Una
· aul . ... . ... . ... . ... . , , 1 B L A Y I 2 i >
CONTENIDO
ÍV MATEMÁTIC A DISCRETA Y LÓGICA
11 Derivaciones .. ...... ..... .. .... ....... ....... ... ...... ..... .......... ..... ...... ....... ...... ...... ... ..... ... ...
537
11.l Derivaciones en cálculo proposicional ................................................................ 11. 1. 1 Introducción .... .. ... . ... . ..... ... . ... . ... . . . ... . .... . ... .. ..... .... ...... ..... .. .... ... ..... ... 11.1.2 Conceptos básicos de la derivación natural ............................................. 11.1.3 Implement ación del teorema de la deducción.............................. ............ 11. 1.4 Resolución ......................... , ................................,................ ,..... ... . ... .....
537 537 537 538 541
11.2 Algunos resultados del cálculo de predicados ..................................................... Introducción ............................,............................................................... , l 1 .2.1 11.2.2 Complementos ...................... ,,............. ,.... . ... . ... . ... ...... . ... ..... . ... . ... .... . 11.2.3 Formas normales prcncx .... .... ..... . . . .............. .... . .......... .... .....................
547 547 547 548
11.3 Derivaciones en el cálculo de predicados ............................................................ 11.3. 1 Introducción ..................... ,......... ,·,...... , . ... . ..... ... ..... . ...... ... . .... . .... .... . ... ... 11.3 .2 Derivaciones canónicas ......... , ...........................,..............,..... . .... ... ..... ... 11.3.3 Cuantificadores en la deducción natural .................................................. 11.3.4 Sustitución de cuantificadores por funciones y variables libres .............. 11.3.5 Resolución en el cálculo de predicados ...................................................
549 549 550 554 555 556
12 Una panorámica de los sistemas de bases de datos relacionales
.................
563
Conceptos básicos ... ..... . . ........ ..... ..... . ... . ........ . ... .. ... .. ... ..... ..... . .... . ..... ... . ... ..... 12.1. 1 Introducción ................................................,.............. ,, . , . ... ..... ...... ... . ... . 12.1.2 Definiciones y conceptos ......................................................................... 12.1.3 Ejemplo introductorio de una base de datos relacional ........................... 12.1.4 Panoramica de un sistema de base de datos .................::..........................
564 564 564 564 568
12.2 El modelo de datos relacional.............................................................................. 12.2. l Introducción ................................................... .,...........................,,... . ... ... 12.2.2 Panorámica de la estructura relacional .................................................... 12.2.3 Las relaciones y sus esquemas ................................................................. 12.2.4 Representaci ón de las relaciones en el modelo lineal.............................. 12.2.5 Reglas de integridad .. ...... .. .. .. .. .. .. .. ...... .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. . .. . ...... . .. .. . ..
571 571 572 572 574 57 5
12.3 Álgebra relacional .... ..... ......... ... . ... . .... .... .. ... . ..... ... . ..... ... . ... . ..... .... .... . . ..... ..... 12.3.1 Introducción .....................................................,,,..................,,... ,... ..... ..... 12.3.2 Operaciones básicas ......,....................,.... .. . ..... . .... ..... . ... ..... ...... ... ... ..... . 12.3.3 Operaciones relacionales adicionales ...................................................... 12.3.4 Ejemplos .... . ..... .... ... .. ... . ........ . ... . ... . ... . ... . ... ..... . ... . ... . ... . ... ... . ... . ... .
576 576 576 578 585
12.4 Cálculo relacional ................ ,... . . . .... . . . ..... ...... .... . . ...... ..... ..... .... ..... . ... ..... .... . 12.4.1 Introducción . ... .... ...... ... . ... . ... . ... ..... ..... .. ... . ... . ... . ... . ... . ... ..... .. . ..... . ..... 12.4.2 Cálculo de tuplas ...................................... ,...................................... ,.. .. . . 12.4.3 Ejemplos ................................. ,....... ,...................,............... ,.... .... .... ....... .
590 590 591 592
12.5 El lenguaje de consulta estructurado (SQL) ........................................................ 12.5. l Introducción ..................... ,.... ..... ..... . ... ..... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .... .... ... . . .. 12.5.2 Definición de datos .................................................................................. 12.5 .3 Administración de datos ...... . ......... .... . .......... .... ...... .... .... . ... .................. 12.5 .4 Consultas de datos .... .. .. ... .. .. .... .. .. ... .... .... .. . .......... .. . .... .. . ...... .. .. .. .. .... .... .
