Las Matematicas em la Economía, Clara Calvo y Carlos Ivorra

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MATEMATICAS , EN LA ECONOMIA

LAS

A TRAVÉS DE EJEMPLOS EN CONTEXTOS ECONÓMICOS

Clara Calvo Carlos lvorra

LAS MATEMÁTICAS EN LA ECONOMÍA A TRAVÉS DE EJEMPLOS EN CONTEXTOS ECONÓMICOS

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EN LA ECONOMÍA A TRAVÉS DE EJEMPLOS EN CONTEXTOS ECONÓMICOS

CLARA CALVO CARLOS IVORRA

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Copyright® 2012 odas los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ingún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier lmacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito de los autores y del editor. .n caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant lo Blanch publicará la pertinente corrección en la ágina web www.tirant.com (http://www.tirant.com).

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Clara Calvo Carlos Ivorra

Índice general

7

Índice general Pre´ ambulo

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1 Introducci´ on a las funciones de varias variables 1.1 Introducci´ on al concepto de funci´ on . . . . . . . 1.2 Incrementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . .

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15 15 17 19 23 27

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33 33 34 38 46 51 57

3 Composici´ on de funciones 3.1 Definici´ on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 66 69

4 Funciones homog´ eneas 4.1 Definici´ on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 77 80

5 Funciones impl´ıcitas 5.1 Curvas de nivel . . . . 5.2 Funciones impl´ıcitas . 5.3 Problemas resueltos . 5.4 Problemas propuestos

2 Funciones de varias variables 2.1 Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Funciones escalares y vectoriales. Dominios. 2.3 Gr´ aficas, l´ımites y continuidad . . . . . . . 2.4 Gr´ aficas y l´ımites de funciones elementales . 2.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . 2.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .

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6 C´ alculo de derivadas 6.1 Derivaci´ on de potencias . . . . . . . . . 6.2 Derivaci´ on de sumas y productos . . . . 6.3 Derivaci´ on de las funciones elementales . 6.4 Derivaci´ on de composiciones . . . . . . . 6.5 Derivaci´ on de productos . . . . . . . . . 6.6 Derivaci´ on de cocientes . . . . . . . . . . 6.7 Otras reglas de derivaci´ on . . . . . . . . 6.8 Algunos convenios de notaci´ on . . . . . 6.9 Vector gradiente y matriz jacobiana . . 6.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . 6.11 Problemas propuestos . . . . . . . . . .

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Índice general

8 7 Interpretaci´ on de la derivada 7.1 La definici´ on de derivada parcial . . . . . . . . . . . 7.2 Observaciones sobre la interpretaci´ on de la derivada 7.3 Interpretaci´ on geométrica de la derivada . . . . . . . 7.4 Derivadas en porcentaje y elasticidad . . . . . . . . . 7.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . .

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109 109 112 115 116 117 120

8 Derivadas de funciones de una variable 127 8.1 C´ alculo de m´ aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9 Derivadas sucesivas 9.1 Notaci´ on para las derivadas sucesivas . . . . 9.2 La matriz hessiana y el teorema de Schwarz 9.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . 9.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .

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137 137 138 140 144

10 Diferenciabilidad 10.1 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . 10.2 Direcciones de m´ aximo crecimiento, m´ aximo 10.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . 10.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . decrecimiento y crecimiento nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 152 154 157

11 La regla de la cadena 11.1 Derivaci´ on de funciones compuestas 11.2 El teorema de la funci´ on impl´ıcita . 11.3 Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas . 11.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . 11.5 Problemas propuestos . . . . . . . .

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12 C´ alculo de primitivas 12.1 Concepto de primitiva 12.2 Integrales inmediatas . 12.3 Integraci´ on por partes 12.4 Problemas resueltos . 12.5 Problemas propuestos

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191 191 192 195 196 200

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203 203 205 205 209 211 215 221

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13 La integral de Riemann 13.1 El concepto de integral definida . . . . . 13.2 Interpretaci´ on geométrica de la integral 13.3 Integrabilidad y c´ alculo de integrales . . 13.4 Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . 13.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . 13.7 Apéndice: La definici´ on de la integral de

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Índice general 14 La integral impropia 14.1 Integrales impropias de primera especie 14.2 Integrales impropias de segunda especie 14.3 Integrales impropias generales . . . . . . 14.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . 14.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . .

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15 Variables aleatorias continuas 15.1 Variables aleatorias y funciones de densidad 15.2 Esperanzas y medianas . . . . . . . . . . . . 15.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . 15.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .

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16 Ecuaciones diferenciales 251 16.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 16.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 16.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 ´ 17 Algebra lineal y sistemas de ecuaciones 17.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . 17.4 Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . 17.5 Sistemas de ecuaciones arbitrarias . . . 17.6 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . 17.7 Problemas propuestos . . . . . . . . . .

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263 263 264 267 270 272 275 280

A Problemas variados resueltos

285

B Problemas variados propuestos

301

´ Indice de materias

306

Pre´ ambulo Este libro pretende familiarizar al lector con las matem´ aticas que se encontrar´ a en los primeros cursos universitarios de titulaciones relacionadas con la Econom´ıa y la Empresa. La exposici´ on est´ a pensada para ayudar al alumno a asimilar los conceptos matem´ aticos de forma concreta y tangible, tratando de evitar que la abstracci´ on excesiva le impida comprender el papel que desempe˜ nan en la teor´ıa econ´ omica y, m´ as en general, en las aplicaciones de la matem´ atica a la Econom´ıa y la Empresa.

1

La estructura del libro • La teor´ıa est´ a explicada brevemente, y se limita a lo imprescindible para que el lector pueda asimilar los conceptos y resultados necesarios, as´ı como su interpretaci´ on, su finalidad y el modo en que pueden emplearse. • En las explicaciones, las distintas ideas que se exponen est´ an destacadas y separadas mediante puntos • y otros recursos tipogr´ aficos.

Las definiciones y resultados principales que podr´ıan quedar perdidos entre explicaciones aparecen destacados en recuadros centrados como éste, de modo que el lector pueda tener siempre claro cuáles son los hechos principales que debe recapitular de una explicaci´ on dada.

• Todos los conceptos se introducen a través de ejemplos en contextos econ´ omicos o bien se ilustran con ellos inmediatamente después de haber sido introducidos. Acompa˜ nando a las explicaciones te´ oricas, hay dos clases de ejemplos: Ejemplo 1 Los ejemplos que aparecen con este tipo de letra son realmente ejercicios resueltos que muestran una aplicaci´ on t´ıpica de la teor´ıa expuesta. ´ n y lo Tras el enunciado aparece siempre la palabra Solucio que sigue no es ni m´ as ni menos que lo que el lector deber´ıa responder ante una pregunta similar para que pueda considerarse bien contestada.

No obstante, el lector debe tener presente que aquellos resultados que ya aparecen claramente destacados y estructurados en el texto principal no se repiten en recuadros, ni tampoco aquellas técnicas que no es posible resumir en pocas palabras, por lo que no ser´ıa correcto decir que “basta leer los recuadros” para recorrer todos los contenidos del libro. Los recuadros laterales como éste se usan entre otras cosas para matizar las explicaciones del texto principal —como estamos haciendo aqu´ı mismo— o aportar informaci´ on secundaria adicional, o explicar algunos términos econ´ omicos, o recordar conocimientos previos, etc.

Cualquier aclaraci´ on adicional destinada a explicar el ejemplo, pero que estar´ıa de m´ as en una simple respuesta al problema planteado, aparece en recuadros laterales como éste.

Ejemplo 2 Los ejemplos que aparecen con la misma letra que el texto principal, o bien son ilustraciones de la teor´ıa que no corresponden al enunciado de un problema espec´ıfico (se analiza una situaci´ on pero no se pide nada en concreto) o bien son enunciados de problemas que est´ an resueltos con explicaciones adicionales insertadas para que se entienda el proceso, pero que no ser´ıan necesarias si s´ olo se tratara de dar una respuesta correcta a la pregunta planteada.

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Pre´ ambulo

Los recuadros laterales incluyen aclaraciones sobre conceptos de la teor´ıa econ´ omica, recordatorios de f´ ormulas o hechos que el lector deber´ıa conocer, res´ umenes informales de lo que se est´ a haciendo en el texto principal en palabras que resulten m´ as comprensibles o f´ aciles de recordar, observaciones en las que se enfatizan aspectos de un ejemplo o ejercicio resuelto que muchos lectores podr´ıan dejar pasar como algo secundario, pero que en realidad son importantes a la hora de considerar la respuesta como correcta o bien expresada, y también propuestas de respuestas alternativas que ser´ıan menos precisas o incluso incorrectas, para que el lector pueda contrastarlas con la respuesta dada. En particular, hemos se˜ nalado las respuestas incorrectas con este icono. Se trata siempre de errores que los estudiantes cometen con frecuencia, a veces por carecer de la base matem´ atica que ser´ıa deseable.

Los recuadros como éste incluyen algunas notas y definiciones matem´ aticas de car´ acter m´ as técnico que no son necesarias para la comprensi´ on de los contenidos tratados.

2

• Cada bloque te´ orico se completa con una selecci´ on de problemas resueltos en los que se respeta el mismo criterio seguido en los ejemplos, es decir, la soluci´ on incluye u ńicamente lo que se requiere para que la respuesta pueda considerarse correcta y completa, mientras que todas las explicaciones adicionales aparecen en recuadros laterales. • Por u ´ltimo, cada apartado termina con una secci´ on de problemas propuestos para que el lector pueda practicar por su cuenta. Algunos de estos problemas combinan contenidos del tema tratado y de los anteriores, mientras que otros est´ an clasificados por contenidos espec´ıficos para que el lector pueda ejercitarse espec´ıficamente en la medida en que le resulte necesario en cualquier tipo de problema que le suponga una especial dificultad. • Los primeros problemas propuestos de cada secci´ on (separados de los siguientes por una raya horizontal) son representativos de todos los aspectos tratados en la secci´ on correspondiente, de modo que, hasta cierto punto, puede decirse que si un lector sabe hacer sin vacilar ese grupo de problemas es que tiene un buen dominio de los contenidos de la secci´ on (sin perjuicio de que algunas cuestiones técnicas concretas puedan no aparecer en la selecci´ on, pero s´ı en otros problemas posteriores). • Al final del libro se incluyen dos apéndices, uno con varios bloques de problemas resueltos en los que se combinan los contenidos de apartados diferentes, y otro similar con problemas propuestos sin soluci´ on. • Erratas: Las erratas que se detecten en este libro se recoger´ an en la p´ agina web http://www.uv.es/ivorra/matec

Sobre la selecci´ on de contenidos y ejemplos

Este libro ha sido concebido como material complementario de apoyo para los alumnos de la asignatura Matem´ aticas I de los grados en Administraci´ on y Direcci´ on de Empresas, Econom´ıa y Finanzas y Contabilidad de la Facultad de Econom´ıa de la Universidad de Valencia, pero creemos que puede ser de utilidad a todo alumno interesado en comprender el papel que representan las matem´ aticas en la teor´ıa econ´ omica as´ı como sus aplicaciones a la econom´ıa y la empresa. En efecto, teniendo siempre en cuenta el estrecho margen de tiempo que supone un cuatrimestre académico, en su redacci´ on hemos procurado seleccionar los conceptos matem´ aticos que hemos considerado m´ as relevantes para dicho objetivo y, como ya hemos explicado, los hemos presentado relacion´ andolos desde el principio con aquellos contextos econ´ omicos que nos han parecido m´ as oportunos para hacer comprender al alumno su significado y el interés que tienen para los economistas.

Pre´ ambulo

13

No hemos tratado de presentar teor´ıas “realistas” que reflejen las aplicaciones m´ as frecuentes en la econom´ıa de las matem´ aticas abordadas, lo cual hubiera requerido en muchas ocasiones dedicar muchas p´ aginas a presentar fragmentos considerables de la teor´ıa econ´ omica, sino m´ as bien plantear contextos econ´ omicos lo suficientemente simples como para que puedan ser comprendidos por el alumno sin presuponer en él ning´ un requisito previo sobre la teor´ıa econ´ omica, pero que erradiquen la percepci´ on que tiende a tener de los conceptos matem´ aticos como algo abstracto completamente alejado de la realidad cotidiana y, lo que es m´ as grave, de la l´ ogica con la que se enfrenta con eficiencia a las situaciones que comprende realmente. En la medida de lo posible, hemos procurado que estos contextos econ´ omicos se correspondan con los que se va a encontrar en su carrera (microeconom´ıa, estad´ıstica, matem´ aticas financieras, etc.), sea paralelamente en otras asignaturas o en las de cuatrimestres posteriores. En particular, pretendemos que las matem´ aticas que les ense˜ namos constituyan una base s´ olida sobre la que puedan apoyarse los profesores de otras asignaturas que necesiten preliminares matem´ aticos y en las que los meros rudimentos de teor´ıa econ´ omica de los que nos hemos servido puedan desarrollarse debidamente. Adem´ as de los contextos econ´ omicos, el segundo pilar en que nos hemos apoyado para evitar en la medida de lo posible que el alumno perciba los contenidos expuestos como algo ´ arido y abstracto ha sido incidir en gran medida en la representaci´ on gr´ afica, presentando y comentando las gr´ aficas de las funciones implicadas en muchos de los problemas y ejemplos incluso aunque ello no sea necesario para abordar los contenidos que se pretende discutir en un momento dado. Esto entronca con el objetivo de dotar al alumno de la base matem´ atica que necesitar´ a en otras asignaturas de su carrera, dado que en muchas de ellas los aspectos cualitativos de la teor´ıa econ´ omica se le presentar´ an a través de gr´ aficas, y es muy importante que aprenda a conectar tales representaciones gr´ aficas con la matem´ atica que tienen detr´ as. En cuanto a la selecci´ on de contenidos matem´ aticos, siempre supeditados a la restricci´ on de dise˜ nar un curso que pueda realmente impartirse en un cuatrimestre, hemos incidido m´ as en la parte anal´ıtica, relegando el álgebra a lo m´ınimo imprescindible, por una parte porque as´ı est´ a establecido en el temario de la asignatura a la que nos hemos ajustado, pero también en parte porque el an´ alisis se presta m´ as a mostrar aplicaciones naturales de forma inmediata, mientras que muchos contenidos algebraicos que pueden ser u ´tiles al alumno a medio plazo (estudio de formas cuadr´ aticas, diagonalizaci´ on, etc) son dif´ıciles de presentar de forma que pueda apreciar su interés y posibles aplicaciones y consideramos preferible que las estudie m´ as adelante, cuando esté en condiciones de ver su utilidad. También hay que tener presente que tras esta asignatura introductoria a las matem´ aticas los alumnos cursan otra dedicada ´ıntegramente a la optimizaci´ on, y por ello hemos reducido las aplicaciones sobre optimizaci´ on al caso m´ as elemental de funciones de una variable, dejando as´ı constancia, aunque sea de forma simb´ olica, de una de las principales aplicaciones de las derivadas. Confiamos en que este material se convierta en una valiosa herramienta de estudio para los alumnos de las titulaciones relacionadas con la econom´ıa como complemento a las clases, tanto para aquellos que tengan carencias en su base matem´ atica y necesiten explicaciones intuitivas, detalladas y comentadas, como para aquellos que quieran conocer las conexiones entre las matem´ aticas que estudian y la teor´ıa econ´ omica en mayor medida de lo que otros textos m´ as centrados en la parte matem´ atica permiten vislumbrar.

1

Introducci´ on a las funciones de varias variables

La principal conexi´ on entre las matem´ aticas y la econom´ıa surge del hecho de que la realidad econ´ omica o, al menos, una parte de ella, puede describirse adecuadamente en términos de ´ diversas magnitudes, es decir, caracter´ısticas expresables mediante n´ umeros. Estas pueden ser de ´ındoles diversas: precios, salarios, capitales, beneficios, costes, cantidades demandadas, tipos de interés, etc. Las matem´ aticas proporcionan un lenguaje adecuado para trabajar con tales magnitudes y estudiar sus relaciones.

1.1

Introducci´ on al concepto de funci´ on

• La relaci´ on m´ as sencilla que puede darse entre varias magnitudes es que una de ellas pueda calcularse a partir de las dem´ as. Cuando esto sucede, decimos que dicha magnitud es funci´ on de las restantes. Ejemplo 1a Si pedimos prestado un capital a un banco y nos comprometemos a devolverlo en cuotas mensuales del mismo importe (por ejemplo, si pedimos un préstamo hipotecario), el importe c de cada cuota puede calcularse a partir de otras tres magnitudes: el capital prestado C0 , el n´ umero de pagos mensuales N y el tipo de interés mensual aplicable i (en tanto por uno). Para ello basta aplicar la f´ ormula c=

1

C0 i (1 + i)

N

C.

As´ı pues, podemos decir que esta f´ ormula expresa la cuota c como funci´ on de las variables C0 , N , i. Ejemplo 2a Se estima que la cantidad A que un trabajador puede ahorrar mensualmente depende de su salario r, de un indicador p del precio de los art´ıculos de primera necesidad y de un indicador l del precio de los art´ıculos de lujo que interesan al trabajador. La relaci´ on es A=

r + l2 C/mes. p2 l

Observa que la funci´ on del ejemplo 1a es lo que habitualmente se entiende por una “f´ ormula”, es decir, una relaci´ on general entre diversas magnitudes, mientras que la del ejemplo 2a pretende reflejar las caracter´ısticas particulares de un individuo particular, de modo que una funci´ on an´ aloga para otro individuo podr´ıa ser matem´ aticamente muy distinta. En ambos casos, tales f´ ormulas no “salen del aire”, sino que corresponde a la matem´ atica financiera justificar por qué la f´ ormula del ejemplo 1a es una forma justa de devolver un préstamo con intereses, a la econometr´ıa encontrar magnitudes y funciones que describan razonablemente una situaci´ on econ´ omica y a la teor´ıa econ´ omica en general determinar las caracter´ısticas que debe tener una funci´ on como la del ejemplo 2a para que pueda considerarse “t´ıpica” o representativa de un caso relativamente frecuente.

En este caso tenemos que el ahorro mensual A es funci´ on de las variables r, p y l. • A menudo es conveniente expresar expl´ıcitamente las variables de las que depende una funci´ on. En tal caso las escribimos entre paréntesis tras el nombre de la funci´ on. As´ı, en los dos ejemplos precedentes podr´ıamos escribir, m´ as precisamente: c(C0 , i, N ) =

1

C0 i (1 + i)

N

C,

15

A(r, p, l) =

r + l2 C/mes. p2 l

16

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables En general, la notaci´ on f (x1 , . . . , xn ) indica que f es una funci´ on que depende de (se puede calcular a partir de) las variables x1 , . . . , xn . • Si f (w, x, y, z) es una funci´ on, el resultado de calcularla para unos valores dados de las variables, por ejemplo w = 1, x = 2, y = 1, z = 5 se expresa as´ı: f (1, 2, 1, 5).

En lo que debes fijarte al estudiar estos ejemplos no es en los resultados, sino en la forma de expresarlos. Debes aprender a expresar las respuestas en la forma c(200 000, 0.0025, 360) = 843.21 A(2 400, 4, 3) = 59 donde, para lo que aqu´ı nos ocupa, la parte de la izquierda es m´ as importante que la parte de la derecha. Rec´ıprocamente, si te dan las expresiones anteriores y te piden que las interpretes, debes ser capaz de reconocer que lo que expresan es:

Ejemplo 1b Supongamos que un banco nos concede una hipoteca por un capital de 200 000 C a 30 a˜ nos y nos aplica un interés nominal anual del 3% (esto significa que el interés efectivo mensual es i = 0.03/12 = 0.0025). ¿Cuál será la cuota mensual que tendremos que pagar? ´ n: Seg´ Solucio un el Ejemplo 1a, la cuota mensual c depende de los datos C0 = 200 000, i = 0.0025 y N = 30 · 12 = 360 a través de la funci´ on c(C0 , i, N ) =

C0 i (1 + i)

N

.

Por lo tanto, el resultado es 200 000 · 0.0025 1 (1 + 0.0025) 360 = 843.21 C.

c(200 000, 0.0025, 360) =

“Si se presta un capital de 200 000 C a un interés mensual i = 0.0025 para devolver en 360 cuotas mensuales, el importe de cada cuota ser´ a de 843.21 C.” “Si el trabajador del ejemplo cobra un salario mensual de 2 400 C, el indicador de los precios de los art´ıculos de primera necesidad es p = 4 y el de los art´ıculos de lujo es l = 3, su ahorro mensual ser´ a de 59 C.”

1

Ejemplo 2b ¿Cuánto ahorrará al mes el trabajador del Ejemplo 2a si su salario es de 2 400 C y los indicadores de los precios son p = 4, l = 3? ´ n: Consideramos la funci´ Solucio on dada en el Ejemplo 2a: A(r, p, l) =

r + l2 C/mes p2 l

y calculamos A(2 400, 4, 3) =

2 400 + 32 = 59 C /mes. 42 · 3

Ejemplo 3 Una empresa destina una planta a la producci´ on de dos art´ıculos. La funci´ on p C(x, y) = 3 000 + 2x + 5y + x y u.m. determina el coste de producir x unidades del primer art´ıculo e y unidades del segundo. a) Calcula C(100, 400) e interpreta el resultado. b) Calcula el coste de producir 625 unidades de cada producto.

1.2 Incrementos

17

´ n: Solucio p a) C(100, 400) = 3 000 + 2 · 100 + 5 · 400 + 100 400 = 7 200 u.m.

´ n: El coste de producir 100 unidades del primer Interpretacio art´ıculo y 400 del segundo es de 7 200 unidades monetarias. p b) C(625, 625) = 3 000 + 2 · 625 + 5 · 625 + 625 625 = 23 000 u.m.

Observa la forma en que expresamos la respuesta al apartado b): C(625, 625) = 23 000 u.m. Debes evitar respuestas como C(x, y) = 23 000 o C = 23 000.

Todos los ejemplos que hemos visto hasta aqu´ı ten´ıan una interpretaci´ on econ´ omica, pero tienes que ser capaz de manejar igualmente todos los conceptos que hemos presentado (y todos los que veremos m´ as adelante) en contextos abstractos, es decir, en ausencia de una interpretaci´ on concreta. Ejemplo 4 Considera la expresi´ on f (w, x, y, z) = x + y 2

zw.

a) Explica qué significa la notaci´ on f (w, x, y, z). b) Explica qué significa la expresi´ on f ( 1, 2, 3, 1) y calc´ ulala. ´ n: Solucio a) Significa que f es una funci´ on que depende de (se puede calcular a partir de) las variables w, x, y, z. b) Es el n´ umero (no la funci´ on) que se obtiene al calcular f para los valores w = y = 3, z = 1. Su valor es f ( 1, 2, 3, 1) = 2 + 32

1.2

1, x = 2,

1 · ( 1) = 12.

Incrementos

• En general, usaremos la palabra incremento para referirnos a cualquier variaci´ on que experimente cualquier magnitud y usaremos la letra griega (Delta) para representar incrementos. M´ as concretamente: Incremento = valor final

valor inicial.

Ejemplo 5 Una marca de refrescos distribuye su producto en latas a un precio p = 0.5 C. Calcula y expresa correctamente los incrementos que corresponden a las variaciones siguientes de dicho precio (siempre partiendo del precio inicial dado anteriormente): a) El precio aumenta a 0.6 C. b) El precio aumenta en 0.6 C. c) El precio se duplica. d) La empresa promociona su producto con un 20% de descuento.

18

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables ń Solucio a) p = 0.6 0.5 = 0.1 C, b) c) p = 1 0.5 = 0.5 C, d)

p = 1.1 p = 0.4

0.5 = 0.6 C, 0.5 = 0.1 C.

• Observa que incremento no es sin´ onimo de aumento, sino que un incremento puede representar: – Un aumento (si es > 0), – Una disminuci´ on (si es < 0), – Ausencia de variaci´ on (si es = 0). • Cuando tenemos una funci´ on que depende de unas variables los incrementos de las variables dan lugar a incrementos de la funci´ on. Distinguiremos entre: Incrementos parciales Incrementos de una funci´ on debidos a la variaci´ on de una sola de sus variables. Si, por ejemplo, una funci´ on f tiene tres variables x, y, z y la variable que se incrementa es z, representaremos el incremento de f en la forma z f (x0 , y0 , z0 )(

z) = f (x0 , y0 , z0 +

z)

f (x0 , y0 , z0 ),

donde (x0 , y0 , z0 ) son los valores iniciales de las variables y

z es el incremento de z.

Incrementos totales Incrementos de una funci´ on debidos a la variaci´ on de m´ as de una variable. En este caso representaremos el incremento en la forma f (x0 , y0 , z0 )( x, y, z) = f (x0 +

x, y0 +

y, z0 +

z)

f (x0 , y0 , z0 ).

Ejemplo 2c Continuando con la funci´ on A(r, p, l) =

r + l2 C/mes p2 l

que determina el ahorro mensual de un trabajador a partir de su renta r, de ´ındice p de los precios de los art´ıculos de primera necesidad y el ´ındice l de los art´ıculos de lujo (y partiendo de los valores actuales r = 2 400, p = 4, l = 3), a) Calcula la variaci´ on que se producir´ıa en el ahorro mensual del trabajador si los precios de los art´ıculos de primera necesidad aumentaran un 1%. b) Calcula la variaci´ on del nivel de ahorro si además del aumento de precios del apartado anterior, el salario aumenta a 2 500 C. c) Calcula e interpreta

A(2 400, 4, 3)( 100, 1, 2).

1.3 Funciones elementales

19

´ n: Solucio a) Un aumento de los precios en un 1% corresponde a un incremento p = 0.04. Por lo tanto nos piden calcular el incremento parcial p A(2 400, 4, 3)(0.04)

= A(2 400, 4.04, 3)

=

2 400 + 32 (4.04)2 · 3

=

0.98 C /mes

✓

2 400 + 32 42 · 3

◆

A(2 400, 4, 3)

= 58.015

59

Vemos que el incremento es negativo, lo cual es razonable: al aumentar los precios disminuye el ahorro mensual. b) Si el salario r aumenta a 2 500 C, el incremento correspondiente es r = 100 C. Nos piden el incremento total A(2 400, 4, 3)(100, 0.04, 0) = A(2 500, 4.04, 3) A(2 400, 4, 3) ✓ ◆ 2 500 2 400 2 2 = +3 + 3 = 60.06 (4.04)2 · 3 42 · 3

59

= 1.06 C /mes.

Observa la notaci´ on de los incrementos. Cuando te pidan calcular un incremento, deber´ as escribirlo seg´ un los criterios que hemos establecido. En el apartado a) la respuesta es p A(2 400, 4, 3)(0.04)

=

0.98.

Observa c´ omo indicamos con el sub´ındice p que el dato 0.04 corresponde a un incremento de p. Por el contrario, como el incremento del apartado b) es total, escribimos A(2 400, 4, 3)(100, 0.04, 0) = 1.06, donde no es necesario poner ning´ un sub´ındice, pues est´ a claro a qué variable corresponde cada incremento. Observa también que, aunque la variable l no se modifica, la incluimos igual en la expresi´ on del incremento tomando l = 0. Evita usar expresiones como rp A(2 400, 4, 3)(100, 0.04).

Observa c´ omo en el apartado c) te piden interpretar la expresi´ on A(2 400, 4, 3)(100, 0.04, 0) = 1.06

c) La expresi´ on dada corresponde a un incremento total: A(2 400, 4, 3)( 100, 1, 2) = A(2 300, 3, 5) A(2 400, 4, 3) ✓ ◆ 2 300 2 2 400 2 = 2 +5 + 3 = 76.11 59 = 17.11 C /mes 3 ·5 42 · 3 ´ n: Si, partiendo de que el trabajador Interpretacio tiene un salario de 2 400 C y los ´ındices de los precios son p = 4 y l = 3, el salario se le reduce en 100 C , el ´ındice p disminuye 1 unidad y el ´ındice l aumenta 2 unidades, el ahorro mensual del trabajador aumenta en 17.11 C.

1.3

en la cual aparecen siete n´ umeros, y los siete aparecen en la interpretaci´ on. En general, siempre que te pidan interpretar una expresi´ on te piden una frase en la que intervengan todos los n´ umeros que aparecen en ella y que indique lo que se est´ a afirmando sobre ellos. Evita introducir otros n´ umeros que formen parte de los c´ alculos que has realizado pero no de la expresi´ on que te piden interpretar.

Funciones elementales

Aunque es posible considerar funciones mucho m´ as sofisticadas que las que hemos visto hasta este momento, todas las funciones que manejaremos en un futuro, salvo muy raras excepciones, no ser´ an mucho m´ as complejas que las que ya conocemos, pues vamos a trabajar casi exclusivamente

20

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables

con funciones definidas por expresiones algebraicas que involucren u ńicamente n´ umeros, sumas, productos, cocientes, potencias, ra´ıces y unas pocas funciones b´ asicas m´ as, a saber, las funciones logaritmo (ln x), seno (sen x) y coseno (cos x). M´ as adelante destacaremos algunas propiedades de estas funciones, pero de momento bastar´ a con que sepas calcularlas con tu calculadora. Conviene que tengas en cuenta lo siguiente: Para comprobar que tienes tu calculadora bien configurada prueba a calcular sen 2. Si obtienes sen 2 = 0.909 tu calculadora est´ a en radianes, pero si obtienes sen 2 = 0.034 la tienes en grados. Prueba ahora a calcular ln 2. Debe darte ln 2 = 0.693. Comprueba ahora que sen 23 = 0.989,

sen3 2 = 0.751.

Tu calculadora tendr´ a una tecla espec´ıfica para calcular ex . Prueba a calcular e3 = 20.0855. 1

Para ver el n´ umero e calcula e .

• Para operar con funciones trigonométricas (senos y cosenos) es imprescindible que tu calculadora esté en modo “radianes” (lo que habitualmente aparece indicado en la pantalla con una R o con Rad) y no en modo “grados” (que se indica con D o Deg). Puedes mantener esta configuraci´ on en todo momento, pues no afectar´ a a ning´ un c´ alculo que hagas con otras funciones. • Los u ńicos logaritmos que manejaremos ser´ an logaritmos neperianos. La tecla que los calcula estar´ a marcada con las letras ln, que no has de confundir con log, que indica “logaritmo decimal”. • Ten presente que la notaci´ on ln5 x, sen5 x, cos5 x significa logaritmo de x (o seno, o coseno) elevado a la quinta, es decir: ln5 x = (ln x)5 ,

sen5 x = (sen x)5 ,

cos5 x = (cos x)5

No debes confundir esto con ln x5 , que significa elevar x a la quinta y luego calcular el logaritmo.

• Las funciones x3 y 3x son muy diferentes. Aunque ambas constan de una base y un exponente, cuando la variable est´ a en la base se habla de “funci´ on potencial” o simplemente “potencia”, mientras que cuando la variable est´ a en el exponente hablaremos de “funci´ on exponencial”. No debes confundir ambos términos: Potencias: Exponenciales:

f (x) = xa f (x) = ax

S´ olo consideraremos exponenciales con base a > 0. De entre las funciones exponenciales, la m´ as importante y una de las que nos aparecer´ a con m´ as frecuencia es la exponencial de base el n´ umero e = 2.718281 . . . • Es importante que comprendas que en la expresi´ on sen x no hay ning´ un producto. No debes leer “seno por x”, ni mucho menos escribir sen · x. Por el contrario, la expresi´ on sen x es del mismo tipo que la que empleas cuando escribes f (x), s´ olo que en lugar de tratarse de una funci´ on cualquiera f , la expresi´ on sen nombra a una funci´ on fija llamada p p “seno”. Pensar que involucra un producto es tan absurdo como pensar que x = · x.

1.3 Funciones elementales

21

• A la hora de manipular expresiones algebraicas es muy importante que comprendas que, aunque una expresi´ on pueda involucrar varias funciones elementales (sumas, productos, ra´ıces, potencias, etc.), toda ella s´ olo puede ser o bien una suma, o bien un producto, o bien una ra´ız, etc., pero no dos cosas a la vez. Ejemplo 6 La funci´ on f (x, y) = xy + 7 es una suma, pero no un producto (es la suma de xy y 7, pero, aunque contenga un producto, no podemos decir que sea el producto de algo por algo). Por el contrario, la funci´ on g(x, y) = (x + 2y)(x y 2 ) es un producto, pero no una suma (es el producto de x + 2y por x y 2 , pero, aunque contenga sumas, no podemos decir que sea la suma de algo m´ as algo). Por supuesto, podemos operar y obtener que (x + 2y)(x

y 2 ) = x2

xy 2 + 2xy

2y 3 .

As´ı tenemos dos expresiones distintas, pero equivalentes, en el sentido de que toman siempre el mismo valor, pero son distintas porque la de la izquierda es un producto, mientras que la de la derecha es una suma con cuatro sumandos. Un caso especialmente frecuente y simple de esta situaci´ on es el que nos permite considerar en la pr´ actica que las restas son sumas: xy z 2 = xy + ( z 2 ). La funci´ on h(x) = ln7 x2 es una potencia, y ser´ıa incorrecto decir que es un logaritmo. F´ıjate que es la potencia séptima de “algo”, concretamente, de ln x2 . También ser´ıa incorrecto decir que es un cuadrado. p La funci´ on P (t, u) = ln u + t5 es p un logaritmo, es el logaritmo de “algo”, concretamente de u + t5 . • Una forma de practicar el reconocimiento de la estructura de una expresi´ on algebraica es que la descompongas en forma de árbol. Ejemplo 7 Considera la expresi´ on algebraica: sen5

5x ln y 6

Estos hechos ser´ an especialmente importantes a la hora de entender las reglas de derivaci´ on, pero veamos aqu´ı otras aplicaciones. Hay quienes dudan de si las simplificaciones siguientes son correctas o no: 6 x sen y + z , 6 xz

6 xey 6 xz

La respuesta es que la primera es incorrecta y la segunda es correcta porque para simplificar términos iguales que multiplican es necesario que numerador y denominador sean productos, y en el primer ejemplo, aunque contenga un producto, el numerador es una suma. También hay quien cree que, para despejar la x en la expresi´ on siguiente, es correcto empezar as´ı: x + 6 = y ) x + 6 = y2 y Esto es incorrecto porque para pasar algo que divide del miembro izquierdo al derecho (o viceversa) el miembro izquierdo tiene que ser un cociente, y aqu´ı no lo es. Aunque tiene un cociente, es una suma. Precisamente por ser una suma, el paso correcto es pasar el sumando que “sobra” a la derecha: x x +6=y ) =y y y

6.

Ahora que el miembro izquierdo ya es un cociente, es posible pasar la y multiplicando: x = (y

6)y.

+ x + 2x+y

3x2 y

7z 6

En el esquema de la p´ agina siguiente aparece descompuesta en las funciones que la componen. Por ejemplo, lo primero que observamos es que se trata de una potencia quinta. La funci´ on que resulta de eliminar la potencia quinta es un seno. La funci´ on que resulta de eliminar el seno es

22


5x ln y 6 + x + 2x+y 3x2 y 7z 6

sen5

( )5

sen

5x ln y 6 + x + 2x+y 3x2 y 7z 6 sen( )

5x ln y 6 + x + 2x+y 3x2 y 7z 6 (÷)

⇠X ⇠ XXX ⇠⇠⇠ XXX ⇠⇠⇠ X

5x ln y 6 + x + 2x+y

3x2 y

(+)

2x+y

x

HH H

x

ln y 6

x+y

ln( )

y6

7z 6

(·)

(·)

HH H

3

x2

y

HH H

7

z6

( )2

(+)

x

H HH HH

3x2 y

2( )

(·)

5

(+)

H HH HH

5x ln y 6

7z 6

@ @

y

x

( )6

z

( )6

y

un cociente, del que podemos separar su numerador y su denominador en dos ramas distintas. El numerador es una suma que consta de tres sumandos. El primer sumando es un producto que consta de tres factores, etc.

1.4 Problemas resueltos

1.4

23

Problemas resueltos

p 1. La funci´ on de beneficios de una empresa es B(x, y) = x y+x2 , donde x e y son las cantidades producidas diariamente de dos art´ıculos P y Q. Las producciones actuales son 10 unidades diarias de P y 16 de Q. (a) Calcula el beneficio actual. (b) Calcula la variaci´ on que se producir´ıa en los beneficios de la empresa si ésta decidiera producir 12 unidades del producto P manteniendo la producci´ on de Q. (c) Calcula

B(10, 16)(2, 4) e interpreta el resultado.

(d) Determina la producci´ on del art´ıculo P que necesitar´ıa la empresa para alcanzar un beneficio de 150 u.m. manteniendo la producci´ on actual del art´ıculo Q. ´ n: Solucio p (a) B(10, 16) = 10 16 + 102 = 140 u.m. (b) (c)

x B(10, 16)(2) = B(12, 16) = 52 u.m.

B(10, 16)(2, 4) = B(12, 12) = 185.56

B(10, 16) =192-140

Observa que expresar correctamente las respuestas como B(10, 16) = · · · x B(10, 16)(2)

= B(12, 16)

B(10, 16)

140 = 45.57 u.m.

´ n: Si, partiendo de que se produInterpretacio cen 10 unidades de P y 16 de Q, la producci´ on de P aumenta en 2 unidades y la de Q disminuye en 4 unidades, el beneficio de la empresa aumenta 45.57 unidades monetarias. (d) Se trata de resolver la ecuaci´ on B(x, 16) = 150, es decir: 4x + x2 = 150 ) x2 + 4x 150 = 0 p 4 ± 16 4 · ( 150) n 10.4, )x= = 14.4. 2 Descartamos la soluci´ on negativa porque no tiene sentido econ´ omico, luego la soluci´ on es que la empresa necesita producir 10.4 unidades de P .

B(10, 16) = · · ·

es una parte importante de la soluci´ on. Como regla general, al interpretar una expresi´ on como B(10, 16)(2, 4) = 45.57 es importante que todos los n´ umeros implicados aparezcan en la respuesta. Por ejemplo, decir que “cuando la producci´ on de P aumenta en 2 unidades y la de Q disminuye en 4 el beneficio aumenta en 45.57” ser´ıa falso, pues dicha variaci´ on de la producci´ on podr´ıa dar lugar a distintos incrementos de beneficio seg´ un cu´ al fuera la producci´ on de partida, que no ser´ıan necesariamente el que has calculado.

2. Un consumidor puede comprar dos art´ıculos A y B p en cantidades x, y, y la utilidad que consigue con ello viene dada por la funci´ on U (x, y) = 3 xy 2 . Actualmente su consumo es de 24 unidades de A y 3 de B. (a) Calcula la utilidad actual. (b) Calcula

y U (24, 3)(0.5)

e interpreta el resultado.

(c) Si el consumidor decidiera dejar de consumir 4 unidades de A para consumir otras tantas de B, ¿aumentar´ıa con ello su utilidad?

24

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables (d) ¿Cuánto deber´ıa aumentar el consumo de B si quisiera alcanzar una utilidad de 12 manteniendo el consumo de A? ´ n: Solucio p 3 (a) U (24, 3) = 24 · 32 = 6. (b) y U (24, 3)(0.5) = U (24, 3.5)

U (24, 3) =

p 3 24 · (3.5)2

6 = 6.65

6 = 0.65.

´ n: Si el consumidor pasa de adquirir 24 unidades de A y 3 de B a Interpretacio adquirir 0.5 unidades m´ as de B su utilidad aumentar´ a en 0.65. (c) Para responder a la pregunta calculamos el incremento de utilidad: p 3 U (24, 3)( 4, 4) = U (20, 7) U (24, 3) = 20 · 72 6 = 9.93 6 = 3.93. El incremento es positivo, lo cual significa que la utilidad aumenta. (d) Hay que resolver la ecuaci´ on U (24, y) = 12, es decir: p p 1 728 3 24 · y 2 = 12 ) 24 · y 2 = 123 = 1 728 ) y 2 = = 72 ) y = ± 72 = ±8.48. 24 Como estamos calculando una cantidad consumida, la soluci´ on negativa no tiene sentido, luego habr´ a que consumir y = 8.48 unidades de B y el aumento de consumo necesario ser´ a y = 8.48 3 = 5.48 unidades. 3. La demanda diaria de un producto viene dada por s D(p, r) =

r3 , p2

donde p es el precio de venta del producto y r la renta de los consumidores. (a) Calcula D(2, 1 000) e interpreta el resultado. (b) Calcula p D(2, 1 000)(0.1) e interpreta el resultado con detalle. (c) Escribe la expresi´ on que representa el incremento de demanda a que da lugar un descenso de la renta de un 2%. Calc´ ulalo e interpreta el resultado. ´ n: Solucio r

1 0003 = 15 811.39 u.p. 22 ´ n: Si el precio del producto es de 2 u.m. y la renta de los consumidores Interpretacio es de 1 000 u.m. la demanda del producto ser´ a de 15 811 u.p. diarias.

