1.1. Argumentos y proposiciones lógicas
1. a) P=”10 es primo” Q=”10 es igual a 2 por 5” 1. Si P, entonces no Q 2. Q 3. No P b) P=”Llueve con frecuencia” Q=”Los campesinos se quejan” 1. Si P, entonces Q 2. Si no P, entonces Q 3. Q 3. a) Atómica b) Compuesta c) Compuesta d) Compuesta
1.2. Conexiones lógicas 1. a) b) c) d) e) 3. P F F V V
Q PQ F F V V F V V F
1.2. Conexiones lógicas 1. a) b) c) d) e) 3. P F F V V
Q PQ F F V V F V V F
1.3. Proposiciones compuestas
3. a) P=”Te vas” Q=”Llamaré a la policía”
b) P=”Dos niños tienen los mismos tíos” Q=”Los niños tienen la misma madre” R=”Los niños tienen el mismo padre”
c) P=”Es un día agradable” Q=”Está soleado” R=”No hace calor”
d) P=”i>j” Q=”i‐1>j” R=”j=3”
5. a) P=”María es alta” Q=”Jaime es pequeño” R=”Jaime es ágil”
Alcances:
• •
y de y de
b) P=”x es mayor que y” Q=”y es mayor que z” R=”x es mayor que z”
Alcances: • •
y de y de
c) P=”La extracción de minerales es provechosa” Q=”La concentración de mineral es alta” R=”La distancia hacia el mercado es corta”
Alcances: • •
y de y de
7.
a)
b)
c)
9.
es una ecep porque lo es (ya que, a su vez, lo es en tanto que variable proposicional) No lo es según la definición de la Sección 1.3.2. porque allí se indica que lo es
1.4. Tautologías y contradicciones
1. a) P F F V V
Q P Q P (P Q) F V F V V F F F F V V V
(P (P Q)) Q V V V V
Tautología b) P F F V V
(¬PQ)
Q P Q ¬P Q F V V V V V F F F V V V
(P Q)
V V V V
Tautología c) P F F F F V V V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
P Q Q R V V V V V F V V F V F V V F V V
(P Q) (Q R) V V V V V V V V
P R V V V V F V F V
((P Q) (Q R)) (P R) V V V V F V F V
Contingencia d) P F F V V
Q P Q P Q F V F V F F F F F V V V
¬P ¬Q (P Q) (¬P ¬Q) V V F F F F F V
Tautología e) P F F
Q P Q Q (P Q) F V F V V V
Q (P Q) P V F
(P
Q)(PQ)(¬P¬Q) V V V V
V V
F V
F V
F V
V V
Contingencia f) P F F F F V V V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
Q R F F F V F F F V
¬(P (Q R)) V V V F F F F F
P Q F F V V V V V V
P R F V F V V V V V
(P Q) (P R) F F F V V V V V
((PQ)(PR))
¬(P (Q R))
Contradicción 3. P F F V V
Q P Q ¬P Q F V F V V V F F V V V V
(P Q) (¬P Q) F V F V
(P Q) (¬P Q) Q V V V V
5. a) P F F F F V V V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
P Q P R F V F V V V V V V F V V V F V V
Q F F V V
R F V F V
P Q P R F V F V V V V V
Q R V V F V V V F V
(P R) (Q R) V V V V V V V V
P Q (P R) (Q R) V V V V V V V V
b) P F F F F
Q R V V F V
¬((P R) (Q R)) F F F F
P Q ¬(P R) (Q R) F F F F
F F F F F F F F
V V V V
F F V V
F V F V
V V V V
F V F V
V V F V
F F F F
F F F F
1.5. Equivalencias lógicas y su utilización
1.
b) c) a)
3. a)
b)
c)
5. [Suponiendo que “mover las negaciones interiores” quiera decir “complementar todas las expresiones atómicas”]
b) a)
7.
b) a)
9.
