Matemáticas Administrativas ESAD

Matemáticas Administrativas

CUATRIMESTRE DOS

Programa de la asignatura: Matemáticas Administrativas

Clave:

ESAD Agosto, 2010

Educación Superior Abierta y a Distancia •Ciencias Sociales y Administrativas


I.

INDICE Información general de la asignatura ......................................................................................... 3 Ficha de identificación .................................................................................................................... 3 Descripción ..................................................................................................................................... 3 Propósito ......................................................................................................................................... 5

II.

Competencia(s) a desarrollar ...................................................................................................... 6 Competencia general: ..................................................................................................................... 6 Competencias específicas: .............................................................................................................. 6

III. Temario ................................................................................................................................... 7 IV. Metodología de trabajo .......................................................................................................... 9 V. Evaluación ............................................................................................................................. 11 VI. Materiales de apoyo............................................................................................................. 13 VII. Desarrollo de contenidos por unidad.................................................................................... 15 UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones ...................................................................................... 15 UNIDAD 2: Límites y continuidad.................................................................................................. 37 UNIDAD 3: Cálculo diferencial y sus aplicaciones ......................................................................... 51 UNIDAD 4: Cálculo integral y sus aplicaciones.............................................................................. 91



I. Información general de la asignatura Ficha de identificación Nombre de la Licenciatura o Ingeniería:

Licenciaturas en Administración de Empresas Turísticas, Mercadotecnia Internacional, y Administración y Gestión de Pequeñas y Medianas Empresas (PYMES)

Nombre del curso o asignatura


Clave de asignatura: Seriación:

Sin seriación

Cuatrimestre:

Dos

Horas contempladas:

72

Descripción La Secretaría de Educación Pública (SEP) creó el programa de Educación Superior Abierta y a Distancia (PESAD) apoyado en el uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), con el fin de satisfacer las necesidades de profesionalización de diversos grupos en el nivel superior. Su principal objetivo es impartir una formación integral que promueva el desarrollo de conocimientos, capacidades, habilidades, actitudes, valores y la autogestión del conocimiento en cada una de sus carreras, mediante la aplicación del modelo por competencias.

Las carreras técnicas y licenciaturas ofrecidas por el PESAD están organizadas de acuerdo al área del conocimiento a la que pertenecen, por ejemplo la de Ciencias Sociales y la administrativa, entre otras. El área administrativa engloba las licenciaturas en Administración de Empresas Turísticas, Mercadotecnia Internacional, y Administración y Gestión de Pequeñas y Medianas Empresas (PYMES), para las cuales se ha diseñado un mapa curricular conformado por módulos. Entre los cuales se encuentra la asignatura de Matemáticas Administrativas, impartido en el segundo cuatrimestre y cuyo propósito es proporcionar al estudiante las herramientas



necesarias para el desarrollo de sus habilidades en el pensamiento y razonamiento lógico, para la solución de problemas, toma de decisiones y análisis de situaciones que se presenten a lo largo de su trayectoria académica, profesional y personal.

El programa de la asignatura de Matemáticas Administrativas está estructurado por cuatro unidades, cada una de las cuales involucrará gradualmente al estudiante en los diversos conceptos y fórmulas que puede utilizar durante su trayectoria académica y profesional. La primera unidad comienza con el concepto de función, los diferentes tipos de función y las operaciones que se pueden realizar con ellas, conocimientos indispensables para comprender las siguientes unidades temáticas que abarcan los conceptos de cálculo diferencial e integral. La segunda unidad permite lograr un entendimiento de los límites de una función, su importancia en una función continua y su aplicación práctica en el área económico-administrativa. La tercera unidad inicia con el concepto de la derivada, las fórmulas y los métodos de derivación, además abarca el concepto de la diferencial, con lo cual se proporciona al estudiante los conocimientos necesarios para comprender el análisis marginal y sus implicaciones en los procesos económicos y administrativos de una empresa. Finalmente, la cuarta unidad establece los principios del cálculo integral para que el estudiante pueda utilizarlos en la solución de problemas relacionados con utilidades, asignación de recursos e inventarios, temas de gran importancia dentro del área de las matemáticas financieras.

Los propósitos de la asignatura, en relación al tronco básico, son que el estudiante:

1.

Adquiera la capacidad de identificar, plantear y resolver problemas para desarrollarse de forma competitiva durante su trayectoria estudiantil y su vida profesional.

2.

Desarrolle sus habilidades de organización, planificación del tiempo, su capacidad de trabajo en equipo, y aprendizaje y actualización permanente, lo que influirá de manera positiva en su actuar ante nuevas situaciones que se le presenten a lo largo de su vida como estudiante y futuro profesionista.



3.

Identifique, dentro del contexto socioeconómico mexicano, la importancia y utilidad de las matemáticas administrativas para buscar, procesar y analizar información procedente de diversas fuentes, así como para aplicar sus conocimientos en la práctica como estudiante y futuro profesionista.

4.

Se conduzcan de manera ética y responsable en el manejo y análisis de la información, así como en la toma de decisiones.

Propósito

Esta asignatura tiene como propósito proporcionar al estudiante los conceptos y las herramientas de las matemáticas administrativas, como operaciones con funciones, límites y continuidad, derivadas, diferenciales e integrales, que le facilitarán de manera práctica solucionar problemas vinculados con el área económico-administrativa. Por ejemplo, ingresos, costos, utilidades, recursos materiales y humanos, e inventarios.



II.

Competencia(s) a desarrollar

Competencia general: Utiliza las funciones algebraicas, los límites y la continuidad de funciones, así como el cálculo diferencial e integral para resolver problemas vinculados con el ámbito económicoadministrativo, a través de la aplicación de fórmulas, interpretación de gráficos y desarrollo de operaciones algebraicas.

Competencias específicas: 

Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que se presentan en situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda, a través de conceptos, tipos de funciones y modelos gráficos.



Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los límites de la misma para conocer su impacto en los procesos económico-administrativos, mediante la aplicación de los teoremas de límites de una función y su relación con funciones continuas y discontinuas.



Aplica el cálculo diferencial para la solución de problemas de límites y continuidad de una función y de terminar su impacto a través de fórmulas y conceptos del cálculo diferencial integral y su aplicación en las matemáticas financieras.



Aplica los elementos de los diferentes métodos de integración y las funciones de las matemáticas financieras para el planteamiento y resolución de problemas de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios, mediante el uso de de las fórmulas y conceptos del cálculo integral.



III.

Temario

1. Funciones y sus aplicaciones 1.1 Funciones y variables 1.1.1 Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e

independientes 1.2 Tipos de funciones y su aplicación 1.2.1 Tipos de funciones y sus gráficas 1.2.2 Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio 1.2.3 Modelo gráfico del punto de equilibrio 2. Límites y continuidad 2.1 Álgebra de límites 2.1.1 Límite de una función y sus propiedades 2.1.2 Límites de una función cuando la variable tiende al infinito 2.2 Funciones continuas y discontinuas 2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una función 2.2.2 Aplicación de funciones continuas y discontinuas 3. Cálculo diferencial y sus aplicaciones 3.1 La derivada 3.1.1 Concepto, fórmulas y reglas de derivación 3.1.2 Razón o tasa promedio e instantánea de cambio 3.1.3 Derivadas de orden superior 3.1.4 Ingreso, costo y utilidad marginal 3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad 3.2 Cálculo de máximos y mínimos 3.2.1 Funciones crecientes y decrecientes 3.2.2 Criterio de la primera y segunda derivada



3.2.3 Interpretación del concepto de ingreso y costo marginal 3.2.4 Aplicación de la función de ingresos, beneficios y costos en problemas de

maximización 3.3 La diferencial 3.3.1 Incremento de una función 3.3.2 Diferencial de una función 3.3.3 Diferencial implícita 3.3.4 Diferencial logarítmica 3.3.5 Elasticidad 4. Cálculo integral y sus aplicaciones 4.1 La integral 4.1.1 Conceptos relacionados con la integral y fórmulas básicas de integración 4.1.2 Integración por sustitución 4.1.3 Integración por partes 4.2 La integral y sus aplicaciones en las matemáticas financieras 4.2.1 La función de utilidad 4.2.2 Asignación y agotamiento de recursos 4.2.3 Inventarios



IV.

Metodología de trabajo Para el logro de la competencia, es fundamental que los conceptos y los procedimientos

presentados se ejerciten todo el tiempo. De esta forma, los contenidos no sólo se comprenderán sino que se aplicarán en la solución de problemas relacionados con situaciones que los estudiantes pueden enfrentar en su trayectoria académica y profesional.

Por lo anterior, las estrategias metodológicas de enseñanza-aprendizaje se conforman por dos secciones. La primera consiste en la solución de ejercicios, como actividades formativas y problemas tipo de cada uno de los temas que se abordan durante el curso, con el fin de que los estudiantes ejerciten el uso, la aplicación y el manejo de fórmulas y contenidos procedimentales. En la segunda, los facilitadores de la asignatura tendrán que orientar la aplicación de cada uno de estos procedimientos a las áreas específicas de interés de los estudiantes. De esta forma, dentro de la asignatura los contenidos se trabajarán de manera aislada; sin embargo, los facilitadores tendrán que ejemplificar y presentar casos y situaciones aplicables en las diferentes carreras, que complementen los ejercicios planteados, lo cual podrá realizar con la orientación del experto.

Como estrategia de evaluación se resolverán problemas aplicados a las áreas económicoadministrativas, en los que el estudiante pondrá en práctica todo lo que se trabajó en el curso. Así mismo, durante el desarrollo del programa, se les presentará a los alumnos actividades de aprendizaje con ejercitación, con el fin de que puedan observar sus avances e identificar cuáles son las dificultades que presentan en el aprendizaje de los temas.

Se espera que las estrategias de enseñanza propicien un aprendizaje verdaderamente significativo, facilitando la comprensión del contenido y relacionando éste con los conocimientos previos del estudiante, así como con sus áreas específicas de estudio, mediante la revisión y resolución de problemas relacionados con el hacer cotidiano, donde los estudiantes puedan aplicar y ejercitar lo aprendido.



El facilitador desempeña un papel muy importante dentro del curso, pues se espera que dirija y oriente todo el proceso de aprendizaje, aplicando las estrategias propuestas por el experto. Además de orientar las discusiones y sesiones de trabajo que se plantean en los espacios de aprendizaje colaborativo. Su función durante la revisión de trabajos no es solamente evaluar el trabajo de los estudiantes y asignarles una calificación, se espera que utilice la evaluación como un proceso de revisión de los avances y/o dificultades que el estudiante presenta a la hora de trabajar los contenidos, que retroalimente a los alumnos con base en las observaciones de sus trabajos, participaciones, preguntas y/o dudas, con la finalidad de facilitar y propiciar el aprendizaje significativo y que desde esta perspectiva, haga del error una oportunidad para aprender.

Con el objetivo de promover el aprendizaje colaborativo, se utilizarán diferentes herramientas (foros, cuaderno de trabajo, tareas entregables y bases de datos) que propicien el intercambio, no sólo de información, sino de ideas entre los estudiantes, de tal forma, estos espacios enriquecerán el trabajo individual y colectivo de los alumnos, sirviendo como material de consulta y espacios de reflexión. Para ello, se espera que los estudiantes participen activamente en estos espacios, motivados en todo momento por el facilitador, quien fungirá como moderador del trabajo realizado en los mismos.



V.

Evaluación

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.

ESQUEMA DE EVALUACIÓN Foros y base de datos

10%

Actividades formativas

30%

E-portafolio. 50%

Evidencias

40%

Autorreflexiones

10%

Examen final

CALIFICACIÓN FINAL


10%

100%


Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.

Los trabajos que se tomarán como evidencias de evaluación son: Unidad 1: 

La solución de problemas de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda utilizando funciones algebraicas.

Unidad 2: 

Solución de problemas de límites y continuidad de una función para determinar su impacto en los procesos económico-administrativos.

Unidad 3: 

Ejercicios resueltos de problemas de análisis marginal, la elasticidad de la demanda y las funciones de ingreso, beneficio, costos y maximización.

Unidad 4: 

Ejercicios resueltos de problemas de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios que se presentan en los procesos económico-administrativos.



VI.

Materiales de apoyo Bibliografía básica: 

Render, B., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson.



Chiang, A. (2006). Métodos fundamentales en economía matemática (4a. ed.). México: McGraw-Hill.



Harshbarger, R. y

Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración,

Economía y Ciencias Sociales (7a. ed.). México: McGraw-Hill. 

Leithold, L. (2006). El cálculo (7a. ed.). Oxford: Cúspide.



Thomas. (2006). Cálculo de una variable. Prentice Hall.

Bibliografía complementaria: 

Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemáticas financieras (2a. ed.) México: CECSA.



García, E. (1998). Matemáticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financiera y PC. México: McGraw-Hill.



Hernández, A. (1998). Matemáticas financieras. Teoría y práctica (4a. ed.). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.



Motoyuki, A. (2000). Matemáticas financieras. Córdoba, Argentina: Despeignes Editora.



Spiegel, M., Abellanas, L. y Liu, J. (1994). Manual de fórmulas y tablas matemáticas. México: McGraw-Hill.



Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemáticas financieras. México: CECSA.



Vidaurri, H. (2001). Matemáticas financieras (2a. ed.). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.





VII.

Desarrollo de contenidos por unidad UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones

Propósitos de la unidad

En esta unidad: 

Relacionarás la importancia de las funciones algebraicas y su representación gráfica en la solución de problemas en el área económico-administrativa.



