Matematika Kls 7 Bab 6

Sekarang, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di kelasmu? Jika kamu perhatikan, ter-nyata di kelasmu terdapat kumpulan: 1. murid yang sedang belajar 2. guru yang sedang mengajar 3. bangku murid 4. meja guru 5. papan tulis 6. murid perempuan perempuan 7. murid laki-laki Gambar 6.2

Sumber:Dit. PSMP, 2006

Interaksi Belajar Mengajar di Kelas

Sebutkan, masih terdapat benda apa lagi di dalam kelasmu? Selanjutnya, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di rumahmu. Coba sebutkan kumpulan apa saja yang dapat kamu bentuk dari benda-benda di rumahmu. Jadi, pada umumnya, kita berpikir suatu himpunan sebagai suatu koleksi objek-objek yang memberikan suatu sifat bersama. Misalnya dalam matematika, biasanya untuk memperhatikan, suatu himpunan garis, suatu himpunan segitiga, suatu himpunan bilangan real, dsb. Dapatkah kamu secara pasti menentukan kumpulan itu? Mengapa? Dengan demikian, jika kita pergi ke lapangan tempat pertandingan sepakbola kita dapat membentuk, antara lain: 1. Himp impunan pemai emain n se sepak pakbola ola 2. Himp impunan was asit it sepakbo akbola la 3. Himp impunan unan penon enonto ton n se sepakbo akbola la Himpunan apa lagi yang dapat kita bentuk dari lapangan sepak bola? 1. Himp Himpun unan an guruguru-gu guru ru yang yang men mengaj gajar ar di di kel kelas asku ku.. 2. Himp Himpun unan an temp tempat at du dudu dukk mur murid id yang yang ada di rua ruang ng kelasku. Ma tem a tika SMP Kela s VII

157

Sebutkan himpunan lain yang dapat kamu bentuk dari kumpulan benda-benda di kelasmu. Selanjutnya, himpunan apa saja yang dapat dibentuk dari kumpul-an benda-benda di rumahmu? Dari kumpulan bendabenda di dalam tas sekolahmu? Dari kumpulan benda-benda di dalam lema-rimu? Dapatkah kamu membentuk himpunan yang diperoleh dari kum-pulan benda-benda di tempat lain? Diskusikan dengan teman-temanmu. Seperti kita ketahui, jika kita pergi ke lapangan sepakbola kita dapat membentuk beberapa himpunan, antara lain: Himpunan pemain sepak bola di lapangan itu Jika kata himpunan kita hapuskan dan kata-kata berikutnya disaji-kan di antara dua kurung kurawal, menjadi: { pemain sepakbola di lapangan itu } Pernyataan di atas merupakan salah satu cara untuk menyatakan himpunan. Selanjutnya, cobalah kamu bersama teman-temanmu membentuk himpunan yang berasal dari: 1. ku kump mpul ulan an mur murid id-m -mur urid id di di kelas kelasmu mu yang yang tinggi tingginy nyaa di atas atas 125 cm. 2. ku kump mpul ulan an ben benda da-b -ben enda da di di kelas kelasmu mu yang yang hargan harganya ya kur kurang ang dari Rp25.000,00 3. ku kump mpula ulan n gur guruu-gu guru ru di sek sekola olahm hmu u yang yang sedan sedangg mengenakan pakaian seragam. 4. ku kump mpu ulan lan bun bunga ga berw berwar arna na merah. rah. Sekarang coba kamu pikirkan dengan teman-temanmu dapatkah kamu membentuk himpunan yang berasal dari: 1. ku kump mpul ulan an murid murid-m -muri urid d yang yang ting tinggi gi di kelas kelasmu mu.. 2. ku kum mpulan ulan bend bendaa-be bend ndaa yang yang maha mahal. l. 3. ku kump mpul ulan an gu guru ru-gu -guru ru yang yang berp berpen enamp ampilan ilan rapi rapi di sekolahmu. 4. kumpulan lan bu bunga yan yangg ha harum rum. Pikirkan, samakah himpunan yang kamu bentuk dari kumpulan-kumpulan di atas dengan himpunan yang dibentuk oleh teman-temanmu? 158

BA B 6 Him p un un a n

Dapatkah kamu secara pasti menentukan kumpulan itu? Mengapa? 1.

Saya tinggi, kamu rendah, kan ?

Menurutku Pak Rudi yang paling rapi.

Ah, saya juga tinggi kok !

Menurutku sih Bu Ani yang Rapi

Kalau menurutku Bu Ida dan Bu Ani

??

2. Ya tidak, segitu saja kok!

Mawar itu harum ya..

Buku ini mahal lho. Menurutku ya tidak terlalu mahal

Ah ya nggak, lebih harum melati

Kalau menurutku yang harum kenanga.

Apa sih ??

3.

4.

Gambar 6.3 Ilustrasi tentang Relasi antar Himpunan


Sekarang bandingkan, himpunan yang kamu bentuk dengan him-punan yang dibentuk oleh teman-temanmu. Dari pembentukan himpunan-himpunan tersebut apakah yang dapat kamu simpulkan? (Misal: tentang banyaknya anggota masing-masing himpunan). Untuk membentuk suatu himpunan, apakah benda yang dihimpun harus mempunyai tanda-tanda atau ciri-ciri tertentu dan jelas? Untuk memberi nama pada suatu himpunan, pada umumnya digu-nakan lambang huruf kapital (huruf besar), misal-nya: A, B, C, . . . Contoh

P G R I

= = = =

{pemain sepakbola PERSIB} Him Himp punan nan gu gururu-gu guru ru yan yang me mengaj ngajar ar di ke kelas lasku ku.. {rumah ibadah di desaku} Himpunan ikan dalam suatu akuarium. Ma tem a tika SMP Kela s VII

159

B

Anggota Himpunan

Perhatikan kembali himpunan pemain sepakbola. Masingmasing pemain yang tergabung di dalamnya disebut anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Masing-masing pelatih bukan anggota atau bukan elemen himpunan pemain sepak bola tersebut. Bagaimana dengan setiap penonton sepak-bola, apakah merupakan anggota dari himpunan tersebut? Jika A = Himpunan murid kelas VII SMP yang sekelas denganmu, maka setiap murid kelas VII SMP yang seke-las denganmu merupakan anggota dari himpunan A tersebut. Sudah tentu setiap murid kelas VIII SMP di sekolahmu bukan anggota dari himpunan A tersebut. Apakah guru-guru yang mengajar di kelasmu merupakan anggota himpunan A tersebut? Sekarang perhatikan himpunan H = Himpunan hari yang namanya berhuruf awal S. Hari-hari apa sajakah yang merupakan anggota H? Hari-hari apa sajakah yang bukan merupakan anggota H? Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang ∈ dan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang ∉. Karena Senin merupakan anggota himpunan H, maka dapat dituliskan: Senin ∈ H Sedangkan Rabu bukan merupakan anggota angg ota himpunan H, maka dapat dituliskan: Rabu ∉ H Sekarang perhatikan himpunan A = Himpunan bilangan asli kurang dari lima. Maka kita dapat menuliskan: 1 ∈ A, 5 ∉ A, 2 ∈ A, dan 7 ∉ A, 3 ∈ A, 9 ∉ A, 4 ∈ A, 11 ∉A. Selanjutnya perhatikan himpunan P = Himpunan nama-nama bulan berhuruf awal J. 160


Manakah di antara pernyataan berikut pernyataan yang benar? a. Januari ∈ P b. Februari ∉ P c. d. April ∉ P e. Mei ∉ P f. g. Juli ∈ P h. Agustus ∉ P i. j. Oktober Ï P k. No November ∉ P l .

yang merupakan Maret ∉ P Juni ∈ P September ∉ P Desember ∉ P

Latihan 6.1

1.

Kump Kumpu ulan-k lan-kum umpu pula lan n beri beriku kutt ini, ini, nyat nyatak akan an “dapat” atau membentuk suatu himpunan. a. kumpulan kumpulan bunga-bunga bunga-bunga yang yang indah. b.kumpulan siswa-kelas I SMP yang berulang tahun pada tanggal 1 Juli. c. kumpulan kumpulan guru-guru guru-guru SMP yang yang berusia berusia kurang dari 40 tahun. d.kumpulan guru-guru SMP yang bijaksana. e. kumpulan kumpulan bilangan bilangan genap genap antara 1 dan dan 10. f. kumpul kumpulan an bilangan bilangan prima prima kurang kurang dari 20. g.kumpulan siswa kelas I SMP yang pandai. h.kumpulan walimurid SMP yang sabar. i. kumpulan kumpulan buku paket matematika matematika SMP. SMP. j. kumpul kumpulan an orang-o orang-orang rang yang yang rajin rajin belajar. belajar. 2. Dike Diketa tahu huii P = {bil {bilan anga gan n pem pemba bagi gi dar darii 24} 24} Periksalah apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. a. 1 ∈ P b. 2 ∈ P c. 3 ∉ P d. 4 ∈ P e. 5 ∉ P f. 6 ∈ P g. 8 ∈ P h. 9 ∈ P i. 10 ∉ P j. 12 ∈ P k. 20 ∈ P l. 24 ∉ P

Ma tem a tika SMP Kela s VII

161

3.

Kaitan dengan dunia nyata

Gambar 6.4 Peta Kepulauan Indonesia


Diketahui M = Himpunan semua propinsi di Indonesia. Periksalah dan tentukan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. a . J a ka r t a ∈ M g . D. I. Yogyakarta ∉ M b. Kalimantan Ti Timur ∈ M h . Bali ∈ M c. Jawa Timur ∈ M i . Jayapura ∈ M d. Banjarmasin ∈ M j. Palembang ∈ M e. Timor Timur ∉ M k . Banda Aceh ∈ M f. Ujung Pandang ∉ M l . Maluku ∈ M

162


6 .2

Menyatakan Himpunan A

Cara Menyatakan Himpunan

Apa yang akan kamu pelajari? 



Menyebutkan macammacam cara menyatakan himpunan Mengubah himpunan dari salah satu cara penyajian ke cara penyajian yang lain

kata-kata.

Kata Kunci: • • •

Seperti telah kamu ketahui bahwa himpunan pemain sepak bola PERSIB dapat disajikan dalam bentuk {pemain sepak bola PERSIB}. Himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara. Misal kita mempunyai himpunan: Himpunan bilangan prima kurang dari 10 . Himpunan ini dapat ditulis sebagai: {bilangan prima kurang dari 10} . Cara menyatakan himpunan seperti di atas disebut cara menyatakan himpunan dengan

Cara menyatakan himpunan Mendaftar Notasi pembentuk himpunan

Jika kita mempunyai P = {bilangan prima kurang dari 10}, maka kita dapat menyebutkan masing-masing anggota dari P, yaitu 2, 3, 5, 7. Jika semua anggota himpunan P tersebut disajikan di antara dua kurung kurawal dan dua anggota yang berdekatan dipisahkan oleh tanda “,” maka diperoleh: {2, 3, 5, 7}

Cara tersebut disebut cara menyatakan himpunan dengan cara mendaftar.

Jadi: P = Himpunan bilangan prima kurang dari 10 dapat ditulis menjadi: P = {2, 3, 5, 7} Beberapa contoh himpunan yang dinyatakan dengan cara mendaftar adalah: 1 . K = {1, 3, 5, 7, 9} 2. L = {J {Januari, Juni, Juli} 3. M= {1, 2, 2, 3, 4, 4, . . . , 100} 4. N = {7, 14, 21, 28, . . .} Ma tem a tika SMP Kela s VII

163

Perhatikan contoh himpunan P = { 2, 3, 5, 7 }. Untuk menjadi anggota himpunan P sudah tentu ada persyaratannya, yaitu setiap anggota P merupakan bilangan prima kurang dari 10. Oleh karena itu himpunan P dapat dinyatakan dengan syarat keanggotaan himpunan atau dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut: P = {x : x adalah bilangan prima kurang dari 10} atau: P = {x : x < 10, x adalah bilangan prima} yang dibaca : Himpunan P adalah himpunan yang anggota-anggotanya x sedemikian hingga x kurang dari 10 dan x adalah bilangan prima. Contoh lain cara menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan, misalnya: a.

W = {0, {0, 1, 2, 2, 3, . . . , 10} 10} dapa apat dit ditu ulis lis: W = {n : n adalah bilangan cacah yang tidak lebih dari 10} atau W = {n : n adalah bilangan cacah kurang dari 11} atau W = {n : n < 10, n ∈ W}; W = Himpunan bilangan cacah. atau W = {n : n < 11, n ∈ W}; W = Himpunan bilangan cacah

b.

N = {1 {1, 2, 3, . . . , 99} 99} dapat ditu itulis lis: N = {a : a bilangan asli kurang dari 100} atau N = {a : a < 100, a ∈ N}; N = Himpunan bilangan asli

c.

