Matematika A-Trinom skripta

Matematika Viša razina

Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof.

Zagreb, 2014.

Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof.

Naslov: Matematika Viša razina

Izdanje: 2. izdanje

Urednik: Ivan Jurišić

Voditelj projekta: Domagoj Mak

Stručni recenzent: doc. dr. sc. Petar Javor Nakladnik: Algebra d.o.o., 2014. Za nakladnika: mr.sc. Mislav Balković Mjesto i godina izdanja: Zagreb, 2014. www.drzavnamatura.hr [email protected] U ovom izdanju korišteni su zadaci prošlih rokova državne mature, Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a. Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji način. Zabranjeno je svako kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim organizacijama u svrhu organiziranih školovanja, a bez pisanog odobrenja nositelja autorskih prava.

Copyright © Algebra d.o.o.

SADRŽAJ 1. POGLAVLJE:

BROJEVI I ALGEBRA ................................................................................................................................................. 3

1.1

Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C ........................................................................................................................................... 4

1.2

Elementarno računanje ..................................................................................................................................................... 18

1.3

Postotci i omjeri................................................................................................................................................................... 36

1.4

Algebarski izrazi i algebarski razlomci......................................................................................................................... 44

1.5

Mjerne jedinice .................................................................................................................................................................... 58

2. POGLAVLJE:

FUNKCIJE ................................................................................................................................................................... 65

2.1

Definicija funkcije ................................................................................................................................................................ 66

2.2

Linearna funkcija ................................................................................................................................................................. 80

2.3

Kvadratna funkcija .............................................................................................................................................................. 88

2.4

Funkcija apsolutne vrijednosti (modul) ..................................................................................................................... 103

2.5

Funkcija drugi korijen ...................................................................................................................................................... 109

2.6

Polinomi i racionalne funkcije ...................................................................................................................................... 112

2.7

Eksponencijalna i logaritamska funkcija ................................................................................................................... 125

2.8

Ponavljanje .......................................................................................................................................................................... 125

2.9

Trigonometrijske funkcije .............................................................................................................................................. 140

2.10

Nizovi .................................................................................................................................................................................... 160

2.11

Derivacija funkcije ............................................................................................................................................................. 170

3. POGLAVLJE:

JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE ................................................................................................ 193

3.1

Linearne jednadžbe i nejednadžbe ............................................................................................................................ 194

3.2

Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe ......................................................................................................................... 202

3.3

Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima i drugim korijenom................................................ 212

3.4

Jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe .................................................................. 222

3.5

Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe ................................................................................ 228

3.6

Trigonometrijske jednadžbe ......................................................................................................................................... 239

3.7

Sustavi jednadžbi i nejednadžbi ................................................................................................................................. 250

4. POGLAVLJE:

GEOMETRIJA .......................................................................................................................................................... 261

4.1

Elementarna geometrija likova u ravnini .................................................................................................................. 262

4.2

Odnos među geometrijskim objektima u prostoru .............................................................................................. 287

4.3

Prizma, piramida, valjak, stožac, kugla ...................................................................................................................... 296

5. POGLAVLJE: 5.1

TRIGONOMETRIJA TROKUTA ........................................................................................................................ 315

Trigonometrija pravokutnoga trokuta i trigonometrija raznostraničnog trokuta ..................................... 316

6. POGLAVLJE:

ANALITIČKA GEOMETRIJA .............................................................................................................................. 333

6.1

Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini .................................................................................................................. 334

6.2

Vektori................................................................................................................................................................................... 346

6.3

Jednadžba pravca ............................................................................................................................................................. 364

6.4

Krivulje drugog reda ........................................................................................................................................................ 379

7. POGLAVLJE:

MODELIRANJE ...................................................................................................................................................... 403

1. poglavlje:

BROJEVI I ALGEBRA

U ovom poglavlju naučit ćete:

      

o skupovima N, Z, Q, R, C uspoređivanje brojeva intervale postotke i omjere računanje s algebarskim izrazima i razlomcima pretvarati mjerne jedinice računati te kako koristiti kalkulator…

Str. 4

1. poglavlje: Brojevi i algebra

1.1

Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C

1.1.1

Ponavljanje

1.1.1.1

Pojam skupa i osnovne skupovne operacije

Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji imaju neka zajednička svojstva). Primjer 1. Skup svih polaznika ovog tečaja. Skup svih državljana Hrvatske. Skup svih višekratnika broja 3. Skupove označavamo velikim slovima abecede: , , , , . . .. te oznakom

. Unutar vitičastih zagrada

ispisujemo sve članove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju članovi (elementi) tog skupa. Primjer 2.