Aplicarás los tipos de funciones algebraicas que intervienen en la solución de problemas en el área económico-administrativo.



Interpretarás las funciones de costo, ingreso y utilidad, y el punto de equilibrio.

Competencia específica

Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que se presentan en situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda, a través de conceptos, tipos de funciones y modelos gráficos.

Introducción

Las matemáticas son una herramienta que nos permite verificar mediante modelos gráfico-numéricos los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que intervienen en los fenómenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. En esta primera unidad, presentamos el concepto de función, así como las diversas formas para su representación.

Se analizarán también los tipos de funciones, la forma de graficarlas y las operaciones que puede existir entre ellas, con el fin de crear bases sólidas que permitan dar solución práctica a los



diversos problemas que se presentan en el área económico-administrativa, a través del análisis de situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda, así como mediante el uso de los diferentes tipos de funciones y modelos gráficos.

1.1 Funciones y variables

La relación funcional o función nos ayuda a describir de manera práctica situaciones que están presentes en la vida real, en las que un valor o cantidad varía dependiendo del valor de otro elemento. Por ejemplo:

1. La cantidad de impuestos que paga una persona o empresa depende de los ingresos de ésta. 2. Los costos de producción varían de acuerdo al valor de la materia prima. 3. La calidad de oxígeno en el aire en una ciudad está en función del número de automotores que circulan por ella.

Con esto podemos comprender que hay variables o valores que dependen o cambian si un valor determinante varía. Otro ejemplo representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro al blanco, en el que hay dibujados en un tablero 5 círculos concéntricos, en donde cada círculo puede tener los siguientes valores, iniciando desde el exterior hasta el centro del tablero: 5, 10, 15, 20 y 25:

25 20 15 10



La máxima puntuación se obtiene atinándole al círculo que queda en el centro del tablero (25 puntos), y va disminuyendo conforme nos alejamos del centro. De esta forma obtenemos dos conjuntos, uno correspondiente a los círculos que definiremos como el conjunto C, y el otro correspondiente a la puntuación y que llamaremos P, esto es: C = {1, 2, 3, 4, 5} P = {5, 10, 15, 20, 25}

Ambos conjuntos están relacionados entre sí, es decir que ambos dependen el uno del otro y lo podemos representar mediante una tabulación:

TABLA DE PUNTUACIÓN CÍRCULO

PUNTUACIÓN

1

5

2

10

3

15

4

20

5

25



O mediante una gráfica:

Tabla de puntuación 30

Puntuació

25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

Círculo En ambas representaciones podemos comprobar que para cada elemento del conjunto P (puntuación), sólo hay un valor o elemento que le corresponde del conjunto C (círculo). Es decir, que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas:

(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20) y (5, 25)

Otra forma de representar estos conjuntos es con un modelo matemático. Si consideramos los datos del ejemplo anterior, podemos observar que si se acierta en el círculo del centro se tendrán 25 puntos y si se acierta al círculo más alejado del centro se obtendrán 5 puntos; así puede comprenderse que existe una situación de dependencia, en la que el puntaje está determinado por el círculo del tablero al que se atine y cada acierto tiene un valor que resulta de multiplicar el número del círculo acertado por 5. Para llevar a cabo esta operación, es necesario conocer el número de círculo al que se acierta, ya que sin este dato no es posible obtener el puntaje. El número de círculo es el valor que alimenta al modelo matemático, representa los valores de entrada que hay que multiplicar por 5, para que dé el resultado del puntaje obtenido, que serán los valores de salida. Si, además, se utilizan variables que permitan identificar a cada



uno de los valores (y para el puntaje y x para los círculos) podremos obtener la siguiente expresión: 𝒚 = 𝟓𝒙

en donde y corresponde a una variable dependiente y x a una variable independiente, que conforman lo que se conoce como función.

1.1.1

Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e independientes

a. Función: Es la correspondencia entre dos conjuntos: uno de valores de entrada y otro de valores de salida, en donde existe una regla u operación que determina para cada valor de entrada un solo valor de salida. b. Variable dependiente: Es aquella cuyo valor, propiedad o característica se trata de cambiar mediante la manipulación de la variable independiente. c. Variable independiente: Es aquella que es manipulada en un experimento o evento con el objeto de estudiar cómo incide sobre la variable dependiente. Esto significa que las variaciones en la variable independiente repercutirán en variaciones en la variable dependiente.

1.2 Tipos de funciones y su aplicación 1.2.1

Tipos de funciones y sus gráficas

Función constante:

Una función constante es aquella que tiene la forma: 𝒇 𝒙 =𝒄 en donde c es un número real.



Ejemplo: Sea f(x) = 10, debido a la forma de la función, a la variable x se le puede asignar cualquier valor que se desee, sin embargo, el resultado de la función será siempre 10:

X

f(x)=10

Pares ordenados

-15

10

(-15, 10)

-10

10

(-10, 10)

-5

10

(-5, 10)

Gráfica

y 14 12 10 f(x) = y = 10

8

0

10

(0, 10)

5

10

(5, 10)

10

10

(10, 10)

15

10

(15, 10)

6 4 2 0 -15

-5

x

5

15

Se observa que la gráfica es una recta paralela al eje de las X (abscisas) y que f(x) = 10, corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0, 10).

Función lineal:

Una función lineal es aquella que se tiene la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 en donde m y b, son cualquier número real y además m ≠ 0. m = pendiente de la recta. Si m > 0, conforme los valores de x aumentan, también lo hacen los de y. Si m < 0, conforme los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen. b = ordenada al origen (punto donde la recta corta el eje de las ordenadas).

Ejemplo: Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se trata de una función lineal en donde: m=2y



b=4 es decir que cuando x = 0, f(x) = y = 4.

x

f(x)=2x + 4

Pares ordenados

-3

-2

(-3, -2)

-2

0

(-2, 0)

-1

2

(-1, 2)

0

4

(0, 4)

1

6

(1, 6)

2

8

(2, 8)

3

10

(3, 10)

Gráfica 10

y8 6 f(x) = y = 2x + 4

4 2 0 -4

-3

-2

-1 -2 0

1

2

-4

3

4

X

Se observa que la gráfica es una línea recta creciente, esto se debe a que m > 0, por lo que conforme x aumenta, también lo hace y. Por tanto, se trata de una función creciente.

Función cuadrática: Una función cuadrática es aquella que se tiene la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

En donde a, b y c, son números reales. a ≠ 0, mientras que b y c, pueden valer cero.

La forma de la gráfica de una función cuadrática es una parábola, en donde el vértice es el punto más bajo si la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo cuando la parábola abre hacia abajo.



Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo. El vértice está dado por las coordenadas V(xv, yv), que se calcula con las siguientes fórmulas: 𝑥𝑣 =

−𝑏 2𝑎

𝑦𝑣 =

4𝑎𝑐 − 𝑏 2 4𝑎

Ejemplo: Sea f(x) = x2 + 4x -2, se observa que se trata de una función cuadrática en donde: a = 1, b=4y c = -2; y las coordenadas del vértice:

𝑥𝑣 =

−4 −4 = = −2 2(1) 2

𝑦𝑣 =

4 1 (−2) − (4)2 −8 − 16 = = −6 4(1) 4

Por lo que el vértice será: 𝑽(−𝟐, −𝟔)

2

x

f(x)=x + 4X - 2

Pares ordenados

-3

-5

(-3, -5)

Gráfica 20 y = x2 + 4x - 2

Y

-2

-6

(-2, -6)

15

-1

-5

(-1, -5)

10

0

-2

(0, -2)

5

1

3

(1, 3)

2

10

(2, 10)

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 -5


1

2

3

4


3

19

(3, 19)

Se observa que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y que su punto más bajo se encuentra en las coordenadas del vértice: (-2, 6).

Función polinomial: Una función es polinomial si: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 + 𝒃𝒙𝒏−𝟏 + … + 𝒄𝒙 + 𝒅 en donde a, b, y d son números reales y a ≠ 0; mientras que b, c y d pueden valer cero.

El valor de n determina el grado de la función polinomial, que puede ser lineal, cuadrática, cúbica, de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo del valor de n. El valor más alto del exponente de la función es el que determinará el grado de la función.

Ejemplo: f(x) = 8x3 + 5x2 – 8

Función cúbica

f(x) = x5 – 3x3 -5x + 1

Función de quinto grado

Función racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa como:

𝒇 𝒙 =

𝒑(𝒙) 𝒒(𝒙)

𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒒(𝒙) ≠ 𝟎



2𝑥 𝑥+1

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 =

x

𝑓 𝑥 =

-3

3

2𝑥 𝑥+1

Pares ordenados

Gráfica 4.5

(-3, -3)

Y

4 -2

4

(-2, 4)

-1

∞

(-1, ∞)

0

0

(0, 0)

1

1

(1, 1)

2

1.33

(2, 1.33)

3

1.5

(3, 1.5)

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

X

Así, se observa que en -1 la función crece al infinito ∞.

Función exponencial:

Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra como exponente de un número constante: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙

La gráfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1



Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 2𝑥

x

𝑓 𝑥 = 2𝑥

Pares ordenados

-2

0.25

(-2, 0.25)

10

-1

0.5

(-1, 0.5)

8

0

1

(0, 1)

1

2

(1, 2)

2

4

(2, 4)

3

8

(3, 8)

Gráfica

Y

6 4 2 0 -3

-1

1

3

X

5

Función logarítmica:

Una función logarítmica se define como la inversa de la exponencial y puede ser representada de la siguiente manera:

a. La función logaritmo de base b, se define como: 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 = 𝒙 𝒔𝒊 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒚 = 𝒃𝒙 b. La función logaritmo natural se define como: 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏𝒚 = 𝒙

𝒔𝒊 𝒚 𝒔óó𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒚 = 𝒆𝒙

Donde e ≈ 2.7182881828



Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥

x

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥

Pares ordenados

0.25

-2

(0.25, -2)

0.5

-1

(0.5, -1)

1

0

(1, 0)

2

1

(2, 1)

4

2

(4, 2)

8

3

(8, 3)

Gráfica 4 3 2

Y

1 0 -1 0

2

-2

4

6

8

10

X

-3

Actividad 1. Tipos y funciones

Resuelve el ejercicio 1. “Tipos de funciones” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Funciones. Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

1.2.2

Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio

1. Ingreso: La función de ingreso total se define como: 𝑰 𝒙 = 𝒙𝒑

donde: x = número de artículos vendidos. p = precio de venta unitario.



NOTA: Es importante mencionar que la función de ingresos también puede seguir cualquier otro comportamiento algebraico.

Ejemplo: Un club social que cuenta con 2,300 afiliados está por incrementar las cuotas mensuales a los asociados, que actualmente pagan $500.00 mensuales. Sin embargo, antes de realizar dicha operación, el consejo directivo realizó una encuesta con la que determinó que por cada incremento de $50.00 podrían perder a 15 socios. Calcula cuál será el comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 la cuota mensual.

Solución: Si se considera determinar el ingreso mensual en función de la cuota (precio) que paga cada socio, se tiene las siguientes variables:

x = nueva cuota y = número de socios y1 = número de socios antes del incremento en la cuota y2 = número de socios después del incremento en la cuota

Así se tiene que la nueva cuota menos la cuota anterior representará el incremento de la cuota, esto es: 𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 = 𝑥 − 400

La cantidad de aumentos de $50.00 en el incremento de la cuota estará representada por la siguiente función: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 =

𝑥 − 400 50

De esta forma, el número de socios que se retirará por el aumento de la cuota será:



𝑦2 = 400

𝑥−400 50

𝑦2 = 8𝑥 − 3200

El número de socios nuevos es: 𝑦 = 𝑦1 − 𝑦2 = 2300 − 8𝑥 − 3200 = 5500 − 8𝑥 Finalmente, tomando en cuenta la función general de ingreso: 𝑰 𝒙 = 𝒙𝒑 Se tiene que para este caso: 𝐼 𝑥 = 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑜𝑠 𝐼 𝑥 = 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 = 𝑥 5500 − 8𝑥

Por tanto, el ingreso mensual en el club social al aplicar la nueva cuota estará dado por la siguiente función cuadrática: 𝑰 𝒙 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟖𝒙𝟐 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

2. Costo: La función de costo total se define como: 𝐶 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 x + 𝑐𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝐹𝑖𝑗𝑜𝑠 𝑪 𝒙 = 𝑪𝒗 + 𝑪𝒇 𝑪 𝒙 = 𝒂 x + 𝑪𝒇



Donde: ax = costo por unidad x = número de artículos vendidos o producidos 𝑪𝒇 = costos fijos de producción

Ejemplo: Una maquiladora de pantalones de mezclilla ha calculado que sus costos fijos mensuales son de $125,000.00 y que cada pantalón le genera un costo de $35.00. Determina el costo total de fabricación en el siguiente mes si se van a elaborar 1,500 pantalones de mezclilla.

Solución: Lo primero que se deberá determinar es la función de costo total: 𝑪 𝒙 = 𝒂 x + 𝑪𝒇

En donde para este caso en particular:

a = $35.00 x = número de pantalones 𝑪𝒇 = $125,000.00 Sustituyendo en la función de costo total tenemos: 𝑪 𝒙 = 𝟑𝟓 x + 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Finalmente, el costo de producción de 1500 pantalones el siguiente mes será de: 𝑪 𝟏𝟓𝟎𝟎 = 𝟑𝟓 𝟏𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪 𝟏𝟓𝟎𝟎 = $𝟏𝟕𝟕, 𝟓𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔



a. Costo promedio o costo medio: Está relacionado con el costo total C(x) de producción o venta de x artículos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el número de unidades producidas o servicios ofertados:

𝑪𝒎 𝒙 =

𝑪(𝒙) 𝒙

Donde: C(x) = función de costo x = número de artículos o servicios

Ejemplo: El costo total de producir x libretas escolares por semana sigue el comportamiento de la siguiente función cuadrática: 𝐶 𝑥 = 0.63𝑥2 + 233𝑥 + 250 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

Determina cuál será el costo promedio de producir 10000 unidades mensualmente, considerando que el mes tiene 4 semanas.

