1
@ Milivoj Smoljak, prof. mat. rujan 2010. – studeni 2011. godine
MATEMATIKA
OSNOVNA RAZINA
SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU KAKO DO USPJEHA? Radom i samo radom tako da: 1) Napravite plan rada, koliko sati mislite da će vam biti potrebno za ispit iz matematike, ne manje od 30 sati. Redovito učite to je mnogo uspješnije od kampanjskog učenja čiji je učinak vrlo slab i treba ga izbjegavati. Bilježite dnevno koliko ste gradiva prošli. Primjere ispitnih pitanja, pokušajte riješiti, dodatno poradite na onom što vam još 'zapinje' pitajte tj. ljubazno potražite pomoć od mene ili kolega odgovore na pitanja koja vas zanimaju za što će vam mnoge kolege biti zahvalne ako saznate nešto što i njih zanima. Aktivno sudjelujte u ovim pripremama: Dobro proučite KNJIŽICU FORMULA koju Vam dajem odmah poslije uvoda u opisnom obliku tako da ju naučite čitati riječima: NAUČITI PRIMJENITI FORMULE, najlakše je napraviti tako da uzmete svoje bilježnice ili knjige i dobro naučite početak svakog poglavlja, odnosno nastavne jedinice, pa si ispišete korištene formule i probate ih izreći riječima. (KARATE KID 1 i g – din Myage (Mijađi). Nemate li volje za to postoji još jedan put, ali ne garantira odličnu ocjenu. Uzmite pojedinačne gotove tablice za svaki razred pa ih izučavajte. Najbolje među njima su Podsjetnici ili Mementa, Matematika za srednjoškolce (četiri podsjetnika 60kn) POKAŽEM IM GA Nešto slično ali puno manje od tablica je i moje ''Dobro je znati'' VAŽNO Državna matura nije pusto rješavanje zadataka već uspješna primjena stečenih trajnih znanja iz matmatike. Stoga nemojte pripreme shvatiti kao dostatne, jer kad bi se matematika mogla naučiti u ovih nekoliko sati što će nam onda gimnazija. Formule za osnovnu razinu su jako šture ''nikakve''. Stoga ste još više vezani za svoje znanje koje stvarno mora biti trajno (Sjetite se trajnog mlijeka) Obratite pažnju na točnost rješavanja, ono što se zna ne smije se fulati, uredno pišite i točno prenosite podatke. Čitav rad se mora pokazati, skica, račun, ako se nešto riješilo napamet mora se pismeno obrazložiti, objasniti (zato ne radite napamet već pišite pa ne morate objašnjavati). Boduje se postavljanje zadatka, postupak i odgovor. Važno je izabrati redosljed rješavanja zadataka, pročitajte upute, zadatke, pa odlučite od kojeg ćete početi. Dobar start znači puno. 1) Skinite s interneta sažetke dosadašnjih nac. ispita (mm skripte), provedene državne mature 2010. godine (ljeto, jesen i zima). Bilo osnovna bilo viša razina, pa ih rješavajte. Također imate i stranice MOJA MATURA na kojima ima zanimljivih sadržaja. Pokažem ih. Ono što vam zadaje glavobolju markirajte pa ćemo ovdje zajednički riješiti uz sva potrebna uputstva. K tome riješiti ćemo i sve moguće inačice tog zadatka (koje ću ja u tom trenutku pokušati smisliti). 2) Nemate li brzi internet javite se meni, navedeno imam spremljeno u posebnom direktoriju, pa ćemo dogovoriti način prijenosa. 3) ''OSNOVAŠI'' Rješavanjem prvih (lakših) zadataka VIŠE RAZINE dobivate neprocjenjivu korist, jer nitko ne garantira da se takav tip zadatka neće pojaviti i u OSNOVNOJ RAZINI. 4) JOŠ JEDNOM PONAVLJAM DA SE MATEMATIKA NE UČI ZA DVA VEĆ ZA PET, PA ŠTO BUDE.
2
Matematika – formule – osnovna razina (moje obrazloženja formula) am ⋅ an = am+n : Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo a eksponente zbrojimo. Ovu formulu često treba primjeniti i iz desna u lijevo am+n = am ⋅ am am : an = am – n , a ≠ 0: Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo a eksponente oduzmemo. Ovu formulu često treba primjeniti iz desna u lijevo tako da ne dijelimo potencije već množimo am–n = am ⋅ a–n
a–m =
1 , a ≠ 0: Negativni eksponent nam govori da je to 1 kroz potencija s pozitivnim am
eksponentom. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 : Kvadriranje binoma (I ± II)2 = I2 ± 2 ⋅ I ⋅ II + II2 a2 – b2 = (a – b)(a + b) : Razlika kvadrata
I2 – II2 = (I – II) ⋅ (I + II)
Kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0: a, b i c su koeficijenti kv. jednadžbe. a je vodeći koeficijent, +b linearni koef. i +c slobodni koeficijent. x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac : Formula za rješavanje kvadratne jednadžbe. 2a
b 4ac − b 2 − T = , Tjeme parabole: 2 a 4a
Površina trokuta: P =
2 b . xo = − i yo = 4ac − b su koordinete tjemena ∪. 2a 4a
a ⋅ va : Formula za P∆ kad nam je poznata stranica i njezina visina. 2
Površina paralelograma: P = a ⋅ v: Formula za Pkad nam je poznata str. i njezina visina Površina svih paralelograma P = osnovica ⋅ visina. Istom ovom formulom se računa površina pravokutnika, kvadrata, romba i romboida. Površina kruga: P = r2π: Površina kruga jednaka je polumjer2 ⋅ konstanta π. Opseg kruga: O = 2rπ: opseg kruga jednak je dvostruki polumjer ⋅ konstanta π.
3
B – površina osnovke (baze) P – površina pobočja h – duljina visine
Ovo su osnovni elementi geometrijskih tijela, kocke, kvadra, valjka, piramide. . .
r – polumjer kugle Obujam (volumen) prizme i valjka: V = B ⋅ h. Volumen svih prizmi i svih valjaka računa se po formuli V = baza ⋅ visina Oplošje prizme: O = 2B + P. Oplošje svih prizmi i svih valjaka računa se po formuli O = dvije baza + pobočje Obujam (volumen) piramide i stošca: V = računa se po formuli V =
1 B ⋅ h. Volumen svih piramida i svih stožaca 3 1 baza ⋅ visina 3
Oplošje piramide: O = B + P. Oplošje svih piramida i svih stožaca računa se po formuli O = baza + pobočje
Obujam (volumen) kugle: V =
4 3 r π. 3
Udaljenost točaka T1, T2: d(T1, T2) =
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . Ovo je formula za udaljenost
dviju različitih točaka T1(x1,y1) i T2(x2,y2) u ravnini. Istom ovom formulom računa se i −−−→
modul, odnosno duljina vektora kome je početak u T1 i kraj u T2; T1T2 Jednadžba pravca: y – y1 = k(x – x1). Ovo je jednadžba pravca kroz jednu točku T1(x1,y1) sa zadanim koeficijentom smjera k. k=
y 2 − y1 . Ovo koeficijent smjera pravca kroz dvije točke T1(x1,y1) i T2(x2,y2). x 2 − x1
Da bismo odredili jednadžbu pravca kroz dvije točke odredimo k pa ga uvrstimo u danu nam formulu y – y1 = k(x – x1), u kojoj su x1 i y1 koordinate prve točke. Uvjet usporednosti pravaca: k1 = k2. Usporedni (paralelni) pravci imaju jednake koeficijente smjera.
4
I. Brojevi i algebra 1.1. Skupovi brojeva N, Z, Q, l i R Učenici mogu naučiti - razlikovati skupove brojeva N, Z, Q, l i R - termine: prirodan (n), cijeli (n), paran (2n), neparan (2n± 1), racionalan, iracion. i realan br. - konačan i ∞ broj [definirati –∞ i +∞]: – ∞ je zamišljen br. koji je < od bili kojeg real. br. - razlikovati navedene brojeve , uspoređivati navedene brojeve - brojevni pravac i prikaz podskupova prirodnih i cijelih brojeva na brojevnom pravcu - prepoznati i koristiti oznake ∩, ∪, \, ⊂, ∈, Ø i intervala 〈–∞,a〉 , [b,c], 〈p,q], [r, +∞ 〉 - prikazivati podskupove realnih brojeva na brojevnom pravcu i zapisivati ih intervalima - N = {1,2,3, . . .} N je skup prirodnih brojeva - Z = {. . . , –2, –1, 0, 1, 2, . . .} Z je skup cijelih brojeva Q={
-
a : b ≠ 0, a, b ∈ Z} Q je skup racionalnih brojeva. Racionalne brojeve dobivamo b
dijeljenjem bilo kojeg cijelog broja a s cijelim brojem b osim 0. Skupu Q pripadaju svi cijeli brojevi, svi konačni i beskonačni periodski decimalni brojevi. I je skup iracionalnih brojeva. Iracionalni brojevi su svi beskonačni neperiodični decimalni brojevi tj. svi oni koji se ne daju napisati u obliku razlomka. R=Q∪ I R je skup realnih brojeva. Realni brojevi su svi racionalni i svi iracionalni brojevi zajedno. Također vrijedi Q ∩ I = ∅ Q+ je skup svih pozitivnih racionalnih brojeva R+ je skup svih pozitivnih realnih brojeva
-
Pitanje: Kako prepoznati iracionalni broj? nepotpunog − kvadrata : I. 5, 2, 3, 3
nepotpunog − kuba
:32 ,
3
4,
3
7,
17 ... 3
22 i brojevni izrazi s njima
II. Transcedentni brojevi π, e i algebarski izrazi s njima III. Beskonačni decimalni brojevi koji se ne mogu pretvoriti u razlomak: 2.020020002... ; 3.11011101111... ; 0.123234345456... IV. logab uz uvjet a ≠ b tj. a i b nisu potencije iste baze: log23, log32, log2, log3, ln10 Zadaci: U svezi sa skupovima brojeva. 1. Zaokružite netočnu tvrdnju: Količnik dvaju Razlika dvaju A. Najveći prirodan B. Nula je C. cijelih br. nije | D.| cijelih br. nije broj ne postoji cijeli br. uvijek cijeli br. uvijek cijeli br. 2. Zaokružite netočnu tvrdnju: A . N ⊂ Q ; B. Q ∩ Z ≠ ∅ ; C. I ⊂ R ; | D.| Q ∩ I ≠ ∅ 3. Broj 3 n bit će racionalan za A. n = 3; B. n = 9; C. n = 17; | D.| n = 27 4. Ako je zbroj tri uzastopna cijela broja jednak 333, najmanji od njih je? | 110| ; 111; 112; 113 Rj. (n – 1) + n + (n + 1) = 333 ⇔ 3n = 333 ⇔ n = 111 0.13 1 e 2π 2 ; ; ;0.3333 ...; ; 5. Koliko iracional. brojeva sadrži skup: : A. 1; B. 2; | C.| 3; D. 4 0.31
2 3
3
16
5
6. Svaki iracionalni broj možemo zapisati kao: Beskonačan Beskonačan A. Kvocijent dvaju B. Korijen nekog C. periodski | D.| neperiodski racional. brojeva cijelog broja dec. br. dec. br. 7. Koji je broj manji: – 3 ili –1.73? Odgovor − 3 ≈ –3.1732... 8. Koji je broj veći: – π ili – 3.14 ? Odgovor –3.14 , jer je – π ≈ – 3.14159
n +1 n 4 4 ; B. ; C. ; D. 4 4 n n −1 3 7 5 13 13 15 10. Koji se od navedenih brojeva nalazi između i ? A. ; B. ; | C.| ; D. 7 10 17 14 20 13
9. Za n > 4 koji je od sljedećih brojeva najveći: | A.|
11. Koja je tvrdnja istinita ako znamo da je b cijeli broj? A . b > 0 ⇒ – b > 0 ; B. b < 0 ⇒ 1/b > 0; | C.| b < 0 ⇒ – b > 0;
D. b < 0 ⇒ bn < 0
12. Koji od sljedećih izraza ne daje racionalan broj A .
C.
13. Za koji je prirodni broj k razlomak
3−3 1 ; | B.| ; 4 5−5
−4 ; 2
k −2 cijeli broj. (Uvrštavaj) A. 1; | B.| 2; k+2
D.
0.12 3
C. 3;
D. 4
14. Koji od sljedećih skupova sadrži samo racionalne brojeve?
3 8 0 8 , 4 ; | B.| 25 , ,1.41 ; C. 2 16 2 299 29 ; 15. Koju vrijednost ima razlomak ? A. 575 30
3 27 3 − 3 0 , , 36 , π , 5 ; D. 16 3 6 3 13 15 9 ; | B.| C. ; D. 25 26 20 7 16. Koji je od navedenih brojeva najbliži broju 6? (KALKUL.) A.2π B. 1.83 C. 8 − ; | D.| 4
A . 16 , 3
17. Među navedenim brojevima jedan je uljez. Koji? A. 1.73; B. 3.14; | C.| 3 3 ;
35
D.
0.64 4 14 5 2 7 23 5 2 5 2 2 7 23 4 5 14 18. Poredaj po veličini: , , , , , ,− ,− KALKULATOR « − ,− , , , , , , » 5 15 6 3 10 30 6 3 6 3 3 10 30 5 6 15 3 19. Zaokruži netočnu tvrdnju: A . ∈ Q; B.0 ∉ N | C.| 3 ∉ R; D. 5 ∈ I 4
20. Presjek intervala 〈–∞, –3〉 i 〈–∞, – 3 〉 je: (Uputa: Presjek intervala je zajednički dio tih intervala) A.〈–∞, – 3 〉 ; | B.| 〈–∞ , –3〉 ; C. 〈–3, – 3 〉 ; D. ∅ 21. Koliko prirodnih brojeva ima u skupu 〈–5,5〉 ∩ [–1,8〉 ? A. 2; B. 3; | C.| 4; D.| 5 22. Unija intervala 〈–2,3] i [0,7〉 je. (Uputa: Unija intervala je sve unutar oba intervala) A.〈–2, 0]; B. [3, 7〉 ; | C.| 〈–2, 7〉 ; D.[0,3] 23. Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu 〈–4,3] ∪ 〈0,4]? | A.| 8 ; B. 7; C. 6; D. 5 24. Iz A = {-1,0,1,2,3,4}; B = {2,3,4,5,6,7}. Odredi A∪B, A∩B, A\B (tj.A–B) i B\A. (Uputa: Razlika skupova je skup elemenata iz prvog koji nisu u drugom) 25. Iz C = [–5, 3〉 ; D = 〈–2, 6〉 . Odredi C∪D, C∩D, C\D i D\C 26. Iz C = [–5, 0〉 ; D = 〈2, 4〉 . Odredi C∪D, C∩D, C\D i D\C 27. Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu koji određuje nejednakost –5 ≤ x ≤ 0? Rj 7, | 6| , 5, 4 16 ? 3
28. Koliko je prirodnih brojeva u intervalu 3,
A. 1;
| B.| 3;
C. 5;
D. 7
29. Skup svih cijelih brojeva koji se nalaze između brojeva n – 2 i n + 2 (n je cijeli broj) jest: | A.| {n–1, 0, n+1}; B.{n–2,n–1, n, n+1,n+2}; C.{n–1,n,n+1}; D.{–1, 0, 1}
6
30. Kojem od navedenih intervala pripadaju brojevi –0.75 i 1 A.〈–0.75, 2〉 ; B. [–1, 0]; C. 〈–1, –0.75]; | D.| [–1 ,2〉 31. Rabeći džepno računalo po potrebi odredite koji je od navedenih brojeva najmanji: A. 8 − 2 ;
| C.| −
B. 14.1⋅ 10–1;
7 ; 5
D.
3 1 − 2 12
32. Koji od navedenih brojeva zaokruživanjem na dvije decimale, daje broj 3.78 A. 3.7699; B . 3.7739; | C.| 3.7791 D. 3.7866 33. Između 3/5 i 5/8 umetnite tri broja (Najlakše kalkulatorom) 3/5 = 0.6 = 0.600
0.61; 0.62; 0.622
5/8 = 0.625
34. Odredi nejednadžbu kojoj je rješenje [1.5 , +∞ 〉 . Rj. Iz x ≥ 1.5 ⇔ x ≥
3 /⋅ 2 ⇔ 2x ≥ 3 ⇔ 2x – 3 ≥ 0 2
Redoslijed računskih operacija: Zbrajanje i oduzimanje su rač. operacije I. stupnja, množenje i dijeljenje II. stupnja, a potenciranje i korjenovanje III. stupnja. Ako u zadatku imamo rač. operacije istog stupnja, računamo ih po redosljedu kako su naznačene. Ako imamo rač. operacije različitih stupnjeva, prvo potenciramo (korjenujemo), zatim množimo i dijelimo i na kraju zbrajamo i oduzimamo. Ako u zadatku imamo samo okrugle zagrade najprije izračunamo u njima. Ako u zadatku imamo zagrade u zagradi {[( )]}. Najprije računamo ono što je unutar ( ), zatim unutar [ ] i na kraju unutar { } zagrade.
Elementarno računanje: Uz navedeno, treba znati određivati x, , za...x > 0; ; ; ; 5 = 5
apsolutne vrijednosti: x =
− x, za..x < 0; ; ; ; − 5 = −(−5) = 5
Zadaci: Izračunaj : 1. – 15 + 27 – 3 – 11 + 2 + 7 – 7 + 6 – 3 – 1 = ... = [2] 2. 7 ⋅ (– 2) – 5 ⋅ (– 3) – (–1) = ... = [2] 3. (3 ⋅ 81 – 23) ⋅ 4 – 2 ⋅ (34 ⋅ 5 – 8 ⋅ 5) = ... = [620] 4. [(8 – 5) ⋅ (2 – 7) – (6 – 7) ⋅ (4 – 3)] ⋅ (5 – 9) = ... = [56] 5. 4 – {4 – [– 10 – (8 – 11) – (1 – 12)]} = ... = [4] 6. 3 + 2{ 3[ 8 (19 ⋅ 21 – 36 ⋅ 11) –23]}= ... = [9] 7. 3 ⋅ 82 – 2 ⋅ 34 + 73 = ... = [373]
7 2007
8. (–1) 3
2008
2009
2010
– (–1)
– (–1)
– (–1)
2
116
3
2011
– (–1)
= ... = [–1]
1 5
7 11
)
[(
3 3
1 55
224
9. 2 − 2 + 4 + = ... = 10. : + : − : + : = ...= 7 2 3 21 2 4 5 7 11 2 4 3 21 11. Kolika je razlika između 5 – (–7) + (–1) i 20 – (8 – 4) + 1 ? Razlika je [–6] 12. Zaokružite izraz čija je vrijednost pozitivan broj. a) 10 – (–100) –1000 + 1 b) (–1) ⋅ (–10) ⋅ (– 1000) ; c) (–10) : (–2) – (–5) : (–1); | d)| (–1) ⋅ (–10) ⋅ (– 100) ⋅ (– 1000) 2 2 2 13. Koliki je rezultat umnoška 3 − 1 ⋅ 3 + 1 ? Rj. 3 − 1 3 + 1 = [ 3 − 1] 2 = 4
(
) (
)(
)]
RAČUN DIOBE 1. Ako se kutovi ∆ odnose kao 8 : 13 : 15 tada su kutovi ∆ ? Rj. α : β : γ = 8 : 13 : 15 α + β + γ = 180o Iz razmjera čitamo α = 8k = 8 ⋅ 5 = 40 β = 13k = 13 ⋅ 5 = 65 zbrojimo ove tri jednakosti γ = 15k = 15 ⋅ 5 = 75 Provjera obavezna! 180 = 36k ⇒ k = 5 ↑ 2. Brojevi a, b i c su u omjeru 3:4:5.Ako je njihova aritmetička sredina jednaka 12 onda su to br.? 3. Stranice pravokutnika su u omjeru 3 : 1. Opseg prav. je 104 cm. Kolika je površina pravokut.? 4. Dva broja odnose se kao 2 : 5. Drugi broj za 18 je veći od prvog broja. Koliko iznose ti br.? 5. Broj 3 300 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 0.2:0.4:0.5. (Između redova u omjeru 2:4:5, jer samo desnu stranu smijemo pomnožiti sa 10) RAČUN SMJESE 1. Koliki je % alkohola u smjesi koja se dobije mješanjem 5 l 80% –og alkohola i 15 l 84%? (Količina alkohola prije i poslije mješanja je jednaka, pa imamo jednakost) 5⋅
80 84 p + 15 ⋅ = (5 + 15) ⋅ 100 100 100
ili 5 ⋅ 80 + 15 ⋅ 84 = (5 + 15) ⋅ p ⇒ p = 83%
2. Koliko litara 60% –og alkohola treba mješati s 5l 82% –og alkohola da bi se dobila smjesa 73.75% ? Rj. x ⋅ 60 + 5 ⋅ 82 = (x + 5) ⋅ 73.75 ⇒ x = 3 l 3. Pomješamo li 75 % alkohol s 90% dobit ćemo 90 l 80% alkohol u smjesi. Koliko je pritom uzeto 75% alkohola? Rj. Neka je x količina 75% alkohola, onda je 90 – x količina 90%, pa imamo jednadžbu: x ⋅ 75 + (90 – x) ⋅ 90 = 90 ⋅ 80 ⇒ x = 60 l 4. Od mlijeka s 3.8% masnoće i mlijeka s 0.9% masnoće treba napraviti 100 litara smjese s 2.6% masnoće. Koliko litara mlijeka s 0.9% masnoće treba uzeti? Rj. Neka je x tražena količina mlijeka ⇒ x ⋅ 0.9 + (100 – x) ⋅ 3.8 = 100 ⋅ 2.6 ⇒ x = 41.28 l 5. Morska voda sadrži 5% soli. Koliko litara slatke vode treba doliti količini od 100 litara morske da se dobije voda s 2% soli? (PAZI, slatka voda ima 0% soli) 100 ⋅ 5 + x ⋅ 0 = (100 + x) ⋅ 2 ⇒ x = 150 l 6. Zemlja tek kupljena u cvjećanici sadrži 10% vode. Koliko vode treba uliti u 5 kg te zemlje da se dobije 20% vode u zemlji? Rj. 5 ⋅ 10 +x ⋅ 100 = (5 + x) ⋅ 20 ⇒ x = 0.625 kg = 625g = 6.25 dl 7. Koliko tijesta vlažnosti 20% treba staviti u pećnicu da bi se dobilo 700g kruha vlažnosti 4%? PAZI! Količina smjese (kruha) se na mjenja, isparava voda, pa imamo jednadžbu. (700 + x) ⋅ 20 – x ⋅ 100 = 700 ⋅ 4 ⇒ x = 140 g. U pećnicu treba staviti 840g tijesta. 8. Cijena jedne vrste alkohola je 80 kn, a druge 50 kn za litru. U kojem omjeru treba miješati te dvije vrste, ako se želi dobiti smjesa čija je cijena 60 kn za litru? x ⋅ 80 + y ⋅ 50 = (x + y) ⋅ 60 /:10y Zašto? Jer tražimo omjer x x 1 x x ⋅ 8 + 5 = + 1 ⋅ 6 ⇔ 2 ⋅ = 1 /:2 ⇒ = y y 2 y y
Traženi omjer je 1 : 2.