595 595 596 597 598
12.6 Comentarios finales ...................................................................... .,... ,... .... ..... . ...
608
12.1
Bibliografía
XV
····... ·····... ···· .................................. ,.,,,..... ,,,.... ···.... ····... ····..····... ····... ···...
611
............................................................. ·........... ..
613
·... ........................ ,...... ,.... ,···.... ····... ····.... ·········... ····... ···.... ····"····· ····
687
Soluciones a los problemas pares Índice analítico
PRÓLOGO
xvii
Pr ólogo
L
a mayor ía de la universidades requieren qne lodos los alumnos graduados en infor mática r eciban un cnr so de matemática discr eta, y con mucha razón. De hecho, la matemática discreta propor ciona los fundamentos teóricos apropiados para la inf or mática (ciencias de la com putación), f undamentos que no son solo beneficiosos par a hacer informática teórica, sino par a la práctica de la inf ormática, como evidencia la r eciente prolif eración de libr os sobr e métodos formales. Las áreas abarcadas en un curso en matemática discreta varían, per o tradicionalmente se incluye lógica, conjuntos, relaciones, funciones y graf os, Todos estos temas están incluidos en este libro. Además, el libr o r efle ja var ias tendencias recientes en informática. En particular, se pro porciona una exposición más com pleta del razonamiento lógico que muchos otros textos. Se muestra también la forma de usar la matemática discreta y la lógica para especificar nuevas aplicaciones de computador, y la forma de r azonar acerca de los progr amas de una fo1ma sistemática. El libr o contiene capítulos sobr e lenguajes y gr amáticas, el lengua je de especif icación Z, y bases de datos relacionales, Hay un capítulo que describe Prolog, un lengua je de pr ogramación basado en lógica, y una sección que examina Miranda, un lenguaje basado en funciones. En todos los ca pítulos hay numerosos ejem plos que relacionan los conceptos matemáticos con problemas de infor mática, Pensamos que tales ejem plos son esenciales para mantener motivado al alumno. El per fil del libro es como sigue. El Capítulo 1 descr ibe el cálculo pro posicional. También definimos lo que se entiende por una derivación formal. De hecho, las der ivaciones formales se introducen como refinamientos del tipo de razonamiento lógico que nosotros usamos en la v ida diaria. El capítulo contiene además una extensa descripción de la manipulación algebraica de expr esiones lógicas. El Ca pítulo 2 examina el cálculo de predicados. Tr atarnos los predicados y cuantif icadores, e intentan1os relacionar esta teoría con el pensanliento de todos los días. El Capítulo 2 introduce también la unificación, un tema necesario para com pr ender lenguajes lógicos como Pr olog (descrito en el Ca pítulo 4) y para la demostración del teorema de resolución (descrito en Capítulo 11). El Capítulo 2
MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA
4 Prolog ..................................................................................................................
173
básico ..................................................... .................................................................................... ............................... ,.................. .................. .. Prolog básico 4. 1 Prolog ................. ..... ,............................................................................ ............................................................................. 4.1. 1 Introducción ............ .......................................................................... 4.1.2 Hechos, reglas y consultas ........................................................................ 4.1.3 Derivaciones que que implican hechos ................................ ...................................... ...... ,.................... .................... . ............................................................. .................. , 4.1.4 Derivaciones que implican reglas ........................................... . .................................................. ................ ........... , 4.1.5 Particularizaciones y unificación .................................. .............................................................. .......................... ,......... ,.,.. 4.1.6 Retroceso (backtracking) .................................... 4.1.7 Resolución ........ " ........ ' ....................... " .... ' .... ' .......... ' ... ' ' ........................' ..
174 174 174 177
4.2
4.3
4.4
Características adicionales de Prolog ............................ ...................................... ..........,,........................... .. ................................................................................ .................................. .... .,... ,...... ,........ .. 4.3.1 Introducción .............................................. ......................................................................................... ............................................ . 4.3.2 Entrada y salida ............................................. ,..................,,....................................... 4.3 4. 3 .3 Estru Estructura cturass ... ....... ........ .... ,.... ,.................. ............................................................ ..................... . 4.3.4 Notaci ón infija .......................................................................................... ............................................................................................ ................................................................................................. .................................................. . 4.3.5 Aritmética ............................................... ............................................................................ ....................................... . 4.3.6 Predicados de igualdad .....................................
