Apuntes de Matemática Discreta
PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETA Curso 1996-97 1.- Conjuntos y aplicaciones. Noción intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unión e intersección de conjuntos, producto cartesiano. Definición de aplicación, tipos de aplicaciones, composición de aplicaciones, inversa de una aplicación.
2.- Relaciones y grafos. Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminología de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Árboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.
3.- Teoría elemental de números. Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ecuaciones Diofánticas. Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.
&RPELQDWRULD \ UHFXUUHQFLD Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con y sin repetición. Fórmulas combinatorias, teorema binomial. Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de relaciones recurrenter por iteración. Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funciones definidas recurrentemente.
&iOFXOR GH SURSRVLFLRQHV Sintaxis. Deducción natural. Tablas semánticas. Resolución.
%LEOLRJUDItD Epp, S. S. “Discrete Mathematics with Aplications”. Ed. Wadsworth Publishing Company (1990). Biggs, N. L. “Matemática Discreta”. Ed. Vicens Vives (1994). Bujalance, E. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED) Bujalance, E. “Problemas de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED) Liu, C. L. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. McGraw-Hill (1995).
Grimaldi, R. P. “Matemática Discreta y Combinatoria”. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana (1989).
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&21-81726 < $3/,&$&,21(6
&RQMXQWR Definición : Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos.
Representación Suelen emplearse letras mayusculas para los conjuntos y minusculas para los elementos.
Pertenencia de un elemento ‘x’ a un conjunto ‘A’ se denota : x ∈ A El contenido de un conjunto se representa : • •
•
por extensión : encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej : A={1,2,3,4...} por comprensión : mostrando entre llaves sus propiedades características. Ej : A={ x∈N | 1 ≤ x ≤ 4 } mediante ‘Diagramas de Venn’ : Los diagramas de Venn son regiones del plano que simbolizan conjuntos. No tienen valor demostrativo salvo para refutar con un contraejemplo.
Tamaño o Cardinalidad El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : |A| Si un conjunto tiene ∞ elementos se dice que es : • •
infinito numerable si ∃ aplicación biyectiva entre el conjunto y N. infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque ∃ ∞ decimales)
6XEFRQMXQWR Definición Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjunto propio de B. Ojo ! : A⊆B no excluye la posibilidad de que A⊂B, esta, es una información que ignoramos.
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Representación A subconjunto de B : A⊆B, o B⊇A A subconj. propio de B : A⊂B, o B⊃A (notese como desaparece la línea de igual al excluirse tal posibilidad)
Propiedades de la relación ⊆ • reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A⊆A • antisimetrica (no simetrica) : si A⊆B y B⊆A ⇒ A=B • transitiva (B hace de intermediario) : si A⊆B y B⊆C ⇒ A⊆C
Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo. Las expresiones ‘x∈A’ y ‘{x}⊆A’ son equivalentes, ambas expresiones significan que el conjunto que tiene a x como único elemento es subconjunto de A.
$OJXQRV FRQMXQWRV Nulo ‘∅’ o ‘{}‘ : Es aquel que carece de elementos. Ojo ! : |∅|=0 pero {∅}≠∅ porque este conjunto ( {∅} ), tiene un elemento: el nulo.
Universal ‘U’ : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar. Iguales ‘A=B’ : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o repetición. Diferencia ‘A−B’ : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A–B={x| x∈A, x∉B} ) Diferencia simétrica ‘A⊕B’ : (A∪B)–(A∩B)= (A ∩ B )∪( A ∩B), es decir, = { x∈A o x∈B | x∉A ∩B } Potencia ‘P(A)’ Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de A.
Para todo elemento hay 2 opciones: excluirlo o incluirlo, por lo tanto hay 2*2*2..(n veces) selecciones posibles. Por tanto, : n ‘ dado A de n elementos, |P(A)| = 2 n = ∑K=0
( nK ) = Cn,k‘ (Incluyendo A y ∅) Ej: Si A={a,b,c} ⇒ P(A)={ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, A } 8QLyQ LQWHUVHFFLyQ \ FRPSOHPHQWDFLyQ
Conj. Unión ‘A∪B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen al menos a alguno de los dos. A ∪ B ={x ∈ U ⁄ x∈A ò x∈B} Conj. Intersección ‘A∩B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen a la vez a ambos conjuntos. A ∩B ={ x ∈ U ⁄ x∈A y x∈B}, Si su interseccion es nula, se dice que A y B son disjuntos.
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Complementario ‘ A ′ ’ o ‘ A ’ : (De un conjunto A), es aquel cuyos elementos no son A : A ={ x | x∈U, x∉A}
Propiedades de la intersección, complementación y unión 1º A∪∅ = A
A∩∅ = ∅ 2º A∪A = A∩A = A
Idempotencia
3º A∪B = B∪A , A∩B = B∩A
Conmutatividad
4º (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
Asociatividad
5º A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
Distributividad
6º A∪U = U 7º A∪A = U , A∩A = ∅ 8º
( A ∪ B) = A ∩ B, ( A ∩ B) = A ∪ B
Leyes de Morgan
9º A∪(A∩B) = A∩(A∪B) = A
y otra de regalo : A−B = A∩ B , Demostración : x∈(A−B)⇒ x∈A y x∉B ⇒ x∈A y x∈ B ⇒ x∈A ∩B Demostración 8º : ( A ∪ B) ⇔ A ∩B
(Ley de Morgan)
“⇒” : x∈ ( A ∪ B) ⇒ x ∉ A∪B⇒ x∉A y x∉B ⇒ x ∈ A y x ∈B ⇒x∈A ∩B “⇐” : x∈A ∩B ⇒x ∈ A y x ∈B ⇒x∉A y x∉B⇒x ∉ A∪B⇒x∈ ( A ∪ B)
La intersección, complementación y unión de conjuntos, se conocen como ‘Operaciones Boleanas’ en honor a George Boole, que se marco este rollo aun sin tener idea de su utilidad.
Producto cartesiano (A×B) Definición Dados A,B ⊆ U , Se define ‘Producto Cartesiano de A por B’ (A×B) como el conjunto los elementos formados por todos los posibles pares del tipo (a,b) ⁄ a∈A, b∈B.
Ojo ! : (a,b) es un par ordenado, por lo tanto (a,b)≠(b,a) salvo que a=b, y no es lo mismo (a,b) que {a,b} Propiedades |A×B|=|A|·|B|
(Regla del producto)
Si tenemos A,B,C,D ≠ ∅ , entonces A×B=C×D ⇒ A=C,B=D (A∪A )×B≠(A∪B)×(A ∪B)
es decir: (a ∪ a , b ) ≠ ( (a,b) , ( a ,b) )
? ?
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(A×B)∪(A ×B)=(A∪B)×(A ∪B)
?
Las coordenadas de los pares de A×B definen un paralelogramo de lados paralelos a los ejes. Dados A,B ⊆ U, cualquier subconjunto de A×B se denomina ‘relación de A a B’. Si B=A, la relación se denomina ‘relación binaria en A’ (A×A). Ej : Para A={1,2,3}, B={2,5}. Son relaciones de A a B : ∅, {(3,2)}, {(2,2),(1,2)}, A ×B,...
El conjunto de todas las posibles relaciones posibles, es P(A ×B), y siendo |A|=m, |B|=n, como ya vimos antes, tenemos que |P(A × B)|=2mn
Aplicaciones (o Funciones -significa lo mismo- ) Definición Se define ‘Aplicación de A a B’ (f: A→B), como la relación que asigna a todo elemento de A un único elemento de B.
Es decir, para ∀ x∈A, sin excepción, ∃ un y solo un y∈B ⁄ y=f(x). Por ello, |A|≤|B| Observese que cuando A y B son conj. finitos, el número de posibles funciones es B producto) .
A
(Regla del
En una f : A→B, A y B se llaman dominio y codominio de f.
Conceptos •
Dados f:A→B, g:C→D, se dice que f(a) y g(c) son Iguales (f=g), si y solo si : A=C y B=D.
Ojo ! : Aun cuando 2 funciones tengan un dominio común A, y se cumpla f(a)=g(a), es posible que f≠g. Ej : Sea f : Z→ Z, g : Z →Q, donde f(x)=x=g(x) para ∀ x ∈ Z .
Pero debido al codominio : ¡f ≠g!, porque f es inyectiva y suprayectiva, y g solo inyectiva. • • • •
Conj. Imagen (Im f), se define como : Im f = {b∈B ⁄ ∃ a∈A, b=f(a)} ; b se denomina ‘imagen’ de a. F. Identidad (de un conj. en si mismo) : Se define como f:A→A ⁄ f(x)=x para ∀x∈A. F. Inclusión : Se define como in: A1 →A ⁄ in(x)=x para x ∈A ? F. Restricción
Sea f:A→B y A1⊆A, se denomina ‘Restricción de la función f al conjunto A1’ a la función g: A1 →B Ademas, f se denomina ‘Ampliación’ de la aplicación g.
Tipos de aplicaciones Inyectiva Aquella en la que no existen dos elementos de A con la misma imagen. Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≤|B|. Ejemplo: la inclusión Sobreyectiva (o suprayectiva)
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Aquella en la que todo elemento de B es imagen de un elemento de A ( B siempre esta cubierto, es decir : ∀ b∈B ∃ al menos un a∈A ⁄ f(a)=b) Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≥|B| Biyectiva Aquella que es a la vez inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|=|B| Propiedad:
Sea f:A→B A,B finitos, si |A|=|B| y f es inyectiva ⇒ también será sobreyectiva ⇒ y también biyectiva. a
a
Proyección sobre la 1 y 2 coordenada Sean los conjuntos A,B, y D⊆A×B : •
Se denomina ‘proyección sobre la 1 coordenada’ a la aplicación π A :D→A definida por π A (a,b)=a. a • Se denomina ‘proyección sobre la 2 coordenada’ a la aplicación π B :D→B definida por π B (a,b)=b. • De forma general : π :D→Ai1 × Ai2 × ... × Aim definida por π (a1, a2, ..., an)=( ai1, ai2, ..., aim) es una proyección de D sobre las i1-ésima, i2-ésima, ..., in-ésima coordenadas. a
(ver ejemplo en Grimaldi 82 3.12) &RPSRVLFLyQ GH DSOLFDFLRQHV
F. compuesta (f°g) : Siendo f:A→C, g:B→C, ‘f compuesta con g’ es (g° f)(a)= g(f(a)) para ∀ a∈ A La composición : -es asociativa [h°(g°f)](a) = [(h°g)°f](a) •
no es conmutativa g°f≠f°g
Propiedades
3) 4) 5) 6)
Dems : Grimaldi 85 3.4. a) 1) f,g inyectivas ⇒ g°f inyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. b) 2) f,g Sobreyectivas ⇒ g°f Sobreyectiva Se desprende de las anteriores. f,g biyectiva ⇒ g°f biyectiva g°f inyectiva⇒f inyectiva g°f Sobreyectiva⇒g Sobreyectiva La composición de funciones es asociativa : ((h°g)°f)(x)=(h°(g°f))(x)
Demostraciones :
1)
Sea a1, a2 ∈ A ⁄ (g°f)(a1)= (g°f)(a2),
Entonces, (g°f)(a1)= (g°f)(a2) ⇔ g(f(a1))=g(f(a2)), pues g es inyectiva. Además f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2 porque f es inyectiva. Por tanto, g°f es inyectiva.
2)
Para g°f :A →C, sea z∈C. Para g suprayectiva ⇒ ∃ y∈B, con g(y)=z. Para f suprayectiva ⇒ ∃ x∈A, con f(x)=y. Por tanto, z=g(y)=g(f(x))=(g°f)(x). Al ser válido para cualquier z∈C, queda demostrado
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que gºf es suprayectiva. 6) Para ((h°g)°f)(x) = (h°g)(f(x)) = h(g(f(x))) ((h°g)°f)(x) = h((g°f)(x)) = h(g(f(x))) $SOLFDFLyQ LQYHUVD
F. Inversa (f -1) : f -1(y)={x∈A ⁄ f (x)=y}
Otra definición de inversa de f:A→B es g:B→A ⁄ g°f=IdA y además f°g=IdB Ej: f=x , f -1= 2 x ; 2
f -1(4)={2,-2} ; f -1(2,6,8,4,16,25)={± 2, ±4, ±5} ; f -1(11,12,13,14)=∅
Propiedades • Si f tiene inversa esta es única. Demostración : Sean g1 , g 2 inversas de f :A→B, observando que g1°f =IdA , f°g1= IdB, g2°f =IdA , f°g2= IdB,
resulta fácil demostrar que g1=g2 : g1 = IdA°g1 = (g2°f )°g1 = g2°(f °g1) = g2°IdB = g2 • f es inversible ⇔ f es biyectiva ‘⇒’ (Suponemos que dado f :A→B, existe f -1 , lo cual probara que f es biyectiva, es decir sobreyectiva e inyectiva)
Por definición de inyectiva : a1,a2∈A1 ⁄ f(a1)=f(a2)⇒ a1=a2 Comprobamos que es inyectiva aplicando inversas : f -1 (f(a1))= f -1 (f(a2))→ ( f -1 °f)(a1)=( f -1 °f)(a2)→a1=a2 Por definición de sobreyectiva : ∀ b∈B ⇒ ∃ f(a)=b Hemos supuesto que dado un b∈B, ∃ f -1 (b)∈A ⁄ f(a)=f( f -1 (b))=b Y puesto que f° f -1 =Id(b), es lícito afirmar b=Id(b)=( f° f -1 )(b)=f( f -1 (b))=f(a) ‘⇐’ Por ser sobreyectiva, para cada b∈B, ∃ algún a∈A ⁄ b=f(a). Con lo queda definida una función g :B→A ⁄ g(b)=a. El único problema sería que g(b)=a1≠a2=g(b) debido a que f(a1)=b=f(a2), pero esto no ocurre porque f es inyectiva. Por lo tanto, g= f -1 .