8 x x 1 x x ⋅ 8 + 5 = + 1 ⋅ 6 ⇔ 2 ⋅ = 1 /:2 ⇒ = y y 2 y y
Traženi omjer je 1 : 2.
1.2.1. POSTOTNI RAČUN za DRŽ. MATURU S ukupni 100% –tni iznos (ukupna vrijednost); P postotni iznos; p postotak (npr. 7% = 7/100 = 0.07) Vrijedi razmjer P : S = p : 100. Iz zadane dvije veličine izračunavamo treću Npr. P =
S⋅p 100
ili S =
100 ⋅ P p
ili p =
100 ⋅ P S
1. Tenisač ( M. Čilić) je 2008. god. odigrao 120 mečeva i pobjedio u njih 70% a) Koliki postotak mečeva je izgubio? Odgovor: Izgubio je 30% mečeva
b) Koliki je broj mečeva u kojima je pobijedio? S = 120, p = 70%, P = ? P = Sp/100 = 84 meča u kojima je pobjedio. Kraće 70% od 120 = 0.7 ⋅ 120 = 84 c) U 2009. god. je također odigrao 120 mečeva. Pobjedio je u 5% više mečeva nego 2008. Koliko je puta pobjedio u 2009. godine? Rj. S = 120, p' = 75% , P' = ? P' = S ⋅ 75/100 = 120 ⋅ 0.75 = 90 puta je pobjedio 2009. god. Kraće: 0.75 ⋅ 120 = 90 1'. Učenik je na testu od mogućih 70 bodova dobio 56 bodova. Koliko je to izraženo u postocima? Rj. S = 70, P = 56, p = ? p = 100P/S = 100⋅ 56/70 = 80%. Kraće: 56 : 70 ⋅ 100 = 80% 1''. Učenik je na testu od mogućih 80 bodova dobio 80% bodova. Koliko je bodova dobio? Rj. S = 80, p = 80, P = ? P = Sp/100 = 80 ⋅ 80/100 = 64 boda. Kraće: 0.8 ⋅ 80 = 64. 1'''. Masa Jupitera približno je jednaka 2 ⋅ 1027 kg, a masa Zemlje 6 ⋅ 1024 kg. Koliki je % mase Zemlje (P) u odnosu na masu Jupitera (S)? p = 100MZ /MJ = 100 ⋅ 3 ⋅ 10–3 = 0.3 % 14'. a) 75% od 120 iznosi? Rj. (75/100) ⋅ 120 = 0.75 ⋅ 120 = 90 b) Od kojeg broja 5% iznosi P=
10 − 7 : 7 2 ⋅ 6 − 7 + ? 1 + 6 : 3 2 ⋅ (5 − 3)
10 − 7 : 7 2 ⋅ 6 − 7 10 − 1 12 − 7 9 5 17 + + = = + = i p=5 1 + 6 : 3 2 ⋅ (5 − 3) 1 + 2 2⋅2 3 4 4
S = 100P/p = 100⋅ 4.25/5 = 85 c) Od kojeg broja 22% iznosi 78.1? Rj. p = 22, P = 78.1 ; S = 100P/p = 100 ⋅ 78.1/22 =355 5' 1 . Zbroj 25% od 2.8 ⋅ 109 i 20% od 3.5 ⋅ 1010 iznosi? Rj. 7.7 ⋅ 109 16'. Ispit ima 60 bodova. Za ocjenu odličan treba dobiti najmanje 90% bodova. Anti nedostaje jedan bod za ocjenu odličan. Koliko je bodova postigao na ispitu? S = 60, p = 90, P = ? Rj. P = Sp/100 = 6 ⋅ 9 = 54. Odgovor: Ante je osvojio 53 boda. 7' 1 . CD kapaciteta 650 MB popunjen je 12%. Na CD je snimljeno još 260MB novih podataka. Koliki je % CD–a sada popunjen? P = 650 ⋅ 0.12 = 78 P1 = 78 + 260 = 338 ⇒ p1 = (338 : 650) ⋅ 100 = 52% 8' 1 . Godišnjoj skupštini nogometnog kluba nazočilo je 75% članova. Za prijedlog je glasalo 32, a protiv 16 članova. Nitko nije bio suzdržan. a) Koliko je % od ukupnog broja članova skupštine
9
glasovalo za prijedlog? b) Prijedlog se smatra izglasanim ako je za njega glasovalo više od 66% nazočnih članova. Koliko najmanje nazočnih članova mora glasovati za prijedlog da bi prošao? Rj. a) Odredimo broj svih članova skupštine 100 ⋅ (32 + 16)/75 = 64; (32 : 64) ⋅ 100 = 50% b) (48 ⋅ 66) / 100 = 31.68 = 32 člana 16'. Obiteljska primanja u mjesecu žujku iznosila su 10 000 kn. Za režije treba izdvojiti 25% primanja, a za podmirenje ostalih potreba u istom mjesecu obitelji je potrebno 7 000 kn. Koliko je kuna preostalo obitelji? Rj. 10 000 ⋅ 0.25 = 2 500; 2 500 + 7 000 = 9 500; 10 000 – 9 500 = 500 kn. 17'. Masa vozila bez tereta je 4 000 kg. Nakon utovara, teret čini 60% ukupne mase. Koliko % ukupne mase čini teret nakon što je istovareno 2/5 tereta. Rj. 1) Neka je t teret onda imamo jednadžbu t = 60% od (4 000 + t), tj. t = 0.6 ⋅ (4 000 + t) Rješenje ove jednadžbe je t = 6 000 kg. Prema tome ukupna masa iznosi 10 000 kg 2) 2/5 tereta iznosi 2/5 ⋅ 6 000 = 2 400 kg 6000 − 2400 3600 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 47.37% 10000 − 2400 7600
3) Nakon istovara traženi % dobivamo iz
tj. 21 = S ⋅ 1.05 ⇒ S = 21 : 1.05 = 20 cm3 3. Ako se polumjer kruga poveća za 25% za koliko se % poveća opseg, a površina? Iz o = 2rπ i P = r2π r1 = 1.25r ⇒ o1 = 2r1π = 2 ⋅ 1.25rπ = 1.25 ⋅ 2rπ = 1.25 o ⇒ p = 25% 2 r1 = 1.25r ⇒ P1 = r1 π = (1.25r)2 π = 1.5625 r2 π = 1.5625 P ⇒ p = 56.25% 3'. Za koliko se % treba povećati polumjer da se površina kruga poveća za 23.21% ? 2 P1 = 1.2321 P ⇒ r1 = 1.2321 r2 / r1 = 1.11 r ⇒ p = 11% Napomena: Slično bi bilo s opsegom i površinom KVADRATA, JEDNAKOSTRANIČNOG ∆ i njegovom stranicom, jer su u fji od a. 4. Ako se brid kocke uveća za 20% za koliko će se % uvećati O, a V? 2 a1 = 1.2a ⇒ O1 = 6 a1 = 6⋅ (1.2a)2 = 6 ⋅ 1.44a2 = 1.44 O ⇒ p = 44% 3 a1 = 1.2a ⇒V1 = a1 = (1.2a)3 = 1.728a3 = 1.728 V ⇒ p = 72.8%. 4'. Ako se brid kocke smanji za 30% za koliko će se % smanjiti O, a V? 2 a1 = (1– 0.3)a ⇒ O1 = 6 a1 = 6⋅ (0.7a)2 = 6 ⋅ 0.49a2 = 0.49 O ⇒ p = 51% 3 a1 = 0.7a ⇒ V1 = a1 = (0.7a)3 = 0.343a3 = 0.343V ⇒ p = 65.7%. 4''. Za koliko % treba uvećati brid kocke da bi se njeno oplošje povećalo za 156%? O1 = (1 + 1.56) O 6 a12 = 2.56 ⋅ 6a2 /:6 a12 = 2.56 a2 / ⇒ a1 = 1.6a ⇒ p = 60% 4'''. Za koliko % treba smanjiti brid kocke da bi se njeno oplošje smanjilo za 60.9375%? O1 = (1 – 0.609375) O 6 a12 = 0.390625 ⋅ 6a2 /:6 a12 = 0.390625a2 / ⇒ a1 = 0.625a ⇒ p = (1 – 0.625)⋅ 100 = 37.5% 44'. Za koliko % treba uvećati brid kocke da bi se njen obujam uvećao za 81.5848%? V1 = (1 + 0.815848) V a13 = 1.815848 ⋅ a3 / a1 = 1.22a ⇒ p = 22% Napomena: Slično bi bilo s polumjerom i oplošjem i obujmom kugle. 3
10
5. Prodajna cijena proizvoda A dva puta se povećavala najprije za 25%. a zatim 20% prethodne cijene. Koliko je ukupno povećanje? Prvo povećanje od 25% daje cijenu: 100 + 100 ⋅ 0.25 = 100 + 25 = 125 Drugo povećanje od 20% daje cijenu: 125 + 125 ⋅ 0.20 = 120 + 25 = 145. p =145 – 100 = 45% 5'. Povećanje troškova života u travnju u odnosu na ožujak je 4.2%, a u svibnju u odnosu na travanj je 3.5%. Koliki je % povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak? 100 + 4.2 = 104.2 104.2 + 104.2 ⋅ 0.035 = 107.847. p = 107.847 – 100 = 7.847% 5''. a) Prodajna cijena proizvoda B povećala se za 25% a zatim se nova smanjila za 10%. Koliko je ukupno povećanje? 100 + 25 = 125 125 – 125 ⋅ 0.10 = 112.5: p = 112.5 – 100 = 12.5% ukupno povećanje. b) Prodajna cijena proizvoda C povećala se za 20% a zatim se nova smanjila za 25%. Koliko je ukupno smanjenje? 100 + 20 = 120 120 – 120 ⋅ 0.25 = 120 –30 = 90: p = 100 – 90 = 10% ukupno smanjenje 5'''. Cijena robe povišena je za 25%. Za koliko se % mora smanjiti nova cijena da bi se dobila stara cijena? Neka je stara cijena 100, onda je nova 125, pa imamo jednadžbu: 125 ⋅ x = 100 ⇔ x = 0.8 ⇒ p = (1 – x) ⋅ 100 = 20% za koji se mora smanjiti nova cijena Objašnjavam kako se radi dalje. Kako je x < 1 onda 54'. Cijena nekog proizvoda prvo se povećala za 5%, a zatim smanjila za 10%. Što treba napraviti sa cijenom da da bi bila jednaka početnoj? 100 + 5 = 105 105 – 0.1 ⋅ 105 = 105 – 10.5 = 94.5;; Objašnjavam kako se radi dalje. x > 1 onda 94.5 ⋅ x = 100 ⇔ x = 1.0582 ⇒ p = (x – 1) ⋅ 100 = 5.82% za koji se mora povećati nova cij. 55'. Povećanje troškova života u listopadu u odnosu na rujan je 3.8%. Za koliko bi se % morali smanjiti troškovi života u studenome da bi se vratili na stanje u rujnu? Iz 103.8 ⋅ x = 100 ⇔ x = 0.963391 ⇒ p = (1 – x) ⋅ 100 = 3.66% 56'. Plin je poskupio 15%. Za koliko % treba smanjiti cijenu da bi konačna bila bila 5.5 % veća od cijene prije poskupljenja? Neka je stara cijena 100. Poskupljenje od 15% daje cijenu 115. Poskupljenje od 5.5% daje cijenu 105.5. Pa imamo jednadžbu115 ⋅ x = 105.5 ⇒ x = 0.91739 ⇒ p = (1 – x) ⋅ 100 = 8.26 % - postotni račun više ili niže 100. Ako je zadana uvećana ili umanjena početna vrijednost tj. ako je zadano S+P ili S–P tada imamo razmjer (S± P):S=(100± p) : 100 Također vrijedi: p ⋅ S gdje je 100 p ⋅ S gdje je S – P = 1 − 100
S + P = 1 +
p 1 + faktor povećanja. Npr. za 24% on iznosi 1.24 100 p 1 − faktor smanjenja. Npr. za 24% on iznosi 0.76 100
2. a) Marija je visoka m cm, a Nives n cm. Izrazom n = m + 0.15m je opisano? Ponuđena su 4 odgovora. Rj. n = m ⋅ 1.15. Točan je odgovor. Nives je viša od Marije za 15% b) Kolika je nova cijena, ako je stara 150 kn i poskupljenje je 24% ? 150 ⋅ 1.24 = 186 kn. c) Kolika je nova cijena, ako je stara 250 kn i sniženje je 22% ? 250 ⋅ 0.78 = 195 kn. 2'. a) Marija je na sniženju od 25% kupila vestu za 240 kn. Koliko je vesta stajala prije sniženja?
11
S –P = 240 i p = 25 možemo koristeći faktor umanjenja pisati kao S ⋅ 0.75 = 240 ⇒ S = 320 kn b) Kolika je stara cijena ako je nakon poskupljenja od 10% ona 220kn? S ⋅ 1.1 =220 ⇒S =200 kn 2'. U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 3.5 cm × 3 cm × 2 cm. Pri smrzavanju obujam vode se poveća za 5%. 1) Koliko je vode potrebno za jedan takav led? Iz S + P = V = 3.5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 21 cm3 tj. 21 = S ⋅ 1.05 ⇒ S = 21 : 1.05 = 20 cm3 2) Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode? (Napomena 1 litra = 1 dm3). Moje između redova 1 litra = 1 000cm3. ⇒ 1 000 : 20 = 50 3. Cijena udžbenika poskupila je sa 60 kn na 72 kn. Izraženo u postocima, to je poskupljenje za: Iz S ⋅ (1+p/100) = S + P tj. 60 ⋅ (1+p/100) = 72/:60 ⇒ 1+p/100 = 1.2 ⇒ p/100 = 0.2 ⇒ p = 20% 4. U Republici Hrvatskoj 2004. god. rođeno je 20 875 dječaka. God. 2005. rođeno je 4.19% više dječaka u odnosu na 2004. Koliko ih je rođeno 2005. god.? Rj. S+P = S ⋅ 1.0419 = 20 875 ⋅ 1.0419 = 21 750 je rođeno dječaka u 2005. god.. 5. Torba od 400 kn poskupljuje za 20%, a zatim pojeftinjuje za 15%. Kolika je najnovija cijena? TRIK: Krenimo od cijene 100 kako bismo našli ukupno poskupljenje. 100 + 20 = 120 120 – 120 ⋅ 0.15 = 102 ⇒ p = 102 – 100 = 2% je ukupno poskupljenje Sada tražimo novu cijenu: S + P = S ⋅ 1.02 = 400 ⋅ 1.02 = 408 kn 6. Cijena je smanjena za 25%, a zatim povišena za 20%. Kolika je bila početna cijena ako je sadašnja 450 kn? Rj. 100 – 25 = 75 75 + 75 ⋅ 0.2 = 90 ⇒ p = 100 – 90 = 10% ukupno pojeftinjenje S – P = 450 tj. S ⋅ 0.9 = 450 ⇒ S = 500 kn 7. Više jednakih poskupljenja npr. 5 daju faktor poskupljenja (1 + p/100)5 Više jednakih pojeftinjenja npr. 4 daju faktor pojeftinjenja (1 – p/100)4 Npr. za p = 12 i n = 5 faktor poskupljenja (1 + 12/100)5 = (1+0.12)5 = 1.125 dok za p = 7 i n = 4 faktor pojeftinjenja (1 – 7/100)4 = (1 –0.07)4 = 0.934 Zadatak: a) Ako je godišnji porast BND 2% koliki će porast biti za pet godina? x = (1 + 0.02)5 = 1.025 = 1.10408 ⇒ p = (x – 1)⋅ 100 = 10.4% b) Ako je godišnji pad BND 1.5% koliki će pad biti za četiri godine? x = (1 – 0.015)5 = 0.9854 = 0.9413 ⇒ p = (1 – x)⋅ 100 = 5.87% 7'. U jezeru je otkriveno 10 grama algi. Njihova naseobina povećava se 15% tjedno. 1) Koliko će grama algi biti u jezeru nakon tjedan dana? Rj. 10 ⋅ 1.15 = 11.5g 2) Koliko će grama algi biti u jezeru nakon 3 tjedna? Rj. 10 ⋅ 1.153 = 15.20875g r , , za...r > 0; ; ; ; 4.3 = 4.3 − r , za..r < 0; ; ; ; − 3.5 = −(−3.5) = 3.5
1.2.2. Apsolutna vrijednost (modul) realnog broja r =
1. Izračunaj 1 – | –3| = A. –1 ; | B. –2| ; C. – 3 ; 2. Broj | 3 – | –2|| bez aps. zagrada je: A. 3 +2; B. 3 –2 ; | C. 2 – 3 | 3. Broj | –1– 2 | bez aps. zadrade je: A. 2 –1; B. 1 – 2 ; C. –1 – 2 ;
D. – 4 D. –2 – 3 | D. 2 + 1|
12
4. Pojednostavni:
4 − 18 + 3 − 8 4− 2 − 8 −3
A. 2 2 –1; | B. 3 –2 2 | ; C. 2 – 2 ;
D. 1 + 2
2 2− 2 −
2 − 3 je:
A. – 3 ; | B. 1| ;
C. – 1;
6. Odredite vrijednost izraza | 3 – 0.75x| –| 0.75x – 2| , za x = 4 2
A. – 2 ;
5. Vrijednost izraza
7. Za x ∈〈–2, 1〉 odredite vrijednost izraza | x – 1| + | 2 + x.| . A. 2x +1; –3
D. 3 | B. – 1| ;
C. 1;
D.
