´ Indice general 1. Calculo a´ lculo Proposicional 1.1. 1.1. Propos Proposici icione oness . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. Conect Conectiv ivos os Logicos o´ gicos . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2.1. 1. Conj Conjun unci´ ci´on, on, Disyunci´on y Negaci´on 1.2.2. 1.2.2. Condic Condicion ional al . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. 1.2.3. Bicond Bicondici iciona onall . . . . . . . . . . . . 1.3. Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1.4. Tautolog autolog´´ıas ıas y Contradicciones . . . . . . . 1.5. 1.5. Equiv Equivale alenci ncias as L´ogicas ogicas . . . . . . . . . . . 1.6. 1.6. Validez alidez Logica o´ gica de Argumentos . . . . . . .
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2. Calculo a´ lculo de Predicados 2.1. Predicados Predicados y Cuantificador Cuantificadores es . . . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.2. Traducc raducciion o´ n del lenguaje natural . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propiedades Propiedades de los los cuantificadore cuantificadoress . . . . . . . . . . . 2.3. 2.3.1. 1. Nega Negaci´ ci´on on de Proposiciones con Cuantificadores 2.4. 2.4. Validez alidez logica o´ gica de argumentos con predicados . . . . . 3. Teor eor´ıa ıa de Conjuntos Conjuntos 3.1. 3.1. Definic Definicion iones es y Nota Notacio ciones nes B´ asicas . 3.2. Operaciones Operaciones con Conjuntos Conjuntos . . . . . 3.3. Diagramas Diagramas de Venn . . . . . . . . . ´ 3.4. Algebra de Conjuntos . . . . . . . . 3.5. Familias Familias de Conjuntos Conjuntos . . . . . . . 4. Metodos e´ todos de Demostraci´ Demostracion o´ n 4.1. 4.1. Concep Conceptos tos Basicos a´ sicos . . . . . . . . . 4.2. Demostrando Demostrando Condicionales Condicionales . . . . 4.3. Demostrando Demostrando Bicondicional Bicondicionales es . . . 4.4. 4.4. Demost Demostrac raciion o´ n por casos . . . . . . . 4.5. Demostracion Demostraciones es por Contradicci´ Contradicci´on .
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51 52 61 71 75 79
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´ INDICE GENERAL
U E S
4.6. 4.6. El Prin Princip cipio io de de Induc Inducci ci´on o´ n Matem´ Matematica a´ tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5. Relacio Relaciones nes 5.1. Tuplas Tuplas ordenadas ordenadas y producto producto cartesian cartesiano o . 5.2. 5.2. Relaci Relacione oness . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Propiedades Propiedades de las Relaciones Relaciones . . . . . . 5.4. 5.4. Repres Represent entaci´ aci´on on Gr´afica afica de las Relaciones 5.5. 5.5. Rela Relaci´ ci´on on de Orden . . . . . . . . . . . . 5.6. Relaciones Relaciones de Equivale Equivalencia ncia . . . . . . . . 6. Funci Funcion ones es 6.1. 6.1. Introd Introducc ucciion o´ n . . . . . . . . . 6.2. 6.2. Clasifi Clasificac caciion o´ n de Funciones Funciones . 6.3. 6.3. Compos Composici ici´on o´ n de Funciones Funciones . 6.4. Funciones Funciones invertibl invertibles es . . . .
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I´NDICE GENERAL
E M ´
O L U T I P A C
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C´ P “Al contrario”, continu´ o Tweedledee, “Si as´ı fue, as´ı pudo ser; si as´ı fuera, as´ı podr´ıa ser; pero como no es, no es. Es cuesti´ on de l´ ogica” -Lewis Carroll “Alicia a trav´es del espejo”
Seg´un nuestras mejores estimaciones, el lenguaje humano ha sido una manera eficiente de comunicarnos por alrededor de 100,000 a˜nos. Mucha de dicha eficiencia se debe al hecho que el significado de lo que decimos o escribimos depende tanto del contexto en el cual decimos o escribimos las cosas como del contexto en el que son escuchadas o leidas. Por ejemplo, “Invierno” representa una e´ poca del an˜ o diferente dependiendo si se encuentra en el hemisferio norte o sur, o en a´ reas, como la nuestra, que cuenta u´ nicamente con dos estaciones. “Tengo hambre” significa que yo, Humberto Serme n˜ o, tiene hambre, y tiene un significado diferente si usted dice las mismas palabras. Las siguientes sentencias son tambi´en ejemplos del lenguaje cotidiano:
vidad es incomprensible? Si puede resolver algunos de los problemas que se nos ocurran, pero no todos, ¿tendr´a 10 en la materia? ¿Puede tener 10 a´un cuando no pueda resolver alguno de los problemas? ¿Implica la u´ ltima sentencia que todos los salvadoren˜ os tienen el mismo sue n˜ o o puede cada uno tener un sue n˜ o diferente? Algo de incerteza es tolerable en la conversaci´on normal. Desafortunadamente, cuando se necesita formular ideas de manera precisa -como en matem´aticas- estas ambig¨uedades inherentes en el lenguaje del d´ıa a d´ıa se convierten en un problema. No es posible realizar un argumento exacto si no estamos completamente seguros de lo que significan las palabras. Es por esto que antes de comenzar nuestro estudio matem a´ tico, debemos investigar el problema de c o´ mo hablar matem´aticamente. En este cap´ıtulo se inicia definiendo los tipos de sentencias del lenguaje natural que son u´ tiles en el lenguaje matem a´ tico, d´andole un significado preciso a palabras como “y”, “o”, “no”, “implica” y “equivale”, los cambios l o´ gicos que estas palabras traen al unir dos o m a´ s sentencias, y los s´ımbolos matem´aticos utilizados para representarlas1 . Finalmente, se introducir a´ la formalizaci´on de dichos conceptos y las propiedades inherentes en ellos en la forma del a´ lgebra proposicional.
1. “Puede comer pastel o comer sorbete”. 2. “Si las vacas vuelan, entonces puede entender la teor´ıa de la relatividad”. 3. “Si puede resolver todos los problemas que se nos ocurran, entonces tendr´a 10 en la materia”. 4. “Todo salvadore˜no tiene un sue˜no”. ¿Qu´e significan exactamente estas sentencias? ¿Puedo comer tanto pastel como sorbete o debo elegir un solo postre? Si la segunda sentencia es cierta, ¿significa que la teor´ıa de la relati-
1
Mucho de este trabajo fue iniciado por los Griegos hace m´as de 2,000 a˜nos.
1
1.1 P
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1.1 Proposiciones ....................................................................................................... Coinsidere las sentencias matem´aticas “2 + 5 = 7” y “7 < 5”. De aritm´etica b´asica, sabemos que la primera es cierta, mientras que la segunda es falsa. Pero, ¿qu´e pasa con las sentencias como “2 + 5 = 7 y 7 < 5” o “Si 2 + 5 = 7 entonces 7 < 5”? En realidad, la verdad o falsedad de estas sentencias compuestas depende de la falsedad o veracidad de sus componentes simples y de las caracter´ısticas de los conectivos usados en la composici´on. Para comenzar a estudiar la naturaleza precisa de esta dependencia debemos primero definir dichos componentes simples o proposiciones. Definiremos a una proposici´ on como cualquier sentencia declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas al mismo tiempo. La designaci´on de verdadero o falso, de los cuales s´olo uno es asignable a una proposici´on, es llamado el valor de verdad de la proposici´on.
EJEMPLO 1.1 Las siguientes son todas proposiciones: a) Par´ıs es la capital de Canada. ´ b) El 15 de abril de 2009 es un mi´ ercoles. c) La tierra es plana. d) 3 + 5 = 8 e) 2893015674434 + 1 es un n´umero primo f) Todo entero par mayor que 2 es la suma de dos n´umeros primos.2 Las proposiciones (a) y (c) son claramente falsas (es decir, tienen un valor de verdad de falso), mientras que las proposiciones (b) y (d) son verdaderas. Por otro lado, a´un no es posible determinar si las proposiciones (e) y (f) son verdaderas o falsas, pero es importante entender que no es necesario saber cu´al es el valor de verdad de una sentencia para poder clasificarla como proposici´on. Es suficiente con que sea posible en alg´un momento asignarle uno de los dos valores.
EJEMPLO 1.2 Las siguientes sentencias no son proposiciones: a) ¿Regresamos el martes o el mi´ercoles? b) ¡Ay´udeme por favor! c) X
− Y = Y − X .
d) Esta proposici´on es falsa.
En general, las preguntas y las o´ rdenes no son proposiciones, por lo que (a) y (b) no pueden ser clasificadas como tales. Por otra parte (c) no es proposici´on porque no espec´ıfi2
2
Esta es la conjetura de Goldbach, que data de 1742.
U E S
1. C´ P
ca qu´e clase de objetos son X e Y . Finalmente, (d), aunque pareciera a primera vista ser una proposici´on, es en realidad una paradoja: Si la proposici´ on fuera verdadera, entonces deber´ıa ser falsa; si la proposicion ´ es falsa, deber´ıa ser verdadera. En otras palabras, la sentencia toma al mismo tiempo el valor de falso y verdadero, lo que contradice la definici´on de proposici´on. Se deben evitar frases ambiguas como las siguientes: a) Los m´edicos son ricos. b) Las matem´aticas son divertidas. c) La computaci´on es m´as interesante que la matem´atica. Donde el valor de verdad depende de preferencias o percepciones subjetivas. As´ı mismo, n´otese que hay proposiciones cuyo valor de verdad depende del contexto en la que son expresadas. En t´erminos estrictos, una sentencia como “hoy es lunes” puede no considerarse como una proposici´on dado que “hoy” es variable. Lo mismo puede ser dicho
´ A (384-322 AC) naci´o en la ciudad de Estagira, no lejos del actual monte Athos, en la Calc´ıdica entonces perteneciente al reino de Macedonia. Su padre, Nic´ omaco, fue el m´edico personal del rey Amyntas III de Macedonia, por lo que Arist´oteles fue entrenado y educado como miembro de la aristocracia. Alrededor de los dieciocho a˜ nos, viaj´o a Atenas para continuar su educaci´ on en la Academia de Plat´on, donde continu´o por cerca de veinte a˜nos hasta la muerte de su mentor en 347 AC. Luego viaj´o a la corte del rey Hermias de Atarneos, en Asia Menor, junto a su condisc´ıpulo Xen´ocrates, despos´andose de Pythias, la hija (o sobrina) de Hermias. Poco despu´es de la muerte del rey, Arist´oteles fue invitado por Filipo II de Macedonia para convertirse en tutor de Alejandro Magno. Para 335 AC, hab´ıa regresado a Atenas y establecido una escuela llamada “liceo” (as´ı llamado por estar situado dentro de un recinto dedicado a Apolo Likeios), donde educ´o a sus alumnos en amplios temas por los pr´oximos doce a˜ nos. Durante este per´ıodo muri´o su esposa Pythias, por lo que se involucr´ o con Herpyllis de Estagira. De acuerdo a la Suda, tambi´ en tuvo un er´omeno llamado Palaephatus de Abidos. Es durante este per´ıodo en Atenas que se cree que Arist´ oteles compuso muchos de sus trabajos. Escribi´o muchos di´alogos, de los cuales s´olo fragmentos han sobrevivido. Los trabajos que sobreviven se encuentran en forma de tratados y, en su mayor´ıa, no estaban pensados para amplia publicaci´on, ya que se piensa que ser´ıan textos de apoyo para sus estudiantes. Se cree que s´olo cerca de un tercio de sus trabajos originales han sobrevivido. Arist´oteles (junto con S´ocrates y Plat´on) es una de las figuras fundadoras m´as importantes de la filosof ´ıa occidental. Fue el primero en crear un sistema filos´ofico completo, abarcando moral y est´etica, l´ogica y ciencia, pol´ıtica y metaf´ısica. Los puntos de vista de Aristoteles ´ sobre las ciencias f´ısicas dieron forma a las ense˜ nanzas medievales, y su influencia se extendi´ o hasta el Renacimiento, cuando fueron finalmente reemplazadas por la f´ısica moderna. En las ciencias biologicas, ´ algunas de sus observaciones fueron confirmadas hasta finales del siglo XIX. Sus trabajos contienen el estudio formal m´as antiguo conocido sobre la l´ogica, lo que fue incorporado a finales del siglo XIX en la l´ogica formal moderna. En metaf ´ısica, Arist´oteles tuvo una influencia profunda en el pensamiento filos´ofico y teol´ogico de las tradiciones Isl´amicas y Jud´ıas en la Edad Media, y contin´ua influenciando la teolog´ıa Cristiana, especialmente la teolog´ıa ortodoxa oriental, y la tradici´on escol´astica de la iglesia Cat´olica Romana. Luego de la muerte de Alejandro, se encendi´o nuevamente un ambiente anti-maced´onico en Atenas. Eurimed´ on denunci´ o a Arist´oteles de no rendir honor a los dioses, por lo que Arist´ oteles huy´ o de la ciudad a las propiedades de la familia de su madre en Calcis explicando: “No dejar´e que los Atenienses cometan otro pecado contra la filosof´ıa”, refiri´endose al juicio y ejecuci´ on de S´ocrates en Atenas. Sin embargo, muri´ o a menos de un a˜no de haber llegado a Eubea de causas naturales. Dej´o un testamento en el cual ped´ıa ser enterrado junto a su esposa.
3
1.2 C L ´
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de “est´a lloviendo”. Sin embargo, en la pr´actica, cuando estas sentencias son usadas en el d´ıa a d´ıa, hay una gran cantidad de material de respaldo (contexto) que hacen que dichas sentencias sean verdaderas o falsas en un tiempo y lugar espec´ıficos, por lo que ser´ an consideradas como proposiciones.
´ 1.2 Conectivos Logicos ....................................................................................................... Todas las proposiciones en el ejemplo 1 son proposiciones simples. Sin embargo, es usual en el lenguaje cotidiano utilizar proposiciones compuestas que consisten de dos o m´as proposiciones unidas por uno o m´as conectivos l´ ogicos, siendo “y”, “o”, “no”, “implica” y “equivale” las m´as comunes de ellas. Por ejemplo, podemos combinar tres proposiciones:
Si los humanos son mortales y todos los salvadore˜nos son humanos, entonces todos los salvadore˜nos son mortales. En la discusi´on siguiente, no nos preocupar´a mucho el significado de las proposiciones simples -ya sea que hablen de matem´atica o de la mortalidad de los salvadore˜nos- pero s´ı de c´omo las proposiciones son combinadas y relacionadas. Es por esto que usualmente se utilizar´an variables como p o q en lugar de proposiciones espec´ıficas como “Todos los humanos son mortales” y “2+3=5”. Se entender´a que estas variables, como las proposiciones, pueden tomar uno de dos valores: verdadero o falso.
1.2.1.
Conjunci´on, Disyunci´on y Negaci´on
Primero analizamos el uso del conectivo y, que expresa que dos eventos son ciertos simult´aneamente. Es decir, si p y q son dos proposiciones, la proposici´on compuesta “ p y q”, simbolizada por p q y llamada conjunci´ on, ser´a verdadera solamente en el caso en que ambas proposiciones lo sean. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la conjunci´on.
∧
EJEMPLO 1.3 La proposici´on “Son las 4 PM y est´a lloviendo” est´a compuesta por las proposiciones p =“Son las 4 PM” y q =“Est´a lloviendo” unidas por el conectivo “ y” para indicar que ambos se cumplen al mismo tiempo. Se simboliza como p q.
∧
EJEMPLO 1.4 La proposici´on “π es mayor que 3 y π es menor que 3.2” indica que debe cumplirse tanto “π es mayor que 3” como “π es menor que 3.2”. Simb´olicamente, podemos representar a on compuesta puede ser escrita s como π > 3 y a t como π < 3.2, por lo que la proposici´ como (π > 3) (π < 3 .2)
∧
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U E S
1. C´ P
Una observaci´on importante es que en el lenguaje matem´atico, una conjunci´on es independiente del orden de sus partes: p q significa lo mismo que q p. Esto no siempre es cierto en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo, la proposici´on
∧
∧
Jos´ e pate´ o el tiro libre y la pelota entr´ o en la porter´ıa.
no significa lo mismo que La pelota entr´ o en la porter´ıa y Jos´ e pate´ o el tiro libre.
Otra diferencia importante con el uso de “y” en el lenguaje natural se puede observar en frases como “Juan y Pedro son amigos”. En esta proposici´on, no es posible utilizar el s´ımbolo para representar la palabra “ y” ya que no est´a siendo usada para unir dos proposiciones. El siguiente conectivo l´ogico que analizaremos es la palabra “o”, que, a diferencia del “y”, s´ı introduce ambig¨uedad en el lenguaje com´un. Utilizamos “o” cuando queremos expresar que el evento A es cierto o el evento B es cierto. Es decir, dadas dos proposiciones p y q , la proposici´on compuesta “ p o q ”, simbolizada como p q, es verdadera cuando al menos una de las proposiciones componentes lo es. Las proposiciones de la forma p q son llamadas disyunciones.
∧
∨
∨
EJEMPLO 1.5 Las siguientes proposiciones son ejemplos de disyunciones. a) La proposici´on “La clase de ma˜ nana a las 10 ser´a en el aula 1 o en el aula 3”, est´a formada por las proposiciones “La clase de ma˜nana a las 10 ser´a en el aula 1” y “La clase de ma˜nana a las 10 ser´an en el aula 3”. b) La proposici´on “3 es un entero par o´ 7 un primo” se representa con p “3 es un entero par”, q = “7 es un nu´ mero primo”.
∨ q, donde p =
c) La proposicion “Esta noche comer´e pollo o vegetales” est´a compuesta por las proposiciones r=“Esta noche comer´e pollo” y s=“Esta noche comer´e vegetales”.
Note que la definici´on de disyunci´on nos dice que la proposici´ on compuesta disyuntiva ser´a falsa u´ nicamente cuando ambas proposiciones son falsas. Esto introduce una diferencia importante con el lenguaje cotidiano, donde la proposici´on p q normalmente indica que o p es verdadera, o q es verdadera, pero no ambas. Las proposiciones (a) y (b) del ejemplo 5 siguen este razonamiento exclusivo. Sin embargo, para la proposici´on (c) tanto r como s pueden ser ciertas simult´aneamente. Este significado inclusivo de la palabra o es el que utilizaremos de aqu´ı en adelante. La siguiente definici´on surge de la necesidad de negar sentencias, expresando que una proposici´on es falsa. Dada una proposici´on p cualquiera, la proposici´on compuesta “no p”, simbolizada por p, es verdadera si p es falsa, y es falsa si p es verdadera.
∨
¬
5
1.2 C L ´
E M´
Como se muestra en los siguientes ejemplos, los tres conectivos l´ ogicos presentados hasta ahora nos permiten analizar la forma l´ ogica de proposiciones complejas.
EJEMPLO 1.6 Analice la forma l´ogica de “Jos´e se ir´a de casa y no volver´a”. Soluci´ on. Sea p la proposici´on “Jos´e se ir´a de casa” y q la proposici´on “Jos´e no volver´a”, entonces podemos representar esta expresi´on simb´olicamente como p q . Sin embargo, este an´alisis no considera que q es en realidad una expresi´on negativa. Podr´ıamos obtener un mejor resultado si consideramos a r como “Jos´e volver´a” y reescribimos a q como r . r . Reemplazando a q en nuestro an´alisis original tenemos p
∧
¬
∧¬
EJEMPLO 1.7 Analice la forma l´ogica de “O Elisa entr´o a clases y Gabriela no, o Gabriela entr´o a clases y Elisa no”. Soluci´ on. Sea e la proposici´on “Elisa entr´o a clases” y sea g la proposici´on “Gabriela entr´o a clases”. La primera parte de la proposici´on, es decir “O Elisa entr´o a clases y g. Similarmente, la segunda mitad puede ser Gabriela no”, puede ser escrita como e e. Para representar toda la proposici´on, utilizamos la disyunci´on representada por g g) (g e). para combinar estas dos partes para formar (e
∧ ¬
∧ ¬
∧¬ ∨ ∧¬
Note que al analizar la proposici´on compuesta del ejemplo anterior, agregamos par´enteg y g e para indicar sin ambig¨uedades sis cuando formamos la disjunci´o n de e qu´e proposiciones estaban siendo combinadas. Esto es similar al uso de par´entesis en ´algebra, en donde, por ejemplo, el producto de a + b y a b ser´ıa escrito como (a + b) (a b), con los par´entesis indicando qu´e cantidades est´an siendo multiplicadas. Como en el a´ lgebra, en l´ogica es conveniente omitir algunos par´entesis para hacer m´as cortas y m´as legibles nuestras expresiones. Sin embargo, es necesario establecer las reglas para leer dichas expresiones sin que esto introduzca ambig¨uedades. Una primera convenci´on que adoptaremos es que la negaci´on ( ) se aplica unicamente ´ a la proposici´ on que viene inmediatamente despu´es de ella. Por ejemplo, p q significa ( p) q en lugar de ( p q). En el transcurso del libro, se presentar´an m´as convenciones sobre los par´entesis. Tambi´en es importante tomar en cuenta que los s´ımbolos y u´ nicamente pueden ser usados entre dos proposiciones para formar su conjunci´on o disyunci´o n, y el s´ımbolo on para negarlo. Esto quiere decir que ciertas s´olo puede ser usado antes de una proposici´ q , p q, y p q. Una vez cadenas de s´ımbolos y variables no son v´alidas, como p m´as, puede ser util ´ pensar en una analog´ıa con el algebra, ´ donde los s´ımbolos +, , y pueden ser usados entre dos n´ umeros, como operadores, y el s´ımbolo puede tambi´en ser usado antes de un n´umero para negarlo. Estas son las unicas ´ formas en los que estos s´ımbolos pueden ser usados en algebra, ´ por lo que expresiones como x y no tienen sentido alguno. Algunas veces, palabras diferentes a “ y”, “ o” y “ no” son usadas para expresar el significado representado por , y . Por ejemplo, considere la predicci´on del tiempo “viento ´ y lluvia son las unicas posibilidades para el clima de ma˜nana”. Esta es simplemente otra manera de decir que o har´a viento o llover´a ma˜nana, por lo que, a´un cuando se utiliz´o la
∧ ¬
¬
¬ ∧
¬ ∧
∧ ¬ −
· −
¬ ∧ ∧ ∨
¬∧
÷
¬
− − ÷
∧∨ ¬
6
∨ ∧
¬
− ×
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1. C´ P
palabra “ y” en la proposici´on, e´ sta es en realidad una disyunci´ on. El mensaje de estos ejemplos es que para determinar la forma l´ ogica de las proposiciones debe pensarse en el significado de las mismas y no en simplemente traducirlas palabra por palabra. Como otro ejemplo, considere la proposici´on “tengo hambre pero tengo que ir a clase”. En este caso, la palabra pero es utilizada para representar a la conjunci´on. Finalmente, algunas veces hay conectivos ocultos en la notaci´ on matem´a tica. Por ejemplo, considere la proposici´on 3 π. Aunque a primera vista parezca una proposici´ on sin conectivos l ogicos, ´ al leerla en voz alta se escuchar´a la palabra o. Si representamos a 3 < π como p y a 3 = π como q , entonces la proposici´on 3 π puede ser escrita como p q. Como un ejemplo ligeramente m´as complicado, considere la proposici´on 3 π < 3 .2. Esta proposici´on significa que 3 π y π < 3 .2. Utilizando la representaci´on que se obtuvo de 3 π en el p´arrafo anterior, podemos escribir la proposici´ on completa como [(3 < π) (3 = π )] (π < 3 .2).
≤
≤
∨
≤
≤
≤
∨
∧
Propiedades de la negacio´ n Antes de continuar nuestra discusi´on sobre los conectivos l´ogicos, es u´ til adentrarnos en el comportamiento de la negaci´on. Nuestra primera observaci´ on es simple: ( p) es equivalente a (es decir, significa lo mismo que) p . Esta propiedad de la negaci´on no es necesariamente verdadera en el lengua je com´un. Por ejemplo, es com´un escuchar frases como “No me desagrad´o la pel´ıcula”. En t´erminos de negaci´on, esta proposici´on tiene la forma ( AGRADAR ), pero esa frase no quiere decir que a quien lo dijo le agrad´o la pel´ıcula. De hecho, definitivamente significa algo mucho menos positivo. Discutir los efectos de la negaci´on sobre las conjunciones y disyunciones toma un poco m´as de trabajo. Por ejemplo, ¿Cu´al es el significado de una expresi´on como
¬ ¬
¬¬
¬( p ∧ q) donde p y q son dos proposiciones cualesquiera? Sabemos que p q significa “tanto p como q son ciertas”, por lo que ( p q) deber´ıa significar que “no es cierto que p y q son ambas ciertas”. Ahora, si ambas no son ciertas, entonces al menos una de ellas debe de ser falsa. Pero decir que al menos una de p y q es falsa es lo mismo que decir que al menos una de p y q es verdadera (por nuestra definici´on de negaci´on). Simb´olicamente, y por nuestra definici´on del conectivo o, esto q3 . Por lo tanto podemos decir que ( p q) es equivalente puede ser escrito como p q. Siguiendo un razonamiento similar, es posible mostrar que (significa lo mismo) a p ( p q) es equivalente a p q. Estas dos equivalencias son llamadas las leyes de De 4 Morgan .
∧
¬ ∧
¬ ¬
¬ ∨
¬ ∨¬ ¬ ∨¬ ¬ ∧ ¬
3
¬ ∧
Dado que ya especificamos que modifica u´ nicamente a la proposici´on que le sigue, podemos obviar los par´entesis para escribir p uedades q sin introducir ambig¨ 4 Puede leer la biograf ´ıa de De Morgan en la p´agina 9.
¬ ∨¬
¬
7
1.2 C L ´
1.2.2.
E M´
Condicional
La cuarta noci´on que investigaremos es una de las que causa la mayor confusi´on inion. En matem´aticas frecuentemente utilizamos expresiones de la forma “ p cial: implicaci´ q”. De hecho, la implicaci´on provee el medio por el cual implica q”, simbolizada “ p demostramos proposiciones, comenzando con observaciones iniciales o axiomas. Por lo tanto, ser´ıa razonable asumir que cuando se tiene una proposici´on de la forma p q , si p es verdadera, entonces q debe ser tambi´en verdadera. Pero suponga que p es la proposici´on verdadera “ 2 es irracional” y q es “0 < 1”. q en este caso? En otras palabras, ¿ser´a cierto que la irracionalidad ¿Ser´a verdadera p de 2 implica que 0 es menor que 1? Desde luego que no. No existe conexi´on real entre las proposiciones p y q . M´as dram´aticamente, considere la implicaci´on
→
→
√
√
→
“Que el emperador Julio C´esar est´e vivo implica que 1 + 1 = 2”. q si p es falso? ¿Tienen sentido este tipo de En este caso, ¿Qu´e puede decirse de p expresiones? El problema con los ejemplos anteriores es que el concepto de implicaci´ on no s´olo tiene que ver con el valor de verdad de la proposici´ on (como es el caso de la conjunci´ on, disyunci´on y negaci´on), sino tambi´en con causalidad . Cuando escribimos “ p implica q ”, queremos decir que de alguna manera q es causada o provocada por p. Para los prop´ositos de este cap´ıtulo, no consideraremos el complejo problema de la causalidad y utilizaremos u´ nicamente el valor de verdad de las implicaciones. A cualquier expresi´o n de la forma p q se le llamar´a la expresi´ on condicional o simplemente el condicional. Nos referiremos a p como el antecedente y a q como consecuente. La verdad o falsedad de un condicional ser´a definido completamente por la verdad o falsedad del antecedente y del consecuente, y no se considerar´a en absoluto si existe o no una conexi´ on significativa entre p y q . Como se esperar´ıa, esta definici´on que ignora un aspecto altamente significativo de la noci´on de la implicaci´on puede tener consecuencias que son contraintuitivas e incluso absurdas. Sin embargo, en todos los casos donde s´ı existe una implicaci´on genuina y significativa de la forma “ p implica q ”, el condicional p q concuerda con esa implicaci´on. Dicho de otra manera, al definir el condicional de esta forma, no tenemos caso alguno en que se contradiga la noci´on de la implicaci´on genuina. En lugar de ello, obtenemos una noci´on que extiende a la implicaci´on genuina para cubrir los casos donde se tiene una implicaci´on sin sentido, como en los casos donde el antecedente es falso o donde no hay conexi´on real entre el antecedente y el consecuente. Ahora que ignoramos toda causalidad, el valor de verdad de una implicaci´on es intuitivo cuando el antecedente es verdadero. Si p es verdadero y “ p implica q” es una proposiq ser´a verdadero ci´on v´alida, entonces q debe ser verdadera. Es decir, el condicional p cuando tanto el antecedente como el consecuente sean verdaderos. Para manejar el caso en el que el antecedente es falso, no consideraremos la noci´on de implicaci´on sino m´as bien la de su negaci´on. Extraeremos la parte del valor de verdad y sin causalidad de la proposici´on “ p no implica q”, que escribiremos como p q , y dejaremos
→
→
→
→
8
U E S
1. C´ P
de lado cualquier tipo de relaci´on entre p y q . Con esto en mente, podemos ver que p no implicar´ a q si tenemos que aunque p sea verdadera, q es falsa 5 . Por lo tanto, diremos que p q es verdadera precisamente cuando p es verdadera y q es falsa. Habiendo definido la verdad o falsedad de p q, obtenemos el valor de verdad de p q utilizando la negaci´on. De aqu´ı que p q ser´a verdadera exactamente cuando p q sea falsa, llevando a los siguientes casos donde la expresi´on condicional p q es verdadera:
→
→
→
(1) p y q son ambas verdaderas. (2) p y q son ambas falsas. (3) p es falsa y q es verdadera. Obervando estos casos, vemos que la expresi´ on condicional es falsa unicamente ´ cuando el antecedente es verdadero pero el consecuente es falso. Para explorar a´un m´as el condicional, considere la siguiente proposici´ on: “Si la conjetura de Goldbach es verdadera, entonces x2
≥ 0 para todo n´umero real x”
Como mencionamos anteriormente, no se ha podido determinar a´ un si la conjetura de 5
Formalmente escribimos esto como p mismo (son equivalentes).
∧ ¬q, lo que sugiere que esta expresi´on y ¬( p →
q) significan lo
A D M (1806-1871) fue el quinto hijo de John De Morgan, un Teniente-Coronel ingl´es estacionado en India al momento del nacimiento de Augustus. De Morgan perdi´o su vista en el ojo derecho poco despu´es de su nacimiento y, a los siete meses de edad, regres´o a Inglaterra con su familia. John De Morgan muri´o cuando Augustus ten´ıa 10 a˜nos. De Morgan no sobresali´o en la escuela y, debido a su condici´on f ´ısica, no jugaba deportes e incluso fue v´ıctima de crueles bromas por parte de sus compa˜ neros. Ingres´o al Trinity College de Cambridge en 1823 a los 16 a˜ nos, donde fue alumno de Peacock y Whewell, con quienes entabl´ o amistad de por vida. Recibi´ o su licenciatura pero, dado que un ex´ amen teol´ogico era requerido para la Maestr´ıa, algo a lo que De Morgan objetaba a pesar de ser miembro de la Iglesia de Inglaterra, el no pudo seguir en Cambridge ya que no era elegible para una beca sin una Maestr´ıa. En 1826 regres´o a su hogar en Londres e ingres´o al Licoln’s Inn a estudiar para los ex´amenes de abogac´ıa. En 1827 (a los 21 a˜nos), aplic´o a la direcci´on de matem´atica en el nuevo University College London y, a pesar de no tener publicaciones matem´aticas, fue contratado. Por cuesti´on de principios, renunci´o a su posici´on en 1831, siendo contratado nuevamente 1836. Adem´as de sus famosas leyes y de ser recordado como el reformador de la l´ogica matem´atica, De Morgan tambi´en contribuy´o a otras ´areas de la matem´atica. En 1838, en su art´ıculo Induction (Mathematics) de la Penny Cyclopedia, defini´o e intodujo el t´ermino inducci´ on matem´ atica (ver secci´on ??), un proceso que hab´ıa sido ´ utilizado anteriormente sin claridad o base rigurosa. Otras publicaciones incluyen Elementos de Algebra (1837), Elementos de aritm´ etica (1840), Calculo Diferencial e Integral y Trigonometr´ıa (1849). En 1866, a los 60 a˜nos, renunci´o por segunda vez a su puesto en University College por cuesti´on de principios, por lo que sus pupilos le aseguraron una pension de £500. Ese mismo an˜ o fue co-fundador y primer presidente de la Sociedad Londinense de Matem´ atica. Sin embargo, dos a˜ nos m´as tarde, muere su hijo George, un h´abil matem´atico por s´ı mismo, seguido por otra de sus hijas. Cinco a˜nos despu´es de su renuncia, De Morgan muere el 18 de marzo de 1871. De Morgan siempre se interes´o por hechos num´ericos raros, escribiendo en 1864 que hab´ıa tenido la distinci´on de tener x a n˜ os en el a˜no x 2 .
9
1.2 C L ´
E M´
Goldbach es cierta o falsa. Sin embargo, eso no evita que podamos determinar el valor de verdad de la proposici´on compuesta. Esta proposici´on tiene la forma p q , donde p=“La conjetura de Goldbach es verdadera” y q =“ x2 0 para todo n´umero real x”. Ya que q es verdadera, entonces estamos en el caso (1) o el caso (3) de la veracidad de la condicional, por lo que la proposici´on compuesta es verdadera. La siguiente proposici´on demuestra el lado contraintuitivo de las implicaciones:
≥
→
“Si los cerdos vuelan, entonces puedes entender la teor´ıa de la relatividad” Curiosamente, el valor de verdad de esta proposici´on no tiene relaci´ on alguna con el hecho de que se pueda o no entender la teor´ıa de la relatividad. Los cerdos no vuelan, as´ı que estamos en el caso (2) o (3) de la veracidad del condicional. En ambos casos, la proposici´on es verdadera. En contraste, considere la siguiente proposici´ on: “Si la luna parece blanca, entonces la luna est´a hecha de queso blanco” S´ı, la luna parece blanca, pero no, no est´a hecha de queso blanco. Ya que la combinaci´on de estos valores de verdad no se encuentra en ninguno de los casos de la veracidad del condicional, la proposici´on debe ser falsa. Estos ejemplos muestran que la definici´ on del condicional puede resumirse de la siguiente manera: Una expresi´ on condicional es verdadera si el antecedente es falso o si el consecuente es verdadero. q y p q significan La escritura formal de la observaci´on anterior sugiere que p lo mismo. Adem´as de los valores de verdad que hemos visto hasta ahora, el condicional (y m´as generalmente, la implicaci´on) posee terminolog´ıa asociada a la que el lector debe acostumbrarse. Una proposici´on “ p q ” puede leerse de las siguientes maneras:
→ ¬ ∨
→
(1) p implica q (2) Si p entonces q (3) p es suficiente para q (4) p s o´ lo si q (5) q si p (6) q cuando p (7) q es necesario para p Las primeras cuatro formas mencionan a p antes de q, y de estas las primeras 3 son relativamente f a´ ciles de entender. Pero (4) requiere un poco de atenci´on. Note el contraste entre (4) y (5) con respecto al orden entre p y q . Con mucha frecuencia quienes estudian estos conceptos por primera vez encuentran dificultad en apreciar la distinci´on entre si y s´ olo si. 10
U E S
1. C´ P
De la misma manera, el uso de la palabra necesario en (7) usualmente causa confusi´ on. Note que decir que q es una condici´on necesaria para p no significa que q por s´ı sola es suficiente para garantizar p. M´as bien, lo que dice es que q debe ser verdadera antes que pueda darse cualquier pregunta si p es verdadera.
Contrapositiva y Conversa p, llamada A la expresi´on condicional p q puede asoci´arsele la proposici´on q q. Note que en la contrapositiva, la introla contrapositiva o contrarec´ıproca de p ducci´on del signo de negaci´on es acompa˜nada de un cambio en la direcci´on de la flecha. Por ejemplo, la contrapositiva de la expresi´on “si est´a lloviendo, entonces hay nubes en el cielo” es “si no hay nubes en el cielo, no est´ a lloviendo”. De la misma manera, la contran positiva de la proposici´ on “si 2 1 es primo, entonces n es primo” es “si n es compuesto n (es decir, no es primo), entonces 2 1 es compuesto”. M´as adelante veremos que una expresi´ on condicional y su contrapositiva son l´ ogicamente equivalentes. Sin embargo, es importante no confundir a la contrapositiva con el p, llamada la conversa o rec´ıproca de p q. En general, no existe cocondicional q nexi´on entre los valores de verdad de un condicional y su conversa. Esto es ilustrado con la conversa de la expresi´on “si est´a lloviendo, entonces hay nubes en el cielo”, la cual es “si hay nubes en el cielo, entonces est´a lloviendo”.
→
−
¬ → ¬
→
−
→
1.2.3.
→
Bicondicional
Cercanamente ligada a la implicaci´on es la noci´on de equivalencia. Se dice que dos proposiciones p y q son (logicamente) ´ equivalentes si cada una implica a la otra. As´ı como en la secci´on anterior la implicaci´ on fue desprovista de causalidad, el estudio de equivalencia ser´a igualmente desprovista de causalidad en esta secci´on y estudiaremos u´ nicamente la parte concerniente al valor de verdad de la equivalencia: el bicondicional. Dadas dos proposiciones p y q , la proposici´on bicondicional “ p si y s´olo si q ”, simbolizada por p q, p). es definida como ( p q ) (q De esta definici´on y como se ver´a m´as claramente podemos ver que el bicondicional ser´a verdadero si p y q son ambos verdaderos o ambos falsos; de lo contrario, el biconq sea verdadero, p y q deben tener el dicional es falso. En otras palabras, para que p mismo valor de verdad. Al igual que con el condicional (y la implicaci´ on), el bicondicional (y la equivalencia) posee terminolog´ıa asociada con la que es necesario familiarizarse. Una proposicion ´ p q puede leerse de las siguientes maneras:
↔
→ ∧ →
↔
↔
(1) p es equivalente a q (2) p es necesario y suficiente para q (3) p si y s´olo si q Es necesario tener en cuenta que en el lenguaje cotidiano algunas veces utilizamos proposiciones condicionales cuando en realidad queremos expresar un bicondicional. Por 11
1.2 C L ´
E M´
ejemplo, probablemente no se dir´ıa algo como “la clase se impartir´ a si hay al menos diez personas en el sal´on” a menos que tambi´en sea el caso que si hubiera al menos de diez personas en el sal´on, la clase se impartir´ıa. Por lo tanto, la proposicion ´ sugiere que la clase ser´a impartida si y s´olo si hay al menos diez personas en el sal´on. Como otro ejemplo, suponga que los padres le dicen a un ni˜no, “Si no te comes todo, no tendr´as postre”. El ni˜no ciertamente espera que si termina su comida tendr´a su postre, aunque no sea literalmente lo que sus padres dijeron. En otras palabras, el ni˜no interpreta el significado de la proposici´on como “que termines tu comida es una condici´on necesaria y suficiente para obtener postre”. olo si” nunca es aceptable en matem´aticas. En el resto Tal confunsi´on entre “si” y “ si y s´ del libro (y en el lenguaje matem´atico) se utilizar´an siempre expresiones como “es necesario y suficiente” o “si y solo ´ si” para expresar el bicondicional. No debera´ interpretar una proposici´on de la forma “si-entonces” como una proposici o´ n bicondicional.
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Exprese las siguientes proposiciones compuestas en forma simb´olica: a) No ir´as a jugar f´utbol, o ir´as y nadie estar´a ahi. b) O Juan y Beto est´an ambos diciendo la verdad, o ninguno la est a´ diciendo. c) Comer´e pescado o pollo, pero no comer´e pescado y pur e´ de papas. d) Tendremos ya sea lectura o tarea para la siguiente clase, pero no tendremos tarea y examen al mismo tiempo. e) 3 es un divisor com´un de 6, 9 y 15. f) Alicia y Carlos no est´an ambos en el cuarto. g) Alicia y Carlos est´a n ambos fuera del cuarto. h) O Alicia o Carlos no est´an en el cuarto. i) Ni Alicia ni Carlos est´an en el cuarto. 2. ¿Cu´ales de las siguientes expresiones l o´ gicas no son v´alidas? a) b) c) d)
12
¬(¬ p ∨ ¬¬r ) ¬( p, q, ∧r ) p ∧ ¬ p ( p ∧ q)( p ∨ r )
3. Si p representa a la proposici´o n “comprar´e los pantalones” y s a la proposici´on “comprar´e la camisa”. ¿Qu´e oraciones en Espa˜nol son representadas por las siguientes expresiones l o´ gicas? a) b) c)
¬ p ∧ ¬s ¬ p ∨ ¬s ¬( p ∧ ¬s)
4. Si a representa a la proposici´on “Alfonso est´a feliz” y g representa a “Gabriel est a´ feliz”. ¿Qu´e oraciones en Espa˜nol son representadas por las siguientes expresiones l o´ gicas? a) (a b) c)
∨ g) ∧ (¬a ∨ ¬g) [a ∨ (g ∧ ¬a)] ∨ ¬g a ∨ [g ∧ (¬a ∨ ¬g)]
5. Sean p, q , r las proposiciones: p = “Est´a lloviendo”, q = “El sol est´a brillando”, r = “Hay nubes en el cielo”. Traduzca las siguientes frases a notacio´ n lo´ gica usando p, q , r y los conectivos lo´ gicos: a) Est´a lloviendo y el sol est a´ brillando b) Si est´a lloviendo, entonces el sol no est´a brillando
U E S
1. C´ P
c) Si no est´a lloviendo, entonces el sol no est´a brillando y no hay nubes en el cielo d) El sol est´a brillando si y s o´ lo si no est´a lloviendo e) Si no hay nubes en el cielo, entonces el sol est´a brillando
c) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8 d) p
→ ( q ∧ r )
e) Si x + y = 1 entonces x 2 + y2
≥ 1
f) Si 2 + 2 = 4 entonces 3 + 3 = 8
11. Exprese las siguientes proposiciones compuestas en forma simb o´ lica:
6. Sean p, q , r las proposiciones del ejercicio 5, traduzca las siguientes proposiciones al castellano: a) ( p q) r b) p ( q r ) c) ( p r ) q d) ( p ( q r )) e) ( p q) r 7. Identifique al antecedente y al consecuente en cada una de las siguientes expresiones condicionales:
b) Tener fiebre y dolor de cabeza es una condici´on suficiente para que Jorge vea al m´edico.
a) Si las manzanas son rojas, entonces las naranjas son verdes.
d) Mar´ıa vender´a su casa so´ lo si puede venderla a buen precio y encuentra un bonito apartamento.
∧ → → → ¬ ∨ ∧
¬ ↔ ∨ ¬ ↔ ∨
b) La diferenciabilidad de una funci´on f es suficiente para que f sea cont´ınua. c) Una funci´on f es acotada si f es integrable. d) Una secuencia s es acotable cuando s es convergente. e) Es necesario que n sea primo para que 2n 1 sea primo.
−
f) El equipo gana so´ lo cuando Carlos juega. g) Cuando Carlos juega el equipo gana. h) El equipo gana cuando Carlos juega. 8. Escriba la conversa y la contrapositiva de cada condicional del ejercicio anterior. 9. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados: a) Si 5 < 3 entonces 3 <
− −5.
b) No es verdad que, 2 + 2 = 4 o´ 3 + 5 = 6. c) 2 + 2 4 y 3 + 3 = 6. d) Si 3 < 5 entonces 3 <
− −5.
10. Proporcione las rec´ıprocas y la contrarec´ıproca de las siguientes implicaciones:
→ r
a) q
b) Si x 2 = x entonces x = 0 o´ x = 1
a) Si este gas tiene olor desagradable o no es explosivo, entonces no es hidr o´ geno.
c) Si x 2, entonces una condici´on necesaria para que el n´umero entero n sea primo es que n sea impar.
e) Tener tanto una buena historia crediticia y una prima adecuada es una condici o´ n necesaria para obtener una hipoteca. f) Jos´e gastar´a todo su dinero si nadie lo detiene. g) Si n es divisible por 4 o 6, entonces no es primo. 12. ¿Cu´al de las siguientes condiciones es necesaria para que el n´umero entero positivo n sea divisible por 6? a) n es divisible por 3 b) n es divisible por 9 c) n es divisible por 12 d) n = 24 e) n2 es divisible por 3 f) n es par y divisible por 3 13. ¿Cu´ales de las condiciones del ejercicio anterior son suficientes para que n sea divisible por 6? 14. ¿Cu´ales de las condiciones del ejercicio 12 son suficientes y necesarias para que n sea divisible por 6? 15. Sabiendo que la expresi´on condicional p q es falsa, proporcione los valores de
→
13
1.3 T V
E M´
verdad de: a) p q
∧
b) p
c) q
∨q
Observaci´on: las proposiciones p, q son las mismas en las cuatro proposiciones compuestas.
→ p
1.3 Tablas de Verdad .......................................................................................................
∧∨¬→ ↔
Ya que hemos definido a los conectivos l´ogicos , , , y u´ nicamente en t´erminos de sus valores de verdad, es posible definirlos usando una tabla de verdad 6 , donde representamos al valor verdadero con una V o un 1, y al valor falso con una F o un 0. Por ejemplo, si p denota una proposici´on cualquiera, entonces la veracidad de la proposici´ on “no p” puede ser ilustrada con la siguiente tabla: p F V
¬ p V F
p 0 1
o bien
¬ p 1 0
La primera fila de la tabla indica que cuando la proposici´on p es falsa, la proposici´on p es verdadera. La segunda fila indica que cuando p es verdadera, p es falsa. En general, una tabla de verdad indica la veracidad o falsedad de una proposici´ on para todas las posibles combinaciones de los valores de las proposiciones simples. Por ejemplo, la tabla de verdad para la proposici´on p q tiene cuatro filas:
¬
¬
∧
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p
∧q 0 0 0 1
En las primeras dos columnas aparecen todas las posibles combinaciones de los valores de 1 y 0 que las proposiciones p y q pueden tener. La tercera columna muestra el valor de verdad de p q por cada una de las combinaciones. De aqu´ı se puede ver que p q es verdadero unicamente ´ cuando tanto p como q son verdaderos. Para p q y para p q tenemos las tablas:
∧ ∨
∧
→
p 0 0 1 1 6
q 0 1 0 1
p
∨q 0 1 1 1
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p
→ q 1 1 0 1
Aunque las tablas de verdad hab´ıan sido utilizadas en la literatura desde 1920, fue la influencia del Tractatus Logico-Philosophicus de Wittgenstein (ver p´ag. 15) que populariz´o su uso. Sin embargo, Lewis Carroll (ver p´ag. 47), autor de Alicia en el Pa´ıs de las Maravillas, hab´ıa formulado tablas de verdad en 1894 para resolver ciertos problemas, pero los manuscritos que contenian ese trabajo no fueron descubiertos sino hasta 1977.
14
U E S
1. C´ P
Es posible construir tablas de verdad para expresiones m´as complicadas. Considere, por ejemplo, la tabla de verdad para p q , la cual fue definida como ( p q ) (q p).
Pasos
p 0 0 1 1 1
q 0 1 0 1 1
↔ p → q q → p 1 1 0 1 2
1 0 1 1 3
→ ∧ →
( p
→ q) ∧ (q → p) 1 0 0 1 4
La u´ ltima fila de la tabla anterior muestra el orden en que fueron llenados los valores de las columnas. Se inicia con una columna por cada una de las variables de la expresi´ on de tal manera que cada fila tenga una combinaci´ on diferente de los valores de verdad de las variables, cubriendo todas las combinaciones posibles. Luego, por cada fila, se calcula el
L J J W (1889-1951) fue un fil´osofo Austr´ıaco que trabaj´o principalmente en los fundamentos de la l´ogica, la filosof ´ıa de la matem´atica, la filosof ´ıa de la mente, y la filosof ´ıa del lenguaje. Naci´o en Viena el 26 de abril de 1889, siendo el m´as joven de ocho hijos nacidos en una de las m´as prominentes y adineradas familias del imperio Austro-H´ungaro. Su familia era visitada por m´usicos como Johannes Brahms y Gustav Mahler. Ludwig y sus hermanos fueron educados tanto intelectual como art´ısticamente, por lo que Ludwig pose´ıa una devocion ´ a la m´usica que sigui´ o siendo importante por el resto de su vida. Ludwig fue educado en casa hasta 1903, cuando inici´ o tres a˜nos de estudio en la Realschule de Linz, donde Adolfo Hitler fue estudiante al mismo tiempo. Wittgenstein hablaba Alem´ an altamente puro y educado, aunque ocasionalmente tartamudeaba, vest´ıa ropas elegantes, y era incre´ıblemente sensitivo y antisocial. Se refer´ıa a sus compa˜neros formalmente, demandando que hicieran lo mismo con e´ l. Odi´o la escuela y mantuvo u´ nicamente calificaciones promedio. En 1906, inici´o sus estudios de ingenier´ıa mec´anica en Berlin, y en 1908, comenz´o su doctorado en ingenier´ıa en la Universidad de Manchester. Sin embargo, el estudio del Principia Matematica de Russell (ver biograf ´ıa en la pag. ?? ) como parte de su investigaci´on despert´o un inter´es que lo llev´o a visitar a Frege (ver biograf´ıa la pag. 43), quien le aconsej´o que ingresara a la Universidad de Cambridge como alumno de Russell. ´ Este luego escribi´ o que ser profesor de Wittgenstein fue “. . . una de las aventuras intelectuales m´ as interesantes [de su vida].. . [Wittgenstein ten´ıa] pureza intelectual a un grado extraordinario. . . [El] pronto sab´ıa todo lo que pod´ıa ense˜narle.” Ambos pronto comenzaron a trabajar en los fundamentos de la l´ogica y en l´ogica matem´atica. Sin embargo, durante su per´ıdo en Cambridge Ludwig sufri´o depresi´on y amenaz´o con suicidarse en repetidas ocasiones. En 1913, parti´o hacia una remota poblaci´on en Noruega ya que pensaba que no podr´ıa llegar al coraz´on de sus preguntas m´as fundamentales mientras estuviese rodeado de acad´emicos. Durante este per´ıodo, que luego consider´o como uno de los m´as apasionados y productivos de su vida, escribi´o Logik , libro predecesor de su Tractatus Logico-Philosophicus que ser´ıa su trabajo m´as famoso. Durante la Primera Guerra Mundial, se uni´ o voluntariamente al ej´ercito Austro-H´ungaro, ganando medallas por valent´ıa y cayendo como prisionero de guerra en noviembre de 1918. Durante su cautiverio, refin´o su trabajo en el Tractatus, para el cual Russell escribi´ o su introducci´ on. Despu´es de un per´ıodo de cerca de 7 anos ˜ desde 1922 en los que trabaj´o como profesor de escuela primaria, asistente de jardinero en un monasterio y ayudante de arquitecto, Ludwig regres´o a Cambridge en 1929 donde descubri´o con horror que era uno de los fil´osofos m´as famosos del mundo. Sin embargo, antes de optar a una posici´on en Cambridge debi´o completar su doctorado, para lo que present´o al Tractatus como tesis, con Russell y G. Moore como sus jueces. Al final de su presentaci´ on, Ludwig se dirigi´o a ellos d´andoles una palmada en la espalda y dici´ endoles: “no se preocupen, s´e que nunca lo entender´an”. Wittgenstein renunci´ o a su puesto en Cambridge en 1947 para concentrarse en sus escritos. Muri´ o de c´ancer de pr´ostata en Cambridge en 1951. Sus ´ultimas palabras fueron: “D´ıganles que tuve una vida maravillosa”.
15
1.3 T V
E M´
valor de verdad de las expresiones p q y q p por separado, mostrando sus resultados en las columnas 3 y 4 (en los pasos 2 y 3) de la tabla. Finalmente, se utilizan los resultados de los pasos 2 y 3 para calcular los valores de verdad de la u´ ltima columna utilizando las reglas para los valores de verdad de . Los siguientes dos ejemplos muestran m´as construcciones de tablas de verdad:
→
→
∧
EJEMPLO 1.8 Elaborar la tabla de verdad para la proposici´ on ( p Soluci´ on
Pasos
p 0 0 1 1 1
q 0 1 0 1 1
p
∧ q) ∨ ¬( p → q )
→ q ¬( p → q )
∧q
p
0 0 0 1 2
1 1 0 1 3
( p
∧ q) ∨ ¬( p → q )
0 0 1 0 4
0 0 1 1 5
Es posible escribir una tabla de verdad equivalente a la anterior de una manera m´as compacta. En lugar de utilizar columnas separadas para listar los valores de verdad de las partes componentes de la expresi´on, puede listarse esos los valores de verdad bajo los conectivos correspondientes en la f o´ rmula original. Esto es ilustrado en la siguiente tabla:
Pasos
p 0 0 1 1 1
q 0 1 0 1 1
( p
∧ q) ∨ ¬ 0 0 0 1 2
0 0 1 1 5
0 0 1 0 4
( p
→ q) 1 1 0 1 3
Al igual que en la tabla original, en el primer paso se han listado los valores de las variables de la expresi´on. En el segundo paso, los valores de ( p q ) han sido escritos bajo el s´ımbolo . Igualmente, en el paso 3 se escriben bajo los valores de verdad de ( p q). Los resultados del paso 3 se utilizan para obtener los valores en el paso 4, escribiendo el resultado bajo . Finalmente, se utilizan los resultados de los pasos 2 y 4 para calcular los valores de la expresi´ on completa, escritos bajo . Note que los valores de verdad escritos en el paso 5 de esta tabla coinciden con los escritos en el paso 5 de la tabla original y que las expresiones son evaluadas en el mismo orden en ambas tablas.
→
∧ →
∧
¬
∨
EJEMPLO 1.9 Escriba la tabla de verdad de ( p Soluci´ on.
→ q) ∧ [(q ∧ ¬r ) → ( p ∨ r )].
16
U E S
Pasos
1. C´ P p 0 0 0 0 1 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1 1
p
→ q ∧ 1 1 1 1 0 0 1 1 2
[(q
∧ ¬r ) →
1 1 0 1 0 0 1 1 5
0 0 1 0 0 0 1 0 3
1 0 1 0 1 0 1 0 2
1 1 0 1 1 1 1 1 4
( p
∨ r ) 0 1 0 1 1 1 1 1 2
Note que ya que la expresi´ on del ejemplo anterior contiene tres variables, son necesarias ocho filas para listar todos las posibles combinaciones para los valores de verdad de dichas variables. En general, si una expresi´on contiene n variables, la tabla de verdad resultante deber´a tener 2n filas (¿Por qu´e?). ´ Dado que nuestra definici´on de equivalencia depende unicamente del valor de verdad de la expresi´on, dos proposiciones ser´an equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. q es l´ogicamente equivalente7 a q p Por ejemplo, podemos demostrar que p construyendo la tabla de verdad:
→
¬ → ¬
* p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
*
p
→ q ¬q ¬ p ¬q → ¬ p 1 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1.4 Tautolog´ıas y Contradicciones ....................................................................................................... Se llama tautolog´ıa a toda proposici´on cuyo valor de verdad es siempre verdadero, sin importar el valor de verdad de las proposiciones componentes.
EJEMPLO 1.10 Muestre la tabla de verdad de la tautolog´ıa cl´asica p Soluci´ on
→ p:
p 0 1 7
p
→ p 1 1
La definici´on de equivalencia logica se estudiar´a m a´ s detalladamente en la secci´on 1.5. ´
17
1.4 T´ı C
E M´
EJEMPLO 1.11 Muestre que la proposici´on [ p Soluci´ on
∧ ( p → q)] → q es una tautolog´ıa. p 0 0 1 1 1
Pasos
q 0 1 0 1 1
[ p
∧
( p
→ q )] → q
0 0 0 1 3
1 1 0 1 2
1 1 1 1 4
EJEMPLO 1.12 Muestre que ( p Soluci´ on
¬ ∨ q) ↔ ( ¬ p ∧ ¬q) es una tautolog´ıa.
Pasos
p 0 0 1 1 1
q 0 1 0 1 1
¬
1 0 0 0 3
( p
∨ q) ↔ (¬ p ∧ ¬q) 0 1 1 1 2
1 1 1 1 4
1 1 0 0 2
1 0 0 0 3
1 0 1 0 2
Por otro lado, una proposici´on compuesta que siempre es falsa, sin importar el valor on. de verdad de sus componentes, es llamada una contradicci´
EJEMPLO 1.13 Construya la tabla de verdad de la contradicci´ on cl´asica p Soluci´ on
Pasos
p 0 1 1
∧ ¬ p.