1.6. Implicaciones y derivaciones lógicas
1. a) P F F F F V V V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
PQ ¬PR F V F V V V V V V F V V V F V V
Premisas F F V V F V F V
Q R F V V V F V V V
Válido V V V V V V V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
PQ PR V V V V V V V V F F F V V F V V
Premisas V V V V F F F V
PQ R V V V V F F F V
Q F V F V
P F F V V
PQ Premisas V F V F F F V V
Q F F V V F F V V
R F V F V F V F V
PQ PR F V F V V V V V V F V V V F V V
b) P F F F F V V V V
Válido V V V V V V V V
c) P F F V V
PQ Válido F V F V F V V V
d) P F F F F V V V V 3. a) Modus ponens
Q R V V F V V V F V
Premisas F F F V F V F V
R F V F V F V F V
Válido V V V V V V V V
b) Modus ponens c) Modus tollens d) Casos e) Simplificación f) Silogismo disyuntivo g) Adición h) Casos 5. 1. PQ 2. Q R 3. RP 4. PR 5. PR
Premisa Premisa Premisa 1,3,SH 3,4,Equ
7. 1. P 2. P¬P 3. PP¬P 4. ¬P 5. P¬P 6. ¬PP¬P 7. P¬P
Hipótesis 1,A TD Hipótesis 4,A TD 3,6,Cs
2.1. Componentes sintácticos del cálculo de predicados
1. a) Animales b) Seres humanos c) Números enteros d) Números reales (incluye a los números enteros) e) Seres humanos (hay animales hermafroditas y de reproducción asexual) 3. a) ,1,2 ,2,3 b) , 3
,,2
c) ,, ,, 5. Números naturales:
0
Números enteros:
0
7.
está ligada en toda la expresión, salvo en está ligada en toda la expresión es libre en toda la expresión 9. a) b)
1
c) d)
3
3
2.2. Interpretaciones y validez
1.
, ; , ; , 3. a)
Juan María Juana
b)
c)
5.
, , b) , , c) , , d) , , a)
7. Esta asignación hace que no siempre se cumpla la expresión
:
Por ejemplo: es igual a , que es igual a , igual a
2.3. Derivaciones 1.
1. 2. 3. 1, 4. 2, 5. 3,4, 6. 5, 3.
1., 2., 3., 4., 5.,
1, 2, 3, 4,
5.
1., , 2., 3., , 4. ,
: 1, , 2,3,
7.
, ,,, ,,,,, , , , ,,,,
2.4. Equivalencias lógicas
1.
3.
5.
, , , , b) c) d) a)
7.
(Equivalencias 1 y 5)
2.5. Lógica de las ecuaciones
1.
1. 2. 3. 4. 5.
Premisa 1, simplificación 1, simplificación Sustitución de 2 en 3 Teorema de la deducción
3.
5.
1. 2. 3. 4.
Premisa 1, premultiplicación 2, inverso 3, identidad
7. a) Es un grupo b) No es un grupo porque 0 no tiene inverso con respecto a la multiplicación c) No es un grupo porque ningún elemento tiene inverso salvo el 0 9.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Axioma de reflexividad Definición de la identidad Definición del inverso 1, particularización 4, conmutatividad 5, asociatividad Particularización de 3 Sustitución de 7 en 6 Particularización de 2 Sustitución de 9 en 8
11. El álgebra descrita no tiene definidos complementos 13. a)
b) No, porque no está definida para
3.1. La inducción en números naturales
1. s(s(s(n)))=s(s(s(s(s(2)))))=s(s(s(s(3))))=s(s(s(4)))=s(s(5))=s(6)=7 3. a) Axiomas 1, 2 y 4 b) Axiomas 2, 3 y 4 c) Axiomas 1, 2 y 3 5. 1 2 3 4 5 6 k
s(n)>n n>ms(n)>m s(0)>0 s(s(0))>0 s(s(s(0)))>0 s(s(s(s(0))))>0 … s(s(s(s(…s(0)…))))>0
1,n:=0 2,3,MP 2,4,MP 2,5,MP 2,k‐1,MP
Como todo número natural puede expresarse como n=s(s(s(…s(0)…))), entonces su sucesor s(n)=s(s(s(s(…s(0)…)))) es mayor que 0: n(s(n)>0) 7. Base inductiva: nm(n+(m+0)=
=n+m= =(n+m)+0)