Solución: Lo primero que se deberá realizar será determinar la función de costo promedio, es decir, dividiendo la función de costo entre x:

𝐶 𝑥 𝐶 𝑥

𝑚

=

𝐶 𝑥 = 0.63𝑥2 + 233𝑥 + 250 𝑥

𝐶 𝑥 0.63𝑥2 233𝑥 250 = + + 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 250 𝐶 𝑥 𝑚 = 0.63𝑥 + 233 + 𝑥 =

Finalmente, sustituyendo el número de libretas que se desea producir: x = 10000, se tiene que: 𝐶 10000

𝑚

= 0.63 10000 + 233 +


250 10000


𝐶 10000

𝑚

= 6300 + 233 + 0.025

Con lo que se obtiene que el costo promedio de producción semanal es de: 𝑪 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒎

= 𝟔𝟓𝟑𝟑. 𝟎𝟐𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

Por tanto, el costo promedio de producción mensual será de: 𝐶 10000 𝑪 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒎

𝑚

= 4 6533.025

= 𝟐𝟔𝟏𝟑𝟐. 𝟏 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

3. Utilidad: Se obtiene restando los costos de los ingresos: 𝑼 𝒙 = 𝑰 𝒙 − 𝑪(𝒙) Ejemplo: Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de producción de $15,000.00 y el costo de fabricación por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determina las utilidades que genera en su empresa la venta de cremas faciales, considerando que el fabricante vende mensualmente 2,000 cremas, en exclusiva, a una cadena de SPA.

Solución: Si se sabe que las utilidades están representadas por: 𝑼 𝒙 = 𝑰 𝒙 − 𝑪(𝒙) Entonces es necesario determinar tanto la función de ingresos como la de costo total. En este caso se tienen los siguientes datos:

x = número de cremas 𝐶𝑓 = $15,000.00 𝐶𝑣 = 4.50x



Cremas vendidas por mes = 2,000 p = $25.00

Entonces para los ingresos: 𝐼 𝑥 = 𝑥𝑝

Sustituyendo los datos del problema: 𝑰 𝒙 = 𝟐𝟓𝒙

Y los costos estarán dados por: 𝐶 𝑥 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓

Sustituyendo los datos del problema: 𝑪 𝒙 = 𝟒. 𝟓𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝟎𝟎

y sustituyendo en la función de utilidad: 𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥) 𝑈 𝑥 = 25𝑥 − 4.50𝑥 + 15000 = 25𝑥 − 4.50𝑥 − 15000 𝑼 𝒙 = 𝟐𝟎. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Si mensualmente vende 2000 cremas faciales: 𝑈 200 = 20.5(2000) − 15000 𝑈 200 = 41000 − 15000 𝑼 𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Mensualmente la crema facial le genera al fabricante utilidades de $26,000.



4. Punto de equilibrio: Es el punto en que el importe de las ventas de una empresa es igual al de los costos y gastos que dichas ventas originan. 𝑰 𝒙 = 𝑪(𝒙) Consideraciones: 

Si el costo total de producción supera a los ingresos que se obtienen por las ventas de los objetos producidos o servicios vendidos, la empresa sufre una pérdida.



Si los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia.



Si los ingresos logrados por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.

Actividad 2. Funciones

Resuelve el ejercicio 2. “Funciones”, que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Funciones. Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

1.2.3 Modelo gráfico del punto de equilibrio Gráficamente, el punto de equilibrio es el que está representado por la intersección de las rectas que representan a la función de costos e ingresos. 

Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene pérdidas.



Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, está en el punto de equilibrio.



Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.



Evidencia de aprendizaje: Aplicación de funciones

Resuelve los problemas del archivo Aplicación de funciones: 1. “Costos” 2. “Ingresos, costos y utilidad” Guarda el documento y consulta la escala de evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.



Consideraciones específicas de la unidad

En esta unidad se resolverán ejercicios para reforzar el aprendizaje.

Tendrás que solucionar problemas de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda utilizando funciones algebraicas, con lo que podrás aplicar los conceptos aprendidos durante la unidad 1, los cuales te servirán de base para lograr un aprendizaje significativo en las unidades siguientes. Una vez terminada de revisar la unidad tendrás que ir a tu cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a ésta.

Referencias:

Básica: 

Barry, R., Stair, R. y Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson.



Chiang. (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. (4a. ed.). México: McGraw-Hill.



Harshbarger, R. y

Reynolds, J. (2005).

Matemáticas aplicadas a la Administración,

Economía y Ciencias Sociales (7a. ed.). México: McGraw-Hill. 

Leithold, L. (2006). El cálculo. (7a. ed). Oxford: Cúspide.



Thomas. (2006). Cálculo de una variable. México: Prentice Hall.


Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemáticas financieras (2a. ed.). México: CECSA.











Motoyuki, A. (2000). Matemáticas financieras. Córdoba, Argentina: Despeignes Editora, Córdoba.



Spiegel, M. (1994). Manual de fórmulas y tablas matemáticas. México: McGraw-Hill.



Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. Matemáticas financieras. México: CECSA.






UNIDAD 2: Límites y continuidad Propósitos

En esta unidad: 

Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico práctico de la continuidad de una función.



Aplicarás los elementos del álgebra de límites para determinar el alcance de un proceso desde el punto de vista económico-administrativo.



Calcularás la continuidad de una función en relación a los puntos en los que el proceso de producción presenta una tendencia diferente de costos.


Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los límites de la misma para conocer su impacto en los procesos económico-administrativos, mediante la aplicación de los teoremas de límites de una función y su relación con funciones continuas y discontinuas.

Introducción

En la unidad anterior vimos el concepto de función y algunos de los diferentes tipos de funciones, así como su aplicación para describir el comportamiento de las diversas situaciones que se presentan dentro del área económico-administrativa, tales como ingresos, costos, utilidades y punto de equilibrio.

En la presente unidad estudiaremos el concepto de límite y cómo describe precisamente el comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente están muy próximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos económico-



administrativos, como rendimiento y producción máxima. Asimismo, determinaremos cuando una función es continua y revisaremos su aplicación en procesos productivos y su impacto en los costos de producción.

2.1 Álgebra de límites

Conceptos básicos:

El límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la variable independiente se aproxima a un valor constante.

Ejemplo: Se tiene la función 𝑓 𝑥 =

3𝑥 2 − 1 𝑥−1

y se requiere determinar su comportamiento

cuando los valores de x tienden o se acercan a 1.

Solución: Podemos observar que la función no está definida en x = 1, es decir, que cuando x toma el valor de 1 la función tiende al infinito:

𝑓 1 =

3(1)2 − 1 3 − 1 2 = = =∞ 1−1 0 0

Ya que cualquier número dividió entre cero es igual a infinito.

Sin embargo, si se podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la función cuando x → 1 (x tiende a 1), ya sea con valores más pequeños a uno o, bien, más grandes a uno: 1 > x > 1.



Así tenemos que:

X

𝑓 𝑥 =

3𝑥 2 − 1 𝑥−1

Gráfica

-0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 0.999 0.9999 1

0.166667 0.500000 -0.200000 -1.566667 -4.600000 -14.300000 -34.150000 -94.060000 -1994.0030

20000.000000

-19994.0003

0.000000

1.0001

20006.0003

1.001

2006.003

1.01

206.03

1.1

26.3

1.5

11.5

∞

15000.000000

Y

10000.000000 5000.000000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -5000.000000

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

-10000.000000

2

X

-15000.000000 -20000.000000

Se puede observar que conforme x se acerca a 1 la función es igual a ± 20000, dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir: 3𝑥 2 − 1 = ±20000 𝑥→1 𝑥 − 1

lim En conclusión, tenemos que:

Cuando f(x) se acerca cada vez más a un número límite (C), conforme x se aproxima a un valor constante “a” por cualquier lado, entonces C será el límite de la función y se escribe:

lim 𝑓(𝑥) = 𝐶

𝑥→𝑎



Algebra de límites: A continuación se muestran la fórmula y las operaciones que se realizan para determinar los límites de una función:

Sean dos funciones cuya variable independiente tiene a un valor a:

lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐶 y

lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐷

Entonces: 1. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐶 ± 𝐷 2. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ∗ lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐶 ∗ 𝐷 3. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

=

lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥

=

𝐶 𝐷

𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐷 ≠ 0

4. lim𝑥→𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 5. lim𝑥→𝑎

𝑛

𝑥=

𝑛

𝑎

2.1.1 Límite de una función y sus propiedades

1. Límite de una función constante: Si se tiene una función constante f(x) = C, el límite de la función cuando x tienda a un valor “a”, será siempre C. Esto es:

lim 𝑓 𝑥 = 𝐶

𝑥→𝑎

lim 𝐶 = 𝐶

𝑥→𝑎

Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = 10, cuando x → 8.

Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:



lim 𝑓 𝑥 = 10 𝑥→8

𝐥𝐢𝐦 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 𝒙→𝟖

2. Límite de una función idéntica: Si se considera la función idéntica f(x) = x, cuando x tiende a un valor “a”, su límite será siempre el valor constante “a”, es decir:

lim 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑥→𝑎

lim 𝑥 = 𝑎

𝑥→𝑎

Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = x, cuando x → 3.

Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:

lim 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥→3

𝐥𝐢𝐦 𝒙 = 𝟑 𝒙→𝟑

𝒑(𝒙)

3. Límites infinitos: Cuando se tiene una función racional 𝒇 𝒙 = 𝒒(𝒙) en la que q(x) se hace cero cuando x tiende a un valor constante “a”, entonces, f(x) = ∞, es decir:

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒙→𝒂

𝒑 𝒙 𝒒 𝒙

𝒚 𝒒 𝒂 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = ∞ 𝒙→𝒂

𝑥+3

Ejemplo: Determina el límite de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 cuando x → 1. Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función se tiene que:



𝑥+3 𝑥2 − 1 𝑥+3 1+3 𝟒 𝐥𝐢𝐦 2 = = =∞ 𝒙→𝟏 𝑥 − 1 (1)2 − 1 𝟎

lim 𝑓 𝑥 = 𝑥→1

4. Límite de cualquier función: Para cualquier función f(x), se tiene que el límite de la función cuando x → a. El límite es el número constante que resulta de sustituir el valor de “a” en la función. Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = 𝑥 3 + 3𝑥 − 2, cuando x → 0 y cuando x → 5. Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:

lim 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 − 2 𝑥→0

𝐥𝐢𝐦 𝑥 3 + 3𝑥 − 2 = 𝟎𝟑 + 𝟑 ∗ 𝟎 − 𝟐 = −𝟐 𝒙→𝟎

Y

lim 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 − 2 𝑥→5

𝐥𝐢𝐦 𝑥 3 + 3𝑥 − 2 = 𝟓𝟑 + 𝟑 ∗ 𝟓 − 𝟐 = 𝟏𝟑𝟖 𝒙→𝟓

Ejemplo: Determina el límite de la función: 𝑓 𝑥 =

5𝑥+3 2𝑥 2 −1

cuando x → 0 y cuando x → 2.

Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:


5𝑥 + 3 2𝑥 2 − 1



𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

5𝑥 + 3 5(0) + 3 = = −𝟑 2 2𝑥 − 1 2(0)2 − 1

Y


𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐

5𝑥 + 3 2𝑥 2 − 1

5𝑥 + 3 5(2) + 3 𝟏𝟑 =𝑓 𝑥 = = 2 2 2𝑥 − 1 2(2) − 1 𝟕

2.1.2 Límites de una función cuando la variable tiende al infinito

Cuando x → ∞, el valor de la función puede crecer o decrecer indefinidamente. Sin embargo, existen casos en los que la función adquiere valores reales. A continuación veremos ejemplo para el cálculo de límite de una función cuando la variable independiente tiende al infinito. Ejemplo. ¿Cuál será el límite de f(x) = 7x4 – 2x3 + x2 +100, cuando x →∞? Solución: Al aplicar el límite infinito en la función, se tiene que:

lim 𝑓 𝑥 = 7𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 100

𝑥→∞

lim 7𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 100 = 𝟕∞𝟒 − 𝟐∞𝟑 + ∞𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 = ∞

𝑥→∞

NOTA: Es suficiente observar que el coeficiente con mayor potencia tendrá como resultado un valor infinito, al sustituir el límite en la función.

Ejemplo: En una fábrica de electrodomésticos, se tienen costos fijos de producción de $1’000,000.00 anuales y sus costos específicos son del orden de $430.00 por electrodoméstico. ¿Hasta qué punto puede reducir los costos promedio de producción al aumentar la producción indefinidamente?



Solución: Se observa que la función de costo tendrá la forma C(x)=430x + 1’000,000, en donde x representa la cantidad de electrodomésticos producidos. Para determinar el costo promedio de producción, se tendrá que dividir la función de costo entre el número de artículos a producir, x: 𝐶 𝑥 430𝑥 1′ 000,000 = + 𝑥 𝑥 𝑥 ′ 𝐶 𝑥 1 000,000 = 430 + 𝑥 𝑥 Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de producción cuando el nivel de producción se eleve indefinidamente se tiene que:

lim

𝑥→∞

𝐶 𝑥 1′ 000,000 = 430 + 𝑎𝑠í 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑥 𝑥 1′ 000,000 = lim 430 + lim 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥

= 430 + 0 = 430

Por tanto, el costo promedio de producción será de $430.00 cuando el nivel de fabricación de productos electrodomésticos crezca indefinidamente.