B. x + 2;
| C. 3| ;
D.
1.2.3. Rastavljanje na faktore Dijelimo na nekoliko dijelova
1. Svi članovi imaju zajednički faktor a) 6a2 – 9ab + 15a = 6a(2a – 3b + 5) b) 4a2(b + 2) + 4a(b + 2) + (b + 2) = (b + 2)(4a2 + 4a + 1) = (b + 2)(2a + 1)2 c) (a + 1)3 + (a + 1) = (a + 1)[(a + 1)2 + 1] = (a + 1)(a2 + 2a + 2) d) 5x+1 – 4⋅ 5x–1 = 5x–1(52 – 4) = 5x–1 ⋅ 21 = 21 ⋅ 5x–1 f) 32x–3 – 9x–2 = 32x–3 –32x–4 = 32x–4 (3 – 1) = 32x–4 ⋅ 2 = 2 ⋅ 32x–4 2. Svi članovi nemaju zajednički faktor, ali se grupiranjem članova može svesti na 1. a) a2b – 2a2 – 3ab + 6a + 5b – 10 = a2(b – 2) – 3a(b – 2) + 5(b – 2) = (b – 2)(a2 – 3a + 5) b) 9x3 – 18x2 – x + 2 = 9x2(x – 2) – (x – 2) = (x – 2)(9x2 – 1) = (x – 2)(3x – 1)(3x + 1)
c) x4 – 2x3 + 2x – 1 = (x2 – 1)(x2 + 1) – 2x(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1 – 2x) = (x–1)(x+1)(x – 1)2 2'. Kvadratnih trinoma (primjenom formule za rješavanje kvadratne jednadžbe i ispitujući D = b2 – 4ac ; PRIČA: Ako je D potpuni kvadrat slijedi ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ako D nije potpuni kvadrat nena rastavljanja. a) x2 – 5x + 6 = [D = 1; x =
−b± D 5± 1 5 −1 5 +1 = ⇒ x1 = = 2; x 2 = = 3] 2a 2 2 2
1(x – 2)(x – 3) = (x – 2)(x – 3) GOTOVO b) 2x2 – 5x – 3 = [D = 49; x =
5 ± 49 5−7 1 5+7 ⇒ x1 = = − ; x2 = = 3] 4 4 2 4
2(x + 1/2)(x – 3) = [množimo samo prvu zagradu] = (2x + 1)(x – 3) GOTOVO
c) 6x2 – x – 1 = [D = 25; x =
1 ± 25 1− 5 1 1+ 5 1 ⇒ x1 = = − ; x2 = = ] 12 12 3 12 2
6(x + 1/3)(x – 1/2) = [svaku zagradu njezinim brojem] = (3x + 1)(2x – 1) GOTOVO d) –3x2 + 7x – 2 = [D = 25; x =
−7+5 1 − 7 ± 25 −7−5 = ] ⇒ x2 = = 2 i x1 = −6 3 −6 −6
13
–3(x – 1/3)(x – 2) = [minus ostavljamo ispred] = –(3x – 1)(x – 2) GOTOVO 3. Primjenom već spomenutih 7 važnih formula (treba ih znati uočiti u zadatku) a) 4a2 – b2 – 4a + 1 = 4a2 – 4a + 1 – b2 = (2a – 1)2 – b2 = (2a – 1 – b)(2a – 1 + b) b) 1 – 8xy – x2 – 16y2 = 1 – (x2 + 8xy + 16y2) = 1 – (x + 4y)2 = . . . c) 4x + 16x4 – 16x3 – 1 = (16x4 – 1) – (16x3 – 4x) = (4x2 – 1)(4x2 + 1) – 4x(4x2 – 1)= d) 16x4 – 8x3 – 2x + 1 = 8x3(2x – 1) – (2x – 1) = (2x – 1)(8x3 – 1) = . . . = (2x –1)(2x – 1)(4x2 + 2x + 1) [Diskriminanta kvadratnog trinoma D = –12, STOP] e) a3 – b3 + a2b – ab2 = Prva dva razlika kubova = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = ... f) 22x – 32x = (2x – 3x)(2x + 3x) a–1b – b–1a = a–1 b–1 (b2 – a2) = 1/ab (b – a)(b + a)
i)
1.2.4. Algebarski razlomci I. Skraćivanje razlomaka: Rastavimo na faktore posebno brojnik
posebno nazivnik pa skratimo. a2 − b2
( a − b) 2
Zadaci: 1.
a −1 ( a − 1) 2 a 2 − 2a + 1 = = a +1 (a − 1)( a + 1) a2 −1
; Vj.
=
1 − b2 − (b 2 − 1) (b − 1)(b + 1) b − 1 = = = 2. ; 2 2 − b + b + 2 − (b − b − 2) (b − 2)(b + 1) b − 2
Vj.
1− a2 ; − a 2 − 2a + 3
9 − x2 − x 2 + 2x + 3
9 − ( c − 4) [ 3 − (c − 4)] ⋅ [ 3 + (c − 4)] = (7 − c)(c − 1) = c − 1 ; Vj. 4 − (d − 3) 2 ; = 3. 14 − 2c 2(7 − c) 2(7 − c) 2 15 − 3d 2
25 − ( p − 3) 2 6 + 3p
a 2 − x 2 − 9 + 6 x a 2 − ( x − 3) 2 (a − x + 3)(a + x − 3) = = = –(a + x – 3) = 3 – a – x 4. x−a−3 x−a−3 − (a − x + 3)
5.
x( x + 1) − y ( x + 1) ( x + 1)( x − y ) x − y = = ; ( x + 1)( x − 1) x −1 x2 −1
(
)(
Vj.
a (a − 1) − b(a − 1) b(b − 2) − a(b − 2) = ; = 2 a −1 b2 − 4
)
x4 − y4 x2 − y2 x2 + y2 x2 + y2 = = 6. 4 GOTOVO NEMA DALJE; 2 x − 2x 2 y 2 + y 4 x2 − y2 x2 − y2
(
)
II. Računanje s algebarskim razlomcima: 1.
4 a − 2a 2 4a 10b 2 4b 9a 2 − 1 (3a − 1) 2 : = − ⋅ = − : ; Vj. 5b 10b 2 5b 2a 2 a a 2 − 5a a 2 − 25
ab a b 1 1 a 2 − b 2 b − a (a − b)(a + b) ⋅ : 1'. − : − = = = –(a + b) ili = – a – b ab − ( a − b) b a a b ba ab a b
2. + 3.
b ( a − b) 2 ab 1 1 a 2 + b 2 − 2ab b − a − 2 : − = ⋅ : = = –(a – b) = b – a a ba − ( a − b) b a ba ab
1 6 x +3−6 x−3 1 − 2 = = = x − 3 x − 9 ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x + 3
14
4.
y 4x y 4x y − 4x − (2 x − y )(2 x + y ) 2x + y − − = =− = 2 = 2 x − xy 2 xy − y x(2 x − x) y ( 2 x − y ) xy (2 x − y ) xy (2 x − y ) xy
Vj.
4y 9x 3b 2 2 − − = ; =; 2 3 x + 2 xy 3 xy + 2 y 2 6b + 4 9b + 6
2
2
2
x−2 2 − = 2 4− y 2y − y2
JEDNAKOSTI 1. Jednakost 9a2 + ma + 4 = (3a – 2)2 ispunjena je za koji m?
| m = –12|
2. Polinom x3 – ax2 + 12x + 8 je kub binoma samo ako je a = (–2; –4; | –6| ; –8) 3. Umnožak (2x +3y)(4x2 + axy + 9y2) je zbroj kubova ako je a = ( | 6| ; –6; 12; 3) | 3⋅ 9 = 27|
4. Ako je a – b = 3 te a2 + ab + b2 = 9, koliko je a3 – b3 ?
5. Ako je x + y = 5 koliko je 4x + 4y + 4 ? ⇒ 4(x + y) + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 = 24 6. Ako je (2 – 4a)3 = 24, koliko je (2a – 1)3 ? ⇒ –23 (2a – 1)3 = 24 ⇒ (2a – 1)3 = –3 2 (a − b) 2 + 4ab ( a + b) =? = 7. Ako je a = 3333 i b = 5555 onda je = ... = 42 = 16 (a + b) 2 − 4ab ( a − b) 2
| 104 : 4 = 26|
8. Ako je x – y = 4 , x2 – y2 = 104, onda je x + y = ?
Od kuda Iz x2 –1 =3
9. Pojednostavni: (a2 + b2) – (a2 – b2) = ... = 2b2
10. Ako je (x + 1)(x – 1) = 3, koliko je (x2 – x)(x2 + x) ? ⇒ x2 (x – 1)(x + 1) = x2⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12 11. Ako je (x – 1)(x + 3) = 7, koliko je (x + 1)2 ? ⇒ x2 + 2x – 3 = 7 ⇒ x2 + 2x +1 = 11 Linearne jednadžbe: Dobro je znati: Opći oblik lin. jedn. je ax = b; 1) za a ≠ 0 i b ∈ bit će x = b/a jedno rj. (npr. 2x = 3/:2⇒ x = 3/2) 2) za a = 0 i b ≠ 0 ⇒ 0⋅ x = b, nema rj. (ne postoji broj koji pomnožen s 0 daje broj ≠ 0). 3) za a = 0 i b = 0 ⇒ 0⋅ x = 0, jedn. ima ∞ rj. (jednakost je ispunjena x ) Zadaci: 1. Za koji k jedn. kx – 2k + x + 3 = 0 ima: a) jedno rj. b) nema rj. (k + 1)x = 2k – 3 ⇒ a) za k + 1 ≠ 0 tj. za k ≠ –1 jedn. ima jedno rj. i ono je x = (2k – 3)/(k+1) b) za k + 1 = 0 tj. za k = –1 jedn. nema rj. jer bi bilo 0⋅ x = –5
2. Za koji p jedn. 2px – 2p + 3x – 3 = 0 ima: a) jedno rj. b) ima ∞ rj. (2p + 3)x = 2p + 3 ⇒ a) za 2p +3 ≠ 0, tj. za p ≠ –3/2 jedn. ima jedno rj. i ono je x = 1 b) za 2p +3 = 0, tj. za p = –3/2 jedn. ima ∞ rj. jer bi bilo 0⋅ x = 0 3. Za koji m lin. jedn. (2 + m)(1 + m)x = m2 – 1 ima jedno rješenje? A. m ≠ –1 i m ≠ 1;
B. m ≠ –2
| C| m ≠ –2 i m ≠ –1
4. x = –2 rješenje je jednadžbe: A. – x + 15 = 7;
B. 2x + 1 = 5;
| C.| (–5) ⋅ (–x) = –10,
D. (–x) : 2 = 4
D. m = 2
15
[Zadatak se najjednost. rješava tako da se umjesto x uvrsti –2 i provjeri brojevna jednakost.] 5. Rješenje jedn. (x + 3)2 – (x – 5)2 = 16 je:
| B| 2;
A. 1;
6. Rješenje jedn. (5x –2)2 – (7x +2)(1–x) =2(4x –3)2 + 7 je: A. 3; 7. Riješenje jedn.
x+2 x +1 = 3− je: A. 2; 3 2
B. 2.1;
8. Rješenje jedn. (x +1) : (x +3) = (x+4) : (x+5) je:
A. –9;
C. 3; B. 2;
D. 4 C. 1;
C. 2.2; B. –7;
D. 0
D. 2.3 C. –5;
D. –3
SUSTAVI DVIJU LINEARNIH JEDNADŽBI SE MORA ZNATI. Samo za Vj. 1. Riješi sustav x + 2y = 1 i –2x + 3y = 5 2. Riješi sustav 3x + 4y = 5 i 3x + 4y = 6 3. Riješi sustav x + 2y = 3 i 2x + 4y = 6 4. Riješi sustav 2x – y = 9 i x + 3y = 1 5. Riješi sustav 2x + y + 1 = 0 i 4x +3y – 1 = 0 6. Riješi sustav
1 1 x + y = 1 i 1.4x – 0.3y = 1.8 3 4
7. Riješi sustav 4x + 5y = 20 i x – 2y = 4 8. Riješi sustav 4x + y = 5 i 2x + 3y = 3 9. Riješi sustav 3x + 4y = –5 i 7x – 8y = –16 10. Koliko mora biti parametar p da sustav 2x + 4y = 3 i 3x + py = 5 nema rj.? 2x + 4y = 3/⋅ 3
pa zbrojimo ⇒ 12y – 4py = –1 odnosno (12 – 4p)y = –1
3x + py = 5/⋅ (–2)
Jedn. nema rj. za 12 – 4p = 0 tj. za 12 = 4p, odnosno za p = 3
11. Koliki je parametar p ako je uređeni par (2,1) rj. sustava: px+qy =7 i qx+y =3? Uvrstimo x = 2 i y = 1 u dani sustav pa imamo: 2p + q = 7 i 2q + 1 = 3 ⇒ q = 1, p = 3 4. Problemski zadaci (modeliranje) UPUTE: Dobro proučiti zadatak, Ako je potrebno, pročitaj ga i nekoliko puta sve dok ti ne postane kristalno jasan. Nepoznanicu standardno označi sa x Napiši problem u obliku jednadžbe s jednom ili dvije nepoznanice Riješi jednadžbu. Pazi da se ne zabuniš u računskim operacijama Kritički se odnosi prema rješenju. Razmisli ima li ono smisla. Provjeri zadovoljava li dobiveno rješenje sve uvjete zadatka. 1. Zbroj broja i njegove polovice za tri je manji od dvostruke vrijednosti tog broja. Koji je to broj? Rj. x + x/2 + 3 = 2x A. 6; B. 16; C. 20; D. 28 1'. Na testu inteligencije svaki točan odgovor vrijedio je 15 bodova, a za netočne odgovore oduzimalo se 5 bodova. Učenik je odgovorio na svih 40 pitanja i osvojio 280 bodova. 1) Koliko je najviše bodova mogao osvojiti na testu? Rj. 40 ⋅ 15 = 600
16
2) Na koliko je pitanja učenik točno odgovorio? Rj. x ⋅ 15 – (40 – x) ⋅ 5 = 280 ⇒ x = 24 1''. Određenu količinu šećera treba spremiti u pripremljene pakete. Stavi li se u svaki paket 18 kg šećera, ostat će 10 praznih paketa. Ako se u svaki paket stavi 14 kg šećera, ostat će 180 kg šećera koji nije spakiran. 1) Koliko paketa imamo na raspolaganju? x kg = x kg 18P – 10 ⋅ 18 = 14P + 180 4P = 360 ⇒ P = 90. Odgovor: Na raspolaganju imamo 90 paketa. 2) Kolika je ukupna količina šećera? 18 ⋅ 90 – 180 = 1440 kg 1'''. Mjere kutova trokuta su u omjeru 1 : 10 : 4. Najdulja stranica ima duljinu 10 cm. Kolika je duljina najkraće stranice? (Čisti račun diobe, za izračunavanje kutova) a) α : β : γ = 1 : 10 : 4 ⇒α = k; β = 10k i γ = 4k α + β + γ = 180o ⇒ 15k = 180 ⇒ k = 12 ⇒α = 12o ; β = 120o i γ = 48o b) Poučak o sinusima a/sinα = b/sinβ ⇒ a = b sinα/sinβ = 2.4 cm 2. U dječjoj kasici bile su ukupno 132 kn u kovanicama od 5 kn, 2 kn i 50 lipa. Kovanica od 2 kn bilo je dvostruko više nego kovan. od 5 kn, a kovan. od 50 lipa bilo je tri puta više nego kovanica od 2 kn. Koliko je u toj kasici bilo kovanica od 2 kune? 5x + 2y + 0.5z = 132 y = 2x z = 3y = 6x ⇒ 5x + 4x + 3x = 132 ⇒ 12x = 132 ⇒ x = 11 ⇒ y = 22 komada 2'. U trima paketima različitih masa stiglo je 64.2 kg naranči. Masa drugog paketa jednaka je 4/5 mase prvog paketa, a masa trećeg paketa je 17/40 mase drugog paketa. 1) Kolika je masa svakog pojedinog paketa? A + B + C = 64.2 4 A 5 17 17 4 4 17 4 C= B= ⋅ A⇒A+ A+ ⋅ A = 64.2 / ⋅ 200 40 40 5 5 40 5
B=
200A + 160A + 68A = 12 840 428A = 12 840 / : 428 ⇒ A = 30kg ⇒ B = 24kg ⇒ C = 10.2kg 2) Koliki je postotak naranči u trećem paketu u odnosu na prvi? 10.2 : 30 ⋅ 100 = 34% 3. Cijena c iznajmljivanja bungalova na n tjedana dana je formulom c = t ⋅ n + d (t je iznos tjednog najma, d je sigurnosni depozit). Marina je za 3 tjedna platila 2 092 kn, a Maja za 5 tjedana 3 412 kn. Koliki je sigurnosni depozit? c(3) = 3n + d = 2 092 \ c(5) = 5n + d = 3 412 / oduzmemo od 1. ; 2. – 4n = –1320 n = 660 ⇒ d = 2 092 – 3n ⇒ d = 112 kn. 3'. Mlječni proizvod dolazi u pakiranju od 330g ili 500g. Trgovac je dobio količinu od 55 550g tog mlječnog proizvoda u ukupno 140 pakiranja. Koliko je dobio manjih pakiranja? x + y = 140 i 330x + 500y = 55 550 y = 140 – x 33x + 7000 – 50x = 5 555 –17x = –1445 ⇔ x = 85 3''. Škola je za odlazak svojih 708 uč. na izlet osigurala 15 autobusa. Naki su autobusi imali 52, a neki 43 sjedala. U svim autobusima sva sjedala su bila popunjena i na svakom je sjedio samo jedan učenik. 1) Koliko je bilo autobusa s 52 sjedala? x + y = 15 i 52x + 43y = 708
17
y = 15 – x
52x + 645 – 43x = 708 9x = 63 ⇒ x = 7 Odgovor: S 52 sjedala bilo je 7 autobusa 2) Koliko je ukupno učenika prevezeno autobusima s 43 sjedala? Odgovor: S 43 sjedala bilo je 8 Bus-ova ⇒ 43 ⋅ 8 = 344 učenika. 3'''. Marija je za 17 rođendan dobila na dar 17 ruža, bijelih i crvenih. Cijena bijele ruže je 8 kn, a crvene 9 kn. Koliko je u buketu bilo crvenih, a koliko bijelih ruža ako je buket plaćen 142 kn? B + C = 17 i 8B + 9C = 142 C = 17 – B 8B + 153 – 9B = 142 –B = –11 / (–1) ⇒ B = 11 kom ⇒ C = 6 kom 34'. U košari je 89 kuglica – neke su male, a neke velike. Svaka mala kuglica teži 2g, a svaka velika 5g. Ukupna težina kuglica u košari je 256g. Koliko ima malih kuglica? M + V = 89 i 2M + 5V = 256 V = 89 – M 2M + 445 – 5M = 256 –3M = – 189 M = 63 kom ⇒ V = 26 kom 4. Napiši u obliku jednadžbe s dvije nepoznanice. Broj a pri dijeljenju sa 7 daje količnik b i ostatak 5. Rj. a = 7b + 5 5. Zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta je 170 cm, a površina 2208cm2 Odredite duljine stranica trokuta. a + b = 170 i ab/2 = 2208 /⋅ 2 b = 170 – a a(170 – a) = 4416 170a – a2 – 4416 = 0 ⇒ a2 – 170a + 4416 = 0 a=
170 ± 28900 − 17664 170 ± 106 = = 85 ± 53 2 2
a1 = 32; a2 = 138 ⇒ c = 32 2 + 138 2 = 141.66cm b1 = 138 b2 = 32 JEDNADŽBE S |
|
| x| = 4 ⇔ x = ± 4 Napomena: Jedn. | ax + b| = – 5 nema rješenja
1. Riješi jednadžbe: a) | 2x + 3| = 5 ⇔ 2x + 3 = ± 5 ⇒ x1 = – 4 i x2 = 1 Vj. b) | 1 – 3x| = 2 NE Rj. već ⇔ | 3x – 1| = 2; c) | 5x + 4| = 7; d) | 5 – 2x| = ¾ ⇔ | 2x – 5| = ¾ 1