192
4.6
5
.............................................................. ............................ ,........ ........... ... . Aplicación de Prolog a la lógica .................................. .......................................,,.................. 4.6.1 Introducción ........... ,....................................... ............................ .......... ,............ .. ........................................................... 4.6.2 Las listas como expresiones lógicas ......................................................... Representación de expresiones lógicas como estructuras .............. ....................... ........... 4.6.3
Conjnntos y relaciones ................................................... ..................................................................................... ................................... 5.1
Conjuntos y operaciones de conjuntos ................................................................ ................................................................... 5 .1.1 Introducción 5.1.2 Los conjunto;·;· ;·;;;¡ ;;;¡; ·:::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::: ................................................................................... ..................................................... .......... . 5.1.3 Subconjuntos ........................................
5.3 5. 3
Relaciones ..................................................... ..................................................................................................... ........................................................ .......... 5.3.1 Introducción ..................................... ................................................................................ ........................................................ ............. .. 5.3.2 Relaciones y su representación ................................................................. ................................................................... 5.3.3 Dominios y rangos .................................................................................... ...................................................................................... 5.3.4 Algunas operaciones de de relaciones ........................................................... ............................................................. 5.3.5 5.3. 5 Composición de relaciones ....................................................................... ....................................................................... . ................................................................................... .......................................................... ............... . 5.3.6 Ejemplos ........................................
244 241 241 246 247 250 254
5.4
Propiedades de las relaciones ...................................... ............................................................................... ........................................... 5.4.1 5.4. 1 Introducc ión ......... ,........................................... ................................................................................... ........................................ .. 5.4.2 Relacio nes sobre un conjunto ..................................... ................................................................... ................................ .................................................................................. 5.4.3 Relaci ones reflexivas ................................................................................ 5.4.4 Relaciones simétricas .................................... .............................................................................. ............................................ .. 5.4.5 Transitividad ......................... .............................................. ..................... ,............................ .............................................. .................. . 5.4.6 Cierres ........................................................................................................ 5.4.7 5.4. 7 Relaciones de equivalencia ...................................................................... ...................................................................... .. 5.4.8 Ordenes parciales ......................................... ................................................................................... ............................................. ... . Ordenes parciales
255 255 255 256 258 259 261 262 264
191
192
192 193
194 195
196 198
198 198 200 202 202 204 207
·:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ·; ·; ·¡'·;; ·; ;; ;-¡; ; ;·::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
............................................................................................. .............................................. .. 4.5 Negación en Prolog ............................................... ....................................................................................... ................................................. .... ,,. 4.5 .1 Introducción .......................................... ...................................................................... 4.5.2 Prolog como lenguaje lógico .................................................................... ........................................................................ ........................... . 4.5.3 La negación como fracaso ............................................. 4.5.4 Utilización del orden de cláusulas ............................................................. 4.5.5 Cortes ................................, ................................................' ............. " ... " .. .
236 236 237 239 241 241
182 183 185 188 188 188 189
6
...................................................................................... ................................. .,.... ,,,,·..... ,· ,··... , Funciones ..........................................................
273
6.1 6. 1
Representaciones y manipulaciones que que involucran involucran funciones................... funciones............................ ......... . 6.1. l Introducció n ..................................... ,......................................,,... .....................................,,.............. ,...................................... 6.1.2 Definiciones y notación ............................................................................. ............................................................................ . 6.1.3 Representaciones de funciones ............................ .......................................................... ..................................... ......... 6.1.4 La notación lambda .................................................. .................................................. ,................. ................. ,.............. . 6.1.5 Restricciones y sobrecarga ............................. ,......................................... ......................................... .. 6.1.6 Composición de funciones funciones ....................................................................... ....................................................................... .. 6.1.7 Inyecciones, sobreyecciones (o epiyecciones) e inversas ................... ......................... ....... ..................................... ................ 6.1.8 Creación de inversas mediante creación de tipos .......................
