PROGRESSÃO ARITMÉTICA Chamamos de progressão aritmética (P.A.) toda seqüência de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão r . Exemplos:
a) (1, 3, 5, 7, 9) P.A. finita de razão r = 2. b) (- 3, - 7, - 11, ...) P.A. infinita de razão r = - 3.
CLASSIFICAÇÃO R>0 Crescente. Uma P.A. é Crescente quando a razão r for positiva. R=0 Constante. Uma P.A. é constante quando a razão r for igual a zero. R<0 Decrescente. Uma P.A. é decrescente quando a razão r for negativa.
TERMO GERAL DE UMA P.A. a1 a2 = a1 + r. a3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3r . . an = a1 + (n – 1).r an = a1 + (n – 1).r
NOTAÇÃO ESPECIAL Três termos em P.A. : x – r, x, x + r
PROPRIEDADE A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos. Exemplo: Na P.A. (3 (3, 7, 11 11,, 15 15,, 19 19,, 23 23,, 27 27,, 31 31)) 3 + 31 = 7 + 27 = 11 + 23 = 15 + 19 = 34
SOMA DOS N TERMOS DE UMA P.A.
S = n
(a + a ).n 2 1
n
Aplicações:
01) Quantos são os múltiplos de 3 compreendidos entre 5 e 41? 02) Escreva uma P.A. de três termos, de modo que sua soma seja – 3 e seu produto seja igual a 8. 03) Insira doze meios aritméticos entre 60 e – 5. 04) Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que an = 18, r = 2 e Sn = 88. 05) Qual a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 5 e 130? 06) Qual é a soma dos cem primeiros números naturais pares? 07) Determine a soma dos cinqüenta primeiros termos de uma P.A. na qual a6 + a45 = 160.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DEFINIÇÃO Chamamos de progressão geométrica (PG) a qualquer seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão da progressão. A representação matemática de uma PG é (a 1, a2, a3, ..., an - 1,..., an), na qual a2 = a1.q, a3 = a2.q, a4 = a3.q, etc. Numa PG, a razão q é igual ao quociente entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. Exemplos:: Exemplos
(5, 10, 20, 40) 10 q= =2 5
(- 4, - 4, - 4, - 4, - 4, - 4) q=
−4 =1 −4
( - 6, - 3, - 3/2, - 3/4, ...) q=
−3 1 = −6 2
CLASSIFICAÇÃO As progressões geométricas podem ser classificadas como: 1) Crescentes Crescentes:: aquelas em que cada termo é maior que o anterior.
1º caso: PG com termos positivos a1 > 0 e q > 1
Exemplo:: (2, 6, 18, 54, ...) Exemplo
2º caso: PG com termos negativos. a1 < 0 e 0 < q < 1
Exemplo:: (- 40, - 20, - 10, ...) Exemplo 2) Decrescentes Decrescentes:: aquelas em que cada termo é menor que o anterior.
1º caso: PG com termos positivos a1 > 0 e 0 < q < 1
Exemplo:: (256, 64, 16, ...) Exemplo
2º caso: PG com termos negativos a1 < 0 e q > 1
Exemplo:: (- 2, - 10, - 50, ...) Exemplo 3) Constantes Constantes:: aquelas em que cada termo é igual ao anterior. PG com termos todos iguais. q=1 Exemplo:: (3, 3, 3, 3, ...) Exemplo 4) Alternantes Alternantes:: aquelas em que cada termo tem sinal oposto ao do termo anterior. q<0 Exemplo:: (2, - 6, 18, - 54, ...) Exemplo APLICAÇÃO:: APLICAÇÃO 01)
A seqüência (x, 3x + 2, 10x + 12) é uma PG. Determine:
a) O valor de x .
b) A razão da PG.
02) A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado? 03) (FUVEST - SP) Os números x, x e log 210x são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule: a) O 1º termo x . b) O 5º termo. 04) Calcule o valor de x , de modo que a seqüência (3 x + 1, 34 – x, 33x + 1) seja uma PG.
TERMO GERAL DE UMA P.G. Seja (a1; a2; a3; ...; an; ...) uma PG de razão q ≠ 0 e a1 ≠ 0. Pela definição de PG, podemos escrever: a2 = a1.q a3 = a2.q ⇒ a3 = (a1.q).q ⇒ a3 = a1.q2 a4 = a3.q ⇒ a4 = (a1.q2).q ⇒ a4 = a1.q3 a5 = a4.q ⇒ a5 = (a1.q3).q ⇒ a5 = a1.q4 . . .
an = a1.q(n – 1)
OBSERVAÇÃO: an = ap.qr, onde n = p + r
.
Exemplo:
a10 = a1.q9 ou a10 = a2.q8 ou a10 = a3.q7 ou . . . a10 = a9.q1
APLICAÇÃO:
01) Qual o vigésimo termo da PG
2 2
,
,
1
2
, K ?
02) (UFRJ) Uma PG de 8 termos tem o primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Encontre a razão da progressão.
03) Interpole três meios geométricos entre 2 e 162.