1
1
5
Vj. 2. Rij. jedn. a) 2 x − 3 = 2 ; b) 2 x − 3 + 8 = 3 − 2 x ; c)
( 2 x + 3) 2
= 5 ; d) x 2 − 4 x + 4 = 3
3. Riješi jednadžbu | x – 1| = x + 1. P.u. x + 1 ≥ 0 tj. x ≥ –1 ⇒ x – 1 = ± (x + 1) 4. Riješi jednadžbu | 3 – x| = 2x – 1. P.u. 2x – 1 ≥ 0 tj. x ≥ ½ | x – 3| = 2x – 1 ⇒ x – 3 = ± (2x – 1) 5. Riješi jedn. a) | x + 2| = | 3x + 1|
Nema P.u. Zašto? (Jer su obje strane pozitivni brojevi)
x + 2 = ± (3x + 1) ⇒ x + 2 = –(3x + 1) ili x + 2 = 3x + 1 x = –3 /4 Vj. b) | 2 – x| = | 3x – 1| ; c) | 2x – 1| = | 3 – 2x| ;
x=½ d) 2| x – 1| = | x – 2| ; d) 2| x| = 6| 3x +5|
18 − b ± b 2 − 4ac osnovna formula iz koje ⇒ 2a − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac ⇒ x1 = manje rj. i x 2 = veće rj. Zadaci su samo za vježbu: 2a 2a
Kvadratna jedn. ax2 + bx + c=0 x =
1. Riješite jednadžbu: a) x2 – 5x + 4 = 0;
b) 2x2 – 5x + 2 = 0;
c) x2 – 6x + 13 = 0
2. Riješite jednadžbu : a) x2 – 5 x + 1 = 0;
b) x2 – 2 3 x + 2 = 0 c) a2 – 2a + 4 = 0
Diskriminanta kvadratne jednadžbe ax2 + bx + c = 0 je broj D = b2 – 4ac Diskriminanta i priroda rješenja kvadratne jednadžbe: 1) Ako je D > 0, jednadžba ima dva ralna i različita rješenja 2) Ako je D = 0, jednadžba ima dvostruko ralno rješenje 2') Ako je D ≥ 0, jednadžba ima dva ralna rješenja 3) Ako je D < 0, jednadžba ima konjugirano kompleksna rješenja ili jedn. nema ralnih rješenja Zadaci: 1. Za koji realni m jedn. x2 + 4x + m = 0 ima jednaka rješenja? Jednaka rješenja su za D = 0 tj. b2 – 4ac = 0 ⇒ 16 – 4m = 0 ⇒ 4m = 16 ⇒ m = 4 2. Za koji realni n jedn. 2x2 – x + n = 0 ima različita realna rješenja? Različita realna rješenja su za D > 0 tj. b2 – 4ac > 0 ⇒ 1 – 8n > 0 ⇒ 8n < 1 ⇒ n < 1/8 2'. Za koji realni p jedn. (p – 2)x2 – 2px + p – 2 = 0 ima realna rješenja? Realna rješenja su za D ≥ 0 tj. b2 – 4ac ≥ 0 ⇒ 4p2 – 4(p – 2)2 ≥ 0 ⇒ p2 – p2 + 4p – 4 ≥ ⇒ p ≥ 1 3. Za koji realni q jedn. x2 – 2x + q –1 = 0 nema realna rješenja? Rješenja nisu realna za D < 0 tj. b2 – 4ac < 0 ⇒ 4 – 4(q – 1) < 0 ⇒ 1 – q + 1 < 0 ⇒ q > 2 5. Zbroj vrijednosti parametra m za koje jedn. 2x2 – (m – 5)x + 8 = 0 ima jednaka rješenja iznosi? x1 = x2 ⇒ D = 0 tj. b2 – 4ac = 0 ⇒ (m – 5)2 – 64 = 0 ⇒ m – 5 = ± 8 ⇒ m1 = –3 i m2 = 13 ⇒ m1 + m2 = 10 Vieteove formule za kvadratnu jednadžbu ax2 + bx + c = 0 Glase: x1 + x2 = −
b c i x1 ⋅ x2 = daju vezu između rješenja i koeficijenata kv. jedn. a a
Zadaci: 1. Za koji k jednadžba kx2 + (k2 + k)x – 7 = 0 ima dva međusobno suprotna rješenja? b a
Iz x2 = – x1 ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ − = 0 ⇒ −
k (k + 1) = 0 ⇒ k + 1 = 0 ⇒ k = –1 k
1'. Ne rješavajući kvadratnu jedn. 5x2 – 3x + 7 = 0 Izračunaj: 1) x1−1 + x 2−1 =
1 1 x 2 + x1 3/ 5 3 + = = = x1 x 2 x1 x 2 7/5 7
19 2
2
c 3 7 9 14 61 b − =− 2) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = − − 2 = − 2 ⋅ = a
2') x1−2 + x 2−2 =
a
5
5
25
5
25
1 1 x 22 + x12 ( x 2 + x1 ) 2 − 2 x1 x 2 (3 / 5) 2 − 14 / 5 − 61 / 25 61 + = =− = = 2 2 = 2 2 2 2 x1 x 2 49 / 25 49 x1 x 2 ( x1 x 2 ) (7 / 5)
2''. Odredi m u jedn. mx2 + x + 4m=0, ako je zbroj korijena (rješenja kv. jedn.)jednak dvostrukom umnošku tih korijena. x1 + x2 = 2x1x2 ⇒ .... ⇒ m = –1/8 3. Zbroj aritmetičke i geometrijske sredine korijena jedn. 2x2 – 20x + 32 = 0 iznosi? 20 x1 + x 2 + 16 5 = 5 + 4 = 9 + x1 x 2 = 4 2
Kvadratna jednadžba sa zadanim rješenjima: Znamo li rješenja kvadratne jedn. onda tu jedn. možemo naći na dva načina: I. a(x – x1)(x – x2) = 0
za 'LIJEPA' rješenja
II. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 za 'RUŽNA' rješenja 1. Napiši kvadratnu jednadžbu ako su zadana njezina rješenja. 1) x1 = –3 i x2 = 2 [Jesu li 'lijepa'?] Jesu, onda a(x – x1)(x – x2) = 0 ⇒ a(x +3)(x – 2) = 0 [Kako a može biti bilo koji realni broj najbolje je da je 1] (x +3)(x – 2) = 0 ⇔ x2 + x – 6 = 0 2) x1 = –2/3 i x2 = 1 [Jesu li 'lijepa'?]
a(x – x1)(x – x2) = 0 ⇒
a(x + 2/3)(x – 1) = 0 [Kako a može biti bilo koji realni broj neka bude 3] 3(x + 2/3)(x – 1) = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 1) ⇔ 3x2 – x – 2 = 0 3) x1 = 1 – 5 i x1 = 1 + 5 [Jesu li 'lijepa'?] Nisu onda x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ⇒ x2 – (1 – 5 + 1 + 5 )x + (1 – 5 )(1 + 5 ) = 0 ⇒ x2 – 2x + 1 – 5 = 0 ⇒ x2 – 2x – 4 = 0 4) x1 = 2 – 3i
i x2 = 2 + 3i [Jesu li 'lijepa'?] Nisu onda x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ⇒
x2 – 4x + 1 + 9 = 0 ⇒ x2 – 4x + 13 = 0 5) Napiši kvadratnu jednadžbu čije je jedno rješenje 1 – i . Između redova piše Iz x1 = 1 – i ⇒ x2 = 1 + i x2 – (x1 +x2)x + x1x2 = 0 ⇒ x2 – 2x +1 + 1 = 0 ⇒ x2 – 2x + 2 = 0 6. Odredi p tako da je jedno rješenje jedn. (2px – 1)2 = p(p – 2x) jednako nuli. Dobro je znati: Kad imamo konkretno rješenje onda ga uvrstimo u danu jednadžbu. x1 = 0 ⇒ (0 – 1)2 = p(p – 0) ⇒ 1 = p2 ⇒ p = ± 1 NEJEDNAKOSTI 1. Skupu svih rješenja nejednadžbe 2(3x – 1) < 1 pripada broj: | –1| ; 1; 2. Skup rješenja nejednadžbe
5 − 2x 1 − x > jednak je: 3,+∞ ; − ∞,3 ; 8 4
R;
5;
7?
20
3. Koliko rješenja u skupu Z ima nejednadžba –7 < 2x ≤ 9
A. 9;
| B.| 8;
C. 7;
D.
6 4. Odredite skup na kojem su sve vrijednosti fje f(x) = 3(2 – 5x) veće od 1. 5. Za koji p jednadžba x + p = 5 ima rješenje x ≤ 0? p≤ 0;
p≤ 5;
p≥ 0;
p≥ 5
x = 5 – p ⇒ x ≤ 0 ⇒ 5 – p ≤ 0 ⇒ – p ≤ –5 ⇒ p ≥ 5 7. Zapišite pomoću intervala. Skup svih realnih br. x za koje je x > 1.6. Odgovor x ∈〈 1.6, +∞ 〉 8. Skup svih realnih brojeva koji su veći ili jednaki –2 , a manji od 5 zapisujemo x ∈[ –2, 5〉 9. Skup svih realnih brojeva koji su veći od –2, a manji ili jednaki od 4 zapisujemo: A.〈–2, 4〉 ; B. [–2, 4]; | C.| 〈–2, 4]; D.[–2 ,4〉 10. Skupu svih realnih brojeva zadanih uvjetom x < –3 ili x ≥ 5 zapisujemo: A.〈–∞, 2〉 ; B. 〈–3, 2]; | C.| 〈–∞ ,–3〉 ∪[ 5,+∞ 〉 ; Nejednadžbe koje se rješavaju napamet. 11. Nejedn.
−3 ≥ 0 vrijedi za sve x za koje je: x < 2 i x≠ –2; x+2
x > 2;
x < –2;
12. Rješenje nejedn. (x +2)2(x – 3) ≥ 0 je interval _________________ 13. Rješenje nejedn.
x −1 < 0 je interval ______________________ ( x + 2) 2
14. Rješenje nejedn.
( x + 1) 2 ≤ 0 je interval ______________________ x−2
14'. Rješenje nejedn. 15. Rješenje nejedn. 15'. Rješenje nejedn.
x+2 > 0 je interval ______________________ ( x − 3) 2 x+2 ≥ 0 je interval ______________________ ( x + 1) 2 x+2 ≥ 0 je interval ______________________ ( x + 1) 2
16. Rješenje nejednadžbe (x +3)(x – 2) ≤ 0 je interval ? kritične točke x1 = –3 i x2 = 2 ; manja dobiva indeks 1 veća 2. Sastavimo tablicu. Prva zagrada je uvijek ona koja daje manju kritičnu točku. –∞ –3 2 +∞ Gledamo treći red, x+3 – + + zadovoljava nas – x–2 – – + Rj. x∈[–3 , 2] (x+3)(x–2) + – + x ∈[–3 , 2] Koristeći se gornjom tablicom odredi rješenja sljedećih nejedn. 17. Rješenje nejedn. (x +4)(x – 1) ≥ 0 je interval _______________________ 18. Rješenje nejedn.
x −1 < 0 je interval _____________________ x+2
D. ∅
x ≥ –2
19. Rješenje nejedn.
x+3 > 0 je interval _________________________ x−2
21
20. Za koji realni m jedn. (x – m)2 = 3 – mx ima različita realna rješenja? 1) Sredimo kv. jedn. x2 – 2mx + m2 + mx – 3 = 0 ⇔ x2 – mx + m2 – 3 = 0 2) Različita realna rješenja su za D>0 tj.b2 – 4ac > 0 ⇒ m2 – 4(m2 – 3) > 0 ⇒ –3m2 + 12 > 0/:(–3) ⇒ m2 – 4 < 0 [Pazi! Zbog m2 ne prebacuj već rastav na faktore] ⇒ (m + 2)(m – 2) < 0. Opet tablica iz koje čitamo m ∈ 〈–2 , 2〉 Napomena: Navedenu tablicu koristimo i za rješavanje najednadžbi oblika (3 + x)(2 – x) < 0, 3− x 2−x < 0, < 0 , ali ih prije upotrebe tablice moramo prevesti u oblik.: –(x +3)(x – 2) < 0, 3+ x 7−x
− ( x − 2) − ( x − 3) x−3 x−2 < 0 odnosno (eliminiramo minuse) (x + 3)(x – 2) >0, < 0, > 0, <0 − ( x − 7) x+3 x+3 x−7
NEJEDNADŽBE S | | | x| < a ⇔ – a < x < a; | x| > a ⇔ x < – a ili x > a (ili znači rj. je ∪) 1. Riješi nejednadžbe: a) | 2x + 3| < 1 ⇔ –1 < 2x + 3 < 1 ⇔ – 4 < 2x < –2 ⇔ – 2 < x < –1 Vj.
b) –| 3x – 2| > – 4;
c)
1 ≥ 2; x −1
d) | 3 – x| ≤ 2;
e) –| 3 – 2x| ≥ – 5
2. Odredi skup cjelobrojnih rješenja nejedn. | 3 – x| < 2 ⇔ | x – 3| < 2 ⇔ –2 < x – 3 < 2 1 < x < 5 ⇒ x∈{2,3,4} 3. Riješi nejednadžbe: a) | 4x + 1| ≥ 3 ⇔ 4x + 1 < –3 ili 4x + 1 > 3 4x < – 4 x ≤ –1 c) | 3 – 2x| ≥ 7;
b) –| x – 3| < – 2;
ili 4x > 2 ili x ≥ 1/2 tj. x ∈ 〈–∞ , 1] ∪ [1/2, +∞ 〉 d) –| 2 – 3x| < – 5
4. Riješi sustav: a) 2 < | x – 3| < 4 2 < | x – 3| ⇔ | x – 3| > 2
i tj. ∩
| x – 3| < 4
x – 3 < –2 ili x – 3 > 2
i
–4
x<1
i
–1 < x < 7 Za konačno rj. crtaj kućice
ili x > 5
________o__________o_____________o____________o_____________ –1
1
5
7
Konačno rj. je presjek tj. x ∈ 〈–1, 1 〉 ∪ 〈5, 7〉 b) 3 < | x + 1| < 5;
c) 1/2 ≤ | 3x + 2| < ¾;
d) 1 < | 2x – 1| ≤ 2
Kvadratna nejednadžba ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≤ 0 ili ≥ 0
22
Najlakše ju je riješiti pomoću već viđene tablice. Primjer: 2x2 – 5x + 2 < 0. Najprije riješimo jedn. 2x2 – 5x + 2 = 0, čija su rj. x1 = 1/2 i x2 = 2 pa imamo 2(x – 1/2)(x –2) < 0 /:2 (x – 1/2)(x – 2) < 0 sada složimo tablicu –∞ x –1/2 x–2 (x–1/2)(x–2) 2 Za 2x – 5x + 2 ≤ 0 rješenje bi bilo
1/2 2 – + – – + – x∈[1/2, 2]
+∞
Zadovoljava nas treći red iz kojeg čitamo rješenje x ∈ 〈1/2, 2〉
+ + +
Za 2x2 – 5x + 2 > 0 rješenje bi bilo x∈〈 –∞ , 1/2〉 ∪ 〈2, +∞ 〉 Za 2x2 – 5x + 2 ≥ 0 rješenje bi bilo x∈〈 –∞ , 1/2] ∪ [2, +∞ 〉 Vj. 3x2 – 7x + 2 ≥ 0; 2x2 + 5x + 2 < 0; 5x2 – 16x + 3 > 0; 5x2 – 14x – 3 ≤ 0 Napomena: Navedenu tablicu koristimo i za rješavanje najednadžbi oblika 5 – 4x – x 2 < 0, tako da ih množenjem sa –1 prevedemo u oblik x2 + 4x – 5 > 0 Kvadratna nejednadžba ax2 + bx + c < > 0 s | | 1. Riješi nejednadžbu: a) | x2 + 5x| < 6 ⇒ –6 < x2 + 5x < 6 x2 + 5x > –6 i x2 + 5x < 6 x2 + 5x + 6 > 0 i x2 + 5x – 6 < 0 (x + 2)(x + 3) > 0 i (x + 6)(x – 1) < 0 Iako bi nam tablica trebala biti u glavi, nacrtajmo jednu pa ju koristimo za obje –∞ –3 –2 +∞ Zadovoljava nas treći red iz x+3 – + + kojeg čitamo rješenje i x+2 – – + prve i druge nejednadžbe (x+3)(x+2) + – + Za I. x ∈ 〈–∞, –3 〉 ∪ 〈–2, +∞ 〉 i za II. x ∈ 〈–6, 1〉 Konačno rj. je presjek I i II. tj. x ∈ 〈–6, –3 〉 ∪ 〈–2, 1〉 Vj. b) | x2 – 5x| < 6;
c) | x2 – 5| < 1;
d) | x2 –3| < 2
2. Riješi nejednadžbu: a) | x2 – 5x| > 6 ⇒ x2 – 5x < –6 x2 – 5x +6 < 0 (x – 2)(x – 3) < 0 x ∈ 〈2, 3〉 Vj. b) | x2 + 5x| > 6;
c) | x2 – 5| > 2;
ili ili ili ili
x2 – 5x > 6 x2 – 5x – 6 > 0 (x + 1)(x – 6) > 0 x ∈ 〈–∞, –1 〉 ∪ 〈6, +∞ 〉
d) | x2 – 5| > 1
Korijeni I. Kvadratni (drugi) korijen pozitivnog broja a je a za koji vrijedi dok za bilo koji realni broj r vrijedi r 2 = r ;
(1 − 2 )
2
( − 3) 2
( a)
= − 3 = – (–3) = 3
(
)
= 1 − 2 = − 1 − 2 = −1 + 2 = 2 − 1 .
2
= a,
Također je
( a)
0 = 0,
a0 = 1,
23 k
= a k Osnovna računanje s
–ima morate znati, jer ova
skripta nije predviđena za osnovna računanja, ali ipak će se nešto od toga u njoj i naći. 1
2 = [za najčešću upotrebu] = 2 = 2 2 ≈ 1.41;
20 = 1 ,
1
3 = 3 = 3 2 ≈ 1.73
30 = 1 ,
Korijeni II. Pisanje korijena u obliku potencije s razlomljenim eksponentom 1
1 2
a =a , n
a
=a
1 2
;
1
m n
a =a ; m
−.
n
am
=a
−
m n
a =a ,
;
n
Djelomično korjenovanje
3
a
a3 = a a = a 2 ,
4 3
a4 = a2 ,
1 3
a = a = a ⋅a = a⋅ a ; 4
1
−.
1 3
;
n
1
a np = a p ;
n
a np
=
1
1 n
a =a ,
n
=a
a
−.
1 n
;
1 = a−p ap
5
a5 = a2 a = a 2 ,
Ova razmatranja morate znati primjeniti i za 3
=a
a 2 b = a b za pozitivan realni broj a. (Za više vidi I. razred)
3
a2 = a ,
1
1 3
3
3
3
5 3
2 0 do
a =a =a⋅ a ; 5
3
2
a6 = a3 , . . . ,
kao i
210 4
5 4
a 10 = a 5
30 do
a =a =a⋅ a; 5
4
4
310 7 4
a = a = a ⋅ 4 a3 7
1
Korjenovanje korijena
n
p
1 n
q
a ⋅ b⋅ c = a ⋅b
1 1 ⋅ n p
⋅c
m n
1 1 1 ⋅ ⋅ n p q
a = mn a = a
ili
n
1 mn
1 1 1 2 a ⋅ 3 b = a ⋅ b 3 = a 2 ⋅ b 6 1 2
,
p q a⋅ b⋅ c =
npq
a pq b q c
a je uhvatio 'virus' p i 'virus' q. . . Heronova formula za površinu trokuta P∆ = s ( s − a)( s − b)( s − c)
s=
1 (a + b + c) 2
1. Izračunaj P∆ sa stranicama a = 9 cm, b = 10 cm i c = 17 cm. ⇒ s = 18 cm s ( s − a)( s − b)( s − c) = 18(18 − 9)(18 − 10)(18 − 17) = 18 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 1 =
P∆ =
2 4 ⋅ 3 4 = 22⋅ 32 = 36cm2
2. Odredi najmanju i najveću visinu ∆ sa stranicama a = 25, b = 29 i c = 36 ⇒ s = 45. Iz
P∆ =
s ( s − a)( s − b)( s − c) = ... = 360 i
P∆ =
ili P∆ =
a ⋅ va 2P ⇒ v a = ∆ = ... = 28.8 2 a c ⋅ vc 2P ⇒ vc = ∆ = ... = 20 2 c
3. Odredi polumjere r i ρ u ∆ sa stranicama a = 25, b = 52 i c = 63 ⇒ s = 70. Iz P∆ =
s ( s − a)( s − b)( s − c) = 630 i P∆ =
abc abc P ⇒r = 4 P = ... =32.5 ili P∆=s⋅ρ⇒ ρ = ∆ = ... = 9 4r s ∆
Racionalizacija nazivnika (vidi bilježnicu, tablice i uči se)
Klasični zadaci:
24 2
1.
