MAKALAH ALJABAR LINIER
Eigenvalues & Eigenvectors
NAMA
: Ach.Choirur Rosyid
NRP
: 09.04.111.00068 09.04.111.00068
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS TRUNOJOYO MEI 2010
BAB II DEFINISI Kata-kata eigenvektor eigenvalue berasal dari bahasa Jerman "eigen" yang berarti "benar" atau "karakteristik matriks." Sebuah eigenvalue persegi adalah skalar yang biasanya diwakili oleh huruf Yunani
(Diucapkan lambda).
Di
dimana di haruskan eigenvektor menjadi vektor non-nol, dengan kata lain, suatu eigenvektor tidak dapat vektor nol. Suatu eigenvektor dapat disimbolkan oleh huruf kecil x. Semua eigenvalue dan eigenvektor memenuhi persamaan untuk diberikan matriks persegi, A. Secara umum, kata skalar tidak terbatas pada bilangan real. Bilangan real sebagai skalar tetapi seringkali kompleks eigenvalue angka. Misalkan A matriks persegi. Kita mengatakan bahwa jika ada ada seorang non-nol vektor x seperti yang disebut eigenvektor (sesuai dengan
). Dan pasangan (
adalah eigenvalue dari A . Dalam hal ini, x , x ) disebut eigenpair
A.
Mari kita lihat contoh dari eigenvalue dan eigenvektor.
Jika Anda ditanya apakah ini eigenvector yang memiliki eigenvalue yang
untuk , Anda bisa mencari tahu dengan mensubstitusikan x, dan A ke dalam persamaan
Oleh karena itu, untuk A.
dan x adalah nilai karakteristik dan eigenvektor masing-masing,
Mengapa kami mengharuskan eigenvektor tidak nol? Jika eigenvektor adalah nol, persamaan
akan menghasilkan 0 = 0. Oleh karena itu, kita
mendefinisikan sebuah eigenvektor menjadi vektor non-nol yang memenuhi Namun, saat menunjukkan pada contoh sebelumnya, eigenvalue yang dapat menjadi nol tanpa menyebabkan masalah. Kita biasanya mengatakan bahwa x adalah eigenvector yang memiliki eigenvalue yang
jika mereka memenuhi
Karena setiap eigenvektor terkait dengan eigenvalue, kita sering merujuk pada suatu x dan Apakah “ x
”
yang sesuai dengan satu sama lain sebagai eigenpair.
sebuah eigenvektor" sesuai dengan
?. Hal ini karena tidak nol,
beberapa skalar dari sebuah eigenvektor . Jika Anda membiarkan c mewakili skalar, maka kita dapat membuktikan fakta ini melalui langkah-langkah berikut.
persamaan eigenvektor untuk transformasi linear A dapat ditulis dalam representasi matriks berikut:
Ketika kita mempelajari rantai Markov, Anda dihitung sebuah eigenvector
T
ketika Anda menemukan matriks yang tampaknya probabilitas untuk berkumpul setelah banyak langkah. Setiap baris matriks tersebut adalah eigenvektor A
T
karena semua baris itu adalah matriks sama. Kami menulis baris yang sebagai vektor kolom ketika kita menggunakannya sebagai sebuah eigenvektor. Eigenvektor yang Anda temukan disebut eigenvektor dominan. Definisi eigenvektor dominan dari suatu matriks adalah eigenvektor sesuai
dengan besarnya eigenvalue terbesar (untuk bilangan real, nilai mutlak terbesar) dari matriks tersebut. Banyak dari "dunia nyata" aplikasi terutama tertarik pada eigenpair dominan. Metode yang digunakan untuk menemukan eigenvektor ini disebut metode kekuasaan. Eigenvektor sesuai dengan transpose dari matriks transisi adalah
transpose dari setiap baris dari matriks yang
k
A k menyatu sebagai tumbuh, baris
ini semuanya sama. Eigenvalue dominan selalu 1 untuk matriks transisi. Mari kita lihat contoh yang kita gunakan pada bab rantai Markov. Pertimbangkan matriks
Jika k adalah besar,
Oleh karena itu, sebuah eigenvektor sesuai dengan eigenvalue dominan,
Mari kita lihat apakah
1,
. berlaku.
