0 · εr

Q Q · Q  = · k 4πεr 2 r 2

[N ]

(1.4)

konstanta.

Izraz (1.4) zove se Coulombov zakon , a dobiven je povezivanjem izraza (1.1), (1.2) i (1.3). -Q3 3 E

+Q

E r ez  E 1

E 1,2

+Q’ r

A

  E , F

+Q2

A

2 E

+Q1 S LIKA 1.10: Sila na naboj

11

1. ELEKTROSTATIKA Budući da je ε u nazivniku izraza (1.4), oˇcevidno je da se sila izme du ¯ dvaju naboja smanjuje, ako se izolator zamijeni s nekim veće dielektriˇcnosti. Ovisnost elektriˇcnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izolatora na prilike u elektriˇcnom polju. Ako se u prostoru nalazi više toˇckastih naboja, kao na primjer +Q 1 , +Q 2 i −Q 3 na slici 1.10, jakost polja u nekoj toˇcki A odreduje se vektorskom superpozicijom ¯ jakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj Q A u toˇcki A imala bi iznos i smjer prema (1.4) jednak F = Q A · E r ez .

ˇ POTENCIJAL 1.3 E LEKTRI CNI Odredivanje jakosti polja u nekoj toˇcki kao rezultat djelovanja više polja pojedi¯ naˇcnih naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva duži raˇcun zbog vektorske prirode polja. Oˇcevidna je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom skalarnom veliˇc inom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u elektriˇcnom polju. Tu potrebu, osobito u pogledu energetskih odnosa, zadovoljava elektriˇ cni potencijal . Kad se naboj nade ¯ u elektriˇcnom polju jakosti E , na njega djeluje sila F prema (1.1). Ako se naboj giba po putanji s , sila c´ e na putu d s obavljati rad:

dW = F · d s · co s (α) = Q · E · d s · co s (α)

(1.5)

gdje je α kut izmedu ¯ putanje naboja i smjera polja (silnice) u promatranoj toˇcki. Ako se naboj giba po silnici, kut α = 0. Naboj se giba dok na njega djeluje sila, tj. dok se nalazi pod djelovanjem polja. Sila išˇc ezava i naboj se prestaje gibati tek u ∞, gdje i polje poprima iznos 0. Ukupni rad kojeg naboj obavigibajućiseizneketoˇcke polja A do ∞ iznosi:

 ∞ =

W

0

Q · E · d s · co s (α)

Rad koji naboj Q može obaviti krećući se do ∞ oˇcevidno je važna znaˇcajka te toˇcke. Ako se taj rad podijeli s nabojem Q , dobiveni omjer ne ovisi o naboju, nego predstavlja energetski potencijal neke toˇcke polja i naziva se elektriˇ cni potencijal .

W = ϕ= Q

∞ A

E · d s · co s (α) = −

A



∞

E · d s · co s (α) =



E · d s · co s (α)

(1.6)

Granice integracije ispuštaju se, jer A može biti bilo koja toˇcka. Jedinica za potencijal je volt [V ], a važne znaˇcajke potencijala su: • dvije su toˇcke na istom potencijalu ako izraz (1.5) daje za svaku isti iznos. Takve toˇcke zovu se ekvipotencijalne toˇ cke . • oblik putanje s od toˇcke polja A do ∞ ne utjeˇce na iznos (1.6) potencijala 12

Elektriˇcni potencijal • ako putanja ima istu poˇcetnu i završnu toˇcku, onda je obavljeni rad jednak nuli, tj.



,

E · d s = 0

• rad potreban za gibanje naboja po toˇckama istog potencijala jednak je nuli (α = 900 ) (slika 1.11), • linije (plohe) koje cˇ ine toˇcke istog potencijala okomite su na silnice (smjer polja), • potencijalna energija koju ima naboj u nekoj toˇcki polja iz (1.6) iznosi jednostavno W = Q · ϕ = 0 • poznavajući potencijale bliskih toˇcaka moguć e je iz (1.6) izraˇcunati jakost polja: d ϕ d ϕ =− E =− d s · cos (α) dl gdje je dl element silnica u smjeru polja • polje je uvijek usmjereno od toˇcke višeg potencijala prema toˇcki nižeg potencijala. Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jednaka "potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile, na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije kod tog spuštanja. Pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne mijen jaju razinu i ne daju rad. Sliˇcno se i naboju u elektriˇcnom polju, a i samim toˇckama u kojima se naboj može naći, mogu pripisati razliˇcite potencijalne energije, odnosno energetske razine. Opravdano je poˇcetni nivo potencijalneenergije uzeti u beskonaˇcnosti. Tamo je jakost elektriˇcnog polja E jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energije pri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Q dovede iz beskonaˇcnosti u neku toˇcku elektriˇcnog polja izvršeni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u toj toˇcki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja. Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonaˇcnost, na tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad. Omjer izmedu ¯ rada potrebnog da se naboj Q iz bskonaˇc nosti dovede u neku toˇc kupolja i naboja Q na kome je rad izvršen zove se elektriˇ cni potencijal te toˇcke.

∞ − Q A ∞ E · co s (α) · d s W = Q · E · co s (α) · d s = − = − E · co s (α) · d s (1.7) ϕ= Q A Q







Potencijalna energija naboja Q u nekoj toˇcki elektriˇcnog polja lako se izražava pomoću potencijala ϕ te toˇcke i iznosa naboja:

W = Q · ϕ

[ J ] 13

1. ELEKTROSTATIKA Prema tomu, akose kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje toˇcke potencijala ϕ do bilo koje toˇcke potencijala ϕ1 , potencijal promijeni za ϕ1

− ϕ = −d ϕ = E · dl

(1.8)

onda iz gornjih izraza (1.7) i (1.8) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen s pomoću potencijala:

d ϕ (1.9) dl Razlika potencijala dviju toˇc aka u elektriˇcnom polju zove se napon i oznaˇc uje se s V (ameriˇcka varijanta) ili s U (njemaˇcka varijanta). Napon je jedan od najvažnijih pojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri. Treba uoˇciti da bi rad izmedu ¯ dviju toˇcaka u elektriˇcnom polju E bio isti bez obzira na krivulju s po kojoj bi se naboj gibao. Drugim rijeˇcima, to znaˇci da rad ovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu: E =−



(s )

E s · d s

 =

(s 1 )

E s · d s = .. . = ϕ − ϕ1 = V

U posebnom sluˇcaju, kad su izvorišna i odredišna toˇcka iste, tj. kad je krivulja puta zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imat c´ e vrijednost nula:



E s · d s = 0

(1.10)

Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika potencijala izmedu ¯ dviju toˇcaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije istog potencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije ,(slika 1.11).

a) jedan naboj

b) dva istovrsna naboja

c) dva razli čita naboja

S LIKA 1.11: Ekvipotencijalne linije

S obzirom da je u realnosti prostiranje elektriˇcnog polja trodimenzionalano, govori se o ekvipotencijalnim plohama. Buduć i da za gibanje naboja po ekvipoten14

Elektriˇcni kapacitet cijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti elektriˇcnog polja (elektriˇcne silnice) okomiti su na ekvipotencijalne plohe. Ako primjerice u elektriˇcnom polju, zbog jednostavnosti homogenom, toˇcka A ima potencijal ϕ A , a toˇcka B potenijal ϕB i neka je ϕ A > ϕB , polje E bit c´ e u smjeru A → B . Razlika potencijala iznosi A

 =− ∞  =− ∞  =−

ϕ A ϕB

−

B

A

B

= V AB

E · dl E · dl

B

 + ∞  −

A

B

E · dl E · dl

 +

B

∞

E · dl

E · dl [V ]

Napon V AB je potencijal toˇcke A u odnosu na referentnu toˇcku B , a V B A je potencijal toˇcke B u odnosu na referentnu toˇcku A . Oˇcevidno vrijedi:

V B A = −V AB Pozitivni naboj Q koji prolazi razliku potencijala V AB krećući se od A prema B obavlja rad (1.11) W = Q · V AB Ako se naboj kreće od toˇcke B prema A , giba se nasuprot polju i rad se treba uložiti. Napon se kao razlika potencijala dostupnih toˇc aka mnogo koristi i lako se mjeri voltmetrima.

ˇ KAPACITET 1.4 E LEKTRI CNI Prikljuˇce li se ploˇcaste elektrode na elektriˇcki izvor (npr. na bateriju ili akumulator), na njima c´ e se pod utjecajem napona izvora V razdvojiti jednake koliˇcine naboja suprotnog predznaka Q , koji c´ e u dielektriku medu ¯ ploˇcama stvoriti elektriˇcno polje stalne jakosti E (slika 1.12). Ako se za referentnu toˇcku izabere negativna elektroda s potencijalom 0, toˇcka udaljena l od referentne imat c´ e potencijal ϕ

 =−

 =− −

( E ) · dl = E · l

E · dl

(1.12)

dakle,potencijal linearno raste. Za l = d razlika potencijala jednaka je prikljuˇcenom naponu ϕ = V , te slijedi

V = E · d

ili

E =

V d 15

1. ELEKTROSTATIKA Izraz (1.12) je u suglasju s (1.9) i omogućuje lako nalaženje iznosa polja E . U homogenom polju homogena je i elektriˇcna influencija D = ε E s iznosom Q jednakim plošnoj gustoći naboja D = A . Naboj Q koji se izdvojio na elektrodama jednak je

V ε A = · V = C · V d d Faktor C sadrži znaˇcajke materijalaa i geometrije izmedu ¯ ploˇca i naziva se kapacitet. Kapacitet pokazujesposobnost sustavaelektroda da kod prikljuˇ cenog naboja pohranjuje naboj. Ako se djelovanjem napona u nekom sustavu pohranjuje razm jeran naboj, onda taj sustav posjeduje kapacitet Q = A · D = A · εE = A ε ·

Q (1.13) V Oznaka za kapacitet je C , a jedinica farad (F ). Vrijedi uoˇciti da se nabijene elektrode mogu i odvojiti od izvora, a da se ništa ne mijenja: ostaje naboj na elektrodama i napon medu ¯ njima, te elektriˇcno polje u dielektriku. Ovdje se može pokazati korist potencijala pri raˇcunanju energije (rada). Ako se (slika 1.12) pozitivni naboj Q pomiˇce iz toˇcke M 1 u toˇcku M 2 , utrošit c´ e se rad jednak razlici potencijalnih energija C =

W = Q · ϕ1 − Q · ϕ2 = Q (ϕ1 − ϕ2 ) = Q · V 12 Kako je ϕ1 < ϕ2 , tj. V 12 < 0 i rad je negativan, jer je utrošen na pomicanje naboja suprotno silama polja.

1.5 KONDENZATOR Elektriˇcni element koji e namijenjen ostvarivanju kapaciteta i kome je glavno svo jstvo kapacitet naziva se kondenzator . Tvore ga ploˇcaste elektrode izmedu ¯ kojih se nalazi dielektrik. Izvedbe kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda (ploˇcasti, cilindriˇcni, kuglasti...) i vrstu izolatora (zraˇcni, keramiˇcki, elektrolitski, ...). Ako se nabijeni kondenzator prikljuˇci na izvor napona V , naboj iz izvora stru jat c´ e prema elektrodama dok se izmedu ¯ njih ne uspostavi isti napon. Taj proces naziva se nabijanje kondenzatora . Na svakoj elektrodi naći c´ e se jednaka koliˇcina naboja, samo suprotnog predznaka. Izolator izme¯ du elektroda sprijeˇcava da se naboji ponište. Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora imaju kapacitete u iznosima µ F (10−6 F), nF (10 −9 F) i pF (10 −12 F). S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi kondenzatori. Simboli kondenzatora prikazani su na slici (1.13). Osnovna obilježja kondenzatora su: 16

Kondenzator

d  E

− − −

−Q

+

−

+ + Q

− −

+ +

+Q

+ +

V V 2 V 1

M 1

M 2 l

S LIKA 1.12: Elektriˇ cno polje i potencijal kondenzatora

a) stalnog kapaciteta

b) promjenljivog kapaciteta

c) elektrolitski

S LIKA 1.13: Simboli kondenzatora

• nazivni kapacitet C n u [ F ], • tolerancija (dopušteno odstupanje od C n ) u postocima, • dopušteno temperaturno podruˇcje u 0 C , • nazivni radni napon [V ] i napon proboja Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove. Napon proboja proizlazi iz najvećeg iznosa jakosti polja koji dielektrik može podnijeti. Kod previsokih iznosa polja dolazi u dielektriku do lavinske ionizacije popraćene lokalno ekstremnim temperaturama. Pojava traje kratke i zbog prom17

1. ELEKTROSTATIKA jena u dielektriku redovito dovodi do neupotrebljivosti kondenzatora. Kvalitetniji dielektrici posjeduju više iznose probojnih polja.

1.5 .1 S POJEVI KONDENZATORA Ako su u praksi potrebni kapaciteti cˇija vrijednost se ne nalazi u nizu raspoloživih, moguće je razliˇcitim spajanjem više kondenzatora postići željenu vrijednost kapaciteta. Spajanje dvaju kondenzatora moguće je na dva osnovna naˇcina: serijski i paralelno . Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom osnovnih naˇcina s tri i više kondenzatora. Serijski spoj postižese spajanjem kondenztora u niz, tako da je svakikondenzator povezansa susjednim s pomoću jedne svoje elektrode. Poˇcetna elektroda prvog i završna zadnjeg serijski spojenog kondenzatora nemaju susjedni konedenzator i predstavljaju izvode serijskog spoja. U paralelnom spoju jedna elektroda svakog kondenzatora spaja se u jednu za jedniˇcku toˇcku, a druga u drugu zajedniˇcku toˇcku. Zajedniˇcke toˇcke predstavljaju izvode paralelnog spoja.

1.5.1.1 Serijski spoj Prikljuˇci li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1.14), lijeva ploˇca kondenzatora C 1 i desna ploˇca kondenzatora C 3 nabit c´ e se u kratkom vremenu nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka. Influencijom c´ e se i na desnoj ploˇci kondenzatora C 1 , kao i na lijevoj ploˇci kondenzatora C 3 , pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva ploˇca kondenzatora C 2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu ploˇcu C 1 postaje pozitivna, a njegova druga ploˇca s istog razloga negativna. Tako se nakon nabi janja (prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru nalazi jednak iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Q s serijskog spoja doveden iz izvora napona V :

C 1

C 2

C 3

+ −

+ −

+ −

V 1

V 2

V 3

+− V S LIKA 1.14: Serijski spoj triju kondenzatora

Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q s 18

(1.14)

Kondenzator Onaj ekvivalentni C s koji bi pod djelovanjem istog napona V s pohranio isti naboj Q s je:

V = V s =

Q s C s

(1.15)

oˇcevidno je identiˇcan u nabojskom pogledu serijskom spoju. C s se naziva kapacitet serijskog spoja kondenzatora. Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinaˇcnih:

V = V 1 = V 1 + V 2 + V 3

(1.16)

Iz (1.14) mora i za svaki kondenzator vrijediti:

V 1 =

Q 1 C 1

V 2 =

Q 2 C 2

V 3 =

Q 3 C 3

što zajedno s (1.15) i (1.16) daje za spoj na slici (1.14): 1 1 1 1 = + + C s C 1 C 2 C 3 odnosno općenito: 1 = C s

 n

1 C n

(1.17)

Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.17) iznosi tako:

C s = a za n jednakih kondenzatora C 1 :

C 1 · C 2 C 1 + C 2

C 1 n Kapacitet serijskog spoja C s manji je od najmanjeg kapaciteta serijsko spojenih kondenzatora. Serijski se spoj cˇ esto primjenjuje tamo gdje je dopušteni napon jednog kondenzatora manji od napona izvora V s . C s =

1.5.1.2 Paralelni spoj Prikljuˇce li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona V , kao na slici (1.15), na svakom c´ e od njih postojati isti napon:

V = V 1 = V 1 = V 2 = V 3

(1.18)

a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit c´ e odveliˇcine njegova kapaciteta. Za pojedine kondenzatore vrijedi:

Q 1 = C 1 · V 1

Q 2 = C 2 · V 2

Q 3 = C 3 · V 3

(1.19) 19

1. ELEKTROSTATIKA

V

+

+ −

+

C 1

C 2

+

C 3

S LIKA 1.15: Paralelni spoj kondenzatora

Paralelni spoj kondenzatora bit c´ e nabojskiekvivalentan kondenzatoru kapaciteta C p ako vrijedi:

Q p = C p · V

(1.20)

gdje je:

Q p = Q 1 + Q 2 + Q 3 Iz izraza (1.18), (1.19) i (1.20) slijedi da ekvivalentni kapacitet C p paralelno spo jenih kondenzatora jednak:

C p = C 1 + C 2 + C 3 odnosno općenito:

C p =

 n

C n

Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp jednak je:

C p = n · C n Kondenzatori se spajaju paralelno kad je kapacitet pojedinaˇcnog nedostatan. Kapacitet paralelnog spoja već i je od kapaciteta najvećeg paralelnog kondenzatora.

1.5.1.3 Mješoviti spoj Paralelnim spajanjem povećava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim smanjuje. Kod serijskog spoja ukupni prikljuˇceni napon dijeli se na pojedine kondenzatore, a kod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti. Ponekad je potrebno realizirati kapacitet cˇija vrijednost nije u standardiziranom nizu. U tu svrhu koriste se razliˇciti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje slika (1.16). Mogu se ostvariti razliˇcite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja izraˇcunava se postupnim odredivanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih grupa. ¯ Onmožebitimanjiiliveći od kapaciteta pojedinog kondenzatora ilipojedine skupine kondenzatora,već prema tome da li prevladava utjecaj serijskih iliparalelnih skupina. 20

Kondenzator

C 2

C 3

C 23

C 1

C 1 C 4

C 5

C 45

+−

+−

V

V

C 23 = C C 22+C C 33

C 1

C 45 = C C 44+C C 55

C P

C

+−

+−

V

V

C C

C = C 11+C pp

C p = C 23 + C 45 S LIKA 1.16: Mješoviti spoj kondenzatora

1.5.2 E NERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA Kad se prazan kondenzator prikljuˇci na izvor napona V ,kaonaslici (1.17), kondenzatoru se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala V meduploˇ cama. Nakon ¯ odredenog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V i poprimi ¯ napon izvora V . Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za d q uzrokuje porast napona za d v , prema:

d q = C · d v Malim slovima oznaˇcuju se trenutne vrijednosti pojedinih veliˇcina. Kod gibanja naboja d q , elektriˇcno polje prema izrazu (1.11) obavlja rad:

dW = v · d q = v · Cd v = C · v · d v 21

1. ELEKTROSTATIKA

i Q

C

+ − +− V S LIKA 1.17: Nabijanje kondenzatora

Ovaj je rad utrošen u stvaranje polja u dielektriku i povećanju energije kondenzatora. Kondenzator se nabija na napon V , te je pohranjena energija:

C · V 2 [ J ] dW = C v · d v = 2 0 S pomoću izraza (1.13) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju nabijenog kondenzatora: V



C · V 2 Q · V Q 2 = 2 = 2 · C (1.21) W = 2 Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izmedu ¯ ploˇca (elektroda), kao energija elektriˇcnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, elektriˇcno polje u izolatoru se razgraduje. Ta se energija oslobada ¯ ¯ i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u elektriˇcnu. Pritom se nabijeni kondenzator može izbiti u dužem ili kraćem vremenu. Srednja snaga kod izbijanja, ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod elektronskih bljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u zraku ili izolacijskoj tekuć ini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i naˇcelo elektroerozijske obrade metala. Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija elektriˇcnog polja, lako se vidi povezujući izraze (1.21) i (1.11):

W =

C · V 2 2

2

2

= ε · 2 A · d · V 2 = ε · 2 A · d · E 2 · d 2 = ε ·2E · A · d = ε ·2E · V ol

gdje je: V ol - volumen kondenzatora.

1.5 .3 P RIRODNI KONDENZATOR Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces isparavanja i kondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare izmedu ¯ kapljica vode i 22

Appleti razliˇcitih cˇ estica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima elektroni izbi jeni iz cˇ estica cˇine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju oblaka. Tako se podnožje oblaka može usporediti s negativnom ploˇcom kondenzatora. Taj naboj uzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja se zbogtoga možeusporediti s pozitivnom ploˇcom kondenzatora.

S LIKA 1.18: Prirodni kondenzator

Zrak izmedu ¯ oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora. Elektriˇcno polje izmedu ¯ oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone u zraku. Razlika potencijala izmedu ¯ oblaka i zemlje može postati tako velika i polje tako jako da se ostvari ionizacija u lavinskom obliku; kaže se da je došlo do proboja zraˇcnog dielektrika. Ioni i slobodni elektroni ostvaruju svojimgibanjem struju izmeduoblakaizemlje,štojepopra´ ceno optiˇc kom i akustiˇcnom pojavom (munja, grom). ¯ Pritom se nastali prirodni kondenzator ispraznio (atmosfersko pražnjenje).

1.6 A P PLETI ˇ POLJE NABOJA 1.6.1 E LEKTRI CNO

Ovaj applet omogućuje promatranje elektriˇcnog polja dobivenog razliˇcitim kombinacijama pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni naboj, a plavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne linije (linije istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore elektriˇcnog polja. Naboje možemo pomicati po ekranu pomoću miša. Slijedi opis padajućeg izbornika: SETUP - pruža mnogo mogućnosti, od kojih je ovog cˇ asa zanimljivo samo elektriˇcno polje naboja (pozitivnih i negativnih): • SINGLE CHARGE - jedan pozitivan naboj 23

1. ELEKTROSTATIKA

S LIKA 1.19: Applet - elektriˇ cno polje naboja

• DOUBLE CHARGE - dva pozitivna naboja • DIPOLE CHARGE - jedan pozitivan i jedan negativan naboj MOUSE - odreduje ¯ što c´ e se dogadati ¯ lijevim click-om miša: • MOVE OBJECT - vuku se objekti po zaslonu • DELETE OBJECT - brišu se objekti po zaslonu • ADD + DRAGGABLE CHARGE - dodaju se pozitivni naboji na zaslon • ADD − DRAGGABLE CHARGE - dodaju se negativni naboji na zaslon • CLEAR SQUARE - brišemo pozadinu SHOW - odreduje ¯ što c´ e biti prikazano na ekranu: • SHOW ELECTRIC FIELD (E) - bit c´ e prikazano elektriˇcno polje pomoću strelica. Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih, zatim postaju bijele, kako polje postaje jaˇce. • SHOW E LINES - bit cé prikazane linije elektriˇcnog polja. Boja linija ide od tamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje postaje jaˇce. Gustoća linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima jaˇcina polja trebamo gledati boju linija, a ne njihovu gustoću. • ACCURACY - odreduje ¯ se toˇcnost prikazivanja polja Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL briše se cijeli zaslon. • STOP CALCULATION - zaustavlja se izraˇcun polja 24

Appleti • ENABLE CURRENT - prikazuje se tok struje • DRAW EQUIPOTENTIALS - prikazuju se ekvipotencijalne linije S pomoću klizaˇca: • RESOLUTION - namješta se rezolucija • BRIGHTNESS - namješta se osvjetljenje • EQUIPOTENTIALCOUNT - namješta se broj ekvipotencijalnih linija bez obzira na osvjetljenje

ˇ POLJU 1.6.2 T EST NABOJ U ELEKTRI CNOM

Ovaj applet na slici 1.20 omogućuje promatranje djelovanja elektriˇcnog polja na test naboj. Elektriˇcno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u razliˇcitim kombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe, silnice i vektori polja. Click-om na restart/play zapoˇcinje djelovanje polja, animacija, na test naboj. Naboji se takoder ¯ mogu pomicati po ravnini.

S LIKA 1.20: Test naboj u elektriˇ cnom polju

1.6.3 E LEKTROSKOP Za model elektroskopa(1.22) sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i naboja q , obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe: 25

1. ELEKTROSTATIKA

L

Θ

T m , q mg

S LIKA 1.21: Elektroskop - oznake

T · cos (θ) = m · g

T · si n (θ) = F e =

k · q 2 r 2

r = 2L · si n (θ)

toˇcno:

t an (θ) · si n 2 (θ) =

k · q 2 4m · g · L 2

ili približno: θ3

2 = 4m k ··g q · L 2

Ovaj applet (slika 1.22) omogućuje animaciju elektroskopa za razliˇcite m , q i L .

ˇ ET PL O CASTOG KONDENZATORA 1.6 .4 K APACIT

• DIELECTRIC (dielektrik) - bira se dielektrik izmedu ¯ ploˇca kondenzatora • PLATE AREA (površina ploˇca) - bira se površina ploˇca • DISTANCE (udaljenost) - bira se udaljenost izmedu ¯ ploˇca Za odabrane vrijednosti ε (dielektriˇcnost), A (površina ploˇca) i d (udaljenost ploˇca), izraˇcunava se vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance ). Može se zakljuˇciti sljedeće: • povećanjem površine ploˇca, povećava se i kapacitet, • ako se poveća udaljenost medu ¯ ploˇcama, kapacitet se smanjuje, 26

Appleti

S LIKA 1.22: Model elektroskopa

casti kondenzator S LIKA 1.23: Ploˇ

• dielektrik veće dielektriˇcnosti uzrokovat cé i veći kapacitet. To znaˇci da je kapacitet proporcionalan dielektriˇcnosti i površini ploˇca, a obrnuto proporcionalan razmaku izmedu ¯ ploˇca.

1.6.5 A P PLET - PRIRODNI KONDENZATOR Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u oblacima (atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje), što se moževidjeti u prirodi ili na applet-u, slika 1.18. 27

1. ELEKTROSTATIKA

1.7 Z ADACI 1.1 Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im se površine dodiruju. Pošto smo ih nabilinabojem 5·10−9 C,onesuseotkloniletako da medusobno zatvaraju kut 400 . Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost od ¯ mjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm? Rješenje : 3,364 · 10−6 kg

1.2 Atom vodika ima jedanproton u jezgri i jedanelektron koji kruži okojezgre. Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, nadite: ¯ a) silu kojom medusobno djeluju proton i elektron ako je razmak izme du ¯ ¯ − 11 tih dviju cˇ estica 5,3 · 10 m , b) linearnu brzinu elektrona.

Rješenje : a) 8,202 · 10−8 N

b) 2,1844 · 106 m/s

1.3 Koliki rad moramo utrošiti da u elektriˇcnom polju premjestimo naboj 10−9 C iz jedne toˇcke polja u drugu ako je razlika potencijala izmedu ¯ tih toˇcaka 200 V? Rješenje : 2 · 10−7 J

1.4 Dva naboja Q 1 = 1,5 · 10−9 C i Q 2 = 6 · 10−8 C nalaze se u zraku i udaljeni su medusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost elektriˇcnog polja u sredini izmedu ¯ ¯ njih? Rješenje : 4298 N/C

1.5 Dvije paralelne nabijene ploˇce svaka s površinom 1 m2 nalaze se u vakumu udaljene 2 cm. Izmedu ¯ toˇcaka A i B postoji razlika potencijala 5 V. a) koliki je napon izmedu ¯ ploˇca b) koliki je iznos plošne gustoće na ploˇcama c) koliki je iznos vektora elektriˇcne indukcije u toˇcki A, a koliki u toˇcki B i kojeg je smjera d) koliki je iznos energije po jedinici volumena medu ¯ ploˇcama e) ako naboj negativne ploˇce cˇ ine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji u manjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na ploˇcama.

Rješenje: a) 10 V

28

b) 4,427 · 10−9 C/m2 c) D je neovisan o toˇcki, iznosa D , smjer A → B d) 1,101 · 10−6 J/m3 e) 5,534 · 1010 [elektrona]

Zadaci U homogeno homogeno elektriˇ elektriˇcno cno polje jakosti 4000 V/m uleti okomito na silnice 1.6 polja elektron brzinom 5,7 · 103 km/s. a) Koliko ce c´ e elektro elektron n skrenu skrenuti ti od svojeg svojegaa poˇcetnog cetnog smjera smjera pošto pošto u polju polju pri jede ¯ put od 8 cm? b) Kakav oblik imastaza elektrona? a) 6.88 6.88 cm b) parabola parabola (horizontaln (horizontalnii hitac) hitac) Rješenje: a) istosmjern ernii izvor izvor stalno stalnogg napona napona E serijski serijski su spojeni spojeni kondenzatori kondenzatori C 1 = 1.7 Na istosmj 1 F i C 2 = 3 F. F. a) koliki je napon napon na C 1 ako je na C 2 napon V 2 = 50 V, b) koliki je napon napon izvora izvora E , c) kolika je energija energija pohranjena u spoju, d) ako se paralelno kondenzatoru C 1 doda još jedan istog kapaciteta, koliki ce c´ e napon biti na njemu, e) koliki naboj sadrži sadrži tada C 1 ? a)1500 V Rješenje: a)15

b) 200 V

c) 15 mJ d) 120 120 V

e) 1,2 · 10−4 C

Kondenzator kapaciteta C 1 = 0,6 0, 6 µF nabijemo nabijemo na napon 200 V i zatim ga 1.8 iskljuˇcimo cimo s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru prikljuˇcimo cimo drugi kondenzator kapaciteta C 2 = 0,4 uF. Odredite toplinske gubitke koji nastaju (energiju iskre koja preskoˇci ci pri spajanju kondenzatora). 4,8 mJ Rješenje: 4,8

29

2

ISTOSMJERNA ISTOSMJER NA STRUJA

P OGLAVLJE

Elektriˇcnom cnom strujom strujom naziva naziva se usmjere usmjereno no gibanj gibanjee elektriˇ elektriˇcnih cnih naboja. naboja. Da bi gibanje gibanje bilo moguće, ce, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog) naboja i postojanje elektriˇcnog cnog polja. Slobodan Slobodan naboj je za razliˇcite cite tvari razliˇcit: cit: u metalima metalima i njihovim njihovim legurama legurama slobodni naboj cine cˇ ine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i negativni ioni, kod poluvodiˇca ca elektroni i šupljine, šupljine, a kod plinova plinova elektroni i ioni. Zbog jednostavnosti prikaza i tumaˇcenja cenja promatrat ce cé se u nastavku djelovanje elektriˇcnog cnog polj poljaa na me metal talne ne vodiˇ vodiˇce, ce, a struji struji u elektr elektroli olitski tskim m otopin otopinama ama i plino plinovim vimaa posvet posvetit it ce cé se posebna potpoglavlja. Elektriˇcno cno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako se smjer elektriˇcnog cnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u vodiˇcu, cu, pa odatle naziv istosmjerna mijenja, onda je istosmjerna struja . Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja, struja stalna ili konstantna istosmjerna struja . U praktiˇcnoj cnoj primjeni izvori konstantnog elektriˇcnog cnog polja najˇceš´ cešće ce su elektrokemijski izvori (ili galvanski elementi), tj. razliˇcite cite vrste baterija i akumulatora. Takvi izvoripretv izvori pretvaraju araju kemijsku kemijsku energiju energiju u elektriˇcnuipritomnasvojimstezaljkama osiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni unutar metalnog vodiˇca ca konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit ce cé izloženi djelovanju sile iste jakosti i smjera, pa ce c´ e kroz sve paralelne presjeke vodiˇca ca istodobno prolaziti isti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinaˇcnog cnog naboja mnogo je manja od brzine širenja elektriˇcnog cnog efekta: iako žarulja u New Yorku spojena preko transatlanskog kabela zasvijetli gotovo istodobno s ukljuˇcenjem cenjem izvora u Zagrebu, elektroni kroz to vrijeme produ ¯ neznatan put. Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru elektriˇcnog cnog polja, dakle suprotan je smjeru gibanja elektrona. Gibanj Gibanjee naboja naboja imaza poslje posljedic dicu u nekoli nekoliko ko razliˇ razliˇcitihuˇ c itihuˇcinaka: cinaka: zagrijavanje zagrijavanje vodiˇca ca (Jouleo (Jouleovv efekt), efekt), stvaran stvaranje je magnets magnetskog kog polja polja u njego njegovu vu okolišu okolišu,, prijeno prijenoss tvari tvari u elekelektrolitiˇckim ckim otopinama, te emitiranje zraˇcenja cenja pri vodenju u plinu. Ponekad štetne, ¯ sve te pojave praktiˇcno cno se koriste u velikom broju trošila, uredaja ¯ i procesa.

ˇ NAPON 2 . 1 E LEKTRI CNI 31

2. ISTOSMJERNA STRUJA Energija koju naboj ima u elektriˇcnom polju naziva se elektriˇ cna potencijalna energija [W ]. Omjer te energije i veliˇcine naboja u nekoj toˇcki je stalan i predstavlja svojstvo pojedine toˇcke elektriˇcnog polja, koje se zove elektriˇ cni potencijal . Elektriˇcni potencijal (prema izrazu (2.1)) oznaˇcuje se sa ϕ, a jedinica mu je volt [V ]. ϕ

= W Q

(2.1)

Razlika potencijala izmedu ¯ dvije toˇcke naziva se napon . Napon izmedu ¯ toˇcaka B i A , V B A , je pozitivan ako je toˇcka B na većem potencijalu od toˇcke A , a negativan je ako je obrnuto. Za uspostavljanje elektriˇcnog napona treba razdvojiti raznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju. Pozitivnii negativninabojirazdvajaju se u izvorima elektriˇcnognaponanaraˇcun neke uložene energije (kemijske, mehaniˇcke, . . . ). Zbog toga se prikljuˇcnice izvora oznaˇcuju sa ’+’ i ’−’ i nazivaju se polovi naponskog izvora . Instrument za mjerenje napona zove se voltmetar . Postoje istosmjerni i izmjeniˇcni naponi. Istosmjerni napon stalnog je polariteta, a kod izmjeniˇcnog, polaritet se izmjeniˇcno mijenja.