04) (UEFS) A quantidade quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128 mg para 1 mg é tal que: a) 0 < t < 1 b) 1 < t < 2 c) 2 < t < 4 d) 4 < t < 6 e) 6 < t < 8 PROPRIEDADES: P1: Numa P.G., cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do anterior e do posterior. Na PG (a, b, c, d, ...)
b2 = a.c, c2 = b.d, etc P2: Em toda PG, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos extremos. Na PG (a, b, c, d, e, f), temos: a.f = b.e = c.d Seja a PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128). Verificar P 2. 2.128 = 256 4.64 = 256 8.32 = 256
Observe que 16 = 8.32 = 4.64 = 2.128
NOTAÇÃO ESPECIAL: x P.G. com 3 termos: , x, x.q . q
APLICAÇÃO: 01) A soma dos três primeiros termos de uma progressão geométrica crescente é 130 e o produto entre eles é 27 000. Calcule os três números.
02) Numa PG, a diferença entre o 2º e o 1º termos é 9, e a diferença entre o 5º e o 4º termos é 576. Calcule o 1º termo dessa P.G. SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja a PG finita (a1, a2, a3, ..., an). Podemos reescrevê-la da seguinte forma: (a1, a1.q, a1q2, ..., a1.qn-1) de razão q e de soma dos
termos Sn.
1º Caso: q = 1 Sn = a1 + a1.1 + a1.1²+ ... a1.q1-1 Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 Sn = n.a1 2º Caso: q ≠ 1 Sn = a1 + a1.q + a1q2 + ...+ a1.qn-1 (I) q.Sn = a1.q + a1.q² + a1q3 + ...+ a1.qn-1 + a1.qn (II) (II) – (I) ⇒ q.Sn – Sn = – a1 + a1.qn (q – 1)Sn = a1(-1 + qn)
a (q − 1) S = q −1 n
1
n
Exemplos:
01) Calcular a soma dos dez primeiros termos termos da P.G. (3, (3, 6, 12, ...) Resolução:
a (q − 1) S = q −1
a1 = 3, q = 2, n = 10 Sn = ?
n
1
n
3(2 − 1) S = = 3069 2 −1 10
10
02) Dê o valor de x na igualdade igualdade x + 3x + ... + 729x = 5 465, sabendo que os termos do primeiro membro formam uma P.G. Resolução: a1 = x
a (q − 1) S = q −1 n
1
n
q=3 an = 729x Sn = 5 465 Cálculo de n: an = a1.qn–1 ⇒ 729x = x.3n – 1 36 = 3n – 1 ∴ n = 7
x (3 − 1) 5465 = ⇒x =5 3 −1 7
SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Se -1 < q < 1 e n
•
a (q − 1) Substituindo em S = , teremos: q −1
→
, então q
n
•
∞
→
0.
n
1
n
lim Sn =
a 1 (0 − 1) q −1
a S = 1- q 1
∞
Exemplos:
01) Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4,...). Resolução: q = 5/2 ÷ 5 = 1/2 a1 = 5
a S = 1- q 1
∞
S∞ = 5 ÷ ( 1 – 1/2) = 10 S
= 10
02) A soma dos infinitos infinitos termos da P.G. (x, x/2, x/4, x/4, ...) é 5. Determine x. Resolução: q = 1/2 a1 = x S∞ = 5
a S = 1- q 1
∞
5 = x ÷ (1 – 1/2)
→
5 = x ÷ 1/2
x = 5/2
APLICAÇÃO: 01) No 1º dia de dezembro, um menino propôs ao pai que lhe desse R$ 1,00 e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária até 24 de dezembro. O filho usaria o dinheiro para comprar um presente de Natal para o pai. De quanto vai dispor o filho para comprar o presente?
02) Simplifique a expressão: expressão: A = 3 x ⋅ 3
3
x⋅
3
3
3
x ...
03) Considere a seqüência (Q1, Q2, Q3, ...) de infinitos quadrados. O lado do quadrado Q 1 = 8 cm e os vértices de cada quadrado, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do quadrado precedente. Calcular a soma das áreas desses infinitos quadrados.
PRODUTO DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.
P = (a .a ) 1
n
n
Considere a P.G. (a 1, a2, a3,..., an - 2, an - 1, an). Vamos multiplicar os termos da seguinte forma: (I) Pn = a1 . a2 . a3 . ... . an – 2 . an – 1 . an (II) Pn = an . an – 1 . an – 2 . ... . a3 . a2 . a1 Multiplicamos as duas igualdades, membro a membro, e agrupamos os termos correspondentes: Pn2 = (a1 . an).(a2 . an – 1).(a3 . an – 2). ... .(a3 . an – 2).(a2 . an – 1).(a1 . an) Como temos n fatores e cada fator é igual ao produto dos extremos a1 . an , podemos escrever a fórmula: Pn2 = (a1 . an)n ⇒ P = (a 1 .a n ) n Exemplo:
01) Calcular o produto dos oito primeiros termos da P.G. (1/8, 1/4, 1/2, ...) Resolução: a8 = 1/8.27, a8 = 16. 8
P8 =
1 4 .16 = 2 8
P8 = 16.