(a) D(2, 1 000) =

Ten presente que el valor negativo que obtenemos no indica una demanda negativa, sino un incremento negativo de la demanda, es decir, un descenso de la misma. En general, no debes confundir un incremento con el valor final de la funci´ on que se obtiene tras el incremento.

(b)

p D(2, 1 000)(0.1)

=

r

1 0003 2.12

r

= D(2.1, 1 000)

D(2, 1 000)

1 0003 = 15 058.47 22

15 811.39 =

752.92.

´ n: Si, partiendo de un precio de 2 u.m. y Interpretacio una renta de 1 000 u.m., el precio del producto aumenta 0.1 u.m. y la renta permanece constante, la demanda disminuye en 752.92 u.p. diarias.


(c)

r D(2, 1 000)(

25

20) = D(2, 980)

D(2, 1 000) =

= 15 339.43

r

9803 22

15 811.39 =

r

1 0003 22

471.96.

´ n: Si, partiendo de un precio de 2 u.m. y de una renta de 1 000 u.m., Interpretacio dicha renta se reduce en un 2% (es decir, en 20 u.m.), la demanda del producto se reduce en 471.96 u.p. 4. Considera la funci´ on f (x, y, z, w) = w cos(ex/y

1) + z 2 ln y.

(a) Explica qué significa la expresi´ on f (6, 3, 2, 4) y calcula su valor. (b) Calcula (expresándolo correctamente) el incremento parcial que experimenta f cuando, a partir de la situaci´ on del apartado anterior, la variable z pasa a valer 5. (c) Calcula

f (6, 3, 2, 4)( 2, 1, 0, 3) e interpreta el resultado.

(d) Resuelve la ecuaci´ on f (0, 1, 2, t) = f (0, e, t, 2). ´ n: Solucio (a) f (6, 3, 2, 4) es el valor que toma la funci´ on f cuando x = 6, y = 3, z = 2, w = 4, es decir, el valor que resulta de sustituir dichos valores en la expresi´ on que define a f . f (6, 3, 2, 4) = 4 cos(e6/3 (b)

z f (6, 3, 2, 4)(3)

= f (6, 3, 5, 4)

(c)

f (6, 3, 2, 4)( 2, 1, 0, 3) = f (4, 4, 2, 7)

1) + 22 ln 3 = 8.37.

f (6, 3, 2, 4) = 31.44

= 4.52

8.37 = 23.07.

f (6, 3, 2, 4) = 7 cos(e4/4 8.37 =

1) + 22 ln 4

8.37

3.85.

´ n: Si partimos de los valores x = 6, y = 3, z = 2, w = 4 y reducimos Interpretacio x en 2 unidades, aumentamos y en 1 unidad y aumentamos w en 3 unidades (dejando z invariante) el valor de la funci´ on f disminuye 3.85 unidades. (d) La ecuaci´ on es t cos(e0

1) + 4 ln 1 =

2 cos(e0

1) + t2 ln e

2 + t2 ) t2 t 2 = 0 p 1 ± 1 4 · ( 2) n 2, )t= = 1. 2 )t=

Observa que la e que aparece en el enunciado, al contrario que la t, no es una inc´ ognita, sino que es el n´ umero e = 2.7182 . . .

5. Indica si las funciones siguientes son sumas, productos, potencias, senos, logaritmos, etc. En las sumas y productos, indica el n´ umero de sumandos / factores: a) x ln5 x d) sen3 (x + y)

b) ln5 (xy) e) x3 + sen y

c) ln(xy)5 f ) xy sen3 x

26

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables ´ n: Solucio (a) Producto de dos factores (d) Potencia

(b) Potencia (e) Suma de dos sumandos

(c) Logaritmo (f) Producto de tres factores.

6. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)

20 + 2x = 14 x

d) (t

3)(t

1) = 3

Nota que en a) hubiera sido incorrecto hacer 20 + 2x = 14 x ) 20 + 2x = 14x.

Al llegar a 2x2 14x + 20 = 0 hemos observado que todos los coeficientes pod´ıan dividirse entre 2. Este paso no es necesario, pero es frecuente que este tipo de simplificaciones faciliten bastante los c´ alculos, o incluso que nos permitan ver mejor qué conviene hacer en un momento dado. Cuando tenemos un producto igualado a 0, como en c), podemos concluir que uno de los dos factores tiene que ser 0. En cambio, ser´ıa un error muy grave empezar d) pasando de (t 3)(t 1) = 3 a n t 3=3 o t 1 = 3. En general, para resolver una ecuaci´ on de segundo grado ax2 + bx + c = 0 usamos la f´ ormula p b ± b2 x= 2a

4ac

✓ ◆ 12 b) x 3 + 2 = 12x + 24 x

c)

(t2 + t

p e) p

f)

s

3

2+p=8

5) = 0

q2 + 3 =2 q+2

´ n: Solucio 20 a) + 2x = 14 ) 20 + 2x2 = 14x ) 2x2 14x + 20 = 0 x p 7 ± 49 40 n 5, 2 )x 7x + 10 = 0 ) x = = 2 2. ✓ ◆ 12 12x3 b) x3 3 + 2 = 12x + 24 ) 3x3 + 2 = 12x + 24 x x ) 3x3 + 12x = 12x + 24 ) 3x3 = 24 ) x3 = 8 p 3 ) x = 8 = 2. p 2)( t

⇢

tp2 + t 2 = 0 o bien t 5 = 0. n p 1, Si t2 + t 2 = 0 entonces t = 1±2 1+8 = 2. p p 2 Si t 5 = 0 entonces t = 5 ) t = 5 = 25. Por lo tanto, en total hay tres soluciones: t = 2, 1, 25. c) (t2 + t

d) (t

3)(t

.

e)

p p

5) = 0 )

1) = 3 ) t2

) t(t

Sin embargo, cuando c = 0, que es lo que sucede al final de d), donde tenemos t2 4t = 0, aunque ser´ıa posible aplicar la f´ ormula, es m´ as pr´ actico sacar factor com´ un t, como hemos hecho.

p 2)( t

4) = 0 )

2+p=8 )

p p

t ⇢

3t + 3 = 3 ) t2 t=0 o bien t 4 = 0 ) t = 4.

2=8

p ) p

2 = (8

16p + p2 ) p2 17p + 66 = 0 p 17 ± 172 4 · 66 17 ± 5 n 11, ) p= = = 2 2 6. p

2 = 64

4t = 0

p)2

1.5 Problemas propuestos

27

De las dos soluciones que hemos obtenido, observamos que s´ olo la segunda cumple la ecuaci´ on inicial: p p 11 2 + 11 = 14 6= 8, 6 2 + 6 = 8. Por lo tanto, la u ńica soluci´ on es p = 6. s q2 + 3 q2 + 3 f) =2 ) = 4 ) q 2 + 3 = 4(q + 2) q+2 q+2

Cuando al resolver una ecuaci´ on hemos elevado sus miembros al cuadrado (u otra potencia par) para eliminar una ra´ız, puede ocurrir que algunas de las soluciones que obtengamos no cumplan la ecuaci´ on original, por lo que debemos comprobarlo y descartar las que fallen. En el apartado e) resulta que una de las dos soluciones obtenidas no es v´ alida, mientras que en el apartado f) valen las dos.

) q 2 + 3 = 4q + 8 ) q 2 4q 5 = 0 p 4 ± 16 + 20 n 5, ) q= = 1. 2 Comprobamos que las dos soluciones son v´ alidas: r r 52 + 3 p ( 1)2 + 3 = 4 = 2, = 2. 5+2 1+2

1.5

Problemas propuestos

1. La demanda mensual de cerveza de un consumidor viene dada por la funci´ on D(r, p) =

15r p

r2 l/mes,

donde r es la renta mensual del consumidor (en miles de euros) y p es el precio (en euros) de un litro de cerveza. Actualmente, el precio es p = 2 C y el consumidor dispone de una renta de r = 2 000 C mensuales. (a) Explica qué significa la notaci´ on D(r, p). (b) Escribe la expresi´ on que representa la demanda actual de cerveza y calcula su valor. (c) Calcula cu´ al ser´ıa la demanda si el consumidor pasara a disponer de una renta mensual de r = 2.5 u.m. Expresa el resultado correctamente e interprétalo. (d) ¿Y si, con la renta actual, el precio subiera 50 céntimos? (e) Expresa los resultados de los dos u ´ltimos apartados en términos de incrementos parciales de la funci´ on D. (f) Calcula el incremento (total) de la demanda si correctamente e interprétalo. (g) ¿Qué signo cabr´ıa esperar que tuviera correcta.

r = 0.5 u.m. e

r D(3, 3)(0.5)?

p = 1 C. Exprésalo

Comprueba si tu conjetura es

(h) Con el precio actual, ¿qué renta mensual har´ıa que el consumidor limitara su consumo de cerveza a 8 litros mensuales? (i) Calcula a partir de qué precio el consumidor no estar´ a dispuesto a comprar cerveza con su renta actual. (j) Calcula cu´ anto tendr´ıa que reducirse el precio de la cerveza para que el consumidor mantuviera su demanda tras haber sufrido un recorte salarial de un 5%.

28

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables 2. Sea f (x, y, z) = xy 2

3z.

(a) ¿Qué significa la notaci´ on f (x, y, z)? (b) Explica qué significa f (2, 1, 7) y calcula su valor. (c) Calcula

z f (2, 1, 7)(2).

(d) Calcula

f (2, 1, 7)( 1, 0, 2).

(e) Resuelve la ecuaci´ on f (2, y, 1) = 5. (f) Resuelve la ecuaci´ on f (1, p, 2) = f (4, 4, p). 3. Descomp´ on en funciones b´ asicas la funci´ on g(u, v) = 5 ln4

p u2 v + 3.

4. La producci´ on diaria de una empresa de fabricaci´ on de zapatos viene dada por p 3 S(p, K, L) = p KL2 pares de zapatos, donde p es el precio de venta en euros, K es el capital invertido en la producci´ on (en euros) y L el n´ umero de trabajadores. Actualmente el capital de la empresa es K = 120 000 C y su plantilla es de L = 15 trabajadores. Por otra parte, se estima que la demanda diaria de su producto es p 1 470 M D(p, M ) = , p donde M es la inversi´ on mensual en marketing, que actualmente es de M = 1 600 C. (a) Calcula la oferta (producci´ on) y la demanda que conseguir´ıa la empresa si vendiera cada par de zapatos a un precio de 20 C. (b) Interpreta los resultados obtenidos en el apartado anterior. ¿Le conviene a la empresa vender a ese precio? (c) ¿Qué signo cabe esperar en D si la empresa decide aumentar un 5% el precio de sus zapatos? Escribe la expresi´ on completa para este incremento parcial y calc´ ulalo. (d) Calcula (para la situaci´ on actual) el precio de equilibrio de la empresa, es decir, el precio p para el cual la oferta es igual a la demanda. (e) Calcula la oferta y la demanda correspondientes al precio de equilibrio y comprueba que, en efecto, son iguales. (f) Calcula S(14, 120 000, 15)(0, 67 500, 3) e interpreta el resultado. (Redacta la interpretaci´ on evitando palabras técnicas como “incremento” y usando palabras cotidianas como “contratar”, “despedir”, “aportar capital”, etc., de modo que resulte natural a cualquiera que no esté familiarizado con las matem´ aticas.) (g) Calcula el incremento de demanda a que da lugar un incremento M = 300 C (manteniendo el precio de equilibrio). Exprésalo correctamente e interprétalo. (h) ¿Qué incremento de capital K debe aportar la empresa para que la oferta iguale a la nueva demanda calculada en el apartado anterior?


29

5. Si un banco nos ofrece un tanto por uno de interés i por nuestros ahorros, esto significa que si depositamos un capital C0 en el instante t = 0, al cabo de t a˜ nos nuestro capital ser´ a el dado por la expresi´ on C = C0 (1 + i)t . (a) ¿Qué deber´ıamos escribir en lugar de una simple C a la izquierda del signo = si quisiéramos ser m´ as precisos? (b) Calcula el capital que tendremos al cabo de 5 a˜ nos si en la actualidad (t = 0) depositamos 10 000 C en un banco que nos ofrece un 3% de interés anual (i = 0.03). Expresa el resultado con la notaci´ on adecuada. (c) Calcula el incremento de capital que hemos conseguido con nuestra inversi´ on. Escr´ıbelo correctamente. (d) Calcula t C(10 000, 0.03, 2)(2) e interpreta el resultado. (Deduce del contexto cu´ al es cada variable.) (e) ¿Qué capital tendr´ıamos que invertir si quisiéramos disponer de 15 000 C dentro de 5 a˜ nos? (f) Otro banco nos ofrece 13 000 C dentro de 5 a˜ nos si depositamos ahora nuestros 10 000 C . ¿Qué interés nos est´ a ofreciendo? 6. La demanda D de un producto X viene dada por la funci´ on p 0 rp D(r, p, p0 ) = , 2p donde r es la renta media de los consumidores, p es el precio del producto X y p0 el precio de un bien sustitutivo (es decir, de otro producto que los consumidores podr´ıan comprar en lugar del que fabrica la empresa). Actualmente, ambos bienes se venden al precio de 1 C y el consumidor destina al producto X una renta de 36 C. (a) Calcula la cantidad de X que actualmente demandan los consumidores (b) Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si el precio del art´ıculo X aumenta en 20 céntimos. Interpreta el resultado. (c) Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si el precio del bien sustitutivo aumenta a 2 C (y el de X se mantiene en 1 C ). Interpreta el resultado. (d) Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si suceden simult´ aneamente las variaciones de los dos apartados anteriores. (e) Calcula el incremento de demanda que se producir´ a si los consumidores duplican su renta, pero los precios de ambos art´ıculos también se duplican. Interpreta el resultado. C´ alculo de funciones e incrementos 7. Dadas las funciones f (x, y, z) = 1 3 K(u, v) = + , u v

x + y2 , z3

Q(p, q) =

L(m, n, t) =

p 5 p + q2, p t , +5

3 t m2 + n2

H(r, s, t) = (r + 2s)t3 + 3, Q P (Q) = Q+5

7

! p Q2 + 2 , Q+1

30

1 Introducci´ on a las funciones de varias variables (a) Comprueba los resultados siguientes: f (3, 5, 2) = 3.5 p Q( 5, 5) = 1.936

f

K(5, 7) = 0.628 p p L( 2, 1 + 3, 7) =

K

3 7 , 0.2, 0.01

= 468 571.43

H 3, 15 , 12 = 3.425

H(4, 4, 5) = 503

0.153

p Q(5, 5) = 1.58

2, 25 = 7

L(1, 5, 9) =

P (4) = 2.73

0.086

P ( 10) = 16.24

(b) Comprueba que x f (5, 2, 1)(

2) =

2

Q(1, 4)( 10, 2) = K

1 3 5, 7

1 3 5, 7

=

f (1, 1, 1)(0.2, 0.1, 0.3) = 5.026 3.14

6

s H(6, t L(

3, 5)(0.7) = 175

3, 4, 9)(1/12) =

5.6 · 10

4

P (3)(3.2) = 1.072 (c) Calcula (y expresa correctamente) el incremento de Q que se produce al pasar de (p, q) = (3, 2) a (p, q) = (5, 1.5). (d) Calcula (y expresa correctamente) el incremento de K que se produce si partimos de (u, v) = (5, 3) e u = 2. (e) Calcula (y expresa correctamente) el incremento de L que se ha producido si ahora (m, n, t) = (4, 8, 16) y antes las variables val´ıan la cuarta parte que ahora. (f) Calcula (y expresa correctamente) el incremento de P que se produce si Q = 3 y aumenta un 10%. 8. Comprueba con la calculadora los resultados siguientes: p 5

3ln 2 = 2.57, p (b) cos ⇡ + sen ⇡ = 0.02, (a) 2

p 7

1000 (c) e = 5.6, 1 + ln 5 (d) e5 = 148.41, sen(⇡/4) (e) = 1, cos(⇡/4)

(f) sen3 ⇡ = 0, (g) sen ⇡ 3 =

0.398,

(h) ln4 (cos(⇡/3)) = 0.23, (i) ln(cos4 (⇡/3)) =

2.77,

(j) ln(cos(⇡/3)4 ) =

1.02,

ln(cos(⇡ 4 /3))

0.7.

(k)

=


31

An´ alisis de funciones elementales 9. Descomp´ on las funciones siguientes en las funciones b´ asicas que las componen: a)

sen(x + 2y)

d)

ln(cos4 x)

2 cos(x2 y)

x(y 2 + z 2 ) ln z xy 2 + z 2 ln z

e) 5(x + y

40 sen xy

g)

b)

z

j) (x ln y)5+sen x

c)

z)ez/10

f)

ln5 (xy) 40 sen xy z

h)

p x2 y + z 3 7xy 5

i)

x sen y + 5 x5 cos z 1

k)

(y + 3y 2 ) sen x z 4 sen x

l)

ln3 x cos4 (xy)

Ecuaciones 10. Resuelve las ecuaciones siguientes: 1) p2 + 2p = 5p

1

4) L5 + 9 = 0 p 7) x + 2 = 4x + 13 10)

15 p2

8 +1=0 p

2) (5t 3)t = 2t 8 p 5) 3 c + 3 2 = 5 p 8) p = 2 + p2 2 ✓ ◆ 3 11) 10p 15 =0 p

2 1 = 5x x x p 6) 4 x x=2 3)

9) T 3

10T = 0 ✓ ◆ 3 12) 10p 15 =1 p

11. Calcula el precio de equilibrio de un producto cuyas funciones de oferta y demanda son S(p) = 25p,

D(p) =

2 000 p

50.

12. El coste de producir q unidades de un art´ıculo viene dado por la funci´ on C(q) = 5000 + q +

q2 C. 500

(a) Calcula el coste fijo de la empresa, es decir, el coste en el que incurre la empresa aunque no produzca ninguna unidad de producto. (b) Calcula la producci´ on que puede conseguirse con un presupuesto de 15 000 C. Cuestiones 13. La funci´ on B(q, p) representa el beneficio anual de una empresa en funci´ on de la cantidad q que produce de un art´ıculo y el precio p al que lo vende. Explica qué significa que B(10 000, 500) = 6 000 000 u.m. 14. Dada una funci´ on h(p, q), di con palabras lo que significa

h(3, 2)(1, 1).

32


15. Dada una funci´ on g(x, y, z), explica la diferencia entre y g(3, 1, 1)(2) e z g(3, 1, 1)(2). En la expresi´ on g(1, 2, 3)(0.1, 0.2, 0.3), ¿Cu´ al es el valor inicial de x?, ¿cu´ anto vale x?, ¿cu´ al es el valor final de x? 16. Si nos dicen que P = 3s2 x + xks, ¿Por qué no podemos calcular P (1, 3, 2)? ¿Qué informaci´ on nos falta? 17. Una empresa fabrica dos productos en cantidades q1 y q2 , para lo cual utiliza tres materias primas cuyos precios son p1 , p2 y p3 . Imagina que tenemos una expresi´ on para calcular el coste C de la producci´ on a partir de estos datos. ¿C´ omo se expresa esto? ¿C´ omo expresar´ıas, m´ as concretamente, el coste de producir 100 unidades del primer producto y 500 del segundo si las tres materias primas tienen un precio de 3 u.m.? ¿Y el incremento de coste si p3 pasa a ser de 3.5 u.m? 18. Una empresa fabrica un art´ıculo en cantidad Q y C es el coste de su producci´ on. Si tenemos un criterio para calcular C a partir de Q, ¿esto significa que Q es funci´ on de C o que C es funci´ on de Q? ¿Dicha funci´ on se representar´ a por Q(C) o C(Q)?

2

Funciones de vanas variables

Tras haber introducido la noción básica de función de varias variables, aquí precisaremos la notación que usaremos al tratar con funciones e introduciremos algo más del vocabulario básico sobre ella.'l.

2.1

Vectores en IR.n • Suponemos que conoces el conjunto IR de los números reales, que contiene a todos los números naturales (0, 1, 2, ... ), enteros ( -5, -2, O, 3, 7, ... ), racionales ( ~' ~' ... )y también 5 3 a los irracionales, (e, 1r, J2, ... ). Pero a menudo necesitaremos tratar con varios números reales al mismo tiempo. Por ejemplo, si f(x, y, z) es una función de tres variables, para calcularla necesitamos tener, no uno, sino tres números reales no necesariamente distintos. Esto nos lleva al concepto de vector: • Llamaremos JR2 al conjunto de todos los pares (x, y) de números reales, es decir, expresiones como (3, -2), (1r, ~), (0.45, 23.8), etc. Similarmente, JR 3 será el conjunto de todas las ternas (x, y, z) de números reales, como (0,0,0), (2, -3, 7) o (4.2,3/5,8). En general, sin 2: 1 es un número natural, llamaremos ffi.n al conjunto de todos los vectores den componentes, es decir, expresiones de la forma x = (x1, ... , xn), donde x 1, ... , Xn son números reales. Así podemos decir que, para calcular una función de dos variables, necesitamos tener como dato un vector de IR 2 , para calcular una función de tres variables necesitamos como dato un vector de JR 3 , etc. • A menudo necesitaremos seleccionar algunos vectores dentro de todo el espacio ffi.n que cumplan determinadas condiciones. La notación que emplearemos para ello será la siguiente: {x E ffi.n 1 condiciones}. Esta expresión se lec: "El conjunto de los vectores x que pertenecen a ffi.n tales que cumplen las condiciones que se indican" .

Ejemplo 1

Un consumidor tiene 6€ con los que se propone comprar refrescos y hamburguesas. Cada refresco vale 1 €, mientras que cada hamburguesa vale 2 €. Si compra r refrescos y h hamburguesas, escribe el conjunto de pares (r, h) que corresponden a consumos posibles según su presupuesto.

SOLUCIÓN: El gasto del consumidor será r + 2h, y este gasto no puede exceder el presupuesto, luego el conjunto de los consumos posibles será

C = {(r, h) E IR 2 1 r

+ 2h :S 6,

r

2: O, h 2: 0}.

33

Si recuerdas cómo debes leer la respuesta te será más fácil recordar la notación correcta: "El conjunto de todos los pares (r, h) que pertenecen a JR 2 tales que r + 2h ~ 6, r ~O y h ~ 0".

2 Funciones de varias variables

34

No debes confundir los signos E y c. Ten presente que, en todos los casos que consideraremos, para que tenga sentido una expresión como x E S será necesario que el término de la izquierda sea un vector y el de la derecha un conjunto, mientras que en la expresión S C T los dos miembros tienen que ser conjuntos.

• En general, un subconjunto S de IRn es una expresión que selecciona determinados vectores de IRn (en el ejemplo anterior, es un subconjunto de IR 2 que selecciona los vectores que corresponden a consumos posibles).

e

Para expresar que S es un subconjunto de IRn usaremos la notación S e IRn, y en tal ca.'>o, si x E IRn, escribiremos x E S o x ~ S para indicar que el vector x está o no está en el conjunto S.

Ejemplo 2 En estos términos podemos escribir lo siguiente (donde

e es el conjunto del ejemplo 1): (1,2)Ee,

(4o, 2o)

~e,

• Conviene introducir las operaciones siguientes con vectores: La palabra "escalar" significa lo mismo que "número", pero se usa en oposición a "vector". Así, decimos que 5 es un escalar y que (5, 4, 1) es un vector.

Suma de vectores Dados dos vectores la suma x + fj E IRn como

El producto escalar de vectores se llama así porque el resultado del producto es un escalar y no un vector. Fíjate en que

Producto por un escalar Si producto o:x E IRn como

(2,3)(1,6)

E

fj E

IRn y o:

E

IRn, definimos

IR se define el

= 2 + 18 = 20

y no

&

x

x,

(2, 3)(1, 6) = (2, 18).

Geométricamente, la norma de un vector es su longitud, como se sigue del teorema de Pitágoras:

Producto escalar de vectores Si producto x · fj E IR como

x,

fj E IRn, se define su

Norma de un vector Si x E IRn, se define su norma como el escalar llxll = ~ = + ··· +

Jxy

x;.

Ejemplos: (2,4,1) + (-1,1,2) = (1,5,3).

3(1, 2, 2) = (3, 6, 6),

(1, -2, 5)(2, o, 2)

=

11(2, 1, -2)11 = )2 2 + I2 + (-2)2 =

2.2

Funciones escalares y vectoriales. Dominios. • Si

f

es una función, como por ejemplo

x+y f(x, y, z) = - - , x+z

2+0+ 10

v'9 = 3.

=

12.

2.2 Funciones escalares y vectoriales. Dominios.

35

para calcularla necesitamos como dato un vector de !Rn, en este caso un (x, y, z) E IR 3 , pero eso no significa que f pueda ser calculada para cualquiera de ellos. Por ejemplo, tenemos que 3

f(1, 2, 3) =

y decimos entonces que

f

4'

está definida en (1, 2, 3), mientras que

3

f( 2 ' 1 ' - 2)

= - = ?

o

f

no se puede calcular, y decimos que la función El conjunto de vectores de !Rn donde una función se llama dominio de la función f.

f

.

no está definida en (2, 1, -2).

den variables está definida (se puede calcular)

Ahora ya podemos introducir la notación general con la que representaremos las funciones que vamos a estudiar: Una función vectorial de n variables y m coordenadas de dominio D e !Rn es cualquier criterio que a cada vector x E D le asigna un vector f(x) E !R.m. Cuando esto sucede lo representaremos con la notación f : D e !Rn -------* !R.m. En el caso particular en que m = 1, es decir, si f : D e !Rrn -------* IR, diremos que la función f es una función escalar.

Ejemplo 3

Consideremos de nuevo la función dada por f(x, y, z)

conjunto D

= {(x,y,z)

E IR

3 1

x

= x +y. Su dominio es el x+z

+ z -1- 0},

pues lo único que podría impedir el cálculo de f(x, y, z) es que el denominador x + z se hiciera cero. Por lo tanto, podemos decir que f : De !R3 -------*IR. En particular, fes una función escalar de tres variables. Ejemplo 4

La función g( x, y)

= (x 1y, xy, x + 3y) es vectorial, pues, por ejemplo, g(3, 1) = (3, 3, 6),

es decir, transforma vectores de IR 2 en vectores de IR 3 . Su dominio es el conjunto

D = {(x,y)

E

IR 2 y -::f 0}, 1

pues g(x, y) puede calcularse salvo si y= O, ya que entonces no tiene sentido la fracción x 1y. En este caso g : D e !R2 -------* !R3 y g es una función vectorial de dos variables y tres coordenadas. Las funciones coordenadas de g son las tres funciones escalares 91 (X, Y) =

X1Y'

g2(x, y)= xy,

g3(x, y)= x

+ 3y.

Observa que, al igual que un vector ( 4, 7, 1) consiste en varios escalares (tres en este caso) en un cierto orden, una función vectorial como 9 puede pensarse como un "vector" de funciones, es decir, como tres funciones escalares 91, 92, 93 en un cierto orden.

2

36

Funciones de varias variables

En general: Una función vectorial f : D e IRn ------+ IRm está determinada por m funciones llamadas sus funciones coordenadas, de modo que f =(JI, ... , fm)·

El argumento de un logaritmo es "lo que hay dentro" del logaritmo (por ejemplo, el argumento de lnx 3 es x 3 ), del mismo modo que el radicando de una raíz es "lo que hay dentro" de la raíz. La razón para exigir la cuarta condición es que la función xY, es decir, la función potencia con variables tanto en la base como en el exponente, se define como

por lo que la cuarta condición es un caso particular de la segunda. Evita usar las fórmulas del recuadro de la derecha cuando el exponente es variable. En tal caso aplica directamente el criterio cuarto. Por ejemplo, si tienes

debes tener en cuenta que esto es lo mismo que

IRn

------+

IR

A la hora de calcular el dominio de una función definida a partir de las funciones usuales con la<; que vamos a trabajar basta teller en cuenta _los hechos sig1iíénfes: --------• El denominador de una fracción debe ser

=f. O.

• El argumento de un logaritmo debe ser> O. • El radicando de una raíz de índice par debe ser 2: O. • La base de una potencia de exponente variable debe ser> O. Además hay que tener presente que los exponentes negativos y fraccionarios pueden ocultar fracciones y raíces que hay que tener en cuenta para aplicar las condiciones anteriores. Para ello hay que recordar las relaciones

¡x-n ~ :n• Ejemplo 5

Calcula el dominio de la función

(x 2 y) 114 + {lln(y/z) f(x,y,z) = sen ( x + y )z + ,51/x

{/sen(xy2), mientras que es inútil transformar

En general, no escribas nunca una raíz si su índice no es un número natural fijo. Fíjate que en el ejemplo 5 no hemos escrito \15.

Ji : D e

SOLUCIÓN: Como hay un exponente 1/4 reescribimos la función para mostrar la raíz equivalente:

Observa que la función seno no afecta al dominio, ni la raíz cúbica, porque es de índice impar, ni la potencia x 2 , porque no tiene exponente variable, sino fijo igual a 2. Por tanto, no debes aplicar la regla 1 y pedir x > O.

Ahora aplicamos los criterios anteriores:

La potencia 5 1 /x tiene exponente variable, pero no tiene sentido pedir 5 > O. Sólo tienes que exigir condiciones sobre las variables de la función, no sobre números.

• El radicando de una raíz de índice par debe ser 2: O =? x 2 y 2: O.

• El denominador de una fracción debe ser z

=f. O,

x

=f. O,

sen(x +y y+ 5 1 /x

=f. O =?

=f. O.

• El argumento de un logaritmo debe ser> O=? yjz >O.

• La base de una potencia de exponente variable debe ser > O =? x + y > O.

37

2.2 Funciones escalares y vectoriales. Dominios. Por lo tanto el dominio es

D

=

{(:x:,y,z) E IR.:~ z #-O, x #-O, sen(x + y)z 1

Ejemplo 6

+ 5 1/x #-O,

Calcula el dominio de la función

f(x, y) = senx D

SOLUCIÓN:

4

+ {/x + eY

= IR.2 .

• De entre las funciones que manejaremos habitualmente, las más sencillas son las siguientes:

Funciones lineales U na función lineal es una función de la forma f(xr, ... , Xn) = crx1 + · · · + CnXn, es decir, una función de la forma "número x variable

+ número

yjz >O, x 2 y;:::: O, x +y> 0}.

Observa que en el ejemplo 6 la potencia eY tiene exponente variable, pero la base es el número e = 2.71 ... > O, luego no hay que exigir e > O. Cuando la función se puede calcular en cualquier punto, su dominio es simplemente IRn. En el caso del ejemplo 6 es JR 2 porque la función tiene dos variables. Evita expresiones incorrectas como

&

D

= {(x,y) E 1R

-

D

=

x variable

2

{(x,y) E 1R2

1

IIR2

},

}.

+ ··. "

Polinomios Un polinomio es una función escalar definida mediante sumas y productos entre variables y números, sin que aparezca ninguna otra operación. • Conviene destacar que las funciones vectoriales cuyas funciones coordenadas son lineales se consideran también lineales, mientras que los polinomios son por definición funciones escalares.

Ejemplo 7

a) e) e)

Indica si las funciones siguientes son lineales y si son polinomios:

f(x, y)= 3x 2 y + 2x 6 y 3 - 3x + 2 h(u,v,w) = u 2 v + w~ 3 - Ju + v q(a,b,c) = (a 2 b,a+b-c)

b) d)

g(x,y,z)=3x+2y-5z p(x, t) = ln(x 2 + 3xt + 3)

!) t(r,s) = (r+2s,-r)

SOLUCIÓN:

a) Sí que es un polinomio, pero no es lineal. b) Es lineal (y también un polinomio). e) No es un polinomio, porque tiene una potencia con exponente negativo (w~ 3 ) y una raíz cuadrada. Tampoco es lineal. d) No es un polinomio porque contiene un logaritmo. Tampoco es lineal. e) No es un polinomio porque es una función vectorial. Sus dos funciones coordenadas sí que son polinomios. La primera no es lineal, pero la segunda sí. f) No es un polinomio porque es vectorial, pero sí que es lineal, pues sus dos funciones coordenadas son lineales.

Observa que en los polinomios pueden aparecer potencias con exponente natural, como y 3 = y·y·y, porque son productos, pero no potencias con cualquier otro exponente fijo o variable, como w- 3 , pues ésta por ejemplo equivale a un cociente. Por otra parte, una función como J3x+y In 7 sí que es un polinomio (y de hecho es lineal) porque J3 y In 7 son números que multiplican a las variables. La funciones de los apartados e) y d) no son polinomios porque la raíz y el logaritmo contienen variables, no sólo números.


38

2.3

Gráficas, límites y continuidad

Muchas de las propiedades de una función se pueden poner de manifiesto claramente a través de su representación gráfica, por lo que es importante que seas capaz de comprender la correspondencia entre las características matemáticas de las funciones y las propiedades que puedes observar en sus gráficas.

Ejemplo 8

El saldo de la cuenta corriente de un cliente de un banco en el periodo 2000-2005 ha venido dado por la función A(t) = 70t3 - 370t 2 + 1440€, donde el tiempo está en años y t = O corresponde al 1 de enero de 2000. La figura muestra la gráfica de esta función. 3000 2500 2000

1

5

2

6

a) Explica en líneas generales la evolución del saldo: a la vista de la gráfica, ¿el cliente ingresaba a menudo dinero en su cuenta o más bien lo gastaba? b) ¿En qué momento fue mayor el saldo de la cuenta corriente? e) Haz una estimación a partir de la gráfica del incremento de los ahorros correspondiente al año 2001 (es decir, desde el 1 de enero de 2001 hasta el 1 de enero de 2002). ¿Fue positivo o negativo? d) Calcula el incremento del apartado anterior de forma exacta y compáralo con tu estimación. e) Deduce de la gráfica en qué periodo el ahorrador estuvo en "números rojos". Comprueba analíticamente que al principio y al final de ese periodo sus ahorros eran nulos.

f) ¿En qué periodo de tiempo el saldo de la cuenta varió más rápidamente? SOLUCIÓN:

a) En la gráfica observamos que durante los primeros años el saldo fue disminuyendo hasta que la cuenta llegó incluso a estar en "números rojos", pero a partir de mediados de 2003 empezó a recuperarse y el saldo fue creciendo hasta superar el saldo disponible al principio del periodo. b) El saldo fue mayor al final del periodo, cuando superó los 3000€. e) A principios de 2001 el saldo fue A(1) A(2) ~ 600€. Por lo tanto ~A(1)(1)

~

1200€, mientras que al terminar el año fue

= A(2)- A(1)

~

600- 1200

= -600€.

El incremento fue negativo, como también se ve en la gráfica: el capital ahorrado disminuyó en dicho periodo.

2.3


39

d) Los saldos exactos fueron A(1) luego

=

70 · 13 -370 · 12 + 1440

~A(1)(1) =

=

1140,

A(2)

=

70 · 23

-

370 · 22

+ 1440 = 520,

A(2)- A(1) = 520- 1140 = -620€.

Vemos que la estimación era bastante ajustada. e) El saldo estuvo en "números rojos" entre t = 3 y t = 4. En efecto, comprobamos que

A(3) = 70 · 3 3

-

370 · 32

+ 1440 = O,

A( 4) = 70 · 43

-

370 · 4 2

+ 1440 = O.

f) En la gráfica observamos que el saldo creció más rápidamente en el último año, entre t = 5 y t = 6, pues se observa que en ese periodo la pendiente de la gráfica (su inclinación respecto de la horizontal) es mayor.

• N o podemos representar gráficamente funciones de varias variables, pero para estudiar gráficamente el comportamiento de tales funciones podemos considerar las funciones que resultan de dar valores fijos a todas las variables menos una, como en el ejemplo siguiente, donde representamos la demanda en función del precio para valores fijos de la renta:

En realidad sí es posible representar tridimensionalmente funciones de dos variables. Por ejemplo, la figura muestra la gráfica de la función f(x, y) = x 2 - y 2 :

Ejemplo 9 Consideremos de nuevo la función del problema 1 de la página 27: 15r p

D(r,p) = - - r 2 1/mes,

No obstante, nosotros no trabajaremos con este tipo de gráficas.

que representa el consumo de cerveza en función de la renta r de litro de cerveza. La renta actual del consumidor es r = 2 miles de € y la cerveza se vende a 2 €/litro. La gráfica siguiente muestra las funciones D(1,p), D(2,p) y D(4,p). D

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

p

un consumidor y del precio p del Observa que cada gráfica muestra la evolución de la demanda en función del precio manteniendo constante la renta. En general, cuando los economistas estudian la influencia de una magnitud sobre otra suponiendo constantes las demás magnitudes que podrían influir, indican esto mediante la expresión latina "ceteris paribus", que significa "permaneciendo lo demás igual". Así, por ejemplo, la gráfica muestra que, cuando aumenta el precio "ceteris paribus", la demanda disminuye. Aquí hay que entender "ceteris paribus" como "manteniendo la renta constante".


40

a) Escribe las funciones representadas en la gráfica. b) Localiza en la gráfica la situación actual. e) Razona a partir de la gráfica si una disminución del precio de 0.5€ hace aumentar o disminuir la demanda. Localiza en la gráfica la situación resultante. d) ¿Y si el precio disminuye 0.5 € y a la vez la renta del consumidor disminuye 1 000€? e) ¿Existe algún precio p para el que la demanda del consumidor sea la misma tanto si su renta es r = 1 como si es r = 4? Deduce la respuesta de la gráfica y, en caso afirmativo, calcúlalo analíticamente. f) ¿Puede ocurrir que (partiendo de una situación que no sea necesariamente la actual) un aumento de renta dé lugar a una disminución de la demanda sin que haya variación de precio? g) Explica el comportamiento de la demanda que muestran las gráficas a medida que el precio se acerca a cero. h) Calcula D(2,

w- 50 )

¿Tiene sentido económico?

SOLUCIÓN:

a) La función D(1,p) se obtiene de sustituir

T

= 1 en la expresión de D(r,p), es decir:

15 D(1,p) = - - 1 1/mes. p

Igualmente: 30 p

D(2,p) = - - 4, b) La situación actual es el punto A de la figura, que corresponde al precio actual p = 2 y está sobre la gráfica de la función D(2, p) correspondiente a la renta actual T = 2.

D(4,p)

60

=--

p

16.

D

'"i\\~(4,p)

:fv~;; ., ,

e) Si l::J.p = -0.5, el precio final pasa a ser p = 1.5, luego la situación final es la correspondiente al punto B de la figura, situado sobre la gráfica correspondiente a T = 2. Vemos que su altura es mayor que la del punto A, y esto significa que la demanda aumenta.

', B

'

''··· .... ';;4.

10

•

D(l,p)

e

1.5

e

2.0

'

25

.•P

• f)

' J.O

F . p

• ~

d) Si i::J.p = -0.5 y l::J.r = -1, pasamos al punto de la figura, correspondiente a p = 1.5 y situado sobre la gráfica de la función D(1,p). Vemos que la altura de es menor que la de A, luego, en este caso, la demanda disminuye.

e

e) Si nos fijamos en las gráficas de las funciones D(1,p) y D(4,p), vemos que coinciden en el punto D de la figura. Se observa que corresponde a un precio p = 3, para el cual tenemos

2.3


41

la misma demanda tanto sir= 1 como sir= 4. Para calcularlo analíticamente resolvemos la ecuación D(1,p) = D(4,p), es decir:

15 60 - - 1 = - - 16 ::::} 15 - p = 60 - 16p ::::} 16p - p = 60 - 15 ::::} 15p = 45 p p ::::} p

=

45 15

= 3•

f) La gráfica muestra que sí que es posible. Por ejemplo, al pasar de la situación correspondiente al punto E a la correspondiente al punto F estamos pasando de r = 2 a r = 4 sin modificar el precio p = 3.5, y sin embargo la demanda disminuye, pues el punto F está a menor altura que E. g) Observamos que, cuanto más se acerca el precio a O, la demanda se hace cada vez más grande. De hecho, de la expresión que define a D se deduce que la demanda "tiende a infinito", en el sentido de que podemos conseguir una demanda tan grande como queramos a base de fijar un precio suficientemente pequeño. h) D(2, 10- 50 ) = 2 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 996 1/mes Obviamente, esto no tiene sentido económico, aunque sólo sea porque la producción mundial de cerveza es de 120 000 000 000 1/ año aproximadamente o que el precio p = w- 50 = 0.00000000000000000000000000000000000000000000000001 € es literalmente imposible. Vemos que el dominio con sentido económico de la función D no es realmente el formado por los pares (r,p) que cumplan r ;::: O y p > O, sino que habría que poner condiciones más finas sobre las rentas y los precios para que sean realmente viables. La relación observada entre precio y renta cerca de cero sólo puede interpretarse como una "tendencia", en el sentido de que para precios muy pequeños la demanda sería muy grande.