ˇ IZVORI 2.2 E LEKTRI CNI Elektriˇcni izvor je uredaj ¯ koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku potenci jala kako bi mogao davati struju prikljuˇcenom trošilu.! Trošilo c´ e u naˇcelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoriti jedan oblik energije (mehaniˇcku, kemijsku, toplinsku i sl.) u elektriˇcnu, dok trošilo radi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i naˇcin pretvorbe jednog oblika energije u drugi, najvažniji tipovi elektriˇcnih izvora su :

Kemijski elektriˇcni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u elektriˇcnu. Takav izvor se (nazvan galvanski element u cˇ ast L. Galvaniu) sastoji unaˇcelu od dviju elektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedica kemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljene i elektrolitska otopina u koju su uronjene. Razlikuju se primarni i sekundarni elementi . Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski proces reverzibilan, što znaˇci da se elektriˇcna energija dovedena iz drugog izvora može u izvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku. Kemijski izvori su uvijek istosmjerni. Fotonaponski elementi: izvorikoji djelovanjem vidljivog svjetlastvaraju elektriˇcni napon. Na temelju ponašanja poluvodiˇca kao osnovni materijal koristi se silicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski elementi, koji danas pretvaraju do 20% dobivene svjetlosne energije u elektriˇcnu. Napon takvog fotoelementa iznosi do 0,6 V, a maksimalna postiziva struja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi daju i do 180 W/ m 2 ovisno o svjetlosnom zraˇcenju. 32

Elektriˇcni izvori

Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U naˇcelu se za tu svrhu uzmu dvije žice razliˇcitog materijala i na jednom kraju medu¯ sobno spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na hladnijim krajevima javlja istosmjerni napon. Veliˇcina tog napona ovisi o razlici temperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezokonstantan dobiva se prosjeˇcno 52µ V/0 C. Generatori: strojevi koji mehaniˇcku energiju (rotacija rotora) magnetskim putem (indukcija) pretvaraju u (izmjeniˇcni) napon. Daleko najveći dio u svijetu korištene elektriˇcne energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni se napon lako dobiva iz izmjeniˇcnog s pomoću ispravljaˇca. Nuklearni izvori: atomskase energija složenim postupkom preko toplinske i mehaniˇcke putem generatora (atomske centrale) pretvara u elektriˇcnu energiju. Ekonomiˇcni i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije u elektriˇcnu još se oˇcekuju. Elektriˇcni izvori dijele se na naponske i strujne . Zadatak naponskog izvora je da na svojim stezaljkama (vanjskim prikljuˇcnicama) daje konstantan napon, a stru jnog izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterećenju. Zbog uobiˇcajene upotrebe ovdje se promatra samo ponašanje realnog naponskog izvora. Istosmjerni naponski i strujniizvoriu elektriˇcnim shemamaobilježavaju se simbolom kao na slici (2.1. Elektroda na višem potencijalu oznaˇcuje se oznakom ’+’.

E

+

I

a) naponski

+

b) strujni

S LIKA 2.1: Istosmjerni izvori

Oznaˇc iliseuspojnojelektriˇcnoj shemi, prema slici (2.2),jednatoˇc kas oznakom ’a ’, a druga s oznakom ’b ’ (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda je napon izmedu ¯ toˇcaka ’a ’ i ’b ’ jednak razlici potencijala ’a ’ i ’b ’, pa se dogovorno oznaˇcuje indeksima:

V ab = V a − V b

Ako je algebarski iznos V ab pozitivan, onda je toˇcka koja odgovara prvom indeksu ’a ’ pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od toˇcke drugog indeksa ’b ’. Za sluˇcaj negativnog iznosa V toˇcka ’b ’ ima viši potencijal od toˇcke ’a ’. Dobro je uoˇciti da je V ab = −V ba . Uvedenim oznaˇcivanjem potencijala odreden ¯ je i smjer struje koja u strujnom krugu s takvim izvorom teˇce izvan izvora. Smjer struje izvan izvora poklapa se s 33

2. ISTOSMJERNA STRUJA

a , +

a

I

I V ab < 0

V ab > 0

b

b , +

cavanje naponskih i strujnih veliˇ cina S LIKA 2.2: Oznaˇ

orijentacijom od to cˇ ke višeg prema toˇcki nižeg potencijala i u spojnim shemama najˇcešće se oznaˇcuje strelicom (slika 2.2).

ˇ STRUJA 2.3 E LEKTRI CNA Medu ¯ raznoimenim nabojima, razdvojenim na prikljuˇcnicama izvora, vlada privlaˇcna sila. Ako se prikljuˇcnice izvora vodljivo spoje, izmedu ¯ naboja se uspostavi vodljivi put, kroz koji nastaje usmjereno gibanje naboja, koje se zove elektriˇ cna struja . Uzrok struje je elektriˇcno polje, a smjer struje jednak je smjeru polja, dakle smjeru kojim bi se gibali pozitivninaboji. Glavna znaˇcajka elektriˇcne struje je njena ¯ presjekom vodiˇca jakost . Jakost struje jednaka je omjeru koliˇcine naboja koja prode u nekom vremenu i tog vremena.

dQ (2.2) d t gdje je d Q diferencijal (djelić) naboja, a d t diferencijal vremena. Mjerna jedinica jakosti struje je amper [ A ]. Za stalnu istosmjernu struju izraz (2.2) postaje: i =

Q t Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar . Kao i naponi, struje mogu biti istosmjerne i izmjeniˇ cne . Istosmjerna struja teˇce stalno istim smjerom, dok se kod izmjeniˇcne struje smjer s vremenom mijenja. Gusto´ ca struje definiranaje kao kvocijentiznosastruje i površine okomitog pres jeka kroz koji teˇce: I =

J =

34

I A

ˇ OTPOR 2.4 E LEKTRI CNI

[ A /m 2 ]

Elektriˇcni otpor Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodiˇc) slobodni elektroni nailaze na atome, koji zbogtopline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnojrešetki metala. Može se zamisliti da atomi tako prijeˇce slobodni put elektronima, što se oˇcituje kao opiranje tvari protoku elektriˇcne struje. Općenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se nazivaju elektriˇ cni radni otpor (kraće elektriˇ cni otpor ili samo otpor ). Oznaka za elektriˇcni otpor je R , a jedinica Ω. Otpor vodiˇca razmjeran je duljini vodiˇca l , a obrnuto razmjeran njegovu pres jeku A . Faktor razmjernosti razliˇcit je za pojedini materijal i naziva se otpornost (ili specifiˇ cni otpor ) i oznaˇcava sa  . Prema tomu, otpor vodiˇca raˇcuna se prema:

l R =  A Reciproˇcna vrijednost otpora zove se vodljivost i oznaˇcuje s G : G =

1 1 A A = · = γ· R  l l

(2.3)

(2.4)

gdje je specifiˇcna vodljivost: γ

= 1

[S /m ]

Specifiˇcni otpor  ima jedinicu Ωm , a zbog cestog ˇ izražavanja presjeka vodiˇca u 2 2 mm i duljine u m koristi se i Ωmm /m . Jedinica elektriˇc nog otpora je om (Ω), a elektriˇcne vodljivosti simens (S ). Simbol i oznaka elektriˇcnog otpora prikazuje slika (2.3).

R

cnog otpora S LIKA 2.3: Simbol i oznaka elektriˇ

2.4.1 P ROMJENA OTPORA S TEMPERATUROM Povećanje temperature metalnih vodiˇca izaziva veću amplitudu titranja kristalne rešetke. To uvjetuje povećanje broja sudara slobodnih elektrona, smanjenje njihove rezultantne brzine i smanjenje gustoće struje. Pad jakosti struje uz isti napon odgovara povećanju otpora . Dakle, otpor vodiˇc asekodvećine materijala povećan jem temperature povećava:

gdje su:

R ϑ = R 20 + ∆R

(2.5)

35


R 20 - vrijednost otpora kod sobne temperature (20◦ C), ∆R -

povećanje otpora s porastom temperature,

R ϑ - vrijednost otpora na temperaturi ϑ. Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α [1/0 C], prirastu temperature (∆ϑ = ϑ − 20 ◦ C) i poˇcetnoj vrijednosti otpora R 20 : ∆R

= α · ∆ϑ · R 20

(2.6)

Uvrsti li se izraz (2.6) u izraz (2.5) dobiva se linarni model:

R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ) =

 l

· · [1 + α(ϑ − 20)] A

(2.7)

Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature kod istog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od 20◦ C otpor R manji od R 20 . T AB LI CA 2.1: Elektriˇ cna svojstva metalnih vodiˇ ca

Naziv Aluminij Bakar (mek) Bronca Kositar Mjed Nikal Olovo Srebro Željezo Živa Cekas Kanthal Manganin Konstantan

Oznaka Al Cu Bc Sn Mj Ni Pb Ag Fe Hg

[Ωmm 2 /m ]

0,0270 0,0172 0,0278 0,115 0,075 0,09 0,208 0,0163 0,098 0,958 1,11 1,45 0,48 0,49

γ[Sm /mm 2 ]

37 58 35,8 8,6 13,3 11 4,8 61,4 10,1 1,04 0,93 0,7 2,14 2,1

α[1/0C ]

0,0040 0,0039 0,004 0,0042 0,0016 0,006 0,0043 0,0041 0,0065 0,0009 0,00019 0,000032 0,000015 0,00005

Tablica 2.1 pokazuje metale i metalne legure s njihovim specifiˇcnim otporom, specifiˇcnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima. Treba napomenuti da je temperaturnikoeficijent α konstantan samoza uskitemperaturniopseg. Za toˇcniju temperaturnu ovisnost linearni model nije dovoljan, pa se proširuje s kvadratiˇcnim koeficijetnom β i poˇcetak izraza (2.7) postaje:

R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ + β · [∆ϑ]2 ) Zanimljivo bi bilo izraˇcunati kod koje temperature otpor vodiˇca postaje jednak nuli. Iz izraza (2.7) uz pretpostavku konstantnog α slijedi: 36

Ohm-ov zakon

R ϑ = R 20 · [1 + α(ϑ − 20)] = 0

pa je

ϑ

1

  =− − α

20

(2.8)

Primjer: Zabakar(α = 0,00392) iz izraza (2.8) slijedi ϑ = −235,14 0C . Medutim, ¯ mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na temperaturama oko apsolutne nule (0K = −273,15 0C ). To ujedno potvrduje da ovis¯ nost R = f (ϑ) nije linearna. Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom prema slici 2.4. Pri stanovitoj kritiˇcnoj temperaturi ϑ K (koja je, na primjer, za živu 4,12 K , aluminij 1,14K , cink 0,79K ) otpor naglo pada i približno je jednak nuli. R

θK

θ

S LIKA 2.4: Ovisnost otpora i temperature

Pojava supravodljivosti za buduću elektrotehniku je od izuzetnog znaˇcenja. Usmjereno gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema toplinskih gubitaka.

2.5 O HM - OV ZAKON Jakost struje kroz vodiˇc ovisi samo o naponu na vodiˇcu i otporu vodiˇca: raste s porastom napona V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm -ov zakon , koji napisan u obliku jednadžbe izgleda ovako:

V (2.9) R Iz grafiˇckogprikaza tog zakona (slika2.5) predoˇcena linearnost izmedu ¯ napona, kao uzroka pojave, i njegove posljedice, elektriˇcne struje znaˇci da je otpor R konstantan. Elektriˇcni otpor R predoˇcuje kut α nacrtanog pravca i jednak je kotangensutogkuta. Zaveć i otpor (pravac b) uz isti napon teˇce manja struja (I 2 < I 1 ). Otpor vodiˇca može se povećati izraz (2.3) smanjenjem presjeka, povećanjem duljine I =

37


I a I 1

b α

I 2

−V

V

−I S LIKA 2.5: I=f(V) u metalnom vodiˇ cu

vodiˇca ili uporabom materijala većeg specifiˇcnog otpora. Jednakovrijedan grafiˇcki prikaz dobiva se medusobnom zamjenom koordinatnih osi. ¯ Ohmov zakon nije ograniˇcen materijalom. S obzirom na njihov specifiˇcni otpor, materijale dijelimo na vodiˇ ce (srebro, bakar, aluminij, željezo, konstantan i dr.), poluvodiˇ ce (germanij, silicij) i izolatore (staklo, teflon, kvarc i dr.).

2.6 K I RCHHOFF - OVI ZAKONI Spajanjem dvaju ili više elektriˇcnih elemenata dobiva se elektriˇcna mreža. Teori jsko prouˇcavanje elektriˇcnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka realna elektriˇcna mreža može predoˇciti grafom. Osnovni elementi grafasu grane i cvorišta . ˇ Svaka grana ima dva cˇ vorišta. Realni elektriˇcni elementi koji se ovdje spominju (otpornik, kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili prikljuˇ cnice . Realnim stezaljkama odgovaraju apstraktna cvorišta ˇ grafa, a realni elementi oznaˇcuju se odgovarajućim simbolima u granama (teorijski: oznakom grane). Jednostavni strujni krug, npr. kondenzator spojen na nap onski izvor, je takoder ¯ elektriˇcna mreža, i to s dvije grane i dva cˇ vorišta. U jednoj grani je simbol naponskog izvora, a u drugoj, paralelno spojenoj, simbol kondenzatora. U elektriˇcnim mrežama vrijede tri temeljna zakona. Prva dva su Kirchhoff -ovi zakoni i izriˇcu strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako su elementi medusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta) ele¯ menata. Treći zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što dakako ovisi o vrsti realnog elementa koji predstavlja tu granu. Za otpor, predstavljen otpornikom, ovaj je odnos već izreˇcen u obliku Ohm -ova zakona.

2.6.1 I. K I RCHHOFF - OV ZAKON 38

Kirchhoff-ovi zakoni Budući da je elektriˇcna mreža izoliran sustav, iz zakona o oˇcuvanju materije može se zakljuˇciti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u bilo koje cˇ vorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog cˇ vorišta izlaze. Struje koje ulaze u cˇvorište imaju suprotan predznak od onih koje izlaze iz cˇvorišta. Prvi Kirchhoff -ov zakon govori kako u elektriˇcnoj mreži ne postoji cˇ vorište u kojem bi se naboj gomilao, stvarao ili nestajao. Općenito vrijedi: zbroj struja koje ulaze u cˇvorište mreže jednak je zbroju struja koje iz te toˇcke (ˇcvorišta) izlaze. Prvi Kirchhoff -ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje cvorište ˇ mreže, dakle glasi: n

 =

i =1

I i 0

(2.10)

gdje je n broj grana spojenih u promatrano cˇvorište. Ako postoji neko cˇ vorište u koje ulazi struja I , a iz tog cˇ vorišta izlaze struje I 1 , I 2 i I 3 , onda vrijedi:

I = I 1 + I 2 + I 3 Prebace li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe, dobiva se sljedeći izraz:

I − I 1 − I 2 − I 3 = 0 S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s razliˇcitim predznacima) sve struje iz promatranog cˇ vorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u cˇvorište, a negativan predznak koje iz cˇ vorišta izlaze. To vrijedi za bilo kako složeni elektriˇcni krug u kojem možemo odabrati bilo koje cˇ vorište s bilo kojim brojem grana. Kad se algebarski zbroje pojedine struje I i u svim granama promatranog cˇvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s negativnim predznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula. Ovoje lakoobjasnitiimajuć iuvidudaelektriˇcna struja pretstavlja protok naboja u vremenu. Koliko naboja ude ¯ u neku toˇcku, toliko mora iz nje i izaći.

Primjer:

Za ˇcvor na slici 2.6. po I. Kirchhoff -ovom zakonu vrijedi:

I 1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5 I 1 + I 2 + I 3 − I 4 − I 5 = 0 Ako je mjerenjem utvrdeno da su I 1 = I 2 = I 3 = 2 A , a I 4 = 1 A , onda se sigurno ¯ zna (nesigurni neka provjere :), da je I 5 = 5 A . Ako je uz iste vrijednosti struja I 1 , I 2 i I 3 izmjereno I 4 = 10 A , znaˇci da je I 5 = 4 A , ali ovog puta suprotnog smjera (struja I 5 utjeˇce u cˇ vorište). 39


I 4

I 2

I 1 I 5

I 3

S LIKA 2.6: I Kirchhoff-ov zakon

2.6.2 II. K I RCHHOFF - OV ZAKON Drugi Kirchhoff -ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put po mreži kojim se iz bilo kojeg ˇcvorišta, idući po uvijek novim granama mreže, dode ¯ u isto cˇ vorište, zove se petlja . Drugi Kirchhoff -ov zakon izriˇce da je zbroj napona u bilo kojoj petlji u elektriˇcnoj mreži jednak nuli. Budući da je napon u svakoj grani mreže razlika potencijala dvaju njezinih cˇ vorišta, taj zakon primjenjuje poznati izraz (1.10) iz elektrostatike na prilike u elektriˇcnoj mreži. Zakonse obiˇcno formulira u sljedećem obliku: n

i =1

gdje je:

m

 =  E i

i =1

I i · R i

(2.11)

n - broj elektriˇcnih izvora u promatranoj petlji m - broj otpora u ostalim granama iste petlje Primjerice, ako se mreža sastoji od izvora napona E i dva serijski spojena otpora na kojima postoje naponi V 1 i V 2 , za obilazak petlje po II. Kirchhoff -ovom zakonu vrijedi:

E = V 1 + V 2

(2.12)

Prebace li se svi naponi na jednu stranu jednadžbe (2.12), dobiva se:

E − V 1 − V 2 = 0 S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s razliˇcitim predznacima) svi naponi iz promatrane petlje, što potvrduje ¯ opći oblik da je algebarski zbroj napona uzduž (zatvorene) petlje elektriˇcnog kruga jednak nuli, tj. 40

Elektriˇcni otpor u strujnom krugu

n

m

 −

i =1

E i

i =1

V i = 0

Ovo vrijedi za bilo kako složeni elektriˇcni krug u kojem možemo odabrati bilo koju zatvorenu putanju (petlju) i obići je zbrajajući algebarski pojedine napone V i svakog elektriˇcnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti nula. To je lako objasniti gleda li se napon kao razlika potencijala: iz koje god toˇcke kruga zapoˇceli obilazak, na kraju se vratimo na istu toˇcku, a to znaˇci na isti potencijal.

ˇ OTPOR U STRUJNOM KRUGU 2.7 E LEKTRI CNI U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti medusobno spojena ¯ na dva naˇcina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih naˇcina dobivaju se razliˇcite složene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima cˇesta je potreba da se spoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom. Sljedeći primjeri, osim rješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja elektriˇcnih mreža, koristeći Ohm -ov zakon i Kirchhoff -ove zakone.

2.7.1 S ERIJSKI SPOJ OTPORNIKA Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika 2.7. Po I Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 2.7 a):

I 1

+ I

R 1

I 2

+

R 2

I

R S

+

+ −

+ −

V

V

a) dva serijski spojena otpornika

b) ekvivalentan spoj

S LIKA 2.7: Serijski spoj otpornika

I 1 = I 2 = I a po II. Kirchhoff-ovom i Ohm-ovom zakonu da je: V = V 1 + V 2 = I 1 · R 1 + I 2 · R 2

(2.13)

(2.14) 41

2. ISTOSMJERNA STRUJA Za ekvivalentni strujni krug (slika 2.7 b) u kojem pod djelovanjem istog napona teˇce ista struja I kao u a) sluˇcaju, vrijedi:

V = I · R s

(2.15)

Povežu li se sva tri izraza: (2.13), (2.14) i (2.15) dobiva se:

I · R s = I · R 1 + I · R 2 odnosno:

R s = R 1 + R 2 Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može zakljuˇciti: ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:

R s =

n



i =1

R i

(2.16)

Kroz serijski spojene elemente teˇce ista struja. Zbogtoga se intrument za mjerenje struje - ampermetar, uvijek spaja serijski. Općenito, za serijski spoj raznih otpora iz uvjeta jednakosti struja dobiva se omjer napona:

I = I 1 = I 2 V 1 R 1

2 = V R

V 1 V 2

1 = R R

2

iz cˇ ega proizlazi:

2

(2.17)

Na serijskom spoju otpora napon se dijeli u omjeru veliˇcina otpora. Ako se mijenjaju serijski spojeni otpori u strujnom krugu, zbroj napona na otporima ne mijenja se i bit će uvijek jednak ukupnom naponu izvora. Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veći od pojedinog otpora. Prikljuˇcak serijskog spoja otpora na izvor opterećuje izvor isto kao jedan otpor jednak ukupnom otporu tog serijskog spoja.

2.7 .2 P AR AL EL NI SP OJ OT PO RA Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajedniˇcka cˇvorišta. Ako su u strujnom krugu paralelno spojeni otpori R 1 i R 2 , naponi na njima V 1 i V 2 , bit c´ e jednaki V 1 = V 2 42

Elektriˇcni otpor u strujnom krugu

I

+ V

I I 1

I 2

+

+

R 1

+ V

R 2

a) dva paralelno spojena otpornika

+

R p

b) ekvivalentan spoj

S LIKA 2.8: Paralelni spoj otpornika

Nakon primjene Ohm-ovog zakona (2.9)slijedi:

I 1 · R 1 = I 2 · R 2 Iz ovoga proizlazi sljedeći odnos struja kroz paralelno spojene otpore:

I 1 I 2

G 1 2 = R = R G 1

2

gdje su G 1 i G 2 vodljivosti. Struja se dijeli na paralelne grane elektriˇcnog kruga tako da se jakosti struja u granama odnose obrnutorazmjerno otporima grana, a upravorazmjerno vodljivostima grana. Ovo znaˇci da u paralelnom spoju otpora jaˇca struja teˇce kroz manji otpor. U krajnjem sluˇcaju, ako bi u jednoj paralelnoj grani otpor bio jednak nuli, onda bi sva struja paralelnog spoja tekla kroz kratki spoj. Ako se strujni krug sastoji od izvora napona V i dva paralelno spojena otpora R 1 i R 2 , vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.10):

I = I 1 + I 2 Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobiva se:

I 1 I 1 I 2 = + V V V Omjer struje i napona jednak je reciproˇcnoj vrijednosti otpora ili elektriˇ cnoj vodljivosti G . Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijeva strana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga, što se može napisati kao: G p = G 1 + G 2 Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralelnih grana. 43

2. ISTOSMJERNA STRUJA Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može zakljuˇciti: ekvivalentna vodljivost (vidi (2.4)) paralelno spojenih otpornika jednaka je zbroju njihovih pojedinaˇcnih vodljivosti:

G p = odnosno

ili:

n



i =1

G i

(2.18)

n 1 1 = R p i =1 R i



n 1 1 1 1 = + + ... + R p i =1 R 1 R 2 R n





(2.19)

Na temelju ove jednadžbe (2.19), otpor dvaju paralelno spojenih otpora R 1 i R 2 iznosi:

R 1 · R 2 R 1 + R 2 Iz jednadžbe za vodljivost (2.18)vidisedapovećanjem broja paralelno spojenih otpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja R p . Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R , n puta je manji od pojedinog otpora, tj. R p =

R p =

R n

ˇ STRUJA U IONIZIRANOM PLINU 2.8 E LEKTRI CNA Dok je u metalnim vodiˇcima struja moguća pod djelovanjem polja zahvaljujući utvrdenom postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno ima li u plino¯ vima slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima struja nastajei održavase u plinu. Takoder ciuvakuumu ¯ je problematiˇcnodalistrujamožete´ (plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u plinu, već od sredine 19. stoljeća, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u nekoliko toˇcaka: 1. Struja u plinu znaˇci naboj u gibanju, za što su neophodni dakako naboji i polje. Polje se održava vanjskim izvorom prikljuˇcenim na granice prostora s plinom (elektrode). 2. Naboji mogu biti razliˇcitog porijekla. U prvom sluˇcaju jedna od elektroda (katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne zrake), a druga elektroda (anoda) ih skuplja, a u drugom sluˇcaju (hladna katoda), naboj se stvara ionizacijom atoma plina pomoću stranog zraˇcenja i/ili djelovanjem polja. 44

Elektriˇcna struja u ioniziranom plinu 3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti elektriˇcnog polja utjeˇceivrstakorištenog plina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov tlak. Plin vodi struju kod normalnog tlaka (oko 100kP a ), pri razrijedenom plinu (izmedu ¯ ¯ 100 i 1000 Pa ), te uz tehniˇcki vakuum (izmedu ¯ 1 i 100mP a ). Idealni vakuum predstavlja savršen izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace naboji, na primjer, elektroni. 4. Povećanjem napona izmedu ¯ elektroda raste brzina slobodnih naboja u plinu. Oni sudarom s drugim cˇ esticama plina generiraju nove slobodne ione i taj se uˇcinak može razviti poput lavine. Na slici 2.9 prikazana je (V , I ) karakteristika zraka za normalni tlak uz razmak elektroda od 1 mm. Pojedina su podruˇcja:

0 - A : vrijedi približno Ohmov zakon - povećanjem napona struja raste, premda izuzetno male jakosti. Medu ¯ 27 · 1018 molekula po c m 3 zraka postoji samo 100 do 1000 ioniziranih. A - B : podruˇcje zasićenja. Kinetiˇcka energija slobodnih elektrona tako je mala da se poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona ne raste jakost struje. Proteže se na naponima od nekoliko volta do nekoliko desetaka volta. B - C : udarna ionizacija. Povećanjemnaponaelektroni dobivaju dovoljnu energiju za ionizaciju plina, uslijed cˇ ega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni) povećava. U toˇcki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla izmedu ¯ katode i anode. C - D : daljnjim povećanjem napona gustoća struje na katodi raste, svjetlosni uˇcinak se pojaˇcava i u toˇcki D dolazi do luˇcnog izboja. Za luˇcni izboj karakteristiˇcne su velike gustoće struje (od 102 do 104 A /cm 2 ) i smanjenje napona na samo 15 do 55 V. I [ A ] D

1 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15

C A

B 10

102

103

V [V ]

S LIKA 2.9: ( V,I) karakteristika elektriˇ cne struje u zraku

45

2. ISTOSMJERNA STRUJA Premda pojedini sluˇcaji struje u plinu imaju štetan karakter, kao na primjer iskrenje na kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipak elektriˇcna struja u plinu ima brojne primjene: razliˇcite svijetleće cijevi (podruˇcje C-D), zavarivanje (iznad toˇcke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i sliˇcno.

2.9 E LEKTROKEMIJSKE POJAVE Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine, dolazi do di jeljenja neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione. Atomi vodika i metala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule koja tako postaje negativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i na njih prikljuˇci istosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda (anoda ) privlaˇci negativne ione, dok negativna elektroda ( katoda ) privlaˇci pozitivne ione. Gibanje iona molekula i/ili dijelova molekule znaˇci prijenos tvari prema elektrodama, na kojima su moguće i naknadne, sekundarne kemijske reakcije. Kao primjer može se promotriti proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog nitrata AgNO 3 . Kao anoda koristi se srebrena ploˇcica, a kao katoda neki metalni predmet, na primjer od bakra (slika 2.10). -K

+A

Ag

Ag

Cu AgNO3

− V S LIKA 2.10: Proces elektrolize

Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO 3 postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO3 lako spaja sa srebrom anode, dajući opet AgNO3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO3 ostaje tako 46

Elektrokemijske pojave u otopini nepromijenjena i konaˇcni rezultat je da se srebro s ploˇce, posredstvom elektrolita i elektriˇcne struje, prenosi na katodu. To je jedan od brojnih postupaka u galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije ili zbog estetskih razloga elektriˇcnim putem nanosi sloj metala.

2.9.1 F AR AD AY - EVI ZAKONI ELEKTROLIZE Prouˇcavajući elektrolitiˇcke reakcije Faraday je uoˇcio i formulirao dva zakona. Prvi izriˇce da je koliˇcina izluˇcenih cˇ estica materije na elektrodama ovisna o vrsti tvari koja se izluˇcuje i koliˇcini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi djeluje. Ako se sa m oznaˇci masa izluˇcene tvari, a s Q koliˇcina elektriciteta, onda vrijedi:

m = a · Q

(2.20)

Faktor razmjernosti a naziva se elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se za po jedine tvari. To znaˇci da c´ e za istu koliˇcinu elektriciteta koliˇcina izluˇcene tvari za razliˇcite tvari biti razliˇcita. Kako je Q = I · t , isti se izraz može napisati i kao:

m = a · I · t Koliˇcina izluˇcene tvari na elektrodamarazmjerna je ukupnojkoliˇcini elektriciteta koja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi nosi odredenu ¯ koliˇcinu naboja (koja je za razliˇcite tvari razliˇcita, a za iste ista). Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s obzirom na njegovu atomsku strukturu, te medusobne odnose elektrokemijskih ekvivale¯ nata razliˇcitih kemijskih elemenata. Ako se s A oznaˇc i atomska masa, a s v valencija, onda za dva kemijska elementa vrijedi:

A 1 A 2 : (2.21) v 1 v 2 To znaˇci da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao njihove ekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim rijeˇcima: ioni elemenata kojih je valencija dva, tri, cˇ etiri, ... puta veća u odnosu na vodik, prenose dvostruku, trostruku, cˇetverostruku, ... koliˇcinu naboja. Iz izraza (2.21) slijedi još jedan zanimljiv rezultat: a 1 : a 2 =

A 1 a 1 · v 1

= a A ·2v = ... = a A · v = Q F 2

2

(2.22)

gdje je Q F = 96,489106 As/kg (Faraday-eva konstanta ).

Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta razmjernosti, kako bi se to iz izraza (2.20) moglo pomisliti, nego egzaktna veliˇcina koja se za svaki element može unaprijed izraˇcunati (a = A /Q F · v ). Tako se povezujući oba izraza (I. 47

2. ISTOSMJERNA STRUJA Faraday-ev zakon (2.20) i II. Faraday-ev zakon (2.22)) za masu izluˇcene tvari kao rezultat elektrolize dobije: 1 A 1 A I · t = · · · · Q [kg ] 6 96,48910 v v Q F i time elektrolitiˇcki odnosi postaju potpuno odredeni. ¯

m =

2.9 .2 P RIMARNI ELEMENTI Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem elektriˇcnog napona prikljuˇcenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava vezana je uz elektrolitsku polarizaciju koja se dogada ¯ kad se u elektrolit urone dvije elektrode razliˇcitog kemijskog sastava. Izme¯ du takvih dviju elektroda, bez vanjskog djelovanja, pojavit c´ e se napon. Iznos napona osim o kemijskom sastavu elektroda ovisi takoder ¯ i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi elektriˇcni izvori, nazvani galvanski elementi . Na istim naˇcelima, uz stanovita poboljšanja u veliˇcini napona i vijeku trajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo već dva stoljeća. (Prvi element konstruirao je A.Volta 1800. godine.) Ne ulazeći u kemijske promjene koje se pritom dogadaju ¯ vrijedno je napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kako elektroda tako i elektrolita) mijenja i potencijal pojedine elektrode. To se doga da ¯ cˇ ak i kad je elektroda uronjena u otopinu vlastitih iona. Budući da se ne može mjeriti apsolutni potencijal jedne elektrode, već samo razlika potencijala izmedu ¯ dviju elektroda, dogovorno je utvrdeno da se svi potencijali usporeduju s poten¯ ¯ cijalom vodikove elektrode. Drugim rijeˇcima, dogovorno je proglašen njezin potencijal jednakim nuli. Kemijski elementi poredani po veliˇcini njihova potencijala prema vodikovoj elektrodi tvore elektrokemijski naponski niz . U tablici 2.11 navedeni su potencijali nekih elemenata s obzirom na vodikovu elektrodu u elektrolitskoj otopini vodikovih iona. Spoji li se galvanski element kao izvor napona u zatvoreni strujni krug, on cé, ovisno o trošilu i naponu izme du ¯ svojih elektroda, davati elektriˇcnu struju. T AB LI CA 2.2: Elektrokemijski naponski niz

Elektroda Li K Ca Mn

48

Potencijal [V] -3,02 -2,92 -2,87 -1,05

Elektrokemijske pojave

Elektroda Zn Pb Cu Ag

Potencijal [V] -0,76 -0,13 +0,52 +0,79

Ona c´ e dakako, osim u vanjskom krugu, teći i u samom izvoru: od katode preko elektrolita do anode. Pritom cé se zbog elektrokemijskih procesa neutralizacije iona elektrolita s molekulama elektroda dogadati ¯ promjene u kemijskom sastavu elektroda, što cé smanjivati prvotni napon izmedu ¯ njh. Na primjer, ako se na anodi Voltina elementa Cu/H2 SO4 /Zn (prva elektroda/elektrolit/druga elektroda) vodik razvija brže nego što se može ukloniti, dobiva se novi element H2 /H2 SO4 /Zn kojem je napon izmedu ¯ elektroda puno manji nego prvotnom. To smanjenje napona zbog promjena na elektrodama zove se polarizacija . Taj nepoželjni efekt nastojali su mnogi znanstvenici u prošlom stoljeću (Daniel , Meidinger , Bunsen , Leclanché ) poništiti korištenjem takozvanih depolarizatora . Depolarizatori služe da bi se najˇcešće oksidacijom uklonio vodik s pozitivnog pola. U Leclanché-ovom elementu (slika 2.11) iz kojeg se razvio najveći broj današnjih baterija (slika 2.12) kao depolarizator služi MnO2 kojim je obložena ugljikova anoda. -

+

C Zn MnO2 NH4 Cl S LIKA 2.11: Leclanché-ov element

Takve baterije koriste cinkovu limenu posudu kao negativnu elektrodu, dok je ugljeni štapić pozitivna elektroda obložena praškastim manganovim superoksidom. Napon jednog elementa je 1,5 V, a serijskim spojem takvih elemenata dobivene su plosnate baterije od 4,5 V, cˇ etvrtaste od 9 V i sl. Spomenuta izvedba pripada baterijama s tekućim elektrolitom koji je pogodnim dodacima zgusnut (suhe baterije). U klasu suhih baterija ubrajaju se i živine baterije (održavaju razmjerno konstantan napon do potpunog iskorištenja), srebrno-kloridne (nizak napon i dug vijek trajanja), vanadijeve i druge. Danas su sve više u uporabi živine (živin oksid - cink), srebrene (srebrni oksid cink), magnezijeve i litijeve baterije, koje se odlikuju stabilnim naponom (od 1,3V 49

2. ISTOSMJERNA STRUJA Zn

+

C

MnO2 S LIKA 2.12: Element baterije

do 3V), širokim podruˇcjem radnih temperatura, mehaniˇckom cˇ vrstoćom i dugim vijekom skladištenja. Postoje i baterije s krutim elektrolitom (malih dimenzija i naponom vrlo duga vijeka, cˇ ak do 20 godina), zatim baterije koje se aktiviraju tekućinom (nalivne baterije), plinom iligrijanjem (termalne baterije). Sve one uglavnom služe za posebne (vojne) svrhe. Regeneracija, obnova primarnih elemenata nije moguća, pa su istrošene baterije neupotrebljive. Zahtjev za regeneracijom ostvaruje se kod akumulatora.