Propiedades Si A1 , A 2 ⊂ A, B1 ,B2 ⊂ B, entonces : 1º A1 ⊂A 2 ⇒ f(A1 )⊂ f(A 2 ) 2º f (A1 ∪A 2 ) = f(A1 )∪f(A 2 ) 3º f (A1 ∩A 2 ) ⊂ f(A1 ) ∩ f(A 2 ) 4º A1 ⊂ f -1 ( f(A1 ) ) 5º B1 ⊂ B2 ⇒ f -1 (B1 ) ⊂ f -1 (B2 ) 6º f -1 (B1 ∪B2 ) = f -1 (B1 )∪ f -1 (B2 ) 7º f -1 (B1 ∩B2 ) = f -1 (B1 )∩ f -1 (B2 ) 8º f ( f -1 (B1 )) ⊂ B1
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5HODFLRQHV \ JU JUDDIRV
Relaciones binarias y de equivalencia. Conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminologia de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Arboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos Relación ‘R’:
Es cualquier subconjunto de A×B que cumpla la propiedad en concreto. Es decir, siendo x∈A,y∈A y grafo(gráfica) R ⁄ R⊆ A×A, decimos que xRy si
(x,y)∈R El nº de relaciones ó subconjuntos de A×B será 2
A ·B
Relación n-aria: Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A1× A2×...×An (Una relación binaria sería una relación de A1×A2) Propiedades que puede cumplir una relación: 1) 2) 3) 4)
Reflexiva, si ∀ a∈A ⇒ aRa Simétrica si ∀ a,b / aRb ⇒ bRa Transitiva, si ∀ a,b,c / (aRb y bRc) ⇒ aRc Antisimetrica, si ∀ a,b / (aRb y bRa) ⇒ a=b
Todo elemento cumple las tres primeras consigo mismo. Cuidado con la 4º: no simetrica≠antisimetrica Matriz de una relación A×B: - filas = elementos de A, columnas = elementos de B • 1 si (ai,bj) ∈ R , 0 si (ai,bj) ∉ R Relación equivalente ’~’: Es la relación binaria que verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Clase de equivalencia ‘[x]’: Dada una relación de equivalencia en un conjunto A, se define clase de equivalencia de un a∈A, como el conjunto de elementos de A equivalentes al elemento dado. Se denota como [a]={a’∈A / a’~a} El representante de la clase de equivalencia puede ser cualquier elemento del conjunto. Asi, se cumple: •
a’~a ⇔ [a’]=[a] (prop. transitiva) - y por tanto, x no∼a ⇔ [x]∩[a] = ∅
Por transitividad de ∼ es imposible que [x]∪[a] ≠ [x]∩[a] porque las clases de equivalencia son identicas o disjuntas La clase de equivalencia de cualquier elemento x cumple [x]≠∅ porque x∈[x] Las clases de equivalencia forman una familia de subconjuntos≠∅ y disjuntos entre si, (porque por transitiva si tuvieran un elemento en común serían iguales), cuya unión es A. Congruencia modulo n (es un ejemplo de relación de equivalencia en Z) Dado un natural p>1 se dice que “a es congruente con b módulo p” y se escribe “a≡b (mod p)”
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si a=b+λp, λ∈Z ; es decir: a~b ⇔ a–b es múltiplo de p Esta relación es una equivalencia, ya que: •
es reflexiva, todo elemento es congruente con si mismo módulo p porque a-a=0 que es multiplo de p para λ=0 • es simétrica, ya que si a–b es múltiplo de p, entonces b–a= también es múltiplo de p. (porque b-a=-(a-b) y λ puede ser + o - porque pertenece a Z) •
es transitiva, porque si a–b, b–c, son múltiplos de p, entonces a–c=(a–b)+(b–c) también es múltiplo de p.
3URSLHGDG Seran congruentes módulo p ⇔ dan el mismo resto al dividirlos por p. Para comprobar tomamos los valores m,n y hacemos: ⇐
m = q1 ⋅ p + r m-n=(q1-q2)p ⇒ p divide a (m-n)? (si→congruente, no→no n = q2 ⋅ p + r congruente)
m = q 1 ⋅ p + r1 ; 0 ≤ r1 ≤ p m-n=(q1-q2)p+(r1-r2), para que se cumpla debe ser r1–r2=0, que n = q 2 ⋅ p + r2 ; 0 ≤ r2 ≤ p implica r1=r2 ⇒
&RQMXQWR FRFLHQWH Es el conjunto de clases de equivalencia de todos los elementos de A. Se denota A/∼.
A/∼ = { [x] ⁄ x∈A } donde [x]={ y∈A ⁄ y∼x}. Nunca es vacío porque ∀x, [x]≠∅ porque siempre x∼x Una partición es una colección de conjuntos distintos del vacío y disjuntos entre si. La unión de particiones de un conjunto es el propio conjunto. Propiedades del conjunto cociente: 1) para a,b ∈ A/∼ , a∼b ⇔ [a]=[b] Demos ‘⇒’: (suponemos a~b) x∈[a]⇒ x∼a, y por transitiva x∼a, a∼b ⇒ x∼b ⇒ x∈[b]
Asi vemos que para cualquier x, si x ∈ [a] y x ∈ [b], [a]=[b]
Demos ‘⇐’: (Suponemos [a]=[b]), por reflexiva a∈[a], y puesto que [a]=[b], entonces a∈[b] , y por tanto, a~b 2) a,b ∈ A, a no∼b ⇔ [a]∩[b]=∅
Demos ‘⇒’: (Demostramos que [a]∩[b]≠∅ es contradictorio), ∃ x∈[a]∩[b] ⇒ x∼a, x∼b ⇒ a∼b Corolario: Siendo ∼ una relación de equivalencia en A vemos que: •
Las clases de equivalencia de A forman una partición de A ⇔ Cada partición de A define una ~ en A. Si existe equivalencia entre los elementos de una partición, esa partición es clase de equivalencia (Si a,b están en la misma partición⇒a∼b y [a]=[b])
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• •
Si ∅≠ Ai , Ai ⊆A entonces cada Ai es una partición de A si A=∑Ai y Ai ∩Aj=0 para i≠j (2 a 2) Si dos fracciones son equivalentes, la irreducible sera la representante de clase.
Factorización canónica de una aplicación F ∼ →
$
%
1) a, a′ ∈A a∼ a′ ⇔f(a)=f(b) P Es la aplicación que relaciona cada elemento con su clase de 2) A →A/∼ equivalencia. a → p(a)=[a] p de proyección.Es Sobreyectiva. Si ∃ A y A/∼ ⇔ ∃ p(a), a ∈ A 3) Im f = { f(a) ⁄a∈A }⊂B i → B Im b → b
i de inclusión.Es inyectiva
4) f2 :A/∼ → Im f [a] → f2 ([a])=f(a)
biyectiva.
Relación de orden ‘≤’ en un conjunto dado: Es una relación binaria que cumple propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva.
Se dice que (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado ‘poset’ si verifica una relación de orden. Un poset es además un orden total si ∀ x, y ∈ A se cumple xRy ó yRx. En caso contrario sera un orden parcial.
Diagramas de Hasse Es la representación de una relación de orden, mediante aristas no dirigidas entre 2 elementos x, y si y solo si y cubre a x. Se dice que y cubre a x cuando se cumplen los dos siguientes enunciados: -
x≤y x≤z≤y ⇒ y=z o x=z (no hay ningún elemento entre los dos)
Las aristas se leen de abajo arriba por convención (al ∃ una dirección de lectura no hacen falta aristas dirigidas). Si R es una relación de orden en A, se elabora un diagrama de Hasse para R en A trazando segmentos de recta no dirigida de x a y, si x,y∈A, con xRy, pero solo si no hay otro elemento z∈A tal que xRz, zRy. Ver ejemplos Grimaldi 5.34, 5.36. En el grafo de una relación de orden son superfluos los lazos y aristas multiples (se sobreentiende su existencia por las propiedades reflexiva y transitiva)
Isomorfos Sean (P,≤) y (Q,≤) (Q c. imagen de P) conjuntos parcialmente ordenados. Se dice que son ‘Isómorfos’ si ∃ f:P →Q biyectiva que mantiene el orden para a,b∈P: a≤b ⇔ f(a) ≤ f(b) Sea (A,≤) un conjunto ordenado y C⊆A ⁄ C≠∅:
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k∈A es “Cota superior” de C si x≤k, ∀x∈C,”Supremo” será la menor de las cotas superiores. - k∈A es “Cota inferior” de C si k≤x ∀x∈C, “Ínfimo” será la mayor de las cotas inferiores. - Un elemento k de A ∀ x ∈ C, x≤k ⇒ k es máximo ∀ x ∈ C, k≤x ⇒ k es mínimo - x∈C es maximal/minimal de C si ningún elemento de C es >/< que x. Todo conjunto poset finito tiene al menos 1 maximal y 1 minimal. -
Ejemplo: Sea U={1,2,3}, A=P(U) (A,⊆) tiene mínimo = minimal = ∅, máximo = maximal = U
Sea (A,R) poset. - máximal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ x no relacionado con a - minimal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ a no relacionado con x - máximo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ a R x mínimo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ x R a Todo poset finito tiene maximal y minimal. Los máximos y los mínimos, si existen, son únicos.
Sea (A,R) poset con B⊆A -
cota inferior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ x Rb cota superior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ b Rx supremo o mínima cota superior = x’∈A / x’ es cota superior y x’ R x” con x=cq. otra cota superior ínfimo o máxima cota superior = x’∈A / x’ es cota inferior y x” R x’ con x”=cq. otra cota inferior
En todo B⊆A con A=poset finito, el supremo e infimo, si existen, son únicos.
*UDIRV Def. grafo: Un grafo G es el par (V,A) que representa una relación entre un conjunto de Vertices y otro de Aristas. Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V. Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.
Orden de un grafo: es su nº de vértices = |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En este curso estudiaremos los grafos finitos.
$ULVWDV Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une.
Lazo: arista que une un vértice con si mismo Arista incidente: Se dice que e es “incidente” en v si v esta en uno de los vertces de la arista Arista múltiple: Aquella que une los mismos vértices que alguna otra.
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9pUWLFHV Vértices adyacentes: Se dice que ‘v,w son adyacentes’ si ∃ e={v,w}∈E (o sea, existe una arista entre los 2 ) Un vertice es adyacente a si mismo si tiene lazo. Grado de un vértice ‘∂’: Es el nº de aristas que inciden en él. Por ejemplo, un lazo aumenta el grado en 2. Depende solo de la estructura matemática, (los isomorfos tienen el mismo). Vértice de aristas múltiples: Es aquel que tiene más de un arista. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado. Camino (o trayectoria)
Para x,y∈V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas distintas que contengan a vx y vy en su primer y último termino. Así: {vx,v1},{v2,v3},...,{vn,vy} -
El nº de aristas de un camino se llama longitud del camino. Si los vértices no se repiten es un camino propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vertices, tambien habra un camino simple entre ellos. Cuando vertice de llegada=vertice de salida, el camino se llama circuito, ciclo, o camino cerrado. Un circuito es propio o simple si solo se repiten el primer y último vértice. En estos apuntes los circuitos seran simples si no se indica lo contrario Vértices accesibles: son aquellos entre los que existe un camino. Todo vértice es accesible respecto a si mismo. La accesibilidad entre vértices es una relación de equivalencia cuyas clases son las componentes conexas de G.
Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥ 2 ⇒ el grafo tiene un circuito.
*UDIRV Grafo simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas múltiples Propiedades de un grafo G(V,E): •
Como cada arista incide en 2 vertices o 2 veces en el mismo vertice si es un lazo, tenemos que: Suma de los grados de todos los vertices es = doble de las aristas: ∑ ∂v=2|E| v∈V
•
Demostración: Al realizar la suma de los grados de todos los vertices, ya que cada arista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces. En un grafo finito existe un nº par (o cero) de vértices de grado impar. En general V dividido en: V1={v´∈V ⁄ ∂´v=impar}, V2 ={v´´∈V⁄ ∂v´´=par }, V1∪ V2 =V; V1∩ V2 =∅ p
Demostración: Sabemos que
∑ σv i =1
i
= 2 E para V={v 1, ..., v p}. Sean v 1, ..., v t los t
vertices de grado impar y v t+1, ..., v p los de grado par
∑ σv i + i =1
p
∑ σv
i = t +1
i
= 2E
par+impar=impar, asi que debe ser nº de vertices impares=0 Sabemos que σv i es impar para i=t+1, ..., p, por lo que podemos expresarlo como
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2ni+1 para algun ni ...? mirar en Grimaldi
Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k se, llamara kregular. Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto Grafo completo o conexo: Aquel con una arista entre cada par de vértices, (todos estan conectados con todos).
Dos grafos completos con mismo |v| son isomorfos. Un grafo completo con n vértices se denota Kn. Todo grafo completo es regular pq. cada vértice tiene grado |v|-1 al estar conectado con todos los otros vértices. Un grafo regular no tiene porque ser completo. Un grafo bipartito regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.
Complementario de un grafo G: Es el grafo G´que tiene conectados los vertices no conectados de G y desconectados los conectados. Si dos grafos son complementarios, sus isomorfos también. Un grafo+su complementario = grafo completo. Grafo plano: Aquel que admite una representación bidimensional sin que se crucen sus aristas. En este ejemplo, vemos un grafo plano con su representación plana:
Grafo pesado o grafo etiquetado - Aquel grafo cuyas aristas tienen todas un nº real positivo que sera su peso o longitud. El peso del grafo sera el sumatorio de los pesos de las aristas. Si todas las etiquetas valen 1, la definición de longitud del camino de un grafo pesado coincide con la definición de longitud del camino a un grafo.