N = {7, {7, 14, 14, 21, 21, 28, . . .} dapa apat dit ditu ulis lis: N = {m : m adalah bilangan asli kelipatan 7}

Dari pembahasan di atas, dapat dilihat bahwa suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara. Sebutkan, dengan cara apa saja? 164


B

Mengenal Beberapa Macam Himpunan Bilangan

Di sekolah dasar kamu telah mengenal dan mempelajari berbagai macam bilangan. Jika dari masing-masing kumpulan bilangan tertentu dibentuk suatu himpunan, maka akan terbentuk bermacam-macam himpunan bilangan, di antaranya: Catatan * Bi l a ng a n prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. * Bi l a ng a n komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor.

1. W W 2. N N 3. E E 4. O O 5. S S 6. T T 7. P P 8. K

= = = = = = = = = = = = = = =

Himpunan bilangan cacah, atau {0, 1, 2, 3, . . .} Himpunan bilangan asli, atau {1, 2, 3, 4, . . .} Himpunan bilangan cacah genap, atau {0, 2, 4, 6, . . .} Himpunan bi bilangan cacah ganjil, atau {1, 3, 5, 7, . . .} Himpunan kuadrat bilangan asli, atau {1, 4, 9, 25, . . .} Himpunan pangkat tiga bilangan asli, atau {1, 8, 27, 64, . . .} Himpunan bi bilangan pr prima, atau {2, 3, 5, 7, . . .} Hi mpuna n bila ng an komposit (b (b il ang an cacah cacah yang bukan bukan prima), prima), atau K = {4, {4 , 6 , 8, 9, . . .}

Contoh

1.

Nyata Nyatakan kan himpu himpunan nan berik berikut ut ini ini den denga gan n notas notasii pemb pemben entu tukk himpunan. a. N = Himpunan bilangan asli antara 2 dan 7 b. L = {10, 11, 12, 13, . . .} c. M = {2} Jawab: a. N = {x : 2 < x < 7, x adalah bilanan asli} b. L = {n : n > 10 , n adalah bilangan cacah} c. M = {x : x adalah bilangan bilangan prima prima yang genap} genap} Ma tem a tika SMP Kela s VII

165

2.

Nyata Nyatakan kan him himpu punan nan beri beriku kutt deng dengan an cara cara men menda dafta ftarr anggota-anggotanya. a. P = { x | x adalah bilangan prima lebih dari 10 } b. S = Himpunan bilangan kuadrat yang lebih dari 15 c. P = { n | 1 < n < 5, n adalah bilangan asli } Jawab: a. N = { 11, 13, 17, 19, . . . } b. O = { 16, 25, 36, 49, . . . } c. P = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Latihan 6.2

1. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar. a. A = Himpu Himpunan nan bilan bilangan gan cac cacah ah genap genap antara antara 20 20 dan 30 30 b. B = Him Himpu punan nan 6 bila bilang ngan an as asli li yang yang perta pertama ma.. c. C = Him Himp punan nan fak fakto torr dar darii 24. 24. d. D = Himp Himpuna unan n kuadra kuadratt 5 bilangan bilangan asli yang pertam pertama. a. e. E = Him Himpu punan nan 7 bilan bilangan gan cacah cacah gena genap p yang yang perta pertama ma.. f. F = Him Himp punan unan bila bilang ngan an kel kelip ipat atan an 5 ant antar araa 1 dan dan 100 100 g. G = Himp Himpun unan an huru huruff pada pada kata kata “ma “mate tema matik tika”. a”. h. H = Himp Himpuna unan n kelip kelipata atan n tiga tiga bilang bilangan an asli. asli. i. I = Himp Himpu unan nan 8 bila bilang ngan an komp kompos osit it yang yang pert pertam ama. a. j. j. J = Him Himp punan nan bil bilan anga gan n pri prim ma ant antar araa 10 10 dan dan 40. 40. 2. Nyatakan himpunan berikut ini dengan kata-kata. a. A = { 6, 12, 12, 18, 18, 24, 24, . . . } b. B = { 23, 29, 31, 37 } c. C = { 3, 5, 7, 9, 11 } d. D = { 0, 2, 4, 4, . . . 16 } e. E = { 1, 4, 9, 16, 25 } f. F = { 4, 6, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 18 18 } g. G = { a, b, c, d, e, f,f, g, g, h } h. H = { 4, 8, 12, 12, 16, 16, 20 } i. I = { 5, 10, 15, 20, . . . } J. J = { 1 , 8 , 2 7 , 6 4 , . . . } 166


3.

Nyata Nyatakan kan him himpu punan nan ber berik ikut ut den dengan gan not notas asii pemb pemben entu tukk himpunan. a. A = {12, 13, 14, 15, . . . , 25} b. B = {11, 13, 17, 19, . . .} c. C = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n cac cacah ah gen genap ap tida tidakk leb lebih ih da dari ri 50 d. D = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n ganj ganjil il ant antar araa 10 da dan n 20. 20. e . E = {4, 6 , 8 , 1 0 , 12 , 1 4 } f. F = {a, i, u, e, o} g. G = Him Himpu puna nan n 4 bila bilang ngan an cac cacah ah gan ganjijill yang yang per perta tama ma.. h. H = {0, 1, 4, 9, 16, 25} i. I = Himp impunan 8 bil bilan anggan prim rima yan yangg pertam rtama. a. j. j. J = Himp impunan nan bila bilang ngan an keli kelip patan atan 7 dar darii bil bilan anga gan n as asli li..

Kaitan dengan kehidupan dunia nyata

4.

Nyata Nyatakan kan set setiap iap himpu himpunan nan berik berikut ut deng dengan an dua dua cara cara yan yangg lain. a. A = Himp impunan bu bulan lan yang ang lam lamany anya tid tidaak 31 31 har harii b. B = Himpunan huruf ruf vokal dalam lam abj abjad Latin atin.. c. C = H i mp mp u n a n h a ri ri d al al am am s a tu tu m i ng ng gu gu y an an g namanya berhuruf akhir “u”. d. D = {Senin, Selasa , Sabtu} e. E = {Januari, Februari, Mei, Ju Juni, Ju Juli} f. F = {merah, kuning, hijau} g . G = {merah, putih} h. H = {mer {merah ah,, jing jingga ga,, ku kuni ning ng,, hija hijau, u, biru biru,, nila nila,, ungu ungu}} i. I = Himpunan tahun kabisat antara 1900 dan 1925. j. J = Himpunan panca in indera ma manusia.


167

Himp im p una n B Be e rhing hing g a d a n Ta k Beringga

6 .3 A

Cara Menyatakan Himpunan

Perhatikan himpunan-himpunan berikut. Apa yang akan kamu 1. P = {m, a, t, e, i, k} pelajari? 2. Q = {1, 3, 5, 7, 9}  Membedakan himpunan 3. R = {2, 4, 6, 8, . . . , 20} berhingga dan himpunan 4. S = {0, 1, 2, 3, . . .} tak berhingga  Menentukan banyak 5. T = {5, 10, 15, 20, . . .} anggota suatu himpunan Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan didaftar di antara dua kurung Kata Kunci: kurawal, yaitu m, a, t, e, i, k. Jadi banyak anggota • Kardinalitas himpunan himpunan P ada 6 buah. • Banyak anggota himpunan • Himpunan berhingga Pada himpunan Q di atas, semua anggota • Himpunan tak berhingga himpunan juga didaftar di antara dua kurung kurawal, yaitu 1, 3, 5, 7, 9. Jadi banyak anggota himpunan Q ada 5 buah. Pada himpunan R di atas, tidak semua anggota himpunan hi mpunan didaftar di antara dua kurung kurawal tetapi kita bisa menentukan bilangan yang paling besar sebagai anggo-tanya, yaitu 20. Dengan demikian kita bisa membilang banyak anggotanya. Jika kita urutkan anggotanya mulai mulai dari 2, 4, 6, . . dan berakhir pada pada 20, dan kita membi-lang banyak anggotanya, ternyata ada 10. Himpunan seperti himpunan P, Q, dan R tersebut dinamakan himpunan berhingga . Jadi, kapan suatu himpunan dikatakan berhingga? Pada himpunan S dan T di atas, tidak semua anggota-nya didaftar di antara dua kurung kurawal, dan kita tidak dapat menentukan ber-apa bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan S mau-pun T. Jadi, jika kita membilang banyak anggotanya, maka kita tidak bisa menemukan anggota terakhirnya. Himpunan seperti himpunan S dan T tersebut dinamakan himpun-an tak berhingga.

Jadi, kapan suatu himpunan dikatakan tak berhingga? 168


Contoh

1.

Catatan

anggota himpunan A ditulis n(A).

* Banya anyakk an anggot ggotaa suatu himpunan P dilambangkan dengan n(P). * Jik Jika ban banyyakny aknyaa anggota itu berhingga, maka n(P) merupakan suatu bilangan cacah dan dapat disebut bilangannya berapapun besarnya. * Jik Jika ban banyyakny aknyaa anggota itu tidak berhingga, maka banyaknya anggota itu tidak dapat disebut dengan suatu bilangan, tetapi dilambangkan dengan n(P) = ∞.

3.

Jika Jika A = him himpu puna nan n nam namaa bu bulan da dala lam m set setahu ahun n yang namanya berhuruf awal J, maka banyak Tentu-kan n(A) Apakah himpunan A berhingga? Jawab:

2.

A = {Januari, Juni, Juli} Karena banyak anggota A ada 3 buah, maka n(A) = 3. Ya, himpunan A berhingga Jika Jika B = him himpu puna nan n bil bilan anga gan n ganj ganjil il ant antar araa 2 dan dan 10, maka tentukan n(B). Apakah himpunan B berhingga? Jawab:

B = {3, 5, 7, 9} Karena banyak anggota B ada 4 buah, maka n(B) = 4. Ya, himpunan B berhingga Dapat Dapatkah kah kamu kamu meny menyeb ebutk utkan an du duaa cont contoh oh himp himpun unan an tak berhingga?

Jawab:

- Himp Himpun unan an sem semua ua bilang bilangan an asli asli - Himp Himpun unan an sem semua ua bilan bilangan gan bulat bulat Latihan 6.3

Tentukan banyak anggota himpunan-himpunan berikut. 1. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 2 . B = {1 00 0 } 3. C = Him Himp punan unan bila bilang ngan an komp kompos osit it ku kura rang ng da dari ri 10. 10. 4. D = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n cac cacah ah yang yang ku kura rang ng da dari ri 20. 20. 5. E = {6, 12, 18, . . . , 36} 6. F = Him Himp punan nan bil bilan anga gan n pri prim ma ant antar araa 5 da dan n 20. 20. 7 . G = {x : x < 25, x bilangan asli}. Ma tem a tika SMP Kela s VII

169

8. 9. 10. 10. 11.

H = {n : n < 6, n adalah bilangan cacah}. I = Him Himp punan bil bilan anggan prim rima ku kurang rang dari ari 35. 35. J = {5, 10, 15, . . . , 50} Jika P = Himpu Himpunan nan bilang bilangan an kuad kuadrat rat antara antara 5 dan 40. 40. Q = Himpunan huruf vokal pada kata “trigonometri”. Apakah n(P) = n(Q)?

Kaitan dengan kehidupan dunia Nyata

Berapa banyak anggota setiap himpunan berikut. 12. K = Himp impunan nan hu huruf ruf vok vokal al pad adaa kat kataa “in “indo done nesi sia” a”.. 13. L = Himp impunan bula bulan n dal dalam am satu atu tah tahu un yan yangg nam naman anya ya berhuruf akhir “er” 14. 14. M = Himpunan warna rna pelangi. 15. N = {x : x ad adal alah ah hari hari yang yang nam namanya anya tid tidak ber berhu huru ruff awa awall S} 16. O = {x : x ad adal alah ah oran rang tu tuaa kand andung saya} aya} Berpikir kritis

17. Jika A = Himpu Himpunan nan warna warna lamp lampu u pada pada rambu rambu lalu lalu lintas, lintas, B = Himpunan hari yang namanya berawalan S. Apakah n(A) = n(B)? 18. 18. Terma Termasu sukk himp himpun unan an berhingga atau tak berhingga, masing-masing himpunan berikut? a. Himpunan Himpunan buku buku dalam satu satu lemari. lemari. b. Himpunan Himpunan batu kerikil kerikil dalam satu kaleng susu. susu. c. Himpunan Himpunan pendud penduduk uk Indones Indonesia. ia. d. Himpunan bilangan cacah. e. Himpunan Himpunan bilangan bilangan bulat bulat yang kurang dari 10. f. Himpunan Himpunan murid SMP di di Surabaya Surabaya g. Himpunan Himpunan guru matematika matematika di Medan. Medan. h. Himpunan Himpunan kelipatan kelipatan 5 dari bilangan asli.