∧ ¬ p 0 0 3
1 0 2
Observe que una proposici´on compuesta P es una contradicci´o n si y s´olo si P es una tautolog´ıa. Es decir, la negacion ´ de una tautolog´ıa es una contradiccion ´ y viceversa.
¬
18
U E S
1. C´ P
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Construya las tablas de verdad de: a) p p b) p p c) ( p q) d ) ( p q) e) p p f ) p g) p q h) p q
∧¬ ¬ ∧ ↔ ¬ ¬ ∧¬
∨¬ ¬ ∨ ¬¬ ¬ ∨¬
es una tautolog´ıa. 4. Encuentre una proposici´on compuesta con los conectivos , y para cada una de las siguientes tablas de verdad:
∧ ∨ ¬
a)
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
??? 1 0 1 1
b)
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
??? 0 1 1 0
2. Construya las tablas de verdad de: a) ( p b) c) d ) e)
→ q) → [( p ∨ ¬q) → ( p ∧ q)] [( p ∨ q) ∧ r ] → ( p ∧ ¬q) [( p ↔ q ) ∨ ( p → r )] → ( ¬q ∧ p ) ¬( p ∨ q) → r ¬(( p ∨ q) → r )
3. Pruebe o refute lo siguiente usando tablas de verdad: a) (q b) c)
→ p) ↔ ( p ∧ q) es una tautolog´ıa ( p ∧ ¬q) → ( p → q ) es una tautolog´ıa ( p ∧ q) → ( p ∨ q) es una tautolog´ıa
Observaci´on: Basta una l´ınea de la tabla de verdad para mostrar que una proposici´on no
5. a) Escriba una proposicio´ n compuesta que sea verdadera cuando exactamente una de las proposiciones p , q y r sea verdadera. b) Escriba una proposici´on compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de las tres proposiciones p, q y r sean verdaderas.
´ 1.5 Equivalencias Logicas ....................................................................................................... Hasta ahora hemos tomado cinco palabras comunes, y, o, no, implica y equivalente, y les hemos dado un significado preciso en el lenguaje com´un. Obtuvimos la precisi´on ´ deseada al basar nuestras definiciones unicamente en el valor de verdad de las proposiciones, sin tomar en cuenta cualquier relaci´on causal u otras conexiones que las palabras puedan expresar. En el caso de las primeras tres, y , o y no , las definiciones precisas de la conjunci´ on, disyunci´ on y negaci´ on, respectivamente, se ajustan razonablemente bien con el uso com´un de esas palabras fuera de las matem´aticas. En el caso de las ultimas ´ dos, implica y equivale, definimos contrapartes precisas y formales llamadas condiconal y bicondicional, respectivamente, que tienen algunas propiedades comunes con el significado com´un de implica y equivale pero es diferente en otras maneras. Es especialmente esta u´ ltima la que tendr´a nuestra atenci´on en esta secci´on. Como se observ´o en la secci´on anterior, es posible utilizar tablas de verdad para comogicamente equivalentes al observar que ambas probar que dos expresiones p y q son l´ 19
1.5 E L ´ # 1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11
12
E M´
Equivalencia L´ogica p p a) ( p q) ( q p ) b) ( p q) ( q p ) p) c) ( p q ) ( q a) [( p q) r ] [ p (q r )] b) [( p q) r ] [ p (q r )] a) [ p (q r )] [( p q) ( p r )] b) [ p (q r )] [( p q) ( p r )] a) ( p p ) p b) ( p p) p p a) ( p c) p b) ( p t ) a) ( p t ) t b) ( p c) c a) ( p p) t p) c b) ( p a) ( p q) ( p q) b) ( p q) ( p q) c) p q ( p q) d) p q ( p q) ( p q ) ( q p) a) ( p q ) ( p q) q) b) ( p q ) ( p c) ( p q) ( p q ) q) d) ( p q) ( p p)] ( p q ) [( p q ) (q
¬¬ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧ ↔ ⇔ ↔ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ¬ ⇔ ∧ ¬ ⇔ ¬ ∨ ⇔ ¬ ∧ ¬ ¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬ ∨ ⇔ ¬ ¬ ∧ ¬ ∧ ⇔ ¬ ¬ ∨ ¬ → ⇔ ¬ → ¬ → ⇔ ¬ ∨ → ⇔ ¬ ∧ ¬ ∨ ⇔ ¬ → ∧ ⇔ ¬ → ¬ ↔ ⇔ → ∧
∨ ∧ ∧ ∨ ∨ ∧
→
Nombre Doble negaci´on Leyes conmutativas
Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de idempotencia Leyes de identidad Leyes de dominaci´on Leyes de negaci´ on Leyes de De Morgan
Contrarrec´ıproca (o contrapositiva) Implicaci´on
Equivalencia
Tabla 1.1: Algunas equivalencias l´ ogicas. En esta tabla una contradicci´ on es representada por la letra c y una tautolog´ıa por la letra t .
obtienen los mismos valores de verdad para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. En tal caso escribimos p q , que se lee “ p es l´ogicamente equivalente a q ”. En nuestra discusi´on de los conectivos l´ ogicos introdujimos ya algunas equivalencias. Por ejemplo, observamos que ( p) es equivalente a p , que p q es equivalente a p q y que ( p q) es equivalente a p ´ son listadas en q. Estas y otras equivalencias utiles la tabla 1.1.
⇔
¬¬ ¬ ∧¬
¬ ∨
→
¬ ∨
Muchas de las equivalencias en la lista deber´ıan recordarle a reglas similares con los operadores +, y en a´ lgebra. Como en el a´ lgebra, estas reglas pueden ser aplicadas a expresiones m´as complejas, y pueden ser combinadas para simplificar equivalencias m´as
− ·
20
U E S
1. C´ P
complicadas. Cualquiera de las letras en estas equivalencias pueden ser reemplazadas por expresiones complicadas y la equivalencia resultante seguir´ a siendo verdadera. Por ejemplo, reemplazando p en la ley de doble negaci´ on con la formula ´ q r es posible ver que r ) es equivalente a q r . Esta observaci´on es importante dado que las equiva(q ´ lencias listadas muestran la forma de las mismas, por lo que m´as que memorizarlas, es util entender su significado. Por ejemplo, las leyes conmutativas nos dicen que con los conectivos , y , el orden de las proposiciones involucradas no es importante. Las leyes distributivas nos dicen que, as´ı como en el algebra ´ la multiplicaci´on puede ser distribuida sobre la suma (es por esto que x ( y + w) = x y + x w), el conectivo puede ser distribuido sobre , y puede ser distribuido sobre 8 . Las leyes de identidad y dominaci´ on nos muestran el comportamiento de las proposiciones cuando son combinadas en disyunci´on o conjunci´on con una tautolog´ıa o una contradicci´ on. Note que estas leyes son similares al comportamiento de las expresiones algebraicas cuando se les suma o se les multiplica por cero o por uno. Por ejemplo, de la misma manera en que x 1 es igual a x y que x 0 es igual a 0, p t es equivalente a p y p c es equivalente a c . As´ı mismo, las leyes de idempotencia y negacion ´ describen el comportamiento de las proposiciones cuando son combinadas mediante los operadores y consigo mismas y con su negaci´on. Note que, aunque muchas de las leyes de la tabla 1.1 tienen contrapartes en el algebra ´ al que est´a acostumbrado el lector, no deben tomarse las leyes del algebra ´ para el c´alculo proposicional. Por ejemplo, cuando se tiene una expresi´on como ( x y ) en a´ lgebra, es posible “meter el signo menos en el par´entesis” aplic´andolo a ambos t´erminos para obtener on como (q x ( y) = x + y. Sin embargo, en el a´ lgebra proposicional a una expresi´ p) no puede aplic´arsele una ley parecida a la anterior para obtener ( p q), que es equivalente a ( p q). Para poder “meter la negaci´on en el par´entesis” cuando el conectivo principal dentro del par´entesis es una conjunci´on o disyunci´on, es necesario utilizar la ley de De Morgan que nos dice que, aparte de negar cada una de las proposiciones conectadas, tambi´en debe cambiarse la disyunci´on por conjunci´on o la conjunci´on por disyunci´on. Como muestran los siguientes ejemplos, las equivalencias de la tabla 1.1 nos permiten simplificar expresiones l´ogicas o encontrar otras expresiones que, aunque con mayor o menor complejidad, tengan el mismo significado.
¬¬ ∨ ¬
∨¬
∨¬
∧ ∨ ↔
·
∧
·
·
∧
·
∧
∨ ∨
·
∧
∧
∨
− −
− −− ¬
−
¬ ∧ ¬¬
¬∧
¬ ∧
EJEMPLO 1.14 Demostrar la equivalencia l´ogica [( p
∨ q) ∨ ( p ∨ r )] ⇔ ( p ∨ q) ∨ r
sustituyendo sucesivamente proposiciones equivalentes. 8
Note aqu´ı una diferencia con las leyes distributivas del a´ lgebra: aunque la multiplicaci´on puede ser distribuida sobre la suma, la suma no puede ser distribuida sobre la multiplicaci´on. Es decir, en general, x + y w ( x + y) ( x + w).
·
·
21
1.5 E L ´
E M´
Soluci´ on.
( p
∨ q) ∨ ( p ∨ r ) ⇔ [( p ∨ q) ∨ p] ∨ r ⇔ [ p ∨ (q ∨ p)] ∨ r ⇔ [ p ∨ ( p ∨ q)] ∨ r ⇔ [( p ∨ p) ∨ q] ∨ r ⇔ ( p ∨ q) ∨ r
ley asociativa ley asociativa ley conmutativa ley asociativa ley idempotencia
EJEMPLO 1.15 Encontrar una proposici´on l´ogicamente equivalente a ( p
∧ q) → (¬ p ∧ q)
∧
que no utilice el conectivo . Soluci´ on. ( p
∧ q) → ( ¬ p ∧ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q) → ( ¬ p ∧ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q) → ¬(¬¬ p ∨ ¬q) ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q) → ¬( p ∨ ¬q)
De Morgan De Morgan Doble negaci´on
´ Esta ultima proposici´on no usa el conectivo .
∧
EJEMPLO 1.16 Simplificar cada una de las proposiciones siguientes: a) ( p
∨ q) ∧ ¬ p ( p
22
∨ q) ∧ ¬ p ⇔ ¬ p ∧ ( p ∨ q) ⇔ ( ¬ p ∧ p) ∨ (¬ p ∧ q) ⇔ c ∨ (¬ p ∧ q) ⇔ ( ¬ p ∧ q) ∨ c ⇔ ( ¬ p ∧ q)
Conmutativa Distributiva Negaci´on
Conmutativa Identidad
U E S b) p
1. C´ P
∨ ( p ∧ q) p
c)
∨ ( p ∧ q) ⇔ ( p ∧ t ) ∨ ( p ∧ q) ⇔ p ∧ (t ∨ q) ⇔ p ∧ t ⇔p
Identidad Distributiva Dominaci´ Dominacion o´ n Identidad
¬( p ∨ q) ∨ (¬ p ∧ q) ¬( p ∨ q) ∨ (¬ p ∧ q) ⇔ (¬ p ∧ ¬q) ∨ (¬ p ∧ q) ⇔ ¬ p ∧ (¬q ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ t ⇔ ¬ p
De Morgan Distributiva Negaci´on Identidad
Como se mostr´o en la secci´on on anterior, todos los resultados de los ejemplos anteriores pueden ser comprobados comprobados a trav´es de tablas de verdad, asegur´andonos andonos que las columnas de las expresiones dadas tengan los mismos valores de verdad para los mismos valores de las variables l´ logicas. o´ gicas.
Ejercicios ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ .................... ........ 1. Verifique las siguientes equival equivalencias encias l ogicas o´ gicas (tabla 1.1 (tabla 1.1)) utilizando tablas de verdad: a) Las leyes leyes distributiv distributivas as b) Las leyes leyes de identi identidad dad c) La contrarrec contrarrec´´ıproca ıproca d) La regla regla 9-c 9-c y 9-d 9-d 2. Demuestre Demuestre utilizando utilizando equival equivalencia enciass l´ogicas ogicas que: a) ( p
→ ¬q) ⇔ ( q → ¬ p) b) [( p ∧ q) → r ] ⇔ [( p → r ) ∨ (q → r )] )] c) [ p → ( q → r )] )] ⇔ [( p ∧ q) → r ] d) [( p ∨ r ) ∧ (q → r )] )] ⇔ [( p → q ) → r ]
∧ ( p ∨ q)] ⇔ p ¬( p ∨ (¬ p ∧ q)) ⇔ ( ¬ p ∧ ¬q)
e) [ p f)
3. Demuestre Demuestre,, por medio de equivalenc equivalencias ias l ogio´ gicas, que las siguientes proposiciones son tautolog´ tolog´ıas: ıas: a) ( p b) c) d)
∨ q) ∧ (¬ p ∨ r ) → (q ∨ r ) [( p → q ) ∧ (q → r )] )] → ( p → r ) ( p ∧ q) → ( p ∨ q) ¬q → [( p ∧ q) → r ]
4. Simplifiq Simplifique ue (escriba (escriba con un m´ınimo ınimo de conectivos): a) ( p c) ( p q) q) b)
¬ ∨¬ ¬(¬ p → q)
d)
¬ ∧¬ ¬(¬ p ∧ ¬q)
23
1.5 E L ´ e) f)
E M ´
¬(¬ p ↔ q) ¬(¬ p → ¬q)
a) [ p b)
5. Dadas dos propos proposicion iciones es p y q , el conectivo “o´ excluible”, simbolizado por p q, es verdadero cuando unicamente u´ nicamente p es verdadera o cuando unicamente u´ nicamente q es verdadera.
⊕
a) Construya Construya la tabla tabla de verdad verdad de p
⊕ q.
b) Muestre Muestre que p q tiene la misma tabla de verdad que ( p q ).
⊕ ¬ ↔
c) Construya Construya una una tabla de verdad verdad para para p ( p q) r y y ( p p ) p .
⊕ ⊕
6.
⊕ p,
⊕ ⊕ Muestr Muestree que que ( p ⊕ q) ⇔ [( p ∨ q) ∧ ¬( p ∧ q)], donde ⊕ es el “o excluible” introducido en el
ejercicio 5. ejercicio 5.
7. Demuestre Demuestre o refute refute que
→ ( q → r )])] ⇔ [( p → q) → ( p → r )])] [ p ⊕ (q → r )] )] ⇔ [( p ⊕ q) → ( p ⊕ r )] )]
8. Toda proposic proposiciion o´ n compuesta se puede escribir utilizando unicamente u´ nicamente los conectivos y . Esto resulta de las equivalencias:
¬
∨
→ q) ⇔ (¬ p ∨ q) ( p ∧ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q) ( p ↔ q ) ⇔ [( p → q ) ∧ (q → p)] ( p
Encuentre proposiciones l ogicamente o´ gicamente equivaequivalentes a las siguientes, utilizando solamente los conectivos conectivos y . a) p q b) ( p q) ( q r ) c) ( p q ) (q r ) d) p q 9. La raya de She ff es el conectivo definido She ff er er es por la tabla de verdad:
¬ ∨ ↔ → ∧ ∨
∧ → ¬ ∧ ⊕ |
C S P (1839-1914) fue un l´ogico, matem´atic atico, o, fil´osofo y cient´ cient´ıfico ıfico nacido en Cambridge, Cambridge, Massachusetts, E.E. U.U. Hijo de Sarah Hunt y Benjamin Peirce, un profesor de astronom´ astronom´ıa ıa y matem´ matematica a´ tica en la Elementos de Logica ´ Universidad de Harvard. A los 12 a˜ anos, n˜ os, Charles ley´ leyo´ una copia del libro Elementos , para ese entonces el libro de texto l´ l´ıder ıder en la materia, lo que comenz´ comenzo´ su fascinaci´ fascinacion o´ n con la l´ logica o´ gica y el razonamiento. razonamiento. Obtuvo su Licenciatura y Maestr´ Maestr´ıa ıa en Harvard y una Maestr´ Maestr´ıa ıa en qu´ qu´ımica ımica de la Lawrence Scientific School. Entre 1859 y 1891, Charles se emple´ empleo´ intermitentemente en el Servicio Costero Estadounidense, donde trabaj´ trabajo´ principalmente en geodesia y gravimetr´ gravimetr´ıa, ıa, refinando el uso de p´ pendulos e´ ndulos para determinar peque˜ pequenas n˜ as variaciones locales en la fuerza de gravedad terrestre. Este trabajo lo libr´ o de tomar parte de la guerra civil estadouniden estadounidense. se. De 1869 a 1872, trabaj´ o como asistente asistente en el observatorio observatorio astron´ omico de Harvard, realizando importantes avances en la determinaci´ on de la brillantez brillantez de las estrellas y la forma de la V´ıa ıa Lactea. ´ En 1878, fue el primero en definir el metro en t´ terminos e´ rminos de la longitud de onda de la luz a cierta frecuencia, definici´ definicion o´ n utilizada utilizada hasta 1983. En 1891, Peirce fue obligado obligado a renunciar renunciar a su puesto en el Servicio. Servicio. De 1879 a 1883, Peirce fue nombrado profesor de l´ logica o´ gica en la Universidad John Hopkins, el cual fue el unico u´ nico puesto acad´ academico e´ mico que ocup´ ocupo´ durante su vida. En los ultimos u´ ltimos a˜ anos n˜ os de su vida, Peirce vivi´ vivio´ con duras limitacione limitacioness econ´ economicas o´ micas debido al desempleo, desempleo, viviendo principalmente principalmente de consultor consultor´ıas ıas mal pagadas y de donaciones de amigos, especialmente de William James, quien desde 1898 hasta 1910 escribi´ escribio´ a sus amigos acad´emicos, emicos, pidi´endoles endoles hacer contribuciones econ´ omicas para mantener a Peirce. Peirce realiz´ o una serie de admirables descubrimientos en matem´ aticas, que casi en su totalidad fueron ´ apreciados unicamente ´ despu´es de su muerte. Entre otros aportes, mostr´ o que lo que ahora llamamos Algebra Booleana pod´ pod´ıa ıa ser expresada por medio de una sola operaci´ operacion o´ n binaria, anticip´ anticipandose a´ ndose por 33 a˜ anos n˜ os a Sheff er. er. Adem´ Ademas, a´ s, se anticip´ anticipo´ por m´ mas a´ s de 50 a˜ anos n˜ os a la observaci´ observacion o´ n que c´ calculos a´ lculos booleanos pueden ser realizados con dispositivos el´ electricos, e´ ctricos, idea que se utiliz´ utilizo´ a nos n˜ os m´ mas a´ s tarde para producir computadoras digitales. Sent´ Sento´ las bases para la teor´ teor´ıa ıa axiom´ axiomatica a´ tica de conjuntos, conjuntos, anticip´ anticipandose a´ ndose a Zermelo por casi dos d´ decadas. e´ cadas. Descubri´ Descubrio´ la axiomatizaci´ zacion o´ n de la aritm´ aritmetica e´ tica de los n´ numeros u´ meros naturales unos cuantos a˜ anos n˜ os antes que Dedekind y Peano. Descubri´ Descubrio, o´ , independientemente de Dedekind, la importante definici´ definicion o´ n formal de un conjunto infinito. Aunque Aunque descrito por Bertrand Bertrand Russell Russell como “sin lugar lugar a dudas [. . . ] fue una de las mentes m´ as originales de finales de siglo diecinueve, y ciertamente el m´ mas a´ s grande pensador Estadounidense de todos los tiempos”, Peirce fue en gran parte ignorado durante su vida, y la literatura acerca de el ´ fue escasa hasta despu´ es de la Segunda Guerra Mundial. Despu´ Despues e´ s de su muerte se descubrieron descubrieron cerca de 1650 manuscritos, manuscritos, totalizando totalizando cerca de 100,000 p´ paginas, a´ ginas, muchos de los cuales siguen sin publicarse publicarse hasta este d´ıa. ıa.
24
U E S
1. C´ P p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
|
p q 1 1 1 0
Todas las proposiciones compuestas pueden escribirse utilizando unicamente u´ nicamente este conectivo. a) Muestre Muestre que p b)
¬ ⇔ p | p Muestre Muestre que p ∨ q ⇔ ( p | p) | ( q | q )
c) Encuentre Encuentre una proposi proposici´ ci´on on equivalente a utilizando do unicamente u´ nicamente la raya de p q utilizan Sheff er. er.
∧
→ q Haga lo mismo mismo para p ⊕ q
d) Haga lo lo mismo mismo para para p e)
10. Algunos Algunos matem matem´aticos a´ ticos utilizan el s´ s´ımbolo ımbolo como la negaci on o´ n de la disyunci on. o´ n. Es decir, p q significa “ni p ni q”.
↓
↓
a) Construya Construya la tabla tabla de verdad verdad para p q .
↓
b) Encuentre Encuentre una f ormula o´ rmula utilizando s olo o´ lo los conectivos , y que sea equivalente a p q. Verifique su respuesta utilizando tablas de verdad.
↓
∧ ∨ ¬
c) Encuen Encuentre tre f´ormulas ormulas usando el conectivo conectivo que sean equivalentes a p, p q y p q.
¬
∨
∧
↓
´ 1.6 1. 6 Valid alidez ez Logica de Argumentos ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ .................... ........ Una aplicaci´ aplicacion o´ n interesante y util u´ til del c´ calculo a´ lculo proposicional es el an´ analisis a´ lisis de ciertos tipos de argumentos para verificar su validez l´ logica. o´ gica. Un argumento consiste de una serie de proposiciones “dadas”, cuya conjunci´ conjuncion o´ n constituye la premisa del argumento y juntas on. deben llevar a una conclusi´ Formalmente, un argumento que consiste de la premisa p1 p2 p3 . . . pn (cada una de las pi que conforman a la premisa puede ser llamada una premisa parcial) y de la alido si y s´ conclusi´ conclusion o´ n q es un argumento v´ solo o´ lo si la proposici´ proposicion o´ n p1 p 2 p 3 . . . p n q es una tautolog´ tautolog´ıa. ıa. El requisito requisito para la validez validez de un argumento argumento es, por lo tanto, que la conclu conclusi´ si´on on sea verdadera en todos los casos en que todas las premisas parciales sean verdaderas. El siguiente ejemplo muestra el formato est´ andar en que las premisas y la conclusi´on son presentadas:
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ →
EJEMPLO 1.17 Verifique la validez del argumento p p q q r ∴ r Soluci´ on. Las proposicione proposicioness sobre la l´ l´ınea ınea horizontal son las premisas parciales, mientras que la que se encuentra bajo la l´ l´ınea ınea es la conclusi´ conclusion. o´ n. El s´ s´ımbolo ımbolo ∴ se lee “por lo tanto”. Para verificar la validez del argumento, es necesario comprobar que [ p ( p q ) ( q r )] r es )] es una tautolog´ tautolog´ıa. ıa. Usando una tabla de verdad, el lector deber´ deber´ıa ıa verificar que en efecto, el argumento dado es l´ logicamente o´ gicamente v´ valido. a´ lido.
→ ¬ ∨
→
∧ → ∧ ¬ ∨
25
1.6 V L ´ A
E M´
EJEMPLO 1.18 Exprese simb´olicamente y analice la validez del argumento “Si las tasas de inter´es bajan, la econom´ıa mejora. Si la econom´ıa mejora, el desempleo baja. Para que las autoridades actuales sean reelegidas, el desempleo debe bajar. Por lo tanto, una condici´on suficiente para que las autoridades actuales sean reelectas es que la tasa de inter´es baje”. Soluci´ on. Primero simbolizamos cada proposici´on simple en el argumento. p : las tasas de intereses bajan q : la econom´ıa mejora r : el desempleo baja s : las autoridades actuales son reelectas De aqu´ı que las premisas parciales tienen la forma p q, q r y s r . La s. Por lo tanto, el argumento en forma simb´olica es: conclusi´on tiene la forma p p q q r s r p s ∴ El lector deber´a verificar construyendo una tabla de verdad, que el argumento no es l´ogicamente v´alido.
→
→
→ → → →
→
→
q)] q ( modus ponens), [( p q) (q r )] r ) Las tautolog´ıas [ p ( p ( p (transitividad de la implicaci´o n ) y [ p ( q r )] [( p q) r ] , proveen un m´etodo para concluir la validez de un argumento (o de sospechar la invalidez) que nos permite evitar escribir repetidamente tablas de verdad extensas. Modus ponens nos indica que podemos concluir q cuando tengamos p y p q. La transitividad de las implicaciones dice que podemos reemplazar dos hipotesis ´ de la forma ( p q ) y (q r ) por la hip´otesis ( p r ), si hacerlo resulta ventajoso. La tercera implicaci´on nos dice que si nuestra conclusi´ on tiene la forma q r , podemos agregar q a la lista de premisas parciales y deducir r en lugar de q r , a partir de esta lista expandida. Finalmente, recuerde la utilidad de la equivalencia l´ogica: una proposici´on puede ser reemplazada por cualquier proposici´on equivalente. Este procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos.
∧ → → → ∧ → → → → → ↔ ∧ → →
→
→
→
→
→
EJEMPLO 1.19 Analice el argumento del ejemplo 17 sin utilizar tablas de verdad. alida a r de la Soluci´ on. La pregunta se reduce a si es posible o no deducir de manera v´ presunta veracidad de cada una de las tres premisas parciales p, p q y q r . Primero, utilizamos la equivalencia de la forma ( p ( p q) (tabla 1.1, equivalencia 11a), q) para sustituir a q r por q r para que las premisa se convierta en p ( p q ) (q r ). q) podemos concluir q , por modus ponens. De q y q r podemos concluir De p ( p r nuevamente utilizando modus ponens. Por lo tanto, este an´alisis muestra que r puede ser deducido l´ogicamente a partir de la premisa, por lo que el argumento es v´alido.
∧ →
26
¬∨
→
→ ⇔ ¬ ∨
→
¬ ∨ ∧ → ∧ → →
U E S
1. C´ P
EJEMPLO 1.20 Analice el argumento del ejemplo 18 sin utilizar tablas de verdad. Soluci´ on. La pregunta es si podemos derivar s de p dadas las hip´otesis p q, q r y s r . Primero, agregamos p a la lista de hip´otesis. La pregunta es ahora si podemos derivar s de la lista expandida de premisas parciales. De p y p q , tenemos q. De q y q r , obtenemos r . Ahora tenemos r y s r . En este punto, la cadena de razonamientos se detiene. No tenemos manera alguna de concluir s a partir de r ( s r ) (puede comprobar que [r ( s ´ para dudar de r )] s no es una tautolog´ıa). Por lo tanto existe razon la validez del argumento. Para demostrar la invalidez, debemos proveer una combinaci´on de valores de verdad para la cual la implicaci´on en cuesti´on es falsa. Esto tambi´en puede realizarse sin necesidad de escribir una tabla de verdad completa.
→
→
→
∧ →
→
→ →
→ ∧ →
El razonamiento sigue la siguiente l´ınea: queremos encontrar valores de verdad para p, q, r y s tal que la conjunci´on ( p q) ( q r ) ( s r ) de las premisas parciales s sea falsa. Claramente, para que p s sea verdadera mientras que la conclusi´on p q sea sea falsa, p debe ser verdadera y s debe ser falsa. En ese caso, para que p verdadera, entonces q debe ser verdadera. Pero entonces r debe tambi´en ser verdadera r sea verdadera. Note que si s es falsa y r es verdadera, la premisa parcial para que q s r es verdadera. Por lo tanto, hemos encontrado una combinaci´on de valores de verdad para las cuales la premisa del argumento es verdadera mientras que la conclusi´on es falsa. Esto prueba concluyentemente la invalidez del argumento.
→ ∧ → ∧ → →
→
→
→
→
Los ejercicios de esta secci´on pueden realizarse tanto utilizando tablas de verdad como el razonamiento de los ejemplos anteriores. A´ un cuando el procedimiento mec´anico de construcci´on de tablas de verdad parezca m´as sencillo de realizar, es m´as provechoso para su formaci´on el intentar utilizar el razonamiento l´ogico anterior. A continuaci´on se presenta un u´ ltimo ejemplo utilizando este razonamiento.
EJEMPLO 1.21 Determine si el siguiente argumento l´ ogico es v´alido. “Si estudio o soy un genio, entonces aprobar´e el curso. Si apruebo el curso, entonces me permitir´an tomar el siguiente curso. Por lo tanto, si no me permiten tomar el siguiente curso, entonces no soy un genio”. Soluci´ on. Si nombramos a las proposiciones de la siguiente manera: s = “estudio” g = “soy un genio” p = “aprobar´e el curso” a = “me permitir´an tomar el curso siguiente” entonces el argumento puede ser representado simb´ olicamente de la siguiente manera: s g p p a a g ∴ Ya que la conclusi´on es una implicaci´on, utilizamos la t´actica presentada anteriormente de modificar el problema suponiendo que el antecedente es una de las premisas y tratando de demostrar
∨ → → ¬ → ¬
27
1.6 V L ´ A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
s p g g g g
∨ g → p → a → g ∨ s → s ∨ g → p → a ¬a → ¬g
E M´ hip´otesis hip´otesis Regla 12 (adici´on) Por 3 y ley conmutativa 2-a Por 4, 1 y silogismo hipot´etico (regla 33) Por 5, 2 y silogismo hipot´etico (regla 33) Por 6 y contrarec´ıproca (regla 9)
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Que haga buen clima es necesario para tener un jard´ın bonito. El jard´ın es bonito. Por lo tanto, el clima fue bueno.
Si Claudia pasa el examen, entonces aprobar´a la materia. Por lo tanto, si Claudia entiende el tema, entonces aprobar a´ la materia.
2. Si hoy es lunes, entonces ma n˜ ana es martes. Pero hoy no es lunes. Por lo tanto, ma n˜ ana no es martes.
8. Si estudio toda la noche para el examen de l´ogica matem´atica, estar´e cansado. Si estoy cansado, no har´e la tarea de Geometr´ıa. Por lo tanto, para pasar el examen de L´ogica Matem´atica y hacer la tarea de Geometr´ıa, es necesario que no estudie toda la noche.
3. Hoy es lunes o martes. Pero hoy no es lunes. Por lo tanto, hoy es martes. 4. Perder´e mi trabajo a menos que Sandra siga trabajando. Sandra ser´a despedida s o´ lo si usted lo recomienda. Por lo tanto, retendr e´ mi trabajo si no recomienda que Sandra sea despedida. 5. Si 5 + 7 = 12, entonces 6 > 8. Si 5 + 7 = 7 + 5, entonces 5 + 7 = 12. Pero 5 + 7 = 7 + 5. Por lo tanto, podemos concluir que 6 > 8. 6. Si el do´ lar sube de valor, las exportaciones se reducen. El desempleo aumentar a´ a menos que se detenga la reducci o´ n en las exportaciones. Una baja en las tasas de inter´es es necesaria para debilitar el precio del d´olar. Por lo tanto, una baja en las tasas de inter´e s es suficiente para causar disminuci´on en el desempleo. 7. Claudia pasar´a el examen si entiende el tema.
28
9. Dado que p q es una tautolog´ıa, para que q p sea una tautolog´ıa es necesario y suq sea una tautolog´ıa. Sabeficiente que p mos que p q es una tautolog´ıa y que p q p no no es una tautolog´ıa. Por lo tanto q es una tautolog´ıa.
→
→ ↔ →
→
↔
10. Si Mercedes no se encontr´o con Mirna anoche, entonces o Mercedes es la asesina o Mirna estaba fuera de la ciudad. Si Mercedes no fue la asesina, entonces Mirna no se encontr´o con Mercedes anoche y el asesinato ocurri´o en un hotel. Si el asesinato ocurri´o en un hotel, entonces o Mercedes fue la asesina o Mirna estaba fuera de la ciudad. Pero Mercedes se encontr´o con Mirna anoche y Mirna no estaba fuera de la ciudad. Por lo tanto, Mercedes fue la asesina.
O L U T I P A C
2
C´ P
Los humanos tienden a confundir la fuerza de su sentimiento con la fuerza de su argumento. La mente exacerbada resiente siempre el fr´ıo tacto y el implacable escrutinio de la l´ ogica. -William Gladstone
Existen muchos tipos de sentencias tanto en el lenguaje matem´atico como en el com´un que no pueden ser representadas usando el c´alculo proposicional. Adem´as del factor externo de tener que enlazar proposiciones a trav e´ s de conectivos lo´ gicos, existe un factor interno en proposiciones que contienen palabras como “todos” o “algunos” que requiere un an a´ lisis lo´ gico m´as all´a del posible con el c a´ lculo proposicional, como lo muestra el siguiente famoso argumento:
el cual no es un argumento v´alido dentro del c´alculo proposicional. Es claro que en este caso el problema es tomar las oraciones como proposiciones simples. Sin embargo, escribirlas como proposiciones compuestas tampoco resuelve el problema. Por ejemplo, podr´ıamos intentar utilizar la regla transitiva para formar el argumento:
∴
Todos los hombres son mortales S´ ocrates es un hombre Por lo tanto, S´ ocrates es mortal
Es posible expresar este argumento como tres proposiciones simples: p: Todos los hombres son mortales q: S ocrates ´ es un hombre r : S ocrates ´ es mortal
pero dicho argumento tendr´ıa la forma:
∴
p q r
→ → →
Algo es un hombre Es mortal Alguien es S o´ crates Es hombre Algo es So´ crates Es mortal
A´un cuando el ejemplo anterior parece convincente, “Algo es un hombre” y “Es mortal”, aunque son sentencias v´alidas en Espa˜nol, no son proposiciones. Lo mismo puede decirse para el resto de sentencias en el argumento. De hecho, sin importar c´omo intentemos reescribir el argumento en el c´alculo proposicional, siempre encontraremos alguna dificultad t e´ cnica como la anterior. Para poder expresar correctamente el argumento anterior, necesitamos ir m´a s all´a del c´alculo proposicional y entrar al c a´ lculo de predicados, que nos permite manipular sentencias sobre todas o algunas cosas. Este es el tema del presente cap´ıtulo.
29
2.1 P C
E M´
2.1 Predicados y Cuantificadores ....................................................................................................... Normalmente encontramos expresiones como “ella es m´edico” o “ x2 + 2 x + 1 = 0”, conocidas como predicados, funciones proposicionales o sentencias abiertas, que contienen ognitas. Estas inc´ognitas pueden ser s´ımbolos matem´aticos que una o m´as variables o inc´ representan n´umeros o alguna otra entidad matem´atica, o pueden ser palabras del lengua je cotidiano como el pronombre “ella” o cualquier otra palabra con significado variable, como “ayer” o “ma˜nana”. Un predicado no es una proposici´on ya que no es verdadero ni falso. Sin embargo, los predicados est´an relacionados con las proposiciones y la notaci´on que utilizaremos para representarlos (por ejemplo, p( x) o q( x)) refleja esto. De hecho, existen dos procedimientos est´andar que nos permiten convertir a un predicado en una proposici´on: la sustituci´on y la cuantificaci´on. La sentencia p( x) : x > 4 es un ejemplo de predicado con una variable. Por s´ı mismo no podemos asignarle un valor de verdad, pero si sustituimos a x por 10, obtenemos p (10) : 10 > 4, lo cual es claramente verdadero. Si sustituimos a x por 2, obtenemos p(2) : 2 > 4, lo cual es falso. En ambos casos, la sentencia resultante es una proposici´on. Es de notar que no todas las sustituciones de objetos espec´ıficos por variables convierten a los predicados en proposiciones. Por ejemplo, si sustituimos a x del ejemplo anterior por el n´umero complejo 2 + 3i, tendremos una sentencia sin sentido: 2 + 3i > 4. Esto ocurrir´ıa m´as dram´aticamente si sustituyeramos a x por “Juan Perez”. Esto deja ver que cuando se especifica un predicado, es necesario tambi´en especificar la colecci´on de objetos de la cual se pueden tomar los valores de las variables del predicado. En el caso de p ( x) del ejemplo anterior, es necesario especificar que x debe ser un n´umero real. A esta colecci´ on la llamaremos el dominio del discurso de la variable x del predicado. La segunda forma de obtener una proposici´on a partir de un predicado es utilizar frases como “para todo” o “alguno” para describir cu´ando el predicado deber´ıa ser verdadero. En matem´atica, frecuentemente se encuentran frases existenciales como “la ecuaci´on 2 x + 2 x + 1 = 0 tiene una ra´ız real”. La naturaleza existencial de esta frase puede hacerse m´as expl´ıcita reescribi´endola de la forma “existe un n´umero real x tal que x 2 + 2 x + 1 = 0”. De la misma forma, “ 2 es racional” expresa una afirmaci´on existencial, que aunque en la superficie no parece serlo, puede hacerse expl´ıcita al escribirla como “existen n umeros ´ 1 enteros positivos p y q tal que 2 = p/q” . La primera sentencia es verdadera (tome x = 1), mientras que la segunda es falsa, como demostraremos m´as adelante. Usaremos la simbolog´ıa x para denotar “existe un x tal que ... ”, por lo que los ejemplos anteriores pueden ser escritos como:
√
√
−
∃
2
∃ x( x + 2 x + 1 = 0) √ ∃ p∃q( 2 = p/q) respectivamente. Sin embargo, el problema con esta notaci´on es que se asume experiencia o conocimiento del contexto por parte del lector para determinar que x debe ser un n´umero 1
La definici´on general de un n´umero irracional dice que p y q pueden ser cualquier entero siempre y cuando q 0, pero ya que 2 es un n´umero real positivo, la definici´on dada es suficiente.
30
√
U E S
2. C´ P
real y que p y q deben ser n´umeros enteros positivos. Como vimos en la secci´on anterior, se hace necesario, entonces, definir el dominio de discurso de las variables en las sentencias anteriores. Por ejemplo, si utilizamos el s´ımbolo R para representar a los n´umeros reales, podemos escribir ( x R) para representar “existe un n´umero real tal que...”2 . Por lo tanto, para expresar que la ecuaci´on x 2 + 2 x + 1 = 0 tiene una ra´ız real escribimos
∃ ∈
2
∃ ∈ R)( x
( x
+ 2 x + 1 = 0)
Al s´ımbolo se le llama el cuantificador existencial. De la misma forma, si utilizamos la notaci´on N para representar a los enteros positivos (es decir, 1, 2, 3, 4 . . .), tambi´en llamados los n´umeros naturales, podemos escribir “ 2 es irracional” como
∃
√
∃ ∈ N)(∃m ∈ N)(
( n
√
2 = n /m)
As´ı como en ocasiones es necesario especificar que ciertos objetos existen, frecuentemente es necesario expresar que un predicado es cierto para todo x. Utilizamos la simbolog´ıa x para representar a “para todo x es cierto que ...”. Nuevamente, es posible especificar el tipo de objeto que x puede ser. Por ejemplo, para decir que 2 es irracional escribimos
∀
√
∀ ∈ N)(∀m ∈ N)(
( n
√
2
n /m)
A se le llama el cuantificador universal. Note que en todos los ejemplos anteriores se encuentran algunos predicados impl´ıcitos: p( x) : x2 + 2 x + 1 = 0, q (n, m) : 2 = n /m y r (n, m) : 2 n /m. Es posible, por lo tanto, reescribir los ejemplos como
∀
√
√
∃ ∈ R)( p( x)) (∃n ∈ N)(∃m ∈ N)(q(n, m)) (∀n ∈ N)(∀m ∈ N)(r (n, m)) ( x
respectivamente.
´ del lenguaje natural 2.2 Traduccion ....................................................................................................... Existen muchas posibles traducciones al Espa˜nol de los predicados cuantificados. Ya que a menudo necesitar´a escribir sentencias en Espa˜nol en forma simb´olica, es necesa´ rio que se familiarice con estas traducciones, algunas de las cuales unicamente incluyen impl´ıcitamente a las frases “para todo” y “existe”. Considere el predicado x2 = 4. Literalmente, ( x R)( x2 = 4) se lee “para todo x en los reales, x al cuadrado es igual a cuatro”. Sin embargo, puede tambi´en tener las siguientes lecturas:
∀ ∈
2
∈ R” significa “ x es un elemento de R ”. Vea el cap´ıtulo 3 para una discusi´on sobre la teor´ıa de conjuntos.
“ x
31
2.2 T´
E M´
Para todo n´umero real x , x2 = 4. ´ real tiene a 4 como su cuadrado. Cada n umero ´ Note que en esta ultima traducci´on no decimos expl´ıcitamente “para todo” ni utilizamos la variable x. De la misma manera, ( x R)( x2 = 4), que literalmente se lee “existe un n´umero real x tal que x al cuadrado es igual a 4”, puede tener las siguientes lecturas:
∃ ∈
Existe un n´umero real x para el cual x2 = 4. Existe un n´umero real x cuyo cuadrado es 4. ´ real tiene a 4 como su cuadrado. Alg´ un n umero El problema de traducir correctamente predicados cuantificados se vuelve m´ as complejo cuando tratamos de referirnos a un subdominio de las variables del predicado. Esto
N H´ La l´ogica tradicional, que fue la l o´ gica dominante hasta el advenimiento del c a´ lculo de predicados a finales del siglo XIX, comenz o´ a utilizar todos, alguno y no a partir de Arist´oteles (ver p´ag. 3) en el siglo I A.C. Gottlob Frege (ver p´ag. 43), en su Begri ff sschrift de 1879, fue el primero en utilizar un cuantificador para que las variables en un predicado se tomen sobre un dominio espec ´ıfi´ cuantificaba universalmente las variables al ubicarlas sobre un peque n˜ o rizo en las co. El l´ıneas rectas de sus f ´ormulas diagram´aticas. Frege no utiliz o´ una notaci o´ n expl´ıcita para el cuantificador existencial. El tratamiento de los cuantificadores fue pr a´ cticamente ignorado hasta el Principia Mathematica de 1903 de Bertrand Russell (ver p a´ g. ??). En trabajos que fueron coronados en 1885, Charles Sanders Peirce (ver p´ag. 24) y su estudiante O. H. Mitchell independientemente inventaron los cuantificadores existencial y universal. Peirce y Mitchell utilizaron x y Σ x donde ahora escribimos x y x. La notaci´on de Peirce puede encontrase en los escritos de Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem, y l o´ gicos polacos hasta la d e´ cada de 1950. M a´ s notablemente, es la notaci´on que Kurt G o¨ edel utilizo´ en su principal publicaci o´ n de 1930 sobre la completitud de la l o´ gica de primer orden, y su publicaci o´ n de 1931 sobre la incompletitud de la aritm e´ tica de Peano. Los cuantificadores de Peirce tambi e´ n influenciaron a William Ernst Johnson y Giuseppe Peano, que inventaron incluso otra notaci o´ n, ( x), para el cuantificador universal sobre x y, en 1897, x para el cuantificador existencial sobre x. Es por esto que, por d e´ cadas, la notacio´ n can´onica en filosof ´ıa y lo´ gica matem´atica fue ( x) p para indicar que “todos los individuos en el dominio de x tienen la propiedad p”, y “( x) p” para “existe al menos un individuo en el dominio de x que tiene la propiedad p”. Peano, que era mucho m´as conocido que Peirce, en efecto disemin´o el pensamiento de este u ´ ltimo a trav´es de Europa. La notaci´on de Peano fue adoptada en el Principia Mathematica de Whitehead y Russell, Quine, y Alonzo Church. En 1935, Gentzen introdujo el s´ımbolo , en analog´ıa con el s´ımbolo de Peano. no se convirti´o en un est´andar sino hasta la d´ecada de 1960.
∀ ∃
∃
∃
∃
32
∀
∀
U E S
2. C´ P
se muestra en los siguientes ejemplos:
EJEMPLO 2.1 Analice la forma l´ogica de la proposici´ on “todos los n´umeros naturales m´ultiplos de 10 terminan en cero”. Soluci´ on. En este caso estamos hablando de una colecci´on limitada de los n´umeros naturales: aquellos que son m´ ultiplos de 10. Si representamos como D a la colecci´on de estos n´umeros y r ( x) es el predicado “el n´umero natural x termina en cero”, entonces podr´ıamos escribir la proposici´on anterior como: ( x D )(r ( x))
∀ ∈
Sin embargo, una forma m´a s natural de expresar lo anterior ser´ıa utilizar como dominio a los naturales (en lugar de los m´ultiplos de 10) e introducir el predicado “d ( x): el n´umero natural x es m´ultiplo de 10”. Lo que la proposici´on quiere expresar es que un n´umero natural termina en cero si es m´ultiplo de 10, lo cual sugiere la utilizaci´on del condicional. De esta manera, podemos escribir
∀ ∈ N)(d ( x) → r ( x))
( x
que se lee “para todo n´umero natural, si x es m´ultiplo de 10, entonces x termina en cero”, que es precisamente lo que la proposici´on a traducir quer´ıa expresar. Una confusi´on com´un es tratar de escribir esta proposici´ on utilizando una conjunci´ on en lugar de una implicaci´ on:
∀ ∈ N)(d ( x) ∧ r ( x))
( x
Sin embargo, lo anterior es leido como “todo n´umero natural es m´ ultiplo de 10 y termina en cero”, lo cual es claro que no es lo que se ten´ıa en mente.
EJEMPLO 2.2 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “algunos n´umeros naturales m´ultiplos de 10 son m´ultiplos de 3”. on nos dice que existen n´ umeros que son m´ ultiplos de 10 Soluci´ on. Note que la proposici´ ´ de 3 al mismo tiempo. Si definimos a los predicados “d ( x): el n´umero natural x y multiplos es m´ultiplo de 10” y “ s( x): el n´umero natural x es m´ultiplo de 3”, entonces la proposici´ on dada se escribe como:
∃ ∈ N)(d ( x) ∧ s( x))
( x
Note que esta proposici´on, adem´as de expresar “algunos n´umeros naturales m´ultiplos de 10 son m´ultiplos de 3”, puede interpretarse literalmente como “existe un n´umero natural m´ultiplo de 10 divisible por 3” o “existe un n´umero natural m´ultiplo de 3 divisible por 10”.
33
2.2 T´
E M´
Una conclusi´on importante que debe hacerse a partir de los ejemplos anteriores es que proposiciones como “todos los hombres son mortales” se simbolizan l´ ogicamente utilizando el cuantificador universal junto al conectivo condicional. Si h ( x) representa al predicado “ x es un hombre” y m ( x) representa a “ x es mortal”, entonces “todos los hombres m( x)). Adem´as, expresiones existenciales son mortales” se simboliza como x(h( x) como “algunos hombres son mortales” se simbolizan utilizando el cuantificador existencial junto con la conjunci´on. As´ı, “algunos hombres son mortales” se simboliza como x(h( x) m( x)).3 De igual manera, “algunos hombres no son mortales” se representa com( x)).4 mo x(h( x) Los siguientes ejemplos muestran otras traducciones de proposiciones con cuantificadores desde el lenguaje natural. En todos ellos, asuma que el dominio de los predicados es la colecci´on de todas las personas.
∀
∃
∃
∧
→
∧¬
EJEMPLO 2.3 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “alguien no hizo la tarea”. Soluci´ on. La palabra “alguien” sugiere el uso del cuantificador existencial. Como primer paso escribimos x ( x no hizo la tarea). Ahora, si representamos al predicado “ x hizo la tarea” por t ( x), entonces podemos reescribir la proposici´on como x[ t ( x)].
∃
∃ ¬
EJEMPLO 2.4 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “todos en la clase de l´ogica son de nuevo ingreso o cursan la materia por segunda vez”. Soluci´ on. Piense en la proposici´on como “si alguien est´a en la clase de l´ogica, entonces es de nuevo ingreso o cursa la materia por segunda vez”, sin importar qui´ en es ese alguien. Por lo tanto, comenzamos escribiendo x ( si x est´a en la clase de l´ogica, entonces x es de nuevo ingreso o x cursa la materia por segunda vez). Para escribir la parte entre par´ entesis simb´olicamente, podemos usar l( x) para representar “ x est´a en la clase de l´ogica”, n( x) para “ x es de nuevo ingreso”, s ( x) para “ x cursa la materia por segunda vez”. En este caso, nuestra expresi´on final ser´ıa x[l( x) ( n( x) s ( x))]. Note que como en el ejemplo 1, esta proposici´on tiene la forma de un cuantificador universal aplicado a una proposici´on condicional. Podemos comprobar la respuesta a este problema usando la tabla de verdad del conectivo condicional. La unica ´ forma en que la expresi´on l( x) (n( x) s( x)) puede ser falsa es si x est´a en la clase de l´ogica, pero ni es de nuevo ingreso ni cursa la materia por segunda vez. En otras palabras, decir que dicha expresi´on es verdadera para todos los valores de x significa que lo anterior nunca sucede, que es exactamente lo mismo que decir que todos en la clase de l´ ogica son de nuevo ingreso o cursan la materia por segunda vez.
∀
∀
→
→
∨
∨
EJEMPLO 2.5 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “a Susana le agrada toda persona a quien no le 3
Note que esta expresi´on tambi´en puede leerse como “algunos mortales son hombres”. ¿Puede encontrar alguna relaci´on entre las proposiciones “todos los hombres son mortales” y “algunos hombres no son mortales”? 4
34
U E S
2. C´ P
agrada Jos´e”. on como “si Soluci´ on. Como en el ejemplo anterior, podemos pensar en esta proposici´ a una persona no le agrada Jos´e, entonces a Susana le agrada esa persona”, sin importar qui´en es esa persona. Por lo tanto, podemos comenzar reescribiendo la proposici´on como x(si a x no le agrada Jos´e, entonces a Susana le agrada x ). Sea g ( x, y) el predicado “a x le agrada y”. En proposiciones que hablan de objetos espec´ıficos del dominio, es conveniente usar letras para representar a esos objetos espec´ıficos. En este caso, podemos representar a Susana por la letra s y a Jos´e por la letra j, por lo que g ( s, x) representar´ıa “a Susana le agrada x ” y g( x, j) representar´ıa “a x no le agrada Jos´e ”. Sustituyendo esto en la expresi´on tenemos x( g( x, j) g ( s, x))
∀
¬
∀ ¬
→
Aunque en los ejemplos de esta secci´on se han utilizado proposiciones con un solo cuantificador, en la secci´on anterior encontramos ejemplos en los que m´as de un cuantificador es necesario. Los siguientes ejemplos muestran la traducci´on de proposiciones con m´as de un cuantificador. Como en los ejemplos anteriores, asuma que el dominio de los predicados es la colecci´on de todas las personas.
EJEMPLO 2.6 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “algunos estudiantes de la UES est´an casados”. Soluci´ on. La palabra “algunos” indica que la proposici´on deber´ıa ser escrita con un cuantificador existencial, as´ı que podr´ıamos reescribirla como x( x es un estudiante de la UES y x est´a casado). Sea u( x) el predicado “ x es un estudiante de la UES”. Similarmente, podr´ıamos seleccionar una representaci´o n para “ x est´a casado”, pero un mejor an´alisis reconocer´ıa que estar casado significa estar casado con alguien. Por lo tanto, si c( x, y) representa a “ x est´a casado con y”, entonces podemos escribir que x est´a casado como on completa como y(c( x, y)). Por lo tanto, podemos representar la proposici´
∃
∃
∃ x∃ y[u( x) ∧ c( x, y)]
EJEMPLO 2.7 Analice la forma l´ogica de la proposici´on “todos los alumnos de la UES tienen un compa˜nero que no les agrada”. Soluci´ on. Esto dice lo mismo que x(si x es un alumno de la UES, entonces x tiene un compa˜nero que no le agrada). Para decir que x tiene un compa˜nero que no le agrada, podr´ıamos escribir y( x es compa˜nero de y y a x no le agrada y). Si usamos a c( x, y) para representar a “ x es un compa˜nero de y” y a g( x, y) para representar “a x le agrada y”, entonces esto se convierte en y(c( x, y) g( x, y)). Finalmente, si usamos a u ( x) para representar “ x estudia en la UES”, entontonces el an´alisis completo de la proposici´on original ser´ıa: x y(u( x) [ c( x, y) g( x, y)])
∀
∃
∃
∀∃
∧¬
→
∧¬
35
2.2 T´
E M´
En su carrera matem´atica, no solamente ser´a necesario traducir del lenguaje natural al lenguaje matem´atico, sino que tendr´a que poder interpretar el lenguaje matem´atico. Cuando una proposici´on contiene m´as de un cuantificador es algunas veces dificil encontrar su significado. En esos casos, es mejor pensar en los cuantificadores uno a la vez, en el orden en que aparecen. Por ejemplo, considere la proposici´ on ( x R)( y R)( x + y = 5). Pensando primero en el primer cuantificador x, vemos que la proposici´ on significa que para todo n´umero real x, se cumple que ( y R)( x + y = 5). Luego vemos que para que se cumpla esta ultima ´ proposici´on, deber´ıa existir un y en los reales tal que x + y = 5. En otras palabras, a todo n´ umero real podemos sumarle alg´un otro real tal que la suma da como resultado 5. Sabemos que esto es verdadero ya que para cualquier x, y = 5 x cumple con esta condici´on. Los siguientes ejemplos muestran m´as traducciones del lenguaje matem´atico al lenguaje natural.
∀ ∃ ∈
∀ ∈
∃ ∈
−
EJEMPLO 2.8 Analice la forma l´ogica de las siguientes proposiciones:
∀ ∈ N)(∃ y ∈ N)( x < y ) (∃ y ∈ N)(∀ x ∈ N)( x < y ) (∃ x ∈ N)(∀ y ∈ N)( x < y ) (∀ y ∈ N)(∃ x ∈ N)( x < y ) (∃ x ∈ N)(∃ y ∈ N)( x < y ) (∀ x ∈ N)(∀ y ∈ N)( x < y )
a) ( x b) c) d) e) f)
Soluci´ on
a) Esto nos dice que para cualquier n´umero natural x, la proposici´on ( y N)( x < y) es verdadera. En otras palabras, para todo n´umero natural x, existe un n´umero natural mayor que x . Esta proposici´on es verdadera ya que, por ejemplo, x + 1 es siempre mayor que x .
∃ ∈
b) Esto significa que para alg´ un n´umero natural x la proposici´on ( x N)( x < y) es verdadera. Es decir, existe un n´ umero natural y tal que todos los n´umeros naturales son menores que y . Esto es falso ya que no importa qu´e n´umero natural y seleccionemos, siempre habr´a un n´umero natural mayor, como y + 1.
∀ ∈
c) Esto nos dice que existe un numero ´ natural x tal que la proposici´on ( y N)( x < y) es verdadera. Es decir, existe un n´umero natural que es menor que todos los n´ umeros naturales. Aunque a primera vista esta proposici´on es veradera cuando x = 1. Como 1 es el menor n´umero natural, la proposici´on 1 < y es verdadera para todos los valores de y excepto cuando y = 1, en cuyo caso 1 < 1 es falso y, por lo tanto, ( y N)(1 < y ) es falso, por lo que la proposici´on completa es falsa.
∀ ∈
∀ ∈
d) Esta proposici´on significa que para todo n´umero natural y , hay un n´umero natural menor que y. Esto es verdadero para cada natural y excepto y = 1. Ya que no existe un 36
U E S
2. C´ P
n´umero natural menor que 1, la proposici´ on es falsa. e) Esto nos dice que existe un numero ´ natural x que es menor que alg´un otro n´umero natural. Ya que 2 y 3 son n´umeros naturales y 2 < 3, la proposici´on es verdadera. f) Esto significa que todo n´umero natural x es menor que todo n´umero natural. Pero como vimos en el literal (c), no existe alg´un valor de x para el cual esto sea cierto, as´ı que esta proposici´on debe ser falsa.
Es importante notar que cuando hablamos de dos objetos x e y , no debemos descartar la posibilidad que x e y representen al mismo objeto. Por ejemplo, si g ( x, y) representa “a x le agrada y ” y a ( x, y) representa “ x admira a y ”, la expresi´on
∀ x∀ y(g( x, y) → a( x, y)) no s o´ lo significa que una persona a quien le agrada otra persona admira a esa otra persona, sino tambi´en que las personas que se agradan a s´ı mismas tambi´ en se admiran a s´ı mismas. Como otro ejemplo, considere la proposici´ on “a todos les agradan al menos dos personas”. Si utilizamos a( x, y) como en el ejemplo anterior, podr´ıamos realizar un primer intento escribiendo la forma l´ ogica de esta proposici´on como
∀ x∃ y∃ z(a( x, y) ∧ a( x, z)) pero para decir que para todo x, a x le agradan dos personas, debemos decir que existen dos personas diferentes que le agradan a x , y en la proposici´on anterior puede darse el caso que y = z. Para expresar la proposici´on correctamente, debemos hacer expl´ıcito el hecho que z e y deben ser diferentes:
∀ x∃ y∃ z(a( x, y) ∧ a( x, z) ∧ y z ) ´ Existencia Unica Un ultimo ´ cuantificador com´ unmente utilizado es !, que expresa “existe un unico ´ x tal que...”. Una proposici´on de la forma ( ! x)[ p( x)] puede ser pensada como una forma compacta de expresar: x y[ p( x) ( p( y) x = y )]
∃∀
∃ ∧
∃
→
Ejercicios .......................................................................................................