2.9 .3 S EKUNDARNI ELEMENTI Osnovno svojstvo akumulatora kao elektriˇcnog izvora u kojem se kemijska energija pretvara u elektriˇcnu je njegova mogućnost regeneracije . S obzirom da se radi o reverzibilnom kemijskom procesu, regeneracija se ostvaruje strujom iz stranogelektriˇcnog izvora koji se na elektrode akumulatora prikljuˇcuje tako da struja u elektrolitu teˇce u suprotnom smjeru od onog kojim je tekla kad je akumulator davao struju prikljuˇcenom trošilu ostvarujući suprotni kemijski proces. Prvi olovni akumulator naˇcinio je G. Plant’e 1859. godine. Iako danas postoji više razliˇcitih vrsta akumulatora, osnovna naˇcela izvedbe i rada u nastavku se prikazuju na olovnom akumulatoru. Napon jedne c´ elije olovnog akumulatora je oko 2 V, i obiˇcno se 6 ili 12 ćelija povezuje serijski, pa daju ukupni napon od 12 V, odnosno 24 V. Jednu c´ eliju akumulatora prikazuje slika2.13. Elektrolit je razrije¯ dena sumporna kiselina, anoda je olovni superoksid, a katoda ˇcisto olovo. Prikljuˇci li se trošilo na stezaljke napunjenog akumulatora, poteći će struja, koja c´ e u elektrolitu potaknuti sljedeću kemijsku reakciju:

PbO 2+ + Pb − + 2H 2 SO 4 → PbSO 4+ + PbSO 4− + 2H 2O 50

(2.23)

Elektrokemijske pojave trošilo I

+,A

−,K

PbO2

Pb H2 SO4

S LIKA 2.13: Olovni akumulator

To znaˇci da se obje elektrode postupno kemijski izjednaˇcujui pretvaraju u olovni sulfat, što c´ e dakako smanjivati njihovu medusobnu razliku potencijala. Iz kemi¯ jske reakcije (2.23) vidljivo je još nešto: u elektrolitu se kiselina sve više razrje duje ¯ vodom, pa nam uz naponske promjene i gustoća kiseline može poslužiti kao kazalo da li je akumulator pun ili prazan. Posebno izgradeni areometri za mjerenje gus¯ toće kiseline koriste se za takva mjerenja. Kad napon akumulatora padne ispod 90% nazivnog, potrebno je akumulator "napuniti". Izvor istosmjerne struje za regeneraciju akumulatora treba sada spojiti tako da na anodu do¯ de ’+’ pol, a na katodu ’-’ pol izvora. To c´ e rezultirati odvijanjem suprotnog kemijskog procesa:

PbSO 4+ + PbSO 4− + 2H 2O → PbO 2+ + Pb − + 2H 2 SO 4

(2.24)

Za vrijeme punjenja, dakle, elektrode i elektrolit vraćaju se po svom kemijskom sastavu u prvotno stanje, koje osigurava i prvotne naponske prilike (usporedite kemijske jednadžbe (2.23) i (2.24)). Postoje još tri pojma koja je korisno poznavati u radu s akumulatorima: kapacitet akumulatora, dobrota i korisnost. Kapacitet akumulatora je umnožak struje i vremena u kojem tu struju akumulator može davati. Oznaˇcen je na izvedenim akumulatorima za nazivnu struju, što znaˇci da se akumulator kapaciteta 90 Ah i nazivne struje 10 A, može njome opteretiti 9 sati. Kapacitet ipak nije konstanta akumulatora nego ovisi o uvjetima eksploatacije. Za struje manje od nazivnih, za intermitirajući pogon, te pri višim temperaturama kapacitet je već i. Za gornji primjer: strujom od 15 A isti akumulatorne bismomogli opteretiti 6 sati, nego manje. Omjer ζ

pr a žn j e n j a = Ah Ah punjenja

51

2. ISTOSMJERNA STRUJA zove se dobrota akumulatora . Punjenje c´ e trebati više ampersati nego što se dobiva pri pražnjenju, pa je kod olovnih akumulatora dobrota oko 0,95. S obzirom da se prilikom punjenja privodi viši napon na stezaljke akumulatora nego što je napon pražnjenja, energetski omjer koji se zove korisnost η

= ζ · V V pr a žn j e n j a = WWh h pr a žn j e n j a punjenja

punjenja

bit c´ e manji od ζ, te za olovne akumulatore iznosi oko 0,80. Osim olovnih postoje i ’alkalijski’ željezno-nikaljni (otporni na elektriˇcne i mehaniˇcke udarce), nikaljno-kadmijevi (najveća brzina punjenja), srebreno-cinˇcani (mala težina i volumen) i drugi akumulatori.

2.10 J EDNOSTAVNI STRUJNI KRUG Elektriˇcni strujni krug nastaje povezivanjem elektriˇcnog izvora s trošilom. Vodljiva veza izvora s trošilom u elektroenergetici se naziva vod . Trošilo c´ e primljenu energiju izvora u naˇcelu pretvarati u koristan rad. Jednostavni strujni krug sastoji se dakle od tri osnovna dijela: elektriˇ cnog izvora , trošila i dvožiˇ cnog voda (slika 2.14). U elektriˇcnom se izvoru djelovanjem neelektriˇcne sile razdvajaju raznoimeni naboji i povećava njihova potencijalna energija. To rezultira naponom na polovima (stezaljkama) izvora cˇ iji se najveći mogući iznos zove elektromotorna sila izvora i najˇcešće se oznaˇcuje s E ili E MS .

I

+ E

I

+

R T

a) bez instrumenata

A

+ E

+

R T

V

b) s mjernim instrumentima

S LIKA 2.14: Jednostavni strujni krug

Ako se negativnoj stezaljki izvora pridjeli referentni potencijal iznosa 0, najve cí potencijal bit cé na pozitivnom (’+’) polu, a onda c´ e u smjeru struje potencijal opadati. Iz elektrostatike je poznato (poglavlje1, izraz 1.11) da gibanje naboja u prostoru ukojemseelektriˇcni potencijal tog naboja mijenja predstavlja rad (W = Q ·V ). Neka se pretpostavi da su svi otpori strujnog kruga izraženi otporomR. Dakako, na njemu vrijedi Ohm -ov zakon: struja ceuz ´ istinaponbiti manja ako jeotporveći, i obratno. 52

Jednostavni strujni krug Općenito, u prirodi postoje dva temeljna zakona: zakon o oˇcuvanju energije i zakon o oˇcuvanju materije (moglo bi se u naˇcelu govoriti o istom zakonu). Prvi zakon izriˇce da je energija u izoliranom sustavu (nezavisnom od svoje okolice) uvi jek konstantna. To znaˇci da je u idealnom sluˇcaju energija koju daje izvor jednaka energiji koja se dobiva u trošilu:

E · Q i = V T · Q T

(2.25)

Prema drugom zakonu koliˇcina je naboja (materije)u izoliranom sustavu tako¯ der konstantna, a to znaˇci da je koliˇcina naboja koja iz izvora ode jednaka koliˇcini naboja koja kroz trošilo prode ¯ i natrag se u izvor vrati (Q i = Q T ). Budući da na otporu trošila vrijedi Ohm-ov zakon (V T = I · R T ), gornji izraz (2.25) sad izgleda:

E = I · R T Iz dobivenog rezultata može se zakljuˇciti sljedeće: 1. Napon V T na R (tzv. pad napona na trošilu), jednak je elektromotornoj sili izvora: E = V T 2. Struja koja u jednostavnom strujnom krugu teˇce ovisi o naponu izvora i otporu kruga: E (2.26) I = R T 3. Jakost struje jednaka je u svakom dijelu jednostavnog strujnog kruga, samo je smjer s obzirom na stezaljke u izvoru od ’-’ prema ’+’ polu, a kroz vanjski strujni krug od ’+’ pola prema ’-’ polu. Svinavedeni zakljuˇcci mogu se provjeriti spajanjem mjernih instrumenata (slika 2.14 b). Jakost struje mjeri se ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug prikljuˇcuje serijski (prekidom vodiˇca i spajanjem instrumenta na prekinute prikljuˇcke). Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što manji. Iznos napona mjeri se voltmetrom. Voltmetar mjeri razliku potencijala izmedu ¯ dviju toˇcaka. Zato se prikljuˇcuje paralelno izvoru ili trošilu cˇ iji napon želimo mjeriti. Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što veći. Veliki otpor instrumenta paralelno spojenog manjem otporu trošila ne mi jenja znaˇcajno ukupni otpor paralelnog spoja. U realnom strujnom krugu pojave su nešto složenije u odnosu na opisani. Prije svega elektriˇcni izvor ima svoje gubitke, pa dovedena energija (mehaniˇcka, kemi jska, magnetska i sl.) nije jednaka odvedenoj elektriˇcnoj energiji. Nadalje, realni izvor nema na svojim stezaljkama isti napon kad mu se prikljuˇci trošilo i kad je neopterećen. Realno ponašanje takva izvora može se prikazati dijagramom kao na slici 2.15. Da bi se takvo ponašanje uzelo u obzir, pretpostavlja se da u svakom realnom izvoru postoji stanoviti otpor R u na kojem dolazi do pada napona, pa se u sluˇcaju 53


V

I S LIKA 2.15: Vanjska karakteristika realnog izvora napona

prikljuˇcenog trošila na vanjskim stezaljkama izvora pojavljuje napon jednak elektromotornoj sili umanjenoj za taj pad napona. Zato se u realnom izvoru uz simbol elektromotorne sile E crta i otpor R u , kojise zove unutarnji ili nutarnji otpor izvora (slika 2.16). Nadalje, vod ima svoj elektriˇcni otpor (oznaˇcuje se najˇcešće s R v ), koji treba uzeti u obzir, ako nije zanemariv prema otporu trošila. U novim okolnostima struja I više neće zadovoljavati izraz (2.26) već c´ e biti manja (zbog dodanih otpora izvora i otpora voda). Zbog manje struje je i napon na trošilu V T takoder ¯ manji od napona izvora E .

I

1 R 2 V

R u

+

+ + E

R T

1 2 R V

S LIKA 2.16: Realni jednostavni strujni krug

Dakako, u praksi se ni trošilu dovedena elektriˇcna energija ne pretvara potpuno u koristan rad. Sve tehniˇcke tvorevine rade s nekim stupnjem iskorištenja, tj. korisni, dobiveni uˇcinak manji je od uložene energije.

2.11 S LOŽENI STRUJNI KRUG Zadatak rješavanja elektriˇcne mreže je potpuno odrediti struje u svim granama (po veliˇcini i smjeru) i razlike potencijala izme du ¯ cˇ vorova. Svaki elektriˇcni element (otpornik, kondenzator, izvor,.. . ) predoˇcen je u elektriˇckoj mreži s vlastitom granom 54

Složeni strujni krug i to obiˇcno sa svojim simbolom, oznakom i iznosom fizikalne veliˇcine koju predstavlja. Za rješavanje elektriˇcne mreže razvijene su brojne metode (metoda napona cˇ vorova, metoda konturnih struja, metoda superpozicije, razliˇcite transfiguracije i sliˇcno), te izvedeni brojni teoremi koji pomažu u analizi elektriˇcnih mreža (Thevenen -ov teorem, Norton -ov teorem, Millman -ov teorem i drugi). Treba naglasiti da sve metode i teoremi samo doprinose brzini i lakoći rješavanja naponsko-strujnih prilika u mreži, a da se temelji rješavanja uvijek nalaze u Ohm -ovu zakonu i Kirchhoff -ovim zakonima. U postupku rješvanja mreže treba najprije utvrditi što je zadano, a koje se nepoznanice traže, te postaviti primjenom I. i II. Kirchhoff-ova zakona, toliko nezavisnih jednadžbi koliko ima nepoznanica. Primjena I. Kirchoff-ova zakona na cvorove, ˇ razmjernoje jednostavna, akose na poˇcetku definiraju smjerovi struja po granama. U primjeni II. Kirchhoff-ova zakona treba biti pozorniji jer treba posebno voditi raˇcuna o strujama koje teku kroz iste grane koje pripadajaju razliˇcitim petljama. Tako na primjer za izdvojenu petlju u nekoj složenoj mreži, kao na slici 2.17 da bi se primijenio II. Kirchhoff-ov zakon potrebno je: 1. Definirati smjer obilaženja petlje. Po volji možemo odabrati u smjeru (kao na slici, crtkano) ili suprotno od smjera kazaljke na satu. 2. Uoˇciti smjer djelovanja izvora elektromotorne sile. Smjer je onaj koji se dobiva kretanjem kroz izvor od negativne prema pozitivnoj stezaljki. 3. Po volji odabrati smjerove struja u pojedinoj grani. 4. Primijeniti II. Kirchhoff-ov zakon.

E1

I 3 R3

R1

I 1 I 2

R2

E2

S LIKA 2.17: Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji elektriˇ cne mreže

Ako se smjer djelovanja E MS podudara sa smjerom obilaženja, onda se ta E MS u jednadžbi uzima s pozitivnim predznakom. Ako se smjer struje I kroz otpornik R podudara sa smjerom obilaženja, onda se pad napona I · R uzima s pozitivnim predznakom. Za shemu na slici 2.17 vrijedi:

E 1 − E 2 = I 1 R 1 − I 2 R 2 + I 3 R 3 55

2. ISTOSMJERNA STRUJA Na koncu treba osmisliti predznake dobivenih rezultata. Naime, ukoliko je numeriˇcki rezultat za pojedinu struju negativan, znaˇci da joj je stvaran smjer suprotan pretpostavljenom.

Primjer:

Na slici 2.18 prikazan je jedan složen strujni krug:

I I 1 R 1

I 2 R 2

+

R 3 E 1

+

E 2

+

S LIKA 2.18: Složeni strujni krug

Zadane su vrijednosti otpora R 1 , R 2 i R , te naponskih izvora E 1 i E 2 . Treba izraˇcunati struje po granama. Prvo se ucrtaju i oznaˇce struje po granama (proizvoljnog smjera). Zatim treba postaviti 3 nezavisne jednadžbe (3 nepoznanice) koristeći Kirchhoff-ove zakone. Iako postoje 2 cvora, ˇ I. Kirchhoff-ov zakon primjenjuje se na samo jednom, jer je za drugi cˇ vor jednadžba ista. Od 3 mogu´ ce petlje za primjenu II. Kirchhoff-ova zakona jedna je zavisna, dakle treba postaviit jednadžbe za d vije petlje. Vodeći raˇcuna o prethodnom naputku mogu se napisati tri jednadžbe:

I 1 + I 2 − I = 0 I 1 R 1 − I 2 R 2 = E 1 − E 2 I 2 R 2 + I R = E 2 Jednadžbe su napisane tako da se uoˇci mogućnost matriˇcnog rješavanja. Te jednadžbe za poznate vrijednosti otpora R , R 1 i R 2 , te naponskih izvora E 1 i E 2 , daju rješenja za struje I , I 1 i I 2 .

2.12 R EALNI NAPONSKI IZVORI Kako je već opisano, realni naponski izvor predoˇcuje se (slika 2.19) serijskim spo jem idealnog naponskog izvora elektromotorne sile E i nutarnjeg otpora Ru. 56

Realni naponski izvori IZVOR

R u R T E

S LIKA 2.19: Realni naponski izvor

Prikljuˇci li se na izvor trošilo otpora R T , strujnim krugom c´ e poteći struja I cˇ ija jakost iznosi (uz zanemarenje otpora voda, tj. uz pretpostavku R v = 0):

E (2.27) R u + R T (Ekvivalentna pretpostavka bila bi da su svi otpori izvan izvora obuhvaćeni s R T ). Odavde je: I =

E = I · R u + I · R T

(2.28)

Napon V (V = I · R T ) koji se može mjeriti na stezaljkama izvora je prema gorn jem izrazu (2.28) jednak:

V = E − I · R u

(2.29)

dakle, napon idealnog izvora elektromotorne sile E umanjen za pad napona na nutarnjem otporu.

2.12.1 V AN JS KA KA RA KT ER IS TI KA RE AL NI H IZ VO RA Izraz (2.29) vrlo je znaˇcajan i u obliku V = f (I ). Njegov grafiˇcki prikaz već je dan slikom 2.15, a ovdje se daje detaljnija analiza. Prva važna toˇcka vanjske karakteristike nalazi se pri I = 0, dakle otvorenom strujnom krugu (što odgovaa sluˇcaju R T = ∞. Iz (2.29) slijedi da je napon na stezaljkama V jednak E . Takvo stanje kruga i izvora naziva se prazni hod . U grafiˇckom prikazu toˇcka praznog hoda je na osi V u vrijednosti E . Druga ekstremna toˇcka vanjske karakteristike nastupa za R T = 0 i naziva se kratki spoj izvora, jer se postiže kad se stezaljke izvora spoje bez otpora. Ako je R T = 0, iz izraza (2.27) slijedi

I =

E = I R u k 57

2. ISTOSMJERNA STRUJA koja se naziva struja kratkog spoja . Struja I k redovito je mnogo puta veća od nazivne, pa je kratki spojizvora nepožel jan za izvor i vodiˇce, jer ih može oštetiti. U grafiˇckom prikazu toˇcka kratkog spoja je na sjecištu karakteristike s osi I u vrijednosti I k . Grafiˇcki prikaz vanjske karakteristike daje slika 2.15. Vrijedi uoˇciti kako je izraz (2.29) linearna funkcija V = f ( I ):

V = −R u I + E što grafiˇcki predstavlja pravac s odsjeˇckom E na ordinati i nagibom −R u . Karakteristika jasno predoˇcuje da povećanjem struje iz izvora I opada napon stezaljki V . Primjerice, za radnu toˇcku P pri struji I , napon na stezaljkama izvora je V , a pad napona na nutarnjem otporu I · R u . Zbroj napona V i pada napona na nutarnjem otporu uvijek mora biti jednako E . Strmina vanjske karakteristike ovisi o kutu β ˇciji je tangens jednak R u .

 > R T R T

V [V ]

V [V ] R T

E

R T E

β

E

β

P 

V  V

P

E β

P

V V  P 

α

α

I 

I

I K I [ A ]

I  I

 I K

S LIKA 2.20: Vanjska karakteristika realnih izvora

U isti koordinatni sustav V − I može se ucrtati i V − I karakteristika otpora R T (V = R T · I ). Otpor R T jednak je tangensu kuta α . Radna toˇcka P (par vrijednosti V , I ) bit c´ e u sjecištu karakteristika. Lako se prate promjene: kad raste R T povećava se kut α, kad raste R u povećava se kut β . Kad se mijenja E , vanjska karakteristika pomiˇce se paralelno samoj sebi. U idealnom naponskom izvoru, u kojem bi bio R u = 0 vanjska karakteristika bio bi horizontalan pravac u toˇcki E (β = 0),pabinapon V bio stalan za sva opterećenja (V = E ), a struja kratkog spoja bila bi I k =∞ . ˇ IZVORA 2.12.2 S POJEVI ELEKTRI CNIH

U sluˇcaju da jedan izvor nema dovoljan napon ili ne može dati dovoljnu struju trošilu, koriste se razliˇciti spojevi više elektriˇcnih izvora. 58

I K I [ A ]

Realni naponski izvori

Serijski spoj dvaju ili više izvora ostvaruje se nizom izvora tako da stezaljku jednog izvora spojimo sa stezaljkom drugog, pa slobodne stezaljke krajnjih izvora postajustezaljke novodobivenog izvora. Kod ovakvog spajanja imamo dakako dvije mogućnosti, što je za dva izvora prikazano na slici 2.21. A

A

E 1

R u 1

+ E 1

R u 1

+

E 2

+ E 2

+

R u 2

B

R u 2

B

S LIKA 2.21: Serijski spoj realnih elektriˇ cnih izvora

U prvom sluˇcaju (slika 2.21 a) ukupni napon E AB = E 1 + E 2 , a u drugom, tzv. protuspoju (slika 2.21 b) E AB = E 1 − E 2 . Spoji li se novi izvor u strujni krug, kroz njega c´ e poteći ista struja kao kroz prikljuˇceno trošilo. Stoga treba voditi raˇcuna o nazivnim (pretpostavljenim) strujama pojedinih izvora od kojih je novi izvor sastavljen, te spoj izvora koristiti samo za takva trošila koja neće uzimati struju veću od najmanje pojedinaˇcne nazivne struje. Poopćenje na više serijski spojenih izvora analogno je prije opisanom spoju. Ukupni napon E bit ce ´ jednak zbroju napona po jedinaˇcnih izvora uz odgovarajući polaritet (negativan za protuspoj), a struja kroz svaki izvor bit c´ e ista: n

 =

E

i =1

E i

I 1 = I 2 = .. . = I

Novodobiveni izvor ima ekvivalentan nutarnji otpor R u = n i =1 R u i . Ako se trošilo otpora R T prikljuˇci u krug s više serijski spojenih izvora, onda će struja I te c´ i kroz otpor i sve izvore u iznosu:



E 1 + E 2 + .. . + E n (2.30) R 1 + R 2 + ... + R n + R T s odgovarajućim predznakom elektromotorne sile svakog pojedinaˇcnog izvora. Spojimo li izvore jednakih elektromotornih sila E i nutarnjeg otpora R u gornja jednadžba (2.30) postaje: I =

n · E n · R u + R T Kod paralelnog spoja dvaju izvora imamo takoder ¯ dvije mogućnosti, kako je prikazano slikom 2.22. Iz praktiˇcnih se razloga nikad ne koristi protuspoj (slika2.22 b)), osim pogreškom, jer donosi nepotreban gubitak energije. I =

59


E 1

R u 1

+ A

E 1

+

+ B

I

E 2

R u 2

+

A E 2

+

+ E 1

R u 1

+ E 2

R u 2

+ I

+ R u 1

+

B

I

R u 2

+

+ +

R T

S LIKA 2.22: Paralelni spoj realnih naponskih izvora

Izvor c´ e u praznom hodu za sluˇcaj na slici 2.22 a) na svojim stezaljkama imati napon E jednak:

E AB = E 1 − I · R u 1 pa kako je:

I = slijedi:

E 1 − E 2 R u 1 + R u 2

E AB = E 1 −

(E 1 − E 2 ) · R u 1 R u 1 + R u 2

(2.31)

Ako su E 1 i E 2 jednaki, iz izraza (2.31) slijedi E AB = E 1 = E 2 , što se u naˇcelu od takva izvora i traži. Ako naponi nisu jednaki, onda u samim izvorima teˇce stalna struja, koja može biti i veća od nominalne pojedinog izvora, pa tako uništiti sam izvor. Razlog uporabe paralelnog spoja dvaju ili više izvora je u struji koju taj izvor može dati trošilu. S obzirom da se radi o dvije ili više grana spojenih u jednu toˇcku, po I. Kirchhoff-ovu zakonu slijedi da c´ e takav izvor dati ukupnu struju jednaku zbroju svih struja pojedinih grana u toj toˇcki (slika 2.22 c). Treba uoˇciti da na jakost struje pojedine grane u sluˇcaju istih elektromotornih sila presudnu ulogu ima nutarnji otpor pojedinog izvora. Paralelni spoj izvora omogućuje dakle, uz isti napon, veću struju za trošilo: 60

Mjerenje struje, napona i otpora

E =

n



i =1

I i

E 1 = E 2 = ... = E

Pri paralelnom spajanju n jednakih izvora, jednake elektromotorne sile E i jednakih nutarnjih otpora R u struja kroz trošilo bit cé jednaka:

I =

E R u + R T n

2.13 M JERENJE STRUJE , NAPONA I OTPORA Mjerni se instrumenti spajaju u strujni krug radi mjerenja željenih veliˇcina: struje, napona, otpora, snage. Spajanje bilo kojeg realnog instrumenta (ima konaˇcni otpor) u strujni krug mijenja prilike u krugu. Tako c´ e ampermetar sa svojim otporom R i A utjecati da se, na primjer, struja u jednostavnom strujnom krugu (slika 2.23 a) smanji, jer se ukupni otpor zbog instrumenta povećava (serijski spoj otpornika). I R u

+ + E

R i A

+

I

A

+

R T

R u

I − I i

+ + E

+

R T

V R iV

S LIKA 2.23: Pojedinaˇ cno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu

Dakako, pritom c´ e na ampermetru postojati pad napona ( I · R i A ), pa c´ e i napon na trošilu biti manji s obzirom na prilike bez ampermetra. To je identiˇcno razmatranju da je uz manji I i pad napona na trošilu ( I · R T ) takoder ¯ manji. Zato se zahti jeva da otpor ampermetra bude što manji (idealno: jednak nuli) u odnosu na otpor trošila. Sliˇcno razmatranje vrijedi i za voltmetar (slika 2.23 b), za koji se s obzirom na njegovo paralelno spajanje traži da otpor bude jako velik (idealno: beskonaˇcan). Samo beskonaˇcno velik otpor spojen paralelno trošilu ne mijenja prilike. Ukoliko se mjerenja više elektriˇcnih veliˇcina izvode istodobno, potrebno je primijeniti takve naˇcine spajanja, pri kojima se pogreške zbog instrumenata mogu zanemariti. Ako je pogreška ipak prevelika, onda je potrebna analitiˇcka korekcija. Odabir ispravnog spoja ovisi o zahtjevu koji se na mjerenje postavlja. Neka se ampermetar i voltmetar spoje u strujni krug kaona slici 2.24. Prvi naˇcin spajanja (slika 2.24 a) koristi se za mjerenje napona izvora i struje koja teˇce kroz 61

2. ISTOSMJERNA STRUJA trošilo. (Struja kroz trošilo jednaka je struji izvora umanjenoj za iznos struje koja teˇce kroz voltmetar).

I

+

R i A

R i A

A

A

R u

+ + E

R u

+

V R iV

+

a) struje trošila i napona izvora

R T

+ + E

+

V R iV

+

R T

b) struje izvora i napona trošila

S LIKA 2.24: Istodobno mjerenje

Ovim se spojem ne bi mogao toˇcno mjeriti napon na trošilu, jer voltmetar istodobno mjeri i pad napona na trošilu i pad napona na ampermetru. Zato se za mjerenje napona na trošilu koristi spoj prikazan na slici 2.24 b). U tom pak sluˇcaju ampermetar mjeri struju koju daje izvor, a koja (zbog konaˇcnog otpora voltmetra) ne teˇce cˇ itava kroz trošilo. Za mjerenje otpora najˇcešć e sekoriste tri naˇcina: V/I metoda , ommetar i Wheatstone -ov most . Prvi naˇcin, temeljen na Ohm-ovu zakonu, sasvim je jednostavan: nepoznati otpor jednak je kvocijentu izmjerenog napona i struje.

2.13.1 M JERNI INSTRUMENTI : VOLTMETAR , AMPERMETAR , OMMETAR Postoje razliˇcite izvedbe mjernih instrumenata, temeljene na razliˇcitim fizikalnim efektima, a ovdje se prikazuje samo izvedba vrlo poznatog i cesto ˇ korištenog instrumenta s pomiˇcnim svitkom i permanentnim magnetom. Ako kroz svitak smješten unutar polova permanentnog magneta (kao na slici 2.25) prolazi struja, na svitak djeluje moment (u poglavlju o magnetizmu bit c´ e to objašnjeno) koji uzrokuje otklon kazaljke instrumenta. Veća jakost struje daje veći moment, a veći moment veći otklon. Protumoment djelovanju elektriˇcnog momenta ostvaruje se s pomoću spiralne mehaniˇcke opruge. Ovakvi instrumenti, dakle, mjerila su jakosti istosmjerne struje (ampermetar). Me¯ dutim, posredno ih koristimo i za mjerenje napona (voltmetar) i za mjerenje otpora (ommetar). Uz otpor instrumenta R i A (to je otpor žice svitka), još je važno poznavati jakost struje I i kod koje kazaljka pokazuje puni otklon. Ako je na primjer otpor instrumenta R i A = 50Ω , a I i = 2 mA, to znaˇci da instrument može mjeriti struju do 2 mA, a napon do V i = R i A · I i = 0,1 V. 62

Mjerenje struje, napona i otpora Kako mjeritiveć e napone i struje? Proširenje mjernog podruˇ cja instrumenta ostvaruje se prikladnim dodavanjem otpornika. Za mjerenje viših napona otpornike treba spajati serijski sa Ri v , a za mjerenje većih struja - paralelno.

0

1

2

3

4

N

5

6

S

S LIKA 2.25: Instrument s pomiˇ cnim svitkom i permanentnim magnetom

Slika 2.26 prikazuje proširenje mjernog podruˇcja voltmetra dodavanjem seri jskog otpora R s . Napon koji voltmetar mjeri pri punom otklonu je:

V = I i · (R i v + R s )

(2.32)

Potrebno je, dakle, prema izrazu 2.32, otpornik R s dimenzionirati kao:

R s =

V − I i · R i v V − V i = I I i i

(2.33)

VOLTMETAR

R iV

+

V

+

R S

I i

+

−

S LIKA 2.26: Proširenje mjernog podruˇ cja voltmetra

Iz izraza (2.33) uz V  V i ( V puno veće od V i ) slijedi: 63


V I i

R s ∼ =

Za mjerenje već ih struja od I i (proširenje mjernogpodruˇcja ampermetra) svitku treba paralelno spojiti otpornik R p (slika 2.27), koji se naziva shunt (ˇcitaj: šent ), pa vrijedi: ( I − I i ) · R p = I i · R i A odnosno:

I i · R i A V i = I − I i I − I i Uz I  I i gornji izraz (2.34) postaje:

(2.34)

R p =

V i I Dok je kod mjerenja napona V bilo nužno da otpornik R s ima veću vrijednost od R i v približno onoliko puta koliko puta je V veće od V i , kako bi na sebe preuzeo veći dio mjerenog napona, R p ∼ =

AMPERMETAR

R i A

I i

A

I − I i

+

I

R P

−

+

S LIKA 2.27: Proširenje mjernog podruˇ cja ampermetra

kod mjerenja struje (paralelnog spoja) R p je toliko puta manji od R i A koliko je približno željena struja I puta veća od struje instrumenta I i ( R p /R i A ≈ I i /I ). Ampermetar se može upotrijebiti i za mjerenje elektriˇcnih otpora, uz stanovite prilagodbe, kako je to prikazano na slici 2.28, cˇ ime se dobiva ommetar . Prikljuˇci li se na stezaljke A i B otpornik nepoznatog otpora R x struja koju cé ampermetar pokazivati bit cé odredena izrazom: ¯

I = 64

E R u + R i A + R r eg + R x

Mjerenje struje, napona i otpora a nepoznata vrijednost otpornika R x je:

R x =

E − (R u + R i A + R r eg ) I

A

+

R x

B

I

+

R r eg

R i A A

+ +

R u

+

S LIKA 2.28: Nadomjesna shema ommmetra

Struja ima najveću vrijednost (kazaljka pokazuje maksimalni otklon), kad su stezaljke ommetra AB kratko spojene (R x = 0). Za prekid izmedu ¯ stezaljki (R x =∞) struja u strujnom krugu ne teˇce, pa je otklon kazaljke nula. Za vrijednosti otpora R x izmedu ¯ tih krajnjih vrijednosti i otklon kazaljke bit c´ e odgovarajući. To znaˇci da je skala ommetra oznaˇcena tako da za otklon pri struji 0 ima oznaku ∞Ω, a za struju punog otklona oznaku Ω0. Izmedu ¯ tih dviju oznaka raspodijeljene su ostale vrijednosti (slika 2.13.1).

100 1000

∞

20 10

5

3

2

1

0

Ω S LIKA 2.29: Skala ommetra

Umjeravanje (baždarenje) ommetra prije svakog mjerenja izvodi se tako da se stezaljke AB kratko spoje, a sa R r eg namjesti se otklon kazaljke na oznaku 0 (R AB = 0). Takvim naˇcinom eliminira se utjecaj promjene napona izvora na mjerni rezultat (npr. zbog starenja baterije).

2.14 R AD I SNAGA IS TOSM JE RNE ST RUJE

65

2. ISTOSMJERNA STRUJA O energiji naboja u gibanju već je bilo govora u elektrostatici (poglavlje 1.) i jednostavnom strujnom krugu (potpoglavlje 2.10). S obzirom da je struja naboj koji se u vremenu giba (Q = I ·), izraz za rad tj. energiju naboja: W = Q · V može se pisati kao:

W = V · I · t

[ J ]

(2.35)

Jedinica za rad je J (joul). Izražena pomoću osnovnih jedinica veliˇcina s desne strane izraza (2.35) ona je jednaka. V As (volt - amper-sekunda) ili W s (vatsekunda). Primjenjen na otpor R uz korištenje Ohm-ovog zakona, izraz (2.35) može se pisati na još dva naˇcina:

W = I 2 · R · t i

V 2 · t R Isti se rad može obaviti u dužem ili kraćem vremenu, što ovisi o snazi P koja se definira kao : W =

W [W ] (2.36) t Iz izraza (2.35) i (2.36) proizlazi da je jedinica za snagu V A (volt-amper). Ona se kraće zove vat i oznaˇcuje sa W . Preko navedenih izraza (2.35) - (2.36) slijedi da je snaga na otporniku: P =

V 2 R Nazivna snaga trošila (obiˇcno oznaˇcena na elektriˇcnim trošilima, na primjer 100 W žarulja) je snaga za koju je trošilo gradeno i koja se ostvaruje pri naponu za koji je ¯ prikljuˇcak trošila predvi¯ den (nazivni napon). Treba uoˇcitida stvarnu(trenutnu) vri jednost snage odreduje ¯ otpor tog trošila i trenutna vrijednost prikljuˇcenog napona ili struje koja kroz njega teˇce. Ono što trošilo obiˇcno trajno posjeduje jest njegov otpor (premda je u praksi uslijed vanjskih utjecaja: starenja, temperature, vlage, neˇcistoće i sl., ipak promjenjiv). Osim nazivne snage, za elektriˇcne uredaje ¯ zanimljiva je i njihova korisnost ili stupanj djelovanja . Ukupna privedena energija W u nije u trošilu u potpunosti iskorištena. Ako je W g gubitak energije, a W korisna energija, onda se korisnost nekog uredaja ¯ definira kao: P = V · I = I 2 · R =

η

W = W = W W + W u

g

Korisnost se za sluˇcaj istog vremena t može izraziti i s pomoću omjera snaga (uz iste oznake indeksa): η

66

= P +P P

g

Appleti Snaga se može odrediti tako da se ampermetrom izmjeri struja, a voltmetrom napon željenog dijela strujnog kruga. Umnožak izmjerenih veliˇcina daje snagu izraženu u vatima. Po tom naˇcelu napravljeni su instrumenti, nazvani vatmetri , ko jima je skala oznaˇcena razmjerno umnošku mjerene struje i napona. Prilikom spa janja vatmetra potrebno je osobitu pozornost obratiti na ispravno spajanje strujnih i naponskih stezaljki. Naponske stezaljke spajaju se paralelno mjerenom objektu (kao voltmetar), a strujne serijski (kao ampermetar). Za mjerenje elektriˇcne energije koriste se elektriˇ cna brojila . Elektriˇcna energija je W = P · t (iz izraza (2.36), pa su ti instrumenti zapravo modificirani vatmetri. Faktor vremena t uzima se u obzir time što c´ e moment koji bi u vatmetru djelovao na otklon kazaljke instrumenta ovdje okretati okruglu ploˇcicu spojenu na bro jˇcanik instrumenta. Uz istu snagu, kroz duže vrijeme, instrument cé registrirati veći broj okretaja (više c´ e se puta ploˇcica okrenuti), a za veću snagu, u istom vremenu, takoder ¯ c´ e se registrirati veći broj okretaja (jer c´ e se ploˇcica brže okretati). S obzirom da je jedinica vremena u tim ure dajima sat, a jedinica snage kilovat ¯ (1kW = 1000W ), ti se instrumenti još zovu kilovatsatna brojila .