273
Enumeraciones, isomorfismos y homomorfi homomorfismos smos ................................ ............................................... ................. 6.2.1 Introducción .............................................................................. 6.2.1 .............................................................................................. ................ . 6.2.2 Enumeraciones ........................................................................................... 6.2.3 Conjuntos contable s e incontables .......................... ........................................................ .................................. .... . 6.2.4 Pe1mutaciones y combinaciones ......................................... .............................................................. ..................... .. Isomorfismos ismos y homomor homomorfismos fismos ........................ ....................................... ...............,,.................. ....................... ..... . 6.2.5 Isomorf
289 289 290 292
Complejidad computacional .................................... ............................................................................... ............................................. .. . Introducción .................................... ............................................................................. .......................................................... ................. . ...................................... ...... .... 6.3.2 Polinomios y algoritmos de tiempo polinómico ................................
300 300 301
209
209 209 212 212 213 215 215 216 217
6.2
223
223 223 224 226
CONTENIDO xi Intersecciones ............................................................................................ 228 229 Uniones ...................................................................................................... 230 Diferencias y complementos ...................................................................... 232 Expresiones que involucran conjuntos ......................................................
potencia ............................................................... conjuntos potencia Tuplas, sucesiones y conjuntos 5.2.1 Introducción ............................................................................................... 5.2.2 Tuplas y productos cartesianos ................................................................. 5.2.3 Sucesiones y cadenas ................................................................................. 5.2.4 Conjuntos potencia .................................................................................... 5.2.5 Tipos y signaturas ......................................................................................
5.2
178
Ejecución y depuración de programas .................................................................. . ............... ..... ,......... ......... ,..................... 4.2.1 Introducción .......... .............................. ......... ,.................................... ....................................... ....................................................... ................. 4.2.2 Compiladores e intérpretes de Prolog ........................................ 4.2.3 Consulta de una base de datos Depura uració ción n y seguimien segui mien to ...... :::::: :::::: :: :: :::: :: ::: :::::: ::::::::::: ::::::: :::::::::: ::::: ::::: ::: : ::::: ::: 4.2.4 Dep ::::: :: ::: ::::: :: ::: :::::::
Recursividad ..................................................... ........................................................................................................ ................................................... . 4.4.1 Introducción .................................................................................. ................................................................................ .................. , ......................................................., ..,,. 4.4.2 Predicados re ·; ·¡ ·· 4.4.3 Terminación .............................................................................................. .............................................................................................. . ......................................................................................... ....................................... . 4.4.4 Bucles y Prolog .................................................. 4.4.5 Listas 4.4. 6 Predic ;j ¡ 4.4.7 4.4. 7 Refinamiento sucesivo ...............................................................................
5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7
6.3
6.3.1
273
274 276
277 279
280 283 287
295 297
f;ji ",.
.ii MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA
305 309 311 315 318
6.4 Relaciones de recurrencia ................................................. .................................................................................... .................................... .............................................................................................. .............................................. . 6.4.1 Introducción ................................................ ...................................................... 6.4.2 Relaciones de recurrencia homogéneas .................................................... ................................................ 6.4.3 Ecuaciones de recurrencia no homogéneas ..............................................
321 321 323 326
Miranda ......................................................... ................................................................................................................ ......................................................... .............................................................................................. ............................................. . 6.5.1 Introducción ................................................. 6.5 .2 El nivel de órdenes ..................................................................................... ............................................................................ ..................................... . 6.5.3 Definiciones de función ....................................... ................................................................ 6.5 .4 Tipos, funciones y declaraciones .............................................................. patrones y reescritura ................................................. de patrones ................................................. 6.5.5 Reconocimiento de ................................................................ ...................... 6.5.6 Un problema de programación ...........................................
330 330 330 331 333 335 337
6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7
6.5
7
CONTENIDO
i(
Funciones y algoritmos relacionados con las exponenciales ............... .................... ...... Los límites de la computabilidad .............................................................. ................................................................ Análisis asintótico ................................................. .................................................................................... .................................... Divide y vencerás ................................................. .................................................................................... ................................... . Polinomios no deterministas ........................................ ..................................................................... ............................. .