• El comportamiento de la función de demanda del ejemplo anterior cerca de cero se expresa matemáticamente así: lím D(r,p) = +oo. p->O+

• En general, la expresión

Con más precisión, dada una función f : D e JRn --+ lR y un punto a E lRn que sea punto de acumulación del dominio D (es decir, que podamos acercarnos a a por puntos de D), se dice que lím f(x) = +oo x~a

lím f(x) = +oo

x->a

se lee "el límite cuando x tiende a a de f (x) es +oo" y significa que podemos conseguir que f (x) sea tan grande como queramos siempre que tomemos x suficientemente cerca de a.

si para todo número M> O existe un t5 > O tal que f(x) > M siempre que llx- all < t5. La definición de límite igual a -oo se obtiene cambiando f(x) > M por f(x) < -M.

• Si esto sucede únicamente para valores de x mayores que a, lo expresamos con x----+ a+ (y se lee "x tiende a a por la derecha"), mientras que si sucede únicamente para valores de x menores que a se expresa con x ----+ a- (y se lee "x tiende a a por la izquierda").

2

42

Ejemplo 10 Considera la función valor de los límites siguientes: lírn f(x),

lírn f(x),

x--->1-

x--->1+


f(x) cuya gráfica muestra la figura y razona a partir de ella el

lírn f(x),

x--->2-

lírn f(x). x-+2+ 10

SOLUCIÓN: En la gráfica se ve que 0.5

lírn f(x)=+oo,

X--->1-

lírn f(x)

x--->2-

= -oo,

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

lírn f(x) = -oo x-+1+

-10

lírn f(x)

x--->2~

= 10.

-20

• Observa que el último límite del ejemplo anterior es finito, y se interpreta corno que cuanto más se parece x a 2 (pero siendo x > 2), más se parece f(x) al valor límite 10. • En general, la expresión Con más preCis!On, dada una función f : D e JRn -------. lRm y un punto ii E JRn que sea punto de acumulación del dominio D, se dice que

Iím f(x) = l

x~a

si para todo número E > O existe un 8 > O tal que IIJ(x) - lil < E siempre que llx- iill < 8.

lírn f(x)

x-+a

=

l

significa que podernos conseguir que f(x) sea tan parecido a l como queramos siempre que tornemos x suficientemente cerca de a. En particular: Si x

~a,

entonces f(:x:)

~l.

Corno en el caso anterior, también podernos distinguir entre límites por la izquierda y la derecha.

La función B(p) = 1000p ln ~ representa los beneficios de una empresa en función p del precio p al que vende su producto.

Ejemplo 11

a) Según la figura, ¿cuál es aproximadamente el máximo beneficio que puede conseguir la empresa? ¿Con qué precio de venta aproximadamente?

15000

B(p) 10{)()()

b) Siempre según la figura, ¿cuál es el precio máximo al que la empresa puede vender su producto sin tener pérdidas? e) Calcula analíticamente dicho precio.

p

d) ¿Está definido B(O)? e) Deduce de la figura el valor de lírn B(p). Interpreta el resultado. p-+O+

SOLUCIÓN: a) Vernos que el máximo beneficio es de unos 15 000 u.rn., que se consigue con un precio ligeramente inferior a las 4 u.rn. b) El beneficio de la empresa se hace cero cuando p alcanza las 10 u.m.

2.3


43

e) Tenemos que resolver la ecuación B(p) =O. Concretamente: 10000 { 1 OOOp =O 1000pln ~ = 0::::;. ln lüp~oo =O La ecuación 1 OOOp = O tiene solución p = O, que claramente no es la que estamos buscando (de hecho, la ecuación ni siquiera está definida en p = O). 10 000 1o000 o 4 ln --=O::::;.--= e = 1::::;. p = 10000 p4 p4 ::::;. p

=

~10000

= 10

Ésta es una situación que puede aparecerte en muchas ocasiones al resolver una ecuación:

Si un producto es igual a O, uno de los factores tiene que ser O. Esto nos permite desdoblar la ecuación en tantas ecuaciones como factores tenga el producto. En este ejemplo tenemos dos ecuaciones alternativas que hay que resolver por separado.

d) B(O) no está definido, porque la expresión que define a B(p) tiene una fracción cuyo denominador se anula en O. e) La figura muestra que lím B(p) =O. Esto significa que, aunque la función de beneficio no p-tO+

está definida para un precio p = O, sí lo está para precios positivos cualesquiera y podemos lograr que se redu~ca todo lo que queramos sin más que fijar un precio lo suficientemente pequeno.

Ejemplo 12 según la función

Una editorial lanzó al mercado una nueva novela cuyo precio en euros ha variado p(t) = 4 + 4e-t, donde tes el tiempo en meses desde el día del lanzamiento.

a) Calcula el precio inicial del libro (en t

=

0).

b) Calcula el precio al que se vendía al cabo de 6 meses.

p(t)

e) Describe la evolución del precio a largo plazo que muestra la gráfica. d) ¿Llegará el precio a ser igual a 4 en algún momento? ]()

e) Calcula el precio al cabo de un año (t el resultado.

=

12). Interpreta

SOLUCIÓN:

a) p(O)

=

4 + 4e 0 = 8€.

b) p(6) = 4+4e- 6 = 4.0099€. Observamos que este precio no tiene sentido literalmente, pues no es posible pagar menos de un céntimo de euro. En la práctica habrá que interpretar este resultado como que el precio fue de 4.01 €. e) La gráfica muestra que, desde que el libro se lanzó a 8€, su precio ha ido descendiendo, pero no hasta valores arbitrariamente pequeños, sino que la tendencia que muestra a largo plazo es hacia un precio de p = 4 €.

2

44


d) Tenemos que resolver la ecuacwn p(t) = 4, es decir, 4 + 4e-t = 4 ~ 4e-t = O ~ e-t = O, pero esto es imposible, pues una función exponencial nunca toma el valor O. Así pues, aunque el precio del libro toma valores tan parecidos como se quiera a 4€, desde un punto de vista puramente matemático la función p( t) nunca llega a tomar el valor exacto 4€.

Conviene que recuerdes que, en general, una función exponencial ax, para a > O, toma exclusivamente valores positivos, es decir, que ax > O tanto si x es positivo como si es negativo.

e) p(12) = 4.0000245€. Naturalmente, esto pone de manifiesto que, desde un punto de vista económico, el precio del libro es prácticamente igual a 4 a partir de un instante dado.

• El comportamiento a largo plazo de la función p(t) del ejemplo anterior se expresa matemáticamente así: lím p(t) = 4. p---++oo

• En general, las expresiones lím f(x)

x---++oo

= l,

o

lím f(x)

x---++oo

=

±oo

significan que la función f se parece cada vez más al límite l a medida que la variable x toma valores más y más grandes (en el primer caso), o que f(x) toma valores cada vez más grandes, si el límite es +oo, o más pequeños (más grandes en valor absoluto, pero negativos) si el límite es -oo. Los límites cuando x--+ -oo se interpretan análogamente.

Ejemplo 13

Considera la función valor de los límites siguientes:

lím f(x), X----t-CX)

SOLUCIÓN:

f(x) cuya gráfica muestra la figura y razona a partir de ella el

lím f(x),

x---++oo

lím f(x).

X---+10

20

En la gráfica se ve que L'

-20

lím f(x)

x____,.-oo

= -20, lím f(x)

x---+10

lím f(x) = -oo

x---++oo

-10

i'

l--'-·-L_'

10

1

1

'

, ~\ '"

= +oo.

Hasta ahora nos hemos preocupado únicamente de los límites en puntos donde las funciones consideradas no estaban definidas. La razón es que, cuando las funciones que manejamos normalmente están definidas en un punto, su límite es simplemente el valor que toman en el punto. Para precisar esta idea conviene introducir la noción de continuidad.

2.3

Gráficas, limites y continuidad

45

Una función f : D e !Rn ----> !Rm es continua en un punto p de acumulación del dominio D si cumple: a) Existe

La definición de continuidad expresa que el valor que toma la función en el punto coincide con su "tendencia", es decir, que lo que vale la función coincide con lo que "parece que va a valer".

f (p).

b) Existe lím f(x). x-+p

U na interpretación alternativa es que para puntos x R::: p obtenemos valores f(x) R::: f(p) o, también, que un incremento .ó.x pequeño a partir de p da lugar a un incremento pequeño .ó.f (p) (.ó.x).

e) Se da la igualdad lím_f(x) = f(p). x-+p

• Aunque la definición de continuidad contiene tres condiciones, es importante tener presente que, para las funciones que manejamos habitualmente, es decir, las formadas por composición de polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos, senos, cosenos, etc., en cuanto cumplen la primera condición (estar definidas en el punto) cumplen automáticamente las otras dos y son continuas. Una función formada por composición de funciones usuales (polinomios, exponenciales, logaritmos, senos, cosenos, raíces, etc.) es continua en todos los puntos en los que está definida.

Ejemplo 14

Calcula lím

10ex- 2 y

(x,y)-+(2,1) X 2

+y 2

.

SOLUCIÓN: La función que aparece en el límite es composición de funciones usuales y está definida en el punto (2, 1), por lo que es continua en dicho punto, es decir, el límite no es más que el valor de la función: 10ex- 2 y lím (x,y)-+(2,1) x 2 + y 2

Ejemplo 15

La función f(x)

senx

,

= - - no esta definida en X

x = O, pero sí en todos los demás números reales, por lo que podemos dibujar su gráfica excepto en el punto O. A la vista de la gráfica, nadie diría que f no se puede calcular en x = O. "Parece" que f(O) = l. Lo que hay de verdad en esto es que lím f(x) =l. Por eso, si definimos

- o

-5

-0.2

x_.O

senx

f(x) =

{

~

si

senx

xi-O,

si x =O,

g(x) =

{

~

si

x i- O,

si x =O,

podemos decir que la función f(x) es continua en x =O, porque el valor que "parece" que va a tomar en O (es decir, 1) es el valor que realmente toma en O, mientras que g( x) es discontinua en O, porque, a la vista de la gráfica alrededor de O, parece que g vaya a tomar el valor 1 en O (es decir, se cumple que lím g(x) = 1), pero g(O) =O. x-+0

2

46

Observa que no podemos decir que "f es continua en IR 2 porque está compuesta por polinomios". Cuando hablamos de "funciones compuestas a partir de otras" queremos decir funciones que resultan de poner "unas dentro de otras", 2 +y, que consta de como In un polinomio dentro de una raíz dentro de un polinomio, pero no incluimos las funciones a trozos.

Jx

2.4

Ejemplo 16


Considera la función x 2 + 2y f(x,y)= { x+y+15

si x :::; y, si x >y.

Puede justificarse que no es continua, por ejemplo, en el punto (0, 0). La idea es que f(O, O) = 02 + 2 ·O= O mientras que, por poco que incrementemos el valor de x, por ejemplo, ~x = 0.001, la función pasa a valer f(0.001, O) = 0.001 + O+ 15 = 15.001, con lo que ~f es siempre grande.

Gráficas y límites de funciones elementales

Conviene que conozcas el comportamiento básico de las funciones usuales con las que trabajamos:

• Funciones potenciales Son las funciones de la forma f(x) = xa. Su comportamiento es muy distinto según cuál sea el exponente a. Destacamos los casos más relevantes: El comportamiento en ±oo en ambos casos es fácil de predecir: Si x > O, entonces xn es positivo, tanto si n es par o impar, por lo que el límite en +oo es +oo en ambos casos, mientras que si x < O, se cumple que xn es positivo cuando n es par (por lo que el límite en -oo es +oo), pero xn es negativo cuando n es impar (por lo que el límite en -oo es -oo).

La gráfica de la función f(x) = xn 1, 2, 3, 4 ... es diferente según que n sea par o

EXPONENTE NATURAL

cuando n impar.

=

n par lím xn

x->+oo

= +oo

• Propiedades de las potencias

on =o n impar lím xn = +oo

J

x->+oo

Observa que (xy)n = xnyn es válido cuando la base de la potencia es un producto, pero no lo es cuando se trata de una suma, es decir, en general

Para n = 2, la fórmula correcta es

1

~

=0 1

n =

1

1

'

lím xn

= -oo

x-----+-c:xJ

• Vemos que el dominio de xn es JR, como ya sabíamos.

2.4

47


EXPONENTE ENTERO NEGATIVO Cuando el exponente es negativo, tenemos que

j

( X ) =X

-n

Para comprender el comportamiento en ±oo de la función 1/xn basta tener presente que

1 = -,

lím xn = ±oo

xn

n-----+±(X)

por lo que ahora la potencia no está definida para x = O, aunque sí que existe el límite en O (y es infinito). El comportamiento de la potencia en este caso es también distinto según que n sea par o impar:

junto con el hecho de que una fracción es más pequeña cuanto mayor es su denominador, por ejemplo: 1

10= 0 "1 '

n par

1

100=0.0l,

1 1 OOOOOO = 0.000001, etc. Por eso, cuanto mayor es x (sin contar el signo), mayor es xn (sin contar el signo) y x-n se parece más a O, por lo que el límite es O, tanto si n es par como si es impar.

lím ---\,- =O

lím ---\,- =O

x------).-oo

x

x---++oo x

n impar

v~rg+

: = +oo ln

lím

Por lo tanto, cuanto más se parece x a O, más se parece xn a O y mayor es x-n (sin contar el signo), por lo que el límite en O es ±oo.

~=O

x---++oo x

• Propiedades de las potencias

Las fórmulas que hemos visto para potencias de exponente natural valen también cuando el exponente es un entero negativo, salvo que hay que exigir que la base sea distinta de O para que estén definidas las potencias. Además podemos añadir la siguiente propiedad sobre cocientes de potencias: xn

n-rn

• Como ya sabemos, el dominio de la función x-n es

{x

E

IR\ x ~ 0}.

1 --100 0.01 '

1 0.00000 1 = 1000000, etc.

x

-=x xm

1 - - = 10 0.1 '

\__X lím ---\,- =O

x----+-oo

Para entender el límite en O hay que tener presente que una fracción es mayor cuanto menor es su denominador (sin contar el signo), por ejemplo:

El signo concreto sí que depende de que n sea par o impar, y a este respecto basta recordar que x-n es positivo siempre que x > O, pero, cuando x < O, se cumple que x-n es positivo sin es par y negativo si n es impar. Por eso, para n impar, el límite por la izquierda en O es distinto del límite por la derecha. En la práctica, puedes recordar resumidamente los límites de los cocientes mediante las relaciones

a

O= ±oo,

a ±oo =O,

donde a es cualquier número distinto de O.

2

48

Observa que el hecho de que y'x no esté definida para x < Ocuando n es par hace que la gráfica no exista a la izquierda de O, mientras que paran impar existe tanto a la izquierda como a la derecha de O. Naturalmente,

se

cumple

que

yD = O, tanto si n es par como

EXPONENTE FRACCIONARIO Consideramos ahora las potencias f(x) = xl/n = y'X, donde n = 2, 3, 4, ... En este caso sabemos que las raíces no están definidas para x < O cuando el índice n es par y, por consiguiente, las gráficas también son distintas según que n sea par o impar.

n par

impar, y cabe destacar que la pendiente de la gráfica es completamente vertical en O.

lím

x-->+oo

Para comprender los límites en ±oo basta tener presente que, aunque y'X es menor que x cuando x es grande, lo cierto es que, a medida que x crece, lo mismo le sucede a y'X, por lo que los límites en ±oo son infinitos. El signo concreto se sigue de que y'X es positiva cuando x es positivo y negativa cuando x es negativo (y n es impar).


1 f-----,,....-Vl.

y'o

=o

\IX= +oo

=1

1

n impar

lím

Podemos resumir este comportamiento mediante la relación

x-->+oo

\IX= +oo

y/±00 = ±oo teniendo en cuenta que los signos negativos sólo tienen sentido si n es impar.

lím Nuevamente debes recordar que la propiedad que permite separar una raíz en dos requiere que el radicando sea un producto, y no es válida cuando es una suma. En general

y'x = -oo

X------*-00

• Propiedades de las raíces

fy=

yíy'

~=x, donde x e y tienen que ser positivas sin es par. • Las dos últimas propiedades expresan que la función \IX es la inversa de xn, es decir, que si partimos de un número x, le aplicamos la función xn y luego \IX (o al revés), volvemos a obtener el mismo número x de partida. • Esto se aplica a la hora de despejar potencias o raíces en ecuaciones: si un miembro de una ecuación es una potencia, podemos pasar el exponente al otro miembro como raíz, y VIceversa:

( ijX + 7) 4 = 20

=?

ijX + 7 =

V26 =? ijX = V26

7 = -4.88 =?

X

= (-4.88) 3 = -116.21.

2.4


49

• Exponencial y logaritmo La función exponencial ex y la función logaritmo ln x tienen las gráficas siguientes:

En general, se llaman funciones exponenciales a las de la forma ax, donde la variable está en el exponente y la base a > O es un número cualquiera, no necesariamente el número e, por oposición a la."> funciones potenciales xa, donde la variable está en la base. La gráfica de ax, para a > 1 presenta las mismas características que la gráfica de ex que muestra la figura.

lím ex= O

Observa que la exponencial es siempre positiva (la gráfica nunca toca al eje x ni pasa a estar por debajo del mismo), mientras que ln x es negativo a la izquierda de 1 y positivo a la derecha de l.

X---*-CX>

lím lnx

x--->+=

= +oo

In e= 1

Advierte también que, como ln x no está definido para números negativos, su gráfica sólo existe a la derecha de O, mientras que la exponencial existe sobre toda la recta.

In 1 =O En la práctica puedes recordar los límites de estas funciones como

lím lnx

x--->0+

= -oo

a+== +oo,

In O+

a-== O, (a> 1)

= -oo, In +oo = +oo.

• Propiedades de las funciones exponenciales

La función exponencial con base a > O se define como ax = ex in a (por eso a las potencias con exponente variable hay que exigirles que la base sea a > O). Si las bases de las potencias son positivas, se cumplen las propiedades siguientes: X

a x-y -=a

aY

(pero en general (a+ b)x-¡. ax

'

+ bx).

• Propiedades del logaritmo

Aunque pueden definirse logaritmos en otras bases, nosotros consideraremos únicamente logaritmos neperianos. Sus propiedades son: ln(xy)

= lnx + lny,

ln(xY) =y lnx, lnex

X

ln y

= ln x - ln y,

= x,

• Las dos últimas propiedades expresan que la función ln x es la inversa de ex, es decir, que si partimos de un número x, le aplicamos la función lnx y luego ex (o al revés), volvemos a obtener el mismo número x de partida.

2

50


• Esto se aplica a la hora de despejar exponenciales y logaritmos en ecuaciones: si un miembro de una ecuación es una exponencial, podemos pasar la exponencial al otro miembro como logaritmo, y viceversa: e3 inx+7 ::::} lnx

= 8::::} 3lnx + 7 = ln8::::} 3lnx = ln8- 7 = ln8- 7 = -1.64::::} x =e -164 · = 0.19. 3

• Para despejar exponentes con base distinta de e tomamos logaritmos en ambos miembros: 1.03

t

,t

= 2 ::::} ln 1.03 = ln 2 ::::} t ln 1.03 = ln 2 ::::} t

• Seno y coseno El número

1r

ln 2 ln 1.03

= --

= 23.45.

es 1r

= 3.141592654 ...

Las funciones sen x y cos x oscilan periódicamente y toman valores entre -1 y 1, como muestra la gráfica siguiente: lím cos x no existe.

lím cos x no existe.

cosO=-= 1

x-->+oo

X------*~00

~'

~

'!_~

-1 1

lím sen x no existe.

lím sen x no existe.

x-->+oo

x---+-oo

• A partir de los límites de las funciones básicas que acabamos de estudiar es fácil calcular límites de composiciones de estas funciones, como mostramos en el ejemplo siguiente: El cálculo puede razonarse así: En el primer límite, la primera operación que le hacemos a x es 1/x 2 y sabemos que si x ---> O, 1/x 2 tiende a 1/0 = oo, y el signo es +oo porque x 2 :0:: O. Después usamos que 2+= = +oo y por último que si sumamos un número (8 en este caso) a una función que se hace cada vez más grande, el resultado se hace también cada vez 2 más grande, luego 2 1 /x + 8 ---> +oo. (En general, se cumple que ±oo +e= ±oo para cualquier número e, positivo o negativo). Por último usamos que {1+00 = +oo. El segundo límite se razona igualmente. La única diferencia es que ahora usamos 2-= = O, que si sumamos 8 a algo que tiende a O el límite es 8, y que si una función tiende a 8, su raíz cúbica tiende a {18 = 2, porque es continua.

Ejemplo 17 lím

Calcula los límites siguientes:

{hl/x 2 + 8,

lím \/2 1/x 5

x-->O-

x-->O-

+ 8.

SOLUCIÓN:

, 1 hm ~

X-->O-

J,l

= +oo::::} lírn

12

21 x =

x-->O-

::::} lím \/2 1/x

2

x-->O-

::::} lím \/2 1/x x-->O-

+ 8 = +oo

5

+8 =

2.

+oo

2.5

51

Problemas resueltos

2.5

Problemas resueltos

l. Una empresa estima que la demanda diaria de su producto depende de su precio p, del precio p' de un bien sustitutivo y de la renta media r de los consumidores. En función de estos datos, la demanda esperada es 1 Jril. D(r,p,p) =2p

(a) Calcula, si es posible,

D(-6, 6, 1) y D( -6, 6, -1). Interpreta el resultado.

(b) Calcula el dominio Do. (e) Escribe el subdominio con sentido económico So. (d) Pon un ejemplo de punto

E JR 3 que cumpla

x = (r,p,p')

SOLUCIÓN:

(a) D( -6, 6, 1)

R - no puede calcularse, porque = 12

no existen las raíces cuadradas de números negativos.

D( -6, 6, -1) =

Y:

= 0.2. La función está de-

finida, pero el resultado no tiene interpretación económica, ya que no tiene sentido que la renta de los consumidores o el precio del bien sustitutivo sean negativos.

(b) Do= {(r,p,p')

E JR3

1

p-::/- O, rp' 2': 0}.

(e) So= {(r,p,p') E lR3 1 r 2': O, p > O,p' > 0}. (d) Sirve como ejemplo el punto considerado en el apartado (a): x = (-6, 6, -1). Hemos visto que D está definida en el punto (es decir, x E Do), pero que el cálculo no tiene sentido económico, (es decir, que x So).

tt

2. Calcula el dominio de la función

f(x, y, z)

=

tt S

0.

Otra situación típica es la de una función ajustada para un rango concreto de sus variables. Así, si nos dan que el beneficio de una empresa ha sido B(t) = 50+ 3t2 en el periodo [O, 3], donde t es el tiempo en años, tenemos que el subdominio con sentido económico es

So = {t E IR O <::: t <::: 3} 1

porque, aunque se puede calcular, por ejemplo, B(7), no se nos asegura que B represente el beneficio de la empresa para t 2 3.

• El denominador de la fracción debe ser -::/- 0:

Vz-::/- O, x

x

Además del caso del problema 1, en el que no tiene sentido considerar precios y rentas negativas, hemos visto también el caso del Ejemplo 9, apartado (h) (página 41), en el que el precio no tenía sentido por ser demasiado pequeño y la demanda no lo tenía por ser dema..'liado grande.

;~:Ji.

• El argumento del logaritmo debe ser > 0:

a la vez

En general, el subdominio con sentido económico de una función que tenga una interpretación en un contexto concreto es el conjunto de puntos donde la función, no sólo se puede calcular, sino que además el cálculo tiene sentido en el contexto considerado.

1

SOLUCIÓN:

ex+

x E Do y

+ y > O,

• El radicando de la raíz cuadrada (índice par) debe ser 2': 0: z 2': O. • La potencia ex con exponente variable tiene base e > O, luego no hay que exigir nada. Por lo tanto:

D = {(x, y, z) E lR3 1 é

+ Vz-::/- 0,

x +y> 0, z 2': 0}.

52

2 En realidad la primera condición es redundante porque é dominio puede simplificarse hasta


> Oy

JZ

2 O, por lo que el

D = {(x,y,z) E JR3 1 x+y >O, z 2 0}. 1.+...!..

3. Calcula el dominio de la función f(x, y)= ln(o\+~+Y)" SOLUCIÓN:

• El denominador de una fracción debe ser # 0: x # O, y'y # O, ln(0.5 + 2x+y) # O, • El argumento del logaritmo debe ser > 0:

0.5 + 2x+y

> O,

2 0: y 2 o, • La base de la potencia con exponente variable 2x+y es 2 >O, luego no hay que exigir • El radicando de la raíz cuadrada (índice par) debe ser nada. Por consiguiente:

D = {(x,y) E lR2 1 x #O, y'y #O, ln(0.5 + 2x+y) #O, 0.5 + 2x+y >O, y 2 0}. Como 2x+y > O, podemos suprimir la cuarta condición. Además, la segunda y la última se pueden combinar en y > O, con lo que queda

4. Calcula el dominio de la función f(x, y, z)

(Vx + ijfj)z

= -'------''---'x+3

SOLUCIÓN:

• El denominador de una fracción debe ser# 0: x

+ 3 #O,

• El radicando de una raíz de índice par debe ser 2 0: x 2 O, • La base de una potencia de exponente variable debe ser

> 0: Vx + ifY > O.

Por consiguiente:

D

= {(x,y,z)

E lR

3 1

x

+3#

5. Calcula el dominio de la función f(x, y, z) =

O,x 2 0, if;r + ifij > 0}.

ln(x + ijfj) . ;¡;Z- y

SOLUCIÓN:

• El denominador de una fracción debe ser# 0: xz- y# O, • El argumento de un logaritmo debe ser > 0: x

+ ijfj > O,

• N o hay raíces de índice par. • La base de una potencia de exponente variable debe ser Por lo tanto: D

= {(x,y,z)

E JR3

1

> 0:

xz- y# O,x + ijfj > O,x > 0}.

;¡;

> O.

2.5

53

Problemas resueltos

= (ln(x/y)

6. Calcula el dominio de la función f(x,y)

+~~:+0l!

<¡tl1

SOLUCIÓN:

/t.)

1

\~ 1

• El denominador de una fracción debe ser #- 0: y #- O. •

\

.. .) .... L>

&Lr~di<;ª~e

r ..

una rálzfie índice par debe ser 2: 0: y 2: O (Esta condición se puede agrupar con la anterior y reducirse a y > o.)

• El argumento de un logaritmo debe ser > 0: x/y > O (Teniendo en cuenta la condición anterior esto puede simplificarse a x > O.) • La base .de una potencia de exponente variable debe ser > 0: ln(x/y) ~~- -~

•M•

--

-------

-

• •

----~-

> •

+ fiX

> O.

\

Por consiguiente:

D = {(x,y)

E IR

2 1

y#- O,~- 2: O, _o//Y> O, ln(x/y) ..

+ ijX >

0},

----·-

o, más simplificado: D

= {(x,y)

E IR

2

1

x >O, y> O,ln(x/y) + ijX > 0}.

7. Calcula el dominio de la función J(x, y)=

(.¡i + ~) 1 n(x-y)+cos(xLy).

1 '7•

'- J

SOLUCIÓN:

• El denominador de una fracción debe ser

i- 0:

x2

-

y

·~

_) )

-

;

";?.

!

i- O.

• El argumento de un logaritmo debe ser mayor que 0: x - y > O. • El radicando de una raíz de índice par debe ser 2: 0: x 2: O. • La base de una potencia con exponente variable debe ser > 0:

Vx + ~ >

O.

Por lo tanto:

D

= { (x,

y,)

E IR

2

1

x 2 -y #- 0 x -y > 0, x 2: 0, yx + ifij > q_h.. •

• 1

•

-

8. Calcula el dominio de las funciones siguientes:

"

.

-

'f-- '(~J

_'j

( x2-3 - -5- ) , f (x,y,z ) = fi+Jj 7 ~1~ z yx-y

•

g(x,y) =

z+ 3

esenxy

+ ijcosx /

SOLUCIÓN:


i- 0:

::¡x-y i- O, z + 3 i- O

• El argumento de un logaritmo debe ser> 0: zx • El radicando de una raíz de índice par debe

2

se~;

-

3 -

z!

2:._ 0: x

3

>O

+ y 2: O

• La base de una potencia de exponente variable deb~ser > 0: z >O

-) /


54

Por lo tanto

D¡ = {(x,y,z) E IR3 1 {/x-y=/:- O,z+ 3 =/:- O,zx

2

3

-

z:

-

3

> O,x+y 2: O,z >O}

o también:

D¡ = {(x, y, z)

E IR

3 1

x-y=/:- O, z + 3 =/:-O, zx

2 -

3

z:

-

3

>O, x +y 2: O, z >O}

Dg=1R2. 9. Calcula el dominio de las funciones siguientes:

f(x, y, z) = {hx- yz

g( x y)

'

xyl+ ~x

/\

+ ln~

<~

.

'

)

-c_~rr'~.¿ , "- +i Va~2 x- - y ,

.

---.

~'-

.

'

.

SOLUCIÓN:

D¡ = JR3 • El denominador de una fracción debe ser =1- 0: ,jx- y+ {lx 2 - y =1- O xY+yX

~

• El argumento de un logaritmo debe ser > 0:

> O

JX=Y+ X -y • El radicando de una raíz de índice par debe ser 2: 0: x - y 2: O

• La base de una potencia de exponente variable debe ser> 0: x >O, y> O

xY +yx ~>O, ,jx- y+ 3 x2- y

D 9 = {(x, y) E IR 2 1 vx- y+ {/x 2 - y=/:- O, X-

10. Sea

f : D e :!Rn ___, :!Rm

y 2:

o, X >o, y> O}

la función dada por

ln(x

2

-

3)

f(x,y)= ( x 2+y 2 , (y-í-1) 1 eompeta:

n=

_D =

m=

---\

'

\

/!

:·,;~ .

2

x,

{/seny

..

·.¡

~ ~<1 /

)

·

~-

SOLUCIÓN: n d"2) m::::;: 3 D = {(x,y) x 2 + y2 =/:- 0,x 2 - 3 >O, y+ 1 > 0}. • El denominador de una fracción debe ser =/:- 0: x 2 + y 2 =1- O, E :!R 2

1

• El argumento de un logaritmo debe ser> 0: x 2

-

3 >O,

• N o hay raíces de índice par, • La base de una potencia de exponente variable debe ser > 0: 11. Sea

f : D e :!Rn ___, :!Rm

la función dada por

((x +y+ z)!nz,

f(x, y, z) = Completa: n 'SOLUCIÓN:

= n

=

m=

3

y+ 1 >O.

z

)

x-~.

D=

m= 2

D = {(x,y,z)

E IR

3 1

x- ijCOSY#- O,z > O,x+y+z >O}

2.5

Problemas resueltos

55

• El denominador de una fracción debe ser • El argumento de un logaritmo debe ser

#- 0:

x - {Ycos y

#- O,

> 0: z > O,

• No hay raíces de índice par. • La base de una potencia de exponente variable debe ser > 0: x +y+ z >O. 12. La figura muestra, para cada x, la probabilidad P(x) de que la edad de universidad tomado al azar tenga edad 2: x. (a) Deduce de la figura qué edad x cumple que la probabilidad de que un alumno tomado al azar tenga menos de x años sea la misma que la de que tenga más de x años.

u~

estudiante de cierta

1

l.flj-

P(x) O.H

0.6

0.4

(b) Deduce de la figura el valor de los límites

0.2

lím P(x).

lím P(x),

'.

x->+oo

X----4--CXJ

'1

-10

,--·-r··--j

''

10

20

30

4()

¿Es razonable el resultado? SOLUCIÓN:

(a) Nos preguntan para qué valor de x las probabilidades de tener más y menos de x años son ambas del 50%, es decir, de 0.5, y en la gráfica se ve que esto sucede cuando X= 20.

(b) Claramente lím P(x) = 1,

lím P(x) =O. Esto significa que la probabilidad de

x->-oo

x->+oo

que la edad de un universitario sea mayor o igual que un número muy pequeño (y, con mayor razón, un número negativo) es prácticamente 1, mientras que la probabilidad de que su edad sea mayor o igual que un número muy grande es prácticamente nula.

13. Calcula los límites siguientes:

' hm

10

x->+oo 2ln x

+5

'

-3,

10

llm x-.o+ 2lnx

+5

-3.

SOLUCIÓN:

lím ln x

x->+oo

= +oo

lím 21n x

x->+oo

lím ln X= -oo

= +oo

lím 2lnx =O

x-.o+

x-.o+

'

10

llm x->+oo 2inx ' llm

+5

-3

= -3

10

x-.o+ 21n x

+ 5 -3=-1


a)

lím 7 +e 3 -x

b)

!)

e)

i)

2

X-----+-CX)

lím

x-.o+

lím 6 - 2e 1 /t t-.o+

lím

3

--;¡¡;===; -

t-.o+ ~

4

j)

lnx x- 2

e)

g)

lím 2- {/ln(x- 5)

x--.5+

1 lím lnx3

x->+oo

lím

x-.o-

V4+e~

d)

lím 2vx X-----+-(X)

h)

lím 3- 2iflñt t-.o+

2

56


SOLUCIÓN:

(a)

lím 7 x-----+-oo

+ e 3 -x = 7, 2

porque x 2 -----+ +oo, luego 3 - x 2 -----+ -oo, luego ,

é-x 2

-----+ O.

lnx

(b) l nn - - = +oo, x--->0+ X -

2

porque lnx-----+ -oo y x- 2-----+ -2, luego el cociente (al ser el numerador y el denominador negativos) tiende a +oo.

(e)

lím ln _!__

porque

(d)

x3

x--->+=

= -oo

:1 = o+.

lím

x--->+= x

lím 2Vx" =O X----+-00

porque (e)

lím

x----+-oo

' ijX = -oo.

lím l = -oo =? lím e 1 /t = O =? lím 6 - 2e 1 /t = 6 - 2 · O = 6. t--->O- t t--->Ot--->O-

(f) lím t--->0+

i

= +oo =? lím e 1/t = +oo =? lím 6- 2e 1/t = -oo. t--->0+

t--->0 t

45

J + e X5 =

4

4

(g) lím ~ = - oo =? lím e x = O =? lím 4 + e X5 = 4 =? lím x--->O- x

x--->O-

x--->O-

4

x--->O-

2.

(h)

lím lnt = -oo =? lím t--->0+ t--->O+

0nf =

-oo =? lím 2lflllt =O=? lím 3- 2~ = 3.

(i)

lím ln t = -oo =? lím t--->O+ t--->0+

0nf =

-oo =? lím 3 ~ = O =? lím

(j) lím

X-

t--->0+

t--->O+

t--->O+ v In t

t--->O+

b -4=

v3 In t

-4.

5 = 0+ ::::} lím ln(x- 5) = -oo =? límx--->5+ {/ln(x- 5) = -oo::::}

x--->5+

x--->5+

lím 2- {/ln(x- 5) = +oo.

X--->5 t

15. Considera la función f(x)

3Vx"

= 2 + el/x.

1"

(a) Deduce de la gráfica los valores de los límites lím

x--->-CXJ

f(x),

lím f(x),

x--->0+

lím f(x),

x--->O-

lím

x--->+CXJ

f(x). -4

'

-2

(b) Comprueba analíticamente que los límites son los que has deducido de la gráfica.

f(:r)

2.6


57

SOLUCIÓN:

(a) En la gráfica se observa que lím f(x) = 2,

lím f(x) = +oo,

x->-CXJ

(b)

x--->0+

lím f(x) = +oo.

x->+CXJ

lím 1/x =O::::} lím e 11x = e0 = 1,

lím ijX = -oo::::} lím 3 VX =O, x~-oo

lím f(x) = 2,

x->O-

x-----+-oo

x~-oo

x-----+-oo

luego

3Vi o lím 2 + = 2 + - = 2. e 11 x

x->-CXJ

lím 1/x = -oo::::} lím e 11x =O,

lím ijX = O ::::} lím 3 VX = 3° = 1,

x--->0-

1

x->O-

x->O-

x->O-

luego

3VX

lím 2 + -

lím 1/x = +oo::::} lím e 11x = +oo,

lím ijX = O ::::} lím 3 VX = 3° = 1,

x--->0+

x--->01

x--->01

= +oo.

e 11 x

x->O-

x--->0+

luego

3Vi lím 2 + ----¡:-¡ = 2 + O = 2.

x->O+

e

x

lím ijX = +oo ::::} lím 3 VX = +oo,

x->+CXJ

x->+CXJ

lím 1/x =O::::} lím e 11x = e 0 = 1,

x->+=

x->+CXJ

luego

3VX

lím 2+ - - = +oo.

x->+CXJ

2.6

el/x


l. Calcula el dominio de las funciones siguientes:

x 1n Y sen _jj_

f(:r,y)

=

J5x + ~'

g(u,v,w)=ln (

_ , 5 {! pq- qr 4 -e s 4 , h,(p, q, r, s ) -sen

k(a,b)=(a

y'UTI-

\lv-

(cosw )+ u 3

Vb

a

1)

,

4

+1'b+ ,ln(a +7)). 3

2. Considera las funciones siguientes:

f(x, y, z) = 30 + xy 2

-

zy- 2 ,

uv 2 + v 6 g( u, v) = v + u , 3

h(r,s,t) = (r+s 4 ,st+3,rst-3rt 2 ,t), F(u,v,w)=u+5v-w,

p( w) = 3w 4

-

2w + 5,

P(m,n) =4m3 n-2m+7m 2 n 5 ,

3 G(x,y)=(5x+2y) 2 +-,

H(p,q,r)=8,

X

R(x, y, z, w) = {15x- 3y + z + 2w,

S(x, y, z, w) = ~x- 3y + z + 2w.

(a) Indica cuáles son polinomios y cuáles no lo son. En caso de que no lo sean explica por qué.

2

58


(b) De entre todas las funciones sólo hay una que es lineal. Indica cuál cs. (e) Calcula sus dominios. (d) Particulariza para cada una de ellas la expresión

f :D e

ffi.n

------+

ffi.rn.

3. Consideremos de nuevo la función del problema 1 de la página 27:

15r D(r,p) = - - r 2 1/mes, p que representa el consumo de cerveza en función de la renta r de un consumidor y del precio p del litro de cerveza. Los valores actuales son p = 2 € y r = 2 miles de €. La figura muestra las gráficas de las funciones D(r, 2) y D(r, 3) (o, como dicen los economistas, dos gráficas de D como función de r "ceteris paribus"):

D

14

12 10

4

r

(a) Razona qué curva corresponde a D(r, 2) y cuál a D(r, 3). (b) Determina si el número de litros consumidos aumentará o disminuirá si el consumidor pasa a tener una renta de 4000€.

(e) Si el precio es de 2 u.m., ¿qué renta daría lugar al mayor consumo mensual de cerveza aproximadamente? ¿Cuántos litros consumiría aproximadamente con dicha renta? (d) Determina si, en caso de que, partiendo de los valores iniciales (r,p) = (2, 2) la renta pase a ser de r = 2.5 u.m. y el precio pase a p = 3 u.m., el consumo de cerveza aumentará o disminuirá. (e) Un bien se dice normal si cuando los consumidores tienen más renta aumentan el consumo, y se dice inferior en caso contrario. Rawna a partir de las gráficas si la cerveza es un bien normal o inferior para nuestro consumidor. (f) Calcula la función D(2,p). (g) Calcula lím D(2, p) e interpreta el resultado. ¿Depende el resultado de que la renta p--+O+

actual sea precisamente r

= 2?