2.15 A P PLETI 2.15.1 O HMOV ZAKON

S LIKA 2.30: Ommetar

Pomoću klizaˇca mijenjamo : • RESISTANCE - vrijednost otpora od 2 do 10Ω • VOLTAGE - vrijednost napona od 5 do 20 V 67

2. ISTOSMJERNA STRUJA Ampermetar je prikljuˇcen u strujni krug serijski sa otporom i mjeri struju koja teˇce krugom. Ako povećavamo napon, povećavat c´ e se i struja, a smanjenjem napona, smanjit c´ e se i struja. Poveć anjem otpora, uz isti napon, struja se smanjuje,a sman jenjem otpora struja se povećava. Struja je razmjerna naponu i obrnuto razmjerna otporu prema (2.9). Neka se provjeri ova jednadžba (Ohmov zakon) za R = 8Ω , V = 16V. Koliko je I =?

I =

V 16V = = 2 A R 8Ω

2.15.2 J EDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

S LIKA 2.31: Jednostavni strujni krug

Strujni krug se sastoji od cˇetiri dijela: • Baterija - click-om na bateriju željenog napona, možemo je "dovući" u stru jni krug, • Otpor - click-om možemo "dovući" razliˇcite kombinacije otpornika u strujni krug, • Sklopka - click-om na sklopku ukljuˇcujemo i iskljuˇcujemo strujni krug, • Žarulja - promatramo što se s njom dogada ¯ za razliˇcite kombinacije napona i ukupnog otpora, kada ukljuˇcimo strujni krug.

Zakljuˇ cak: Ako je otpor prevelik, kroz žarulju teˇce premala struja, pa ona ne svijetli. Ako je otpor premali, žaruljom c´ e poteći prevelika struja, pa c´ e žarulja pregorjeti (uz ukljuˇcene zvuˇcnike, na raˇcunalu se cˇ uje prasak). Žarulja svijetli samo kada je iznos otpora dvostruko manji od iznosa napona. To znaˇci da je jakost struje potrebna da žarulja svijetli 2 A . Moguć e je pozvati applet tako da je jakost struje potrebna da žarulje svijetli jednaka 3 A . 68

Appleti

S LIKA 2.32: Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem

Zadatak je složiti strujni krug tako da žarulja svijetli. Žarulja ce ´ svijetliti ako je iznos napona tri puta veći od iznosa ekvivalentnog otpora.

2.15.3 MJERENJE NAPONA , STRUJE I SNAGE U STRUJNOM KRUGU

S LIKA 2.33: Mjerenje napona, struje i snage

Pomoću klizaˇca R mijenja se otpor u strujnom krugu s naponskim i strujnim izvorom. Applet pokazuje serijsko ukljuˇcivanje ampermetra i paralelno prikljuˇcivanje voltmetra u strujni krug, te oˇcitavanje mjernog rezultata na zaslonu instrumenta. Kod toga je važno uoˇciti i odrediti polaritet napona i struje. Umnožak napona i struje odreduje snagu, a snaga u vremenu elektriˇcku en¯ ergiju.

2.15.4 MULTIMETAR 69


S LIKA 2.34: Multimetar

S pomoću ovog applet-a moguće je razumjeti i nauˇciti (virtualno) mjerenje osnovnih elektriˇcnih veliˇcina (napon, struja, otpor) s idealnim i realnim instrumentom(R m - realni otpor instrumenta). Applet pokazujenutarnju strukturugalvanometra i dodavanje odgovarajućih (engl. shunt ) otpornika za proširivanje mjernog podruˇcja.

2.15.5 S ERIJSKI SPOJ OTPORA Pomoću klizaˇca R 1 , R 2 i V s podešavamo vrijednosti otpora serijski spojenih otpornika R 1 i R 2 (od 2 do 49 Ω ) i napon naponskog izvora V s (od 1 do 49 V ). U krugu teˇce struja I , koja je proporcionalna naponu izvora V s . Struju mjeri ampermetar koji spojen serijski sa otporima R 1 i R 2 . Prema (2.16) vrijednost ekvivalentnog (ukupnog) otpora jednaka je zbroju otpora R 1 i R 2 .

R uk = R 1 + R 2

2.15.6 P AR AL EL NI SP OJ OTPO RA 70

Appleti

S LIKA 2.35: Serijski spoj otpora

S LIKA 2.36: Paralelni spoj otpora

Pomoću klizaˇca R 1 , R 2 i I s pdešavamo vrijednosti otpora paralelno spojenih otpornika (od 2 do 99Ω) i jakost struje strujnog izvora (od 1 do 19 A). Voltmetar, koji je spojen paralelno strujnom izvoru (a time i otpornicima R 1 i R 2 ) mjeri napon na strujnom izvoru i na otpornicima. Ekvivalentni (ukupni otpor) raˇcunamo prema jednadžbi (2.19) 71


R uk =

R 1 · R 2 R 1 + R 2

i

V = I · R uk = I ·

R 1 · R 2 R 1 + R 2

2.15.7 K I RCHHOFF - OVI ZAKONI

S LIKA 2.37: Kirchhoff-ovi zakoni

Pored izvora napona i otpornika u strujnom krugu napisane su njihove vrijednosti u voltima odnosno ohmima. Click-om miša (lijevi click) ispod ili iznad napisane vrijednosti, smanjujemo ili povećavamo te vrijednosti. Napon izvora možemo mijenjati od −10 do 10V, a otpore na otpornicima od 1 do 10Ω. Moguće je s pomoću miša dovući vodiˇc ili otpornik u strujni krug (prikazani su s lijeve strane strujnog kruga) i smjestiti ih izme du ¯ toˇcaka A i C , B i D , C i E ili D i F . Isto tako mogu se maknuti (izbrisati) iz strujnog kruga s pomoću brisala (engl. eraser ). Iznad izvora strujnog kruga (u elipsi) upisana je jakost struje koju daje izvor. U pravokutnicima mogu se oˇcitati vrijednosti napona izmedu ¯ pojedinih toˇcaka (V AC = V BD i V C E = V DF ).

72

Zadaci

2.16 Z ADACI 2.1 Odredite jakost elektriˇc nog polja u bakrenom vodiˇcu promjera 0,5 mm kad njime teˇce struja jakosti 0,3 A. Rješenje: 26,7 mV/m

2.2 Pri elektrolizi neke srebrne otopine izluˇc ilo se za 3 sata 4,55 g srebra. Kolika je bila jakost struje pri elektrolizi? Rješenje: 0.377 A ˇ od kojih svaka ima elek2.3 Baterija od 6 jednakih paralelno spojenih clanaka tromotornu silu E = 1,5V, daje struju od 4 A trošilu cˇ iji otpor iznosi 0,25 Ω. a) nacrtajte elektriˇcku shemu spoja, b) koliki napon vlada na trošilu, c) koliki je unutrašnji otpor svakog cˇlanka, d) za koju snagu mora biti gradeno trošilo, ¯ e) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije, a koliki pojedinog cˇlanka?

Rješenje: b) 1 V

c) 0,75Ω

d) 4 W

e) 12 A, 2 A

ˇ 2.4 Cetiri jednaka istosmjerna izvora, spojena serijski imaju struju kratkog spoja 1 A, a paralelno spojeni imaju napon praznog hoda 1 V. a) nacrtajte shemu serijskog i paralelnog spoja i oznaˇcite elemente, b) koliki je napon praznog hoda E svakog pojedinaˇcnog izvora, c) koliki je unutarnji otpor serijski spojenih izvora, d) koliki je unutarnji otpor svakog pojedinaˇcnog izvora, e) koliki je napon na stezaljkama serijski spojenih izvora akoje otpor tereta 2Ω?

Rješenje: a) - b) 1 V

2.5

c) 4Ω

d) 1Ω

e) 1,333 V

Struja kratkog spoja izvora iznosi 120 A, a napon praznog hoda 2 V. a) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije sastavljene od 6 serijski spo jenih izvora, 73

2. ISTOSMJERNA STRUJA b) koliko c´ e iznositi struja kratkog spoja baterije sastavljene od 6 paralelno spojenih izvora, c) koliku snagu ima trošilo otpora 2Ω prikljuˇceno na bateriju iz a) d) koliki je faktor iskoristivosti spoja iz c), e) koliku elektriˇcnu energiju mora razviti baterija iz c) za 1 sat?

Rješenje: a) 120 A b) 720 A

c) 65,3 W

d) 0,9523

e) 0,0653 kWh

2.6 Izvoru s E = 36 V i nutarnjim otporom 2Ω prikljuˇc i se trošilo s oznakama 24 V, 15 W. a) kolika struja teˇce trošilom, b) kolika se energija troši za 24 sata na trošilu, c) kolika je korisnost spoja η(otpor vodova se zanemaruje), d) kako se promijeni korisnost ako se unutrašnji otpor udvostruˇci, e) kolika je u sluˇcaju d)struja kratkog spoja izvora?

Rješenje: a) 0,891 A

b) 731,8 Wh

c) 0,95

d) 0,906 e) 9 A

2.7 Na naponski izvor unutarnjeg otpora R u = 3Ω spojeno je naponsko djelilo (potenciometar)otpora R = 100Ω. Na izlaze treba spojiti žarulju s oznakama 12 V, 36 W tako da svijetli punim sjajem. a) nacrtajte elektriˇcnu shemu spoja, b) kolika struja teˇce kroz žarulju, c) kako je podešen klizni kontakt djelitelja napona, ako izvor daje struju jakosti 3, 3 A, d) kolika je elektromotorna sila izvora, e) hoće li se struja iz izvora promijeniti ako žarulju odspojimo i zašto?

Rješenje: a) -

2.8

b) 3 A

c) 60Ω/40Ω

d) 219,9 V

e) da, struja smanjuje zbog porasta ukupnog otpora

Sklop prema slici spojen je na izvor 12 V. a) oznaˇcite polaritete napona i smjerove struja, b) koliku struju pokazuje idealni ampermetar, a koliki napon idealni voltmetar prema shemi, c) na kojuvrijednost se promijenipokazivanje voltmetra,ako se R 2 odspoji?

74

Zadaci

Rješenje: a) -

b) 0,04 A, 8 V

c) 6 V

2.9 Deset galvanskih cˇlanaka elektromotornog napona 2 V spojeno je u dvije paralelne grane s po pet serijski spojenih cˇ lanaka. Vanjski otpor kruga je 4Ω, a krugom teˇce struja 1,5 A. Koliki je nutarnji otpor svakog ˇclanka? Nacrtajte shemu stru jnog kruga. Rješenje: 1,067Ω

2.10 Koliku jakost ima struja koja teˇce tramvajskim motorom ako se kola mase 10 tona pokrenu iz stanja mirovanja i nakon 20 s postignu brzinu 36 km/h? Motor je prikljuˇcen na napon 600 V. Faktor trenja je 0, 02. Rješenje: 58 A

75

3

MAGNETIZAM

P OGLAVLJE

Magnetizam opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko trajnih magneta i gibljivih elektriˇcnih naboja. Djelovanje gibljivog naboja u prostoru tumaˇc ise magnetskim poljem koje svaki gibljivi naboj stvara u svom okolišu.

3.1 M AGNE TSKO PO LJ E Prouˇcavanje magnetizma povijesno je prethodilo prouˇcavanju elektriˇcnih pojava i temeljilo se na uoˇcavanju i mjerenju sila uzrokovanih permanentnim (trajnim) magnetima koji se u prirodi nalaze najˇcešć e u rudama željeza, nikla i kobalta. Magnetizam je i dobio ime od minerala željeznog oksida - magnetita. Magnetsko djelovanje koncentrirano je na suprotnim krajevima magneta, koji se nazivaju sjeverni i južni pol. Istoimeni polovi medusobno se odbijaju, a raznoimeni ¯ privlaˇce. Njihova imena preuzeta su iz zemljovidne orijentacije. Naime, zemaljska kugla, kao veliki prirodni magnet usmjerava sobodne magnetizirane igle u pravcu sjever-jug, jer takoder ¯ ima svoje magnetske polove nedaleko geografskih polova. Pol magnetske igle usmjeren na sjeverni geografski pol nazvan je sjevernim polom magneta (N), a suprotan južnim polom (S). Djelovanje bilo kojeg pola magneta na sitne cˇ estice željezne piljevine stvara geometrijske oblike sliˇcne silnicama elektriˇcnog polja. Sve to vodi na izravnu povezanost magnetizma i elektriciteta, no postoje i bitne razlike. ˇ Cinjenica je da se pol magneta nikad ne pojavljuje samostalno. Ako se magnetski štap presijeˇce na polovici, ne dobiva se na jednoj polovici sjeverni, a na drugoj južni pol,već svaka polovica postaje magnet koji sadrži oba svoja na svojim završecima. To temeljno iskustvo ukazuje da ne postoji neki "magnetski naboj", već je po java magneta prouzrokovana na drugi naˇcin. Godine 1820. H.C. Örsted je otkrio da se u okolišu vodiˇca kroz koji teˇce elektriˇcna struja stvara magnetsko polje. Tako je nadena veza izmedu ¯ ¯ magnetizma i elektriciteta, postavljena je hipoteza o elementarnim strujama u molekulama i atomimapo kojoj se objašnjava postojanjepermanentnogmagneta. Zbogmogućnosti stvaranja magnetskih polja s pomoću elektriˇcne struje i dodatnih elektromag77

3. MAGNETIZAM netskih pojava nastalih njihovom promjenom, to je otkriće dobilo veliku vrijednost u praksi. Elektriˇcna struja proizvodi dakle oko sebe magnetsko polje . Njegovo postojanje može se ustvrditi uoˇcavanjem i mjerenjem sile na (male) magnete u blizini vodiˇca kojim elektriˇcna struja teˇce (slika 3.1 a). Magnetsko polje je polje sila, pa se sliˇcno ˇ kao elektriˇcno, možeprikazati linijama polja ilisilnicama. Cestice željezne piljevine u ravnini okomitoj na vodiˇc poredat cé se upravo po takvim linijama (slika 3.1 b).

I

I

a )

b )

S LIKA 3.1: Magnetsko polje oko vodiˇ ca kojim teˇ ce struja

Povezanost magnetskog polja i elektriˇcne struje nudi zgodnu mogućnost da se osnovne veliˇcine magnetskog polja upoznaju upravo na primjeru najjednostavni jeg polja koje u svojem okolišu stvara ravni, strujom protjecani, vodiˇc. U korištenju efekata magnetskih polja u praksi, polja koja su nastala protjecanjem struje daleko su važnija i cˇ ešća od onih koja su nastala djelovanjem trajnih magneta. Smjer magnetskog polja dogovorno je definiran smjerom sjevernog pola magnetske igle. Smjer odgovara smjeru vrtnje desnog vijka, ako je smjer struje u pravcu pomicanja vijka duž njegove osi. Promjenom smjera struje mijenja se i smjer magnetskog polja. Jakost magnetskog polja koja se oznaˇcava s H veća je što je struja veća (npr. dvaput jaˇca struja daje dvaput jaˇce magnetsko polje). Nadalje, jakost polja pada s udaljenosti od vodiˇca (npr. u dvostrukoj udaljenosti je polje dvostruko slabije). Tako su se potpuno neoˇcekivano povezala dva dotada potpuno odijel jena podruˇcja: magnetizam i optika. Kasnije se ta veza teorijski i eksperimentalno dokazala (Maxwell , Herz ).

3.2 Z AKON PROTJEC ANJA Temeljni zakon odnosa magnetskih polja i struja kojeproizvode polje dan je s relacijom:

→− · −→ =  l

78

H dl

I

(3.1)

Zakon protjecanja koja se naziva zakonprotjecanja ili Amperovzakon . Potom zakonu integral sklarnih umnožaka jakosti polja koje na djeliću puta djeluje i infinitezimalne duljine tog djelića puta po zatvorenoj krivulji l jednak je zbroju struja koje krivulja obuhvaća. I3

I5

I4

I2 I1

l1

b

a Hl

l2

t l3

S LIKA 3.2: Primjer uz zakon protjecanja

Za sluˇcaj na slici 3.2 primjena zakona protjecanja daje: - za krivulju l 1 : I = I 1 − I 2 − I 3 + I 4 - za krivulju l 2 : I =− I 3 + I 4 - za krivulju l 3 : I = 0 Dobro je uoˇciti da c´ e u sluˇcaju istih jakosti struja I 3 i I 4 za krivulju l 2 rezultat biti jednak nuli. Magnetski uˇcinak koji je stalan pratilac elektriˇcne struje ne može se izbjeći, ali se dakle, može poništiti. Struja I 5 koja nije obuhvaćena krivuljama ne utjeˇce na vrijednost linijskog integrala u navedenim sluˇcajima. Po analogiji s elektrostatikom, umnožak H · l odgovarao bi ’magnetskom potencijalu ’ V m .

 

ˇ 3.2.1 M AGNE TS KO PO LJ E RAV NO G VO DI CA

Primijeni li se zakon protjecanja (3.1) na ravni vodiˇ c kojim teˇce struja jakosti I , za magnetsko polje na koncentriˇcnim kružnicama (silnicama) oko vodiˇca (slika 3.2.1) vrijedi:

→− · −→ = l

H dl I

(3.2)

Razložnoje pretpostavitida je na svimtoˇckama koncentriˇcne kružnice s polum jerom r jakost polja H jednakog iznosa, pa uz:



dl = l = 2π · r 79

3. MAGNETIZAM slijedi:

I I = [ A /m ] (3.3) l 2π · r Jakost magnetskog polja opada dakle, obrnuto razmjerno s udaljenošću od osi vodiˇca. H =

I r

H

ce struja S LIKA 3.3: Magnetsko polje ravnog vodiˇ ca kroz koji teˇ

Magnetsko polje ne nastaje samo u okolišu vodiˇca protjecanog strujom I , nego i u njemu samome. Nakon primjene zakona protjecanja na koncentriˇcnoj kružnici polumjera r unutar vodiˇca (u kojoj teˇce struja jakosti I  , što je dio ukupne jakosti I ), slijedi da je jakost magnetskog polja u vodiˇcu kružnog presjeka i polumjera R za r ≤ R jednaka:

H =

I 

I = · r 2π · r 2π · R 2

Kako promjena jakosti polja H ovisi o udaljenosti r od osivodiˇca prikazuje slika 3.4 za nekoliko vrijednosti jakosti struja. Ako se od vodiˇca kroz koji teˇce struja naˇcini zatvorena petlja (ili zavoj), onda c´ e sve silnice prolaziti kroz površinu koju zavoj okružuje (slika 3.2.1 a) i b) ). Dobiveno magnetsko polje potpuno se podudara s magnetskim poljem kratkog magneta u obliku valjka (slika 3.2.1 c). Nizanjem više magnetskih valjaka s istim smjerompolja dobio bi se snažniji magnet (slika3.2.1 a)), što je ekvivalentnopovezivanju više zavoja u tzv. svitak ili zavojnicu (slika 3.2.1 b)). Budući da je magnetsko polje i ovdje identiˇcno, svitak protjecan strujom se zove još i elektromagnet . Umnožak broja zavoja i struje koja kroz njih teˇce zove se magnetska uzbuda ili magnetomotorna sila (MMS ) i ˇcesto se izražava u A z (amper-zavojima) kako bi se istaknulo znaˇcenje broja zavoja (a ne samo jakosti struje) u stvaranju magnetskog polja.

ˇ 3.3 M AGNE TSKE VELI CINE Magnetske silnice (silnica = linija sile) koje se prikazuju linijama koje izlaze iz sjevernog pola (slika 3.2.1) (elektro)magneta i završavaju na južnom, uvijek se nasta80

Magnetske veliˇcine

S LIKA 3.4: Ovisnost H=f(r) ravnog vodiˇ ca kroz koji teˇ ce struja

S

N

ca S LIKA 3.5: Magnetsko polje ravnog vodiˇ

vljaju kroz tijelo (elektro)magneta od južnog do sjevernog pola. Magnetske silnice su dakle zatvorene linije. Skup svih silnica naziva se magnetski tok i oznaˇcuje simbolom φ . Jaˇce magnetsko polje ima veći tok nego slabije polje. Jedinica magnetskog toka mjeri se u W b (Weber). Gusto´ ca toka B izražava broj magnetskih silnica po jedinici površine A okomite na smjer magnetskog toka:

B =

Φ

A

[T ]

(3.4)

Jedinica gustoće toka je T (Tesla). Elektromagnetski utjecaj jednog tijela na drugo bez njihova fiziˇckog dodira, u smislu promjene elektriˇcnog ili magnetskog stanja tijela na koji se djeluje, zove se 81

3. MAGNETIZAM

N

S

S LIKA 3.6: Magnetsko polje zavojnice

indukcija . Na primjer, permanentni magnet inducira nemagnetizirano željezo da i ono postane magnet (slika 3.3). Naime, molekularni magneti (tzv. magnetske domene ili magnetski dipoli ) u željeznom uzorku djelovanjem magnetskog polja permanentnog magneta usmjeravaaju se iz svog dotad sluˇcajnog rasporeda tako, da sjeverni pol permanentnog magneta privuˇce južni pol molekularnih magneta uzorka.

S

N

S

N

Permanentni magnet željezni uzorak

S LIKA 3.7: Magnetiziranje željeza s pomo´ cu indukcije

Nemagnetizirano željezo postaje magnet, pol tog magneta bit c´ e suprotan polu koji ga je inducirao i željezo - novi magnet bit će privuˇceno. Treba uoˇciti da je inducirani pol uvijek suprotnog polariteta od pola koji ga je inducirao. To objašnjava cˇ injenicu zašto bilo koji pol magneta privlaˇci magnetski materijal. Magnetski materijali medusobno se razlikuju s obzirom na indukciju. Sposob¯ nost koncentriranja magnetskog toka zove se permeabilnost i oznaˇc ujeses µ. Svaki materijal koji se lako magnetizira ima veliku permeabilnost i naziva se feromagnetski. Što je permeabilnost materijala veća, to je uz istu jakost magnetskog polja gustoća silnica B u induciranom materijalu veća. Zato se gustoća silnica naziva još i magnetska indukcija . Jakost magnetskog polja H povezana je dakle, preko permabilnosti materijala, s magnetskom indukcijom B pa vrijedi:

B = µ · H [T ]

(3.5)

Već a indukcija postiže se ili većom jakosti polja ili/i korištenjem materijala veće 82

Magnetske veliˇcine permeabilnosti. Najˇcešće se permeabilnost materijala µ izražava u relativnim jedinicama µr u odnosu na permeabilnost vakuuma µ0 , tako da je permeabilnost µ

= µ0 · µr

(3.6)

a permeabilnost vakuuma potvrdena eksperimentalno iznosi: ¯ µ0

= 4π · 10−7

[V s / Am ]

Vrijednosti relativne permeabilnosti µ r za feromagnetske materijale kreću se izmedu ¯ 100 i 190.000. Budući da je H vektor, a µ skalar, magnetska indukcija B može se takoder ¯ smatrati vektorom. Magnetsko polje je homogeno ako je veliˇcina indukcije u svakoj toˇcki promatranog prostora jednaka. Zbog visoke permeabilnosti feromagnetski materijali koriste se kao jezgre elektomagneta. Ista magnetska uzbuda u zatvorenoj ce ´ jezgri stvoriti µr puta veću gustoću silnica nego u sluˇcaju kad jezgre nema. To slijedi izravno iz izraza (3.5) i (3.6):

B = µ0 · H = µr · µ0 · H Polje unutar jezgre (slika 3.8 a) približno je homogeno, a nije homogeno na kra jevima jezgre i izvan nje. Približno homogeno polje duž cˇ itave jezgre postiže se izvedbom feromagnetske jezgre u obliku prstena (slika 3.8 b) ili okvira (slika 3.8 c). φ

I a ) I

I

φ

b )

φ

c )

ca, prstena i okvira S LIKA 3.8: Magnetsko polje ravnog vodiˇ

Jezgre od neferomagnetskih materijala ponašaju se sliˇcno kao vakuum: njihova relativna permeabilnost približno je jednaka jedinici. Ipak, preciznija mjerenja pokazuju da je za jednu grupu materijala tzv. diamagnetske materijale µ r < 1, dok 83

3. MAGNETIZAM je za drugu grupu, tzv. paramagnetske materijale µr > 1. U tablici 3.1 napisane su vrijednosti relativnih permeabilnosti nekih neferomagnetskih materijala. T AB LI CA 3.1: Neferomagnetski materijali

Materijal bizmut Diamagnetici srebro voda vodik platina Paramagnetici aluminij kisik zrak

µr

0,99984 0,9999736 0,999991 0,9999999979 1,00027 1,0000196 1,000000181 1,00000036

Permeabilnost vakuumaje konstantna veliˇc inainazivasekao apsolutna permeabilnost . Permeabilnost feromagnetskih materijala nije pak konstantna veliˇcina, već ovisi o prethodnom magnetiziranju materijala, iznosu polja H i temperaturi. Slika 3.9 a) prikazuje krivulju magnetiziranja nekog feromagnetskog materijala. Povećanjem struje magnetiziranja raste polje H , a s poljem i indukcija B , gotovo linearno u poˇcetnom dijelu karakteristike. Medutim, nakon linearnog dijela, povećanjem uzbude krivulja postupno ulazi ¯ u zasićenje. Ta se pojava objašnjava postavljanjem gotovo svih magnetskihdipola u smjeru djelujućeg polja, pa novi prirast uzbude višene doprinosi porastuindukcije.

B [T ] 0.5 I

0.4

N R l

+ V

0.3 0.2

b ) 0.1

1000 2000 3000 4000 5000

H [ Az /m ]

a ) S LIKA 3.9: Magnetiziranje feromagnetskog materijala

Primjer: Uz pretpostavku promjene napona od 20 V do 100 V, otpora zavojnice od 10Ω, te željezne jezgre duge l = 0,2 m u zavojnici s N = 100 zavoja (slika 3.9 b) 84

Magnetska histereza sljedeća tablica 3.2 (uz mjereni B ) pokazuje ponašanje feromagnetskog materijala cˇ ija je krivulja magnetiziranja prikazana slikom 3.9 a). T AB LI CA 3.2: Magnetiziranje željezne jezgre

V [ V]

I [A]

N I [Az]

20 40 60 80 100

2 4 6 8 10

200 400 600 800 1000

H [Az/m] 1000 2000 3000 4000 5000

B [T]

µr

0,126 0,252 0,378 0,428 0,441

100 100 100 85 70

Iz krivulje magnetiziranja kao i izraˇcunatih vrijednosti iz tablice 3.2 u primjeru podvrduje ¯ se da relativna permeabilnost nije konstantna veliˇcina. U zasićenju µ r približuje se vrijednosti 1, što je µr za vakuum. Sa slike 3.2 a) nije vidljivo kolika je magnetska indukcija uzorka kad je uzbuda jednaka nuli. Ta veliˇcina ovisi o njegovoj dotadanjoj magnetiziranosti. Ako se pokus magnetiziranja naˇcini s potpuno razmagnetiziranim feromagnetskim materijalom (B = 0 za H = 0), onda se dobivena krivulja naziva krivulja prvog magnetiziranja. Feromagnetici gube svoja magnetska svojstva kad im temperatura prije¯ de sta0 0 novitu vrijednost (Curie-eva toˇ cka ), koja je za željezo na 760 C, za nikal 360 C, a za 0 kobalt 1120 C.

3.4 M AGNE TSKA HI ST EREZA Magnetska indukcija B mijenja se u magnetskom materijalu promjenommagnetske uzbude. Ako magnetski materijal nije magnetiˇcan, onda se povećanjem uzbude od vrijednosti nula na više dobiva se krivulja prvog magnetiziranja. Zanimljiva pojava nastaje ako se kod neke maksimalne uzbude +H ma x (i postignute gustoće +B ma x ) uzbuda poˇcne smanjivati. Magnetska gustoća odupirat c´ e se promjeni - nastojat će zadržati prijašnje stanje magnetiˇcnosti (slika 3.4 a). To se oˇcituje u indukciji koja priopadanju uzbudeima veće vrijednosti od onih kad je uzbuda rasla. Kad uzbuda padne na nulu, materijal c´ e još zadržati stanovitu vrijednost indukcije, tzv. remanentni magnetizamB r ili remanenciju . Remanentni magnetizam je glavno svojstvo permanentnih magneta. Taj se magnetizam može poništiti samo uzbudnom strujom suprotnog predznaka. Vrijednost uzbude kod koje se to postiže zove se koercitivnost ili koercitivna sila H c (slika 3.4 b)). Nastavi li se povećanje uzbude suprotnog smjera, stvara se magnetski tok i gustoća suprotnog predznaka (promjena magnetskih polova uzorka). Porast takve uzbude takoder ¯ vodi do magnetskog zasićenja −B ma x uz −H ma x . Sliˇcnim postupkom (smanjivanje uzbude, tj. struje do nule i povećanjem do +H ma x ) zatvara se ciklus, a nastala krivulja zove se petlja histereze (slika 3.4). 85

3. MAGNETIZAM

+B [T]

+B [T] 1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

Br

0.6

0.4

Br

0.4

0.2

0.2

Hc -H -400 -200

-0.2

200 400 600 800 +H [Az/m]

-H

-600 -400 -200 -0.2

-0.4

-0.4

-B

-B

200 400 600 800+H [Az/m]

S LIKA 3.10: Magnetska histereza

+B [T] 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-Hc -H

-800 -600 -400 -200 -0.2

200 400 600 800

+H [Az/m]

-0.4 -0.6

-Br

-0.8 -1.0

-B

S LIKA 3.11: Petlja histereze

Magnetski materijali dijele se s obzirom na koercitivnost na meke i tvrde materijale. Meki materijali (slika 3.4 a) imaju malu koercitivnost, dakle usku petlju histereze, i veliku relativnu permeabilnost. Takvo je na primjer ˇcisto željezo sa na jvećim µr = 180.000, legirani limovi sa 2 do 4% silicija, feriti i drugi. Treba istaknuti i leguru permaloj (78,5% Ni+ 21,5% Fe) sa najvećim µr = 85.000. Ti materijali koriste se za jezgre transformatora, statore i rotore elektriˇcnih strojeva, releje i sl. Tvrdimagnetski materijali imaju veliku koercitivnost i veliku remanenciju, dakle veliku petlju histereze (slika 3.4 b). Služe za izradu trajnih magneta, a proizvode se od legura cˇ elika s dodatkom volframa, kobalta, nikla, aluminija i titana. Ugljiˇcni kaljeni cˇ elik ima na primjer H c = 5.000 A/m i B r = 0,9 T.

86

3.5 M AGNE TSKI KRUG

Magnetski krug

B B

Br

Br

Hc

Hc

H

H

S LIKA 3.12: Magnetski materijali

Koristeći opisane magnetske veliˇcine moguć e je, po analogiji s elektriˇcnim krugom, govoriti o magnetskom krugu. U elektriˇcnom krugu struja je veliˇcina koja zatvara krug, u magnetskom krugu je to magnetski tok. Usmjeravanje magnetskog toka ostvaruje se s pomoću feromagnetskog materijala kruga. Rasipanje magnetskih silnica u prostor oko takva kruga se zanemaruje - velika permeabilnost feromagnetskog materijala cˇ ini da glavnina silnica prolazi kroz materijal (osim u sluˇcaju zraˇcnih raspora). Za jednostavni magnetski krug prikazan slikom 3.13 magnetski tok jednak je: φ

= B · A = µ · H · A = µ N l · I · A = 1N · I l = MR MS m · µ A

[W b ]

(3.7)

gdje su R m tzv. "magnetski otpor", a M MS "magnetomotorna sila". Dobiveni izraz sliˇcan je izrazu za Ohm-ov zakon:

I =

E 1

·

E MS = l R

(3.8)

γ A

pa se stoga izraz (3.8) naziva Ohm-ov zakon za magnetske krugove . Tok φ odgovara elektriˇcnoj struji I , a magnetomotorna sila M MS elektromotornoj sili E MS . Permeabilnost magnetskog materijala odgovara specifiˇcnoj vodljivosti metalnog vodiˇc a,paseuzsliˇcnost odnosa duljine i presjeka, govori o magnetskom otporu R m , analogno elektriˇcnom otporu R . Usluˇcaju složenog magnetskog kruga, dobivenog na primjer zraˇcnim rasporom (slika 3.13 b)) u jednostavnom magnetskom krugu, prilike se mijenjaju. Magnetski otpor zraˇcnog raspora razlikuje se od magnetskog otpora feromagnetskog materi jala. S obzirom da je ukupni otpor povećan, slijedi da se magnetski tok smanjio (uz konstantnu struju). 87

3. MAGNETIZAM φ

φ

l

I

B 1 , µ1

I

N

N

l 2 B 2 , µ2

B

µ

a ) jednostavan

b ) složen S LIKA 3.13: Magnetski krug

φ

=

N · I 1 l 1 1 l 2 · + · µ1 A 1 µ2 A 2

= R M+MS R m 1

m 2

Ako bi se htjela održati indukcija kao u sluˇc aju bez zraˇcnog raspora, potrebno je više amper-zavoja uzbude. Dobro je uoˇciti da se i ovdje magnetski otpor serijskog spoja magnetskih otpora dobiva njihovim zbrajanjem (kao što bi se magnetski otpor njihovog paralelnog spoja dobio kao reciproˇcna vrijednost zbroja pojedinaˇcnih reciproˇcnih vrijednosti). Iz izraza (3.13) slijedi: φ

A 1

· µl 1 + A φ · µl 2 = N · I 1

2

2

odakle je:

B 1 ·

l 1 µ1

+ B 2 · µl 2 = N · I 2

odnosno:

H 1 · l 1 + H 2 · l 2 = N · I

(3.9)

što je u skladu s već dobro poznatim zakonom protjecanja (3.1). U magnetskim krugovima dakle zakon protjecanja odgovara drugom Kirchhoff-ovu zakonu u elektriˇcnim krugovima. Najopćenitije gledajući zakon protjecanja može se prikazati u obliku diskretnog (pojedinaˇcnog) zbroja:

 i

88

H i · l i = N · I =



I

(3.10)

Djelovanje magnetskog polja gdje se svaki pojedinaˇcni element magnetskog kruga može razlikovati po bilo kojoj magnetskoj ili geometrijskoj veliˇcini:

H i =

B i µi

= A φ·i µ i

i

(3.11)

Ako se povežu izrazi (3.10) i (3.11) slijedi:

N · I =

φi l i A i µi

· ·

što za zatvoreni krug (bez grananja i rasipanja, dakle uz konstantni tok φ ) daje ekvivalent II. Kirchhoff-ovog zakona za magnetski krug : φ

=



N · I 1 l i · i µi A i

3.6 D JELOVANJE MAGNETSKOG POLJA Već je u uvodu o magnetizmu konstatirano da svakigibljivi nabojstvara magnetsko polje. Isto tako reˇceno je da je magnetsko polje karakterizirano silom kojom se dva pola magneta (ovisno o polaritetu) privlaˇce ili odbijaju. To znaˇci da cé i na gibljivi naboj u magnetskom polju djelovati sila. Sila c´ e djelovati i na struju koja teˇce kroz vodiˇc, ako se ovaj nade ¯ u magnetskom polju, jer struja nije ništa drugo nego niz naboja u gibanju. Pritom nije važno kako nastaje magnetsko polje koje djeluje silom - je li to magnetsko polje permanentnog magneta, elektromagneta ili jednostavno žice kojom struja teˇce. To navodi na zakljuˇcak da postoji sila i medu ¯ vodiˇcima kojima teku struje. Svaki od tih sluˇcaja razmatrat cé se posebno.