*UDIR FRQH[R Grafo conexo: Aquel en el ∃ un cámino entre cualquier par de vertices. Componente conexa de G: Def.: Un subgrafo conexo de G que no es subgrafo propio? de ninguna componente conexa de G. Otra def.: Subgrafo de G de forma que ningún otro vértice∈G esta conectado con vértice alguno de G´ Otra def.: Son las clases de equivalencia de estar conectado.
Subgrafo de G=(V,E) es G´(V´,E´) ⁄ V´⊂V y E´⊂E (el grafo que se obtiene borrando alguna arista o vértice de G) Multigrafo: Grafo que tiene alguna arista múltiple. Un multigrafo se transforma en grafo añadiendo un vertice en mitad de cada arista multiple. Pseudografo: Grafo con algún lazo.
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Digrafo: Grafo con todas sus aristas dirigidas. Por tanto, los pares de vértices que definen las aristas, son pares ordenados.
Cuidadín !: Multigrafo, pseudografo, subgrafo, digrafo y cualquiera de sus combinaciones (pseudomultidigrafo, etc), NO se consideran grafos. Isomorfismo de grafos: -
Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina ‘ isomorfismo de G a G´ ‘ a la aplicación biyectiva f tal que para a,b∈V, {a,b}∈E ⇔ se cumple {f(a),f(b)}∈E´. Es decir, la aplicación que relaciona biyectivamente pares de vertices de E con pares de vertices de E´, de modo que los vértices conectados siguen estandolo. Se cumple que σa=σf(a) : Isomorfismo es la biyección que mantiene la adyacencia de vertices • G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales, solo varia la apariencia, o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, nº de vértices, nº de aristas, etc.
-
• •
Si dos grafos son isomorfos, sus complementarios también. Se llama automorfismo al isomorfismo de un grafo en si mismo. Un conjunto de automorfismos, sera por tanto, un conjunto de grafos isomorfos.
Dos grafos son isomorfos ⇔ tienen mismo número de vertices y el número de vertices con un grado dado es el mismo en los dos grafos. A continuación estudiaremos la representación de grafos mediante matrices, lo que nos permitira emplear técnicas de algebra lineal en el estudio de grafos. ¿Cuál es la diferencia entre automorfismo e isomorfismo? ¿No son automorfismos todos los isomorfismos?
0DWUL]GHDG\DFHQFLD
Muestra adyacencias de vertices. Se define como A=(aij)n×n (n=|V|) donde aij=1 si {vi,vj}∈E ; en caso contrario aij=0.
La matriz de adyacencia siempre es simétrica (y por tanto, no se modifica haciendo la traspuesta), porque aij = aji . Para cualquier k≤n se cumple que ∑ aki = ∂vk (grado de un vértice=sumatorio de la columna o i=1..n
fila de ese vértice). Para un grafo G de n vértices con n>1, con A=matriz de adyacencia se cumple: (Uned 151) “El valor del coeficiente aijk de la matriz Ak , es el nº de caminos de longitud k con extremos v i y v j” k (A =A·A·...k veces...·A)
∑ A i , se cumple que:
- el grafo sera conexo, si y solo si, todos los elementos de M son distintos - la diagonal de la matriz nos indica el grado de los vértices M=Suma de matrices de adyacencia. Dado M=
i =1..n
Teorema: Sea G=(V,E), A=matriz adyacencia de G.
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Si ∃ un camino de longitud m (m≥n) entre 2 vértices cualquiera, entonces ∃ un camino de longitud ≤n-1 entre esos dos vértices. Ejemplo:
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 0 0
v2 1 0 1 1 0
v3 1 1 0 1 1
v4 0 1 1 0 0
v5 0 0 1 0 0
v1
v2
v3
v4 v5
Para comprobar si dos grafos son isomorfos, comprobamos si sus matrices quedan iguales al permutar su orden. Ejemplo: 0 3 0
Sea un grafo con matriz de adyacencia A = 3 2 1
?
0 1 0 3× 3
n-1
2
, habra que llegar a A =A
0 3 0 9 6 3 9 9 3 A + A2 = 3 2 1 + 6 14 2 = 9 16 3 , como ∀ bij ≠ ∅ el grafo es conexo 0 1 0 3 2 1 3 3 1
0DWUL] GH LQFLGHQFLD Muestra adyacencias de aristas en vertices. Es la matriz M de |V| filas y |E| columnas, donde mij=1 si vi es vértice de la arista ej, en caso contrario es 0. Solo puede definirse para grados simples.
Para comprobar si un grafo es conexo: • •
Se halla la matriz adyacencia de orden n×n y se eleva a la n-1 potencia Si todos sus elementos son ≠ 0, el grafo es conexo.
Arista de separación o puente: Aquella que al ser suprimida deja desconectados sus dos vértices. Si e=(u,v), e∈G es un puente y G tiene k componentes conexas, G-{e} tendría k+1 componentes conexas Punto de corte: es un vértice de un grafo conexo G que una vez suprimido convierte a G en disconexo.
*UDIR
HXOHULDQR
Camino euleriano es el camino que contiene a todas las aristas, apareciendo cada una exactamente una vez. Circuito euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vertice. El grafo que admite algun circuito euleriano se llama grafo euleriano.
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Grafos eulerianos Grafo eulerianos: grafo con un circuito que contiene todas las aristas sin que se repitan. El grafo será semieuleriano si la trayectoria no es cerrada. Las trayectorias correspondientes se llaman eulerianas y semiulerianas. 1 2 Ejemplo: El primero no es euleriano ni semieuleriano, 8 5 3 El segundo es euleriano 6 4 Lema: Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥2 ⇒ el grafo tiene un circuito. Demostración: Pueden darse 2 casos: a) G conexo. Si G no tuviera circuitos ⇒ G sería un árbol ⇒ |V|=|E|+1 Pero ∑∂(v∈V)≥2|V| ⇒ |V|≠|E|+1 ⇒ no es un árbol ⇒ tiene algun circuito. b) G no conexo. Aplicamos a) a sus componentes conexas. Teorema: Un grafo conexo G=(U,E) es euleriano ⇔ todo vértice tiene grado par. Demostración: “⇐“ (por inducción en |E|=m) a) Base de inducción |E|=1. Al ser |E|=1 el grafo es euleriano b) Suponemos que el teorema es cierto para grados en las mismas condiciones y con menos de m aristas. Tenemos grafo G con todos los vértices de grado par≠0, es decir ≥2. Dado que G es conexo ⇒ ∀v ∈ V, ∂v>1 (porque existe un circuito euleriano). En cualquier caso ∂v≥2 ⇒ ∃ x circuitos en G. Suponiendo b1) En x están todas las aristas de G una vez → circuito euleriano →G euleriano b2) En x no están todas las aristas → ??
Los grafos bipartitos completos son eulerianos si son pares los bipartitos m,n.
Corolario Un grafo conexo es semieuleriano ⇔ tiene exactamente dos vértices de grado impar. La trayectoria empezara en uno y terminara en otro. La demostración es similar a la del teorema de Euler.
Lema Si un grafo es euleriano, todos los vértices tienen grado par o solo 2 tienen grado impar. Demostración: Si seguimos el circuito euleriano, vemos que contribuye en 2 al grado de cada vertice. Si un vértice cualquiera es el primero contribuye en 1 al principio y 1 al final. Si no lo es contribuye en 2.
7HRUHPD GH (XOHU Si un grafo admite un camino euleriano, o todos sus vértices son pares (camino cerrado) o 2 de ellos son impares (camino abierto) Demos: Si el camino es cerrado estamos en el caso anterior. Si es abierto, ejemplo: sea G = , podemos hacer w G’=G+{w} u v para ∀ x≠u, x≠v, gradoG(x) = gradoG’(x) = par (pq. camino cerrado ⇒ grado par) y para u,v gradoG(u)= gradoG’(u)-1, hacemos idem para v y v
vemos que la suma es par.
Ver Uned 92, problema 8 En un grafo conexo |V|≤|E|+1
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u
Ver Uned 89 acerca de como recorrer sin levantar el boli.
$OJRULWPR GH )OHXU\ Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuito euleriano.Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a 2 condiciones: 1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas 2) Solo se recorre una arista puente si no queda otra alternativa
Si el grafo es semieuleriano hay que empezar en un vértice de grado impar. Si quedas atrapado es que no es euleriano.
+DPLOWRQ Camino Hamiltoniano: Es aquel que recorre todos los vértices sin pasar 2 veces por la misma arista. Solo puede existir en grafos simples donde no existan vértices impares. Grafo Hamiltoniano - Aquel que admite un camino hamiltoniano.
Es Semihamiltoniano si tiene una trayectoria abierta y pasa una sola vez por cada uno de los vértices Todos los hamiltonianos son eulerianos y todos los semihamiltonianos son semieulerianos.
Teorema: Si un grafo es conexo con |V|≥3, 2 vertices no adyacentes, y ∑∂v>n el grafo es hamiltoniano. No es imprescindible que se cumpla para ser hamiltoniano.
En un grafo, la relación en el conjunto de vertices dada por “estar conectado con” es una relación de equivalencia (Uned 145). Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de G. Cada vértice tiene un grado superior a la mitad+1 del número de vértices.
??
$UEROHV Árbol: Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos. Ejemplos: n1: o n2: o–o = n3: o–o–o = n4: o–o–o–o =
n6: 6 arboles n7: 11 n8: 23 n9: 47 n10: 106 etc,...
n5: o–o–o–o–o =
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Un grafo es un árbol ⇔ entre cada par de vertices existe un y solo un camino simple. Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos. Teorema:
Sea G(V,E) a) G es un árbol b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino. c) G es conexo y toda arista de G es de separación
*Arista de separación es aquella tal que si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexos d) G no tiene circuitos y |V|=|E|+1 e) G es conexo y |V|=|E|+1 f) G no tiene circuitos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito
Estas son condiciones equivalentes: a⇒b⇒c⇒d⇒e⇒f⇒a Demostración a⇒b Porque por definición es conexo y sin circuitos propios b⇒c Es conexo por b. Si hubiese más de un camino entre 2 vértices existiría un circuito. Por definición de árbol esto no puede ocurrir. c⇒d porque en circuito no existe separación |V|=|E|+1 Inducción en |V|: Base de inducción |V|=1 como mínimo 1 vértice v⇒|E|=0 |V|=|E|+1 Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos de n vértices (n=|V|), G-{e}=G´ G1=(V1, E1) |V1|
e⇒f Suponemos que ∃ un circuito (con k aristas y k vertices) vamos allegar a una contradicción Pueden suceder 2 casos 1)k=n , |E|≥k=n, n=|V| pero por la hipótesis |V|=|E|+1 (|V|>|E|) ???? 2)los n-k vértices restantes necesitan al menos otras n-k aristas que les unan con los demás y quede G conexo |E|≥ k+(n-k)=n=|V| pero por hipótesis |V|=|E|+1 ????? f⇒g ¿G es conexo? Si tenemos 2 componentes conexas distintas y añadimos arista no se forma circuito y se produce una contradicción Vemos que si no es conexo podría tener 2 supuestas componentes conexas
Pero si le añadimos una arista no se crea un circuito, por lo tanto G tendrá que ser conexo Árbol Generado - Subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos
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Otra def: Un árbol generado de G es un árbol T=(V´,E´) subgrafo de G y tal que V´=V Un árbol generado se puede crear de 2 modos: 1) Suprimir aristas que no sean de separación 2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de forma que no creamos ningún circuito
Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos: -
Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean aristas de separación.
Puede haber más de un árbol generado de peso mínimo, pero todos deben tener el mismo peso. Arbol arraigado o enraizado: Es un árbol con un vértice distinguido llamado raíz. Si le quitan la raíz quedan árboles arraigados con raíz T1,T2,... En este tipo de árbol los vértices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo, al vértice adyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del que es hijo. Los nodos sin hijos se llaman hojas.
Un árbol es n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos.Ej(n=2 binario) Árbol arraigado ordenado: árbol arraigado cuyos subárboles también son árboles arrigados ordenados. Nivel de un vértice: El número de aristas que le separan de la raíz. La raíz tienen nivel 0. Altura de un árbol: Máximo nivel de sus vértices. En el grafo anterior c) ∂v=3
∂w=3
Aquí se demuestra que no es necesaria esta condición para ser
hamiltoniano.Puede serlo sin -------6 ≥n=20
cumplirse la condición
Problema del vendedor ambulante Hay que pasar por cada ciudad a vender sin pasar 2 veces por la misma y con el menor coste posible(no tiene solución)
Problema ¿Dado un grafo pesado es posible encontrar algún grafo Hamiltoniano de menor peso? Conseguir la cota inferior del peso de cualquier grafo hamiltoniano a) G-{B}→ árbol exp. mínimo peso: 4+5+8=17 inferior del b) Dos aristas de menor peso incidentes en B, peso 2+3=5: }
} 17+5=22 cota peso de cualquier G. H.
A partir del dato conseguido anteriormente B→22 Si quitamos el vértice A→21 debe encontrar C→25 D→23 E→24
W(CH) ≥ 1 W(CH) ≥ 21 W(CH) ≥ 25 W(CH) ≥ 23 W(CH) ≥ 24
Con estos datos podemos decir que se el grafo con peso ≥ 25
En este grafo la solución es que el peso es ≥26 ??
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La demostración en este caso en concreto c) AEDC árbol exp de G-{B} d) AB,B,C W( a) ) ≤ W( c) ) W( b) ) ≥ W( d) ) 22 ≤ W (circuito H)
A 2
6 E 5
B 7 C
9 D
? ? ? ? ?