1,3,5,7,9 ∈ : : 4 3

U primjeru 2. skup

,

10 š

0

ž

4

3

10

0

zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi

i

zadani

navođenjem svojstava njihovih elemenata. Lako možemo ispisati elemente zadanih skupova:

1,3,5,7,9

Činjenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo 1 ∈

1,3

i čitamo: „1 je element skupa A“.

Činjenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo 2 ∉

i čitamo: „2 nije element skupa B“.

Za dva skupa

ako je svaki element skupa

i

kažemo da su jednaka i pišemo

skupa , odnosno ako je svaki element skupa

ujedno i element

ujedno i element skupa , tj. ako ti skupovi sadrže sve

iste elemente. Ako skupovi nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo Primjer 3. Jesu li skupovi

i

.

iz primjera 2 jednaki?

Odgovor: jesu, jer sadrže sve iste elemente. Dakle

.

Prazan skup je skup koji ne sadržava niti jedan element. Označavamo ga simbolom ∅. Primjer 4.

je skup svih ljudi koji su viši od 3 m.

Očito je

∅.

Ako je svaki element skupa i pišemo Ako je

ujedno i element skupa , kažemo da je

podskup od

⊆ . ⊆

i

pravi podskup od

( tj. skup i pišemo

sadrži još barem jedan element koji ne pripada skupu ), kažemo da je ⊂ .

Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2. Jesu li istinite tvrdnje:

a)

⊂ ,

b)

⊂

?

Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita.

Pripreme za državnu maturu Matematika (A)

Str. 5

Odnos skupova možemo prikazati Euler Vennovim dijagramom:

⊂ Univerzalni skup je skup čije podskupove promatramo i s kojima računamo. Skupovne operacije (algebra skupova): Unija skupova je skup ∪

:

Razlika skupova :

∩

koji sadrži sve elemente koji pripadaju skupu

i skupu .

∈ ∈

skupu . ∖

ili skupu .

: ∈ ∈

Presjek skupova je skup ∩


∪

∈ ∉

je skup

∖


, a ne pripadaju

Str. 6


Komplement skupa

je skup

koji sadrži sve elemente univerzalnog skupa koji ne pripadaju skupu

. :

1.1.1.2

∉

Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva Prethodnik broja

∈

1,2,3,4, … je broj

1.

Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika. Sljedbenik broja

∈

je broj

1.

Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika. Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najveći prirodni broj. Prirodni broj Tada je broj

djeljiv je prirodnim brojem

ako postoji prirodni broj

višekratnik broja , odnosno broj

takav da je

∙ .

je djelitelj (faktor) broja .

Najveći zajednički djelitelj ili najveća zajednička mjera brojeva , , ... je najveći prirodni broj koji ima svojstvo da dijeli brojeve ... Označavamo ga sa

, , , … ili

, , ,…

Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom. Prirodni broj veći od 1 je složen ako nije prost. Broj 1 nije niti prost niti složen. Prostih prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo. Svaki složeni prirodni broj možemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kažemo da ga možemo rastaviti na proste faktore. Relativno prosti brojevi su oni brojevi čiji jedini zajednički djelitelj je broj 1. Zbroj i umnožak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i količnik prirodnih brojeva ne moraju biti prirodni brojevi. Zbroj (sumu) brojeva označavamo sa Razliku (diferenciju) brojeva oduzimanja.