3.6.1 S ILA NA GIBLJIVI NABOJ Ako se naboj kreće u magnetskom polju, na njega djeluje sila. Pokazuje se da je sila razmjerna iznosu naboja, njegovoj brzini i indukciji magnetskog polja, a budući da su sila, brzina i indukcija vektorske veliˇcine, slijedi:

→ −F = Q · (→ −B ) −v × →

(3.12)

→ −

−v i B . Sila Izraz u zagradi predoˇcuje vanjski umnožak ("ex-produkt") vektora → je okomita istodobno i na vektor brzine i na vektor indukcije, dakle na ravninu koju −B ) izraˇcunava −v × → odreduju vektori brzine i indukcije (slika 3.6.1). Iznos vektora (→ ¯ se prema: 89

3. MAGNETIZAM

F=QvB·sinα F=QvB

B +Q

+

α

B

Q

α

+

v·sinα

v

S LIKA 3.14: Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem

a) a = 90 b) a < 90

F = Q · v · B · sin(α)

(3.13)

gdje je α kut izmedu ¯ vektora brzine i indukcije. Smjer vektora ima smjer napredovanja vijka s desnim navojem kad rotira preko manjeg kuta od v u B (slika 3.6.1 b. Djelovanje sile na gibljivi naboj objašnjava se promjenama nastalim u magnetskom polju u kojem se naboj kreće. Kako se vidi na slici 3.6.1 a), silnice magnetskog polja B v stvorenog gibanjem pozitivnog naboja u podruˇcju −1− podudaraju se sa smjerom polja B m u kojem se naboj kreće, dok im je u podruˇcju −2− smjer suprotan. Rezultantno polje prikazano je na slici 3.6.1 b) sa smjerom sile od podruˇcja s gušćim tokom, prema podruˇcju s manjom gustoćom toka. Kaže se da se naboj ’istiskuje’ prema polju manje gustoće. Okomit smjer od oka promatraˇca na površinu oznaˇcuje se s križićem ⊗, a suprotan smjer s toˇckom . Treba naglasiti da je smjer djelovanja sile za negativan naboj suprotan smjeru sile na pozitivan naboj:

→ −F =−Q · (→ −B ) = −→ −F −v × → −Q +Q

(3.14)

a) zajedno sa poljem u kojem se naboj giba b) rezultantno polje Uleti li nabijena cˇ estica u homogeno magnetsko polje indukcije B s Primjer: brzinom v okomitom na polje (slika 3.16), sila F jednaka (Q · v · B ) djelovat c´ e na cˇ esticu u svakoj toˇcki. Budući da je sila okomita na brzinu neće se mijenjati iznos te brzine, već samo ˇ njezin smjer. Na slici 3.16 prikazani su vektori brzine i sile. Cestica se dakle kreće pod djelovanjem sile koje je iznos konstantan, ali smjer je uvijek pod pravim kutem na brzinu cˇ estice. 90

Djelovanje magnetskog polja

1

2

Bv

Bm

S LIKA 3.15: Magnetsko polje naboja u gibanju x

B

x

x

v

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Q x

x

x

x

x

x

x

F

x

x

x

R

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

F x

F x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Q

x

v

v

x

Q x x x v

x

x

x

x

F

+Q

x

S LIKA 3.16: Gibanje nabijene ˇ cestice u magnetskom polju

Iz toga slijedi da je putanja cˇ estice kružnica, opisana s konstantnom tangenci jalnom brzinom v , a sila F je centripetalna sila. Budući da je centripetalna akcel2 eracija jednaka v r , iz drugog Newton-ova zakona slijedi:

v 2 r pa je polumjer kružne putanje nabijene ˇcestice jednak: Q · v · B = m ·

r =

m · v Q · B

(3.15)

Ako je poznata masa cˇ estice m i njezin naboj Q , kao i indukcija B u kojoj se cˇ estica kreće, možese, koristeć iizraz(3.15), odrediti vrijeme jednog obilaska, odnosno frekvencija kruženja cˇ estice:

T =

1 l 2π · r 2π · m = = v = Q · B f v 91

3. MAGNETIZAM Dobro je uoˇc iti da frekvencija ne ovisi o polumjeru kružne staze i da se povećan jem indukcije povećava. Opisani primjer temelj je rada akceleratora cˇestica (ciklotrona ) koji se koriste u nuklearnoj fizici.

ˇ STRUJA 3.6 .2 S ILA NA VODI Cˇ KOJIM TE CE

Magnetska sila na vodiˇc kojim teˇce elektriˇcna struja posljedica je sile na svaki pojedini naboj koji se kreće u magnetskom polju. Korištenjem izraza (3.12) za magnetsku silu na naboj dobiva se izraz za silu na vodiˇc kojim teˇce struja (gibanje diferencijala naboja brzinom v ), a vodiˇc je postavljen okomito na magnetske silnice.

dF = B · dQ · v = B · dQ ·

dl dQ B · = · dl = B · I · dl d t d t

(3.16)

pa je na duljini l ukupna sila prema gornjem izrazu (3.16)jednaka:

F = B · I · l

(3.17)

Ako vodiˇc zatvara kut s magnetskom indukcijom, izraz (3.17) postaje:

F = B · I · l · sin(α)

−l × → → −F = I · (→ −B )

ili vektorski

što je prikazano na slici 3.17.

B

I

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

F x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

l

B

I

S LIKA 3.17: Sila na vodiˇ c kojim teˇ ce struja

Instrument s pomiˇcnim svitkom i permanentnim magnetom, nazPrimjer: van galvanometar , radi na naˇcelu sile koja se javlja na vodiˇc kroz koji teˇce struja u magnetskom polju. Protumoment ovoj sili drži mehaniˇcka spirala (slika 3.18 a). Na svitak je namotano N zavoja tanke žice promjera zavoja d i duljine zavoja l (slika 3.18 b). Svitak je postavljen unutar polova permanentnog magneta. Zbog preglednosti je nacrtan samo jedan zavoj. 92

Djelovanje magnetskog polja

N

l

d

+ a)

b)

S LIKA 3.18: Dijelovi galvanometra

Kad kroz svitak poteˇce struja, javlja se sila na svakoj strani svitka, kako se vidi na slici 3.19. Elektriˇcni moment jednak je:

M el = B · I · l · N · d = k e · I

(3.18)

a mehaniˇcki protumoment

M meh = k m · α

(3.19)

gdjesu k e i k m elektriˇc nai mehaniˇcka konstanta razmjernosti, a α otklonkazaljke priˇcvršćene na osovini svitka. Povezujući oba izraza (3.18) i (3.19) slijedi: α

= k k e · I = k · I m

Otklon je dakle razmjeran jakosti struje koja teˇce svitkom, pa se galvanometar ponajprije koristi za mjerenje struje (ampermetar), a posredno i kao voltmetar i ommetar. Polovi magneta luˇcno se profiliraju kako bi se vodiˇci i pri zakrenutom svitku (i kazaljci) uvijek nalazili pod djelovanjem istog iznosa indukcije.

B

F

d

F

S LIKA 3.19: Galvanometar

ˇ KOJIMA TEKU STRUJE 3.6.3 S ILA IZMEÐU DVA VODI CA

93

3. MAGNETIZAM Izmedu ¯ dva vodiˇca kroz koje teku struje javlja se sila. Zbog jednostavnosti izvoda pretpostavlja se da su vodiˇci ravni, dugi i medusobno paralelni na udaljenosti d . ¯ Iz slike 3.20 vidi se da c´ e sila F 1 , kojom magnetsko polje H 1 (nastalo strujom I 1 ) privlaˇci vodiˇc kroz koji teˇce struja I 2 , biti jednaka:

a jakost magnetskog polja:

F 1 = B · I 2 · l = µ0 · H 1 · I 2 · l H 1 =

I 1

2π · d Povezujući izraze (3.20) i (3.21) dobiva se:

F 1 =

µ0 I 1 I 2 l 2π d

· · · ·

I 1

[N ]

(3.20)

(3.21)

(3.22)

I 2 F 2

F 1

H 2

l H 2

d S LIKA 3.20: Sila izme ¯ du dva vodiˇ ca protjecana strujom

Treba uoˇciti da i magnetsko polje struje I 2 djeluje istom silom na vodiˇc kojim teˇce struja I 1 . Takvo djelovanje dviju struja naziva se elektrodinamiˇ cko djelovanje . Koristeći pravilo za smjer sile, izraz (3.13), lako je zakljuˇciti da c´ e se dva paralelna vodiˇca u kojima teku struje u istom smjeru me dusobno privlaˇciti, dok c´ e se ¯ u paralelnim vodiˇcima u kojima teku struje u razliˇcitom smjeru medusobno odbi¯ jati. Razmatranja gustoće silnica potvrduje ovaj zakljuˇ c ak: upodruˇ c ju izvan vodiˇ ca, ¯ polje je jaˇce, jer se magnetska djelovanja oba vodiˇca potpomažu, a izmedu ¯ vodiˇca polja djeluju suprotno. Sile nastoje istisnuti vodiˇce prema podruˇcju sa slabijom gustoćom polja. Kod struja razliˇcitih smjerova vodiˇci se privlaˇce. U S I sustavu jedinica definiran je amper ( A ) na temelju predoˇcenog elektrodinamiˇckog djelovanja: Elektriˇcna struja ima jakost jedan amper ( A ) ako prolazeći kroz jako dugi i jako tanki vodiˇc djeluje u vakuumuna isto takvu paralelnustruju u udaljenosti od jednog metra silom 2 · 10−7 njutna po jednom metru duljine vodiˇca (slika 3.21). Iznos sile slijedi iz izravnog uvrštavanja vrijednosti d = 1 m, I 1 = I 2 = 1A,uizraz (3.22), pa je:

F 1 = 94

· · · = 4π · 10−7 = 2 · 10−7 N 2π ·

µ0 1 1 1 2π 1

Elektromagnetska indukcija

1 A

1 A F = 2 · 10−7 N

1 m

1 m S LIKA 3.21: Definicija jedinice amper

3.7 E LEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA Neposredno pretvaranjemehaniˇcke energije u elektriˇc nujemoguće. Do tog izuzetnog otkrića došla su 1831. godine nezavisno i istodobno dva znanstvenika: M. Faraday u Velikoj Britaniji i J. Henry u Americi. Današnja proizvodnja, prijenos i potrošnja elektriˇcne energije nezamislive su bez tog otkrića. Svaka promjena, svako djelovanje u prirodi ima svoju posljedicu. Tako na prim jer gibanje naboja stvara magnetsko polje, koje prema (3.3) nestaje tek u beskonaˇcnosti. Gibanje naboja u magnetskom polju ne ostaje nazapaženo - na njega djeluje sila. Postavlja se pitanje: može li možda magnetsko polje pokretati elektriˇcni naboj, uzrokovati struju? Odgovor je: Može, ako se polje mijenja! Faraday je u okoliš magneta donio žiˇcani zavoj (slika 3.7). Onda je naglo udaljio magnet (ili zavoj, svejedno): u žici je potekla elektriˇcna struja! +B [T]

+B [T] 1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

Br

0.6

0.4

Br

0.4

0.2

0.2

Hc -H -400 -200

-0.2

200 400 600 800 +H [Az/m]

-H

-600 -400 -200 -0.2

-0.4

-0.4

-B

-B

200 400 600 800+H [Az/m]

S LIKA 3.22: Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije

Magnetski se zavoj nije nalazio u polju iste jakosti prije i poslije udaljavanja 95

3. MAGNETIZAM (jakost polja i broj silnica koje kroz zavoj prolaze opada s udaljenošću). Uzrok je dakle promjena magnetskog toka. A posljedica svakako je elektriˇcno polje, jer bez njega nema ni struje. Opisanu pojavu vrijedno je pobliže razmotriti. Ako se vodiˇc duljine l kreće u magnetskom polju brzinom v okomito na polje (prema slici 3.7 a) magnetske silnice idu od oka promatraˇca okomito na površinu), onda na svaki naboj u tom vodiˇcu djeluje sila F = Q · v · B , prema (3.12). No kako ta sila prema (3.14) ima suprotan smjer za naboje razliˇcitog polariteta, slijedi da c´ e se slobodan, negativan naboj vodiˇca pomaknuti na jednu, a pozitivan naboj na drugu stranu. Pokusom se to može provjeriti tako da se vodiˇc prilikom gibanja prepolovi. Svaka polovica bit c´ e nabijena, i to nabojem suprotnog polariteta.

B

B

a

+

v

v

b

b)

a)

S LIKA 3.23: Elektromagnetska indukcija

Na slici 3.7 b) prikazane su i silnice elektriˇcnog polja koje nastaje zbog prisutnosti nabijenih krajeva vodiˇca. Ta se pojava naziva elektromagnetska indukcija , dobiveni naboj inducirani naboj , a dobivena razlika potencijala inducirani napon . Ako se to kretanje vodi cˇ a ostvari na vodljivom okviru (slika 3.24), onda c´ e inducirani naboj poteći okvirom i struja c´ e teći sve dok se vodiˇc po okviru giba. Ta se struja naziva inducirana struja . Izraz za iznos induciranog naboja najlakše se dobiva preko energetskih odnosa. Naime, pomak naboja Q od toˇcke a do b znaˇci rad ostvaren silom F na putu l . Iznos sile je poznat (3.12), pa slijedi:

W = F · l = Q · l · v · B

[ J ]

(3.23)

No kako je prema (1.10)

e =

W Q

(3.24)

iz (3.23) i (3.24) slijedi:

e = l · v · B 96

(3.25)

Elektromagnetska indukcija Inducirani napon ovisidakle o duljinii brzini vodiˇc akojisekreće u magnetskom polju i iznosu magnetske indukcije tog vektora v i B . Inducirani napon može se promotriti i s druge toˇcke gledišta. Za infinitezimalni pomak vodiˇca u gibanju, površina okvira abcd se poveća (ako je pomak u desno, ili smanji ako je pomak u lijevo), prema slici 3.24, za iznos:

d A = l · d s Budući da magnetski tok φ ovisi o površini A , slijedi da c´ e se i on promijeniti:

d φ = B · d A = B · l · d s

(3.26)

Taj se pomak dogodio u infinitezimalnom vremenu d t , pa (3.26) postaje:

d φ d s = l · B · = l · B · v d t d t

(3.27)

d s x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

l

ca po metalnom okviru S LIKA 3.24: Gibanje vodiˇ

Buduć idaje(l · B · v ) jednako induciranom naponu slijedi da je trenutna vrijednost napona numeriˇcki jednaka brzini promjene magnetskog toka, pa se iz (3.25) i (3.27) dobiva:

d φ (3.28) d t Negativan predznak govori o smjeru induciranog napona koji je takav da izaziva posljedice koje cé se suprostavljati promjeni polja. Izraz(3.28)poznatjekao Faradayev zakon elektromagnetske indukcije . Faraday-ev zakon sadrži mnogo više nego što je bilo pokazano. Svejedno je pomiˇce li se magnet ili zavoj: napon se inducira ako se tok mijenja. Štoviše, ima sluˇcaja kad je i vodiˇc i polje (magnet) u mirovanju, a postoji vremenska promjena polja - i onda se u vodiˇcu izloženom tim promjenama inducira napon. Vremenska promjena toka d φ obiˇcno se ostvaruje ili promjenom efektivne površine u stalnoj magnetskoj indukciji B (npr. okretanjem ili pomakomzavoja)ili izmjeniˇcnomstru jom koja stvara izmjeniˇcni tok. e = −

97

3. MAGNETIZAM

3.7 .1 L EN Z - OVO PRAVILO Njemaˇckom znanstveniku F. E. Lenz -u pripisuje se sljedeće korisno pravilo za predvidanje smjera inducirane struje. Ono glasi: Djelovanje induciranih veliˇ ¯ cina uvijek se suprotstavlja ili opire uzroku induciranja. Neka se u razmatranje uzme već opisani primjer sa slike 3.24. Inducirana struja c´ etakoder, ¯ prema (3.3), stvarati oko gibanog vodiˇca koncentriˇcno magnetsko polje, kojese unutar okvirasuprotstavljapolju u kojem se vodiˇc kreće. Naslici 3.24 površina se povećava, a s njom i magnetski tok i to je uzrok induciranja. Inducirana struja pak smanjuje iznos toka (jer generira drugi tok suprotnog smjera). Kad bi se vodiˇc kretao u suprotnom smjeru, i struja bi imala suprotan smjer od prikazanog. U tom bi sluˇcaju polje opadalo, a inducirana struja bi ga podržavala (uvećavala). Lezov se zakon oˇcituje i u tomu što sila na vodiˇc protjecan strujom u magnetskom polju indukcije B ima smjer suprotan smjeru brzine vodiˇca, što zanˇci da treba svladavti silu, tj. ulagati enegiju da bi se došlo do inducirane struje. Lenzov zakonima sliˇcnosti s mehaniˇckim naˇcelom inercije. Kad god pokušamo promijeniti status quo prirodnog sustava, sustav cé uˇciniti sve moguće da nas u tomesprijeˇci. U ovom smislu negativanpredznak Faraday-evazakona (3.28) postaje jasniji.

3.7 .2 S AM OI ND UKCI JA Istosmjerna struja stvara stalni (konstantni) magnetski tok, a izmjeniˇ cna izmjeniˇcni. Svaki promjenljivi tok, a to znaˇci i izmjeniˇcni, inducira napon. U zavojnici ko jom teˇce izmjeniˇcna struja inducirat c´ e se dakle napon zbog promjena toka vlastite struje (koja mijenja magnetski tok). Dakako, napon cé se inducirati, prema Faradayevuzakonu(3.28) kakogod se tok mijenja. Ta se pojava induciranja naponaproizvedenog od vlastitog promjenljivog toka zove samoindukcija . Neka je idealna zavojnica s N zavoja smještena na jezgru torusnog oblika kao na slici 3.25. d φ d t

i e s

N

S LIKA 3.25: Samoindukcija

Napon samoindukcije e s ovisi o broju zavoja i brzini promjene toka, prema 98

Meduindukcija ¯ (3.28) :

d φ (3.29) d t Prema (3.7) za jednostavni magnetski krug vrijedi razmjernost promjene toka i promjene struje: e = −N ·

d φ =

µ N A

· · · di l

(3.30)

Uvrštenjem (3.30) u (3.29) dobiva se: µ N A

e s = −N ·

· · · di l d t

odakle slijedi:

e s = −N ·

· · · = − µ · N 2 · A · di l d t l d t

µ N A di

µ · N 2 · A Koeficijent naziva se koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavojl nice i oznaˇcuje se s L . Jedinica mu je henri ( H ).

di d t Henri je složena jedinica koja se može izraziti preko drugih jedinica: e s = −L ·

(3.31)

V s W b A A Prema II. Kirchhoff-ovu zakonu mora vrijediti : e s + e = 0. [ H ]

=  =  

3.8 M EÐUINDUKCIJA Zanimljivo je promotriti utjecaj promjenljivog toka jednog svitka (zavojnice) na drugi svitak koji obuhvaća cˇ itav ili dio promjenljivog toka. Neka se na istu jezgru sa slike 3.25 namota nova zavojnica s N 2 zavoja, kako je prikazano na 3.26. Prom jenljiva struja u prvoj zavojnici stvara promjenljivi magnetski tok φ u jezgri. Zbog samoindukcije u prvoj se zavojnici inducira napon:

d φ1 (3.32) d t Medutim i druga zavojnica obuhvaća isti promjenljivi tok. Zato c´ e se i u njoj ¯ inducirati napon, ovisno o broju njezinih zavoja: e 1 = −N 1 ·

e 2 = −N 2 ·

d φ1 d t

(3.33) 99

3. MAGNETIZAM d φ d t

i 1 e 1 , e s

N 1

e 2

N 2

S LIKA 3.26: Meduinduktivna ¯ veza

Treba još pogledati o cˇ emu ovisi promjenljivi tok φ 1 , napisati uzrok njegove promjene. Sliˇcno kao kod samindukcije iz (3.4), (3.5) i (3.7) slijedi: φ1

= B · A = µ · H 1 · A = µ · N 1l · i 1 · A

Uvrštenjem u (3.33) dobiva se:

e 2 = −

µ N 1 N 2 A di 1

· · · · = −M · di 1 l d t d t

(3.34)

Koeficijent M naziva se me ¯ duinduktivitet i ima istu jedinicu henri ( H ) kao i induktivitet. Meduinduktivitet se može izraziti i preko induktiviteta pojedinih svi¯ taka. Budući da oba svitka obuhvaćaju istu jezgru, prema slici 3.26, za L 1 slijedi: µ N 12 A

· · N 12 N 12 = 1 l = R L 1 = − l m · µ A

(3.35)

i potpuno analogno za L 2 :

L 2 = −

µ N 22 A

· · = N 22 = N 22 1 l R m l · µ A

Povezujući (3.32) sa (3.33) i (3.34) dobiva se:

N 1 · N 2 M =− R m

 L · R · L · R = 1 m 2 m = R m

 ·

L 1 L 2

Ta je veza dobivena za sluˇcaj potpunog magnetskog vezanja - sav tok od prve zavojnice prolazi kroz drugu zavojnicu. Ako to nije sluˇcaj, u proraˇcun meduinduk¯ tiviteta treba uzeti i dodatni faktor k magnetskog vezanja.



M = k · L 1 · L 2 100

Energija magnetskog polja Zanimljivo je pokazati vezu induciranog napona u drugoj zavojnici Primjer: (sekundar) s naponom prve zavojnice (primar). Ako se izraz (3.32) podijeli s izrazom (3.33) dobiva se:

e 1 e 2

1 = N N

(3.36)

2

iz ˇcega slijedi napon sekundara:

e 2 =

N 2 · e 1 N 1

(3.37)

Iz (3.36) vidi se da se naponi primara i sekundara odnose kao omjeri njihovih brojeva zavoja. Izlazni napon može se mijenjati promjenom omjera broja zavoja, izraz (3.37). Na tom naˇcelu radi transformator (slika 3.27).

i 1 e 1

N 1

N 2

e 2

S LIKA 3.27: Transformator

Treba imati na umu da je inducirani napon posljedica promjene toka, te je stoga uvijek promjenljiv. U praksi se izmjeniˇcni napon primara transformira u izmjeniˇcni napon željenog iznosa na sekundaru. Kod idealnog transformatora (bez gubitaka), snage na primarnoj i sekundarnoj strani jednake su, što znaˇci da je pri višem sekundarnom naponu (veći broj zavoja sekundara), sekundarna struja manja. Dobiti ve´ ci napon na sekundarnoj strani (povećanjem broja zavoja) moguće je samo uz smanjenje sekundarne struje. Transformatoritako i služe pri prijenosu energije na velike udaljenosti. Visokonaponski dalekovodi imaju vrlo visok napon, uz malu struju, cˇ ime se minimiziraju gubici zbog zagrijavanja vodiˇca (voda).

3.9 E NERGIJA MAGNETSKOG POLJA Magnetsko polje, kao i elektriˇcno, posjeduje energiju. Iznos energije W pohran jene u zavojnici induktiviteta L jednak je radu koji se obavi pomicanjem naboja protiv napona samoindukcije e s . U poˇcetku t = 0, neka je i = 0, a nakon toga neka 101

3. MAGNETIZAM struja raste s prirastom d i /d t . U vremenskom intervalu d t naboj koji kroz zavo jnicu prode ¯ je prema (2.2):

dQ = i · d t a samoinducirani napon koji spreˇcava gibanje naboja je prema izrazu (3.31) jednak:

e s = −L ·

di d t

Iz toga slijedi da je uˇcinjeni rad:

dW = −e s · dQ = L ·

di · i · d t = L · i · di d t

Ukupan rad W potreban za povećanje struje od nule do i je prema tomu: 1 W = L · i 2 2

(3.38)

Dok teˇce struja zavojnica induktiviteta L posjeduje energiju sadržanuu magnetskom polju. Ako napon na zavojnici koji je struju prouzrokovao trenutaˇcno nestane, onda c´ e ta energija spreˇcavati trenutni pad struje na nulu. Zanimljivo je pogledati gdje je ova energija uskladištena (u elektriˇcnom polju kondenzatora bila je u dielektriku izmedu ¯ ploˇca). Ako se u (3.38) uvrsti L iz (3.35) i I iz (3.9) slijedi: 1 1 µ · N 2 · A H · l W = L · i 2 = · 2 2 l N

2

 =

µ H 2

·

2

· A · l

Budući da je A · l = V ol može se zakljuˇciti da je energija pohranjena u volumenu V ol magnetskog polja koji zavojnica obuhvaća (npr. volumenu torusa kod torusne zavojnice) i da ovisi o kvadratu jakosti magnetskog polja, odnosno indukcije koja tu postoji.

W =

µ H 2

·

2

2

B · H · V ol = B · · V ol V ol = 2µ 2

ˇ MAGNETIZIRANJE ŽELJEZA 3.9 .1 I ZMJENI CNO

Ako se feromagnetski materijal nalazi u magnetskom polju kojem se neprestano mijenja smjer (na primjer, polje koje stvara izmjeniˇcna struja), onda cé promjena jakosti polja mijenjati indukciju na naˇcin opisan u potpoglavlju 3.4. Jednim periodom izmjeniˇcne struje opisat cé se jedna petlja histereze, a okretanjemsmjeramagnetskih dipolau feromagnetskom materijalu razvijat cesetoplina. ´ Može se zamisliti stanovito ’unutrašnje trenje’ prilikom njihova okretanja. 102

Energija magnetskog polja Diferencijal utrošene energije za porast struje i u vremenu d t koja uzrokuje promjenu jakosti polja, a s njim i promjenu indukcije dB jednak je:

dW = e · i · d t = N ·

d φ H · l · · d t = d (B · A ) · H · l = H · A · l · dB d t N

(3.39)

odakle slijedi uz V ol = A · l

dW = H · V ol · dB Ukupna energija dovedena u jednom periodu bit c´ e:

 =

W

dW = V ol



H · dB

(3.40)

gdje je V ol - volumen koji zavojnica, odnosno torusna jezgra unutar zavojnice ima. Integraciju treba dakle obavitipo zatvorenojkrivulji histereze, kao što je to prikazano na slici 3.28. Poteškoća je medutim što H nije moguće izraziti kao jednostavnu ¯ funkciju od B , pa se integral u izrazu (3.40) ne može izraˇcunati analitiˇcki. B

dB

H

H

S LIKA 3.28: Izmjeniˇ cno magnetiziranje feromagnetskog materijala

Integracija po zatvorenoj krivulji rezultira površinom koju zatvara, pa kao neposredni zakljuˇcak slijedi da je utrošena energija to veća što je površina histereze veća. To isto slijedi i za razvijenu toplinu, pa se toplinski gubici prilikom magnetiziranja i zovu gubici petlje histereze . Da bi se gubici energije zboghistereze smanjili, poželjno je da njezina površina bude što manja. Osim gubitaka zbog histereze u jezgri postoje i gubici zbog tzv. vrtložnih struja . Promjenljivo magnetsko polje ima za posljedicu ne samo induciranje napona u zavojnici oko jezgre nego i u feromagnetskoj jezgri kao vodiˇcu. Posljedica pak induciranog napona u masivnom vodiˇcu su vrtložne struje . Toplinski gubici zbog vrtložnih struja nisu zanemarivi. Zbog toga se dijelovi elektriˇckih strojeva izloženi izmjeniˇcnom magnetiziranju izraduju od medusobno izoliranih limova kako bi se ¯ ¯ vrtložne struje smanjile. 103

3. MAGNETIZAM Ako se iznos izmjeniˇcne struje nakon svakog perioda smanji za odgovarajući iznos, onda se i petlja histereze smanjuje, kako se vidi na slici 3.29 Nakon smanjivanja iznosa struje na nulu jezgra više nema magnetska svojstva (B = 0 uz H = 0). Taj se postupak zove razmagnetiziranje jezgre . B

H

S LIKA 3.29: Razmagnetiziranje jezgre

ˇ SILA MAGNETA 3.9 .2 P RIVLA CNA

Poznavajući energiju koju (elektro)magnet ima nije teško odrediti silu kojom magnet privlaˇci ili nosi feromagnetski uzorak. S obzirom da je energija, odnosno rad, jednak sili na odredenom putu, prema slici 3.30 i izrazu (3.39) može se pisati : ¯

dW =

B 2 B 2 · · A · dl dV = 2µ0 2µ0

(3.41)

i

dW = F · dl

(3.42)

pa je iz (3.42) i (3.41):

F =

B 2 · A 2µ0

Nosiva, odnosno privlaˇcna sila magneta razmjerna je kvadratu magnetske indukcije i efektivnoj (zajedniˇckoj) površini predmeta i magneta na kojoj ta indukcija djeluje.

3.10 A P PLETI

104

Appleti S LIKA 3.30: Privlaˇ cna sila magneta

N

dl

B A

F

3.10.1 N AB OJ U MA GN ET SKOM PO LJ U

S LIKA 3.31: Naboj u magnetskom polju

Pomoću klizaˇca namješta se: • B (UPPER) - gustoću magnetskog toka u gornjoj polovici prozora 105

3. MAGNETIZAM • B (LOWER) - gustoću magnetskog toka u donjoj polovici prozora • MASS - masu naboja koji ulijeće u magnetsko polje • VELOCITY - brzinu s kojom naboj ulijeće u magnetsko polje • ANGLE - kut ulijetanja naboja click-om na gumb RESET vraćamo simulaciju na poˇcetak.

3.10.2 LORENTZ - OVA SILA

S LIKA 3.32: Lorentz-ova sila

Click-om na gumb: • ON/OFF - ukljuˇcuje se i iskljuˇcuje struja, • REVERSE CURRENT - mijenja se smjer struje, • TURN MAGNET - mijenja se smjer magnetskog polja. Tri izborne ponude ispod posljednjeg gumba odreduju hoće li se vidjeti smjer: ¯ • Struje - crvene strelice • Magnetskog polja - plave strelice • Lorentzove sile - crne strelice 106

Appleti Oko vodiˇca kojim teˇce struja postoji magnetsko polje. Ako se taj vodiˇc nalazi u vanjskom magnetskom polju, na njega c´ e djelovati sila, tako da cé ga gurati u podruˇcje manje gustoće silnica ukupnog magnetskog polja, koje se dobiva zbrajanjem magnetskog polja vodiˇca i vanjskog magnetskog polja. Ova sila zove se Lorentzova sila . Prema (3.2) Iznos Lorenzove sile je

F = B · I · l gdje su: • F - sila na vodiˇc • B - gustoća magnetskog toka • l - duljina vodiˇca

3.10.3 F AR AD AY - EV ZAKON

S LIKA 3.33: Faraday-ev zakon

Click-om na gumb: • START - pokreće se simulacija, • STOP - zaustavlja se simulacija. S pomoću izbornih ponuda bira se da li cé se vidjeti smjer (strelice) za: • magnetsku silu, • magnetsko polje. 107

3. MAGNETIZAM Klizaˇci ci služe za namještanje brzine promjene promjene toka (engl. (engl. vary speed ) i jakosti magnetskog polja (engl. vary field strenght ). ). Vertikalni Vertikalni štap š tap se giba uzduž dva horizontalna vodiˇca ca i zatvara strujni krug. U krug je prikljuˇcen cen ampermetar ampermetar koji mjeri mjeri struju koja se inducir inducira. a. Budući da je inducirana struja proporcionalna induciranom naponu v i i = B · l · v , povećanjem canjem brzine gibanja štapa i jakosti magnetskog toka struja ce ´ rasti. Vertikalni štap može se vući ci s pomoću cu miša lijevo i desno. Oˇcevidno cevidno je kako smjer i brzina povlaˇcenja cenja utjeˇcu cu na induciranu struju, ciju cˇ iju jakost pokazuje ampermetar.

3.10 3. 10.4 .4 LENNZ - OVO PRAVILO Povlaˇcenjem cenjem miša uz pritisn pritisnutu utu lijevu lijevu tipku tipku miša miša mogu´ moguće ce je pribli približava žavati ti i udaljav udaljavati ati magnet od vodiˇca ca (prstena).

S LIKA 3.34: Lennz-ovo 3.34: Lennz-ovo pravilo

Kada se magnet približava vodiˇcu cu (prstenu), tok magnetskog polja kroz prsten se povećava. cava. U prstenu se inducira inducira napon i teˇce ce struja. Smjer Smjer struje je takav da se magnetsko polje oko vodiˇca ca suprotstavlja povećanju canju magnetskog toka. Kada se magnet udaljava, inducirana inducirana struja i magnetsko magnetsko polje oko vodiˇ ca ima suprotan suprotan smjer od onog kad se magnet približava. približava. U ovom se sluˇcaju caju magnetsko polje oko vodiˇca ca suprotstavlja smanjenju magnetskog toka. Lenzovo Lenzovo pravilo : Inducirani napon stvara struju takvog smjera da se ona svojim djelovanjem suprotstavlja promjeni (magnetskog toka) koja ga je izazvala.