NOTA: Es importante notar que cuando se divide un número cualquiera entre ∞, el resultado siempre será cero, ya que el valor del divisor siempre será mucho más grande que el valor del número que se quiere dividir.

Ejemplo. El nivel de satisfacción (%) de clientes en un autoservicio, de acuerdo al número de artículos comprados, fue medido mediante la siguiente función:

𝑆 𝑥 =

250𝑥 2 3𝑥 2 + 0.25𝑥 − 0.001



En donde x representa el número de artículos comprados. Determina ¿cuál será el nivel de satisfacción del cliente (%) conforme aumentan sus compras?

Solución: Si se considera que el cliente comprará un número infinito de artículos podremos observar cuál será el comportamiento del nivel de satisfacción del cliente en el punto más alto de sus compras:

lim

𝑥→∞

250𝑥 2 3𝑥 2 + 0.25𝑥 − 0.001

Con el fin de eliminar la indeterminación, en el caso de una función racional es conveniente dividir cada uno de los factores de la función entre la variable independiente con la potencia más alta, así se tiene que, para este caso en particular, se tiene que: 250𝑥 2 250 250 𝑥2 lim = lim = 2 0.25 0.001 0.25 0.001 𝑥→∞ 3𝑥 𝑥→∞ 0.25𝑥 0.001 3+ 𝑥 − 2 3+ ∞ − + 2 − 2 2 𝑥 ∞2 𝑥 𝑥 𝑥

=

𝟐𝟓𝟎 𝟐𝟓𝟎 = = 𝟖𝟑. 𝟑𝟑 𝟑+𝟎−𝟎 𝟑

Por lo que el nivel de satisfacción del cliente será del 83.33% y nunca podrá ser mayor a éste.

Actividad 1. Maximización de costo promedio

Resuelve el ejercicio 1. “Maximización de costo promedio” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los límites y aplicación en funciones. Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

Tema 2.2 Funciones continuas y discontinuas



2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una función

Según se pudo observar, al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable independiente. Esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, ya que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano al límite.

Por ejemplo, se tiene la siguiente función: 𝑓 𝑥 =

3𝑥 2 − 1 𝑥−1

en la que se dice que x → 1. Al

graficar las coordenadas que van acercándose al límite, se tiene la siguiente gráfica:

20000.000000

Y

15000.000000 10000.000000 5000.000000 0.000000 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-5000.000000

X -10000.000000 -15000.000000 -20000.000000

En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1, en el que la gráfica de la línea ya no continúa con el resto de los valores, es decir, que hay un ruptura en la gráfica.



De esta forma, podemos definir que una función es continua cuando no se presenta un corte en la línea que representa su gráfica, y una función es discontinua cuando se presentan cortes en la línea que representa la gráfica de la función.

Existen tres condiciones que nos permiten descubrir si una función es continua o discontinua:

1. Una función será continua si f(x) está definida en x = a, es decir, si sus valores son reales. 2. Una función será continua si el límite de la función f(x) cuando x → a existe. 3. Una función será continua si: lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)

Si una de las condiciones anteriores no se cumple la función será discontinua.

Operaciones con funciones continuas 1. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrán sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) ≠ 0 en el caso de división). 2. Toda función polinomial es continua.

2.2.2

Aplicación de funciones continuas y discontinuas EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgánicos en frascos de 250 ml,

vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran más de 5 frascos, el precio por frasco es de $68.00. ¿Qué se le podría recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de precios de mayoreo sin que se le presenten problemas económicos con su promoción?

Solución: Si definimos como p(x) a la función de precio de x frascos de aceite de uva, se tiene la siguiente función:



90𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 10 85𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 10

𝑝 𝑥 =

El modelo gráfico que representa esta función de oferta versus demanda es:

La función no es continua en x = 10

1800 1600

y = 90x p(x), precio de aceite de uva (pesos)

1400 y = 85x

1200 (10, 900)

1000

(11, 935)

800 600 400 200 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Frascos de aceite de uva vendidos

Con esto se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00, y de 11 frascos es de $935.00, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10. Si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran más de 10 frascos, se debe cumplir que 11p > 900. Es decir, p > 900/11 = $81.81. Por tanto, el vendedor debe asignar un precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren más de 10 frascos de aceite de uva.



Actividad 2. Costo total

Resuelve el ejercicio 2. “Costo total” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los límites y aplicación en funciones. Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

Evidencia de aprendizaje. Álgebra de límites y continuidad

Resuelve los ejercicios del archivo Álgebra de límites y continuidad: 1. “Cálculo de límites”, que consiste en relacionar columnas, para saber la respuesta se deben elaborar cálculos necesarios. 2. “Rentabilidad con límites al infinito”. Guarda el documento y consulta la escala de evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.


En esta unidad se resolverán ejercicios para practicar el uso de las fórmulas y la aplicación de límites.

La evidencia con la que se evaluará la unidad 2 será la solución de problemas de límites y continuidad de una función para determinar su impacto en los procesos económicoadministrativos y una vez terminada de revisar la unidad tendrás que ir a tu cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a ésta.

Referencias:



Bibliografía básica: 

Barry, R., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson.



Chiang, A. (2006) Métodos fundamentales en economía matemática (4a. ed.). México: McGraw-Hill.



Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales (7a. ed.). México: McGraw-Hill.



Leithold, L. (2006). El cálculo (7a. ed.). Oxford: Editorial Cúspide.



Thomas. (2006). Cálculo de una variable. México: Prentice Hall.

















Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemáticas financieras, México: Editorial CECSA.



Vidaurri, H., Matemáticas financieras (2a. ed.). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.



UNIDAD 3: Cálculo diferencial y sus aplicaciones

Propósitos de la unidad

En esta unidad: 

Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico práctico de la continuidad de una función.



Aplicarás los elementos del álgebra de límites para determinar el alcance de un proceso desde el punto de vista económico-administrativo.



Calcularás la continuidad de una función en relación a los puntos en los que el proceso de producción presenta una tendencia diferente de costos.


Aplica el cálculo diferencial para la solución de problemas de límites y continuidad de una función y de terminar su impacto a través de fórmulas y conceptos del cálculo diferencial integral y su aplicación en las matemáticas financieras.

Introducción

En las unidades anteriores vimos las funciones más comunes, los límites y la continuidad de una función, así como los conceptos derivados de dichos temas. En la presente unidad se estudiarán las definiciones y las reglas de derivación que nos ayudarán a solucionar problemas de optimización de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y costo total. Además veremos la aplicación e interpretación de la derivada en el análisis marginal y su definición, como la razón o tasa promedio e instantánea de cambio, y su aplicación en los conceptos de elasticidad de demanda.



Finalmente, estudiaremos la diferencial cuyo significado se encuentra implícito dentro de la derivada, así como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor interpretación a los problemas de las áreas económico-administrativas que se pueden presentar.

3.1 La derivada

Introducción

El modelado de los procesos económico-administrativos está asociado a la identificación del valor que optimiza a una función. Por ejemplo, si se trata de un problema de costos se requiere conocer el costo mínimo y el valor para el que se produce, así como para ingresos y utilidades nos interesa saber cómo alcanzamos los valores máximos que podemos tener a partir de una producción o venta, ya sea de un producto o un servicio. De esta forma, puede verse la importancia de la derivada dentro de los problemas de optimización, sus aplicaciones en las situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.

3.1.1

Concepto, fórmulas y reglas de derivación La derivada: Es la representación del cambio infinitesimal de una función a medida que va

cambiando el valor de la variable independiente. La derivada de una función f(x) se representa como f’(x), que se lee: f prima y se define para cualquier función f(x) de la siguiente manera: ∆𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = lim

En donde: 1. Δx y Δy: Incrementos de las variables x, y, respectivamente



∆𝒚 ∆𝒙

2.

=

𝒇 𝒙𝟐 −𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟐 −𝒙𝟏

representa la razón o tasa promedio de cambio de y con respecto a x

en el intervalo (x1, x2). Esto es qué tanto varía el valor de y por cada unidad de cambio en x. ∆𝒚

3. 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒙→𝟎 ∆𝒙, se interpreta como la razón o tasa instantánea de cambio de y con respecto a x, en el punto x1.

De manera práctica la notación para la derivada es: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 que se lee: la derivada de y con respecto a x.

Reglas y fórmulas de derivación: Al igual que con los límites, existen fórmulas y reglas que nos permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas. A continuación se presenta un formulario para el cual se deberá tomar en cuenta que:

1. u, v, w: son funciones cuya variable independiente es x 2. a, b, c, n: son números constantes 3. e: 2.71828 4. Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde u > 0

Fórmulas y reglas de derivación:

1. 2. 3.

𝑑(𝑐) 𝑑𝑥

=0

𝑑(𝑐𝑥 ) 𝑑𝑥

=𝑐

𝑑(𝑐𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥

= 𝑛𝑐𝑥 𝑛−1

8. 9. 10.


𝑑(𝑢𝑣𝑤 ) 𝑑𝑥 𝑑

𝑢 𝑣

𝑑𝑥 𝑑 𝑢𝑛 𝑑𝑥

=

𝑑𝑤

𝑑𝑣

𝑑𝑢

= 𝑢𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢𝑤 𝑑𝑥 + 𝑣𝑤 𝑑𝑥 𝑣

𝑑𝑢 𝑑𝑥

−𝑢

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝑣2 𝑑𝑢

= 𝑛𝑢𝑛−1 𝑑𝑥


4. 5. 6. 7.

𝑑(𝑢±𝑣±𝑤 ±⋯ ) 𝑑𝑥 𝑑(𝑐𝑢 ) 𝑑𝑥 𝑑(𝑢𝑣 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑣

= 𝑑𝑥 ± 𝑑𝑥 ±

𝑑𝑤 𝑑𝑥

±⋯

11.

𝑑𝑢

= 𝑐 𝑑𝑥

12.

𝑑𝑣

𝑑𝑢

= 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢

= 𝑑𝑢 𝑑𝑥

13.

Regla de la cadena

14.

𝑑𝐿𝑛 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑎 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑒 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑣 𝑑𝑥

1 𝑑𝑢

= 𝑢 𝑑𝑥

= 𝑎𝑢 𝐿𝑛 𝑎

𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢

= 𝑒 𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢

= 𝑣𝑢𝑣−1 𝑑𝑥 + 𝑢𝑣 𝐿𝑛 𝑢

𝑑𝑣 𝑑𝑥

Ejemplo: En seguida se resuelven las derivadas de algunas funciones, utilizando las fórmulas y reglas de derivación:

1. Si f(x) = 4, ¿cuál será su derivada?

Solución: Se tiene que para una función constante, se utiliza la fórmula 1:

𝑑(𝑐) =0 𝑑𝑥 en donde para este caso: c = 4, por lo que sustituyendo se tiene que:

𝑑 4 =0 𝑑𝑥 ó 𝑓 ′′ 𝑥 = 0 2. Determina la derivada de: f(x) = x5

Solución: De acuerdo a la regla de derivación 3:

𝑑(𝑐𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑐𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 se tiene que para este caso: c = 1,

x = x,


n=5


por lo que:

𝑑 1𝑥 5 𝑑 𝑥5 = = 5 1 𝑥 5−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 5𝑥 4 ó 𝑓 ′ 𝑥 = 5𝑥 4 3. Sea la función 𝑕 𝑥 = 4𝑥 6 + 5𝑥 4 − 7𝑥 3 − 𝑥 + 12, determina su derivada:

Solución: Aplicando la regla 4 de derivación, se tiene que:

𝑑(𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 ± ⋯ ) 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤 = ± ± ±⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 en donde: u = 4x6

v = 5x4

w = -7x3

y = -x

z = 12

para las cuales aplican las siguiente reglas:

𝑑(𝑐) =0 𝑑𝑥

𝑑(𝑐𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑐𝑥 𝑛 −1 𝑑𝑥

𝑑(𝑐𝑥) =𝑐 𝑑𝑥

De esta forma, se tiene que la derivada de la función h(x) es: 𝑕′ 𝑥 = 6 4 𝑥 6−1 + 4 5 𝑥 4−1 − 3 7 𝑥 3−1 − 1 1 𝑥 1−1 + 0 𝒉′ 𝒙 = 𝟐𝟒𝒙𝟓 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟏 4. ¿Cuál es la derivada de la función 𝑔 𝑥 =

𝑥 3 −2𝑥

−3𝑥2 +5

?