. Zbroj je rezultat računske operacije zbrajanja.

označavamo sa

. Razlika je rezultat računske operacije

Pripreme za državnu maturu Matematika (A)

Str. 7

Umnožak (produkt) brojeva označavamo s

∙ ili

. Umnožak je rezultat računske operacije

ili

ili

množenja. Količnik (kvocijent) brojeva označavamo s

∶

/

. Količnik je rezultat računske operacije

dijeljenja. Skup cijelih brojeva

… , 3, 2, 1,0,1,2,3, …

Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Količnik cijelih brojeva ne mora biti cijeli broj. Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika. Ne postoji niti najmanji niti najveći cijeli broj. Skup racionalnih brojeva Broj oblika

:

naziva se razlomak.

∈ ,

∈ ,

je brojnik,

0 je nazivnik.

Nazivnik razlomka uvijek mora biti različit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti. Razlomačka crta ima ulogu dijeljenja,

: .

Svaki racionalni broj možemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom, :

,

∙

, ∈

.

, 0

Decimalni zapis racionalnog broja može biti konačan (ima konačno mnogo decimala) Npr.

0,2;

0,625;

0,37

ili beskonačan periodički decimalan broj (ima beskonačno mnogo decimala, koje se periodički ponavljaju odmah iza decimalne točke ili se periodički ponavljaju nakon konačnog broja decimalnih mjesta). Npr.

0,33333 …

0, 3;

0, 428571;

0,42857142857142 …

1,083

Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga označavamo tako da iznad prve i zadnje znamenke perioda napišemo točku. Vrijedi i obratno, tj. svaki konačni decimalni broj i svaki beskonačni periodički decimalni broj možemo napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi. Jednakost racionalnih brojeva Uspoređivanje racionalnih brojeva Kažemo da skup

ako je ∙

∙

ako je ∙

∙

ima svojstvo gustoće: između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo

racionalnih brojeva. Skup iracionalnih brojeva Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonačni neperiodički brojevi. Npr. √2,

√7, √5, ….

Njih ne možemo zapisati u obliku razlomka. Kažemo da su kupovi

i su disjunktni, tj.

∩

∅.

Str. 8


Iracionalne brojeve možemo aproksimirati (zaokružiti na određen broj decimala) pomoću racionalnih brojeva. Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva iracionalna broja postoji beskonačno mnogo iracionalnih brojeva. Skup realnih brojeva

∪

- algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konačni, beskonačni, periodički, neperiodički) (Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve možemo tumačiti kao decimalne sa svim decimalama jednakim nula koje se ne pišu.) - geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem Brojevni pravac je pravac na kojeg su bijektivno preslikani svi realni brojevi. (Svakom realnom broju pridružena je točno jedna točka pravca. Različiti brojevi preslikani su u različite točke pravca i u svaku točku pravca preslikan je točno jedan realni broj.) - aksiomatski pristup- Skup

opsujemo skupinom aksioma koji vrijede za računske operacije zbrajanja

i množenja: A1

Komutativnost zbrajanja

A2

Asocijativnost zbrajanja

A3

Neutralni element za zbrajanje je broj 0

A4

Suprotni element

Za svaki realni broj

, ∀ ,

, ∀ , , ∈

postoji realni broj

0

Komutativnost množenja

∙

A6

Asocijativnost množenja

∙

A7

Neutralni element za množenje je broj 1.

A8

Inverzni element

∙ A9

∙

0

, ∀ ∈

takav da vrijedi

A5

Za svaki realni broj

∈

∙ , ∀ , ∙

∙

0.

∈

∙

, ∀ , , ∈

1∙

∙1

, osim nule, postoji realni broj

, ∀ ∈ .

takav da vrijedi

1.

Distributivnost množenja prema zbrajanju ∙

∙

∙ , ∀ , , ∈ .

A10

Za svaka dva realna broja

vrijedi

A11

Ako za realne brojeve vrijedi

A12

Ako za realne brojeve , Ako je

onda za svaki realni broj

vrijedi

A14

Ako je 0

0

vrijedi

∙ .

Aksiomi A1 do A9 nazivaju se aksiomi polja. Aksiomi A10 do A14 nazivaju se aksiomi uređaja.

.

, onda je

A13

tada je 0

(simetričnost).

onda je

(tranzitivnost). .

Matematika A-Trinom skripta

Recommend Documents