108

Zadaci

ADAC ACII 3 . 1 1 Z AD Na polovici polovici radiusa jednog vodiˇca ca kružnog presjeka kroz koji teˇce ce struja 3.1 konstantne gustoće ce J postoji postoji magnetsko polje H 1 . a) koliki je iznos magnetskog polja na površini vodiˇca ca (izrazite ga pomoću cu H 1 ), b) oznaˇcite cite na presjeku vodiˇca ca smjer magnetskog polja na površini vodiˇca ca uz slobodno izabran smjer struje, c) kako se mijenja iznos magnetskog polja od osi vodiˇca ca prema površini, prikažite grafiˇcki, cki, d) izvedite ovisnost c ). ). a) 2 H 1 Rješenje: a)

b) 0,75 Ω

d) 4 W

d) 12 A, 2 A

3.2 Ravan vodiˇc duljine 1m, mase 0,00784 kg, smješten je u zraku okomito na horizontalno magnetsko polje jakosti 6,34 · 103 A/m. Na dite ¯ potrebnu jakost struje da vodiˇc miruje u magnetskom polju . 9,65 [A] Rješenje: 9,65 Elektron Elektron ubrzan razlikom razlikom potenci potencijala jala 300V 300V giba se uspore usporedno dno s ravnini ravnini 3.3 vodiˇcem cem od njega udaljenim udaljenim 4 mm. Kolika Kolika sila djeluje na elektron elektron ako vodiˇcem cem prolazi struja jakosti 5 A? b) 4,12 · 10−16 N Rješenje: b) Nabijena cestica cˇ estica uleti u homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 3.4 0,52 T brzinom 2 · 106 m/s. Koliki Koliki je specifiˇcni cni naboj cestice cˇ estice ako je ona u polju opisala luk polumjera 4 cm? Koja je to cestica? cˇestica? 0,961 · 108 , Rješenje: 0,961

proton

Nazatvorenuželjeznu znu jezgru jezgru srednj srednjee dul duljin jinee 0,6 m i presje presjeka ka 5 cm2 namotano 3.5 Nazatvorenuželje je 450 zavoja kroz koje teˇce ce struja 8,8 A i stvara magnetski tok 700 Wb. a) kolika je indukcija, indukcija, b) koliki je iznos jakosti magnetskog polja, c) koji je iznos relativne permeabilnosti željeza, d) koliki otpor ima zavojnica ako je na nju prikljuˇcen cen napon 10 V, e) uz kvadratiˇcni cni profil presjeka jezgre i jednoslojan namot, koliki je iznos presjeka bakrene žice namotaja? 109

3. MAGNETIZAM a) 1,4 T Rješenje: a)

b) 6600 6600 A/m A/m

c) 168,8 168,8 Vs/A Vs/Am m

d) 1,136 1,136Ω

e) 0,623 mm2

3.6 Kroz dva ravna usporedna vodiˇca ca teku struje 5 A i 10 A. Kolika sila djeluje medu vodiˇ c cima ima na duljinu 1m ako su oni medusobno udaljeni 10 cm? ¯ ¯ 0,0001 N Rješenje: 0,0001

3.7 U homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 2 · 104 smješten je dugi ravni vodiˇc okomito na silnice. Vodiˇcem cem teˇce ce struja jakosti 50 A. Nadi ¯ geometrijsko mjesto toˇcaka caka u kojima je magnetska indukcija jednaka nuli. 5 cm Rješenje: 5

3.8 Kroz 800 zavoja namotanih namotanih na na nemagnet nemagnetiˇ iˇcno cno tijelo oblika torusa srednje 2 dužine 0, 0, 2π m i presjeka 50 cm teˇce ce struja I = = 10 A. a) koliki je iznos jakosti magnetskog polja u zavojnici, b) koliki je induktivitet zavojnice, zavojnice, c) koliku magnetsku energiju sadrži zavojnica? a) 1273 127344 A/m A/m Rješenje: a)

b) 6.4 6.4 mH

c) 0,32 J

3.9 Koji se napon inducira u zavojnici sa 10 zavoja površine 5 cm2 ako tu zavo jnicu za 0, 005 s unesemo u magnetsko polje jakosti 8 · 104 A/m? Površina zavojnice okomita je na silnice. 0,1 [V] Rješenje: 0,1 U zavojnici zavojnici se za vrijeme vrijeme 0,2 s promijeni promijeni jakost jakost struje od 15 A na 10 A. A. 3.10 Pritom se inducira napon 2 V. V. Koliki je induktivitet zavojnice? 0,08 H Rješenje: 0,08

110

4

PRIJEL AZNE POJAVE

P OGLAVLJE

Elektriˇcki elementi koji mogu uskladištiti energiju elektriˇcnog (kondenzator) i magnetskog (zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez energije . Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugo stacionarno stanje, jer se njima obuhvaća preraspodjela energije u strujnim krugovima, što je cˇ est sluˇcaj u praksi. Skup svih dogadaja ¯ pri tom prijelazu obuhvaća naziv ’prijelazne pojave ’. Glavno pitanje koje se u sljedećim toˇckama rješava jest: kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici izme¯ du dva stacionarna stanja.

4.1 RC- KRUG 4.1.1 E NERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA Kad se prazan kondenzator prikljuˇci na izvor napona V , kondenzatoru se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala v , izmedu ¯ ploˇca. Nakon dovoljno dugo vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V , izraz 1.13, i poprimi napon izvora V . Tijekom nabijanja, porastu napona kondenzatora v , za vrijednost d v , uzrok je porast naboja d q :

dQ = C · d v Malim slovima oznaˇcuju se trenutaˇcne vrijednosti pojedinih veliˇcina. Kodgibanja naboja d q , elektriˇcno polje obavlja rad (izraz 1.11): dW = d q · v Ukupna energija koju do kraja nabijanja pohrani kondenzator, prema izrazu 1.21, iznosi: V



W = C

0

v · d v =

C · V 2 2

111

2

= Q 2· V = 2Q · C

4. PRIJELAZNE POJAVE Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izmedu ¯ ploˇca (elektroda), kao energija elektriˇcnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, elektriˇc no polje u izolatoru se razgraduje. Ta se en¯ ergija oslobada ¯ i može se pretvoritiu neki drugi oblik energije (toplinsku, svjetlosnu ili opet u elektriˇcnu).

4.1 .2 E NERGIJA NA OTPORU Može se dokazatida kod nabijanja kondenzator dobije samo polovicu energije koju daje izvor. Druga polovica energije izvora potroši se na otporu kruga R .

V V = Q · = W C 2 2 Na otporu kruga potroši se do kraja nabijanja toliko energije koliko je dobije kondenzator. W R = W i − W C = Q · V − Q ·

4.1 .3 N AB IJ AN JE ( PUNJENJE ) KONDENZATORA Ukljuˇcenjem poˇcetno praznog kondenzatora u strujni krug s otporom R koji zam jenjuje sve otpore kruga (radni otpor, otpor voda, nutarnji otpor izvora) (slika 4.1) dogada ¯ se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora dok mu napon ne poprimi vri jednost napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u poˇcetku je velika, a kako naboj na ploˇcama raste, tako njezin iznos pada. 1 S 0 2

C V

+ − R

S LIKA 4.1: RC krug

Struja I u trenutku prikljuˇcenja odredena je samo naponom V i otporom kruga ¯ R , tj. Ohm-ovim zakonom (I = V /R ). Kako nakon prikljuˇcenja napon kondenzatora v C nabijanjem postupno raste, tako se smanjuje napon na otporu v R ( v R = V · v C ), a s njime i jakost struje u krugu i ( i = v R /R ). 112

RC-krug Naponi se na poˇcetku nabijanja mijenjaju brže, a prema završetku nabijanja sve sporije. Trajanje nabijanja je dulje što su veći kapacitet C i otpor kruga R . Umnožak vrijednosti kapaciteta i otpora takoder ¯ ima dimenziju vremena i zove se vremenska konstanta : τ

= R · C

(4.1)

Nakon isteka jedne vremenske konstante kondenzator se nabije na 63% konaˇcnog napona. Naponkondenzatora raste svesporije prema konaˇcnoj vrijednosti (napona izvora V , a uzima se da je kondenzator nabijen nakon vremena t = 5τ (tj. pet vremenskih konstanti). Struja tada praktiˇcki više ne teˇce iz izvora, pa se kaže da je kondenzator nabijen.

4.1.4 I ZBIJANJE ( PRAŽNJENJE ) KONDENZATORA Nabijenikondenzator odspojen od izvora sadrži elektriˇcnu energiju. Vodljivim spa janjem njegovih elektroda višak elektrona s negativne elektrode odlazi na pozitivnu tvoreći tako struju kroz vodljivi spoj izmedu ¯ elektroda. Strujom kondenzator predaje energiju otporu, preko kojeg su elektrode vodljivo spojene. Ovo predavanje energije popraćeno smanjenjem naboja i napona naziva se izbijanje (ili pražnjenje ) kondenzatora. Kodizbijanja, kondenzator se ponaša kao izvor komese napon postupno sman juje. Poˇcetna struja izbijanja I odredena je naponom nabijenog kondenzatora V C i ¯ otporom R vodljivog spoja izmedu ¯ prikljuˇcnica kondenzatora:

V C R Izbijanjem se smanjuje naboj, napon kondenzatora i struja. Proces je u poˇcetku brz, a prema završetku izbijanja sve sporiji. U svakom trenutku vrijedi Kirchhoff-ov zakon za napone: I =

v R = v C U svakom trenutku napon na otporu v R jednak je naponu kondenzatora v C , pa je time preko Ohm-ovog zakona u svakom trunutku odre dena i veza izmedu ¯ ¯ napona kondenzatora v C i struje izbijanja i jednaka:

i · R = v R Na slici 4.2 prikazana je naponska funkcija nabijanja i izbijanja kondenzatora v = f (t ).

4.2 RL- KRUG

113

4. PRIJELAZNE POJAVE

v V

nabijanje izbijanje τ

t

2τ 3τ 4τ 5τ

S LIKA 4.2: v=f(t) u RC krugu

4.2 .1 E NERGIJA ZAVOJNICE Porastom struje zavojnice od nule do neke vrijednosti I u svitku se stvara magnetsko polje. Energija tog polja pohranjuje se u svitku. Smanjenjem struje magnetsko polje se razgraduje ¯ i svitak putem induciranog napona energiju vraća natrag u krug. Snaga na zavojnici odredena je u svakom trenutku umnoškom struje i i induci¯ ranog napona v L :

L · ∆i ∆t Energija svitka jednaka je umnošku snage i promjene vremena: p L = i · v L = i ·

∆W L

= p L · ∆t = i · u L · ∆t = i · L · ∆∆i t · ∆t = i · L · ∆i

(4.2)

Ukupna energija svitka jednaka je zbroju svih diskretnih porasta energije ∆W L priporastustrujeod0do I , pa se ukupna energija svitka dobije zbrajanjem, odnosno integriranjem jednadžbe (4.2): l

W = gdje je:

· · 0

i L ∆i = L ·

I 2 2

• W L - energija pohranjena u svitku • L - induktivitet svitka • I - struja svitka što je identiˇcno već izvedenom izrazu u (3.38). Energija svitka (stalnog induktiviteta) odredena je njegovim induktivitetom i ¯ jakošću struje. Promjena struje svitka znaˇci promjenu njegove energije. Kako nije moguća trenutaˇcna promjena energije, tako nije moguća ni trenutaˇcna promjena struje svitka i on se tome opire svojim induciranim naponom. Kod ukapˇcanja i iskapˇcanja strujnog kruga sa svitkom (RL - krug), stacionarno stanje se zbog toga ne uspostavlja trenutaˇcno, nego se javlja prijelazno stanje u kojem se postupno uspostavljaju konaˇcne veliˇcine struje i napona. 114

RL-krug

ˇ 4.2.2 U KA P CANJE RL - KRUGA

Svaka se realna zavojnica može predoˇciti kao spoj radnog otpora R i induktiviteta L . Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (spajanje preklopke u položaj 0 − 1 na slici 4.3) struja c´ e od poˇcetne vrijednosti i = 0 do svoje stacionarne vrijednosti i = V /R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena struje inducirat c´ e prema (3.31) napon samoindukcije, koji c´ e se po Lenz-ovu zakonu suprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat cé njezin porast. 1 S 0 2

L V

+ − R

S LIKA 4.3: RL krug

Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme jedne vremenske konstante (t = τ) struja postigne 63,2% svoje konaˇcne vrijednosti. Vri jednost stacionarnog stanja praktiˇcki se postiže već nakon vremena od 4 do 5 vremenskih konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4.4.

i I 0.632 I

τ

2τ 3τ 4τ 5τ

t

cenje RL kruga S LIKA 4.4: i=f(t) za ukljuˇ

Suprotstavljajući se trenutaˇcnoj promjeni struje, na svitku se nakon ukapˇcanja javlja inducirani napon iznossa jednakog iznosu izvora. Da bi struja neposredno nakon ukapˇcanja bila ista kao u cˇasu neposredno prije toga, to jest nula, inducirani napon na svitku u trenutku ukapˇcanja mora poništiti napon izvora. Stoga, neposredno nakon ukapˇcanja, inducirani napon na induktivitetu po iznosu je jednak naponu izvora. 115

4. PRIJELAZNE POJAVE Inducirani napon najveći je u trenutku ukapˇcanja, jer je tad najveća promjena magnetskog toka. Potom, kako se u svitku postepeno uspostavlja magnetski tok, smanjuje se brzina njegove promjene. Time se postupno smanjuje i inducirani napon v L . Napon na otporu v R u svakom je cˇ asu jednak razlici napona izvora V i napona na induktivitetu v L :

v R = V − v L Kako se smanjuje napon v L tako rastenapon na otporu v R , a isto tako postupno raste struja:

i =

v R V v L = − R R R

Struja raste od nule do konaˇcne vrijednosti:

i =

V R

koja je odredena samo naponom izvora i otporom kruga. To je veliˇcina struje u ¯ stacionarnom stanju. Porast struje je sporiji i prijelazno stanje traje dulje, što je veći omjer induktiviteta i otpora kruga. Analogno sluˇcaju kondenzatora, izraz 4.1, ovaj omjer oznaˇcava se s τ i naziva vremenska konstanta RL-kruga . τ

= R L

Jedinica za vremensku konstantu je sekunda. Vremenska konstanta τ je vrijeme nakon ukapˇcanja svitka, u kojem struja RL kruga poraste na 63% svoje konaˇcne vrijednosti. U istom vremenu napon na induktivitetu padne na 37% svoje poˇcetne vrijednosti. Struja se sve sporije približava svojoj konaˇcnoj vrijednosti I , a uzima se da je realno doseže (te nastupa stacionarno stanje) nakon vremena:

T uk = 5 · τ ˇ 4.2 .3 I SKAP CANJE RL - KRUGA

Drugi sluˇcaj prijelazne pojave u RL-krugu jest prekidanje toka stacionarne struje I , na primjer spajanjem preklopke u položaj 0 − 2 u shemi na slici 4.3. U strujnom krugu bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne pri smanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i = 0 uzrokom su napona samoindukcije, cˇ iji je smjer po Lenz-ovom zakonu takav da se suprotstavlja promjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju. 116

Elektromagnetski oscilirajući krug

i I

τ

2τ 3τ 4τ 5τ

t

cenje RL kruga S LIKA 4.5: i=f(t) za iskljuˇ

Struja dakle eksponencijalno trneu beskonaˇcnosti (praktiˇckinakon 4− 5τ). Brzina pada opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se (slika 4.5) da zbog prisutnosti induktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri promjeni struje. Kodiskapˇcanja, suprostavljajući se padustruje, svitak djeluje kao naponski izvor koji nastoji i dalje tjerati struju u istom smjeru. U trenutku prekida struje otvaranjem sklopke, na induktivitetu se javlja inducirani napon vrlo velikog iznosa (može biti i nekoliko kilovolti). Veliˇcina induciranog napona, može se ograniˇciti tako da se svitak pritom kratko spoji. Polaritet induciranognapona v L je takav da on djeluje kao izvor, nastojeći održati struju kroz svitak i nakon odspajaanja izvora. Da bi struja u casu ˇ neposredno nakon iskapˇcanja bila jednaka I kao prije iskapˇcanja, iznos induciranog napona u tom cˇ asu jednak je umnošku veliˇcine struje prije iskapˇcanja i otpora preko kojeg se svitak kratko spaja. To je i najveća vrijednost induciranog napona, koji potom postupno pada prema nuli. Struja je kod iskapˇcanja jednaka omjeru induciranog napona i otpora preko ko jeg je svitak kratko spojen. Ona, sliˇcno kao napon v L , s vremenom postupno pada od poˇcetne vrijednosti I do nule. Pritom se potpuno razgradi magnetsko polje svitka i potroši njegova energija. Brzinu smanjivanja struje svitka, kao i trajanje prijelaznog stanja pri iskapˇcanju svitka, odreduje ¯ vremenska konstanta τ, koja je jednaka omjeru induktiviteta i otpora iskapˇcanja. Struja, kao i napon v L , nakon jedne vremenske konstante padne na 37%poˇcetne vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti praktiˇcno padne na nulu (t i s = 5 · τ).

´ KRUG 4.3 E LEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUCI Zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa zavojnicom. Kondenzator se nabije u strujnom krugu koji ima izvor istosmjernog napona. Zatim se, pomoću prikladne sklopke, zatvori krug u kojem se nalaze samo kondenzator i zavojnica. Poˇcetno je zavojnica bez struje, dakle i bez energije, dok je u kondenzatoru pohranjena energija Q 2 /2 · C . Tada se kondenzator poˇcinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u 117

4. PRIJELAZNE POJAVE zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste, a elektriˇcno polje u konenzatoru pada. Nakon prijelaznog procesa, kondenzator je cijelu svoju potenci jalnu energiju Q 2 /2 · C predao zavojnici, koja tako dobiva najveću energiju L · I 2 /2. Ako nema gubitaka (npr. na otporu), ta energija jednaka je prvotnoj elektriˇcnoj. Nakon toga slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na raˇcun magnetske energije zavojnice. Može se primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu. Budući da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmoniˇckog oblika, govori se o elektriˇcnim oscilacijama. Ako je poˇcetna energija kruga bila Q 2 /2 · C , ukupna energija u bilo kojem vremenu izraˇcuna se iz:

q 2 i 2 Q 2 + L · = 2 · C 2 2 · C gdje su q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje. Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka: 1 1 =  T 2 · π L · C iz cˇ ega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veća što su induktivitet i kapacitet manji.

f =

Vm

Vm

+

a

+

b

+

b

a

a

+ + +

C

Im

S

− − − − − −

b

Im

L

a

b

b

a

a

b

S LIKA 4.6: LC oscilator

Ono što je pritom zadivljujuće jest povezanost sa sliˇcnim fizikalnim veliˇcinama mehaniˇckih oscilacija. Povezanost izmedu ¯ elektriˇcnih i mehaniˇckih sustava je toliko velika da je moguće riješiti složene mehaniˇcke ili akustiˇcke probleme postavl janjem analognih elektriˇc nih krugova i mjerenjem na lak naˇcin napona i struja koje odgovaraju mehaniˇckim i akustiˇckim ’nepoznanicama’. Ako je m masa tijela ob ješenog na spiralnoj opruzi krutosti k , onda c´ e kružna frekvencija ω toga sustava biti ω

118



=

k m

Elektromagnetski valovi što odgovara elektriˇcnim oscilacijama: ω



=

1 L · C

Budući da je sustav zatvoren, zbroj kinetiˇcke i potecijalne (elastiˇcne) energije je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udal jenosti x m . Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehaniˇckog i elektriˇcnog dana je u tablici 4.1. Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovara trenju u mehaniˇckom sustavu. Gubitak energije ima za posljedicu smanjenje amplituda oscilacija ili ga je potrebno nadoknadivati iz stranog izvora energije. ¯ Hertz je 1888. godine pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljaˇci) mogu poslati energiju kroz prostor do sliˇcnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakona iz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell -ovuteoriju elektromagnetskih valova, koja je sigurno jedan od najvećih uspjeha znanosti 19. stoljeća. T ABL IC A 4.1: Usporedba mehaniˇ ckih i elektriˇ ckih oscilacija

Masa na elastiˇcnoj opruzi m ·v 2 2

2 m x m

+ k ·2x 2 = ·2 k · (x 2 − x 2 ) v = m m d v = dx t x = x m · si n ωt



LC krug 2

+ 2q ·C = 2Q ·C 2 i = L 1·C · (Q 2 − q 2 ) i = ddq t q = Q · si n ωt L ·i 2 2



4.4 E LEKTROMAGNETSKI VALOVI Elektricitet i magnetizampoˇcetnosupromatraniiprouˇcavanikao razliˇcita podruˇcja. Medutim, elektromagnetska indukcija pokazala je da gdje god postoji promjena u ¯ magnetskom polju, da se tu stvara i elektriˇ cnopolje(3.28). Isto takogibanje naboja, tj. postojanje i promjena elektriˇcnog polja, stvara magnetsko polje kako je objašn jeno u poglavlju 3. Oˇcevidno, nemoguće je postojanje jednog efekta bez pojave drugog. Na tome je Maxwell gradio svoju teoriju o nerazdvojivosti elektriˇckog i magnetskog polja, te njihova širenja kroz prostor. Godine 1864. uspio je postaviti zakone u općem matematiˇckom obliku. Ti zakoni zajedno daju diferencijalne jednadžbe širenja elektromagnetskih valova , elektromagnetskih - zbog elektriˇcne (E ) i magnetske (B ) veliˇcine od koje su sastavljeni, a valova - zbog njihove formalne podudarnosti s jednadžbama širenja mehaniˇckih valova. Otkrivena veza elektriˇcnog i magnetskog polja može se sažeti u nekoliko važnih cˇ injenica: 119


S LIKA 4.7: Elektromagnetski valovi

a) Sve promjene se istodobno dogadaju ¯ u oba polja (elektriˇcnom i magnetskom), koje svoje minimalne i maksimalne vrijednosti imaju na istom mjestu i u isto vrijeme. b) Jakosti elektriˇcnog polja B i indukcije magnetskog polja E me dusobno su ¯ okomiti vektori, istodobno okomiti na smjer širenja vala (slika 4.4). c) Iznosi tih dvaju vektora povezani su s konstantom c:

E = c · B d) Elektromagnetski valovi nose energiju i njihovo širenje je tok energije 2 2 elektriˇcne gustoće ( ε0 2·E ) i magnetske gustoće ( 2B ·µ0 ). e) Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakuumu je:

c =

1

8 · = 3 · 10

µ0 ε0

m /s

Elektromagnetski valovi šire se, dakle, u vakuumu brzinom svjetlosti! Izražena u strogom matematiˇckom obliku Maxwell-ova teorija dovela je do zakljuˇcka da je svjetlost elektromagnetski val. Hertz-ovi pokusi, kako je već reˇceno, potvrdili su ispravnost te teorije.

4.5 A P PLETI 4.5.1 RC-KRUG 120

Appleti

S LIKA 4.8: RC-krug 4.8: RC-krug

Pomoću cu tri padajuća ca izbornika biraju se vrijednosti vrijednosti otpora, kapaciteta i napona. napona. Nakon svakog odabira mora se click-nuti na gumb UPDATE , da bi se odabrane vri jednosti upisale pored odgovarajućih cih elemenata u strujnom krugu. Napon se još može mijenjati clickom iznad baterije i povlaˇcenjem cenjem gore ili dolje napons naponskog kog stupca stupca s pomo´ pomoću cu miša(pritisnu miša(pritisnuta ta lijeva lijeva tipka tipka miša). miša). Taj stupac stupac prikazu prikazuje je iznos napona baterije. Click-o Click-om m na crveni crveni prekid prekidaˇ aˇcpokre´ cpokreće ce se simulacija. simulacija. Trenut Trenutne ne vrijednosti vrijednosti napona na kondenzatoru kondenzatoru i otporniku otporniku prikazane su pored tih elemenata. elemenata. Crvena krivulja krivulja prikazuje napon kao funkciju vremena, a plava struju, takoder ¯ kao funkciju vremena. Click-om na gumb RESET vra´ vraća ca se vrijeme na nulu. Click-om na crveni prekidaˇc mijenja se njegov položaj, tj. zatvara se veći ci ili manji strujni krug. Uvećem cem krugu krugu postoj postojii izvor izvor napona napona (bateri (baterija) ja),, pa se zatvara zatvaranje njem m togkruga konkondenzator puni. Ako se, nakon punjenja punjenja kondenzatora, zatvori manji strujni krug, kondenzator ce c´ e se prazniti preko otpora R . Simulacija Simulacija se možemo zaustaviti zaustaviti držanjem pritisnute lijeve tipke miša, a kod otpuštanja simulacija se nastavlja.

4.5. 4. 5.22 RL RL-- KRUG Click-om miša (lijevi click) na prekidaˇc na appletu ukljuˇcuje cuje se, odnosno iskljuˇcuje cuje strujni strujni krug. krug. S pomoću klizaˇ klizaˇca c a namj namješ ešta ta se otpo otporr na reost reostat atu u (0− 10Ω) i indukti induktivit vitet et 121

4. PRIJELAZNE POJAVE POJAVE

S LIKA 4.9: RL-krug 4.9: RL-krug

na zavojnici (0 − 2H ). ). Nakon Nakon zatvaranja zatvaranja strujnog kruga, iznad zavojnice se pojavljuju pojavljuju dvije strelice: strelice: plava pokazuje smjer struje koja teˇce ce krugom, a crvena pokazuje smjer inducirane struje u zavojnici. Ako se želi da na ekranu osciloskopa napon bude prikazan krivuljom, treba se click-nuti na oznaku ’curve ’ (hrv. krivulja ). ).

´ KRUG 4 . 5 .3 .3 E LEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJU CI

S LIKA 4.10: Elektromagnetski 4.10: Elektromagnetski osciliraju´ ci krug

Click-om na gumb: 122

Appleti a) RESET - kondenzator ce c´ e se spojiti na izvor napona, pa ce c´ e se na njemu razdvojiti naboji. Gornja ploˇca ca bit ce c´ e pozitivna, a donja negativna. b) START - prekidaˇc ce c´ e doći ci u drugi položaj i oscilacije ce c´ e zapoˇceti. ceti. Nakon toga isti gumb omogućuje cuje prekidanje (PAUSE ) i nastavljanje simulacije (RESUME ). c) Opcije SLOW omogućuju c uju 10 ili ili 100 100 puta puta spori sporiji ji prika prikazz oscil oscilac acij ijaa SLOW MOTION omogu´ od realnih. U tekstovna polja upisuju se vrijednosti kapaciteta (CAPACITY : 100 − 1000µ F), induktiviteta (INDUCTIVITY : 1 − 10 H), otpora (RESISTANCE : 0 − 1000Ω) i napona na izvoru (MAX. VOLTAGE ). VOLTAGE ). Na lijevo lijevojj strani strani applet appletaa piše vrijem vrijemee protek proteklo lo od poˇcetka cetka oscilaci oscilacija, ja, a ispod ispod piše period oscilacija. Mogu se odabrati jednu od dvije opcije u donjem desnom kutu: a) VOLTAGE , AMPERAGE - u dijagramu ce c´ e biti prikazani napon V (plavo) i jakost struje I (crveno) (crveno) kao funkcije vremena. b) ENERGY -grafiˇ -grafiˇcki cki ce c´ e biti prikazana prikazana transformacija transformacijaenerg energije ije (energija (energija elektriˇcnog cnog polja kondenzatora - crveno, energija magnetskog polja zavo jnice - plavo i energija potrošena na otporniku - crno)

123


4.6 Z ADACI Kondenzator je sastavljen od dviju paralelnih ploˇca od površine 60 cm2 4.1 koje su jedna od druge udaljene 3 mm. Me du ¯ njima je bakelit, kojemu je relativna dielektriˇcnost 4. Kondenzator ima napon od 500 V. Kolika se energija oslobodi izbi janjem tog kondenzatora?

Rješenje: 8,85µ J

4.2 Zavojnica ima otpor 5Ω i induktivitet 100mH. U jednomspecifiˇcnom trenutku i = 20 nakon ukljuˇcivanja baterije, poteˇce struja u zavojnici iznosa 2 A i promjene Λ ∆t A/s. Odredite: a) napon baterije, b) vremenska konstanta kruga, c) konaˇcnu vrijednost struje? d) konaˇcnu vrijednost energije kondenzatora?

Rješenje: a) 12 V

b) 0,02 s

c) 2,4 A

c) 0,288 J

4.3 Kondenzator ima kapacitet 15µF, otpornik ima otpor 8M Ω, a baterija napon 800 V. U jednom specifiˇcnom trenutku nakon ukljuˇcivanja baterije teˇce struja koja puni kondenzator, a napon na njemu je 350 V. Kondenzator je u poˇcetku prazan. Odredite: a) brzina promjene naponana kondenzatoru u odabranom trenutku nakon ukljuˇcivanja, b) vremensku konstanta kruga, c) konaˇcnu vrijednost struje? d) konaˇcnu vrijednost energije kondenzatora?

Rješenje: a) 0,375 V/s

124

b) 120 s

c) 0 A

d) 4,8 J

5

ˇ IZMJENI CNE STRUJE

P OGLAVLJE

Već pri prijel prijelazn aznim im pojava pojavama ma u strujno strujnom m krugu krugu uoˇcene cene su elektriˇ elektriˇcneveliˇ cneveliˇcine cine (struje, (struje, naponi, elektromotorne sile) koje nisu vremenski konstantne. Njihove vrijednosti poprimaju u svakom trenutku drugi iznos. Općenito cenito se trenutna vrijednost, uzmimo struje, može iskazati izrazom: (5.1) = f ( (t ) i = Konstan Konstantna tna struja, struja, istosmje istosmjerna rna bez promje promjene ne iznosa, iznosa, kakva kakva je prikaza prikazana na na slici slici 5.1,, gdje je i = 5.1 caj gornjeg izraza. izraza. Ako struja i = = I , tek je poseban sluˇcaj = f ( (t ) mijenja samo iznos, a ne i predznak, ostaje istosmjerna (slika 5.1 (slika 5.1 b.). b.).

i

i

t a)

t b)

S LIKA 5.1: Istosmjerne 5.1: Istosmjerne struje

= f ( (t ) uz iznos mijenja i predznak, naziva se izmjeniˇcna Ako struja i = cna (slika 5.2 (slika 5.2). ). Fizikalno to znaˇci ci da ima vremenskih odsjeˇcaka caka u kojima se nosioci naboja gibaju i u suprotnom smjeru. Obiˇcno cno se smjer gibanja pozitivnog naboja pridružuje pozitivnim iznosima u izrazu i = = f ( (t ),), a smjer negativnog naboja negativnim. Promjena Promjena struje može biti periodiˇcka, cka, što znaˇci ci da se u izrazu i = = f ( (t ) u konstantnim vremenskim razmacima ponavljaju iste vrijednosti s istom derivacijom i da to vrijedi za bilo koji trenutak. Minimalni vremenski razmak takvih toˇcaka caka zove se period T . Dva primjera primjera periodiˇcki cki promjenljivih struja prikazuje slika 5.3 slika 5.3.. Na slici 5.3 slici 5.3 a. a. je istosmjerna , a na slici 5.3 slici 5.3 b. b. izmjeniˇ cna periodiˇ cka struja . Periodiˇcka cka struja prema tome zadovoljava izraz: (t + k · T ) i ( t ) = f ( 125

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE

i

t

S LIKA 5.2: Izmjeniˇ 5.2: Izmjeniˇ cna struja

i

i

t T

t T

a)

b) cke struje S LIKA 5.3: Periodiˇ 5.3: Periodiˇ

gdje gdje je k = 0,1, 2,3, . . . Ako je srednja srednja vrijednost vrijednost periodiˇ periodiˇcke cke struje struje i (t ), ), definirana izrazom: 1 T = I sr i (t ) · d t sr T 0 jednaka nuli, struja i ( t ) je ˇ cista izmjeniˇ cna .



ˇ OBLIK ARMO MO NI CKI 5 . 1 H AR Ako je dobivena srednja vrijednost I sr cita od nule, tada je ta periodiˇcka cita cka struja sr razliˇ sastavl sastavljen jenaa od dvije dvije kompone komponente nte:: od konstan konstantne tne istosmj istosmjern ernee iznosa iznosa I sr i ciste c izmsr ˇ iste izm jeniˇcne, cne, kako je za jedan sluˇcaj caj prikazano na slici 5.4 slici 5.4.. Struja Struja u lijevom dijagramu dijagramu jednaka je zbroju komponenata prikazanih na preostala dva d ijagrama. Medu cˇ istim izmjeniˇ izmjeniˇcnim cnim strujam strujamaa neki neki se oblici oblici pojavl pojavljuj juju u ceš´ ˇ ce. ce. Tako Tako su ceš´ cˇešći ci ¯ cistim oblici u kojih je negativni dio iznosima jednak pozitivnom, a medu ¯ takvima najzastupljeniji je harmoniˇ (slika 5.5)). cki oblik (slika 5.5 126

Harmoniˇcki cki oblik

i

i

i

=

I SR SR

+

I SR SR

t

t

t

S LIKA 5.4: Periodiˇ 5.4: Periodiˇ cka struja sa I s r ≈ ≈ 0

Mnoge prirodne pojave cesto cˇ esto se odvijaju po harmoniˇckoj ckoj promjeni. promjeni. Važno Važno je njezino svojstvo da joj derivacija i integral ostaju harmoniˇcki cki uz vremenski pomak.

i

t

S LIKA 5.5: Harmoniˇ 5.5: Harmoniˇ cka struja

Najjednostavniji matematiˇcki cki opis harmoniˇckog ckog oblika je onaj pri kojem je u vremenu t = = 0 iznos funkcije nula, uz pozitivnu derivaciju. Za struju to je izraz:

i (t ) = I m m · sin(ωt ) gdje je I m - kut. m - amplituda, ω - konstanta, a ωt ˇ Cesto se takav oblik jednostavno zove sinusnim ili ili sinusoidalnim . Neharmoniˇcki cki periodiˇcki cki oblici mogu se primjenom primjenom Fourier-o Fourier-ove ve analize analize predoˇciti citi kao zbroj harmoniˇckih ckih komponenata i jedne konstantne. Unastavkusepodpojmomizmjeniˇcne cne struje struje podraz podrazumi umijev jevaa struja struja harmoniˇ harmoniˇckog oblika, jednostavno zvana sinusoidaln sinusoidalnom om strujom strujom . Nju daje izvor napona istog oblika. Uobiˇcaje c ajenoje noje dase fiziˇ fiziˇckismjer c kismjer struj strujee u vodiˇ vodiˇcu komepripadaju komepripadaju poziti pozitivni vni iznosi iznosi u izrazu i ( t ) utvrduje cuje strelicom u shemama strujnih kru¯ kao referentni i oznaˇcuje gova (slika 5.6 (slika 5.6). ). Njemu pripada referentni polaritet napona izvora koji se može oznaˇciti citi oznakama ’+’ i ’ −’. Pri negativnim trenutnim vrijednostima i (t ) i v (t ) smjer struje i polaritet napona su suprotni od naznaˇcenog. cenog.

5 . 1 . 1 F REKVENCIJA I KRUŽNA FREKVENCIJA 127


i

+

V

− S LIKA 5.6: Referentni smjer struje i pripadaju´ ci polaritet napona izvora

U vremenu perioda T izmjeniˇcna struja izvrši jedan potpuni titraj. Broj titraja N u vremenu ∆t naziva se frekvencijom :

f r ek ve nc i j a f =

brojtitraj a N vr i jeme ∆ t

1 [ ] = [ Hz ] s

Jedinica frekvencije je H z (Herc). Ako se vrijeme promatranja iste pojave svede na period ∆t = T , broj titraja N je jedan, a frekvencija iznosi:

f =

1 [ H z ] t

Vrijeme trajanja jednog titraja ili period T reciproˇcno je vrijednosti frekvencije. Frekvencija izmjeniˇcne struje korištene u elektroenergetskim sustavima ovisi o brzini vrtnje i o broju magnetskih polova generatora u kojem se proizvodi, što se može prikazati slikom 5.7. Tu se nalaze shematizirani presjeci dvaju generatora s jednim namotom na statoru i s magnetskim polovima na rotoru. Rotor na slici 5.7 a)imadva,anaslici 5.7 b) cˇ etirimagnetska pola. Broj pari polova p u prvom sluˇcaju je jedan, a u drugome dva.