2 3
2.
2
⋅
=
2 3
=
⋅
3 3
=
3 3
1
1'.
4
4
⋅4
53
5 45 = ; 5 5 4
2'. 3
2
1''. =
32
4 3
7
2 7
25 3
4
=
25
32
=
⋅3
2
2 2 ⋅ 3 22 7 1 6 7 +1 6 7 +1 6 7 +1 − ⋅ 3. = = = 7 + 1; 3'. 3− 2 3− 7 −1 6 7 −1 7 +1 31 1 6 1 1 1 − + − + − 3''. =...= 6; 3'''. 6− 5 6− 5 6 3− 8 8− 7 7− 6 33
3 3
2 2 = 2; 2
(
Zadaci: Izračunaj: 0.
)
(
(1 − 2 )
2
)
(
+
2− 3
)
2
1. 3 ⋅ 3 4 + 16 = 3 ⋅ 3 4 + 4 = 3 ⋅ 3 8 = 3 ⋅ 2 = 6 ; 1'. 2.
3''.
0.008
0.2 2 = = =2; 0.1 1 0.01
5
3'''. 34'.
4 5 ⋅ 10 5 40
20
5
6
−16
)
2 3 − 2 = 1− 2 +
2
7
2
22
=
3 = 4⋅ 2 = 3 2 2⋅2 1 + =...=5 2 2− 3 1 1 + = ...= 5 6− 5 5−2
2− 3 +
⋅ 4 4
− 20
= 20
x2 ⋅ 3 x ⋅ x =
3.
6
45 ⋅ 54 = 5 −16 ⋅ 4 −5
5 3
1 3 6 36 3 3 ⋅9 = = 2 = ; 4 12 4 8 2 2
20
3'.
9
1 − 27
−6
= 9 318 = 3 2 = 9
410 ⋅ 5 20 = 5 ⋅ 4 = 5 ⋅ 2 = 10
x6 ⋅ x ⋅ x =
x 7 ⋅ x = 15 x14 ⋅ x =
5 3
30
x 15 =
x
–2/3 –1/2 – 4/3 = a5/6 b1/9 a1/12 b1/12 : a8/9 b2/3 = a5/6 + 1/12 – 8/9 b1/9 + 1/12 – 2/3 = ... a 5 b 2 / 3 ab : (a b )
5. 3 ⋅ 4 27 = 4 3 2 ⋅ 33 = 4 35 = 3 ⋅ 4 3
6. 3 ⋅ 3 9 ⋅ 4 27 = . . .
7.
( 9. ( 10.
3−2 =
64 = 6 2 6 = 2
3
4. 3 1080 = 3 2 3 ⋅ 33 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 5 = 6 ⋅ 3 5 ;
8.
2⋅7 4 7 = 4 2
2 ) − ( 2 − 3 ) − ( 3 − 2) = –1 + 2 − 2 + 3 − 3 + 2 = 1
= – (1 –
3
(
+
⋅
7
3+ 6
)
2
− 72 = ... = 9
) ( 2
(
8'.
)
3 − 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = ... = 4; 3 + 5 ⋅ 4 8 − 2 15 =
25 ⋅ 4 125 ⋅ 12 5 = . . .
3
4
(
9'.
200 − 10 + 5
(
3+ 5
) (8 − 2 15 ) =
2
3
2
)
2
= ... = –15
) ( ) (8 + 2 15 )(8 − 2 15 ) = 2
7 − 5 ⋅ 12 + 2 ⋅ 35 = ... = 4 4
4
64 − 4 ⋅ 15 =
4
4= 2
11. 54 _ 3 ⋅ 3 4 ⋅ 810.75 = ( 2 ⋅ 33 ) _ 3 ⋅ 2 3 ⋅ ( 3 4 ) 4 = 2 _ 3 ⋅ 3 −2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 = 3–1 = 1/3 2
IRACIONALNE
2
2
2
JEDNADŽBE su jednadžbe u kojima se nepoznanica nalazi pod korijenom.
Rješavamo ih tako da ih svodimo na algabarske, rješavajući se korijena.
25 x +1 = 2/
1.
2.
2
x − 2 = x + 1/ 2
x2 – 2 = x2 + 2x + 1
x+1=4
2x = –3/:2 ⇒ x = –3/2
x = 3 (Provjera obavezna)
9 3 − 2 = − +1 4 2
3 + 1 = 4 = 2 istina
1 1 1 1 = − ⇒ = − nije istina pa x = –3/2 nije rj. 2 2 4 2
znači x = 3 je rj.
3. 12 − 7 + x = 3 /2 i tako 3 puta x = 4 Provjera kaže je rj.
3'.
3
2
4.
x − 3 = 2x + 4 / 2
x – 3 = 2x + 4
− 7 − 3 = − 14 + 4
x = –7
1+ x −1 = 2
3''. 3 3 + 3 x − 1 = 2
Projera
− 10 = − 10 Na
prvi pogled ovo je istina, ali pod mora biti nenegativan broj. To znači da x = –7 nije rješenje
5.
x + 1 + x − 2 = 3 Razdvoji korijene pa kvadriraj (dva puta) ... rj. x = 3
SLIČNOST: Za slične likove vrijedi: Odgovarajući kutovi su jednaki i ove tri jednakosti: 1) Omjer duljina dužina jednak je k koef. sličnosti. Tj. a/a' = k = v/v' = o/o' = (a–b)/(a'–b') = ... 2) Omjer površina jednak je k2. Tj. P/P' = k2 = a2/a'2 = v2/v'2 = o2/o'2 = ... 3) Omjer obujmova (volumena) jednak je k3. Tj. V/V' = k3 = a3/a'3 = v3/v'3 = o3/o'3 = ... Zadaci: 1. Duljine stranica trokuta iznose 15.5 cm, 11 cm i 9.5 cm. Duljina najkraće stranice njemu sličnog trokuta iznosi 16 cm. Koliki je omjer: a) opsega, b) površina zadanog i sličnog ∆? a) Rj. o1 : o2 = 9.5 : 16 = 0.59375
b) P1 : P2 = 9.52 : 162 = 0.35254
Krug r, d, o i P. Kružni prsten (vijenac) o i P 1. Opseg kruga
o = 2rπ = dπ
2. Površina kruga
P = r2 π = (d2/4) π
3. Opseg vijenca
o = o1 + o2 = 2π(R + r)
4. Površina vijenca P = P1 – P2 = π(R2 – r2) Zadaci: 1. Ako je opseg kruga jednak 22π cm. Kolika je njegova površina?
26
Iz o = 2rπ = 22π ⇒ r = 11cm ⇒ P = r π = 121π cm 2
2. Ako je površina kruga jednaka 56.25π cm2.
2
Koliki je njegov opseg?
Iz P = r2π = 56.25π cm2 ⇒ r = 7.5 cm ⇒ o = 2rπ = 15π cm. 3.Trkači trče kružnim stazama koje su od središta udaljene 100 odnosno 110m. Koliko je dulji put pretrčao trkač u vanjskoj stazi? (Slika) Rj. Razlika je 2 ⋅ 110π – 2 ⋅ 100π = 20π ≈ 62.8 m 3'. Kvadratu opsega 32 cm upisan je i opisan krug. Kolika je razlika površina tih krugova? [SLIKA] o = 32 = 4a ⇒ a = 8 cm ⇒ r = a/2 = 4 cm R = d/2 = a 2 /2 = 4 2 cm PR – Pr = π(R2 – r2) = π(16 ⋅ 2 – 16) = 16π cm2 4. Jednakostraničnom ∆ opsega 36 cm upisan je i opisan krug. Kolika je razlika površina tih krugova? [SLIKA] o = 36 = 3a ⇒ a = 12 cm ⇒ r = a 3 /6 = 2 3 cm i R = a 3 /3 = 4 3 cm PR – Pr = π(R2 – r2) = π(16 ⋅ 3 – 4 ⋅ 3) = 36π cm2 5. Povećanjem radijusa kruga za 8 njegova se površina uveća 9 puta. Radijus počet. kruga je? 2 r1 = r + 8 ⇒ P1 = 9P ⇒ r1 π = 9r2π ⇒ (r + 8)2 = 9r2/
⇒ r + 8 = ± 3r. U obzir dolazi samo +
pa imamo r + 8 = 3r ⇒ r = 4 Dijelovi kružnice i kruga: 1) Kružni luk l =
oα rπα = 360 180
2. Kružni isječak Pi =
3. Kružni odsječak: Pko = Pi – P∆
P0α r 2πα rl = = 360 360 2
oi = 2r + l
Nacrtaj si sliku i u njoj ove djelove.
Zadaci: 1. Luku duljine 3.5π cm pripada središnji kut od 225o. Kolika je duljina cijele kružnice? Iz l =
oα 360 ⋅ l 360 ⋅ 3.5π = = 5.6π cm ⇒o = 360 α 225
2. Ako luk kružnice pridružen središnjem kutu α = 45o iznosi 24 cm, koliki luk iste kružnice pripada središnjem kutu β = 75o? Iz l : 24 = 75 : 45 ⇒ l = 40 cm 3. Odredite površinu kružnog isječka, ako je r = 5 i l = 2 rad. Pi =
rl 5 ⋅ 2 = =5 2 2
4. Kružni isječak ima površinu 45 i duljinu pripadnog luka 9. Odredite polumjer kružnice. Pi =
2 P 2 ⋅ 45 rl = 45 ⇒ r = i = = 10 2 l 9
Obodni i središnji kut kružnice (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči bit će dovoljno) Tetivni i tangencijalni četverokuti (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči bit će dovoljno)
27 Rj. 1) Jednakost obodnih kutova nad istim lukom daje α = 98o. 2) Tetivni četverokut Zbroj nasuprotnih kutova α+β=180o daje β = 82o. 3) α – β = 16o
Pravilni mnogokuti (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči sliku i osnovne fornule dane uz nju) α=
360 (n − 2) ⋅ 180 360 n(n − 3) ;β= =180– =180–α; β' = 180 – β = α, Kn = (n – 2) ⋅ 180, Dn = n n n 2
Zadaci: 1. Unutarnji kut pravilnog mnogokuta iznosi 179o 30'. Koliki je broj stranica? Rj. Iz β = 180o – 360o/n ⇒ 360o/n = 180o – β = 30' = 0.5o ⇒ n = 720 Može se tražiti broj dijagonala i sl. 2. Odredi onaj pravilni mnogokut čiji je jedan unutarnji kut tri puta veći od vanjskog. Iz β = 3β' i β' = α =
360 360 360 360 = 3⋅ ⇔ 180 − ⇒ 180 = 4 ⋅ ⇒n = 8 n n n n
2'. Vanjski kut pravilnog mnogokuta jednak je 2/13 unutarnjeg. Nađite broj stranica. Rj. β' = ( 2/13) β tj. α = (2/13) β 360 2 360 2 180(n − 2) 13n = ⋅ 180 − = ⋅ /⋅ ⇒ 13 = n – 2 ⇒ n = 15 n 13 n 13 n 180 ⋅ 2
3. Pravilni mnogokut ima 6 puta više dijagonala nego stranica. Ako je stranica tog mnogokuta 4 cm, opseg = ? Rj. o = n ⋅ a
i Dn = 6n ⇒ n(n – 3) = 2 ⋅ 6n ⇒ n2 – 15n = 0 ⇒ n = 15
o = 15 ⋅ 4 = 60 cm. 4. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta (zamisli da je pravilni) jednak je 2340o. Koliko dijagonala ima taj mnogokut? Rj. Iz Kn = 2340 ⇒ (n – 2) ⋅ 180o = 2340o ⇒ n – 2 = 3⇒ n = 15 pa je Dn = n(n – 3)/2 = 15 ⋅ 12/2 = 90 Pravilo trojno (Proporcionalnost) A. Proporcionalnost: Zadaci: 1. Auto na 100 km troši 6.5 litara benzina. Koliko će litara potrošiti na putu od 492 km.
Rj. ↑ 100 km
↑ 6.5 l | 492 km
| x l Prva strelica ide od x
x : 6.5 = 492 : 100 ⇒ x = (6.5 ⋅ 492) / 100 = 31.98 = 32 l 2. U 100 ml sirupa sadržano je 2.4 g paracetamola. Koliko miligrama paracetamola ima u 10
28
ml sirupa?
Rj. ↑ 100 ml | 10 ml
↑ 2.4 g | xg
Prva strelica ide od x
x : 2.4 = 10 : 100 ⇒ x = (2.4 ⋅ 10) / 100 = 0.24 g = 240 mg [Napomena: 1 g = 1000 mg] 3. Za koliko se vremena pri rotaciji oko svoje osi Zemlja okrene za 60o? ↑ 360o
Rj.
| 60o
↑ 24 sata |
x sati
Strelica uvijek ide od x
x : 24 = 60 : 360 ⇒ x = (24 ⋅ 60) / 360 = 24/6 = 4 sata 4. Kolika je brzina 60 km/h u m/s?
Rj. ↑ 60 000m |
↑ 3600 s |
xm
1 s Prva strelica ide od x
x : 60 000 = 1 : 3600 ⇒ x = 60 000 / 3600 = 100/6 = 16.67 m ⇒ 60 km/h = 16.67 m/s 4'. Kolika je brzina 20 m/s u km/h?
↑
Rj.↑ 20 m |
1s |
x m
3600 s Prva strelica ide od x
x : 20 = 3600 : 1 ⇒ x = 3600 ⋅ 20 = 72 000 m ⇒ 20 m/s = 72 km/h 5. Na karti koja ima omjer 1 000 000 Zagreb i Split udaljeni su približno 26 cm. Kolika je stvarna udaljenost Zagreba i Splita? Rj. 1 : 1 000 000 = 26 : x ⇒ x = 26 ⋅ 1 000 000 = 26 000 000 cm = 260km 6. Ako 100 ml kave sadrži 66 mg kalija, koliko ćemo grama kalija unijeti u organizam oko popijemo 0.5 dl kave? Rj. 100 ml = 1 dl ↑ 100 ml |
↑
50 ml
66 mg
|
x mg Prva strelica ide od x
x : 66 = 50 : 100 ⇒ x = (66 ⋅ 50) / 100 = 33 mg = 0.033 g (1 g = 1000 mg) 7. Maturalni: Sljedeća tablica povezuje novčane iznose izražene u različitim valutama. Popunite vrijednosti koje nedostaju. 1 EURO (∈) ŠVICARSKI FRANAK (CHF) 1.5462 BRITANSKA FUNTA (GBP) y B. Obrnuta proporcionalnost Zadaci:
x 50 22.235157
x=
1⋅ 50 = 32.3373 1.5462
y=
1.5462 ⋅ 22.235157 = 0.688 50
1. 8 radnika može obaviti neki posao za 10 dana. Za koliko će dana isti posao obaviti 5 radnika? Rj. | 8 radnika ↓ 5 radnika
↑ 10 dana |
x dana
Prva strelica ide od x
x : 10 = 8 : 5 ⇒ x = (8 ⋅ 10) / 5 = 16 dana 1'. Zalihe hrane za 16 zečeva dostatne su za 12 dana. Koliko će dana zalihe hrane dostajati za 12 zečeva?
Rj. | 16 zečeva
↑ 12 dana
29
↓ 12 zečeva
|
x dana
Prva strelica ide od x
x : 12 = 16 : 12 ⇒ x = (12 ⋅ 16) / 12 = 16 dana 2. Automobilu je za put od ZG do ST potrebno 5 sati ako vozi prosječnom brzinom 92 km/h. a) Kojom prosječnom brzinom mora voziti ako ovu udaljenost želi prijeći za 4 sata? Rj.
| 5 sati
↑ 92 km/h
↓ 4 sata
|
x km/h
Prva strelica ide od x
x : 92 = 5 : 4 ⇒ x = (92 ⋅ 5) / 4 = 115 km/h b) Za koliko sati će stići ako vozi prosječnom brzinom 130 km/h? Rj. ↑ 5 sati
|
| x sati
92 km/h ↓ 130 km/h Prva strelica ide od x
x : 5 = 92 : 130 ⇒ x = (92 ⋅ 5) /130 = 3.54 h = 3 sata i 32 min 2'. Svježe gljive imaju 20% suhe tvari. Kolliko svježih gljiva treba sušiti da bi se dobilo 1kg suhih u kojima ima 86% suhe tvari? Rj.
| x kg
↑ 20 %
↓ 1 kg
| 86 % Prva strelica ide od x
x : 1 = 86 : 20 ⇒ x = (86 ⋅ 1) / 20 = 4.3 kg 3. Svježe gljive sadrže 90 % vode, a sušene 12%. Koliko se sušenih gljiva dobije sušenjem 22 kg svježih? (Probleme ovog tipa rješavamo promatranjem onog što je nepromjenjivo, a ovdje je to sve osim vode.)
Rj. | x kg suhih glj.
↑ 88 % suhe tvari
↓ 22 kg svježih glj.
| 10 % suhe tvari
x : 22 = 10 : 88 ⇒ x = (22 ⋅ 10) / 88 = 2.5 kg MJERNE JEDINICE 1. Metarske mjere – za dužine 2. Mjere za površine 1 km = 1 000 m = 10 000 dm 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 a = 100 m2 1 cm = 10 mm 1 čhv = 3.6 m2 (stara mjera) 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 cm2 = 100 mm2 3. Mjere za obujme (volumene) 1 km3 = 1 000 000 000 m3
30 3
3
1 m = 10 hl = 1 000 l (dm ) 1 hl = 100 l = 1 000 dl 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml (cm3) = 1 000 000 mm3 1 dl = 10 cl = 100 ml (cm3) 1 cl = 10 ml (cm3) 1 ml = 1 000 mm3 4. Mjere za masu 1 t = 10 metričkih centi (q) = 100 kg 1 q = 100 kg 1 kg = 100 dkg = 1000 g 1 g = 10 decigrama (dcg) = 100 centigrama (cg) = 1 000 miligrama (mg) 1 dcg = 10 cg = 100 mg 1 cg = 10 mg 1 (metarski) karat = 200 mg 5. Mjere za vrijeme 6. Predmeci za tvorbu decimalnih jedinica: 1 godina = 365 dana peta (P) 1015 deci (d) 10–1
tera (T) 1012 centi (c) 10–2 giga (G) 109 mili (m) 10–3 mega (M) 106 mikro (µ) 10–6 3 kilo (k) 10 nano (n) 10–9 hekto (h) 102 piko (p) 10–12 deka (da) 10 femto (f) 10–15 JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN K – ukupne kamate; C – glavnica ; p – postotak i n – broj godina 1 dan = 24 sata 1 sat = 60 minuta 1 minuta = 60 sekundi
K=
100 K C⋅ p⋅n ; C= ; p⋅n 100
p=
100 K ; C ⋅n
n=
100 K C⋅p
Kamatni račun više ili niže 100, C + K ili C – K C+K=C(1+pn/100) kamatni fakt. povećanja, C–K=C(1–pn/100) kam. fak. smanj. 1. Uložimo li danas 10 000 kn, koliko ćemo imati nakon dvije godine uz dekurzivnu kamatnu stopu od 6.5% ? K =
C ⋅ p ⋅ n 10000 ⋅ 6.5 ⋅ 2 = = 1300 ⇒ C + K = 11 300kn 100 100
2. Za koliko godina neka glavnica donese jednostvenih kamata u iznosu od 36% te glavnice ako je godišnji dekurzivni kamatnjak 9? K = 0.36C ⇒
C ⋅9⋅n = 0.36C 100
9n = 36 ⇒ n = 4 godine 3. Dužnik je nakon dvije godine vratio dug zajedno s jednostavnim kamatama u iznosu od 11 136kn. Kolika je bila glavnica ako je godišnji dekurzivni kamatnjak 8? Iz C(1 + 16/100) = 11 136 kn ⇒ C = 11 136 : 1.16 = 9 600kn 4. Uz koji se godišnji dekurzivni kamatnjak neka glavnica uz jednostavni kamatni račun, za 8 godina poveća 100% ? Iz C(1 + 8p/100) = 2C ⇒ 1 + 8p/100 = 2 ⇒ 8p/100 = 1 ⇒ p = 12.5% 5. Dužnik je nakon tri godine vratio dug zajedno s jednostavnim kamatama od 43 070 kn. Kolike su bile jednostavne kamate, ako je dekur. god.kamatnjak 6? Iz C + K = 43 070 ⇒
100 K + K = 43 070 ⇒ K(100/18 + 1) = 43 070 ⇒ K = 6 570 kn 18
Funkcije: Fja f : A → B je pridruživanje koje svakom x ∈ A pridružuje jedan element y ∈ B za koji vrijedi y = f(x). Svaka fja je određena svojim područjem definicije (domenom) D, područjem vrijednosti (kodomenom) K i zakonom pridruživanja f.