Persamaan memegang, jadi kami telah menemukan eigenpair sesuai dengan transpose matriks transisi. Persamaan kunci dalam definisi ini adalah persamaan eigenvalue, A x = λ x. Artinya bahwa vektor x memiliki properti yang arahnya tidak berubah dengan transformasi A, tetapi bahwa hanya skala dengan faktor λ. Kebanyakan vektor x tidak akan memuaskan seperti persamaan: vektor khas x arah perubahan ketika bertindak berdasarkan oleh A, sehingga A x bukan kelipatan x. Ini berarti bahwa hanya vektor khusus tertentu x adalah eigenvektor, dan hanya skalar khusus tertentu λ adalah nilai eigen. Tentu saja, jika A merupakan kelipatan dari matriks
identitas , maka tidak ada vektor perubahan arah, dan semua non-vektor nol adalah eigenvektor. Persyaratan yang eigenvektor yang menjadi non-nol dikenakan karena persamaan A 0 = λ 0 berlaku untuk setiap A dan setiap λ. Karena persamaan trivial selalu
benar, bukan merupakan kasus yang menarik. Sebaliknya, seorang eigenvalue dapat nol dengan cara yang trivial. Setiap eigenvektor terkait dengan eigenvalue tertentu. Satu eigenvalue dapat dikaitkan dengan beberapa atau bahkan dengan jumlah terbatas eigenvektor. persamaan eigenvektor untuk transformasi linear A dapat ditulis dalam representasi matriks berikut:
Dimana matriks penjajaran menunjukkan perkalian matriks .
BAB III PERHITUNGAN EIGENVALUE dan EIGENVEKTOR
Contoh Matriks
Mendefinisikan sebuah transformasi linier Eigennilai transformasi ini diberikan oleh persamaan karakteristik
Akar dari persamaan ini (yaitu λ nilai-nilai yang memiliki persamaan) adalah λ = 1 dan λ = 3. Setelah menemukan eigennilai, adalah mungkin untuk menemukan eigenvektor. Mengingat pertama eigenvalue λ = 3, kita telah
Setelah perkalian matriksPersamaan matriks merupakan suatu sistem dari dua persamaan linier 2 x + y = 3 x dan x + 2 y = 3 y. Baik untuk mengurangi persamaan persamaan linear x = y Untuk menemukan eigenvektor, kita bebas untuk memilih nilai apapun untuk x (kecuali 0), sehingga dengan memilih x = 1 dan y = x pengaturan, kita menemukan eigenvektor dengan eigenvalue 3 menjadi
Kita dapat memastikan ini adalah eigenvektor dengan 3 eigenvalue dengan memeriksa tindakan dari matriks vektor ini:
Setiap beberapa skalar dalam eigenvektor ini juga akan menjadi eigenvektor dengan 3 eigenvalue. Untuk eigenvalue λ = 1, proses yang sama mengarah ke persamaan x = - y, dan karenanya suatu eigenvektor dengan eigenvalue 1 diberikan oleh
Kompleksitas masalah untuk menemukan akar / eigennilai dari kenaikan polinomial karakteristik pesat dengan meningkatkan derajat polinom (dimensi ruang vektor). Ada solusi tepat untuk dimensi kurang dari 5, tapi untuk dimensi lebih besar dari atau sama dengan 5 ada umumnya tidak ada solusi tepat dan kita harus memakai metode numerik untuk menemukannya.
BAB IV Implementasi 1. Geologi dan glaciology Dalam geologi , terutama dalam studi glasial sampai , eigenvektor dan eigennilai digunakan sebagai metode yang massa informasi yang 'konstituen orientasi clast kain dan dip dapat diringkas dalam ruang 3-D dengan enam angka. Di lapangan, ahli geologi dapat mengumpulkan data seperti selama ratusan atau ribuan clasts dalam suatu sampel tanah, yang hanya dapat dibandingkan grafis misalnya di dalam Tri-Plot (Sneed dan Rakyat) diagram atau sebagai sebuah Stereonet pada sebuah Wulff Net Output untuk orientasi tensor dalam (tegak lurus) sumbu ortogonal tiga ruang. Eigenvektor output dari program seperti Stereo32
[23]
berada di urutan
1
≥ E ≥ E 2 E 3, dengan E 1 sebagai orientasi utama
dari orientasi clast / dip, E 2 menjadi sekunder dan tersier yang E 3, dalam hal kekuatan. Orientasi clast didefinisikan sebagai eigenvektor, di kompas mawar dari 360 °.Dip diukur sebagai eigenvalue itu, modulus tensor ini: ini dinilai dari 0 ° (dip tidak) untuk 90 ° (vertikal). Nilai-nilai relatif dari E 1, E 2, dan E 3 adalah ditentukan oleh sifat sedimen yang kain. If E 1 = E 2 = E 3. Jika E 1 = E 2 = E 3, kain dikatakan isotropik. If E 1 = E 2 > E 3 the fabric is planar. Jika E 1 = E 2> E 3 kain planar. Jika E 1> E 2> E 3 kain adalah linier.