N

N S

S S

N p = 1

a )

p = 2 b )

S LIKA 5.7: Shematizirani prikazi generatora izmjeniˇ cne struje

128

Harmoniˇcki oblik Rotacijom magnetskih polova u statorskom namotu inducira se izmjeniˇ cni napon. U jednom okretaju rotora na slici 5.7 a) inducira se jedantitraj, a u jednom okretaju rotora na slici 5.7 b) induciraju se dva titraja. Kod p pari polova u jednom okretaju inducirat c´ e se p titraja. Kod n broja okretaja u generatoru na slici 5.7 a) inducira se n titraja, u generatoru na slici 5.7 b) n · 2 titraja, a u generatoru s p pari polova n · p titraja. U jednoj sekundi inducirat c´ e se općenito:

f = n · p [H z ]

titraja, ako je n broj okretaja u sekundi, ili:

f =

n · p [ H z ] 60

ako je n broj okretaja u minuti. Jednom titraju induciranog napona pripada kut α el = 2 π. U istom vremenu rotor generatora na slici 5.7 a) prijede ¯ kut α geom = 2π , a rotor na slici 5.7 b) kut αgeom = 2π/2. Rotor s p pari polova prijeći će u istom vremenu kut αgeom = 2π/p . Elektriˇckom kutu odgovara p puta manji geometrijski kut, pa je: αgeom

= αp el

Uz konstantnu kutnu brzinu vrtnje rotora ωgeom vrijedi: αgeom ωgeom t

=

·

a uz konstantnu frekvenciju:

= ω · t

αel

gdje se ω naziva kružnom frekvencijom . Za αel = 2π, t = T , pa je:

2 · π = ω · T i ω

= 2T · π

[H z ]

Kružna frekvencija jednaka je kutnoj brzini generatora samo ako ovaj ima jedan par polova, jer je tada elektriˇcki kut jednak geometrijskom. Uz f = 1/ T slijedi povezanost frekvencije i kružne frekvencije: ω

= 2 · π · f

Primjer: Struja javneelektriˇcnemreže ima frekvenciju50 Hz, pa trajanje jednog perioda kod nje iznosi: T =

1 1 = = 0,02s = 20ms f 50 129

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE a kružna frekvencija: ω

= 2 · π · 50 = 314s −1

Ako se ona proizvodi npr. u generatorima s brojem pari polova p = 2, oni se moraju vrtjeti brzinom:

n =

60 · f 60 · 50 1.500mi n −1 = = 2 p

Izmjeniˇcne struje niskih frekvencija koriste se u prijenosu energije, a one srednjih i visokih frekvencija u prijenosu informacija. U elektroenergetskim sustavima pored frekvencije od 50 Hz u nekim se zemljama susreću i frekvencije od 60 Hz. U prijenosu informacija koriste se frekvencije u vrlo širokom rasponu, od praga cˇ u jnosti u iznosu od oko 15 Hz pa do nekoliko GHz (gigaherca).

5.1 .2 S REDNJA I EFEKTIVNA VRIJEDNOST Srednja i efektivna vrijednost statistiˇcke su veliˇcine, a služe za skraćeno i efikasno opisivanje neke promjenjive veliˇcine koje se trenutne vrijednosti mijenjaju s vremenom. Srednja vrijednost je oˇcekivanje trenutnih vrijednosti, a efektivna njihovo standardno odstupanje. U elektrotehnici se obje vrijednosti naširoko koriste, efektivna osobito za struje i napone, a srednja i za snage. Srednja vrijednost struje zanimljiva je sa stanovišta pretvorbe elektriˇcne u kemijsku ili mehaniˇcku energiju kod istosmjernih trošila, a njezina efektivna vrijednost sa stanovišta pretvorbe u toplinsku energiju i kod istosmjernih i kod izmjeniˇcnih trošila. Iz definicije srednje vrijednosti za kontinuirane varijable s periodom T : 1 T F sr = f (t ) · d t T 0 slijedi srednja vrijednost I s r struje i (t ) u periodu T :



1 T I sr = f (t ) · d t T 0 Integral odreduje površinu omedenu krivuljom i ( t ) i apscisom t i predstavlja ¯ ¯ koliˇcinu elektriˇcnog naboja koji protekne u vremenu T . Dijeljenje s iznosom tog vremena daje vrijednostkonstantne istosmjerne struje po kojoj bi u istom vremenu T protekla ista koliˇcina naboja. Srednja vrijednost harmoniˇcke izmjeniˇcne struje:



i = I m · sin(ωt ) u vremenskom intervalu struje perioda T , jednaka je nuli: 1 I sr = T 130

 0

T

sin(ωt ) · d t = 0

Harmoniˇcki oblik jer je jednak nuli njezin integral (slika 5.8 a). Vrijednost I m je maksimalna , vršna ili tjemena vrijednost koju struja poprima u odredenom trenutku (T /4, 3T /4 itd), a ω kružnu frekvenciju. ¯ Srednja vrijednost struje zadržava isti iznos ako je vremenski interval u kojem se odreduje ¯ višekratnik perioda T . Na isti naˇcin mogu se odrediti srednje vrijednosti struja i napona sliˇcnih matematiˇckih opisa. Tako npr. za struju prema slici 5.8 b), koja se javlja kod poluvalnog ispravljanja i (t ) iznosi:

i

i I SR = 0.318 I m

I SR = 0

T 4

T 2

t

T

3T 2

T 4

T 2

a)

3T 2

T

b)

S LIKA 5.8: Srednje vrijednosti struja

i = I m sin(ωt ) i = 0

T 2

za

0 < t <

za

T < t < T 2

(5.2)

a njezina srednja vrijednost u periodu ponavljanja T , jednaka je: 1 I s r = T

 0

T

1 i · d t = [ T

 0

T 2

I m · sin(ωt )

T

 +

T 2

0 · d t ] =

I m π

= 0,318I m

se usporedbom toplinskog uˇcinka Efektivna vrijednost I struje i (t ) odreduje ¯ struje i (t ) i konstantne istosmjerne struje na jednakom otporu R u istom vremenskom intervalu T . Efektivna vrijednost izmjeniˇcne struje jednakaje onoj vrijednosti konstantne istosmjerne struje I kojau otporu R za vrijeme perioda T proizvede istu koliˇcinu topline Q kao i i (t ) u istom vremenu (slika 5.9): 2

Q 1 = I · R · T = Q 2 pa slijedi:

  =

I

0

T

T

 = 0

i 2 (t ) · R · d t

i 2 (t ) · R · d t 131

t

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE Efektivna vrijednost oznaˇcuje se kao istosmjerna struja, slovom I . Kod periodiˇckog oblika i (t ) vremenski interval T mora biti period ili njegov višekratnik.

=

R

R

Q 1

Q 2 i

I Q 1 = Q 2

S LIKA 5.9: Odre ¯ divanje efektivne vrijednosti struje

Efektivna vrijednost harmoniˇcke struje:

i = I m · I m sin(ωt ) jednaka je:

 

I =

1 T

0

T

2 · sin2 (ωt ) · d t I m

Zamjenom kvadrata sinusa poznatim izrazom iz trigonometrije: 1 1 4π sin2 (ωt ) = (1 − cos(2ωt )) = (1 − cos t ) 2 2 T te integriranjem i uvrštavanjem granica integrala slijedi:

I m = 0,707 · I m I =  2 Efektivna vrijednost struje ucrtana je u slici 5.10. i I = 0.707 I m T 2

T

t

S LIKA 5.10: Izmjeniˇ cna struja i njezina efektivna vrijednost

Naistisenaˇcin mogu odrediti efektivne vrijednosti struja i napona sliˇcnih matematiˇckih opisa. 132

Harmoniˇcki oblik Izmjeniˇcne veliˇcine vrlo se cˇ esto izražavaju u svojim efektivnim vrijednostima, pa se u njima najˇcešće oznaˇcavaju i skale instrumenata namijenjenih mjerenju struja i napona.

5.1.3 F AZ A I RA ZL IK A FAZ A Pojmovi faza i razlika faza javljaju se kod harmoniˇckih oblika. Fazom ili faznim kutom naziva se kut u matematiˇckom izrazu harmoniˇcke izmjeniˇcne veliˇcine. Tako je u izrazu za napon:

v = V m · sin(ωt ) to kut ωt , a u izrazu za struju:

i = I m · sin(ωt − ϕ) kut (ωt − ϕ). Razlikom faza ili faznim pomakom naziva se razlika kutova dviju izmjeniˇcnih veliˇcina. Može se sliˇcno kao i faza izražavati u radijanima ili stupnjevima. Za gore navedene napon i struju fazni pomak je: ωt (ωt ϕ)

− =ϕ

−

Istofazne su veliˇcine s ϕ = 0, a protufazne s faznim pomakom π. Razlici faza ϕ pripada vremenski pomak najbližih istovrsnih toˇcaka (primjerice prolaz kroz nulu s pozitivnom derivacijom ili pozitivno tjeme):

= ϕω

∆t

Za odnos u pomaku kaže se da prethodi ona veliˇcina koja pri manjim iznosima kuta ili vremena prolazi kroz istovrsnu toˇcku. Veliˇcina koja ima veći kut ili vrijeme u takvoj toˇcki usporedivanja zaostaje. ¯ Razlika faza može odredivati i odnos izmedu ¯ ¯ dvaju napona ili dviju struja. Zornija predodžba faze i razlike faza dobije se prikazom izmjeniˇcnih veliˇcina u vremenskom dijagramu, pri cˇemu se na vremensku os mogu nanositi vrijednosti ili vremena ili faze. Ako za vrijeme trajanja perioda vrijeme t raste od 0 do T , faza ωt rast cé linearno s vremenom od 0 do 2 π postižući u vremenima T , 2T , 3T , . . . vrijednosti 2π , 4π, 6π, .. . Uz izbor bilo kojeg referentnog trenutka napon v = V m sin(ωt ) (slika 5.11 a) i struja i = I 1m sin(ωt − ϕ1 ) dali bi grafiˇcki prikaz na slici 5.11 b) Struja i 1 nema vri jednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku t = 0,kao što to ima napon, nego kada je njezina faza jednaka nuli (ωt − ϕ1 ) = 0, pa je ωt = ϕ1 . Izmedu ¯ napona v i struje i 1 postoji razlika faza ϕ1 , a struja zaostaje za naponom za fazni kut ϕ1 , odnosno za vremenski pomak: ∆t 1

= ϕω1 133


V , i

V , i

V i 1

T 2

T 2π

π

T 2

ωt

π

T 2π

ωt

T 2π

ωt

∆t 1

ϕ1

a)

V , i

b)

V , i

V i 2 T 2

T 2π

π

V i 3 T 2

ωt

π

∆t 2

ϕ2

c)

d)

S LIKA 5.11: Fazni pomaci napona i struje

Za neku drugu struju, na primjer i 2 = I 2m sin(ωt + ϕ2 ), faza c´ e biti ω t + ϕ2 ), a fazni pomak prema naponu ϕ 2 . Struja i 2 prethodi naponu za fazni kut ϕ 2, a ima vrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku kada je njezina faza jednaka nuli ωt +ϕ2 ) = 0,paje ωt =−ϕ2 (slika 5.11 c). Strujaprethodi naponu za ∆t 2 = ϕ2 /ω . Struja i 3 = I 3m sin(ωt ) i napon 5.11 imaju istu fazu i medu ¯ njima je fazni pomak jednak nuli.

ˇ ˇ ˇ I ZMJENI CNIH VELI CINA 5.2 P REDO CIVANJE Izmjeniˇcne veliˇcine do sada su prikazivane ili algebarskim izrazima ili vremenskim dijagramima. Radi jednostavnijeg raˇcunanja, crtanja i tumaˇcenja odnosa u stru134

Predoˇcivanje izmjeniˇcnih veliˇcina jnim krugovima one se mogu prikazivati i rotirajućim dužinama, a s njima se može raˇcunati i u Gauss-ovoj ravnini. Ove metode prikazivanja i raˇcunanja nazivaju se simboliˇ ckim metodama .

´ DUŽINAMA I VEKTORIMA 5.2.1 P RIKAZIVANJE ROTIRAJU CIM

Prikazivanje izmjeniˇcnih veliˇcinarotirajućim dužinamazasniva se na grafiˇckojkonstrukciji sinusoide pomoću dužinekoja rotira jednoliˇcnomkutnombrzinomizpoˇcetnog horizontalnog položaja. Tako se na primjer sinusoida napona v = V m sin(ωt ) može dobiti projekcijom rotirajuće dužine V m , kutne brzine ω = 2π · f , na vertikalnu os (slika 5.12).

y ω

V , I

I (α) α

x

ωt α

S LIKA 5.12: Dobivanje sinusoide pomo´ cu rotiraju´ ce dužine

Projekcija rotirajuće dužine V m na vertikalnu os za bilo koji kut α = ωt jednaka je trenutnoj vrijednosti napona v = V m sin(ωt ). Kada rotirajuća dužina opiše puni kut α = 2π, sinusoida opiše puni titraj. Prikazsinusoida napona v = V m sin(ωt ) istruje i = I m sin(ωt −ϕ) odgovarajućim rotirajućim dužinama daje slika 5.13. Obje rotiraju istom kutnom brzinom jer su istih frekvencija, a razlika faza ϕ oˇcituje se kao geometrijski kut. Dužine su prikazane u položaju koji zauzimaju u trenutku t 1 . Izbor tog trenutka je slobodan, ali se u praksi najˇcešće poklapa s prolazom kroz nulu ili π/2 veliˇcine koja se smatra referentnom. Prikazivanjeistofrekvencijskihizmjeniˇcnihveliˇcina rotirajućim dužinama omogućava jednostavnije raˇcunanje s njima, jer se grafiˇcko zbrajanje i oduzimanje rotirajućih dužina može izvesti na isti naˇcin kao zbrajanje i oduzimanje planarnih vektora. To opravdava postupak da se rotirajuće dužine zamijene mirujućim vektorima, cˇ ije dužine odgovaraju efektivnim vrijednostima prikazanih veliˇcina, a razlika faza oˇcituje se kao kut medu ¯ njima. Uobiˇcajenoje da se pri crtanju više vektora jedan uzima kao referentni i postavlja u pozitivni smjer osi apscisa ili ordinata, a ostali se, s odgovarajućim faznim po135


y

V , i

V i

ω ϕ

x

ωt ϕ

S LIKA 5.13: Prikaz sinusoida rotiraju´ cim dužinama

macima, crtaju prema njemu. Oni s pozitivnim kutovima prema referentnome prethode mu, a oni s negativnim zaostaju.

y ω

V , I α

t = 0 α0

x

α0

α

ωt

S LIKA 5.14: Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu

Vektor koji predstavlja napon, odnosno struju, rotira u koordinatnom sustavu (sl. 5.14) stalnom kutnom brzinom ω , pa kut vektora α stalno raste s vremenom. Ako je poˇcetna vrijednost kuta α = 0 za t = 0, kut je α = ωt . Projekcija vektora na os y mijenja se u vremenu po sinusnoj funkciji:

Y ( A ) = A · sin(ωt ) - uspravna koordinata vektora Y ( A ) - vektor koji rotira A Vektor može zapoˇceti vrtnju iz poˇcetnog položaja α = 0 ili iz bilo kojeg drugog položaja odredenog nekim poˇcetnim kutem α0 (sl. 5.14 b). U tom drugom sluˇcaju ¯ vremenska promjena kuta vektora α izražena je jednadžbom: α

136

= (ωt + α0 )

Predoˇcivanje izmjeniˇcnih veliˇcina pa vremenska promjena uspravne koordinate vektora ima oblik opće sinusne funkcije:

Y ( A ) = A · sin(ωt + α0 ) Sinusoida se na ovaj naˇcin može predstaviti rotirajućim vektorom, pri cˇ emu je duljina vektora jednaka vršnoj vrijednosti sinusoide, kutna brzina vrtnje vektora jednaka je kružnoj frekvenciji sinusoide, a poˇcetni kut vektora jednak je poˇcetnom kutu sinusoide. Vektori izmjeniˇcnih veliˇcina mogu se nacrtati tako da se napon V uzme kao referentna veliˇc ina i postavi u pozitivni smjer osi apscisa,a struje se crtaju pomaknute prema njemu (slika 5.14).

I 2 ϕ2 ϕ1

V I 3

I 1 S LIKA 5.15: Vektorski prikaz napona i struja

Dužine tih vektora odgovaraju, u odre denom mjerilu, tjemenim, a posredno i ¯ efektivnim vrijednostima prikazanih veliˇcina, a kutovi ϕ 1 i ϕ 2 faznim pomacima prema naponu kao referentnoj veliˇcini. Vektor I 2 prethodi naponu za kut ϕ2 , vektor I 3 je s njime u fazi, a vektor I 1 zaostaje za njim za kut ϕ1 . Trebaju li se zbrojiti dvije izmjeniˇcne veliˇcine, npr. struje I 1 i I 2 iz slike 5.16, ˇcije su trenutne vrijednosti:

i 1 = I 1m · sin(ωt − ϕ1 ) i

i 2 = I 2m · sin(ωt − ϕ2 ) može se to naˇciniti grafiˇcki (slika 5.16). Rezultat je novi vektor I koji predstavlja efektivnu vrijednost zbroja struja i = i 1 + i 2 . Njegova faza ϕ je kut koji on zatvara s vektorom napona, pa je:

i = i 1 + i 2 = I m · sin(ωt − ϕ) Izmjeniˇcne veliˇcine nemaju svojstva vektora i nisu vektori, pa njihov vektorski prikaz ima simboliˇcko znaˇcenje i služi samo za grafiˇcko predoˇcavanje i jednostavnije grafiˇcke operacije zbrajanja i oduzimanja. Pritom se zbrajati i oduzimati mogu samo iste fizikalne veliˇcine. 137


I 2 ϕ2 ϕ1

V ϕ

I I 1

S LIKA 5.16: Zbroj dviju struja

5.2 .2 F AZ NI PO MA K U VE KTOR SKO M PR IK AZ U Poˇcetni kut sinusode α0 , koji pokazuje pomak nultoˇcke sinusoide od ishodišta, odreden ¯ je vremenom t 0 za koje je nultoˇcka sinusoide pomaknuta od trenutka t = 0, tako da vrijedi α0 = t 0 (slika 5.17). Ovaj pomak sinusoide od ishodišta naziva se još i fazni pomak .

y

V , i V m V m

α0

t 0 x

α0

ωt

−V m S LIKA 5.17: Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu

U vektorskom prikazu fazni pomak odreden ¯ je poˇcetnim kutem koji vektor sinusne veliˇcine zatvara s pozitivnim dijelom osi x . Pozitivni poˇcetni kut pokazuje pomak nultoˇcke sinusne funkcije ulijevo od ishodišta, što vremenski znaˇci prethodenje ¯ nultoˇcke trenutku t = 0. Negativni poˇcetni kut pokazuje pomak nultoˇcke sinusne funkcije udesno od ishodišta,a vremenski oznaˇcavakašnjenjenultoˇcke iza trenutka t = 0. U vektorskom prikazu pozitivni fazni pomak (pretho ¯ denje ) znaˇci zakret vektora od osi +x u smjeru suprotnom okretanju kazaljki sata, dok negativni fazni pomak (kašnjenje ) znaˇci zakret vektora u suprotnom smjeru. Fazni pomak može se odrediti samo izmedu ¯ harmonijskih veliˇcina jednakih frekvencija. Fazni pomak izmedu ¯ dviju sinusoida jednak je razlici njihovih poˇcet138

Jednostavni krug izmjeniˇcne struje nih kuteva. U vektorskom prikazu fazni pomak jednak je kutu izmedu ¯ vektora dviju veliˇcina. Kao fazni pomak uzima se manji (nutarnji) kut.

ˇ STRUJE 5.3 J EDNOSTAVNI KRUG IZMJENI CNE U istosmjernim krugovima konstantnih struja odnose izmedustrujainaponaodre¯ di¯ vali su Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni. Kod prijelaznih pojava Kirchhoff-ovi zakoni su vrijedili i dalje, dok je Ohm-ov zakon ostao mjerodavan samo za trenutne iznose struja i napona na otporu R , ali ne i na induktivitetu L i kapacitetu C . Sliˇcno vrijedi i kod izmjeniˇcnih struja. Prijelazne pojave iskazivane su trenutnim vrijednostima napona i struja. Isti tretman mora vrijediti i kod harmoniˇckih oblika. I tu moraju vrijediti oba Kirchhoff-ova zakona, a Ohm-ov samo za odnose na otporu R . Kako je s trenutnimvrijednostima teško i analitiˇc kiigrafiˇcki manipulirati, pogodnije je to cˇ initi s efektivnim, jer se na njih mogu primijeniti ranije navedeni naˇcini izražavanja i raˇcunanja. Postavlja se pitanje kako se kod efektivnih veliˇcina mogu primijeniti Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni, ako su one fazno pomaknute. Najprije se to može pogledati na pojedinim elementima, a zatim dobivene odnose primijeniti u složenim stru jnim krugovima.

ˇ STRUJE 5.3.1 OTPOR U KRUGU IZMJENI CNE

Kao i u krugu istosmjerne struje, tako su i u krugu izmjeniˇcne struje, struja i napon na otporu povezani preko Ohm-ovog zakona (2.9).

i V

+

V R

R

− S LIKA 5.18: Radni otpor u strujnom krugu

Trenutna vrijednost napona v (t ) na otporu R , kroz koji teˇce izmjeniˇcna struja oblika:

i (t ) = I m · sin(ωt ) jednaka je u svakom trenutku umnošku otpora i trenutne vrijednosti struje:

v (t ) = R · i (t ) = R · I m · sin(ωt ) 139

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE To znaˇci da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kad i sinusoida struje, tj. izmedu ¯ struje i napona na otporu nema faznog pomaka: na otporu su struja i napon u fazi .

V

V R i R ϕ π

2π

=0

i R V R

ωt

S LIKA 5.19: Napon i struja kroz radni otpor R

U grafiˇckom prikazu odredenog mjerila, sinusoide struje i napona na otporu ¯ razlikuju se samo po vršnoj ili tjemenoj vrijednosti, pri ˇcemu je vršna vrijednost napona jednaka umnošku otpora i vršne vrijednosti struje:

V m = R · I m Omjer vršnih (a time i efektivnih) vrijednosti vrijednosti napona i struje jednak je otporu R :

V m V = = R I m I ˇ ET U KRUG U IZ MJ EN I CNE STRUJE 5.3 .2 K APACIT

Dovede li se na kondenzator kapaciteta C izmjeniˇcni napon, zbog stalne promjene polariteta napona, kondenzator se naizmjence nabija i izbija. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.20 mora vrijediti:

i = i C

i

v = v C

pri cˇ emu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu zakonu. Iz odnosa koji vrijede za kondenzator, gdje je:

dQ = C · d v C

i

slijedi struja kondenzatora:

i C = C · 140

d v C d t

i C =

d q d t

Jednostavni krug izmjeniˇcne struje

i

+

V

V C

C

− S LIKA 5.20: Kapacitet u strujnom krugu

Uz v = v C = V m · si n (ωt ), trenutna vrijednost struje kroz kondenzator kapaciteta C slijedi iz:

i C = C ·

d (V m · sin(ωt )) d t

i iznosi:

i C = V m · ω · C · cos(ωt ) = I C m · sin(ωt + π/2)

(5.3)

Iz gornjeg izraza (5.3) vidljivo je da je vršna vrijednos I C m jednaka:

I C m = V m · ω · C

(5.4)

a prema (5.4) to vrijedi i za efektivne vrijednosti:

V (5.5) 1 ω · C Ovarelacija izražava Ohm-ovzakon za efektivnevrijednosti harmoniˇckih napona i struja na kondenzatoru kapaciteta C, a njezin se nazivnik naziva kapacitivni jalovi otpor i oznaˇcava se s X C . Uz: I C = V · ω · C =

X C =

1 1 = ω · C 2π · f · C

[Ω]

izraz (5.5) može se pisati kao:

I C =

V X C

što ukazuje da na kondenzatoru postoji cvrst ˇ odnos izmedu ¯ efektivnih vrijednosti napona i struje ovisan o kapacitetu C i frekvenciji f . Za strujnu frekvenciju ω = 0 (istosmjerna struja) kapacitet predstavlja beskonaˇcni otpor. S porastom frekvencije kapacitivni se otpor smanjuje jer je obrnuto razmjeran frekvenciji. Kod nabijanja kondenzatora struja kondenzatora je najveća u trenutku kad je napon kondenzatora jednak nuli (kondenzator prazan), a jednaka je nuli kad je napon najveći (kondenzator nabijen). Sliˇcno tomu i sinusoida struje kroz kapacitet ima maksimum kad je sinusoida napona na nuli, a jednaka je nuli kad sinusoida 141


V , i

V C i C i C ϕ

− π2

π

2

π

2π

3π 2

ωt

= 90o

V C

S LIKA 5.21: Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C

napona ima maksimum. Ovakav odnos sinusoida ukazuje na njihov fazni pomak koji se može prikazati i vektorski. Struja i napon na kapacitetu nisu u fazi, nego su fazno pomaknuti za kut ϕ = π/2 = 900 , što znaˇci da struja na kapacitetu prethodi naponu za 900 . ˇ STRUJE 5.3 .3 I NDUKTIVITET U KRUGU IZMJENI CNE

Teˇce li kroz svitak induktiviteta L izmjeniˇcna struja, zbog njenog vremenskog mi jenjanja na induktivitetu se javlja napon samoindukcije. Ako se na izvor izmjeniˇcnog napona v = V m · sin(ωt ) prikljuˇci samo zavojnica induktiviteta L zanemarivog radnog otpora R , energija koju daje izvor pretvara se u njoj u magnetsku. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.22 mora vrijediti :

i = i L

i

v = v L

pri cˇ emu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu zakonu.

i V

+

V L

L

− S LIKA 5.22: Induktivitet u strujnom krugu

Iz zakona o samoindukciji (3.31)): 142

Jednostavni krug izmjeniˇcne struje

di e = −L d t slijedi odnos izmedu ¯ napona i struje na induktivitetu: di v L = −e = L d t pa je:

di v L = L L d t odnosno: 1 · v L · d t L Uz v = V m · sin(ωt ) slijedi trenutna vrijednost struje kroz zavojnicu induktiviteta

di L =

L :

1 π V V m · sin(ωt ) · d t = m (− cos(ωt )) = I Lm · sin(ωt − ) 2 ω · L L Ono što vrijedi za tjemene vrijednosti:

i L

 = ·

I Lm = vrijedi i za efektivne:

V m ω · L

V ω · L Kako ovaj izraz s efektivnim vrijednostima napona i struje strukturom podsjeća na Ohm-ov zakon, umnožak ω L mora imati jedinicu koja vrijedi i za otpore (Ω = V / A ), oznaˇcava se s X L i naziva se induktivni jalovi otpor . Uz: I L =

X L = ω · L = 2π · f · L

[Ω]

je:

I L =

V X L

što ukazuje da na zavojnici induktiviteta L pri frekvenciji f postoji cˇ vrst odnos izmedu ¯ efektivnih vrijednosti napona i struje. Struja i L = I Lm · sin(ωt − π/2) zaostaje za naponom v = V m · sin(ωt ) za kut π/2 (slika 5.23). Za frekvenciju jednaku nuli i induktivni otpor jednak je nuli, što znaˇci da za istosmjernu struju induktivitet predstavlja kratki spoj. S porastom frekvencije raste i induktivni otpor X L , tj. induktivni otpor je razmjeran frekvenciji. Porast induktivnog otpora može se pojasniti s pomoću svojstva svitka da se opire promjeni struje (koja znaˇci promjenu energije magnetskog polja svitka). S 143


V , i

V L i L

V L ϕ

π

2

π

3π 2

2π

ωt

i L

= −90o

S LIKA 5.23: Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L

porastom frekvencije raste brzina promjene struje (a toj promjeni se induktivitet opire), pa se stoga povećava (induktivni) otpor svitka. Napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene struje u vremenu ( ∆i /∆t ), koja je odredena strminom sinusoide. Strmina sinusoide struje najveća je u cˇ asu ¯ kad je struja jednaka nuli. U tom cˇ asu inducirani napon ima najveć i iznos. U trenutku kada struja dosegne najveći iznos, tada prestaje rasti i u tom cˇ asu je inducirani napon jednak nuli. Sliˇcnokao kod kapaciteta, izmedu ¯ struje i napona postojifazni pomak ϕ = π/2 = 0 90 . Za razliku od kapaciteta, na induktivitetu napon prethodi struji za 900 .

ˇ STRUJE 5.4 S POJEVI R, L I C U KRUGU IZMJENI CNE Elementi obradeni u jednostavnim strujnim krugovima mogu u složenim krugov¯ ima biti spojeni serijski, paralelno i mješovito. Na svakom elementu vr ijede upravo izvedeni odnosiizmedu ¯ napona i struje,a odnos izmedu ¯ napona i struje izvora ovisi o broju i naˇcinu spajanja elemenata u složenom spoju. Ako izvor napona trenutne vrijednosti v i efektivne V napaja složeni strujni krug, teˇce iz njega struja trenutnog iznosa i i efektivnog I . Fazni pomak medu ¯ njima ovisi o karakteru složenog strujnog kruga. Za vremenski nepromjenjive parametre u krugu efektivni iznosi napona V i struje I moraju biti razmjerni:

V = I · Z

(5.6)

Ovaj izraz ima strukturu Ohm-ova zakona, pa se Z izražava u Ω i predstavlja ’ekvivalentni otpor ’ složenog strujnog kruga, a naziva se prividni otpor ili impedancija . Njegov iznos odreduje ¯ se iz iznosa pojedinih radnih i jalovih otpora ovisno o naˇcinu njihova spajanja. Reciproˇcna vrijednost prividnog otpora je vodljiva vrijednost ili admitancija : 144

Spojevi R, L i C u krugu izmjeniˇcne struje

1 1 [ ] Z Ω s kojom se može jednostavnije raˇcunati kod paralelnih i mješovitih spojeva.

Y [S ] =

5.4.1 S ERIJSKI RL - KRUG

+

V R R

+

−

V L L , X L

− I

+

− V

S LIKA 5.24: Serijski RL-krug

Kodserijskog spoja (slika5.24) raznih vrstaotpora (ovdje su to radni otpor R i induktivni otpor X L ),naponi su medusobno pomaknuti u fazi, pa se ne može jednos¯ tavno zbrojiti njihove efektivne vrijednosti, nego treba uzeti u obzir i njihov fazni pomak. U tu svrhu se crta vektorski prikaz napona (vektorski dijagram), i naponi se zbrajaju vektorski. Vektorski dijagram (slika 5.25) zapoˇcinje se crtati sa zajedniˇckom veliˇcinom, a to je u serijskom spoju struja. Vektor struje I uzima se s poˇcetnim kutem 0, pa se prema njemu postavljaju vektori napona na induktivitetu V L i napona na otporu V R .

V L

V ϕ2

I V R

S LIKA 5.25: Vektorski dijagram serijskog RL-kruga

Naponna otporu V R ufazijesastrujom I , dok napon na induktivitetu V L prethodi struji za 900 . Vektor napona izvora V jednak je vektorskom zbroju napona na otporu V R i induktivitetu V L . Ova tri napona cˇ ine pravokutni trokut, pa vrijedi:

V 2 = V R 2 + V L 2

Kut napona V prema struji je pozitivan, tj. ukupni napon prethodi struji za neki kut ϕ (0 < ϕ < 900 ). 145

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE Dijeljenjem svake stranice trokuta napona (slika5.26 a) s I , dobivase sliˇcan pravokutni trokut s katetama jednakim radnom otporu R i induktivnom otporu X L . On se naziva trokut otpora (slika 5.26 b).

Z = V I V

V L

X L = V I L

ϕ

ϕ

V R

R = V I R

a)

b) S LIKA 5.26: Trokuti napona i otpora

Hipotenuza ovog trokuta jednaka je omjeru ukupnog napona V i struje I spo jašto je jednako impedanciji Z iz izraza (5.6). Hipotenuza trokuta izražena njegovim katetama jednaka je:

Z 2 = R 2 + X L 2

Kut ϕ (izmedu ¯ R i Z ) naziva se kut impedancije i identiˇcan je kutu izmedu ¯ napona V R i V .

5.4 .2 S ERIJSKI RC - KRUG

+

V R R

V C

+ −

−

C , X C

+

I

− V

S LIKA 5.27: Serijski RC-krug

U vektorskom dijagramu za serijski RC-spoj vektor struje I uzima se referentnim (s poˇcetnim kutem 00 ). Napon na otporu V R u fazi je sa strujom, a napon na kapacitetu V C zaostaje u fazi iza struje za 900 . Vektorski zbroj napona na otporu V R i napona na kapacitetu V C daje napon izvora V . Ovi naponi cˇ ine pravokutni trokut iz kojeg proizlazi da je: 146


V 2 = V R 2 + V C 2 Ovdje je kut napona V prema struji negativan (slika 5.28 a), tj. napon V zaostaje iza struje za kut ϕ(−900 < ϕ < 00 ).

V R

R

ϕ

ϕ

V C

V

X C Z

a)

b) S LIKA 5.28: Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga

U trokutu otpora (5.28 b), dobivenom iz trokuta napona, zbog negativnog kuta ϕ kapacitivni otpor X C je ispod radnog otpora R (nasuprot induktivnog otpora X L u trokutu otpora RL -kruga). Prividni, radni i reaktivni (kapacitivni) otpor povezani su i ovdje Pitagorinim pouˇckom:

Z 2 = R 2 + X C 2

5.4.3 S ERIJSKI RLC - KRUG

+

V R R

−

+

V L L , X L

+

−

V C

+ − C , X C

I

− V

S LIKA 5.29: Serijski RLC-krug

U serijskom RLC -krugu uz radni otpor R su induktivni otpor X L i kapacitivni otpor X C (slika 5.29). U vektorskom dijagramu (slika 5.30), vektor napona na otporu V R u fazi je s vektorom struje I , koja se uzima kao referentna (s poˇcetnim kutem 00 ). Napon na 147

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE induktivitetu V L prethodistruji za 900 ,anaponnakapacitetu V C istodobnozaostaje za strujom za 900 , pa je kut izmedu ¯ ovih napona 1800 . U serijskom spoju, vektori napona na induktivitetu i kapacitetu suprotnog su smjera. To znaˇci da su ovi naponi u svakom cˇasu suprotnih polariteta (kaže se da su naponi u protufazi ).