170


6 .4

Diagram Venn A

Himpunan Semesta










Pengertian himpunan semesta dan lambangnya. Diagram Venn suatu himpunan. Pengertian himpunan bagian. Banyak himpunan bagian dari suatu himpunan Pengertian himpunan kosong dan lambangnya

Kata Kunci:    

Himpunan semesta. Diagram Venn. Himpunan bagian. Himpunan Kosong

Misalkan Misalkan A = {mer {merah ah,, puti putih} h}.. B = {merah, hijau}. C = {merah, {merah, putih, biru}. Apakah himpunan C memuat semua anggota himpunan A? Apakah himpunan C memuat semua anggota himpunan B? Karena C memuat semua anggota A, maka  dikata-kan bahwa C merupakan himpunan semesta dari himpunan A. Karena ada anggota B yang tidak termuat  pada C, yaitu hijau (h); h ∉ C, maka dikatakan bahwa C bukan himpunan semesta dari himpunan B. Misalkan kita punya himpunan D = {merah, kuning, putih, ungu}. Apakah D memuat semua anggota A? Ya, bukan?

Jadi, D juga merupakan himpunan semesta dari A. Apakah D memuat semua anggota himpunan B? Tidak, bukan? Karena D tidak memuat semua anggota B, berarti D bukan merupakan himpunan semesta dari himpunan B. Jadi, jika kita punya himpunan A = { merah, putih }, maka himpunan semesta dari A yang mungkin antara lain: 1. C = { merah, putih, biru }, atau 2. D = { merah rah, kuning ing, putih tih, ungu }. Dapatkah kamu menyebutkan himpunan semesta yang lain? Dapatkah kamu menarik kesimpulan, apa yang dimaksud dengan himpunan semesta dari suatu himpunan A? Ma tem a tika SMP Kela s VII

171

Dari penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa: Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan . Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

Sekarang perhatikan contoh berikut. Contoh

Misalnya kita mempunyai himpunan P = {1, 3, 5, 7}. Himpunan semesta yang mungkin dari P, antara lain: 1. S = {1, 3, 5, 7, 9} 2. S = Him Himpu puna nan n 10 10 bila bilang ngan an as asli li yan yangg per perta tama ma 3. S = {1, 2, 3, . . . , 100} 4. S = {1 {1, 3, 5, 7, . . . , 51} 5. S = Himp impunan bil bilaangan gan as asli. li.

Latihan 6.4a

Sebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk masingmasing himpunan berikut ini. 1 . A = {1, 2, 3}. 2 . B = {a, i, u}. 3. C = {x {x : 2 < x < 10, 10, x ada adala lah h bil bilan anga gan n as asli}. li}. 4 . D = {x : x ≥ 100, x adalah bilangan bulat}. 5. E = {n {n : n < 15, 15, n ad adalah lah bil bilan anggan prim rima}. 6. F = Himp impunan nan bila bilang ngan an prim rima yang yang gena genap p. 7. G = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n asl aslii yan yangg hab habis is diba dibagi gi 6. 8. H = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n kom kompo posi sitt anta antara ra 1 da dan n 10. 10. 9. I = Him Himp punan nan bil bilan anga gan n ge genap nap yang yang habi habiss dib dibag agii 3. 3. 10. J = Him Himpu puna nan n bil bilan anga gan n pri prima ma ku kura rang ng da dari ri 20. 20.

172



Sebutkan dua himpunan semesta yang mungkin untuk masingmasing himpunan berikut ini. 1 1 . K = {k {kerbau, kuda}. 12. L = {In {Indones nesia, ia, Malay alayssia, ia, Sing ingapura} ra}. 13. 13. M = {m {merah, ku kuning, hi hijau}. 14. 14. N = {jeruk, mangga, nanas}. 1 5 . O = {Juni, Juli}. 1 6 . P = {a {ayam, itik, angsa}. 17. Q = {Suraba rabayya, Ba Ban ndung ung, Semar emaran ang} g}.. 1 8 . R = {SD, SMP, SMA}. 19. 19. S = {pensil, penggaris}. 20. T = Him Himp punan gu guru ru-g -gu uru yang yang menga engaja jarr di di ke kelas las K


173

B

Diagram Venn

Cara yang memudahkan kita untuk menyatakan dan melihat hubungan antara beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram atau gambar himpunan yang disebut dengan diagram Venn . Dalam membuat suatu diagram Venn, perlu diperhatikan beberapa hal, antara lain: 1. Himp Himpun unan an seme semest staa biasa biasanya nya diga digamb mbark arkan an den dengan gan ben bentu tukk persegipanjang . 2. Setiap Setiap himpu himpunan nan lain yang yang sed sedang ang dibica dibicarak rakan an digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup sederhana . 3. Setia Setiap p angg anggot otaa masing masing-m -masi asing ng himp himpun unan an digam digamba bark rkan an dengan noktah atau titik. 4. Jika Jika banya banyakk angg anggot otaa himpu himpunan nanny nyaa tak be berhing rhingga, ga, maka maka masing-masing anggota himpunan tidak perlu digambarkan dengan suatu titik. Contoh 1

Jika diketahui himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g} dan A = {b, d, f, g}, maka diagram Venn dari S sebagai berikut: S a• b•

d• e•

c•

f •

g•

Gambar 6.5 Elemen-elemen dalam Himpunan Semesta

Sedangkan diagram Venn dari himpunan S dan A adalah S

A

a• b•

d• e•

c•

f •

g•

Gambar 6.6 Himpunan Bagian dalam Himpunan Semesta

174


Soal

1

Diketahui S = {1, 2, 3, . . . , 10} A = Himpunan bilangan prima yang tidak lebih dari 10 B = Himpunan bilangan genap antara 1 dan 10 Tentukan diagram Vennya! Contoh 2

Misa l ka n

S = Himpunan bilangan bulat A = Himpunan Himpunan bilanga bilangan n asli P = Himp Himpunan unan bilangan bilangan prima prima maka diagramnya: S A

P Gambar 6.7 Diagram Venn Himpunan bagian

Latihan 6.4b

Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut. 1. S = {1, 2, 3, . . . , 10} A = {3, {3, 5, 7} 2. S = {1, 2, 3, . . . , 10} A = Himpunan Himpunan bilangan cacah cacah genap antara antara 1 dan 10 3. S = {a, b, c, d, . . . , j} A = {a, {a, i, e} B = {b, {b, c, c, d, d, i,i, e} e} 4. S = {1, 2, 3, . . . , 10} A = Himpunan Himpunan bilangan bilangan kuadrat yang kurang kurang dari 10 B = Himpun Himpunan an bilangan bilangan ganjil ganjil antara 1 dan dan 10 Ma tem a tika SMP Kela s VII

175

5.

S = {1, 2, 3, . . . , 10} A = {x : x < 4 , x adalah bilangan asli} B = {x : x ≤ 10, x adalah bilangan prima} C = {4, {4, 7, 8, 9, 9, 10} 10} Diskusikan soal-soal berikut secara berkelompok! Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut. 6. S = Him Himp punan unan sisw siswaa dik dikeelasmu lasmu yang yang nam nama depa depann nnya ya dengan huruf hidup. A = Himpunan Himpunan siswa dikelasmu yang nama depannya depannya dengan huruf O. B = Himpunan Himpunan siswa siswa dikelasmu dikelasmu yang nama nama depannya depannya dengan huruf E. 7. S = Himp impunan nan sem semua sis siswa wa di seko sekola lahk hku u. A = Himpunan Himpunan siswa laki-laki laki-laki di sekolahku. sekolahku. B = Himpunan Himpunan siswa siswa perempuan perempuan di di sekolahku. sekolahku. C = Himpuna Himpunan n siswa laki-laki laki-laki di kelasku. kelasku. D = Himpunan Himpunan siswa perempu perempuan an di kelasku. 8. S = Himpunan bila ilangan asli. P = Himpu Himpunan nan bilang bilangan an asli kelipa kelipatan tan 2. Q = Himpunan Himpunan bilangan bilangan asli kelipatan kelipatan 3. R = Himpuna Himpunan n bilangan bilangan asli kelipatan kelipatan 4. 9. S = Hi Himpunan bil bilaangan ca cacah. K = Himpunan Himpunan bilangan bilangan cacah cacah genap. genap. L = Himpu Himpunan nan bialng bialngan an prima. prima. M= Himpunan bilangan komposit. Berpikir kritis:

10. Jika diketahui banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 adalah 75 orang. Di antara kepala keluarga ini yang berlangganan koran ada 50 orang, yang berlangganan majalah ada 25 orang, yang berlangganan majalah dan koran ada 10 orang. Dengan menggunakan bantuan diagram Venn, tentukan banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidak berlangganan keduanya! 176


11. Perhatikan diagram Venn berikut. Misalkan Misalkan S = Himp Himpun unan an sisw siswaa di di kel kelas asmu mu M= Himpunan siswa yang menyukai matematika B = Himpunan Himpunan siswa siswa yang menyukai menyukai bahasa Inggris K = Himpunan Himpunan siswa siswa yang menyukai menyukai kesenian kesenian S c• b•

i•

B

a•

g• d•

M

f •

h• j•

l•

e•

o• m•

u• s•

t•

n•

r• p• o•

q•

K

Gambar 6.8 Diagram Venn tentang Irisan tiga Himpunan

Jika setiap setiap siswa diwakili oleh sebuah sebuah titik, maka tentukan: tentukan: a. berap berapaa orang orang sisw siswaa yang yang men menyu yuka kaii mate matema matik tika? a? b. berap berapaa oran orangg siswa siswa yang yang men menyu yuka kaii matem matemat atik ikaa dan kesenian? c. berap berapaa orang orang yang yang men menyu yuka kaii bahas bahasaa Inggr Inggris is tet tetapi api tidak tidak menyukai kesenian? d. berap berapaa orang orang siswa siswa yang yang meny menyuk ukai ai ket ketigaiga-tig tigany anya? a? e. berap berapaa oran orangg yan yangg han hanya ya men menyu yukai kai kese kesenia nian n saja saja?? f. bera berapa pa ora orang ng yan yangg meny menyuk ukai ai mat matem emat atik ikaa dan dan baha bahasa sa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian? g. berap berapaa oran orangg yang yang tidak tidak men menyu yukai kai ketiga ketiga-ti -tigan ganya? ya? h. berap berapaa orang orang yang yang hanya hanya men menyu yukai kai sala salah h satu satu dari dari ket ketiga iga pelajaran tersebut?


177

C

Himpunan Bagian dan Himpunan Kosong

Perhatikan dua himpunan berikut. A = {a, c, d} dan B = {a, b, c, d, e, f}. Jika kedua himpunan tersebut digambar dengan diagram Venn, diperoleh gambar sebagai berikut. B

A b• a•

d• e•

f •

c•

Gambar 6.9 Diagram Venn Himpunan bagian dalam Himpunan Semesta

Selidiki apakah setiap anggota A juga merupakan anggota B? Jelaslah bahwa: a ∈ A dan a ∈ B, c ∈ A dan c ∈ B, d ∈ A dan d ∈ B. Dengan demikian, apakah setiap anggota A juga Catatan merupakan anggota B? ya, bukan? Hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan Ada beberapa buku himpunan bagian dari himpunan B, yang ditulis yang menggunakan “A B” lambang himpunan bagian dengan Sekarang perhatikan tiga himpunan berikut. lambang “ ⊆”, tetapi ada pula yang A = {1, 2, 3, 4}, menggunakan B = {0, 1, 2}, dan lambang “ ⊂”. Dalam buku ini C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. digunakan lambang Coba selidiki: “ ⊂”. a. Apakah setiap anggota A juga merupakan anggota C? b. Apakah Apakah setiap anggota anggota B juga merupakan merupakan anggota C? Jawab: a. Ya, setiap anggota A juga merupakan anggota C, jadi A ⊂ C. b. Tidak semua anggota B juga merupakan anggota C. 178


Berarti: Ada anggota B yaitu 0 yang bukan merupakan anggota

C. Jadi dapat ditulis: 0 ∈ B dan 0 ∉ C.

Hal ini dikatakan himpunan B bukan himpunan bagian dari him-punan C, atau ditulis: B ⊄ C. Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Himpunan Bagian & Bukan Himpunan Bagian

Misalkan A dan B himpunan. 1. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A dari B, ditulis A juga merupakan anggota B. 2. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, ditulis A B, jika ada anggota A yang bukan merupakan anggota B.

Selanjutnya perhatikan beberapa himpunan berikut. P = Himpu impuna nan n sis siswa wa kela kelass VI VII SMP SMP di sek sekoolahm lahmu u yan yangg tingginya lebih dari 5 m. Q = Himp Himpu unan nan guru guru di sek sekol olah ahmu mu yang yang ber berus usia ia kur kuran angg dari dari 10 tahun. Berapa banyak anggota P? Berapa pula banyak anggota Q? Kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota, bukan? Himpunan seperti P dan Q tersebut disebut himpunan kosong , yang disimbolkan dengan ∅ atau { }. Selanjutnya carilah contoh himpunan lain yang juga merupakan himpunan kosong. Di antara himpunan-hinpunan berikut ini coba sebutkan mana yang merupakan himpunan kosong dan mana yang bukan. 1. Himp Himpun unan an mata mata pel pelaja ajaran ran yang yang diajar diajarkan kan di kelas kelas VII VII SMP. SMP. 2. Himp Himpun unan an tem teman an sek sekel elas asmu mu yang yang usian usianya ya di di atas 17 tahu tahun. n. 3. Himp Himpun unan an manu manusia sia yang yang per pernah nah mend mendara aratt di di bulan bulan 4. Himp Himpun unan an gu guru ru Matem Matemati atika ka yang yang us usian ianya ya ku kuran rangg dari dari 15 tahun. 5. Himp Himpun unan an itik yang yang berke berkemba mbang ng biak biak den dengan gan berana beranak. k.