0 es la identidad de la suma por la derecha 0 es la identidad de la suma por la derecha
Hipótesis inductiva: nmp(n+(m+p)=(n+m)+p) Paso inductivo: nmp(n+1+(m+p)=
=n+(1+m)+p= =(n+1)+m+p)
Por la hipótesis inductiva Por la hipótesis inductiva
9. 2
Base inductiva: 3 ≥2∙3+3 (9≥9) 2
Hipótesis inductiva: n ≥2n+3 n≥3 2
2
2
Paso inductivo: (n+1) =n +2n+1≥2n+5=2(n+1)+3 (n +1≥5 n≥3)
11. Base inductiva: una expresión atómica tiene un símbolo (número impar) Hipótesis inductiva: cualquier expresión lógica formada por n literales no negados tiene un número impar de símbolos Paso inductivo: una expresión formada por n+1 literales no negados añade a la anterior un literal y una conexión, es decir dos símbolos; al añadirse a un número impar, el resultado es otro número impar (nótese que no pueden añadirse conexiones sin añadir literales)
3.3. Demostración por recursividad
1. Si G(x,x) es cierto, entonces pueden escribirse sucesiones de cualquier número de términos siendo todos ellos x 3. •
Dominio bien fundado: los números naturales mayores o iguales a 2 sobre la regla E
•
Base inductiva: la expresión E de un término es mayor o igual que 2, esto es, mayor o igual que 2 1 ∙
•
Hipótesis inductiva: toda expresión E de n términos es mayor que 2n
•
Paso inductivo: o
Una expresión E de n+1 términos puede ser de la forma x+y o de la forma x y, ∙
siendo x una expresión atómica e y una expresión de n términos o
En el primer caso, la expresión tendrá un valor mínimo de 2+2n=2(n+1)
o
En el segundo caso, el mínimo será de 2 2n=4n>2(n+1) para todo n mayor o ∙
igual a 2 •
Conclusión: el valor de toda expresión E es de al menos 2n, siendo n el número de expresiones atómicas que contiene dicha expresión
5. •
Base inductiva: un árbol de altura 1 tiene como mínimo 1 nodo, pues de lo contrario sería de altura 0
•
Hipótesis inductiva: todo árbol de altura h tiene al menos h nodos
•
Paso inductivo: al añadir una altura a un árbol de altura h, como mínimo se añadirá un nodo; si el árbol de altura h tiene el mínimo número de nodos para considerarse de tal altura (h nodos), el número de nodos mínimo será h+1
•
Conclusión: todo árbol m ario de altura h tiene al menos h nodos
•
Base inductiva: con un término, a1=a1
•
Hipótesis inductiva: para n términos, a1+(a2+…+(an 1+an)…)=an+(an 1+…+(a2+a1)…)
•
Paso inductivo:
‐
7.
‐
‐
o
Por la asociatividad, a1+(a2+…+(an 1+an)…)+an+1=a1+(a2+…+(an 1+(an+an+1))…)
o
Por otro lado, por la hipótesis inductiva, a1+(a2+…+(an 1+an)…)+an 1=an+(an
‐
‐
‐
‐
‐
1+…+(a2+a1)…)+an 1 ‐
•
o
Debido a la conmutatividad, esto es igual a an 1+an+(an 1+…+(a2+a1)…)
o
Por tanto, a1+(a2+…+(an 1+(an+an+1))…)=an+1+an+(an 1+…+(a2+a1)…)
‐
‐
‐
‐
Conclusión: para cualquier número de términos, a1+(a2+…+(an 1+an)…)=an+(an ‐
1+…+(a2+a1)…)
‐
5.1. Conjuntos y operaciones de conjuntos
1. Son verdaderas a), b), d), f) y g) 3.
5.
1,3,4,5,7,8 3,5 1,4 7,8 7.
b) c) a)
9.
# ## # # # No, porque # # # # 11.
(distributividad,
complementación
identidad)
(distributividad, exclusión e identidad) 13.
,,; ,; ,,; ,; , ,,; ; ; ;
e
15.
(distributividad, exclusión, conmutatividad e identidad) 19.
(asociativa del álgebra de proposiciones) 21.