DEMOSTRACIÓN
Si se considera cualquier circuito del grafo hamiltoniano pesado y eliminamos un vértice v (cual sea), obtenemos una trayectoria semihamiltoniana.Esta trayectoria es un árbol expandido de G{V}.Por tanto cq. solución al problema del vendedor ambulante.Debe consistir en un árbol expandido de ese tipo junto con 2 aristas incidentes en el vértice v. Así, si tomamos el peso de un árbol expandido de peso mínimo de G-{V} y sumamos los 2 pesos mínimos de aristas incidentes en V encontraremos una cota inferior de peso de cq. circuito hamiltoniano. •
END-RAW *
Circuito hamiltoniano mínimo Sea G grafo completo, para conseguir un circuito hamiltoniano mínimo (los grafos completos son hamiltoniano) usamos el siguiente algoritmo: -
Partiendo de un vértice cualquiera elegimos la arista a aquel vértice no visitado que tenga menor peso. Repetimos hasta hacer cirucito al tiempo que vamos anotando los pesos.
abdeca un camino minimo, ( no unico ni el mejor )
7HRUHPD Sea M un mapa conexo con |V|>2, entonces |E|≤3|V|–6 Demostración: Sea M un mapa conexo con |V|>2, |R|≥3. Sabemos que 2|E|=∑σr, y como el grado de cada región es al menos tres, 2|E|=∑σr≥3|R| → |R|≤|E|2/3
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Sabemos que R + V − E = 2 R + V − E = 2 1 *, ** 2 → V − E ≥ 2 → 3V − E ≥ 6 →3V − 6 ≥ E R≤ E 3 3 2 1 E → V − E =2. 3 3 1 2 1 **En caso de que R < E → V − más de E = 2 → V − E > 2 3 3 3 *En caso de que R =
Teorema Sea G=(V,E) un grafo conexo plano en el que no existe un subgrafo isomorfo a K3, entonces E ≤2V − 4 Demostración Si G es V > 2 y no tiene subgrafo isomorfo a K3, es que las regiones del mapa M de G tienen grado al menos 4. Sabemos que 2 E = ∑ σr , y como el grado de cada región es al menos 4, 2 E = ∑ σr ≥ 4 R → 2 E ≥ 4 R
R + V − E = 2 1 *→ 2 ≤ V − E 2E ≥4R 2 1 1 Si E > 2 R → V − más de E = 2 → V − E > 2 1 2 2 * → V − E ≥2 1 2 Si E = 2 R → V − E = 2 2 Consecuencia:
Def: Grafo bipartito completo Kn,m |V1|=n, |V2|=m vértice de
cq. vertice de V es adyacente a cq.
v2 y no ∃ conexión entre los vértices de una misma parte y viceversa
DIBUJO K3,3 conexo,simple, no tiene subgrafo isomorfo a K3 Si plano → |E| ≤ 2|V|-4 |E|=n·m |E|=3·3 |V|=3 9 no ≤ 2·6-4 el grafo no es plano
Un grafo se dice que es plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que cada arista corta unicamente a otra arista en un vertice que sea extremo de ambas. Una representación gráfica de este tipo se llama mapa. Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.
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Ejemplo:
Un mapa divide al plano en varias partes llamadas regiones. Cada región de un mapa M está plano Mapaodel delimitada por unGrafo circuito (si el mapa es conexo) por varios circuitos (que no son grafo plano necesariamente ¿propios?). También se cuenta como región la exterior a la figura. Cada región en un mapa esta 4 bordeada por un camino que no siempre es un circuito. Ejemplo:
1 2 3
Grado de una región: longitud del camino que la bordea Dos regiones de un mapa se consideran adyacentes si el circuito que las bordea tiene alguna arista en común.
Teorema La suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del número de aristas del grafo al que representa. Es decir: ∑∂r = 2|E| Demostración Toda arista es frontera simple de 2 regiones o doble de la misma región, con lo que cada una se cuenta doble. Ejemplo de frontera doble:
(en negrilla)
7HRUHPD La representación plana de un poliedro regular cumple la formula nº caras + nº vertices – nºaristas=2 donde cada cara corresponde a una región, con lo que tenemos R + V − E = 2 (fórmula de Euler) *nota: la fórmula de Euler solo es válida para mapas conexos.
Demostración: Sea G un grafo conexo. Por inducción en |E|: a) base |E|=0.
E =0 ⇒ |V|=1, |R|=1. Esto verifica la fórmula de Euler. Mapa conexo
b) paso |E|= m ≥ 1 Se dan dos casos 1) el grafo tiene algun circuito Consideremos el subgrafo G’ resultante de suprimir una arista perteneciente a un circuito. Tenemos que el mapa M’ de G’ seguira siendo conexo (pq. la arista pertenecía a un circuito). El nº de regiones disminuye en una unidad porque las aristas pertenecientes a un circuito siempre son fronteras de dos regiones. Para M’ tenemos que R − 1 + V − E − 1 = 2 ⇒ R + V − E = 2
(
)
(
)
2) el grafo no tiene algun circuito (es un árbol) Sea v el vertice extremo de una sola arista vw (si no existiera tal vertice podríamos construir un circuito). Sea G’ el grafo resultante de suprimir v y vw en G. Puesto que |R| no disminuye tenemos que: V −1 + R − E −1 = 2 ⇒ R + V − E = 2
(
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)
(
)
Una subdivisión elemental de un grafo G, es el grafo G’ obtenido colocando un vértice en medio de una arista G. Una subdivisión de un grafo G es el grafo obtenido efectuando un número finito de subdivisiones elementales sucesivas.
7HRUHPD .XUDNRZVNL Un grafo G es plano ⇔ no contiene algun subgrafo isomorfo a una subdivisión de K5 o K3,3. Demostración: Demasiado complicada para este nivel.
Coloración de un subgrafo G=(V,E) , C={1,2..k} (conjunto de colores)
Una coloración es una aplicación f:v en c ⁄ si v,w ∈ V son adyacentes f(v) ≠ f cw El pseudomultigrafo dual de un mapa M, es aquel que se construye asociando un vértice a cada región de M y una arista a cada par de vértices que correspondan a regiones adyacentes. Aunque al construirlo quede con forma plana, un pseudomultigrafo dual puede representarse de forma no plana. Ejemplo de construcción: •
•
•
• •
•
Coloreado de un grafo Sea G=(V,E) un grafo plano y C={1,2,..k} un conjunto de k colores. Una coloración con k colores del grafo G es una aplicación de V a C de modo que si los vértices u, v, son adyacentes entonces f(u)≠f(v).
Teorema de los 4 colores Cualquier mapa plano puede colorearse con 4 colores o menos sin que haya dos regiones adyacentes del mismo color. La demostración se basa en calculos con ordenador y es demasiado complicada para este nivel.
Corolario Todo grafo plano admite una coloración con 4 colores. Demostración: Sea G un grafo y M su mapa. Según el teorema de los 4 colores, la coloración del pseudomultigrafo dual G’ de G dará una coloración del grafo G, pues G’=G.
Definición Un grafo G se dice que es bipartito si se puede colorear con 2 colores
7HRUHPD Un grafo es bipartito ⇔ no tiene circuitos de longitud impar.
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Demostración ⇒ Si G es bipartito, los vertices de cada circuito deben ir alternando de un color a otro. Para que el color del primer y último vertice no coinciden, el nº de aristas debe ser par. ⇐ (∀ circuito tiene longitud par). Hacemos inducción sobre |E| ... Camino más corto entre 2 vértices: Algoritmo de Dijkstra Uned 163 Aunque la explicación del libro es un coñazo es intuiitivo: Se recorren todos los caminos desde el vértice de partida, anotando la longitud de cada uno.
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7HPD
7HRUtD HOHPHQWDO GH Q~PH Q~PHUURV Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Nºs primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ec. Diofánticas. Congruencias: teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.
'LYLVLELOLGDG HQ = Principio del buen orden: ‘Todo subconjunto no vacío de Z+ tiene un primer elemento’ Lo usaremos cuando veamos la inducción finita. Notese que el principio del buen orden + + esta definido para Z, y no se cumple por ejemplo en Q o R .
Propiedades de la suma y el producto en Z
Son operaciones internas en Z Son asociativas y conmutativas Ambas tienen neutro, el de la suma es 0 y el de la multiplicación es 1. El producto es distributivo respecto a la suma: a·(b+c)=(a·b)+(a·c) Si a·b=0 ⇒ a=0 o b=0 Todo elemento tiene opuesto. (un nº operado con su opuesto es 0)
De estas propiedades se sigue que (Z,+·) es un dominio con 1, y que (Z,+) es un grupo conmutativo o abeliano. Siendo a,b ∈ Z, diremos que b es mayor que a, si existe un natural n tal que b=a+n. Lo denotaremos b>a. Siendo a,b ∈ Z, diremos que b divide a a, si existe un entero q tal que a=q·b. Lo denotaremos b|a. Propiedades de Z respecto a la división y el producto 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
(chorradas)
a·0=0 a(–b)=–ab Si a≠0 , ab=ac ⇒ b=c Si a≠0 y a|b ⇒ a|bk, ∀ k∈Z Si a≠0, b≠0 a|b y b|c ⇒ a|c Sea a≠0 si a|b, a|c ⇒ a|(xb+yc) para cq. par de enteros x e y a,b>0, a|b ⇒ a≤b a≠0,b≠0, a|b, b|a ⇒ a=b ó a=–b Si a≤b, m>0 ⇒ am≤bm Si a≤b, m>0 ⇒ am≥bm
Demostración usando las propiedades de la suma y el producto: 1. a·0=a·(0+0) → a·0+a·0= 0·a Sumando su opuesto –a·0 y queda 0+a·0=0 Como 0=neutro de la suma nos queda a·0=0
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2. Por definición de opuesto observamos que –ab es opuesto de ab. Si a(–b)=–ab, como el opuesto es único, se cumplira ab+a(–b)=0. Esto es asi porque ab+a(–b)=a(b–b)=a·0=0 3. Hay que demostrar a≠0 , ab=ac ⇒ b=c. ab+(–ac)=ac+(–ac) → ab–ac=0 → a(b–c)=0 Se presentan dos casos: a=0 (imposible por enunciado), y b–c=0 ⇒ b=c. 4. a|b ⇒ b=aq → bk=aqk. Sea q’=qk, entonces bk=aq’ y por tanto a|bk. 5. Se cumple porque c=bk, y a|b ⇒ a|bk 6. a|b, a|c ⇒ b=aq1, c=aq2. bx+cy=aq1x+aq2y=a(q1x+q2y)=aq ⇒ a|bx+cy 7. a|b ⇒ b=aq. Como a,b son positivos, q es positivo. Por tanto, podemos escribir q veces
b = a + ... + a = a + (a +
q −1 veces
... + a ) = a + s
Como q es positivo y entero, q–1≥0, por tanto s≥0. De b=a+s se deduce que a≥b. 8.
a | b ⇒ b = aq1 a=(aq1)q2 ⇒ q1·q2=1 ⇒ q1=q2=1 ó q1=q2=–1, por lo que a=b ó a=–b b | a ⇒ a = bq 2 g) b=qa =a+...+a=a+(a+...+a) (q>0) q–1≥0 k) a≤b b·a≥0
Ejemplo: a=b+c, m|a, m|b ⇒ m|c? Sí, porque c es una combinación lineal de a y b.
Valor absoluto Es una aplicación f:Z→Z que a cada m ∈Z, le asocia |m| Propiedades del valor absoluto en Z (chorradas) 1. |a| ≥ 0 2. |a|=0 ⇔ a=0 3. |a·b| = |a|·|b| 4. |a+b| ≤ |a|+|b| 5. k>0 y |a| ≤ k ⇔ –k ≤ a ≤k Demostración |a+b| ≤ |a|+|b|:
Se presentan tres casos: a, b ≥ 0 → a+b ≥0 → |a+b|=a+b=|a|+|b| a, b < 0 → a+b <0 → |a+b| = –(a+b) = (–a)+(–b) = |a|+|b|
a≥0, b<0. Se presentan 2 casos: 3.1. a≥–b → a+b ≥0 → |a+b| = a+b = |a|–|b| ≤ |a|+|b| 3.2. a<–b → a+b <0 → |a+b| = –a+b = –|a|–|b| ≤ |a|+|b|
Ejercicio: Probar que si a,b∈Z y b≥0, entonces |a|≤b ⇔ a≤b y –a≤b ‘⇒’ hay 2 casos: 1. a≥0 ⇒ |a| = –a ≤ |a| ≤b 2. a<0 ⇒ –a ≤ |a|≤b ‘⇐’ a≤b y –a≤b ⇒ |a|≤b
Teorema de la división
- Viene a decir que si divides 2 números, no te va a salir de cada vez un cociente y resto diferentes
Para a∈Z, b∈N. Existen unos únicos q,r∈Z ⁄ a=q·b+r, 0≤r
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A los números a, b, q y r se les llama dividendo, divisor, cociente y resto. Demostración Demostramos que existen unos q,r∈Z ⁄ a=q·b+r, 0≤r
Siendo bq el mayor múltiplo de b que es menor o igual que a, se cumple que b·q ≤ a < b·(q+1) Restando bq en la desigualdad anterior tenemos que 0 ≤ a–bq < b(q+1)–bq ⇒ 0 ≤ r < b (con r=a–bq) Demostramos la unicidad de q y r.