Grafoss y árboles ................................................................................................ . 341 Grafo Introducción y ejemplos de modelado de grafos ................................................... 342 7 .1 .......................................................... ................ . 348 7 .2 Definiciones básicas de la teoría de grafos .......................................... 355 7.3 Caminos, accesibilidad y conexiones .................................................................... 7.4 C,ílculo de caminos a partir de una representación matricial de los grafos .......... . 363 376 adyacencia;': .......................... .. 7.5 Reconido de grafos representados como listas de adyacencia;':.......................... 376 Introducción ................................................. ............................................................................................. ............................................. 7 .5 .1 listasde 7 .5 .2 Representación de grafos mediante listas de adyacencia ............. .......................... ............. . 376 379 .............................................................................. ....................................... 7.5.3 Búsqueda en amplitud ........................................ ......................................................................... ................................... . 382 7.5.4 Búsqueda en profundidad ...................................... 7.5.5 El Algoritmo de Dijkstra para la búsqueda de caminos mínimos ............ . 386
7.6 Árboles y árboles de expansión ............................................................................. .................................................................................... .................................................... ........... 7 .6. l Introducción ......................................... ........................................................................................... ................................................ . 7.6.2 Árboles libres ............................................. ................................................................................ .......................................... . 7.6.3 Árboles de expansión ...................................... 7 .6.4 Árboles de expansión mínimos .................................................................
391 391 393 393 399
....................................................................................... ................................................ .. 7. 7 Redes de planificación ........................................... ............................................................................................ .................................................... 7.7.1 Introducción ............................................. de proyectos proyectos ......................... .............................................. ....................... 7.7.2 Un modelo de administración de .............................................................................. ...................................... 7.7.3 Ordenación topológica .........................................
403 403 403 411
........................................................ ...... . 419 8 Especificación formal de requisitos en Z .................................................. .............................................................................................. .............................................................. ............ . 419 8.1 Introducción ............................................ 8.2 El ciclo vital vital del software software .................................................................................... ..................................................................................... 420 especificaciones es formales ............................ .................................................... ........................ .... 423 8.3 La necesidad de las especificacion ................................................................................... ........................................................... ................. 425 8.4 Introducción a Z ........................................ ......................................................................... ......................................................... .................... . 425 8.4.1 Introducción .................................... .................................................................... ................................... 426 8.4.2 Alfabeto y elementos léxicos ..................................
8.4.3 8.4.4 8.4.5 8.4.6 8.4.7 8.4.8
XiÍi
Tipos y declaraciones ........................................ ............................................................................... ....................................... Especificación Especific ación de un sistema mediante lógica y conjuntos ..................... Esquemass ......................................................................................... Esquema ................................................................................................. ........ Relaciones ............................................ ......................................................................................... .................................................... ....... Funciones ......................................... ................................................................................... ........................................................ .............. Sucesiones ............................................... ............................................................................................... ..................................................
426 428 432 437 443 449
.......................................... ..... .... ........ ................... .............................. ........... 9 Verificación de programas .....................................
459
!;
t! i
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¡ Ji f
¡
::r,l J¡ ,
Conceptos preliminares .................................... .............................................................................. ................................................. ....... .. 9.1.1 Introducción .......................................... 9.1.1 .................................................................................... .................................................. ......... 9.1.2 Programas y códigos ........................................ .............................................................................. ...................................... . 9.1.3 Aserciones (asertos) (asertos) .................................................................... ................................................................................ ............ . 9.1.4 Corrección ....................................................................... ............................................................................................... ........................ .
460 460 460 461 462
9.2 Reglas generales relativas a las precondiciones .................... las precondiciones y postcondiciones .................. 9 .2 .2.1 .1 Introducción ......................................... .................................................................................... ................................................... ........ . .......................................................... .............................. 9.2.2 Reforzamiento de precondiciones .............................. 9.2.3 Debilitamiento de postcondiciones ............................. ........................................................ ........................... .. de postcondiciones 9.2.4 Reglas de de conjunción y disyunción disyunción .........................................................
464 464 464 466 467
9 .1
9.3 Verificación Verificación de de códigos sin sin bucles ...................................................................... ....................................................................... 469 9.3.1 9.3 .1 Introducción ........................................................................................... ........................................................................................... . 469 9.3.2 Sentencias de asignación asignación ...................................... ........................................................................ .................................. . 470 9.3.3 Concatenación de de código código ........................................................................ ........................................................................ . 472 9.3.4 La sentencia if .......................................................................................... 476 9.4 Bucles y arrays ......................................... ....................................................................................... ......................................................... ........... . 9.4.1 Introducción ............................................................................................. 9.4.2 Una regla while preliminar .................................... .................................................................... ................................ . ............................................................................ ...................................... 9.4.3 La regla while general ....................................... 9.4.4 Arrays ......................................................................... ..................................................................................................... ............................. .................................................................... ..................................... .. 9.4.5 Terminación del programa .................................