4. A partir de un estudio econométrico, un economista ha construido una función que se ajusta a la cantidad mensual de un bien que consume cada individuo de una población en función de su nivel de renta. La función resulta ser

D(r)

20) ln 2 ( 10-----:;:200) . = ( 1--:;:-

''

50

100

ISO

1

2(X)

'''

1'

250

300

350

400


59

(a) Comprueba que el dominio de D es el conjunto Do una interpretación económica? (b) ¿Está definida la función D para r

= {r

IR 1 r > 20}. ¿Tiene esto

E

= 20?

(e) A la vista de la gráfica, ¿tiene sentido hablar de la demanda del producto cuando la renta es de 20 u.m.? (d) ¿Cómo expresarías el apartado anterior matemáticamente?

(e) ¿Qué cabe suponer que sucede con los consumidores cuya renta es menor de 20 u.m.? (f) Deduce de la gráfica el valor aproximado de lím D(r). Interprétalo. r-->+oo

(g) Calcula el límite del apartado anterior.

f(x)

40

:m

5. A partir de la gráfica, determina los límites siguientes:

20 10

' -20

lím f(x), x-->-oo

lím f(x), x-->0

lím f(x) X-->2Q-

lím f(x), x-->20+

lím f(x), x-->60

lím j(x) x-->+oo

/~--

í'

' 40

20

'

' 60

80

' HX)

-lO -20

1


t4 lím - - 5 t--->-00 3 ' lím c 2 1t t--+O+

' 1 lliD 3 h--++oo ln (h 2 + 2)

lím 2 + ij4 - 2x , x--+~CX)

3

'

lím ln x--++oo

~, X

lím(y2- 1)-2/3.

,

Y--' 1

Dominios 7. Calcula el dominio de las funciones siguientes y particulariza para cada una de ellas la expresión j : De !Rn _____. !Rm:

- Jx + 3y + ln(xz-y) J(x, y, z)-

e

x-5y

'

P(a,b,c,d) =

a

2

V'a b

+

2

+1

8. Calcula el dominio de las funciones siguientes:

(x

+ y)3/4

Jx2

x-y \lx- y2 {lx3- 2y '

1

x2

+ y2

+ y2,

2x/y'Y

senx x3+y3'

x2 y '

'

esenxy

'

sen

(y2)x, 1

x2

+ y2'

xln(x +y+ 1) x2 + y2

f(x,y) = (x2

+ 2y3)-3,

2

60 t

L(x, y)= x- 2 cosxy,

f(m,n) =3m 2

r(t)-- t+ 1' 2mn + 7,

-

s(p, q, r)


= (xln(y+z),e 11Y,x+y2 -3z),

h(x,y,z)

p(u,v) = (vu + v, lnu), 1

= (p + q) n r,

f(x, y)

=

T(u,v) = 2 sen(x - eY).

v;:;;¡:;,

Límites 9. Calcula los límites siguientes: 1) 4)

7)

10)

l'l i D -1t-+O- 5t 3

16)

3)

lím e-2m+ 3 m-++oo

x~-oo

lím 3- 5z - 100

z---+-oo

lím ln4 (1 -y) y-+13 lím V1- 2a

a-----+-oo

1 lím ( 3 - t-+Ot2

13)

x5 lím 2+4

2)

y/

lím 5- 2/t t-+O+

6)

lím ln(1- y) y-+1-

8)

lím V1- e- 5 k k-+O+

9)

lím {lln( s - 7) s-+7+

11)

lím 5 -ln(x 2 - 4) x-+2+

14)

lím t-+O-

17)

lím 4s- 3 + s- 1 s-++oo

3

lím ln(Tr- 6)

r---+-oo

5)

(

1 ) -1/:3 3 - -2 t

12)

l'l i D 1b-+2+ 2- b

15)

1 lím cosz-++oo z

18)

, X-3 hm - x-+O+ X+ 1

10. Razona el valor de los límites siguientes: 1 lím , x-+O+ 2000 + 2e- 11 x

2 lím 3 - l n - x-++oo x+5 40

11 30

11. Razona el valor de los límites siguientes: lím 5 + t-+-oo

J

3 1+ 2 et

,

JI

10+-(1_) , In t-2 . l 1m e t-+2+

_ _ _ _ _ _ _ _/

-3

20 ]()

1

\f(x)

~

+!~-

-2

!

12. A partir de la gráfica, determina los límites de la función f en los puntos -1, 1, 2 y 1/2.

1

3

-10

l(

-20

!¡

-301

Gráficas 13. Una fábrica produce diariamente q toneladas de detergente en polvo. El coste de la producción depende de q según la función C(q)

=

q3

-

9q 2

donde q es el nivel de producción diaria. toneladas.

+ 36q + 20,

u.m.

El nivel de producción actual es de q

2

61

2.6 Problemas propuestos 120 100

(a) Calcula el coste de la producción actual. (b) Si la empresa aumenta su nivel de producción, ¿es de esperar que el coste aumente o disminuya? (e) Comprueba tu conjetura calculando ~C(l)(l) y ~C(2)(1). Interpreta ambos resultados. (d) De las dos gráficas representadas en la figura, una corresponde a la función C (q). Ra:zona cuál es. (e) ¿Cuándo crece más lentamente el coste, para producciones pequeñas, medias o grandes? (f) Calcula lím C(q) e interprétalo. q->+oo

(g) En el apartado (e) has podido comprobar que el coste de producir una tonelada más de detergente no es siempre el mismo o, dicho de otro modo, que no todas las toneladas producidas tienen el mismo coste. Por ello es razonable calcular el coste medio de la producción (lo que cuesta de media cada tonelada producida), que es CMe(q)

C(q)

= - - = q2 q

-

9q

20

+ 36 +q

u.m.jt.

Calcula el coste medio actual e interprétalo. (h) La otra gráfica que aparece en la figura es la de la función CMe(q). A partir de ella explica cómo se comporta el coste medio al aumentar la producción: ¿aumenta, disminuye, o depende? (i) Expresa matemáticamente el comportamiento del coste medio que observas en la figura para producciones q próximas a O. (j) ¿Cuál es aproximadamente, según la gráfica, la producción para la que el coste medio es el menor posible? 14. Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto tecnológico para el cual no tiene competencia. Así que puede fijar el precio p que considere más conveniente. Un estudio de mercado indica que la demanda diaria del producto vendrá dada aproximadamente por la función D (p) = 1 000 000 . p2

62

2

Funciones de varias vari.ables

El coste unitario de fabricación es de 20 €, y además hay un coste fijo de 2 000 €. (a) Calcula la función de beneficios diarios de la empresa B (p) en términos del precio de venta p (entendiendo que la cantidad diaria q que fabricará la empresa es la demanda esperada).

10500 10000

B(p)

9500 9000 8500

(b) Calcula el precio mínimo Po y el precio máximo Pl a los que puede vender la empresa su producto para obtener beneficios (los que cumplen B(p) = 0).

8000 30

40

50

60

(e) Según la figura, ¿a qué precio le conviene a la empresa vender su producto? 15. Consideremos de nuevo la función de demanda del producto X del problema 6 (pág. 29): 1

D(r,p,p) =

Vril 2P'

donde p es el precio de X, p' el precio de un bien sustitutivo y T es la renta de los consumidores. Supongamos que la renta de los consumidores permanece fija en r = 36 u.m. La figura siguiente muestra las gráficas de las funciones D(36,p,p') para p' = 1, p1 = 2 y p' = 3. D4 3.5

2.5

p' = 3 p' = 2 p' = 1

1.5

0.5

4

p

(a) Calcula las tres funciones, D(36,p, 1), D(36,p, 2) y D(36,p, :~). (b) A la vista de las gráficas, si el precio p' se mantiene constante y p aumenta, ¿qué le sucede a la demanda, aumenta o disminuye? Interpreta la respuesta. (e) A la vista de las gráficas, si el precio p se mantiene constante y p' aumenta de 1 a 2 o de 2 a 3, ¿qué le sucede a la demanda, aumenta o disminuye? Interpreta la respuesta. (d) Calcula lím D(36,p, 2) y p-+0

lím D(36,p, 2). Interpreta los resultados.

p-++oo

(e) Señala en la figura el punto inicial y el punto final del incremento ~D(36, 2, 1)(0, 1, 2). ¿Cómo será este incremento según la figura, positivo o negativo? (f) Calcula analíticamente el incremento del apartado anterior y comprueba que su signo es el que muestra la gráfica.

2.6


63

16. El ahorro mensual de un cierto trabajador viene dado por la función

A(r,p, l )

=

r

p2 l

+l

2

€,

donde r es su salario, p un indicador del precio de los artículos de primera necesidad y l un indicador del precio de los artículos de lujo que interesan al trabajador. Actualmente, el trabajador cobra 2 400 € mensuales y los indicadores son p = 4 y l = 3. (a) La gráfica muestra el ahorro en función del para los valores actuales de r y p. Escribe dicha función y representa el punto que corresponde a la situación actual. (b) A la vista de la gráfica, indica sin hacer cálculos el signo de Ll¡A(2400, 4, 3)(1) y Ll¡A(2400, 4, 3)(5). Razona tu respuesta.

A

2lX)

ISO

llXl

50

'

4

'

6

'

10

17. La cotización en bolsa de las acciones de una empresa durante el último año ha sido la dada por la función C(t) = 15 + 5 sen(2t + 3)

+ t cos t + sen(30t),

donde tes el tiempo en meses, de modo que el año empieza en t = O. (Así, 1 día= 1/30 mes. Un año financiero tiene 360 días.) La figura muestra la gráfica de la función C(t): 35

(a) Calcula el dominio de C y el subdominio con sentido económico. (b) Calcula la cotización inicial y la cotización final de las acciones en el año considerado. (e) ¿Cuál hubiera sido el mejor momento para invertir en ellas? ¿Y el peor? (d) Si hubiéramos comprado acciones el1 de abril (t = 4), ¿hubiera sido rentable venderlas tres días más tarde? Calcula el incremento LlC correspondiente.

2

64


Cuestiones 18. ¿Qué es el dominio de una función?

19. ¿Qué significa

f :D e

IR4

----->

IR2 . Por un ejemplo concreto en el que

D = {(x,y,z,w) E IR4 1 x-::/= 0}. ¿Cómo se lee esto último? 20. Si f(u, v) = 5 + u/v, explica qué le sucede a f en el punto (5, 0). Relaciona tu respuesta con el dominio de f.

21. ¿Por qué el dominio de f(x,y)

= eX+Y es IR2 y no {(x,y)

E IR2

1

e> O}?

22. Razona sin usar la calculadora si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas:

(a) e- 5 > O, (b) ln 10 >O, (e) sen 5 000 > 5, (d) ln(O.Oül) >O, (e) ln( -2)
(i)

V=I5 o.

3

Composición de funciones

Vamos a estudiar ahora una situación muy frecuente: tenernos una magnitud que puede calcularse a partir de otras magnitudes, y éstas a su vez pueden calcularse a partir de otras. En tal caso la magnitud inicial puede calcularse a partir de las últimas, a través de una nueva función llamada composición de la.•.; funciones dadas.

3.1

Definición y ejemplos

Ejemplo 1 La demanda de una empresa D está en función de los precios PI y P2 a los que vende sus dos artículos. A su vez, la empresa fija estos precios en función de los precios qi y q2 de las materias primas que emplea en su fabricación. Digamos que D(pi,P2) = 50/(PlP2), donde a su vez PI = ~{q¡ + q2, P2 = qi + 2q2. Aquí tenernos una función D que depende de las variables Pl y P2, las cuales a su vez dependen de las variables qi y q2. Conviene representar estas dependencias mediante diagramas en forma de árbol corno el que se muestra a la izquierda. En este contexto tiene sentido calcular la función compuesta de las funciones dadas, que es la función D(q1, q2) que nos da la demanda de la empresa en términos de los precios qi y q2 de las materias primas. En este caso

En la práctica, calcular una composición de funciones se reduce a sustituir unas funciones en otras. Es muy importante no confundir la función D(p¡,pz) con la función compuesta D(q1, qz). Es frecuente que se use el mismo nombre para ambas (en este caso D), y entonces se distinguen por las variables.

En otros términos, podemos considerar que tenernos una función f : IR 2 ----> IR 2 dada por

f(q¡,qz) = (3q¡ +qz,q¡ +2qz)

Ejemplo 2 El beneficio de una empresa viene dado por la función B(D,p) = {fi5Pi, donde D es la demanda de su producto y p el precio de venta. Por otra parte, se estima que la demanda depende del precio de venta según la relación D(p) = lOOOjp. a) Calcula la función compuesta indicando su nombre.

y otra función g : IR 2 ----> IR dada por g(p¡,pz) = 50/(p¡pz). Entonces la función compuesta se representa también por

(g o f)(q1, qz) = g(f(q1, qz)), pero nosotros no usaremos esta notación.

b) Explica la diferencia de interpretación entre la función B(D,p) y la función compuesta. e) Calcula B(2) e interpreta el resultado. d) Calcula B(800, 2) e interpreta el resultado. todos los datos del problema?

¿Tiene sentido económico teniendo en cuenta

SOLUCIÓN:

a) La función compuesta es

B(p) = 3~ ¡r = {/lOOOp = lüif¡J.

Vp.

65

Aunque no lo pida explícitamente el problema, conviene hacerse el esquema de la dependencia entre las variables:

3

66


b) La función B ( D, p) calcula el beneficio de la empresa para cualquier demanda posible D y cualquier precio posible p, mientras que B(p) determina el beneficio de la empresa para cualquier precio p y para la demanda D correspondiente a dicho precio. e) B(2) = 10ij2 = 12.6 u.m. Esto significa que si la empresa vende su producto a un precio p = 2 u.m., su beneficio será de 12.6 u.m. teniendo en cuenta que la demanda será la correspondiente a dicho precio. d) B(800, 2) = {/'800 · 22 = 14. 73. Esto significa que si la empresa vende a un precio p = 2 u.m. y tiene una demanda de 800 u.p. su beneficio será de 14.73 u.m., pero esto no tiene sentido según los datos del problema, pues acabamos de ver que el beneficio que corresponde a un precio de 2 u.m. no es de 14.73, sino de 12.6 u.m., y esto se debe a que, para p = 2, la demanda que tendrá la empresa no será de 800 u.p., sino D(2) = 1000/2 = 500 u.p., lo cual se tiene en cuenta en el cálculo de la función compuesta.

Ejemplo 3 Dadas las funciones

f(x,y,z)

= x 2 ylnz,

x

= uv,

calcula la función compuesta indicando su nombre.

SoLUCIÓN: Tenemos la situación que se indica en el árbol. La función compuesta depende de u, v, y, t, luego es

3.2

Problemas resueltos

l. Un carpintero usa planchas de madera para producir dos clases de piezas, grandes y pequeñas. Si produce x piezas grandes e y piezas pequeñas sus beneficios vienen dados por la función B(x, y) = 8x + 2y. Ahora bien, las piezas pequeñas las fabrica a partir de los restos de las planchas que dejan las grandes, por lo que, si fabrica x piezas grandes, con los restos puede producir exactamente y= 3x + 2 piezas pequeñas. (a) Calcula la función compuesta de las dos funciones dadas (indicando su nombre). Observa que, del mismo modo que para calcular B(x) ponemos la función y(x) "dentro" de B(x, y), la interpretación de B(x) es la que resulta de incluir la interpretación de y( x) ("piezas pequeñas que pueden fabricarse con los restos de las grandes") dentro de la interpretación de B(x,y), con lo que B(x) es "el beneficio obtenido cuando se fabrican x piezas grandes y las piezas pequeñas que pueden fabricarse con los restos de las piezas grandes"

(b) Calcula B(10) e interpreta el resultado. (e) ¿Tendría sentido calcular B(10,50)? ¿Por qué?

SOLUCIÓN: a) La compuesta de B(x, y)= 8x+2y e y= :h+2 es B(x) = Sx + 2(3x + 2) = 14x + 4. b) B(lü) = 14·10+4 = 144. Si se producen 10 piezas grandes y las piezas pequeñas que pueden producirse con los restos de madera, el beneficio es de 144 u.m. e) No tiene sentido, porque cuando se producen x = 10 pie~as grandes, con los restos de madera sólo se pueden producir y = 32 piezas pequeñas, por lo que no tiene sentido plantearse el beneficio de producir 10 piezas grandes y 50 pequeñas.


67

2. El coste de producción de una empresa depende del tiempo t (en años) y de los precios de sus dos materias primas principales, p y q: C(t,p, q) = 100(p + q)0"+4. Ahora bien, dichos precios aumentan con el tiempo, según las relaciones p = 4 + O.lt, q = 6 + 0.2t. (a) Calcula la función compuesta (indicando su nombre). (b) Calcula los precios en la actualidad (cuando t

=

0).

(e) Calcula C(5, 4, 6) y C(5). (d) Explica la diferencia de interpretación entre ambos resultados e indica cuál será el coste de la producción dentro de 5 años. SOLUCIÓN:

a) C(t) = 100(4 + O.lt

+ 6 + 0.2t)~t + 4 = 100(10 + 0.3t)~t + 4 = (1000 + 30t)~t + 4. b) p(O) = 4 + 0.1 ·O= 4 u.m., q(O) = 6 + 0.2 ·O= 6 u.m. e) C(5, 4, 6) = 100( 4 + 6) 0) = 1151.85, C(5) = (1000 + 30 · 5) 0) = 1784.62. d) C(5, 4, 6) sería el coste de la producción dentro de 5 años si los precios p y q de las materias primas se mantuvieran en sus valores actuales, mientras que C(5) es el coste dentro de 5 años teniendo en cuenta la variación prevista para los precios. Por lo tanto, el coste dentro de 5 años será C(5) = 1784.62 u.m. 3. Dadas las funciones T( u, v, w) = {/ u 2 vw, u = t 2 , v = 8t, w = t, (a) Calcula la función compuesta. (b) Calcula T(2, 2, 2) y T(2). SOLUClÓN:

a) T(t) = {/(t 2) 2 · 8t · t = ij8t6 = 2t 2. b) T(2, 2, 2) = {/22 · 2 · 2 = 2.52.

T(2) = 2 · 22 = 8.

4. La demanda diaria de un producto X viene dada por la función

' D(r,p,p)

= Jr3 +p'r2 2 p

,

donde r es la renta media de los consumidores, p el precio de venta del producto y p 1 el precio de un artículo de la competencia. Actualmente, la renta media de los consumidores es de 500 u.m., el precio de X es de 3 u.m. y el de la competencia es de 4 u.m. (a) Determina el dominio de la función D y el subdominio con sentido económico. (b) Calcula la demanda actual de X. (e) Escribe la expresión que representa el incremento de demanda que se produciría si el precio de la competencia pasara a igualar el precio de X. Calcula dicho incremento e interpreta el resultado. (d) ¿Cómo se vería afectada la demanda si tanto la renta media de los consumidores como los dos precios cayeran un 50%? Calcula el incremento correspondiente (escribiendo su expresión completa) e interpreta el resultado.

3

68


(e) ¿Cuánto tendría que aumentar el precio de la competencia para que la demanda de X pasara a ser de 1250 unidades diarias? (f) La competencia tiene la política de ajustar su precio al de X de modo que p' (p) = p + l. Calcula la función compuesta de ésta y la función del enunciado (indicando su nombre). (g) Explica la diferencia de interpretación entre D(r,p,p') y la función compuesta que acabas de calcular. Teniendo en cuenta la información del apartado anterior, ¿tendría sentido calcular D(500, 3, 3)? SOLUCIÓN:

(a)

• El denominador de una fracción debe ser#- 0: p 2 #-O, que se puede simplificar a p -1- o. • No hay logaritmos. • El radicando de una raíz de índice par debe ser ~ 0: r 3 + p'r 2 ~ O • No hay potencias con exponente variable. Por lo tanto el dominio es

Do= {(r,p,p') E IR3 1 p #-O, r 3

+ p'r 2

~ 0}.

El subdominio con sentido económico será: D1

= {(r,p,p')

E IR

3

1

p #-O, r 3

= {(r,p,p')

E IR

3

1

+ p'r 2

~O, r ~ O,p > O,p' >O}

r ~ O,p > O,p' > 0}.

(b) D(500,3,4)=1247.22. (e) ~p'D(500,3,4)(-1) = D(500,3,3)- D(500,3,4) = 1245.98-1247.22 = -1.24. Cuando, a partir de una renta de 500 u.m., un precio p = 3 y un precio de la competencia p' = 4 éste último desciende una unidad hasta igualar a p, la demanda desciende en 1.24 unidades de producto.

(d) ~D(500,

3, 4)( -250, -1.5, -2) = D(250, 1.5, 2) - D(500, :3, 4) = 1 763.83- 1247.22 = 516.61.

Si, partiendo de una renta r = 500 y unos precios p = 3, p' = 4 las tres variables se reducen un 50%, la demanda aumenta en 516.61 unidades de producto. (e) Resolvemos la ecuación D(500, 3,p') = 1250:

V5003 +9 p'5002 =

1 250 :::::} j125 000 000 + 250 OOOp' = 11 250

:::::} 125 000 000 + 250 OOOp' = (11250) 2 = 126 562 500 :::::} 250 OOOp' = 126 562 500 - 125 000 000 = 1562500 :::::} p' = Por lo tanto, el incremento de p' es ~p1 = 6.25 - 4 = 2.25.

