PROBLEMAS CAPÍTULO 8 impares

EJERCICIOS IMPARES PLANES DE MUESTREO CAPITULO 8 CONTROL DE CALIDAD I

PRESENTADO POR: LUIS ALEJANDRO SÁNCHEZ LARA

20042015102

PRESENTADO A: ING. ALVARO JIMENEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERIA ÁREA DE CONTROL DE CALIDAD I BOGOTA, D.C. 2007

1. Una compañía de bienes raíces desea evaluar las formas que se le entregan empleadas en los convenios de venta, y recurre al plan de muestreo sencillo en el que N=1500, n=110 y c=3. Construya la curva CO correspondiente empleando unos siete puntos. 100Po

Po

nPo

Pa

1 2 3 4 5 6 7

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7

0,9743 0,8194 0,5803 0,3594 0,2081 0,1058 0,0524

Curva CO 1,2 1 0,8 a P0,6

0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

100Po

3. Obtenga la ecuación de la curva CO correspondiente al plan de muestreo N=10000, n1=200, c1=2, r1=6, n2=350, c2=6 y r2=7. Construya la curva empleando unos cinco puntos. (Pa)I = (P2 o menos)I ( 3 nc ) I y (3 o menos nc ) II ó ( 4 nc ) I y (2 o menos nc ) II ó ( 5 nc ) I y (1 o menos nc ) II (Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II • • •

o o

Aplicando estas ecuaciones para hallar la curva CO tenemos: N=10000, n1=200, c1=2, r1=6, n2=350, c2=6 y r2=7



p0=0.01 (np0)I = 2 (np0)II = 3,5 (Pa)I = (P2 o menos)I = 0,6767

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.1791)(0.5366) + (0.0902) (0.3208) + (0.0361)(0.1359) = 0.1299 (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.8066 

p0=0.015 (np0)I = 3 (np0)II = 5.25 (Pa)I = (P2 o menos)I = 0.4232

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.224)(0.2365) + (0.1681)(0.1728) + (0.1008)(0.035) = 0.0855 (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.5087 

p0=0.02 (np0)I = 4 (np0)II = 7 (Pa)I = (P2 o menos)I = 0.2381

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.1954)(0.0818) + (0.1953) (0.0296) + (0.1563)(0.0073) = 0.0229 (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.261 

p0=0.025

(np0)I = 5 (np0)II = 8.75 (Pa)I = (P2 o menos)I = 0.1247 (Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.1403)(0.0256) + (0.1755) (0.00775) + (0.1755)(0.0015) = 0.0052 (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.1299 

p0=0.03 (np0)I = 6 (np0)II = 10.5 (Pa)I = (P2 o menos)I = 0.0620

(Pa) II = (P3) I * (P3 o menos) II + (P4) I * (P2 o menos) II + (P5) I * (P1 o menos) II = (0.0892)(0.0093) + (0.1339) 0.0012 (0.0025) + (0.1606)(0.00045) = (Pa)combinada = (Pa)I + (Pa)II = 0.0632 Curva CO para planes de muestreo doble 1,05 0,9 0,75 a P

0,6

0,45 0,3 0,15 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

100Po

5. Para el caso del plan de muestreo del problema 1, obtenga la curva CMS y el LCMS N= 1500, n=110, c=3 po

100po

n

npo

P a

CMS

0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.03 0.0325 0.035 0.0375 0.04 0.0425 0.045

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5

110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110

0.275 0.55 0.825 1.1 1.375 1.65 1.925 2.2 2.475 2.75 3.025 3.3 3.575 3.85 4.125 4.4 4.675 4.95

0.99975 0.9974 0.9898 0.9743 0.94895 0.914 0.8703 0.8194 0.7628 0.703 0.6416 0.5803 0.52055 0.46335 0.4095 0.3594 0.3137 0.27215

0,2499375 0,04987 0,74235 0,9743 1,1861875 1,371 1,523025 1,6388 1,7163 1,7575 1,7644 1,7409 1,6917875 1,621725 1,535625 1,4376 1,333225 1,224675