31
Zadaci: 1. Pokažite da zadana fja zadovoljava napisanu jednakost: f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 ;
f(2) = f(1)
2. Ako je f(x) = x2 + x + 1, koliko je (a + 1)f(a) – (a – 1)f(–a) ? 3. Koliko je f( 2 − 1 ), ako je f(x) = x2 + 2x + 1 (Uoči kvadrat zbroja) 4. Koliko je f( 3 2 + 1 ), ako je f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 (Uoči kub razlike)
GRAFOVI FUNKCIJA: 0. Elementarne fje, koje smo do sada upoznali a) Lin. fja f: R → R, f(x) = x
b) Kvadratna fja f: R → R, f(x) = x2
c) Kubna fja f: R → R, f(x) = x3
e) Racionalna fja f: R\{0}→R, f(x) =
d) Fja apsolutne vrijednosti f: R→ R, f(x)=| x|
1 x
Fja je definirana za sve realne br. osim 0
g) Eksponencijalne fje f: R→R, f(x) = ex Asimptota je negativni dio x osi
+ f) Fje korjenovanja f: R0 → R, f(x) =
x
Fja je def. za sve pozitivne realne br. i 0
h) Log fja f: R+→ R, f(x) = lnx Fja je def. za sve pozitivne realne br.
32
i) Fja sin f: R → R, f(x) = sinx
j) fje kosinus f: R → R, f(x) = cosx
A. Linearna funkcija: f(x) = ax + b. Definirana je za sve realne brojeve. Graf je pravac
y = ax + b. Jedn. pravca y = ax + b dana je u eksplicitnom obliku. Iz tog oblika pravac crtamo tako da na osi y nađemo broj b, tj. označimo točku (0,b), pa od nje krenemo obavezno u desno za vrijednost nazivnika od broja a zatim gore za njegov brojnik, ako je a pozitivan broj, odnosno dolje, ako je a negativan broj. Ako nam je pak jedn. pravca dana u eksplicitnom obliku Ax + By + C = 0. Da bismo ga nacrtali prevedimo jedn. pravca u eksplicitni oblik y = –A/B x – C/B pa ga nacrtajmo na opisani način. Prikaži grafički: 1. y = 2x – 1; y=
2 x −1 1
2. 2x + 3y – 6 = 0 2 3
y= − x+2
Ako nam je pak jednadžba pravca dana u segmentnom obliku x/m + y/n = 1. Crtamo ga tako da nađemo na osi x broj m i na osi y broj n pa kroz točke (m,0) i (0,n) povučemo pravac. 3.
x y + = 1; 3 2
4.
y x + =1 −2 3
33
5. Određivanje lin. fje f(x) = ax + b iz poznatog grafa. Odaberemo na grafu dvije točke sa lijepim koordinatama npr. T1(x1,y1) i T(x2,y2), pa riješimo sustav
ax1 + b = y1 i ax2 + b = y2
Primjer: T1( 2, 0) ⇒ 2a + b = 0 i T2( 0 ,3) ⇒ 0⋅ a + b = 3 ⇒ b = 3 ⇒ 2a = –3 ⇒ a = –3/2 pa je f(x) = –3/2 x + 3 tražena lin. fja
Vj.6. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove fja f(x) =
1 x + 3 i g(x) = –x. 2
Interval [–2, +∞ 〉 je rješenje koje nejednadžbe? (riješi ponuđene nejadnadžbe pa odluči) ½x–3 ≤ –x;
½x+3 ≥ –x;
½x–3 ≥ –x;
2x + 3 ≥ –x
7. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove fja f(x) = 2x–1 i g(x) = –2x+1. a) Rješenje nejednadžbe f(x) ≥ g(x) je interval: _______________ Rj. je tamo gdje je f iznad g b) Rješenje nejednadžbe f(x) ≤ g(x) je interval: _______________ Rj. je tamo gdje je f ispod g
Rj. b) slučaja računski 2x – 1 ≤ –2x + 1 ⇒ 4x ≤ 2 ⇒ x ≤ ½ ⇒ x∈〈 –∞ , 1/2] PREUZETO IZ MOJA MATURA
34
35 2
Kvadratna fja f(x) = ax + bx + c . Definirana je za sve realne brojeve. Graf je parabola y = ax + bx + c. Kojoj je tjeme u točki T(xo,yo) pri čemu je xo = − 2
b 2a
4ac − b 2 i yo = . 4a
Za a > 0 otvor prema gore ( ∪ ), dok je za a < 0 otvor prema dolje ( ∩ ) Nultočke nalazimo rješavanjem jednadžbe f(x) = 0, tj. jedn. ax2+bx+c = 0. Broj nultočaka ovisi o diskriminanti (D). 1) D > 0 fja ima dvije različite realne nultočke
Za različite realne nultočke je: xo =
x1 + x 2 i yo = f(xo) 2
2) D = 0 fja ima jednu dvostruku realnu nultočku
Za jednake realne nultočke je: xo = x1 = x2 i yo = 0 3) D < 0 fja nema realnih nultočki
Ako nultočke nisu realne onda je xo = −
b 2a
i yo =
4ac − b 2 . 4a
Osnovni oblici kvadratne fje Za bilo koju kv. fju: f(x) = ax2 + bx + c Za kv. fje u kojima je istaknuto tjeme: f(x) = a(x – xo)2 + yo Za kv. fje u kojima su istaknute 'lijepe' nultočke: f(x) = a(x – x1)(x – x2) Za kv. fje s dvostrukom nultočkom: f(x) = a(x – xo)2 Za kv. fje s 'ružnim' nultočkama: f(x) = a[x2 – (x1 + x2)x +x1x2] Dobro ih upamtite (igrajte se i spavajte s njima)
36
Primjer 1. Odredi nultočke, ekstremnu vrijednost, intervale pada i rasta i nacrtajte graf fje f(x) = – 3x2 + 6x + 9 1) Vodeći koeficijent a = – 3 < 0 znači otvor parabole je prema dolje 2) Nultočke – 3x2 + 6x + 9 = 0 /: (– 3) x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 3 3) Tjeme xo =
x1 + x 2 = 1 i yo = f(xo) = f(1) = – 3 + 6 + 9 = 12 ⇒ T(1, 12) 2
4) Fja raste na intervalu 〈– ∞, xo〉 = 〈– ∞, 1〉 , pada na intervalu 〈xo, +∞ 〉 = 〈1, +∞ 〉 5) Nacrtajmo graf fje
Primjer 2. Odredi kvadratnu fju f(x) = ax2 +bx+c za koju vrijedi: f(–1) =2, f(0) = 2 i f(2) = – 4 f(–1) = 2 ⇒ a – b + c = 2 f(0) = 2 ⇒
c=2
f(2) = – 4 ⇒ 4a +2b + c = – 4
Uvrstimo c = 2 u 1. i u 2. jednskost pa nakon sređivanja
dobivamo sustav a – b = 0 2a + b = –3 čija su rješenja a = –1 i b = –1 ⇒ f(x) = – x2 – x + 2 Vj. 2'. Fja f(x) = ax2 + bx + c ima za x = 1 najveću vrijednost 3, a za x = –1 ima vrijednost 0. Izračunaj f(5). (Uputa: Poznati su podaci: xo = 1, yo = 3 i f(–1) = 0) 2''. Fja f(x) = ax2 + bx + c ima za x = 1 najveću vrijednost –8 a za x = 3 ima vrijednost 0. Odredi f(x+1). (Uputa: Poznati su podaci: xo = 1, yo = –8 i f(3) = 0) Primjer 3. Najveću vrijednost yo =4 kv. fja prima za xo = –1. Ako je k tome f(0) =6, odredi tu fju. 1) Kad znamo koordinate tjemena, onda f(x) = a(x – xo)2 + yo, koja nakon uvrštavanja koordinata tjemena dobiva oblik f(x) = a(x +1)2 + 4 2) f(0) = 6 ⇒ a(0 + 1)2 + 4 = 6 ⇒ a = 2 uvrstimo u 1) 3) f(x) = 2(x +1)2 + 4 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2x2 + 4x + 6 Primjer 4. Ako su – 1 i 3 nultočke kv. fje čija najveća vrijednost iznosi 8. Odredi tu fju. 1) Kad znamo 'lijepe' nultočke onda f(x) = a(x – x1)(x – x2) i xo = f(x) = a(x + 1)(x – 3) 2) f(xo) = 8 ⇒ a(1 + 1)(1 – 3) = 8 ⇒ a = – 2 uvrstimo u 1) 3) f(x) = – 2(x +1)(x – 3) = – 2(x2 – 2x – 3) = – 2x2 + 4x + 6
x1 + x 2 2
i xo = 1
37
Primjer 5. Odredi kv. fju čiji graf dira os apscisa u točki s apscisom 3, a prolazi točkom (5, 12). 1) Graf dira os apscisa znači da fja ima dvostruku nul točku x1 = x2 = xo = 3, onda f(x) = a(x – xo)2 = a(x – 3)2 2) T(5, 12) znači f(5) = 12 ⇒ a(5 – 3)2 = 12 ⇒ a = 3 uvrstimo u 1) 3) f(x) = 3(x – 3)2 = 3(x2 – 6x + 9) = 3x2 – 18x + 27 Primjer 6. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka 1 – 5 , a graf prolazi točkom T(1, 15). 1) Neka je x1 = 1 – 5 onda je x2 = 1 + 5 'ružne' su pa je f(x) = a[x2 – (x1 + x2)x +x1x2] 2) Uvrstimo nultočke f(x) = a[x2 – 2x + 1 – 5] = a(x2 – 2x – 4) 3) T(1, 15) znači f(1) = 15 ⇒ a(1 – 2 – 4) = 15 ⇒ a = –3 uvrstimo u 2) 4) f(x) = – 3(x2 – 2x – 4) = – 3x2 + 6x + 12
Vj. 6. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka 1 – i, a graf prolazi točkom T(1, 2). 6'. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka
3 –1, a najveća vrijednost fje je 3/2.
B. Kvadratna fja f(x) = ax2 + bx + c . Definirana je za sve realne brojeve. Graf je parabola y = ax2 + bx + c. I. Koju crtamo pomoću tjemena i jedne istaknute točke, ako je oblika: y = ax2, T(0,0); y = ax2 + c, T(0,c);
y = a(x – xo)2, T(xo,0); y = a(x – xo)2 + yo, T(xo,yo)
Prikažimo grafički: 1. f(x) = x2 – 4 Tjeme T(0,– 4). Odredimo još jednu njezinu točku npr. f(2)=0 pa odredimo njoj simetričnu s obzirom na os parabole tj. s obzirom na pravac x = xo. Konkretno x = 0 a = 1 > 0 znači otvor parabole prema gore
3. f(x) = 2x2 – 4, a = 2 > 0, ∪ T(0, –8), f(2)=0 i os par. x = 0
2. f(x) = – x2 + 4 , je elementarna Tjeme T(0, 4). Odredimo još jednu njezinu točku npr.f(2)=0 pa odredimo njoj simetričnu s obzirom na os parabole tj. s obzirom na pravac x = xo. Konkretno x = 0 a = –1 < 0 znači otvor prema dolje
4. f(x) = –2x2 + 4, a = –2 < 0, ∩ T(0, 8), F(2)=0 i os par. x = 0
38
5. f(x) = (x – 1) ; a = 1 > 0, ∪ T(1,0) ; f(0) = 1 i os par. x = 1 2
6. f(x) = (x + 1) , a = 1 > 0, ∪ T(–1,0) ; f(0) = 1 i os par. x = –1 2
7. f(x) = –(x – 1)2; a = –1 < 0, ∩ T(1,0); f(0) = –1 i os par. x = 1
8. f(x) = –(x + 1)2; a = –1 < 0, ∩; T(–1,0); f(0) = –1 i os par. x = –1
9. f(x) = 2(x – 1)2 – 3, a = 2 > 0, ∪, T(1, –3) f(0) = 2(0 – 1)2 – 3 = –1 i os par. x = 1 (Vidi sliku)
10. f(x) = –2(x +1)2 + 3, to je a = –2 < 0, ∩; T(–1,3) f(0) = –2(0 + 1)2 + 3 = 1 i os par. x = –1 (Vidi sliku)
Kvadratna fja f(x) = ax2 + bx + c graf je parabola y = ax2 + bx + c. II. Koju crtamo pomoću nultočki i tjemena, ako je oblika: f(x) = a(x – x1)(x – x2), gdje su x1 i x2 nultočke fje, T(xo,yo). Koord. tjemana računamo iz x 0 = 11. f(x) = (x – 1)(x – 3), to je a = 1 > 0, ∪ ; nultočke x1=1, x2 = 3, apscisa tjemena xo=1/2(x1+x2) = 2 ordinata tjemena yo=f(xo)=f(2)= –1 T(2,–1)
x1 + x 2 i yo = f(xo) 2
12. f(x) = –3(x + 1)(x – 3), to je a = –2 < 0, ∩; x1= –1 i x2 = 3 xo=1/2(–1 + 3) = 1 yo=f(xo)=f(1)= 12, T(1,12)
39
Kvadratna fja f(x) = ax2 + bx + c graf je parabola y = ax2 + bx + c. III. Koju crtamo pomoću nultočki i tjemena, gdje su x1 i x2 nultočke fje, koje dobivamo rješavanjem jednadžbe f(x) = 0 odnosno ax2 + bx + c = 0 i T(xo,yo), gdje je xo =
−b x1 + x 2 ili x o = 2a 2
odnosno
13. f(x) = 2x2 + 4x – 6 a = 2 > 0, ∪ ; nultočke x1= –3, x2 = 1, apscisa tjemena xo=1/2(x1+x2) = –1 ordinata tjemena yo=f(xo)=f(–1)= –8 T(–1, –8)
15. Na slici je graf kvadratne fje 2
f(x) = ax + bx + c Odredite koef. a, b i c
16. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – xo)2 + 3 Odredite koef. a, b i c
yo = f(xo) ili y o =
4ac − b 2 4a
14. f(x) = –3x2 + 6x + 9 a = –2 < 0, ∩; x1= –1 i x2 = 3 xo=1/2(–1 + 3) = 1 yo=f(xo)=f(1)= 12, T(1,12)
Zadatak rješavamo tako da na grafu odabetemo tri točke s poznatim koordinatama ps ih uvrstimo u zadanu fju. T(2, –1) ⇒ –1 = 4a + 2b + c A(0, –5) ⇒ –5 = 0⋅ a + 0⋅ b + c ⇒ c = –5 B(4, –5) ⇒ –5 = 16a + 4b + c. Uvrstimo c u prvu i treću jednadžbu, dobivamo sustav 4a + 2b = 4 /⋅ (–2) 16a + 4b = 0 pa zbrojimo ⇒ 8a = –8 odnosno a = –1 ⇒ b = 4 Dakle a = –1, b = 4 i c = –5 su traženi koef.
Kako je ovdje u igri tjeme uz njega nam je potrebna još samo jedna točka.
T(–2, 3) ⇒ f(x) = a(x + 2)2 + 3 A(0, –1) ⇒ –1 = a(0 + 2)2 + 3 ⇒ 4a = – 4 pa je a = –1 Dobiveni a = –1 uvrstimo u f(x) = –(x + 2)2 + 3 ; kvadriramo f(x) = –( x2 + 4x + 4) + 3 sredimo f(x) = –x2 – 4x – 1. Dakle a = –1, b = – 4 i c = –1 su traženi koef.
40
17. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – x1)(x – x1) Odredite koef. a, b i c
Kako su ovdje u igri nultočke x1 = –1 i x2 = 3, dovoljno je uz njih uzeti još jednu istaknutu točku grafa. Neka je to tjeme T(1, – 4). 1. Uvrstimo nultočke u zadanu fju pa imamo f(x) = a(x + 1)(x – 3)
T(1, –4) ⇒ – 4 = a(1 + 1)(1 – 3) – 4 = – 4a ⇒ a = –1 Dobiveni a uvrstimo u f(x) = –(x + 1)(x – 3) = – (x2 – 2x – 3) f(x) = – x2 + 2x + 3; a = –1; b = 2 i c = 3
17. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – x1)(x – x1) Odredite koef. a, b i c
Vj. 18. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – xo)2 + yo Odredite koef. a, b i c
Vj. 19. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = ax2 + bx + c Odredite koef. a, b i c
Ovdje provedi izračun.
Ovdje provedi izračun.
41
20. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – xo)2 – yo Odredite koef. a, b i c
21. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – xo)2 + 3 Odredite koef. a, b i c
PREUZETO IZ MOJA MATURA
Ovdje provedi izračun.
Ovdje provedi izračun.
42
43
GRAFOVI FJA S | |
Definirane su za sve realne brojeve.
1. Prikaži grafički fje: a) f(x) = | x| ;
b) f(x) = –| x|
1) Odredimo točku loma to je x = 0 2) Izračunamo vrijednost fje u točki loma i točkama lijevo i desno od nje. f(0) = 0, f(–1) = 1 i f(1) = 1 3) Nacrtamo sliku
2. Prikaži grafički fje: a) g(x) = | 2x–4| =2|x–2|; [2| x| pomaknut za 2 u desno]
b) g(x) = –| 2 – x| = –| x – 2| [ –| x| pomaknut za 2 u desno]
1) 2x – 4 = 0 tj. x=2 2) f(2) = 0 f(0) = 3 f(4) = 3 3) Nactramo graf
3. Prikaži grafički fje: a) h(x) = 2| x| + 3; [2| x| pomaknut za 3 gore]
b) g(x) = –2| x| + 3 [–2| x| pomaknut za 3 gore]
Napomena: f(x) = | 2 – 3x| ne crtaj već okreći = | 3x – 2| sad crtaj. Isto vrijedi i za g(x) = | –2x – 3| ne crtaj već = | 2x + 3| ili h(x) = –2| – x – 3| = –2| x+ 3| 4. Prikaži grafički fje: a) f(x) = | x + 1| – 2; [| x| pomaknut za 1 lijevo i 2 dolje]
b) g(x) = –| x + 2| – 1 [–| x| pomaknut za 2 lijevo i 1 dolje]
1) lom je za x = –1 2) f(–1) = –2 f(–3) = 0 f(1) = 0 3) Nacrtajmo sliku
44
5. Na slikama su grafovi fja: f(x) = –3/2| x| + 3; g(x) = –2| x + 1| + 2 ; h(x) = | x – 2| ; k(x) =
1 | x| – 1. Pridruži fju grafu. 2
7. Koristeći se grafičkim postupkom riješi jednadžbu: | 3x + 2| = x Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = | 3x+2| g(x) = x Rješenja su apscise točaka u kojima se grafovi sijeku. Vidimo da se grafovi ne sijeku, znači jednadžba nema rješenja.