Si existiesen r1, q1, y r2, q2 ⁄ a= bq1+r1 = bq2+r2 , r1≠r2, entonces b(q2–q1)=r1–r2, y por tanto b|(r1– r2). Pero: - Se cumple que si b|x ⇒ |x|≥|b|. Por tanto: |r1–r2| ≥ |b|. - Como 0≤r1
Ejemplo: 3 dividido por 7: 3=0·7+3, 0≤3<7, 7 dividido por 3: 7=2·3+1, 0≤1<3 Ejercicio: 1) Usando el algoritmo de la división probar que todo entero impar al cuadrado es igual a uno más un multiplo de 8. 2 O sea, probar n=2k+1 ⇒ n =8m+1 Todo número entero n puede expresarse como (por ejemplo) n=q4+r, 0≤r<4, r=0,1,2,3 2 2 2 Si n impar ⇒ r=1,3 (4q+1) = 16q +8q+1 = 8(2q +q)+1 2 2 2 (4q+3) = 16q +24q+1 = 8(2q +3q+1)+1 Que todo entero impar al cuadrado pueda expresarse de uno de esos modos garantiza la condición pedida. 2) Probar que todo entero que sea a la vez un cuadrado y un cubo es de la forma 7k o 7k+1 Cualquier número se puede escribir como n=q7+r, 0≤r<7, r=0,1,2,3,4,5,6 2 2 2 2 2 Y cualquier cuadrado se puede escribir (7q+r) = 49q +14qr+r = 7(7q +2qr)+r donde 0≤r<7
2
2
0 = (7·0+0) 2 2 1 = (7·0+1) 2 2 2 = (7·0+2) 2 2 3 = (7·0+3) ó 9 = 7·1 +1 2 2 4 = (7·0+4) ó 16 = 7·2 +2 2 2 5 = (7·0+5) ó 25 = 7·3 +4 2 2 6 = (7·0+6) ó 36 = 7·5 +1
r=0 r=1 r=2 r=1 r=2 r=4 r=1
Todo número al cuadrado puede expresarse así: 7k 7k+1 7k+2
7k+4
Con lo que todo cuadrado es de la forma: 7k, 7k+1, 7k+2 ó 7k+4 Para el cubo sería: 3
3 3
2
2
2
3
2 3
2
2
(7q+r) = 7 q +3·7 ·q ·r + 3·7·q·r + r = 7·(7 q + 21q ·r + 3q·r ) + r
3
Los resultados son: 0,1,8 = 1·7+1, 27=3·7+6, 64=9·7+1, 125=17·7+6, 216=30·7+6 Con lo que todo cubo es de la forma: 7k, 7k+1, ó 7k+6 Las formas comunes al cuadrado y al cubo son 7k y 7k+1.
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Operador MOD “Sean a,b, b≠0, a|b. Si a=qb+r con 0 ≤r<|b|, definimos MOD como el operador que cumple que a MOD b = r” A r se le llama resto. Si b fuese igual 0 el resultado podría ser irracional. Ejemplo: 3 mod 7=3, 7 mod 3=1, –15 mod 8=1, –23 mod –17=11 Propiedades: 1. Todo a,b∈Z cumple que a MOD b = (a MOD b) MOD b. Es evidente, porque el resto a MOD b es menor que el divisor b. 2. Para a,b,c,d,m ∈ Z, m≠0, a mod m=b mod m, c mod m=d mod m, se cumple que (a+c) mod m = (b+d) mod m, y (a·c) mod m=b·d mod m. Demostración:
a = q1 m + r , b = q 3 m + r a + c = m(q1 + q 2 ) + ( r + r ′) → c = q 2 m + r ′, d = q 4 m + r ′ b + d = m(q 3 + q 4 ) + ( r + r ′)
Se dan dos casos: 1. (r+r’)<|m|. Entonces, a+c MOD m = r+r’ = b+d MOD m 2. (r+r’)≤|m|. Entonces, r+r’=mq5+r’’ 0≤r’’
a + c = m(q 1 + q 2 ) + mq 5 + r ' ' → a + c = m(q1 + q 2 + q 5 ) + r ' ' b + d = m(q 3 + q 4 ) + mq 5 + r ' ' → b + d = m(q 3 + q 4 + q 5 ) + r ' '
con lo que (a+c) MOD m = r’’ = (b+d) MOD m. Para el producto el razonamiento es analogo. Maximo Común Divisor +
Sean a,b∈Z, d∈Z , se dice que d es divisor común de a,b si d|a y d|b. Ademas, el divisor común d será un máximo común divisor de a, b si es divisible por cualquier otro divisor de a, b. Se denota mcd(a,b). En caso de que a=b=0 entonces mcd(0,0,...0)=0. Todo lo anterior también es válido sustituyendo a, b por una sucesión finita a1,a2,...an. + Se exige que d∈Z porque si d=0, y a=0 o b=0, existiría una indeterminación dentro del enunciado, y no sería una definición ni sería nada. Ejemplo: Los divisores comunes de 42 y 70 son 1,2,7,14. El mcd(42,70) es 14.
Teorema de Bedut Para a,b, enteros distintos de 0 y d=mcd(a,b), d es el entero positivo más pequeño que puede expresarse de la forma ax+by, con x,y∈Z. (d es, por tanto, único) Demostración: Sea M={m=ax+by / ax+by>0 con x,y∈Z}. dos enteros a,b distintos de cero.
-: Es decir, M es el conjunto de combinaciones lineales de
M no es vacío, porque por ejemplo: |a|=a(±1)+0b, y |a|∈M porque |a|>0. Por el principio de la buena ordenación M tiene un primer elemento que llamaremos d. Como d∈M, existen x1,y1∈Z tal que d=ax1+by1. Llegados a este punto tenemos que: d es divisor común de a y b: Si d no dividiese al número a , se cumpliría a=dq+r con 0
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La contradicción se resolvería si r=0. Por tanto d|a , y analogamente podemos probar que d|b. d es además el máximo de los divisores comunes: Sea d’ tal que d’|a, d’|b. Esto implica d´|(ax+by), y como d=(ax+by) entonces d´|d, y por tanto d≥d’. De aqui también se saca que el mcd es el entero más pequeño de esa forma, o habría otro que lo dividiría. d es único: Si existieran d1, d2 = mcd(a,b), por definición de mcd cumplirían d1|d2 y d2|d1. Para todo v,w ∈ Z, se tiene que v|w ⇒ |v|≤|w|, por lo que |d1|≤|d2| y |d2|≤|d1|, es decir |d2| = |d1|. Por definición de mcd, d2>0 y d1>0, así pues d2=d1.
$OJRULWPR GH (XFOLGHV EiVLFR \ H[WHQGLGR Algoritmo de Euclides Sirve para calcular el mcd de dos números a y b. Para enunciar este algoritmo nos serviremos de una proposición y un teorema previos. Proposición Considerando a/b con b≠0, por el algoritmo de la división tenemos que a=bq+r, y además se cumple que: 1) Los divisores comunes de a y b también son divisores de r 2) Los divisores comunes de b y r también son divisores de a Demostración:
(1) Para todo a,b∈Z, existen q y r ⁄ a=bq+r. Sea c tal que c|a, c|b, entonces a=cq1, b=cq2. Por tanto cq2q+r =cq1 ⇒ r=c(q1–q2·q) ⇒ c|r. (2) Supongamos ahora c ⁄ c|b, c|r con b=cq1, r=cq2. Por tanto a=cq1q+cq2 ⇒ a=c(q1q+q2) ⇒ c|a. Teorema En una división el mcd(dividendo,divisor) = mcd(divisor,resto). Es decir, a=bq+r, con a,b,q,r∈Z, b≠0, cumple mcd(a,b)=mcd(b,r). Demostración: Como vimos antes, dividendo y divisor tienen los mismos divisores que divisor y resto. Por tanto, ambos tendrán el mismo máximo común divisor.
Algoritmo de Euclides Como mcd(a,b)=mcd(|a|,|b|), podemos suponer sin perdida de generalidad que a ≥b>0. Dividimos a por b: a=bq1+r1 , (r1 será 0≤r1
De este modo obtenemos un conjunto de números r1>r2>... , de modo que llegaremos a un rn=0. Entonces: rn–1 = mcd(rn–2, rn–1) = ... = mcd(b,r1) = mcd(a,b)
El número de pasos necesarios es como máximo 5 veces el número de dígitos del número más pequeño de entre los a,b por los que comenzamos a calcular el mcd
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Algoritmo extendido de Euclides Sirve para hallar los terminos de la combinación lineal que dan origen al mcd. Para ello se realiza el proceso inverso al seguido en el algoritmo de Euclides. (Ver el ejemplo que sigue)
Ejemplo: Calcular mcd(3120,270) y los terminos x,y tales que mcd(3120,270)=3120x+270y. Algoritmo de Euclides: 3120 = 11·270 + 150 270 = 1·150 + 120 150 = 1·120 + 30 120 = 4·30 + 0 30 = mcd(120,30) = mcd(150,120) = mcd(270,150) = mcd(3120,270) 30 = mcd(3120,270)
Algoritmo extendido de Euclides: Realizamos el camino inverso al algoritmo de Euclides empezando por la expresión donde el mcd es resto. Iremos sustituyendo valores con el objeto de llegar a los números de los que se hallo el mcd.
150–1·120 = 30 150–1·(270–1·150) = 30 → 150–270+150 = 30 → 2·150–270 = 30 2·(3120–11·270)–270 = 30 → 2·3120–22·270–270 = 30 → 2·3120–23·270–270 = 30 Así pues, mcd(3120, 270) = 30 = 2·3120+(–23)·270. Luego, x=2, y=–23.
(consecuencia del algoritmo de Euclides)
Teorema +
Todo k∈Z cumple mcd(ka,kb) = |k|·mcd(a,b) Demostración Para ka, kb, podemos suponer sin perdida de generalidad que ka≥kb. ka≥kb ⇒ ka=(kb)q1+r con 0≤r
0. Si k<0, entonces –k>0 y tenemos que
mcd(ka,kb) = mcd(–ka,–kb) = –k·mcd(a,b) = |k|·mcd(a,b)
Ejemplo: Calcular mcd(36,90) mcd(36,90) = mcd(18·2,18·5) = 18·mcd(2,5) = 18·1 = 18
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1~PHURV SULPRV
Nºs primos Decimos que p∈Z ⁄ p>1, es primo si sus únicos divisores son 1 y p. En caso contrario decimos que es compuesto y puede expresarse como p=a·b con 1
-
Para a,b,c∈Z, mcd(a,b)=1, a|bc, se cumple que a|c. Demostración d=mcd(a,b)=1 ⇒ d=ax+by para algun x,y∈Z c·ax+c·by=c·1 Por hipotesis a|bc, y por tanto a|cby. Es obvio que a|cax. Y así,
a | cby ⇒ a|(cax+cby) → a|(c·1) → a|c a | cax
Corolario: Sea p,a,b,c∈Z, p>1, p primo ⇔ si p|ab entonces p|a y p|b. Demostración “⇒” Sea p primo, p|ab. Podemos suponer que p no es primo con a (si lo fuese, su único divisor común sería el 1, pero es imposible porque hemos supuesto p>1). Entonces mcd(p,a)=d≠1, y por tanto d|p, d|a. Como p es primo, d|p ⇒ d=p y por tanto p|a. “⇐” En el caso de p no primo, existirían a,b∈Z tal que p=ab con 1
Corolario: Sea p primo. Si p|(a1·a2·...·ar), entonces p|ai para algun i. Demostración Por asociativa a1·a2·...·ar=( a1·a2·...ar–1)·ar. De este modo podemos llegar a una expresión producto de dos números, y como vimos en el anterior corolario, p dividira a alguno de estos números.
Teorema fundamental de la aritmética uned33 Todo número entero>1 puede expresarse como producto de números primos. Además este
-
producto es único. Sea n>1,n∈Z, entonces: ∃ nºs primos p1,...,pk ⁄ n=p1·p2·...·pk con p1≤p2≤...≤pk Esta factorización es única en el siguiente sentido:
- si podemos expresar n como producto de 2 series de factores es que esas 2 series son en realidad la misma)
si n=q1·q2·...·qm con q1≤q2≤...≤qm entonces k=m y qi=pi para cada i=1,2,..,k
Demostración
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Demostramos que todo número es factorizable mediante reducción al absurdo: Sea el conjunto S, no vacío, tal que S={a∈Z ⁄ a>1, y a no es factorizable} Por el principio del buen orden existe un primer elemento b.
Vemos que b no es primo (si no, la secuencia de primos cuyo resultado es b, sería la formada por él mismo). Por tanto b es compuesto, y puede expresarse como b=u·v con 1
Dado que supusimos b primer elemento de S, tenemos una contradicción que se resuelve con S=∅. Solo queda por demostrar la unicidad del producto de números primos (ver uned 34).
Corolario uned 35
-: Lo mismo que el T
a fundamental de la aritmetica solo que usando un formato para el producto en el que los factores repetidos se expresan en forma de potencia.
Sea n∈Z con |n|>1. Entonces n tiene una factorización única de la forma n=±(pα )1 ... (pα )t formada de 1 o más primos distintos, cuyos exponentes son ≥1. Esta factorización se llama factorización canónica de n. 1
t
Ejemplos 4 • 48 = –(24·2) = –(12·2·2) = –(3·2·2·2·2) = –(3·2 ) 2 363 = 121·3 = 11 ·3
Teorema El nº de primos es infinito uned36 Demostración: Supongamos que P={p1,...,pt}, es el conjunto finito de números primos. y hallemos la contradicción buscando un número primo que no se halle en ese conjunto Sea m=(p1·p2·...pt)+1. Al ser m entero mayor que 1, podemos factorizarlo como producto de primos: m=q1·...qs siendo los qi números primos Notese que m MOD pi=1 para un pi cualquiera de P, por lo que ningún pi forma parte de la secuencia de primos cuyo resultado es m. Asi, cada qi es primos ∉P, lo cual es una contradicción que se resuelve si P es infinito.
Corolario pn+1 ≤ (p1·p2...pn)+1 (explicación en uned37)
Teorema
- Si no existe algun primo ≤
a tal que p|a, entonces ese a es primo.