0.0475 0.05 0.0525 0.055 0.0575 0.06 0.0625 0.065 0.0675 0.07

4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7

110 110 110 110 110 110 110 110 110 110

5.225 5.5 5.775 6.05 6.325 6.6 6.875 7.15 7.425 7.7

0.239395 0.2081 0.176805 0.14726 0.12559 0.1058 0.0893 0.07499 0.062505 0.05242

1,1371263 1,0405 0,9282263 0,80993 0,7221425 0,6348 0,558125 0,487435 0,4219088 0,36694

Curva CMS a 2 d i l a s a1,5 l e d a 1 i d e m d0,5 a d i l a C 0

1,7644 LCMS

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Porcentaje de no conformidad

LCMS = 1.7644 %

7. Un importante fabricante del ramo automotriz utiliza un plan de muestreo de n=200 y c=0, en lotes de cualquier tamaño. Construya las curvas CO y CMS. Calcule gráficamente el valor NCA correspondiente α=0.05 y el valor del LCMS. Por la tabla c, sabemos que el valor de np es de 0.051, entonces ya podemos proceder a graficar. p0

np0

n

pa

0.001 0.003 0.005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04

0.2 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

0,8187 0.5488 0,3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003

CMS 0,08187 0,16464 0,18395 0,1353 0,0747 0,0366 0,01675 0,0075 0,00315 0,0012

Curva CO 1 0,8 0,6

a P

0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

5

100Po

Curva CMS 0,2 LCMS=0,18 0,15 S M 0,1 C

0,05 0 0

1

2

3

4

5

100Po

LCMS= 0.18395%

9. Construya las curvas CMM del plan de muestreo sencillo n=200 y c=5 y para el igualmente eficiente plan de muestreo doble n1=125, c1=2, r1=5, n2=125, c2=6 y r2=7. SOLUCION: 100Po = 1 Po = 0.01 nPo= (0.01)(125) = 1.25 Po= 0.8683. P 5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.9908 = 0.0092 •

P1 = Po + P5 o mas CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P 5 o mas)) CMM = 125 + 125 (1 – (0.8683 +0.0092)) CMM = 140.3125 100Po =2 Po = 0.02 nPo= (0.02)(125) = 2 Po= 0.6767 •

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.9473 = 0.0527 P1 = Po + P5 o mas CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P5 o mas)) CMM = 125 + 125 (1 – (0.6767 +0.0527)) CMM = 158.825 100Po = 4 Po = 0.04 nPo= (0.04)(125) = 5 Po= 0.1247 •

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.4405 = 0.5595 P1 = Po + P5 o mas CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P5 o mas)) CMM = 125 + 125 (1 – (0.1247 +0.5595)) CMM = 164.475 100Po = 8 Po = 0.08 nPo= (0.08)(125) = 10 Po= 0.0028 •

P5 o mas = 1 – P4 o menos = 1 – 0.0293 = 0.9707 P1 = Po + P 4 o mas CMM = n1+ n2 (1 – P1) = 125 + 125 (1 – (Po + P 4 o mas)) CMM = 125 + 125 (1 – (0.0028 +0.9707)) CMM = 128.3125

Curva CMM e d a i d a 150 e t r m s d e a u d m 75 i t n a C

Muestra Doble Muestra Sencilla

0 0

2

4

6

8

10

Frac cion de no conformidad

Comparadas con la grafica 8.17 con c = 2 el comportamiento de la curva es muy similar.