2

~~~ ~~~

= 6.25.

69


(f) D(r,p) =

Jr 3 + (p + 1)'r2 p2

(g) D(r, p, p') es la demanda del producto para una renta y unos precios cualesquiera, mientras que D(r,p) es la demanda del producto para una renta cualquiera, un precio p cualquiera y el precio p' ajustado al precio de p teniendo en cuenta la política de precios de la competencia. No tiene sentido calcular D(500, 3, 3) porque sería la demanda del producto si el precio de la competencia fuera igual al precio del producto p = p' = 3, y sabemos que el precio de la competencia nunca será igual a p, sino que siempre será una unidad mayor.

3.3


l. La función de beneficios de una empresa es B(I, e) = I- e, donde I son sus ingresos y sus costes. A su vez, los ingresos vienen dados por I(p, q) = pq, donde pes el precio de venta de su producto y q la cantidad producida, y la función de costes es

e

e(q) = q2

+ 2q + 16.

(a) ¿Cómo se llama la función compuesta de las funciones dadas? Calcúlala y determina su valor para (p, q) = (20, 10). Interpreta el resultado. (b) Veremos más adelante (problema 5 pág. 134) que, si la empresa no puede influir en el precio de mercado p, el máximo beneficio lo consigue determinando su producción según la función de oferta q = S(p) = (p- 2)/2. Calcula la función compuesta B(p) e interprétala. (e) Explica la diferencia de interpretación entre las funciones calculadas en los dos apartados anteriores. (d) Calcula B(20) e interpreta el resultado. Explica la diferencia con el beneficio calculado en el apartado (a). (e) Determina el precio de cierre de la empresa, es decir, el precio de mercado para el cual sus beneficios son nulos (y por debajo del cual son negativos). 2. Calcula la composición de las funciones

f(x,y,z) = Jx 2 y+z,

y(p, q)

= p- q,

Calcula f(1, 2, 7) y f(1, 3). 3. Una empresa planea sacar al mercado un nuevo producto cosmético. Un estudio de los costes indica que el precio de venta más adecuado viene dado por p = 30 + 12c, donde O ::::; e ::::; 1 es un índice que mide la calidad del producto. Por otra parte, un estudio de mercado prevé que la demanda diaria del nuevo producto vendrá dada por la función

D(p,c)

= 60000c .

..¡p

3

70


(a) Obtén la función c(p) que determina la calidad que debe tener el producto para que su precio de venta pueda ser p. (b) Calcula la función D (p) e interprétala. Explica la diferencia de interpretación entre D(p, e) y D(p). (e) El plan inicial de la empresa es lanzar el cosmético con un precio p = 36 €. Estudia si aumentar este precio inicial en 2 € produciría un aumento o una disminución en la demanda esperada. Calcula para ello el incremento adecuado fl.D. Escríbelo correctamente. (d) Interpreta el resultado obtenido en el apartado anterior. (e) Calcula el precio al que debe lanzarse el cosmético para conseguir una demanda de 6 000 unidades diarias. ¿Cuál tendría que ser su índice de calidad? 4. La función de beneficios de una empresa es B(p, D) = lOOOp ln D, donde pes el precio al que vende su producto y D es su demanda. Por otra parte, la demanda depende del precio según la relación D (p) = 1O000/p4 . (a) Calcula la función compuesta B(p) y explica la diferencia de interpretación entre B(p, D) y B(p). (b) Calcula B (5) e interpreta el resultado. (e) Calcula B(5, 20). ¿Tiene sentido económico el resultado? Si es así, ¿cuál? 5. Una industria química fabrica un producto a partir de tres materias prima.'>. Cuando emplea x toneladas de la primera, y toneladas de la segunda y z litros de la tercera, la producción que obtiene es la dada por la función

Q(x,y,z) = x 2 JY + z 2 . No obstante, para que el producto tenga las propiedades deseadas es necesario que las cantidades empleadas de las dos primeras materias primas respeten la proporción y= 4x. (a) Calcula la función compuesta (indicando su nombre) y explica la diferencia de interpretación respecto de la función de producción dada. (b) Calcula Q(l, 2) e interpreta el resultado. 6. Un consumidor puede adquirir tres bienes en cantidades x, y, z, y la utilidad que consigue con cada posible compra viene dada por la función

U(x, y, z) = ijXYZ. Los bienes son complementarios, de modo que por cada unidad que adquiere del segundo artículo necesita 3 del primero y 9 del tercero (es decir, x = 3y, z = 9y). (a) Calcula la función compuesta (indicando su nombre) y explica la diferencia de interpretación respecto de la función de utilidad dada. (b) Calcula U(2) e interpreta el resultado.

3.3


71

7. Calcula la composición de las funciones indicadas. Escribe el nombre de la función compuesta en cada caso y simplifica su expresión en la medida de lo posible. u= x 2y 5z,

(a) f(n, v) = njv,

v

=

xyz 6 .

n = x2y5 + x5y2z3, v = x2y5z. = ujv, X = p3 q, y = p2 + q2. (e) f(x, y, z) = x 2yz, S = 'IL1V2' t = 'IL2 + V2. (d) P(s, t) = JS + Jt, a = x 2 , b = xy, e = ln xy 3 , d = y 2 . (e) Q(a, b, e) = a 2 bed, (f) h(p, q, r) = Jpq- r, p = x + y, q = x - 2y, r = xy + 2y 2 .

(b) J(u, v)

(g) f(t)

= et,

t

= lnxy.

(h) h(x,y) = 5lnx- ifij,

4

Funciones homogéneas

U no de los temas recurrentes a lo largo del curso va a ser el estudio de cómo varía una función cuando se modifican sus variables. Aquí estudiaremos una clase de funciones en las que determinadas variaciones de las variables afectan de un modo muy simple a la variación de la función. Nos referimos a las funciones homogéneas, que son las que responden de una forma muy particular cuando todas sus variables se modifican en la misma proporción.

4.1

Definición y ejemplos • La homogeneidad es una propiedad que puede tener una función f : D e IRn --+ IR y que depende de su comportamiento cuando todas sus variables x1, ... , Xn se multiplican por un mismo factor A> O, es decir, de la relación entre j(x1, ... , Xn) y j(Axl, ... , Axn)·

Ejemplo 1 Si D(r,p) representa la demanda de un bien de un consumidor en función de su renta r y del precio p, cabe plantearse cómo variará la demanda si tanto la renta r como el precio p varían en la misma proporción, por ejemplo, si ambos aumentan un 5%. Eso significa que de unos valores iniciales (r,p) pasamos a (1.05r, 1.05p). Más en general, podríamos plantearnos qué pasaría con la demanda si (r,p) pasa a valer (Ar, Ap), donde A es cualquier cantidad positiva (de modo que A = 1.05 en el caso de un aumento del 5%, mientras que, por ejemplo, A = 0.9 correspondería a una disminución de la renta y del precio de un 10%). Observemos que, en principio, lo razonable sería que si la renta de un consumidor se ve alterada, pero los precios se alteran en la misma proporción (si, por ejemplo, un trabajador se traslada a otro país donde pasa a cobrar el doble de salario pero todos los productos son el doble de caros) su consumo no se modifique, es decir, cabe esperar la relación

D(Ar, Ap) = D(r,p).

La propiedad de la función de demanda del ejemplo anterior es un caso particular de la propiedad de homogeneidad que definimos a continuación: Una función f: De IRn --+IR es homogénea de grado m E IR si para todo (x 1 , ... , xn) E D y todo número A> O tal que (Ax1, ... , Axn) E D se cumple la relación

Esto significa que cuando todas las variables de f se ven alteradas en la misma proporción (todas se multiplican por A) el efecto sobre el valor de la función es que éste se multiplica por una potencia de A con exponente fijo m. En particular, como A0

= 1, las funciones homogéneas de grado O son las que cumplen

es decir, las que no se ven alteradas cuando sus variables varían simultáneamente en la misma proporción. Es el caso de la función D( r, p) del ejemplo l.

73

74

4

En general, para estudiar la homogeneidad de una función necesitarás aplicar cuando proceda las propiedades siguientes:


Ejemplo 2 Estudia si las funciones siguientes son homogéneas y en caso afirmativo indica el grado de homogeneidad:

a)

2 f(x, y, z) = 2x y + 5z 3

e)

h(r, s, t)

e)

6 y+ z P(x,y,z) = x l n - x+2y

u2

b)

g( u, v) = ('u:~

d)

T(a, b, e) =

(1) Distribuir exponentes en productos:

(Sólo podemos hacer esto cuando bajo el exponente hay un producto, nunca si hay una suma.)

(2) Agrupar potencias:

)..mA.AnB

=

Arn+nAB

(Sólo podemos hacer esto si las potencias de >.. se multiplican, aunque pueden tener exponentes distintos.)

(3) Sacar factor común:

=

~rst- r 2 s

SOLUCIÓN:

(Los números bajo los iguales indican las propiedades usadas.)

a) j(>.x, >.y, >.z) = 2(>.x) 2>.y+ 5(>-zr~

= 2>.2x2 >.y+ 5>.3z3 = 2>.3x2y + 5>.3z:~ (1)

(2)

3 3 2 e'~=) >. (2x y + 5z ) = >. 3f(x, y, z) (Sólo podemos hacer esto cuando una potencia de lambda aparece en varios sumandos y en todos ellos tiene el mismo exponente.)

Por lo tanto = 3.

f

+ 4uv + 3v3)5

ayb e312

Nota que como x está elevado a 2 en la función, al calcular J(>..x, >..y, >..z) toda la expresión >..x debe quedar elevada a 2, e igualmente con z 3 . Habría sido un error haber planteado

/J\

~ 2.Ax

2

.Ay+5.Az

3

en vez de

es homogénea de grado

rn

(4) Agrupar exponentes:

(>..mr

=

>..mn

>. 2u 2 + 4>. 2 uv >. 2(u2 + 4uv) >. 2(u 2 + 4uv) (2) (>.3u3 + 3>.3v3)5 (3) (>.3(u3 + 3v3))5 (1)(4) )..15(u3 + 3v3)5

(5) Dividir potencias:

(Sólo podemos aplicar esta propiedad cuando el numerador y el denominador son productos, nunca sumas.)

Por lo tanto g es homogénea de grado m = -13.

(6) Sacar potencias de raíces:

(Sólo podemos aplicar esta propiedad si dentro de la raíz tenemos un producto, nunca una suma.)

= >. 3 15 h(r, s, t). Por lo tanto, hes homogénea de grado 3/5.

>.aJ>:b

d) T(>.a, >.b, >.e) = (>.c) 3/ 2 ( 1)(6) luego T es homogénea de grado O.

4.1

Definición y ejemplos

75

e) P(.\x, .\y, .\z) = (.\x) 6 1n .\y+ .\z = .\ 6 x 6 ln .\(y+ z) ,\6 6 1 Y+ z .\x+2.\y (1)(2) .\(x+2y) (5) x n x+2y =

,\6 P(

) x,y,z ·

Por lo tanto P es homogénea de grado m = 6.

Ejemplo 3

f (X, Y)

Estudia si las funciones siguientes son homogéneas: •

= ,h

2

+ 6y 5 ,

2

g(x, y) = x sen(x +y).

SOLUCIÓN:

Llegados a este punto, es imposible sacar las potencias de lambda corno factor común porque no tienen el mismo exponente, luego la función no es homogénea. Similarmente: g(.\x, .\y)= (.\x) 2 sen(.\x +.\y)= .\ 2 x 2 sen(.\(x +y)),

y aquí tampoco es posible sacar .\ de dentro del seno, por lo que la función g tampoco es homogénea.

En general no es posible sacar A de ninguna de las funciones senx, cosx, lnx, ax, de modo que si llegamos a expresiones de .>,3( 3 3) la forma ln(A 2 x 2 ), e u +v , etc. la función correspondiente no será homogénea. El único caso en que una función que contenga a estas funciones puede ser homogénea se da cuando las potencias de A que queden dentro de un seno, coseno, etc. se cancelen entre sí y no sea necesario sacarlas, como sucede en el apartado e) del Ejemplo 2.

Ejemplo 4: Funciones homogéneas en economía Veamos corno ejemplo dos contextos en los que la..c; funciones homogéneas aparecen en la teoría económica: • La ilusión monetaria Supongamos que D(r,p) es la función de demanda de un bien en función de la renta de los consumidores y del precio de venta. Tal y corno hemos discutido en el ejemplo 1, cabe esperar que si la renta y el precio se incrementan en la misma proporción la demanda no varíe, es decir, que D(.\r, .\p) = D(r,p), lo cual equivale a que la función de demanda sea homogénea de grado O. Ahora bien, es posible que una función de demanda sea homogénea con grado de homogeneidad m i- O. Cuando esto sucede se dice que los consumidores están afectados por la llamada ilusión monetaria. Más concretamente: Si D(r,p) es homogénea de grado m > O tenernos que si (r,p) pasan a tornar los valores (.\r, .\p) con.\> 1 (es decir, renta y precio aumentan en la misma proporción), entonces la demanda se multiplica por ,\m > 1 (luego aumenta). Esto significa que los consumidores, al ver que tienen más dinero, compran más sin ser conscientes de que, al haber aumentado también el precio, su poder adquisitivo no ha cambiado (o, al revés, si ,\ < 1 renta y precio disminuyen y el consumo también, porque los consumidores se creen más pobres sin serlo realmente). Si D(r,p) es homogénea de grado m< O la situación es la inversa: cuando los consumidores tienen más dinero (a pesar de que el precio también ha subido) disminuyen el consumo (y viceversa). Es la ilusión monetaria correspondiente a un bien inferior.

Nota: En realidad, para que este análisis sea correcto es necesario considerar la homogeneidad de la función de demanda D(r,p,p¡, ... ,Pn), donde p¡, ... ,Pn son los precios de

4

76


todos los bienes sustitutivos y complementarios del bien considerado pues si, por ejemplo, p y r aumentan en la misma proporción pero el precio de un bien sustitutivo disminuye, es normal que descienda el consumo sin que ello indique ilusión monetaria, sino simplemente que los consumidores han pasado a consumir el bien sustitutivo más barato.

• Rendimientos a escala Si Q(k1, ... , kn) es la función de producción de un bien en función de los factores de producción que intervienen en su fabricación, en caso de ser homogénea, su grado de homogeneidad tiene también una interpretación económica: expresa si, al aumentar todos los factores de producción en la misma proporción, la producción total, que necesariamente tiene que aumentar, lo hace en la misma proporción, en mayor proporción o en menor proporción. Concretamente, se dice que: Si el grado de homogeneidad de Q es m = 1 la producción tiene rendimientos a escala constantes (al multiplicar las cantidades de los factores de producción ésta se incrementa en la misma proporción). Si el grado de homogeneidad de Q es m > 1 la producción tiene rendimientos a escala crecientes (al multiplicar las cantidades de los factores de producción ésta se incrementa en mayor proporción). Si el grado de homogeneidad de Q es m < 1 la producción tiene rendimientos a escala decrecientes (al multiplicar las cantidades de los factores de producción ésta se incrementa en menor proporción).

Ejemplo 5

La demanda de un artículo viene dada por la función

D(r,p,q1,q2,q3)=

1ooJr 3qiq2 , p 2 q3

donde r es la renta de los consumidores, p es el precio del artículo, q1 y q2 son precios de bienes sustitutivos y q3 es el precio de un bien complementario. Estudia si existe ilusión monetaria.

SoLUCIÓN: Estudiamos la homogeneidad de la función de demanda: 1ooJ,\6r 3qiq2 ,\3p2q:3

La función de producción de una empresa es Q(K, L) = 5K 0 ·5 L 0 ·7 , donde K y L son los factores de producción. Estudia el tipo de rendimientos a escala de la empresa.

Ejemplo 6

En general, las funciones de producción de la forma

Q(K, L)

=

AK"' L 13

se llaman funciones de producción de Cobb-Douglas, y son homogéneas de grado a + (3.

SoLUCIÓN: Observemos que la función es homogénea: Q(,\K, ,\L) = 5(,\K)o.s(,\L)o.7 = 5,\o.s Ko.s ,\0.7 Lo.7

= ,\1.2 5Ko.s Lo.7 = ,\1.2Q(K, L). Por lo tanto, Q es homogénea de grado 1.2 rendimientos a escala son crecientes.

>

1, luego los


4.2

77

Problemas resueltos

l. Estudia si las funciones siguientes son homogéneas y en caso afirmativo indica su grado.

a)

x2 + y2 f(x, y)= _ __::.._ xvfij

e)

f(x, y)=

e)

f(x, y)=

g)

f (x, y) = x sen

2/ 2

X

x2y

fi+Y x

x

2

f (x, Y) = _,_v_x_+_::_y_e_x_Y_

b)

+ y2 +

f(x,y) =

f)

f(x, y)= (xy-y 2)5

h)

f(x, y) =

Jx2 + y2 xy

ijx + 2y

+ x3y3

Jx6

{;j{-;

d)

+ x4 + 2y)2

{lx2y2

y3

(x

X

xy 2 ln(:E)

i)

f(x,y,z) =

~x+y~2z

j)

sen(-) f(x,y,z)= z \lx 2y- xyz

k)

f(x,y,z) =

Jx4 + xy3 +5z z

l)

f(x, y) =

m)

f(x,y)

n)

f(x

=

~-

Vx

'y,

x3y + y4 ln (x2) ---''---___;:__ 2x + 3y y2

z) = cos(xyz) 1 2 3 yxy-z

SOLUCIÓN:

(a)

f (AX AY) =

·

'

(Ax)2 +(AY?

Axy'Xij

=

A2x2 + A2Y2 A2(x2 + y2) x2 + y2 = 32 = A112 2 AX AI1 vfij xvfij ' A 1 xy'Y

luego fes homogénea de grado 1/2.

(b)

JA(x +y)

e>h2j>.2y2

AX Al/2JX+y

ex2jy2

=

A-1/2JX+Y

AX luego la función

f

X

es homogénea de grado -1/2.

(e)

=

All/4


2

Y Vfx +y' X

ex2jy2

4

78


(d) (A.x)3 .\x.\y + (A.y) 2

3

f(A.x, Ay)=

3

3

A

X

(xy

+ y2)

= A_l/3

x3 3

---

+ y2)'

(xy


(e) f(A.x .\y)= ' (A.x)2

Ax

+ (A.y)2 +

Ax A_2(x2 + y2)

= A-1

x

x2 luego

,

+ y2

+

J(A.x)2 + (A.y)2 .\x = .\x.\y A_2x2 + A_2y2

.x.-1

JA.2(x2 + y2) A_2xy -

+ A-1 J

f es homogénea de grado

x2 + y2 = A-1 xy

A.Jx2 + y2 A_2xy

x x2

+ y2 +

x2

+ y2

x

(

JA.2x2 + A_2y2 + ~--_.::._ A_2xy

+

J x2 + y2) ' xy

-l.

(f) {1.\x + 2.\y f(A.x, .\y)= (A.x.\y _ (.\y)2)5

{IA.(x t.2.y) (A.2xy -~A.3tJ2)5

A. 113 V'x + 2y (A.2(xy _ y2))5

·~-./

= A_1/3ijx+2y =A-29/3 ij~x-+~2-y A_lO(xy _ y2)5 (xy _ y2)5 · Por lo tanto, fes homogénea de grado -29/3.

(g) J(A.x)6 f(A.x,A.y) = .\xsen

= Ax sen

+ (A.x)3(A.y)3 JA.6x6 + .x.:lx3A_3y3 (A.y) 3 A3y 3 = .\xsen

JA.6(x6 + x3y3) A_3Jx6 + 1 :3y3 JA.6x6 + A_6x3y3 A3y 3 = Ax sen A3y 3 = Ax sen A_:ly:3 = .\xsen

luego la función

Jx6

f es homogénea de grado

+ x3y3 y3

,

l.

(h)

= {IA.4(x2y2 + x4) = A_4/3{1x2y2 + x4 = ,\_ 213 y'x2y2 + x4 (A.(x + 2y)) 2 .\2(x + 2y) 2 (x + 2y) 2 ' luego la función fes homogénea de grado -2/3.

4.2

79

Problemas resueltos

(i) f( .\x .\y .\z) '' · '

-

.\x( .\y ) 2 ln( ~x) Y

~ .\x + .\y + 2.\z

_x3xy2ln(~)

= _x3-(1/5) xy2ln(~)

,XI/5~x+y+2z

if\~x+y+2z

ij.X(x +y+ 2z)

= _x14/5 xy2ln(~)

~x+y+2z

~x+y+2z'


(j)

X

X

X

sen(-) z

sen(-) z

X

sen(-)

-:-:::-;-:-;-~=z== .\3 / 4

y!x 2 y- xyz

= A-3/4

sen(-) z

\1x 2 y- xyz

Por consiguiente, fes homogénea de grado -3/4.

(k) J(.Xx, .\y, .\z) = J_x4;¡;1

=

+ _x4xy3

AZ

_x2J(x1

J(.Xx)4

+ 5.\z =

+ .\x(.Xy)3

.\z

J.X4(x4

AZ

+ 5.\z =

z

AZ

f

+ xy3)

J.X4x4

+ .\x.X3y3

.\z

vf\4J(x4

+ xy3) + 5.\z = A J(x4 + xy3) + 5.\z = A (

-~--:::_____:_

luego

+ 5.\z =

AZ

J(x4

+ 5.\z

+ xy3)

+ 5.\z

+ xy3) + 5z )

z

,

es homogénea de grado l.

(l) J(.Xx, .\y)=

(.Xx)3.Xy + (.Xy)4ln ((.Xx?) = 2.\x + 3.\y (.Xy) 2

--'--(x_)_::__y_+--=--y4.. .:. ) ln ( x2 ) y2 ' (2x + 3y) luego fes homogénea de grado 3/2.

(m) j(.\x, .Xy) = {/(.Xx)2(.Xy)5 _ J):;; = {/.X2x2,X5y5 ~ J):;; = {/.X7x2y5 _ J):;; = _x7/3~- _xl/2y'X,

y vemos que f no es homogénea porque no podemos sacar como factor común las potencias de .X, ya que los exponentes no son iguales.

4

80


(n) cos(A. 3 :ryz )

A.x A. A.z = cos(A.xA.yA.z) f( ' y, ) J(A.x)2A.y _ (A.z)3

y no es necesario seguir operando porque la potencia A.3 no puede extraerse del coseno, por lo que f no es homogénea.

4.3


l. Estudia la homogeneidad de las funciones siguientes:

yÍS

+ 3Vt

g(a, b) = 5a3 b- 6ab

p(s,t) = v'2s+3t

2. La función de demanda de un bien es

donde r es la renta de los consumidores, p el precio del bien y Pl, P2 los precios de dos bienes sustitutivos. Estudia si existe ilusión monetaria. 3. La función de producción de una empresa viene dada por

Q(K,L,M) = ~K2LM3. Estudia los rendimientos a escala de la empresa. 4. Estudia la homogeneidad de las funciones siguientes:

(a) f (x, y) =

ijxy2 -

x3

(g) t(x,y,z) = xsen(yz)

(b) P(r,s)=r+2s

(e) Q(K,L)

(h) h(u,v)

= K 3L 5

+ v1

3

(j) f(x, y)=

x/y 2 ~+

X y X 1 y (e ) j( x, y ) = e 3x + 2y 2

(f) P(r, s, t) =

u2

(i) f(x, y, z) = J ;¡;yz - x 2y

ac + 2b (d) g(a,b,c) =a-b-e 2

=

r (~ t) ln(;) rs

t

4

VX y

/

"/

/

___

-'

f{ ~' Funciones implícitas

1---

( Hasta ahora hemos estudiado únicamente la relación más simple que puede darse entre varias magnitudes: que una de ellas sea función de las demás. A continuación estudiaremos el caso más general que se da cuando la relación entre ellas es que satisfacen una determinada ecuación.

5.1

Curvas de nivel • A la hora de analizar el comportamiento de una función de varias variables tenemos una alternativa a estudiar la dependencia de una variable "ceteris paribus", y es estudiar todas las combinaciones de variables para las que la función toma un mismo valor.

Dada una función f : D e !Rn ---+ R la curva 1 de nivel e E lR es el conjunto de todas las combinaciones de variables que hacen que la función f tome el valor e y, por consiguiente, está determinada por la ecuación f(xl, ... , xn) = c. Más concretamente, se trata del conjunto

{(x1, ... ,xn)

E D

1

f(xl, ... ,xn) =e}.

Ejemplo la

El ahorro mensual de un trabajador viene dado por la función

1728 A(l,p) = - 2 lp

)

+ 12l 2 ,

donde r = 1728€ es su salario, pes un indicador del precio de los artículos de primera necesidad y l un indicador del precio de los artículos de lujo que interesan al trabajador. Los valores actuales de estos indicadores son l = 2 y p = 3.

'D

o

2

4

l

a) Calcula el ahorro mensual actual del trabajador. b) Localiza en la figura el punto correspondiente a la situación actual. e) La figura muestra las curvas de nivel de ahorro correspondientes a los niveles 100€, 200€, 300€ y el nivel de ahorro actual. Identifica cuál es cada una. d) Escribe las ecuaciones de dichas curvas de nivel e interpreta la actual. e) A la vista de la figura, ¿cuál sería el ahorro mensual del trabajador si los dos indicadores de precios subieran una unidad? Compruébalo analíticamente.

f) A la vista de la figura, indica aproximadamente cuánto tendría que disminuir p para que el trabajador pudiera ahorrar 300€ mensuales suponiendo que l no se modificara. g) ¿Podría ocurrir que un aumento del precio de los artículos de lujo aumentara el nivel de ahorro del trabajador?, ¿y una disminución? 1

Con más rigor, son curvas de nivel si la función tiene dos variables, con tres variables serían superficies, pero emplearemos siempre el término "curva" cualquiera que sea el número de variables.

81

5 Funciones implícitas

82

SOLUCIÓN:

a) A(2, 3)

=

1728 2·3 2

+ 12 · 22 = 144€

mensuales.

b) La situación actual es el punto A marcado en la figura. e) Si consideramos, por ejemplo, los niveles de ahorro correspondientes a un mismo valor de l, por ejemplo, l = 1, que son los situados sobre la recta vertical marcada en la figura, es razonable suponer que, cuanto mayor sea el precio p de los artículos de primera necesidad, menor será el ahorro del trabajador. Por lo tanto, la curva de nivel situada más arriba será la correspondiente a un ahorro de 100 € mensuales, seguida de la curva actual, de 144€ mensuales. Bajo ella está la curva de 200€ mensuales y la inferior será la de 300 € mensuales.

Observa que en la práctica la ecuación de una curva de nivel se obtiene igualando la función al nivel indicado. Por ejemplo, sería incorrecto decir que la ecuación de la curva de nivel actual es

A(2 3) '

=

1728 2. 3 2

2 + 12 · 2 = 144.

Al interpretar curvas de nivel deja claro que éstas relacionan las infinitas posibilidades para las que la función dada toma un valor determinado sin determinar ninguna en particular. Por ejemplo, evita expresiones como "la curva de nivel nos permite calcular p y l para que el ahorro sea 144" o "la curva de nivel nos da el valor de p y el de l que dan lugar a un ahorro de 144 ".

Observa que el apartado e) muestra una situación típica: los niveles de precios

(l,p) = (2,3)

y

(l,p) = p,4)

corresponden a dos situaciones distintas para las que, no obstante, el nivel de ahorro es el mismo. En general, hay infinitas posibilidades para l y p que dan lugar al mismo nivel de ahorro de 144 € mensuales, una para cada punto de la curva de nivel.

d) Las ecuaciones de las curvas de nivel indicadas son

La ecuación de la curva de nivel actual es la tercera, y su interpretación es la siguiente: La ecuación proporciona todas las combinaciones posibles de los dos indicadores p y l para las cuales el ahorro mensual del trabajador es de 144€. e) Si los dos indicadores aumentan una unidad, pasan de (l,p) = (2, 3) a (l,p) = (3, 4), con lo que la nueva situación corresponde al punto B marcado en la figura. Vemos que B se encuentra situado sobre la misma curva de nivel actual, luego podemos decir que el ahorro mensual será el mismo.

Lo comprobamos analíticamente:

A(3, 4) =

1728 3·4 2

+ 12 · 3 2 =

144€ mensuales.

f) La situación actual es el punto A de la figura. Si se modifica el precio p sin variar l nos movemos en la línea vertical correspondiente al = 2. Vemos que, para alcanzar la curva de nivel 300 (la que está más abajo en la figura) el valor de p debe descender aproximadamente hasta p = 2. g) En la figura vemos que, partiendo de la situación actual (punto A), sin modificar el valor p = 3, podemos alcanzar

5.2 Funciones implícitas

83

la curva de nivel 200 (lo que supone aumentar el ahorro desde 144 hasta 200 € mensuales) tanto si disminuye l (y pasamos al punto C) como si aumenta l (y pasamos al punto D). Por lo tanto, la respuesta es afirmativa en ambos casos: tanto un aumento como una disminución de l puede hacer que el nivel de ahorro aumente. 2 • En la teoría económica es frecuente dar nombres específicos a las curvas de nivel de determinadas funciones. Así, las curvas de nivel de producción se llaman isocuantas, las curvas de nivel de utilidad se llaman curvas de indiferencia, etc.

5.2

Funciones implícitas

• Dada una ecuación f(xl, ... , Xn) =o:, donde fes una función cualquiera f: De IRn -----+IR y o: E IR, en general existirán infinitos vectores (x1, ... , xn) E D que cumplan la ecuación, pero si fijamos unos valores (x1, ... , Xn-1) para todas las variables menos una (en este caso xn) podemos plant~arnos si existe un valor Xn con el cual se cumpla la ecuación.

Ejemplo lb

Si consideramos la curva de nivel

/

de la función A(l,p) del ejemplo la, que determina todas las combinaciones posibles (l,p) de los indicadores de los precios que permiten que el trabajador ahorre 144€ /mes, sabemos que si l = 2, entonces el valor p = 3 cumple A(2, 3) = 144, es decir, da lugar al ahorro actual, e igualmente podríamos preguntarnos si para otros valores de l, por ejemplo l = 1, existe algún valor posible para p que dé lugar al mismo nivel de ahorro A(l,p) = 144. En este caso concreto es fácil ver que la respuesta es afirmativa. Se trata de ver si es posible que

1728 -l·p2

'

1728 p2

+ 12 . 12 = 144 => -

= 132 => p 2 =

1728 132

= 13.09 => P = v13.o9 = 3.62

(donde descartamos la raíz negativa porque no tiene sentido económico). Así, si el indicador de precios de los artículos de primera necesidad bajara de l = 2 hasta l = 1, el nivel de ahorro del trabajador subiría, pero si el indicador p subiera a su vez desde p = 3 hasta p = 3.62 el nivel de ahorro volvería a ser el mismo. • Dada una ecuación f(x1, ... , Xn) = o:, si existe un dominio D e IRn- 1 y un E e IRn de modo que para cada vector (x1, ... , Xn-d E D existe un único Xn E IR tal que (x 1 , ... , xn) E E y j(x1, ... , Xn) = o:, entonces la función Xn : D -----+ IR que a cada vector (x 1 , ... ,xn-1) E D le asigna ese único valor de Xn que hace que se cumpla la ecuación se llama función implícita definida por la ecuación dada. 2

La explicación de este comportamiento del ahorro es la siguiente: si partimos de que los precios de los artículos de lujo vienen dados por l = 1 (con un ahorro de 200€mensuales), a medida que dichos precios aumentan el trabajador se gasta en ellos más dinero y su nivel de ahorro disminuye, hasta llegar a l = 2, donde el ahorro se ha reducido hasta 144€ mensuales. Sin embargo, cuando los precios de los artículos de lujo siguen aumentando, el efecto es que el trabajador disminuye su consumo, con lo que aumenta su nivel de ahorro hasta volver a llegar a los 200€ mensuales, aproximadamente cuando l alcanza el valor 3.5 (punto D).

5

84


• Notemos queDes simplemente el dominio de la función implícita, mientras que el conjunto E es a veces necesario para asegurar que exista un único valor de Xn que cumpla la ecuación. Por ejemplo, en el caso de la curva de nivel

en el ejemplo lb hemos visto que, en realidad, para l = 1 hay dos valores de p que cumplen la ecuación, p = 3.62 y p = -3.62, pero tomando E= {(l,p) E IR 2 ll >O, p >O} podemos afirmar que, para cada l E D (es decir, en el dominio de la función implícita, que habría que calcularlo) hay un único valor de p tal que (l,p) E E que cumpla la ecuación. (Al pedir que (l,p) E E simplemente estamos descartando la solución negativa.) En la práctica, la función implícita xn(x 1 , ... , Xn-l) es la función que resulta de despejar Xn en la ecuación dada y representa el valor que debe tomar Xn para que se cumpla la ecuación, sabiendo los valores de las demás variables.

Ejemplo le

Consideremos la curva de nivel A(l,p)

= 144 del ejemplo la.

a) Calcula la función implícita p(l) definida por la ecuación. b) lnterprétala. e) Calcula p(l) e interpreta el resultado. d) Calcula p( 4) e interpreta el resultado. e) ¿Cuál es la gráfica de la función p(l)? La función implícita p(l) recibe este nombre porque está implícita en la ecuación, es decir, está determinada por la ecuación pero, no está explícita, no está "a la vista" como tal función. Cuando calculamos la función implícita (despejando lap), vemos explícitamente la función, pero no tiene sentido distinguir entre "función implícita" y "función explícita", sino que es la misma función p( l) que está expresada implícitamente en la ecuación y explícitamente en la expresión que obtenemos al despejar. En particular, podemos seguir refiriéndonos a p(l) como la función implícita determinada por la ecuación, es decir, la función que está implícita en la ecuación, aunque ahora la tengamos explícita.

SOLUCIÓN:

La curva de nivel es 1728

lp2

2

+ 12l = 144

a) Como nos piden expresar p como función del, tenemos que despejar p en la ecuación:

::::} p2 =

1728 ::::} p = l(144- 12z2)

1728 l(144- 12z2)'

donde hemos descartado la raíz negativa porque no tiene sentido económico. b) La función p(l) representa el valor que debe tomar el indicador de los precios de los artículos de primera necesidad para que el ahorro del consumidor sea de 144€ /mes en función del valor l del indicador de los precios de los artículos de lujo.

5.3

Problemas resueltos

85

e) Hay dos formas de calcular p( 1), o bien usamos la expresión que hemos obtenido para p(l): p(l) =

1728 1 . (144- 12 . 12)

= 3 62 .

'

o bien sustituimos l = 1 en la curva de nivel y despejamos p, que es lo que hemos hecho en el ejemplo lb.

d) p(4) =

1728 4. (144- 12 . 42) =

Observa que estamos dando el mismo nombre p a dos cosas distintas con interpretaciones distintas: la variable p de la función A(l,p), que representa el indicador de los precios de los artículos de primera necesidad, y la función implícita p(l)

R.

Vemos que la función implícita no está definida en l = 4. La interpretación es que si el indicador de los precios de los artículos de lujo es l = 4 es imposible que el trabajador ahorre exactamente 144€ /mes sea cual sea el valor de p.

<

e) La gráfica de la función p(l) es la propia curva de nivel que determina la función implícita. Por ejemplo, para l = 1, tenemos que p(l) = 3.62 es el valor de p que hace que (l,p) esté en la curva de nivel, de modo que el punto (1, 3.62) puede verse indistintamente como un punto de la curva de nivel o bien como un punto de la gráfica de la función p(l), y lo mismo es válido para cualquier otro punto, luego ambas curvas (la gráfica y la curva de nivel) son la misma.

5.3

p

9

p(l)

-----~------

~1 1

o

l. Una empresa fabrica dos productos en cantidades diarias x e y, y sus posibilidades de producción vienen determinadas por la desigualdad x 2 + 3y 2 ::::; 36.

(a) Escribe la ecuación de la frontera de posibilidades de producción de la empresa e interprétala. (b) Representa en la figura las producciones

(x, y) = (2, 3),

)

41----------"'~

Problemas resueltos

(x, y)= (5, 3),

!

1

(x, y)= (6, O)

y razona si son eficientes, ineficientes o inalcanzables.

(e) Para cada una de las dos producciones anteriores, determina una producción eficiente alternativa que mantenga la cantidad producida del primer artículo. Represéntalas en la figura.

2

4

l

En general, una empresa no puede producir cualquier cantidad que desee, pero sí puede decidir si emplea más o menos recursos a la producción de cada uno de los productos que fabrica. Las posibilidades de producción de una empresa se representan mediante desigualdades como la del enunciado. Así, las producciones que cumplen x 2 + 3y 2 > 36 son inalcanzables, pues requerirían más recursos que los que tiene la empresa, las que cumplen x 2 + 3y2 < 36 son ineficientes, pues no aprovechan todos los recursos, y las que cumplen x 2 + 3y 2 = 36 son eficientes, pues aprovechan totalmente los recursos. Esta ecuación, que determina las producciones eficientes, se llama frontera de posibilidades de producción (fpp).


86

(d) Calcula la función implícita y(x) definida por la frontera de posibilidades de producción e interprétala.

Y

r-- ------

3.5

1 1

2.0

Producciones inalcanzables

Produeciouffi ;uc::u=~

2.5

(e) Calcula y(4) e y(5) e interpreta el resultado.

-~ fpp ·--~

3.0

1.5

\

1.0

(f) Calcula e interpreta ~y(4)(1).

0.5 2

Sería incorrecto decir que la fpp representa las combinaciones posibles de x e y que dan lugar a una producción de 36 unidades. Fíjate que x e y son las cantidades producidas, y no el 36. Ese número representa indirectamente los recursos de que dispone la empresa, en el sentido de que si la empresa aumentara sus recursos habría que cambiar el 36 por un número mayor, pero no tiene una interpretación concreta en este contexto.

\ 6

4

X

SOLUCIÓN: (a) La frontera de posibilidades de producción es

x 2 +3y 2 = 36 y representa todas las posibles producciones x e y de los dos artículos que utilizan eficientemente los recursos de la empresa. (b) La figura muestra las producciones indicadas. Vemos que (5, 3) es inalcanzable, (2, 3) es ineficiente y (6, O) es eficiente.

y 351

3.27)

3.01

o

0

251

.....

2.0

Alternativamente, podemos comprobarlo de forma analítica:

(5,

~l)

(2, :l) .(5,1.91)

''

1.5

1.0 0.5

\\

(6,0)1

5

2

+3 .3

2

=

52 > 36,

"

X

luego (5, 3) es inalcanzable: la empresa no dispone de recursos suficientes para producir diariamente 5 unidades del primer artículo y 3 del segundo. Por otra parte, 22 Por último, 62

+ 3 · 32 =

31 < 36, luego la producción (2, 3) es ineficiente.

+ 3 · 02 = 26, luego la producción

(e) Queremos una producción eficiente con x

=

+ 3 · y 2 = 36 =>- 3y 2 = 11 =>- y 2 =

11

52

(6, O) es eficiente.

5:

3 = 3.66 =>-y= J3.66 = 1.91 u. p.

La producción eficiente es (5, 1.91). Si x

=

2 obtenemos:

22

+ 3. y 2 = 36 =>- 3y 2 = 32 =>- y 2 =

luego la producción eficiente es (x, y)

3 ;

= 10.66 =>-y= v10.66 = 3.27 u. p.

= (2, 3.27).

Por último, como (6, O) ya era eficiente, no tiene sentido buscar una producción alternativa. La figura muestra las producciones que hemos calculado. (d) Para calcular la función implícita y(x) basta despejar y en la ecuación: X

2

, 2 2 2 + 3y 2 = 36 =?- 3y = 36- X =?-Y =

36 - x 3

2

=?- y(x

)

=

J

2

36 - x · 3

5.3

Problemas resueltos

87

La función y(x) representa la cantidad que puede producir la empresa del segundo artículo si produce x unidades del primer artículo para aprovechar totalmente sus recursos.

y(5)

{:36=52

= y~= 1.91. u.p.

La interpretación es que si la empresa fabrica 4 unidades del primer artículo tendrá que producir 2.58 unidades del segundo artículo si quiere aprovechar totalmente sus recursos, mientras que si produce 5 unidades del primer artículo sus recursos sólo le permitirán producir 1.91 unidades del segundo artículo. (f) ~y(4)(1) = y(5)- y(4)

=

1.91-2.58

=

Observa que ahora y (como función implícita) ya no es la cantidad que la empresa produce del segundo artículo, sino "lo que tiene que valer y para que se cumpla la ecuación que define la función implícita, dado x". Como la ecuación es la fpp, y estar en la fpp se interpreta como "aprovechar totalmente los recursos de la empresa", tenemos que y es "lo que la empresa debe producir del segundo artículo, fijada una producción del primero, si quiere aprovechar totalmente sus recursos".

-0.67.

La interpretación es que si la empresa está produciendo 4 unidades del primer artículo, para producir una unidad más necesitará reducir la producción del segundo artículo en 0.67 unidades para mantenerse en la fpp, es decir, para seguir aprovechando totalmente sus recursos (al destinar recursos adicionales a la producción de x, necesita reducírselos a la producción de y, por lo que ésta debe disminuir). 2. Calcula las funciones implícitas x(y, z), y(x, z) y z(x, y) determinadas por la ecuación zx 2Yz = 64. Calcula z( 4, O) e interpreta el resultado. SOLUCIÓN:

Para calcular x(y, z) despejamos x en la ecuación:

Es importante destacar que el hecho de que no podamos despejar la z en la ecuación no significa que no exista la función implícita. La figura muestra la gráfica de z(x, y).

64 zx 2yz = 64 ==> x(y z) = --. ' z2YZ Para despejar la y, como está en un exponente, necesitamos tomar logaritmos:

zx2yz

=

30

64 64 64 ==> 2yz = - ==> ln2yz = lnzx zx 64

1

64

==> yzln2 = ln- ==> y(x,z) = ln-. zx z 1n 2 zx Como la z aparece tanto en el exponente como fuera de él, resulta imposible despejarla en la práctica, así que no podemos calcular la función implícita z(x, y).

Más adelante daremos una condición sencilla que, cuando se cumpla, nos asegurará la existencia de una función implícita aunque no sepamos calcularla.

Pese a ello, sí que podemos calcular z(4, 0). Se trata del único valor de z que hace que se cumpla la ecuación cuando x = 4 e y= O. Así pues, tiene que cumplir:

z . 4 · 2°·z

= 64 ==> z( 4, O) = 464 = 16.


88

3. La producción agrícola Q de cierto país depende de la cantidad de tierra cultivable disponible (en millones de hectáreas), de la cantidad de maquinaria agrícola disponible M (estimada por su valor en millones de euros) y del número de agricultores L (en millones), y viene dada

e

por la función

Q(C,M,L) = 10{/e2 M 2 L 3 miles de millones de €. Actualmente el país dispone de 18 millones de hectáreas cultivables, una maquinaria valorada en 6 millones de euros y un total de 2 millones de trabajadores agrícolas. (a) Estudia si la función

Q es homogénea.

(b) Calcula la producción actual del país.

(e) La política del gobierno en inversión en maquinaria agrícola consiste en mantener la

VCL.

relación M(e, L) = Calcula la función compuesta de ésta y la función Q(e, M, L) del enunciado (indicando su nombre). ( d) Explica la diferencia de interpretación entre la función calculada en el apartado anterior.

Q( C, M, L) y la función compuesta

(e) Calcula cuántos millones de trabajadores serían necesarios, teniendo en cuenta la política del gobierno, para que la producción agrícola aumentara hasta los 80 miles de millones de €.

e (f) La figura muestra la curva de nivel de producción actual y la correspondiente a un nivel de producción de 80 miles de millones de €. Razona cuál es cuál y señala en ellas los puntos correspondientes a la situación actual y a la del apartado anterior.

9011' 81

721 631

541 45 361

271

(g) Escribe la ecuación de la curva de nivel que está más arriba en la figura.

18 9

_L ... ·- -·-·

---~---•---~-~--

1

2

--~--

--•-

~---

3

4

~~--

sL

(h) Calcula la función implícita e(L) determinada por dicha curva de nivel. (i) Deduce de la figura el valor aproximado de C(2.5) (o calcúlalo de forma exacta, si no sabes deducirlo) e interprétalo. SOLUCIÓN:

(a) Q(>.C,>.M,>.L) = 10{/(>.C)2(>.M)2(>.L)3 = 1Q{/)..2C2)..2M2)..3p

= 1Q{/)..7C2M2L3 = )..1Q{/C2M2P luego la función es homogénea de grado l. (b) Q(18, 6, 2)

= 10{/18 2 · 62 · 23 = 51.3

miles de millones de €.

(e) Q(e,L) = 10~e 2 (.,fCL) 2 L 3 = 10{/C2eLL3 = w{Je 3 L4.

'


89

(d) La función Q( e, M, L) determina la producción agrícola del país para valores cualesquiera de la cantidad de tierra cultivable (e), la cantidad de maquinaria agrícola empleada (M) y el número de trabajadores ( L), mientras que Q( e, L) determina la producción agrícola del país para valores cualesquiera de y L pero teniendo en "'-cuenta la política agraria del gobierno, que determina el valor de M a partir de y L.

e

(e) Hay que resolver la ecuación Q(18, L)

::::} L

=

~359.59

e

= 80:

= 4.35 millones de trabajadores.

e (f) La actual es la curva inferior, por ejemplo porque pasa por los valores actuales (e, L) = ( 18, 2), o también porque, si fijamos e, la producción ha de ser mayor cuando aumenta el número de trabajadores, o, si fijamos L, la producción ha de ser mayor cuando aumenta la superficie cultivable.

(g)

10ve3 L4 =

90 81 72 63

54 45

2

80.

(h)

(i) En la figura se ve que, cuando L = 2.5, la curva de nivel Q = 80 pasa aproximadamente por L = 37. Esto significa que, para conseguir una producción de 80 miles de millones de euros con 2.5 millones de trabajadores, teniendo en cuenta la política del gobierno de inversión en maquinaria, se necesitan 37 millones de hectáreas de tierra cultivable.

3

4

En la interpretación de C(2.5) es esencial dejar claro que, con 2.5 millones de trabajadores, se necesitan 37 millones de hectáreas para conseguir una producción de 80.000 millones de euros, pues, en general C(L) es la tierra necesaria para conseguir dicha producción (es decir, para que se cumpla la ecuación que define a la función implícita). Sin ese objetivo no tenemos ninguna relación entre la cantidad de trabajadores y la cantidad de tierra empleada.

4. El ahorro mensual (en euros) de un trabajador viene dado por la función

A(r,p) =lO

40PJ' Y

donde T es su salario (en euros) y p un indicador de los precios de los bienes que consume habitualmente. Actualmente, el trabajador ahorra 180€ /mes. (a) Estudia si la función A es homogénea.

5

90


(b) Escribe la ecuación de la curva de nivel 180 de la función A e interprétala.

4{;2

10v p3 = 180. (e) Calcula la función implícita r(p) determinada por dicha curva de nivel. (d) Calcula r(2) e interpreta el resultado. (e) La figura muestra las curvas de nivel correspondientes a A= 180 y A= 200. Razona cuál es cuál y señala en la figura el punto que corresponde a la situación del apartado anterior.

2500 20001 15001 10001

(f) Razona a partir de la figura si, en caso de que el índice de precios fuera p = 3, el trabajador podría ahorrar 200€ /mes con un salario de 1900€.

500 2

3

4

p

(g) Supongamos que el salario del trabajador se revisa anualmente teniendo en cuenta el índice de precios, según la relación r(p) = 700yp. Calcula la composición de las funciones A(r,p) y r(p). Indica el nombre de la función compuesta y simplifícala. (h) Se cumple (no hace falta que lo compruebes) que A(3) resultado.

= 152.75€. Interpreta este

(i) Calcula el índice de precios que permite al trabajador ahorrar 180 euros mensuales teniendo en cuenta sus condiciones salariales. SOLUCIÓN:

(a)

_ ((-Xr)2)1/4 _ (,\2r2)1/4 _ ( _ 1r2)1/4 _ _ 114 (r2)I/4 - 10,\ - 10 ,\ A(-Xr, ,\p)- 10 (-Xp) 3 p3 p:{ , - 10 ,\3 p3 luego A es homogénea de grado m= -1/4.

(b)

10~ ~ 180. Esta ecuación determina los posibles valores de salario y precios con los que el trabajador puede ahorrar 180 euros mensuales.

(e)

(d) r(2) = V18 4 23 = 916.41 €. Esto significa que, si el indicador de los precios es p = 2, el trabajador necesita un salario de 916, 41 € para poder ahorrar 180 euros mensuales.

5.4


91

(e) La inferior es A = 180, porque si mantenemos los precios constantes, el trabajador ahorrará más cuanto mayor sea su salario. (f) En la figura se ve que, para p = 3, la curva de nivel A= 200 pasa por encima de r = 2 000, luego el trabajador necesita un salario mayor de 2 000 € para ahorrar 200 € al mes. Con 1 900 € no puede ahorrar tanto.

(g) A(p)

~ 10 ,

r 3000 2500 2000 1500 1000 500

4P

~ 10 v7o~'P ~ 10 J70f!.

(7oof')' p

YY

p

(h) Si el índice de precios fuera p = 3 y teniendo en cuenta que el salario del trabajador está ajustado según dicho índice, su ahorro mensual sería de 152.75 €. (i) Hay que resolver la ecuación A(p)

10

5.4

= 180::::}

700 2

~ -2-

p

= 180:

= 18::::}

700 2

-2-

p

= 184 ::::} p 2 =

700 2 18

- - 4 ::::}

p

=

¡w;oo = 2.16. 2 -4-

18


l. Un consumidor goloso adquiere mensualmente x tartas e y pasteles. Su función de utilidad es

U(x, y)=

ffx + Vfj.

Esto significa que U es la función con la que "puntúa" o "valora" sus posibles consumos, de modo que el hecho de que U(2, 1) = 3.45 y U(1, 2) = 3.15 se interpreta como que el consumidor está más satisfecho si se toma 2 tartas y 1 pastel que si se toma 1 tarta y 2 pa..<;teles. Las curvas de nivel de utilidad se llaman curvas de indiferencia. La figura muestra las curvas de indiferencia correspondientes a niveles de utilidad 4, 5 y 6. pasteles (y)

1o

4

2


92

La respuesta a los apartados (a)-( d) siguientes debes razonarla a partir de la gráfica: (a) Si actualmente adquiere 3 tartas al mes y 4 pasteles, ¿sobre qué curva de indiferencia nos encontramos? (b) Si, partiendo del consumo actual, el consumidor tuviera que renunciar a una tarta, cuántos pasteles tendría que comprar de más para mantenerse en el mismo nivel de utilidad? (e) Si un mes el consumidor se toma 4 pasteles, ¿cuántas tartas tendría que comerse para aumentar en una unidad su utilidad actual? (d) Si quisiera conservar su nivel de utilidad actual comiendo sólo tartas, ¿cuántas tartas necesitaría? (e) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia actual e interprétala. (f) Calcula la función implícita y(x) determinada por la curva de indiferencia. (g) ¿Cuál es la gráfica de la función y(x)? (h) Calcula y(2) y relaciona el resultado con el apartado (b). (i) Localiza en la figura el valor de y(2) e y(3). ¿Es razonable deducir de la figura que lím y(x) = +oo? Calcula el límite analíticamente. Interpreta el resultado. x--->O+

2. Considera la función f(x, y, z)

xe 2 y

= -.

(a) Dibuja la gráfica de la función f(x, 1, 0). (b) Escribe la ecuación de la curva de nivel 5 de la función

f.

Interprétala.

(e) Comprueba si los puntos (5, 1, 0), (2, 3, 1) y (1, 2, ln 10) están o no sobre dicha curva de nivel. (d) Calcula las funciones implícitas x(y, z) y z(x, y) determinadas por la curva de nivel. Interprétalas. (e) Calcula z(3, 8) e interpreta el resultado. 3. Continuando con el problema 1 (pág. 27), la gráfica si- p guiente muestra las curvas de nivel de demanda correspondientes a D = 6 y D = 11.

(a) Escribe las ecuaciones de dichas curvas de nivel. (b) Razona cuál corresponde a cada curva.

3.5

2.5

1.5

0 5 •

.

.

1

2

(e) Explica la interpretación económica de las ecuaciones que has escrito.

(d) Identifica en la gráfica el punto que corresponde a la situación actual. (e) Supongamos que la renta del consumidor pasara a ser de 4 u.m. Para que su consumo de cerveza no variara, ¿el precio tendría que variar mucho o poco? (f) ¿Y si su renta pasara a ser de 1 u.m.? (g) Si el litro de cerveza pasara a valer 2.5 €, ¿el consumo mensual podría ser de 11litros para algún nivel de renta? ¿Y de 6litros? ¿Con qué nivel de renta, aproximadamente? Calcúlalo analíticamente a partir de la ecuación.

r

5.4

93


(h) Calcula la función implícita p(r) determinada por la curva de nivel correspondiente a D = 6. ¿Cuál es la interpretación económica de esta función? ¿Cuál es su gráfica? (i) Calcula p(3) e interprétalo. 4. Un consumidor dispone de un presupuesto de 100€ para gastárselo en dos bienes A y B. El primero cuesta 5€ /unidad, y el segundo 12€ /unidad. (a) Escribe la función G (x, y) que calcula el gasto del consumidor si compra x unidades del producto A e y unidades del producto B. (b) Las curvas de nivel de las funciones de gasto de este tipo son rectas, por lo que se llaman rectas presupuestarias. Escribe la ecuación de la recta presupuestaria correspondiente a los 100 € de que dispone el consumidor. Interprétala. (e) Representa gráficamente la recta presupuestaria del apartado anterior. (d) Calcula la función implícita y(x) determinada por la recta presupuestaria. Interprétala. (e) Calcula y(8) e interprétalo. 5. Calcula las funciones implícitas indicadas definidas por las ecuaciones indicadas: calcula K(L). «K 2 L 4 = 2, 2 2 2 x + 2y + 5z = 100, calcula y(x, z). calcula x(y, z). (e) zln(:ry) = 20, calcula z(x, y). (d) (:r+2y)z = 1000, (a) (b)

6. Una empresa fabrica dos productos en cantidades x e y. La empresa puede decidir la cantidad que produce de cada uno de ellos, pero sus recursos son limitados y exigen que la producción (x, y) cumpla la relación 3x 2 + y 2 :S 6 300. De este modo, las producciones que aprovechan al máximo los recursos de la empresa cumplen la ecuación 3x 2 + y 2 = 6 300. La curva determinada por esta ecuación se llama frontera de posibilidades de producción de la empresa, y está representada en la figura. SOr----

(a) ¿Cuál es la máxima producción del primer producto que puede conseguir la empresa (a costa de no producir nada del segundo)? (b) ¿Cuál es la máxima producción del segundo producto que puede conseguir la empresa?

fpp

60

40 20

lO

20

30

40

(e) Calcula la función implícita y( x) definida por la frontera de posibilidades de producción e interprétala.

(el) Calcula y(30) e interprétalo. (e) ¿Cuál es la gráfica de la función y( x)? (f) Si, actualmente la empresa fabrica 30 unidades del primer producto, ¿cuántas unidades del segundo tendría que dejar de producir si quisiera aumentar en una unidad la producción del primero? (g) Marca en la figura el punto correspondiente a la producción actual de la empresa.

94

5 Funciones implícitas 7. La función de producción de una empresa es Q(K, L) = :Y K 2 L3, donde K es el número de máquinas empleadas en la producción y L el número de trabajadores. La gráfica muestra varias curvas de nivel de la función. (a) Escribe la ecuación de la isocuanta (curva L "xx'i¡ de nivel de producción) correspondiente a una producción de 120 unidades de producto. Interprétala. (b) Calcula la función implícita L(K) definida por dicha ecuación. (e) Calcula L(15) e interpreta el resultado. JO

(d) Calcula

~L(15) (1)

'

"


(e) Sabiendo que la curva de nivel actual es una de las representada.•> en la figura, señala los puntos correspondientes a la situación inicial y final del incremento del apartado anterior. 8. El ahorro mensual de un cierto trabajador viene dado por la función A(r,p, l)

=

r

p2 l

+l

2

€,

donde r es su salario, p un indicador del precio de los artículos de primera necesidad y l un indicador del precio de los artículos de lujo que interesan al trabajador. zoo A (a) Escribe la ecuación de la curva de nivel correspondiente a un ahorro de 59 € mensuales. Interprétala. (b) Calcula la función implícita p(r, l) determinada por la curva de nivel. (e) Calcula p( 2400, 3) e interpreta el resultado.

10

Cuestiones 9. Considera una función

f (x, y, z).

(a) ¿Cuál es el significado de una curva de nivel f(x, y, z) =a? (b) Si esta ecuación define una función implícita z(x,y), ¿cuál es el significado de esta función? (e) ¿Cómo será la función compuesta f(x,y) = f(x,y,z(x,y))?