(idempotencia, asociativa, asociativa, conmutativa y asociativa del álgebra de proposiciones)
5.2. Tuplas, sucesiones y conjuntos potencia
1.
2 1,1, 1,3, 2,1, 2,3, 3,1, 3,3 1,1, 1,2, 1,3, 2,1, 2,2, 2,3, 3,1, 3,2, 3,3 3.
0,0 0,1, 0,2, 1,0, 1,1, 1,2, 2,0, 2,1, 2,2 0,1,0,0,1,1,0,1,2,0,2,0,…,2,2, 2 5. a) # 0. .9 # 0. .9
36 46.656
b) # 0. .9 # # 0. .9
26 36 33.696
c) # 0. .9 # 0. .9 #
0. .9 # 1.213.056
33.696 936 26 1.247.714 7.
: , 9.
, , , 2, , 3, 2, , 2,2, 2,3, 3, , 3,2, 3,3 , , 2,2, 3,3 , 2, , 3, 2, , 2,3, 3, , 3,2 11. “Algunas personas no poseen nada”: : “Nadie posee todo”: :
: ,
: ,
5.3. Relaciones
1.
1,2, 1,3, 2,4, 3,3, 4,2 2,4 1,2,3 1,2,4 1,2,3,4 2,3,4 2,3,4 4 , ,,, , , , , , , , , ,, , , ,, ,, , , 1,2,3,6 : , | : , 1,1,1,21,,11,,31,,21,,61,,32,,21,,62,,32,,22,,62,,63,,33,,33,,63,,66,,66,6 1,1, 1,2, 1,3, 1,6, 2,2, 2,6, 3,3, 3,6, 6,6 : , , , | : , , , | ;
;
;
;
;
porque la segunda expresión contiene los elementos del
espacio de rango que se encuentran en ambas relaciones con un elemento del espacio de dominio diferente; esto es, Si se cumple que
para todo valor de
entonces el rango de la intersección sería igual a
la intersección de los rangos, por lo que es un subconjunto no propio 3.
;
;
5.
; el espacio de dominio de la intersección
( ) es la intersección de los espacios de dominio ( espacio de dominio
) porque para que un elemento del
pueda estar relacionado con uno del espacio de rango resultante de la
intersección ( ), es necesario que pertenezca al espacio de dominio
, puesto que debe
poder estar relacionado mediante
; el espacio de dominio de la unión es la
unión de los espacios de dominio ( como de
), pues
con los del espacio de rango resultante
puede relacionar elementos tanto de
: , , , | complemento es el mismo que el de la relación,
; el espacio de dominio del
, ya que es igual a la diferencia entre el
producto cartesiano del espacio de dominio por el espacio de rango y la propia relación 7.
, | , | , | 1,4 0 1 0 0 001 000 100 010 0 0 1 0 010 001 000 100 9.
11.
5.4. Propiedades de las relaciones
1. a) Antisimetría y transitividad b) Irreflexividad c) Reflexividad, simetría y transitividad d) Irreflexividad y antisimetría Relación de equivalencia:
No hay órdenes parciales débiles ni estrictos 3. Reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad Es una relación de equivalencia y un orden parcial débil 5.
, ; , , , , , : 1,2, 4,3, 2,2, 2,1, 3,1, 3,4, 1,3 1,2, 4,3, 2,2, 2,1, 3,1, 1,1, 3,3, 4,4 1,2, 4,3, 2,2, 2,1, 3,1, 1,1, 4,1, 3,2, 4,2 , 11 11 00 10 01 01 11 11 11 001 011 011
(Para cualquier
relación, la intersección puede no estar definida sobre toda la intersección de los espacios de dominio originales [cf. 5.3.1.], pero tratándose de relaciones reflexivas, se puede asegurar que la intersección de ambas estará definida para elementos de la intersección de estos espacios, es decir, 7.
9.
Solamente los pares 11.
)
11 11 11 11 11 11 11 11 11 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Como
pero
, la relación compuesta no es transitiva, por lo que no puede
ser una relación de equivalencia; además, por ser
pero
, la relación
tampoco es simétrica 13.