11. Construya la curva ITM para N=500, n=80 y c=0 Po= 0.01 Pa= = 0.4493 ITM= 80 + (1 – 0.4493)(500-80) = 311.294 Po= 0.02 Pa= 0.2019 ITM= 80 + (1- 0.2019)(500-80) = 415.202 Po= 0.03 Pa= 0.0907 ITM= 80 + (1 – 0.0907)(500-80) = 461.906 Po= 0.04 Pa= 0.0408 ITM= 80 + (1 – 0.0408)(500-80) = 482.864

Curva ITM 600 500 400

o P 0300 0 1

200 100 0 0

1

2

3

4

5

ITM

13. Calcule la curva CMS y el LCMS del plan de muestreo sencillo N=16000, n=280 y c=4 po

100po

n

npo

P a

CMS

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

280 280 280 280 280 280 280 280 280 280

1.4 2.8 4.2 5.6 7 8.4 9.8 11.2 12.6 14

0.9857 0.8477 0.5898 0.3473 0.1730 0.0794 0.0337 0.0225 0.0145 0.0066

0,49285 0,8477 0,8847 0,6946 0,4325 0,2382 0,11795 0,09 0,06525 0,033

Curva CMS

1 0,8847 LCMS

0,8 S 0,6 M C 0,4

Serie1

0,2 0 0

1

2

3

100Po

4

5

6

LCMS= 0.8847%

ANEXO (ejercicio 15……..) Valores np para valores c y riesgos tipicos de productores y consumidores: C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pα=0.99 ( α=0.01 ) 0.010 0.149 0.436 0.823 1.279 1.785 2.330 2.906 3.507 4.130 4.771 5.428 6.099 6.782 7.477 8.181

Pα=0.95 ( α=0.05 ) 0.051 0.355 0.818 1.366 1.970 2.613 3.286 3.981 4.695 5.426 6.169 6.924 7.690 8.464 9.246 10.035

Pα=0.90 ( α=0.10 ) 0.105 0.532 1.102 1.745 2.433 3.152 3.895 4.656 5.432 6.221 7.021 7.829 8.646 9.470 10.300 11.135

Pα=0.10 ( β=0.10 ) 2.303 3.890 5.322 6.681 7.994 9.275 10.532 11.771 12.995 14.206 15.407 16.598 17.782 18.958 20.128 21.292

Pα=0.05 ( β =0.05 ) 2.996 4.744 6.296 7.754 9.154 10.513 11.842 13.148 14.434 15.705 16.962 18.208 19.442 20.668 21.886 23.098

Pα=0.01 ( β =0.01 ) 4.605 6.638 8.406 10.045 11.605 13.108 14.571 16.000 17.403 18.783 20.145 20.490 22.821 24.139 25.446 26.743

RATIO OF P0.10 / P0.95 44.890 10.946 6.509 4.890 4.057 3.549 3.206 2.957 2.768 2.618 2.497 2.397 2.312 2.240 2.177 2.122

15. En el caso de c = 3, c = 6, c = 12, calcule los planes de muestreo correspondientes a un valor del NCA = 1.5% y α =0.01. Pa = 0.99

P0.99 = 0.015

Para c = 3, np0.99 = 0.823 (de anexo (ejercicio 15...)) y n

=

np0.99

0.823 =

p 0.99

0.015

=

54.86

o

55


=

np0.99

2.230 =

p0.99

0.015

=

148.66

o

149

Para c = 12, np0.99 = 6.099 (de anexo (ejercicio 15...)) y

n

=

np0.99 p0.99

6.099 =

0.015

=

406.6

o

407

17. Para un riesgo de consumidor de 0.10 y un NCL de 6.5% defina los planes de muestreo correspondientes a c = 2 , 6 y 14. Pa = 0.10

P0.10 = 0.065


=

np0.10

5.322 =

p0.10

0.065

81.87

=

82

o


n

=

np0.10

10.532 =

=

0.065

p0.10

162.03

o

162


n

=

np0.10 p0.10

20.128 =

0.065

=

309.66

o

310

19. Un fabricante de bocinas decide la aceptación del 2% de producto no conforme con una probabilidad de 0.01. Defina planes de muestreo sencillo para c= 1, 3 y 5. Pa = 0.99

P0.99 = 0.02


=

np0.99

0.149 =

p 0.99

0.020

=

7.45

7

o


n

=

np0.99

0.823 =

p0.99

0.020

=

41.15

o

41


n

=

np0.99 p0.99

1.785 =

=

0.020

89.25

o

89

21. Se desea un plan de muestreo sencillo, con un riesgo de consumidor de 0.10 de aceptar 3.0% del producto no conforme y un riesgo del productor de 0.05 de rechazar de 0.7% del producto no conforme. Elija un plan con el menor tamaño de muestra. p 0.10

0.03 =

0.007

p 0.95

4,2857

=

Esta entre c = 3 y 4 de ( anexo (ejercicio 15...) ).

Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCL = 3% cuando β = 0.10 son: Para c = 3, np0.10 = 6.681 (de anexo (ejercicio 15...)) y n

=

np0.10

6.681 =

=

0.030

p0.10

222,7

223

o


n

=

np0.10

7.994 =

=

0.030

266.46

o

266

p0.10 Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCA =0.7% cuando α = 0.05 son: Para c = 3, np0.95 = 1.366 (de anexo (ejercicio 15...)) y

n

=

np0.95

1.366 =

p0.95

=

0.007

195.14

195

o


n

=

np0.95 p0.95

1.970 =

=

0.007

281.42

o

281

23. Con la información del problema 21, elija el plan que satisfaga exactamente las condiciones del consumidor y se aproxime lo mas posible a las condiciones del productor. + Los dos planes que satisfacen con exactitud con exactitud las condiciones del consumidor son c = 3, n = 223 y c = 4, n = 266. Los calculos para determinar cual de los planes se aproxima mas a las condiciones del productor de NCA = 0.7%, α = 0.05 son: Para c = 3, np0.95 = 1.366 y n = 223

p0.95

=

np 0.95

1.366 =

=

223 = 1.970 y n = 266

n

Para c = 4, np0.95

p0.95

=

np0.95

0,0061

1.970 =

=

266

n

0,0074

Puesto que p0.95 = 0.0074 es el valor mas cercano al valor estipulado de 0.007, el plan c = 4, n = 266 es el que se elige.

25. Para los valores p0.10 = 0.053 y p 0.95 = 0.014, defina el plan de muestreo sencillo que satisfaga con exactitud las condiciones del consumidor y se aproxime lo mas posible a las condiciones del productor.

n

=

p0.10

0.053 =

p0.95

0.014

=

3.7857

Esta entre c = 4 y 5 de ( anexo (ejercicio 15...) ).

Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCL = 5.3% cuando β = 0.10 son: Para c = 4, np0.10 = 7.994 (de anexo (ejercicio 15...)) y n

=

np0.10 p0.10

7.994 =

=

0.053

150.83

o

151


n

=

np 0.10

9.275 =

=

175

p 0.10 0.053 Los planes que satisfacen exactamente la condición de NCA =1.4% cuando α = 0.05 son: Para c = 4, np0.95 = 1.970 (de anexo (ejercicio 15...)) y n

=

np0.95

1.970 =

0.014

p0.95

140.71

=

o

141


np0.95

=

2.613 =

=

0.014

p0.95

186.64

o

187

+ Los dos planes que satisfacen con exactitud con exactitud las condiciones del consumidor son c = 4, n = 151 y c = 5, n = 175. Los cálculos para determinar cual de los planes se aproxima mas a las condiciones del productor de NCA = 1.4%, α = 0.05 son: Para c = 4, np0.95 = 1.970 y n = 151

p 0.95

=

np 0.95 n

Para c = 5, np0.95

p0.95

=

np0.95

1.970

0,013 151 = 2.613 y n = 175 =

=

2.613 =

=

175

0.0149

n Puesto que p0.95 = 0.0149 es el valor mas cercano al valor estipulado de 0.014, el plan c = 5, n = 175 es el que se elige. 27. Si se desea un plan de muestreo sencillo, con un LCMS de 1.8% con una calidad de entrada de 2.6%, ¿Cuál es el punto comun de las curvas CO correspondiente a una familia de planes de muestreo que satisfacen las condiciones del LCMS y de 100p 0?

El punto en comun sera: LCMS = 100 p * p 0

→ a

1.8 = 2,6 * p

→ a

p

= a

0.69

PROBLEMAS CAPÍTULO 8 impares

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