179

Selanjutnya perhatikan ∅ dan {0}, samakah kedua himpunan tersebut? Tentu saja tidak, karena ∅ adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, atau himpunan kosong, sedangkan {0} adalah himpunan yang mempunyai satu anggota, yaitu 0. Himpunan bagian dari ∅ adalah ∅ , sedangkan himpunan bagian {0} adalah {0} dan ∅. ∅ merupakan suatu himpunan bagian dari setiap setia p himpunan. Misalnya, {0} himpunan bagiannya adalah {0} dan ∅. Himpunan A = {1 , 2} himpunan bagiannya adalah {1}, {2}, {1 , 2}, ∅. Jadi, banyaknya himpunan bagian dari himpunan A ada 22 Jika diketahui B = { 1, 2, 3 }, maka: a. sebutkan himpunan-himpunan himpunan-himpunan bagiannya! b.ada berapa banyaknya himpunan bagiannya? Sekarang, jika diketahui C = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka: a. sebutkan himpunan-himpunan himpunan-himpunan bagiannya! b.ada berapa banyaknya himpunan bagiannya? Selanjutnya, coba pikirkan pikirkan jika diketahui P = { 1, 2, 3, . , . , . , n}, maka berapa banyaknya himpunan bagian P?

Latihan

6.4c

1.

180

Dike iketah tahui P = {1, 2, 3, 4, . . . , 10} 10} Manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang merupakan himpunan bagian P? a . A = {1 , 3, 7 , 9 } b . B = { 0, 2, 4, 6 , 8, 1 0 } c . C = {2, 3, 5 , 7 } d . D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e . E = { 5, 7, 9, 1 1 } f. F = Hi Himpunan bi bilangan as asli ku kurang da dari 7. 7. g . G = {x : x < 5, x adalah bilangan cacah} h . H = {x : 2 < x < 8, x adalah bilangan asli} i . I = {x : x < 12, x adalah bilangan komposit} j. J = Hi Himpunan bi bilangan ku kuadrat ku kurang da dari 16 16.


2.

Nyata Nyatakan kan ben benar ar atau atau salah salah per perny nyata ataanan-pe perny rnyata ataan an berik berikut ut.. a. {a, b, c} c} ⊂ {a, b, c, d} b.{a, b, c, d, e} ⊂ {a, d, e} c. {3} ⊂ Himpunan bilangan prima d. 3 ⊂ Himpunan bilangan prima e. {5} ⊄ Himpunan bilangan prima f. {1, {1, 2, 3} ⊄ Himpunan bilangan asli g. 4, 7 ⊂ {3, 4, 5, 7} h.{0, 1, 2, 3} ⊂ Himpunan bilangan asli i. {1, 2, 3} ⊄ Himpunan bilangan prima j. j. {0, {0, 1, 1, 4, 6, 8} ⊄ Himpunan bilangan komposit k.Himpunan abjad Latin ⊂ {a, b, c, d, e, f, g, h} l. {1, {1, 4, 4, 9, 9, 16} 16} ⊂ Himpunan bilangan asli kuadrat m.{x : x < 5, x bilangan asli} ⊂ {1, 2, 3, . . .} n.{2, 4, 6, 8} ⊂ {x : x bilangan cacah} o. Himpunan Himpunan bilangan bilangan prima ⊂ {2, 3, 5, 7, 11} 3. Mana Manakah kah di di antara antara him himpu punan nan-h -him impu punan nan ber berik ikut ut yang yang merupakan himpunan kosong dan bukan himpunan kosong? a. Himpunan Himpunan orang tua tua siswa yang usianya di bawah 10 tahun. b.Himpunan bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap. c. Himpunan Himpunan bilangan prima yang genap. genap. d.Himpunan siswa SMP yang usianya tidak lebih dari 14 tahun. e. Himpunan Himpunan guru SMP SMP yang tidak berkendaraan berkendaraan motor. motor. 4. Tent Tentuk ukan an semu semuaa him himpu punan nan bagi bagian an da dari ri:: a. {p, q} b. {i, d, a} 5. Bera Berapa pa ban banya yakn knya ya him himp punan unan bag bagia ian n dari dari:: a. {a, l, b, u, m} b. {p, i, c, t, u, r, e} Ma tem a tika SMP Kela s VII

181


6.

7.

Jika Jika diket diketahu ahuii A = Himp Himpun unan an warnawarna-war warna na pelan pelangi, gi, atau atau A= {merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu} Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut a. {ung {ungu u} ⊂ A b. {kuning, biru, merah} ⊄ A c. Himpunan Himpunan warna warna bendera bendera Indonesia Indonesia ⊄ A d. {x : x warna lampu lalu lintas} ⊂ A e. {merah, {merah, jingga, jingga, kuning, kuning, hijau} hijau} ⊂ A Jika Jika P = {bil {bilang angan an bulat bulat posit positif if ku kuran rangg dari dari 26} Nyatakan manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang merupakan himpunan bagian dari P. Tulislah semua anggota himpunan dari a s.d. e dari pertanyaan berikut. a. A = {bilanga {bilangan n cacah cacah yang kuran kurangg dari dari 15}. b. B = {bilang {bilangan an asli yang lebih lebih dari 5 dan dan kurang kurang dari dari 21}. 21}. c. C = {bilang {bilangan an ganjil ganjil yang kurang kurang dari dari 20}. 20}. d . D = {bilangan genap yang lebih lebih dari dari 2 dan kurang kurang dari 20}. e. E = {bilang {bilangan an prima prima yang kurang kurang dari 20}.

Berpikir kritis

8.

9.

182

Jika diketahui A = {1, 2, 3} B = {1, {1, 2, 3, 4, 5} C = {1, {1, 2, 3, 3, 4, . . . , 10} Nyatakan benar atau salah! a. A ⊂ B b. B ⊂ C c. A ⊂ C Jika P = Himpunan bi bilangan prima kurang dari 10 10. Q = Himpunan Himpunan bilangan bilangan prima antara 1 dan 20. 20. R = Himpun Himpunan an bilangan prima tidak tidak lebih dari 30. Nyatakan benar atau salah! a. P ⊂ Q b. Q ⊂ R c. P ⊂ R


10. 10. Dari soal nomo nomorr 5 dan 6 terse tersebut, but, dapat dapatkah kah kita kita menyimpulkan bahwa: “Jika A B dan B C, maka A

C”

Jelaskan pendapatmu! 11. Benar Benar atau salah salah pern pernyata yataan an beriku berikut? t? a. {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3} b. {a, b, c, d, e} ⊂ {a, b, c, d, e} c. {2, 3, 3, 5, 7, 11, . . .}.} ⊂ Himpunan bilangan prima d. {0, 1, 2, 3, . . . } ⊂ Himpunan bilangan cacah. e. {x : 1 ≤ x ≤ 5, x bilangan asli} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 12. Dari Dari soal nomor nomor 10 terse tersebut but,, dapatka dapatkah h kita menyim menyimpu pulkan lkan bahwa: A ⊂ A, B ⊂ B untuk sebarang himpunan A atau B? Jelaskan pendapatmu! 13. Dapatkah Dapatkah kita kita menyim menyimpul pulkan kan bahwa bahwa setiap setiap himpun himpunan an merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri? Jelaskan pendapatmu!


183

6 .5

Irisan A

Pengertian Irisan Dua Himpunan






Pengertian irisan dua himpunan dan menentukan irisan dua himpunan. Menggambarkan Menggambarkan diagram Venn dari irisan dua himpun-an. Menyelesaikan Menyelesaika n soal cerita tentang irisan dua himpunan, de-ngan menggunakan diagram Venn.

Menjelang Ujian Ujian Akhir SD, semua siswa kelas 6 harus menyiapkan diri dan mempelajari dengan baik sebanyak 5 mata pelajaran yang akan diujikan, yaitu: PPKN, Bahasa Indonesia, Matematika, IPA dan IPS.

Kata Kunci: • •

Irisan dua himpunan Dua himpunan saling lepas dan tidak saling lepas.

Gambar 6.10 Ibu yang sedang membelajarkan anaknya Sumber:Dit. PSMP, 2006

Seminggu sebelum ujian, Ani sudah mempelajari dengan baik 3 mata pelajaran, yaitu: PPKn, Bahasa Indonesia, d a n Matematika.

Sedangkan Budi baru mempelajari dengan baik 2 mata pelajaran, yaitu: IPA dan Matematika. Dari keterangan di atas, kita dapat membentuk himpunanhimpunan antara lain: S = Himpunan mata pelajaran pada ujian akhir SD. A = Himpunan mata pelajaran pada ujian ajhir SD yang sudah dipelajari Ani. B = Himpunan mat mata pelajaran pad pada ujian akhir SD yang sudah dipelajari Budi. 184


Jika dinyatakan dengan cara mendaftar semua anggotanya, maka diperoleh: S = { PP PPKn Kn,, Ba Baha hasa sa Indo Indone nesi sia, a, Mate Matema mati tika ka,, IPA IPA,, IPS IPS } A = { PPK PPKn, n, Bahas ahasaa Ind Indoonesi nesia, a, Mate atematik atikaa } B = { Matematika, IPA } Bagaimana gambar diagram Venn dari ketiga himpunan tersebut? Di antara beberapa mata pelajaran tersebut, adakah mata pelajaran yang: a. sudah dipelajari dipelajari oleh Ani dan Budi? Budi? b.sudah dipelajari Ani saja? c. sudah dipelajari Budi saja? d. belum dipelajari oleh keduanya? Jika kita gambarkan himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn, maka kita peroleh : S

A

B B

•

IPA

• IPA

•

A

PPKn

PPKn MAT T B.INDO • B.INDO. MAT. IPS • IPS

Gambar 6.11 Diagram Venn tentang Irisan Himpunan A dan B

Coba jelaskan, apa yang kamu lihat pada diagram di atas! Dari diagram Venn di atas, tampak bahwa: a. Matematika ∈ A dan Matematika ∈ B b . PPKn ∈ A, dan PPKn ∉ B. Bahasa Indonesia ∈ A, dan Bahasa Indonesia ∉ B. c. IPA ∈ B, dan IPA ∉ A. d . IPS ∉ A, dan IPS ∉ B.


185

Keempat pernyataan tersebut menunjukkan bahwa: a. Mata Mata pel pelaja ajaran ran yang yang tel telah ah dipe dipelaj lajari ari oleh oleh Ani Ani dan dan Bud Budii adalah Matematika. b. Mata Mata pelaj pelajara aran n yang yang telah telah dip dipel elaja ajari ri ole oleh h Ani Ani tetap tetapii belum belum dipelajari oleh Budi adalah PPKn dan Bahasa Indonesia. c. Mata Mata pel pelaja ajaran ran yang yang telah telah dipel dipelaja ajari ri oleh oleh Bud Budii tetap tetapii belu belum m dipelajari oleh Ani adalah IPA. d. Mata pelaj pelajaran aran yang yang belu belum m dipe dipelaj lajari ari oleh oleh Ani Ani dan juga juga belum dipelajari oleh Budi adalah IPS. Sekarang perhatikan kembali himpunan: A = {PP {PPKn, Bahas ahasaa Indo Indone nesi sia, a, Mate Matem matik atika} a} B = {Matematika, IPA} Jika kita perhatikan anggota-anggota kedua himpunan tersebut, ternyata ada anggota A yang juga menjadi anggota B, yaitu Matematika. Himpunan yang memuat semua anggota A yang juga menjadi anggota B disebut irisan himpunan A dan B , yang dilambangkan dengan A B. Dari contoh tersebut kita peroleh bahwa: A ∩ B = {Matematika} Sekarang perhatikan contoh berikut ini. A = Him Himp punan nan bil bilan anga gan n kom komp posit sit ku kurang rang da dari ri 12. 12. B = Him Himp punan nan bil bilan anggan ku kuad adra ratt ku kuran rang dar darii 20. 20. Jika dinyatakan dengan cara mendaftar, diperoleh: A = {4, 6, 8, 9, 1 0 } B = {1, 4, 9 , 1 6 } Jika digambarkan dengan diagram Venn, maka diperoleh: S

A .6

A

.4

B .1

B

8

B .10

.9

.16

Gambar 6.12 Diagram Venn tentang Irisan Himpunan A dan B

186


Dari contoh tersebut ternyata:

4 ∈ A, dan 4 ∈ B. 9 ∈ A, dan 9 ∈ B. Anggota himpunan A yang juga menjadi anggota B adalah 4 dan 6. Jadi, himpunan semua anggota A yang juga menjadi anggota B adalah { 4, 9 }. Hal ini berarti A ∩ B = { 4, 9 }. Dari contoh-contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa: Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan

Irisan

semua anggota A yang menjadi anggota B, yang dilambangkan dengan A ∩ B. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan adalah: A B = { x | x A dan x B }

Contoh

Misal A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7, 8}. Anggota-anggota A yang juga menjadi anggota B adalah 2 dan 3. Jadi A ∩ B = {2, 3}. Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka diperoleh: S

A

.1

.2

A

B

.5 8

B

B

.4

.3

.7

Gambar 6.13 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan A dan B

Dari gambar di atas, kita juga bisa menyatakan bahwa: 2 dan 3 merupakan anggota yang dimiliki secara bersama oleh himpunan A dan B.