,
Como las dos relaciones tienen las mismas clases de equivalencia, de la composición surgirá
, , 1 0 otra partición con los mismos bloques, ya que la composición contendrá los pares que
e
; como
también será la de como
tales
está relacionada con , entonces ambas están en la misma clase, que
(ya que ambas relaciones tienen las mismas clases); de este modo, tanto
estarán en el mismo bloque
Por otra parte, estos bloques seguirán siendo clases de equivalencia, ya que al cumplir ambas relaciones las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, éstas se mantendrán: a) Reflexividad: de
y
b) Simetría: para todos e
surge
e , en una misma clase de equivalencia están contenidos los pares
, puesto que
y
son simétricas; como las clases son las mismas,
y por tanto
e
c) Transitividad: para todos ,
y
relación compuesta, si indirectamente en
para todo
contenidos en un mismo bloque de los creados por la
e
,
ya que
y
estaban relacionados
y , al ser estas relaciones transitivas y encontrarse ambos elementos en
una misma clase de equivalencia 15.
Es antisimétrica, pues si
con
,
17.
No, pues hay posibles sucesiones tales que el orden total equivalente a
para cualquier valor de (la relación
es
)
Sí, ya que para cualquier valor inicial de una sucesión (el cual puede ser infinitamente grande), habrá un minimal (mayor o igual que 1) que hará de término de dicha sucesión 19.
La relación b) lo es porque es reflexiva ( pertenece a la misma familia que ), simétrica (si
pertence a la misma familia que , el recíproco es cierto) y transitiva (si familia e
y
también, entonces
y
e
pertencen a una
pertenecen a la misma familia); por todo ello, se crean
clases de equivalencia iguales a las familias La relación c) también es de equivalencia por razones análogas; cada clase de equivalencia es igual a un conjunto de hermanos
21.
0 1 0 0 001 010 000 100 1 1 0 0 001 110 010 101 0 1 0 1 101 011 100 100 1 1 0 1 111 111 000 111 (i)
(ii)
(iii)
6.1. Representaciones y manipulaciones que involucran funciones
1.
y rango
3
y rango
: función; dominio : no es función
: función; dominio
2,3
: función parcial; dominio dominio
y rango
2
3.
~: ~
es una función definida para todos los subconjuntos posibles de
siempre está definida
, ya que
Sí, dado que dicha función indicaría para todo par de conjuntos de un conjunto universal la pertenencia o no del primer al segundo; se podría declarar como siendo
el conjunto universal
: ,
5.
1,4, 2,2, 3,1, 4,4 1,, 2,, 3,, 4, ,, ,, , 1,,2,,3,,4, ,,,,, 7. a) Biyectiva (uno‐a‐uno epiyectiva) b) Inyectiva c) Epiyectiva (sobre) 9. a) Epiyectiva (sobre) [Suponiendo que donde dice “par” debe decir “impar” y viceversa] b) Epiyectiva (sobre) c) Biyectiva (uno‐a‐uno epiyectiva) d) Biyectiva (uno‐a‐uno epiyectiva) 11. Ni inyectivas ni epiyectivas:
,
• • • • • • •
,0, ,0, ,0 ,1, ,1, ,1 ,2, ,2, ,2 ,0,,1,,1 ,1,,0,,1 ,1,,1,,0 ,1, ,0, ,0 ,0, ,1, ,0 ,0, ,0, ,1 ,0,,2,,2 ,2,,0,,2 ,2,,2,,0 ,2, ,0, ,0 ,0, ,2, ,0 ,0, ,0, ,2 ,1, ,2, ,2 ,2, ,1, ,2 ,2, ,2, ,1 ,2,,1,,1 ,1,,2,,1 ,1,,1,,2 ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Biyectivas: • • •
,0,,1,,2 ,0,,2,,1 ,1,,0,,2 ,1,,2,,0 ,2,,0,,1 ,2,,1,,0 , , ,
(No hay inyectivas que no sean epiyectivas ni viceversa, ya que la cardinalidad de misma que la de )
es la
13.
es sobre porque cualquier número natural puede expresarse como suma de otros dos, pero
no es inyectiva porque para cualquier número natural la ecuación Por razones análogas,
es sobre pero no inyectiva, pues
tiene infinitas soluciones
es indeterminada
es indeterminada, esto es,
15.