V L V C V

|V L |−|V C |

ϕ

I V R

V C S LIKA 5.30: Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga

Napon na serijskom spoju induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednak razlici napona V L i V C , a ima smjer većeg od ovih napona. Kad je V L = V C , tada je napon na LC - spoju jednak nuli i sav napon izvora je na otporu R . U tom sluˇcaju kažemo da je u serijskom RLC - krugu došlo do rezonancije . Vektor ukupnog napona V jest vektorski zbroj napona na otporu, induktivitetu i kapacitetu. U sluˇcaju prikazanom na slici 5.30 napon V L veći je od napona V C , pa ukupni napon V prethodi struji za kut ϕ. U sluˇcaju kad je V C ve c´ i od V L tad ukupni napon zaostaje u fazi iza struje (ϕ < 00 ). U rezonanciji napon V je u fazi sa strujom (ϕ = 0). Iz trokuta napona proizlazi jednadžba:

V 2 = V R 2 + (V L − V C )2 Dijeljenjem ove jednadžbe s I dobiva se izraz

V V R V L V C ( )2 = ( )2 + ( − )2 I I I I 2 2 2 2 Z = R + ( X L − X C ) = R + X 2

(5.7)

Ova jednadžba opisuje trokut otpora (slika 5.31) gdje je ukupni jalovi, reaktivni otpor X jednak razlici induktivnog i kapacitivnog otpora (X = X L − X C ).

Z

X = X L − X C

ϕ

R S LIKA 5.31: Trokut otpora serijskog RLC-kruga

148

Spojevi R, L i C u krugu izmjeniˇcne struje U rezonanciji je ukupni jalovi otpor X jednak nuli, pa je prividni otpor jednak radnom ( Z = R ).

5.4.4 P AR AL EL NI RL - KRUG

+

V

I R R

I L L , X L

G

B L

− S LIKA 5.32: Paralelni RL-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i induktiviteta L (slika 5.32), napon je isti na oba elementa, a ukupna struja je zbroj struja pojedinih elemenata. Pri zbrajanju treba uzeti u obzir fazni pomak izmedu ¯ struja. U vektorskom prikazu vektor napona V (slika 5.33 a), zajedniˇcki za oba elementa, uzima se kao referentan i crta s kutem jednakim nuli. Struja kroz otpor I R u fazi je s naponom, a struja kroz induktivitet I L zaostaje za naponom za 900 . Vektor struje I je zbroj vektora struja I R i I L . Ova tri vektora cˇine pravokutan trokut gdje je: 2 + I L 2 I 2 = I R

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V , dobiva se sliˇcan pravokutni trokut, cˇ ije su katete jednake reciproˇcnim vrijednostima radnog i induktivnog ot1 (radna pora, tj. vodljivostima elemenata. Ove vodljivosti oznaˇcuju se s G = I V R = R vodljivost ) i B L = I V L = X 1L = ω1·L (induktivna vodljivost ), a taj trokut naziva se trokut vodljivosti (slika 5.33).

V ϕY

I L

G = I V R

I R ϕY

I

I L Y = V I

a)

B L = I V L

b) S LIKA 5.33: Dijagrami paralelnog RL-kruga

149

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE Hipotenuza ovog trokuta, jednaka omjeru ukupne struje i napona ( I /V ) naziva se prividna vodljivost (ili admitancija ) i oznaˇcava s Y . Pritom vrijedi:

Y 2 = G 2 + B L 2 Admitancija Y je vodljivost cijelog spoja i jednaka je reciproˇcnoj vrijednosti impedancije Z paralelnog RL -spoja (Y = 1/Z ). Kut ukupne struje I prema naponu V naziva se kut admitancije i oznaˇc uje s ϕY . On je po iznosu jednak, a predznakom suprotan kutu impedancije: ϕY

= −ϕ

Ukupna struja I ovdje zaostaje iza napona, pa je kut admitancije negativan (−900 < ϕY < 00 ). To znaˇci da je kut impedancije ϕ pozitivan, što znaˇci da napon V prethodi struji I (to je opće svojstvo induktivnog spoja).

5.4 .5 P AR AL EL NI RC - KRUG

V

+

I R R

G C , X C

I C B C

− S LIKA 5.34: Paralelni RC-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i kapaciteta C (sl. 5.34), napon V isti je na oba elementa. Struja kroz otpor I R u fazi je s naponom V , a struja kroz kapacitet I C prethodi naponu za 900 . Vektor struje I je zbroj vektora struja I R i I C . Ova tri vektora cˇ ine pravokutni trokut (slika 5.35 a), gdje je: 2 + I C 2 I 2 = I R

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V dobiva se sliˇcan trokut nazvan trokut vodljivosti (slika 5.35 b). Katete ovog trokuta jednake su radnoj vodljivosti I C 1 ) i kapacitivnoj vodljivosti (B 1 G (G = I V R = R C = V = X C = ω · C ), a hipotenuza je jednaka prividnoj vodljivosti spoja Y , gdje je 2 Y 2 = G 2 + B C

Ukupna struja I ovdje prethodi naponu V , pa je kut admitancije pozitivan (00 < ϕY < 900 ). To znaˇci da je kut impedancije ϕ negativan, što znaˇci da napon zaostaje za strujom (to je opće svojstvo kapacitivnog spoja). 150


Y = V I I

I C

B C = I V C

I C ϕY

ϕY

I R

V

G = I V R

a)

b) S LIKA 5.35: Dijagrami paralelnog RL-kruga

5.4.6 P AR AL EL NI RLC - KRUG

V

+

I R R

G

I L L , X L

B L C , X C

I C B C

− S LIKA 5.36: Paralelni RLC-krug

U paralelnom R LC -krugu (slika 5.36) uz radni otpor R paralelno su spojena i oba tipa jalovih otpora, induktivni otpor X L i kapacitivni otpor X C . U vektorskom dijagramu (slika 5.37 a), vektor struje kroz otpor I R u fazi je s vektorom napona V , koji se uzima kao referentan (s poˇcetnim kutem 00 ). Struja kroz induktivitet I L prethodi naponu za 90 0 , dok struja kroz kapacitet I C zaostaje iza napona za 900 , pa je kut izmedu ¯ ovih struja 1800 . U paralelnom spoju, vektori struja kroz induktivitet i kapacitet suprotnog su smjera. Strujaparalelnog spoja induktiviteta i kapaciteta iznosomje jednaka razlicistruja I C i I L , a ima smjer veće od tih struja. Kad je I C = I L , tad je ukupna struja LC -spoja jednaka nuli i sva struja izvora teˇce kroz otpor R . Tada se kaže da je nastupila rezonancija . Vektor ukupne struje I jednak je vektorskom zbroju struja kroz otpor, induktivitet i kapacitet. U sluˇcaju prikazanom na slici 5.37 struja I C veća je od struje I L , pa ukupna struja I prethodi naponu V za kut ϕ Y . U sluˇcaju kad je I L ve c´ a od I C tada ukupna struja zaostaje u fazi za naponom ( ϕY < 00 ). U rezonanciji struja I je u fazi s naponom (ϕY = 00 ). Iznosi struja medusobno su povezani jednadžbom: ¯ 2 I 2 = I R + (I C − I L )2

151


I C I L

Y = V I

I

|I C |−|I L |

ϕY

B

ϕY

V

G = I V R

I R I L

−I L = B − B B = I C V C L a)

b)

S LIKA 5.37: Dijagrami paralelnog RLC-kruga

Dijeljenjem ove jednadžbe sa V dobiva se izraz:

I I R I C I L ( ) 2 = ( )2 + ( − )2 V V V V 2 2 Y = G + (B C − B L )2 Ovaj izraz opisuje trokut vodljivosti (slika 5.37 b). Ukupna reaktivna vodljivost B jednaka je razlici kapacitivne i induktivne vodljivosti ( B = B C − B L ). U rezonanciji je ukupna reaktivna vodljivost B = 0 (otpor paralelnog spoja L i C je beskonaˇcan), pa je prividna vodljivost jednaka radnoj (Y = G ).

5.5 R EZONANCIJA Rezonancija je pojava koja se javlja u strujnom krugu kada je induktivni jalovi otpor jednak kapacitivnom: X L = X C Ako su ovi otpori spojeni u seriju rezonancija se naziva serijskom ili naponskom , a ako su spojeni paralelno naziva se paralelnom ili strujnom . Za prividni otpor u serijskom RLC spoju vrijedi:

 = +

Z

R 2 ( X L − X C )2

pa je pri rezonanciji uz X L = X C on minimalan i jednak radnom:

Z = R Struja izvora je maksimalna, jer je ovisna samo o radnom otporu: 152

Rezonancija

V V = Z R i u fazi je s naponom. Jednake su i efektivne vrijednosti napona na zavojnici i kondenzatoru: I =

V L = V C jer je: i

V L = X L · I

V C = X C · I

a medu ¯ njima je fazni pomak π. Kako je pri serijskoj rezonanciji struja izvora maksimalna, naponi na zavojnici i kondenzatoru mogu biti znatno već i od napona izvora, što može dovesti do njihova proboja i oštećenja. Za prividni otpor u paralelnom RLC spoju vrijedi:

Z =

1



1 )2 ( 1 ( R + X L − X 1C )2

pa je pri rezonanciji uz X L = X C on maksimalan i jednak radnom:

Z = R Struja izvora je stoga minimalna i jednaka:

I =

V V = Z R

i u fazi je s naponom. Jednake su i efektivne vrijednosti struja kroz zavojnicu i kondenzator:

I L = I C jer je:

I L =

V X L

i

I C =

V X C

a medu ¯ njima je fazni pomak π. Kako je pri paralelnoj rezonanciji struja izvora minimalna i jednaka struji kroz radni otpor, struje kroz zavojnicu i kondenzator mogu biti znatno veće od struje koju daje izvor, što može dovesti do njihova oštećenja i razaranja. Pri rezonanciji je X L = X C pa slijedi:

· = ω1· C

ω L

iz ˇcega proizlazi:

153


ω

=  1 L · C

Uz povezanost frekvencije i kružne frekvencije: ω 2π

f =

slijedi da pri rezonanciji iznosi induktiviteta i kapaciteta odre duju rezonantnu ¯ ili vlastitu frekvenciju po izrazu: 1 

f =

[ Hz ] 2π · L · C To istodobno znaˇc i da c´ e rezonancija nastupiti u strujnom krugu s L i C i u sluˇcaju ako izvor struje ima frekvenciju jednaku vlastitoj frekvenciji toga kruga. Rezonancija ima široku primjenu u radio-tehnici i komunikacijama, gdje se izm jenom magnetske energije zavojnice i elektriˇcne energije kondenzatora mogu emitirati elektromagnetski valovi u okolni prostor. Oni se mogu iz okolnog prostora i primati. Strujni krugovi koji sadrže L i C te imaju tu funkciju nazivaju se antenski dene frekvencije odvija se tako da se krugovi . Prijem elektromagnetskih valova odre¯ u prijemnom antenskom krugu, podešavanjem iznosa L ili C , vlastita frekvencija strujnog kruga izjednaˇci s frekvencijom tih valova.

5.6 S NAGA I FAKTOR SNAGE Pri odredivanju snage i rada konstantne istosmjerne struje utvrdeno je da je snaga ¯ ¯ jednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, str uje i vremena:

P = V · I

i

W = P · t = V · I · t

Za izmjeniˇcnu struju harmoniˇckog oblika, s pomakom ϕ u fazi izmedu ¯ napona i struje, srednja snaga P , razvijena u vremenskom intervalu T , iznosi: 1 P = T

T

 0

1 p (t ) · d t = T

T

 0

1 v · i · d t = T

T

 0

[V · I · cos(ϕ) − V · I · cos(2ω · t − ϕ)]d t

Budući da je integral drugog dijela izraza jednak nuli, slijedi:

P = V · I · cos(ϕ) [W ] a rad se raˇcuna kao:

W = P · T = V · I · cos(ϕ) · T [ J ] Srednja snaga jednaka je umnošku efektivnih vrijednosti napona i struje i kosinusa njihova faznog pomaka. Izraz cos (ϕ) stoga se naziva faktorom snage . Kako 154

Snaga i faktor snage fazni pomak ϕ može pri trošenju energije poprimiti vrijednosti −π/2 ≤ ϕY ≤ π/2, faktor snage kreće se izmedu ¯ 1 i 0 (00 ≤ cos(ϕ) ≤ 1). Ako je fazni pomak struje prema naponu −π/2, kao na induktivitetu L srednja snaga je: π

P = V · I · co s (− ) = 0 2 Ako je fazni pomak struje prema naponu π/2, kao na kapacitetu C , srednja snaga je: π

P = V · I · co s

2

= 0

5.6.1 T ROKUT SNAGA Izraz za srednju snagu P = V · I ·cos(ϕ) navodi na predodžbu trokutas hipotenuzom V · I i katetom V · I · co s (ϕ). Druga kateta odgovarala bi umnošku V · I · sin(ϕ). Time su dobivene tri komponente snage koje grafiˇcki tvore trokut. Za svaki dio strujnog kruga koji se dade predoˇciti trokutom otpora moguće je postaviti i trokut snaga. Radnom otporu pri tom odgovara radna ili srednja snaga , jalovom jalova i prividnom prividna snaga (slika 5.38).

Z

V I

X

ϕ

V I sin ϕ

ϕ

R

V I cos ϕ

a)

b) S LIKA 5.38: Trokuti otpora i snaga

Radna energija predstavlja korisno upotrebljivu energiju u trošilu, jalova služi za izgradnju magnetskog polja u zavojnici i elektriˇcnog u kondenzatoru, a prividna je mjerodavna za dimenzioniranje izvora struje koji treba podmiriti potrebu za radnom i jalovom. Za svaku komponentu snage (energije u vremenu) koristi se uz drugu oznaku i druga mjerna jedinica, pa je: • radna ili srednja snaga • jalova snaga • prividna snaga

P = V · I · cos(ϕ) [W ]

P Q = V · I · sin(ϕ) [V Ar ] P S = V · I [V A ] 155

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE Jedinica V Ar cˇ ita se ’reaktivni voltampe r’. Za medusobni odnos komponenata ¯ snage vrijedi:

P S = gdje su:

P = P S · cos(ϕ)

 +

2 P 2 P Q

i

P Q = P S · sin(ϕ)

Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos(ϕ) = 1, a radna snaga jednaka je prividnoj. Ako za neki dio strujnog kruga vrijedi da je X L > X C , onda u trokutu snaga za taj dio prevladava induktivna jalova komponenta, pa trokut snage izgleda kao na slici 5.39 a). Ako pak vrijedi da je X L < X C , onda prevladava kapacitivna jalova komponenta, pa trokut snage izgleda kao na slici 5.39 b). U prvom sluˇcaju kaže dse a je fazni pomak induktivan , a u drugom kapacitivan .

P ϕ

P S

P Q

P S

ϕ

P ϕ − induktivan

ϕ kapacitivan

a)

b)

P Q

−

S LIKA 5.39: Trokut snaga

Za složene strujne krugove trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obavlja takoda se algebarski zbroje radne i istoimenejalove (npr. induktivna i induktivnaili kapacitivna i kapacitivna) komponente, a grafiˇcki, povezivanjem njihovih vrhova, dobije se rezultantna prividna snaga. Kod raznoimenih jalovih komponenata njihovi iznosi se oduzimaju. Ako je jalova snaga P Q na slici 5.39 a) jednaka:

P Q = P QL = V L · I L onda može jalova snaga P Q na slici 5.39 b) biti jednaka:

P Q = P QC = V C · I C Ukupna jalova snaga npr. u serijskom spoju je onda:

P Q = P QL − P QC 156

Trofazni sustav

5.7 T ROFAZNI SUSTAV Ako se umjesto jednoga u statoru generatora nalaze tri medusobnoodvojena namota, ¯ onda c´ e se pri rotaciji magnetskog polja permanentnog magneta u njima inducirati naponi pomaknuti u fazi. Kako je geometrijski raspored namota kod trofaznog sustava simetriˇcan, bit c´ e simetriˇcni i inducirani naponi, jer su iznosom jednaki i medusobno jednako fazno pomaknuti za 2π/3. Trenutne vrijednosti napona tro¯ faznog sustava su:

v 1 = V m · sin(ωt ) 2π v 1 = V m · sin(ωt − ) 3 4π v 1 = V m · sin(ωt − ) 3 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz efektivnih vrijednosti napona prikazani su na slici 5.40.

V

V 1

V 2

V 3

V 1 2π 3

2π 3

4π 3

2π

2π 3

ωt

V 3

2π 3

V 2

S LIKA 5.40: Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz

Neovisno o naˇcinu spajanja kod trofaznog sustava, razlikuju se dvije vrste veliˇcina: fazne i linijske . Fazne se odnose na jednu fazu izvora ili trošila, a linijske na vodiˇce linijakoji spajaju izvor s trošilom, te na prikljuˇcke izvora i trošila. Osnovne mogućnosti spoja izvora i trošila su spoj u zvijezdu i spoj u trokut.

5.7.1 N AP ON I I ST RUJE U SP OJ U ZV IJ EZ DA Kod spoja u zvijezdu krajevi namota spajaju se u zajedniˇ cku toˇcku koja se naziva zvjezdište ili nul-toˇ cka . Vodiˇc koji izlazi iz zvjezdišta naziva se nul-vodiˇ c , a ostali krajevi namota su slobodni i služe za prikljuˇcak na mrežu. 157


V

V 1

V 2

V 3

V 1 2π 3

2π 3

ωt

2π

4π 3

2π 3

2π 3

V 3

V 2

S LIKA 5.41: Naponi i struje u spoju zvijezda

Kod spoja u zvijezdu postoji razlika izmedu ¯ faznih i linijskih napona, a kako su struje faza istovremeno struje koje teku kroz vodiˇce izmedu ¯ izvora i trošila, fazne i linijske struje su jednake, za sve tri faze. Stoga u zvijezda spoju vrijede izrazi:

I = I  f V = 3 · V f

5.7 .2 N AP ON I I ST RUJE U SP OJ U TROK UT Kod spoja u trokut spaja se kraj jednog namota s poˇcetkom susjednog, cˇime se dobiju tri spojne toˇcke.

i u

V 1 = V f I 1

I W

I U = I

i 1 Z 3

Z 1

V UV V W U

Z 2

i v i w

V V W

i 2

i 3

I 3

−I 3 I 2

V 3

V 2

I V S LIKA 5.42: Naponi i struje u spoju trokut

Fazni i linijski naponi su jednaki, jer je napon jedne faze istovremeno i napon 158

Appleti izmedudvavodiˇ ca mreže. Fazne i linijske struje medusobno se razlikuju, pa u spoju ¯ ¯ trokut vrijede izrazi:

V = V f



I = 3 · I f

5.7.3 S NAGA TROFAZNOG SUSTAVA Ukupna snaga simetriˇcnoga trofaznog sustava jednaka je zbroju snaga pojedinih faza:

P = 3 · V f · I f · cos(ϕ) [W ] Kada se naponi i struje izraze preko linijskih vrijednosti, tada je srednja snaga za spoj trokut i spoj zvijezda opisana istim izrazom:

P = 3 · V l · I l · cos(ϕ) [W ] Pored srednje (radne) snage, postoje još kao i u jednofaznom sustavu: - jalova snaga:



3 · V · I · sin(ϕ) [V Ar ] P Q = - prividna snaga:



P S = 3 · V · I [V A ]

5.8 A P PLETI ˇ ˇ ELEMENTI U KRUGU IZMJENI CNE STRUJE 5.8.1 E LEKTRI CNI

Ovaj applet prikazuje jednostavni krug izmjeniˇcne struje sa jednim elementom (otpor, kondenzator ili zavojnica). U krug su ukljuˇceni ampermetar i voltmetar koji mjere jakost struje i napon. Ispod strujnog kruga prikazane su oscilacije napona i struje, pomoću vektora (fazora) i sinusoida. Napon je prikazan plavom bojom, a struja crvenom. Pomoću prve tri mogućnosti (desni gornji kut), odabiremo osnovni element strujnog kruga (otpor, kondenzator ili zavojnica). Lijevim click-om na gumb: • RESET - krug se vraća u poˇcetni položaj, 159


S LIKA 5.43: Elektriˇ cni elementi u krugu izmjeniˇ cne struje

• START/PAUSE/RESUME - pokreće se, zaustavlja i nastavlja simulacija, • SLOW MOTION - simulacija se može usporiti pet puta. Tri tekstovna polja u koja se upisuju željene vrijednosti omogućuju promjenu frekvencije, tjemene vrijednosti ulaznog napona, te vrijenosti otpora, kapaciteta ili induktiviteta. Za zadane vrijednosti u simulaciji se može oˇcitati tjemena vrijednost struje i promatrati vremenski i vektorski V , I dijagram.

5.8 .2 S LOŽENI R, L I C STRUJNI KRUGOVI U prva dva tekstovna polja upisuje se iznos napona na izvoru (VOLTAGE) i frekvancija (FREQUENCY). Pomoću padajućeg izbornika izabire se element strujnog kruga: otpornik (resistor), kondenzator (capacitor) ili zavojnica (inductor). U iduće tekstovno polje upisuje se iznos otpora (resistance), kapaciteta (capacitance) ili induktiviteta (inductivity), ovisno o tome k oji je element odabran. Lijevim click-om miša na gumb: • REPLACE - zamjenjuje se oznaˇceni (naranˇcastim pravokutnikom) element (ili dio) strujnog kruga sa elementom koji je odabran iz padajućeg izbornika, • ADD (IN SERIES) - dodaje se odabrani element u seriju s oznaˇcenim elementom (dijelom) strujnog kruga, • ADD (IN PARALLEL) - dodaje se odabrani element u paralelu oznaˇcenom elementu (dijelu) strujnog kruga, 160

Appleti

S LIKA 5.44: Kombinacija R, L i C u krugu izmjeniˇ cne struje

• REMOVE - vraća se zadnje stanje strujnog kruga (briše se dodani element) Lijevim click-om miša oznaˇcuju se elementi u strujnom krugu, kako bi se dodavali novi ili brisali postojeći. Izborom: • VOLTAGE - prikljuˇcuje se voltmetar, koji c´ e mjeriti napon na oznaˇcenom elementu (dijelu), • AMPERAGE - prikljuˇcuje se ampermetar, koji cé mjeriti jakost struje kroz oznaˇceni element (dio) strujnog kruga. Ispod strujnog kruga mogu se oˇcitati vrijednosti napona (VOLTAGE ), jakosti struje( AMPERAGE ), impedancije (IMPEDANCE )ifaznogkuta(PHASE ANGLE ),koje se odnose na oznaˇceni (markirani) dio (ili element) strujnog kruga.

161


5.9 Z ADACI 5.1 Odredite: a) Ako je period neke pojave 2/3 sekunde, kolika je njena frekvencija, b) kolika joj je kružna frekvencija ako je pojava harmoniˇcka, c) izrazite pojavu analitiˇc ki ako joj amplituda iznosi1 volt, a u poˇcetku promatranja ima pozitivni maksimum, d) izrazite analitiˇcki napon iste amplitude i frekvencije koji onome iz c) prethodi za π/2, e) kolika je efektivna vrijednost oba napona, a kolika im je srednja vrijednost?

Rješenje: a) 1,5 Hz b) 3π rad/s

5.2

c) cos(3πt )

d) − sin(3πt )



e) v e f = 1/ 2 V , v sr = 0 V

100 · sin(200 · t ) V je analitiˇcki izražen napon. Odredite: a) kolika je efektivna vrijednost napona, b) kolika mu je frekvencija, c) koliko milisekundi mu traje period, d) izrazite analitiˇcki struju koja teˇce kroz kondenzator od 1µ F na koji je prikljuˇcen na ovaj napon.

Rješenje: a) 70,71 V

b) 31,83 Hz

c) 31,4 ms



d) 0,02 · sin(200t + π/2) A

5.3 Na napon v = 220 2sin(100 t ) V spojena je preko voda otpora 6Ω žarulja s oznakom 150 W, 220 V. Odredite: a) kolika efektivna struja teˇce kroz trošilo, b) kolika je snaga na trošilu, c) koliki je gubitak snage na vodu, d) koliki je stupanj djelovanja (korisnost) spoja, e) kolika bi struja potekla da se žarulja kratko spoji?


b) 144,86 W

c) 2,693 W

d) 0,982 e) 36,67 A

5.4 Kroz kondenzator prikljuˇcen na linijski napon mreže 220/380 V, 50 Hz te cˇ e struja 1 A. Odredite: 162

Zadaci a) kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora, b) kolika je jalova snaga na kondenzatoru, c) skicirajte vektorski dijagram napona i struje, d) nacrtajte i=f(t) i u=f(t) na istoj apscisi za vrijeme 0 t 0,04 s s potrebnim oznakama, e) koja veliˇcina prethodi.

Rješenje: a) 8,38µ F

b) 380 VAr

e) struja prethodi naponu za 900

5.5 Zavojnica s omskim otporom ima radnu snagu 40 W, a prividnu 50 VA kad je prikljuˇcena na 220 V / 50 Hz. Odredite: a) kolika struja teˇce krugom, b) koliki je omski otpor, c) koliki je induktivitet zavojnice, d) koliki je faktor snage, e) kolika je snaga ako se prikljuˇci istosmjerni napon 220 V.


b) 774,2 Ω

c) 1,849 H

d) 0,8

e) 62.5 W

5.6 Kad se realna zavojnica prikljuˇci na istosmjernih 12 V, teˇc e struja 0,2 A. Ako li se prikljuˇci na 220 V / 50 Hz, uzima struju 1,4 A. Odredite: a) koliki je induktivitet zavojnice, b) koliki je faktor snage zavojnice, c) kolika je njezina prividna snaga, d) skicirajte u približnom mjerilu trokut impedancije, e) skicirajte pripadni vektorski dijagram.

Rješenje: a) 0,4623 H

b) 0,38 s

c) 308 VA

5.7 Paralelni spoj otpora R i induktiviteta L prikljuˇc enjenanapon120V.Odredite: a) ako je I R = 15 A, I L = 8 A i f = 1 kHz koliki su R i L , b) kolike c´ e biti struje u granama ako se frekvencija poveća dvostruko, c) vektorski skicirajte odnose pri a) i b), d) da li ukupna struja prethodi ili zaostaje za naponom, 163

ˇ 5. IZMJENI CNE STRUJE e) pri kojoj frekvenciji cé struje u granama biti jednakog iznosa?

Rješenje: a) 8Ω , 2,39 mH b) I L = 4[ A ], I R = 15 A

d) zaostaje e) 533 Hz



5.8 Serijski spojomskogi  jalovog otporaprikljuˇc isenanapon v = 220 2sin(100πt ) V . Krugom teˇce struja i = 2sin(100πt − π/3) A. Odredite: a) koliku efektivnu vrijednost ima struja, b) nacrtajte elektriˇcnu shemu spoja i vektorski prikaz napona i struje, c) odredite faktor snage, d) kolike su vrijednosti elemenata, e) kolika se energija pretvara u toplinu za 1 minutu?

Rješenje: a) 1 A

c) 0,5

d) R = 4,5m Ω , L = 0,6065 H

e) 6600 J

5.9 Ukupna struja paralelnog spoja dva elementa prikljuˇc enogna220V/50Hz iznosi 10 A i zaostaje sa naponom 300 . Odredite: a) o kojim je elementima rijeˇc, skicirajte spoj, b) nacrtajte pripadni vektorski dijagram, c) izraˇcunajte impedanciju spoja, d) izraˇcunajte radnu i jalovu snagu spoja, e) koji element i kojeg iznosa treba dodatiparalelno da ukupna struja do¯ de u fazu s naponom?

Rješenje: a) otpornik, zavojnica c) 22Ω

d) 1,9 kW , 1,1 kVAr

e) kondenzator, 72,3µF

5.10 Kolike su fazna struja i snaga peći koja ima tri grijaˇca tijela od po 25Ω spojena u zvijezdu i prikljuˇcena na napon 380/220 V ? Rješenje: 8,8 A ,

164

5,81 kW

A

WEB- ADRESE APPLET- A

D ODATAK

1. Elektrostatika 1. Elektriˇcno polje naboja: http://www.falstad.com/emstatic/ 2. Kapacitetploˇcastog kondenzatora: http://micro.magnet.fsu.edu/elect romag/ java/capacitance/index.html

3. Prirodni kondenzator: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java / lightning/index.html

2. Istosmjerna struja 1. Ohmov zakon: http://www.zaz.com.br/fisicanet/simulacoes/simulacoes/ lei_de_ohm.html

2. Jednostavni strujnikrug: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Voltage/in dex. html

3. Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu: http://people.clarkson. edu/~svoboda/eta/ClickDevice/refdir.html

4. Serijski spojotpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/desig nLab/ SeriesRDesign.html

5. Paralelnispoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/des ignLab/ ParallelRDesign.html

6. Kirchhoff–ovi zakoni: http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror / ipmj/java/resist4/index.html

3. Magnetizam 1. Naboj u magnetskompolju: http://surendranath.tripod.com/Applets / Electricity/MovChgMag/MovChgMagApplet.html

2. Lorenz-ovasila http://www.walter-fendt.de/ph11e/lorentzforce.htm 165

A. WEB- AD RESE AP PL ET- A 3. Faraday-ev zakon: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Induc tion. htm

4. Lennz-ov zakon http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenz law/ index.html

4. Prijelazne pojave 1. RC-krug: http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html 2. RL-krug: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RL.htm 3. Elektromagnetski oscilirajućikrug: http://www.walter-fendt.de/ph14e/ osccirc.htm

5. Izmjeniˇcna struja 1. Elektriˇcnielementiukruguizmjeniˇcne struje: http://www.walter-fendt. de/ph14e/accircuit.htm

2. KombinacijaR,LiCukruguizmjeniˇcne struje: http://www.walter-fendt. de/ph14e/combrlc.htm

166

L ITERATURA

[1] Mario Essert; Zdravko Valter, Osnove elektrotehnike , SNL Zagreb, 1991. [2] H. Linse, Elektrotechnik f ur Maschinenbauer , B.G. Teubner, Stuttgart 1972. [3] Josip Lonˇcar, Osnovi elektrotehnike, knjiga prva i druga , Tehniˇcka knjiga Zagreb, 1958. [4] Antun Maletić, Osnove elektrotehnike za studente strojarstva , Sveuˇcilište u Splitu - FESB, Split 1987. [5] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 1. dio , Element Zagreb, 1997. [6] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 2. dio , Element Zagreb, 1997. [7] Vladimir Pinter, Osnove elektrotehnike, knjiga prva i druga , Tehniˇc ka knjiga Zagreb, 1975. [8] Edward M. Purcell, Elektricitet i magnetizam , Tehniˇcka knjiga Zagreb, 1988. [9] J. A. Richards; F. W. Sears; M. R. Wehr; M. W. Zemansky, Modern University Physics , Addison-Wesley, Massachusetts, USA, 1960. [10] F. W. Sears, Electricity and Magnetism , Addison-Wesley, Massachusetts, USA, 1951. [11] R. L. Sproull, Modern Physics , J. Wiley & Sons, New York, 1963. [12] Ivan Supek, Nova fizika , Školska knjiga Zagreb, 1966.

167

I NDEKS

akumulator dobrota, 52 kapacitet, 51 korisnost, 51 akumulatori - sekundarni elementi,50 amper, [A], 94 ampermetar proširenje mjernog podruˇcja, 64 atom, 2 ljuska, 3 neutron, 2 proton, 2

napon, 32 otpor vodiˇca, 35 potencijal, 12 rad, 15, 66 elektriˇcni izvor elektromotorna sila izvora, 52 nutarnji otpor, 54 vanjska karakteristika, 53 elektriˇcno brojilo, 67 elektriˇcno polje, 6 homogeno, 8 jakost, 7 elektriˇcna struja, 31 elektrode anoda, 46 katoda, 46 elektrodinamiˇcko djelovanje, 94 elektrokemijski elementi, 48 naponski niz, 48 elektroliza, 46 elektromagnetski valovi, 120 energija nabijenog kondenzatora,22, 111 potencijalna, 13 zavojnice, 114

baterije - primarni elementi, 48 depolarizator, 49 efektivna vrijednost, 131 ekvipotencijalne toˇcke, 12 elektriˇcna energija, 67 snaga, 66 vodljivost, 5, 35 elektriˇcna struja, 34 - u otopinama, 46 - u plinu, 44 smjer, 31 elektriˇcni generator, 129 izvori, 32 fotonaponski, 32 generator, 33 kemijski, 32 termoelementi, 33 kapacitet, 16 naboj, 3

Faraday zakon elektromagnetske indukcije, 96 Faraday-evi zakoni elektrolize, 47 fazna razlika, 133 frekvencija, 128 kružna, 129 169

I NDEKS galvanometar, 92 histereza, 85 indukcija (elektro)magnetska, 82 influencija dielektriˇcna, 9 instrumenti, 62 ampermetar, 34, 53 voltmetar, 32, 53 ion, 5 izmjeniˇcna struja jalova snaga, 155 kondenzator, 140 otpor, 139 Paralelni RC - krug, 150 Paralelni RL - krug, 149 Paralelni RLC - krug, 151 prividna snaga, 156 radna snaga, 156 RC krug, 146 rezonancija, 148 RL krug, 145 RLC spoj, 144 Serijski RLC -krug, 147 snaga, 154 srednja snaga, 155 strujni krug, 139 trokut snaga, 155 zavojnica, 142 Kirchhoff-ovi zakoni, 39 kondenzator, 16 izbijanje, 113 nabijanje, 112 napon proboja, 17 prirodni, 23 spojevi, 18 krivulja magnetiziranja, 85 LC spoj - oscilator, 118 Lenzovo pravilo (zakon), 98 magnetizam remanentni, 85 magnetomotorna sila, 87 170

magnetska energija, 102 histereza, 102 meduindukcija, 99 ¯ permeabilnost, 82 privlaˇcna sila, 104 samoindukcija, 98 magnetske domene, 82 magnetski akcelerator, 92 krug, 87 otpor, 87 tok, 81 magnetsko razmagentiziranje jezgre, 103 magnetsko polje, 78 homogeno, 83 izvan vodiˇca, 80 ravnog vodiˇca, 80 sila, 89 sila na naboj u gibanju, 89 zavojnice, 80 materijali feromagnetski, 84 magnetski, tvrdi i meki, 86 neferomagnetski, 84 napon, 14 naponski izvor realni, 56 Ohm-ov zakon, 37 olovni akumulator, 50 oscilacijski, titrajni krug, 119 otpor temperaturni koeficijent, 36 polarizacija dialektrika, 9 RC krug, 112 rezonancija, 152 RL krug, 117 RL spoj, 114 sila na vodiˇc protjecan strujom, 92 spojevi

M.Essert,J.Grilec - Elektricitet i magnetizam_fizikalne osnove.pdf

Recommend Documents