Solución: Para este caso la fórmula a aplicar es:



𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑 𝑣 𝑣 −𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑥 𝑣 Para la cual: u = x3 – 2x 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 𝒅𝒙

v = -3x2 + 5

𝒅𝒗 − 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝒗𝟐 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓

𝟐

Así, sustituyendo en la fórmula, la derivada de la función g(x) con respecto a x: g’(x), queda: 𝒈′ 𝒙 = 𝒈′ 𝒙 =

−𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 − 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 𝟔𝒙 −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝟐

−𝟗𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 − 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝟐 𝒈′ 𝒙 =

−𝟏𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝟐

5. Determina la derivada de la función: 𝑓 𝑥 =

4

𝑥6

Solución: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la función de la siguiente manera: 𝑓 𝑥 = 𝑥6

4

Para la que aplica la fórmula:

𝑑(𝑐𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑐𝑥 𝑛 −1 𝑑𝑥 Para la cual en este caso:



c=1

x=x

n = 6/4

Así, se tiene que: 𝑓′ 𝑥 = 1 6 = 𝑥1 4

6 6−1 𝑥4 4 2

1. Regla de la cadena: Es aplicada cuando se tiene una función dentro de una función elevada a una potencia. Por ejemplo:

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

3

La fórmula general de la regla de la cadena nos dice que:

𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 Sin embargo, una manera más fácil de interpretarla es mediante el siguiente enunciado:

“Calcular la derivada de la función en el interior del paréntesis y multiplicarla por la derivada del exterior” Es decir, si tomamos en cuenta la función mostrada en el ejemplo, tenemos que: 1. 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

Representa a la función en el interior del paréntesis y cuya derivada es:

2. 4𝑥 − 3

Que corresponde a la derivada del interior.

3. Con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del paréntesis que encierra a la función, así se tomaría como función exterior a: 4.

2𝑥2 − 3𝑥 + 2

3

y considerando a la función dentro del paréntesis como si fuera una sola

variable. De esta forma, la derivada del exterior estaría dada de la siguiente manera:



5. 𝟑 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝟑−𝟏

= 𝟑 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝟐

6. Finalmente siguiendo el enunciado que dice que se debe multiplicar la derivada del interior por la derivada del exterior, tenemos que la derivada de:

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

3

Será: 𝑓′

𝑥

= 4𝑥 − 3 3 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝒇′ 𝒙 = (𝟏𝟐𝒙 − 𝟗) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐

2 𝟐

3.1.2 Razón o tasa promedio e instantánea de cambio e incertidumbre

Como se vio anteriormente, la razón o tasa promedio de cambio se define como:

Δ𝑦 𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1 ) = Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 Ejemplo: Considerando que la oferta “O” de un determinado artículo en función del precio “p” sigue la siguiente función: 𝑂 𝑝 = 7𝑝2 Determina cuál es será la razón promedio de cambio en la oferta cuando el precio varía de p = 10 a p = 11.

Solución: De acuerdo a la definición de razón o tasa promedio de cambio, tenemos que:

Δ𝑦 𝑂 11 − 𝑂 10 = Δ𝑥 11 − 10 7 11 2 − 7 10 =

11 − 10 847 − 700 = 1


2


𝚫𝒚 = 𝟏𝟒𝟕 𝚫𝒙 Asimismo, la razón o tasa instantánea de cambio, se define como: 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

∆𝒚

∆𝒙→𝟎 ∆𝒙

Ejemplo: Tomando en cuenta los datos del problema anterior, determina ¿cuál será la razón de cambio en la oferta con respecto al precio de venta, cuando p = 10, (cambio instantáneo)?

Solución: De acuerdo a la definición de razón o tasa cambio instantánea, tenemos que calcular la derivada de la función de oferta: 𝑶 𝒙 = 𝟕𝒑𝟐 𝑶′ 𝒙 = 𝟏𝟒𝒑 De manera que cuando el precio de venta es: p = 10, la razón de cambio instantáneo será: 𝑶′ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟒 𝟏𝟎 = 140 Es decir que cuando el precio es de 10, la oferta cambia 140 unidades cuando se modifica una unidad en el precio.

3.1.3 Derivadas de orden superior

Hasta ahora hemos estado calculando la primera derivada de una función. Sin embargo, también es posible, siempre que no lleguemos a un valor de cero, obtener la segunda, tercera, cuarta, quinta y enésima derivada de una función.

La primera derivada se representa o denota como: 𝒇′ (𝒙) o La segunda derivada se representa o denota como: 𝒇′′ (𝒙) o


𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙


La tercera derivada se representa o denota como: 𝒇′′′ (𝒙) o

𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝒙

Y así sucesivamente hasta llegar a la enésima derivada de una función. Ejemplo: Determina la tercera derivada de la 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 2𝑥3 − 𝑥2 + 3.

Solución: La primera derivada estará dada por: 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 6𝑥2 − 2𝑥 Así, la segunda derivada será: 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 12𝑥 − 2



3.1.4

Análisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal

Ingreso marginal: Describe cómo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se produce y se vende, se determina como la derivada de la función de ingresos, lo que representa una aproximación del ingreso real cuando se vende una unidad más de cierto producto o servicio. Así, considerando que 𝑰(𝒙) representa a los ingresos obtenidos al vender x número de artículos, el ingreso marginal nos muestra cuál será el ingreso que se obtiene al vender el artículo x + 1. Esto es: 𝑰 𝒙 + 𝟏 − 𝑰(𝒙) Es decir, los ingresos de venta de x número de artículos incrementada en 1, menos los ingresos de la venta de x artículos. Finalmente, como se considera el incremento de unidades de artículos, esto es: ∆𝒙 = 𝟏 lo que implica una razón de cambio de los ingresos cuando aumenta la producción en una unidad. Es decir:

Δ𝐼 = 𝑰 𝒙 + 𝟏 − 𝑰(𝒙) Δ𝑥 Lo que corresponde a la derivada de la función de ingreso, la cual representa el ingreso marginal. 𝑰′ (𝒙) ≈ 𝑰 𝒙 + 𝟏 − 𝑰(𝒙)

Ejemplo: Una compañía turística, tiene un ingreso mensual en la venta de sus paquetes regionales representado por la siguiente función: 𝐼 𝑥 = 45000𝑥 − 5.7𝑥2 pesos cuando produce y vende x unidades por mes.



Hasta el día de hoy, la compañía ofrece 20 paquetes vacacionales, sin embargo planea aumentarlos a 21. ¿Cuál será el ingreso que generará la implementación y venta del paquete vacacional número 21?

Solución: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementación y venta del paquete turístico número 21, con la función de ingreso marginal, que es la derivada de la función de ingreso, se tiene que: 𝑰′ 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏. 𝟒𝒙 Y para el caso particular del paquete número 20, se obtiene que: 𝑰′ 𝟐𝟎 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏. 𝟒 𝟐𝟎 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟖 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟐. 𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔 Este valor sería una aproximación al ingreso que generaría incorporar en sus paquetes turísticos regionales el paquete 21.

No obstante, si se desea conocer cuál sería el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21, se tiene que

𝐼 𝑥 + 1 − 𝐼 𝑥 = 45000 𝑥 + 1 − 5.7 𝑥 + 1

2

− (45000𝑥 − 5.7𝑥2 )

= 45000𝑥 + 45000 − 5.7 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 45000𝑥 + 5.7𝑥2 = 45000𝑥 + 45000 − 5.7𝑥 2 − 11.4𝑥 − 5.7 − 45000𝑥 + 5.7𝑥2 = 45000 − 11.4𝑥 − 5.7 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟓. 𝟕 − 𝟏𝟏. 𝟒𝒙

Como dentro de esta operación ya está incorporado el paquete 21, en (x + 1), entonces se sustituye x por 20 en la expresión encontrada: 𝐼 20 + 1 − 𝐼 20 = 45005.7 − 11.4𝑥 𝐼 21 − 𝐼 20 = 45005.7 − 11.4 20



= 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟕. 𝟕 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Que representaría el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de paquetes turísticos regionales en la compañía turística. Costo marginal: Es la derivada de la función de costo: 𝑪′ (𝒙). El valor que se obtiene de ella es una aproximación al costo verdadero cuando se produce o genera una unidad más de cierto producto o servicio.

Si se requiere saber el costo que implica producir x unidades de un artículo más una unidad, es recomendable recurrir a la derivada del costo y, de manera similar, al ingreso marginal que se tiene para los costos marginales: 𝑪′(𝒙) ≈ 𝑪 𝒙 + 𝟏 − 𝑪(𝒙)

Ejemplo: Los costos de producción de x tarjetas de felicitación en una imprenta se representan por la siguiente función: 𝐶 𝑥 = 20000 + 12𝑥 + 0.5𝑥2 + 0.0005𝑥 3 pesos

Determina cuál será el costo de producir 200 tarjetas con respecto a la producción de 201.

Solución: Primero determinaremos la función de costo marginal: 𝐶′ 𝑥 = 12 + 𝑥 + 0.0015𝑥2

De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 201 tarjetas de felicitación, será de:



𝐶′ 200 = 12 + 200 + 0.0015 200

2

𝑪′ 𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟕𝟐 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Como se requiere conocer cuál es el costo aproximado con respecto al real, se tiene que: 𝐶 𝑥+1 −𝐶 𝑥 = 20000 + 12 𝑥 + 1 + 0.5(𝑥 + 1)2 + 0.0005(𝑥 + 1)3 − 20000 + 12𝑥 + 0.5𝑥2 + 0.0005𝑥 3 = 20000 + 12𝑥 + 12 + 0.5(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 0.0005(𝑥 3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1) − 20000 + 12𝑥 + 0.5𝑥2 + 0.0005𝑥 3 = 20000 + 12𝑥 + 12 + 0.5𝑥 2 + 𝑥 + 0.5 + 0.0005𝑥 3 + 0.0015𝑥2 + 0.0015𝑥 + 0.0005 − 20000 − 12𝑥 − 0.5𝑥2 − 0.0005𝑥 3 = 12.5005 + 1.0015𝑥 + 0.0015𝑥2 Sustituyendo ahora el valor de x = 200, para así obtener el costo de producción de 201 tarjetas de felicitación: 𝐶 200 + 1 − 𝐶 200 = 12.5005 + 1.0015 200 + 0.0015 200

2

𝐶 201 − 𝐶 200 = 12.5005 + 200.3 + 60 𝑪 𝟐𝟎𝟏 − 𝑪 𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟕𝟐. 𝟖𝟎𝟎𝟓 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mínima: 0.8005 pesos, así podemos concluir que con el costo marginal también obtenemos resultados confiables al igual que con la fórmula de ingreso marginal. Costo promedio o medio marginal: Es la derivada de la función de costo promedio: 𝑪𝒎 ′ (𝒙). El valor que se obtiene con ella es una medida de la razón de cambio de la función de costo promedio en función del número de unidades o servicios producidos/ vendidos. 𝑪𝒎 ′ 𝒙 =

𝑪(𝒙) 𝒙



Ejemplo: El costo total de producción mensual de x número de taparroscas, para envases de agua embotellada está dado por: 𝐶 𝑥 = 500000 + 25𝑥 + 0.85𝑥2 pesos

Determina cómo será el costo de producir la unidad 1001 de taparroscas, si actualmente se producen 1000 tapas por mes.

Solución: Primero determinaremos la función de costo promedio: 𝐶 𝑥 500000 25𝑥 0.85𝑥2 = + + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 500000 𝐶𝑚 (𝑥) = + 25 + 0.85𝑥 𝑥

𝐶𝑚 (𝑥) =

A continuación obtenemos la función de costo promedio marginal, derivando la función de costo promedio: 𝐶𝑚 (𝑥) = 500000𝑥 −1 + 25 + 0.85𝑥 𝐶′𝑚 𝑥 = −1 500000𝑥 −1−1 + (1)0.85𝑥 1−1 𝐶 ′ 𝑚 𝑥 = −500000𝑥 −2 + 0.85 𝑪′ 𝒎 𝒙 =

−𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟖𝟓 𝒙𝟐

De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 1001 de taparroscas, será de: 𝐶 ′ 𝑚 1000 =

−500000 + 0.85 10002

𝑪′ 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟓 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒑𝒂𝒓𝒓𝒐𝒔𝒄𝒂.



Utilidad marginal: Es la derivada de la función de utilidad: 𝑼′ (𝒙) y es una aproximación a la utilidad obtenida de la producción y venta de una unidad más de cierto producto o servicio.

De esta forma si se requiere saber cuáles son las utilidades que generará el producir x unidades de un artículo más una unidad, es recomendable recurrir a la derivada de las utilidades, con lo que se demuestra que: 𝑼′(𝒙) ≈ 𝑼 𝒙 + 𝟏 − 𝑼(𝒙)

Ejemplo: En una fábrica se determinó que cuando se producen x número de artículos, se tenía que: 𝐶 𝑥 = 120000 + 8𝑥 + 0.3𝑥2 miles de pesos

Y que cada artículo vendido generaba ingresos de $10.00. Determina las utilidades que se generarán si se producen y venden 100 unidades.

Solución: Primero determinaremos la función de utilidad, si se sabe que: 𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥) En donde para este caso: 𝐼 𝑥 = 10𝑥 𝐶 𝑥 = 120000 + 8𝑥 + 0.3𝑥2 miles de pesos

Se tiene que: 𝑈 𝑥 = 10𝑥 − 120000 + 8𝑥 + 0.33𝑥2 𝑈 𝑥 = 10𝑥 − 120000 − 8𝑥 − 0.33𝑥2 𝑼 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟑𝟑𝒙𝟐



Por lo que la utilidad marginal será: 𝑈 ′ (𝑥) = 2 1 𝑥 1−1 − 120000 − (2)0.33𝑥2−1 𝑼′ 𝒙 = 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟔𝒙

De acuerdo con esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir 100 artículos, será de: 𝑼′ 𝟗𝟗 = 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟔(𝟗𝟗) 𝑪′ 𝟐𝟎𝟎 = −𝟔𝟑. 𝟑𝟒 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔

Lo que significa que se tienen -63.34 miles de pesos de pérdidas en este proceso.