37
2.2 T´
E M´
1. Simbolice las siguientes proposiciones utilizando el cuantificador existencial: a) La ecuaci´on x 5 = 32 tiene soluci o´ n en los enteros naturales. b) 1010 no es el mayor n u´ mero natural. c) Hay n´umeros naturales que no son primos. 2. Simbolice las siguientes proposiciones utilizando el cuantificador universal:
p( x) : x es joven q( x) : x es hombre r ( x) : x es alumno
Analice las forma l´ogica de las siguientes proposiciones: a) Todos los alumnos son jo´ venes.
a) La ecuaci´on x 5 = 33 no tiene soluci´on en los enteros naturales.
b) Algunos alumnos no son jo´ venes.
b) 0 es menor que todos los n´umeros naturales.
d) Ning´un joven es alumno.
c) Todos los n´umeros naturales son primos. 3. Analice la forma lo´ gica de las siguientes proposiciones utilizando como dominio a la colecci´on de todos los humanos. a) Todos son altos o todos son bajos. b) Todos son altos o bajos. c) Alguien es m´as alto que todos. d) Nadie es perfecto. e) Todos tienen una madre biol´ogica. f) A nadie le gustan los mentirosos. g) Nadie en la clase de c´alculo es mayor que todos los de la clase de matem´atica discreta. h) Guadalupe vi´o a un ladro´ n y Rogelio vi´o tambi´en a un ladr´on. i) Guadalupe vi´o a un ladro´ n y Rogelio vi´o al mismo ladr o´ n.
c) No todos los jo´ venes son alumnos. e) Todos los j o´ venes no son alumnos. f) Algunos j´ovenes no son alunos. g) Algunos alumnos son hombres j o´ venes. h) Todos los hombres j´ovenes son alumnos. i) Todos los alumnos son mujeres j´ovenes. j) Algunos alumnos son hombres y no son j´ovenes. k) Algunos hombres j o´ venes no son alumnos. l) Todos los alumnos son mujeres o est´an j´ovenes. 5. Sea e ( x) el predicado “ x es estudiante”, p( x) el predicado “ x es profesor” y r ( x, y) el predicado “ x le ha hecho una pregunta a y”, donde el universo del discurso es la colecci o´ n de todos las personas asociadas con la Universidad de El Salvador. Analice la forma l´ogica de las siguientes proposiciones:
j) Si Carlos aprob o´ el examen, todos pueden aprobarlo.
a) Gabriela le hizo una pregunta al profesor Salvador.
k) A todos les agrada Mar´ıa, excepto a Mar´ıa.
b) Todo estudiante le ha hecho una pregunta al profesor Pedro.
4. Considere los siguientes predicados con dominio sobre todos los humanos:
c) Alg´un estudiante no ha hecho pregunta alguna a alg´un profesor. d) Hay un profesor al que ning u´ n estudiante le ha hecho una pregunta. e) Alg´un estudiante le ha hecho preguntas a todos los profesores. f) Hay un profesor que le ha hecho pregun-
38
U E S
tas a todos los dem a´ s profesores. g) Alg´un estudiante nunca ha recibido una pregunta por alg u´ n profesor. 6. Analice la forma lo´ gica de las siguientes proposiciones utilizando a a ( x, y) como el predicado “ x ama a y” con dominio del discurso de x e y a la colecci o´ n de todos los humanos. a) Todos aman a Juan. b) Todos aman a alguien. c) Hay alguien a quien todos aman. d) Nadie ama a todos. e) Todos son amados por alguien. f) Hay alguien a quien Lorena no ama. g) Hay alguien a quien nadie ama. h) Hay exactamente una persona amada por todos. i) Todos se aman a s´ı mismos.
2. C´ P
f) g) h)
∀ x∃ y[a( x, y)] ∀ x[a( x, x)] ∀ x∃ y∀ z[a( y, z) → a( x, z)]
9. Traduzca las siguientes proposiciones al Espa˜nol. N)[( p( x) m( x)], a) ( x ( x = 2)) donde p( x) simboliza a “ x es un n u´ mero primo” y m ( x) representa a “ x es impar”.
∀ ∈
∃ ∈ ≤
k) Hay alguien que no ama si no es a s´ı mismo.
b) d (4, 16)
l) Hay alguien que ama exactamente a una persona adem´as de s´ı mismo.
d) d (1, 7)
m) Hay exactamente dos personas a quien Lorena ama.
f)
b) c)
∀ x∃ y[ p( x, y)] ∃ x∀ y[ p( x, y)] ∃ x∃ y[¬ p( x, y)]
8. Traduzca las siguientes proposiciones al Espa˜nol, siendo a( x, y): “a x le agrada y”, donde el dominio del discurso de x y y es la colecci´on de todos los humanos. a) b) c) d) e)
∀ x∀ y[a( x, y)] ∃ x∃ y[a( x, y)] ∀ x∃ y[a( x, y) ∧ ¬a( x, y)] ∃ x∀ y[a( x, y)] ∃ y∀ x[a( x, y)]
∀ ∈
∧
→
10. Dados dos elementos m y n en los naturales, decimos que m divide a n si y s´olo si existe un n´umero p en los naturales tal que n = m p. Sea d (m, n) el predicado “m divide a n ”. Traduzca cada una de las siguientes proposiciones al Espan˜ ol y determine su valor de verdad: a) d (5, 7)
a)
→
N)( y N)[ p( x) b) ( x ( p( y) y x)], donde p( x) simboliza a “ x es un n´umero primo”.
j) Nadie se ama a s´ı mismo.
7. Traduzca las siguientes proposiciones al Espa˜nol y determine su valor de verdad, siendo p( x, y): “ x es padre de y ” con dominio sobre todos los humanos.
∧ ¬
c) d (16, 4) e) d (12, 16)
∀m[d (m, m)] g) ∀n[d (1, n)] h) ∀m[d (m, 0)] i) ∀m∃n[d (m, n)] j) ∃n∀m[d (m, n)] k) ∀n∃m[d (m, n)] l) ∃m∀n[d (m, n)] m) ∀m∀n[d (m, n) → d (n, m)] n) ∀m∀n[d (m, n) → n > m ] n˜ ) ∀m∀n∀ p[d (m, n) ∧ d (n, p ) → d (m, p)] o) ∀m∀n[d (m, n) ∧ d (n, m) → m = n ] 11. Siendo el dominio del discurso los n ´umeros reales, traduzca cada una de las siguientes proposiciones al Espa˜nol y determine su valor de verdad. a) b)
2
∃ x( x = 5) ∃ x( x = −1) 2
39
2.3 P
c) d) e) f) g) h) i) j)
E M´
∀ ∈ R)(∃m ∈ N)(m > x) l) (∀ x ∈ R)(∃n ∈ N)(n ≤ | x| < n + 1) m) ∃! x( x > 1) n) ∃! x( x = 1) n˜ ) ∃! x( x + 3 = 2 x) o) ∃! x( x = x + 1) p) ∀ x(∃!n ∈ N)(n ≤ | x| < n + 1)
∀ x∃ y( xy = x ) ∃ x∀ y( xy = x ) ∀ x∃ y( xy = 1) ∃ x∀ y( xy = 0) ∃ x∃ y( x + y y + x) ∀ x∃ y( x + y = 0) ∀ x∃ y( x 0 → xy = 1) ∃ y∀ x( x 0 → xy = 1)
k) ( x
2
2.3 Propiedades de los cuantificadores ....................................................................................................... Muchas proposiciones en matem´atica requieren una combinaci´on del cuantificador universal con el existencial. Por ejemplo, para expresar que no existe un n´ umero entero positivo que sea mayor que todos los dem´ as, escribimos:
∀ ∈ N)(∃n ∈ N)(n > m)
( m
que se lee “para todo entero positivo m es cierto que existe un entero positivo n tal que n es mayor que m”. Note que el orden en el que aparecen los cuantificadores puede tener extrema importancia. Por ejemplo, si cambiamos el orden en el ejemplo anterior obtenemos
∃ ∈ N)(∀m ∈ N)(n > m)
( n
que dice que existe un n´u mero entero positivo que es mayor que todos los enteros positivos, lo cual es claramente falso. Note, sin embargo, que si los cuantificadores son ambos del mismo tipo (ambos son o ambos ), entonces es posible cambiar el orden sin afectar el significado de la expresi´ on. Por ejemplo, considere la proposici´ on “alguien tiene profesor m´as joven que e´ l”. Para escribir esto simb´olicamente, primero escribimos x( x tiene un profesor m´as joven que x). Para decir “ x tiene un profesor m´as joven que x utilizamos p( y, x) para representar a “ y es profesor de x” y a j( y, x) para representar a “ y es m´as joven que x”, obteniendo ´ j( y, x)). Sustituyendo esta ultima la expresi´on y( p( y, x) expresi´o n en la primera, la proposici´on original ser´a representada como
∀
∃
∃
∃
∧
∃ x∃ y( p( y, x) ∧ j( y, x)) pero si cambiamos el orden de los cuantificadores para obtener
∃ y∃ x( p( y, x) ∧ j( y, x)) tendremos una expresi´on que se lee “existe una persona y tal que y es profesor de alguien que es mayor que y”. En otras palabras, alguien es profesor de alguien mayor que el. 40
U E S
2. C´ P
Pero esto ser´a verdadero en exactamente las mismas circunstancias en que la proposici´ on original es verdadera. Ambos significan que hay personas x e y tal que y es un profesor de x y y es m´as joven que x. De la misma manera, dos cuantificadores universales en una proposici´on pueden ser intercambiadas sin cambiar el significado de la expresi´on. Por ejemplo, considere la expresi´on x y(g( x, y) a ( x, y))
∀∀
→
donde g ( x, y) representa “a x le agrada y ” y a ( x, y) representa “ x admira a y ”, produciendo la proposici´on “para toda persona x e y , si a x le agrada y , entonces x admira a y”. En otras palabras, “todas las personas admiran a quienes les agradan”. La expresi´on
∀ y∀ x(g( x, y) → a( x, y)) significa exactamente lo mismo. Al escribir una proposici´on donde se tiene una conjunci´on o una negaci´on de predicados, es tentador utilizar alg´un tipo de ley distributiva para “escribir el cuantificador dentro del par´entesis”. Por ejemplo, para escribir la proposici´on verdadera “todo n´umero natural es par o impar”, podemos representar a p(n): “ n es un nu´ mero par” e i (n): “ n es un nu´ mero impar” para obtener ( n N)( p(n) i(n))
∀ ∈
∨
Pero es importante notar la diferencia entre la representaci´on anterior y la siguiente:
∀ ∈ N)( p(n)) ∨ (∀n ∈ N)(i(n))
( n
que nos dice que o todos los n´umeros naturales son pares o todos son impares, lo cual es falso. En el primer caso tenemos a una proposici´ on que nos dice que una disyunci´on siempre deber´ıa ser verdadera. En el segundo caso tenemos a dos proposiciones unidas por una disyunci´on y el valor de verdad de esta proposici´on compuesta, como hemos visto anteriormente, depende de los valores de verdad de las proposiciones individuales ( n N)( p(n)) y ( n N)(i(n)) de acuerdo a la definici´on de la disyunci´on. Esto muestra que, en general, no puede “moverse el x dentro del par´entesis” si el conectivo principal es una disyunci´on ya que puede terminar con una expresi´on muy diferente a la original. De la misma manera, la proposici´on
∀ ∈
∀ ∈
∀
∃ ∈ N)( p(n) ∧ i(n))
( n
que dice que existe un n´umero natural que es al mismo tiempo par e impar, es falsa, pero la proposici´on ( n N)( p(n)) ( n N)(i(n))
∃ ∈
∧ ∃ ∈
que nos dice que existe alg´un n u´ mero natural par y que existe alg´un n u´ mero natural impar, es verdadera. Por lo tanto, en general tampoco es v´alido “mover a x dentro del par´entesis” si el conectivo principal es una conjunci´on, ya que puede llevar a una proposici´on diferente de la original.
∃
41
2.3 P
E M´
Sin embargo, considere la proposici´on “todos tienen un padre y una madre biol´ ogica”. Si usamos m( x) para representar a “ x tiene una madre biol´ogica” y p( x) para representar a “ x tiene un padre biol´ogico”, entonces podemos representar a la proposici´ on anterior como
∀ x( p( x) ∧ m( x)) pero tambi´en podr´ıa ser escrita como
∀ x( p( x)) ∧ ∀ x(m( x)) que literalmente se lee “todos tienen un padre biol´ ogico y todos tienen una madre biol´ ogica”, que intuitivamente significa lo mismo que la proposici´ on original. De hecho, decir que todas las x cumplen con dos propiedades ( p( x) y m( x) en este caso), es lo mismo que decir que todas las x cumplen con una de ellas (por ejemplo, p ( x)) y que todas ellas cumplen con la otra (por ejemplo, m ( x)). Por lo tanto, cuando se tiene el cuantificador universal sobre una conjunci´on, es posible distribuir el cuantificador sobre cada uno de los predicados en conjunci´on. En otras palabras, es posible “mover el x dentro del par´entesis” cuando la operaci´on principal del predicado al que modifica es una conjunci´on. De la misma manera es posible distribuir al cuantificador existencial sobre la disyunci´on. Es decir, x[ p( x) m( x)] es l´ogicamente equivalente a x[ p( x)] x[m( x)] (ver ejercicio 6).
∀
∃
2.3.1.
∨
∃
∨ ∃
Negaci´on de Proposiciones con Cuantificadores
En general, si queremos negar una proposici´on cualquiera u´ nicamente es necesario poner un s´ımbolo de negaci´on enfrente de ella. Sin embargo, como mencionamos al analizar las formas l´ogicas de sentencias en Espa˜nol en el cap´ıtulo anterior, es m´as deseable tener una aserci´on positiva que una negativa. En otras palabras, la proposici´on deber´ıa no contener negaciones, pero si son necesarias, no deber´ıan ser el conectivo principal de la proposici´on. Por ejemplo, considere el predicado p ( x): “ x2 > 0” con dominio en los n´umeros reales. En este caso, para simbolizar que el cuadrado de todo n´umero real es mayor que 0, escribimos ( x R)( x2 > 0)
∀ ∈
Suponga ahora que queremos expresar la negaci´on de lo anterior. Es decir, que se cumple que 2
¬[(∀ x ∈ R)( x
> 0)]
Pero si es el caso que “no todos los n´umeros tienen un cuadrado mayor que cero”, entonces deber´ıa existir al menos un n´umero real cuyo cuadrado no es mayor que cero. Es decir, ( x R)( ( x2 > 0))
∃ ∈
42
¬
U E S
2. C´ P
o equivalentemente 2
∃ ∈ R)( x ≤ 0) Es decir, ¬[(∀ x ∈ R)( p( x))] implica (∃ x ∈ R)(¬ p( x)). ( x
Ahora suponga que tenemos que
2
∃ ∈ R)(¬( x
( x
> 0))
Entonces deber´ıa haber un x para el cual p( x) no es cierta. Pero entonces, no puede ser
F L G F fue un matem´atico alem´an que ayud´o a fundar tanto la l´ogica matem´atica como la filosof ´ıa anal´ıtica. Su trabajo tuvo una enorme influencia en la filosof ´ıa del siglo 20, especialmente en paises de habla inglesa. Frege naci´o en 1848 en Wismar, Alemania. Su padre, Karl Alexander Frege, fue el director de un colegio de ni˜nas hasta su muerte en 1866, cuando la madre de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege, asumi´o la direcci´on. Desde su infancia, Frege se encontr´o con las filosof ´ıas que determinar´ıan su carrera cient´ıfica. Por ejemplo, su padre escribi´o un libro de texto del idioma Alem´an para ni˜nos de 9 a 13 a˜nos cuya primera secci´on trataba la estructura y l´ogica del lenguaje. Frege estudi´o en un colegio en su ciudad natal de Wismar, gradu´andose a los 15 a˜nos, en la Pascua de 1869, para luego estudiar en la Universidad de Jena, donde curs´o primordialmente f ´ısica y matem´atica. En 1871, Frege continu´ o sus estudios en G¨ottingen, la universidad m´ as importante en matem´aticas de los territorios germano parlantes. ¨ En 1873, Frege termin´ o su doctorado bajo la supervisi´ on de Ernst Schering, con una tesis titulada “Uber eine geometrische Darstellung der imagi¨ are Gebilde in der Ebene” (La representaci´on Geom´etrica y plana de figuras imaginarias), en el que intentaba resolver problemas fundamentales de la geometr´ıa, tal como la interpretaci´on matem´atica de puntos infinitamente distantes de la geometr´ıa proyectiva. Aunque su educaci´on y primeros trabajos fueron matem´aticos, y especialmente geom´etricos, Frege pronto comenz´o a trabajar con l´ogica, marcando un hito en el ´area con su Begri ff sschrift de 1879, que inclu´ıa un nuevo tratamiento de las funciones y variables. Frege quer´ıa probar que las matem´aticas proven´ıan completamente de la l´ogica, pero al hacerlo divis´ o t´ecnicas que lo llevaron mucho mas ´ all´a de la l´ogica proposicional Aristot´ elica de la e´ poca. Aunque la l´ ogica de entonces trataba a las constantes l´ ogicas y , o, si... entonces..., no , alguno y on entre las frases “cada todos, iteraciones sobre estas operaciones eran poco comprendidas; incluso la distinci´ ni˜no ama a alguna ni˜na” y “Alguna ni˜na es amada por todos los ni˜nos” no pod´ıa ser representada. Muchas veces es remarcado que la l´ogica de Arist´oteles no pod´ıa representar ni las m´as elementales inferencias de la geometr´ıa Eucl´ıdea, mientras que la “notaci´on conceptual” de Frege pod´ıa representar inferencias con declaraciones matem´aticas complejas. Por lo tanto, el an´alisis de conceptos l´ogicos y la formalizaci´on que son esenciales a la teor´ıa de descripciones y la Principia Mathematica de Bertrand Russell, a los teoremas de la incompletitud de G¨odel, y a la teor´ıa de la verdad de Alfred Tarski, son dados por Frege. En una continuaci´ on de su Begri ff sschrift , el Grundgesetze der Arithmetik (2 vol´umenes, 1893 y 1903), Frege intent´ o construir las matem´aticas a partir de la aritm´ etica y la l´ogica de una manera rigurosa y sin contradicciones. Cuando el segundo volumen de la obra estaba en proceso de ser impreso, Russell recalc´ o una paradoja en el trabajo de Frege. La paradoja, conocida como la paradoja de Russell, es la pregunta “¿acaso la clase de todas las clases que no son miembros de s´ı mismas es un miembro de s´ı misma o no?” La pregunta lleva a una contradicci´on que no puede ser resuelta. Frege fue forzado a admitir que el fundamento de su razonamiento era en vano. Tal y como el not´o al final de su trabajo, “un cient´ıfico rara vez se encontrar´a con algo tan poco deseable como ver los cimientos colapsar justo cuando el trabajo es terminado. Me fui puesto en esa posici´on por una carta del Sr. Bertrand Russell cuando el trabajo estaba listo para ir a la imprenta”. El trabajo de Frege en l´ ogica no fue muy reconocido en su epoca, ´ principalmente porque su peculiar notaci´on diagram´atica no ten´ıa antecedentes. M´as a´un, hasta que apareci´o el Principia Mathematica en 1910-13, la aproximaci´on dominante a la l´ogica matem´atica era aquella de George Boole y sus descendientes, especialmente Ernst Schroeder. Sin embargo, las ideas de Frege se expandieron a traves de los escritos de su estudiante Rudolph Carnap y otros admiradores, particularmente Russell y Wittgenstein.
43
2.3 P
E M´
cierto que p( x) se cumple para todo x en los reales. Simb´olicamente, 2
¬[(∀ x ∈ R)( x > 0)] Es decir, (∃ x ∈ R)(¬ p( x)) implica ¬[(∀ x ∈ R)( p( x))]. De esta implicaci´on y la anterior, podemos decir que ¬[(∀ x ∈ R)( p( x))] es l´ogicamente equivalente a (∃ x ∈ R)(¬ p( x)). Bajo un razonamiento similar podemos tambi´en concluir que ¬(∃ x ∈ R)( p( x)) es l´ogicamente equivalente a (∀ x ∈ R)(¬ p( x)).
Aplicando estas equivalencias al ejemplo de “todos los hombres son mortales” de la secci´on anterior, que hab´ıamos simbolizado como
∀ x(h( x) → m( x)) donde h ( x) simboliza “ x es hombre” y m ( x) simboliza “ x es mortal”, entonces la proposici´on “no todos los hombres son mortales” estar´ıa escrita como:
∃ x(¬(h( x) → m( x))) pero por ´algebra proposicional sabemos que ¬(h( x) → m ( x)) es equivalente (h( x) ∧¬ m( x)), por lo que podemos escribir lo anterior como
∃ x(h( x) ∧ ¬m( x)) que literalmente dice que “existen al menos un hombre que no es mortal”. Para aplicar estas reglas a proposiciones con m´as de un cuantificador, la idea principal es comenzar desde afuera hacia adentro. Esto tiene el efecto de cambiar a todas las por y todos los por y terminar negando el predicado principal de la proposici´ on. Por ejemplo,
∃
∃
∀
∀
¬[∀ x∃ y∀ z( p( x, y, z))] ⇔ ∃ x¬[∃ y∀ z( p( x, y, z))] ⇔ ∃ x∀ y¬[∀ z( p( x, y, z))] ⇔ ∃ x∀ y∃ z[¬ p( x, y, z)] Ejercicios ....................................................................................................... 1. Niegue las proposiciones de los ejercicios 3, 4, 6 y 5 de la seccio´ n 2.2, representando su respuesta con una proposici o´ n positiva. 2. Los siguientes literales se refieren al ejercicio 8 de la secci o´ n 2.2:
44
a) Exprese simbo´ licamente la negaci´o n de todos los literales. b) Traduzca cada una de estas negaciones al Espa˜nol. 3. Niegue las siguientes proposiciones, expre-
U E S
2. C´ P
sando su respuesta con una proposici o´ n positiva. a) Hay alguien de nuevo ingreso que no vive en San Salvador.
menos un y para el cual p( x, y) es verdadero. Exprese en sus palabras la propiedad “extra” que debe cumplirse para que y x[ p( x, y)] tambi´en sea verdadera.
∃ ∀
c) Todos los estudiantes de matem a´ tica tienen un amigo que necesita ayuda con las tareas.
6. Muestre que el cuantificador existencial se distribuye sobre la disyuncio´ n. Es decir, muestre que x[ p( x) q( x)] es equivalente y[q( x)] (puede usar el hecho, a x[ p( x)] discutido en esta secci o´ n, que el cuantificador universal se distribuye sobre la conjunci o´ n).
d) Todos tienen un compa˜nero a quien nadie le agrada.
7. Muestre que x[ p( x) q ( x)] es l´ogicamente equivalente a x[ p( x)] x[q( x)].
b) A todos le agrada alguien, pero a nadie le agradan todos.
∃
4. Muestre que x[ p( x) q ( x)] es l´ogicamente equivalente a x[ p( x) q( x)].
8.
5.
9.
∀ → ¬∃ ∧¬ La proposici´on ∀ x∃ y[ p( x, y)] dice, cuando es
verdadera, que para todo x corresponde al
∃ ∨ ∃
∨
∃ → ∀ → ∃ Muestre que ∀ x[ p( x)] ∧ ∃ x[q( x)] es l´ogicamente equivalente a ∀ x∃ y[ p( x) ∧ q( y)]. Muestre que ∀ x[ p( x)] ∨ ∃ x[q( x)] es l´ogicamente equivalente a ∀ x∃ y[ p( x) ∨ q( y)].
45
2.4 V ´
E M´
´ 2.4 Validez logica de argumentos con predicados ....................................................................................................... Ahora que ya contamos con los cuantificadores como nuevo elemento en nuestro lenguaje matem´atico, regresamos al argumento con el que iniciamos nuestra discusi´ on: Todos los hombres son mortales S´ ocrates es un hombre Por lo tanto, S´ ocrates es mortal De la discusi´on de las secciones anteriores, podemos ahora escribir al argumento anterior como
∀ x[h( x) → m( x)] ∴
h(S´ocrates) m(S´ocrates)
donde h ( x) es el predicado “ x es un hombre”, m( x) es el predicado “ x es mortal”. Sin embargo, ahora que podemos expresar este argumento en forma simbolica, ´ debemos estudiar c´omo establecer la veracidad de dicho argumento. Para ello, utilizaremos cuatro reglas de inferencia ampliamente utilizadas en los argumentos matem´ aticos. on universal nos dice que a partir de la veracidad de x[ p( x)] podemos La instanciaci´ concluir p(c) para cualquier miembro particular c del dominio de discurso del predicado.
∀
EJEMPLO 2.9 Analice la veracidad del argumento: “Todos los hombres son mortales. S´ocrates es hombre. Por lo tanto, S´ocrates es mortal”. on universal podemos concluir que h(S´ocrates) Soluci´ on. Utilizando la instanciaci´ m(S´ocrates) a partir de x[h( x) m ( x)], convirti´endose en
∀
→ ∀ x[h( x) → m( x)] h(S´ocrates) → m (S´ocrates)
∴
→
h(S´ocrates) m(S´ocrates)
de donde podemos aseverar la veracidad de la conclusi´ on por modus ponens.
La generalizaci´ on universal nos dice que si p(c) se cumple para cada uno de los elementos c del dominio de discurso, entonces x[ p( x)] es verdadera. Este tipo de generalizaci´on se utiliza para demostrar que x[ p( x)] es verdadera tomando un valor arbitrario para c del dominio de discurso, y mostrar que p(c) es verdadero. Note que es necesario ´ tomar un valor arbitrario de x, no un valor espec´ıfico. De lo contrario, lo unico que se ha mostrado es que p( x) es verdadero para ese valor espec´ıfico de x, pero no para todos sus valores.
∀
∀
EJEMPLO 2.10 Analice el siguiente argumento sobre el dominio de todos los estudiantes de la Escuela 46
U E S
2. C´ P
de Matem´atica: “A todos los estudiantes de matem´atica les gusta programar. Todos los alumnos de la Escuela de Matem´atica son estudiantes de matem´atica. Por lo tanto, a todos los alumnos de la Escuela de Matem´atica les gusta programar”. Soluci´ on. Representemos con x a un estudiante de la Escuela de Matem´atica (es decir, el dominio del discurso de x es la colecci´on de alumnos de la Escuela de Matem´atica). Si tomamos a m( x) como el predicado “ x es estudiante de matem´atica”, p( x) como “a x le gusta programar”, entonces el argumento anterior tiene la forma:
∀ x(m( x) → q( x)) ∀ x(m( x)) ∴ ∀ x[q( x)] Pero de la primera premisa sabemos que m( x ) → q( x ) debe ser cierto para un x 0
0
0
arbitrario. Igualmente m( x0 ) debe ser cierta para un x0 arbitrario. Finalmente, podemos utilizar modus ponens con estas dos proposiciones para decir que q( x0 ) debe ser cierto para un x0 arbitrario, de donde x[q( x)] debe ser cierto.
∀
Note que, por convenci´on, muchas proposiciones matem´aticas dicen que un predicado es verdadero para todos los miembros del dominio sin especificar expl´ıcitamente el cuantificador universal. Por ejemplo, la proposici´on “si el n´umero natural n es divisible por 2, entonces n2 es divisible por 4” en realidad deber´ıa escribirse “para todo numero ´ entero 2 n, si n es divisible por 2, entonces n es divisible por 4”. Para demostrar que este tipo de proposiciones son verdaderas, usualmente se utiliza la generalizaci´on universal sin hacer menci´on de ella, simplemente tomando un valor arbitrario (es decir, de forma general) para la variable para demostrar que se cumple para cualquier elemento del dominio de discurso. on existencial nos permite concluir que la proposici´on x[ p( x)] es verLa generalizaci´ dadera si se sabe que p( x) se cumple para un valor particular de x .
∃
EJEMPLO 2.11 Analice la veracidad del siguiente argumento l´ogico: “Todo el que aprueba los ex´amenes
C L D es mejor conocido por su pseud´onimo Lewis Carroll. Aunque matem´atico, es es del Espejo famoso por sus libros de Las Aventuras de Alicia en el Pa´ıs de las Maravillas (1865) y Alicia a trav´ (1872). Su nom de plume es la versi´on inglesa de la traducci´ on al lat´ın de su nombre: Carolus Lodovicus. Charles Dodgson naci´o en 1832, siendo el tercero de 11 hijos. Su educaci´on temprana fue proveida por sus padres, estudiando primordialmente libros religiosos. A los 18 a˜nos, ingres´o a la Universidad de Oxford, donde permaneci´o bajo diferentes t´ıtulos cerca de 50 a˜nos hasta su muerte. Fue ordenado di´acono de la Iglesia Anglicana, aunque nunca practic´o el ministerio. Dodgson padeci´o de insomnio toda su vida, pasando noches enteras despierto tratando resolver problemas matem´aticos. Escribi´o diversos libros sobre la materia, siendo el m´as interesante de ellos “Euclides y sus modernos rivales”. Ense˜ n´o matem´aticas a tres generaciones de estudiantes. Su trabajo incluye escritos sobre geometr´ıa, determinantes y l´ogica. Charles tartamudeaba y se sent´ıa incomodo ´ con personas adultas. Se dice, sin embargo, que ten´ıa buenas relaciones sociales con j´ovenes, especialmente ni˜nas. Su relaci´o n con las hijas de su amigo di´acono Dean Liddel, fue la inspiraci´on de los famosos cuentos de Alicia.
47
2.4 V ´
E M´
de l´ogica aprueba la materia. Guadalupe aprob´ o todos los ex´amenes de l´ogica. Por lo tanto, hay alguien que aprob´o l´ogica matem´atica.” Soluci´ on. Sea a ( x) el predicado “ x aprob´o todos los ex´amenes de l´ogica”, y p( x) el predicado “ x aprob´o l´ogica matem´atica”. El argumento anterior se escribe como:
∴
∀ x[a( x) → p( x)] a(Guadalupe) ∃ x[ p( x)]
p( x)] podemos utilizar la instanciaci´on universal para obDe la premisa x[a( x) tener a(Guadalupe) p(Guadalupe). De esta y de la segunda premisa del argumento podemos concluir por modus ponens que p(Guadalupe) es cierta. Finalmente, ya que tenemos un caso espec´ıfico donde p( x) se cumple, de esta u´ ltima premisa podemos utilizar la generalizaci´ on existencial para concluir que x[ p( x)].
∀
→
→
∃
on existencial nos dice que si x[ p( x)] es verdadera, entonFinalmente, la instanciaci´ ces debe existir un miembro e del dominio de discurso que hace que p(e) sea verdadera. En este caso, e no puede ser un valor arbitrario del dominio de discurso, sino el e que hace que p( x) sea verdadera. Sin embargo, la mayor parte del tiempo no sabemos cu´ al e cumple con esta propiedad, por lo que simplemente lo designamos con una nueva variable y continuamos con nuestro argumento.
∃
EJEMPLO 2.12 Analice la veracidad del siguiente argumento l´ ogico: “Todo el que aprueba los ex´amenes de l´ogica aprueba la materia. Alguien aprob´o todos los ex´amenes de l´ogica. Por lo tanto, hay alguien que aprob´o l´ogica matem´atica.” Soluci´ on. En este caso, el argumento tiene la forma:
∴
∀ x[a( x) → p( x)] ∃ x[a( x)] ∃ x[ p( x)]
donde a( x) es el predicado “ x aprob´o todos los ex´amenes de l´ogica”, y p ( x) es el predicado “ x aprob´o l´ogica matem´atica”. Aqu´ı, de la segunda premisa podemos utilizar la instanciaci´on existencial para asumir a(e), donde e es el desconocido que aprob´o todos los ex´amenes de l´ogica. De la primera premisa, podemos utilizar la instanciaci´ on universal para el caso especial de e (recuerde que con la instanciaci´on universal, podemos utilizar cualquier miembro del dominio de discurso) para asumir a(e) p(e). De estas nuevas premisas podemos utilizar modus ponens para obtener p(e), del cual, por generalizaci´on existencial, podemos concluir x[ p( x)].
→
∃
48
U E S
2. C´ P
Ejercicios ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ .................... ........ 1. Analice Analice la valide validezz l´ logica o´ gica de los siguientes argumentos: a) Algunos Algunos estudiantes estudiantes son atletas. atletas. Algunos Algunos atletas reprueban cursos. Por lo tanto, algunos estudiantes reprueban cursos. b) Karla, Karla, una estudiante estudiante de esta esta clase, puede puede hablar Ingl´ Ingles. e´ s. Todos los que pueden hablar Ingl´ Ingles e´ s pueden optar a un trabajo bien pagado. Por lo tanto, alguien en esta clase puede optar a un trabajo bien pagado. c) A alguien alguien en esta clase le gusta gusta la natunaturaleza. A todos los que le gusta la naturaleza le importa importa la contamina contaminaci´ ci´on on ambiental. Por lo tanto, hay una persona en esta clase a quien le importa la contaminaci on o´ n ambiental. d) Todos odos en El Salva Salvador dor viven viven a menos menos de 100 Km del mar. Alguien en El Salvador nunc nuncaa ha vist visto o el mar mar. Por Por lo tant tanto, o, algu alguie ien n que vive a menos de 100 Km del mar nunca lo ha visto. visto. e) Todas odas las pel´ pel´ıculas ıculas dirigidas por Steven Spielberg son maravillosas. Spielberg dirigi´o una pel´ıcula ıcula de alien´ıgenas. ıgenas. Por lo tanto, hay una pel´ıcula ıcula de alien´ıgenas ıgenas maravillosa.
´ Simb´ olica de Lewis Caen el libro Logica 5 rroll rroll . Para cada uno, verifique la validez de las conclusiones. Si la conclusi on o´ n es falsa, explique porqu´ porque. e´ . Si es verdadera, muestre los pasos logicos o´ gicos necesarios para llegar a la conclusi´ clusion. o´ n. Para las primeras dos el dominio de discurso es la colecci on o´ n de todas las personas. Para las ultimas u´ ltimas dos, el dominio de discurso es la coleccion o´ n de todos los animales.
a) No hay profesores profesores ignorantes ignorantes.. Todas las personas ignorantes son vanas. Por lo tanto, no hay profesores vanos. b) Los Los beb´ beb´es e s son il´ogicos ogicos.. Nadie Nadie que sea despreciado puede controlar a un cocodrilo. Las personas il ogicas o´ gicas son despreciadas. das. Por Por lo tant tanto, o, los los beb bebes e´ s no pued pueden en concontrolar a un cocodrilo. c) Todos los leones leones son fieros. Algunos Algunos leones no toman caf e. e´ . Por lo tanto, algunas criaturas fieras no toman caf e. e´ . d) Todos los colibr colibr´ıes ıes tienen colores vivos. Ning´ Ningun u´ n ave grande vive de la miel. Las aves aves que que no vive viven n de la miel miel tien tienen en colo colore ress opacos. Los colibr´ıes ıes son peque˜nos. nos. (Nota: asuma que peque˜ no es lo mismo que no grande, y que “tiene colores opacos” es lo mismo que “no tiene colores vivos).
2. Los siguientes siguientes argument argumentos os son encontrados encontrados
5
Ver su biograf ´ıa ıa en la p´ pagina 47. a´ gina 47.
49
2.4 V ´
50
E M ´
O L U T I P A C
3
ı C T´ı Un conjunto es un Muchos que se permite considerarse a s´ı mismo como un Uno. -Georg Cantor
La historia historia de la teor´ teor´ıa ıa de conjunto conjuntoss es di- a muchas muchas contradicc contradiccione iones, s, llamadas llamadas paradojas. paradojas. ferente de la historia de la mayor´ıa ıa de las otras Russell Russell y Zermelo Zermelo independie independientem ntemente ente enconenconramas de la matem´ matematica. a´ tica. Para la mayor´ mayor´ıa ıa de las traron la paradoja m as a´ s simple y mejor conocia´ reas se puede trazar un largo areas largo proceso en el cual da, ahora llamada la paradoja de Russell, que se las ideas evolucionan hasta que un ultimo u´ ltimo mo- desarrolla sobre el “conjunto de todos los conmento de inspiraci on, o´ n, muchas veces de varios juntos que no son miembros de s ´ı mismos”. Clamatem´ matematicos a´ ticos casi simult aneamente, a´ neamente, produce un ramente este conjunto no puede ser un miembro descrubrimiento de gran importancia. de s´ s´ı mismo, y, por lo tanto, debe ser un miembro La teor´ teor´ıa ıa de conjuntos es la creaci on o´ n de una de s´ s ´ı mismo. Luego se descubri o´ que estas parasola persona, Georg Cantor, y puede ser identifi- dojas no son propias de la teor ´ıa ıa de conjuntos, cada en una de sus publicaciones de 1874. y que en logica o´ gica la proposici on o´ n “esta proposici on o´ n Comenzando con el trabajo de Zeno cerca es falsa” da cabida a un problema similar. Kurt del a˜no no 450 A.C., los matem´aticos atic os hab´ıan tenido te nido Godel o¨ del us´o este hecho en 1931 en la prueba de su problemas con el concepto del infinito. Especial- famoso teorema de la incompletitud. mente notable es el trabajo de Bernard Bolzano Luego del descubrimiento de estas paradojas en la primera mitad del siglo XIX. El concepto en la teor´ teor´ıa ıa de conjuntos informal de Cantor, numoderno de infinito comenz´o en 1867-71, con el merosos sistemas axiom aticos a´ ticos1 fueron propuestrabajo de Cantor en teor´ teor´ıa ıa de n´ numeros. u´ meros. tos al principio el siglo XX, de los cuales los El trabajo de Cantor inicialmente polariz o´ a axiomas de Zermelo-Fraenkel son los m as a´ s conolos matem´ matematicos a´ ticos de su epoca. e´ poca. Mientras Weierscidos. trass y Dedekind apoyaban a Cantor, Kronecker, ahora visto como el fundador del constructivisEste cap´ cap´ıtulo ıtulo estudia la versi on o´ n original de mo matem´ matematico, a´ tico, lo criticaba. Pero la utilidad de la teor teor´ıa ıa de conjun conjuntos tos de Cantor Cantor,, sin desarr desarroolos conceptos de Cantor, como la corresponden- llar una versi on o´ n axiom´ axiomatica. a´ tica. Especial importancia de uno a uno entre conjuntos (ver secci on o´ n cia se dar´ dara´ al uso del c alculo a´ lculo proposicional y de 6.2), 6.2), su prueba que hay m as a´ s numeros u´ meros reales que predicados visto en los cap´ cap ´ıtulos ıtulos anteriores paenteros, y la “infinidad de infinitos” que se hara demostrar propiedades de los conjuntos y sus ce posible con el conjunto potencia (ver secci´on on osito tan3.1), 3.1), eventualmente llev´o a la aceptaci´on on amplia operaciones. Esto tendr´a el doble prop´osito to de formalizar los resultados de la teor´ıa ıa como de la teor´ıa ıa de conjuntos de Cantor. Ca ntor. etodos de demostraci´on on a La siguiente ola de emoci´on on sobre la teor´ıa ıa de presentar algunos m´etodos on para par a el cap´ıtulo ıtulo siguiensi guiende conjunto conjuntoss vino alrededor alrededor de 1900, cuando cuando se manera de introducci´on descubri´ descubrio´ que la teor´ teor´ıa ıa de Cantor daba cabida te. 1
En logica o´ gica tradicional, un axioma o postulado es una proposici´ proposicion o´ n que no es demostrada pero es considerada evidente, por lo que su verdad es aceptada y sirve como el punto inicial para deducir e inferir otras verdades. Un sistema sistema axiom´ atico es, por lo tanto, un sistema construido en base a axiomas.
51
3.1 D N B ´
E M´
´ 3.1 Definiciones y Notaciones Basicas ....................................................................................................... En matem´aticas, los conjuntos son un t´ermino primitivo de la misma manera que el punto y la l´ınea lo son en geometr´ıa. En la teor´ıa informal de conjuntos, un conjunto es una lista, colecci´on o clase de objetos bien definidos; es decir, dado un objeto particular, puede determinarse si est´a en el conjunto o no. A los objetos de este conjunto les llamaremos elementos del conjunto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier tipo de objetos, desde n´ umeros, a nombres de personas, ciudades del mundo o razas de perros. Un conjunto puede incluso tener a otros conjuntos como elementos. Adoptaremos la convenci´on de utilizar letras may´usculas como A, B, X , Y para denotar conjuntos y letras min´usculas como a , b , x, y para denotar elementos. Para indicar que un objeto a pertenecde a un conjunto S escribiremos a S (donde es la letra griega epsilon en min´usculas). Utilizaremos la notaci´on a S para denotar que a no es un elemento de S .
∈
∈
La expresi´on a S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas:
∈
“a es un elemento de S ”. “a pertenece a S ”. “a est´a en S ”. “a en S ”. Para especificar qu´e elementos forman a un conjunto, podemos utilizar dos m´etodos: por extensi´on y por comprensi´o n. En el m´etodo por extensi´on, se describe a un conjunto listando sus elementos separados por comas, encerrando la lista entre par´entesis. Por ejemplo, A = 5, 10, 15 y B = San Salvador, San Miguel, San Vicente, Santa Ana son conjuntos de tres y cuatro elementos, respectivamente. Note que en este caso, 5 A, pero 3 A. De igual manera, “Santa Ana” B, pero “La Paz” B.
{
}
{
∈
∈
}
Hay dos cosas importantes que deben tomarse muy en cuenta cuando se utiliza el m´etodo por extensi´on. Primero, el orden en que aparecen listados los elementos no es importante. Es decir, el conjunto 5, 10, 15 es igual que el conjunto 15, 10, 5 . Segundo, el n u´ mero de veces que aparece un mismo elemento no es importante. Es decir, el conjunto 5, 10, 15 y el conjunto 5, 5, 10, 15, 15, 15 son exactamente iguales.
{
{
}
{
} }
{
}
Una limitante del m´etodo por extensi´on es evidente cuando intentamos escribir conjuntos con un gran n´umero de elementos. Por ejemplo, aunque es posible escribir los n´ umeros enteros del 1 al 100, 000, es usualmente impr´actico hacerlo. Es en estos casos que el siguiente m´etodo es m´as conveniente. El m´etodo por comprensi´on describe a un conjunto en t´erminos de uno o m´as predicados que deben ser ciertos para los elementos del conjunto. En otras palabras, describe al conjunto en t´e rminos de una o m´as propiedades que deben tener los elementos del conjunto. La notaci´on seguida para este m´etodo tiene la forma A = x x satisface alguna propiedad . Por ejemplo, para describir al conjunto de los n´umeros enteros del 1 al
}
52
{ |
U E S
3. T´ı C
100, 000 escribimos: E = x x es un n´umero entero positivo x
∧ ≤ 100, 000}
{ |
De igual forma, para describir al conjunto de departamentos de El Salvador cuyo nombre comienza con “San” escribimos: D = x x es el nombre del departamento de El Salvador cuyo nombre comienza por “San”
{ |
}
Finalmente, para describir al conjunto de todos los n´umeros reales entre 0 y 1, inclusive, escribimos: C = x x es un nu´ mero real 0 x 1
{ |
∧ ≤ ≤ }
|
En todos los casos, la barra vertical ( ) se lee “tal que” y se entiende que el conjunto un est´a formado por todos los objetos que satisfagan la descripci´on dada, sin incluir a ning´ otro objeto. Por ejemplo, aunque “San Salvador” D y “San Miguel” D, ser´ıa err´oneo decir que D = San Salvador, San Miguel , ya que “San Salvador” y “San Miguel” no son los u´ nicos objetos que cumplen con la descripci´on dada. De la misma manera, ser´ıa err´oneo incluir a “Moraz´an” en el conjunto D ya que no cumple con la propiedad requerida. Note que aunque los conjuntos E y D anteriores pueden ser tambi´en escritos utilizando el m´etodo por extensi´on, no es posible hacer lo mismo con el conjunto C ya que es infinito. Mientras no tengamos un concepto formal de un conjunto infinito, lo consideraremos como aquellos conjuntos para los cuales no pueden terminar de listarse nunca todos sus miembros. Un conjunto finito, por otra parte, ser´a todo aquel conjunto que no es infinito. Aunque en los ejemplos anteriores se ha utilizado el m´etodo por extensi´on con la forma x p( x) , algunas veces es m´as conveniente modificar esta notaci´ on para permitir expresiones complejas antes de la l´ınea vertical. Por ejemplo, suponga que queremos definir a P como el conjunto de los cuadrados perfectos. Siguiendo los ejemplos anteriores, podr´ıamos definir este conjunto como P = x x es el cuadrado de algu´ n n´umero natural , o, equivalentemente, P = x ( x N)( x = n 2 ) . Una manera m´as f a´ cil de describir a este conjunto es decir que consiste de todos los n´umeros de la forma n 2 , donde n es un n´umero natural. Esto lo escribimos como P = n2 n N . Un h´ıbrido de los m´etodos por extensi´on y por comprensi´on es ampliamente utilizado para conjuntos finitos e infinitos. La notaci´ on Q = 1, 3, 5, . . . , 97, 99 o Z = 10, 20, 30, 40, . . . impl´ıcitamente utliza el m´etodo por comprensi´ on para establecer el on patr´ on de los elementos que lo componen. Utiliza la apariencia del m´etodo por extensi´ con la adici´on de “...” que se lee “y as´ı consecutivamente” para el caso de conjuntos infinitos como Z , y “y as´ı consecutivamente hasta” para el caso de conjuntos finitos como on, hay un peligro de malinQ. Como en cualquier aplicaci´on del m´etodo por comprensi´ terpretar el patr´on o de proveer muy poca informaci´on al lector. Por ejemplo, el conjunto 1, 2, . . . podr´ıa referirse al conjunto 1, 2, 3, 4, 5, . . . de todos los enteros positivos, o al conjunto 1, 2, 4, 8, 16, . . . de las potencias no negativas de 2. En los patrones dados para los conjuntos Q y Z , la mayor´ıa de lectores estar´a de acuerdo que Q se refiere a todos los n´umeros positivos impares menores que 100, y que Z se refiere a todos los m´ultiplos positivos de 10.
{
{ |
∈
}
∈
}
{ |
{ | ∃ ∈
}
}
{ | ∈ }
{
{
{
}
}
{
}
{
}
}
53
3.1 D N B ´
E M´
Conjunto Universal Un conjunto universal ser´a considerado como el conjunto de todos los objetos en discusi´on para un problema espec´ıfico2 . Este conjunto normalmente ser´a especificado al principio de un problema sobre conjuntos y reservaremos la simbolog´ıa Upara representarlo. Sin embargo, en algunas situaciones es relativamente claro cu´al es el conjunto universal, por lo que no se especifica expl´ıcitamente. Este fue el caso con el conjunto D anterior, donde el entendimiento impl´ıcito fue que los objetos bajo consideraci´on que eran potenciales elementos de D eran los departamentos de El Salvador, teniendo el conjunto universal, en este caso, 14 elementos.
Conjuntos especiales Naturalmente, los conjuntos que m´as nos interesar´an en matem´aticas son aquellos cuyos elementos son objetos matem´aticos. Algunos de ellos son utilizados como conjuntos universales tan frecuentemente que les han sido asignados nombres y s´ımbolos especiales. Algunos de ellos, como los naturales y los reales, ya han sido utilizados en cap´ıtulos anteriores. Usaremos el s´ımbolo N para el conjunto de los n´ umeros naturales3 : N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
{
}
Al conjunto de los enteros (positivos, cero o negativos), lo denotaremos Z : Z = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
{ − − − } Los n´umeros de la forma donde m ∈ Z, n ∈ Z, y n 0 reciben el nombre de m n
n´ umeros racionales y se les denota por Q :
Q=
m n
| m, n ∈ Z, n 0
Se llaman irracionales aquellos n´umeros que no pueden escribirse como una raz´on de enteros y se les denota por Q . El conjunto de todos los n´ umeros reales, formado por todos los racionales e irracionales, se denota por R . Considerando estos conjuntos, es posible ahora reescribir los conjuntos E y C que definimos anteriormente como
{ ∈ N | x ≤ 100, 000} C = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 }
E = x
2
Como se ver´a en el ejercicio 16, la idea de un “conjunto universal” en sentido absoluto de contener a todos los posibles objetos nos lleva a contradicciones l´ogicas. Sin embargo, la noci´on limitada que tomaremos en cuenta en este libro tiene valor considerable, permiti´endonos imponer barreras en la naturaleza de los objetos que pueden ser considerados para ser elementos de los conjuntos en ciertas situaciones. 3 Es necesario advertir que existe discrepancia entre diferentes autores con respecto a incluir o no el 0 (cero) como n´umero natural, por lo que debe verificar c´omo son definidos los numeros ´ naturales al leer otros libros.
54
U E S
3. T´ı C
Intervalos Cuando consideramos a R como el conjunto universal, es com´ un encontrarse con otro tipo de conjuntos especiales llamados intervalos. Estos son importantes y frecuentemente usados en a´ reas como c´alculo, por lo que tienen su propia notaci´on y terminolog´ıa. Para dos reales a y b , con a < b , podemos definir nueve tipos de intervalos:
{ ∈ R | a ≤ x ≤ b} es un intervalo cerrado y acotado denotado por [a, b]. { x ∈ R | a < x < b}, es un intervalo abierto y acotado denotado por (a, b). { x ∈ R | a ≤ x < b}, es un intervalo acotado y abierto a la derecha denotado por [a, b). { x ∈ R | a < x ≤ b}, es un intervalo acotado y abierto a la izquierda denotado por
1. x 2. 3. 4.
(a, b].
5. x x , es un intervalo no acotado a la derecha y cerrado a la izquierda R a denotado por [a, ).
{ ∈
6. 7. 8.
| ≤ } ∞ { x ∈ R | a < x}, es un intervalo no acotado a la derecha y abierto a la izquierda denotado por (a, ∞). { x ∈ R | x ≤ b}, es un intervalo no acotado a la izquierda y cerrado a la derecha denotado por (−∞, b]. { x ∈ R | x < b}, es un intervalo no acotado a la izquierda y cerrado a la izquierda denotado por (−∞, b). El mismo conjunto R es un intervalo, algunas veces denotado como (−∞, ∞). Debe distinguir claramente la diferencia entre {0, 1}, un conjunto de dos elementos,
y [0, 1], un conjunto infinito. En este caso una peque˜ na diferencia entre dos notaciones representa una gran diferencia entre los objetos que representan.
Conjunto Vac´ıo Es conveniente introducir el concepto del conjunto que no tiene elemento alguno: el conjunto vac´ıo o conjunto nulo. L o´ gicamente, s´olo existe un conjunto que cumple con esta condici´on. El conjunto vac´ıo es denotado por la letra escandinava 4 Note que y son dos conjuntos diferentes. es el conjunto vac´ıo, que no tiene elementos. , por otro lado, es un conjunto con un elemento. En este caso, .
∅ {∅} {∅}
∅
∅
∅ ∈ {∅}
Igualdad de Conjuntos Una noci´on importante sobre conjuntos fue introducida parcialmente al inicio de esta secci´on cuando observamos que el conjunto D = x x es el nombre del departamento de El Salvador cuyo nombre comienza por “San” pod´ıa tambi´en escribirse utilizando el m´etodo por extensi´on como S = “San Salvador”, “San Miguel”, “Santa Ana”, “San Vicente” . Esta relaci´on entre los conjuntos D y S , independiente de la forma que tome su definici´on, es llamada la igualdad de conjuntos, denotada por D = S . Se dir´a que
}
4
{
{ | }
Note que esta no es la letra griega φ .
55
3.1 D N B ´
E M´
dos conjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mismos elementos; es decir, si cada elemento de A pertenece tambi´en a B y viceversa. Simb´olicamente, A = B
⇔ ∀a(a ∈ A ↔ a ∈ B)
Esta definici´on sugiere que para mostrar que dos conjuntos A y B son iguales debe mostrarse primero que todo elemento de A es un elemento de B, y luego que todo elemento de B es un elemento de A . El siguiente ejemplo, adem´as de mostrar algunas igualdades de conjuntos, recalca el hecho que dos conjuntos iguales pueden parecer diferentes, o estar representados de una forma distinta.
EJEMPLO 3.1 a) Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 3, 1, 4, 2 . Entonces A = B; es decir, 1, 2, 3, 4 = 3, 1, 4, 2 , ya que, como observamos anteriormente, un conjunto no cambia al reordenar sus elementos.
{
}
{
}
{
} {
}
b) Sean C = 5, 6, 7, 5 y D = 7, 5, 7, 6 . Entonces C = D ya que cada elemento de C pertenece a D y cada elemento de D pertenece a C , sin importar si se repiten elementos en la definici´on de los conjuntos.
{
}
{
}
c) Sean E = x x2
{ | − 3 x + 2 = 0}, F = {2, 1} y G = {1, 2, 2, 1}. Resulta que E = F = G.
x Note que los conjuntos A = x N 1 10 y B = x R 1 10 no son iguales, ya que el primero tiene diez elementos mientras que el segundo es un conjunto infinito. De aqu´ı que es importante tener en cuenta de qu´e conjunto universal se est´an tomando los elementos de un conjunto. Simbolizaremos que dos conjuntos A y B no son iguales con la notaci´on A B. Aunque la igualdad de conjuntos parece simple a primera vista, e incluso trivial, es en realidad de mucha importancia. Muchas de las demostraciones con las que trabajaremos m´as adelante son en el fondo pruebas que dos conjuntos particulares son iguales. Dada la definici´on simb´olica y formal de la igualdad de conjuntos, es posible utilizar las propiedades del c´alculo de proposiciones y de predicados visto en los cap´ıtulos anteriores para construir demostraciones sobre las propiedades b´ asicas de la igualdad de conjuntos, como se muestra en los siguientes ejemplos.
{ ∈ | ≤ ≤ }
{ ∈ | ≤ }
EJEMPLO 3.2 Demuestre la propiedad reflexiva de la igualdad de conjuntos que dice que A = A para cualquier conjunto A . Soluci´ on. Sea A un conjunto cualquiera. Por definici´on, A = A significa ( x)[( x A) ( x ( x A)]. Pero el predicado ( x A) A) tiene la forma p p para cualquier sustituci´on de un objeto particular por x, as´ı que es verdadera para cualquier substitucion ´ ya que p ( x A)] es verdadera, y, p es una tautolog´ıa. Por lo tanto, ( x)[( x A) consecuentemente, A = A es verdadera.
∈
∈
↔
56
↔
∈
↔
∀
∈ ↔ ∈
∀
∈ ↔
U E S
3. T´ı C
Subconjuntos Si bien la igualdad requiere que dos conjuntos tengan exactamente los mismos elementos, otra relaci´on importante se da cuando un conjunto contiene a otro. Es decir, cuando todos los elementos de un conjunto A est´an incluidos en un conjunto B sin importar si todos los elementos de B est´en incluidos en A . Diremos que A es un subconjunto de B y lo B. En este caso, tambi´en podemos decir que B es un superconjunto simbolizaremos A de A . Simb´olicamente, A B a[a A a B]
⊆
⊆ ⇔ ∀ ∈ → ∈
Se utiliza la simbolog´ıa A B para indicar que A no es un subconjunto de B. Note que para que se cumpla A B, al menos uno de los elementos de A no debe estar incluido en B. Simb´olicamente, A B a[(a A) (a B)]
⇔ ∃ ∈ ∧
EJEMPLO 3.3 a) Anteriormente se dijo que no pod´ıamos decir que T = “San Salvador”, “San Miguel” era el conjunto definido por D = x x es el nombre del departamento de El Salvador cuyo nombre comienza por “San” . Una relaci´on correcta entre estos dos conjuntos es T D.
⊆
{
{ | }
}
b) C = 1, 3, 5 es un subconjunto de D = 5, 4, 3, 2, 1 ya que todo elemento de C est´a en D.
{
}
{
}
c) E = 2, 4, 6 es subconjunto de F = 6, 2, 4 , ya que cada elemento de E est´a en F . En este caso particular, E = F .
{
}
{
}
d) Sean C = 1, 2, 3, . . ., 99, 100 , I = 5, 10, 15, 20, . . ., 95, 100 , y D = 1, 2, 3, . . ., 9, 10 , puede verificarse que I C y D C . Tambi´en es posible verificar que D I ; por ejemplo, 1 D pero 1 I . Similarmente, C I , D I y I D.
}
{ ∈
⊆
}
{ ⊆
}
{
e) Los conjuntos especiales N , Z , Q y R cumplen con las siguientes relaciones: N Z Q y Q R.