479 479 479 484 485 489
10 Gramáticas Gramáticas,, lenguaj lenguajes es y análisis sintácticos ................................................. .................................................
493
10.1
............ Lenguajes Lenguaj es y gramáticas ............ .............. ...... . . ........ .... ...... . .......... .......... ........... 10.1 .1 Introd 10.1 Introducción ucción .......... .... .... .... . .............. .......... .... .... . .......... ...... . . ........ ....... 10.1.2 Tratamiento de las gramáticas .................................. ................................................................. ............................... lenguajee ....... .............. .............. .............. ............... ............... .............. .............. .......... ... 10.1.3 Definición formal de un lenguaj Nocioness de análisis sintáctico ................................................................ 10. 1.4 1.4 Nocione Gram amát átic icas as ambiguas .............. .......... .... .... .... ............ ...... ...... .......... .... .... . ........... 10. 1.5 Gr 10.1.66 Gramáticas reducidas ................................... 10.1. ............................................................................. ..............................................
494 494 495 498 503 508 5133 51
.... .. . . .... . ........ ..... 10.2 Análisis Análisi s sintáctico desc endente . ...... .......... .......... .... .............. .... . ... ............................................................................................. .............................................. 10.2.1 Introducción ............................................... 10.2.2 Estrategi Estrategiaa general de análisis sintácti sintáctico co descendente .............. ...... ................ ................ ........ 10.2.3 Análisis sintáctico descendente determinista con gramáticas LL(l) .......
517 517 518 521
M A T E M Á T IC A D I SC R ET ET A Y L Ó G IC A
MATEMÁTICA DISCR ETA Y LÓGICA W. K . GRASSM SSMANN Departament of Com pu p uter Science U nive iver r skatch sit y o f S a ska tcheewa wan n
Traducc ducciión: ón: RAFAE AEL L GARCÍ A-B -BE ERMEJO Fac acu ulta ltad ísic icas d de Fís as U niv er er sida sidad d d d e Sala lam man anc c a M AR ÍA L U IS ISA ÍEZ A D ÍE Z PLATA TASS Fac acu ulta ltad d de Inf orm rmáti áticca U niv er Pon nti ficia er sid ficia de Sa Sal l ama sid ad amanca en M ad rid d Po rid V IV I AN DE LOS Á NG EL E S FE FER R N Á N D EZ V ÁZQ ZQU UEZ
Faccult Fa enccia ateemátic ltad iass Mat ompu ad de Cien ticaas y de la Com puttac ació ión n U niv niv ers rsid id ad d e la H aba ban na d d
Coord ordinac inaciión y si ón Técnic cnicaa: ón y Rev isió LUI S JOY OYAN ANES ES AG UI LA LAR R Faccult Fa ltad atem mátic ad de Mate icaas U niver sid ad P ontifi tific c ia ad r rid ia de Sal amanc i d nca a en M ad
P R EN EN T I C E HAL L Mad adri rid éxiico • Sant af gotá Buen Aire Carraca onte tev d • Méx af é de Bogo tá • Bu enos os Ai ress • Ca acass • Lim ima v ideo ideo a • Mon Jua Jossé • Sa San San Sa an • Sa San ntia tiago Sao Pau Pla n Ju n Jo go • Sa o Pa ulo • W hit hit e Pl ains
'Í iÍ MATEMÁT MATEMÁTICA ICA DISCRE DISCRETA TA Y LÓGICA
22 24 25 25
2.4 Equivalencias lógicas ........................................................................................ ............................................................................................. 2.4.1 Introducción ............................................ .......................................................................................... .................................................. .... . 2.4.2 Equivalencias lógicas básica básicass ................................... ................................................................... ................................ . 2.4.3 Otras equivalencias importantes ........................................ .............................................................. .......................
.................................................................. ........................ . Equivalencias lógicas y su utilización .......................................... .............................................................................................. ............................................. . 1.5.1 Introducción ................................................. 1.5.2 J:?cmostración de equivalencias lógicas mediantes tablas de verdad ....... .. .................................................................................. ........................................ . 1.5.3 Algebra declarativa .......................................... l.5.4 Eliminación de condicionales y bicondicionales ............................. ...................................... ........... .............................................................. .......................... . 1.5.5 Leyes para el álgebra declarati va .................................... 1.5.6 Métodos abreviad abreviados os para manipular expresiones ............................ .................................... ........ . ...................................................................................... .......................................... . 1.5.7 Formas normales ............................................ .................................... .............. . l.5.8 Tablas de verdad y formas normales disyuntivas ...................... 1.5.9 Formas normales conjuntivas y complementación .................................. ..