Puede haber transformaciones inyectivas de
a
productos cartesianos es la misma: es decir, a un elemento ejemplo,
,
, y así sucesivamente
Puesto que la cardinalidad de sobre
17.
,, ,, ,, , 19.
4 52 2 4 52 1 21.
1
porque la cardinalidad de ambos
,
es igual y no mayor a la de
se le puede asociar, por
, la función sería también
,1, 11 1 Resto:
6.2. Enumeraciones, isomorfismos y homomorfismos
1. a)
1,1,1, 1,1,2, 1,1,3, 1,2,1, 1,2,2, 1,2,3, 1,3,1, 1,3,2, 1,3,3, 2,1,1, 2,1,2, 2,1,3, 2,2,1, 2,2,2, 2,2,3, 2,3,1, 2,3,2, 2,3,3, 3,1,1, 3,1,2, 3,1,3, 3,2,1, 3,2,2, 3,2,3, 3,3,1, 3,3,2, 3,3,3 b)
3,1,1, 4,1,1, 4,1,2, 4,2,1, 5,1,1, 5,1,2, 5,1,3, 5,2,1,5,2,2, 5,3,1, 6,1,2, 6,1,3, 6,2,1, 6,2,2, 6,2,3, 6,3,1, 6,3,2, 7,1,3, 7,2,2, 7,2,3, 7,3,1, 7,3,2, 7,3,3, 8,2,3, 8,3,2, 8,3,3, 9,3,3 3. Para los elemento de y de , la posición en la enumeración viene dada por la fórmula ∑ , siendo la función que devuelve el número de tuplas cuyos valores suman (por ejemplo, 1 0 y 2 1), la cual depende de la cardinalidad de y de En la posición está almacenada la tupla , 5.
: ; , , donde expresado en forma de fracción canónica; el valor es la posición de en la enumeración formada por los números cuya fracción canónica tenga por denominador a (estas enumeraciones serían , , , … , , , , … , , , , … , y así sucesivamente)
es así inyectiva, pues cada se corresponde con una única tupla, y sobre, ya que todas las tuplas en corresponderían a una fracción; por lo tanto, es biyectiva y el conjunto de los números racionales es equipotente con el de los naturales positivos y por tanto es contable 7.
26,4 26 25 24 23 358.800 9.
1 2 3 4 11.
1 2 3 1 3 2
7.2. Definiciones básicas de la teoría de grafos
1. Todas las aristas que salen de todos los nodos (que suman el total de grados de entrada) deben llegar a otros nodos del grafo, por lo que ambos totales son iguales. Además, este número es el número de aristas del grafo, ya que cada arista que sale de un nodo y llega a otro es una arista del grafo. 3. El número de dígrafos sencillos posibles es limitado porque sólo pueden darse ciertas combinaciones de grados de entrada y de salida en cada nodo: Aristas 0 1
2
3
4
5 6
Grados de entrada y salida Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 0,0 0,0 0,0 1,0 0,1 0,0 2,0 0,1 0,1 1,1 1,1 0,0 1,1 1,0 0,1 1,0 1,0 0,2 2,1 1,1 0,1 2,0 1,1 0,2 1,1 1,2 1,0 1,1 1,1 1,1 2,2 1,1 1,1 2,1 2,1 0,2 2,1 1,2 1,1 2,0 1,2 1,2 2,2 2,1 1,2 2,2 2,2 2,2
Propiedades Simetría Transitividad
Ningún digrafo sencillo y sin bucles de más de tres aristas puede ser transitivo, ya que a partir de las cuatro aristas ninguno es antisimétrico, y por otro lado el hecho de excluir los bucles impide que se cumple la reflexividad. 5. El grafo de la izquierda tiene cuatro nodos adyacentes con grado de entrada (o salida) igual a 3: u1, u2, u6 y u7. En cambio, en el de la derecha los cuatro nodos con grado de entrada (o salida) igual a 3 no son adyacentes, por lo que ambos grafos no son isomorfos.