⊆
⊆
⊆ Z,
Es importante no confundir las relaciones de membres´ıa vista al inicio de esta secci´on Ay con la de subconjunto. Por ejemplo, si A = a, b, c, d , e , podemos decir que c c A son proposiciones verdaderas, pero las proposiciones c A y c A son ambas B y falsas. Como otro ejemplo, si B = a, b, c , d , e , las proposiciones a B, b, c b, c , d B son todas verdaderas, mientras que las proposiciones b, c B y c B son falsas. De la misma manera que en el caso de la igualdad de conjuntos, la definici´ on simb´olica de los subconjuntos nos permite utilizar las propiedades del lenguaje matem´ atico para construir demostraciones sobre propiedades de los subconjuntos, como se muestra en los siguientes ejemplos.
{ }⊆ {{ } } ⊂
{
{ { }
}
}
∈ { } ∈ ⊆ ∈ { } ∈ { } ⊆ ∈
EJEMPLO 3.4 57
3.1 D N B ´ Demuestre que A
E M´
⊆ A para cualquier conjunto A.
Soluci´ on. Sea A un conjunto cualquiera. Por definici´on, A A significa x[( x A p que, como vimos ( x A)]. Pero el predicado ( x A) ( x A) tiene la forma p en el ejemplo 10 de la secci´on 1.4, es una tautolog´ıa. Por lo tanto, ( x A) ( x A) es verdadero sin importar el valor de x, de donde podemos concluir que x[( x A) ( x A)] es verdadera.
∈
⊆
∈ → ∈
∀ ∈ → → ∈ → ∈ ∀ ∈ → ∈
EJEMPLO 3.5 Demuestre que
∅ ⊆ A para cualquier conjunto A.
on, ) ( x Soluci´ on. Sea A un conjunto cualquiera. Por definici´ A significa x[( x A)]. Pero dado que no contiene elemento alguno, x es falso para cualquier objeto x, por lo que el condicional ( x ) ( x A) es verdadero para cualquier x, sin importar el valor de verdad del predicado x A. Por lo tanto, la proposici´on x[( x ) ( x A)] es A es verdadero. verdadera, por lo que
∅
∅⊆
∈ ∅ → ∈ ∈
∅⊆ ∈ ∅
∀
∀
∈ ∅ → ∈
∈ ∅ → ∈
EJEMPLO 3.6 Demuestre que para dos conjuntos A y B cualesquiera, A = B si y s´olo si A
⊆ B y B ⊆ A. Soluci´ on. La definici´on de A = B es ∀ x[( x ∈ A) ↔ ( x ∈ B)], mientras que A ⊆ B es definida por ∀ x[( x ∈ A) → ( x ∈ B)]. Por lo tanto, el problema pide demostrar que ∀ x[( x ∈ A) ↔ ( x ∈ B)] es l´ogicamente equivalente a la conjunci´on ∀ x[( x ∈ A ) → ( x ∈ B)] ∧∀ x[( x ∈ B) → ( x ∈ A)]. Utilizando la equivalencia l´ogica ( p ↔ q) ⇔ [( p → q) ∧ (q → p)], y la equivalencia ∀ x[ p( x) ∧ q( x)] ⇔ ∀ x[ p( x)] ∧∀ x[q( x)] del c´alculo de predicados, observamos que
A = B
como se deseaba.
⇔ ∀ x[( x ∈ A) ↔ ( x ∈ B)] ⇔ ∀ x[(( x ∈ A) → ( x ∈ B)) ∧ (( x ∈ B) → ( x ∈ A))] ⇔ ∀ x[( x ∈ A) → ( x ∈ B)] ∧ ∀ x[( x ∈ B) → ( x ∈ A)] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Los resultados de los tres ejemplos anteriores son importantes en la teor´ıa de conjuntos. El primero puede ser leido como “todo conjunto es subconjunto de si mismo”. El segundo puede leerse como “el conjunto vac´ıo es un subconjunto de todo conjunto”, mientras que el tercero nos dice que “dos conjuntos son iguales si y s´ olo si cada uno es subconjunto del otro”. Las demostraciones en los ejemplos 2, 4, 5 y 6 hacen referencia expl´ıcita a los principios l´ogicos de los dos cap´ıtulos anteriores. Con experiencia, en la pr´actica los principios l´ogicos son utilizados de una forma m´as impl´ıcita. En el cap´ıtulo ?? trabajaremos m´as con este y otro tipo de m´etodos de demostraciones matem´aticas. 58
U E S
3. T´ı C
Subconjunto Propio B, es posible que A = B. Si se desea excluir esta Cuando tenemos la relaci´on A posibilidad, se debe especificar que A es un subconjunto propio de B , simbolizado A B. Simb´olicamente,
⊆
⊂
A
⊂ B ⇔ ( A ⊆ B) ∧ ( A B)
Para simbolizar que A no es un subconjunto propio de B, utilizamos la notaci´on A Esto se cumple cuando A B o cuando A = B.
B.
Conjunto Potencia Anteriormente sugerimos que los elementos de un conjunto podr´ıan ser otros conjuntos. Por ejemplo, 1, 2 y 3, 5 son ambos elementos de 1, 2 , 3, 5 , 6 . Sea A un conjunto cualquiera, merece especial atenci´on el conjunto que contiene a todos los subconjuntos de A, el cual es llamado el conjunto potencia de A , y es simbolizado por P ( A). Por las propiedades demostradas en los ejemplos 4 y 5, sabemos que para cualquier P ( A), respectivamente. conjunto A , A P ( A) y
{ } { }
∈
{{ } { } }
∅∈
EJEMPLO 3.7 a) P ( ) =
∅ {∅} ya que ∅ es el u´ nico subconjunto de ∅. b) Si S = {a}, entonces P (S ) = {∅, {a}} c) Si S = {a, b}, entonces P (S ) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} d) Si S = {a, b, c}, entonces P (S ) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b c}}
En general, si S tiene n elementos, es posible probar que P (S ) tiene 2n elementos (ver ejercicio 18). Si S es infinito, obviamente P (S ) es tambi´en infinito.
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Escriba los siguientes conjuntos usando el m´etodo por extensi o´ n: a) b) c) d) e) f)
1 n
{ | n = 1, 2, 3, 4} {n − n | n = 0, 1, 2, 3, 4} { | n ∈ P, n es par y n < 11} {2 + (−1) | n ∈ N} {n ∈ N | n = 9} {n ∈ Z | n = 9} 2
1 n2
n
2
2
2
{ ∈ R | x = 9} h) {n ∈ N | 3 < n < 7 } i) {n ∈ Z | 3 < |n| < 7 } j) { x ∈ R | x < 0 } k) {n ∈ N | n = 3 } l) { x ∈ Q | x = 3 } m) { x ∈ R | x < 1 ∧ x ≥ 2 } n) {3n + 1 | n ∈ N ∧ n ≤ 6 } g) x
2
2
2
59
3.1 D N B ´
{ ∈ P | n es par y n ≤ 15}
n˜ ) n
2. Enumere cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
E M´ 2
{ ∈ N | n = 2} g) {n ∈ Z | 5 ≤ |n| ≤ 73 } h) {n ∈ Z | n es par y |n| ≤ 73 } i) { x ∈ Q | x = 2 } j) { x ∈ R | 0 .99 < x < 1 .00} k) {n ∈ N | n es primo} l) {n ∈ N | n es primo o par } m) {n ∈ Z | 0 ≤ n ≤ 73 } n) {n ∈ Z | 5 < n < 73 } n˜ ) { x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 73 } o) { x ∈ R | x = 2 } p) {n ∈ N | n es par} q) {n ∈ N | n es primo y par } r) {n ∈ Z | − 1 ≤ n ≤ 1 } s) [−1, 1] t) (−1, 1) u) {∅, {∅}, {∅, {∅}} , {∅, {{∅, {∅}, {∅, {∅}}}}}} f) n
2
{ ∈ N | n es divisible entre 5 } {n + 1 | n ∈ P} {2 | n ∈ N} { | n ∈ P} {r ∈ Q | 0 < r < 1 } {n ∈ N | n + 1 es primo}
a) n b) c) d) e) f)
n
1 n
3. Enumere cinco elementos adicionales para cada uno de los siguientes conjuntos: a) 1, 3, 5, 7, . . . b) c) d) e) f) g) h) i)
{ } {1, , , . . .} {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, . . .} {1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .} {−1, 2, −4, 8, . . .} {π, 4π, 7π, 10π , . . .} {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7} {−8, −5, −2, 1, 4, 7, . . .} {1, 3, 7, 15, 31, . . .} 1 3
1 9
4. Escriba descripciones formales para cada uno de los siguientes conjuntos: a) El conjunto que contiene a los n´umeros 1, 10 y 100. b) El conjunto que contiene a todos los enteros mayores que 5. c) El conjunto de los nu´ meros naturales menores que 5. d) El conjunto de mu´ ltiplos de 7. e) El conjunto que contiene nada. 5. ¿Cu´antos elementos tienen los siguientes conjuntos? Escriba para los conjuntos infinitos.
∞
a) b) c) d) e)
60
{−1, 1} {1, 2, 3, 2, 1} {1, 2, {3, 4}} {∅} {∅, {∅}}
2
6. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son vac´ıos?
{ ∈ N | x < 0 } B = { x ∈ R | x = 9 ∧ 2 x = 4 } C = { x ∈ R | x x} D = { x ∈ R | x + 8 = 8 }
a) A = x b) c) d)
2
7. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son iguales? a) r , t , s b) s, t , r , s c) t , s, t , r d) s, r , s, t
{ {
}
{ {
}
} }
8. Entre los conjuntos que siguen, ¿cu´ales son diferentes entre si? a) b) 0 c)
∅
{}
{∅}
9. Liste todos los subconjuntos de los siguientes conjuntos: a) 1, 2, 3, 4 b) 3, 1, 2 , 4 c) d) , e) P ( 1, 2 )
{ {∅}
}
{ { } } {∅ {∅}}
{ } 10. Sean V = { d }, W = { c, d }, X = { a, b, c}, Y = { a, b} y Z = {a, b, d }. Establecer la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
U E S
a) d) g) j)
⊆ ⊆ ⊆
3. T´ı C
Y X V Z V X V W
⊆
b) W Y e) V Y h) Y Z
c) W Z f) X Z i) X = W
11. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas
{ } ⊆ (0, 1) b) {0, 1} ⊆ [0 , 1] c) (0, 1) ⊆ [0 , 1] d) {0, 1} ⊆ Z e) [0, 1] ⊆ Z f) [0, 1] ⊆ Q g) h) i)
y y y
π 4 π 4 π 4
{ }
est´an en 0, 1
est´an en (0, 1) est´an en [0, 1]
{ ∈ { ∈ { { ∈
| } | } | ∈ } | − } Sea M = { r , s, t }, diga cu´ales de las afirmaciones siguientes son correctas o incorrectas:
∈ M b) r ⊆ M c) {r } ∈ M d) {r } ⊆ M Dado A = {2, {4, 5}, 4}, ¿qu´e afirmaciones a) r
14.
son incorrectas y por qu e´ ? a) 4, 5
{ } ⊆ A
⊆
15. Sean A , B , C tres conjuntos tales que A B y B C . Suponiendo que a A , b B , c C , d A, e B, y f C , ¿Cu´ales de las siguientes afirmaciones son ciertas?
∈
⊆
∈ ∈
12. De los siguientes conjuntos, ¿cu a´ l es subconjunto de cu´al? Considere las diecis e´ is posibilidades. A = n P n es impar B = n P n es primo C = 4n + 3 n P D = x R x2 8 x + 15 = 0 13.
c)
a) a C d) d B
a) 0, 1
1 2 1 2 1 2
{ } ∈ A {{4, 5}} ⊆ A
b) 4, 5
∈
b) b A e) e A
∈
∈
c) c A f) f A
16. Suponga que Ues verdaderamente un conjunto universal; es decir, Ucontiene todos los objetos posibles. Entonces, en particular, Utendr´ıa que contenerse a s´ı mismo como elemento; es decir, U U. Este es un caso inusual ya que la mayor´ıa de los conjuntos que encontramos no se contienen a si mismos como elementos. Considere ahora el “conjunto” A de todos los conjuntos que no son elementos de si mismos; es decir, A = Y Y Y . Discuta si se cumple que A A o si A A .
∈
{ | ∈
}
17. ¿Es posible encontrar un conjunto A para el cual P ( A) = ?
∅
18. Provea un razonamiento para decir que un conjunto con n elementos tiene 2 n subconjuntos. 19. Sean A, B y C conjuntos cualesquiera. Demuestre la propiedad transitiva de los B y subconjuntos, que dice que si A B C , entonces A C . (Pista: utilice un m´etodo similar a los utilizados en los ejemplos 2, 4, 5 y 6 de esta seccio´ n)
⊆
⊆
⊆
20. Sea A = x p( x) , B = x q( x) , donde p( x) y q( x) son predicados tales que x[ p( x) q ( x)]. Demuestre que A B .
∀
{ | ⇒
}
{ |
} ⊆
3.2 Operaciones con Conjuntos ....................................................................................................... Cuando hablamos de conjuntos como R o Z , sabemos que sus elementos pueden ser combinados de muchas maneras utilizando operaciones aritm´eticas como la adici´on, sustracci´on, multiplicaci´on y divisi´on para obtener otros n´umeros. As´ı mismo, cuando discuti61
3.2 O C
E M´
mos el c´alculo proposicional en el cap´ıtulo 1, vimos c´omo las disyunciones, conjunciones e implicaciones nos permiten combinar proposiciones para formar nuevas proposiciones compuestas. Similarmente, en la teor´ıa de conjuntos contamos con operaciones fundamentales que nos permiten combinar conjuntos para obtener uno nuevo. La primera operaci´on que estudiaremos nos permite, dados dos conjuntos A y B cualesquiera, formar el conjunto de todos los objetos que son miembros de A o B . Este conjunto on de A y B y es simbolizado por A B. Este conjunto puede ser descrito por es la uni´ comprensi´on de la siguiente manera:
∪
A
∪ B = { x | ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B)}
As´ı como la union ´ de conjuntos da como resultado un conjunto que contiene elementos de cualquiera de los dos conjuntos operados, la intersecci´ on de los conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos que A y B tienen en com´un. Esta operaci´on es denotada por A B y es formalmente definida por
∩
A
∩ B = { x | ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B}
La diferencia de conjuntos entre A y B, simbolizada por A B, es el conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B . Formalmente,
−
A B = x ( x A )
{ | ∈ ∧ ( x B)}
−
Finalmente, la diferencia sim´ etrica entre A y B , simbolizada por A B5 , es el conjunto de todos los elementos que est´an en A o en B, pero no en ambos al mismo tiempo. Es decir,
⊕
A B = ( A
⊕
∪ B) − ( A ∩ B)
EJEMPLO 3.8 Sean A = 2, 3, 5, 7 , B = 2, 4, 6, 8, 10 y C = 1, 3, 5, 7, 9 .
{
}
{
}
{
}
a) A B = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 . Note que esto es equivalente a agrupar a todos los elementos de A y B en un solo conjunto.
∪
{
}
´ b) A B = 2 , ya que 2 es el unico elemento que los conjuntos A y B tienen en com´un. c) d) e)
∩ { } B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } B ∩ C = ∅, ya que los conjuntos no tienen elementos en com´un. A − B = {3, 5, 7} y B − A = {4, 6, 8, 10}. Como muestra e´ ste y el siguiente literal, la
diferencia de conjuntos no es conmutativa. f) A g) h)
− C = {2} y C − A = {1, 9}. A ⊕ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. A ⊕ C = {1, 2, 9}.
5
Aunque aqu´ı se utiliza la misma simbolog´ıa utilizada para denotar al “o exclusivo” del c´alculo proposicional, el contexto normalmente dejar´a claro a qu´e operaci´on nos referimos.
62
U E S i) B
3. T´ı C
⊕ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en com´ un, como B y C del ejemplo anterior, se les llama conjuntos disjuntos. Hay dos observaciones importantes con respecto al ejemplo anterior. La primera es que aunque 2 es elemento de ambos conjuntos, no es necesario escribirlo dos veces al listar los elementos de A B ya que el n´umero de veces que aparece listado un elemento es irrelevante. La segunda es que aunque las respuestas muestran los n´umeros en order ascendente, esto no es necesario ya que el orden en que aparecen los elementos es igualmente irrelevante. Ambas observaciones se hicieron al introducir el m´etodo por extensi´on de descripci´on de conjuntos y se repiten ac´a como recordatorio para el lector.
∪
EJEMPLO 3.9 Sean A = n N Entonces,
{ ∈ | n ≤ 11}, B = {n ∈ N | n es par y n ≤ 20} y E = {n ∈ N | n es par}.
A
∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 20} A ∩ B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A − B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} B − A = {12, 14, 16, 18, 20} E ∩ B = B B − E = ∅ E − B = {n ∈ N | n es par y n ≥ 22 } = {22, 24, 26, 28, . . . } N − E = {n ∈ N | n es impar} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} A ⊕ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20 }.
Un caso especial de las operaciones presentadas es aquel en el que uno de los conjuntos es el conjunto vac´ıo. La union ´ de un conjunto con el conjunto vac´ıo sera´ siempre el mismo conjunto, mientras que la intersecci´on entre un conjunto y el conjunto vac´ıo siempre ser´ a el conjunto vac´ıo. Se deja al lector la demostraci´ on de estos casos (ver ejercicio 13). El siguiente ejemplo muestra a la uni´on, la intersecci´on y la diferencia aplicadas a intervalos.
EJEMPLO 3.10 Sean A , B y C los conjuntos del ejemplo 8 y D = (0 , 8), E = ( 5, 0] y F = (5 ,
−
∞).
´ a) D E = ( 5, 8) y D E = . En este ultimo, note que aunque el 0, que a primera vista pareciera ser el u´ nico elemento com´un entre E y D, es elemento de E , pero no es un elemento de D , por lo que no se encuentra en su intersecci´on.
∪
b) D
−
∩
∅
∪ F = (0, ∞) y D ∩ F = (5, 8). 63
3.2 O C
E M´
0 (
8 )
5 (
Figura 3.1: Los intervalos (0, 8) y (5,
∞) representados sobre la recta num´erica.
c) E F = (0, 8) (5, ) y E F = . En el caso de E F , ya que la respuesta no nos da un intervalo cont´ınuo, es necesario dejarla expresada en t´ erminos de la uni´on.
∪
∪ ∞
∩
∅
∪
d) A e)
∪ D = (0, 8) y A ∩ D = {2, 3, 4, 7}. B ∪ D = (0 , 8] ∪{10} y B ∩ D = {2, 4, 6}. Note que en la respuesta de B ∪ D, el resultado
debe incluir al n´umero 8, que aunque no se encuentra en D , s´ı se encuentra en B .
f) D F son todos aquellos reales que se encuentran en D pero no en F . Ya que F incluye a todos los reales mayores que 5, estos no pueden ser parte de la respuesta. As´ı, D F = (0 , 5]. g)
− − F − D = [8 , ∞), ya que todos los n´umeros menores que 8 pertenecen a D , y por lo tanto
no pueden pertenecer a la respuesta.
h) D F nos pide la diferencia ( D F ) ( D F ), pero sabemos que D que D F = (5 , 8), de donde D F = (0 , 5] [8, ).
⊕
∩
∪ − ∩ ⊕ ∪ ∞
∪ F = (0, ∞) y
Una manera sencilla de realizar las operaciones con intervalos es grafic´andolas sobre la recta num´erica, como se muestra en la figura 3.2. El intervalo (0, 8) est´a marcado por l´ıneas inclinadas hacia la derecha, mientras que ( 5, ) se encuentra marcado por l´ıneas hacia la izquierda. La parte de la recta marcada de cualquiera de las dos formas representa a la uni´on de estos intervalos. La parte marcada de ambas maneras al mismo tiempo representa su intersecci´on. La diferencia estar´a representada por la parte de la recta que se encuentre marcada de una forma pero no de la otra. Por ejemplo, (0, 8) ( 5, ) estar´a marcada por l´ıneas hacia la derecha unicamente. ´ Finalmente, la diferencia sim´etrica est´a representada por la parte de la recta que se encuentra marcada de exactamente una forma.
− ∞
−− ∞
EJEMPLO 3.11 Sean los intervalos [0, 2] y (0, 1], entonces:
∪ [0, 2] = [0, 2] b) (0, 1] ∩ [0, 2] = (0 , 1] c) (0, 1] − [0, 2] = ∅ d) [0, 2] − (0, 1] = {0} ∪ (1, 2] e) [0, 2] − (0, 2) = {0, 2} a) (0, 1]
A partir de las definiciones formales de las operaciones presentadas hasta ahora, es 64
U E S
3. T´ı C
posible demostrar algunas de sus propiedades, como lo muestran los siguiente ejemplos:
EJEMPLO 3.12 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Demuestre que A B A. Soluci´ on. Utilizando la definici´o n de subconjunto en la secci´on 3.1, sabemos que A B A x A ). Por lo tanto, debemos demostrar que si x A B se define como x( x A B A. Pero si x A B, entonces x Ay x B, de para un x cualquiera, entonces x ´ A, lo que completa la prueba. Note que este ultimo donde x paso utiliza la tautolog´ıa p. ( p q)
∩ ⊆
∀ ∈ ∩ → ∈ ∈
∈ ∧ →
∈ ∩
∈
∩ ⊆ ∈ ∩ ∈
EJEMPLO 3.13 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Demuestre que A A B. Soluci´ on. Usando la definici´on formal de subconjuntos, tenemos que x( x A x A B ), por lo que debemos demostrar que si x A, entonces x A B. Pero si x A, entonces x A o x B, de donde x A B, lo que completa la prueba. Note que este u´ ltimo paso utiliza la tautolog´ıa p ( p q).
⊆ ∪
∪
∈
∈
∈ ∪ → ∨
∈
∀ ∈ → ∈ ∈ ∪ ∈
EJEMPLO 3.14 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Demuestre que A B si y s´olo si A B = A. ogica p q ( p q ) (q Soluci´ on. Utilizaremos la equivalencia l´ p) para partir el problema en dos casos que demostraremos de manera separada:
⊆ ∩ ↔ ⇔ → ∧ →
( A B) ( A B = A ) Recuerde que en la secci´on 3.1 vimos que para demostrar una igualdad de conjuntos como A B = A es necesario demostrar que A B A y que A A B. En el ejemplo 12 demostramos que la primera de estas inclusiones es cierta sin importar cu´ales A B son los conjuntos A y B. Por lo tanto, u´ nicamente debemos demostrar A B. Para demostrar A A B, que formalmente dice a partir de la hip´otesis A x A B ), comenzamos por tomar a un x A cualquiera. Para que x( x A demostrar x A B , debemos demostrar que x A y x B, pero ya que sabemos que x A, entonces s´olo debemos probar que x B. Pero ya que x A y A B (es decir, x( x A x B)), por modus ponens tenemos que x B, lo que completa la demostraci´on.
⊆ → ∩ ∩
∩ ⊆
⊆ ∀ ∈ → ∈ ∩ ∈ ∩ ∈ ∀ ∈ → ∈
⊆ ∩
⊆ ∩ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
⊆ ∩ ⊆
( A B = A) ( A B) Esta parte se deja como ejercicio al lector (ver ejercicio 13c). La t´actica para esta demostraci´on sigue el mismo patr´ on de la demostraci´ on de su conversa: para concluir otesis A B = A. A B tomamos a un x A cualquiera y utilizamos la hip´
∩
⊆
→ ⊆
∈
∩
Hay tres conceptos importantes ilustrados en el ejemplo anterior. Primero, para demostrar que un conjunto A es un subconjunto de B se toma una variable como x para representar a un elemento cualquiera de A. Este elemento, aunque no se refiere a un elemento espec´ıfico de A, permanece fijo en la demostraci´on. Luego se deduce, a trav´es de 65
3.2 O C
E M´
m´etodos que dependen del problema espec´ıfico, que esta x debe ser un elemento de B . La efectividad de este m´etodo responde a la naturaleza de la definici´ on de A B, que nos dice que todo elemento de A debe tambi´en ser elemento de B. Es posible utilizar la generalizaci´on universal vista en la secci´on 2.4 para comprobar que una expresi´on cuantificada universalmente debe ser verdadera tomando un elemento arbitrario x y demostrando que dicho x cumple con las propiedades requeridas. Como se discuti´o en dicha secci´on, es extremadamente importante que el x seleccionado sea un elemento cualquiera de A, y no un elemento espec´ıfico del mismo. Aunque tomar valores espec´ıficos de x ayuda a tener una idea del comportamiento del problema y muchas veces ayuda a visualizar la soluci´on, no es suficiente para concluir que lo que queremos demostrar se cumple para todos los casos. Segundo, este es la primera demostraci´ on en la cual la conclusi´on ( A A B en el primer caso) es precedida por alguna hip´otesis ( A B). Una t´actica importante en estos casos es enfocarse primero en la conclusi´ on deseada, en lugar de las hip´otesis. En este ejemplo, nuestro primer paso fue seleccionar un elemento arbitrario de A y tratar de demostrar que deb´ıa tambi´en ser elemento de A B. La hip´otesis s´olo fue utilizada durante la prueba cuando se consider´o conveniente. Finalmente, el tercer concepto, basado en el resultado del ejemplo 6, es que la igualdad on mutua. Es decir, para demostrar de conjuntos puede ser demostrada utilizando la inclusi´ B y que B A. En el siguiente ejemplo se muestra que A = B, probamos que A otra t´ecnica que utiliza una serie de sustituciones por equivalencias l´ogicas para lograr el mismo objetivo, eliminando as´ı la necesidad de escribir dos demostraciones diferentes.
⊆
⊆ ∩
⊆
∩
⊆
⊆
EJEMPLO 3.15 Demuestre que para tres conjuntos A , B y C cualesquiera, A ( B C ) = ( A B) ( A C ). Soluci´ on. De la secci´on 3.1 sabemos que la igualdad anterior la podemos escribir como
∩ ∪
∩ ∪ ∩
∀ x[ x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ↔ x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )] Por lo tanto, basta seleccionar un x cualquiera y utilizar a´ lgebra de proposiciones y las definiciones formales de la uni´on e intersecci´on para demostrar la igualdad dada. De aqu´ı que: x A
∈ ∩ ( B ∪ C ) ⇔ ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B ∪ C ) ⇔ ( x ∈ A) ∧ [( x ∈ B) ∨ ( x ∈ C )] ⇔ [( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)] ∨ [( x ∈ A) ∧ ( x ∈ C )] ⇔ ( x ∈ A ∩ B) ∨ ( x ∈ A ∩ C ) ⇔ x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
Ya que
∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇔ x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
x
sabemos que x
∈ A ∩ ( B ∪ C ) ↔ x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
66
U E S
3. T´ı C
debe ser una tautolog´ıa, por lo que se cumple para cualquier x. De aqu´ı que la expresion ´ cuantificada que deb´ıamos demostrar es siempre cierta. La uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos son operaciones binarias, ya que se obtiene el resultado combinando dos operandos. Sin embargo, nuestra tercera operaci´ on ser´a una operaci´on unaria que act´ua sobre un solo conjunto. Con respecto a un conjunto universal Udado, el complemento del conjunto A es el conjunto que contiene a todos los elementos de Uque no se encuentran en A. Este conjunto es denotado por A y definido por A = x ( x
{ | ∈ U) ∧ ( x A)}
Por ejemplo, si el conjunto universal es N , el complemento del conjunto de todos los n´umeros pares positivos es el conjunto de n´ umeros impares positivos. As´ı mismo, si el conjunto universal es R , el complemento de los n´ umeros racionales ser´a el conjunto de los n´umeros irracionales. Es por esto que los irracionales normalmente se simbolizan por Q . Viendo de cerca la definici´on formal del complemento notamos que es exactamente igual a la de B A, excepto que B = U. De aqu´ı que
−
A = U
− A
De acuerdo a esto, el complemento es un caso especial de la diferencia.
EJEMPLO 3.16 Sean U = 1, 2, 3, . . . , 9, 10 , A = 2, 3, 5, 7 , B = 2, 4, 6, 8, 10 y C = 1, 3, 5, 7, 9 .
{
}
{
}
{
}
{
}
a) A = 1, 4, 6, 8, 9, 10
{ } b) B = {1, 3, 5, 7, 9} = C c) C = {2, 4, 6, 8, 10 } = B
Los literales (b) y (c) sugieren que el doble complemento de un conjunto es el conjunto mismo. Vea en el ejemplo 19 la demostraci´on general de esta propiedad.
EJEMPLO 3.17 Sean U = N, A = n N n 11 . A contiene a los n´umeros naturales menores o iguales que 11, por lo que A es el conjunto de los naturales mayores que 11. Es decir, A = n N n 12 .
{ ∈ { ∈ | ≥ }
| ≤ }
EJEMPLO 3.18 Sea R el conjunto universal, calcule el complemento de los conjuntos A = (0, 8), B = [ π, π], C = ( , 0) y D = [0 , ). Soluci´ on. A es el conjunto de todos los n´umeros reales que no se encuentran entre 0 y 8, inclusive. Es decir, A contiene a todos los n´umeros menores que 0 y todos aquellos
−
−∞
∞
67
3.2 O C
E M´
mayores que 8. Por lo tanto, A = ( , 0). C = [0 , ) y D = (
∞
−∞
−∞, 0] ∪ [8, ∞). Similarmente, B = (−∞, −π) ∪ (π, ∞),
Note que en el contexto de un conjunto universal espec´ıfico como dominio del discurso, un elemento estar´a en el complemento de un conjunto A si y s´olo si no es un elemento de A . Es decir, debe cumplirse que
∀ x( x ∈ A ↔ x A ) Como se muestra en los siguientes ejemplos, este hecho ser´ a util al realizar demostraciones sobre las propiedades de esta operaci´on.
EJEMPLO 3.19 Demuestre que para cualquier conjunto A , A = A . Soluci´ on. Ya que la igualdad es expresada por un cuantificador universal, demostraremos que debe ser cierta para un elemento cualquiera. En particular, para un x A cualquiera,
∈
∈ ⇔ x A ⇔ ¬( x ∈ A) ⇔ ¬( x A) ⇔ ¬(¬( x ∈ A)) ⇔ x ∈ A
x A
lo que concluye la demostraci´on.
El siguiente ejemplo muestra la t´ecnica apropiada para demostrar una conclusi´on de la forma α = , la cual no puede seguir el mismo m´etodo que hemos utilizado para las demostraciones de igualdad hasta ahora. Siguiendo la l´ınea de los ejemplos anteriores, para demostrar que α = deber´ıamos demostrar que α y que α. Se demostr´o en el ejemplo 5 que el segundo de estos casos se cumple sin importar qu´ e conjunto es α, por lo que no es necesario demostrarlo de nuevo. Sin embargo, para demostrar que α no podemos seleccionar un elemento x α cualquiera y llegar a que x ya que, por definici´on, no existe alg´un x que cumpla dicha conclusi´on. En su lugar, realizaremos una on. Para demostrar que α = , comenzamos asumiendo que x α y prueba por contradicci´ mostramos que esto lleva a una contradicci´o n. Este m´e todo se estudiar´a m´as detenidamente en el siguiente cap´ıtulo.
∅
∅
⊆ ∅
∈
∅ ⊆
∈ ∅
∅
⊆ ∅
∈
EJEMPLO 3.20 Demuestre que para cualquier conjunto A , A A = . Soluci´ on. Suponga que x A A . Entonces x A y x A , por lo que x A y x A . Ya que esta proposici´on compuesta tiene la forma de una contradicci´on ( p p), la suposici´on original debe ser falsa y, por lo tanto, la conclusi´on es verdadera.
∈ ∩
68
∩
∈
∅
∈
∧¬
∈
U E S
3. T´ı C
EJEMPLO 3.21 Demuestre que para dos conjuntos A y B cualesquiera, si A B, entonces A B = . on. Soluci´ on. Como en el ejemplo anterior, nuestro objetivo es llegar a una contradicci´ Comenzaremos enfoc´andonos en la conclusi´on, por lo que primero asumiremos que x ( A B), de donde x[( x A) ( x B )] es verdadera (por generalizaci´on existencial). Pero,
⊆
−
∃
−
∅
∈
∈ ∧ ∈
∃ x[( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B )] ⇔ ∃ x[( x ∈ A ) ∧ ( x B)] ⇔ ∃ x[( x ∈ A ) ∧ ¬( x ∈ B)] ⇔ ∃ x[¬( x ∈ A → x ∈ B)] ⇔ ¬∀ x[ x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ¬( A ⊆ B) por lo que nuestra suposici´ on inicial que x ∈ ( A − B) nos lleva a contradecir nuestra hip´otesis A ⊆ B. De aqu´ı que debemos concluir que A ∩ B = ∅, como se deseaba. Ejercicios ....................................................................................................... 1. Sea U = 1, 2, 3, 4, . . ., 12 , A = 1, 3, 5, 7, 9, 11 , B = 2, 3, 5, 7, 11 , C = 2, 3, 6, 12 y D = 2, 4, 8 , determine los siguientes conjuntos: a) C C b) A B c) A C d) A B e) C D f) ( A B) C g) A C h) ( B C ) C
{ } { { }
}
} }
{ {
∪ ∩ − −
2.
∪ − ∪ ∩ ∩ ∪ Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}, encuentre: a) A c) A C e) ( A B) g) ( A ) i) C ( B A) k) C ( B A) m) (C B) A
∩ ∪ − − ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
b) d) f) h) j) l) n)
B ( A A ( B (C (C (C
∩ C ) ∪ B − C ) − B) − A − B) ∩ (C − A) ⊕ B) ∩ (C ⊕ A)
3. Sean U = R, A = [0, 3] y B = [2, 6]. Determine los siguientes conjuntos: a) A B b) A B c) A B d) A B
∩ −
∪ −
e) ( A B ) g) A B i) A
− ∪ ∩∅
f) ( A h) A
∪ B)
4. Sean U = R, A = [2, 9), B = (0, 1], C = [ 1, 4]. Determine los siguientes conjuntos: a) A C b) A C c) A B d) A B e) B C f) B C g) ( A B) C h) A C j) C A i) C A k) B A l) B C
−
∩ ∩ ∩ ∪ − − −
∪ ∪ ∪ − − −
5. Sean U = R, A = ( , 6], B = ( 3, ) y C = ( 4, 1) (3, 7). Calcule: a) A B b) A B c) A B d) A C e) B C f) A C g) ( A C ) h) C A j) ( A B ) C i) A C k) A ( B C ) l) ( A B) C m) A ( B C ) n) ( A B) ( A C )
− ∪ ∩ − ∩ ∪ ∩ ∩ ⊕ ⊕ ⊕
−∞
− ∞
∪ ∩ ∪ − ∩ ∩ ⊕ ⊕ ∩ − −
6. Sean A el conjunto de estudiantes de la UES
69
3.2 O C
E M´
que viven en San Salvador y B el conjunto de los estudiantes de la UES que almuerzan en la universidad. Considere al conjunto de estudiantes de la UES como el conjunto universal. Describa en palabras el resultado de las siguientes operaciones. a) A B b) A B c) A B d) B A e) A B f) A g) B h) ( A B) j) ( A B ) i) ( A B) k) A B
∩ − ⊕ ∪ −
∪ − ∩ −
7. Sean A el conjunto de estudiantes de la UES en la Escuela de Matem´atica y B el conjunto de estudiantes de la UES que cursan L´ogica Matem´atica. Considerando al conjunto de estudiantes de la UES como el conjunto universal, describa los siguientes conjuntos en t´erminos de A y B . a) El conjunto de estudiantes de la Escuela de Matem´atica que cursan Lo´ gica Matem´atica. b) El conjunto de estudiantes de la Escuela de Matem´atica que no cursan L´ogica Matem´atica. c) El conjunto de estudiantes de la UES que est´an en la Escuela de Matem´atica o que cursan L´ogica Matem´atica. d) El conjunto de estudiantes de la UES que o no est´an en la Escuela de Matem a´ tica o que no cursan L o´ gica Matem´atica. e) El conjunto de estudiantes de la UES que ni est´an en la Escuela de Matem a´ tica ni cursan L´ogica Matem´atica.
}
∩ B ∩ C ?
11. Sea U = 1, 2, 3, . . ., 9, 10 . Encuentre subconjuntos A , B , C y / o X de Uque contradigan las igualdadas listadas.
{
}
− ( B − C ) = ( A − B) − C b) ( A − B ) = A − B c) A − ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) − C d) A ⊕ B = A ∪ B e) B ∪ ( A − B) = A f) Si X ⊆ A, entonces X ∪ ( A ∩ B ) = ( X ∪ A) ∩ B. a) A
12. Encuentre subconjuntos espec´ıficos A , B , C y / o X de Upara los cuales se cumplan las igualdades listadas en el ejercicio anterior. 13. Demuestre que las siguientes proposiciones se cumplen para dos conjuntos A , B y C cualesquiera utizando equivalencias l o´ gicas y las demostraciones formales de las operaciones. a) A B b) c) d ) e) f ) g) h) i) j)
− ⊆ A A ⊆ B si y s o´ lo si B ⊆ A . Si ( A ∩ B = A ), entonces ( A ⊆ B ) ( A ∪ B = B ) si y s´olo si A ⊆ B . A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅ = A A ∩ ( B − A) = ∅ A ∩ ( B ∪ A ) ⊆ A ∩ B Si A ⊆ B y A ⊆ C , entonces A ⊆ B ∩ C . Si A ⊆ C y B ⊆ C , entonces A ∪ B ⊆ C .
8. Si A B = 4, 6, 8 , B A = 3, 5, 7 y B A = 2, 10 , ¿Qu´e elementos forman a A y B ?
14. ¿Qu´e se puede decir de los conjuntos A y B si se cumplen las siguientes condiciones? a) A B = A b) A B = A c) A B = A d) A B = B A e) A B = A B f) A B = A B g) A B = A
9. Si A B = 1, 2, 3, 4, . . ., 9, 10 y A B = 4, 5, 6 , ¿Qu´e elementos contiene A B ?
15. Sean A, B y C tres conjuntos tales que A C = B C . ¿Deber´ıa cumplirse que A = B ?
∩
}
− ∪
10. Si A
70
16 , ¿Qu´e elementos contiene A
{
{
{
}
} −
{
}
⊕
}
∩
{
∩ B = {3, 6, 9, 12} y A ∩ B = {4, 8, 12,
∪ − ∩ ⊕
⊕
∪
∩ − ⊕
− −
⊕
U E S
3. T´ı C
U A
B
(a) A
U A
∪ B
B
(b) A
∩ B
U A
B
(c) A
− B
U A
(d) A
Figura 3.2: Diagramas de Venn representando las operaciones (a) uni´on, (b) intersecci´on, (c) diferencia y (d) complemento.
3.3 Diagramas de Venn ....................................................................................................... ´ para representar conjuntos y todas las posibles relaciones entre ellos Una forma util es utilizar ilustraciones llamadas diagramas de Venn, inventados por John Venn en 1881, donde los conjuntos corresponden a regiones del plano dentro de un rect´angulo correspondiente al conjunto universal. Estas regiones normalmente son circulares, pero es posible utilizar otras figuras geom´etricas6 . La figura 3.3 muestra ejemplos de diagramas de Venn para las operaciones de la secci´on anterior. Los diagramas se vuelven un poco m´as complicados cuando se utilizan para representar la interacci´on de m´as de dos conjuntos. Por ejemplo, la figura 3.3 muestra el diagrama de Venn para A ( B C ). Para construirlo, primero debe marcarse la uni´ on de B con C (fig. 3.3a), luego se marca de una forma diferente al conjunto A (fig. 3.3b). Las partes que est´en marcadas de ambas formas constituyen la intersecci´ on entre esas dos a´ reas (fig. 3.3c). Los diagramas de Venn son normalmente usados para sugerir propiedades sobre las operaciones de conjuntos, o como una manera de probar la igualdad entre dos conjuntos. A. Esto se visualiza Como muestra de esto, en el ejemplo 12 se demostr´o que A B en la figura 3.2b ya que la regio´ n sombreada para la intersecci´on de A y B se encuentra totalmente contenida dentro de A. As´ı mismo, el resultado del ejemplo 13 que A A B puede observarse en la figura 3.2a ya que A se encuentra totalmente contenido dentro de
∩ ∪
∩ ⊆
⊆ ∪
6
De hecho, es necesario utilizar otras figuras cuando se representan ma´ s de 3 conjuntos sobrelapados.
71
3.3 D V
E M´
U A
U
B
A
B
C
C
(a)
(b)
U A
B
C
(c)
Figura 3.3: Construcci´on del diagrama de Venn para A
∩ ( B ∪ C )
la uni´on de A y B . El siguiente ejemplo muestra c´ omo pueden utilizarse los diagramas de Venn para demostrar la igualdad de dos conjuntos.
EJEMPLO 3.22 Demuestre por medio de diagramas de Venn que A ( B C ) = ( A B) ( A C ). Soluci´ on. La figura 3.3c muestra la regi´on que representa a A ( B C ). Para demostrar que la igualdad es verdadera, dibujamos el diagrama de Venn para ( A B) ( A C ) y mostramos que el resultado cubre exactamente la misma area ´ que en la figura 3.3c. La figura 3.4a muestra dicho diagrama. La zona marcada con l´ıneas verticales representa a A C , mientras que la zona marcada con l´ıneas horizontales representa a A B. La uni´on entre ellas, por lo tanto, es representada por el a´ rea que est´a marcada de cualquiera de las dos formas. Esta regi´on es exactamente igual a la marcada en la figura 3.3c, por lo que la igualdad se cumple.
∩ ∪
∩
∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩
As´ı como los diagramas de Venn son utiles ´ para demostrar la igualdad de dos conjuntos, tambi´en puede sugerir la falsedad de una proposici´on, como en el siguiente ejemplo.
72
U E S
3. T´ı C
U A
U
B
A
C
B
C
(a) ( A B)
∩ ∪ ( A ∩ C )
(b) ( A B)
∩ ∪ C
Figura 3.4:
EJEMPLO 3.23 Demuestre o refute que A
∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ C . Soluci´ on. El diagrama de Venn para ( A∩ B)∪C se muestra en la figura 3.4b. La intersecci´on
entre A y B est´a marcada con l´ıneas horizontales, mientras que C con l´ıneas verticales, por lo que la uni´on entre ellas est´a representada por el a´ rea marcada de alguna de las dos formas. Esta a´ rea es claramente diferente de la mostrada en la figura 3.3c para A ( B C ). De hecho, todos aquellos elementos que se encuentren en C pero no en A estar´an en ( A B) C pero no en A ( B C ). En efecto, el lector puede verificar que para los conjuntos A = 1, 2, 3, 4 , B = 2, 3, 5, 6 y C = 3, 4, 6, 7 se cumple que A ( B C ) ( A B) C .
∩ ∩
∪ {
}
∩ ∪ { }
{
}
∩ ∪
∩ ∪
∩
J V (1834-1923) fue un l´ogico y fil´osofo Brit´anico. Hijo del reverendo Henry Venn, de familia destacada en el movimiento evang´elico Cristiano, y de Martha Sykes, quien muri´o cuando John era a´un joven. John fue educado estrictamente, y nunca se dud´o que seguir´ıa la tradici´on familiar de convertirse en sacerdote. En 1953 ingres´o al Caius College, Cambridge, donde gan´o una beca en matem´aticas y obtuvo su t´ıtulo en 1857. Fue elegido como profesor del Caius College poco despu´es de su graduaci´on, puesto que mantuvo hasta el final de su vida. Se orden´ o como sacerdote en 1959, y luego de un corto per´ıodo de trabajo religioso regreso´en 1962 a Cambridge como profesor de moral. En 1867 Venn se cas´o con Susanna Carnegie Edmonstone, hija del reverendo Charles Edmonstone. Tuvieron un hijo, John Archibald Venn, quien se convirti´o en presidente del Queen’s College en 1932 y se uni´o en extensos proyectos de investigaci´on con su padre. La lo´ gica fue el ´area principal de inter´es de Venn, extendiendo la l´ogia matem´atica de Boole y publicando ogica de la Casualidad que introdujo la interpretaci´on de frecuencias de tres libros en la materia. Escribi´o La L´ la probabilidad en 1866; L ogica ´ Simb´ olica, donde present´o un desarrollo sistem´atico de un m´etodo que utiliogica za figuras geom´etricas, ahora conocidas como los diagramas de Venn, en 1881; y Fundamentos de la L´ Emp´ırica en 1889. Venn tambi´en se interes´o en la historia, escribiendo sobre su familia y sobre el pasado de su Universidad, conteniendo estos u´ ltimos trabajos listas bibliogr´aficas con cerca de 140,000 nombres, comprendiendo el per´ıodo de 1751 a 1900. Su hijo lo describe como “de constituci´on f ´ısica ligera, fue toda su vida un buen caminante y escalador de monta˜nas, un gr´an bot´anico, y un excelente conversador y ling¨uista”.
73
3.3 D V
E M´
U A
U
B
A
B
C
C
(a)
(b)
U A
U
B
A
B
C
C
(c)
(d)
Figura 3.5:
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Siendo A y B conjuntos no disjuntos de un conjunto universal no vac´ıo, dibuje diagramas de Venn para los siguientes conjuntos:
∪ B) ∩ ( A ∪ B ) A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B ) A − ( B − C ) = ( A − B) − C ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) = U ( A − B ) = A − B A ∪ ( B − A) = A ∪ B ( A − B ) = A ∪ B A − B = A ∩ B A − ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) − C A − ( B ∪ C ) = ( A − B) ∩ ( A − C ) A − ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) − C A − ( B ∩ C ) = ( A − B) ∪ ( A − C )
a) A B
a) A = ( A
b)
b)
c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
74
2. Utilizando diagramas de Venn, demuestre o refute las siguientes proposiciones para todo conjunto A , B y C .
⊕ ( A ∩ B) ( B − A) A ∩ B A ∩ B A ∪ B A ∪ B ( A ∪ B) ∩ C ( A ∪ B) ⊕ C ( A ∩ B) − C A ∩ B ∩ C A ∩ B ∩ C
c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
U E S
− − C = ( A − C ) − ( B − C ) n) A − ( B − C ) = ( A − B) − C n˜ ) A ⊕ B = ( A ∪ B) − ( A ∩ B ) o) A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A) p) A ⊕ B = A ∪ B q) A ⊕ ( B ⊕ C ) = ( A ⊕ B) ⊕ C r) A ⊕ B = ( A ∪ B) − ( A ∩ B ) s) B ∪ ( A − B) = A t) ( A ⊕ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ⊕ ( B − C ) u) ( A ⊕ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ⊕ ( B ∩ C ) v) ( A ⊕ B) − C = ( A − C ) ⊕ ( B − C ) w) ( A ∪ B) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( B − A) x) ( A ∩ B) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( A − B) y) ( A − B) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( A ∩ B) m) ( A B)
3. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, con A B. Demuestre las siguientes igualdades utilizando diagramas de Venn.
⊆
a) A b)
∪ B = B A ∩ B = A
3. T´ı C
∪ ( B − A) A ∩ B = ∅
c) B = A d)
4. Escriba expresiones correspondientes a cada uno de los diagramas mostrados en la figura 3.5. 5. Sean A, B y C tres conjuntos no vac´ıos, dibuje diagramas de Venn con las siguientes caracter´ısticas: a) A b) c)
⊆ B , C ⊆ B, A ∩ C = ∅ A ⊆ B , C B , A ∩ C = ∅ A ⊆ C , A C , B ∩ C = ∅
d) A
⊆ ( B ∩ C ), B ⊆ C , C B , A C
6. ¿Qu´e se puede concluir sobre los conjuntos A, B y C si ( A B ) C = A ( B C )?
∩ ∪
∩ ∪
7. ¿Cu´antas regiones deber´ıa tener un diagrama de Venn basado en cuatro conjuntos A , B , C y D? Dibuje un diagrama de Venn que contenga dicho n´umero de regiones.
´ 3.4 Algebra de Conjuntos ....................................................................................................... En la secci´on 3.2 vimos c´omo las operaciones de conjuntos nos permit´ıan combinar conjuntos para obtener uno nuevo. Esto en analog´ıa con las operaciones aritm´eticas sobre los conjuntos R o Z, o con los conectivos l´ogicos del a´ lgebra proposicional. Al igual que en ambos sistemas, las operaciones sobre conjuntos poseen ciertas propiedades que nos permiten encontrar expresiones equivalentes que pueden ser de m´as utilidad en ciertas situaciones o que simplemente nos permiten obtener el resultado de una expresi´ on dada realizando menor cantidad de operaciones. Por ejemplo, si en un problema se nos pidiese calcular A B y se dispusiera u´ nicamente de los elementos de los conjuntos A y B, pero no del U, a primera vista no ser´ıa posible encontrar una respuesta ya que sin el conjunto universal no se tendr´ıa informacion ´ suficiente para calcular B . Sin embargo, utilizando las propiedades de los conjuntos podr´ıamos encontrar la identidad A B = A B, de donde la respuesta puede ser calculada sin necesidad de conocer el conjunto universal. La tabla 3.1 muestra algunas propiedades b´asicas de los conjuntos. El lector notar´a la similitud entre esta tabla y la tabla 1.1. Al igual que en el a´ lgebra de proposiciones, las operaciones de la tabla 3.1 pueden ser aplicadas a expresiones m´as complejas, donde cualquiera de los conjuntos puede ser reemplazado por otras expresiones y la identidad resultante seguir´a siendo v´alida. Como se mencion´o en la secci´on 1.5, es importante notar
−
−
∩
75
´ C 3.4 A # 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
E M´ Regla ( A ) = A a) A B = B A b) A B = B A c) A B = B A a) ( A B) C = A ( B b) ( A B) C = A ( B c) ( A B) C = A ( B a) A ( B C ) = ( A B) b) A ( B C ) = ( A B) a) A A = A b) A A = A a) A =A b) A U = A a) A U = U b) A = a) A A = U b) A A = a) U = b) = U a) ( A B) = A B b) ( A B) = A B A B = A B a) A B = ( A B) ( B b) A B = ( A B) ( A
∪ ∪ ∩ ∩ ⊕ ⊕ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ⊕ ⊕ ⊕ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪∅ ∩ ∪ ∩ ∅ ∅ ∪ ∩ ∅ ∅ ∅ ∪ ∩ ∩ ∪ − ∩ ⊕ − ∪ ⊕ ∪ −
∪ C ) ∩ C ) ⊕ C ) ∩ ( A ∪ C ) ∪ ( A ∩ C )
Nombre Doble Complemento Leyes Conmutativas
Leyes Asociativas
Leyes Distributivas Leyes de idempotencia Leyes de identidad Leyes de dominaci´on Leyes de complemento
Leyes de De Morgan
− A) ∩ B)
Tabla 3.1: Algunas propiedades b´asicas de las operaciones de conjuntos.
que las identidades listadas muestran la forma de las mismas, por lo que se hace necesario entender su significado. Las leyes conmutativas nos dicen que el orden de los operadores en la uni´on, intersecci´on y en la diferencia sim´etrica no es importante. Las leyes asociativas dicen que, con la uni´on, intersecci´on y diferencia sim´etrica, el orden en que se realicen las operaciones tampoco es importante. Las leyes distributivas muestran que la intersecci´ on puede ser distribuida sobre la uni´on y viceversa. Las leyes de idempotencia, identidad, dominaci´ on y complemento nos muestran el resultado de realizar uniones e intersecciones entre un con junto y s´ı mismo, un conjunto y el conjunto universal o el conjunto vac´ıo, y un conjunto con su complemento. Algunas de las identidades de la tabla 3.1 ya han sido demostradas utilizando los m´etodos descritos en las secciones anteriores. La complementaci´on doble y una de las leyes de dominaci´on fueron demostradas en los ejemplos 19 y 20, respectivamente, utilizando ar76
U E S
3. T´ı C
gumentos l´ogicos. La posibilidad de distribuir a la intersecci´on sobre la uni´on fue demostrada utilizando equivalencias l´ogicas en el ejemplo 15 y utilizando diagramas de Venn en el ejemplo 22. Como muestran los siguientes ejemplos, las identidades de la tabla 3.1 proveen de un nuevo m´etodo para demostrar otras identidades de conjuntos.
EJEMPLO 3.24 Demuestre que para tres conjuntos A , B y C cualesquiera, [ A ( B C )] = ( C B ) A. etodos vistos en Soluci´ on. Es posible demostrar esta igualdad por cualquiera de los dos m´ las secciones anteriores o por las propiedades de la tabla 3.1:
∪ ∩
Por inclusiones mutuas, es necesario demostrar que [ A de (C B ) A y viceversa. a)
b)
∪
−
∪ ( B ∩ C )] es subconjunto
∪ − [ A ∪ ( B ∩ C )] ⊆ (C ∪ B ) − A Si x ∈ [ A ∪ ( B ∩ C )] , entonces x [ A∪( B∩C ) ], por lo que x no puede pertenecer ni a A ni a B ∩ C . Luego si x no pertenece a C y a B al mismo tiempo, entonces o x C o x B, de donde x ∈ C o x ∈ B , as´ı que x ∈ (C ∪ B ). Pero si x pertenece a C ∪ B y no pertenece a A , entonces debe pertenecer a la diferencia entre ellos. Es decir, x ∈ [( B ∪ C ) − A]. (C ∪ B ) − A ⊆ [ A ∪ ( B ∩ C )] Esta parte de la demostraci´on se deja como ejercicio al lector.
Por medio de diagramas de venn, como se muestra en la figura 3.6. En la figura 3.6a, la intersecci´on entre B y C est´a marcada por l´ıneas verticales y A est´a marcada por l´ıneas horizontales. Por lo tanto, la uni´ on entre esas dos regiones est´a marcada de cualquiera de las dos maneras, por lo que el complemento de la expresi´on es la regi´on que no se encuentra marcada en el diagrama. En la figura 3.6b, el complemento de B est´a marcado por l´ıneas verticales mientras que el complemento de C est a´ marcado por l´ıneas verticales. De aqu´ı que C B es la zona marcada de cualquiera de las dos formas, y la expresi´on completa es representada por el a´ rea marcada por l´ıneas verticales u horizontales, siempre y cuando no se encuentre dentro de A. Es claro que en ambos diagramas, las regiones resultantes son exactamente iguales, por lo que la identidad se cumple.
∪
Por a´ lgebra de conjuntos: [ A
∪ ( B ∩ C )] = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ ( B ∪ C ) = ( B ∪ C ) ∩ A = (C ∪ B ) ∩ A = (C ∪ B ) − A
De Morgan De Morgan Ley conmutativa Ley conmutativa propiedad 11
77
´ C 3.4 A
E M´
U A
U
B
A
B
C
(a) [ A
C
∪ ( B ∩ C )]
(b) (C
∪ B ) − A
Figura 3.6: Diagramas de Venn para el ejemplo 24. .
EJEMPLO 3.25 Demostrar la relaci´on ( A B) A B. Soluci´ on. Utilizando a´ lgebra de conjuntos tenemos que:
∪ ∩ ⊆
( A
∪ B) ∩ A = A ∩ ( A ∪ B) = ( A ∩ A) ∪ ( A ∩ B) = ( A ∩ A ) ∪ ( A ∩ B) = ∅ ∪ ( A ∩ B) = ( A ∩ B) ∪ ∅ = A ∩ B
Ley Conmutativa Ley Distributiva Ley Conmutativa Ley de Complemento Ley Conmutativa Ley de Identidad
B ya que si x A B entonces x debe ser Ahora podemos demostrar que A B un elemento de B. Pero ya que ( A B) A = A B, cualquier elemento de ( A B) A debe entonces ser tambi´en elemento de B .
∩ ⊆ ∪ ∩
∈ ∩
∩
∪ ∩
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Para cualquier conjunto A , utilice a´ lgebra de conjuntos para obtener el resultado de las siguientes operaciones, expresando su respuesta en forma simplificada. a) A A b) A A c) A A d) A A
⊕ ⊕
78
− −
e) A g) A
⊕∅ ⊕U
f) A h) A
−∅ −U
2. Utilice a´ lgebra de conjuntos para demostrar que las siguientes proposiciones se cumplen para conjuntos A , B y C cualesquiera.
U E S
3. T´ı C
a) ( A B) = A b) c) d) e) f) g) h) i) j)
− ∪ B A ∪ ( B − A) = A ∪ B C − ( B − A) = ( A ∩ C ) ∪ (C − B ) ( B − A) ∪ C = ( B ∪ C ) − ( A − C ) A = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ B ) A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B ) A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) A − ( B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C ) ( A − B) − C = ( A − C ) − ( B − C ) ( A − B) − C ⊆ A − ( B − C )
que las siguientes proposiciones se cumplen para conjuntos A, B y C cualesquiera [Nota: estas demostraciones resultan ser relativamente largas].