Sea a∈Z, a>1. Si para todo primo p≤
a
no se cumple p|a, entonces a es primo
Demostración: Sea un número a compuesto: a=b·c con 1
Podemos suponer sin perdida de generalidad que b≤c, y vemos que b≤c → b ≤ b·c → b ≤ a Hemos llegado a una contradicción:
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-
Si b es primo llegamos a una contradicción por suponer que a no es divisible por algun primo p≤ a - Si b es compuesto llegamos a una contradicción, pues b compuesto podría expresarse como producto de primos, y siendo p uno de ellos: b|a, p|b ⇒ p|a, siendo p
Ejercicio: Demostrar que
2 y 3 5 son irracionales. Resuelto en Uned 40,41.
MCD a partir de la factorización de A y B (uned 41)
Siendo a,b enteros, existen números primos con exponentes ≥0 tal que 1 t a=±(pα )1 ... (pα )t 1 t b=±(pβ )1 ... (pβ )t Estas factorizaciones se consiguen mediante la factorización canónica de a y b. La factorización canónica de a y b consiste en descomponer cada número en factores y añadirle con exponente 0, los factores primos que le falten respecto al otro. 2 2 Por ejemplo, las factorizaciones canónicas de 350 (=2·5 ·7) y 198 (=2·3 ·11) serían 0 2 0 2 0 0 2·3 ·5 ·7·11 y 2·3 ·5 ·7 ·11.
Teorema Sean
a=±(pα )1 ... (pα )t 1 t b=±(pβ )1 ... (pβ )t 1
t
donde algunos exponentes pueden ser 0. Entonces min(α1,β1)
d = mcd(a,b) = p1
... p t
min(αt,βt)
Demostración Sea d= p1min(α1,β1) ... p t min(αt,βt). Es claro que d|a y d|b. Supongamos que existe c tal que c|a, c|b. Entonces c = p1δ1 ⋅ ... ⋅ p δt t donde δi≤α i, δ i≤β i. Por tanto, δ i≤min(αi,β i), y por tanto c|d. Entonces d=mcd(a,b). Ver ejemplo en Uned 43.
Definición Sean a,b∈Z. Llamamos mínimo común multiplo de a y b al menor entero positivo que sea múltiplo de ambos. Lo designaremos mcm(a,b).
Teorema Uned 45
Sean
α1
a=±(p )1 ... (pα )t 1 t b=±(pβ )1 ... (pβ )t t
donde algunos exponentes pueden ser 0. Entonces max(α1,β1)
d = mcm(a,b) = p1
... p t
max(αt,βt)
Demostración
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Sea d= p1max(α1,β1) ... p t max(αt,βt). Es claro que a|d y b|d. Supongamos que existe c tal que a|c, b|c. Entonces c = p1δ1 ⋅ ... ⋅ p δt t donde δi≥α i, δ i≥β i. Por tanto, δ i≥máx(αi,β i), y por tanto d|c. Entonces d=mcm(a,b). Ver ejemplo en Uned 46.
3ULQFLSLR GH LQGXFFLyQ Principio De Inducción Finita Sea S ⊆N. Si cumple: 1) 1∈S, igual al de N, o sea, 1. 2) para cada k≥1, si k∈S ⇒ k+1∈S igual al de N, o sea, ∞. entonces S=N.
- comprueba que el límite inferior de S es - comprueba que el límite superior de S es
Este principio se usa para demostrar que ciertas propiedades se satisfacen para todo nº natural n. Demostración: (por reducción al absurdo) • •
Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S≠N. Sea A=N–S≠∅ A=conj. de enteros positivos
- aqui es legítimo aplicar PBO porque
por el PBO existe un a∈A menor elemento de A, que sera ≠1 (porque 1∈S), y por lo tanto a≥2 y 1≤ a–1
- pq para a=2 daría 1) , entonces es que a–1∈S y por la 2º condición:(a–1)+1∈S ⇒
– (a–1) ∉A ( a∈S •
Existe contradicción entre a∈S y a∈A, basada en suponer S≠N, por lo tanto S=N. porque o son = ó ≠
-
Los pasos a seguir en su aplicación práctica son: 1) Definir el conjunto S={ n∈N tales que P(n) es verdadera } 2) Probar que 1∈S (este límite inferior se llama base de inducción). 3) Suponer que k∈S para un k arbitrario ⁄ k≥1 (este es el paso inductivo). 4) Demostrar que k+1∈S o Z?? Corolario uned53 Es igual que el principio de inducción pero en vez de para∀ N, para un subconjunto propio
-
suyo: [n0...∞) Sea n0∈Z, y M={n∈Z ⁄ n≥n0}. Sea S⊆M tal que 1) n0 ∈ S 2) Para todo k≥n0, si k∈S ⇒ (k+1)∈S entonces S=M Demostración en uned 53 Corolario uned54 Parecido al anterior, esta vez en un subconj. propio de Z: [n0...∞)
-
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Sea n0∈Z. Supongamos la propiedad P tal que 1) P(n0) es cierta 2) Para todo k≥n0 se cumple que P(k) ⇒ P(k+1) Entonces P(n) cierta para ∀ entero n≥n0 Demostración propuesta en uned 54
Principio Fuerte De Inducción uned55 Es lo mismo que el de inducción finita pero restringido a k
-
Sea S un conjunto de naturales tales que 1) 1∈S 2) Sea un entero arbitrario n>1. Si k∈S ⁄ 1≤k≤n, se cumple que n∈S Entonces S=N Demostración: (por reducción al absurdo) (Es casi la misma que la de inducción finita) • • •
Supongamos que S satisface 1 y 2, pero S≠N. Entonces existe A ⁄ A=N–S≠∅ Por PBO ∃ n0∈A ⁄ n0>1 y n0=menor elemento de A. Se cuimple 1,2,...,n0–1∈S Por 2) n0∈S (contradicción). Así pues, N–S=∅ y S=N.
Corolario uned58 lo mismo de antes
-
Sea P(n) una propiedad para los naturales. Si cumple : 1) P(1) cierta 2) Sea un entero arbitrario n0>1. Si P(k) cierta para todo k ⁄ 1≤k≤n0 ⇒ P(n0) cierta
entonces P(n) se satisface para todo N
Corolario uned58 lo mismo para n0 en vez de 1
-
Sea n0 un número fijo ⁄ n0 ∈ Z, sea M={ n∈Z, n≥n0 } . Si para S⊂M, S cumple: 1) n0∈S 2) Para cada n>n0 y cada k ⁄ n0≤k
entonces S=M Corolario uned58 lo mismo con n0...n1
-
Sea P(m) una propiedad con m∈Z y n0∈Z y fijo, que cumple: 1) P(n0) es cierta 2) para cada n1>n0 y cada k ⁄ n0≤k
(&8$&,21(6 ',2)$17,&$6 Con este nombre se designan una amplia clase de ecuaciones algebraicas con más de una indeterminada en un particular sistema de números como son Z y Q. Teorema Para a,b,n∈Z, tenemos que ax+by=n tiene solución entera x0, y0 ⇔ ∃ d=mcd(a,b) ⁄ d|n
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Demostración: d | a ⇒ d | ax 0 ‘⇒’ ⇒ d | ax 0 + by 0 = n d | b ⇒ d | by 0 ‘⇐’ d=mcd(a,b) y por Bedut d=αa+βb con α,β∈Z Sean x0=nα/d, y0=nβ/d. Es suficiente probar que x0, y0 resuelven la ecuación. Para ello los sustituimos: anα bnβ aα bβ + = n + ax 0 + by 0 = ?? =n d d d d
/
Teorema Uned 65 Sea ax+by=n con d|n, y a,b,n enteros no nulos. Entonces la solución particular de la ecuación ax+by=n tiene la forma λb λa , y 0 − donde λ∈Z. x 0 + d d Demostración en uned 65 (2 páginas).
Teorema Uned 70 2 2 La ecuación diofántica x –y =n con n>0, tiene solución si y solo si n se puede factorizar como producto de dos números de la misma paridad (ambos pares o ambos impares). Si existen, las soluciones de la ecuación tienen la forma x =
a+b a−b , y= , donde a y b 2 2
recorren todos los números de la misma paridad y tales que n=ab.
Algoritmo de factorización de Fermat Uned 72 Permite conocer si un número natural impar es compuesto, y si lo es, hallar sus factores. Sea n un número natural impar. Si n es compuesto se tiene que n=ab donde a y b también han de ser impares, y podemos suponer que a≥b>1. Por el teorema anterior se puede escribir
a + b a − b − =n. 2 2 2
2
Luego estudiar si un número impar es compuesto es un problema equivalente a resolver la 2 2 2 2 ecuación x –y =n , que puede escribirse x –n=y . 2 El primer paso es determinar el mínimo entero positivo q que satisfaga q ≥n y 2 2 2 posteriormente habra que estudiar si alguno de los números q –n, (q+1) –n, (q+2) –n, ... es un cuadrado.
n 2 + 2 n + 1 − 4 n n + 1 n + 1 = Este proceso no es indefinido ya que −n= . 2 2 4 2
2
Esta solución corresponde a la factorización trivial n=n1. Luego los únicos valores que hay que n+1 . estudiar son aquellos números m que satisfacen q≤m< 2 Si existe algun m ⁄ m –n que sea un cuadrado, entonces n es compuesto. 2
Para hallar sus factores tenemos que x=m, y=m –n ⁄ y es un cuadrado 2
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Resolviendo a y b en a+b a-b x= , hemos terminado: n=a·b. , y= 2 2 Teorema Uned 74 2 2 2 Las soluciones de la ecuación pitagorica x +y =z que satisfacen: mcd(x,y,z)=1, 2|x, con x,y,z>0 vienen dadas por las fórmulas x=2st 2 2 v=s –t , 2 2 z=s +t para naturales s,t, s>t, con distinta paridad, tales que mcd(s,t)=1.
&21*58(1&,$6 Definición Sea m>0. Dados a,b∈Z se dice que a y b son congruentes módulo m si a–b es divisible por m. Simbólicamente esta relación se escribe: a≡b mod(m) ⇔ m|(a–b) .
Ejemplo: El minutero del cronometro se pone a 0 cada 60 minutos. Si llevo cronometrados 95 minutos, el cronometro marcará 35, que es un número congruente con 95 módulo 60. Se denota 35≡95 mod 60 o tb. 95≡35 mod 60. Teorema Uned 90 Para a,b enteros, se cumple que a≡b mod(m) ⇔ a y b tienen el mismo resto al dividirlos por m Demostración ‘⇐’ Sean a=q1m+r, b=q2m+r. Entonces a–b=(q1m+r)–(q2m+r)=(q1–q2)m ⇒ m|(a–b), y por tanto a≡b mod(m). ‘⇒’ ........
Propiedades Teorema Uned 91 ≡m es una relación de equivalencia en Z Si h|a, h|b, mcd (h,m)=1 y a≡b mod(m), entonces
a b ≡ mod( m). h h
Si a≡b mod(m) entonces ha≡hb mod(m) .............................
Teorema Uned 95 La ecuación ax≡b mod(m) tiene solución ⇔ d|b ⁄ d=mcd(a,m). Ademas el número de soluciones no congruentes módulo m es exactamente d. Teorema Chino del Resto Uned 96 El sistema de congruencias xai≡bi mod(mi), i=1,2, ..., k donde mcd(mi , mj)=1 si i≠j y mcd(ai , mj)=1 para 1≤i≤k , tiene una única solución x0 módulo m1m2...mk y las demas soluciones son de la forma x=x0+λm1m2...mk, λ∈Z.
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Teorema de Euler Uned 102 (m) Sean a y m dos números enteros con m≥1, entonces si mcd(a,m)=1 se tiene que aφ ≡1 mod(m). Pequeño teorema de Fermat p–1 Si p es un número primo que no divide al número a, entonces a ≡1 mod(m). Teorema de Wilson 104 y ver ejemplo 1–5.31 Si p es un número primo, entonces (p–1)! ≡ –1mod(p).
Uned
SISTEMAS DE NUMERACIÓN En esta sección se estudian sistemas de numeración diferentes al usado convencionalemente, es decir, sistemas no decimales. Terorema Uned 110 Sea b≥2 un número natural llamado base. Todo número n∈N tiene representación única en base b de la forma k k–1 n = akb + ak–1b +...+ a1b + a0 , para algún k≥0, con 0≤ai
n
n
n
i =1
i =1
i=1
i=1
∑ a i ≡ ∑ b i mod( m), ∏ a i ≡ ∏ b i mod( m) .
Criterio de divisibilidad por k Uned 115 t t–1 Sea n un número natural. Como n = at10 + at–110 +...+ a110 + a0 , podemos escribir t
n = ∑ a i 10 i . i=0
i
Consideremos ahora losrestos de la división de 10 por k para i=0,1,...,t. Supongamos que 0 son ro, r1, ..., rt, donde r0=1, ya que 10 =1 y estamos suponiendo k≥2. Tenemos entonces, 0 1 t 10 ≡r0 mod(k), 10 ≡r1 mod(k),...,10 ≡rt mod(k).
En congruencias vimos que si a≡b mod(m) entonces ha≡hb mod(m), y por el teorema de arriba, se tiene que t
t
i=0
i=0
n = ∑ a i 10 i ≡ ∑ a i rr mod( k ), t
luego n es divisible por k si y solo si
∑ a i ri es divisible por k. i=0
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7HPD
&RPELQ &RPELQDDWRULD \ UHFX HFXUUUHQFLD
Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con y sin repetición. Fórmulas combinatorias. Teorema binomial. – ENTRA HASTA AQUÍ – Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de ecuaciones recurrentes por iteración. Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funciones definidas recurrentemente.