B) Cálculo de derivadas Empezamos ahora a estudiar el cálculo diferencial con el concepto de derivada parcial de una función de varias variables. Sin embargo, en lugar de empezar por la definición de derivada, nos centraremos en las reglas que permiten calcular derivadas en la práctica para que te familiarices con ellas antes de pasar a estudiar su definición, su interpretación y sus aplicaciones. • Provisionalmente, y hasta que precisemos estas ideas en secciones posteriores, basta con saber que se puede definir lo que es una función derivable, de tal modo que prácticamente todas las funciones f : D C JR.n ------> IR que manejamos habitualmente son derivables, y cuando una función es derivable en su dominio, para cada una de sus variables Xi está definida otra función llamada su derivada parcial respecto de Xi, y que se representa como

a¡ axi. Ejemplo 1 son:

La función f(x,y,z) = x 2 senz es derivable, y tiene tres derivadas parciales, que

a¡

a¡

ay

ax = 2xsenz,

=O

a¡

az

,

2 =X

COSZ.

Según hemos indicado, nuestro objetivo a corto plazo es que aprendas a calcular en la práctica derivadas como las del ejemplo anterior. • Aunque de momento no conoces las reglas que hemos aplicado, hay una regla muy simple que conviene que recuerdes. Observa que la función f(x, y, z) del ejemplo 1 no depende realmente de la variable y, y ésa es la razón por la que su derivada respecto de y vale cero. En general: Cuando una función no depende de una variable, su derivada respecto de dicha variable es siempre igual a O.

6.1

Derivación de potencias • Entre las reglas más simples de derivación está la que nos permite derivar una potencia: La derivada de f(x)

= xn

a¡

es

ox = nx

n-1

.

Por ejemplo, la derivada de x 5 es 5x 4 . • Esta regla vale igualmente para exponentes negativos o fraccionarios.

Ejemplo 2 regla anterior:

Para derivar f(x)

Un caso particular de esta regla es que la derivada de una variable es 1, pues si J(x) = x = x 1 , entonces la derivada es lx 0 = l. Así pues, observa que la derivada de z respecto de x es O, mientras que la derivada de z respecto de z es l. En general, es esencial especificar respecto de qué variable estamos derivando. No tiene sentido calcular "la derivada" de una función de varias variables sin especificar la variable.

1 7 7X expresamos la función como f(x) = x- y aplicamos la

a¡

7

-=-X

OX

_8

95

-7

=-

x8 ·

6

96

Como aparecerá a menudo, conviene que recuerdes la fórmula para la derivada de ylx, que es un caso particular de esta regla: La derivada de yÍX es

6.2

Cálculo de derivadas

Similarmente, para derivar f(y) = ifij, expresamos la función como f(y) = y 115 y aplicamos la misma regla:

1 ;;;;. 2yx

Derivación de sumas y productos • Cuando la función a derivar es una suma, su derivada es la suma de las derivadas de los sumandos, calculadas independientemente.

Observa que la función del ejemplo 3 es una suma, por lo que sus derivadas se calculan derivando cada sumando por separado. Al derivar respecto de x, los sumandos segundo y cuarto tienen derivada O, porque no dependen de x, y al derivar respecto de y son los sumandos primero, tercero y cuarto los que tienen derivada O.

Ejemplo 3

Calcula las derivadas parciales de la función

a¡

SOLUCIÓN:

ox

7

1

= Sx + 2ylx'

• Cuando la función a derivar es un producto y la variable respecto a la que derivamos sólo aparece en uno de los factores, su derivada se obtiene derivando dicho factor y dejando los factores restantes sin cambio alguno. La función g es un producto de tres factores, pero sólo el segundo contiene la x, luego la derivada respecto de x se calcula dejando igual los factores 10 e y 4 y derivando x 9 . Igualmente, para derivar respecto de y sólo se deriva el tercer factor. La función h es una suma de cuatro sumandos, por lo que para calcular la derivada respecto de u tenemos que derivar cada uno por separado (y sumar las derivadas). El cuarto sumando no tiene la variable, luego su derivada es cero. Los otros tres son productos con la variable en un único factor, por lo que en cada uno hay que derivar sólo el factor correspondiente y dejar los demás como están. Respecto de v es similar. Nota que al derivar el segundo sumando 3u 2 vw 7 la derivada es 3u 2 w 7 porque la derivada de v es l.

Ejemplo 4

Calcula las derivadas parciales de las funciones

siguientes:

a) g(x, y) = 10x 9 y 4 b) h(u, v, w) e) p(s, t) =

= 5u5 + 3u2 vw 7 -

ufo+ 9

7s 6

f2 + t

SOLUCIÓN:

oh b) ou

= 25u4 + 6uvw 7 - y'w,

oh 1 = 21u 2 vw 6 - u - ow 2fo

-

e) Conviene escribir la función en la formap(s, t) Así

~~ = 42s 5 c 2 ,

:

= 7s 6 (-2)C 3 + 1 =

= 7.·h- 2 +t.

-14s 6 C:~ +l.

• Dejamos pendiente de momento el modo de derivar productos cuando la variable aparece en varios factores.

6.3

Derivación de las funciones elementales

6.3

97

Derivación de las funciones elementales

• Tienes que aprenderte las reglas de derivación de las funciones que manejamos habitualmente, y que recogemos en la tabla siguiente, en la que incluimos el caso de las potencias, que ya hemos visto:

Función Derivada xn

nxn-1

ax

ax lna

1

lnx

-

X

senx

cosx

cosx

-senx

yÍX

1 2yÍX

Observa que la primera regla se aplica a potencias con la variable en la base (como x 5 ) y la segunda a potencias con la variable en el exponente (como 5x). Nota que el resultado es muy distinto, por lo que no debes confundir ambas reglas:

Como In e = 1, la regla para derivar exponenciales es más sencilla cuando la base es el número e, pues entonces se reduce a que la derivada de ex es ex. De hecho, el número e se define precisamente para que suceda esto: la derivada de la función ex es la misma función. Como ya hemos explicado antes, la última regla es un caso particular de la primera, pero conviene recordarla explícitamente. No obstante, ten presente que no puedes aplicarla para derivar raíces en general que no sean cuadradas. Es posible dar una regla para derivar y'X, pero te sugerimos que en general, para derivar raíces, las transformes en potencias con exponente fraccionario.

Ejemplo 5 Calcula las derivadas parciales de la función j (X, y, Z) = xY Z. SOLUCIÓN:

a¡ = yxY-lz

-

aX

Ejemplo 6

a¡

-ay =

'

xYlnx z

,

a¡-

az

y

-X.


g(r,s,t) =rsens+etlnr. SOLUCIÓN:

ag ar

6.4

= sen s + et

1

r'

ag as =rcoss,

La función f es un producto y la variable x sólo está en el primer factor, por lo que para derivar respecto de x el factor z se deja igual y derivamos el primer factor, que es una potencia con la variable x en la base, por lo que aplicamos la primera regla de la tabla anterior. En cambio, al derivar respecto de y se trata de una potencia con la variable en el exponente, por lo que aplicamos la segunda regla.

ag t at =e lnr.

Derivación de composiciones

Para derivar una composición de varias funciones procedemos como vamos a ver en el ejemplo siguiente: Ejemplo 7

Vamos a calcular las derivadas parciales de la función

Para calcular, por ejemplo, la derivada respecto de x tendremos que derivar todas las funciones que aparecen en la expresión que define a f, pero en el orden correcto. Y este orden se determina analizando qué tipo de función tenemos en cada momento. En nuestro caso, tenemos

6

98


que reconocer que la función que nos dan no es un logaritmo, ni un seno, ni una raíz, etc., sino que es una potencia quinta. Concretamente, es la función ln sen 4 x 2 y + 3y 3 elevada a 5.

J

• Como f es una potencia quinta (con exponente fijo igual a 5 y la variable en la ba.'le), aplicamos la regla correspondiente a las potencias con exponente fijo (la misma que aplicaríamos para derivar x 5), es decir, bajamos el 5 y lo sustituimos por un 4, sin modificar nada más: lln5 sen4 :r2y + ~~y31

J

llnsen 4

Jx 2y + ~~y 3

1

Como guía, observa que a la derecha teníamos la función y le hemos tachado el 5 que ya hemos derivado. Lo que queda es lo que tenemos pendiente de derivar. • Observamos que la función que nos queda es un logaritmo (es el logaritmo de otra función), por lo que ahora toca derivar el logaritmo, y la nueva derivada multiplica a la que hemos calculado antes. Para derivar el logaritmo aplicamos la regla lnx ~---+ 1/x, pero no ponemos 1/ x, sino 1 dividido entre toda la función que hay dentro del logaritmo, sin modificarla de ningún modo: 1 sen 4 Jx 2 y+3y 3 a¡ =5ln4 sen4 )x 2 y+3y 3 4 2 ax sen J x y + 3y3 Observa que a la derecha hemos tachado el logaritmo, porque ya está derivado. • A continuación observamos que la función que nos queda por derivar es una potencia cuarta, por lo que aplicamos la regla x 4 ~---+ 4x 3 , pero en lugar de x escribimos toda la base de la potencia: 1 a¡= 5ln 4 sen4 Jx2y + 3y 3 4sen3 )x 2y + 3y:~... sen J:r 2 y + 3y 3 1 ax sen4 Jx 2 y + 3y3 . • Al tachar el 4, vemos que la función resultante es un seno, por lo que aplicamos la regla sen x ~---+ cos x, pero sin tocar nada de lo que está dentro del seno:

a¡ ax

= 5ln4 sen 4 )x 2 y

· cos

+ 3y3

1 sen 4 J

x y+ 2

3y3

4sen3

J x2 y + 3y:3

Jx 2y + 3y3 · · ·

• La función que nos queda es una raíz cuadrada, luego aplicamos la regla y'X ~---+ modificar nada de lo que está dentro de la raíz:

2~

sin

• La función que nos queda es una suma, pero el segundo sumando no tiene la variable, luego su derivada es O. El primer sumando es un producto con la x sólo en el primer factor, luego derivamos éste y dejamos el factor y como está:

6.5

Derivación de productos

Dj

-,- = 5ln4 sen4 D:r

·4 sen:~

99

J x 2y + 3y3

1

J x 2y + 3y3

sen 4

J x 2y + 3y3 cos J x 2y + 3y3

1 2)x2y

2xy.

+ 3y3

• El proceso para calcular la derivada respecto de y es idéntico salvo el último paso: Dj

-

Dy

·4sen3

= 5ln4 sen4

)x2y

+ 3y 3

J x 2 y + 3y3 cos J x 2y + 3y3

1

J x2y + 3y3

sen4 1

2jx 2y

+ 3y 3

(x 2 + 9y 2 ).

Al derivar funciones compuestas de este modo es muy importante no derivar nunca dos funciones a la vez. Por ejemplo, sería incorrecto derivar sen x 4 como cos 4x 3 , porque así hemos derivado a la vez el seno y la potencia x 4 . Como la función es un seno, lo correcto es derivar primero el seno sin tocar x 4 y, una vez "tachado", derivar la potencia restante: 4 cosx 4x 3 También es importante no repetir nada ya derivado, como si al derivar sen 3 x ponemos

/J\

2

2

3sen xcos x.

~ 6.5

Derivación de productos

Ya hemos visto que si un producto tiene la variable respecto a la que derivamos sólo en un factor, se deriva derivando dicho factor y dejando los demás como están. En el caso de un producto en el que la variable esté en dos factores se aplica la fórmula siguiente: Djg _ Dj ,::¡ ,::¡ ux ux

Ejemplo 8

g+

j Dg ,::¡ • ux

Calcula las derivadas parciales de la función 2

h(x, y)= ex +5 sen(x 4 y

+ y 4 ).

SOLUCIÓN:

Esto es incorrecto, porque una vez hemos derivado la potencia y hemos escrito 3 sen 2 x, la función que tenemos por derivar pasa de sen 3 x a sen x, luego la derivada siguiente es cos x y no cos 2 x. Lo correcto es, pues: 2 3 sen x cos x.

Observa que la función h es un producto y que la variable x aparece en los dos factores, mientras que la y sólo aparece en el segundo. Esto hace que para derivar respecto de x apliquemos la regla del producto, donde f y g son, en este caso ex

2

+5

( 4 4) senxy+y.

'-v-''-v--'

f

Ejemplo 9


g

En cambio, para derivar respecto de y basta dejar el primer factor como está y derivar el segundo. Al derivar respecto de x sería incorrecto derivar cada factor:

&

2

ex

5

+- 2x cos(x 4 y+y 4 ) 4x 3 y.

SOLUCIÓN:

Dj

Du Dj

Dv

1

-¡::::::::.===;====;¡;==;¡::====:= (2

2

2}cos(eu +v uv)

sen (e u

2+ 2

v

u v)) (e u 2+ v 2 2u u v + eu 2+ v 2 v) .

6

100

6.6


Derivación de cocientes

A la hora de derivar cocientes conviene distinguir tres casos. Usaremos como ilustración la función siguiente: x2z3 h(x,y,z) = ( ) sen yz • Si la variable sólo está en el numerador, basta derivar el numerador y dejar el denominador como está.

Ejemplo lOa La función h es un cociente y la variable x sólo está en el numerador, luego basta derivar el numerador: oh 2xz 3 ox sen(yz)" • Si la variable sólo está en el denominador, lo más práctico es expresar el cociente en forma de potencia con exponente negativo y derivar la potencia.

Ejemplo lOb En la función h, la variable y sólo está en el denominador, luego, antes de derivar, expresamos h en la forma

Siempre que hagamos esto tendremos un producto en el que la variable no estará en el primer factor, luego bastará derivar el segundo:

• Si la variable está tanto en el numerador como en el denominador, usamos la fórmula siguiente:

of g- f og

ox

o(f jg)

ox

g2

ox

Ejemplo lOe La función h tiene a la variable z tanto en el numerador como en el denominador, luego para calcular la derivada aplicarnos la fórmula anterior: a¡

az

oh

f

g

~~

0l

az

,...,.__~

3x 2 z 2 sen(yz) - x 2 z 3 cos(yz )y

oz

sen 2 (yz) '---v---'

g2

6. 7

Otras reglas de derivación

Recogernos aquí otras reglas útiles para derivar funciones usuales, aunque no aparecerán en los problemas de este libro.

6.8

Algunos convenios de notación

101

Derivación de productos con más de dos factores Para derivar un producto respecto de una variable que aparece en más de dos factores, la regla del producto se generaliza de esta forma: la derivada tiene tantos sumandos como factores, y en cada sumando se deriva únicamente uno de los factores, dejando los demás sin derivar.

Ejemplo 11 Calcula las derivadas parciales de la función f(x, y)= :r 4 sen;r; exY. SOLUCIÓN:

uf üx

-

=

4x 3 sen :r exy + x 4 cos x exy + x 4 sen x exYy, ----.,..._....- ~ ----......-..1er factor 2° factor 3er factor

Como la variable x está en tres factores, la derivada tiene tres sumandos. En el primero se deriva el primer factor y se dejan los otros dos sin derivar, en el segundo se deriva el segundo factor y en el tercero el tercero. En cambio, la variable y sólo aparece en el tercer factor, luego para calcular la derivada dejarnos los dos primeros igual y derivarnos el tercero.

Derivación de potencias

Para derivar una potencia respecto de una variable que aparece tanto en la base como en el exponente lo más práctico es derivar el logaritmo de la función y luego despejar la derivada.

Ejemplo 12 SOLUCIÓN:

Calcula las derivadas parciales de la función f(x, y, z)

Para derivar respecto de x empezamos tomando

logaritmos:

lnf(:r:,y,z) = ln(sen(xy))VXz = vxzlnsen(xy). Ahora derivamos: 1 1 uf= - -z lnsen(xy) + f(x, y, z) üx 2/Xi

VxZ sen ~xy ) cos(xy)y,

luego

üf

.

1 r;;:-::;z lnsen(xy) + 2v xz

= (sen(xy))VXZ (

~f = uy

6.8

Al aplicar este método, después de tomar logaritmos aplicamos siempre la propiedad que nos permite bajar el exponente para convertir la función en un producto. Así, el miembro derecho de la igualdad se deriva siempre como un producto, mientras que el miembro izquierdo será siempre In J, y su derivada es siempre 1 a¡

f Bx

~ = f(x, y, z)(

ux

= (sen(xy))v'Xz.

vxz sen1(xy )cos(xy)y)

(se deriva el logaritmo y luego!).

1 1 r;;:-::;z lnsen(xy)+vxz ( ) cos(xy)y), 2yxz sen xy

vxz (sen(xy))v'Xz-l cos(xy)x,

üf 1 = (sen(xy))VXz lnsen(xy) r;;:-::;x. uz 2yxz

!:l

Algunos convenios de notación

• A la hora de representar una derivada calculada en un punto, escribiremos

a¡¡ üx

en lugar de (2,1,5)

a¡

üx (2, 1, 5).

6

102

Ejemplo 13

Evita escribir un = entre la función derivada y la derivada en un punto. No es correcto escribir:

!;A a¡¡

~ ni

(1,5,2)

a¡ az

= x y 2z = 20.

Dada la función f(x, y, z) = x 4 yz 2 , calcula

a¡\ az (1,5,2)

=x 4 y2z=20

az


SOLUCIÓN:

a¡\

4

= 14 . 5 . 2 . 2 = 20.

8z

(1,5,2)

• Es costumbre usar la notación

f'(x)

o

df

dx

en lugar de

a¡ ax

exclusivamente para funciones de una variable. El uso de estas notaciones alternativas es opcional, es decir, es correcto usarlas, pero también es correcto usar la notación general para las derivadas parciales. En cambio, es incorrecto usar cualquiera de las dos notaciones alternativas si la función tiene varias variables.

6.9

Vector gradiente y matriz jacobiana

• Si f : D e IR.n -----+ IR. es una función escalar derivable en su dominio, su vector gradiente es el vector formado por sus derivadas parciales:

'Vf(x1, ... ,xn) = (aa¡ ' ... ' aa¡). X¡

Xn

• Si f : D e IR.n -----+ IR.m es una función vectorial derivable en su dominio, su matriz jacobiana es la matriz m x n que tiene por filas los vectores gradientes de sus funciones coordenadas:

Ejemplo 14

Calcula el vector gradiente de la función f(x,y,z) = x 5 y 2 lnz en el punto (-1,2, 1).

SOLUCIÓN:

a¡ a¡ a¡) 4 2 5 5 21 'Vf(x,y,z) = ( ax' ay' az = (5x y lnz,x 2ylnz,x y~) Ejemplo 15

=?

Calcula la matriz jacobiana de f(x, y, z) = (x 2 yz, x

'Vf(-1,2,1) = (0,0,-4).

+ 2y + ez)

en el punto (3, 2, 0).

SOLUCIÓN: Se trata de una función vectorial cuyas funciones coordenadas son las funciones fl(x, y, z) = x 2 yz y h(x, y, z) = x + 2y + ez. La matriz jacobiana es i!.h.

ax

Jf(x,y,z)= (

ah

ax

i!.h.) :;2 az

= (

2xyz 1

6.10

6.10

Problemas resueltos

103

Problemas resueltos

l. Calcula las derivadas parciales de las funciones siguientes 2 a) f¡ (x, y)= cx ln(x 2y + 3y) b) h(x, y)

e) e)

h(x, y)= 3scnx ln4 x2 y 3 2vÍX+ cos5 x 2 j5(x, y)= y8 s ln3r

g) h(r, s, t) = (s + 2t)5

2

i)

fg(a, b) = (cos ya) b +2

k)

f¡¡ (x, y)

=

ex + 1 cos3 (5x 3y 3

+ x + 2)

JX cos(x + xy 2)

=

d)

j4(x, y, z)

=

y'X3x cos2 y 5 y3 + z3

f)

f6(x, y, z)

=

(x

h)

fs(x, y)= y'Xln 4 (3x 2y 4 +y+ 2)

j)

fw(x, y, z)

l)

h2(x, y)

=

+ y2)1nz

y (ln z )Y

3 -

{lcos(1/y3)

2 cos 5 2 X2

e3x

=

{/l

ny+y 6

SOLUCIÓN:

a)

b)

oh ox oh oy oh ox

X

2

2

1 2xy 2 X y +3y

1 2 3 (x + 3) y+ y

~X cos(x + xy 2) + JX(- sen(x + xy 2))(1 + y 2)

a¡3 ax

x 3sen x ln 3 COS X ln 4 -

oh oy

3senx 4ln3 .!.__1_ ( -2)xy-3 y2 xjy2

a¡4 ox af4 ay a¡4 ()z

e)

ex2

2

JX(- sen(x + xy2))2xy

-

d)

2

ah oy

-

e)

é 2x ln(x 2y + 3y) +ex

a¡5 ax

8!5

-

ay

~

1 ( --

2yÍX 3x

+ 3sen x 4ln3 -x

1 1 -- -

y2xj~~

+ JX 3x ln 3) cos 2 y 5 y3 + z3

JX 3x2 cos y 5(- sen y 5)5y 4(y 3 + z 3) - JX 3x cos 2 y 3 3y 2 (y3

+ z3)2

-JX 3x cos2 y5(y3 + z3)-23z2

./r cos5 x 2 + 2vÍX+3 5 cos4 x 2(- sen x 2) 2x

2vÍX+ 3 ln 2 2

y8 2vlx+ 3 cos5 x 2( -8)y- 9

6

104


f) 8!6 8x 8!6 8y 8!6 8z Observa que si el denominador es ya una potencia, como en este caso, no es necesario expresar la función como

g) h(r, s, t) = s ln3 r(s + 2t)- 5

os

3sln2 r(1/r) (s + 2t) 5 ln3 r(s + 2t) 5 + s ln3 r 5(s + 2t) 4 (s + 2t) 10

8h

-5sln3 r(s+2t)- 6 2

8h 8r

8h sino que basta cambiar el signo al exponente.

8t

h)

8fs 8x

8fs 8y

1 r::.ln4(3x 2 y 4 +y+ 2) + 2yx

.jX4ln3(3x 2 y 4 +y+2)

La función fg es una potencia. Como la variable a está en la base aplicamos la regla de bajar el exponente y restar 1, y luego hay que continuar derivando la base. Bn cambio, la variable b está en el exponente, por lo que aplicamos la regla de dejar la función como está y multiplicar por el logaritmo de la base, y luego hay que continuar derivando el exponente.

i)

8

fg

8a

8fg

8b

j)

3x 2 y 4 +y+

2

6xy 4

1 (12x 2 y3 +1) 4 3x y +y+2 2

(b 2 + 2) (cos va)b + 1(-sen va) 2

1 (;;"

2ya

(cos va) b +2ln cos Va 2b 2

8fw 8x

8fw 8y

8fw k)

1

.jX 4ln3(3x 2 y4 +y+ 2).

8z

( (ln z )Y

3 -

2

+y (ln z )Y

y (y 3 - 2)(lnz)Y

3 -

3 -

2

ln(ln z) 3y 2 ) cos5

:

2

3 ~ cos5 2 2 Z

X

8ox fu =ex 3 +1 3x 2 cos 3(5x 3y+x+2)+é 3 +1 3cos 2 (5x 3y+x+2)(-sen(5x 3y+x+2))(15:r 2 y+1)

afn =ex3+1 3 cos 2 (5x 3 y+ x + 2)(- sen(5x 3 y+ x + 2))5x'3 By Observa que podríamos haber expresado la función en la forma

1) h2(x, y) = e3 x (ln y+ y 6 )- 113 \llny + y 6

pero como para derivar la raíz cúbica la vamos a expresar como 1 3 ( ) 1 , es más práctico subir el exponente 1/3 como -1/3.

é:( -})(lny+y6)-4/3(~ +6Jl)

6.10

Problemas resueltos

105

2. Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes: (a) f(u,v,w) = 2uvuv

(b) g(r, s) = -1 -

+ w2

1 1

r

s

= 5p + 3q + r- 0 ·7 -lnlns

(e) h(p,q, r, s) SOLUCIÓN:

= (2uvuv ln 2( JUv +u

(a) 'V f(u, v, w)

~v), 2uvfuV(ln2) u ~u, 2w)

( (1 1)- (-1)r- (1 1)- s11) = 5,3,0.7r 2

(b) \lg(r,s)=

-

2

'2 , -

;:--; '

(e) \lh(p,q,r,s)

-0.3

(

;:--;

,-lns-;

3. Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes:

= (usen3 v,u3 senv 3), 2 (b) g(r, s) = ((er + 6) 84 , 5, {/"r-2,.-+_r_s) (e) h(t) = (sent,eost,lnt,Vt) (a) f(u,v)

SOLUCIÓN:

3 3u sen 2 v eos v ) v (a ) J f (u,v ) = ( sen 3u2senv3 u 3 cosv 3 3v 2

S 4 ( er

(b) Jg(r, s)

= (

(e) Jh(t)

=

2

+ 6)

84

-

1

2

er 2r

O i(r- + rs)- 415 (2r + s) 2

cos t -sent 1 -

t

1 2Vt

1yuv

2y·uv

2)

6

106

6.11



l. Calcula las derivadas parciales de las funciones siguientes: 2x 5y 2 + 3x 2y - 2x

3x5y7

2seny cos5(x2y4

+y- 6

Vfj senx

ln 4 sen3 J3x 2y- 2y 2

+ x3)

x6ey4

(x2

+ z2)3

Jx 2 cos(y 3z

+ z 6)

_::__5y+3 y5

7:u;xfy

z- 2

2. Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes: (a) JI(x, y, z)

= 3x 5y + xy4 z + y 5 + 2z 2 + 5,

(b) h(r,s) = r 5 cos3s 4 ,

(e) h(u,v,w) = (u 2 +2uv+vw 5 )eu+ 2 v~w+l, (d) f4(P, q)

= sen8 (p2 + q3),

(e) j5(p, q) = sen(p + 2q 2)8 . 3. Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes:

(a) f(x, y) = (x 5y, x +y, x 2 - 3xy)

(b) g(u,v,w) = (u 3evw, 7)

(e) P(q) = (lnq, 3q, Jq3- 3q, q + 1) ~-----=-

4. Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes: (a) f(x, y, z) = x 5y-3x 2z+xyz-3y+2, (g) k(x, y)= if&i?,

(b) g(x,y) = xjy 3 ,

(e) h(x, y, z) = (d) p(u,v) =

(h) L(r, s) = ijfr+S,

JX sen(x 2 + y 2 + z 2 ),

u+v , u 2 +v 2

.

(e) t(p,q) = 1+q2'

b- b3

, (1) P(a,b) = 2 a + 2b -1 (j) Q(x, y, z) =

p

~' y+2z

(k) T(v,w) = ln3 (v/w).

5. Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes: (g) h(p, q) = ( q sen p, p 3 2Pq, ijP) (a) f(x,y,z) = (x+y 2 ,xyz)

(h) p(x,y) = (x 2 ,xy,xY)

(b) T(s) = (s 2 + 1, 1/s, ijS)

(e) g(x, y)= (x, y, ln(x +y), x sen y) (d) r ( x, y, z)

= (xy 2 -

(e) f(p, q, r) = (p3

z 5 , 8, 2xy

3 )

+ q2 ,p + qr3)

(f) f(x,y) = (eY,x2x+ 2Y, 7)

(i) h(s, t) = (s 2 t, s, e 8 t) (j) G(p,q) = (lnp, ~,ypq) (k) g(x, y)= (x 2y, 3x + y 4 )

xY

..

6.11


107

6. Calcula las derivadas parciales de las funciones siguientes: l. j(:1:, y, z)

=

3:I: 2 y

+ 5z:{- 8

21. M(j,

g) =

!3 + 6 {.1'92+3

(

7

22. T(t, u)= 5etfu

2. p(q,r)=qeosr+r 5 lnq

g2

5

+ 3)

+ ln(t- u)

23. f(x, y)= y'ln(x 4 sen5 y'y) 24. q ('U 1 V1 W)

3u (2 sen v cos5 w

=

-,----------:,.-------:-=-

4. G(s,t)

=

2st 2 + t . 5t·3 +S 2

25. g(p, q, r)

5. T(k, l)

=

-l5 ·+2

é-l

26. Q(i,j, k)= 2i sen(jk)vÍk

= p 2 sen3 q2 eq-r

27. f(x, y)= 5el/x+l/y2

Visen r 6. P(r, s, t) = 3r5 - 24s+2

28. F(x, y, z) = 2x(3 + y'y)-z ep-q

8. g(v, w) = ln scn4 v/v 3 5

-

5senx

=

30. r(s, t) = 5

+z

14. j(y, z) /

=

'{

5y•

16. y(u, v) 17. K(x, y)

-

1

3/w)

= ln5 (1/a + 2/b / a+ 1 e·5

5 -v 13

= 'U 5 evfw + w ln 5 x

= (1 + senx) 2 lnz

35. g(x, t)

= (x 3 + 3x + 2)5x +3 t

36. h(x, t)

=

2

+ 3x + 2) 3t (x + ex)5

(x 3

38. A(f,g) = j2

4

ijj}) 3 1

+ g 2 cos j

v/sen u

= -'--uv = (ln y'x)Y

3 5

18. Q(a, b, e)= (2a- 5b) 3c+ 2 eY

19. f(x,y) = ( 2 3 X y· 20. L(r, s, t)

=

+8 + X )17

2r 8 sen t

sen4 r

)

2u+vJ cos5 v3

37. p(x, y)= (y+

+ 7z 16

4

34. f(x, z)

9

15. x( u, v) = (2u + v )evÍU

(s + t) 6 + st

33. p( 'U, v, w, x)

=; ~ ~2 1

=

32. f( u, V)

~ln(a 5 M)

12. q(u,v,w) = (ln5 u)eifV(w 3 1:3. F(M,N)

31. k(a,b,e)

ln 3 y+ z 2

11. R(a, b, e)=

p

5v 2 w5

9. p(rn, n) =2 3m sen Vm 2 + 8n

+ 3q-p

= ----

29. k(p,q)

10. S(x, y, z)

+ 4)5

B(h k l)

9.

' '

= h3ln4(h2 + hk) ~

4

6

108

7 0 Calcula las derivada..'> parciales de las funciones siguientes:

20 J(x,y) = sen3 (lnx 5 )xY

2

+3Y

1/x4

3° g(x, Y) = (e2x

ex cosy 230 Q(x, y)= Jy 5 + 1 240 f(x, y)= x 5 sen4 y'fj

f (x, y) = x sen5 ex y

1.

250 g(x, y) = e 2 x ln(2x- 3y) 260 f(x,y) = xcosex/y

+ xy3)3

270 f(x, y)= x 2y lnx 2 2

4 0 f(x, y, z) = x 2 (sen 4 y'fj)2x z+z 1

50 f(x, y)

280 g(x, y)= (x7

+ JX) ln5 y

290 f(x,y) = ijx 2 + 2xy

= x2Y

ye2x

60 f(x, y)= 31/x3ln5 ~

300 g(x, y)

70 g(x, y) = (sen x2)cosy x

31. f(x,y) = yln(x 2

o

sen JX cosy

= y2 + 1

3

80 f(x,y) =


+ xy)

xeY2

320 g(x, y) = ~

y

9 0 J(x, y) = {15x 2 + 3y3 lnx 100 f(x,y) = x 4 cos 5 JXY 11. g(x, y)= ln(x/y) 2 120 f(x, y)= (x 3 + 4xy)eh +5

330 f(x, y)= é

2

Y cos

Jx 3

+Y

340 f(x, y, z) = eXIY sen 2 z 5 350 f(x,y) =x 2 cosJx 3 y+y 2 360 g(x, y)

= 4ex/y + x 2 + 3

lnx 130 g(x, y)= (x2 + y)5

370 f(x,y) = exJ:ry 2 - 3y

140 f(x, y) =y'ex senxy

sen(xy) 380 g(x, y, z) = l ( )

ifC

150 g(x,y) = cos3( y 2 + 1) 160 f(x, y)= (2xy

+ 1) scn5 JX

2xy 17 g (x' y) = x5 - 3x + 1 o

180 f(x,y)

n xz

ln 4 y 0 39 J(x, y, z) = y'senx y 2 + z 4 400 f(x, y) = (xy 2 + 2y) ln 41. g(x, y)=

senx

J"iJil

420 f(x, y)= sen5

x2ey3

430 g(x, y)= (3x 6 y

lnx

21. g(x, y)= ex2+2y3 senx4 220 P(x,y) =

Vfx ln4 (y 2 -4 )

+ lnx)eVx

440 f(x, y)= x 3 ln 2 (xy)

5 200 f(x, y)= ln (x/y) 450 g(x, y)=

JX

Tu

=sen~

190 g(x,y) =

5

Vx+1 +lny Y;3 +y

7

Interpretación de la derivada

En esta sección introduciremos la definición de derivada, a partir de la cual pueden deducirse las regla.•.; de derivación que hemos expuesto en la sección anterior, aunque lo más importante es que nos mostrará la interpretación económica de la derivada que hasta ahora hemos presentado como un mero cálculo.

7.1

Un conjunto D es abierto si cuando contiene a un punto f5 contiene también a todos los puntos de la forma p + ,6.x, para incrementos ,6.x de norma suficientemente pequeña, es decir, que si partirnos de un punto del conjunto podemos incrementar un poco sus coordenadas en cualquier dirección sin salirnos del conjunto. La hipótesis de que el dominio de una función sea abierto será necesaria en teoría siempre que tratemos con increllléntos e, indirectamente, con derivadas.

La definición de derivada parcial

Si f : D e !Rn -----t IR es una función definida en un dominio abierto D y j5 E D es un punto de dicho dominio, se define la derivada parcial de f respecto de la variable Xi en el punto j5 como

La interpretación es la siguiente:

La derivada de una función f respecto de una variable Xi en un punto j5 representa aproximadamente el incremento que experimenta la función f por cada unidad que se incrementa la variable Xi partiendo de que el valor inicial de sus variables es el dado por el punto p, suponiendo que las variables distintas de Xi no se modifican. La aproximación será mejor cuanto menor sea el incremento de la variable Xi.

• En efecto, si analizamos la definición de derivada vemos que

lím

ñx;---+0

/

válido para incrementos ,6.x;

:::::!

O

~Xi f

/

incremento parcial de f cuando x; aumenta en ,6.x;

(p) (~Xi) ~Xi

~

por cada unidad de incremento de x;

Observa que si no estuviera el límite en la definición, tendríamos exactamente el incremento de la función por cada unidad que aumenta la variable Xi, pero este "incremento unitario" dependería del incremento concreto ~Xi considerado. Al calcular el límite obtenemos un número (la derivada parcial) que no coincide exactamente con el incremento unitario, pero éste se parece más a la derivada cuanto más se parece a O el incremento ~Xi· • Equivalentemente:

109

7 Interpretación de la derivada

110

El incremento parcial que experimenta una función cuando una de sus variables sufre un incremento ó.xi y las demás permanecen constantes es aproximadamente igual a la derivada de la función respecto de la variable que se incrementa, calculada en el punto de partida j5 del incremento, multiplicada por el incremento ó.xi. La aproximación será mejor cuanto menor sea el incremento de la variable.

Esto se debe a que al multiplicar la derivada por el incremento estamos multiplicando una aproximación de "el incremento de la función por cada unidad que se incrementa la variable" por el número de unidades que se incrementa la variable, lo cual nos da una aproximación del incremento que experimenta la función.

Ejemplo la

Una empresa fabrica dos productos A y B, de modo que su función de beneficios es

B(x, y)= x 2

+ 3y 2 -

xy- 20,

donde x e y son, respectivamente, las cantidades producidas de A y B. La producción actual de la empresa es (x, y) = (200, 150). a) Calcula las derivadas parciales de la función B para la producción actual e interprétalas. b) Calcula el incremento de beneficio que se produciría si la empresa incrementa en 2 unidades la producción del producto A. ¿Y si el incremento es en la producción de B? e) Calcula de forma aproximada los incrementos del apartado anterior usando las derivadas parciales. d) Calcula el porcentaje de error de la aproximación. e) A la vista de los resultados, si la empresa puede elegir entre aumentar en 2 unidades la producción de uno de sus productos, ¿qué opción es preferible? SOLUCIÓN:

a)

aB

ox = 2x- y,

aB\

-

ox

aB

=250 (200,150)

'

ay

= 6y- x,

aB\

-

ay

=

700.

(2oo,J5o)

INTERPRETACIÓN:

Por cada unidad que la empresa aumente la producción del producto A, sus beneficios aumentarán aproximadamente en 250 u. m. partiendo de que actualmente se producen 200 unidades de A y 150 unidades de By suponiendo que la producción de B no se modifica. Por cada unidad que la empresa aumente la producción del producto B, sus beneficios aumentarán aproximadamente en 700 u.m. partiendo de que actualmente se producen 200 unidades de A y 150 unidades de By suponiendo que la producción de A no se modifica. b) Los incrementos exactos son:

Ó.xB(200, 150)(2) = B(202, 150)- B(200, 150) = 77984- 77 480 = 504 u.m. ó.yB(200, 150)(2) = B(200, 152) - B(200, 150) = 78 892- 77 480 = 1412 u.m.

7.1

La definición de derivada parcial

111

e)

~xB(200, 150)(2)

R:j

~f 1

·

2 = 250 · 2 = 500 u.m

X (200,150)

~yB(200, 150)(2)

R:j

~f y

1

·

2

= 700 · 2 = 1400 u.m

(200, 150)

Cuando calculamos una magnitud de forma aproximada, el error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto:

Error= VA- VE, pero es más representativo el error relativo o porcentaje de error,

d) Los errores relativos de las aproximaciones son: Er =

EX =

500 504 · 100 = -0.8o/cO, 504

VA-VE VE ·lOO.

Observa que un error (absoluto o relativo) positivo indica que la aproximación es mayor que el valor real, mientras que un error negativo indica que la aproximación es menor que el valor real.

1400- 1412 . 100 = -0.85%. 1412 e) Los cálculos del apartado b) (o, equivalentemente, los del apartado e), muestran que el aumento de beneficio es mucho mayor si se incrementa la producción de B. Por lo tanto, es preferible esta opción.

Ey

=

De todos modos, si una función no

• Conviene tener presente que, puesto que la derivada se es derivable en todos los puntos de define como un límite, no tiene por qué existir. Cuando su dominio, siempre podemos considerarla únicamente sobre el subexiste en todos los puntos del dominio de una función dominio de los puntos donde es def, entonces podemos hablar de la función derivada, rivable, y sobre él está definida la que a cada punto de dicho dominio le asigna la derivada función derivada. respecto de la variable Xi. " • En la práctica, todas las funciones compuestas por funciones "usuales" (polinomios, exponenciales, logaritmos, senos, etc.) son derivables en todos los puntos de su dominio, con la única posible excepción de las que contienen raíces, que pueden no ser derivables donde éstas valen O.

fJf

• Las derivadas de las funciones usuales pueden calcularse mediante las reglas que expusimos en la sección anterior. Dichas reglas son formas prácticas de calcular el límite que aparece en la definición de derivada, y todas ellas pueden justificarse a partir de dicha definición. Esto significa que, en la práctica, a la hora de calcular derivadas de funciones usuales, nunca tendremos necesidad de aplicar la definición, sino que bastará derivar mediante las reglas que hemos aprendido. No obstante, la definición de derivada tiene interés para nosotros porque nos proporciona la interpretación que acabamos de presentar.

Ejemplo lb Como muestra de la equivalencia entre la definición de derivada y las reglas de derivación vamos a calcular otra vez la derivada

8B =2x-y 8x

-

del ejemplo anterior mediante la definición de derivada, es decir, como nunca tendremos necesidad de hacerlo en la práctica. Según la definición:

8B = lím ~xB(x, y)(~x). 8x ~x--+0 ~X


112 Calculamos primero el incremento de B:

b..xB(x, y)(b..x)

B(x + b..x, y)- B(x, y) (x + b..x) 2 + 3y 2 - (x + b..x)y- 20- (x 2 + 3y 2 - xy- 20) ¡;2 + 2xb..x + b..x2+ ?/¡¡2- Jjy- yb..x- 40- 132- ?/¡¡2+ J/y+ 4() 2xb..x + b..x 2 - yb..x = b..x(2x + b..x- y)

Ahora calculamos el incremento por unidad de incremento de x:

b..xB(x, y)(b..x) _ LXx(2x + b..x- y) _ ,. . - 2X+ uX- y b..x LXx

---,----- -

y por último calculamos el límite:

8 B = lím 2x + b..x - y = 2x - y. ll.x--->0 8X Vemos que el resultado es el mismo que obtenemos al aplicar las reglas de derivación. • Como hemos indicado, no todas las funciones son derivables en los puntos donde se pueden calcular, pero entre las funciones usuales la única excepción la proporcionan las raíces en los puntos donde valen cero.

Ejemplo 2

a¡\ 8x

0

La función f(x) = ijX no es derivable en x =O. En efecto: lím b..f(O)(b..x) = lím f(O ll.x--->0 b..x ll.x--->0

+ b..x)b..x

f(O) = lím ~-O = lím b..xl/3 ll.x--->0 b..x ll.x--->0 b..x

1 lím b..x- 213 = lím - - - = +oo . ll.x--->0 ll.x--->0 yux~ 3~

7.2

Observaciones sobre la interpretación de la derivada • Es importante tener presente que la derivada de una función sólo aproxima bien los incrementos de la función correspondientes a incrementos pequeños de la variable. Desde un punto de vista matemático no hay ningún criterio que nos permita saber cómo de pequeño debe ser el incremento de la variable para que la aproximación obtenida por la derivada sea fiable, pero en la medida en que una función refleje adecuadamente una situación económica es de esperar que las derivadas aproximen correctamente los incrementos correspondientes a 'incrementos marginales de las variables, es decir, incrementos que sean pequeños en relación a los valores que toman las variables, de modo que no modifiquen esencialmente la situación económica considerada. • Por ejemplo, si A(r,p) representa el ahorro de un trabajador en función de su salario r y del IPC p, y actualmente el trabajador tiene un salario de 1200€ mensuales y p = 2, cabe esperar que si dicho salario se modifica, digamos, en 50€ (un 4.16%) el trabajador modificará ligeramente su nivel de ahorro, y dicha aproximación debería poder aproximarse

7.2

Observaciones sobre la interpretación de la derivada

113

satisfactoriamente mediante la derivada ~¿ 1 (l 200 ,2 ), mientras que si el trabajador cambia de empleo y pasa a cobrar 5 000€ mensuales, a partir de ese momento reconsiderará completamente su política de ahorro, con lo que no es razonable esperar que su situación cuando cobraba 1 200 € (reflejada en la derivada ~¿ 1 ( 1200 ,2 )) pueda servir de referencia para predecir su comportamiento con un salario de 5 000 € . Así pues, el incremento de 50 € es un incremento marginal del salario, porque cabe esperar que produzca alguna variación en el nivel de ahorro, pero no es lo suficientemente significativo como para producir un cambio drástico, de modo que el nuevo nivel de ahorro puede predecirse aproximadamente a partir del nivel inicial. En cambio, el incremento de 3 800 € no es un incremento marginal, y no cabe esperar que la derivada aproxime bien su efecto sobre el nivel de ahorro.

Ejemplo le

Consideremos de nuevo la función de beneficios

B(x, y)= x 2

+ 3y 2 -

xy- 20.

Ya hemos visto que si, partiendo de una producción (x, y) = (200, 150), la empresa decide aumentar en 2 unidades la cantidad producida del producto A, la derivada aproxima el incremento con un error de un 0.8%. Veamos en cambio lo que sucede si intentamos aproximar con la misma derivada el incremento de beneficio que se produce si la empresa duplica la cantidad producida de A: ~xB(200,

150)(200)

= B( 400, 150) - B(200, 150) = 167 480- 77 480 = 90 000,

mientras que la aproximación mediante la derivada es: ~xB(200,

150)(200) ~

aaBj X

(200,150)

·200 = 50000,

de modo que el error relativo es

E = 50 000 - 90 000 . 100 = _ 44 .4 %. _.--90000 Así pues, la derivada aproxima satisfactoriamente el incremento correspondiente a un aumento de 2 unidades en la producción de A porque es un incremento marginal, pero proporciona un valor muy alejado del incremento real cuando el incremento de la producción es de 200 unidades (un 100%) porque el incremento no es marginal. • A la hora de interpretar derivadas debemos tener presente que puede suceder que las unidades en que se mide una determinada variable pueden hacer que un incremento de una unidad no sea un incremento marginal, de modo que la derivada sólo aproximará correctamente incrementos de la variable mucho menores que una unidad. Por ello, cuando decimos que la derivada indica "el incremento de la función por cada unidad que aumenta la variable", ese "por cada unidad" no siempre puede entenderse literalmente, es decir, como que un incremento de una unidad en la variable modificará la función como indica la derivada, sino únicamente expresa que la proporción entre incrementos (mucho menores que la unidad) de la variable y los incrementos correspondientes de la función es la que indica la derivada.


114

• En economía es frecuente usar la palabra "marginal" para referirse a las derivadas, de modo que "beneficio marginal" es la derivada del beneficio, "coste marginal" la derivada del coste, "utilidad marginal" la derivada de la utilidad, etc. Si invertimos un capital C 0 con un interés anual i, al cabo de un tiempo t, tenemos un capital dado por la función C( Co, i, t) = Co(1 + i)t. Supongamos que invertimos 1 000 € durante 5 años y que el tipo de interés es i = 0.04.

Ejemplo 3

a) Calcula el capital final. b) Calcula la derivada

~~

e interprétala.

1

~

(1 000,0.05,0)

e) Calcula de forma exacta y aproximada en cuánto se modificaría el capital final s1 el tipo de interés aplicado no fuera del 4% sino del 4.2%. Aquí es esencial advertir que aumentar una unidad el tipo de interés significa pasar de un 4% de interés a un 104% de interés, por lo que se trata de un incremento que de modo alguno puede considerarse marginal. Esto hace que el número 5 849.29 no sea creíble como incremento de capital que se produciría si realmente pudiéramos conseguir un 104% de interés para nuestro capital inicial. De hecho, si haces el cálculo exacto, comprobarás que el capital final sería C(l,OOO, 1.04,5) = 35330.58€, luego el incremento de capital sería .6-;G(l 000, 0.04, 5)(1)

= 34114€,

muy distinto de los 5 849 € que predice la derivada. Sin embargo, el valor 5 849.29 sí que proporciona buenas aproximaciones para incrementos marginales de i, como podemos comprobar en el apartado e), donde el error relativo de la aproximación es del orden del 0.4%.

a) C(1 000, 0.04, 5)

SOLUCIÓN:

b)

~~

= C0 t(1

+ i)t- 1

::::}

= 1 000(1.04) 5 = 1216.65€.

ac\~ (1 000,0.04,5) = 5 849.29. a-

INTERPRETACIÓN: Por cada unidad que aumente el tipo de interés i, el capital final aumentará en 5 849.29€ partiendo de que invertimos 1 000€ durante 5 años, que el interés de partida era i = 0.04 y suponiendo que el capital inicial y el tiempo no se modifican.

e) ~iC(1 000, 0.04, 5)(0.002) = C(1 000, 0.042, 5) - C(1 000, 0.04, 5) = 1228.4- 1216.65 = 11.74€. La aproximación con la derivada es: ~iC(1

000, 0.04, 5)(0.002) ~

ac\

T

( ~

. 0.002 (1 000,0.04,5)

= 5 849.29. 0.002 = 11.69.

• Notemos que el signo de la derivada tiene una interpretación muy simple: una derivada positiva indica que un aumento de la variable provoca un aumento de la función, mientras que una derivada negativa indica que un aumento de la variable provoca una disminución de la función (siempre ceteri.s paribus, es decir, suponiendo que no se modifica ninguna otra variable de la que pueda depender la función).

Ejemplo 4 La función B(p, D, C) determina el beneficio de una empresa en función del precio de venta p de su producto, su demanda D y el coste de producción C. Razona cuál es el signo que

7.3

Interpretación geométrica de la derivada

115

cabe esperar en las derivadas:

8B

8B

8B

8p'

8D'

ac·

SOLUCIÓN: La derivada respecto de p debe ser positiva, pues si aumenta el precio de venta (y el coste y la demanda permanecen constantes) el beneficio de la empresa aumentará.

La derivada respecto de D también debe ser positiva, pues (suponiendo que la venta del producto resulta rentable a la empresa) si vende más unidades (al mismo precio y con el mismo coste), el beneficio debe aumentar. En cambio, la derivada respecto de C debe ser negativa, pues si aumenta el coste de producción (y la empresa sigue vendiendo la misma cantidad de producto al mismo precio) su beneficio disminuirá.

7.3

Observa que de aquí no se puede deducir que un aumento del precio hará aumentar el beneficio de la empresa, sino únicamente que esto es lo que sucedería si aumentara el precio y la demanda permaneciera inalterada. Como en la práctica es probable que un aumento de precio haga disminuir la demanda, , . d 8B aunque la d enva a Bp sera necesariamente positiva, no podemos deducir de ella la variación que sufrirá el beneficio porque la hipótesis ceteris paribus implícita en ella no es realista.

Interpretación geométrica de la derivada

Para explicar el significado geométrico de las derivadas parciales consideraremos primero un ejemplo: Ejemplo 5 La función de costes~e una empresa es C(q) = q3 - 9q 2 + 36q + 20, donde q es la cantidad que fabrica de su producto. Por lo tanto, si lo vende a un precio p, su beneficio es B(p, q) = pq- q3 + 9q 2 - 36q- 20. Consideramos la derivada parcial

8B

8q = p - 3q

aB¡ En particular: -,8q (10,5)

= -11,

2

aB¡ =4 8q (25,5) '

+ 18q -

•

36.

aB¡ 8q (10,7) = -47,

aB¡ 8q (25,7) = -32.

Conocemos la interpretación económica de estas derivadas. Por ejemplo, la primera significa que por cada unidad que aumente la producción, el beneficio de la empresa disminuye en 11 unidades si el precio de venta es p = 10 y la producción de partida es q = 5, suponiendo que no se modifique el precio. 50

La gráfica muestra las funciones B(10, q) y B(25, q). Vemos que si el precio de venta es p = 10 el beneficio de la empresa es siempre negativo (la producción no resulta rentable), mientras que con p = 25 hay un intervalo de precios en los que la producción sí que es rentable. Geométricamente, la derivada

8Bl a

-50

-100

es la pen-

q (25,5) diente de la gráfica de B(25, q) en el punto P correspondiente a q = 5. La recta r es la recta que pasa por P con la misma pendiente (la que se conoce como recta tangente a la gráfica en el punto P). En el caso de la recta la pendiente


116

significa que por cada unidad que avanzamos, la recta sube 4 unidades. El signo negativo de la derivada

~B

1

se traduce en que la pendiente de la gáfica de B(10, q) en el punto Q (o la de

q (10,5)

la recta tangente s) es negativa: por cada unidad que avanzamos, la recta s baja 11 unidades. Similarmente, las rectas tangentes t y u permiten visualizar las derivadas en los puntos (25, 7) y (10, 7). Cuanto "más empinada" es la recta, mayor es la derivada (más positiva si la recta sube y má.'> negativa si la recta baja). En general: La derivada parcial de una función f(x 1 , ... , xn) respecto de una variable xi en un punto j5 representa la pendiente de la gráfica de la función f(xi) (en la que mantenemos fijas las demás variables) en el punto Xi en que se calcula la derivada, es decir, la pendiente de su recta tangente en dicho punto. Cuanto mayor es la derivada, más inclinada está la tangente a la gráfica en el punto correspondiente a la derivada. Las derivadas positivas se corresponden con tangentes que suben al aumentar la variable, y las derivadas negativas con tangentes que bajan al aumentar la variable.

7.4

Derivadas en porcentaje y elasticidad

• A menudo es más conveniente expresar los incrementos de las funciones y/ o de las variables en porcentaje en lugar de en términos absolutos. Esto nos lleva a las modificaciones siguientes de la derivada: Observa que si, por ejemplo, el precio de un artículo es de 30€ y quieres saber en qué tanto por ciento ha aumentado si sube 4€, el cálculo es ( 4/30) · 100. Igualmente, si una función toma un vaaF . l or F y se mcrementa en este incremento supone un porcentaje de

Derivada en porcentaje:

y ésta es precisamente la fórmula de la derivada en porcentaje. Si quitamos el 100 tenemos el incremento en tanto por uno.

Derivada en tanto por 1:

ax ,

(~: /F) ·100,

l'~n cuanto a la elasticidad, se obtiene multiplicando la derivada en tanto por ciento (que nos da el incremento en tanto por ciento por cada unidad que aumenta la variable) por un incremento de un 1% de la variable, es decir, por ~x = x/100, con lo que obtenem os 1oo aF x F 8x lOO y esto se simplifica hasta la fórmula de la elasticidad.

100oF F ox

Indica el tanto por ciento en que varía la función F por cada unidad que aumenta la variable x, partiendo del punto en el que se calcula la derivada y suponiendo que cualquier otra variable distinta de x de la que dependa la función F no se modifica.

1 aF F ox La interpretación es la misma que la anterior, pero cambiando "tanto por ciento" por "tanto por uno" .

Elasticidad:

x

aF

Fox Indica el tanto por ciento en que varía la función F por cada 1% que aumenta la variable x, partiendo del punto en el que se calcula la derivada y suponiendo que cualquier otra variable distinta de x de la que dependa la función F no se modifica.

7.5

Problemas resueltos

7.5

117

Problemas resueltos

l. La función de beneficios de una empresa es B(x, y)= 5x + xy- x 2 +50, donde x e y son las toneladas que elabora diariamente de dos productos X e Y. Actualmente la producción de la empresa es de 5 toneladas de X y 15 de Y. (a) Calcula el beneficio marginal respecto de Y para las producciones actuales e interprétalo. (b) Expresa la derivada anterior en porcentaje e interprétala. (e) Escribe la fórmula que permite calcular aproximadamente el incremento de beneficio que se produce si la producción de Y pasa a ser de 14.8 toneladas y úsala para calcular dicho incremento. (d) Calcula el incremento exacto y el porcentaje de error. SOLUCIÓN:

(a)

an\ ay

aB

ay= x,

(5,15)

= s.

Por cada tonelada adicional que la empresa elabore del segundo producto sus beneficios aumentarán en 5 unidades monetarias, partiendo de una producción de 5 toneladas de X y 15 de Y, y suponiendo que no se modifica la producción de X. (b) La fórmula es:

100aB B ay y B(5, 15) = 125, luego la derivada en porcentaje es

lOO

-·5=4%. 125 Por cada tonelada que aumenta la producción de Y los beneficios de la empresa aumentan un 4%, partiendo de una producción de 5 toneladas de X y 15 de Y, y suponiendo que no se modifica la producción de X.

(e) aB\ flyB(5, 15) ( -0.2) ~ 7) · (-0.2) = 5 · ( -0.2) = -l. y (5,15) (d) flyB(5, 15)( -0.2) = B(5, 14.8)- B(5, 15) = 124- 125 =-l.

Como el incremento exacto y el aproximado son iguales, el porcentaje de error es O. 2. La función de beneficios de una empresa es B(p, q) = 30pq- p 2 - q 2 + 100, donde p y q son los precios a los que vende dos productos A y B. Actualmente el producto A lo vende a 2€ y el segundo a 25 €. (a) Calcula el beneficio marginal respecto de p para los precios actuales e interprétalo. (b) Calcula la elasticidad de B respecto de p para los precios actuales e interprétala.


118

(e) Calcula ~pB(2, 25)( -0.05) de forma exacta e interpreta el resultado. ( d) Calcula el mismo incremento de forma aproximada mediante el beneficio marginal y determina el porcentaje de error. SOLUCIÓN:

(a)

aB ap = 30q- 2p, aB\ 8

= 3o. 25-2.2 = 746.

p (2,25)

Por cada euro que aumenta el precio del producto A, el beneficio de la empresa aumenta 746 €, partiendo de que los precios de venta son p = 2 € y q = 25 € y suponiendo que el precio del producto B no se modifica.

(b)

E _E_B aB ap'

Ep(2, 25)

p-

=

2

971

· 746

=

1.54%

porque B(2, 25) = 971. Por cada 1% que aumenta el precio del producto A los beneficios de la empresa aumentan un 1.54%, partiendo de que los precios de venta son 2 € y 25 € y suponiendo que el precio del producto B no se modifica.

(e) ~pB(2,

25)( -0.05) = B(1.95, 25) - B(2, 25) = 933.6975- 971 = -37.3025

Si, partiendo de que los precios son p = 2, q = 25, el precio del producto A disminuye en 5 céntimos y el precio de B no se modifica, el beneficio de la empresa desciende en 37.30€.

(d)

~pB(2, 25)( -0.05) ~ ~B 1 p

. d e error es E = El porcent aJe muy buena.

· ( -0.05)

= 746( -0.05) =

-:~7.3

(2,25)

-37.3-( -37.3025) · 37 . 3025

_

100 = - O.0067(jt . . , es ;o. L a aproxnnac10n

3. La función B(p, q, D) representa el beneficio diario de una empresa en función del precio p al que vende su producto, el precio q de su principal materia prima y la demanda diaria D del producto. Actualmente la empresa vende su producto a 7 u.m. y compra la materia prima a un precio de 4 u.m. La demanda actual es de 800 u.p., con lo que la empresa consigue un beneficio diario de 4000 u.m. Además:

aB\ ap

= 5oo (7,4,8oo)

aB\ aq

= ±2oo (7,4,8oo)

aB\

üD

=±5 (7,4,800)

(a) Interpreta la primera de las tres derivadas. (b) Determina el signo que deben llevar las dos últimas derivadas en condiciones normales, razonando la respuesta. (e) Determina aproximadamente el incremento que experimentaría el beneficio si el precio de venta del producto pasara a ser de 7.3 u.m.

7.5

Problemas resueltos

119

( d) Escribe la fórmula que da el valor exacto del incremento anterior (aunque no puedas calcularlo). (e) Calcula la elasticidad del beneficio (respecto al precio) para los valores actuales e interprétala. SOLUCIÓN:

(a) Por cada unidad que aumente el precio del producto, el beneficio de la empresa aumentará en 500 u.m., partiendo de que actualmente el precio es 7, el precio de la materia prima es 4 y la demanda es de 800 u. p., y suponiendo que no se modifica ni el precio de la materia prima ni la demanda. (b) La derivada respecto de q tiene que ser negativa, porque expresa la variación del beneficio en el supuesto de que aumente el precio de su principal materia prima (con lo que aumentan los costes de la producción) y suponiendo que el precio de venta y la demanda permanecen constantes (con lo que los ingresos no aumentan). Por consiguiente, los beneficios tienen que disminuir. La derivada respecto de Des positiva, pues un aumento de la demanda (en condiciones normales) no hace disminuir el beneficio.

(e) tl.pB(7, 4, 8oo)(o.3) ~

(d)

(e)

~pB(7,

aaB¡p

(7,4,800)

.o.3 = 5oo. o.3 = 15o.

4, 800)(0.3) = B(7.3, 4, 800)- B(7, 4, 800).

PaB

Ep = B ~ =? Ep(7, 4, 800) = up

7 OOO 4

aaBP

7 . 5oo

j (7,4,800)

= 4 OOO = 0.875%