⊕ ∪ C = ( A ∪ C ) ⊕ ( B − C ) ( A ⊕ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ⊕ ( B ∩ C ) ( A ⊕ B) − C = ( A − C ) ⊕ ( B − C ) ( A ∪ B ) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( B − A) ( A ∩ B ) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( A − B) ( A − B) ⊕ C = ( A ⊕ C ) ⊕ ( A ∩ B) A ⊕ ( B ⊕ C ) = ( A ⊕ B) ⊕ C
a) ( A B) b) c) d ) e) f )
3. Utilice a´ lgebra de conjuntos para demostrar
g)
3.5 Familias de Conjuntos ....................................................................................................... En algunas situaciones, es conveniente enumerar los elementos de un conjunto para facilitar la discusi´on del mismo. Por ejemplo, suponga que queremos formar al conjunto de los primeros 10 n´umeros primos. Podemos hacer esto f´acilmente listando todos sus elementos, obteniendo P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 . Pero, ¿qu´e pasar´ıa si queremos formar el conjunto de los primeros 1000? Podemos comenzar listando a los n´ umeros primos, llam´andolos p1 , p2 , p3 y as´ı sucesivamente. Entonces, lo que buscamos ser´ıa el conjunto P = p1 , p2 , p3 , . . ., p999 , p1000 . Otra forma de describir al mismo conjunto podr´ıa ser diciendo que consiste de todos los n´umeros pi , siendo i un elemento del coni 1000 . Esto se escribir´ıa como junto I = 1, 2, 3, . . ., 999, 1000 = i N 1 P = pi i I . Cada elemento p i en este conjunto es identificado por un n´umero i I , llamado el ´ındice de dicho elemento. Un conjunto definido de esta manera es algunas veces llamado una familia indexada por I . Como en este ejemplo, los ´ındices de una familia indexada son normalmente n´umeros naturales. Sin embargo, los ´ındices pueden ser miembros de cualquier conjunto. Ya que los conjuntos pueden tener otros conjuntos como elementos, un conjunto que contenga exclusivamente a otros conjuntos como elementos lo llamaremos una familia de conjuntos. Por ejemplo, , a, b , c son ambos familias de = 1, 2 , 3, 4 y = conjuntos, mientras que H = 1, 2 , 3 no lo es. Ya en la secci´on 3.1 vimos un ejemplo importante de una familia de conjuntos: el conjunto potencia. Normalmente, es conveniente definir familias de conjuntos como familias indexadas. Por ejemplo, suponga que E es el conjunto de todos los estudiantes de la Escuela de Matem´atica de la Universidad de El Salvador, y por cada estudiante e E , sea A e el conjunto de asignaturas que e ha tomado. Entonces la colecci´on de todos estos conjuntos Ae ser´ıa E . Note que los miembros de una familia indexada de conjuntos no = Ae e son asignaturas, sino conjuntos de asignaturas. Si tom´aramos a g para representar a la estudiante Gabriela, y si Gabriela ha tomado L´ogica Matem´atica, Filosof ´ıa y Matem´atica
{
{
{ { | ∈ }
}
}
} { ∈ | ≤ ≤
}
∈
F
F {{ } { }} G {∅ { } { }} {{ } }
∈
F { | ∈ }
F
79
3.5 F C
E M´
B´asica, entonces A g = L´ogica Matem´atica, Filosof´ıa, Matem´atica B´asica y Ag , pero Filosof´ıa . Para una familia de conjuntos dada, es posible realizar uniones e intersecciones sobre todos sus elementos. Por ejemplo, considere la familia de conjuntos de la discusi´on del p´arrafo anterior. Si quisi´eramos saber qu´e asignaturas han sido tomadas por todos los estudiantes en A , tendr´ıamos que encontrar aquellos elementos que todos los conjuntos en tienen en com´un. Este conjunto es la intersecci´on de la familia , y es escrito como . De la misma manera, el conjunto que contiene a todos los elementos de los conjuntos en es llamado la uni´on de la familia , y se escribe . Para el ejemplo dado, ser´ıa el conjunto de asignaturas que han sido tomadas por al menos un estudiante en E . En general, si es cualquier familia de conjuntos, entonces para ser un elemento de , un objeto tendr´a que ser elemento de todos los conjuntos en . Simb´olicamente,
{
F
}
∈ F
F
F ∩F F
F
F
∪F
∪F
F
∩F
F
∩F = { x | ( ∀ A ∈ F )( x ∈ A)} Similarmente, para ser un elemento de ∪F , un elemento s´olo necesita ser elemento de al menos un conjunto en F . Por lo tanto, ∪F = { x | ( ∃ A ∈ F )( x ∈ A)} Note que si A y B son dos conjuntos cualesquiera, y F = { A, B}, entonces ∩F = A ∩ B y ∪F = A∪ B. De aqu´ı se observa que las definiciones de intersecci´on y uni´on de una familia de conjuntos son en realidad generalizaciones de nuestras definiciones para la uni´on e intersecci´on de dos conjuntos.
EJEMPLO 3.26 Sea = a, b , c , d , b, c , d , e , c, d , e , f . Encuentre Soluci´ on
F {{
}{
}{
}}
∩F y ∪F .
∩F = {a, b, c, d } ∩ {b, c, d , e} ∩ {c, d , e, f } = {c, d } ∪F = {a, b, c, d } ∪ {b, c, d , e} ∪ {c, d , e, f } = {a, b, c, d , e, f }
Una notaci´on alternativa es usada para la uni´on e intersecci´on de familias indexadas de conjuntos. Por ejemplo, suponga que = Ai i I , donde cada Ai es un conjunto. Entonces ser´ıa el conjunto de todos los elementos comunes a todos los A i , para i I . Esto podr´ıa ser tambi´en escrito como i∈ I A i . Simb´olicamente,
F { | ∈ }
∩F
∩F =
Ai = x ( i
i I
∈
∈
{ | ∀ ∈ I )( x ∈ A )} i
∪F es ∈ A , por lo que = { x | ( ∃i ∈ I )( x ∈ A )}
De la misma manera, una notaci´ on alternativa para
∪F = 80
i I
∈
Ai
i I
i
i
U E S
3. T´ı C
Regresando al ejemplo de las asignaturas tomadas por los estudiantes de la Escuela de Matem´atica, podr´ıamos utilizar esta notaci´ on para escribir al conjunto de asignaturas tomadas por todos los alumnos como e∈ E A e . I es indexada por un Finalmente, cuando una familia de conjuntos = Ai i conjunto de la forma I = 1, 2, 3, . . ., n , es posible modificar la notaci´on para obtener una que indique de manera expl´ıcita que los ´ındices de los conjuntos varian desde 1 hasta n. As´ı,
{
F { | ∈ }
}
n
∩F = A ∩ A ∩ A ∩ · · · ∩ A
=
∪F = A ∪ A ∪ A ∪ · · · ∪ A
=
1
2
1
3
2
n
3
Ai
i=1 n
n
Ai
i=1
EJEMPLO 3.27 Sea A i = 1, 2, 3, . . ., i , con i 1, 2, 3, . . . , n . Encuentre ni=1 Ai y ni=1 Ai . ´ encontrar algunos de los miembros de la Soluci´ on. Para este ejemplo, primero es util familia de conjuntos:
{
}
∈ {
}
A1 = 1 A2 A3 ...
{ } = {1, 2} = {1, 2, 3}
An = 1, 2, 3, . . . , n
{
− 1, n}
De aqu´ı que el unico ´ elemento que se encuentra en todos los conjuntos de la familia es el 1, por lo que n
Ai = 1
i=1
{ }
Tambi´e n es f a´ cil observar que el conjunto An contiene a todos los elementos de los conjuntos A i , con i < n , por lo que n
i=1
Ai = An = 1, 2, 3, . . . , n
{
− 1, n}
81
3.5 F C
E M´
Los siguientes ejemplos muestran c´ omo realizar demostraciones con respecto a la uni´on e intersecci´on en una familia de conjuntos.
EJEMPLO 3.28 Sea Ai i I una familia indexada de conjuntos. Demuestre que para cualquier j I , A j i∈ I A i on a demostrar es una inclusi´ on de Soluci´ on. Primero, note que dado que la proposici´ conjuntos, e´ sta tiene la forma
{ | ∈ } ⊆
∈
∈
∀( x ∈ A → x j
Ai )
∈
i I
por lo que comenzamos tomando al antecedente como cierto para un elemento x cualquiera y tratamos de llegar al consecuente. Sea x un elemento cualquiera de A j . Ya que j I , por I )( x Ai ). Por definici´o n de la uni´on en generalizaci´on existencial sabemos que ( i familia de conjuntos, sabemos entonces que x i∈ I A i , que era precisamente lo que quer´ıamos demostrar.
∃ ∈
∈
∈ ∈
EJEMPLO 3.29 Sea Ai i I una familia indexada de conjuntos, y sea B cualquier conjunto, todos subconjuntos de un conjunto universal U. Demuestre que
{ | ∈ }
( B
∈
i I
∩ A ) = B i
∩
Ai
∈
i I
Soluci´ on. Ya que la proposici´on a probar es una igualdad de conjuntos, realizaremos la demostraci´on por inclusi´on mutua:
∈
∩ A ) ⊆ B ∩ ∈ A Sea x un elemento cualquiera de ∈ ( B ∩ A ). Entonces debe cumplirse que para alg´un j ∈ I , x ∈ B ∩ A , de donde x ∈ B y x ∈ A . Por generalizaci´on existencial sabemos entonces que (∃ x ∈ I )( x ∈ A ), de donde, por definici´on, sabemos que ∈ A . Ya que sabemos que tambi´en x ∈ B, entonces B ∩ ∈ A , que es lo que se i I ( B
i
i I
i
i
i I
j
j
i
i I
i
i I
i
deseaba demostrar.
∩
⊆
B i∈ I A i i∈ I ( B Ai ) Sea x un elemento cualquiera de B i∈ I A i . Entonces x debe ser elemento de B y de i∈ I A i , de donde sabemos que x debe ser por tanto un elemento de alg´un A j con j I . Pero entonces x B A j para alg´un j I , por lo que tambi´en deber´ıa pertenecer a la uni´on de todos los valores posibles de j. Es decir, i∈ I ( B A i ), que es lo que se quer´ıa demostrar.
∈
∩
∩
∈ ∩
∈
∩
Note que en ninguno de los ejemplos anteriores se hace menci´on sobre las caracter´ısticas que debe tener el conjunto I o de alg´un orden espec´ıfico que los conjuntos Ai deban tener. La demostraci´on depend´ıa exclusivamente de las definiciones formales de la uni´on y 82
U E S
3. T´ı C
la intersecci´on de familias indexadas. Esta es la misma estrategia que se recomienda seguir para las demostraciones del ejercicio 8.
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Sea = cuentre
F {{ a, b, g}, {c, f , h}, {d , e, j}}. En∩F y ∪F . 2. Sea I = {2, 3, 4, 5 }, y por cada i ∈ I , sea A ={i, i + 1, i − 1, 2 i}. i
a) Liste los elementos de todos los conjuntos Ai , para i I .
∈
i∈ I A i y
b) Encuentre
∈
i I A i .
3. Sea Ai = i, i + 1, i + 2, . . . , para i = 1 , 2, 3, . . .. Encuentre ni=1 A i y ni=1 A i .
{
} ∈∈
4. Para cada n n∈N A n y
n
N, sea An = n . Encuentre N A n .
{}
5. Sea I = 2, 3 , y por cada i I , sea A i = i, 2i y B i = i, i + 1 .
{ } { }
∈
{ }
a) Liste los elementos de los conjuntos A i y Bi para i I .
∈
b) Encuentre
c) Encuentre (
∪ B ). A ) ∪ ( ∈ B ).
i I ( Ai
∈∈
i
i
i I
i I
i
d) ¿Son las operaciones de los dos literales anteriores equivalentes para cualquier familia de conjuntos A i y B i ? 6. Provea un ejemplo de un conjunto de ´ındices I y de familias indexadas de conjuntos Ai i I y Bi i I tal que i∈ I ( Ai Bi ) ( i∈ I A i ) ( i∈ I B i ).
{ | ∈ } { | ∈ } ∩
∩
7. Algunas veces cada conjunto en una familia indexada de conjuntos tiene dos ´ındices. I Sean I = 1, 2 , J = 3, 4 . Para cada i J , sea Ai, j = i, j, i + j . Por ejemplo, y j
∈
{ }
{
{ }
}
∈
A2,3 = 2, 3, 5 .
{
}
∈
∈
J , sea B j = a) Para cada j cuentre B 3 y B 4 .
i I A i, j .
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
b) Encuentre
j J B j .
c) Encuentre
i I (
En-
j J A i, j ).
d) Analice la forma x j J ( i I A i, j )
lo´ gica
de
e) Analice la forma x i I ( j J A i, j ).
lo´ gica
de
f) ¿Son equivalentes las proposiciones de los dos literales anteriores? 8. Verifique las siguientes identidades escribiendo de manera simb´olica lo que significa que un objeto x sea elemento de cada conjunto y luego utilizando equivalencias l o´ gicas. B es un conjunto cualquiera. Asuma que todos los conjuntos involucrados son subconjuntos de un mismo conjunto universal U. a)
∈ ⊆ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∪ ∪ ∈ ∈ ∩ ∩ ∈ ∈ ∪ ∪ ∈ ∈ ∪ ∈ ∪ ∈ ∩F ∈ ∩ −∩G ∩F∈ ∪ G− ∈ i I A i
A j para cualquier j I .
b) (
i I A i )
=
i I A i
c) (
i I A i )
=
i I A i
d) e) f) g)
h) ( i)
i I ( B
Ai ) = B
i I A i
i I ( B
Ai ) = B
i I A i
i I ( B
Ai ) = B
i I A i
i I ( Ai
B i ) = (
)
i I ( Ai
(
) =
Bi ) = (
i I A i )
(
(
i I B i )
(
i I B i )
)
i I A i )
83
3.5 F C
84
E M´
O L U T I P A C
4
M´ D´ Los humanos tienden a confundir la fuerza de su sentimiento con la fuerza de su argumento. La mente exacerbada resiente siempre el fr´ıo tacto y el implacable escrutinio de la l´ ogica. -William Gladstone
Uno de los cambios principales con los que se encuentran muchos alumnos cuando pasan de la matem´atica de bachillerato a la universitaria es la necesidad de entender y, sobre todo, de escribir demostraciones matem´aticas. En efecto, una de las principales quejas de alumnos de las carreras matem´aticas es “entiendo todo el material pero no puedo hacer las demostraciones”. Esto, de hecho, no deber´ıa sorprendernos. Los matem´aticos dedican su vida a descubrir y demostrar nuevos resultados, algo que lleva experiencia (incluso genialidad), esfuerzo y ocasionalmente suerte. La dificultad de estas pruebas, tanto para estudiantes de nuevo ingreso como para matem´aticos experimentados, es que no existe una f´ormula espec´ıfica para escribirlas. Realizar una demostraci´o n es similar a armar un rompecabezas. Al inicio se tienen cientos de piezas que no parecen encajar y es muy probable que la figura que intentamos formar no se parezca en nada a otras figuras que hayamos formado anteriormente. Sin embargo, nuestra experiencia construyendo otros rompecabezas nos dice que existen ciertas t´ecnicas que pueden ayudarnos y, entre ellas, hay unas que funcionan mucho mejor que otras. Por ejemplo, no intentar´ıa resolverlo tomando piezas aleatoreamente hasta que dos de ellas encajen. Tampoco intentar´ıa resolverlo comenzando por la parte de arriba y colocando piezas fila por fila hacia abajo. Por otro lado, es u´ til separar piezas que parezcan provenir de una misma regi´on y armar primero las orillas del rompecabezas. Luego se intenta encontrar piezas que van juntas dentro de los grupos que hemos separado. De vez en cuando parecemos lograr un gran avance cuando dos grandes secciones son unidas
entre s´ı. Poco a poco, la figura es m´as clara. Nos damos cuenta que el parche azul era un pedazo de mar, lago o cielo. Llega un punto en que solo falta colocar algunas piezas de cada secci´on, para luego llegar a la satisfacci´on de haberlo completado. Al igual que con los rompecabezas, para resolver problemas matem a´ ticos existen ciertos principios y t´ecnicas que los matem´aticos experimentados utilizan para realizar demostraciones. Esto no quiere decir que las demostraciones pueden reducirse a un proceso mec a´ nico, pero s´ı que existen ciertos caminos que son m a´ s ´utiles que otros para realizarlas. Esto es especialmente importante para el problema de “c o´ mo empezar” una demostraci´on, que igualmente muchos alumnos (y matem´aticos experimentados) consideran uno de los pasos dificiles al inicio de su carrera. Diferentes demostraciones requieren distintos puntos iniciales, que normalmente deben ser elegidos a partir de la estructura l o´ gica de la conclusi´on que quiere demostrarse. En el cap´ıtulo anterior, algunas t e´ cnicas de demostraci´on fueron introducidas informalmente en el contexto de la teor´ıa de conjuntos. En este cap´ıtulo introducimos sistem a´ ticamente estas y otras t e´ cnicas, categoriz´andolas de acuerdo a la estructura l o´ gica del problema que se desea resolver. Ilustraremos cada una con algunos problemas cuyos conceptos deber´ıan ser familiares o f´acilmente comprendidos por el lector. Los conceptos vistos en las secciones 1.6 y 2.4 nos sirven como base para muchas del material de este cap´ıtulo, por lo que se recomienda al lector familiarizarse con dichos principios.
85
4.1 C B´
E M´
´ 4.1 Conceptos Basicos ....................................................................................................... En matem´atica, un teorema es una proposici´on para la cual es posible mostrar que su valor de verdad es siempre cierto siempre y cuando se cumplan ciertas suposiciones otesis. La demostraci´on de un teorema es un argumento l´ogico v´alido cuyas llamadas hip´ premisas son las hip´otesis del teorema y cuya conclusi´on es la conclusi´on del problema. Las hip´otesis utilizadas pueden incluir axiomas o postulados, que son proposiciones que se asumen verdaderas sin necesidad de demostraci´on dentro de un cuerpo de conocimiento espec´ıfico, las premisas del argumento o los resultados de otros teoremas. Un lemas y corolarios son dos tipos especiales de teoremas. Un lema es un teorema que se utiliza como base para la demostraci´on de un teorema m´as importante. Los lemas usualmente sirven para partir la demostraci´on de teoremas complejos para hacerla m´as comprensible. Por otro lado, un corolario es una proposici´on cuya verdad puede ser establecida de manera directa a partir de un teorema, aunque el t´ermino “directo” var´ıa dependiendo del autor y el contexto. Normalmente la importancia de un corolario se considera secundaria a la del teorema inicial. Note que no existe una distinci´on formal entre lema, corolario y teorema, u´ nicamente las convenciones sobre su uso. Normalmente las hip´otesis y la conclusi´on de un teorema contienen variables que pueden ser sustituidas por cualquier elemento del dominio del discurso. Al asignar valores espec´ıficos a dichas variables se crea una instancia del teorema. Para que un teorema sea cierto, en toda instancia del problema en la cual las hip´ otesis son verdaderas, la conclusi´on debe ser verdadera. Si existe tan solo una instancia para la cual las hip´ otesis son verdaderas pero la conclusi´on es falsa, entonces el teorema es incorrecto. Dicha instancia es llamada un contraejemplo del teorema. Para ilustrar estos principios, considere el siguiente teorema. umero real. Si x > 0 , entonces x2 > 0 . Teorema. Sea x un n´
La hip´otesis en este caso es que x es mayor que 0, mientras que la conclusi´ on es que x > 0. Para obtener una instancia del problema, podemos asignar a x el valor de -3. En este caso tenemos 3 > 0, lo cual es claramente falso, por lo que no es necesario que la conclusi´on sea verdadera para que el teorema sea correcto. Otra instancia un poco m´ as interesante se obtendr´ıa asignando a x el valor de 5. En ese caso nuestra hip´otesis se convertir´ıa en 5 > 0, lo cual es cierto, por lo que nuestra conclusi´on deber´ıa ser cierta. En efecto, 52 > 0 es verdadera. Note que encontrar esta instancia no constituye una demostra´ ci´ on del teorema, ya que hemos comprobado unicamente una instancia del teorema, y una demostraci´on debe mostrar que el teorema se cumple para todas las instancias posibles. Si escribimos la rec´ıproca del teorema anterior, obtenemos el siguiente teorema incorrecto. 2
−
Teorema. (Incorrecto) Sea x un n´ umero real. Si x2 > 0 , entonces x > 0 . Podemos obtener una instancia de este teorema al sustituir a x por 2. En este caso tanto nuestra hip´otesis (22 > 0) como nuestra conclusi´on ( x > 0) son verdaderas, por lo que el teorema pareciera ser verdadero. Sin embargo, como se mencion´o anteriormente, 86
U E S
4. M´ D´
el teorema debe ser cierto para todas las instancias posibles. Como un contraejemplo, podemos sustituir a x por -2. La hip´otesis 22 > 0 sigue siendo verdadera, pero ahora la conclusi´on 2 > 0 es falsa, por lo que el teorema es incorrecto. Este ejemplo ilustra el peligro de tratar de demostrar un teorema utilizando instancias espec´ıficas. Un teorema puede ser incorrecto a´un cuando sea verdadero para alguna de las instancias. Aunque podemos demostrar que un teorema es incorrecto utilizando un contraejemplo, para saber que es correcto necesitamos demostrarlo1 , asumiendo que las proposiciones son ciertas y proveyendo una serie de pasos l´ogicos que nos lleven a la conclusi´ on. Al igual que en la validez de argumentos l´ogicos de la secci´on 1.6, una vez se ha mostrado o deducido que una proposici´on es verdadera utilizando las hip´otesis originales del problema, dicha proposici´on puede ser utilizada en la demostraci´on como si fuese una de las hip´otesis. Lo mismo es cierto para cualquier tautolog´ıa o cualquier axioma pertinente. Una regla importante que debe tener en cuenta al hacer sus demostraciones es que nunca debe aseverar algo a menos que pueda justificarlo completamente. La forma y la t´ecnica utilizada para dicha demostraci´on depender´a mayormente de la forma de su conclusi´on y de sus hip´otesis. Normalmente estas t´ecnicas se basan en transformar el problema original en otro equivalente per m´as facil de resolver. Estas estrategias normalmente incluyen pasos en los cuales asumimos que una proposici´on es cierta sin proveer justificaci´on alguna para dicha suposici´on. Aunque parezca al principio que ese razonamiento contradice la regla de justificar todo lo que se uitliza en una prueba, en realidad no lo hace, ya que asumir algo no es lo mismo que asegurarlo. Aseverar que una proposici´on es cierta sin proveer justificaci´on nunca es v´alido en una prueba, pero asumir que una proposici´on es cierta nos permite saber qu´ e pasar´ıa si la suposici´on fuera correcta. Sin embargo, cualquier conclusi´ on a la cual se llega en base a una suposici´ on puede ser falsa si la suposici´on result´o ser incorrecta. Las estrategias que veremos a continuaci´ on no nos dan una receta para las demostraciones, sino que nos dan algunos pasos con los cuales iniciarlas, dej´ andonos un nuevo problema para resolver. Las demostraciones no tienen que ser escritas de una sola vez ni deben utilizar una sola t´ecnica. La demostraci´on de muchos teoremas requiere que se utilicen diversas estrategias una detras de la otra, transformando el problema muchas veces en el camino. Una observaci´on importante en la presentaci´ on que sigue es que se har´a expl´ıcita la diferencia entre el proceso de pensamiento seguido para encontrar el camino en una demostraci´on y la demostraci´on en s´ı misma. Cuando se escribe una prueba, usualmente se escriben u´ nicamente los pasos necesarios para justificar la conclusi´ on sin explicaci´on alguna de c´omo se pens´o en esos pasos. El prop´ osito principal de una demostraci´ on es justificar que la conclusi´on puede ser l´ogicamente inferida a partir de las hip´otesis, y ninguna explicaci´on de su proceso de pensamiento puede sustituir dichas justificaciones. Ocasionalmente, en una prueba complicada, un matem´atico puede incluir alguna discusi´on de la
−
1
Debe de tener cuidado de no intentar demostrar un teorema “por falta de contraejemplo”. Es decir, no puede demostrar que algo es cierto u´ nicamente porque no encontr´o un contraejemplo para lo que quer´ıa probar. En realidad, lo u´ nico que puede concluirse es que puede que un contraejemplo sea dificil de encontrar o que simplemente no pudimos encontrar uno, pero no que no existe.
87
4.2 D C
E M´
estrategia seguida para hacer la prueba m´as comprensible. Sin embargo, la mayor parte del tiempo, es deber de los lectores de la prueba el encontrar la estrategia utilizada. Para hacer clara esta distinci´on entre la estrategia tras una prueba y la prueba misma, las demostraciones presentadas en este cap´ıtulo y en el resto del libro ser´an precedidas por p´arrafos donde se muestre la estrategia y el razonamiento seguido en el problema, mientras que las demostraciones en s´ı incluiran ´ u´ nicamente los pasos que justifican el paso de las hip´otesis a la conclusi´on. Mientras lee el resto de este cap´ıtulo tenga en cuenta que aqu´ı se presenta u´ nicamente una breve introducci´on a las demostraciones. El aprender a leer pruebas toma mucha pr´actica, y crear sus propias demostraciones es a´un m´as dif ´ıcil. Adem´a s de la pr´actica, algo que ayuda al proceso de aprendizaje es intentar desarrollar una actitud cr´ıtica. Sea esc´eptico. Cuando lea un paso en una demostraci´on preg´untese: “¿estoy convencido por esto?” Esto es especialmente importante cuando revisa sus propias pruebas: rev´ıselas como si estuviera leyendo la prueba de otra persona y h´agase la misma pregunta para cada paso, asegur´andose que exista suficiente justificaci´ on para cada uno de ellos. Despu´es de todo, una demostraci´on debe estar dise˜nada para convencer, y usted deber´ıa ser el primero que es convencido por sus propias pruebas.
4.2 Demostrando Condicionales ....................................................................................................... Las primeras t´ecnicas que estudiaremos son usadas para demostrar teoremas cuyas conclusiones tienen la forma P Q . Es decir, cuando un teorema tiene la forma l´ogica
→
∴
H 1 H 2 ... H n P
→ Q
donde H 1 , H 2 , . . ., H n son todas hip´otesis del problema a demostrar. Recuerde que demostrar que un argumento como este es v´alido es equivalente a demostrar que H 1
∧ H ∧ . . . ∧ H → ( P → Q) 2
n
es una tautolog´ıa. Sin embargo, ya que solo ´ nos interesa demostrar que un teorema espec´ıfico se cumple cuando sus hipotesis ´ se cumplen, es suficiente demostrar que P Q siempre es verdadero si todas las hip´otesis son verdaderas. As´ı mismo, sabemos que la Q ser a´ verdadera si P es falsa sin importar qu´e valor de verdad tome Q . implicaci´on P Por lo tanto, s´olo es necesario analizar cuando P es verdadera, ya que en ese caso es neceQ sea verdadera. En otras palabras, para sario que Q tambi´en sea verdadera para que P demostrar este tipo de conclusi´on es suficiente asumir que P es verdadera y demostrar que Q debe cumplirse dadas las hip´otesis del teorema. Note que asumir que P es verdadera es
→
→
→
88
U E S
4. M´ D´
equivalente a agregar a P a la lista de hip´otesis. Es por esto que probar que Q debe cumplirse significa tratar a Q como la conclusi´on del teorema, olvid´andose de la conclusi´on original. El an´a lisis anterior nos lleva directamente a la nuestra primera t´ecnica de demostraci´on: Q, podemos si el teorema que queremos demostrar tiene una conclusi´on de la forma P transformar el problema agregando P a la lista de hip´otesis y cambiando la conclusi´on de P Q a simplemente Q . Esto nos deja con un problema nuevo y posiblemente m´as f a´ cil de resolver. Los ejemplos 12 y 13 del cap´ıtulo anterior ilustraban esta t´ecnica. En ambos casos, lo que se quer´ıa demostrar ten´ıa la forma α β, donde α y β son conjuntos. Pero para que x α β debe cumplirse que para cualquier x, x α β, por lo que los problemas tienen los siguientes datos:
→
→
⊆
⊆
∈ → ∈
Hip´ otesis α y β son conjuntos cualesquiera
Conclusi´ on ( x α ) ( x β )
∈ → ∈
donde x es un elemento arbitrario del conjunto universal. Nuestra t´ecnica nos dice que debemos tomar al antecedente de la conclusi´on como una de las hip´otesis y hacer del concluyente la nueva conclusi´on, transformando al problema para tener los siguientes datos: Hip´ otesis α y β son conjuntos cualesquiera x α
∈
Conclusi´ on x β
∈
Es por esto que ambas demostraciones iniciaban asumiendo que x era un elemento cualquiera de α (es decir, que x A B en el ejemplo 12 y que x A en el ejemplo 13), e intentaban probar que x deb´ıa tambi´en ser un elemento de β (es decir, que x A en el ejemplo 12 y que x A B en el ejemplo 13). Estos ejemplos tambi´en mostraban la importancia de conocer las definiciones de las operaciones, palabras u objetos matem´aticos con los que estamos trabajando. Sin la definici´on formal de A B no hubiera sido posible analizar la forma l´ ogica de la conclusi´ on quer´ıamos probar y, por lo tanto, se hubiera dificultado (y en ocasiones imposibilitado) el siquiera comenzar la demostraci´on. Los siguientes ejemplos muestran la aplicaci´on de esta misma t´ecnica en otros contextos matem´aticos.
∈ ∩
∈ ∪
∈
∈
⊆
EJEMPLO 4.1 Suponga que a y b son n´umeros naturales. Demuestre que si ambos son n´ umeros pares, entonces a + b es un n´umero par. Discusi´ on
Las hip´otesis del problema son que a y b son n´umeros naturales. La conclusi´on tiene Q, donde P es la proposici´on compuesta “a es par y b es par” y Q es la la forma P proposici´on “a + b es par”. Por lo tanto, nuestro problema original tiene las siguientes hip´otesis y conclusi´on:
→
89
4.2 D C
E M´
Hip´ otesis a y b son naturales
Conclusi´ on (a par y b par) (a + b par)
→
De acuerdo a nuestra t´ecnica de demostraci´on, debemos asumir que a y b son pares e intentar utilizar dicha suposici´ on para demostrar que a + b es par. En otras palabras, transformamos el problema agregando a “a es par y b es par” a nuestra lista de hip´otesis y cambiando la conclusi´on original por “a + b es par”, obteniendo: Hip´ otesis a y b son naturales a y b son pares
Conclusi´ on a + b es par
Ahora, si a y b son n´umeros pares, entonces ambos deben ser divisibles por 2; es decir, 2 a y 2 b. Esto significa que a = 2m para alg´un natural m y que b = 2n para alg´un natural n . Sustituyendo a y b por estas definiciones tenemos que
|
|
a + b = 2 m + 2n = 2( m + n) = 2 q
donde q = m + n es un natural. Ya que a + b tiene un factor 2, entonces es divisible por 2, lo que quiere decir que es un n´ umero par, como quer´ıamos probar. Soluci´ on.
Teorema. Suponga que a y b son n´ umeros naturales. Si a y b son pares, entonces a + b es par. Demostraci´ on. Asumimos que a y b son n´umeros pares, por lo que a = 2m y b = 2n con m, n N. De aqu´ı que a + b = 2 m + 2n = 2( m + n). Si q = m + n, que es un n´umero natural, entonces a + b = 2 q, de donde a + b es par.
∈
Hay un par de observaciones que deben hacerse con respecto a la demostraci´on del ejemplo anterior. Primero, el lector podr´ıa objetar que la demostraci´on deb´ıa estar basada en t´erminos de a y b, pero a + b result´o ser definida en t´erminos de un q. Sin embargo, note que la elecci´on de q = m + n indica que la respuesta depend´ıa en realidad de m y n , los cuales depend´ıan directamente de los valores de a y b , respectivamente. Por lo tanto, la definici´on final de a + b s´ı depend´ıa de a y b . Segundo, es necesario que el lector evite un error com´un en demostraciones de esta naturaleza. Al escribir las definiciones de a y b como n´umeros pares al inicio de la prueba, es f´acil, pero equivocado, escribir “ya que a y b son n´umeros pares, entonces existe un entero p tal que a = 2 p y b = 2 p”. No existe hip´otesis alguna que nos indique que el mismo p fuciona tanto para a como para b . Es por esto que la demostraci´on debe introducir s´ımbolos diferentes, m y n , para cada una de las aplicaciones de la definici´on de n´umeros pares.
90
U E S
4. M´ D´
EJEMPLO 4.2 Demuestre que la suma de dos enteros primos mayores que 2 nunca es primo. Discusi´ on
Del enunciado del problema no es claro cu´ales son las hip´otesis y cu´a l la forma de la conclusi´on. Es, por lo tanto, conveniente reescribirlo de manera que estos datos puedan ser extra´ıdos m´as claramente, de la siguiente manera: “Suponga que a y b son primos. Demuestre que si a > 2 y b > 2, entonces a + b no es primo”. De esta nueva forma de expresar el problema podemos extraer los siguientes datos: Hip´ otesis a y b son primos
Conclusi´ on (a > 2 y b > 2) (a + b no es primo)
→
La t e´ cnica de demostraci´on vista hasta ahora nos dice que asumamos que a > 2 b > 2 es cierta, consider´andola como hip´otesis, y que cambiemos la conclusi´on por “a + b no es primo”. De aqu´ı que los datos del problema cambian a
∧
Hip´ otesis a y b son primos a > 2 y b > 2
Conclusi´ on a + b no es primo
Ahora, si a y b son ambos primos y mayores que 2, entonces ambos deben ser n´umeros impares. Pero todos los n´umeros impares pueden expresarse como el n´umero siguiente de alg´un n´umero par, por lo que a = 2m + 1 para alg´un natural m y b = 2n + 1 para alg´un natural n . De aqu´ı que, a + b = (2 m + 1) + (2n + 1) = 2 m + 2n + 2 = 2( m + n + 1)
de donde se puede observar que a + b tiene al menos dos factores: 2 y (m + n + 1). Ya que m y n son naturales, ambos son mayores o iguales que 1, por lo que (m + n + 1) debe ser mayor o igual que 3. Ya que los dos factores de a + b son mayores que 1, entonces a + b es un n´umero compuesto (es decir, un n´ umero no primo). Soluci´ on umeros primos mayores que 2 nunca es un primo. Teorema. La suma de dos n´ Demostraci´ on. Sean a y b dos n´umeros primos. Ya que ambos son mayores que 2, ambos son impares y pueden ser escritos como a = 2m + 1 y b = 2n + 1 con m, n N. De aqu´ı que a + b = (2 m + 1) + (2n + 1) = 2 m + 2n + 2 = 2( m + n + 1). Pero m, n N, as´ı que m + n + 1 3, de donde a + b es un n´umero con al menos dos factores mayores que 1, por lo que no puede ser un primo.
≥
∈
∈
91
4.2 D C
E M´
EJEMPLO 4.3 Demuestre que el n´umero 100 . . . 001, con 3n
− 1 ceros, donde n ∈ N, es compuesto.
Discusi´ on
´ expresar de una forma diferente el problema para hacer m´as expl´ıcito Nuevamente, es util cu´ales son las hip´otesis y cu´al la conclusi´on: “Sea n un n´umero natural y q un n´umero de la forma 100 . . . 001. Si q tiene 3n 1 ceros, entonces q es un n´umero compuesto”. De aqu´ı que los datos del problema son:
−
Hip´ otesis n N q es un n´umero de la forma 100 . . . 001
(q tiene 3n
∈
Conclusi´ on 1 ceros) (q es compuesto)
−
→
De donde podemos utilizar la t´ecnica vista para los condicionales para modificar el problema y obtener: Hip´ otesis n N q es un n´umero de la forma 100 . . . 001 q tiene 3n 1 ceros
Conclusi´ on q es compuesto
∈
−
Como en el ejemplo anterior, para demostrar que q es compuesto debemos demostrar que es un n´umero con al menos dos factores mayores que 1. Para esto, primero note que a q podemos reescribirlo como 100 . . . 000 + 1, donde el 1 del final de q en la suma anterior fue reemplazado por un cero. Luego, si q tiene 3n 1, entonces 100 . . . 000 + 1 es la suma de 1 m´as una potencia de 10 con 3n ceros. Pero una potencia de 10 con dicho n´umero de ceros puede ser representada como 103n , por lo que q = 103n + 1. Usando la identidad a3 + b3 = ( a + b)(a2 ab + b2 ) con a = 10 n y b = 1, obtenemos,
−
−
103n + 1 = (10 n )3 + 13 = (10 n + 1)(102n
n
− 10
+ 1)
Por lo tanto, para demostrar que q es compuesto, basta mostrar que (10n + 1) y (102n 10n + 1) son ambos mayores que 1. Ya que 10n 10 cuando n > 0, sabemos que (10n + 1) debe ser mayor que 1. Adem´as, 102 n 10n = 10n (10n 1) > 0 cuando n > 0, por lo que (102n 10n + 1) tambi´en es mayor que 1. Como mostramos que q = 10 3n + 1 tiene al menos dos factores enteros mayores que 1, entonces q siempre es un n´umero compuesto, lo que completa la demostraci´on.
−
−
−
≥
−
Soluci´ on
Teorema. Sea n un n´ umero natural. Si 100 . . . 001 tiene 3n n´ umero compuesto.
− 1 ceros, entonces es un
Demostraci´ on. Asumimos que 100 . . . 001 tiene 3n 1 ceros, con n N. Entonces dicho n´umero puede ser reescrito como 103n + 1 = (10n )3 + 1 = (10n + 1)(102n 10 n + 1) =
−
92
∈
−
U E S
4. M´ D´
(10n + 1)(10n (10n 1) + 1). Ya que n > 0, 10n 10. Entonces, tanto (10n + 1) como (10n (10n 1) + 1) son mayores que 1, por lo que 103n + 1 es un n´umero compuesto.
−
−
≥
Existe un segundo m´etodo que puede ser utilizado para demostrar conclusiones de la forma P Q. Ya que la proposici´on condicional P Q es l´ogicamente equivalente a su contrapositiva Q P, es posible demostrar P Q demostrando Q P usando la estrategia discutida anteriormente. En otras palabras, un problema para el cual se tengan los datos:
→
→ →
¬ → ¬
Hip´ otesis H 1 ... H n
¬ → ¬
Conclusi´ on P Q
→
puede ser modificado para obtener Hip´ otesis H 1 ... H n
Conclusi´ on Q P
¬ → ¬
donde podemos utilizar la t´ecnica para las implicaciones vista anteriormente para finalmente obtener Hip´ otesis H 1 ... H n Q
Conclusi´ on P
¬
¬
En pocas palabras, esta t´ecnica, llamada demostraci´ on por contrapositiva, nos dice que para demostrar una conclusi´on de la forma P Q, primero asumimos que Q es falso e intentamos demostrar que P debe ser falso. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicaci´on de e´ sta t´ecnica.
→
EJEMPLO 4.4 Demuestre que para cualquier pareja de enteros naturales m y n , si m + n m 37 o´ n 36.
≥
≥
≥ 73, entonces
Discusi´ on
El problema tiene los siguientes datos iniciales: Hip´ otesis m N n N
∈ ∈
(m + n
Conclusi´ on 73) ( m 37
≥ → ≥ ∨ n ≥ 36) 93
4.2 D C
E M´
Para aplicar m´etodo de demostraci´on por contrapositiva debemos asumir que (m 37 n 36), a˜nadi´endola a las hip´otesis, mientras que (m + n 73) pasa a ser la nueva conclusi´on. Pero (m + n 73) es l´ogicamente equivalente a (m + n < 73) y, por De Morgan, (m 37 n 36) es l´ogicamente equivalente a (m < 37 n < 36). Por lo tanto, convertimos el problema para tener los siguientes datos:
∨ ≥
¬
¬ ≥ ¬ ≥ ∨ ≥
¬ ≥
≥
∧
Hip´ otesis m N n N m < 37 y n < 36
Conclusi´ on m + n < 73
∈ ∈
De aqu´ı utilizamos un argumento directo. Si m < 37 y n < 36, entonces m + n < 37 + 36 = 73, que es lo que quer´ıamos probar. Soluci´ on
Teorema. Para cualquier pareja de naturales m y n, si m + n o´ n 36 .
≥
≥
73 , entonces m
≥
37
Demostraci´ on. Demostramos por contrarec´ıproca, asumiendo que m < 37 y n < 36 y probando que m + n < 73. Pero m + n < 37 + 36 = 73, lo que termina nuestra demostraci´ on.
Una pregunta que suele surgir a partir de ejemplos como el anterior es c´ omo se tom´o la decisi´on de utilizar el m´etodo por contrapositiva en lugar del m´etodo visto con anterioridad. La respuespuesta es simple: se intent´ o con ambos y e´ ste funcion´o. Frecuentemente, cuando es posible utilizar diferentes m´ etodos para resolver un problema, es necesario intentar con varias de estas t´ecnicas hasta encontrar una que funcione. A medida que la experiencia del lector aumente, tendr´a una mejor noci´on de qu´e estrategias tienen mayor probabilidad de funcionar para un determinado problema. Para el caso de las demostraciones por contrapositiva, un indicador que esta t´ecnica probablemente es la adecuada para resolver un problema es cuando el concluyente de la implicaci´on que queremos demostrar es una proposici´on relativamente simple con respecto al antecedente.
EJEMPLO 4.5 Demuestre que para todo n´umero real x , si x3 + x 2
− 2 x < 0, entonces x < 1.
Discusi´ on
Los datos de este problema son: Hip´ otesis x R
∈
Conclusi´ on ( x + x 2 x < 0) ( x < 1) 3
2
−
→
Ya que la conclusi´on tiene forma de condicional y el concluyente de dicho condicional tiene una forma m´as sencilla que su antecedente, se intentar´a primero el m´etodo por contrapositiva. Es decir, se modificar´a la conclusi´on para tener ( x < 1) ( x3 + x2 2 x < 0) que es l´ogicamente equivalente a la original. Ya que ( x < 1) ( x 1) y ( x3 + x2 2 x <
¬
94
¬
→ ¬ ⇔ ≥ ¬
−
−
U E S
4. M´ D´
0) ( x3 + x2 2 x 0), y que puede aplicarse el primer m´etodo para tomar al antecedente de esta nueva conclusi´on como una de las hip´otesis, obtenemos:
⇔
− ≥
Hip´ otesis x R x 1
Conclusi´ on 2 2 x 0 x + x 3
∈ ≥
− ≥
Ahora, para realizar la demostraci´on, es u´ til modificar algebraicamente la conclusi´ on para tener una idea m´as clara de c´omo proceder. Es decir, x3 + x 2
− 2 x ≥ 0 x( x + x − 2) ≥ 0 x( x − 1)( x + 2) ≥ 0 Pero si x ≥ 1, entonces x ≥ 1 ≥ 0, x − 1 ≥ 0 y x + 2 ≥ 3 ≥ 0. De aqu´ı que el producto 2
de estos tres n´umeros mayores o iguales que cero da como resultado un n´ umero mayor o igual que cero, que es lo que quer´ıamos demostrar. Note que modificar algebraicamente la conclusi´on no indica que estamos asumiendo que la conclusi´ on sea cierta. M´as bien la estamos convirtiendo a una expresi´on equivalente pero que muestra de manera m´as clara cu´al es el camino a seguir para demostrarla. Soluci´ on umero real x, si x3 + x 2 Teorema. Para todo n´
− 2 x < 0 , entonces x < 1.
Demostraci´ on. Demostramos por contrarec´ıproca. Sea x un n´umero real cualquiera. Si x 1, entonces x 0, x 1 0 y x + 2 3 0, por lo tanto,
≥
≥
− ≥
≥ ≥ x( x − 1)( x + 2) ≥ 0 x( x + x − 2) ≥ 0 x + x − 2 x ≥ 0 2
3
que es lo que se quer´ıa demostrar.
2
Las demostraciones por contrapositiva y las demostraciones por contradicci´ on, que veremos m´as adelante, son una forma de demostraciones indirectas, en las cuales se establece la verdad de una proposici´ on distinta, pero l´ogicamente equivalente, a la que queremos demostrar. Es importante entender la base l´ ogica de estas t´ecnicas y reconocer cu´ando es apropiado utilizar un m´etodo indirecto en lugar del m´ etodo directo utilizado anteriormente. En realidad, los m´etodos indirectos son un suplemento y no un substituto de los m´etodos directos. Como regla general, una demostraci´on directa es preferible sobre una indirecta tanto por claridad como por atractivo est´etico, siempre que la primera sea posible. En otras palabras, es necesario que el lector intente desarrollar su intuici´on sobre cu´ando un m´etodo indirecto es el camino a seguir, pero al mismo tiempo debe tenerse cuidado de no sobreutilizar este tipo de t´ecnicas. 95
4.2 D C
E M´
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Considere el siguiente teorema:
Teorema. Suponga que n es un entero com puesto mayor que 1. Entonces 2n 1 no es primo.
−
a) Identifique las hip´otesis y la conclusi o´ n del teorema. b) ¿C´omo deber´ıa iniciar la prueba del teorema (no se pide escribir la demostraci o´ n completa, s´olo el inicio) y a qu´e conclusi´on se deber´ıa llegar? c) ¿Qu´e puede concluir del teorema para las instancias n = 6, n = 15 y n = 11? 2. Considere el siguiente teorema: umeros reales. Si Teorema. Sean a, b, c n´ 2 b > 4ac, entonces la ecuaci´ on cuadr´ atica 2 ax + bx + c = 0 tiene exactamente dos soluciones reales.
6. Demuestre que la suma de tres enteros consecutivos es divisible por 3. 7. Demuestre que la suma de cuatro enteros consecutivos es divisible por 4. 8. Demuestre que si a , b , y c son enteros positivos, a divide a b y b divide a c , entonces a divide a c . 9. Demuestre que si a y b son enteros cuyo producto es par, entonces al menos uno de los dos debe ser par. 10. Demuestre que si a y b son enteros cuyo producto es impar, entonces ambos deben ser impares. 11. Demuestre que todo n u´ mero impar puede expresarse como la diferencia de dos cuadrados perfectos.
a) Identifique las hip´otesis y la conclusi o´ n del teorema.
12. Demuestre que todo nu´ mero divisible por 4 puede expresarse como la diferencia de dos cuadrados perfectos.
b) Para dar una instancia del teorema, deben especificarse valores para a , b y c pero no para x . ¿por qu´e?
13. Sea a un n u´ mero entero. Demuestre que si a no es divisible por 3, entonces a 2 1 es divisible por 3.
c) ¿Qu´e puede concluir del teorema en el caso a = 2, b = 5 y c = 3?
14. Demuestre la rec´ıproca del ejercicio anterior.
d) ¿Qu´e puede concluir del teorema en el caso a = 2, b = 4 y c = 3?
15. Demuestre que un entero positivo n es divisible por 3 si la suma de sus d´ıgitos es divisible por 3.
−
3. Considere el siguiente teorema incorrecto: umero naTeorema. (Incorrecto) Para todo n´ tural compuesto n, con n > 2 , 2 n + 13 no es un n´ umero primo.
a) Identifique las hip´otesis y la conclusi o´ n del teorema. b) Muestre que el teorema es incorrecto encontrando un contraejemplo. 4. Demuestre que la suma de dos enteros pares es siempre par.
96
5. Demuestre que la suma de dos enteros impares es siempre impar.
−
16. Demuestre tanto por el m´etodo directo como por el de contrapositiva que si a, b, y c son enteros positivos, a divide a b y a divide a c , entonces a divide a b + c. 17. Demuestre que si todo n u´ mero natural par mayor que 2 es la suma de dos primos, entonces todo nu´ mero natural impar mayor que 5 es la suma de tres primos. [El antecedente de esta implicaci´o n es conocido como la Con jetura de Goldbach, y es un famoso problema para el cual no se ha encontrado soluci´on.] 18. Sean a y b dos n´umeros reales. Demuestre
U E S
4. M´ D´
que si 0 < a < b , entonces a 2 < b 2 . 19. Sean a y b dos n u´ meros reales. Demuestre que si 0 < a < b , entonces 1/b < 1 /a2 . 20. Sean a y b dos n u´ meros reales. Demuestre que si a < b , entonces a+2 b < b . 21. Demuestre que la suma de dos nu´ meros racionales es un n u´ mero racional. 22. Sea a un n´umero real. Si a satisface la propiedad ( µ > 0)( a > µ), entonces a = 0.
∀
|| 23. Suponga que A − B ⊆ C ∩ D y que x ∈ A. Demuestre que si x D , entonces x ∈ B . 24. ¿Cual es el error en la siguiente demostraci´on de 1 = 2?
Demostraci´ on. Sea a = b. Si se multiplica ambos lados de la ecuaci o´ n por a obtenemos a2 = ab . Si ahora agregamos ( a2 2ab) a ambos lados, obtenemos a 2 + a 2 2 ab = ab + a2 2ab y luego sacamos factor com u´ n 2 en el lado izquierdo, tenemos 2( a2 ab) = a 2 ab. Ahora, si dividimos ambos lados por a2 ab, tenemos 2 = 1, que es lo que quer´ıamos de mostrar.
−
− −
−
− −
25. Considere el siguiente teorema:
Teorema. Suponga que x es un n´ umero real 3 x+4 y que x 2 . Si x−2 = 1 , entonces x = 3.
−
a) ¿Cu´al es el error en la siguiente demostraci´on del teorema? Demostraci´ on. Suponga que x = 3. En3(−3)+4 3 x+4 tonces x−2 = (−3)−2 = 55 = 1. Por lo
−
tanto, si
3 x+4 x 2
−
= 1, entonces x =
−3.
b) De una demostraci´on correcta para el problema. 26. Considere el siguiente teorema incorrecto: umeTeorema. (Incorrecto) Sean w y z dos n´ 3 4 3 ros reales con w 2. Si z w = 16 z , entonces z = 0 .
a) ¿Cu´al es el error en la siguiente demostraci´on del teorema? Demostraci´ on. Suponga que z3 w4 = 16 z3 , de donde z3 (w4 16) = 0. Ya que w 2, entonces w4 16, por lo que w4 16 0. Entonces podemos dividir a ambos lados de la ecuaci o´ n por w4 16, lo que nos lleva a la conclusi o´ n que z3 = 0 y, por lo tanto, a que z = 0.
−
−
−
b) Demuestre que el teorema es incorrecto encontrando un contraejemplo.
4.3 Demostrando Bicondicionales ....................................................................................................... Nos enfocamos ahora en la demostraci´ on de conclusiones con la forma general P Para este tipo de pruebas utilizamos la equivalencia
↔ Q .
( p
↔ q ) ⇔ [( p → q ) ∧ (q → p)]
que nos dice que un bicondicional puede expresarse como dos implicaciones, y, por lo tanto, es posible demostrarlo probando por separado cada una de ellas utilizando los metodos ´ vistos en la secci´on anterior.
EJEMPLO 4.6 Sea n un n´umero natural. Demuestre que n es par si y so´ lo si n 2 es par. Discusi´ on
97
4.3 D B
E M´
Ya que la conclusi´on del problema tiene forma de bicondicional, dividimos la demostraci´on en dos partes que deben probarse por separado. Si n es par, entonces n 2 es par. Ya que esta nueva conclusi´on es un condicional, asumimos que n es par y debemos demostrar que n2 es par. Pero si n es par, entonces puede escribirse como n = 2k para alg´un natural k . Sustityuendo en n 2 obtenemos, n2 = (2 k )2 = 4 k 2 = 2(2 k 2 )
Ya que 2k 2 es un entero, entonces n 2 tiene la forma n 2 = 2 m, con m = 2 k 2 , de donde n2 es un par. Si n 2 es par, entonces n es par. Ya que el concluyente de este condicional es relativamente simple con respecto al antecedente, utilizaremos el m´etodo por contrapositiva, por lo que asumimos que n es impar y demostramos que n 2 debe ser impar. Pero si n es impar, entonces tiene la forma n = 2 j + 1 para alg´un n´umero natural j. Sustityuendo en n 2 obtenemos, n2 = (2 j + 1)2 = (2 j)2 + 2 2 j + 12 = 4 j2 + 4 j + 1 = 2(2 j2 + 2 j) + 1
·
Ya que 2 j2 + 2 j es un n´umero entero, entonces n2 tiene la forma 2i + 1, con i = j2 + 2 j, por lo que n 2 es un n´umero impar. Soluci´ on
Teorema. Sea n un n´ umero natural. n es par si y s´ olo si n2 es par. Demostraci´ on. ( ) Primero asuma que n es un n´umero par, por lo que n = 2 k para alg´un entero k . De aqu´ı que, n 2 = (2 k )2 = 4 k 2 = 2(2 k 2 ) y ya que 2k 2 es un entero, n 2 es par. ( ) Demostramos la direcci´on opuesta por contrarec´ıproca. Asuma que n es impar, por lo que n = 2 j + 1 para alg´un entero j. De aqu´ı que n 2 = (2 j + 1) 2 = 4 j2 + 4 j + 1 = 2(2 j2 + 2 j) + 1 y ya que 2 j2 + 2 j es un entero, n 2 es impar.
→
←
Esta t´ecnica de partir un bicondicional fue tambi´en utilizada en la solucion ´ del ejemplo 3.14, donde demostramos que A B si y s´olo si A B = A. Ya que la conclusi´on era un bicondicional, la prueba fue dividida en dos partes:
⊆
∩
( A
⊆ B) → ( A ∩ B = A) ( A ∩ B = A) → ( A ⊆ B) cada una de las cuales fue demostrada individualmente. De la misma manera, ya que la definici´on de igualdad de conjuntos tiene la forma l´ ogica de un bicondicional, la misma t´ecnica puede fue utilizada para demostrar el primero de estos casos, donde para que A B = A sea verdadera, debe cumplirse que
∩
∀ x( x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A) 98
U E S
4. M´ D´
lo cual puede ser transformado con equivalencias l´ ogicas para obtener
∀ x( x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A) ⇔ ∀ x[( x ∈ A ∩ B → x ∈ A) ∧ ( x ∈ A → x ∈ A ∩ B)] ⇔ ∀ x( x ∈ A ∩ B → x ∈ A) ∧ ∀ x( x ∈ A → x ∈ A ∩ B) x A) y x( x A x A B) son verdaderas si y s´olo Note que x( x A B A B son verdaderas, respectivamente, por lo que para demostrar la si A B A y A igualdad demostramos que ambos conjuntos son subconjuntos del otro. Esta misma discusi´on aplica de manera general a la demostraci´on de teoremas cuya conclusi´on tiene la forma α = β, donde α y β son dos subconjuntos de un mismo U: para demostrar la igualdad, debe demostrarse por separado que α β y que β α .
∀ ∈ ∩ → ∈ ∩ ⊆ ⊆ ∩
∀ ∈ → ∈ ∩
⊆
⊆
4.4 Demostraci´on por casos ....................................................................................................... Es com´un que durante la demostraci´on de un teorema lleguemos a un punto donde sea natural que el argumento sea dividido en un n´umero finito de casos. Por ejemplo, es posible que al intentar de probar una propiedad sobre un entero n, sea ventajoso considerar dos posibilidades: cuando n sea par y cuando n sea impar. De la misma manera, cuando se intente probar una propiedad sobre un real x puede que nos convenga utilizar tres casos: on de dos conjuntos x < 0, x = 0 y x > 0. Si sabemos que un objeto x se encuentra en la uni´ A y B y queremos derivar un resultado a partir de ello, puede que sea ventajoso analizar los casos cuando x A y cuando x B. En cada uno de estos ejemplos, demostrar todos y cada uno de los casos por separado es equivalente a demostrar el teorema original. Los primeros dos ejemplos muestran dos propiedades importantes en este tipo de divisiones. La primera es que los casos son exhaustivos: todas las instancias del problema cumplen con al menos uno de los casos. En otras palabras, todas las posibilidades son cubiertas por los casos listados. Esta es una propiedad que debe cumplir toda divisi´ on en casos de un argumento. La segunda es que los casos son mutuamente excluyentes: todas las instancias del problema son cubiertas por a lo sumo uno de los casos. El tercer ejemplo muestra una divisi´on por casos exhaustiva pero no mutuamente excluyente (si un elemento x pertenece a la uni´on de A y B , es posible que pertenezca a ambos al mismo tiempo).
∈
∈
EJEMPLO 4.7 Demuestre que para todo n
4
2
∈ N, n − n
es divisible por tres.