3ULQFLSLRV IXQGDPHQWDOHV GHO FRQWHR Principio de la adicción Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio de m+n maneras de realizar una tarea. Principio de la multiplicación Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de m·n maneras. Principio de la distribución Sean m,n,p números naturales (≠0). Si se distribuyen np+m objetos en n cajas entonces alguna caja deberá contener, al menos, p+1 objetos. Demostración: Supongamos que contienen menos de p+1, por ejemplo, p objetos; entonces, el número total de objetos contenidos en las n cajas será como máximo np0. Por tanto, al menos una de las cajas debe contener, como mínimo, p+1 objetos.
Corolario Dados n números enteros positivos m1, m2, ..., mn tal que
∑i=1 m i n
n
> p,
entonces para algún 1 ≤ i ≤ n se tiene que mi>p. Demostración: Observemos en primer lugar que el resultado es obvio para n=1, ya que si (m1/1)>p entonces m1>p. La desigualdad del enunciado puede escribirse como
∑i=1 m i > p . Así, existe m>0 tal que n
∑i=1 m i = np + m. n
Supongamos que disponemos de n cajas y que mi es el número de elementos de cada caja, por el principio de la distribución alguno de los mi debe ser estrictamente mayor que p.
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3HUPXWDFLRQHV YDULDFLRQHV FRPELQDFLRQHV Para un entero n ≥ 0, n factorial, expresado n!, se define por: 0! = 1, n! = (n)·(n–1)·(n–2)·...·3·2·1, para n ≥1 Según la regla del producto, las maneras de escoger n elementos de entre un total de N según un determinado orden, son igual al producto de n operandos de la forma N·(N-1)·(N-2)·...·(N-n+1)
Esta expresión se conoce como Variaciones de N tomadas de n en n, y se representa como VN , n. Para llegar a una versión simplificada se opera así1: N(N–1)(N–2) ... (N–n+1)·
( N − n)(N − n − 1) ... (3)(2)(1) N! = = VN,n (N − n)(N − n − 1) ... (3)(2)(1) (N − n)!
En el caso especial en que N=n, se llama permutaciones de N, y se representa PN. N! N! PN = = = N! (N − n)! 0! En general, si hay N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un r– ésimo tipo, donde n1 +n2 +...+nr = N, entonces hay
N! permutaciones de los objetos dados. n 1! n 2 !... n r !
Si se tratase de escoger n elementos pudiendose repetir cualquiera, el repertorio donde escoger no disminuiría y la expresión sería el producto de n veces N: N·N·...·N = Nn Esta expresión se conoce como Variaciones con repetición y se representa como VR N ,n = N . Notese que cuando calculabamos VN,n estabamos hallando el número de grupos de n elementos distintos, multiplicado por el número de posibilidades de ordenar internamente esos grupos de n elementos (PN). Si quisieramos hallar el número de maneras de escoger n de entre N elementos distintos sin repetición y sin orden tendríamos la expresión VN,n PN
N . n
, que se llama combinanciones de N tomadas de n en n y se representa CN,n ó
En general, dados N objetos distintos de los cuales se quiere tomar n objetos con repetición, su ( N + n − 1)! N + n − 1 . número sera = n!( N − 1)! n En consecuencia, el número de combinaciones con repetición de N objetos, tomados de n en n, es C(N+n–1,n).
1
Notese que añadimos una fracción cuyo resultado es 1.
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Resumen Variación es el número de ordenaciones de n elementos tomados de un total de N. Permutación es el número de ordenaciones de los N elementos de un conjunto. Variación con repetición es el número de ordenaciones de n elementos, tomados repetidos o no, de un total de N. Combinación es el número de conjuntos de n elementos tomados de un total de N. Combinaciones con repetición es el número de conjuntos de n elementos, tomados repetidos o no, de un total de N. VN,n =
VN,n N! , PN = N! , VR N ,n = N , C N, n = , CR N ,n = C N + n −1,n PN (N − n)!
Además, en el caso de N objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, ..., y nr de un r– ésimo tipo, donde n1 +n2 +...+nr = N, el número de permutaciones de los objetos dados es N! . n 1! n 2 !... n r !
7HRUHPD ELQRPLDO Teorema binomial Grimaldi 14 Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces n n n n n n − 1 1 n n 0 n k n − k (x+y)n = x 0 y n + x 1 y n −1 + x 2 y n −2 + ... + x y + x y = ∑ x y . 0 1 2 n − 1 n k = 0 k
Demostración: En el producto (x+y) (x+y) (x+y) ... (x+y)
el coeficiente de xkyn–k , 0 ≤ k ≤ n, es el número de formas distintas en que se pueden seleccionar las kx (y en consecuencia las (n–k)·y) de las nx disponibles en los n fatores. Por ejemplo, una forma es elegir x de los primeros k factores e y de los últimos n–k factores. El nº total de las selecciones de tamaño k de una colección de tamaño n es C(n,k) de donde resulta el teorema. n n n k n− k De este resultado se observa que(x+y)n = ∑ x y . Debido a este teorema, suele k k = 0 n − k denominarse coeficiente binomial.
Corolario Para cualquier entero n>0,
n n n n a) + + +...+ = 2 n 0 1 2 n n n n n b) − + + ... + ( −1) n = 0 0 1 2 n
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Demostración: El apartado a) resulta del teorema binomial al hacer x=y=1. Cuando x=–1 e y=1, resulta el apartado b).
Teorema Uned 240 Para cada n, k ∈ N∪{0} y para k≤n se cumple la siguiente igualdad
n + 1 k k + 1 n = + + ... + k + 1 k k k
Teorema multinomial (generalización del teorema binomial) Uned 14 Para los enteros positivos n, t, el coeficiente de x 1n1 ⋅ x 2n 2 ⋅ x 3n 3 ... x nt t en (x 1 + x 2 + x 3 + ... + x t n ) es
n! i donde cada n es un entero con 0≤ ni ≤n, para toda 1≤ i ≤ t y n 1 ! n 2 ! n 3 !... n t !
n1+n1+n1+...+nt=n.
3ULQFLSLR GH LQFOXVLyQ H[FOXVLyQ Sea S un conjunto finito y P1, P2, ..., Pn propiedades que cada uno de los elementos de S puede o no satisfacer. Para cada i=1, 2, ..., n, sea Si = {x∈S tal que x satisface Pi} entonces
S n
i =1
i
= {x ∈ S tal que x satisface al menos una de las propiedade s Pi , i = 1,2,..., n}
(S − S ) = S′ = {x ∈ S tal que x no satisface ninguna de las propiedades P , i = 1,2,...,n} n
i =1
n
i
i =1
i
i
donde Si’ es el complementario de Si en S. Teorema (principio de Inclusión-Exclusión) Uned 252 Con la notación anterior:
n
i =1
n
S′i = S − ∑ Si + ∑ S i1 ∩ S i 2 − ∑ S i1 ∩ S i 2 ∩ Si 3 + ... + ( −1) k ∑ S i1 ∩ S i 2 ∩ ... ∩ S ik + ...(−1) n ∑ S 2 ∩ S1 ∩ . i =1
donde para 2≤k≤n, las sumas
∑ Si1 ∩ Si2 ∩ ... ∩ Sik
se extienden a todas las combinaciones
de orden k, {i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}. Corolario Uned 253 El número de elmentos de S que satisfacen al menos una de las propiedades P1, P2, ..., Pn es
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S n
i =1
(−1)
n
i
= S − ∑ S i − ∑ S i1 ∩ S i 2 + ∑ S i1 ∩ S i 2 ∩ S i 3 + ... + ( −1) k −1 ∑ S i1 ∩ S i 2 ∩ ... ∩ S ik + ... +
n −1
i =1
∑S
2
∩ S1 ∩ ... ∩ S n
donde para 2≤k≤n, las sumas
∑ Si1 ∩ Si2 ∩ ... ∩ Sik
se extienden a todas las combinaciones
de orden k, {i1, i2, ..., ik}, de {1,2,..,n}.
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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios I 1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explique brevemente la respuesta.
9
a) ∅ ⊆ ∅
8
f) {∅} ∈ ∅
9
k) {a,b} ⊆
8
b) ∅ ∈ ∅
9
g) {∅} ⊆ {∅}
8
l) {a,b} ∈ {
c) ∅ ⊆ {∅}
8
h) {∅} ∈ {∅}
9
n) {a, ∅ } ∈
9
i) {a,b} ⊆ {a,b,c, {a,b,c} }
8
m) {a, ∅} ⊆
8
j) {a,b} ∈ {a,b,c, {a,b,c} }
{a,b, {a,b} }
a,b, { { a,b } } }
9
{a, {a, ∅ } }
9
d) ∅ ∈ {∅}
{a,{a, ∅ }}
8
e) {∅} ⊆ ∅
Hay que tener en cuenta que todo conjunto tiene como subconjunto a si mismo y al vacio, y que un conjunto A es subconjunto de otro B, si A aparece como elemento del conjunto potencia de B.
y C son
2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones acerca de conjuntos arbitrarios A, B verdaderas. Justifique la respuesta. a) Si A ∈ B y B ⊆ C, entonces A ∈ C
9, porque ∀ b ∈ B ⇒ b ∈ C b) Si A ∈ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C A aparece como elemento en C, lo cual no garantiza que los elementos de A esten en C. 8, contraejemplo : Sea A={a}, B={ {a}, b, c }. Vemos que A ∈ B. Sea C={ {a}, b, c,d }, vemos que B ⊆ C, pero {a} ∉P(C), por lo que no se cumple A ⊆ C
c) Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ∈ C A no aparece como elemento, aunque sus elementos formen parte de un elemento de C. 8, contraejemplo : Sea A={a}, B={a,b}, C={ {a,b}}. Vemos que A ∈ C solo se cumpliria si C={...,{a},....,...}
d) Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ⊆ C Los elementos de A no aparecen en C, sino integrando un elemento de C.
8, contraejemplo : ⊆C
Sea A={a}, B={a,b}, C={{a,b}} pero P(C)={ ∅ , {{a,b}} } , por lo que no se cumple A
3. Sean (A∩C)⊆(B∩C) y (A∩ C )⊆(B∩ C ), demostrar que A⊆B.
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Sabemos que C∪ C =U y A=A∩U, asi que A=A∩(C∪ C ), que desarrollado, = (A∩C) ∪ (A∩ C ) Y observando el enunciado : ((A∩C)∪(A∩ C )) ⊆ ((B∩C)∪(B∩ C )) → A ⊆ B
4. ¿Que se puede decir de los conjuntos P y Q ? a) P∩Q = P ⇒ P⊆Q ?
Dems. : Para cualquier x∈P : P=(P∩Q) ⇒ x∈(P∩Q) ⇒ x∈Q
b) P∪Q = P ⇒ Q⊆P ?
Dems. : Para cualquier x∈P : P=(P∩Q) ⇒ x∈(P∩Q) ⇒ x∈Q
c) P⊕Q = P ⇒ Q=∅ ?, es decir : (P∪Q)–(P∩Q)=P ⇒ Q=∅ ? Es erroneo suponer que Q=∅, Dems. :
x ∈P ⇒ x ∉P ⊕ Q ⇒ P ≠ P ⊕ Q Si x ∈ Q : x ∉P ⇒ x ∈P ⊕ Q ⇒ P ≠ P ⊕ Q d) P∩Q = P∪Q ⇒ P=Q ?
Dems : Para ∀ x∈P ⁄ P∩Q = P∪Q, ⇒ x∈Q ⇒ P=Q
5. a) Sean A⊆B y C⊆D. ¿Siempre sucede que (A∪C) ⊆ (B∪D)? x ∈ A ⇒ x ∈B ⇒ x ∈B ∪ D x ∈ C ⇒ x ∈D
Sí, x ∈ A ∪ C ⇒
¿Siempre sucede que (A∩C)⊆(B∩D)? x ∈ A ⇒ x ∈B ⇒ x ∈B ∩ D x ∈ C ⇒ x ∈D
Sí, x ∈ A ∩ C ⇒
b) Sean A⊂B y C⊂D. ¿Siempre sucede que (A∪C)⊂(B∪D)? No. En a) demostramos que son subconjuntos, ahora refutaremos demostrando que son iguales. Contraejemplo : A={1,2}, B=D={1,2,3}, C={2,3}, vemos que A⊂B y C⊂D, pero (A∪C)=(B∪D)
¿Siempre sucede que (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)? Contraejemplo : A={1,2}, B={1,2,3}, C={1,4}, D={1,4,5} vemos que A⊂B y C⊂D, pero (A∩C)=(B∩D).