45
Eksponencijalna funkcija: Def. Eksponencijalna fja je fja f(x) = ax, gdje je a pozitivan realni broj različit od 1. Naziv E fja stoga što se varijabla pojavljuje u eksponentu Napomena: Najvažnije baze E fje su brojevi 10, 2 i e. 10 zbog toga što računamo u dekadskom sustavu 2 zbog toga što računala računaju u binarnom sustavu e = 2.718281828 . . . zato što se u prirodi sve stvara po exp. fji f(x) = aebx, koju stoga zovemo i prirodna exp. fja Exp. fja je definirana za svaki realni broj x, odnosno: Domena (područje definicije) exp. fje je skup realnih brojeva R. Kodomena (skup vrijednosti, slika) exp. fje je skup pozitivnih realnih br. GRAF EXP. fje f(x) = ax
a >1
0 < a <1
Os apscisa je asimptota grafa exp. fje f(x) = ax [dobro upamti ove grafove] za a > 1 fja je rastuća. (lijeva slika)
Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
za 0 < a < 1 fja je padajuća.(desna slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Grafovi s bazama a i 1/a simetrični su s obzirom na os y. Svi prolaze točkom (0,1) 1 a
x
ax
Graf fje g(x) = a –x simetričan je grafu fje f(x) = ax s obzirom na y os. Fja g(x) = a –x padajuća je fje. Pozitivan dio x osi njezina je asimptota.
Koristeći se gore navedenim grafovima primjetimo da su za sve baze, vrijednosti exp. fje pozitivni brojevi. Krako exp. fja f(x) = ax prima samo pozitivne vrijednosti.
46
Prikažmo grafički neke važnije eksponencijalne fje. 1. f(x) = 2x
3. f(x) = –2x
2. f(x) =(1/2)x =2–x;
4. f(x) = –2–x = –(1/2)x
6. Na slici je prikazan graf fje f(x) = ax + b. Za tu fju je 1) 0 < a < 1 , b > 0 2) a > 1 , b>0 3) a < 0 , b<0 4) a > 1 , b<0 Sliči 2x – 3
6'. Na slici je prikazan graf fje g(x) = ax+b. Za tu fju je 1) 0 < a < 1 , b < 0 2) a > 1 , b≥ 0 3) 0 < a < 1, b > 0 4) a > 1 , b < 0 Sliči 2–x +1 = (1/2)x +1
6''.
47
Na slici je prikazan graf fje 1) f(x) = 2–x – 1 2) f(x) = –2–x + 1 3) f(x) = –2–x – 1 4) f(x) = 2–x + 1
Logaritamska fja je inverzna eksponencijalnoj fji. Ako je f(x) = ax onda je f–1(x) = logax Log fja je definirana za svaki realni broj x > 0, odnosno: Domena (područje definicije) log fje je skup pozitivnih realnih brojeva R. Kratko Dlog = R+ Kodomena (skup vrijednosti, slika) log fje je skup realnih brojeva. Skicirajte si grafove log fje f(x) = logax za a > 1
i
za 0 < a < 1
Os ordinata je asimptota grafa log fje f(x) = logax [dobro upamti ove grafove] Ovisno o bazi za log fju f(x) = logax vrijedi: 1) Za a > 1 fja je rastuća. (lijeva slika)
Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Za 0 < a < 1 fja je padajuća. (desna slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 2) Zajednička nultočka ovih fja je xo = 1. (Što je nultočka fje?) Nultočka fje je apscisa točke u kojoj graf fje siječe os x. Grafovi s bazama a i 1/a simetrični su s obzirom na os y. Svi prolaze točkom (1,0) U jednom koordinatnom sustavu nacrtajmo oba grafa a>1
Graf fje g(x) =
log 1 x a
simetričan je grafu fje f(x) = logax s obzirom na x os. Fja g(x) =
log 1 x a
padajuća je fja.
Pozitivan dio y osi njezina je asimptota. 0
48
Prikažmo grafički neke važnije logaritamske funkcije 1. f(x) = log x
1'. g(x) = lnx = logex
1''. h(x) = log2x
Koristeći se gore navedenim grafovima primjetimo da su za baze > 1, logaritmi brojeva većih od jedinice pozitivni, a manjih od jedinice negativni. Za baze > 1 log fja raste. 3. f(x) = – log2x =
log 1 x 2
4. f(x) = log2(–x)
Za baze između 0 i 1 log fja pada. Koristeći se gore navedenim lijevim grafom primjetimo da su za baze između 0 i 1, logaritmi brojeva većih od jedinice negativni, a manjih od jedinice pozitivni. Za te baze log fja pada. 5. f(x) = log2| x|
8. Na slici je graf fje f(x) = logax. Odredite a. Odaberimo točku grafa kojia nije na x osi, a ima lijepe koordinate. Npr. (4,2) pa je uvrstimo u danu fju. 2 = loga4 = loga22 = 2 loga2 ⇒ a = 2
6. g(x) =
log 1 x 2
49
Graf fje 1. f(x) =
(korjenovanja) Definirana je za sve nenegativne realne brojeve. 2. g(x) =
x
−x
Odredimo barem tri točke grafa. (0,0) (1,1) i (4,4) pa nacrtamo glatku krivulju kao na lijevoj slici.
3. h(x) = – x
4. f(x) =
x
Graf racionalne fje f(x) =
3''. h(x) = –
−x
4'. f(x) = – x
1 Definirana je za sve realne brojeve x ≠ 0. x
Da bismo je nacrtali najbolja je tablica x| –3 | –2 | –1 | –1/2 | –1/3 | 1/3 | 1/2 | 1 | 2 | 3 f(x)| –1/3 | –1/2 | –1 | – 2 | –3 | 3 | 2 | 1 | 1/2 | 1/3
Dobro dobro upamti ovaj graf, jer se pomoću njega crtaju svi dalje navedeni. Primjećujemo da su obje koordinate osi asimptote grafa ove fje.
50 1 x−2 [1/x pomaknut za 2 u desno]
1 x+2 [1/x pomaknut za 2 u lijevo]
1. g(x) =
1 x [1/x zrcaljen preko x osi]
2. f(x) = −
1'. h(x) =
1 x−2 [1/x zrcaljen preko x osi, pa pomaknut za 2 u desno] 2'. g(x) = –
1 x+2 [1/x zrcaljen preko x osi, pa pomaknut za 2 u lijevo] 2''. h(x) = –
Graf fje sinx: Definirana je za sve realne brojeve. Periodična je s periodom 2π. Zato je dovoljno poznavati i skicirati njezin graf na intervalu [0, 2π]. Omeđena je tj. smještena je unutar pruge –c ≤ y ≤ c 1) f(x) = sinx;
2) g(x) = 2 sinx; [ –2 ≤ y ≤ 2]
3) h(x) = ½ sinx; [...]
4) f(x) = sin2x; 5) g(x) = 3/2sin2x; Period za obje je P = 2π/2 = π. Znači dovoljno je nacrtati grafove na intervalu [0, π]
51
6) f(x) = 3/4sin(x/2); P = 2π/(1/2) = 4π 7) g(x) = 2sin(π/6)⋅ x; P = 2π/(π/6) =12 Dobro gledaj i uoči razlike u grafovima: I.širina pruge, II. nultočke Prva ima širinu |3/4|, a druga |2|. Nultočke prve su 0, 2π, 4π, ... a druge 0, 6, 12, ...
8) f(x) = – sinx; što bi gori sad je doli
10) f(x) = | sinπx| ;
9) g(x) = | sinx| sve iznad osi x
11) g(x) = – | sinx| sve ispod osi x
Graf fje kosinus: Definirana je za sve realne brojeve Period 2π 1) f(x) = cosx
Vj. 3) f(x) = | cosx| ,
2) g(x) = – cosx
4. g(x) = –| cosx|
52
5. Koliko riješenja ima jednadžba 2sinx – 1 = 0 na intervalu [–2π, 2π] ? Rj. Napišimo jedn. u obliku sinx = ½, pa je zadatak najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sinx i g(x) = ½. Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sinx i g(x) = 1/2 Rješenja su apscise točaka u kojima se grafovi sijeku. Ne pitaju nas koje su to apscise već samo koliko ih ima. Sa slike čitamo 4 rješenja
6. Koliko riješenja ima jednadžba 4sinx – 1 = 0 na intervalu [–2π, 2π] ? Treba dobro gledati Sa slike čitamo 8 rj.
9. Koliko riješenja ima jednadžba | sin2x| = (1/4)⋅ x2 ? Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = | sin2x| i g(x) = (¼)x2 Sa slike čitamo 3 rj.
10. Koliko riješenja ima jednadžba sin2x = log3x ?
Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sin2x i g(x) = log3x Sa slike čitamo samo jedno rj.
53
11. Koliko riješenja ima jednadžba sinπx = x/10 ? Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sin2x i g(x) = x /10 Sa slike čitamo 19 rj.
12. Koliko riješenja ima jednadžba sinπx = 2x na intervalu [–2π, 0] ?
Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sinπx i g(x) = 2x Sa slike čitamo 6 rj.
NULTOČKE FJE: su realni brojevi za koje je vrijednost fje jednaka 0. Dobivamo ih rješavanjem jednadžbe f(x) = 0 1. Odredi nultočku fje f(x) = 3x – 2
Linearna jedn. 3x–2=0, Rj. je x = 2/3
2. Odredi nultočke fje f(x) = x2 – 10x + 21
Kvadratna jedn. x2 –10x+21=0, Rj. su [3 i 7]
3.Odredi nultočke fje f(x) = 2x2 – 5x + 2
Kvadratna jedn. 2x2 – 5x + 2 =0 Rj. su [1/2 i 2]
PREUZETO IZ MOJA MATURA
54
Komplesni brojevi: z = x + yi algebarski ili opći prikaz kompleksnog broja Rez
Imz
Kako je − 1 = i to je
−a =i a
Potencije imaginarne jedinice: io =1; i1 = i; i2 = –1; i3 = –i; sve ostale se svode na ove četiri dijeljenjem eksponenta brojem 4 i zapisivanjem potencije s eksponentom ostatak dijeljenja. ⋅ 14 + 1
Npr. Koliko je i23457 = [Gledaj dvoznamenkasti završetak eksponenta] = i57 = i4
= i1 = i
55 __
__
z = x – yi je kompleksno konjugirani broj broja z = x + yi. Npr. z = 2 + 3i; z = 2 – 3i
Dobro je znati: (1+ i)2 =2i; (1– i)2 = –2i; ( 3 + i)3 =8i; ( 3 – i)3 = –8i; (1+i 3 )3 = –8; (1–i 3 )3 = –8 Zadaci: 1. Odredite realne brojeve x, y ako vrijedi 2(yi + x) + 4y = 4i + 3. Oslobodimo i, množenjem 2x + 4y + 2yi = 3 + 4i Realni dio jednak realnom 2x + 4y = 3, a imag. imag. 2y = 4 ⇒ y = 2 uvrstimo ga u prvu … 2x + 8 = 3 ⇒ 2x = – 5 ⇒ x = – 5/2 Vj. 1'. Odredite realne brojeve x, y ako vrijedi 3y + 2(x + yi) = 3 + 6i. 2. Odredite realne brojeve x i y iz jednakosti (2 – 3i)x – (1 +4i)y = i + 3 2'. Odredite x, y∈R iz jednakosti
yi xi (1 + i ) + yi(1 − i ) xi + = −i ⇒ = −i /⋅ 2 Oslobodimo i ... 1− i 1+ i 1+1
y – x + (x+y)i = 0 + 2i y–x=0 y + x = 2 Riješite ovaj sustav . . . 3. Odredite kompleksan broj z ako je: 3iz = 4 – 2i. Neka je z = x + yi 3i(x+yi) = 4 – 2i 3xi + 3yi2 = 4 – 2i –3y + 3xi = 4 – 2i ⇒ – 3y = 4, a 3x = – 2 y = – 4/3, x = – 2/3, pa je traženi broj z = –2/3 – (4/3)i 4. Odredite kompleksan broj z ako je: (2 + 3i)z = 2i. Neka je z = x + yi (2 + 3i)(x+yi) = 2i 2x + 2yi + 3xi + 3yi2 = 2i 2x – 3y +(3x + 2y)i = 0 + 2i ⇒ 2x – 3y = 0 /⋅ 2 3x + 2y = 2/⋅ 3 4x – 6y = 0 /⋅ 2\ + 9x + 6y = 6/⋅ 3 ⁄ 13x = 6; x = 6/13 , y = 4/13 ⇒ z = 6/13 + (4/13)i 5. Podijelite
6 + 12 + (−8 + 9)i 18 + i 18 1 2 + 3i 2 + 3i 3 − 4i ⋅ + i = = = = 25 25 25 4i + 3 3 + 4i 3 − 4i 9 + 16
6. Podijelite
3i − 2 − 2 + 3i 5 − 2i − 10 − 6 + (4 + 15)i − 16 + 19i − 16 19 ⋅ + i = = = = 29 29 5 + 2i 5 + 2i 5 − 2i 25 + 4 29
7. Odredite imaginarni dio kompleksnog broja Rj.
56
−4 . −5+i
− 4 − 5 − i 20 + 4i 10 2 −4 2 ⋅ = = = + i . Dakle Im −5+i −5−i 25 + 1 13 13 − 5 + i 13
8. Koliko je
i2 + i5 + i8 + i11 + i14 + i17 + i20 + i23 + i26 + i29 ?
Najbolje pješke, svaki
eksponent veći od 4 dijelimo s 4 i zapisujemo iostatak dijeljenja . i2 + i1 + io + i3 + i2 + i1 + io + i3 + i2 + i1 = –1 + i + 1 – i – 1 + i + 1 – i – 1 + i = –1+i 9. Koliko je i ⋅ i4 ⋅ i7 ⋅ i10 ⋅ i13 ⋅ i16 ⋅ i19 ⋅ i22 ⋅ i25 ⋅ i28 ? Najbolje pješke i ⋅ io ⋅ i3 ⋅ i2 ⋅ i1 ⋅ io ⋅ i3 ⋅ i2 ⋅ i1 ⋅ io i ⋅ 1 ⋅ (–i)⋅ (–1)⋅ i ⋅ 1 ⋅ (–i)⋅ (–1) ⋅ i ⋅ 1 = i5 = i1 = i i 111 − i 222 10.Izrač. 333 444 i + i
555
i3 − i2 = i +1
555
1− i = 1 + i
555
__
555
− 2i = 1 + 1
555
= (–i)555 = –i3 = i
__
Modul kompleksnog broja | z| = | x+yi| = Dobro je znati: 1) | z| = z =
1− i 1− i ⋅ = 1 + i 1− i
x 2 + y 2 = | z | = | x–yi| pozitivan je realni broj
x 2 + y 2 . Npr. | 3+4i| = 3 – 4i =
32 + 4 2 =
25 = 5
__
2) z ⋅ z = | z| 2 = x2 + y2 ; | z1⋅ z2| = | z1| ⋅ | z2| . Riječima, modul umnoška jednak je umnošku modula. Slično modul kvocijenta ; Dok je | zn| = | z| n 1. Koliko je
(− 1 + i 3 ) 1+ i
2
(−1 + i 3 ) 2 − 1 + i 3
=
1+ i
1+ i
2
(
)
(
)(
Rj.
2
4 2 4 2 1+ 3 = ⋅ = =2 2 2 2 2 1+1
3 3 ( 1 + 2i ) ⋅ (1 + i ) 2. Izračunaj | z| , ako je z = . Rj. | z| = (1 + 3i ) 3
3. Izračunaj | z| , ako je z = 1 − i 3 1 − i
Zadaci:
(
) ( 3
1+ 4 ⋅ 1+1
( 2 )(1 − i )(1 + i ) ( 2 + i )(
) 3 + i)
1+ 9
3
)
3
| z| = 1 − i 3 ⋅ 1 − i 2 ⋅ 1 − i ⋅ 1 + i ⋅ 2 + i ⋅ 3 + i | z| = 1 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24
4. Izračunaj | z| ako je z =
Rj. | z| =
(
1+ i 2 5 − 2i ⋅ 3
)
1+ i 2 5 − 2i ⋅ 3
33
33
33
=
1+ 2 = 3 ⋅ 133 = 3 5 + 4 ⋅ 3
3
5⋅ 2 = 13 = 1 = 10
57 22
5. Izračunaj | z22| ako je z =
1 ( 3 − 4i ) ; | z22| = | z| 22 = 1 ⋅ (3 − 4i ) =5–22 ⋅ 5 5
6. Izračunaj | z44| ako je z =
1 4
(
)
7 − 3i ;
(
9 + 16
)
22
= 5–22 ⋅ 522=1
| z44| = . . . = 1
Vj. Preuzeto iz Moja matura 7. Broj (1 + i2011)2 zapišite u obliku a + bi. Rj. (1 + i2011)2 = (1 + i3)2 = (1– i)2 = –2i = 0 – 2i
(
8. Broj − 1 + 3 ⋅ i 2011
)
2
zapišite u obliku a + bi.
Rj. = –2 + 2i 3
9. Broj (–1 + 2i)3 zapišite u obliku a + bi. Rj. (–1 + 2i)3 = (–1 + 6i – 6i2 + 8i3) = 5 – 2i
10. Kompleksan broj 11.
6 − 4i jednako je: 1+ i
2 + 3i jednak je: 3 − 2i
A . – i ; B. i ; C.
2 3 − i ; 3 2
A . 1 – 5i ; B. 5 + i ; C. 1 – 10i;
D.
2 3 + i 3 2
D. – 10i
__
__
12. Ako je z = a + bi kompleksan broj koji nije 0, a z njemu konjugiran broj, tada je z ⋅ z : A . imaginaran broj; B. pozitivan realan broj;
C. nenegativan realan broj;
D. 0
13. Odredite a, b ∈ R tako da brojevi z = a – 2 + (b + 3)i i w = 0.5a + 3bi budu konjugirano kompleksni. Rj. a – 2 = 0.5a & b + 3 = –3b ⇒ a = 4 & b = - ¾ 14. Svi brojevi koji imaju isti modul kao i broj z = 1 + i 3 u koordinatnom sustavu nalaze se? Odgovor: Na kružnici sa središtem u ishodištu polumjera | z| = r = 5 15. Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnog broja 5 + 2i jednak je: [7, 5,
29 ,
1 k
21 ]
Logaritmi: U službenim formulama nedostaju ove, a u zadacima ih ima: log a b = log a b , k
log n a b = log
1 an
b = n ⋅ log a b
,
log 1 b = − log a b a
Zadaci s čistim računanjem 0. logax +
log 1 a
,
log a − k b = −
= logax – logax = 0
1 log a b k
58
0'. Odredi vrijednost brojevnog izraza log 1.7 – log 0.17 = log(1.7 : 0.17) = log 10 = 1 1. log2(log3(log5125)) jednako je (10,3,2,5,0) Rj. log2(log3(log5125)) = log2(log3(log553)) = log2(log33) = log21 = 0 2. Ako je a = log5, b = log7, onda log2450 iznosi ? Rj. log2450 = log(10⋅ 5⋅ 72) = log10 + log5 + 2log7 = 1 + a + 2b 2'. Ako je a = log2, b = log3, onda log 3 12 iznosi ? Rj. log 3 12 = (1/3)log(22⋅ 3) = 1/3(2log2 + log3) = 1/3(2a + b) 2''. Ako je logx = u, logy3 = v , onda log(x/y) iznosi ? Rj. Iz logy3 = v ⇒3logy = v ⇒ logy = v/3. Pa je log(x/y) = logx – logy = u – v/3 2 4
2'''. Ako je 4log4x = 0, onda je izraz 3x + log2
jednak:
Rj. log4x = 0 = log41 ⇒ x = 1. Pa je 3x + log2
1; 2; 3; 4; 5
2 = 3 + log2 2–1 = 3 – 1 = 2 4
3. Broj log73 ⋅ log949 napiši pomoću log3 pa izračunaj. Rj. log73 ⋅ log949 =
log 3 49 2 log 3 7 1 1 1 ⋅ = =1 ⋅ = log 3 7 2 log 3 3 1 log 3 7 log 3 9
Broj znamenaka velikih potencija: 1. Koliko znamenki ima broj a) 2100? Rj. Neka je x = 2100/ log logx = 100log2 [kalkulator log2 = 0.301] logx = 100 ⋅ 0.301 = 30.1 Traženi broj će imati točno 30 + 1 = 31 znamenku b) 5200? Neka je x = 5100 / log ⇒ logx = 100log5 = 100⋅ 0.6989 = 69.89 Odgovor 70 znam. Vj. c) 35000?