Discusi´ on
Primero, como en todos los problemas, es necesario identificar los datos con los que contamos. La conclusi´on nos dice que n4 n 2 es divisible por 3, lo que nos lleva a que debe tener la forma n4 n2 = 3k para alg´un entero k . Sin embargo, la u´ nica hip´otesis disponible es que n es un n´umero natural, lo cual, expresado de esta manera, no provee
−
−
99
4.4 D ´
E M´
de una direcci´on clara a seguir para llegar a la conclusi´on. En estos casos, es util ´ partir el problema en casos. Una opci´on ser´ıa analizar cuando n es par y cuando n es impar. Si n es par, entonces tiene la forma n = 2 j para alg´un entero j, por lo que n4
2
−n
= (2 j)4
2
− (2 j)
= 16 j4
2
− 2 j
lo cual, desafortunadamente, no lleva a la conclusi´on que n4 n 2 es m´ultiplo de 3. Una situaci´on similar sucede en el caso en que n sea impar. Ya que la conclusi´on nos pide demostrar que un n´umero es divisible por 3, una divisi´on por casos m´as natural es aquella que toma en cuenta la divisibilidad (o no) de n por 3; es decir, dividir el problema en casos en que n sea o no divisible por 3. Esto trae consigo la ventaja de introducir un factor 3 en los c´alculos a realizar. Si n es divisible por 3, entonces tiene la forma n = 3 j para alg´un entero j, de donde
−
n4
2
−n
= (3 j)4
2
− (3 j)
= 3(9 j4
2
− 3 j )
Ya que 9 j4 3 j2 es un n´umero entero, entonces n 4 n2 es un m´ultiplo de 3 (y, por lo tanto, es divisible por 3). Si n no es divisible por 3, tenemos dos casos: que el residuo al dividir n por 3 sea 1 o que sea 2. En el primero, n = 3k + 1 para alg´un entero k , mientras que en el segundo, n = 3 j + 2 para alg´un entero j. Si n = 3 k + 1 para alg´un entero k ,
−
n4
2
−n
−
= (3 k + 1)4
2
− (3k + 1)
= [(3 k )4 + 4(3k )3 + 6(3k )2 + 4(3k ) + 1]
2
− [(3k ) + 2(3k ) + 1] = 3(27k + 36k + 18k + 4k − 3k − 2k ) + 1 − 1 4
3
2
2
= 3(27k 4 + 36k 3 + 15k 2 + 2k )
ya que (27k 4 + 36k 3 + 15k 2 + 2k ) es un entero, n 4 n4
2
−n
= (3 k + 2)4
2
−n
es un m´ultiplo de 3. Si n = 3 k + 2,
2
− (3k + 2)
= [(3 k )4 + 4(3k )3 (2) + 6(3k )2 (22 ) + 4(3k )(23 ) + 24 ]
2
− [(3k )
+ 2(3k )(2) + 22 ]
Note que a excepci´on de 24 y de 22 , todos los t´erminos tienen un factor 3 y son enteros, por lo que su suma o diferencia deber´ıa ser un m´ultiplo de 3; es decir, para alg´un entero m, n4
2
−n
= 3 m + 24
2
−2
= 3 m + 12 = 3( m + 4)
lo cual, ya que (m + 4) es un entero, es un m´ ultiplo de 3. Soluci´ on umero natural n, n4 Teorema. Para todo n´
100
2
−n
es m´ ultiplo de 3.
U E S
4. M´ D´
Demostraci´ on. Sea n un n´umero natural. Si n = 3k para alg´un entero k , tenemos que 4 2 n n = (3 j)4 (3 j)2 = 3(9 j4 3 j2 ). Ya que (9 j4 3 j2 ) es un entero, n 4 n2 es divisible por 3. Ahora, si n = 3 k + 1 tenemos,
−
−
n4
−
2
−n
= (3 k + 1)4
−
2
− (3k + 1)
= 3(27k 4 + 36k 3 + 15k 2 + 2k )
y ya que (27k 4 + 36k 3 + 15k 2 + 2k ) es un entero, n 4 n = 3 k + 2, n4
2
−n
= (3 k + 2)4
2
− (3k + 2)
−
2
−n
es divisible por 3. Finalmente, si
= 3(27k 4 + 72k 3 + 69k 2 + 28k + 4)
y como (27k 4 + 72 k 3 + 69 k 2 + 28 k + 4) es un entero, n4 concluye la demostraci´on.
− n
2
es divisible por 3, lo que
Muchas definiciones en matem´atica est´an estructuradas de tal manera que se prestan f´acilmente a una demostraci´ on por casos de los teoremas en las que se encuentran. Esto es especialmente cierto en las definiciones que contengan casos. Para el siguiente ejemplo, recuerde que el valor absoluto x de un n´umero real x es definido por x, x 0 x = x, x < 0
| |
||
≥
−
EJEMPLO 4.8 Demuestre que x + y
|
| ≤ | x| + | y| para todo x , y ∈ R.
Discusi´ on
Ya que el valor absoluto est´a definido por casos, dividiremos la demostraci´o n de esa manera. La forma natural de hacerlo es utilizar las condiciones de la definici´ on anterior. Es decir, dada una variable x , utilizar los casos x 0 y x < 0. Como tenemos dos variables con 2 casos cada una, el problema tiene un total de 22 = 4 casos:
≥
)
x 0, y 0 Ya que ambas variables son positivas, x + y
≥
≥
≥ 0 y, por lo tanto, | x + y| = x + y = | x| + | y|
lo cual cumple con la expresi´on que queremos demostrar. )
≥ 0, y < 0
x
A diferencia del caso anterior, no podemos estar seguros de cu´al es el signo de x + y a partir de x 0 e y < 0 ya que esto depender´a de cu´al variable tiene mayor valor y , entonces x + y ser´a mayor o igual a cero, mientras que si x < y , absoluto. Si x x + y ser´a negativo. Analizamos estos dos casos por separado.
≥ | | ≥| |
| | | |
101
4.4 D ´
E M´
≥ 0
x + y
x + y < x + 0 = x
| | ≤ | x| + | y|
x + y < 0
)
−( x + y) = − x + (− y) ≤ 0 + (− y) = | y| ≤ | x| + | y| En ambos casos | x + y| ≤ | x| + | y|. x < 0, y ≥ 0 Se demuestra de manera similar al caso ii.
)
x < 0, y < 0 Ya que ambas variables son negativas, x + y < 0, y tenemos
| x + y| = −( x + y) = − x + (− y) = | x| + | y| En los cuatro casos, podemos ver que x + y x + y . La elaboraci´on de la demostraci´on corta para este teorema queda como ejercicio al lector.
|
| ≤| | | |
Como se mencion´o anteriormente, para utilizar la t´ecnica de demostraci´ on por casos correctamente, los casos listados siempre deben ser exhaustivos. Sin embargo, como se muestra en el siguiente ejemplo, los casos no necesariamente deben ser mutuamente excluyentes.
EJEMPLO 4.9 Demuestre que para todo conjunto A y B , ( A B)
∩ ∪ ( A ∩ B) ⊆ A.
Discusi´ on
Como ya hemos visto anteriormente, para demostrar conclusiones del tipo α β , comenzamos asumiendo que x α y demostramos que x β . En este caso, debemos asumir que x ( A B ) ( A B ) e intentaremos demostrar que x A. Pero por nuestra suposici´on, sabemos que x A B o´ x A B , es decir, que se cumple que x A y x B o que x A y x B . Aunque no sabemos cu´al de las dos condiciones se cumple, s´ı sabemos que al menos una de ellas debe ser verdadera. Por lo tanto, es posible dividir el argumento en dos casos exhaustivos:
∈ ∩ ∪ ∩ ∈ ∩ ∈ ∈
∈
∈
∈ ∩
⊆
∈
∈
∈
Caso I: suponga que x A y x B. Ya que ambas proposiciones deben cumplirse para que la conjunci´on sea verdadera, entonces cada una de ellas es verdadera. De A, que es lo que quer´ıamos demostrar. Note que aqu´ı se utiliz´o la aqu´ı que x tautolog´ıa ( p q) p.
∈
∈ ∧ →
Caso II: suponga que x anterior, se cumple que x
∈
∈ Ayx ∈ ∈ A.
B . Por un razonamiento similar al del caso
Ya que estos dos casos cubren todas las posibilidades y para ambos tenemos x entonces el teorema se cumple para todo conjunto A y B .
102
∈ A,
U E S
4. M´ D´
Soluci´ on
∩ ∪ ( A ∩ B) ⊆ A. Demostraci´ on. Asuma que x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ), de donde x ∈ ( A ∩ B ) o x ∈ ( A ∩ B . En el primer caso x ∈ A y x ∈ B, por lo que x ∈ A. En el segundo, x ∈ A y x ∈ B , as´ı que tambi´en x ∈ A , lo que concluye la demostraci´on. Teorema. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces ( A B)
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Demuestre que n 3 toda n N.
∈
− n es divisible por 6 para
2. Demuestre que n 2 2 jam´as es divisible por 3 para toda n N.
∈
−
b) Si A
⊆ B , entonces A ∪ C ⊆ B ∪ C . c) Si A ∩ C ⊆ B ∩ C y A ∩ C ⊆ B ∩ C , entonces A ⊆ B .
− n es divisible por 5 para
10. Demuestre que para todo conjunto A y B, ( A B ) ( A B ) A .
4. Demuestre que n 3 + 2n es divisible por 3 para toda n N.
11. Utilice un m e´ todo indirecto junto con el m´etodo por casos para demostrar el siguiente teorema:
3. Demuestre que n 5 toda n N.
∈ ∈
| − x | = | x|. Demuestre que x + | x − 7| ≥ 7 para todo x ∈ R. Demuestre que | xy| = | x|| y| para todo x, y ∈ R.
5. Demuestre que 6. 7.
8. Para cualquier pareja x e y de n´umeros reales, definimos m´ax( x, y) = x
m´ın( x, y) = x
∨ y =
x, y,
∧ y =
y, x,
Demuestre que, para x , y , z
∈ R,
≤ x ≤ y y ≤ x x ≤ y y x
∩ ∪ ∩ ⊆
Teorema. Sean A, B y C subconjuntos cualesquiera de un mismo conjunto universal. Si A B y B C, entonces A C.
⊆
a) umeros Teorema. Si x, y e z son tres n´ reales cualesquiera, x ( y z) = ( x y) z. Demostraci´ on. Dividimos el argumento en los casos x < y < z y x > y > z. En el primer caso, x ( y z ) = x z = z = y z = ( x y) z, por lo que x ( y z) = ( x y) z. En el segundo caso, x ( y z) = x y = x = x z = ( x y) z, por lo que el resultado deseado se cumple aqu´ı tambi´en. En cualquiera de los casos, llegamos a la conclusi´on deseada.
∨ ∨
∧ ( y ∧ z) = ( x ∧ y) ∧ z b) ( x ∧ y) + ( x ∨ y) = x + y c) (− x) ∧ (− y) = −( x ∨ y) d) ( x ∨ y) + z = ( x + z) ∨ ( y + z) e) Si z > 0, entonces z ( x ∨ y) = ( zx ) ∨ ( zy)
a) Si A
⊆ C y B ⊆ C , entonces A ∪ B ⊆ C .
⊆
12. Para cada uno de los teoremas siguientes, determine si la demostraci´on dada es correcta. En caso que est´e incorrecta, reescr´ıbala eliminando sus deficiencias.
a) x
9. Demuestre por casos las siguientes proposiciones para conjuntos A, B y C cualesquiera, todos subconjuntos de un mismo conjunto universal.
⊆
∨ ∨ ∨ ∨ ∨
∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
∨ ∨ ∨
∨ ∨
b)
Teorema. Para cualquier pareja de
103
4.5 D C ´
E M´
−
reales positivos x e y, ln( x/ y) = ln x ln y [Nota: asuma que ya demostramos que (1) ln( xy) = ln x + ln y, para cualquier pareja de reales positivos x e y, y que (2) ln 1 = 0 ]. Demostraci´ on. Sea x un nu´ mero real cualquiera; comenzamos utilizando el caso especial y = 1/ x en (1). Por (2), tenemos 0 = ln 1 = ln( x 1/ x) = ln x + ln(1/ x). Por lo tanto, ln(1 / x) = ln x para cualquier x > 0. Luego, sea x e y reales po-
·
sitivos cualesquiera. Entonces ln( x/ y) = ln( x 1 / y) = ln x + ln(1/ y) = ln x ln y, como se quer´ıa demostrar.
·
−
c)
Teorema. Para cualquier pareja de con juntos A y B, subconjuntos de un mismo U , si B = A ( B A ) , entonces A B. Inicio de la demostracion. Sea x un elemento cualquiera de U. Claramente, x A o x A, por lo que dividimos el argumento en dos casos...
∩ ∩
⊆
∈
−
´ 4.5 Demostraciones por Contradiccion ....................................................................................................... Una variante de las pruebas por contrapositiva vistas en la secci´on 4.2 es la prueba por contradicci´ on (reductio ad absurdum). En su forma m´as general, demostrar una proposici´on p por contradicci´on significa mostrar que si no es verdadera obtenemos una contradicci´ on. Formalmente, esto significa demostrar que la proposici´ on p falso es verdadera. De aqu´ı sabemos por contrapositiva que verdadero p es verdadera, y esta implicaci´on es equivalente a p. Si queremos demostrar la proposici´on p q por contradicci´on, asumimos que p q es falso. Pero ya que p q es l´ogicamente equivalente a p q , que p q sea falso implica que ( p q ), o, equivalentemente p q, es verdadero. De esta suposici´ on intentamos derivar alguna proposici´ on que contradiga a alguna proposici´on que sabemos que es verdadera, ya sea p, alguna de nuestras hip´ otesis, o cualquier axioma o tautolog´ıa. q es verdadero, es lo mismo que asumir que p es verdadero Note que asumir que p y que q es falso. Pero asumir que p es verdadero es equivalente a tomarlo como una de nuestras hip´otesis, tal y como lo hac´ıamos en las demostraciones directas para condicionales. Sin embargo, a diferencia de dichas demostraciones, el concluyente de la conclusi´ on no se convierte en nuestra nueva conclusi´on, si no que su negaci´ on se convierte en una nueva hip´otesis y ahora la conclusi´ on buscada es una contradicci´on.
¬ → →
→
¬ ∨
→
→
¬ ¬ ∨
→
∧ ¬
∧¬
EJEMPLO 4.10 Sean n y m n´umeros enteros. Demuestre que si n m es par, entonces al menos uno de n o´ m debe ser par.
·
Discusi´ on
El teorema a demostrar tiene los siguientes datos: Hip´ otesis n y m son n´umeros enteros
104
Conclusi´ on (n m par) (n par m par)
·
→
∨
U E S
4. M´ D´
Para aplicar el m´etodo por contradicci´on, asumimos que el antecedente (n m par) de la conclusi´on es verdadero y que la negaci´on del concluyente ( [n par m par]) pares verdadera, y tratamos de llegar a una contradicci´ on. Es decir, modificamos el problema para obtener:
¬
Hip´ otesis n y m son n´umeros enteros n m par (n par m par)
∨
·
Conclusi´ on
·
¬ ∨ Pero ahora, ¬(n par ∨ m par) significa que ni n ni m son pares. Por lo tanto, pueden ser
escritos como n = 2 k + 1 para alg´un entero k y m = 2 j + 1 para alg´un entero j. Por lo tanto, n m = (2 k + 1)(2 j + 1) = 4 k j + 2k + 2 j + 1 = 2(2 k j + k + j) + 1
·
y como (2k j + k + j) es un n´umero entero, entonces n m es un n´umero impar. Pero ya que hab´ıamos asumido que n m era un n´umero par, encontramos la contradicci´on que dese´abamos, por lo que la suposici´on que (n par m par) debe ser falsa. Soluci´ on
·
·
¬
∨
Teorema. Sean n y m dos n´ umeros naturales. Si n m es par, entonces al menos uno de n o´ m debe ser par.
·
on. Sean n y m dos n´umeros naturales tal Demostraci´ on. Demostramos por contradicci´ que n m es par. Asuma que n y m son n´umeros impares, por lo que pueden ser escritos como n = 2k + 1 para alg´un entero k y m = 2 j + 1 para alg´un entero j. De aqu´ı que n m = (2k + 1)(2 j + 1) = 4k j + 2 k + 2 j + 1 = 2(2k j + k + j) + 1. Ya que (2k j + k + j) es un entero, n m es un n´umero par. Ya que e´ sta es una contradicci´on, concluimos que el teorema es verdadero.
·
·
·
No siempre existe una distinci´on clara entre una demostraci´ on por contrapositiva y una por contradicci´on. Cualquier demostraci´on por contrapositiva que pruebe que p q es verdadera puede f´acilmente ser reformulada como una demostraci´ on por contradicci´on. En lugar de asumir que q es verdadera e intentar demostrar p, asumimos que p y q son verdaderas y derivamos p. En ese caso la contradiccio´ n ser´ıa que tanto p como p son verdaderas. Como se discuti´o al final de la secci´on 3.2, las demostraciones por contradicci´on son u´ tiles en la teor´ıa de conjuntos para probar teoremas cuya conclusi´on afirma que alg´un conjunto es igual al conjunto vac´ıo. Esta t´ecnica se utiliz´o para la soluci´on del ejemplo 3.20 y se utilizar´a para la soluci´on del siguiente ejemplo.
→
¬
¬
¬
EJEMPLO 4.11 Demuestre que para todos los conjuntos A y B subconjuntos de un mismo U, si A entonces A B = .
∩
∅
¬ ¬
⊆ B,
Discusi´ on
Primero observamos que el problema tiene los siguientes datos: 105
4.5 D C ´
E M´
Hip´ otesis A y B son conjuntos cualesquiera
( A
Conclusi´ on B) ( A B = )
⊆ → ∩
∅
Ya que la conclusi´on tiene la forma de una implicaci´on podemos cambiar el problema de la siguiente manera: Hip´ otesis A y B son conjuntos cualesquiera A B
Conclusi´ on A B =
∩
⊆
∅
Para finalmente utilizar el m´etodo por contradicci´ on para obtener el problema: Hip´ otesis A y B son conjuntos cualesquiera A B A B
∩
⊆
Conclusi´ on Contradicci´on
∅
A B . Pero por definici´on de Pero si A B , entonces existe un x tal que x la intersecci´on, si un elemento cualquiera pertenece a la intersecci´on de A y B , entonces debe pertenecer a ambos conjuntos; es decir, x A y x B . Pero ya que A B, sabemos que cualquier elemento de A debe ser tambi´en elemento de B . En particular, ya que x A, entonces x B. He aqu´ı la contradiccion ´ que busc´abamos, ya que tenemos que x B y on de x B , las cuales no pueden suceder ambas al mismo tiempo (esta es una contradicci´ la forma p p), lo cual completa nuestra prueba. Soluci´ on
∩
∅
∈ ∩ ∈
∈
⊆
∈ ∈
∈ ∧¬
∈
Teorema. Para todos los conjuntos A y B subconjuntos de un mismoU , si A A B = .
∩
⊆ B, entonces
∅
on. Sean A y B conjuntos cualesquiera tales Demostraci´ on. Procedemos por contradicci´ que A B. Asuma que A B . Entonces existe al menos un elemento x tal que x AB . Ya que x A B , sabemos que x Ay x B . Pero como x A y, por hip´otesis, A B, tenemos que x B. Pero entonces tenemos x B y x B . Esto es una contradicci´on, por lo que nuestra suposici´on que A B no puede ser verdadera.
∈
⊆
⊆
∈ ∩
∩
∅
∈
∈
∩
∈ ∈ ∅
∈
∈
Aunque la demostraci´on del siguiente teorema requiere de conocimientos de geometr´ıa, muestra como ´ la demostraciones por contradicci´ on pueden utilizarse en ramas de la matem´atica distintas a las que hemos tratado hasta ahora. A´un si el lector no est´a familiarizado con los conceptos utilizados en la prueba, que constituye la demostraci´on del postulado 6 del Libro I de los Elementos de Euclides, s´ı deber´a reconocer los pasos b´asicos de las demostraciones por contradicci´on.
Teorema. Si dos angulos ´ de un tri´ angulo son iguales, entonces sus lados opuestos deben ser iguales. Demostraci´ on. Sea ABC un tri´angulo en el cual el a´ ngulo ABC es igual al a´ ngulo ACB . Asumimos que AB no es igual que AC , por lo que uno de ellos deber´a tener mayor longitud.
106
U E S
4. M´ D´
Sin p´erdida de generalidad, asumimos que AB es el lado m´as largo y que de AB cortamos DB igual a AC , el cual es m´as corto y trazamos DC . Entonces, ya que construimos a DB igual que AC y BC es com´un a los tri´angulos DBC y ACB, los lados DB y BC son iguales a los lados AC y C B, respectivamente. Pero como el a´ ngulo DBC es igual al ´angulo ACB, los tri´angulos DBC y ACB son congruentes y, por lo tanto, tienen a´ reas iguales. Esto es una contradicci´on, por lo que la suposici´on que AB no es igual a AC es falsa. Finalizamos esta secci´on con la demostraci´o n de dos famosos teoremas de la antig¨uedad. El primero fue demostrado por los Pitag´oricos, una sociedad secreta que data a 500 A.C. y que mezclaba el misticismo con las matem´aticas. Dicho teorema y la existencia de un poliedro regular de doce lados se encontraban entre sus m´as preciados secretos. El segundo teorema fue demostrado por Euclides alrededor del a˜ no 300 A.C.
Teorema.
√
2 es un n´ umero irracional.
√
on, asumimos que 2 es racional. Entonces Demostraci´ on. Para obtener una contradicci´ podemos escribir 2 = a /b, donde a y b son enteros, b es diferente de cero, y la fracci´on se encuentra en su m´ınima expresion ´ (ya no puede ser simplificada). Al elevar ambos lados 2 2 al cuadrado obtenemos 2 = a /b , de donde 2b2 = a 2 . Pero esto implica que a 2 es par, por lo que a es par2 . Pero si a es par, a2 es m u´ ltiplo de 4. Debido a la igualdad 2b2 = a 2 , 2 b2 es tambi´en un m´ultiplo de 4. Esto implica que b 2 es par y, por lo tanto, b es tambi´en par. Pero ya que a y b son ambos pares, la fracci´on a/b no se encuentra en su m´ınima expresi´on. Esto es una contradicci´on, por lo que la suposici´on que 2 es racional debe ser falsa.
√
√
umeros primos. Teorema. Existen infinitos n´ Demostraci´ on. Suponga que p1 = 2 < p2 = 3 < . . . < pr son todos los primos. Sea P = p1 p2 . . . p r + 1 y sea p un primo que divide a P. Entonces p no puede ser alguno de los p1 , p2 , . . ., pr , de lo contrario ya que p tambi´en dividir´ıa a p1 p2 . . . p r , p dividir´ıa a su diferencia P p1 p2 . . . p r = 1, lo cual es imposible. Es por esto que p es un primo no incluido en nuestra lista original, por lo que p1 , . . ., pr no pueden ser todos los primos3 .
−
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Demuestre que si x > 0, entonces x + 1.
√
√ x
<
2. Demuestre que x 2 y2 = 1 no tiene soluciones enteras positivas.
−
3. Demuestre que todo n u´ mero primo mayor que 2 es un n u´ mero impar.
4. Demuestre que para toda pareja de conjuntos A y B, si ( B A ) ( B A = B, entonces A = .
∅
∩ ∪ ∩
5. Demuestre que para todos los conjuntos A y B, ( A B ) ( A B) ( A B ) ( A B) = .
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪
∅
6. Demuestre que para conjuntos A , B y C cua-
2
Aqu´ı utilizamos el teorema demostrado en el ejemplo 4.6. Es un error com´un pensar que esta demostraci´on dice que el n´umero p 1 p2 . . . pr + 1 es un primo. De hecho, la prueba s´olo utiliza el hecho que existe un primo que divide a dicha expresi´on. 3
107
4.5 D C ´
∩ B = ∅ y C ⊆
lesquiera, si A A C = .
∩
∅
E M´
B, entonces
7. Demuestre que s o´ lo una l´ınea puede ser dibujada perpendicular a una l´ınea recta dada desde un punto sobre ella. 8. Demuestre que si ABC no es un tri a´ ngulo is´osceles, entonces la altura BD no bisecta al lado AC .
9. Si las longitudes a, b y c de los lados de un tri´angulo satisfacen la relaci o´ n a 2 + b 2 = c2 , entonces el tri a´ ngulo es rect´angulo [Nota: puede asumir que ya se demostr o´ la rec´ıproca de este teorema]. 10. Demuestre que 11. Demuestre que
√ √ 3 es irracional. n
2 es irracional.
12. Demuestre que si x es un nu´ mero racional e
N H´ La prueba sobre la existencia de infinitos primos presentada en este cap´ıtulo es, de hecho, muy diferente a la demostraci´on escrita por Euclides. Ahora entendemos a los enteros como objetos abstractos, pero los antiguos Griegos los entend ´ıan como longitudes de sementos de l´ınea (m´ultiplos de alg u´ n segmento de l´ınea unitario). Donde hablamos de divisibilidad, Euclides habl o´ de “mediciones”, tratando a una longitud a como medidora (divisora) de una longitud b si un nu´ mero entero de segmentos de longitud a forman una longitud igual a b . Los antiguos Griegos tampoco ten´ıan nuestro concepto moderno del infinito. Por ejemplo, ellos consideraban a las l´ıneas como algo que pod´ıa extenderse indefinidamente, no como algo infinito del cual s o´ lo podemos ver una parte. Por esta raz o´ n Euclides no pudo haber escrito “existen infinitos n u´ meros primos”. En lugar de ello, escribi o´ “hay m´as n´umeros primos que cualquier cantidad propuesta de n u´ meros primos” (Los Elementos de Euclides, Libro IX, postulado 20). Finalmente, Euclides algunas veces escribi´o sus “demostraciones” en un estilo que ser´ıa inaceptable en nuestros d´ıas, dando un ejemplo en lugar de demostrar el caso general. Era claro que entend´ıa el caso general, s´ımplemente no ten´ıa la notaci o ´ n para expresarlo. La prueba de este teorema, que se presenta a continuaci´on, es precisamente uno de esos casos. as n´ umeros primos que cualquier cantidad propuesta de n´ umeros priTeorema. Hay m´ mos. Demostraci´ on. Sean A, B y C los nu´ meros primos propuestos. Yo sostengo que existen m´as nu´ meros primos que A, B y C . Tome el menor n u´ mero DE medido por A, B y C . Agregue la unidad DF a DE . Entonces EF es primo o no. Primero, dejemos que sea primo. Entonces los n u´ meros primos A , B , C y E F han sido encontrados que son m a´ s que A, B y C . Luego, sea EF un nu´ mero no primo. Entonces es medido por alg u´ n nu´ mero primo. Deje que sea medido por un n u´ mero primo G . Yo sostengo que G no es igual que ninguno de los n´umeros A, B y C . De ser posible, que lo sea. Ahora A, B y C miden a DE , por lo que G tambi´en mide a DE . Pero tambi´en mide a EF . Por lo tanto G , siendo un n´umero, mide a su residuo, la unidad DF , lo cual es absurdo. Por lo tanto, G no es lo mismo que ninguno de los n´umeros A, B y C . Y por hip´otesis, es primo. Por esto los n´umeros primos A, B, C y G han sido encontrados y son m´as que la cantidad propuesta de A , B y C . Por lo tanto, hay m´as n´umeros primos que cualquier cantidad propuesta de n´umeros primos.
108
U E S
4. M´ D´
y es un n u´ mero irracional, entonces x + y es un n u´ mero irracional.
√
13. He aqu´ı otra demostraci´o n de que 2 es irracional, tomada de la American Mathematical Monthly, v.116, #1, Ene. 2009, p.69:
√
Demostraci´ on. Suponga que 2 es racional y escoja el m´ınimo entero, q > 0, tal que ( 2 1)q es un entero no negativo. Sea q =
√
−
√
( 2 1)q. Claramente, 0 < q < q. Pero un c´omputo f a´ cil muestra que ( 2 1) q es un entero no negativo, contradiciendo la mi nimalidad de q.
−
√
−
Esta es una demostraci o´ n escrita para una audiencia de profesores universitarios, y es mucho m´as corta que lo deseable para nuestros prop´ositos. Escriba una versi o´ n m´as completa que incluya una explicaci o´ n de cada paso.
´ Matematica ´ 4.6 El Principio de Induccion ....................................................................................................... En las secciones anteriores estudiamos t´ecnicas de demostraci´on que pueden ser utilizadas para razonar cualquier t´opico matem´atico. En esta secci´on discutiremos un m´etodo on matem´ atica, dise˜nado para probar proposiciones sobre de prueba m´as, llamada inducci´ una de las estructuras matem´aticas m´as fundamentales: los n´umeros naturales. Para entender c´omo funciona la inducci´on, imag´ınese que entra a clase y descubre que su profesora ha traido consigo una bolsa llena de chocolates. Despu´es de enumerar a los estudiantes con 1, 2, 3, 4, y as´ı sucesivamente, ella ofrece compartir los chocolates con los alumnos siguiendo dos reglas: 1. El estudiante 1 recibe un chocolate 2. Para todos los n N, si el estudiante n recibe un chocolate, entonces el estudiante n + 1 tambi´en recibe un chocolate.
∈
Puede imaginar a la segunda regla como una manera compacta de escribir una larga serie de proposiciones, uno por cada valor natural de n : Si el estudiante 1 recibe chocolate, entonces el estudiante 2 recibe un chocolate. Si el estudiante 2 recibe chocolate, entonces el estudiante 3 recibe un chocolate. Si el estudiante 3 recibe chocolate, entonces el estudiante 4 recibe un chocolate. ...
Imag´ınese que usted es el estudiante 13. Bajo estas reglas, ¿tendr´a derecho a un chocolate? Bueno, el estudiante 1 recibe un chocolate por la primer regla. Por lo tanto, por la segunda regla, el estudiante 2 tambi´en recibe un chocolate, que significa que el estudiante 3 tambi´en recibe chocolate, que significa que el estudiante 4 recibe chocolate, y as´ı sucesivamente hasta llegar a que el estudiante 12 recibe un chocolate y, por lo tanto, usted reciba uno. Como usted podr´a observar, la segunda regla de la profesora de hecho asegura que todos los estudiantes reciben chocolate siempre y cuando se cumpla la primera regla, sin importar cu´an grande sea la clase. Ahora suponga que queremos demostrar que todo n´umero natural cumple con alguna 109
4.6 E P I ´ M ´
E M´
propiedad P. En otras palabras, quiere demostrar que para todo n N, el predicado P(n) es verdadero. A diferencia de los alumnos en una clase, existen infinitos n´ umeros naturales, por lo que no es posible comprobar uno a uno que cumplen cumplen con el predicado P(n). Sin embargo, es posible utilizar una idea similar a la usada en el problema anterior: comenzamos con 1 y repetidamente agregamos 1. Es decir, es posible demostrar que todo n´umero natural cumple con P(n) mostrando que dicho predicado es verdadero para 1 y que cuando le agreguemos 1 a un n´umero k para el cual P(k ) sea verdadero, el nu´ mero resultante tambi´en cumple con la propiedad P. Esto garantizar´ıa que, mientras se avanza en la lista de n´umeros naturales, comenzando con 1 y repetidamente agregando 1, cada n´umero que encuentre debe tambi´en cumplir con P . En otras palabras, todos los n´umeros naturales tienen la propiedad P . Este mismo razonamiento se resume en un principio llamado inducci´ on matem´ atica:
∈
P I ´ M ´ Suponga que P(n) es un predicado sobre un entero n . Entonces para demostrar que P(n) es verdadero para todo n n 0 , es suficiente mostrar que
≥
1. P(n0 ) es verdadero 2. Para cualquier k n 0 , si P (k ) es verdadero, entonces P (k + 1) es verdadero.
≥
En el ejemplo de la profesora y sus chocolates, suponga que P(n) es el predicado “el estudiante n recibe un chocolate”. Entonces la primera regla de la profesora asegura que P(1) es verdadera, y su segunda regla asegura que para todo n N, P (n) implica P (n + 1). Dados estos hechos, el principio de la inducci´ on dice que P(n) debe ser verdadero para todo n N. En otras palabras, todos en la clase reciben un chocolate. A continuaci´on se presenta el principio de inducci´ on aplicado a la demostraci´on de la f´ormula cl´asica de la sumatoria.
∈
∈
EJEMPLO 4.12 Demuestre que para todo n
∈ N: 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2
(4.1)
Discusi´ on
Primero realizaremos un peque˜ no an´alisis sobre la expresi´on a demostrar. El lado izquierdo de la ecuaci´on representa la suma de todos los n´umeros enteros desde 1 hasta n. Al igual que con el m´etodo h´ıbrido de descripci´ on de conjuntos visto en la secci´ on , es tarea del lector encontrar el patr´on descrito por la expresi´on y reemplazar a . . . por los t´erminos faltantes. El significado de la suma en la proposici´on a demostrar no es tan obvio en algunos casos especiales: Si n = 1, entonces solo hay un t´ermino en la sumatoria, por lo que 1 + 2 + 3 + . . . + 110
U E S
4. M´ ´ D
nar por la aparici´on de los t´erminos erminos 2 y 3 o por la aparente n = 1. No se deje enga˜ sugerencia que 1 y n son t´erminos erminos distintos. Si n 0, entonces no hay t´ermino ermino alguno en la sumatoria. Por convenci´on, la suma en este caso es 0.
≤
As´ As´ı que aunque la notaci´ notacion o´ n de puntos suspensivos es conveniente, debe tener cuidado de estos casos especiales donde la notaci´ notacion o´ n es contraintuitiva. Es posible eliminar la necesidad de adivinar el patr´ patron o´ n si escribimos el lado izquierdo on de sumatoria sumatoria: de la ecuaci´ ecuacion 4.1 o´ n 4.1 utilizando utilizando la notaci´ n
i=1
i
o´
i
1 i n
≤≤
Ambas expresiones denotan la suma de todos los valores tomados por la expresi´ expresion o´ n a la derecha de la letra sigma a medida que la variable i var´ var´ıa ıa desde 1 hasta n. Ambas expresiones con sumatorias son claras en cuanto a qu´ e significa la ecuaci´on 4.1 on 4.1 cuando n = 1. La segunda segunda expresi expresi´ on ´ hace ha ce expl´ exp l´ıcito ıcito que cuando c uando n = 0 no hay t´erminos erminos en la suma, aunque el lector a´un deber´a saber la convenci´on on que una suma sin t´erminos erminos es igual a 0 (por cierto, el producto de ning´un n´umero umero es 1). Antes de iniciar la demostraci´on, podemos intentar comprobar que el patr´on dado en efecto se cumple para algunos valores de n : n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
: : : :
1 = 1(1 + 1)/2 1 + 2 = 2(2 + 1)/2 1 + 2 + 3 = 3(3 + 1)/2 1 + 2 + 3 + 4 = 4(4 + 1)/2
Al varificar varificar estas f´ formulas, ´ el lector probablemente notar´a que para comprobar un caso espec´ espec´ıfico, ı fico, por por ejempl ejemplo o n = 4, no es nece necesa sari rio o real realiz izar ar toda toda la arit aritm metic e´ ticaa del del lado lado izqu izquie ierd rdo: o: 1 + 2 + 3 + 4. Podemos tomar el lado izquierdo de la f ormula o´ rmula anterior, que ya calculamos, y simplemente sumarle 4. Cuando calculamos 1 + 2 + 3, obtuvimos 3(3 + 1)/2, por lo que nuestra nuestra respuesta respuesta para 4 debiera debiera ser: 3(3 + 1)/2 + 4 = 4(3 /2 + 1) = 4(3 + 2)/2 = 4(4 + 1)/2 que es lo que quer´ quer´ıamos ıamos comprobar. comprobar. Ahora que realizamos realizamos este paso, podemos calcular n = 5 de la misma forma, tomando el resultado que acabamos de obtener para n = 4 y agreg´andole andole 5: 4(4 + 1)/2 + 5 = 5(4 /2 + 1) = 5(4 + 2)/2 = 5(5 + 1)/2 Estos dos c´ calculos a´ lculos son muy similares y en ambos casos podemos obtener el patr´ patron o´ n que constituye una estamos buscando. Recuerde, sin embargo, que lo realizado hasta ahora no constituye prueba formal del teorema; simplemente se tomaron algunas instancias para probar que la igualdad en efecto se cumple para algunos valores espec´ espec´ıficos ıficos de n . Este paso, aunque 111
4.6 E P ´ M ´ I
E M ´
no es necesario en una demostraci´ on por inducci´on, es usualmente util u´ til para entender un problema para el cual el significado de la proposici´ on a demostrar no es tan claro o para encontrar un patr´on que pueda servirnos en la demostraci´ on. Para obtener una demostraci´ demostracion o´ n formal, suponga que definimos el predicado P (n) como “1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n + 1)/2”. Reescrito en t´ termino e´ rmino de predicados, el teorema a demostrar asegura que P(n) es verdadero para todo n N. Esto es conveniente ya que el principio de inducci´ induccion o´ n nos permite llegar justamente a esa conclusi´ conclusion, o´ n, siempre y cuando establezcamos la veracidad de las siguientes dos proposiciones:
∈
P(1) es verdadero.
∈ ∈ N, P(k ) implica P(k + 1).
Para todo k
As´ı que ahora nuestro trabajo se reduce a demostrar estas dos proposiciones. La primera es verdadera ya que P (1) nos dice que la suma de un solo t´ ermino es igual a 1(1 + 1)/2 = 1. La segunda proposici´on es m´as as complicada, pero recuerde el plan b´asico para demostrar la validez validez de cualquier cualquier implicaci´ on: asuma que el antecedente es verdadero y demuestre el concluyente. concluyente. En este caso, asumimos P (k ): ): 1 + 2 + 3 + . . . + k =
k (k + 1)
2
para demostrar P (k + 1): 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2) 2
Estas dos ecuaciones son muy similares, y, como vimos anteriormente, es posible obtener el resultado de un n espec´ espec´ıfico ıfico sum´ sumandole a´ ndole n al resultado del caso anterior. De manera gene genera ral, l, si se le suma suma (k + 1) a ambo amboss lado ladoss de la igua iguald ldad ad repr repres esen enta tada da por por P(k ), ), obtene obtenemos mos la igualdad representada por P (k + 1): 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = =
k (k + 1)
2
+ (k + 1)
(k + 2)(k + 1) 2
Por lo tanto, si P(k ) es verdadero, entonces P(n + 1) tambi´ tambien e´ n lo es. Este argumento es valido a´ lido para todo n´ numero u´ mero natural k , as´ as´ı que esto establece la veracidad de la segunda proposici´ proposicion o´ n requerida por el principio de inducci´ induccion. o´ n. En efecto, hemos demostrado de un solo golpe que P (0) implica P (1), P (1) implica P (2), P (2) implica P (3), etc. Ya que demostramos la veracidad de las dos proposiciones requeridas por el principio de inducci´on, on, entonces el predicado P (n) es verdadero para todo los naturales n, por lo que el teorema queda demostrado. En una demostraci´ demostracion o´ n por inducci´ induccion o´ n como la anterior, es de vital importancia que las dos partes esenciales del principio de inducci´ induccion o´ n est´ esten e´ n presentes: (1) que se muestre que 112
U E S
4. M´ ´ D
el predicado es verdadero cuando n = n0 , y (2) que se muestre en general que cuando se ha obtenido la veracidad para un valor de n (n = k ), ), podemos derivar la veracidad del siguiente valor (n = k + 1). Son estos dos hechos juntos que nos permiten concluir n0 . Ninguna de estas proposiciones por la veracidad del predicado para todo entero n s´ı mismas son suficientes. Por un lado, el predicado para n = n0 o incluso para el primer mill´ millon o´ n de valores de n puede ser verdadero por accidente. Por otro lado, no bastar´ bastar´ıa ıa saber que podemos derivar la veracidad del caso cuando n = k + 1 a partir del caso n = k si nunca podemos iniciar el “efecto domin´ domino” o´ ” mostrando que realmente es verdadero para alg´ algun u´ n valor inicial de k . La demost demostrac raciion ´ del ejemplo anterior es relativamente simple, pero incluso la m´ as complicada complicada demostraci´ demostraci´on on por inducci´on on sigue exactamente el mismo patr´ on. Existen cuatro componentes principales:
≥
1. Exprese que la demostracion o´ n utiliza induccion. o´ n. Esto inmediatamente transmite la estructura estructura general de la demostraci´ on, ayud´andole andole al lector a entender entender su argumento. argumento. 2. Defina un predicado P(n) apropiado. La conclusi´on eventual del argumento por inducci´on ser´a que P (n) es verdadero para todos los naturales n. Por lo tanto, debe definir definir el predicado predicado P (n) para que su teorema sea equivalente o sea una consecuencia de esta conclusi´on. Muchas veces el predicado puede salir directamente del teorama a demosotesis inductiva. trar, como en el ejemplo anterior. El predicado P(n) es llamado la hip´ En algunas ocasiones la hip´ hipotesis o´ tesis inductiva se referir´ referira´ a mas a´ s de una variable, en cuyo caso es necesario necesario indicar cu´ cual a´ l variable es la correspondiente a n . 3. Demuestre que P (n0 ) es verdadero. Esta parte de la prueba es llamada el caso base o el paso base.
´ 4. Demuestre que P (n) implica P (n + 1) para todo n umero natural n . Esto es llamado on. El plan b´asico el paso inductivo o el paso por inducci´ asico es siempre el mismo: asumir que P (n) es verdadera y luego utilizar dicha suposici´on para demostrar demostrar que P (n + 1) es verdadero. Estas dos proposiciones debieran ser muy similares, pero cerrar la brecha entre una y otra puede requerir de mucho ingenio. Cualquiera sea el argumento que se utilice, debe ser v´alido alido para todo n´umero natural mayor o igual a n , ya que el objetivo es probar de una sola vez las implicaciones P(1) P(2), P (2) P(3), P(3) P(4), etc.
→
→
→
A continuaci´on se presenta una versi´ on m´as as clara de la demostraci´on por inducci´on efectuada efectuada en el ejemplo 4 ejemplo 4.12. .12.
Teorema. Para todo n
∈ N , 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2
on. Sea P (n) el predicado Demostraci´ Demostracion. ´ Procedemos por inducci´ 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2 113
4.6 E P I ´ M ´
E M´
Para demostrar que P (n) es verdadero para todo n
≥ 1,
Caso Base. Debemos mostrar que P(1) es verdadero. P (1) es la proposici´on 1 = 1(1 + 1) /2, lo cual es verdadero. Hip´otesis inductiva k 1
≥
1 + 2 + 3 + . . . + k = k (k + 1)/2
y
Proposici´on a demostrar en el paso inductivo 1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1) = ( k + 1)((k + 1) + 1)/2
Paso Inductivo 1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1) = (1 + 2 + . . . + k ) + (k + 1) = k (k + 1)/2 + (k + 1)
(por la hip´otesis inductiva)
= ( k + 1)(k /2 + 1) = ( k + 1)(k + 2)/2 = ( k + 1)((k + 1) + 1)/2
Aunque no se siga exactamente el formato anterior, para escribir claramente una demostraci´on por inducci´on es aconsejable que se mencione expl´ıcitamente cual ´ es la proposici´on a demostrar, cu´al es la proposici´on a la cual se reduce en el caso base, la hip´otesis inductiva, la proposici´on a demostrar en el paso inductivo y el punto durante el paso inductivo en el cual se utiliza la hip´ otesis inductiva. Existen ciertas situaciones matem´aticas que se prestan especialmente bien a las demostraciones por inducci´on. Una de ellas ya fue analizada en el ejemplo 4.12. El resultado en dicho ejemplo es conocido como una f o´ rmula de sumatoria, una f o´ rmula que da como resultado, para cada entero natural n, la suma de n n´umeros con la forma dada. Se dice que las f o´ rmulas de este tipo son las formas cerradas de la sumatoria dada. Note que la ´ para demostrar que la f o´ rmula se cumple para todo natural, inducci´on en estos casos es util pero no para descubrirla. Otra categor´ıa de problemas son aquellos que tienen que ver con divisibilidad. Se dice que un entero a divide a un entero b , denotado a b , si y s´olo si existe un entero m tal que b = ma . Por ejemplo, 72 22 = 45 = 5 9, por lo que 5 (7 2 22 ). Una generalizaci´on de esto se muestra en el siguiente ejemplo:
−
EJEMPLO 4.13 Demuestre que 5 (7 n
|
114
n
·
− 2 ) para todo n ∈ N.
|
|
−
U E S
4. M´ D´
Discusi´ on
Intentemos demostrar esto por inducci´ on. El primer reto es siempre el de seleccionar una hip´otesis inductiva adecuada. Su primer instinto deber´ıa ser en intentar sacar la hip´otesis directamente de la conclusi´on a demostrar. Por lo tanto, en este caso, nuestro P(n) ser´a el predicado “5 (7 n 2n )”. Ahora debemos ocuparnos del caso base demostrando que P(1) es verdadero. Como es usual para este caso, esto es relativamente f a´ cil: 5 (7 1 21 ), ya que 5 es un m´ultiplo de 5. Nuestra siguiente tarea, el paso inductivo, es t´ıpicamente la parte m´as dif ´ıcil de una prueba por inducci´on. Debemos demostrar que P (k ) implica P (k + 1). Por lo tanto, asumimos P (k ): 5 (7 k 2k )
|
−
| −
|
−
para demostrar P (k + 1): 5 (7 k +1
|
k +1
−2
)
Note que por definici´on de divisibilidad, P (k ) es equivalente a decir que 7k 2k = 5 m para alg´un n´umero entero m. Para continuar la demostraci´on, una t´ecnica muchas veces util ´ en este tipo de problemas es intentar modificar la expresi´on de P (k + 1) para que, de alguna manera, aparezca la expresi´on correspondiente a P (k ), lo quenos permite utilizar la hip´ otesis inductiva. En este k +1 k +1 caso, lo primero que buscamos es modificar 7 2 para que contenga la expresi´ on 7k 2k . Para esto, notemos que,
−
−
−
7k +1
k +1
−2
= 7 7k
k +1
· −2 = (5 + 2) · 7 − 2 = 5 · 7 + 2 · 7 − 2 = 5 · 7 + 2 · (7 − 2 ) k +1
k
k k
k
k
k +1 k
En este punto, podemos utilizar nuestra hip´otesis inductiva para obtener 5 7k + 2 (7k
k
k
· − 2 ) = 5 · 7 + 2 · 5m = 5 · (7 + 2m)
·
(por hip´otesis inductiva)
k
Ya que m y k son enteros, 7k + 2m es un n´umero entero y 5 (7k + 2m) es un m´ultiplo de 5. De aqu´ı que 7k +1 2k +1 es un m´ultiplo de 5, como se quer´ıa demostrar.
−
·
Soluci´ on
Teorema. 5 (7 n
|
n
− 2 ) para todo n ∈ N.
Demostraci´ on. Procedemos por inducci´on. Sea P (n) el predicado 5 (7 n
|
n
− 2 ). 115
4.6 E P I ´ M ´
E M´
Caso Base. Debemos mostrar que P (1) es verdadero. P (1) es la proposici´ on 5 (7 1 es verdadero.
1
| − 2 ), lo cual
Hip´otesis inductiva k 1
≥
5 7 k
y
Proposici´on a demostrar en el paso inductivo 5 7 k +1
|
k
| − 2
k +1
−2
Paso Inductivo 5 (7 k
k
k
k
k
k
k
| − 2 ) ⇒ 5 | [5 · 7 + (7 − 2 ) + (7 − 2 )] ⇒ 5 | (5 · 7 + 2 · 7 − 2 · 2 ) ⇒ 5 | (7 · 7 − 2 ) ⇒ 5 | (7 − 2 ) La primera implicaci´on es justificada por el hecho que 5 · 7 es m´ultiplo de 5. Las k k
k +1
k
k
k +1
k +1
k
siguientes implicaciones simplemente reescriben el t´ermino de la derecha. El ´ultimo predicado es P (n + 1), por lo que hemos demostrado que P (n) implica P (n + 1) para todo n N.
∈
Por el principio de inducci´ on, P (k ) es verdadera para todo n teorema.
∈ N, lo que demuestra el
Esta demostraci´on podr´ıa parecer misteriosa para alguien que no tuviera acceso a la discusi´on anterior a ella. En particular, alguien podr´ıa preguntarse c´ omo tuvimos la previk si´on de introducir el t´ermino m´agico 5 7 y de agregar un segundo t´ermino 7k 2k . Desde luego, esta no fue previsi´on alguna; simplemente trabajamos de manera inversa cuando busc´abamos la soluci´on al problema. Esto parece as´ı ya que, a diferencia de la demostraci´on en el ejercicio 4.12, donde se modific´o a P (k + 1) utilizando a P (k ) en el proceso, en este ejemplo se inici´ o por P(k ) y se lleg´o a que esto implicaba P(k + 1) (es por esto que no se hace menci´on de en qu´e momento se utiliza la hip´otesis inductiva; ¡es el punto de partida!). Ambas formas de justificar el paso inductivo son igualmente aceptables. Es de hacer notar que las categor´ıas aqu´ı mencionadas para los problemas matem´aticos que pueden demostrarse a trav´e s del principio de inducci´o n no son exhaustivas. As´ı mismo, no todas las proposiciones sobre un entero n son apropiadas para la inducci´on matem´atica. Usar esta t´ecnica en el predicado
·
(2n + 1)(2n
−
2n
− 1) = 2 − 1
ser´ıa innecesario ya que la prueba del paso inductivo no requerir´ıa en lo absoluto a la hip´otesis inductiva. La f o´ rmula para n = k + 1, o para cualquier otro valor, puede ser obtenida inmediatamente por expansi´on del lado izquierdo de la ecuaci´on usando las leyes de los exponentes. La demostraci´o n no ser´ıa una prueba por inducci´on real, y ser´ıa equivocado clasificarla como tal. 116
U E S
4. M´ D´
Inducci´on fuerte on fuerte. Al igual Una u´ til variante del principio de inducci´on es llamada la inducci´ que el principio de inducci´on ordinario, la inducci´on fuerte es utilizada para demostrar que un predicado P (n) es verdadero para todo n N.
∈
P I ´ Suponga P (n) es un predicado sobre alg´un entero n . Entonces para demostrar que P(n) es verdadero para todo n n 0 , es suficiente demostrar dos cosas:
≥
1. P(n0 ) es verdadero. n0 , si P(n) es verdadero para cada n que satisface n0 2. Para cualquier k entonces P (k + 1) es verdadero.
≥
≤ n ≤
k ,
´ El unico cambio con respecto a la inducci´on com´un es que la inducci´on fuerte le permite hacer m´as suposiciones en el paso inductivo de la prueba. En un argumento por inducci´on ordinario, puede asumir que P(k ) es verdadero e intentar demostrar que P(k + 1) es tambi´en verdadero. En un argumento de inducci´on fuerte, puede asumir que P(n0 ), P(n0 + 1), . . ., y P (k ) son todos verdaderos cuando intente demostrar P (n + 1). Puede que estas suposiciones extra hagan su trabajo m´ as f´acil.
EJEMPLO 4.14 Demuestre que es posible formar cualquier cantidad mayor o igual a 8 centavos utilizando u´ nicamente monedas de 3 o´ 5 centavos. Discusi´ on
La inducci´on fuerte hace que sea relativamente directo demostrar para el caso en que n + 1 11, porque entonces (n + 1) 3 8, y por inducci´on fuerte, es posible formar (n + 1) 3 centavos, a los que luego podemos a˜nadir una moneda de 3 centavos para obtener (n + 1) centavos. Por lo que lo unico ´ que debemos hacer es verificar que es posible formar todas las cantidades desde 8 hasta 10 centavos.
≥ −
− ≥
Soluci´ on
Teorema. Es posible formar cualquier cantidad mayor o igual a 8 centavos utilizando unicamente ´ monedas de 3 o´ 5 centavos. Demostraci´ on. Demostramos por inducci´on que es posible formar cualquier cantidad de al menos 8 centavos. Sea P (n) la proposici´on
Si n
≥ 8, entonces existe una colecci´on de monedas de 5 y 3 centavos cuyo valor es n centavos.
Caso base. Podemos formar cantidades de 8, 9 y 10 centavos usando una moneda de 5 y una de 3 centavos, tres monedas de 3 centavos y dos monedas de 5 centavos, respectivamente. 117
4.6 E P I ´ M ´
E M´
Hip´otesis Inductiva. Asumimos que podemos formar cantidades de k centavos, donde 8 k n utilizando unicamente ´ monedas de 5 y 3 centavos.
≤ ≤
Proposici´on a demostrar en el paso inductivo : Toda cantidad de k + 1 centavos puede formarse utilizando u´ nicamente monedas de 5 y 3 centavos. Paso Inductivo. Ya el caso base cubri´o las cantidades de 8, 9 y 10 centavos, por lo que debemos cubrir los casos cuando k + 1 11. Entonces n (n + 1) 3 8, por lo que por la hip´otesis inductiva fuerte, es posible formar cantidades de (n + 1) 3 centavos. Ahora, si agregamos una moneda de 3 centavos, es posible formar (n + 1) centavos.
≥
≥
− ≥
−
A pesar de su nombre, la inducci´on fuerte realmente no es m´as poderosa que la inducci´on ordinaria: cualquier teorema que puede ser demostrado con inducci´on fuerte puede tambi´en ser demostrado con inducci´on ordinaria (usando una hip´otesis inductiva ligeramente m´as complicada). Pero la inducci´on fuerte puede hacer que algunas demostraciones sean m´as f´aciles. Por otro lado, si es f´acil y suficiente tomar a P(n) para demostrar P(n + 1), entonces es mejor usar inducci´ on ordinaria por simplicidad.
Ejercicios ....................................................................................................... 1 n2
1 n
2. Demuestre que n 5 toda n N.
− n es divisible por 5 para
13. Demuestre que para toda n N que 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 2 n+1 1.
3. Demuestre que n 3 para toda n N.
− 4n + 6 es divisible por 3
14. Demuestre que para toda n
∈
∈
es divisible por 5 para
3
4. Demuestre que n + 2n es divisible por 3 para toda n N.
∈
5. Demuestre que 5n para toda n N.
− 4n − 1 es divisible por 16
6. Demuestre que n 3 toda n N.
− n es divisible por 6 para
∈
∈
∈
∈
− y
2n
para
8. Demuestre que 6n es un n´umero que acaba en 6 para todo n N.
∈
9. Demuestre que n2 > n + 1 para n 10. Demuestre que n ! > n 2
∈ N y n ≥ 2. para n ∈ N y n ≥ 4.
11. Demuestre que 4 n < 2n para todo entero n 5.
≥
+
23 + 33 + . . . + n3 =
n2 (n+1)2 4
.
15. Demuestre que para toda n n
k 2 =
· ·· +
< 2
∈ N que 1
6
17. Demuestre que para todo n
− 2) =
∈ N,
n
k =1
k
− 1) · 3
= ( n
− 1) · 3
18. Demuestre que para todo n 3
3
1 +2 +
+
n(n + 1)(2n + 1)
∈
(2k
3
∈ N:
16. Demuestre que 4 + 10 + 16 + . . . + (6n n(3n + 1), para toda n N.
−
∈
−
k =1
7. Demuestre que x + y divide a x2n x, y R y n N.
118
1 9
−3
∈
n
12. Demuestre que 1 + 14 + para todo entero n > 1.
1. Demuestre que 8n toda n N.
· ·· + n
3
=
n+1
+3
∈ N, n(n + 1)
2
2
U E S
4. M´ D´
19. Demuestre que para todo n r 1, 2
1 + r + r +
n
· · · + r
∈ N y n´umeros
=
r n+1
−1 r − 1
∪ A ∪ · · · ∪ A ) ∩ B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ∪ · · · ∪ ( A ∩ B) 2
1
n
2
n
i=1
n
Ai
=
Ai
¬ ∧ ∧···∧ ¬ ∨¬ ∨ · · · ∨ ¬
23. Demuestre que si p 1 . p 2 , . . ., p n son proposip2 ) ( p2 p3 ) ciones, [( p1 ( pn−1 pn )] p n−1 ) pn ] es una [( p1 p 2 tautolog´ıa.
→ ∧ → ∧···∧ ∧ ∧ · · · ∧ →
→
24. En esta secci´on vimos que cualquier cantidad de centavos mayor o igual que 12 puede formarse u´ nicamente utilizando monedas de 3 o de 5 centavos. Demuestre este mismo hecho utilizando inducci´on normal. 25. En la discusi´on de esta secci´on demostramos que 1+2+
· ·· + n + (n + 1) = n(n2+ 1) + (n + 1) =
· · · + n =
(n + 1)(n + 2) 2
Donde agrupamos t´erminos, utilizamos la hip´otesis inductiva y luego simplificamos. Esto muestra que P (n) implica P(n + 1). Por el principio de inducci o´ n, P(n) es verdadero para todo n N.