187

B

Menentukan Irisan Dua Himpunan

Untuk menentukan irisan dua himpunan, ada beberapa kemungkinan yaitu: 1.

Jika Jika him himpun punan an yang yang satu satu merupa merupakan kan himpu himpuna nan n bag bagian ian dari himpunan yang lain.

Contoh 1

Mi s a l

P Q

Ja d i

= Himpunan 6 abjad Latin yang pertama = Him Himp punan 3 abj abjad Latin atin yang ang pe perta rtama

P = {a, b, c, d, e, f} Q = {a, b, c} P ∩ Q = Q = {a, b, c}

Gambar diagram Vennnya seperti di bawah ini. S .d

b

. .f

Q

a

.

c

.

.e

P

P

Gambar 6.14 Diagram Venn tentang Irisan dari Himpunan bagian

Contoh 2

Jika Jika K L

= Himp impunan bila ilangan gan as asli li yang ang tid tidak leb lebih dari 7. = Him Himp punan nan bila bilang ngan an as asli li ganj ganjil il yang yang tida tidakk lebi lebih h dari 7. maka K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} L = {1, 3, 5, 7} K ∩ L = {1, 3, 5, 7} =L 188


Gambar diagram Vennnya sebagai berikut. S .6 .2

3

.

L

5

.

1

.

.4

7

.

K

Gambar 6.15 Diagram Venn tentang Irisan dari Himpunan bagian

Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut di atas? Sifat Irisan

2.

Jika A

⊂

B maka A ∩ B = A

Himpunan sama Dua himpunan dikatakan sama bila elemen-elemennya sama.

Contoh 1

Ditent tentu ukan

M = Himpunan bi bilangan as asli ku kurang da dari 7 N = {x : 0 x < x < 7, x bilangan cacah} Bagaimana M ∩ N? Ja w a b :

M = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} M ∩ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Diagram Vennnya sebagai berikut.

S 1

3

4

5

6

2

M=N

M= N

Gambar 6.16 Diagram Venn tentang Himpunan sama M dan N


189

Contoh 2

Mi s a l

X = Himpunan bilangan prima antara 1 dan 10 Y = { 2, 3 , 5 , 7 } Carilah X ∩ Y. Jawab: Karena X = { 2, 3, 5, 7 } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } maka X ∩ Y = { 2, 3, 5, 7}. Diagram Vennnya sebagai berikut. S

X=Y .2

.3

.5

.7

Gambar 6.17 Diagram Venn tentang Himpunan sama X dan Y

Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut di atas! Dari dua contoh tersebut, kita dapat menyatakan bahwa: Sifat Irisan

Jika A = B maka A ∩ B = A = B

3. Himpunan yang tidak saling lepas

Jika kedua himpunan tidak saling lepas dan himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain. Contoh

Jika C = Himp Himpuna unan n 5 bilan bilangan gan asli kuadrat kuadrat yang pertam pertama. a. D = Himpunan Himpunan 5 bilangan asli kelipatan 4 yang pertama. Carilah C ∩ D. Jawab: Karena C = { 1, 4, 9, 16, 25 } dan D = { 4, 8, 12, 16, 20 } maka C ∩ D = { 4, 16 } 190


Kedua himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram Venn sebagai berikut. S .8 .1 .1

C

C

.25 . 25

.9 .9

.4 .4

C D D

C . 16

.

.8 .12

. 16

. 12 D . 20

D

. 20

Gambar 6.18 Diagram Venn tentang Irisan Irisan dua Himpunan yang tidak saling lepas

4.

Dua himp himpun unan an yang yang salin aling g lepa lepass

Jika kedua himpunan saling lepas maka irisannya adalah himpunan kosong. Contoh

Misal M = Himpunan bilangan prima prima antara 1 dan 10. N = Himpunan Himpunan bilangan kuadrat antara 1 dan 10. Carilah M ∩ N. Jawab: Karena M = {2, 3, 5, 7} dan N = {4, 9} berarti tidak ada anggota M yang juga menjadi anggota N. Hal ini berarti M ∩ N tidak mempunyai anggota atau M ∩ N = ∅. M dan N adalah himpunan-himpunan saling lepas.

C

Diagram Venn Irisan Dua Himpunan untuk Menyelesaikan Soal Cerita

Kita sering tertarik dalam menentukan banyaknya elemen dari gabungan dua himpunan. Untuk menentukan banyaknya elemen dalam gabungan dua himpunan berhingga A dan B tetapi ingat bahwa kita menghitung banyaknya elemen dari masing-masing himpunan yaitu banyaknya elemen di A tetapi tidak di B atau di B tetapi tidak di A secara tepat satukali, dan masing-masing elemen di A dan B secara tepat duakali. Ma tem a tika SMP Kela s VII

191

Contoh 1

Dari sekelompok siswa ternyata: 25 siswa suka makan bakso, 20 siswa suka makan soto, dan 12 siswa suka makan keduanya (bakso dan soto). Berdasarkan keterangan di atas: a. Gamba Gambarlah rlah diagr diagram am Venn Venn untu untukk men menun unju jukka kkan n keada keadaan an tersebut! b. Berap Berapaa bany banyak ak siswa siswa dalam dalam kelo kelomp mpok ok terse tersebu but? t? c. Berap Berapaa ban banyak yak sisw siswaa yang yang su suka ka makan makan bakso bakso saja? saja? Jawab: Jika dimisalkan: B = Himpunan siswa yang su suka makan bakso T = Himpunan siswa yang suka makan soto B ∩ T = Himpunan Himpunan siswa yang yang suka suka makan bakso dan soto soto maka: a. Gamba Gambarr diag diagram ram Venn Vennny nyaa adala adalah h seb sebag agai ai ber beriku ikutt (angka menunjukkan banyak anggota) S

B

T

T

B T 13

12

8

Gambar 6.19 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan B dan T

b.

Banya Banyakk sisw siswaa dalam dalam kelo kelomp mpok ok ters terseb ebut ut ad adala alah h (25 + 20 - 12) orang siswa = 33 orang siswa. Mengapa? c. Ba Bany nyak ak siswa siswa yang yang su suka ka makan makan baks baksoo saja saja adal adalah ah 13 orang siswa. Selanjutnya diskusikan dengan teman-temanmu sebanyak 2 atau 4 orang tentang Contoh 2 berikut ini.

192


Contoh 2

Di antara 10 0 orang siswa di suatu SMP didapatkan data sebagai berikut: siswa menyenangi pelajaran Matematika, 45 siswa menyenangi pelajaran Bahasa Inggris, 38 siswa menyenangi pelajaran IPA, 20 siswa menyenangi pelajaran Matematika dan Bahasa 12 Inggris, siswa menyenangi pelajaran Matematika dan IPA, 10 8 siswa menyenangi pelajaran IPA dan Bahasa Inggris 4 oran orangg men menye yena nang ngii keti ketiga ga pela pelaja jara ran n ters terseb ebut ut (Mat (Matem emat atik ika, a, IPA, Bahasa Inggris). Berdasarkan keterangan tersebut, a. Gambar Gambarkan kan diagr diagram am Venn Venn yang yang meng menggam gambar barkan kan kead keadaan aan tersebut! b. Hitu itungla nglah h bany banyak ak sis siswa yang yang:: 1) menye enyena nang ngii Mate Matem matik atikaa sa saja ja.. 2) menye enyena nang ngii Baha Bahasa sa Ingg Inggri riss saj saja. a. 3) menyenan enanggi IPA saja aja. 4) meny menyen enang angii Matema Matematik tikaa tetap tetapii tidak tidak men menye yena nangi ngi IPA IPA.. 5) menye menyenan nangi gi Matemat Matematika ika tetap tetapii tida tidakk meny menyen enang angii Bahasa Inggris. 6) meny menyen enang angii IPA IPA tetap tetapii tidak tidak meny menyen enang angii Matem Matemati atika ka 7) meny menyen enang angii IPA IPA tetap tetapii tidak tidak meny menyen enan angi gi Baha Bahasa sa Inggris. 8) menye menyena nang ngii Baha Bahasa sa Ing Inggris gris tetap tetapii tida tidakk men menye yenan nangi gi Matematika. 9) menye menyena nang ngii Baha Bahasa sa Ing Inggris gris tetap tetapii tida tidakk men menye yenan nangi gi IPA. 10) tidak tidak meny menyen enang angii ketigan ketiganya. ya. Jawab: Misa Misalk lkan an M = Himp impunan sisw iswa yan yangg me menyen yenangi pelaj lajaran aran Matematika. B = Himp impunan sisw iswa yan yangg me menyen yenangi pelaj lajaran aran Bahasa Inggris. I = Himp impunan sisw iswa yang ang menyen yenangi pelaj lajaran aran IPA. Ma tem a tika SMP Kela s VII

193

maka: a. diagram diagram Venn Venn yang yang men mengg ggamb ambark arkan an kead keadaan aan di atas atas adalah sebagai berikut. S

Apa yang bisa kamu jelaskan dari gambar di samping ini?

B

8

22 27 M

18 22

4 6 4 96

23

I Gambar 6.20 Diagram Venn Venn tentang Irisan Iris an tiga Himpunan

b. Banyak siswa yang: 1) meny menyen enan angi gi Mat Matem emati atika ka sa saja ja 27 oran orang. g. 2) meny menyen enan angi gi Bah Bahas asaa Ing Inggr gris is saj sajaa 22 ora orang ng.. 3) menye nyenang nangii IP IPA saj sajaa 6 orang rang.. 4) menye menyena nangi ngi Matem Matemati atika ka tetap tetapii tidak tidak meny menyen enang angii IPA IPA (27+8) orang = 35 orang. 5) menye menyenan nangi gi Mat Matem emati atika ka teta tetapi pi tidak tidak men menye yenan nangi gi Bahasa Inggris ada (27 + 6) orang = 33 orang. 6) menye menyena nangi ngi IPA IPA tetap tetapii tidak tidak men menye yena nang ngii Matem Matemati atika ka ada (6 + 4) orang = 10 orang. 7) menye menyenang nangii IPA IPA tetapi tetapi tidak tidak menye menyenan nangi gi Bahasa Bahasa Inggris ada (6 + 6) orang. 8) menye menyenan nangi gi Baha Bahasa sa Ing Inggris gris tetap tetapii tidak tidak meny menyen enang angii Matematika ada (22 + 4) orang = 26 orang. 9) meny menyena enangi ngi Bahasa Bahasa Inggr Inggris is tetap tetapii tidak tidak men menye yenan nangi gi IPA ada (22 + 8) orang = 30 orang. 10) tidak tidak menyen menyenangi angi ketiga ketiga pelaja pelajaran ran ada ada 23 orang orang

194


Latihan 6.5

1.

Di k eta h ui : A = {a, b, c, d, e} B = {b, c, e, g, k} C = {a, c, e, g, h} a. Denga Dengan n cara cara mend mendaf aftar tar semu semuaa angg anggota otany nya, a, carila carilah: h: 1) A ∩ B 2) A ∩ C 3) B ∩ C b. Gambar Gambarkan kan diagra diagram m Ven Venn n dari dari masin masingg-mas masing ing soal soal tersebut. 2 . Diketahui: P = {x : x ≤ 4, x bilangan asli} Q = { x : 0 < x ≤ 7, x bilangan asli} R = {x : 3 ≤ x ≤ 8, x bilangan asli} a. Dengan cara cara mendaftar mendaftar semua anggotanya, anggotanya, carilah: 1) P ∩ Q 2) P ∩ R 3) Q ∩ R b.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut. 3 . Di k eta h ui : K = Himpunan Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari dari 50. L = Himpuna Himpunan n bilangan kelipatan kelipatan 4 kurang kurang dari 50 M = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 50. a. Dengan Dengan cara mendaftar semua semua anggotanya, anggotanya, tentukan tentukan : 1) K ∩ L 2) K ∩ M 3) L ∩ M b.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut. 4. Perh Perhati atika kan n diag diagra ram m Venn Venn di bawa bawah h ini ini.. Berdasarkan diagram Venn di bawah ini, dengan cara mendaftar semua anggotanya tentukan: a. S, yang merupakan merupakan himpunan himpunan semestanya. semestanya. b. A c. B d. A ∩ B S 1

10

.

.

3

5

∗

9

2

.

A

.

. 34 ∗ .4 ∗6 .6

.

19

.