[2386]
2. Koliko znamenki ima broj log2 log2 log2 x = 1? log2 log2 log2 x = 1 = log2 2 log2 log2 x
= 2 = log2 22 = 4 = log2 24 ⇒ x = 24 = 16 znamenaka
log2 x
Eksponencijalne jednadžbe: I. skupina a x = a x ⇒ x1 = x2. Jednake baze jednaki eksponenti 1
1.
2
10⋅ 52x+1⋅ 0.042x–1 = 0.4 ⋅ 5– 3x+6 Napišimo lijevu i desnu stranu s istom bazom 10⋅ 52x+1⋅ 5–2(2x–1) = 2 ⋅ 5–1 ⋅ 5– 3x+6 /:2 51+2x +1– 4x+2 = 5–1 – 3x + 6 ⇒ 4 – 2x = 5 – 3x ⇒ x = 1
(
)
59 x
Vj. a) 2 −3 ⋅ 2 = 4 3− 2 x ....[x = 4]
b) 27 x
2
+ x −6
− 9 3 x = 0 ⇔ 27 x
2
+ x −6
= 9 3 x ....[x1= –2, x2 = 3]
Eksponencijalne nejednadžbe: Osnovne: A. S bazom većom od 1. 1. 28 ⋅ 3x – 5 > 84 / : 28 ⇒ 3x – 5 > 3⇒ x – 5 > 1 ⇒ x > 6 1'. 4 ⋅ 0.4
x–2
2 < 25 / :4⇒ 5
x −2
25 5 < . Neka bude baza >1 ⇒ 4 2
2− x
2
5 < ⇒ 2–x <2 ⇒ x >0 2
Osnovne B. S bazom između 0 i 1: 2. 0.75x – 1 > 0.750. 5 ⇒ x – 1 < 0.5 ⇒ x < 1.5 Logaritamske jednadžbe: I. Skupina logax1 = logax2 ⇒ x1 = x2. Uz P.u. x1 > 0 i x2 > 0 1. log3x = 1: [P.U. x > 0 i zamjenimo 1 s log33] ⇒ log3x = log33 ⇒ x = 3 1'. log5(x + 2) = –1: [P.u. x + 2 > 0 odnosno x > –2] ⇒ log5(x + 2) = log55–1 ⇒ x + 2 = 5–1 ⇒ x = 1/5 – 2 = –9/5 Zadovoljava P.u. pa je rješenje 1''. Rješenje jednadžbe log(x – 3) = – 2 zadovoljava uvjet x ≤ 0 , 0 < x ≤ 2,
| 2 < x ≤ 4| ,
4< x ≤ 6, x > 6
Rj. P.u. x – 3 > 0 ⇔ x > 3 i log(x – 3) = log10–2 ⇒ x – 3 = 0.01⇒ x = 3.01 Logaritamske nejednadžbe: Osnovne: 1. log5(x + 3) > 1 = log55 i P.u. x + 3 > 0 ⇔ x > –3 Rj. x + 3 > 5 ⇒ x > 2 Što presječeno s P.u. daje konačno rj. x > 2 1'. Sva rješenja nejedn. log2(x–1)3≤ – 6 čine interval: 〈1,∞ 〉 ; 〈–∞ ,1.25]; 〈1, 2]; 〈 1, 1.25]; Rj. 1) P.u. x – 1 > 0 ⇔ x > 1 2) 3log2(x – 1) ≤ – 6 / : 3 ⇒ log2(x – 1) ≤ –2 = log2 2–2 ⇒ x – 1 ≤ ¼ ⇒ x ≤ 1.25 1''. Rješenje nejedn. 2log(2x –3) >
1 je : x > 1,35; x > 1,45; 2
x > 1,75; x > 1,55; x > 1,65
Rj. P.u. 2x – 3 > 0 ⇔ x > 3/2; Rj. 2log(2x – 3) > 2–1 ⇒ log(2x – 3) > –1 = log10 –1⇒ 2x – 3 > 0.1 ⇒ 2x > 3.1 ⇒ x > 1.55
Što zajedno s P.u. daje x > 1.55
15'. Skup svih rješenja nejednadžbe log(2x – 3) < 0 je: {x ∈R: x>2};
{x ∈R: x>3/2};
{ x ∈R: x>3}; [2,3];
{ x ∈R: 3/2< x< 2}
Rj. P.u. x > 3/2 i log(2x – 3) < 0 = log1 ⇒ 2x – 3 < 1 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2 2.
log 1 (3 x − 1) > 0 = log 1 1 2
2
i P.u. 3x –1 > 0 ⇒ 3x > 1 ⇒ x > 1/3
Rj. PAZI baza logaritma je manja od 1 zato se nakon skidanja logaritama mijenja znak nejednakosti 3x – 1 < 1 x < 2/3
i
P.u. x > 1/3 daje rj. x ∈〈 1/3 , 2/3〉
60 →
→
→
Vektori: Iz A(xA, yA) i B(xB, yB) ⇒ AB = ( x B − x A ) i + ( y B − y A ) j →
→
→
→
2 2 Bilo koji vektor dan svojim koordinatama: v = v x i + v y j ; duljina v = v x + v y
Skalarni umnožak dvaju vektora dan je izrazom →
→ →
→
→
a⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosϕ → →
→
Skalarni umnožak vektora a i b danih koordinatama: a⋅ b = a x b x + a y b y a x bx + a y b y
Kut među vektorima danih koordinatama cosϕ = →
→
→
a x2 + a 2y ⋅ b y2 + b y2
→ →
→
Za okomite vektore a i b vrijedi: a ⊥ b akko je a⋅ b = a x b x + a y b y = 0 →
→
→
→
→
Jedinični vektor vektora v = v x i + y y j dan je formulom v 0 =
→
vx i + v y j v x2 + v 2y →
−→
ZADATAK 1. Zadane su točke A(1, 2); B(3,5). Odredite vektor a = AB →
−→
→
→
→
→
Rj. a = AB = (3 – 1) i + (5 – 2) j = 2 i + 3 j →
→
→
→
2 2 Rj. a = a x + a y = 16 + 9 = 5
→
→
2. Odredi duljinu vektora a = 4 i + 3 j
→
→
3. Odredi skalarni umnožak vektora a i b ako je a = 5 , b = 4 i kut ϕ = 60o. Rj.
→ →
→
→
a⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosϕ = 5 ⋅ 4 ⋅ cos60o = 20 ⋅ 0.5 = 10 →
→
→
→
4. Odredite (2 i + 3 j ) ⋅ ( i – 4 j ). Ovo je skalarni umnožak vektora danih svojim koordinatama: Rj. 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (– 4) = 2 – 12 = –10 →
→
→
→
→
→
3. Vektori a = 3 i + j i b = i + 2 j zatvaraju kut? Rj. cosϕ =
a x bx + a y b y a +a ⋅ b +b 2 x
2 y
2 y
2 y
=
PREUZETO IZ MOJA MATURA
3 ⋅1 + 2 ⋅1 9 +1 ⋅ 1+ 4
=
5 5 2
=
π 2 ⇒ϕ= 4 2
61
62
TRIGONOMETRIJA – Pravokutnog trokuta sin ∠ =
na sup rotna..kateta ; hipotenuza
cos ∠ =
priležeca..kateta ; hipotenuza
tg∠ =
na sup rotna..kateta priležeca..kateta
Vrijednosti trig. fja za neke kutove iz I. kvadranta 0 sin ∠
0 1
cos ∠ tg ∠
0
π 6 1 2 3 2 3 3
π 4
π 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
π 2 1
0
Koristeći se ovom tablicom lako je odrediti vrijednosti svih kutova koji su višekratnici ovih kao npr.
+∞
5π 7π 11π , , ,... Ako ne ide napamet 6 6 6 3π 5π 7π , , ,... 4 4 4
nacrtaj si trigonom
2π 4π 5π , , ,... 3 3 3
kružnicu.
Sinus je neparna fja tj. sin(– α) = – sinα, kosinus je parna fja tj. cos(– α) = cosα Zadaci: 1. U pravokutnom trokutu jedna kateta je dva puta dulja od druge. Koliki je manji šiljasti kut tog trokuta? Rj. Neka je a = 2b, onda je tgβ =
b b 1 = = ⇒ β = 26o 33' 54'' a 2b 2
63
2. U pravokutnom trokutu hipotenuza je tri puta dulja od jedne katete. Koliki je šiljasti nasuprotne katete tog trokuta? Rj. Neka je c = 3a, onda je sin α =
a a 1 = = ⇒ α =19o 28' 16'' c 3a 3
3. U pravokutnom trokutu hipotenuza je 2.5 puta dulja od jedne katete. Koliki je šiljasti uz tu katetu b c
tog trokuta? Rj. Neka je c = 2,5b, onda je cos α = =
b 1 = ⇒ α = 66o 25' 19'' 2.5b 2.5
Trigonometrijske jednadžbe: U trećem razredu smo ih učili. Za maturu ponovite i dobro naučite rješavati osnovne na int. [0, 2π] i sve one koje se svode na osnovne. Zadaci: 5.1./1.2.
1 π . Sl. ⇒ Rj. x1 = + 2kπ ili x2 = 2 6 π 2 1'. Riješi jednadžbu sin x = na intervalu [0, 2π]. Sl. ⇒ Rj. x1 = ili 4 2
1. Odredi sva rješenja jednadžbe sin x =
x π − + 2kπ. 6 3π x2 = . 4
x 3
1''. Riješi jednadžbu 2sin x − = 3 na intervalu [0, 2π]
x 3
Rj. sin x − =
π π 2π 3 . Sl. ⇒ za x1 ... x – = + 2kπ ⇒ x1 = + 2kπ 3 3 3 2 x π ili za x2 ... x – = π − + 2kπ ⇒ x2 = π + 2kπ = (2k + 1)π 3 3
za k = 0 ⇒ x1 =
2π ili x2 = π oba zadovoljavaju P. u. 3
za k = 1 ⇒ x3 =
8π ili x4 = 3π oba nisu iz zadanog intervala tj. nisu rješenja GOTOVO 3
2. Odredi sva riješenja jednadžbe cos x = Rj. x = ±
2 . Sl. 2
π + 2kπ, k ∈ Z 4
3. Riješi jednadžbu tg 2 x −
π π = tg na intervalu [0, π] . 4 4
Pazi TRIK jedn. mi smo učili jedn. tg(2x –
π ) = 1. Sl. 4
Rj. 2x –
π π π kπ π 3π = + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z x1 = ili x2 = 4 4 4 2 4 4
64
16. 3. 2011.
π x − = – 1 na intervalu [0, π]. Sl. 4 3
3'. Riješi jednadžbu 3 tg Rj. tg(
1 π x 3 – )= − =− 4 3 3 3
π x π x π π 3π π π – = + kπ ⇒ = – + kπ /⋅ 3 ⇒ x = – + 3kπ = + 3kπ, k ∈ Z 4 3 6 3 4 6 4 2 4
PREUZETO IZ MOJA MATURA
65
66
MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVCA I PARABOLE određujemo na dva načina. 1. Grafički, tako da u istom koordinatnom sustavu nacrtamo i pravac i parabolu, pa ... 2. Računski, tako da riješimo sustav linearne (jedn. pravca) i kvadratne (jedn. parabole). Taj sustav rješava se tako da se iz linearne jednadžbe izrazi jedna nepoznanica pomoću druge, pa se uvrsti u kvadratnu. Koja tada postaje kvadratna s jednom nepoznanicom. Ako tako dobivena kvadratna jednadžba nema realnih rješenja, tj. njezina diskriminanta D = b2 – 4ac je < 0, pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka. Ako pak kvadratna jedn. ima jedno realno rješenje, tj. D = b2 – 4ac je = 0, pravac i parabola imaju jednu točku zajedničku, tj. pravac dodiruje parabolu u tom slučaju pravac je tangenta parabole. Ako pak kvadratna jedn. ima dva različita realna rješenja, tj. D = b2 – 4ac je > 0, pravac i parabola imaju dvije zajedničke točke, tj. pravac siječe parabolu u dvije točke u tom slučaju pravac je sekanta parabole.
Zadaci: 1. Odredimo međusobni položaj pravca x + y – 5 = 0 i parabole y = –x2 + 2x + 1 II. Računski: Riješimo sustav I. Grafički: Vidi sliku. Pravac i parabola x + y – 5 = 0 i y = –x2 + 2x + 1 nemaju zajedničkih točaka. Vidi sl. y=5–x 5 – x = –x2 + 2x + 1 x2 –3x + 6 = 0 ispitujemo diskriminantu D = b2 – 4ac D = 9 – 24 = –15 < 0 znači pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka
67
2. Odredimo međusobni položaj pravca 2x – y – 4 i parabole y = x2 – 4x + 5 I. Grafički: Vidi sl. Pravac dodiruje parabolu II. Računski: Riješimo sustav 2x – y – 4 = 0 i y = x2 – 4x + 5 y = 2x – 4 2x – 4 = x2 – 4x + 5 2 uvrstimo x –6x + 9 = 0 dobiveni ispitujemo diskriminantu x=3⇒ D=b2 –4ac = 36–36 = 0 y=2 (x – 3)2 = 0 ⇒ x = 3 Znači pravac i parabola se dodiruju u točki T(3, 2)
3. Odredimo međusobni položaj pravca x + y = 1 i parabole y = x2 – 2x – 1 I. Grafički: Vidi sl. Pravac siječe parabolu u dvije točke
II. Računski: Riješimo sustav x+y=1 i y = x2 – 2x – 1 y=1–x 1 – x = x2 – 2x – 1 uvrstimo x2 – x – 2 = 0 dobivene ispitujemo diskriminantu x = –1⇒ y = 2 D=b2 –4ac = 1+8 = 9 > 0 x = 2⇒ y = –1 Rj. ove jedn. su x1= –2, x2=1 Znači pravac i parabola se sijeku u točkama T1(–1, 2) i T2(2, – 1)
MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVCA I KRUŽNICE, ELIPSE, HIPERB. i PARAB. Određuje se na isti način kao i međusobni položaj pravca i parabole. II. Računski: Riješimo sustav Ax + By + C = 0 i x2 + y2 = r2 Npr. 2x + 3y – 5 = 0 i x2 + y2 = 9 ili 3x – 2y + 4 = 0 i (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4
68
II. Računski: Riješimo sustav Ax + By + C = 0 i b2x2 + a2y2 = a2b2 Npr. x – 2y + 3 = 0 i 4x2 + 9y2 = 36 ili
2x + y – 4 = 0 i
x2 y2 + =1 10 6
II. Računski: Riješimo sustav Ax + By + C = 0 i b2x2 – a2y2 = a2b2 Npr. 4x – 3y – 5 = 0 i 9x2 – 16y2 = 144 ili
5x + 2y + 5 = 0 i
x2 y2 − =1 9 3
II. Računski: Riješimo sustav Ax + By + C = 0 i y2 = 2px Npr. 2x – 3y – 4 = 0 i y2 = 8x ili
5x + 3y + 2 = 0 i y2 = –6x
Zahtjevniji zadaci 1. Nogometni golman ispucava loptu sa zemlje. Putanja lopte opisana je funkcijom h(x) = – 0.005x2 + 0.4x , gdje je h visina lopte iznad zemlje , a x horizontalna udaljenos od mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima. a) Na kojoj je visini lopta kada je njezina horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 25 m? b) Odredimo najveću visinu lopte. c) Na kojoj će udaljenosti od gola lopta pasti na zemlju? Nacrtajmo skicu.
69 Rj. a) h(25) = –0.0050 ⋅ 252 + 0.4 ⋅ 25 = 6.87m 4ac − b 2 − 0.020 − 0.16 = =9 b) yo = 4a − 0.020
c) To je druga nultoč. fje h =–0.005x2+0.4x Tj. drugo rješenje jednadžbe –0.005x2 + 0.4x = 0 x(–0.005x + 0.4) = 0 ⇒ x2 = 80 m
2. Srednji 15. red sportske dvorane može primiti 400 gledatelja. Svaki prethodni red prima 10 gledatelja manje, a svaki sljedbeni 10 gledatelja više. 2.1. Koliko redova ima dvorana? Ovdje se radi o rastućem aritmetičkom nizu. Ako je srednji red 15 onda svih redova ima 29. 2.2. Koliko gledatelja može primiti prvi red? Poznati su nam podaci: n = 15, a15 = 400 i d = 10. Traži se a1. Iz an = a1 + (n – 1)d ⇒ a1 = a15 – 14d = 400 – 140 = 260 sjedala 2.3. Koliko je gledatelja u dvorani, ako su sva mjesta popunjena? Iz Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n – 1)d) ⇒ S29 = 29/2(2 ⋅ 260 + 28 ⋅ 10) = 11 600 gladatelja. 2.4. Svečana loža može primiti 78 gledatelja, a smještena je unutar područja od 5. do 10. reda. Svaki njezin red počevši od najnižeg ima dva sjedala više od prethodnog. Koliko je sjedala u 1. redu lože? Poznati su nam podaci n = 6, S6 = 78, d = 2. Traži se a1. Iz Sn = n/2(2a1 + (n – 1)d ⇒ 78 = 3(2a1 + 5 ⋅ 2) = 6a1 + 30 ⇒ 6a1 = 78 – 30 ⇒ a1 = 8 3. Trkači: Prvi trkač prolaskom kroz cilj dobiva nagradu od 4500 kn, a svaki sljedeći 250 kn manje. 3.1. Koliku nagradu je dobio deseti trkač? Ovdje se radi o padajućem aritmetičkom nizu. Poznati su nam podaci: a1 = 4 500 i d = – 250 . Traži se a10. Iz an = a1 + (n – 1)d ⇒ a10 = a1 – 9d = 4 500 – 2250 = 2 250 kn 3.2. Odredite formulu C(n) za nagradu (u kunama) koju je dobio n – ti trkač. Iz Cn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n – 1)d) ⇒ Cn =
n [9 000 – 250(n – 1)] 2
3.3. Koji je po redu trkač koji je dobio 1000 kn? Iz an = a1 + (n – 1)d ⇒ 1 000 = 4 500 – 250(n – 1) ⇒ 250(n – 1) = 3 500 ⇒ n = 15 3.4. Koliki je najveći mogući broj trkača koji su dobili nagradu?
70
Iz an = 0 ⇒ 4 500 – 250(n – 1) = 0 ⇒ 250(n – 1) = 4500 ⇒ n – 1 = 18 ⇒ n = 19 4. Kolač: Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu od 60o. Kad je uključena 10 min. temp. će biti 95o. Pretpostavimo da temp. pećnice linearno ovisi o vremenu. a) Odredite linearnu fju koja opisuje kako temp. pećnice ovisi o vremenu. Iz f(x) = ax + b i uvjeta zadatka imamo sustav f(5) = 5a + b = 60 \ f(10) = 10a + b = 95 / oduzmemo –5a = –35 ⇒ a = 7 ⇒ b = 25 ⇒ f(x) = 7x + 25 b) Kolika je temperatura pećnice nakon 25 min? f(25) = 7 ⋅ 25 + 25 = 200o c) Kolač treba staviti u pećnicu kada je u njoj temperatura 186o. Nakon koliko minuta kad uključimo pećnicu to treba učiniti? Iz f(x) = 7x + 25 = 186 ⇒ 7x = 161 ⇒ x = 23 min VAŽNO! Rješavajući zadatke iz do sada provedenih matura došao sam do zaključka. Kod rješavanja zahtjevnijih zadataka međurezultate ne zaokružujte, jer ćete samo tako dobiti točna rješenja, odnosno rješenja koja će biti službeno objavljena. Molim korisnike ove skripte, da mi dojave svaku primjedbu, bilo da je načelne prirode, bilo da je riječ o pogrešci u tisku, ili je pak pogreška u samom zadatku ili rješenju. Napomena: Iako je ovo moje intelektualno vlasništvo, koje je poput svakog drugog vlasništva, neotuđivo, zakonom zaštićeno i mora se poštivati. Dozvoljavam da se ova skripta umnožava bez mog dopuštenja.
Za sada od mene toliko. Puno uspjeha na maturi želi Vam autor skripte, Milivoj Smoljak, prof. matematike.