∈
i=1
22. Demuestre que si p1 . p2 , . . ., pn son propo pn ) es l´ogicamente siciones, ( p1 p2 p2 pn . equivalente a p1
→
2+3+
n
21. Demuestre por inducci´on matem´atica que si A1 , A 2 , . . . son miembros de una familia indexada de conjuntos, entonces para todo entero n 1,
≥
≥
···
20. Demuestre que si A1 , A2 , . . ., An y B son con juntos, entonces ( A1
Paso Inductivo: Ahora debemos probar que P(n) implica P(n + 1) para todo n 0. Suponga que P(n) es cierto; es decir, 2 + 3 + + n = n(n + 1) /2. Entonces podemos 4 + razonar de la siguiente manera:
n(n + 1)
[Nota: el hecho que m inicie desde 0 no es el problema] 26. Demuestre utilizando inducci´on fuerte que n < 3 n/3 para todo entero n 0.
≥
27. Encuentre el error en la siguiente “prueba” que an = 1 para todos los teneros n 0, cuando a es un n u´ mero real diferente de cero.
≥
Demostraci´ on. Procedemos por inducci´on. Sea P (n) el predicado “an = 1”. Caso Base: a0 = 1 es verdadero, por definici´on de a 0 . Paso Inductivo: Asuma que a k = 1 para todo k n . Entonces note que,
≤
a
2
k +1
=
ak ak
·
−
ak 1
=
1 1 = 1 1
·
¿D´onde est´a entonces el error en la demostraci´on del siguiente teorema incorrecto?
Teorema. (Incorrecto) Para todo n 2+3+4+
≥ 0 ,
· · · + n = n(n2+ 1)
Demostraci´ on. Procedemos por inducci´on. Sea P (n) el predicado que 2 + 3 + 4 + + n = n(n + 1)/2. Caso Base: P (0) es verdadero, ya que ambos lados de la ecuaci´on son iguales a cero (recuerde que una suma sin t´erminos es igual a cero).
· ··
28. Sean a1 , a2 , . . ., an n´umeros reales positivos. La media aritm´ etica de estos n´umeros est´a definida por A = ( a1 + a2 +
· · · + a )/n n
etrica de estos nu´ meros y la media geom´ est´a definida por G = ( a1 a2
Demuestre que A
· ·· a ) n
1 n
≥ G. 119
4.6 E P I ´ M ´
120
E M´
O L U T I P A C
5
R En los siguientes dos cap´ıtulos estudiaremos entidades f ´ısicas distintas, son lo mismo con restres conceptos matem´aticos relacionados entre pecto a su valor como dinero, que es el criterio s´ı. Las relaciones de equivalencia y los ordena- que normalmente utilizamos cuando manejamos mientos parciales son estudiados en el presente monedas. En otras palabras, normalmente no nos cap´ıtulo, mientras que el t o´ pico de funciones es importan las monedas individuales, sino las clacubierto en el siguiente. Sin duda el lector ha te- ses de monedas. Por lo tanto, el rol primario de nido alguna experiencia con las funciones, pero monedas individuales es ser un representante de los t´erminos “relaci´on de equivalencia” y “orde- la clase a la que pertenece. namiento parcial” pueden no ser familiares. Sin La raz´on matem´atica rigurosa por la cual embargo, es probable que la mayor´ıa de lectores podemos “identificar” objetos distintos en los se sienta m´as familiarizado con los conceptos de ejemplos anteriores es que existe una relaci´on de este cap´ıtulo que la manera de presentar funcio- equivalencia impl´ıcita en cada uno de ellos. Ya nes del siguiente, ya que estos dos conceptos ge- que somos capaces de valorar objetos diferentes neralizan relaciones matem a´ ticas conocidas. como indistinguibles entre s´ı por medio de relaEl ejemplo m´as b´asico de relaci´on de equi- ciones de equivalencia, es posible estudiar convalencia es la relacio´ n “igual”. Las relaciones de juntos de objetos matem a´ ticos por medio de subigualdad entre n u´ meros, igualdad entre conjun- conjuntos que contienen elementos identificados tos, y, en efecto, la igualdad entre cualquier ti- unos con otros por la relaci o´ n, conocidos como po de objetos son todos ejemplos de relaciones clases de equivalencia, en lugar de estudiar los de equivalencia. M´as generalmente, las relacio- objetos individualmente. Los conjuntos de clanes de equivalencia son la forma matem´atica de ses de equivalencia, a su vez, son fundamentales describir situaciones en las cuales dos objetos para algunas de las construcciones matem´aticas pueden, de alguna manera, ser tratados como “lo m´as importantes. mismo”. El concepto de ordenamiento parcial es una Sin duda, usted ya ha tenido experiencia con generalizaci´o n de la relaci´o n “menor o igual algunas relaciones de equivalencia. Por ejemplo, que” en el conjunto de los n u´ meros reales. Cuanen Geometr´ıa es natural considerar dos tri a´ ngu- do un ordenamiento parcial se ha definido sobre los congruentes como id e´ nticos en el contexto de un conjunto de objetos, una idea de “tama n˜ o rela geometr´ıa plana Euclidiana. En aritm e´ tica, los lativo” de algunos o todos los objetos se encuenestudiantes son entrenados para considerar dos tra impl´ıcita. 6 pares de fracciones como 14 y 24 como las misEl hilo comu´ n que une los conceptos de remas para propo´ sitos de c a´ lculos. En un ambiente no matem´atico, todos estamos familiarizados laci´on de equivalencia, ordenamiento parcial, y on entre dos concon la idea que dos monedas son iguales si y so- funciones es la noci o´ n de relaci´ lo si tienen la misma denominaci o´ n. Por lo tan- juntos, por lo que comenzamos concentr a´ ndonos to, aunque dos monedas de diez centavos sean en dicho concepto.
121
5.1 R
E M´
5.1 Relaciones ....................................................................................................... Dados dos conjuntos A y B , se puede decir en t´erminos informales que una relaci´ on R es una regla que hace corresponder a elementos de A , uno o m´as elementos de B .
EJEMPLO 5.1 Son ejemplos de relaciones las siguientes: 1. A: El conjunto de todas las mujeres B: El conjunto de todos los hombres x A y y B R: “ x es la esposa de y ”
∈
∈
2. A = B = Z x A y y B R: “ x divide a y ”
∈
∈
3. A = B = R x A y y B R: “El cuadrado de x m´as el cuadrado de y da diecis´eis”, o bien, “ x2 + y2 = 16”.
∈
∈
4. A = B = El conjunto de todos los tri´angulos x A y y B R: “El tri´angulo x es semejante al tri´angulo y ”
∈
∈
Formalmente, una relacion ´ puede ser definida de la siguiente manera: R´ Sean A y B dos conjuntos. Una relaci´on entre A y B es un subconjunto R de A A = B, decimos que R es una relaci´on en A .
× B. Si
Note que el concepto de “relaci´on” es extremadamente general, por lo que es facil encontrar ejemplos de relaciones. Por otro lado, no deber´ıamos esperar, en ausencia de cualquier suposici´on sobre las propiedades de una relaci´on, que muchas proposiciones generales, es decir, teoremas, pueden ser probados sobre relaciones. Como veremos pronto,
N H´ Hist´oricamente, Augustus de Morgan, en un trabajo publicado en 1860, fue el primero en describir la noci´on de relaci´on con el sentido que se le conoce ahora. Tambi´en proporcion´o los primeros resultados formales en la Teor´ıa de Relaciones, mientras que Charles Peirce extendi´o los resultados de De Morgan. Russell, con su importante Principia Matem´atica, fue quien reunio´ muchos de los resultados sobre relaciones del siglo XIX obtenidos por Peirce, Frege, Cantor, Dedekind, y otros.
122
U E S
5. R
es solo cuando trabajamos con tipos espec´ıficos de relaciones que podemos comenzar a desarrollar teor´ıas matem´aticamente interesantes. Ya que las relaciones son, entre otras cosas, conjuntos, las relaciones pueden ser descritas por enumeraci´ on o por comprensi´on. Relaciones con un n´umero infinito de pares ordenados deben ser, desde luego, definidas por comprensi´ on. Adem´as, como es el caso con los conjuntos generales, la regla que describe a la relaci´ on debe determinar sin ambig¨uedades si un par ordenado ( x, y) pertenece o no a la relaci´on. A continuaci´on presentamos algunos ejemplos de relaciones.
EJEMPLO 5.2 Sean A = 1, 2, 3 y B = a, b, c, d . Entonces R1 = (1, a), (1, b), (3, a) , R2 = (1, c), (2, c), (3, c) y R 3 = (3, d ), (2, c), (1, a) son todas relaciones entre A y B. Por lo tanto, podemos decir, por ejemplo, que 1 est´a relacionado con a en R1 .
{
{
}
{
}
}
{
}
{
EJEMPLO 5.3 Sea R 4 = ( x, y) x es menor que y una relaci´on en R , entonces (2, π), ( 1, son todos miembros de la relaci´ on, mientras que (4, 2), (π, 2) no lo son.
{
|
}
−
}
√
2) y (0, 1)
EJEMPLO 5.4 Sea R5 = ( x, y) x divide a y una relaci´on en N , entonces (3, 12) R 5 y (5, 15) R 5 .
{
|
}
∈
∈
EJEMPLO 5.5 Sean A el conjunto de todas las personas y B el conjunto de todos los pa´ıses del mundo. Entonces R6 = ( x, y) x vive en y define una relaci´on entre A y B .
{
|
}
EJEMPLO 5.6 Sea R7 = ( x, y) x divide a y una relaci´on en Z , entonces ( 2, 4) R 7 , (5 , 25) R 7
{
|
}
−
∈
− ∈
Note que a pesar que R5 y R 7 poseen el mismo enunciado, definen distintas relaciones en N y en Z
EJEMPLO 5.7 Sea R8 = ( x, y) x, y R, y < x2 una relaci´on en R R, entonces es posible representarla gr´aficamente en el plano:
{
| ∈
}
×
123
5.1 R
E M´
Note que ya que hemos definido las relaciones como conjuntos de pares ordenados, indicamos con ( x, y) R que dos elementos x e y se encuentran relacionados. Una notaci´on alternativa que los matem´aticos utilizan es motivada por el hecho que en matem´aticas muy a menudo expresamos las relaciones entre dos objetos x e y poniendo un s´ımbolo entre ellos. Por ejemplo, las notaciones x = y, x < y, x y y x y expresan cuatro relaciones matem´aticas importantes entre x e y . Imitando dicha notaci´on, si R es una relaci´on de A a B, con x A e y B, escribiremos x Ry para denotar que ( x, y) R .
∈
∈
∈
⊆
∈
∈
R´ Sea R una relaci´on sobre A definida por R = ( x, x) x identidad sobre A , denotada por I A .
| ∈ A}. Decimos que R es la relaci´on
{
EJEMPLO 5.8 Sea A = 1, 2, 3 , entonces I A = (1, 1), (2, 2), (3, 3) .
EJEMPLO 5.9 La relaci´on identidad sobre R es I R = ( x, y) x = y .
{
}
{
}
{
|
}
D R Sea R una relaci´on entre A y B , el dominio de definici´ on D, o simplemente dominio, de la relaci´on R, se define como D = a A ( a, b) R . El dominio de im´ agenes o rango E de la relaci´on R se define como E = b B ( a, b) R .
{ ∈ |
∈ }
{ ∈ |
}
∈
A y que E B. De hecho, el A partir de la definici´on anterior, es claro que D dominio de R consiste de aquellos elementos de A que son primeros elementos de los pares ordenados de R , mientras que el rango de R est a´ compuesto por aquellos elementos de B que aparecen como segundos elementos de los pares ordenados de R.
⊆
⊆
EJEMPLO 5.10 a) Sean A = 1, 2, 3, 4 , B = a, b, c y R = (2, a), (4, a), (4, c) , entonces D = 2, 4 y E = a, c .
{ }
{
}
{
}
{
}
b) Sea la relaci´on R definida en R por “4 x2 + 9 y2 = 36”, es decir, R = ( x, y) 4 x2 + 9 y2 = 36; x, y
{
Su gr´afica en el plano es 124
|
∈ R}
{ }
U E S
5. R
De la gr´afica se observa que D = [ 3, 3] y que E = [ 2, 2].
−
−
R´ R ´ı Toda relaci´on R entre A y B tiene una relaci´on rec´ıproca R−1 que se define por R−1 = (b, a) ( a, b) R .
{
|
∈ }
Claramente, R −1 es una relaci´on de B a A , que se obtiene a partir de R intercambiando los elemenentos de todos los pares ordenados en R.
EJEMPLO 5.11 a) Sean A = 1, 2, 3 , B = a, b y R = (1, a), (1, b), (3, a) , una relaci´on entre A y B. Su rec´ıproca es R −1 = (a, 1), (b, 1), (a, 3) .
{
}
{
{ }
{
}
}
b) Sea W = a, b, c y R = (a, b), (a, c), (c, c), (c, b) , una relaci´on en W . Su rec´ıproca es W −1 = (b, a), (c, a), (c, c), (b, c) .
{
{
}
{
}
}
c) La rec´ıproca de la relacion ´ R4 (ejemplo 3) es R −4 1 = ( x, y) d) la rec´ıproca de la relaci´on R5 (ejemplo 4) es R −5 1
{ | x es mayor o igual que y}. = {( x, y) | x es m´ultiplo de y }.
El siguiente teorema muestra algunas propiedades de R−1 . on no vac´ıa desde A hacia B, entonces: Teorema 1. Sea R una relaci´ a) R = ( R−1 )−1 b) El dominio de R−1 es igual al rango de R c) El rango de R−1 es igual al dominio de R Demostraci´ on. Demostraremos la parte (a), dejando (b) y (c) como ejercicios para el lector.
a) Primero, note que R −1 es una relaci´on de B a A, por lo que ( R−1 )−1 es una relaci´on de A a B, al igual que R . Para ver que ( R−1 )−1 = R, sea (a, b) un par ordenado dentro de A B. Entonces,
×
(a, b) ( R−1 )−1
∈
1
↔ (b, a) ∈ R− ↔ (a, b) ∈ R
125
5.2 P R
E M´
Ejercicios .......................................................................................................
{
}
1. Sea R la relaci´on entre A = 1, 2, 3, 4 y B = 1, 3, 5 definida por “ x es menor que y”. Escribir R como un conjunto de pares ordenados.
{
}
2. Sea R la relaci´on en B = 2, 3, 4, 5, 6 definida por “ x y es divisible por 3”. Escriba R como un conjunto de pares ordenados.
| − |
{
}
3. Encuentre el dominio, rango y la rec´ıproca de las siguientes relaciones.
las siguientes relaciones.
{ ∈ P × P | 2 x + y = 10} {( x, y) ∈ N × N | 2 x + 4 y = 15}
a) ( x, y) b)
6. Encuentre el dominio, rango y la rec´ıproca de las siguientes relaciones. a) ( x, y)
2
b)
2
2
{ ∈ R | y > x } {( x, y) ∈ R | y = 1 − 2/( x 2
2
}
+ 1) .
a) ( p, q) P P la persona p es hermano de la persona q , donde P es el conjunto de todas las personas vivientes.
7. Demuestre el literal (b) del teorema 1.
b) (1, 5), (4, 5), (1, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 3)
9. Cada uno de los siguientes enunciados define una relaci´on en R . Representar cada relaci´on en el plano cartesiano. a) y = x2 b) y < x 2 c) y < 3 x d) y x 3
{
∈ × | }
{
}
4. Encuentre el dominio, rango y la rec´ıproca de las siguientes relaciones. P P la persona p es padre a) ( p, q) biolo´ gico de la persona q , donde P es el conjunto de todas las personas vivientes.
{
∈ × |
}
b) . 5. Encuentre el dominio, rango y la rec´ıproca de
8. Demuestre el literal (c) del teorema 1.
−
≥
10. Cada uno de los siguientes enunciados define una relacio´ n en R . Representar cada relaci´on en el plano cartesiano. a) y sen( x) b) y < 4 x 2 c) y2 > 2 x d) x2 + y2 4
≥
−
−
≤
5.2 Propiedades de las Relaciones ....................................................................................................... A continuaci´on consideramos propiedades que puede tener una relaci´ on dada. Estas propiedades son fundamentales para las definiciones de relaci´ on de equivalencia y ordenamiento parcial que se presentan en la siguiente secci´on. De ahora en adelante, a menos que se especifique lo contrario, restringiremos nuestra atenci´ on a relaciones sobre un solo conjunto. R Sean A un conjunto cualquiera, y R una relaci´on en A. Decimos que R es reflexiva si y solo si ( x A)(( x, x) R )
∀ ∈
∈
Desde el punto de vista de una relaci´on R como un conjunto de pares ordenados, la propiedad reflexiva significa que R contiene todas las parejas ( x, x), donde x toma el valor 126
U E S
5. R
de todos los elementos de A. Din´amicamente, la propiedad reflexiva significa que “cada elemento de A est´a relacionado consigo mismo”.
EJEMPLO 5.12 La relaci´on “menor o igual que” sobre R es reflexiva ya que por cada x que x x.
≤
∈ R, se cumple
EJEMPLO 5.13 Considere la relaci´on “menor que” en R . Es decir, una pareja ( x, y) es un elemento de dicha relaci´on si y solo si x < y . Esta relaci´on no es reflexiva, ya que, por ejemplo, es falso que 5 < 5, por lo que (5, 5) R . Es decir, para ning´un real se cumple que x < x En el ejemplo anterior, que x < x no se cumpla para nig´ un real es m´as de lo requerido para que la reflexividad falle. Ya que esta ´ es definida usando el cuantificador universal, se requiere u´ nicamente un contraejemplo para que falle, como muestra el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 5.14 Considere la relaci´on R = ( x, y) xy > 0 definida sobre R . Para la mayor´ıa de los reales ´ x, x 2 > 0, por lo que ( x, x) R . De hecho, existe un unico real x = 0 para lo cual falla. Pero dado que (0, 0) R, la relaci´on no es reflexiva. Si cambiamos el conjunto sobre el cual R est´a definida de R a todos los reales diferentes de cero, entonces la relaci´on resultante es reflexiva.
{ ∈
|
}
Este ultimo ´ ejemplo muestra la importancia de considerar todos los elementos del con junto sobre el cual una relaci´ on est´a definida.
Teorema 2. Una relaci´ on R sobre A es reflexiva si y solo si I A
⊆ R.
La prueba de este teorema se deja como ejercicio al lector. S´ı etrica si y solo si Una relaci´on R definida sobre un conjunto A es sim´
( x
∀ ∈ A)(∀ y ∈ A)(( x, y) ∈ R → ( y, x) ∈ R)
La simetr´ıa significa que cuando “le damos vuelta” o intercambiamos los elementos de un par ordenado de R , el par ordenado resultante tambi´en est´a en R . En otras palabras, la simetr´ıa nos dice que el orden de los elementos no es importante dentro de la relacion. ´
EJEMPLO 5.15 La relaci´on R = (m, n) m n es par definida sobre N es sim´ etrica ya que para cualquier pareja de numeros ´ naturales m y n , si m n es par, entonces n m tambi´en es par.
{
| −
}
−
−
EJEMPLO 5.16 etrica ya que, por ejemplo, La relaci´on “menor que” definida en el ejemplo 13 no es sim´ 127
5.2 P R
E M´
∈ R, nunca se cumple que
8 < 9, pero no se cumple que 9 < 8. En general, para todo x, y si x < y , entonces y < x.
Como es el caso de la reflexividad, para que la simetr´ıa falle basta con un par ordenado dentro de la relaci´on para el cual la simetr´ıa falle, como muestra el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 5.17 Sea R = ( x, y) ( x = 0 y = 1) ( x 0 x = y) definidas sobre R . El lector puede verificar que xRy yR x es verdadero para todas las parejas x , y de reales excepto cuando ´ contraejemplo es suficiente para que R no sea x = 0, y = 1. La existencia de este unico sim´etrica. Si cambiamos el conjunto sobre el cual se encuentra definido al conjunto de todos los reales diferentes de cero, entonces la relaci´on resultante es sim´etrica.
{
|
→
∧
∨
∧
}
on R sobre A es sim´ etrica si y solo si R = R −1 . Teorema 3. Una relaci´ Demostraci´ on. ( ) Suponga primero que R es sim´etrica. Sea ( x, y) un elemento arbitrario R, por lo de R. Entonces x Ry, as´ı que ya que R es sim´etrica, y Rx. Por lo tanto, ( y, x) − 1 − 1 que, por definici´on de R , ( x, y) R . Ya que ( x, y) fue tomado arbitrariamente, tenemos que R R−1 . Ahora suponga que ( x, y) R−1 . Entonces ( y, x) R, por lo que ya que R es sim´etrica, ( x, y) R . Por lo tanto, R −1 R , por lo que R −1 = R . ( ) Ahora suponga que R = R−1 , y sean x e y elementos cualquiera de A. Suponga que x Ry. Entonces ( x, y) R y ya que R = R −1 , ( x, y) R−1 . Por la definici´on de R −1 esto significa que ( y, x) R, as´ı que y Rx. Por lo tanto, ( x A)( y A)( xRy yRx ), as´ı que R es sim´etrica.
→
⊆ ←
∈
∈
∈
∈
∈
∈ ⊆
∈
∈ ∀ ∈ ∀ ∈
→
Note que la prueba anterior es bastante directa. La proposici´on a probar es del tipo “si y solo si”, por lo que debemos probar ambas direcciones por separado. En la mitad R−1 y R−1 R. del debemos probar que R = R−1 , lo que haremos probando que R Cada una de estas proposiciones es probada seleccionando un elemento cualquiera del primer conjunto y mostrando que debe pertenecer al segundo conjunto. En la mitad de debemos probar que R es sim´etrica. Utilizamos la estrategia de hacer que x e y sean elementos cualesquiera de A , asumir que x Ry y probar que y Rx.
→
⊆
⊆
←
Una relaci´on R definida sobre el conjunto A es transitiva si y solo si ( x A )( y
∀ ∈ ∀ ∈ A)(∀ z ∈ A)(( x, y) ∈ R ∧ ( y, z) ∈ R → ( x, z) ∈ R)
La transitividad puede ser tomada como la propiedad por la cual los pares ordenados en una relaci´on son “concadenados” para formar nuevos pares ordenados dentro de la relaci´on.
EJEMPLO 5.18 La relaci´on “menor que” definida en el ejemplo 13 es transitiva ya que se cumple que para todo x, y y z en los reales, si x < y e y < z , entonces x < z . 128
U E S
5. R
EJEMPLO 5.19 La relaci´on de perpendicularidad sobre el conjunto L de lineas rectas en el plano no es transitiva. De hecho, si p q y q r , entonces r y p deben ser paralelas, por lo que la condici´on de la transitividad falla en todos los casos posibles.
⊥
⊥
⊥
Una vez m´as, este tipo de fallo es extremo, pero basta con un solo contraejemplo para demostrar que una relaci´on no es transitiva.
EJEMPLO 5.20 Sea R una relaci´on definida sobre Z por: R = ( x, y) ( x = 0
∧ y = 1) ∨ ( x = 1 ∨ y = 0) ∨ ( x 0 ∧ x 1 ∧ x = y )} Entonces tenemos xRy ∧ yRz → xRz para todos los valores de x , y , z excepto para aquellos {
|
que tomen 0 o´ 1. Se deja como ejercicio al lector verificar lo que sucede cuando al menos uno de x, y , z toma valores de 0 o´ 1. A´ı Una relaci´on R sobre A es antisim´etrica si y solo si ( x
∀ ∈ A)(∀ y ∈ A)(( x, y) ∈ R ∧ ( y, x) ∈ R → x = y )
La antisimetr´ıa significa que el par ordenado ( y, x) que obtenemos al “darle vuelta” al par ordenado ( x, y) en R nunca se encuentra en R , a menos que x = y .
EJEMPLO 5.21 La relaci´on “menor que” definida en el ejemplo 13 es antisim´etrica ya que la proposici´on “para todo x, y R, si x < y e y < x, entonces x = y” es verdadera, dado que la premisa “ x < y y y < x” es falsa para cualquier pareja x e y .
∈
EJEMPLO 5.22 Sea A = 1, 2, 3, 4 y R la relaci´on en A definida por R = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4) . Queda al lector verificar, descartando todos los casos posibles, que R es reflexiva, antisim´etrica y transitiva, pero no sim´etrica.
{
} }
{
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Sea E = 1, 2, 3 . Examine las siguientes relaciones sobre E y determine si son reflexivas, sim´etricas, transitivas y / o antisim´etricas.
{
}
a) (1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)
{
}
b) (1, 2), (2, 3), (1, 3) c) d) e)
{ } {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)) {(1, 2)} {(1, 1)} 129
5.2 P R
E M´
d) no reflexiva, no sim´etrica, no transitiva
×
f) E E 2. Sea B = 1, 2, 3, 4 . Examine las siguientes relaciones sobre B y determine si son reflexivas, sim´etricas, transitivas y / o antisim´etricas.
{
}
{ } {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(2, 4), (4, 2)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
}
a) no reflexiva, sim´etrica, transitiva
b)
b) no reflexiva, sim´etrica, no transitiva
d) e) f)
3. Para cada una de las siguientes relaciones determine si son reflexivas, sim e´ tricas, transitivas y / o antisim´etricas. a) b) c) d)
≤ sobre Z ⊆ sobre P (N) {(m, n) ∈ N × N | m > 10n} Paralelismo () sobre el conjunto L de todas las lineas rectas en el plano.
{ ∈ Z × Z | x y } {( x, y) ∈ R | x + y = 0} {( x, y) ∈ R | x + z ≤ y + w}
e) (m, n) f) g)
2 4
4. Para cada una de las siguientes relaciones determine si son reflexivas, sim´etricas, transitivas y / o antisim´etricas. a) = sobre R b) c) d)
⊂ sobre P (N). {(m, n) ∈ N × N | m + n es par} Perpendicularidad (⊥) sobre el conjunto L de todas las lineas rectas en el plano.
{ ∈ Z × Z | x − y = 7k } ∀k ∈ N. f) {( x, y) ∈ R | x = ± y}. g) {( x, y) ∈ R | x + y ≤ z + w} Sea E = {1, 2, 3}. Defina una relaci´on sobre E e) (m, n)
2 4
que sea:
a) reflexiva, no sim´etrica, no transitiva b) no reflexiva, no sim´etrica, transitiva c) reflexiva, no sim´etrica, transitiva
130
{
6. Sea E = 1, 2, 3 . Defina una relaci´on sobre E que sea:
a) (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4) c)
5.
e) ni sim´etrica ni antisim´etrica.
c) reflexiva, sim´etrica, no transitiva d) reflexiva, sim´etrica, transitiva e) reflexiva, antisim´etrica, no transitiva Una relaci´on R sobre un conjunto A es irreA, (a, a) R. Es flexivas si para cada a decir, R es irreflexivas si no contiene elementos relacionados consigo mismos.
∈
7. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 1 son irreflexivas. 8. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 2 son irreflexivas. 9. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 3 son irreflexivas. 10. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 4 son irreflexivas. 11. Utilice cuantificadores para definir la irreflexividad. 12. ¿Puede una relaci´o n ser tanto reflexiva como irreflexiva? Una relaci´on R sobre un conjunto A es asim´etrica si (a, b) R implica que ( b, a) R.
∈
13. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 1 son asim´etricas. 14. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 2 son asim´etricas. 15. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 3 son asim´etricas. 16. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 4 son asim´etricas. 17. Utilice cuantificadores para definir la asimetr´ıa. 18. Demuestre que si R es asim´etrica, entonces es antisim´etrica.
U E S
5. R
19. ¿Qu´e puede decir de la rec´ıproca de la proposici´on del ejercicio anterior? Justifique su respuesta. Una relacio´ n R sobre un conjunto A es circular si a Rb y b Rc implica c Ra. 20. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 1 son circulares. 21. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 2 son circulares. 22. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 3 son circulares. 23. Determine cu´ales de las relaciones del ejercicio 4 son circulares.
31. Suponga que R y S son relaciones sobre A . Demuestre o refute cada una de las siguientes proposiciones. a) Pruebe que si R y S son ambas reflexivas, entonces R S es reflexiva.
∩
b) Pruebe que si R y S son ambas sim´etricas, entonces R S es sim´etricas.
∩
c) Pruebe que si R y S son ambas transitivas, entonces R S es transitivas.
∩
32. Suponga que R y S son relaciones sobre A . Demuestre o refute cada una de las siguientes proposiciones.
24. Utilice cuantificadores para definir la circularidad.
a) Pruebe que si R y S son ambas reflexivas, entonces R S es reflexiva.
25. Demuestre el teorema 2
b) Pruebe que si R y S son ambas sim e´ tricas, entonces R S es sim´etricas.
26. ¿Hay alg´un conjunto A en que toda relaci o´ n en A sea sim´etrica? 27. ¿Puede una relaci´on R en un conjunto A ser sim´etrica y antisim e´ trica a la vez? 28. ¿Es verdad que si R y S son relaciones sobre A B, entonces R S , R S y R S son relaciones sobre A B? Justifique su respuesta.
×
×
∪
∩
−
29. Suponga que R es una relaci´on sobre A . a) Pruebe que si R es reflexiva, tambi e´ n lo es R−1 . b) Pruebe que si R es sim´etrica, tambi´en lo es R −1 . c) Pruebe que si R es transitiva, tambi´en lo es R −1 . d) Pruebe que si R es antisim´etrica, tambi´en lo es R −1 . 30. Suponga que R y S son relaciones sobre A . Demuestre o refute cada una de las siguientes proposiciones.
− −
c) Pruebe que si R y S son ambas transitivas, entonces R S es transitivas.
−
33. Demuestre que la relaci´on R sobre un con junto A es antisim´etrica si y solo si R R−1 I A .
∩
⊆
34. Demuestre que si una relacio´ n R es sim´etrica y transitiva, entonces no es irreflexiva. 35. Demuestre que si una relaci´on es circular y reflexiva, entonces es sim e´ trica. 36. Si el conjunto A tiene m elementos y el con junto B tiene n elementos, ¿cu´antos relaciones diferentes podemos formar sobre A B?
×
37. Liste todas las relaciones posibles sobre el conjunto 0, 1 .
{ }
38. De las relaciones que list´o en el ejemplo anterior, diga cu´ales son: a) Reflexivas b) Irreflexivas c) Sim´etricas
a) Pruebe que si R y S son ambas reflexivas, entonces R S es reflexiva.
d) Antisim´etricas
b) Pruebe que si R y S son ambas sim´etricas, entonces R S es sim´etricas.
f) Transitivas
∪ ∪
c) Pruebe que si R y S son ambas transitivas, entonces R S es transitivas.
∪
e) Asim´etricas
39. ¿Cu´antas relaciones se pueden formar sobre el conjunto 1, 2, 3, 4 ?
{
}
131
5.3 R´ G´ R
40. ¿Cu´antas de las relaciones sobre el conjunto 1, 2, 3, 4 contienen el par (a, a)?
{
}
41. ¿Cu´antas relaciones existen sobre un con junto de n elementos que sean:
E M´
es reflexiva. 44. Suponga que R es una relaci´on sobre A . Sea y definimos una B = X P ( A) X relaci´on S sobre B de la siguiente manera:
{ ∈
|
∅}
a) sim´etricas? b) antisim´etricas?
S = ( X , Y ) ( x X )( y Y )( xRy)
{
c) asim´etricas? d) irreflexivas? e) reflexivas y sim´etricas? f) ni reflexivas ni irreflexivas? 42. ¿Cu´antas relaciones transitivas hay en un conjunto de n elementos si
| ∀ ∈ ∀ ∈
}
Demuestre que si R es transitiva, entonces S tambi´en lo es. ¿Porqu´e se tuvo que excluir el conjunto vac´ıo del conjunto B para hacer que esta prueba funcione? 45. Suponga que R es una relaci´on sobre A y definimos la relaci´on S sobre P ( A) de la siguiente manera:
a) n = 1? b) n = 2? S = ( X , Y ) ( x X )( y Y )( xRy)
{
c) n = 3? 43. ¿Qu´e tiene de malo la siguiente prueba? Si una relaci´on R es transitiva y sim e´ trica, entonces es reflexiva. Demostraci´ on. Ya que R es sim´etrica, si a Rb entonces b Ra. Ya que A es transitiva, si a Rb y b Ra, entonces a Ra. Ya que se cumple a Ra, R
| ∀ ∈ ∃ ∈
}
Demuestre o refute cada uno de los literales siguientes: a) Si R es reflexiva, S es reflexiva. b) Si R es sim´etrica, S es sim´etrica. c) Si R es transitiva, S es transitiva.
´ 5.3 Representaci´on Grafica de las Relaciones ....................................................................................................... Hemos definido a las relaciones en t´erminos de conjuntos, y en la secci´on 5.2 vimos R. Otra forma de pensar sobre las c´omo aRb puede utilizarse para indicar que (a, b) relaciones, al igual que cuando utilizamos diagramas de Venn con los conjuntos en general, es dibuj´andolas. La figura 5.1a ilustra la relaci´on R 1 = (1, a), (1, b), (3, a) del ejemplo 2. Recuerde que dicha relaci´ on estaba definida del conjunto A = 1, 2, 3 al conjunto B = ´ Cada a, b, c, d . En la figura, cada uno de estos conjuntos est´a representado por un ovalo. par ordenado (a, b) R1 es representado por una flecha del punto que representa a a al punto que representa a b. Por ejemplo, hay una flecha desde el punto dentro de A etiquetado como 1 hacia el punto dentro de B etiquetado como b ya que el par ordenado (1, b) es un elemento de R 1 . En general, cualquier relaci´on R del conjunto A al conjunto B puede ser representado de esta manera. Los puntos que representan a los elementos de A y B en dicha figura ertices, y las flechas que representan a los pares ordenados de R son llason llamados v´ mados aristas. Es claro que esta forma de representar a las relaciones es u´ til para ilustrar
∈
{
{
132
}
∈
{
}
}
U E S
5. R
relaciones definidas sobre conjuntos finitos y con relativamente pocos elementos. Realizar estos dibujos podr´ıa ayudarle a entender los conceptos discutidos en la secci´on anterior. Por ejemplo, deber´ıa convencerse que es posible encontrar el dominio de R encontrando todos los v´ertices en A que tienen aristas saliendo de ellos. De la misma manera, el rango de R consiste de aquellos elementos de B cuyos v´ertices tienen aristas apunt´andolos o llegando a ellos. Para la relaci´ on del ejemplo 5.1a, el dominio de R1 es − 1 1, 3 y el rango es a, b . La figura de R 1 es similar a la figura de R 1 pero con las direcciones de las flechas invertidas. A A), usando el m´etodo Si se tiene una relaci´on R definida sobre A (es decir, R anterior representar´ıamos a R dibujando dos copias de A y luego dibujando aristas de una copia de A hacia la otra para representar los pares ordenados de R. Una forma m´as compacta de ilustrarlo es dibujando una sola copia de A y luego conectar los v´ertices representando los elementos de A con aristas para representar a los pares ordenados de R . La figura 5.1b muestra gr´aficamente la relaci´on R del ejemplo 22. Representaciones como esta son llamadas grafos dirigidos1 . Las representaciones gr´aficas ayudan a visualizar f a´ cilmente las propiedades de las relaciones introducidas en la secci´on anterior. Una relaci´on sim´etrica es aquella cuyo grafo dirigido tiene la propiedad que cada v´ertice tiene un bucle, o una flecha saliendo y llegando al mismo v´ertice, como en la figura 5.2a. Una relaci´on sim´etrica es aquella que en cuyo grafo dirigido todos las aristas est´an dirigidas en ambas direcciones, como en las figuras 5.2b o´ 5.2c. En una relaci´on transitiva, cada vez que existe un par de aristas a b yb c, hay una arista a c para completar el tri´angulo, como en la figura 5.2d. Finalmente, una relaci´on antisim´etrica es aquella en la cual todas sus aristas est´an dirigidas en una sola direcci´ on. A partir de las observaciones anteriores, es f´acil determinar que la relaci´ on ilustrada en la figura 5.1b es reflexiva (ya que todos sus v´ertices tienen un bucle), antisim´etrica (ya
{ }
{ }
⊆ ×
−→
−→
−→
1
La noci´on de grafo comenz´ o con el trabajo de Euler en el problema de los puentes de K¨ onigsberg. La biograf´ıa de Euler puede encontrarse en la pagina 135 ´
(a) R1 del ejemplo 2
(b) R del ejemplo 22
Figura 5.1: Representaciones graficas ´ de algunas relaciones. 133
5.3 R´ G´ R
(a)
(b)
E M´
(c)
(d)
Figura 5.2: Reflexividad, simetr´ıa y transitividad
que todas sus aristas est´an dirigidas en una sola direcci´on) y transitiva.
L P E (1707-1783) naci´o en Basel, Suecia, hijo de Paul Euler, un pastor de la iglesia reformada y Marguerite Brucker, hija de un pastor. A la edad de 13 a˜nos, Euler se matricul´o en la Universidad de Basel, gradu´andose en 1723, a los 16 a˜nos. Para entonces, Euler recib´ıa clases sabatinas de Johann Bernoulli, un amigo de su padre considerado el matem´ atico m´as importante de Europa de ese tiempo, quien de inmediato reconoci´ o los incre´ıbles talentos matem´ aticos de su pupilo. Leonhard comenz´ o a estudiar teolog´ıa, Griego y Hebr´eo siguiendo los deseos de su padre que se convirtiera en pastor. Sin embargo, Bernoulli convenci´ o a Paul que Leonhard deb´ıa convertirse en un gran matem´atico, por lo que a los 19 a˜nos Euler complet´o su tesis doctoral sobre la propagaci´on del sonido. En 1927, Euler se mud´o a Rusia para trabajar en la Academia de Ciencias en San Petersburgo, trabajando junto a Daniel Bernoulli, uno de los hijos de Johann, y llegando a convertirse en jefe del departamento de matem´aticas. En 1734, se cas´o con Katharina Gsell. De sus trece hijos, solo cinco sobrevivieron la infancia. Preocupado por las agitaciones sociales en Rusia, Euler regres´o a Berlin en 1741, trabajando en la Academia de Berlin a petici´on de Federico el Grande de Prusia. Durante su tiempo en la Academia escribi´ o m´as de 380 art´ıculos y public´ o los dos trabajos por lo que es mayormente reconocido: Introductio in analysin infinitorum, sobre funciones, y Institutiones calculi di ff erentialis sobre c´alculo diferencial. Para 1766, las condiciones en Rusia hab´ıan mejorado tras el ascenso de Caterina la Grande, por lo que Euler acept´o una invitaci´on a regresar a la Academia de San Petersburgo, donde pas´o el resto de su vida. Un hecho curioso sobre Euler es que su vista se deterior´o a trav´es de su carrera matem´atica. Luego de sufrir una fiebre casi fatal en 1735, Euler perdi´o casi por completo la visi´on en su ojo derecho. Eventualmente, contrajo cataratas en su ojo izquierdo, lo que lo dej´o pr´acticamente ciego. Sin embargo, esto tuvo poco efecto en su productividad, la cual pareci´o incrementarse en muchas areas de estudio. Produjo, con la ayuda de sus escribas, un promedio de un art´ıculo cient´ıfico por semana en 1775. Euler hizo importantes descubrimientos en campos tan diversos como el c´alculo y la teor´ıa de grafos. Tambi´en populariz´ o muchas convenciones en notaci´ on matem´atica. Introdujo el concepto de una funci´ on y fue el primero en escribir f ( x) para denotar la funci´on f aplicada al argumento x. Tambi´en introdujo la notaci´on moderna de las funciones trigonom´etricas, la letra e como base de los logaritmos naturales, la letra griega Σ para las sumatorias y la letra i para denotar la unidad imaginaria. El uso de la letra π para denotar el radio entre la circunferencia y el di´ametro de un c´ırculo, aunque no se origin´o con ´el, fue tambi´en popularizada por Euler. Tambi´en es reconocido por sus trabajos en mec´ anica, optica ´ y astronom´ıa. Euler es considerado como el matem´atico preeminente del siglo XVIII y uno de los m´as grandes de todos los tiempos. Es tambi´en uno de los m´as prol´ıficos: sus trabajos conjuntos llenan de 60 a 80 vol´ umenes. Se dice que Pierre-Simon Laplace expres´o la influencia de Euler en matem´aticas diciendo “lea Euler, lea Euler, el es el maestro de todos nosotros”.
134
U E S
5. R
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Sea E = 1, 2, 3 . Ilustre cada una de las siguientes relaciones en forma de grafo.
{
}
{ } b) {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} c) {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)) d) {(1, 2)} e) {(1, 1)} f) E × E Sea B = {1, 2, 3, 4}. Ilustre cada una de las a) (1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)
2.
c) 4. Para cada una de las relaciones siguientes, liste los pares ordenados que pertenecen a la relaci´on.
siguientes relaciones en forma de grafo.
a)
a) (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4) b) c) d) e) f)
{ } {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(2, 4), (4, 2)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
b)
3. Para cada una de las relaciones siguientes, liste los pares ordenados que pertenecen a la relaci´on.
a) c) 5. ¿Qu´e caracter´ısticas tiene el grafo que representa a una relaci´on irreflexiva? 6. ¿Qu´e caracter´ısticas tiene el grafo que representa a una relaci´on asim´etrica?
b)
´ de Orden 5.4 Relacion ....................................................................................................... Considere la relaci´on R = ( x, y) R2 x y . Deber´ıa poder verificar que es reflexiva ´ y transitiva, pero no sim´etrica. El fallo de simetr´ıa es total, ya que la unica forma en que x, por lo que x = y. Por lo tanto, L x Ly y y Lx pueden ambos ser verdad es si x y e y debe ser antisim´etrica.
{
∈
| ≤ } ≤ ≤
135
5.4 R´ O
E M´
Considere ahora A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , B = P ( A), y S = ( x, y) B B x y . En otras palabras, si x e y son elementos de B, entonces xS y implica que x y. Es claro que la relac´on es reflexiva ya que todo conjunto es subconjunto de s´ı mismo. Es transitiva ya que si x y e y z se tiene que x z . Y es antisim´etrica ya que si x y , entonces y x a menos que x = y . Intuitivamente, R y S son ambas relaciones que tienen algo que ver con comparar los yy x y puede pensarse en tama˜nos de dos objetos. Cada una de las condiciones x cierto sentido como que y es “al menos tan grande” como x. Podr´ıa decirse que cada una e orden x e y pueden ubicarse. Esto motiva la siguiente de esas condiciones especifica en qu´ definici´on.
{
⊆
⊆
}
{
∈ × | ⊆ } ⊆ ⊆
⊆
≤
⊆
O P Sea R una relaci´on sobre el conjunto A . Entonces R es llamada un orden parcial sobre A si es reflexiva, transitiva y antisim´etrica. En un orden parcial, aRb se denota por a b, y se lee “a anterior a b ”. A continuaci´on se presentan otros ejemplos de relaciones parciales.
EJEMPLO 5.23 Sea R la relaci´on en N definida por “ x es m´ultiplo de y ”. R es un orden parcial en N . Se deja la prueba de esta afirmaci´ on al lector. EJEMPLO 5.24 Sea A = 1, 2 , B = P ( A) y R = ( x, y) B B y tiene al menos tantos elementos como x . Determine si R es un orden parcial sobre B . Soluci´ on. Note que ( 1 , 2 ) Ry(2, 1) R, pero 1 2 . Por lo tanto, R no es antisim´etrica, por lo que no es un orden parcial.
{ }
{ { } { } ∈
∈ × | { } { } ∈
}
{ } { }
En el ejemplo anterior, aunque R fue definida eligiendo parejas ( x, y) en las cuales y es, en cierto sentido, “al menos tan grande como” x , no satisface la definici´on de orden parcial. ´ Este ejemplo muestra que nuestra descripci´on de ordenes parciales como relaciones que indican que un objeto es al menos tan grande como otro no debe ser tomada literalmente. ´ on para la definici´on de ordenes Esta fue la motivaci´ parciales, pero no es la definici´on en s´ı misma.
EJEMPLO 5.25 Sea W = a, b, c, d , e . Se deja al lector la verificaci´ on que el diagrama
{
136
}
U E S
5. R
(a)
(b)
(c)
Figura 5.3: Conversi´on del grafo de un poset a diagrama Hasse
define un orden parcial en W .
Si se sabe que un grafo representa a un orden parcial, es posible omitir las aristas reflexivas (bucles) y aquellas aristas que deben estar presentes por transitividad. Por ejemplo, del grafo anterior podemos remover las aristas que representan a (a, a), (b, b), (c, c), (d , d ) y (e, e) ya que sabemos que, siendo un orden parcial, estas deben estar presentes por reflexividad (ver figura 5.3a). As´ı mismo, podemos remover (d , a) ya que sabemos que debe estar presente por transitividad ya que tanto (d , b) como (b, a) pertenecen a la relaci´on. Lo mismo sucede con (e, a), dando como resultado la figura 5.3b. Finalmente, si asumimos que todas las aristas estan dirigidas hacia “arriba” (tal y como son dibujadas en el papel), es posible remover su direcci´ on. As´ı, el diagrama resultante, mostrado en la figura 5.3c, es llamado el diagrama Hasse de dicho poset. De aqu´ı en adelante, se utilizar´ an diagramas Hasse para representar gr´aficamente a los ordenes parciales.
EJEMPLO 5.26 Sea R la relaci´on en V = 1, 2, 3, 4, 5, 6 definida por “ x divide a y ”. R es un orden parcial en V ilustrado en la figura 5.4.
{
}
en es un Teorema 4. Si R es un orden parcial sobre un conjunto A, entonces R−1 tambi´ orden parcial sobre A.
o en el ejercicio 29 de la secci´on 5.3. Si una relaci´on Demostraci´ on. Como se demostr´ R es reflexiva, tambi´en lo es su inversa. Lo mismo sucede con la transitividad y la antisimetr´ıa. Es decir, si R es reflexiva, transitiva y antisim´etrica, tambi´en R−1 debe ser reflexiva, transitiva y antisim´etrica. Por lo tanto, si R es un orden parcial, tambi´en lo es R −1 . C P O Un conjunto A no vac´ıo y una relaci´ on R de orden parcial en A constituyen un conjunto parcialmente ordenado que se denota ( A, R) o ( A, ). Un conjunto parcialmente ordenado suele a menudo indicarse como A cuando no hay peligro de confusi´o n acerca del orden parcial en cuesti´on. Adem´as, “conjunto parcialmente 137
5.4 R´ O
E M´
(a) Grafo
(b) Diagrama Hasse
Figura 5.4: Representaciones gr´aficas del orden parcial “ x divide a y” sobre el conjunto V = 1, 2, 3, 4, 5, 6
{
}
ordenado” puede abreviarse como poset , del ingl´es “partially o rdered set”. An´alogo a la notaci´on utilizada para indicar la relaci´on “menor o igual que” en los n´umeros reales, cuando se tiene un conjunto parcialmente ordenado podemos definir la siguiente notaci´ on: a) a
≺ b significa a b y a b (a estrictamente anterior a b)
b) b
a significa a b
c) b d)
a significa a ≺ b
, ⊀, ,
son autoexplicativas
Sin embargo, cuando se trabaja en el ambiente abstracto de cualquier poset debe tenerse cuidado con no apoyarse demasiado en las propiedades de la relaci´on “menor o igual que” sobre R . Por ejemplo, cuando se trabaja con este poset, nunca utilizamos expresiox o´ x > y para nes como “ x y”. La raz´on tras de esto es que podemos escribir y expresar dicha idea. Sin embargo, esto no es cierto en todos los poset. Por ejemplo, en el poset (V , R) del ejemplo 26 podemos observar que ni 2 R3 ni 3 R2 se cumple, por lo que no podemos traducir 2 3 como 3 2. Esta observaci´on da lugar a la siguiente definici´on.
≤
E Dos elementos a y b de un conjunto parcialmente ordenado se llaman comparables si a
b
o´
b
a
Regresando al poset del ejemplo 26, podemos decir que 1 y 5 son comparables, mientras que 2 y 3 no lo son. As´ı mismo, en el ejemplo 25, podemos decir que d y a son comparables, mientras que d y e no lo son. Esta es, precisamente, la raz´on por la cual la palabra “parcial” aparece en el nombre de estas relaciones. Si se nos pidiese escribir una lista lineal en la cual si x y, entonces x aparece antes que y en la lista, no podr´ıamos hacerlo de manera u´ nica con la mayor´ıa de los poset definidos hasta el momento. Para ilustrar esto, considere nuevamente el poset del ejemplo 25 138
U E S
5. R
que genera las siguientes listas que cumplen con las condiciones dadas: e, d, b, c, a e, d, c, b, a d, e, b, c, a d, e, c, b, a d, b, e, c, a ogicos, surgen del hecho que existen pareDichas listas, llamadas ordenamientos topol´ jas de elementos dentro del poset que no son comparables. Es por esto que no importa si escribimos d antes que e o viceversa, ya que ni d e ni e d . A continuaci´on se definen los poset cuyas caracter´ısticas permiten escribir una lista como la anterior de forma unica. ´
C Un conjunto parcialmente ordenado ( A, ) es totalmente ordenado (o linealmente ordenado o una cadena) si y solo si para cualquier pareja de elementos x, y A, se cumple que x y o´ y x.
∈
Es decir, un poset es una cadena si y solo si todas las parejas de elementos dentro de e´ l son comparables. Note que ( A, ), donde A es cualquier subconjunto de R , es un conjunto totalmente ordenado, mientras que, como notamos anteriormente, R = ( x, y) N N x divide a y no es un orden total.
≤
× |
{
}
∈
Minimales y Maximales En un conjunto parcialmente ordenado hay algunos elementos que desempe˜ nan un papel especial. Algunos de estos elementos se definen a continuaci´ on. M M Sea R un orden parcial sobre el conjunto A, B A, y b minimal de B si ( x B)( xRb x b )
¬ ∃ ∈
⊆ ∧
∈ B. Entonces b es un elemento
De la misma manera, b es un elemento maximal de B si
¬(∃ x ∈ B)(bRx ∧ x b) Es decir, un elemento b es minimal si no es anterior a ning´un elemento del poset m´as que a s´ı mismo. Similarmente, un elemento b es maximal si no existe un elemento diferente a b anterior a b en el poset. Estos elementos son f´acilmente identificables en los diagramas Hasse ya que son, respectivamente, los elementos “inferiores” y “superiores” en el diagrama.
EJEMPLO 5.27 Sea (V , R) el ejemplo 26 e ilustrado en la figura 5.4. El diagrama muestra que 4, 5 y 6 son 139
5.4 R´ O
E M´
(a)
(b)
(c)
Figura 5.5: Diagramas Hasse de algunos poset
elementos maximales, mientras que 1 es un minimal.
Como se muestra en el ejemplo anterior, es posible que un poset tenga m´a s de un elemento maximal o minimal.
EJEMPLO 5.28 Considere los poset de la figura 5.5. Diga cu´ales elementos son maximales y cu´ales minimales en cada uno de ellos. Soluci´ on. En la figura 5.5a, a y e son maximales, mientras que e y d son minimales. En la figura 5.5b, b y c son minimales, mientras que d es el unico ´ maximal. Finalmente, en la figura 5.5c, h es el unico ´ maximal y a es el unico ´ minimal.
El ejemplo anterior muestra que un elemento puede ser tanto minimal como maximal si no es comparable con ning´ un otro elemento del poset. El siguiente ejemplo muestra que un poset no siempre tiene elementos minimales o maximales.
EJEMPLO 5.29 Sea R = ( x, y) R2 x y , B = x R x 0 y C = x minimales y maximales de los poset ( B, R) y (C , R).
{
∈
| ≤ }
{ ∈ | ≥ }
{ ∈ R | x > 0}. Determine los
Soluci´ on. Es claro que 0 x para todo x B. Por lo tanto, por la propiedad antisim´etrica, no existe ning´un elemento y dentro del poset ( B, R) tal que y 0 y 0, por lo que 0 es un elemento minimal del poset. Note que 0 no es un elemento minimal de (C , R) ya que 0 C y, de acuerdo a la definici´on de elementos minimales, estos deben ser elementos del poset. De hecho, C no tiene elementos minimales. Ninguno de los dos poset en consideraci´on tienen elementos maximales.
≤
∈
≤ ∧
Note que la definici´on de maximal requiere que no sea anterior a ning´un elemento del poset m´a s que a s´ı mismo. Dentro de los elementos del poset, sin embargo, es posible encontrar alg´un m tal que x m para todos los elementos del poset. De manera similar, es posible encontrar alg´un elemento que sea anterior a todos los elementos del poset. Estas observaciones llevan a las definiciones siguientes. 140
U E S
5. R
M´ı M ´ Sea R un order parcial sobre el conjunto A, B A, y b B. Entonces b es un elemento de B si m´ınimo de B si ( x B)(b x). De la misma manera, b es un elemento m aximo ´ ( x B)( x b )
∀ ∈
⊆
∀ ∈
∈
EJEMPLO 5.30 Considere nuevamente los poset de la figura 5.5. Diga cu´ales elementos son m´aximos y cu´ales m´ınimos en cada uno de ellos. Soluci´ on. La figura 5.5a, no tiene ni m´ınimos ni m´aximos. En la figura 5.5b, d es un m´aximo y en la figura 5.5c, h es un m´aximo y a es un m´ınimo. EJEMPLO 5.31 Considere el poset ( B, R) del ejemplo 29. Diga cu´ales elementos son m´aximos y cu´ales m´ınimos en cada uno de ellos. Soluci´ on. Es claro que 0 x para todo x B. Es decir, ( x B)(0 x). Por lo tanto, x es un elemento m´ınimo de ( B, R).
≤
∈
∀ ∈
Hasta ahora, en los ejemplos que hemos desarrollado buscamos un m´ınimo. Como muestra el siguiente teorema, en realidad hemos buscado el m´ınimo de cada poset.
Teorema 5. Sea R un orden parcial sobre el conjunto A, y B m´ınimo, entonces dicho m´ınimo es unico. ´
⊆ A. Si B tiene un elemento
Para demostrar este teorema, note que decir que b es el u´ nico elemento m´ınimo de B es equivalente a decir que para todo c, si c es un m´ınimo de B, entonces b = c . Por lo tanto, para probar el teorema, basta asumir que c y b son ambos m´ınimos cualesquiera de B y demostrar que debe cumplirse que b = c . Demostraci´ on. Suponga que b es un elemento m´ınimo de B y que c es tambi´en un elemento m´ınimo de B. Ya que b es un m´ınimo, ( x B)(b x), por lo que, en particular, b c. Similarmente, ya que c es un m´ınimo, se cumple que c b. Pero ya que R es un orden parcial, debe ser antisim´etrico, y ya que tenemos bRc cRb, podemos concluir b = c a partir de la definici´on de antisimetr´ıa.
∀ ∈
∧
Al desarrollar los ejemplos de m´ınimos hasta ahora, puede que el lector haya intuido que un m´ınimo debe tambi´en ser un minimal del poset. Esto se formaliza en el siguiente teorema.
141
5.4 R´ O
E M´
Teorema 6. Sea R un orden parcial sobre el conjunto A, y B A.
⊆
a) Suponga que b es el m´ınimo de B. Entonces b es tambi´ en un elemento minimal de B, y es el unico ´ elemento minimal de B. b) Si R es un orden total y b es un elemento minimal de B, entonces B es el elemento m´ınimo de B.
La parte (a) del teorema se deja como ejercicio al lector (ver ejercicio 21). Para (b), dado que es una demostraci´on menos directa que las desarrolladas hasta ahora en el cap´ıtulo, desarrollaremos la estrategia a seguir antes de escribir la prueba formal. Comenzaremos, desde luego, asumiendo que R es un orden total y que b es un elemento minimal de B. Debemos probar que b es el elemento m´ınimo, lo que significa que ( x B)(bRx ), por lo que dejaremos que x sea un elemento cualquiera de B y trataremos de probar b Rx.
∀ ∈
Sabemos, por los ejemplos que hemos visto hasta ahora, que un elemento minimal en un orden parcial no siempre es el m´ınimo, por lo que el hecho que sea un orden total debe ser crucial. La suposici´on que R es total significa que ( x A)( y A)( xRy yRx ), por lo que para utilizarlo necesitamos sustituir a x e y por algo. Los u´ nicos candidatos que tenemos hasta ahora son b y nuestro elemento arbitrario x, por lo que sustituyendo tenemos que xRb bRx . Nuestro objetivo es bRx, por lo que debemos buscar la manera de descartar la posibilidad que xRb. En otras palabras, debemos probar que xRb.
∀ ∈ ∀ ∈
∨
∨
¬
Ya que este es una proposici´on negativa, intentamos una prueba por contradicci´on. Suponga que xRb. El u´ nico hecho que no hemos utilizado hasta ahora es que b es minimal y ya que esta es una proposici´on negativa, es el lugar natural para buscar una contradicci´ on. Para contradecir que b es m´ınimal, se debe demostrar que ( x B)( xRb x b ). Pero ya ´ hemos asumido que xRb, por lo que debemos probar unicamente que x b .