B

7

11

.

.

8

14

.

.

13

.

20

.

12

.

18

.

15

.

17

.

Gambar 6.21 Diagram Venn tentang Irisan dua Himpunan A d an B


195

5.

6.

7.

196

Pada Pada seo seoran rangg agen agen koran koran dan dan maj majalah alah terc tercata atatt 12 oran orangg yang berlangganan keduanya, 20 orang berlangganan majalah saja, 8 orang berlangganan koran saja. a. Gamba Gambarl rlah ah dia diagra gram m Venn Venn unt untuk uk men mengg ggam amba bark rkan an keadaan di atas, dengan M = Himpunan pelanggan majal majalah ah,, dan dan K = Himpu Himpuna nan n pelan pelangga ggan n koran koran.. b. Berap Berapaa ban banyak yak pelan pelangg ggan an pada pada agen agen terse tersebu but. t. Di antara antara sekel sekelom ompo pokk siswa siswa yang yang terd terdiri iri atas atas 40 orang orang ternyata 20 orang suka mengarang, 22 orang suka melukis, dan 7 orang suka melakukan keduanya. a. Gamba Gambarl rlah ah dia diagra gram m Venn Venn unt untuk uk men mengg ggam amba bark rkan an keadaan di atas, dengan K = Himpunan siswa yang suka mengarang, dan L = Himpunan Himpunan siswa yang suka melukis. b. Berap Berapaa bany banyak ak sis siswa wa yan yangg tida tidakk suka suka mel meluk ukis is dan dan tidak suka mengarang? c. Bera Berapa pa ban banya yakk sis siswa wa yan yangg suka suka melu meluki kiss saj saja? a? d. Berap Berapaa ban banyak yak sisw siswaa yang yang su suka ka menga mengaran rangg saja saja?? Di antara 75 orang remaja puteri diketahui bahwa: 3 0 orang senang menjahit, 3 5 orang senang memasak, 3 5 orang senang merangkai bunga, orang senang menjahit dan memasak, 8 1 5 orang senang menjahit dan merangkai bunga, 1 2 orang senang memasak dan merangkai bunga, 5 orang senang ketiganya. Berdasarkan keterangan tersebut, maka: a. Gamba Gambark rkan an diag diagra ram m Ven V enn n yang yang men menun unju jukk kkan an keadaan tersebut, dengan memisalkan: J = Himpu Himpunan nan remaj remajaa puteri puteri yang yang senang senang menj menjahit ahit.. M= Himpunan remaja puteri yang senang memasak. R = Himpunan Himpunan remaja remaja puteri puteri yang senang senang merangkai merangkai bunga


b.

Tent Tentuk ukan an bany banyak ak rema remaja ja pute puteri ri yang yang:: 1) senang menjah jahit saja. aja. 2) senang me memasak sa saja. ja. 3) sena senang ng meran erangk gkai ai bung bungaa saj saja. a. 4) sena senang ng mer meran angka gkaii bung bungaa tetap tetapii tidak tidak suk sukaa menj menjahi ahit. t. 5) sena senang ng mera merang ngkai kai bung bungaa tetap tetapii tidak tidak su suka ka mem memas asak. ak. 6) sena senang ng mema memasa sakk tet tetap apii tida tidakk suk sukaa men menja jahit hit 7) sena senang ng mem memas asak ak tet tetap apii tidak tidak suk sukaa meran merangka gkaii bung bunga. a. 8) sena senang ng menj menjah ahit it tetap tetapii tida tidakk su suka ka mema memasa sak. k. 9) sena senang ng men menja jahit hit tetap tetapii tidak tidak suk sukaa mer meran angka gkaii bung bungaa 10) tidak tidak senang senang dengan dengan ketig ketigaa kegiatan kegiatan terse tersebut but..


197

6 .6

Gabungan A

Pengertian Gabungan Dua Himpunan

Perhatikan kembali himpunan-himpunan yang sudah kamu pelajari , yaitu: A = Himpunan mata pelajaran pada ujian akhir SD yang sudah dipelajari Ani. A = {PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika}

Apa yang akan kamu pelajari?    

Pengertian gabungan dua himpunan. Menentukan gabungan dua himpunan. Gambar diagram Venn gabungan dua himpunan. Soal cerita tentang gabungan dua himpunan, dengan menggunakan diagram Venn.

Kata Kunci: •

Gabungan dua himpunan

dan

B = Himpunan mata pelajaran pada ujian akhir SD yang sudah dipelajari Budi. B = {Matematika, IPA} Jika kita gabungkan semua pelajaran yang sudah dipelajari oleh Ani atau Budi, maka kita peroleh suatu himpunan, yaitu: Himpunan mata pelajaran yang sudah dipelajari oleh Ani atau Budi, atau

{PPKn, Bahasa Indonesia, Matematika, IPA}, yang merupakan gabungan himpunan A dan himpunan B. Jadi, himpunan semua anggota A atau anggota B itu merupakan gabungan himpunan A dan himpunan B, yang dilambangkan dengan A B. Jika digambarkan dalam diagram Venn, diperoleh: S

B

A

Bagian yang diarsir • • IPA

PPKN

• Mat. • B. Indon.

Gambar 6.22 Diagram Venn tentang gabungan Himpunan A dan B

198


menunjukkan A

B

Bagaimana cara menyatakan gabungan ga bungan dua himpunan himpunan itu secara matematis? Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis: Gabungan

A

∪

B={x|x

∈

A atau x

∈

B}

Jadi, apa perbedaan irisan dua himpunan dengan gabungan dua himpunan? Contoh 1

Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7, 8}, maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} Jika digambarkan dalam diagram Venn, diperoleh S

A

.1

B

.2

Bagian yang diarsir menunjukkan A B

.5

.8

.4

.3

.7

Gambar 6.23 Diagram Venn tentang gabungan HiMpunan A dan B

Coba cari 2 himpunan lain, kemudian tentukan gabungan dua himpunan tersebut!

B

Menentukan Gabungan Dua Himpunan

Untuk menentukan gabungan dua himpunan ada beberapa kemungkinan, yaitu: a.

Himp Himpuna unan n yan yang g satu satu merup merupak akan an him himpu puna nan n bagi bagian an dar darii himpunan yang lain

Jika gabungan dari dua himpunan dimana himpunan A memuat himpunan B, maka gabungan A dan B adalah himpunan A sendiri Ma tem a tika SMP Kela s VII

199

Contoh 2

Ji k a A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, d} ma k a A∪B = {a, b, c, d, e, f} = A. Gambar diagram Vennnya sebagai berikut. S .

Bagian yang diarsir

a .c

menunjukkan A

b

.f

B

B .d

.e

Gambar 6.24 Diagram Venn tentang gabungan dari B

A

⊂

A

Contoh 3

Jika A = Himpuna Himpunan n bilangan bilangan asli asli yang tidak lebih lebih dari 7. B = Himpunan Himpunan bilangan asli asli ganjil yang yang tidak lebih lebih dari 7. m a k a A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } B = {1, 3, 5, 7} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = A Gambar diagram Vennya sebagai berikut. S

Bagian yang

B .1

.3

.4 A

.6 .5

.7

.2

Gambar 6.25 Diagram Venn tentang gabungan dari B ⊂ A

200


diarsir menunjukkan A

B

Dari dua contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa: Sifat Gabungan a.

Jika B

A maka A

B=A

Jika ke kedua hi himpunan sama ama Karena dua himpunan itu sama, maka gabungannya adalah himpunan itu sendiri

Contoh 4

Jika Jika

A = Him Himpu puna nan n bila bilanga ngan n asli asli ku kuran rangg dari dari 7, dan B = {x : 0 < x < 7, x bilangan bilangan cacah cacah}, }, maka A = {1, {1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6} 6} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A = B DiagramVennnya sebagai berikut. S .1

.3

.5

.6

Bagian yang diarsir

.4

menunjukkan A B

.2

A=B

Gambar 6.26 Diagram Venn tentang gabungan dua Himpunan yang sama

Contoh 5

Misal A = Himp Himpuna unan n bilang bilangan an prima prima antara antara 1 dan 10 B = {2, {2, 3, 5, 7} Carilah A ∪ B. Jawab: Karena arena A = {2, {2, 3, 5, 7} 7} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A ∪ B = {2, 3, 5, 7} = A = B. Ma tem a tika SMP Kela s VII

201

Diagram Vennnya sebagai berikut. S

A=B

Bagian yang diarsir .3

.2

.5

.7

menunjukkan A

B

Gambar 6.27 Diagram Venn tentang gabungan dua sam a

Apa yang dapat kamu simpulkan dari dua contoh tersebut? Dari dua contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa: Sifat Gabungan c.

Jika A = B maka A

B=A=B

Dua hi himpunan sali aling le lepas

Jika dua himpunan saling lepas, maka gabungannya adalah menggabungkan semua elemen dari kedua himpunan tersebut. Contoh 6

Jika Jika

A = Him Himp punan unan bila bilang ngan an as asli li gan ganjijill kur kuran angg dar darii 10. 10. B = Himpunan Himpunan bilangan cacah cacah genap genap kurang kurang dari dari 10. maka maka A = {1, {1, 3, 5, 7, 9} B = {0, {0, 2, 2, 4, 6, 8} 8} A ∪ B = {0, {0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} 9}

Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka diperoleh: S

A

B .1

.0 .4

5

.3

.7

.9

.6

.2

.8

Gambar 6.28 Diagram Venn tentang gabungan dua himpunan yang saling lepas

202


Bagian yang diarsir menunjukkan A B

d. Dua Dua him himpu puna nan n yang yang tida tidakk sali saling ng lepa lepass Jika Dua himpunan tidak saling lepas, maka gabungannya adalah menggabungkan setiap elemen dari kedua himpunan tersebut, tetapi elemen irisannya hanya dihitung satukali. Contoh 7

Misal A = Himp Himpun unan an ku kuadr adrat at dari dari 6 bilan bilangan gan as asli li yang yang pertama. B = Himpu Himpunan nan 6 bilangan bilangan asli kelip kelipatan atan 4 yang pertam pertama. a. Carilah A ∪ B. Jawab: Karen Karenaa A = {1, 4, 9, 16, 16, 25 } dan B = {4, {4, 8, 12, 12, 16, 16, 20, 20, 24} 24} maka A ∪ B = {1, 4, 8, 9, 16, 20, 24, 25} Diagram Vennnya sebagai berikut. S .8 .1

.4

.12

Bagian yang diarsir

.25

A

. 20 .9

. 16

B

menunjukkan A B

. 24

Gambar 6.29 Diagram Venn tentang dua himpunan yang tidak saling lepas

C

Diagram Venn Gabungan Dua Himpunan untuk Menyelesaikan Soal Cerita

Cara terbaik untuk menggunakan gabungan dua himpunan untuk menyelesaikan soal cerita adalah menggunakan diagram Venn Contoh 1

Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 57 orang ternyata 40 orang suka makan bakso, dan 32 orang suka makan soto, 17 orang suka kedua-duanya. a. Gambar Gambarlah lah diagra diagram m Ven Venn n untu untukk meng menggam gambar barkan kan kead keadaan aan di atas. b. Berap Berapaa bany banyak ak sisw siswaa yan yangg suk sukaa baks baksoo atau atau soto soto?? c. Berap Berapaa bany banyak ak sisw siswaa yang yang tidak tidak su suka ka maka makan n kedu keduan anya? ya? Ma tem a tika SMP Kela s VII

203

Jawab:

a.