3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

La elasticidad de la demanda, η, es una aproximación del cambio porcentual de la demanda y es originado por un incremento del 1% en el precio y está representada por la siguiente fórmula:

𝜼=

𝒑 𝒅𝒒 𝒒 𝒅𝒑

En donde: p = precio q = demanda

𝑑𝑞 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛. 𝑑𝑝 Y se interpreta de la siguiente manera:





Cuando 𝜼 > 1, la disminución porcentual de la demanda es mayor que el incremento porcentual en el precio que la genera. La demanda es relativamente sensible a los cambios del precio, por lo que la demanda es elástica con respecto al precio.



Cuando 𝜼 < 1, la disminución porcentual de la demanda es menor al incremento porcentual en el precio que la genera, es decir, que la demanda es poco sensible a los cambios en el precio, por tanto, es inelástica con respecto al precio.



Cuando 𝜼 = 𝟏, los cambios porcentuales en la demanda son iguales a los incrementos en el precio y se dice que la demanda es de elasticidad unitaria. Ejemplo: Si la demanda y el precio de ciertos envases de plástico están representados por: 𝑞 = 930 − 5𝑝

Para 0 ≤ p ≤, determina el punto de elasticidad de la demanda en que es elástica la demanda, en función de los precios de los envases de plástico.

Solución: Se sabe que: 𝜼=

𝒑 𝒅𝒒 𝒒 𝒅𝒑

Para este caso particular:

𝒅𝒒 = −𝟓 𝒅𝒑 Así, la elasticidad de la demanda será: 𝜼=

𝒑 −𝟓 𝟗𝟑𝟎 − 𝟓𝒑

𝜼=

−𝟓𝒑 𝟗𝟑𝟎 − 𝟓𝒑

La demanda de los envases será elástica si 𝜼 > 1, por lo que:



−5𝑝 >1 930 − 5𝑝 5𝑝 >1 930 − 5𝑝 5𝑝 > 930 − 5𝑝 5𝑝 + 5𝑝 > 930 10𝑝 > 930 𝑝>

930 10

𝒑 > 93 Por lo que la demanda será elástica cuando el precio sea superior a 93.

3.2 Cálculo de máximos y mínimos 3.2.1 Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se tiene que f(x1) < f(x2).

Una función es decreciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2).

A continuación se muestra gráficamente como decrece y crece una función:



f(x) = -0.6667x3 + 2E-14x2 + 18x - 8E-13

40 30 20 10 0 -6

-4

-2

-10 0

x 2

4

6

-20 -30 -40 intervalo decreciente

intervalo creciente

intervalo decreciente

3.2.2 Criterio de la primera y segunda derivada

Los criterios de la primera y la segunda derivada nos ayudan a determinar el comportamiento de una función mediante un cálculo exacto y analítico.



Criterio de la primera derivada 1. Si 𝒇′ 𝒙 > 0 cuando 𝒂 < 𝑥 < 𝑏, entonces f es una función creciente en 𝒂 < 𝑥 < 𝑏. 2. Si 𝒇′ 𝒙 < 0 cuando 𝒂 < 𝑥 < 𝑏, entonces f es una función decreciente en 𝒂 < 𝑥 < 𝑏. 3. Si 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 cuando 𝒂 < 𝑥 < 𝑏, entonces f es una función constante en 𝒂 < 𝑥 < 𝑏.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:

1. Obtener la derivada de la función. 2. Determinar los valores críticos, esto es los valores de x en la derivada de la función cuando 𝒇′ 𝒙 = 𝟎. 3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo, después se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se determinará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico. 4. De acuerdo con los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio: a.

Si los signos son (+)(−), se tiene un máximo local.

b.

Si los signos son (−)(−), se tiene un mínimo local.

c.

Si los signos son (+)(+) o (−)(−), no hay extremo local.

Ejemplo: Considerando el criterio de la primera derivada, determina los intervalos en donde la función 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 es creciente o decreciente.

Solución: Aplicando el criterio de la primera derivada, tenemos lo siguiente: 1. Calculado la primera derivada de la función: 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒



Igualando a cero la derivada de la función: 0 = 6𝑥2 − 4 4 = 6𝑥2 4 = 𝑥2 6

𝑥=±

4 = 6

𝑥2

𝑥=±

4 6

𝟐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔 𝟑

Que son las raíces o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos para x en la derivada serán: (valores críticos en la recta numérica):

−∞

−

𝟐 𝟑

𝟐 𝟑

𝟎

+∞

2. Evaluando la derivada de la función en los intervalos establecidos: a. Para los valores entre

𝟐 , ∞, 𝟑

como por ejemplo 𝟏 entonces se tiene que la derivada

de la función en ese punto dará: 𝑓′ 1 = 6 1

2

−4

𝒇′ 𝟏 = 𝟐 𝟐

Y como 𝒇′ 𝟏 > 0, entonces la función es creciente en (𝟑 , +∞)



𝟐

b. Para los valores entre − 𝟑 , − ∞, como por ejemplo −𝟏 entonces se tiene que la derivada de la función en ese punto dará: 𝑓 ′ −1 = 6 −1

2

−4

′

𝒇 −𝟏 = 𝟐 𝟐

Y como 𝒇′ −𝟏 > 0, entonces la función es creciente en (− 𝟑 , −∞). c. Para x = 0, se tiene que la derivada de la función en ese punto dará 𝑓′ 0 = 6 0

2

−4

𝒇′ 𝟎 = −𝟒 𝟐 𝟐

Y como 𝒇′ 𝟎 < 0, entonces la función es decreciente en (− 𝟑 , 𝟑 ). Es decir, que si se aplica el criterio de la primera derivada para determinar si hay extremos locales, se tiene:

−∞

−

𝟐 𝟑

+ Creciente

𝟐 𝟑 Decreciente

+∞ + Creciente

Criterio de la segunda derivada 1. Si 𝒇′ ′ 𝒙 > 0 cuando 𝒂 < 𝑥 < 𝑏, entonces f es una función cóncava hacia arriba en 𝒂 < 𝑥 < 𝑏. 2. Si 𝒇′ ′ 𝒙 < 0 cuando 𝒂 < 𝑥 < 𝑏, entonces f es una función cóncava hacia abajo en 𝒂 < 𝑥 < 𝑏.



Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la segunda derivada son:

1. Obtener la segunda derivada de la función. 2. Determinar los puntos de inflexión, esto es los valores de x en la segunda derivada de la función cuando 𝒇′ ′ 𝒙 = 𝟎. 3. Se marcan los puntos de inflexión en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segunda derivada, con lo que se determinará el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después de los puntos de inflexión. 4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:

a.

Si 𝒇′ ′ 𝒙 > 0, entonces la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

b.

Si 𝒇′ ′ 𝒙 < 0, entonces la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Ejemplo: Considerando el criterio de la segunda derivada, determina los intervalos en donde la función 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Solución: Aplicando el criterio de la segunda derivada, tenemos lo siguiente:

Calculado hasta la segunda derivada de la función: 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 𝒇′′ 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 Igualando a cero la segunda derivada de la función: 0 = 12𝑥 − 24 24 = 12𝑥 24 = 𝑥 12



𝒙 = 𝟐 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏

Que son las raíces o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos para x en la derivada serán: (puntos de inflexión en la recta numérica):

−∞

𝟐

+∞

Evaluando la derivada de la función en los intervalos establecidos: a. Para los valores entre 𝟐, ∞, como por ejemplo 𝟓 entonces se tiene que la segunda derivada de la función en ese punto dará: 𝑓 ′′ 5 = 12 5 − 24 𝒇′′ 𝟓 = 𝟑𝟔 Y como 𝒇′′ 𝟓 > 0, entonces la función es cóncava hacia arriba en (𝟐, +∞) b. Para los valores entre −𝟐, − ∞, como por ejemplo −𝟓 entonces se tiene que la derivada de la función en ese punto dará: 𝑓 ′′ −5 = 12 −5 − 24 𝒇′′ 𝟓 = −𝟖𝟒 Y como 𝒇′ −𝟓 > 0, entonces la función es cóncava hacia abajo en (−𝟐, −∞). Es decir que si se aplica el criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad de la función, se tiene:



−∞

𝟐 Cóncava hacia abajo

+∞ + Cóncava hacia arriba

Finalmente, podemos resumir que para el uso de los criterios de la primera y segunda derivada, es más práctico llenar la siguiente tabla guía:

Intervalos

Signo de f’(x)

Función creciente (C) o decreciente(D)

Intervalos

Valores críticos


Signo de f’’(x)

Función cóncava hacia arriba (CA) o cóncava hacia abajo (CAB)

Puntos de inflexión


Actividad 1. Velocidad en el cambio de costos y Criterio de la primera y segunda derivada

Resuelve los ejercicios. “Velocidad en el cambio en los costos” y “Criterio de la primera y segunda derivada” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: La derivada y las funciones marginales. Guarda el documento y enviarlo a la sección de Base de datos.

3.2.3 Análisis marginal: interpretación del concepto de ingreso y costo marginal

Dentro de la práctica profesional en las áreas económico-administrativas, es muy importante la determinación de maximización de la ganancia o la utilidad, así como el minimizar los costos de venta y producción. En general optimizar los recursos de la empresa, es decir, maximizar los beneficios y minimizar los costos.

Al maximizar el beneficio en cualquier empresa, se puede lograr lo siguiente:

1. Maximizar los ingresos, vendiendo el mayor número de productos o servicios con un nivel de costos constante. 2. Maximizar los ingresos, reduciendo los costos. 3. Minimizar los costos y mantener sin variación el nivel de ventas de manera que el ingreso no se vea afectado.



Para determinar el valor máximo en una función, se requiere la primera derivada de la función, al igual que se requiere obtener la segunda derivada para determinar el comportamiento de dicha función. Si hablamos de utilidades U(x), ingresos I(x) y costos C(x), entonces estamos trabajando con los valores marginales de las funciones, los cuales se representan a continuación:

Precio

Costo marginal

Ingreso marginal

X En esta figura observamos que: 1. La utilidad máxima se obtiene cuando 𝑪’(𝒙) = 𝑰’(𝒙). 2. O bien cuando 𝑰’’(𝒙) < 𝐶’’(𝑥).

Se puede apreciar que los valores marginales de una función son muy útiles, no sólo para conocer los niveles de utilidad, sino también para determinar el impacto de las utilidades cuando se presentan variaciones en los insumos.



3.2.4 Aplicación de la función de ingresos, beneficios y costos en problemas de maximización

Ejemplo: Una empresa en servicio de telefonía, pretende incrementar sus ventas promocionando sus servicios por televisión, para lo que realizó varios estudios para determinar los costos que dicha publicidad le generará y obtuvieron las siguientes funciones de costo por publicidad y demanda de servicios de telefonía: 𝑪 𝒙 = 𝟏𝟕𝟎𝟎 + 𝟔𝟓𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝒙𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒙 𝒑 𝒙 = 𝟑𝟓 − 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 En donde: 𝑪 𝒙 = costos por servicio de telefonía en función de los costos de publicidad 𝒑 𝒙 = precio por servicio de telefonía que se presta 𝒙 = número de servicios de telefonía

Determina la cantidad de servicios que se requiere vender para maximizar la ganancia.

Solución: Considerando la función de demanda, se puede obtener la función de ingresos de la empresa, recordando que: 𝑰 𝒙 = 𝒙𝒑(𝒙)

Para este caso en particular los ingresos serán:

𝐼 𝑥 = 𝑥 35 − 𝑰 𝒙 = 𝟑𝟓𝒙 −

𝑥 10000

𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

Para obtener la máxima ganancia, se requiere de los valores marginales tanto de los ingresos como de los costos. Así para el ingreso marginal se tiene:



𝐼′ 𝑥 = 35 −

𝑥 5000

Y para el costo marginal: 𝐶′ 𝑥 = 65 − 0.001𝑥

Para maximizar la ganancia, se requiere que el ingreso marginal sea igual al costo marginal: 35 −

𝑥 = 65 − 0.001𝑥 5000

Aplicando los criterios de derivada para obtener los valores máximos, comenzamos por despejar el valor de x de la ecuación que quedó arriba: 𝑥 = 65 − 35 5000 𝑥 0.001𝑥 − = 30 5000 1 𝑥 0.001 − = 30 5000 1 𝑥 0.001 − = 30 5000

0.001𝑥 −

𝑥 0.0008 = 30 𝑥=

30 0.0008

𝒙 = 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 Comprobando que se obtiene un máximo, se calcula la segunda derivada tanto de los ingresos como de los costos: 𝐼 ′′ (𝑥) = −

1 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐 5000

𝐶 ′′ 𝑥 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏



Con esto se cumple que: 𝑰’’(𝒙) < 𝐶’’(𝑥)

Con lo que se obtiene efectivamente la máxima utilidad.

Por tanto, cuando la compañía de servicio en telefonía da 37,500 servicios, la utilidad será maximizada.

3.3

La diferencial

3.3.1 Incremento de una función

Al trabajar con diferenciales, se compara entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independiente, para así observar y medir los cambios que se originen.