6. a) Puesto que (A ∪ B)=(A ∪ C), ¿es necesario que B=C? No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={3,4,6}, C={2,4,6}
b) Puesto que (A ∩ B)=(A ∩ C), ¿es necesario que B=C? No, contraejemplo : A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={2,3,5}
c) Puesto que (A ⊕ B)=(A ⊕ C), ¿es necesario que B=C? A ⊕B=(A ∪ B)–(A ∩ B), A ⊕C=(A ∪ C)–(A ∩ C)
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x ∈ A ⊕ B ⇒ x ∉ A, o x ∈ A ⊕ C ⇒ x ∈C x ∉ A ⊕ B ⇒ x ∈ A, o x ∈ A ⊕ C
Para x ∈B ⇒
x ∈ A ⊕ C ⇒ x ∉ A, o x ∈ A ⊕ B ⇒ x ∈B x ∉ A ⊕ C ⇒ x ∈ A, o x ∈ A ⊕ B
Para x ∈ C ⇒
7. Sean A,B,C conjuntos arbitrarios. a) Demostrar (A–B)–C=A–(B ∪ C) A–B= A ∩ B (A–B)–C → (A∩ B )–C → (A∩ B )∩ C → A∩( B ∩ C ) → A∩ (B ∪ C) → A–(B∪C) b) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–B (A–B)–C → (A∩ B )∩ C → (A∩ C ) ∩ B → (A–C)–B c) Demostrar (A–B)–C=(A–C)–(B – C) A–(B ∪ C) = A–(C ∪ (B–C)) → A–(B ∪ C) ⊆ A–(C ∪ B) x ∈ C ⇒ x ∈(B − C) ∪ C x ∈ C ⇒ x ∈(B − C) ∪ C x ∈B ∪ C ⇒ x ∈B x ∉ C ⇒ x ∈B − C ⇒ (B − C) ∪ C Como son iguales, se verifica la demostración.
er
B=estudiantes de 2º, 8. Sean A=estudiantes de 1 curso, C= estudiantes de I.T. Informática, D= estudiantes de I. Informática, E= estudiantes de MD, F= estudiantes que fueron al concierto, G= estudiantes que se acostaron tarde Expresar : a) Todos los del 1º curso de I. Informática cursan MD : A ∩ E=A b) Los del curso de MD o los que fueron al concierto se acostaron tarde : E∪ F=G c) Ningún estudiante de MD fue al concierto : E ∩ F= ∅ d) El concierto fue solo para estudiantes de 1º y 2º : ( A ∪ B) ∩ F= ∅ e) Todos los de 2º que no son de I. T. Informática ni de I. Informática, fueron al concierto. F∩(B–C–D )=F
9. Sea A={∅}. Sea B=P(P(A)). P(A)={A,∅,{∅} }, B=P(P(A))= { A, ∅ , {∅}, {A}, {{∅}}, {A, ∅}, {∅,{∅}} }
9 9 9
a) ∅ ∈ B c) {∅} ∈ B e) {{∅}} ∈ B
9 9 9
b) ∅ ⊆ B d) {∅} ⊆ B f) {{∅}} ⊆ B
10. ¿Verdadero o falso?
8
a) A ∪ P(A) = P(A)
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Contraejemplo : Sea A={1,2} ; P(A)={∅, {1}, {2}, A}, A ∪ P(A)= {1, 2, ∅, {1}, {2}, {1,2} }
8
b) A ∩ P(A) = A
9
c) {A} ∪ P(A) = P(A) Porque {A} ∈ P(A)
8
d) {A} ∩ P(A) = A
9
e) A–P(A) = A
8
f) P(A)–{A} = P(A)
Ver Contraejemplo anterior.
Porque A ∩ P(A)= {1,2} ∩ {∅, {1}, {2}, A} = {A}
9 clase?
A esta como elemento en P(A), y ningun conjunto se tiene a si mismo como elemento.
P(A)–{A} = { ∅, {1}, {2} }
11. Sea A y B conjuntos arbitrarios. a) Demostrar P(A ∩ B)= P(A) ∩ P(B), o mostrar contraejemplo Para un x∈P(A∩B) ⇔ x⊆A∩B ⇔ x⊆A y x⊆B ⇔ x∈P(A) y x∈P(B) ⇔ x∈P(A)∩P(B), de modo que P(A∩B)=P(A)∩P(B)
b) Demostrar P(A ∪ B)= P(A) ∪ P(B), o mostrar contraejemplo Sea U={1,2,3}, A={1}, B={2}. Entonces {1,2} per P(A ∪ B), pero {1,2} ∉P(A) ∩ P(B)
12. Mostrar ejemplo de conjuntos con más de 4 elementos A y B y una función f:A → B tal que : a) f no sea inyectiva ni sobreyectiva b) f sea inyectiva y no sobreyectiva. c) f no sea inyectiva y sí sobreyectiva. d) f sea inyectiva y sobreyectiva
14a) 13e) 13d) 13a)
13. Para cada una de las siguientes funciones f:Z → Z, determinar si la función es inyectiva y/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f. a) f(x)=x+7 Inyectiva : f: Z → Z. Sobreyectiva : x → x+7
b) f(x)=2x–3 Inyectiva, sobreyectiva.
c) f(x)=-x+5 Inyectiva, sobreyectiva.
d) f(x)=x
2
No inyectiva : f(3)=9=f(-3). Sería inyectiva si f: Z → Z. 2 Sobreyectiva, pues para ∀ x ∈Z, ∃ |x|∈Z . +
2
e) f(x)=x +x Inyectiva, no sobreyectiva.
f) f (x)=x
3
Inyectiva, no sobreyectiva.
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14. Para cada una de las siguientes funciones f:R → R, determinar si la función es inyectiva y/o sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, determinar la imagen de f. a) g(x)=x+7 2
d) g(x)=x 2 e) g(x)=x +x
b) g(x)=2x–3
c) g(x)=–x+5
f) g(x)=x
3
imagen = [0,+∞) imagen = [-1/4,+∞)
a), b), c), y f) son inyectivas y suprayectivas, d) y e), ni inyectivas, ni suprayectivas.
15. Dadas las funciones f,g:R → R 1 2 f(x)= y g(x)=x +3x+4 2 x +3 g $ f = (f(x)) +3x+4 → ... ; f $ g=
hallar f $ g y g $ f . 1
2
(g(x)) 2 + 3
→ ... ;
16. Sean f:A→B y g:B→C aplicaciones (por tanto, g $ f : A→C). Demostrar que: a) Si f y g son inyectivas entonces g $ f es inyectiva b) Si f y g son sobreyectivas entonces g $ f es sobreyectiva c) Si f y g son biyectivas entonces g $ f es biyectiva Ver demostración en apuntes.
17. En las mismas condiciones del ejercicio anterior demostrar que : a) Si g $ f es inyectiva entonces f y g también lo son b) Si g $ f es sobreyectiva entonces f y g también lo son c) Si g $ f es biyectiva entonces f y g también lo son
18. a) Sea f una aplicación ⁄ ∃ la inversa, f . Demostrar que f --1
--1
tiene inversa y es la propia f,
-1 -1
o sea (f ) . Según Pág 86 3.17 : ‘Si f :A→A, se define f =f, y para n ∈ Z , f -1
+
n+1
=f°(f )’ (Å demostración ?) n
b) Sean f y g aplicaciones biyectivas y componibles. Demostrar que la inversa de g $ f es -1
-1
(f ) $ (g ) . Para f, g invertible ⇒ f y g son biyectivas ⇒ g°f es biyectiva ⇒ g°f es invertible. -1 -1 -1 -1 -1 -1 Como (g°f) °(f °g )=IdC y (f °g )° (g°f)=IdA , f °g es una inversa de g°f. -1 -1 -1 Por la unicidad de los inversos, f °g =(f °g) .
19. Sean f: A → B, g:B → C y h: C → A aplicaciones tales que h $ g $ f es inyectiva, g $ f $ h es sobreyectiva y f $ h $ g es sobreyectiva. Demostrar que f, g y h son aplicaciones biyectivas. La composición de funciones es asociativa, y ya vimos antes que si la composición de 2 funciones es inyectiva, también lo son las 2 funciones, e idem con la sobreyectiva. Por tanto, son biyectivas.
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MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios II 1.
Estudiar las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto Z : a) x R y ⇔ xy > 0
8 reflexiva : 0·0 =0; (0,0) ∉ R 9 simetrica (si xRy ⇒ yRx) : porque el producto es conmutativo en Z 9 transitiva (xRy, yRz ⇒ xRz) : xy>0 y zy>0 ⇒ (xy)(yz)>0 → y2xz>0 → xz>0 b) x R y ⇔ xy ≥ 0
9 reflexiva : para x=0 → 0·0=0 y para x=– → x2=+ >0 9 simetrica : el producto es conmutativo 9 transitiva (xRy, yRz ⇒ xRz) : xy≥0 y zy ≥ 0 ⇒ (xy)(yz)≥0
→ y xz≥0 → xz≥0 2
2. En Z × Z se define la relación (a,b)R(c,d) si, y solo si, ad=bc. Demostrar que se trata de una relación de * equivalencia y hallar el conjunto cociente. (Z =Z–{0} ) *
9 reflexiva (x,y)R(x,y) : xy=yx, porque el producto es conmutativo en Z y Z* 9 simetrica (a,b)R(c,d) ⇒ (c,d)R(a,b) : ad=bc y cb=da 9 transitiva (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f) :
ad=bc y cf=de ⇒ af=be ? sí porque fad=bcf y bcf=deb ⇒ fad=deb →
fa=eb Conjunto cociente * Z×Z*/~ = { [(a,b)] ⁄ (a,b) ∈ Z × Z* } , [(a,b)]= { (c,d) ∈ Z × Z ⁄ (a,b)R(c,d) } ad=bc → a/b=c/d, el conjunto cociente seran todas las fracciones proporcionales a a/b, por consiguiente todas las clases unidas seran el conjunto de los números racionales Q 3. En el conjunto a={0,1,–2,4} se da la siguiente relación : Dados x,y ∈ A, xRy ⇔ x +x = 2 y +y. Demostrar que es una relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente. 2
4.
Sea f : A B una aplicación cuya descomposición canónica es f=i $ f 1 $ c. Demostrar : a) f es inyectiva ⇔ c es inyectiva. b) f es sobreyectiva ⇔ i es sobreyectiva. c) f es biyectiva ⇔ c,i son biyectivas.
5. Demostrar que la relación R definida en el conjunto de las partes de un conjunto U, P(U), por : A,B ∈ P(U), A R B ⇔ A ⊆ B es una relación de orden. ¿Es una relación de orden total?. 6. Sea A un conjunto, donde Card(A)=n. Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o flasa, en cuyo caso dar un contraejemplo. a) Si R es una relación reflexiva en A, entonces Card(R) ≥ n. b) Si R es una relación en A y Card(R) ≥ n, entonces R es reflexiva.
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c) Sean R1, R2 dos relaciones en A con R1⊆R2. Si R1 es reflexiva ( respectivamente simetrica, antisimetrica, transitiva) entonces R2 es reflexiva( respectivamente simetrica, antisimetrica, transitiva). Determinar si las siguientes relaciones definidas en el conjunto A son de equivalencia : a) A={a,b,c,d}. R={(a,a), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (d,c) } b) A={1,2,3,4,5}. R={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (2,3), (3,3), (4,4), (3,2), (5,5) } En caso afirmativo calcular las clases de equivalencia
7.
MATEMATICA DISCRETA. Ejercicios V 1.
Demostrar por inducción lo siguiente : a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n–1) = n2. base de inducción : ¿ 9 para n=1 ? sí, porque para 1+3+5+...+(2n–1)=n , con n=1 nos queda 2
1=1
paso inductivo : suponemos 9 para k ≥ 1, ¿9 para k+1? . O sea k+1
k
2 ∑ (2i - 1) = k ,
i=1
¿ ∑ (2i - 1) = (k+1) ? 2
i=1
k
vemos que se cumple, porque
2 2 2 ∑ (2i - 1) +(2(k+1)-1)=(k+1) → k +2k+2–1=(k+1) →
i=1 2
(k+1) =(k+1)
2
b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n–1) = n(2n–1)(2n+1) / 3 . base de inducción : 1=1 k
∑ (2i - 1)2 =k·(2k–1)·(2k+1) / 3 ,
paso inductivo :
i=1
k
k+1
¿ ∑ (2i - 1)2 = (k+1)·(2(k+1)–1)·(2·(k+1)+1)/3? i=1
4 1 2 ∑ (2i - 1) + (2(k+1)–1) = 3 k 3 − 3 k → ( k·(2k–1)·(2k+1)/3 ) + (2(k+1)–1) = (k+1)·(2(k+1)– i=1 2
2
1)·(2·(k+1)+1) / 3 → 4 11 4 11 → k 3 + k + 4k 2 + 1 = k 3 + k + 4k 2 + 1 3 3 3 3
- estos son exactamente la misma movida
c) 1·3 + 2·4 + 3·5 + ... + n·(n+2) = n·(n+1)·(2n+7) / 6 . n
1
n
d) ∑ = n+1 i=1 i(i+ 1) n −1
n
e) ∑ 2i −1 = ∑ 2i = 2 n − 1 i =1 n
f) ∑ i 3 = i =1
2.
i =0
n (n+ 1)2 n = ∑i 4 i =1 2
2
- este es igual pero para las tres partes : la 1º
con la 2º, y la 2º con la 3º
Demostrar que para cada n ≥ 0, el número 42n+1 + 3n+2 es múltiplo de 13.
- Es decir : 13 | (4
2n+1
+ 3n+2) , y por tanto : 42n+1 + 3n+2 = 13q 2·0+1
base de inducción : n=0, 4 2k+1
paso inductivo : 4
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k+2
+3
0+2
+3
=13 (que es múltiplo de 13) 2(k+1)+1
=13q, ¿4
(k+1)+2
+3
?
2(k+1)+1
4
(k+1)+2
2k+3
+3
(2k+1)
= 16·4
= 4 k+2
+3·3
k+2
+( 13·3
k+2
= 16·(13q)–13·3
k+3
+3
(2k+1)+2
= 4
k+2
–13·3
2
(2k+1)
= 4 ·4
(2k+1)
) = 16·4
k+2
= 13·( 16q–3
(k+2)+1
+3
k+2
+16·3
k+2
(2k+1)
+3·3
k+2
–13·3
= 16·4
(2k+1)
= 16·(4
k+2
+3·3 k+2
+3
= k+2
)–13·3
) que evidentemente es múltiplo de 13
4.
Para n ∈ Z, probar que : n–2 < (n2–n) / 12 . - lo mismo que los anteriores
5.
Sea P(n) la proposición para n ∈ Z+, ∑ i = (n+ (1 / 2)) 2 n
2
.
i =1
Demostrar que la veracidad de P(k) implica la veracidad de P(k+1) para todo k≥1. ¡ -
lo mismo de antes !
¿ Es verdadera P(n) para todo n ∈ Z+ ? 6. Demostrar que todo número natural n ≥ 24 se puede expresar como la suma de cincos y sietes . 8. Probar que la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados es (n–2)·π radianes.
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