Gam Gambar bar diagr diagram am Ve Vennny nnnyaa seba sebaga gaii beri beriku kut. t. (Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkan banyak-nya siswa) S B

23

T

17

B

15

T 2

Gambar 6.30 Diagram Venn tentang gabungan dua himpunan

Misalkan: B = Himpunan siswa yang suka makan bakso T = Himpunan siswa yang suka makan soto B ∪ T = Himpunan siswa yang suka makan bakso atau soto. b. Ba Banya nyakk sisw siswaa yang yang suk sukaa makan makan bakso bakso atau atau sot sotoo adal adalah ah (40 + 32 - 17) orang siswa = 55 orang siswa. c. Banya Banyakk sis siswa wa yan yangg tida tidakk suk sukaa maka makan n ked kedua uany nyaa (baks (baksoo dan dan soto) adalah (57 - 55) orang = 2 orang siswa. Selanjutnya diskusikan dengan temanmu Contoh 2 berikut. Contoh 2

Di antara 100 orang siswa di suatu SMP didapatkan data sebagai berikut: 32 sis siswa su suka ka mem memelih elihar araa aya ayam m, 30 sisw siswaa su suka ka meme memelih lihar araa bur burun ung, g, 20 sisw siswaa suk sukaa mem memel elih ihat ataa kuc kucin ing, g, 8 sisw siswaa su suka memeli meliha hara ra ayam ayam da dan n bur buru ung, ng, 7 sisw siswaa su suka memeliha lihara ra ayam ayam da dan n ku kucing, ing, 9 sisw siswaa su suka me memeliha lihara ra bu burung rung da dan n ku kucing, ing, 204


5 sisw iswa su suka mem memeelih lihara ara ket ketig igaanya. ya. Berdasarkan keterangan tersebut, maka: a. Gambarkan diagram Venn Venn yang menunjukkan menunjukkan keadaan keadaan di atas. b.Tentukan banyak siswa yang: 1) su suka ka memel emelih ihar araa aya ayam m ata atau u bur burun ung. g. 2) suka memeliha lihara ra ayam ayam sa saja ja.. 3) su suka ka mem memel eliha ihara ra sala salah h satu satu saja saja dari dari ketig ketigan anya. ya. 4) su suka ka meme memelih lihara ara buru burung ng,, tetap tetapii tidak tidak su suka ka memelihara ayam. 5) su suka ka mem memel elih ihar araa ayam, ayam, tetap tetapii tidak tidak suka suka mem memel elih ihara ara kucing. 6) tida tidakk suka suka me memeliha lihara ra ke ketiga tigany nyaa Jawab:

Misalkan: A = Him Himpu puna nan n sisw siswaa yang yang suk sukaa meme memeli liha hara ra ayam ayam.. B = Him Himpu puna nan n sis siswa wa yan yangg suka suka mem memel elih ihar araa buru burung ng.. K = Him Himpu puna nan n sisw siswaa yang yang su suka ka meme memelih lihara ara ku kucin cing. g. Maka: a. diagram diagram Venn Venn yang yang mengg menggam ambark barkan an kead keadaan aan di atas atas adalah sebagai berikut. (Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkan banyaknya siswa) S

22

3

18 B

A

5 2

4

9

K Gambar 6.31 Diagram Venn tentang gabungan tiga himpunan


205

b. Banyak siswa yang: 1) su suka ka meme memelih lihara ara ayam ayam atau atau buru burung ng = (22 (22 + 2 + 5 + 3 +4 + 18) orang = 54 orang. 2) su suka ka meme memeli liha hara ra aya ayam m saj sajaa = 22 oran orang. g. 3) su suka ka mem memeli elihar haraa salah salah sa satu tu saja saja dari dari ket ketigan iganya ya = (22 (22 + 9 + 18) orang = 49 orang. 4) su suka ka meme memelih lihara ara bur burun ung, g, tetap tetapii tidak tidak suka suka meme memelih lihara ara ayam = (18 + 4) orang = 22 orang. 5) su suka ka mem memel eliha ihara ra ayam ayam,, tetap tetapii tidak tidak suk sukaa meme memelih lihara ara kucing = (3 + 22) orang = 25 orang. 6) tida tidakk suka suka mem memel elih ihar araa keti ketiga gany nyaa = 37 ora orang ng Latihan 6.6

1.

2.

3.

206

Diketahui A = {1, 2, 3, 5, 7} B = {4, 5, 6, 7, 9} C = {3, 7, 8, 9, 10, 11} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. A ∪ B b. A ∪ C c. B ∪ C d.Gambarlah masing-masing gabungan dengan menggunakan dia gram Venn. Diketahui A = {x : x ≤ 5, x bilangan asli} B = {x : 3 < x < 8, x bilangan asli} C = {x : 5 ≤ x ≤ 10, x bilangan asli} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. A ∪ B b. A ∪ C c. B ∪ C d.Gambarlah masing-masing gabungan dengan menggunakan dia gram Venn. Dike Diketa tahu huii A = Him Himpu pun nan ku kuad adra ratt bil bilan anga gan n as asli li ku kura rang ng dari 30. B = Himpunan kelipatan 5 yang kurang dari 30. C = Himpunan kelipatan 6 yang kurang dari 35. Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. A ∪ B b. A ∪ C c. B ∪ C d.Gambarlah masing-masing gabungan dengan menggunakan diagram Venn!


Berpikir kritis:

4.

5.

6.

Di anta antara ra warg wargaa kampu kampung ng yang yang ter terdi diri ri atas atas 60 60 orang orang,, terny ternyata ata 20 orang ber-langganan majalah, 35 orang berlangganan koran, dan 5 orang berlangganan keduanya. a. Gambar Gambarlah lah su suatu atu diag diagram ram Venn Venn unt untuk uk menu menunj njuk ukka kan n keadaan di atas, dengan memisalkan M = Himpunan pelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran. b. Berap Berapaa bany banyak ak warg wargaa kamp kampun ungg yang yang tidak tidak berla berlang nggan ganan an kora koran n atau maj majaa-lah? c. Berap Berapaa bany banyak ak warg wargaa kamp kampu ung yan yangg berla berlang ngga gana nan n koran atau majalah? d. Berap Berapaa bany banyak ak warg wargaa kamp kampun ungg yang berlan berlangga gganan nan koran saja? e. Berapa banyak warga kampung kampung yang yang berlangganan majalah saja? Di antar antaraa seke sekelom lompo pokk sis siswa wa yang yang terdi terdiri ri atas atas 50 orang orang ternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka main basket, dan 8 orang suka main keduanya. a. Gambar Gambarlah lah diagra diagram m Ven Venn n untu untukk men menun unju jukka kkan n kead keadaan aan di atas. b. Berap Berapaa bany banyak ak sis siswa wa yang yang su suka ka main main ten tenis is atau atau baske basket? t? c. Berap Berapaa ban banyak yak siswa siswa yang yang tida tidakk suk sukaa main main kedu keduan anya? ya? d. Berap Berapaa bany banyak ak siswa siswa yan yangg suk sukaa main main tenis tenis saja? saja? e. Berap Berapaa bany banyak ak sisw siswaa yang yang su suka ka main main bas baske kett saj saja? a? Di antara antara seke sekelo lomp mpok ok warga warga yang yang ter terdir dirii atas atas 50 oran orangg yang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membeli buah apel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orang membeli kedua macam buah tersebut. a. Gambar Gambarlah lah diagra diagram m Ven Venn n untu untukk men menun unju jukka kkan n kead keadaan aan di atas. b. Berap Berapaa banya banyakk warga warga yang yang memb membel elii buah buah ape apell atau atau bua buah h pisang? c. Berap Berapaa bany banyak ak warga warga yang yang memb membel elii bua buah h ape apell saja saja?? d. Bera Berapa pa ban banya yakk warg wargaa yang yang memb membel elii salah salah sat satu u dari dari kedua macam buah tersebut? e. Berap Berapaa bany banyak ak warg wargaa yang yang tida tidakk mem membe beli li ked kedua ua maca macam m buah tersebut. Ma tem a tika SMP Kela s VII

207

7.

Jika diketahui: S = Himpuna Himpunan n siswa siswa yang yang senang senang makan soto. soto. B = Himpunan Himpunan siswa yang senang senang makan bakso. G = Himpunan Himpunan siswa yang senang senang makan gado-gado gado-gado.. dengan diagram Venn sebagai berikut. (Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkan banyaknya siswa)

15

5

13 B

S

12 18

17

11

9

G

Tentukan banyak siswa yang: a. senang senang makan soto atau atau bakso bakso b. senang makan makan bakso atau gado-gado gado-gado.. c. senang senang makan makan bakso bakso saja. saja. d.senang makan gado-gado saja. e. senang senang makan soto tetapi tetapi tidak senang makan gado-gado gado-gado.. f. senang makan soto, soto, tetapi tetapi tidak senang senang makan makan bakso. bakso. g. senang senang makan bakso, tetapi tetapi tidak senang makan makan soto

208


Komplemen Himpunan

6 .7 A

  



Pengertian himpunan komplemen Menentukan himpunan komplemen. Menentukan selisih dua himpunan Menunjukkan himpunan komplemen pada suatu diagram Venn. Menunjukkan selisih dua himpunan pada diagram Venn

Kata Kunci: • •

Selisih

Pengertian Komplemen


dan

Himpunan Komplemen Selisih dua himpunan

Sering terjadi bahwa semua himpunan yang didiskusikan dalam suatu konteks matematis tertentu merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan khusus. Contoh 1

Misal S adalah himpunan semua mata pelajaran di sekolahmu yang dilambangkan dengan; S = {PPKn, Bhs Indonesia, Matematika, Ekonomi,

PKK, IPA, IPS, Bhs Inggris, Penjas, Kesenian}. Jika himpunan M = {IPA, Matematika} dan S adalah himpunan semestanya, maka mata pelajaran apakah yang termasuk anggota himpunan S , tetapi tidak termasuk dalam himpunan M ?

Contoh 2

Misal S adalah himpunan semua huruf dalam abjad Latin yang dilambangkan dengan S = {Seluruh abjad Latin}. Jika himpunan V = {Huruf vokal dalam abjad Latin} dan S adalah himpunan semestanya, maka huruf apakah yang termasuk himpunan S tetapi tidak termasuk anggota himpunan V ? Pada Contoh 1 di atas, PPKn, Bhs Indonesia, Bhs Inggris, Ekonomi, PKK, IPS, Penjas, dan Kesenian termasuk anggota himpunan semesta S, tetapi bukan anggota himpunan M . Pada Contoh 2 di atas, huruf mati seperti b dan n anggota himpunan semesta S tetapi bukan anggota himpunan V . Ma tem a tika SMP Kela s VII

209

Mata pelajaran yang tidak masuk dalam himpunan M da dan n huruf-huruf yang tidak termasuk anggota himpunan V , masingmasing merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta himpunan Komplemen S. Himpunan bagian seperti ini disebut himpunan dari suatu himpunan. Misalnya, Misal nya, himpunan komplemen dari himpunan ’(penulisan lain M c) dan dibaca sebagai M dilambangkan M ’(penulisan “komplemen dari himpunan M ” atau “komplemen M . ” Komplemen dari himpunan V dilambangkan dengan ’(penulisan lain Vc) dibaca “komplemen V .” .” V ’(penulisan Dengan notasi, komplemen suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai berikut. Misal terdapat himpunan A dan himpunan semestanya S. Maka komplemen dari A, atau A’, adalah: A = {x : x ∈ S dan x ∉A}

B

Diagram Venn Himpunan Komplemen

Perhatikan kembali himpunan-himpunan mata pelajaran dan abjad Latin di Contoh Contoh 1 dan Contoh Contoh 2. Penyelesaian Penyelesaian masingmasing adalah: Contoh 3

a.

210

= {PPKn, {PPKn, Bhs Indonesia Indonesia,, Matem Matematika, atika, Ekonomi, Ekonomi, PKK, PKK, IPA, IPS, Bhs Inggris, Penjas, Kesenian} PA, Mate Matem matik tika} M = {IPA, {PPKn, n, Bhs Bhs Indo Indone nesia sia,, Bhs Bhs Inggr Inggris is,, Ekon Ekonom omi, i, PKK PKK,, M ’ = {PPK IPS, Penjas, Kesenian} S


Diagram Venn-nya adalah: S •

•

M

Ekonomi

•

Penjas

IPA •IP A

IPS IP S

•

PPKn

MAT • •

Mat.

B. Inggris

PKK B. Indon. •

• •

Bagian yang diarsir adalah M’

Kesenian

Gambar 6.32 Diagram Venn Venn tentang komplemen dari suatu Himpunan M

b.

= {a, b, c, d, ..., x, y, z} V = {a, e, i, o, u} {b, d, f, g, h, j,j, k, l, m, m, n, p, p, q, r, s, s, t, v, w, w, , y, y, z} V ’ = {b, Diagram Venn-nya adalah S

S

S

V

V

vokal Vokal

konsonan

Bagian yang diarsir adalah V’

Konsonan

Gambar 6.33 Diagram Venn tentang komplemen dari suatu Himpunan V

Untuk mengetahui hubungan antara suatu himpunan, komplemennya dan himpunan semestanya, salin dan lengkapi tabel berkut ini.