Por eso al considerar los cambios en los valores de las variables, la diferencial llega a tener una relación directa con la derivada como razón o tasa de cambio. Si se considera que 𝒚 = 𝒇(𝒙), se observa que se verá afectada la variable y, ya que se encuentra en función de los valores que tome x. Así, cuando la variable x cambia desde un valor inicial 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 hasta un valor final 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 , el cambio se determina calculando la diferencia (𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 ), lo que se conoce como cambio o incremento de una variable y se representa como: ∆𝒙 = 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍



Que sirve para determinar los cambios ente una y otra variable, así como para determinar, de manera general, los cambios en una función, ya sea de ingreso, costo, demanda o utilidad, evaluando los valores iniciales y finales en la función correspondiente: ∆𝒇(𝒙) = ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 ) − 𝒇(𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 )

Ejemplo: Una empresa desea determinar cuánto deberá incrementar su nivel de gastos si aumenta la producción debido al aumento en la demanda de sus artículos, para lo que obtiene la siguiente función: 𝐺 𝑥 = 5𝑥2 – 15000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 En donde actualmente la demanda de artículos es de 95: 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟗𝟓

a) Determina en cuánto se incrementarán los gastos si la producción aumenta a 100 unidades. b) Determina la razón de cambio que se dará en los gastos al incrementarse la producción en una unidad.

Solución: a) Se sabe que la producción en el inicio es de 95 unidades, por lo que los gastos iniciales serán: 𝐺(95) 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 = 5 95

2

– 15000

𝑮(𝟗𝟓) 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟓 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔 Es decir, que cuando la empresa tiene una producción de 95 unidades sus gastos son de 30,125 pesos. Cuando la producción aumenta a 100 unidades, entonces se tiene que 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟎𝟎, por lo que los gastos finales serán de: 𝐺(100) 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 5 100

2

– 15000

𝑮(𝟏𝟎𝟎) 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔



Esto es que aumentan en $4,875.00 pesos.

b) Para determinar la razón de cambio, tomaremos en cuenta los datos anteriores, de lo que se observa que: 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 95

𝐺(95) 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 = 30125 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100

𝐺(100) 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 35000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

Por lo que: ∆𝑥 = 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∆𝑥 = 100 − 95 ∆𝒙 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 Por tanto: ∆𝐺(𝑥) = 𝐺(𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) − 𝐺(𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) ∆𝐺 𝑥 = 35000 − 30125 ∆𝑮 𝒙 = 𝟒𝟖𝟕𝟓

Así para la razón de cambio se tiene que:

Δ𝐺 𝐺 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐺 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = Δ𝑥 ∆𝑥 Δ𝐺 𝐺 100 − 𝐺 95 = Δ𝑥 5 Δ𝐺 35000 − 30125 4875 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 = = Δ𝑥 5 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝚫𝑮 = 𝟗𝟕𝟓 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔/𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅 𝚫𝒙 De esta forma se observa que los gastos de producción por unidad se incrementan los gastos en $975.00 por unidad.

3.3.2 Diferencial de una función



Una función 𝑓(𝑥) es diferenciables en 𝑥 si se puede obtener la derivada de la función 𝑓’ 𝑥 , en donde la diferencial se define como: 𝒅𝒚 = 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 =

𝒅𝒚 ∆𝒙 𝒅𝒙

3.3.3 Diferencial implícita La diferencial implícita es un proceso mediante el cual puede obtenerse la diferencial 𝑑𝑦 cuando se tiene una ecuación y no una función, pudiendo existir más de un elemento de la variable 𝑦.

3.3.4 Diferencial logarítmica

Tomando en cuenta las leyes logarítmicas: 𝐿𝑛𝑎 𝑥 = 𝑥𝐿𝑛𝑎 𝐿𝑛 𝑎𝑏 = 𝐿𝑛 𝑎 + 𝐿𝑛 𝑏 𝑎 𝐿𝑛 = 𝐿𝑛 𝑎 − 𝐿𝑛 𝑏 𝑏 Aplicando las leyes de logaritmos a las funciones es posible aplicar la diferencial logarítmica: 𝑑𝐿𝑛𝑥 1 = 𝑑𝑥 𝑥 𝟏 𝒅𝒚 = 𝒅𝑳𝒏𝒙 = 𝒅𝒙 𝒙 𝑑𝑦 =

Así para obtener la diferencial logarítmica 𝑑𝑦 de una función es necesario aplicar las leyes de los logaritmos a la función dada.



Ejemplo: Empleando la diferencial logarítmica determina 𝑑𝑦 a partir de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑦 =

𝑥 3 𝑥2 + 2 (2𝑥 + 1)3

Solución: Aplicando a la función leyes de logaritmos, se tiene:

𝐿𝑛𝑦 = 𝐿𝑛

𝑥 3 𝑥2 + 2 2𝑥 + 1 3 1/2

𝑥 3 𝑥2 + 2 𝐿𝑛𝑦 = 𝐿𝑛 (2𝑥 + 1)3 𝐿𝑛𝑦 = 𝐿𝑛𝑥 3 + 𝐿𝑛 𝑥2 + 2

1/2

− 𝐿𝑛(2𝑥 + 1)3

1 𝐿𝑛𝑦 = 3𝐿𝑛𝑥 + 𝐿𝑛 𝑥2 + 2 − 3𝐿𝑛 2𝑥 + 1 2

Diferenciando implícitamente se tiene: 𝑑𝐿𝑛𝑦 1 = 3𝑑𝐿𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝐿𝑛 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 − 3𝑑𝐿𝑛 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 Aplicando:

𝒅𝒚 = 𝒅𝑳𝒏𝒙 =

𝟏 𝒅𝒙 𝒙

Se tiene la diferencial de cada parte de la función, así para:



𝟏 3𝑑𝐿𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝟑 𝒅𝒙 𝒙 Para: 1 1 1 𝒙 𝑑𝐿𝑛 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 = 𝒅𝒙 2 2 𝑥2 + 2 𝒙𝟐 + 𝟐 Para: 3𝑑𝐿𝑛 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 3

1 𝟔 2𝑑𝑥 = 𝒅𝒙 2𝑥 + 1 𝟐𝒙 + 𝟏

Y finalmente para: 𝑑𝐿𝑛𝑦 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦

Por lo que sustituyendo en la diferencial: 1 1 𝑥 6 𝑑𝑦 = 3 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥 + 1 𝑥 +2 Factorizando a 𝒅𝒙: 1 3 𝑥 6 𝑑𝑦 = + 2 − 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 + 2 2𝑥 + 1 Despejando a 𝒅𝒚: 𝑑𝑦 =

3 𝑥 6 + 2 − 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥 + 2 2𝑥 + 1

Como: 𝑦 =

𝑥 3 𝑥2 + 2 (2𝑥 + 1)3

Sustituyendo en 𝒅𝒚, finalmente se tiene que: 𝒅𝒚 =

𝟑 𝒙 𝟔 𝒙𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑



3.3.5 Elasticidad

La elasticidad es un indicador de la magnitud que cambiará la variable dependiente si la variable independiente se modifica en una unidad y se representa como: 𝜼=

𝒙 𝒅𝒚 𝒚 𝒅𝒙

Una manera de determinarla es a través de la diferencial con logaritmos y así obtener: 𝜼=

𝒅𝑳𝒏𝒚 𝒅𝑳𝒏𝒙

Donde: y = demanda x = precio

Ejemplo: Determina la elasticidad de la demanda si: 𝑐 𝑄= 3 𝑝 En donde: 𝑄= demanda 𝑐= constante positiva 𝑝= precio del artículo (variable, ya que la demanda está en función del precio)

Solución: Si aplicamos logaritmos a la función de demanda: 𝐿𝑛𝑄 = 𝐿𝑛

𝑐 𝑝3

𝐿𝑛𝑄 = 𝐿𝑛 𝑐 − 𝐿𝑛𝑝3

Diferenciando implícitamente a la demanda en función del precio: 𝑑𝐿𝑛𝑄 = 𝐿𝑛 𝑐 − 𝐿𝑛𝑝3 𝑑𝐿𝑛𝑄 = 𝐿𝑛 𝑐 − 3𝐿𝑛𝑝



Por lo que al aplicar la fórmula de elasticidad en la demanda: 𝜂=

𝑑𝐿𝑛𝑄 𝑑𝐿𝑛𝑐 𝑑𝐿𝑛𝑝 = −3 𝑑𝐿𝑛𝑝 𝑑𝐿𝑛𝑝 𝑑𝐿𝑛𝑝

Por lo que: 𝜼 = −𝟑

De esta forma, la elasticidad de la demanda es de -3, lo que significa que al incrementarse el precio en una unidad monetaria, la demanda de los artículos disminuirá 3 unidades. Actividad 2. Incremento de utilidad y Elasticidad de la demanda

Resolver los ejercicios. “Incremento de utilidad” y “Elasticidad de la demanda” que se encuentran en el Cuadernillo de ejercicios: La derivada y las funciones marginales. Guardar el documento y enviarlo a la sección de Base de datos.

Evidencia de aprendizaje: Análisis marginal

Resuelve los problemas del archivo Análisis marginal: 1. “Aplicación de reglas de derivación” 2. “Ingreso real a partir del ingreso marginal” Guarda el documento y consulta la escala de evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.


Para realizar la evaluación de la unidad tendrás que resolver una serie de ejercicios destinada a practicar la solución de problemas de análisis marginal, la elasticidad de la demanda y las funciones de ingreso, beneficio, costos y maximización. Una vez que hayas terminado de



revisar la unidad, tendrás que ir a tu cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a la unidad.

Además deberás participar en el Foro y la Base de datos, estas actividades no se encuentran señaladas en el contenido.

Fuentes de consulta


Barry R., Stair, R. y Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson.



Chiang, A. (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. (4a. ed.). México: McGraw-Hill.



Harshbarger, R. y

Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración,

Economía y Ciencias Sociales (7a. ed.). México: McGraw-Hill 

Leithold, L. (2006). El cálculo (7a. ed.). Oxford: Cúspide.



Thomas. (2006). Cálculo de una variable. Prentice Hall.



















Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemáticas financieras. México: CECSA.






UNIDAD 4: Cálculo integral y sus aplicaciones Propósitos de la unidad

En esta unidad: 

Identifica los elementos de los métodos de integración, así como los conceptos de la función de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios.



Aplica las fórmulas y métodos de integración en la solución de problemas del área económico-administrativa.



Resuelve problemas de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios.


Aplica los elementos de los diferentes métodos de integración y las funciones de las matemáticas financieras para el planteamiento y resolución de problemas de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios, mediante el uso de de las fórmulas y conceptos del cálculo integral.

Introducción

En las unidades anteriores, se ha estudiado cómo los diferentes tipos de funciones nos ayudan a comprobar y determinar el comportamiento de un fenómeno o situación del área económico-administrativa, mediante los límites, la derivada, la diferencial y el cálculo de máximos y mínimos en el análisis marginal y tasas de cambio.



En esta unidad se verá la importancia del cálculo integral como una forma de llegar a la función original si sólo se cuenta con la derivada, además se estudiará su importancia en el análisis marginal y en las áreas económico-administrativas.

4.1 La integral 1.1.1 Conceptos relacionados con la integral y fórmulas básicas de integración

La integración es el proceso de determinar una función cuando se conoce su derivada. Es la operación inversa o contraria a la derivación.

El símbolo con el que se representa a la integral es:

y denota la operación de

antiderivación. De manera general define a la integral de la siguiente manera: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 En donde: 𝑓 𝑥 = 𝐹 ′ (𝑥) 𝐶 = constante de integración para una integral no definida

Fórmulas y reglas de integración:

1.

𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑐

6.

2.

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) + 𝑐

3.

𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 ± ⋯ 𝑑𝑥 =

4.

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

5.

𝑢𝑑𝑥 ± 𝑣𝑑𝑥 ± 𝑤𝑑𝑥 ± ⋯

7.

𝑑𝑢 𝑢

𝑢 𝑛 +1 𝑛+1

+𝑐

= 𝐿𝑛 𝑢 + 𝑐

8.

𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐

9.

𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛|𝑎|

1

𝑓 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

𝑎𝑢

Ejemplo: Determina la integral de las siguientes funciones usando las fórmulas de integración:



1.

6𝑑𝑥 aplicando la fórmula 1 se tiene que: 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑐 En donde para este caso:

a=6 dx = dx

por lo que: 6𝑑𝑥 = 𝟔𝒙 + 𝒄 2.

(8𝑥2 + 3𝑥 − 2)𝑑𝑥 aplicando la fórmula 3, y posteriormente para cada caso las fórmulas 1, 6 y 2 se tiene que: 𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 ± ⋯ 𝑑𝑥 =

𝑢𝑑𝑥 ±

𝑣𝑑𝑥 ±

𝑤𝑑𝑥 ± ⋯

En donde para este caso:

u = 8x2 v = 3x w = -2 dx = dx por lo que: 8𝑥 2 + 3𝑥 − 2 𝑑𝑥 =

8𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑥 + 3

=8 =8

3𝑥𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 − 2

2𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑥 2+1 𝑥1+1 +3 − 2𝑥 + 𝑐 2+1 1+1

=

𝟖𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 + − 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟑 𝟐



3.

32𝑥 2𝑑𝑥, aplicando la fórmula 9: 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =

𝑎𝑢 𝐿𝑛|𝑎|

En donde: a=3 u = 2x du = 2dx

Se tiene entonces que:

𝟑𝟐𝒙 3 2𝑑𝑥 = +𝒄 𝑳𝒏|𝟑| 2𝑥

Como podemos observar, la resolución de las integrales mediante el uso de las fórmulas es fácil. Sólo debe identificarse la similitud de la fórmula con la integral problema, para posteriormente comenzar a sustituir los valores correspondientes.

Hasta ahora hemos visto la solución de integrales indefinidas que requieren de una constante de integración para su solución, las cuales no tienen una solución exacta por no estar definidas en un intervalo o límites. Sin embargo, también existen las integrales definidas. Integral definida: Una función 𝒇(𝒙) está definida en el intervalo [a, b] si existe el límite de la función a medida que los incrementos tienden a 0 y el número de intervalos se aproxima al infinito. Entonces el límite de la función es la integral definida desde un punto a hasta un punto b, y se representa como: 𝒃 𝒂

𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 | = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) 𝒂

Cuya solución dará un valor exacto y constante.