Por cada 1% que aumente el precio del producto, el beneficio de la empresa aumentará un 0.875%, partiendo de que el precio actual es de 7 u.m., el precio de la materia prima es de 4 u.m., la demanda es de 800 u.p. y suponiendo que no se modifican ni el precio de la materia prima ni la demanda. 4. El beneficio (en euros) de una empresa viene dado por la función

B(x, y)= xy 2

+ 100y,

donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos A y B. Actualmente la empresa produce 50 unidades de A y 10 de B. (a) Calcula el beneficio marginal respecto de la producción de B para la situación actual e interprétalo. (b) Calcula aproximadamente, usando el apartado anterior, el incremento de beneficio que se producirá si la empresa decide aumentar en 2 unidades la producción de B. Expresa el incremento correctamente. (e) Calcula el incremento anterior de forma exacta y comprueba que el porcentaje de error es (sin tener en cuenta el signo) menor que el 10%.


120

(d) Calcula la elasticidad del beneficio respecto de la producción de B para la situación actual e interprétala. SoLUCIÓN:

(a)

aB

-aB¡

oy = 2xy + 100 '

ay

= 1100

o

(50,10)

Por cada unidad que aumente la producción del artículo B, los beneficios de la cmpresa aumentarán aproximadamente 1100 €, partiendo de que actualmente se producen 50 unidades del primer artículo y 10 del segundo, y suponiendo que la producción del artículo A no se modifica.

(b) 6.yB(50, 10)(2)

~ ~B

1

·

y (50,10)

2

=

1100 · 2

= 2 200.

(e) 6.yB(50, 10)(2)

= B(50, 12) - B(50, 10) = 8 400- 6 000 = 2 400.

El porcentaje de error es E = 2 200 - 2 400 . 100 = -8.33o/c o, 2 400

que, ciertamente, es menor que el 10%.

(d) Ey

y aB

= B oy

=?

Ey(50, 10)

10

o

= 6000 · 1100 = 1.83:Yo

Por cada 1% que aumente la producción del artículo B el beneficio de la empresa aumentará un 1.83%, partiendo de que actualmente se producen 50 unidades del primer artículo y 10 del segundo, y suponiendo que la producción del artículo A no se modifica.

7.6


l. Una empresa fabrica un artículo X a partir de dos factores de producción A y B. La función

de producción es P(x,y) = x+y+0.005xy2 unidades de X, donde x e y son las cantidades de los factores de producción. (a) Calcula la producción actual si se están empleando 100 unidades de A y 80 unidades de B. (b) Calcula la producción marginal respecto de y para la producción actual. Indica su interpretación. (e) Calcula el incremento de producción que puede obtenerse si la cantidad empleada del factor B pasa a ser de 82 unidades. Haz el cálculo exacto y el cálculo aproximado a partir de la producción marginal. Calcula el porcentaje de error. (d) Ídem si, partiendo igualmente de 80 unidades de B, pasamos a utilizar 200 unidades. Compara los resultados en ambos casos.

7.6


121

2. Una editorial A es una de las principales suministradoras de libros a una pequeña ciudad, aunque tiene una única competidora B. La empresa estima que la demanda de sus libros en la ciudad depende del precio medio al que los vende Pl, del precio medio a que vende los libros la editorial B y del precio medio de los artículos de primera necesidad. Si la función de demanda (de los libros de A) es D(pl,P2,P3) y la empresa estima que, para los precios actuales f5o, se tiene

aDI

opl Po

aDI

= -2,

Op3 Po

=2 '

(a) ¿Cuál de las variables P2, P3 representa - -presumiblemente- a los precios de la editorial B y cuál a los precios de los artículos de primera necesidad? (b) Interpreta las derivadas. (e) ¿Qué efecto tendría para la editorial una rebaja media de sus precios de 0.8 unidades monetaria.'l? 3. El capital de una empresa durante un periodo de diez años [0, 10] viene dado por la función

(a) Determina el capital con que contaba la empresa al principio del periodo y el capital final. (b) Calcula dC 1 e interpreta el resultado.

dt o

(e) Calcula la derivada de C en tanto por 1 en un instante arbitrario t. Llama R(t) a la función resultante. (Es la rentabilidad de la empresa en cada instante.) (d) Calcula R(O) y R(10) e interpreta los resultados. (e) Calcula la derivada en porcentaje de R(t). Interprétala. 4. La función de demanda de un artículo es D(p, r)

= ln ( 1 + ~), donde pes el precio y

r

la renta media de los consumidores. El precio actual es p = 2 u.m. y r = 100 u.m. (a) Calcula la demanda actual. (b) Calcula las derivadas parciales de D para los valores actuales de las variables e interprétalas. (e) Usa las derivadas para determinar qué produciría un mayor incremento de la demanda: i. Un incremento de la renta de flr n. Un incremento del precio de tlp

= 10 u.m.

= -0, 5 u.m.

(d) Calcula los incrementos exactos de la demanda correspondientes a cada caso y compáralos con las estimaciones anteriores calculando el porcentaje de error. (e) Calcula la elasticidad de la demanda respecto del precio para los valores actuales e interprétala.


122

Interpretación de derivadas y aproximación de incrementos 5. La tasa de paro (porcentual) de dos países A y B viene dada por las funciones y (a) Determina la tasa de paro en la actualidad (t =O) en ambos países. (b) Calcula las derivadas de ambas tasas en t

= O e interprétalas.

(e) ¿Cuál de los dos países está en mejor situación? 6. SeestimaquelafuncióndecostesdeunaempresaesC(x,y) = 150ln(2+x+3y), dondexe y son las cantidades producidas de los dos artículos que fabrica la empresa. La producción actual es (x, y) = (100, 100). Determina el dominio matemático de la función C así como el subdominio con sentido económico. (a) Calcula el coste marginal respecto a cada uno de los artículos para los valores actuales de las variables. Interprétalos. (b) Escribe la fórmula que relaciona el incremento de coste que se produce si su aproximación con derivadas.

~x =

4 con

(e) Calcula dicho incremento de forma exacta y de forma aproximada mediante la fórmula del apartado anterior. Calcula el porcentaje de error de la aproximación. (d) Repite los cálculos si, en lugar de incrementarse la producción del primer artículo, lo hace la del segundo, en la misma cantidad. 7. La función B(D,p) nos da el beneficio de una empresa en función de su demanda diaria y del precio al que vende su producto. Actualmente la empresa tiene una demanda de 2 000 u.p. diarias y el precio de venta es de 3€, con lo que consigue un beneficio de 90000€. Además:

8B\

an

(2ooo,3)

=

2 '

~B

1

p (2000,3)

= ±100000.

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Razona el signo correcto de la segunda derivada. (Haz el apartado siguiente considerando dicho signo.) (e) Calcula ~pB(2 000, 3)(0.1) e interpreta el resultado. (d) Calcula la derivada en porcentaje del beneficio respecto del precio para los valores actuales e interprétala. (e) Calcula la elasticidad del beneficio respecto del precio para los valores actuales e interprétala. 8. Una empresa distribuidora de vino estima que la demanda de su marca en miles de litros mensuales viene dada por la función

D(r,p, q) = (200- r)e 0 · 1qfp kl/mes, donde r es la renta mensual (en euros) que los consumidores dedican al consumo de vino, p es el precio al que la empresa vende el litro de vino y q es el precio al que otra marca competidora vende el litro de vino. Actualmente, la renta de los consumidores es de 100 €, la empresa vende su producto a p = 2€ y el precio de la otra marca es de q = 4€.

7.6


123

(a) Comprueba que

aD ar

= -1.22,

1

(100,2,4)

oD op

= -12.21,

1

(100,2,4)

aDI

-

oq

= 6.10. cwo,2,4)

(b) Interpreta las derivadas. ¿Puedes concluir algo sobre la calidad del vino que distribuye la empresa? 9. La función de producción de una empresa es Q(K, L) = K 2 ln L 3 , donde K y L son los factores de producción, que actualmente son empleados en cantidades K = 2, L = l.

(a) Calcula el nivel de producción actual. (b) Calcula

8QI uL

~

e interpreta el resultado. (2,1)

(e) Utiliza la derivada anterior para calcular aproximadamente el incremento de producción que puede conseguirse si la cantidad deL empleada pasa a ser L = 1.05. (d) Calcula el porcentaje de error de la aproximación del apartado anterior.

Derivadas en porcentaje 10. La función B(p, q, t) = 1000e0 ·1t(10p- 2q) representa los beneficios de una empresa en función del precio p de venta de su producto, el precio q de su principal materia prima y el tiempo t en años. En la actualidad (t =O) se tiene p = 1 y q = 2. (a) Calcula la derivada parcial de B respecto a t en el momento actual e interprétala. (b) Calcula la derivada en porcentaje del beneficio respecto al tiempo para los valores actuales e interprétalo. 11. La función de producción de una empresa es Q(x, y) = 2ylx ln y, donde x e y son las cantidades empleada.•> de dos factores de producción. Actualmente la empresa utiliza 400 unidades del primero y 100 del segundo.

(a) Calcula la producción marginal

~Q X


1

(400,100)

(b) Calcula la derivada de Q (respecto de x) en porcentaje para los valores actuales e interpreta el resultado. 12. Sea B(:r, y) la función de beneficios de una empresa, donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos. Actualmente, la producción de la empresa es (x, y)= (3000, 1 000) artículos. Además se estima que

aBI 8x

(3000,1000)

=-

2

,

aB¡ ay

=4 (3ooo,1 ooo)

·

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Si actualmente el beneficio es de 500 u.m., calcula la derivada en porcentaje del beneficio respecto de la variable y e interpreta el resultado.


124

13. La producción anual de una empresa viene dada por la función

Q(p, t) = 1 OOO(p 2

+ 1)e( 2t

2

+tv)/lOO

miles de artículos,

donde t es el tiempo en años y p es el precio al que la empresa vende su producto. Actualmente (t =O) el precio es de 2€. (a) Calcula la producción actual. (b) Calcula

aQ¡

aQ¡ ap

at

(2,o)'

(2,o)

(e) Interpreta las derivadas anteriores. (d) Calcula la derivada en porcentaje I(p, t) de Q respecto del tiempo. Simplifica la expresión. (e) Calcula 1(2, O) e interpreta el resultado. (f) Estudia cómo afecta al crecimiento (porcentual) de la producción de la empresa un aumento del precio. 14. Un agricultor ha plantado un árbol frutal que, según las previsiones, debería vivir unos 30 años. El valor del árbol va variando a medida que pasa el tiempo, en función de su productividad. Se estima que este valor viene dado por la función V(t) = 30t- t 2 u.m.

200

30

V(t)

R(t)

20 150

10

100

25

30

-10 50 -20 10

15

20

25

30

-30

(a) El agricultor planea vender el árbol en el momento en que su valor sea máximo. Deduce de la figura cuál es este valor. (b) El agricultor tiene un hijo que está estudiando Matemáticas I, y éste le hace ver que sus planes respecto al árbol no son los más inteligentes. Para ello, en primer lugar el hijo calcula la rentabilidad R(t) (la derivada en porcentaje) que le proporciona el árbol en cada instante t. (Calcúlala tú también.) (e) El hijo le muestra al agricultor que, tal y como se ve en la gráfica, la rentabilidad es siempre decreciente. Por otra parte, hace notar a su padre que en cualquier momento puede obtener una rentabilidad del 4% de cualquier capital de que disponga (por ejemplo, porque cierto banco le ofrece ese interés por un depósito). Por consiguiente, el mejor momento para vender el árbol es cuando su rentabilidad llega al 4%, pues a partir de ese momento éste será una inversión menos rentable que otras alternativas disponibles. Calcula el momento en que el agricultor debe vender el árbol teniendo en cuenta los consejos de su hijo economista.

7.6


125

15. El mismo agricultor del problema anterior tiene también un árbol que, en un momento dado piensa talar para vender su madera. Se trata de un árbol que puede vivir cientos de años y el valor de su madera nunca deja de aumentar. Digamos que viene dada por la función V(t) = c 0 .4Vt u.m. Determina el momento más conveniente para talar el árbol (que, como en el problema anterior, será aquel en el que su rentabilidad descienda hasta el 4%). 16. El beneficio de una empresa en función del tiempo (en años) viene dado por la función 2 ( .) _ 10000iln(t B t, z t

+ 1) ,

que depende también del tipo de interés que le aplica el banco con el que trabaja, y que actualmente es i = 0.02. (a) Calcula el beneficio marginal respecto del tiempo en el instante t resultado.

= 3. Interpreta el

(b) Calcula ~tB(3, 0.02)(0.5) e interpreta el resultado.

(e) Calcula aproximadamente el incremento del apartado anterior mediante derivadas. (d) Calcula la derivada en porcentaje de B en el punto (3, 0.02) e interpreta el resultado.

Elasticidad 17. Considera de nuevo la función de demanda del problema 8 anterior. (a) Calcula las elasticidades Ep, Eq y Er respecto de las tres variables para valores cualesquiera de r, p y q y simplifica las expresiones todo lo posible. (b) Calcula Ep(lOO, 2, 4) e interpreta el resultado. ~pEp(100, 2, 4)(0.1) de forma exacta y de forma aproximada con derivadas. Interpreta el resultado.

(e) Calcula

18. Considera de nuevo la función de demanda del problema 6 (pág.29):

,

D(r,p,p) =

M 2P'

donde r es la renta media de los consumidores, p es el precio del producto X y p' el precio de un bien sustitutivo. Calcula su elasticidad respecto de las tres variables para (r,p,¡/) = (36, 1, 1). Interpreta los resultados. 19. Calcula la elasticidad de la función de demanda D(p)

= 100/p.

20. La demanda de un artículo viene dada por la función

D(r,p) = 30ooif"G- 20lnp, donde p es el precio y r la renta de los consumidores. Calcula la elasticidad respecto del precio cuando r = 16 000 y p = 4 e interpreta el resultado.


126

21. Una empresa vende un artículo a un precio p = 2€ y estima que la demanda prevista depende además de la renta r de los consumidores y viene dada por

reVr p

D(r,p) = - . (a) Calcula fJD

or


1

(9,2)

(b) Calcula el incremento esperado de la demanda si la renta de los consumidores pasa de 9 u.m. a 9.2 u.m. (e) Calcula el incremento anterior de forma aproximada mediante derivadas. (d) Calcula la elasticidad de la demanda respecto de la renta para (r,p) = (9, 2) e interpreta el resultado. Cuestiones 22. Indica el signo que tendrán en condiciones normales las derivadas siguientes: (a) La derivada del salario de un trabajador respecto al tiempo. (b) La derivada parcial de la demanda de un artículo respecto de su precio. (e) La derivada parcial del volumen de ventas de una empresa respecto de su inversión en publicidad. (d) La derivada parcial del ahorro medio de los habitantes de un país respecto del índice de precios. (e) La derivada respecto al tiempo de la población de un país en el que cada familia tiene una media de 1.8 hijos. (f) La derivada del índice general ele la bolsa de Madrid respecto del tiempo. 23. Sea C(x) la función de costes de una empresa, donde x es la cantidad producida de un artículo. Explica la diferencia de interpretación entre

ac¡ ox

y 10

ac¡ ox

¿Qué signo cabe esperar que tengan estas derivadas?

1000.

8

Derivadas de funciones de una variable

Consideramos que en una introducción al cálculo diferencial no puede faltar una expos1c1on, aunque sea elemental, de sus aplicaciones a la optimización (cálculo de máximos y mínimos). Por razones de espacio trataremos únicamente el caso de funciones de una variable, y apoyándonos en las gráficas a la hora de distinguir entre máximos y mínimos.

8.1

Cálculo de máximos y mínimos • Teniendo en cuenta que en los puntos donde una función tiene derivada positiva es creciente y donde tiene derivada negativa es decreciente, en los puntos donde una función derivable tiene un máximo o un mínimo (de modo que ni es creciente ni decreciente) la derivada tiene que valer cero. Esto basta para localizar los posibles máximos y mínimos de una función. Ejemplo 1

3000

Recordemos la función

2500

A(t) = 70t 3

2000

El instante t en el que el saldo fue mínimo debe

cumplir

dA

-

dt

370t 2

+ 1440€

del ejemplo 8 de la página 38, que nos da el ahorro acumulado en la cuenta corriente de un cliente de un banco desde el año 2000 (t = 0). Calcula el instante en el que el saldo fue mínimo.

1

SOLUCIÓN:

-

= 210t 2 - 740t

=?

=o=? t(210t- 740) =o

t =o { 210t - 740

= o =? t = 3.52

A la vista de la gráfica, la solución correcta es t

= 3.52.

Observa que hemos obtenido dos posibles soluciones t = O y t = 3.52, de las cuales sólo una era la que buscábamos. En general, los puntos donde la derivada de una función vale cero se llaman "puntos críticos" y son posibles máximos y mínimos de la función, pero puede suceder que un punto crítico no sea ni máximo ni mínimo.

• En la práctica nos apoyaremos en la representación gráfica para determinar si un punto crítico dado es máximo, mínimo o no es ni lo uno ni lo otro, pero hay un criterio muy simple basado en la segunda derivada: en un máximo, la función pasa de ser creciente a ser decreciente, luego la derivada pasa de ser positiva a ser negativa, luego la derivada es decreciente y la segunda derivada es negativa (o cero). Análogamente, la segunda derivada en un punto mínimo es positiva o cero. Por lo tanto, si calculamos la segunda derivada en un punto crítico y no vale cero, podemos concluir que el punto es un máximo si es negativa y un mínimo si es positiva. Así, en el ejemplo anterior ~ = 420t - 740, luego

~l..1.52

1

> O, mientras que ~ = -740 < O, lo que muestra que el mínimo que o buscábamos es ciertamente t = 3.52 y no t = O. = 738.4

127

8

128

8.2


Problemas resueltos

l. El número de parados en una ciudad (en miles de

600

habitantes) durante el último año ha venido dado por la función

500

P(t) = 600- 150t + 33t 2

2t3 ,

-

400 300 200

donde t es el tiempo en meses.

lOO

(a) Determina en qué momento exactamente empezó a crecer el paro en dicha ciudad.

12

(b) A la vista de la gráfica, ¿en qué momento del año hubo menos parados?

Observa que el mínimo de la función P(t) en el intervalo de tiempo considerado no se encuentra en un punto donde la derivada vale cero. Sin ver la figura, alguien podría pensar que el mínimo número de parados se alcanzó en t = 3.21 y el máximo en t = 7.79, cuando en realidad el máximo se produjo en t = O y el mínimo en t = 12. En general, a la hora de buscar el máximo o el mínimo de una función en un intervalo cerrado, debemos tener presente que éste puede encontrarse en un punto donde la derivada vale cero o bien en un extremo del intervalo.

SOLUCIÓN:

(a)

aP = -150 + 66t- 6t2 =o::::} -2d~ + 11t- t 2 =o 8t - 4. 25 = { :~.21 -2 7.79 En la gráfica se observa que el momento en que el paro empieza a crecer (donde la gráfica presenta un mínimo) está entre 2 y 4, luego tiene que ser t = 3.21, es decir, a mediados de abril.

::::} t

= -11 ± )11 2

(b) En la gráfica se observa que el menor número de parados fue al final del año, es decir, en diciembre.

2. Una bodega vende un vino a un precio que depende de su edad según la función

p(t) =

10

t

vt+1--;:¡

2

1. 75 1.5 1.25

u.m.,

1

donde t es la edad del vino en años.

0.75

(a) Determina analíticamente la edad en la que el vino alcanza su máximo valor.

0.25

0.5

10

20

30

40

50

(b) Razona a partir de la gráfica si en algún momento el vino llega a duplicar su precio inicial. SOLUCIÓN:

dp dt

=

(a) 1 1 - ~ = o ::::} 2vt+T 7 2yt+l ::::} t

+1=

(3.5) 2

= ~ ::::} 7 = 2vt+l ::::} v't+1 = ~ = 3.5

::::}

7

t

2

= (3.5) 2 - 1 = 11.25.

El máximo valor del vino se alcanza a los 11.25 años. (b) El valor inicial es p(O) = 1, y en la gráfica se ve que el precio máximo del vino es algo inferior a 2, luego el precio nunca llega a duplicarse.

8.2

Problemas resueltos

129

3. Considera de nuevo la función de beneficios del problema 1 de la página 117:

140

B(x, 15 )

120

HXl

/

~/

B(x, y)= 5x + xy- x 2 +50. Determina cuál es la producción de X que da lugar al beneficio máximo si la empresa mantiene su producción de 15 unidades de Y.

20 'C

C J

C'

2

L'''

4

<

J

<'

<''

J

<

6

j'

R

10

12

14

Buscamos el máximo de la función B(x, 15) = 5x+ 15x-x2 +50. La producción que da lugar al beneficio máximo debe cumplir que SOLUCIÓN:

aB(x, 15) ax

---'-----'- = 5 + 15 - 2x = O, luego es

:r

= 10. HXXl r

4. Considera de nuevo la función de beneficios del problema 2 de la página 117:

B(p, q) = 30pq- p

2

-

2

q

ROO

1

B(2, q) /

1/

+ 100.

/¡ 4
Determina a qué precio debe vender la empresa el produeto B para conseguir el máximo beneficio si mantiene el precio de venta de A en 2 €.

/

200 /

1 '

o

10

2"

'

'

"

'"

'

'

'

40

so

«1

Nos piden el máximo de la función B(2, q) = 60q-4-q 2 + 100. Dicho máximo tiene que cumplir que aB( 2 , q) = 6o- 2q =o SOLUCIÓN:

aq

,

luego el beneficio máximo se consigue cuando el precio del producto B es q

= 30.

5. La demanda de un artículo viene dada por la función r

4

D(r,p) = 1000 2 - r , p donde r es la renta del consumidor y p el precio del artículo. Actualmente r

=

4 y p

=

l.

l(

(a) Calcula ~~ 4 ,l) e interpreta el resultado. (b) Calcula de forma aproximada a partir del apartado anterior el incremento de demanda que se producirá si la renta del consumidor pasa a ser de 4.2 u.m. (e) Calcula el incremento exacto y comprueba que el porcentaje de error de la aproximación (sin contar el signo) es inferior al 5%. (d) Calcula la elasticidad de la demanda respecto de la renta en la situación actual p = 1) e interprétala.

(r

= 4,

8 Derivadas de funciones de una variable

130

(e) La gráfica muestra la función D(r, 1). Escribe esta función y determina aproximadamente a partir de la gráfica con qué nivel de renta se consigue el máximo nivel de demanda si el precio p = 1 se mantiene constante.

4000 3000 2000 1000

(f) Calcula analíticamente el nivel de renta exacto indicado en el apartado anterior. SOLUCIÓN:

(a)

aD = 1000 21 -4r

-

or

3

aD¡

= 744.

=?-

or

p

(4,1)

Por cada unidad que aumente la renta del consumidor, la demanda del producto aumenta aproximadamente 744 unidades, partiendo de que la renta actual es de 4 unidades monetarias, el precio es de 1 unidad monetaria y suponiendo que el precio no varía.

(b) ~rD(4,

1)(0.2) ~

aD¡ a r

·0.2 = 744 · 0.2 = 148.8 (4,1)

(e) ~rD(4,

1)(0, 2)

= D(4.2, 1)- D(4, 1) = 3888.83-:3 744 = 144.8:3

El porcentaje de error es

E= 148.8- 144.83 . 100 = 2 . 74 o/c 144.83 o, que, ciertamente, es inferior al 5%.

(d) r oD E= D or

=?

E(4, 1)

=

4 744 3744

= 0.79%

Por cada 1% que aumente la renta del consumidor, la demanda aumentará aproximadamente un O. 79%, partiendo de que la renta actual es de 4 unidades monetarias, el precio es de 1 unidad monetaria y suponiendo que el precio no varía. (e) D(r, 1) = 1 OOOr- r 4 . El máximo nivel de demanda se consigue con un nivel de renta de algo más de 6 unidades monetarias. (f) D(r, 1) = 1 OOOr- r 4 , luego el nivel de renta que hace máxima la demanda cumplirá que 3 oD(r, 1) a;;:;-m Or = 1 000 - 4r3 = 0 ::::} 4r 3 = 1 000 ::::} r = 250 ::::} r = y 250 = 6.3


6. La función S(t)

131

= 20t 3

-

150t2

+ 240t + 1000

representa el saldo de la cuenta corriente de un ahorrador durante el primer semestre de un año, donde t es el tiempo en meses.

1300

S(t)

1200 1100

(a) Determina aproximadamente a partir de la gráfica en qué momento empezó a sacar dinero de su cuenta, en qué momento empezó a estar en números rojos y en qué momento estuvo más endeudado con el banco.

1000 1

2

6

(b) Calcula analíticamente el momento exacto en que el ahorrador empezó a sacar dinero de su cuenta. SOLUCIÓN:

(a)

1300

Empet~Ó

a sacar dinero de su cuenta el 1 de febrero, empezó a estar en números rojos a primeros de abril y estuvo más endeudado con el banco el 1 de mayo.

1200 Empezó a sacar dinero

(b) Calcula analíticamente el momento exacto en que el ahorrador empezó a sacar dinero de su cuenta.

1

2

6 Mayor endeudamiento

-as = 60t 2 - 300t + 240 = o =} t 2 - 5t + 4 = o =} t = 5 ± v'25 - 16 = { 4 8t

2

1

En la gráfica se ve que el momento en que empezó a sacar dinero del banco es anterior al momento de mayor endeudamiento (que es el otro momento que hemos obtenido), luego la respuesta es t = l. 7. La recaudación diaria en taquilla de una película desde el día de su estreno ha venido dada por la función

R

2

1. 75 1.5

R(t) = 5t- e 2 t

+2

u.m.

1.25

donde t es el tiempo en años.

0.75

(a) Determina en qué momento exacto la película consiguió su máxima taquilla.

0.25

0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

ti

(b) Determina aproximadamente a partir de la gráfica en qué momento la película dejó de estar en la cartelera. SOLUCIÓN:

(a)

-dR = 5 - 2e 2t = O =? 2e 2t = 5 =? e2t = -5 = 2.5

&

2

=?

2t

ln2.5 ~ = ln 2.5 =? t = - = 0.458 anos

2

(= 0.458 · 365 = 167 días después del estreno.) (b) Aproximadamente en t = 0.95 (es decir, unos 346 días después de su estreno).

8

132


8. El producto interior bruto de un país durante los últimos p 20 años ha venido dado por la función

P(t)

= tlnt- 3t

10

+ 10, 4

donde t es el tiempo en años. (a) Durante los primeros años el país pasaba por una crisis económica. Determina en qué momento exacto empezó a remontar la economía del país.

2

5

10

15

20

t

(b) Razona a partir de la gráfica si la situación actual es mejor o peor que la de hace 20 años. SOLUCIÓN:

(a)

dP = ln t

dt

+ t~- 3 = t

ln t

+ 1- 3 =

ln t- 2 =O=? ln t = 2::::} t = e 2 =

7.:~89 años

(b) La gráfica muestra que la situación actual es aproximadamente igual que la de hace 20 años.

8.3

Problemas propuestos D

l. Considera de nuevo la función de demanda del problema 1 de la pág. 27:

14

12 10 8

/ D(r,p ) =15r - -r 2 1 mes, p

6

donde p es el precio (en € ) de un litro de cerveza y r es la renta mensual del consumidor (en miles de € ) .

2

3

r

4

Los valores actuales son p = 2 € y r = 2 miles de €. La figura muestra las gráficas de las funciones D(r, 2) y D(r, 3). (a) Calcula las derivadas

8Dl

~

ur

, (2,2)

aD\ B p

,

e interpretalas. (2,2)

(b) Calcula el incremento de consumo que se producirá si el precio de la cerveza. aumenta. 1 u.m. Haz el cálculo de forma exacta y de forma aproximada con derivadas. ¿Es buena la aproximación? ¿A qué puede deberse? (e) Calcula la elasticidad-precio y la elasticidad-renta de la. demanda en el punto (2,2). Interprétalas. (d) A partir de la expresión de

~~,

razona que la cerveza no es un bien Giffen para el

consumidor sea cual sea el precio al que se venda, es decir, razona que éste siempre disminuirá su consumo de cerveza ante un aumento de precio ( ceteris paribus). (e) Un bien se dice normal si cuando los consumidores tienen más renta. aumentan el consumo, y se dice inferior en caso contrario. Determina a partir de qué nivel de renta la cerveza pasa a ser un bien inferior para el consumidor cuando p = 2.


133 6000

2. Hemos comprado unas acciones en el momento t = O (donde el tiempo está en años) por un valor de 5 000 €, y las hemos vendido al cabo de 3 años. Durante este periodo, su valor ha venido dado por la función

V(t) = 200(~- 900t 2

5500

V(t)

5000 4500 4000 3500

+ 1200t + 5000€.

(a) Calcula el valor final de las acciones. (b) La figura muestra que, a partir de cierto momento t1, el valor de las acciones empezó a decrecer, pero en otro momento posterior t2 volvió a crecer. Calcula estos instantes donde el valor de las acciones tomó un máximo primero y un mínimo después.

(e) Calcula la rentabilidad (la derivada de V en tanto por 1) inicial de las acciones, la rentabilidad final y la rentabilidad en los instantes t1 y t2. (d) Durante los tres años que duró la inversión, ¿en qué momento alcanzaron las acciones su valor máximo? (e) ¿Cuál hubiera sido tu respuesta si no hubieras conocido la gráfica?

3. Consideremos de nuevo la función de costes del problema 13 de la pág. 60: C(q)

= q3

-

9q 2

+ 36q + 20 u.m.

La figura muestra el coste C, el coste marginal Cm y el coste medio CM e = C (q) / q. (a) Calcula el coste marginal y el coste medio.

C(q)

1201 100

(b) Calcula la producción a partir de la cual el coste marginal deja de ser decreciente y pasa a ser creciente.

(e) La figura muestra que el coste medio es mínimo justo donde coincide con el coste marginal. Demuestra que esto no es casual. 4. Continuando con el problema anterior, la función de beneficios de la empresa es B(p, q) = pq- C(q).

La figura muestra la función de beneficio para un precio p = 30 u.m. y el coste marginal. (a) Calcula la función B(30, q) y encuentra las producciones q para la.-; que el beneficio es mínimo y máximo.

80

B(30, q)

60 40

p= 30

4

-20

6

8

134


(b) Comprueba en la figura que dichas producciones coinciden con las que hacen que el coste marginal sea precisamente p. (e) Justifica que esto es así cualquiera que sea el precio p y cualquiera que sea la función de costes C(q). (d) Calcula la función de oferta S(p) que determina la producción más conveniente para la empresa en función del precio de mercado p. (e) Justifica que el precio de cierre, es decir, el precio para el que los beneficios de la empresa son nulos, es el correspondiente a la producción q en la que el coste medio coincide con el coste marginal. Deduce de la figura su valor en este caso. 5. Siguiendo el modelo del problema anterior, comprueba que la función de oferta del problema 1 de la pág. 69 es la indicada en el apartado (b) de dicho problema, es decir, calcula la producción q que hace que p sea igual al coste marginal. 6. Comprueba que el precio al que a la empresa del problema 14 de la pág. 61 le conviene lanzar su producto es el que indica la gráfica. 7. Determina el precio al que la empresa del ejemplo 11 de la pág. 42 le conviene vender su producto. 8. Una pequeña población se abastece de las fresas que cultivan dos agricultores A y B. El precio del kilo de fresas lo fija un intermediario en función de las producciones anuales q 1 y q2 de A y B, según la relación p

= 10- ql

+ q2 100

La producción de cada kilo de fresas tiene un coste de 4 u. m. Por consiguiente, el beneficio que consigue A con su producción es

Análogamente, el beneficio que obtiene B es

(a) Supongamos que ambos agricultores se ponen de acuerdo en repartirse los beneficios a partes iguales, lo cual supone que ambos produzcan la misma cantidad de fresas q = q1 = q2. Calcula la función de beneficios B (q) correspondiente (la que resulta de sustituir q1 y q2 por q en cualquiera de las dos funciones de beneficios anteriores).

so o 700 600

B(q)

500 400 300 200 lOO

50

100

'

150

'

200

'

250

300

(b) Comprueba analíticamente que, tal y como muestra la figura, el beneficio de los agricultores es máximo cuando cada uno de ellos produce q = 150 kg de fresas. ¿Cuál es el beneficio que obtiene cada uno? ¿A qué precio se pagará el kilo de fresas?


(e) Supongamos que B decide respetar el acuerdo y produce q2 = 150 kg de fresas, pero A se plantea

135

800

violar el pacto y producir la cantidad q1 que más le convenga. Calcula las funciones de beneficios B1(q1, 150) y B2(q1, 150). (d) Calcula la producción q1 que maximiza el beneficio de A. ¿Qué beneficio consigue cada agricultor? ¿A qué precio se pagará el kilo de fresas? (e) Se puede demostrar (aunque no lo veremos aquí) que si B no se fía de A, la producción con la que consigue el máximo beneficio de manera que a A no le convenga ganar más que él es q2 = 200 kg. Calcula las funciones de beneficios B 1( q1, 200) y B2 (q1, 200).

100

800 700

200

300

400

300

400

B2(q1, 200)

600 500 400 300 200 100 100

200

(f) Calcula la producción q1 que maximiza el beneficio de A. ¿Qué beneficio obtiene cada agricultor? ¿A qué precio se comprarán las fresas si A y B no establecen ningún acuerdo? (g) Explica, con la ayuda de un diccionario, por qué un pacto de este tipo entre dos o más empresas recibe el nombre de colusión.

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1

9

Derivadas sucesivas

Estudiamos ahora el cálculo e interpretación de las derivadas sucesivas de una función, es decir, de la.'l funciones que resultan de derivar las derivadas de una función.

9.1

Notación para las derivadas sucesivas • Cuando una función es derivable en su dominio, sus derivadas parciales son nuevas funciones que pueden ser también derivables. A las derivadas de estas derivadas se las llama derivadas segundas de la función dada. Si éstas son a su vez derivables, sus derivadas se llaman derivadas terceras de la función dada, y así sucesivamente. • Para nombrar estas derivadas sucesivas usaremos la notación que ilustra el ejemplo siguiente:

Hemos de entender que esta expresión representa una de las derivadas quintas de una función f, concretamente la que resulta de derivarla respecto de x, derivar el resultado respecto de y, luego volver a derivar el resultado respecto de y, luego derivar el resultado respecto de x y finalmente derivar el resultado respecto de z. Dada la función f(x, y, z)

Ejemplo 1

=

2 éx - 12

ln(y 3 z), calcula

8 3! 8 z8 X 2

.

1

(2,-3,10)

SoLUCIÓN: Para calcular la derivada tercera empezamos calculando

z Ahora tenemos que volver a derivar la función que hemos obtenido, pero respecto de x:

z y finalmente podemos calcular la tercera derivada que nos piden: e3x2-126x 6x + e3x2-12 6 a3¡ ()z()x 2

z

Corno nos la piden en el punto (2, -3, 10), la evaluarnos: 2

é·2 -1212. 12

()3j

(}z(}x

2

+ e3·2

2

-12

_ _ _ _ _1_0_ _ _ _6

1

(2,-:3,10)

= 15.

Observa que la derivada que estamos calculando ahora se obtiene de derivar respecto de x la derivada anterior (la primera derivada) y no la función dada. Se trata de una derivada segunda, y la representamos con la notación correspondiente. Para indicar que hay que derivar dos veces seguidas respecto de la misma variable se usa la notación 8x 2 en lugar de axax, pero en la parte superior, para indicar el número total de veces que hemos derivado, se escribe 8 3 f y no [) f 3 .

• Si una función f tiene derivadas parciales (primeras) en su dominio respecto de todas sus variables y éstas son funciones continuas, se dice que la función es de clase C 1 . Si existen todas sus derivadas segundas y éstas son funciones continuas se dice que f es de clase C 2 ' y así sucesivamente.

137

9 Derivadas sucesivas

138

• En general, una función f : D e IRn -----+ IR definida en un abierto es del clase Ck (donde k = 1, 2, 3, ... ) si existen todas sus derivadas de orden k y todas ellas son funciones continuas. • Si la función f admite derivadas de todos los órdenes y todas ellas son continuas, se dice que es de clase C 00 • • Todas las funciones usuales, es decir, composiciones de sumas, productos, polinomios, senos, cosenos, exponenciales, logaritmos, etc. son de clase C 00 en su dominio, salvo las raíces, que pueden no serlo en los puntos donde se anulan.

9.2

La matriz hessiana y el teorema de Schwarz

Definición Si f : D e IRn -----+ IR es una función de clase C 2 en su dominio, se llama matriz hessiana de f a la matriz formada por sus derivadas segundas:

éPJ

a2¡ ax1axn

a2¡ axnaX]

a2¡

ax 21

Hf=

Ejemplo 2a

ax~

f(x,y,z) = x2yz 3 en el

Calcula la matriz hessiana de la función

SOLUCIÓN: La hessiana es

Hf=

a2¡ a2¡ a2¡ ax 2 axay axaz a2¡ a2¡ a2¡ ayax ay2 ayaz a2¡ a2¡ a2¡ azax azay az2

Para calcular las derivadas segundas, calculamos antes las primeras:

a¡ 3 a¡ 2 3 a¡ 2 2 ax = 2xyz ' ay= x z, az = 3x yz . Por lo tanto,

Hf=

(~~:~

txyz 2

2xz 3 o 3x 2 z 2

y

Hf(-1,1,2) =

16 -16 ( -24

-1~ -~~) . 12

12

punto (-1, 1,2).

9.2 La matriz hessiana y el teorema de Schwarz

139

• Observa que en el ejemplo anterior se dan las igualdades

¡p¡

¡p¡

oxoz

= ozox =

2

6 xyz '

Esto no es ca.'mal, sino que, para funciones de clase C 2 (que son las única.-; las que vamos a considerar) no importa el orden de derivación: derivar primero respecto de una variable y luego respecto de otra tiene el mismo efecto que derivar primero respecto de la segunda y luego respecto de la primera: Teorema de Schwarz Si f : D e 1Rn -----+ IR es una función de clase C 2 en un dominio abierto D y j5 E D, entonces, para cualquier par de variables xi, Xj, se cumple que

• En particular, la matriz hessiana de una función de clase C 2 es siempre simétrica. Ejemplo 2b En la matriz hessiana que hemos calculado antes, observamos que se dan necesariamente las coincidencias 2yz3

Hf=

8

g o

16xyz 2 1(3x 2 z 2)

16xyz21

(3x 2 z 2 ) 6x 2yz

Puedes usar esta simetría para ahorrarte el cálculo de tres de las nueve derivada segundas (en el caso de una matriz 3 x 3) o bien para comprobar tus derivadas: si calculas las nueve derivadas independientemente y no se cumplen las tres coincidencias señaladas es seguro que has cometido algún error.

• En contextos económicos necesitaremos calcular derivadas segundas cuando queramos estudiar cómo varía una derivada primera, y derivadas terceras cuando queramos estudiar cómo varía una derivada segunda, etc. Ejemplo 3

Una empresa produce dos artículos en _cantidades x e y, y su función de beneficios es B(x,y) =e

x2+Y

1oo .

La producción actual es de 20 unidades del primer artículo y 30 del segundo. a) Calcula el beneficio marginal respecto del primer artículo para la producción actual e mterprétalo. b) Utiliza el apartado anterior para estimar la variación del beneficio de la empresa que se produciría si la producción del primer artículo pasara a ser de 20.25 unidades. e) Razona mediante derivadas si un pequeño aumento de producción haría aumentar o disminuir el beneficio marginal respecto del primer artículo.

9

140

SOLUCIÓN:

a) El beneficio marginal es

aB -a =e

x

2 +v 2x 1oo - , y

100

X

aB 1

ax

2 2o +3o

(20,30)

Derivadas sucesivas

para la producción actual queda

40

= eJ:Oil 100 = 29.48.

Interpretación: Por cada unidad que aumente la producción del primer artículo, el beneficio de la empresa aumentará aproximadamente en 29.48 u. m., partiendo de que la producción actual es de 20 unidades del primer artículo y 30 del segundo, y suponiendo que la producción del segundo no varíe. Notemos que la pregunta es cómo varía el beneficio marginal (es de-

.

b) El incremento de beneficio será:

8B

c1r, ax) cuando aumenta la pro-

~xB(20,

ducción (x), lo que nos lleva a derivar la derivada otra vez respecto de x, es decir, a calcular la deri-

e) - -

X

x

•

2

=

29.48 · 0.25

2

2o

2

Como la derivada segunda es positiva, concluimos que un aumento marginal de la producción del primer artículo haría aumentar el beneficio marginal.

82B lado la derivada segunda BxBy.

Problemas resueltos

l. Calcula el vector gradiente y la matriz hessiana de las funciones siguientes:

(a) f(x, y, z) = 3x 2 - 2y2 + xz- 3xy + 3z + 6 2 (b) g(x, y) = ex +3 sen y 3 (e) h(x, y)= e 3 x ln(2y + 1) 2 (d) L(x, y, z) = ex +5 y + z 5 (e) P(u,v,w) =3uv+2u 2 +5vw+w 2 -2u+v+100 SOLUCIÓN:

a¡ a¡ a¡) (a) \J f = ( ax, ay, az = (6x

, + Z - 3y, -4y- 3x, X+ 3),

Hf- (~

ax 2 a2¡ ayax a2¡ azax

-

()2 f

Hg=

axaz ~) a !4 az

axay a2¡

{ti_

ayx

2

.!!2 azay

(

3 3 3 3 2 = ( ~~ ' ~~) = (é + 2x sen y , ex + cos y 3y ),

2

2

(b) \l g

= 7.:H.

x2

ty

1

Si la pregunta hubiera sido cómo varía el beneficio marginal respecto de x cuando aumenta la producción de y hubiéramos calcu-

9.3

· 0.25 (20,30)

a2 B =e 1oo ----+e 2x 2x +y 2 1oo luego 2 ax 100 100 100' 2 a2 B 2o +3o 40 = e wo + e 1oo±3o - 2 = 13.26. 2 2 ax (20,30 ) 100 100

82B

vada segunda ax 2

aBI 30)(0.25) ~ 7)

)(

( ex

2

+3 2x2x + ex +3 2) sen y 3 2 ex +3 2x cos y 3 3y 2 2

6

-3

-3 -4 1 o

n

9.3

Problemas resueltos

141

(d) é +5 2x2xy + ex +5 2y 2 ex +5 2x

é +5 2x O

o

o

2

HL

=

(

2

2

(e) \7 P = (:3v + 4u- 2, 3u + 5w + 1, 5v + 2w)

2. La demanda de un producto viene dada por la función

D(

) = ln(21r- r r,p l np

3

)

'

donde r es la renta de los consumidores y p es el precio de venta. (a) Razona mediante derivadas si la elasticidad respecto del precio aumenta o disminuye a medida que aumenta el precio. (b) La gráfica muestra la función

D(r, 2.72). Escribe esta función.

(e) Calcula el valor de r correspondiente al punto señalado en la gráfica e interpreta el resultado.

(a) Nos preguntan cómo varía la elasticidad respecto al precio (E) cuando aumenta el precio (p), luego la respuesta nos la dará la derivada

SOLUCIÓN:

aE 8p Para calcularla, primero necesitamos calcular E:

Pan

E= -= D 8p

1n

(

P

(

3 21 r-r 3 ) ln 21r- r )( -1)(lnp)

_21

p

lnp

plnp 1 1 lnp _1 3 ln(21r- r 3 ) ln( 21 r- r )( - 1 ) (lnp)2 = - (lnp)2 = -(lnp)

p

Ahora derivamos:

9

142

Derivadas sucesivas

Vemos que la derivada cumple

Como la elasticidad es negativa, un aumento de la elasticidad significa que la elasticidad se hace menor en valor absoluto, por lo que en realidad la demanda se hace menos elástica (aunque no era necesario caer en esto para tener bien el ejercicio).

DE

1

1

-2--

ap

ln p p

>o,

porque el logaritmo está al cuadrado y el precio es positivo. Como la derivada es positiva, concluimos que un aumento en el precio hace aumentar la elasticidad.

b) _ ln(21r - r 3 ) D (r, 2.72 ) ln2.72

=

ln(21r- r 3 ) 3) ( 1.0006 ~ 1n 21r- r .

e) Para encontrar el valor de r que hace máxima a anterior, igualamos a cero su derivada respecto de r: DD

-;:¡ur

=

1 2 (21 - 3r ) 21r- r 3

= O ::::? 21 - 3r2 = O · (21r ::::? r

3

r )

= O ::::? 3r2 = 21

::::? r

2

=7

= vÍ7 = 2.64,

donde hemos descartado la raíz negativa porque no tiene sentido económico. La interpretación es que, para un precio p = 2.72, la demanda del producto es la mayor posible cuando la renta de los consumidores es r = 2.64. 3. La función

determina el coste de la producción de dos artículos en cantidades x e y. Las producciones actuales son x = 5, y = 4. (a) Razona mediante derivadas si, partiendo de la situación actual, la derivada en porcentaje de C respecto de la producción del segundo artículo aumenta o disminuye cuando aumenta la producción del primer artículo. (b) La figura muestra la derivada en porcentaje calculada en el apartado anterior para :r; = 5. Escribe esta función y determina a partir de qué producción del segundo artículo deja de ser decreciente y pasa a ser creciente. 100

80

60

40

20

o

2

4

' y

9.3

Problemas resueltos

143

e

a) Nos preguntan cómo variará la derivada en porcentaje de respecto a y (llarnémosla D) cuando aumenta la producción del primer artículo (x). La respuesta nos la dará la derivada SOLUCIÓN:

DD

Para calcularla, primero necesitamos calcular la derivada en porcentaje:

::::} D = 100ln(l.02)(3y 2

2xy + 6x).

-

Ahora ya podemos calcular:

DD

ax

= 100ln(l.02)(-2y+6).

Necesitarnos saber si esta derivada es positiva o negativa. En general no lo sabemos, pero como la pregunta dice "partiendo de la situación actual", podemos considerar la derivada para los valores actuales de las variables:

an¡ a X

= 100ln(l.02)(-2) = -3.96

(5,4)

Concluimos que, por cada unidad que aumente la producción del primer artículo, la derivada en porcentaje disminuirá en 3.96 puntos porcentuales, partiendo de la situación actual (y si no se modifica la producción del segundo artículo). b) La derivada en porcentaje para x

= 5 es

D(5, y) = 100 ln(l.02)(3y 2

-

10y + 30).

Para saber el valor de y que hace mínima esta función igualamos a cero la derivada respecto de y: DD 10 oy = 100ln(l.02)(6y- 10) =o::::} 6y- 10 =o::::} y= 6 = 1.6. 4. Los beneficios de una empresa vienen dados por la función

100p2

B(p,I) = -I-, donde pes el precio al que vende su producto e I es un impuesto que tiene que pagar. Actualmente p = 10€ e I = 0.1. Determina aproximadamente mediante derivadas el incremento que experimentará el beneficio marginal respecto del precio si el gobierno aumenta el impuesto

aI

=

0.11.

SoLUCIÓN:

El beneficio marginal respecto del precio es

Bm =

DB

op =

200p -I-,

144

9 Derivadas sucesivas luego la derivada que indica la variación del beneficio marginal cuando varía I es

200p

J2

o

El incremento que nos piden es 2

.6.¡Bm(10,0.1)(0.01)

~

aB 1 ""f57) · 0.01 = -200000 · 0.01 = -2000. P I (1o,o.1)

5. La función U(x, y)= y'Xlny representa la utilidad que obtiene un consumidor cuando adquiere x unidades de un artículo A e y unidades de un artículo B. Su consumo actual es (x, y) = ( 4, 10). Determina aproximadamente mediante derivadas el incremento que experimentará la utilidad marginal respecto del producto B si el consumidor adquiere 0.2 unidades adicionales de dicho producto. SoLUCIÓN:

La utilidad marginal respecto del producto B es

La derivada que determina la variación de Um cuando aumenta el consumo deBes

Por lo tanto:

ayul 2

· 0.2 = -0.02 · 0.2 = -0.004.

.6.yUm(4, 10)(0.2) ~ 7)2

9.4

(4,10)


l. Dada la función f(x, y, z)

= x 4 eYI 2 sen(4z),

(a) Calcula

a6¡

1

8x8z 3 8x8y (1,o,n) (b) Calcula la matriz hessiana de

f

'

en el punto (2, O, 0).

2. Calcula la matriz hessiana de las funciones 1

f(x,y) = - , xy

h(x,y,z,w)=x 2 +y 2 -xw-zw+x-y+5.

3. La función de costes de una empresa es C(x,p) y p el precio medio de sus inputs.

= 600JP lnx, donde x es la producción

(a) Calcula el dominio de C y el subdominio con sentido económico.

9.4


145

(b) Actualmente la producción es de 100 unidades de producto y el precio de 4 unidades monetarias. Calcula el efecto que tiene sobre el coste marginal (respecto a la producción) un incremento unitario del precio de los inputs.

(e) ¿Cuánto aumentaría aproximadamente el coste si el precio pasara a ser p = 4.1 u.m.? (d) ¿Y el coste marginal? 4. La función de utilidad de un consumidor respecto de dos productos A y B es

U(x, y)= ln(1

+ xy),

donde .T e y son las cantidades de producto que adquiere. Supongamos que actualmente consume (x, y)= (10, 10). (a) Calcula la utilidad marginal respecto del producto A. Interpreta su signo. (b) Justifica matemáticamente esta afirmación: "Por cada unidad que aumenta el consumo de A, la utilidad marginal disminuye, es decir, el consumidor obtiene cada vez menos satisfacción adicional al incrementar su consumo de A" . (e) Justifica matemáticamente esta afirmación: "Por cada unidad que aumenta el consumo de B la utilidad marginal de A aumenta, es decir, si el consumidor aumenta el consumo de B, entonces le es más útil aumentar el consumo de A." (d) Pon un ejemplo de dos productos para los que estas propiedades sean razonables. 5. El IPC de un cierto país en un instante t (expresado en años) viene dado por la fórmula

(a) Calcula la inflación I del país, es decir, la derivada de P en porcentaje. (Una ve;~, simplificada, te ha de dar I = 3(1 + t/50) 112 .) ¿Qué tanto por ciento de inflación se tiene en t = O? (b) Estudia mediante derivadas el comportamiento de la inflación en t mentando o disminuyendo?

= O. ¿Está au-

(e) Calcula la tasa de incremento de la inflación Ten el país, es decir, la derivada de I en porcentaje. ¿Cuánto-vale en T(O)? (d) ¿Cómo varía la tasa de incremento de la inflación del país?, ¿crece o decrece? (e) Explica la frase siguiente:

En la crisis de 1972 el presidente Nixon anunció que la tasa de incremento de la inflación estaba descendiendo. Ésta fue la primera vez que un presidente usó la tercera derivada como argumento para su reelección. Hugo Rossi, Notices of the AMS, v. 43, nº 10, octubre 1996.

9

146

Derivadas sucesivas

Derivadas sucesivas 6. Calcula las derivadas indicadas de las funciones indicadas: (a)

J(a, b) = (a 2

+ b) 3

83! 8a8b 2

1

( 2 , 1)

(b)

xlny T(x, y, z) = - z

8 5T 8z 2 8y8x8y

(e)

h(r, s) = s 2 y'COST

84h 8r8s 3 (1 , 1 )

(d)

g(x, y, z) = z sen(x -ln y)

84g 8x8z8y 2

1

(e)

M(u,v,w) = v(cosu 2 ) 2 w

(f)

L(x, y, z, t) =

(g)

1

(O,l, 3 )

8 3M 8u8v8w

2x ln t (z- x) y'3x- y

84L 2 8t 8z8x 820 f

f(m,n) = 2em-n

8m98nll

1

(1,2,0,0) 1

(2,2)

7. La función de beneficios de una empresa viene dada por B(t) = 5t 2 u.m., donde t es el tiempo en años. El año actual es t = l. ¿A qué ritmo está aumentando el beneficio marginal de la empresa? 8. La función B(x, y) determina el beneficio de una empresa a partir de las cantidades producidas x e y de dos artículos. Interpreta la derivada 2

8

BI

8y 2

(3000,1 000)

3

= -o. .

9. La demanda de un artículo viene dada por D(p, r, t) = Cvr+O.lt)jp 2 , donde pes el precio, r la renta de los consumidores y t el tiempo en años. Razona si ~~ aumenta o disminuye con el tiempo. 10. La función B(p, q, t) = 1000e0 ·1t(10p- 2q) representa los beneficios de una empresa en función del precio p de venta de su producto, el precio q de su principal materia prima y el tiempo ten años. En la actualidad (t =O) se tiene p = 1 y q = 2. Calcula aproximadamente mediante derivadas el incremento que experimentará el beneficio marginal respecto de q cuando pasen tres meses (tl.t = 1/4). 11. La demanda de un artículo viene dada por la función

D(r,p) =

3000~- 20lnp,

9.4

147

Problemas propuestos donde p es el precio y r la renta de los consumidores. Calcula éPD 8P8 r el resultado.

e interpreta

1

(16000,4)

12. Se estima que la producción anual de una empresa viene dada por Q(p, q, t) = 6 000 y'P et/lOO miles de artículos, q

donde tes el tiempo en años, p el precio (en euros) y q es el precio de la principal materia prima (también en euros). Actualmente (t =O) los precios son (p, q) = (9, 2). (a) Calcula la producción actual. (b) Calcula las tres derivadas parciales de Q, indica sus unidades e interprétalas.

(e) Calcula la derivada en porcentaje I(p, q, t) de la producción Q respecto de q. Simplifica la expresión. (d) Calcula !(9, 2, O) e interpreta el resultado. (e) Estudia cómo afecta a I un descenso de 0.20€ en el precio q.

Hessianas 13. Calcula la matriz hessiana de las funciones siguientes:

(a) f(x, y) = x 2

2xy3

-

+ 3x,

(1) h(x,y)=(x+lny) 2

(b) g(x,y,z) =ex sen(y+z),

(m) Q(x, y) = 2y'x ln y

(e) h(u,v,w)=u+2v-w,

(n) h(x, y, z)

= é+ 2Y + z 2

1 (d) r(a, b) = --b~.

(o ) g (x,y )

Sln(y + 2) x +2

(e) f (;¡;' y) =

(p)

2

a+ " x3y

=

f (x, y, z)

= x sen y + z 3

(f) f(x, y, z) = xyz

(q) R( x, y) = 2 + ex ln y

(g) f(x, y) = x 3 ln(y + 1)

(r) h(r,s,t)=ers+t4

(h) G(;¡;, y) = 9ln(x +y)

(s) P(x, y)= ex sen y

(i) f(x,y) = x- 4 lny

(t) f (x, y) = 4 ifT ln y

(j) g(x,y) =

(u) P(K,L)=K 3 +L 3 +K2 L

y'xeY 2

(k) f(x, y, z) = x 3 + eY +3 · 3z

(v) J(x, y, z) = se~y2

+ 72z+3

10

Diferenciabilidad

Hasta aquí hemos visto cómo las derivadas de una función nos permiten aproximar sus incrementos parciales, es decir, los incrementos que se producen cuando se incrementa una sola de sus variables y las demá.
10.1

Funciones diferenciables

• Si tenemos una función f(x, y, z) derivable en un punto (x, y, z) de su dominio, sabemos que el incremento que experimentará f cuando su variable x se incremente en una cantidad

~X

(sin que las otras variables se modifiquen) viene dado aproximadamente por a¡ ~X.

Similarmente, si es y la única variable que se modifica en una cantidad incremento de

f