211

Contoh 4

Himpunan Se Semesta

Himpunannya

Komplemennya

S = (Mata Pelajarandi M= {IPA Matematika} SMP) S = (huruf abjad latin)

Irisan

Gabunga ungann nny ya

Car Cardina dinallitasnya nya

n(M) + n(M) =

V = {Huruf hidup}

S = {3,4,7,10,12,28}

Berdasarkan kegiatan di atas, didapat kesimpulan seperti berikut. Hubungan himpunan komplemen, dan semestanya

(1) M ∩ M = ∅ (2) M ∩ M’ = S (3) n(M) + n(M’) = n(S)

Himpunan hasil dari menghubungkan dua himpunan seperti irisan dan gabungan juga mempunyai komplemen. Contoh 5

Misal S = Himp Himpun unan an 40 bilang bilangan an asli asli pertam pertama. a. Himpunan nan kuad kuadrat rat dari dari 6 bilangan bilangan asli asli yang yang A = Himpu pertama. Himpunan an 6 bilang bilangan an asli asli kelipata kelipatan n 4 yang yang B = Himpun pertama. Carilah ( A A ∩ B)’ Jawab:

Karena S = {1, 2, 3, ..., 38, 39, 40} A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} dan B = {4, 8, 12, 16, 20, 24} maka A ∩ B = { 4, 16} dan ( A A ∩ B)’= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40} 212


Diagram Venn-nya adalah. S A

B

Gambar 6.34 Diagram Venn tentang Komplemen dari Irisan Himpunan A dan B

C

Selisih Dua Himpunan

Pada awal subbab ini telah dibahas himpunan komplemen terhadap himpunan semesta S . Sekarang akan dipelajari komplemen suatu himpunan terhadap himpunan lain. Contoh 6

Perhatikan himpunan A dan B berikut: A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 5, 7, 11} Dari kedua himpunan di atas, carilah anggota B yang tidak ada di A. Jawab:

Dengan menggunakan definisi komplemen, Komplemen A terhadap B adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, yaitu yait u {7, 11}. Komplemen B terhadap A adalah himpunan yang ada di A, tetapi tidak ada di B, yaitu {1, 3, 4}. Komplemen B terhadap A, ditulis A – B, dibaca sebagai “ Ada di A tetapi tidak ada B”. Komplemen A terhadap B, ditulis B – A, dan dibaca “ Ada di B, tetapi tidak ada di A.” Untuk himpunan di atas; (i) B – A = {7, 11} (ii) A – B = {1, 3, 4} Dengan notasi, selisih dua himpunan dapat dilambangkan seperti berikut. Ma tem a tika SMP Kela s VII

213

Diketahui himpunan A dan B. Maka selisihnya adalah: A-B = {x : x ∈ Αdan x ∉ Β} A-B = {x : x ∈ Β dan x ∉ Α} Contoh 7

Diketahui P = {1, 3, 5} dan Q = {2, {2, 4, 6}. Karena P maka P – Q = P = {1, 3, 5} dan Q – P = {2, 4, 6}.

∩Q

= ∅,

Secara visual, perhatikan diagram berikut. S

P

1 3 5

Q Q 2 4 6

Gambar 6.35 Diagram Venn tentang Selisih dua Himpunan P dan Q

S

P

1 3 5

QQ 2 4 6

Gambar 6.36 Diagram Venn tentang Selisih dua Himpunan Q dan P

Latihan 6.7

1.

Tunjukk kkan an bahw ahwa ap apabil abilaa A adalah sebuah himpunan dan S adalah himpunan semestanya, maka: A’)’ = A a. ∅’ = S b. S’ = ∅ c. ( A 2 . Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 5, 7} B = {4, 5, 6, 7, 9} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a . ( A b. ( A A ∪ B)’ A ∪ B)’ c. Gambarlah diagram Venn-nya. 3 . Diketahui S = {x : x ≥ 5, x bilangan asli} B = {x : 5 < x < 8, x bilangan asli} C = {x : 5 ≤ x ≤ 10, x bilangan asli} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. (B ∩ C)’ b. (B ∪ C)’ c. B - C d. Gambarlah diagram Venn masing-masing

214


4.

Di k eta h ui : S = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 30. L = Himpunan kelipatan 5 yang kurang dari 30. E = Himpunan kelipatan 6 yang kurang dari 35. Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: a. L ∩ E b. E ∪ L c. E – L d. L - E e. Gambarlah diagram Venn masing-masing. masing-masing.

5.

Di antara antara warga warga kam kampu pung ng yan yangg terd terdiri iri ata atass 60 orang orang,, ternyata 20 orang ber-langganan majalah, 35 orang berlangganan koran, dan 5 orang berlangganan keduanya. a. Gambar Gambarlah lah suatu suatu diagr diagram am Venn Venn untu untukk menu menunju njukka kkan n keadaan di atas, dengan memisalkan M = Himpunan pelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran. b. Berapa banyak banyak warga kampung kampung yang tidak berlangganan koran atau maja-lah? c. Berapa banyak banyak warga kampu kampung ng yang tidak berlangganan berlangganan koran atau ma majalah? d.Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan koran saja? e.Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan maja lah saja? f. Berapa banyak warga kampung yang berlangganan koran tetap tapi tid tidak berla erlang ngga gana nan n maja ajalah? lah? Di antara antara sekel sekelom ompo pokk siswa siswa yang yang terd terdiri iri atas atas 50 oran orangg ternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka suka main basket, dan 8 orang suka main keduanya. a. Gambarlah diagram Venn Venn untuk menunju menunjukkan kkan keadaan di atas. b.Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis dan basket? c. Berapa banyak banyak siswa yang yang tidak suka main main keduanya? keduanya? d.Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis saja? e. Berapa banyak banyak siswa yang yang tidak suka main main basket saja? saja? f. Banyak siswa yang tidak suka main tenis tetapi suka basket?

6.


215

7.

8.

Di ant antara ara seke sekelom lompo pokk warga warga yang yang terd terdiri iri atas atas 50 orang orang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membeli buah apel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orang membeli kedua macam buah tersebut. a. Gambarlah diagram Venn Venn untuk menunju menunjukkan kkan keadaan di atas. b. Berapa Berapa banyak warga yang tidak membeli membeli buah apel apel dan buah pisang? c. Berapa Berapa banyak warga yang tidak tidak membeli membeli buah apel apel saja? d.Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macam buah tersebut? Jika diketahui: S = Himpunan yang suka jajan. A = Himpunan Himpunan siswa siswa yang senang makan makan soto. soto. B = Himpunan Himpunan siswa yang senang senang makan bakso. G = Himpunan Himpunan siswa yang senang senang makan gado-gado gado-gado.. dengan diagram Venn sebagai berikut. (Angka yang tertera pada diagram Venn menunjukkan

15

5

13

12

A 18

17

11

B

9

G

Gambar 6.35 Diagram Venn tentang Selisih dua Himpunan P dan Q

Tentukan banyak siswa yang: a. tidak senang makan soto atau bakso b. tidak senang senang makan makan bakso bakso dan gado-g gado-gado ado.. c. tidak senang senang makan bakso saja. d. tidak senang makan gado-gado gado-gado saja. e. suka bakso tetapi tidak suka gado-gado. 216


RANGKUMAN A. Peng Penger erttian ian himp impun unan an

Suatu koleksi objek-objek disebut suatu himpunan dan objek-objek itu disebut elemen atau anggota dari himpunan itu. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, dst. Simbol “ ∈” digunakan untuk menyatakan suatu objek dari suatu himpunan, dan simbol “ ∉ ” menyatakan bukan suatu objek dari suatu himpunan. B.

Cara ara men meny yatak atakan an himp himpun unan an

Himpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara: (1) suatu deskripsi verbal, (2) suatu daftar anggota yang dipisahkan dengan koma, dan dengan kurung kurawal buka dan kurawal tutup. C.

Himp Himpuna unan n berhi berhingg ngga a dan tak berhi berhingg ngga a

1. Himpunan berhingga: A = {1, 2, 3, 4, 5}., n(A) = 5 2. Himpunan tak berhingga: B = {1, 2, 3, ...}., n(B) = ∞ D. Diagram Venn

Suatu cara sederhana menjelaskan relasi antara himpunan adalah dengan diagram Venn. 1. Himp impunan nan se semesta sta Jika semua himpunan di bawah pertimbangan adalah himpunan bagian dari suatu himpunan S tertentu, maka himpunan S disebut himpunan semesta. 2. Himpunan bagi bagian an A ⊂ B = {x : jika x ∈ A, maka x ∈ B} E. Operasi himpunan

1. Irisan: A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈B} 1.1 Sifat Sifat irisan irisan:: jika jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A 1.2 Kesamaan Kesamaan himpunan himpunan:: jika A = B, maka A ∩ B = A = B 1.3 1. 3 Himpunan Himpunan yang tidak saling saling lepas: lepas: Ma tem a tika SMP Kela s VII

217

Irisan dari dua himpunan yang tidak saling lepas adaalah ad lah himpu impuna nan n yang memiliki elemen-elemen sekutu. 1.4 Himpunan yang saling lepas: Irisan dari dua himpunan yang saling lepas adalah himpunan kosong (∅) 2. Gabungan: A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B} 2.1 Sifat ifat gabu gabung ngan an:: jik jikaa B ⊂ A, maka A ∪ B = A 2.2 Kesam Kesamaan aan himpu himpunan nan:: jika jika A = B, maka maka A ∪ B = A = B 2.3 Himp Himpun unan an yang yang tidak tidak saling saling lepa lepas: s: Jika dua himpunan yang tidak saling lepas, maka gabungannya adalah menggabungkan setiap elemen dari kedua himpunan itu tetapi elemen irisannya hanya dihitung satukali. 2.4 Dua Dua him himpu puna nan n yang yang sali saling ng lepa lepas: s: Jika himpunan A dan himpunan B saling lepas, maka gabungan dari A dan B adalah himpunan yang memuat semua elemen yang ada di A dan di B. 2.5 Jika gabungan gabungan dari du duaa himpu himpunan nan di mana mana himpu himpunan nan A memuat himpunan B, maka gabungan dari A dan B adalah A sendiri. F.

Kompl omplem emen en dan dan seli selisi sih h hi himp mpun unan an

1. Komplemen Komplemen dari suatu himpunan A, ditulis A’ adalah himpunan semua elemen di di semesta, semesta, S yang tidak di A. 2. Hubungan himpunan M, komplemen, dan semestanya a. M ∩ M’ = ∅ b. M ∪ M’ = S c. n(M) + n(M’) = n(S). 3. Selisih dua himpunan A dan B: A – B = {x : x ∈ A dan x ∉ B} B – A = {x : x ∈ B dan x ∉ A}

218


EVALUASI MANDIRI Tes objektif

1.

2.

3.

4.

5.

Jika= Jika= {a, {a, a, b, b, b, c} da dan n B = {a, {a, b, c, d, e}, e}, maka maka perny pernyata ataan an yang salah adalah: a. A ∩ B = {a, b, c} b. A ∪ B = {a, b, c, d, e} c. n (A) =5 d. n (A) = 2 S = {huruf {huruf abjad} abjad},, A = {huru {huruff voka vokal}, l}, B = {huruf {huruf konso konsonan} nan}.. Pernyataan manakah yang salah? a. A ∪ B = S c. A⊂S b. A ∩ B = ∅ d. A ∈ S Pernyat nyataa aan n manak anakah ah yang ang salah sesuai dengan S A B gambar di bawah? a. A ∪ B = ∅ b. A ∩ B = ∅ c. S – A = A’ d. S – B = B’ Pern Pernya yata taan an di baw bawah ah ini ini yang yang sesu sesuai ai den denga gan n A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B} adalah: a. A ∩ B = {x : x ∈ A} ∩ {x : x ∈ B} b. A ∪ B = {x : x ∈ A} ∪ {x : x ∈ B} c. A ∪ B = ∅ d.A ∪ B = S Pern Pernya yata taan an di baw bawah ah ini ini yang yang sesu sesuai ai den denga gan n A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B} adalah: a. A ∪ B = {x : x ∈ A} ∩ { x : x ∈ B} b. A ∪ B = {x : x ∈ A} ∪ {x : x ∈ B} c. A ∪ B = ∅ d.A ∪ B = S Ma tem a tika SMP Kela s VII

219

Tes Essay

Misalkan S adalah himpunan semesta, sedangkan A dan B adalah himpunan bagian dari S, di mana S = {e, {e, u, u, r, a, s, i, h, h, o, m}, A = {r, a, o}, B = {s, e, e, r, m, a}. a}. Tentu Tentukanl kanlah: ah: 1. 2. 3. 4. 5.

S – A = A’ S – B = B’ A∪B (A ∪ B)’ A∩B

REFLEKSI

Dalam refleksi ini anda diharapkan dapat memonitor diri anda sendiri tentang pemahaman anda dalam mempelajari topik himpunan dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut. 1. Jelas Jelaskan kan apa apa,, bagaim bagaimana ana,, dan dan menga mengapa pa mem mempe pelaj lajari ari top topik ik Himpunan dengan baik? 2. Apakah Apakah anda anda dapat dapat meng mengaitk aitkan an satu satu su subto btopik pik denga dengan n subtopik lainnya dalam topik Himpunan? 3. Jika Jika anda anda tidak tidak da dapa patt menga mengaitk itkann annya, ya, apa apa kenda kendalan lanya? ya? Bagaimana tidaklanjutnya? 4. Apaka Apakah h anda anda da dapat pat mengo mengomu munik nikasi asika kan n kep kepada ada teman teman anda apa yang telah anda pelajari tentang topik Himpunan? 5. Jika Jika anda anda tidak tidak dapat dapat mengo mengomu munik nikasi asikan kannya nya,, apa apa kendalanya? Bagaimana tindaklanjutnya? 6. Apaka Apakah h anda anda dapat dapat mer merang angku kum m konse konsepp-ko kons nsep ep kun kunci ci dari dari masing-masing subtopik dalam topik Himpunan? 7. Jika Jika anda anda tidak tidak dap dapat at mer merang angku kumn mnya, ya, apa apa kenda kendalan lanya? ya? bagaimana tindaklanjutnya? 8.. Makna apa yang anda perole peroleh h sete setelah lah anda anda mempel mempelajari ajari topik Himpunan?

220


Matematika Kls 7 Bab 6

Recommend Documents