∃ ∈
∧
Sin embargo, nuestra suposici´on inicial fue que x es un elemento cualquiera de B, lo que significa que podr´ıa ser igual que b , por lo que en este punto no podemos probar que x b. Pero cuando x = y, se cumple que bR x ya que R es reflexivo. Por lo tanto, nuestro razonamiento deber´a distinguir entre dos casos: cuando x = y y cuando x y . Ahora estamos preparados para presentar la prueba de la segunda parte del teorema 6.
Demostraci´ on. Suponga que R es total y que b es un elemento minimal de B. Sea x un elemento arbitrario de B. Si x = b, entonces ya que R es reflexivo, bRx . Ahora suponga que x b . Ya que R es un orden total, sabemos que debe cumplirse ya sea xRb ´o bRx. Pero xRb no puede ser verdadero ya que si combinamos xRb con nuestra suposici´on que x b , entonces b no es minimal, lo que contradice nuestra suposici´on que es un minimal. Por lo tanto, xRb debe ser verdad. Ya que x es un elemento cualquiera de B, podemos concluir que ( x B)(bRx ), por lo que b es el elemento m´ınimo de B .
∀ ∈
142
U E S
5. R
Figura 5.6: Diagrama Hasse de un poset
C Sea ( A, R) un conjunto parcialmente ordenado, y sea B un subconjunto de A. Un elemento u de A es llamado una cota superior o mayorante de B si y solo si ( x B)( x u). Se dice que un poset est´a acotado por arriba si existe alguna cota superior. Similarmente, un elemento l de A es llamado una cota inferior o minorante de B si y solo si ( x B)(u x). Se dice que un poset esta acotado por abajo si existe una cota inferior. Finalmente, se dice que un poset est´a acotado si posee tanto una cota inferior como una superior.
∀ ∈ ∀ ∈
Note que no es necesario que una cota inferior sea elemento del conjunto B. De hecho, esta es la u´ nica diferencia entre minorantes y el elemento m´ınimo (y entre mayorante y el elemento m´aximo). Un elemento m´ınimo de B es simplemente un minorante que tambi´ en es elemento de B. En el ejemplo 31 vimos que 0 no era el m´ınimo de C ya que 0 C . Sin embargo, 0 es una cota inferior de C . De hecho, todos los elementos del conjunto x R x 0 son cotas inferiores de C , y 0 es elemento m´aximo de dicho conjunto. Por lo tanto, decimos que 0 es la mayor cota inferior .
{ ∈ | ≤ }
S ´I Sea R un orden parcial sobre A y B A. Sea U el conjunto de todas las cotas superiores de B , y sea L el conjunto de todas sus cotas inferiores. Si U tiene un elemento m´ınimo, a este elemento se le llama la menor cota superior o supremo de B . Si L tiene un elemento m´aximo, a dicho elemento se le llama la mayor cota inferior o ´ınfimo de B .
⊆
Por el teorema 5, el ´ınfimo, si existe, es unico. ´ Es as´ı que podemos hablar de el ´ınfimo en lugar de un ´ınfimo. An´alogamente, podemos hablar de el supremo en lugar de un supremo.
EJEMPLO 5.32 Determine, si existen, las cotas superiores e inferiores, los supremos e ´ınfimos de los subconjuntos i, j , e, d , h y e, d del poset representado en el diagrama de la figura 5.6. Soluci´ on. Para el conjunto A = i, j , el conjunto de cotas inferiores es U A = h, e, d , c, a, b . Note que g no es parte de este conjunto ya que, a pesar que g i, g j, por lo que no cumple con la definici´on de mayorante. As´ı mismo, note que h es el elemento m´aximo del
{ }{
} { } { }
{
}
143
5.4 R´ O
E M´
conjunto U A , por lo que h es el ´ınfimo de A. A no tiene cotas superiores ya que no existe ning´un elemento x en el poset tal que i y j sean ambos anteriores a x. Para el conjunto B = e, d , h , el conjunto de cotas superiores es i, j, h , del cual h es el elemento m´ınimo, por lo que es tambi´en el supremo de B. M´as a´un, dado que h B, entonces h es tambi´en el elemento m´aximo de B. El conjunto de cotas inferiores de B es c, a, b , de donde c es el elemento m´aximo, por lo que es tambi´en el ´ınfimo de B . Finalmente, para el conjunto C = e, d , el conjunto de cotas inferiores es a, b, c del cual c es el elemento m´a ximo y, por lo tanto, el ´ınfimo de B. El conjunto de cotas superiores es U C = g, h, i, j . Note, sin embargo, que tanto g como h son minimales de este conjunto. Por la parte (a) del teorema 6, un conjunto que tiene m´as de un minimal no puede tener m´ınimo, por lo que C no posee un elemento supremo.
{
{
}
}
{
}
{ }
{
∈
{
}
}
EJEMPLO 5.33 Sea R = ( x, y) R2 x Z+ = y un orden total sobre R . Sea B = 1n n 1, 12 , 13 , 14 , . . . R. Encuentre, si existen, las cotas inferiores y superiores, y el ´ınfimo y el supremo del poset ( R, B). Soluci´ on. Claramente, el elemento m´aximo de B es 1. Es tambi´en una cota superior de B, as´ı como cualquier n´umero mayor que 1. Por definici´on, una cota superior x de B debe cumplir que b x para cualquier elemento b B, por lo que, en particular, 1 x. Por lo tanto, ning´un n u´ mero menor que 1 es una cota superor de B. Es decir, el conjunto de cotas superiores de B es x R x 1 . Claramente, el elemento m´ınimo de este conjunto es 1, por lo que 1 es el supremo de B . Por otro lado, vemos que 0 es claramente una cota inferior de B, as´ı como todo n´ umero negativo. Sin embargo, debemos descartar a los n´ umeros positivos como posibles cotas inferiores de B. Suponga que a es positivo. Entonces, para un entero n suficientemente grande tendremos 1n < a (note que cualquier entero n mayor que 1a cumple con esto). Por lo tanto, no se cumple que ( x B)(a x), y, por lo tanto, a no es una cota inferior de B . As´ı tenemos que el conjunto de todas las cotas inferiores de B es x R x 0 , del cual 0 es el elemento m´aximo, por lo que 0 es el ´ınfimo de B .
{
{
}⊆
∈
| ≤ }
{ | ∈
}
∈
{ ∈ | ≥ }
∀ ∈
≤
{ ∈ | ≤ }
Podemos observar en el ejemplo anterior que el elemento m´ aximo de B result´o ser su supremo. De aqu´ı podr´ıa surgir la pregunta si el elemento maximo ´ de un conjunto es siempre su supremo y si su elemento m´ınimo es siempre su ´ınfimo. De hecho, el ejercicio 23 le pide demostrar esto.
Ejercicios ....................................................................................................... 1. En cada uno de los siguientes casos, determine si la relaci o´ n R es un orden parcial sobre A.
144
a) A = Z y aRb b) c)
↔ a b. A = N y aRb ↔ a = 2 b. A = N y aRb ↔ b | a . 2
U E S
5. R
d) A = N y aRb
k
↔ (∃k ∈ P)(a = b ).
2. Determine si cada uno de los siguientes grafos representa a una relaci o´ n parcial. De serlo as´ı, dibuje el diagrama Hasse correspondiente. a)
7.
8.
9.
10.
b)
c)
d)
Para los poset ( K , R) definidos en los ejercicios 3-6 y para los poset representados en los diagramas de Hasse de los ejercicios 7- 10:
11. Para el poset (K , R) definido en el ejercicio 3, determine, si existen, las cotas superiores, inferiores, infimo y supremo de a) 5, 7 b)
Liste los pares ordenados de R
12. Para el poset (K , R) definido en el ejercicio 4, determine, si existen, las cotas superiores, inferiores, infimo y supremo de
Dibuje el grafo de R Dibuje el diagrama de Hasse de R Determine el dominio de R Determine el rango de R
a) 15, 30
Calcule R −1 , listando los pares ordena-
b)
dos de la relaci o´ n Liste las parejas de elementos no comparables de K ¿Cu´ales son los minimales y maximales de K ? Determine, si existen, el m´ınimo y m´aximo de K Liste dos ordenamientos topol´ogicos del poset K
{
} ×
3. Sea el conjunto K = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 K y la relaci´on R = ( x, y) K x divide a y sobre K .
|
{
}
∈
4. Sea el conjunto K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 , 30, 60 y la relaci´on R = ( x, y) K K x divide a y sobre K .
× |
5. 6.
}
{
{
∈
} Sea el conjunto A = {u, e, s}, K = P ( A) y la relaci´on R = {( x, y) ∈ K × K | x ⊆ y } sobre K . Sea el conjunto K = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}} y la relaci´on R = {( x, y) ∈ K × K | x ⊆ y} sobre K .
{ } {4, 6, 8}
{ } {5, 6}
13. Para el poset ( K , R) definido en el ejercicio 5, determine, si existen, las cotas superiores, inferiores, infimo y supremo de x, y , x, z , y, z
{{ } { } { }}
14. Para el poset (K , R) definido en el ejercicio 6, determine, si existen, las cotas superiores, inferiores, infimo y supremo de a) b)
{{2}, {4}} {{1, 2, 4}, {2, 3, 4}}
15. De un ejemplo de poset que tenga a) un elemento m´ınimo pero no un m´aximo b) un elemento m´aximo pero no un m´ınimo c) ni un m´aximo ni un m´ınimo d) un elemento m´aximo y un m´ınimo 16. Dibuje el diagrama de Hasse del poset ( a, b, c, d , ).
{
}⊆
17. Suponga que R es un orden parcial sobre A . Demuestre que R −1 es tambi´en un orden parcial en A .
145
5.5 R E
E M´
18. Si R es un orden total sobre un conjunto A , ¿debe ser el caso que R −1 es un orden total?
23. Sea R un orden parcial sobre A, B b B .
∈
Z x > 1 y D = ( x, y) 19. Sea B = x B B x divide a y . ¿Tiene B elementos minimales? De ser as´ı, ¿cu´ales son? ¿Tiene B elemento m´ınimo? De ser as´ı, ¿cu´al es?
{ ∈ | × | }
}
{
∈
A y
a) Demuestre que si b es el m´ınimo elemento de B , entonces tambi´en es el ´ınfimo de B. b) Demuestre que si b es el m´aximo elemento de B, entonces tambi´en es el supremo de B .
20. Suponga que R es un orden parcial en A, B A y b B. El ejercicio 17 muestra que 1 − R tambi´en es un orden parcial sobre A .
⊆
⊆
∈
24. Sea R un orden parcial sobre A , B A y U el conjunto de todos las cotas superiores de B.
⊆
a) Pruebe que b es un elemento m a´ ximo de ( B, R) si y solo si es el elemento m ´ınimo de ( B, R−1 ).
a) Pruebe que si x y U .
b) Pruebe que b es un elemento maximal de ( B, R) si y solo si es el elemento minimal de ( B, R−1 ).
∈
∈
U y xRy, entonces
b) Pruebe que todo elemento de B es una cota inferior de U .
21. Demuestre la primera parte del teorema 6.
c) Pruebe que si x es el ´ınfimo de U , entonces x es el supremo de B .
22. Si un subconjunto de un poset tiene exactamente un elemento minimal, ¿debe ser ese elemento el m´ınimo? De una prueba o un contraejemplo para justificar su respuesta.
25. Demuestre que la intersecci´on de dos o´ rdenes parciales sobre A es un orden parcial.
5.5 Relaciones de Equivalencia ....................................................................................................... Como notamos al inicio de este cap´ıtulo, existen relaciones que nos permiten decir que dos elementos de un conjunto tienen “algo en com´un” por lo que podemos considerarlos como “lo mismo”. La siguiente definici´on muestra las propiedades que debe poseer una relaci´on para que nos permita hacer dicha distinci´on. R´ E Sea R una relaci´on sobre A . A R se le llama relaci´ on de equivalencia sobre A si y solo si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. El ejemplo m´as b´asico de una relaci´on de equivalencia sobre cualquier conjunto A es la igualdad. Es decir, la relaci´on G = ( x, y) x = y . Para mostrar que G es una relaci´on de equivalencia, notamos que es reflexiva ya que todo elemento es igual a s´ı mismo; es sim´etrica ya que si x = y entonces y = x para cualquier x, y A; y es transitiva ya que si x = y e y = z entonces debe cumplirse que x = z para todo x , y, z A. En el otro extremo, tenemos que el producto cartesiano A A es una relaci´on de equivalencia (el lector deber´ıa poder verificar esto). Sin embargo, esta relaci´on no es muy util, ya que toda pareja de elementos est´an relacionados entre s´ı, y normalmente no querremos
{
|
}
∈ ∈ ×
146
U E S
5. R
Figura 5.7: El grafo de una relaci´ on de equivalencia
ver a todos los elementos de un conjunto como “lo mismo”.
EJEMPLO 5.34 Regresando a uno de los ejemplos del inicio del cap´ıtulo, donde M es el conjunto de todas las monedas y R = ( x, y) M M x tiene la misma denominaci´on que y , notamos que R es reflexiva ya que toda moneda tiene la misma denominaci´on que s´ı misma; es sim´etrica ya que si una moneda x tiene la misma denomiaci´on que otra y , entonces y tiene la misma denominaci´on que x; y es transitiva ya que si una moneda x tiene la misma denominaci´on que una y , y y tiene la misma denominaci´on que una z , entonces x deber´a tener la misma denominaci´on que z .
{
∈ × |
}
EJEMPLO 5.35 Las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia. Su prueba se deja como ejercicio al lector. a) Sea X cualquier conjunto finito, A = P ( X ), y N = ( x, y) n´umero de elementos que y .
}
∈ A × A | x tiene el mismo
{ ∈ Z × Z | m − n es par }. S = {(m, n) ∈ Z × Z | m y n son ambos pares o ambos impares}.
b) P = ( x, y) c)
{
Los grafos de las relaciones de equivalencia muestran caracter´ısticas distintivas, como se muestra en la figura 5.7. El grafo se divide en distintos subgrafos, cada uno de los cuales es sim´etrico, transitivo y reflexivo, donde cada uno de los elementos de dichos subgrafos est´a unido por una arista, y no hay dos subgrafos que se encuentren unidos por una arista. Note que cada uno de los elementos de dichos subgrafos pueden considerarse como “lo mismo” dentro de esta relaci´on, por lo que definen una clase de equivalencia. C E Sea R una relaci´on sobre A, definimos el conjunto [ x] = y A ( x, y) R . Si R es una relaci´on de equivalencia sobre A, llamamos a [ x] la clase de equivalencia determinada por x y denotamos por A / R al conjunto [ x] x A de todas las clases de equivalencia.
{ ∈ |
∈ }
{ | ∈ }
En la definici´on anterior, el conjunto [ x] est´a compuesto por todos los elementos de A que est´an relacionados con x. Note que, como se muestra en los siguientes ejemplos, [ x] 147
5.5 R E
E M´
est´a definido para cualquier relaci´ on, sin importar que e´ sta sea una relaci´on de equivalencia o no.
EJEMPLO 5.36 La relaci´on R = (1, 1), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 5) definida sobre A = 1, 2, 3, 4, 5 no es una relaci´on de equivalencia. Determine [1], [2], [3] y [4]. Soluci´ on. [1] = 1, 2, 3, 4 , [2] = 4 , [3] = 3, 5 , [4] = 4 y [5] = .
{
{
}
}
{
}
{ }
{ }
{ }
∅
EJEMPLO 5.37 La relaci´on R = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4) es una relaci´on de equivalencia sobre A = 1, 2, 3, 4, 5 . Determine A / R. Soluci´ on. [1] = 1 , [2] = [3] = 2, 3 , [4] = [5] = 4, 5 .
{
{
{ }
{ }
}
}
{ }
Note la diferencia cualitativa entre los resultados del ejemplo 36 y el ejemplo 37. Los conjuntos [m] del ejemplo 37 tienen la propiedad que todos son no vac´ıos, cualquier pareja de ellos es id´entico o disjunto, y cada elemento de A est´a contenido en al menos uno de ellos. Los conjuntos [m] del ejemplo 36 no cumplen con alguna de las condiciones anteriores. De hecho, el ejemplo 37 es un caso particular de un teorema general que dice que todas las clases de equivalencia deben cumplir dichas propiedades. Sin embargo, antes de probar esto, debemos introducir el concepto de partici´on. P´ Sea A un conjunto cualquiera. Una colecci´on F de subconjuntos de A es llamada una partici´on si y solo si a) S
∅ para cada S ∈ F . b) Si S , S ∈ F , entonces S S → S ∩ S = ∅. ∈ c) Para todo a ∈ A, existe alg´un S ∈ F tal que a ∈ S . Es decir, 1
2
1
2
1
2
S
S F
Es decir, una colecci´on F de subconjuntos de A es una partici´on si todos esos subcon juntos son no vac´ıos, son iguales o disjuntos entre s´ı y su uni´ on da como resultado A . Los siguientes ejemplos muestran algunas particiones.
EJEMPLO 5.38 Sean N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . , P = 0, 2, 3, 6, . . . y I = 1, 3, 5, 7, . . . , entonces P, I es una partici´on de N ya que P e I , P I = y P I = N.
{
} { } ∅ ∅ ∩ ∅
EJEMPLO 5.39 Sean C = 1, 2, 3, 4 , A1 = 2, 2, 2, 4 , A2 = A1 , A2 , A3 , A4 es una partici´on de C .
{
{
}
}
{
}
{ ∪
{4, 2}, A
3
=
{3}, A
4
}
{ }
=
{1}. Entonces
EJEMPLO 5.40 Sean T = 1, 2, 3, . . . , 9, 10 y los subconjuntos A = 1, 3, 5 , B = 2, 6, 10 y C = 4, 8, 9 .
{
148
}
{
}
{
}
{
}
U E S
5. R
Entonces A, B, C no es una partici´on de T , pues T C .
{
}
A
∪ B ∪ C . En efecto, 7 A ∪ B ∪
EJEMPLO 5.41 Dado T = 1, 2, . . . , 9, 10 y los subconjuntos F = 1, 3, 5, 7, 9 , G = 2, 4, 10 y H = 3, 5, 6, 8 . Entonces F , G , H no es una partici´on de T ya que F H = 3, 5 y F H .
{
}
{
{
}
{
}
} ∩
{
{ }
}
EJEMPLO 5.42 Sean y 1 , y 2 , y 3 e y 4 las palabras “libro”, “danza”, “brillo” y “jeque”, respectivamente, A = l, a , i , u , j, n , z , b , o , d , q , e , r , y sean los subconjuntos de A :
{
Pi
} = { x | x es una letra de la palabra y } i
Por lo que P1 , P2 , P3 , P4 es una partici´on de A. N´otese que P1 = l, i, b, r , o y P3 = on ya que P 1 = P3 . b, r , i, l, l, o no son disjuntos, pero no hay contradicci´
{ }
{
}
{
}
Regresando una vez m´as al ejemplo 34 con la relaci´on R de las denominaciones de las monedas, podemos ver que las clases de equivalencia generadas por dicha relaci´on forman una partici´on. Todas las monedas deben tener una denominaci´on, por lo que pertenecen a alguna clase de equivalencia. Esto hace que la uni´on de las clases de en M / R da como resultado el conjunto de monedas. Todas las denominaciones tienen alguna que las representa, por lo que todas las clases de equivalencia en M / R son no vac´ıas. Finalmente, una misma moneda no puede tener dos denominaciones, por lo que pertenece a una sola clase de equivalencia y las clases de equivalencia generadas por R son disjuntas. De hecho, es f´acil ver que si dos clases de equivalencia generadas por M tienen alg´un elemento en com´un es porque son iguales. Este es otro ejemplo que ilustra que el conjunto de clases de equivalencia generadas por una relaci´on de equivalencia es una partici´ on. Los siguientes lemas nos mostrar´an porqu´e esto debe cumplirse siempre. on de equivalencia sobre A. Entonces, para cualquier x Lema 5.1. Sea R una relaci´ x [ x] y [ x] .
∈
∈ A,
∅
Demostraci´ on. Sea x un elemento cualquiera de A. Ya que R es reflexiva, se cumple que x Rx. Pero por la definici´on de clase de equivalencia, si x Rx, entonces x [ x]. Adem´as, ya que [ x] tiene al menos un elemento, entonces [ x] .
∅
∈
El lema anterior nos dice que todo elemento x pertenece a la clase de equivalencia [ x] y que ninguna clase de equivalencia es vac´ıa. El siguiente nos muestra que la union ´ de todas las clases de equivalencia de una relaci´on de equivalencia nos debe dar como resultado el conjunto sobre el cual est´a definida.
Lema 5.2. Sea R una relaci´ on de equivalencia sobre A, entonces
X = A
∈
X A/ R
149
5.5 R E
E M´
Demostraci´ on. Ya que lo que se nos pide probar es una igualdad de conjuntos, debemos probar tanto que X ∈ A/ R X A como A X ∈ A/ R X . Para la primera, note que toda clase de equivalencia en A/ R es un subconjunto de A por definici´on, por lo que deber´ıa estar claro que su uni´on tambi´en debe ser un subconjunto de A . Para la segunda parte, suponga que x es un elemento cualquiera de A. Entonces, por el lema 5.1, x [ x] y se sabe que [ x] A/ R, por lo que x X ∈ A/ R X . Por lo tanto, A X ∈ A/ R X as´ı que X ∈ A/ R X = A .
⊆
⊆
∈
∈
∈
⊆
Finalmente, el lema siguiente nos dice que dos clases de equivalencia son iguales o son disjuntas entre s´ı. on de equivalencia sobre A. Entonces [ x] [ y] Lema 5.3. Sea R una relaci´
→ [ x]∩[ y] = ∅.
Demostraci´ on. Recuerde que la proposici´on que un conjunto es vac´ıo es realmente una proposici´on negativa, por lo que tanto el antecedente como la consecuencia de la proposici´on compuesta a probar son negativos. Esto sugiere que probablemente ser´a m´as facil probar la contrarrec´ıproca, por lo que asumiremos que [ x] [ y] y probaremos que [ x] = [ y].
∩
∅
Ya que [ x] [ y] , entonces existe z [ x] [ y], por lo que z [ x] y z [ y]. Demostraremos [ x] = [ y] por inclusi´on mutua. Primero suponga que w [ x]. Ya que z [ x], z [ y] y w [ x] tenemos que x Rz, y Rz y x Rw, respectivamente. Pero ya que x Rz, sabemos que z Rx por simetr´ıa. Luego ya que y Rz y z Rx, sabemos que y Rx por transitividad. Finalmente, ya que y Rx y x Rw, entonces y Rw por transitividad. Por lo tanto, w [ y], lo que nos lleva a concluir que [ x] [ y]. La inclusi´on inversa sigue un argumento id´entico, por lo que [ x] = [ y].
∩
∈
∅
∈
∩
∈ ∈
∈
∈
∈
∈
⊆
Los tres lemas anteriores nos dicen que el conjunto de clases de equivalencia generados por una relaci´on de equivalencia cumple con las tres propiedades de una partici´on, por lo que el siguiente teorema es un resultado directo de ellos.
Teorema 7. Sea R una relaci´ on de equivalencia sobre un conjunto A. Entonces A/ R es una partici´ on de A.
EJEMPLO 5.43 En el ejemplo 37 vimos que [1] = 1 , [2] = [3] = 2, 3 y [4] = [5] = 4, 5 , por lo que, por el teorema 7, A / R = 1 , 2, 3 , 4, 5 es una partici´on de A = 1, 2, 3, 4, 5 .
{ } {{ } { } { }}
{ }
{
{ }
}
EJEMPLO 5.44 y [mod 5], que se lee “ x es Sea R la relaci´o n en Z definida por x Ry si y solo si x congruente con y mo´ dulo 5”, y que significa “ x y es divisible por 5”. El lector podr´a comprobar que R es una relaci´on de equivalencia por lo que
−
150
≡
U E S
5. R
{ ∈ Z | x ≡ 0(mod 5)} = { x ∈ Z | x − 0 es divisible por 5} = { x ∈ Z | x es divisible por 5} = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . . } E = {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . . } E = {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . . } E = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . } E = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . } Y As´ı Z/ R = { E , E , E , E , E } es una partici´on de Z . E 0 = x
1 2 3 4
0
1
2
3
4
Teorema 8. Sea A un conjunto cualquiera y F una partici´ on de A. Entonces existe una relaci´ on de equivalencia R sobre A tal que A/ R = F . Ya que la conclusi´o n del teorema 8 es una proposici´o n existencial, debemos de tratar de encontrar una relaci´on de equivalencia tal que A / R = F . Para esto es u´ til notar que en una clase de equivalencia [ x] de una relaci´on de equivalencia R definida sobre A, los elementos de [ x] est´an relacionados entre s´ı de todas las formas posibles; es decir, [ x] [ x] R . Para ver esto, asumamos que x e y son miembros de [ x]. Por reflexividad, sabemos que ( x, x) y ( y, y) pertenecen a la relaci´on. Adem´as, ya que y [ x], ( x, y) R y, por simetr´ıa, ( y, x) R . Con esto vemos que x, y x, y . Es f´acil ver que si existe otro elemento z [ x], entonces los pares ordenados ( z, z), ( x, z), ( z, x) deben estar en R por reflexividad y simetr´ıa, y ya que ( y, x) R y ( x, z) R , entonces ( z, y) R por transitividad y ( y, z) R por simetr´ıa, por lo que todos los miembros de [ x] [ x] deben pertenecer a R. Note que, por el lema 5.1, el resultado anterior implica que R = X ∈ A/ R X X . Esto sugiere que para la prueba del teorema 8 podemos construir a la relaci´ on R con todos los pares ( x, y) X X para toda X F ; es decir, R = X ∈F X X . Por ejemplo, considere la partici´on F = 1, 2 , 4, 5 , 3 sobre el conjunto A = 1, 2, 3, 4, 5 . Si construimos la relaci´on R tal y como se sugiri´o en el p´arrafo anterior, tenemos:
× ⊆
∈
{ }×{ }
∈
{
∈
×
∈ × }
R =
∈
∈
∈
∈
∈
∈
×
× {{ } { } { }}
( X X )
X F
∈
×
= ( 1, 2
{ } × {1, 2}) ∪ ({4, 5} × {4, 5}) ∪ ({3} × {3}) = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} ∪ {(4, 4), (5, 5), (4, 5), (5, 4)} ∪ {(3, 3)} = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (4, 4), (5, 5), (4, 5), (5, 4), (3, 3)} Se deja al lector verificar que la relaci´on resultante es una relaci´on de equivalencia y que las clases de equivalencia son
{ }
[1] = [2] = 1, 2
{ }
[4] = [5] = 4, 5
{ }
[3] = 3
151
5.5 R E
E M´
Por lo que el conjunto de clases de equivalencia es A / R = 1, 2 , 4, 5 , 3 , que es precisamente lo mismo que la partici´on F con la que iniciamos. Debemos, sin embargo, probar que esto se cumple para toda relaci´ on creada de una partici´on de esta manera.
{{ } { } { }}
Lema 5.4. Sea A un conjunto cualquiera, F una partici´ on de A, y R = Entonces R es una relaci´ on de equivalencia sobre A.
∈
X F ( X
× X ).
Demostraci´ on. Probaremos que R es reflexiva y dejaremos la prueba sobre el resto de propiedades para el lector. Sea x un elemento cualquiera de A . Ya que F es una partici´on de A, X ∈F X = A, por lo que x un X F tal X ∈F X . Entonces, podemos elegir alg´ que x X . Pero entonces, ( x, x) X X , as´ı que ( x, x) X ∈F X X . Por lo tanto, R es reflexiva.
∈ ∈ ×
∈
∈
∈
×
on de A la relaci´on de equivalencia R resultante del lema 5.4 la llamaremos la relaci´ equivalencia determinada por F . Luego es necesario probar que para cualquier elemento x A, si x pertenece a alg´un conjunto de la partici´on F , entonces dicho conjunto es la clase de equivalencia de x en la relaci´on de equivalencia determinada por F .
∈
Lema 5.5. Sea A un conjunto cualquiera, F una partici´ on de A y R la relaci´ on de equivalencia determinada por F . Si X F y x X, entonces [ x] = X.
∈
∈
Demostraci´ on. Como es usual, para probar [ x] = X debemos probar [ x] X y X [ x]. Primero suponga que y [ x]. Entonces ( x, y) R . Por la definici´on de R, debe existir alg´ un Y F tal que ( x, y) Y Y , y por lo tanto x Y e y Y . Ya que x X y x Y , X Y y debido a que todas las parejas de conjuntos de F son iguales o disjuntos, sabemos que X = Y . Por lo tanto, ya que y Y , entonces y X y ya que y es un elemento cualquiera de [ x], podemos concluir que [ x] X . Ahora, para probar que X [ x] suponga que y X . Entonces ( x, y) X X , as´ı que ( x, y) R y por lo tanto y [ x], lo que termina nuestra prueba.
∈ ∈ ×
∈
∈
∈
∈ ∈ ∈
∈ ⊆ ⊆
∈
∈
∈
⊆ ∈
⊆ ∩ ⊆
∈ ×
Los dos lemas anteriores nos permiten ahora completar la demostraci´ on del teorema 8.
Demostraci´ on del Teorema 8. Sea R = X ∈F ( X X ). El lema 5.4 prob´o que R es una relaci´on de equivalencia, por lo que solo debemos comprobar que A/ R = F . Para ver esto, A. Ya que F es una suponga que X A/ R. Esto significa que X = [ x] para alg´un x partici´on, sabemos que X ∈F X = A, as´ı que x X ∈F X y podemos elegir Y F tal que x Y . Pero por el lema 5.5, [ x] = Y de donde X = Y F , as´ı que A / R F . Ahora suponga que X F . Entonces ya que F es una particion, X , por lo que podemos elegir alg´un x X . Pero por el lema 5.5, X = [ x] A/ R, as´ı que F A/ R. Por lo tanto, A / R = F .
∈
∈
∈
×
∈
∈
∈
∈
∈
∈ ⊆ ∅ ⊆
Una nota interesante sobre el teorema 8 es que si de una partici´on F genero a R, la relaci´on de equivalencia determinada por F , y de R genero una partici´on G (sabemos que esto es posible por el teorema 7), entonces F = G . De la misma forma, si de una relaci´on de equivalencia S genero una partici´on F , y de esa partici´on genero a Q, la relaci´on de 152
U E S
5. R
equivalencia determinada por F , entonces S = Q. La demostraci´on de esto ultimo ´ se deja como ejercicio al lector.
Ejercicios ....................................................................................................... 1. Demuestre que las relaciones de los ejemplos 35 y 44 son relaciones de equivalencia. De ser posible, determine el n u´ mero de clases de equivalencia distintas definidas por la relaci´on. 2. Sea A = a, b, c, d , e, f , g . Decir si las siguientes familias de conjuntos son o no particiones de A .
{
}
{{a, c, e}, {b}, {d , g}} b) {{a, e, g}, {c, d }, {b, e, f }} c) {{a, b, e, g}, {c}, {d , f }} d) {{a, b, c, d , e, f , g}} Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determine si las siguiena)
3.
tes R i son relaciones de equivalencia. De serlo, encuentre A / Ri
{
a) R1 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 4), (3, 2) b) R2 = (4, 3)
}
b) Determine [0], [2], [49] c) Demuestre que existen infinitas clases de equivalencia. 6. Sea p 1 un entero, y sea R = (m, n) Z Z p divide a m n .
≥ × |
{(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), {
}
4. Sea R una relaci´on sobre N definida por (m, n) N N 3 divide a m n
∈ × |
− }
a) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia sobre N . b) Determine [1], [2], [3] c) Determine [4], [5], [6]
{
− }
∈
a) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia sobre Z . b) Determine [0], [1], [ 1], [ p], [ p] y [ p + 1].
−
−
c) Pruebe que [0], [1], . . ., [ p 1] son todas clases de equivalencia distintas.
−
d) Pruebe que [0], [1], . . ., [ p las clases de equivalencia. 7. Sea R sobre N
}
c) R3 = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (1, 3), (4, 1), (4, 4)
{
a) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia sobre N .
− 1] son todas
× N definida por
(m, n) R( p, q)
↔ mq = n p
a) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia sobre N N.
×
b) Liste tres miembros para cada una de las clases de equivalencia [(1 , 1)], [(1, 2)] y [(2, 5)]. c) ¿Qu´e forma tienen los elementos de [( p, q)] para cualquier par p, q N?
∈
8. Demuestre que R = ( x, y) R R xy 0 no es una relacio´ n de equivalencia sobre R .
{
∈ × | ≥ }
d) ¿Cu´antas clases de equivalencia existen en esta relacio´ n? Demuestre su respuesta.
N 9. Demuestre que R = (m, n) N 3 divide a m + n no es una relacio´ n de equivalencia sobre N .
5. Sea R una relaci´on sobre R definida por ( x, y) R R x2 = y 2 .
10. Encuentre todas las particiones del conjunto A = 1, 2, 3 .
{
∈ × |
}
|
}
{
{
∈
×
}
153
5.5 R E
E M´
11. Encuentre todas las relaciones de equivalencia del conjunto A = 1, 2, 3 .
a) Pruebe que S es una relaci´on de equivalencia sobre B .
12. Complete la demostraci´on del lema 5.4.
b) Pruebe que para todo x B.
{
}
13. Describa las particiones del conjunto A = a, b, c, d , e, f correspondientes a las siguientes relaciones de equivalencia:
{
}
{
a) E 1 = (a, a), (b, b), (c, c), (d , d ), (e, e), ( f , f ), (a, d ), (d , a), (d , f ), ( f , d ), (a, f ), ( f , a)
}
b) E 2 = ( f , f )
}
{(a, a), (b, b), (c, c), (d , d ), (e, e),
c) E 3 = (a, a), (b, b), (c, c), (d , d ), (e, e), ( f , f ), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c), (d , f ), ( f , d )
}
d) E 4 = A
{
× A {(a, a), (b, b), (c, c), (d , d ), (e, e),
e) E 5 = ( f , f ), (c, d ), (d , c), (c, e), (e, c), (c, f ), ( f , c), (d , e), (e, d ), (d , f ), ( f , d ), (e, f ), ( f , e)
}
14. Describa, listando todos los pares ordenados, las relaciones de equivalencia sobre el conjunto A = a, b, c, d , e, f determinadas por las siguientes particiones:
{
}
{{a, c, e}, {b, d , f }} F = {{a}, {b}, {c, d , f }, {e}} F = {{a, b, c, d , e, f }} F = {{a, c}, {e, f }, {b}, {d }} F = {{a}, {b}, {c}, {d }, {e}, { f }}
a) F 1 = b) c) d) e)
5
15. Describa la relaci´on de equivalencia sobre Z determinada por la partici´on A, B , donde A = x x 0 , B = x x > 0 .
{ } }
16. Suponga que R y S son relaciones de equivalencia sobre A y A/ R = A/S . Demuestre que R = S . 17. Suponga que R es una relaci´on de equivalencia sobre A . Sea F = A / R, y sea S la relacio´ n de equivalencia determinada por F . En otras palabras, S = X ∈F ( X X ). Demuestre que S = R .
×
18. Suponga que R es una relaci o´ n de equivalencia sobre A y B A . Sea S = R ( B B).
⊆
154
∩
19. Suponga que F es una particio´ n de A , G es una partici´on de B, y A B = . Demuestre que F G es una partici o´ n de A B.
∩
∪
∅
∪
20. Sea R una relaci´on de equivalencia sobre A, S una relaci´on de equivalencia sobre B, y A B = .
∩
∅
a) Demuestre que R S es una relaci o´ n de equivalencia sobre A B.
∪
∪
b) Demuestre que para todo x A, [ x] R∪S = [ x] R y que para todo y B , [ y] R∪S = [ y]S .
∈
∈
c) Demuestre que ( A B)/( R S ) = ( A/ R) ( B/S ).
∪
∪
∪
21. Suponga que F y G son particiones del con junto A . Definimos una nueva familia de con juntos F G tal que Z F G si y solo si Z P ( A), Z y ( X F )( Y G )( Z = X Y ). Demuestre que F G es una partici´on de A .
∈ ∩
·
∈ · ∅ ∃ ∈ ∃ ∈ ·
22. Sean F = R− , R+ , 0 y G = Z, R Z particiones de R . Liste los elementos de F G .
{
{ }}
{
− }
∩
4
= [ x] R
23. Sean S y R relaciones de equivalencia sobre A y T = R S .
3
{ |
S
·
2
{ | ≤ }
∈ B, [ x]
∩ ×
a) Demuestre que T es una relaci´on de equivalencia b) Demuestre que para todo x [ x] R [ x]S .
∩
∈ A, [ x]
T
=
·
c) Demuestre que A /T = ( A/ R) ( A/S ). 24. Dado un conjunto A cualquiera, ¿qu´e es la intersecci´on de todas las relaciones de equivalencia sobre A ? 25. Suponga que F es una particio´ n de A y G es una particio´ n de B. Definimos una nueva familia de conjuntos F G tal que Z F G si y solo si Z P ( A B ) y ( X F )( Y G )( Z = X Y ). Demuestre que F G es una partici´on de A B.
∈ × ×
⊗ ×
∈ ⊗ ∃ ∈ ∃ ∈ ⊗
U E S
5. R
26. Sea F = R− , R+ , 0 una particio´ n de R . Liste los elementos de F G .
a) Demuestre que T es una relaci´on de equivalencia sobre A B.
27. Sean R una relacio´ n de equivalencia sobre A y S una relacio´ n de equivalencia sobre B. T como Defina una relaci´on T sobre A B), (a, b)T (c, d ) si y solo si ( a, b) ( A (c, d ) ( A B ), a Rc y b Rd.
b) Demuestre que si a A y b [(a, b)]T = [ a] R [b]S .
{
∈ ×
{ }}
⊗
× ∈ ×
×
×
∈
c) Demuestre que ( A ( B/S ).
∈ B , entonces
× B)/T
= ( A/ R)
⊗
155
5.5 R E
156
E M´
O L U T I P A C
6
F En este punto, es muy probable que el lector haya tenido alguna experiencia trabajando con funciones y, de hecho tenga algunas ideas preconcebidas sobre ellas, en especial sobre la mec´anica de trabajar con las funciones y los prop´ositos para los cuales se utilizan. Sin embargo, estas concepciones, normalmente adquiridas a nivel de prec´alculo y c´alculo, normalmente no proveen las pistas necesarios para sus usos en matem´aticas avanzadas. M´a s a´un, la cobertura introductoria normalmente es tan imprecisa
que muchos estudiantes no tienen una idea clara de qu´e es una funcio´ n, aunque puedan saber mucho sobre funciones y, sobre todo, tengan la habilidad de “identificar una cuando la ven”. En este cap´ıtulo intentamos cubrir algunas deficiencias en esta a´ rea y construir las bases para areas importantes de matem´atica avanzada. El material cubierto aqu´ı es fundamental para areas como el a´ lgebra abstracta, c´alculo avanzado y topolog´ıa elemental.
157
6.1 I ´
E M ´
´ 6.1 6. 1 In Intr trod oduc ucci ci´on ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ .................... ........ Una funci´on on en el contexto matem´atico atico es un procedimiento, procedimiento, o una regla, para asignar a cualquier cualquier objeto a de un conjunto, un unico u´ nico objeto b de otro conjunto. Por lo tanto, una funci´ funcion o´ n no es m´ mas a´ s que un tipo especial de las relaciones, donde todo objeto a del dominio est´ esta´ relacionado a exactamente un elemento b del rango. La siguiente definici´ definicion o´ n expresa precisamente esta caracter´ caracter´ıstica. ıstica. ´ F on (o mapeo o correspondencia) si y solo si aFb a Fb 1 y Una relaci´ relacion o´ n F es es llamada una funci´ aFb aF b2 implica b 1 = b 2 para cualquier b 1 y b 2 .
Si F es cualquier relaci´ relacion, o´ n, por la definon o´ n 5.2 5.2 de la secci´ seccion o´ n 5.2, sabemos que para cada a ranF , existe al menos un b ranF tal que (a, b) F . As´ As´ı mismo, si F es una funci´ funcion, o´ n, por la definici´ definicion o´ n anterior tenemos que para cada a del dominio de F existe un aF b. En otras palabras, cada elemento a en el dominio de la a lo mucho un b tal que aFb funci´on F tiene tiene un unico ´ elemento correspondiente b en el rango de F tal que (a, b) F . A este unico ´ elemento elemento b se le llama “el valor de F en a” , “la imagen de a bajo F ”, ”, “el resultado de aplicar F a a a”, o simplemente “F de de a”, denotado por F (a). Diremos que F (a) no est´a definida si a dom F . Siguiendo la notaci´ notacion o´ n usual, representaremos a las funciones por letras min´ minusculas u´ sculas como f , g y h. Adem´ Ademas, a´ s, si f es es una funcion o´ n tal que dom f = A y ran f B, la representaremos B. como f : A Como cualquier otra relacion, o, m´as generalmente, como todo conjunto, una funci´ on puede especificarse especificarse listando sus elementos. Desde luego, como se mencion´ o anteriormente, esta forma de describir a las relaciones es pr´actica actica unicamente ´ cuando f tiene tiene un nume´ ro finito y peque˜no de parejas parejas ordenadas. ordenadas.
∈
∈
∈
∈
⊆ ⊆
→
EJEMPLO 6.1 Sea A = 1, 2, 3 , B = a, b, c y f = (1, a), (2, a), (3, c) . ¿Es f una funci´on de A a B ? Soluci´ on. Si, ya que todos los elementos de A est an a´ n relacionados con un unico u´ nico elemento de B bajo f : 1 est´ esta´ relacionado relacionado con a, 2 est´ esta´ relacionado con a y 3 est´ esta´ relacionado relacionado con c .
{
}
{
}
{
}
Note que la definici´ definicion o´ n de funci´ funcion o´ n no requiere que todos los elementos de B sean utilizados como segundos elementos de las parejas ordenadas de f . Es por esto que no importa que a est´e relacionado con dos elementos elementos de A , o que c no aparezca aparezca en las parejas ordenadas de f . Siguiendo la notaci´on est´andar, andar, la funci´on on f de este conjunto puede tambi´en en ser descrita como f (1) = a , f (2) = a y f (3) = c .
EJEMPLO 6.2 Sea A = 1, 2, 3 , B = a, b, c y g = (1, a), (2, b), (1, c) . ¿Es f una funci´ funcion o´ n de A a B ? Soluci´ on. No, g no es una funci´ funcion o´ n por dos razones. Primero, 1 est´ esta´ relacionado tanto con
{
158
}
{
}
{
}
U E S
6. F
a como con c, lo que contradice el requerimiento que todos los elementos de A deben estar relacionados a lo mucho con un elemento de B. Adem´as, as, 3 no est´a relacionado con ning´ un elemento de B, lo que contradice el requerimiento que todos los elementos de A deben estar relacionados con al menos un elemento de B .
Los dos ejemplos anteriores muestran que f , descrita listando sus elementos, es una funci´ funcion o´ n si y solo si cada elemento elemento de A aparece como primer elemento de exactamente una pareja ordenada de f .
EJEMPLO 6.3 Sea P el conjunto de todas las personas del mundo, f = (a, b) P P a es el padre biol´ogico ogico de b . ¿ Es f una funci´on de P a P ? Soluci´ on. No, ya que algunas personas personas no tienen hijos y otras tienen tienen m´ mas ´ de un hijo, f no puede ser una funci´on de P a P .
{
}
∈ × |
EJEMPLO 6.4 P P (P) b es el Sea P el conjunto de todas las personas del mundo, f = (a, b) conjunto de todos los hijos de a . Determine si f es una funci´on o no. Soluci´ on. Si, es una funci´ funcion o´ n ya que a cada persona se le asigna el conjunto b P, siendo b el conjunto de sus hijos. A diferencia del ejemplo anterior, a cada persona le asignamos no cada uno de sus hijos, sino el conjunto de sus hijos, incluso si este es vac´ vac´ıo ıo (si no tiene hijos). Incluso si a no tiene exactamente un hijo, es a´ aun u´ n cierto que hay exactamente un conjunto que contiene a los hijos de a y ning´un un otro.
{
}
∈ ×
|
⊆
EJEMPLO 6.5 Sea f = ( x, y) R R y = x2 . Determine si f es una funci´ funcion o´ n de R a R . ´ Soluci´ on. Si, ya que para todo y = x2 tal que ( x, y) todo n´ numero u´ mero real x existe un unico
{
∈ × |
}
∈ f .
EJEMPLO 6.6 Sea f = ( x, y) R R y = x . Determine si f es una funci´on on de R a R . Soluci´ on. No, f no es una funci´on dado que si x R− , no existe un y R tal que y = x, por lo que no a todos los elementos del conjunto de partida se les asigna alg´ un elemento elemento del conjunto de llegada.
{
∈ × |
√ }
∈
∈
√
B por comprensi´ Cuando se define a una funci´ funcion o´ n f : A comprension, o´ n, la regla de la relacion o´ n debe determinar el valor de f (a) para todos los valores de a A. Adem´ Ademas, a´ s, ya que dicha regla Ya que toda funci´ on es una relaci´on, on, todos los principios que estudiamos en el cap´ıtulo ıtulo 5 aplican a las funciones. Por ejemplo, gr´ graficamente, a´ ficamente, que una relaci´ relacion o´ n sea una funci´ funcion o´ n significa que todos los elementos del conjunto A debe partir exactamente una flecha hacia alg´ algun u´ n elemento del conjunto B, como se muestra en la figura 6.1a. figura 6.1a. La La figura 6.1b figura 6.1b no representa a una funci´ funcion o´ n ya que de 1 parten dos flechas hacia diferentes elementos de B, mientras mientras que la figura 6.1c figura 6.1c no no es una funcion o´ n ya que de 1 no parte ninguna flecha hacia B . Note, sin embargo, que la figura 6.1d figura 6.1d s s´´ı es una funci´ funcion o´ n ya que, aunque parten dos flechas
→
∈
159
6.2 C ´ F
E M ´
(a )
(b)
(c )
(d)
Figura 6.1: Representaciones gr´aficas de relaciones
de un solo elemento de A, ambas llegan a un mismo elemento de B, lo que no contradice la definici´on de funci´on. As´ As´ı mismo, los conceptos de rango y dominio estudiados en el cap´ cap´ıtulo 5 ıtulo 5 aplican aplican a las funciones.
´ de Funciones 6.2 6. 2 Cl Clas asifi ifica caci ci´on ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ .................... ........ F I Sea una funci´on f : A B se dice que f es inyectiva si dos elementos cualesquiera de A tienen im´agenes agenes distintas. Es decir, f es inyectiva si
→
a a
→ f (a) f (a)
o equivalentemente f (a) = f (a )
→ a = a
EJEMPLO 6.7 160
U E S
6. F
Sea f : R R definida por f ( x) = x2 . Entonces f no es inyectiva porque 2 embargo f (2) = f ( 2) = 4.
→
−
−2 y sin
EJEMPLO 6.8 Sea f : R R definida por f ( x) = x3 . Entonces f es inyectiva ya que
→
3
f (a) = f (a )
3
→ a = a √ √ → a = a → a = a 3
3
3
3
EJEMPLO 6.9 La funci´on f que asigna a cada pa´ıs su ciudad capital es inyectiva puesto que diferentes paises tienen capitales diferentes. EJEMPLO 6.10 Sea f : N N definida por f (n) = 2 n. Entonces f es inyectiva dado que
→
f (n1 ) = f (n1 )
→ 2n = 2n → n = n 1
1
2
2
F S La funci´on f : A B se dice que es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A . Es decir, f es sobreyectiva si para todo b B, existe al menos un a A tal que f (a) = b .
→
∈
∈
Si f es una funci´on sobreyectiva de A en B, suele decirse tambi´en que “ f es una funci´on de A sobre B ” o bien que “ f aplica A sobre B ”. Note que la definici´ on anterior puede escribirse simb´ olicamente como: ( b
∀ ∈ B)(∃a ∈ A)( f (a) = b ) La definici´on tambien implica que si una funci´on f : A → B es sobreyectiva, entonces
f ( A) = B.
EJEMPLO 6.11 Sea f : R R definida por la f´ormula f ( x) = x2 , f no es sobreyectiva porque los n´umeros negativos no est´an en el dominio de im´agenes de f . Por ejemplo, 3 no es imagen de alg´un n´umero real.
→
−
EJEMPLO 6.12 B definida por el diagrama: Sea f : A
→
161
6.2 C ´ F
E M´
Entonces f no es sobreyectiva porque f ( A)
B.
EJEMPLO 6.13 Sea f : A B definida por
→
Entonces f ( A) = B = x, y, z y, por lo tanto, f es sobreyectiva.
{
}
EJEMPLO 6.14 Sea f : R R definida por f ( x) = 3 x 5. Demuestre que f es sobreyectiva: Demostraci´ on. Sea y R. Necesitamos hallar una x R tal que f ( x) = y . Es decir,
→
−
∈
3 x
∈
− 5 = y
3 x = y + 5 y+5
x =
3
Esta es la x buscada puesto que f ( x) = f = 3
y + 5
3
·
y + 5
= y + 5 = y
3
−5
−5
162
U E S
6. F
F´ I ´ Sea A un conjunto cualquiera. La funci´ on f : A A definida por f ( x) = x se llama funci´ on id´ entica o funci´ on identidad sobre A . Se denota por 1 A .
→
Algunos ejemplos de funciones id´enticas son 1N , 1Z y 1R . F´ C Una funci´on f de A en B se llama funci´ on constante si a cada elemento de A se le asigna el mismo elemento b B.
∈
Note que una funci´on f : A un solo elemento.
→ B es una funci´on constante si la imagen de f consta de
EJEMPLO 6.15 B definida por el diagrama Sea f : A
→
Entonces no es constante, ya que la imagen esta formada por los elementos 1 y 2.
EJEMPLO 6.16 La funci´on f : A
→ B definida por
S´ı es una funci´on constante ya que f ( A) = 3
{ }
163
6.3 C´ F
E M´
F´ C´ı Consideremos unos conjuntos S y A S . La funci´on en S que asigna el valor 1 a los elementos de A y el valor 0 a los dem´as elementos de S , se llama funci´ on caracter´ıstica de A y se denota X A . As´ı,
⊆
X A ( x) =
1 0
si x
∈ A si x ∈ S − A
N´otese que la funci´on X A : S 0, 1 es sobreyectiva, a menos que A = S o A = . Si A o S A tienen al menos dos elementos, entonces X A no es inyectiva.
→ { }
−
∅
6.3 Composicion ´ de Funciones ....................................................................................................... C´ Sean las funciones f : A B y g : B C . Se define una funci´on g f : A composici´ on de f y g , por (g f )(a) = g ( f (a)) para todo a A.
→
◦
→
◦
∈
→ C , llamada
El siguiente esquema ilustra el efecto que la composici´on g f produce, al aplicarse a un elemento a A : Note que la funci´on g f suele tambi´en llamarse “g composici´on f ” o bien “la composici´on de f y g ”.
◦
∈
◦
EJEMPLO 6.17 B y g : B Sean f : A Calculando g f : A
→
◦
→ C definidas por los diagramas → C , obtenemos: (g ◦ f )(a) = g( f (a)) = g( y) (g ◦ f )(b) = g( f (b)) = g( z) (g ◦ f )(c) = g( f (c)) = g( y)
= t = t = t
EJEMPLO 6.18 Sean las funciones f : R g( x) = x + 3. Entonces,
2
→ R y g : R → R, definida respectivamente por f ( x) = x
( f g)(2) (g f )(2)
◦ ◦
f (g(2)) g( f (2))
= =
= =
f (5) g(4)
y
= 25 = 7
◦ g g ◦ f . En efecto, las f o´ rmulas generales para
de estos c´alculos se observa que f estas funciones son: 164
U E S
6. F
( f g)( x) (g f )( x)
◦ ◦
f (g( x)) g( f ( x))
= =
= =
f ( x + 3) g( x2 )
= ( x + 3)2 = x2 + 3
EJEMPLO 6.19 Sean f : (0, ) (0, ) y g : (0, Entonces, f g = g f , ya que
∞ → ∞ ◦ ◦ ( f ◦ g)( x) (g ◦ f )( x)
=
f (g( x))
∞) definida por f ( x) = √ x y g( x) = √ = f ( x) = √
=
g( f ( x))
=
∞) →
(0,
g( x1 )
=
1 . x
1 x 1 x
√
Note que en general, la composici´on de funciones no es conmutativa, es decir, f g g f . Sin embargo, hay casos excepcionales, como en el ejemplo anterior, en que si conmuta. Sea f : A B, entonces 1 B f = f y f 1 A = f , de modo que la composici´on de cualquier funci´on y la funci´on id´entica es la funci´on misma.
◦
◦
→
◦
◦
Teorema 6.1. Sea f : A
→ B, g : A → C y h : C → D, entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Demostraci´ on.
[(h
◦ g) ◦ f ](a) = ( h ◦ g)( f (a)) = h (g( f (a))) = h ((g
de donde (h
◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
◦ f )(a)) = [ h ◦ (g ◦ f )](a)
En vista del teorema anterior, se puede escribir h g f : A
◦ ◦
EJEMPLO 6.20 Sean f : R R, g : R R y h : R 2 h( x) = x + 72. Encuentre, h g f . Soluci´ on
→
→
◦ ◦ h
→ B sin ning´un par´entesis. 4
→ R, definidas por f ( x) = x , g( x) =
√
x + 1 y
◦ g ◦ f ( x) = h (g( f ( x))) = h (g( x4 )) = h (
( x4 )2 + 1)
√ = h ( x √
8
+ 1)
= ( x8 + 1)2 + 72 = x8 + 1 + 72 = x8 + 73
165
6.4 F
E M´
6.4 Funciones invertibles ....................................................................................................... F´ Dada una funci´on f : A B, una funci´on f −1 : B A es la inversa de f si f −1 f = 1 A y f f −1 = 1 B . En otras palabras, f −1 ( f ( x)) = x para toda x A y f ( f −1 ( y)) = y para toda y B. Se dice que una funci´on es invertible si tiene inversa.
◦
→
→
∈
◦
∈
EJEMPLO 6.21 Def´ınase f : A B por el diagrama
→ Y sea g : B → A definida por
Entonces, se puede verificar facilmente ´ que f g = 1 B y que g − 1 g = f .
◦
EJEMPLO 6.22 Las funciones f : [0, ) [0, ) y g : [0, son inversos entre si puesto que,
∞ → ∞
(g
◦ f = 1
A .
De modo que
2
∞) → [0, ∞) tales que f ( x) = x
y g ( x) =
√ x
◦ f )( x) = g( f ( x)) = g ( x2 ) =
√
x2
=x
y ( f g)( x) = f (g( x))
◦
√ √ = ( x)
= f ( x) 2
=x
EJEMPLO 6.23 166
U E S La funci´on f : R
6. F 1 x
− {0} → R − {0} tal que f ( x) = es su propia inversa, ya que: ( f ◦ f )( x) = f ( f ( x)) 1 x
= f ( ) =
1 1 x
=x
EJEMPLO 6.24 Sean f : A Byg : B C funciones con inversa f −1 : B A y g−1 : C B. − 1 − 1 Demostrar que la composici´on g f : A C tiene como inversa a f g : C A. Soluci´ on Haciendo uso de la propiedad asociativa de la composici´on de funciones, se tiene que
→
→
(g
◦
→
→
1
1
1
◦
→
→
1
◦ f ) ◦ ( f − ◦ g− ) = g ◦ ( f ◦ ( f − ◦ g− ) = g ◦ (( f ◦ f − ) ◦ g− ) = g ◦ (1 ◦ g− ) = g ◦ g− 1
1
1
B
1
= 1 C
Tambi´en, ( f −1
1
1
1
◦ g− ) ◦ (g ◦ f ) = f − ◦ (g− ◦ (g ◦ f )) = f − ◦ ((g− ◦ g) ◦ f ) = f − ◦ (1 ◦ f ) = f − ◦ f 1
1
1
B
1
= 1 A
1
◦ f )−
= f −1
1
◦ g− . Teorema 6.2. La funci´ on f : A → B es invertible si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva.
Por lo tanto, (g
Demostraci´ on. Demostremos primero que “Si f es invertible, entonces es inyectiva y sobreyectiva”. A tal que f −1 f = 1 A y f f −1 = 1 B . Si f es invertible, existe una funci´on f −1 : B )
→ ◦ Verifiquemos que f es inyectiva. Sean x , x ∈ A, entonces: f ( x ) = f ( x ) → f − ( f ( x )) = f − ( f ( x )) → 1 ( x ) = 1 ( x ) →x =x 1
1
2
1
2
A
1
◦
1
1
1
A
2
2
2
167