2. Analisis Faktor PCA dari distribusi Gaussian multivariat berpusat pada (arah ortogonal 1,3) dengan standar deviasi dari 3 di kurang lebih (0,878, 0,478) dan 1 arah dalam. Dalam analisis faktor , yang eigenvektor dari matriks kovarians atau matriks korelasi sesuai dengan faktor-faktor , dan eigennilai untuk varians dijelaskan oleh faktor-faktor ini. Analisis Faktor adalah statistik teknik yang digunakan dalam ilmu-ilmu sosial dan pemasaran , manajemen produk , riset operasi , dan ilmu terapan lain yang berhubungan dengan data dalam jumlah besar. Tujuannya adalah untuk menjelaskan sebagian besar covariability di antara sejumlah diamati variabel acak dalam jumlah yang lebih kecil dari variabel laten yang disebut
faktor tidak teramati. Variabel acak diamati dimodelkan sebagai kombinasi linear dari faktor-faktor, ditambah istilah varians unik. Eigenvalue digunakan dalam analisis yang digunakan oleh perangkat lunak Q-metodologi; faktor dengan nilai eigen lebih besar dari 1,00 dianggap signifikan, menjelaskan jumlah penting variabilitas dalam data, sedangkan eigennilai kurang dari 1,00 dianggap terlalu lemah, tidak menjelaskan porsi yang signifikan dari variabilitas data.
3. Analisis Getaran Masalah eigenvalue terjadi secara alami dalam analisis getaran struktur mekanik dengan banyak derajat kebebasan . Eigenvalue digunakan untuk menentukan frekuensi getaran alami, dan eigenvektor menentukan bentuk dari mode getaran. Sifat ortogonal ini dari eigenvektor memungkinkan decoupling dari persamaan
diferensial
sehingga
sistem
dapat
direpresentasikan
sebagai
penjumlahan linier dari eigenvektor. Masalah nilai karakteristik struktur kompleks sering diselesaikan dengan menggunakan analisis elemen hingga .
4. Eigenfaces
Eigenfaces sebagai contoh eigenvektor Dalam pengolahan citra , image yang diproses dari wajah dapat dilihat sebagai vektor yang komponen adalah brightnesses setiap pixel . Dimensi ruang vektor ini adalah jumlah piksel. Eigenvektor dari matriks kovariansi berhubungan dengan seperangkat besar gambar wajah dinormalisasi disebut eigenfaces , ini adalah
contoh dari analisis komponen utama
. Mereka sangat berguna untuk
mengekspresikan setiap citra wajah sebagai kombinasi linear dari beberapa dari mereka. Dalam pengenalan wajah cabang biometrik , eigenfaces menyediakan cara untuk menerapkan kompresi data untuk wajah untuk identifikasi tujuan Penelitian yang berkaitan dengan sistem eigen menentukan visi gerakan tangan juga telah dibuat. Mirip dengan konsep ini, eigenvoices merupakan arah umum variabilitas dalam pengucapan manusia dari ucapan tertentu, seperti kata dalam sebuah bahasa. Berdasarkan kombinasi linier eigenvoices seperti itu, sebuah suara baru pengucapan kata dapat dibangunKonsep-konsep ini telah ditemukan berguna dalam sistem pengenalan suara otomatis, untuk adaptasi pembicara.
BAB V
Penutup Eigenvektor eigenvalue berasal dari bahasa Jerman "eigen" yang berarti "benar" atau "karakteristik matriks." Sebuah eigenvalue persegi adalah skalar yang biasanya diwakili oleh huruf Yunani
(Diucapkan lambda). Di dimana di
haruskan eigenvektor menjadi vektor non-nol, dengan kata lain, suatu eigenvektor tidak dapat vektor nol. Suatu eigenvektor dapat disimbolkan oleh huruf kecil x. Semua eigenvalue dan eigenvektor memenuhi persamaan
untuk
diberikan matriks persegi, A. Dalam geologi , terutama dalam studi glasial sampai , eigenvektor dan eigennilai digunakan sebagai metode yang massa informasi yang 'konstituen orientasi clast kain dan dip dapat diringkas dalam ruang 3-D dengan enam angka. Definisi eigenvektor dominan dari suatu matriks adalah eigenvektor
sesuai dengan besarnya eigenvalue terbesar (untuk bilangan real, nilai mutlak terbesar) dari matriks tersebut. Persyaratan yang eigenvektor yang menjadi non-nol dikenakan karena persamaan A 0 = λ 0 berlaku untuk setiap A dan setiap λ. Karena persamaan trivial selalu benar, bukan merupakan kasus yang menarik. Sebaliknya, seorang eigenvalue dapat nol dengan cara yang trivial. Setiap eigenvektor terkait dengan eigenvalue tertentu. Satu eigenvalue dapat dikaitkan dengan beberapa atau bahkan dengan jumlah terbatas eigenvektor.