27 27 27 28 30 31 32 34 36 37
2.5 Lógica Lógic a de las ecuaciones ................................................. ...................................................................................... ...................................... 2.5.1 Introducción .......................................... ......................................................................................... .................................................... ...... 2.5 .2 Igualdad ............................................... ............................................................................................. .................................................... ...... .. ................................................................................... ...................................... 2.5.3 Igualdad y unicidad .............................................. 2.5 .4 Fuuciones y lógica de ecuaciones ................................... ............................................................. ........................... 2.5.5 Composición de funciones ................................ .................................................................... ....................................... ... .. ................................................................. ..................... 2.5 .6 Propiedades de los operadores ............................................. 2.5.7 Elementos nulo e identidad ..................................................................... .......................................................................... 2.5.8 Las derivaciones en la lógica de ecuaciones ........................ ............................................ ..................... 2.5.9 La lógica de ecuaciones en la práctica ..................................... ..................................................... ................. 2.5.10 Álgebra de Boole ...................................................................................... ...................................................................................... .
l.6 Implicaciones y derivaciones lógicas .................................................................... .............................................................................................. ................................................ 1.6.1 Introducción ............................................... 1.6.2 Implicaciones lógicas ............................................................................... ............................................................................... .. 1.6.3 Demostraciones de validez mediante tablas de verdad ............................ .. 1.6.44 Demostraciones ........................................... 1.6. ........................................................................................ .............................................. Sistemas as para derivaciones .......................................... ...................................................................... ............................ . 1.6.5 Sistem ...................................................................... ........................... . 1.6.6 El Teorema de la deducción ...........................................
40 40 40 41 43 46 49
Cálculo de predicados
55
1.5
2
CONTENIDO
Tautologías .................................................... ............................................................................................... ............................................... Tautología y razonamiento válido ............................................ ............................................................ .................. Contradicciones ........................................................ ........................................................................................ ................................ . .............................................................. ..................... . Tipos importantes de tautologías .........................................
1.4.2 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5
............................................................. .............................. ....................................................... ......................... : .
............................................. ........ . Componentes sintácticos del cálculo de predicados ..................................... 2.1.1 Introducción ................................................................................ .............................................................................................. .............. . ............................................................................. ....................................... . 2. l.2 El universo de discurso ...................................... 2.1.3 Predicados ............................................... ................................................................................................ .................................................. 2.1.4 Variables y particularizaciones y particularizaciones (casos o ejemplares) ................................ .................................. 2.1.5 Cuantificadores ..............................................,, ...., ..................................... 2.1.6 Restricciones de los los cuantificadores cuantificadores a ciertos grupos grupos....................... ............................... ........ .
56 56 56 57 59 61 64
.................................................................................... .................................... 2.2 Interpretaciones y validez ................................................. 2.2. l Introducción .................................................................................. ............................................................................................. ............ 2.2.2 Interpretaciones ........................................... ...................................................................................... .............................................. ... . 2.2.3 Valid Validez ez ....................................... ................................................................................... .............................................................. .................. . ............................................................................ ..................................... . 2.2.4 Expresiones no válidas ....................................... ...................................................................... ............................. . 2.2.5 Demostración de la validez .........................................
66 66 66 69 71 73
................................................................................ ................................................................... .......................... 2.3 Derivaciones ..................................... .................................................................................... .................................................... ......... .. 2.3.1 Introducción ......................................... 2.3.2 Particularización universal ........................................................................ 2.3.3 Generalización universal .......................................................................... ........................................................................... ...................... ...... 2.3.4 El Teorema de la deducción y la generalización universal .................. ........................................ ................ . 2.3.5 Eliminación de los cuantificadores universales ........................ ........................................................................ ........................ . 2.3.6 Generalización existencial ................................................ .................................................................... .............................. . 2.3. 7 Particularización existencial ......................................
75 75 75
2.1
77
79 80 82 83
Inducción y recursividad
3.1
............................................................................ ..................................... ............................................ ..... .
La induccióu en números naturales ................................. .................................................................... .....................................