Ejemplo: Evalúa la siguiente integral: 5

4𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥

−3

Solución: Usando las fórmulas y reglas de integración, se tiene que: 5

4𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 =

−3

4 5 = 3

3

4𝑥 3 2𝑥 2 5 − +𝑥 −3 3 2

2 5 − 2

2

4 −3 +5 − 3

3

2 −3 − 2

2

+3

500 − 25 + 5 — 36 − 9 + 3 3 500 = − 25 + 5 — 36 + 9 − 3 3 =

𝟓

𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏𝟏𝟔. 𝟔𝟔𝟕

−𝟑

4.1.2 Integración por sustitución

Un método para solucionar integrales es el de sustitución, el cual consta de 3 pasos que veremos mediante un ejemplo: Sea la integral:

𝑥 5 + 3 3 5𝑥 4 𝑑𝑥

1. Lo primero es sustituir el valor que se encuentra en el paréntesis por una sola variable, es decir definir a u y du dentro de la integral dada, ejemplo: 𝑢 = 𝑥5 + 3 𝑑𝑢 = 5𝑥 4 𝑑𝑥

2. Sustituir u y du en la integral, esto es:



𝑥 5 + 3 3 5𝑥 4 𝑑𝑥 =

𝑢3 𝑑𝑢

Y dar solución a la integral en u:

𝑢3 𝑑𝑢 =

𝑢4 +𝑐 4

3. Finalmente, se vuelve a retornar a las variables originales:

𝒖𝟒 𝒙𝟓 + 𝟑 +𝒄 = 𝟒 𝟒

𝟒

+𝒄

Así podemos ver que una integral que contiene un polinomio elevado a una potencia o, bien, una función más complicada se puede reducir a una más sencilla y fácil de resolver.

Actividad 1. Integral definida e Integración por sustitución

Resuelve el ejercicio. “Integración por sustitución” e “Integración por sustitución” que se encuentran en el Cuadernillo de ejercicios: La integral y las matemáticas financieras. Guarda el documento y envíalo a la sección de Base de datos.

4.1.3 Integración por partes

En muchas ocasiones la integral de una función no se puede resolver directamente a través de las fórmulas o por una sustitución, por lo cual se recurre a la integral por partes. Si se tienen dos funciones dentro de la integral es necesario aplicar un sencillo método de integración, que se analiza a continuación mediante un ejemplo:



Sea la integral: 𝑒 𝑥 (𝑥 + 5)2 𝑑𝑥

En este caso vemos que tenemos dos funciones dentro de la integral: una exponencial y un polinomio de un grado elevado a una potencia, que no son fáciles de resolver con una fórmula o mediante una sustitución.

Debido a esto, es recomendable utilizar la fórmula para integración por partes:

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 −

𝒗𝒅𝒖

1. Al utilizar esta fórmula es necesario definir qué función dentro de la integral será 𝒖 y quien será 𝒅𝒗. Siempre es recomendable que 𝒖 corresponda a la función más complicada o bien al polinomio más grande y que 𝒅𝒗 sea la función más sencilla y fácil de integrar mediante una sustitución o de preferencia aplicando una fórmula, para este caso, tenemos que: 𝑢 = (𝑥 + 5)2 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 2. De acuerdo a la fórmula para sustituir la solución, se requiere conocer a 𝒅𝒖 y a 𝒗: a. Para encontrar 𝒅𝒖: se requiere obtener la derivada de la función que escogimos como 𝒖, que para este caso es necesario recurrir a la regla de la cadena: 𝑢 = (𝑥 + 5)2



Y aplicando la regla de la cadena para obtener 𝑑𝑢, (esto es derivada del interior por derivada del exterior), así: 𝑑𝑢 = 2 𝑥 + 5

2−1

𝒅𝒖 = 𝟐(𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 b. Para encontrar 𝒗: se requiere obtener la integral de la función que escogimos como 𝑣. Para este caso es posible realizarlo mediante el uso de la fórmula:

𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐

En el que tenemos que: 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥

Entonces: 𝑣=

𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝒗 = 𝒆𝒙 + 𝒄 3. Ahora se debe sustituir en la fórmula de integración por partes:

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣𝑑𝑢

𝑒 𝑥 (𝑥 + 5)2 𝑑𝑥 = (𝑥 + 5)2 𝑒 𝑥 −

𝑒 𝑥 2(𝑥 + 5)𝑑𝑥

𝑒 𝑥 (𝑥 + 5)2 𝑑𝑥 = (𝑥 + 5)2 𝑒 𝑥 −

𝑒 𝑥 2(𝑥 + 5)𝑑𝑥

𝑒 𝑥 (𝑥 + 5)2 𝑑𝑥 = (𝑥 + 5)2 𝑒 𝑥 −


2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +

10𝑒 𝑥 𝑑𝑥


4. Si observamos ahora tenemos dos integrales más sencillas que la integral original. Como se puede observar, la primera se podrá resolver por partes y la segunda aplicando una fórmula, así para:

2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑢 = 2𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

𝑥

𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑣 =

2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 −

𝑒 𝑥 2𝑑𝑥 = 𝟐𝒙𝒆𝒙 − 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄

10𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏𝟎𝒆𝒙 + 𝒄

Por tanto, la solución de la integral será:

𝑒 𝑥 𝑥 + 5 3 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 10𝑒 𝑥 + 𝑐 𝑒 𝑥 𝑥 + 5 3 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 − 10𝑒 𝑥 + 𝑐 𝑒 𝑥 𝑥 + 5 3 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 − 8𝑒 𝑥 + 𝑐 𝑒 𝑥 𝑥 + 5 3 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙 𝒙 + 𝟓

𝟐

− 𝟐𝒙 − 𝟖 + 𝒄

4.2 La integral y sus aplicaciones en las matemáticas financieras 4.2.1 La función de utilidad

La función de utilidad se fundamenta en la teoría respecto al consumidor y se refleja en el flujo monetario que tendrá la empresa al realizar la venta de algún artículo o cuando vende un servicio, en función de los costos que se generen.



Recordando la función de utilidad, se tiene: 𝑈(𝑥) = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥)

De la que se espera que siempre los ingresos sean mayores a los costos, para así obtener la mayor ganancia posible.

Así, podemos ver que al integrar la función de utilidad marginal se obtiene la utilidad total.

Ejemplo: Una comercializadora de queso francés tiene debido a sus ventas la siguiente función de utilidad marginal: 𝑈 ′ 𝑥 = 230 − 10𝑥

Determina la función de utilidad total de la empresa:

Solución: Para encontrar la función de utilidad de la empresa comercializadora, es necesario integrar la función de utilidad marginal, por lo que se tiene:

𝑈 𝑥 =

𝑈′ 𝑥 =

𝑑𝑈 =

230 − 10𝑥 𝑑𝑥

10𝑥2 𝑈 𝑥 = 230𝑥 − +𝑐 2 𝑈 𝑥 = 230𝑥 − 5𝑥2 + 𝑐

Cuando no haya ventas de quesos, la utilidad será de cero. Por tanto, la constante de integración c, será igual a cero.



Finalmente la utilidad total de la comercializadora de queso francés estará dada por: 𝑼 𝒙 = 𝟐𝟑𝟎𝒙 − 𝟓𝒙𝟐

4.2.2 Asignación y agotamiento de recursos

Costo capital: Es el costo de compra menos el valor de recuperación.

Costo de operación: Incluye los costos de propiedad y mantenimiento de equipos.

Formación de capital: Es el proceso por el cual de manera continua se incrementa la cantidad acumulada de bienes de capital y está en función del tiempo 𝒌(𝒕).

Recursos: Son elementos de carácter material, tecnológico o humano que sirven para desarrollar una tarea específica cuando se requiere llegar a un objetivo final. Para entenderlo, es importante describir los tres tipos de recursos con que cuenta una empresa:

1. Recurso material: También llamado monetario, permite destinar las cantidades de dinero para realizar diversas actividades, como los pagos, compras, salarios, entre otros. Cuando los ingresos de la empresa son iguales a los costos entramos a un punto de equilibrio y más aún cuando los ingresos son menores a los costos, las ganancias de la empresa se pierden y empieza a presentarse un agotamiento de recursos, lo que llevará a la empresa a la quiebra, ya que no puede hacer frente a sus necesidades.

2. Recursos tecnológico: Permite realizar eficientemente la actividad de la empresa. Comprende desde la maquinaria del área de proceso hasta las computadoras del área de oficinas. Es importante que este tipo de recursos sean los adecuados y estén siempre en buenas



condiciones, ya que de ellos dependerá la eficiencia en los procesos que se desarrollan dentro de la empresa.

3. Recursos humanos: Corresponde al personal con que cuenta la compañía o empresa para desarrollar las actividades con apoyo de los recursos tecnológicos, así la cantidad de recursos humanos con que cuente la empresa dependerá en gran parte del nivel de producción que ésta maneje.

Ejemplo: Una empresa turística considera incrementar su personal de promoción. El costo marginal de la incorporación de dicho personal está dado por: 𝐶 ′ 𝑥 = 3𝐿𝑛𝑥

En donde el costo C(x), está dado en unidades que representan 10,000 unidades monetarias y x, es el número de personas que se van a contratar. Si se contratan 10 personas, ¿cuál es será el costo total si no hay costos fijos?

Solución: Para encontrar la función de costo total es necesario integrar a la función de costo marginal: 𝐶 𝑥 =

𝐶′ 𝑥 =

𝑑𝐶 =

3𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥

Utilizando la integración por partes, se tiene: 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝐶 𝑥 =

3𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥 =

𝑢 = 𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑣 = 3𝑑𝑥 𝑣 =


𝑣𝑑𝑢

𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥

3𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐


𝐶 𝑥 =

3𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥𝐿𝑛𝑥 −

𝐶 𝑥 =

3𝑥

3𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥𝐿𝑛𝑥 −

𝑑𝑥 𝑥

3𝑑𝑥

𝐶 𝑥 = 3𝑥𝐿𝑛𝑥 − 3𝑥 + 𝑐

Y como los costos fijos son cero: 𝑪 𝒙 = 𝟑𝒙𝑳𝒏𝒙 − 𝟑𝒙

Y desean contratar a 10 personas nuevas, entonces: 𝐶 10 = 3 10 𝐿𝑛10 − 3 10 = 𝟑𝟗. 𝟎𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

O: 39.08 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 10000 = 𝟑𝟗𝟎𝟖𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔

4.2.3 Inventarios

Inventario: Representa las existencias de cualquier artículo, material o recurso utilizado en una organización para los procesos de fabricación y/o distribución.

Cuando se manejan inventarios, puede haber 3 tipos de costos:

1. Costos de compra: Debidos a la compra de artículos o materia prima para adquirir mercancía que se adquiere como respaldo ante una posible escasez o desabasto en el mercado. 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 =


𝑘 𝑥


2. Costos de tener: Se genera cuando se requiere mantener un nivel satisfactorio de materia prima o producto terminado e incluye costos de manejo, daños y pérdidas provocadas por el manejo de los artículos, fletes, papelería y todos los requerimientos de registro de almacén y reposición de mercancía utilizada. 3. Costos de mantenimiento: Los generados por tener un artículo en inventario, incluye costos de capital invertido, de deterioro, obsolescencia, robos, impuesto y seguros, así como espacio, instalación, depreciación del edificio y equipo de almacén, etc.

Actividad 2. Función de ingreso total a partir del ingreso marginal y concepto de aplicación en las matemáticas financieras

Del Cuadernillo de ejercicios: La integral y las matemáticas financieras, resuelve los problemas: 1. Función de ingreso total a partir del ingreso marginal. 2. Concepto de aplicación en las matemáticas financieras. Guarda el documento y envíalo a la sección de Base de datos.

Actividad 3. Foro. Matemáticas administrativas Responde a la siguiente pregunta: ¿Para qué me pueden servir las matemáticas administrativas?



Evidencia de aprendizaje: Obtención de funciones a partir de las marginales

Resuelve los problemas del archivo Obtención de funciones a partir de las marginales: 1. “Integración por partes” 2. “Costo total a partir del costo marginal” Guarda el documento y consulta la escala de evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.


Para la evaluación de la unidad 4, tendrás que resolver problemas de utilidad, asignación y agotamiento de recursos e inventarios que se presentan en los procesos económicoadministrativos. Una vez que hayas terminado de revisar la unidad deberás ir a tu cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a la misma.

Además deberás participar en el Foro y la Base de datos, estas actividades no se encuentran señaladas en el contenido.

Fuentes de consulta


Render, B., Stair, R. y Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Pearson.



Chiang. Métodos fundamentales en economía matemática (4a. ed.) México: McGraw-Hill.



Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales (7a. ed.). México: McGraw-Hill.



Leithold, L. (2006). El cálculo (7a. ed.). Oxford: Editorial Cúspide.



Thomas (2006). Cálculo de una variable. Editorial Prentice Hall.




Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemáticas financieras (2a. ed.). México: Editorial CECSA.



García, E. (1998). Matemáticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financiera y PC. México: Editorial McGraw-Hill.



Hernández, A. (1998). Matemáticas financieras. Teoría y Práctica ( 4a. ed.). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.









Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemáticas financieras, México: CECSA.



Vidaurri, H., Matemáticas financieras (2a. ed.). México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.


Matemáticas Administrativas ESAD

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