11.1. Derivaciones en cálculo proposicional
1. a) 1
PQ
2
¬P
3 4
Q Q
5
P
6 7 8 9 10 11 12
¬Q ¬P P¬P ¬¬Q Q
R,3
Q ¬PQ
R,2 I,5,7 ¬I,5‐8 ¬E,9 E,1,3‐10 I,2‐11
b) 1 2 3 4 5 6 7 8
(PQ)R P Q P PQ R Q R P(Q R)
R,2 I,3,4 E,1,5 I,3‐6 I,2‐7
c) [Errata] 3. a) [¿Errata? Si P¬Q, no se cumple ¬PQ] b) 1 2
PQ PQ S
I,1
[No parece posible introducir Q S entre paréntesis mediante derivación natural; por lo tanto, los paréntesis deben añadirse a la conclusión una vez obtenida en el paso 2]
c) 1
¬P¬Q
2 3 4 5 6 7
PQ P ¬Q Q Q ¬Q ¬(PQ)
E,2
¬P¬Q,¬P¬Q,¬Q ¬Q E,2 I,4,5 ¬I,2‐6
5. a) 1 2
¬P ¬Q
3 4 5 6 7 8
PQ ¬P Q ¬Q Q ¬Q ¬(PQ)
R,1 PQ,PQ,Q Q R,2 I,5,6 ¬I,3‐7
b) 1
¬P
2 3 4 5 6
PQ ¬P P P¬P ¬(PQ)
R,1 E,2 I,3,4 ¬I,2‐5
c) 1 2
P ¬Q
3
PQ
4 5 6 7 8 9 10 11
P Q ¬Q Q ¬Q ¬P P P¬P ¬(PQ)
E,3,4
R,2 I,5,6 ¬I,4‐7 R,1 I,8,9 ¬I,3‐10
7. PQ ¬PQ; Q ¬R ¬Q ¬R; ¬P¬R ¬¬P¬R P¬R; ¬¬R R 1 2 3 4 5 6 7
¬PQ ¬Q ¬R P¬R R ¬P¬R ¬R F
Premisa Premisa Premisa Negación de la conclusión Resolvente de 1,2 Resolvente de 3,5 Resolvente de 4,6
9. a) 1 2 3
P1Q 1 P2Q 2 P1P2
4 5 6 7
¬P2 P1 Q 1 Q 1 Q 2
8
¬P1
9 10 11 12
P1P2,P1P1,P2P1 E,1,5 I,6
P2 Q 2 Q 1 Q 2 P1P2Q 1 Q 2
P1P2,P1P2,P2P2 E,2,10 I,10 I,3‐11
b) ¬(P1P2Q 1 Q 2 ) ¬(¬P1¬P2Q 1 Q 2 ) (P1P2)(¬Q 1 ¬Q 2 ) (P1P2¬Q 1 )(P1P2¬Q 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
¬P1Q 1 ¬P2Q 2 P1P2¬Q 1 P1P2¬Q 2 ¬P1P1P2 ¬P2P1P2 P1P2 ¬Q 1 Q 1 F
Premisa Premisa Negación de la conclusión Negación de la conclusión Resolvente de 1,3 Resolvente de 2,4 Resolvente de 5,6 Resolvente de 3,7 Resolvente de 1,6 Resolvente de 8,9
11.2. Algunos resultados del cálculo de predicados
1. a) xy(¬P(x)Q(y))zy¬R(x,y) b) xyz(¬P(x,y)¬P(x,z)P(y,z)) 3. a) ¬xyQ(x,y)(xy(R(x,y)Q(x,y)))=¬xyQ(x,y)(zt((¬R(z,t)Q(z,t))(R(z,t)¬Q(z,t))))=x yzt(¬Q(x,y)(((R(z,t)¬Q(z,t))(¬R(z,t)Q(z,t)))))
b) ¬xyz(R(x,y,z)Q(x,y,z))=¬xyz(¬R(x,y,z)Q(x,y,z))=xyz(R(x,y,z)¬Q(x,y,z)) c) ¬x(yP(x,y)¬zP(z,x))=x(y¬P(x,y)zP(z,x))=xyz(¬P(x,y)P(z,x))