~~~y y

será aproximadamente

~y,

ax

entonces el

si es z la única variable que se modifica

A l. ' a¡ A en uz e mcremento sera az uz.

Sucede que, sabiendo únicamente que la función f tiene derivadas parciales en el punto no podemos hacer ninguna predicción sobre qué sucederá si las tres variables (x, y, z) se modifican a la vez en (~x, ~y, ~z). Sin embargo, vamos a ver que si la función f cumple una propiedad adicional, llamada "ser diferenciable", entonces se cumple lo siguiente: Si una función f es diferenciable en un punto, el incremento que experimenta cuando sus variables sufren incrementos marginales a partir de dicho punto es aproximadamente la suma de los incrementos que experimentaría si cada variable fuera la única que se modificara.

• Por lo tanto, siguiendo con el caso anterior, si f es diferenciable en el punto (x, y, z) podemos afirmar que el incremento total que experimentará si sus variables sufren los incrementos marginales (~x, ~y, ~z) será aproximadamente

a¡

a¡

ux

uy

a¡ az

~f(x, y, z)(~x, ~y, ~z) ~ !:J~x +!:}~Y+ -~z.

La expresión de la derecha, que bajo la hipótesis de diferenciabilidad nos permite aproximar incrementos totales, recibe el nombre de diferencial de la función f. Más precisamente:

La diferencial de una función por3

f :D e

IR.n _____, IR derivable en su dominio es la función dada

a¡ df = -dx1 ax1

a¡ axn

+ ··· + -dxn.

3

Técnicarnente las expresiones dx1, ... , dxn representan las diferenciales de las funciones coordenadas x1, ... ,xn, aunque en la práctica podemos pensar en ellas como variables que deben sustituirse por los incrementos de las variables de la función dada.

149

10

150

Diferenciabilidad

• Así, la relación entre los incrementos que experimenta una función difercnciablc y su diferencial es: 1 ~f(f5)(~x) ~ df(p)(~x) l donde la notación de la derecha representa el número que resulta de sustituir las variables de la función por las coordenadas del punto j5 del que parte el incremento y d:1:1, ... , dxn por los incrementos de las variables ~x1, ... , ~Xn que forman el vector ~x.

Ejemplo 1

Dada la función f(x,y,z) = x 2 yez, calcula df,

Determina aproximadamente ximación.

df(1, 2, 0),

~!(1,

df(1, 2, O)( -0.1, 0.2, 0.3).

2, O)( -0.1, 0.2, 0.3) y calcula el porcentaje de error de la aproSOLUCIÓN:

Observa que en la expres10n df(l, 2, O) tenemos que entender que los números se refieren a las variables x, y, z, mientras que dx, dy, dz quedan sin especificar, mientras que en la expresión

df(l, 2, O)( -0.1, 0.2, 0.3) debemos entender que los primeros números se refieren a las variables y los segundos a las diferenciales. Según explicamos después, toda función de clase C 1 es diferenciable, por lo que todas las funciones que manejamos habitualmente (en particular J) son diferenciables en los puntos donde están definidas.

df

a¡ dx+ -a a¡ dy+ -a a¡ dz = =-a X y Z

z 2 z 2 z 2xye dx+x e dy+x ye dz,

+ dy + 2 dz, = 4 · ( -0.1) + 0.2 + 2 · 0.3 = 0.4.

df(1, 2, O) = 4 dx df(1, 2, O)( -0.1, 0.2, 0.3)

Como la función fes diferenciable en el punto (1, 2, 0), podemos aproximar el incremento por la diferencial: ~f(1,

2, O)( -0.1, 0.2, 0.3) ~ df(1, 2, O)( -0.1, 0.2, 0.3) = 0.4.

El incremento exacto es

~!(1,

2, O)( -0.1, 0.2, 0.3)

= f(0.9, 2.2, 0.3) - f(1, 2, O) = 2.405 - 2 = 0.405. El error relativo es

• De este modo, para aproximar incrementos parciales de funciones basta con que éstas sean derivables respecto de la variable que se incrementa, y la aproximación se hace con la derivada correspondiente, mientras que para aproximar incrementos totales utilizamos la diferencial, y la aproximación será mejor o peor en las mismas condiciones que ya expusimos al analizar las aproximaciones de incrementos parciales: en contextos económicos serán aceptables cuando los incrementos sean marginales, es decir, cuando no supongan ningún cambio sustancial respecto a la situación de partida. Nota Al aproximar incrementos por diferenciales como hemos hecho en el ejemplo anterior es fundamental que la función considerada sea diferenciable en el punto de partida del incremento. Esta condición falla, evidentemente, si la función no tiene derivadas parciales en el punto, pues entonces ni siquiera es posible calcular su diferencial, pero puede ocurrir que una función tenga

10.1

Funciones diferenciables

151

derivadas parciales (con lo que podríamos calcular la expresión que define a la diferencial) y, sin embargo, la función no sea diferenciable y sus incrementos no guarden relación alguna con lo que obtenernos con la diferencial. El ejemplo siguiente muestra un caso de esta situación. Ejemplo 2

La función

10 f(x,y) = { 0

si xy =1 O, si xy =O,

tiene derivadas parciales en el punto (0, 0), pero no es diferenciable en ese punto. En efecto,

a¡J ax

lírn ~xf(O, O)(~x) = lírn f(~x, O)- f(O, O) = lírn O- O = lírn 0 =O.

(0,0)

Li.x->0

~X

Li.x->0

Igualmente se comprueba que

~f

Li.x->0

~X

Li.x->0

=O, pero no podernos decir que fes diferenciable en

1

y

~X

(0,0)

(0, O) y que

df(O, O) = O· dx +O· dy = O, porque esta "diferencial" no aproximaría en absoluto los incrementos totales de ejemplo ~f(O,

f

en (0, 0). Por

0)(0.00001, 0.00001) = f(0.00001, 0.00001)- f(O, O)= 10- O= 10,

y este incremento (que daría lo mismo por muy pequeños que tornáramos los dos incrementos de las variables) no se parece en nada a la aproximación que da la "diferencial", que es siempre igual a O. • La función del ejemplo anterior era una función muy distinta de las que consideramos usualmente (no es composición de funciones usuales) y eso no es casual, pues las funciones usuales son todas diferenciables cuando son derivables. Esto se debe a lo siguiente: Toda función de clase C 1 es diferenciable. En particular toda composición de polinomios, sumas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos, senos, cosenos y raíces que no se anulan es diferenciable en su dominio.

• Hasta aquí hemos hablado de funciones diferenciables sin haber expuesto su definición exacta. La definición es complicada y nunca la necesitaremos en la práctica, pero es la condición que garantiza que los incrementos pueden aproximarse satisfactoriamente mediante la diferencial: Una función f : D e JRn ------t IR definida en un abierto D es diferenciable en un punto tiene derivadas parciales en x y existe

, ~f(x)(~x) -V f(x) · ~x 1liil Ll.x->0

ll~xll

=o.

xE

D si

152

10 Diferenciabilidad

Notemos que el producto escalar V f(x) · ~x representa el producto de cada derivada parcial de f por el incremento de la variable correspondiente, luego no es mác; que la diferencial df(x)(~x). Así pues, la definición viene a decir que, para incrementos ~x que tienden a O, el error cometido al aproximar el incremento de la función por la diferencial tiende también a cero, incluso después de dividirlo por la norma ll~xll del vector de incrementos, lo que significa que el error cometido es mucho más pequeño que el tamaño del incremento de las variables.

Relaciones entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad Son las siguientes: • Toda función diferenciable en un punto es continua y tiene derivadas parciales en dicho punto. • Aunque una función sea continua en un punto y tenga derivadas parciales en dicho punto, no podemos asegurar por ello que sea diferenciable en dicho punto. • Si una función tiene derivadas parciales en un punto y éstas (las derivadas, no la función) son continuas en el punto (es decir, si la función es de clase C 1 ), entonces la función es diferenciable en el punto. La función U(x,y) = mínimo(x,y) es continua eniR 2 , pero no es diferenciable en ningún punto que cumpla x = y. De hecho, no tiene derivadas parciales en esos puntos.

Ejemplo 3

Dicha función representa la utilidad que proporcionan dos bienes complementarios perfectos. Por ejemplo, U(5, 3) = 3 significa que si tengo 5 unidades del primero y 3 del segundo, mi utilidad es 3, la misma que si tuviera 3 unidades de cada, ya que las dos de más que tengo del primero no me aprovechan de nada si no tengo otras tantas del segundo. ¿De qué me sirve tener 5 lámparas si sólo tengo 3 bombillas?

10.2

Direcciones de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento nulo

• Como aplicación de la diferenciabilidad vamos a resolver el problema siguiente: Si una función toma un determinado valor en un punto, ¿en qué dirección deberemos movernos para que dicho valor aumente lo más rápidamente posible? En realidad esta pregunta requiere una precisión, ya que la variación que experimente una función cuando nos movemos en una dirección u otra no sólo dependerá de la dirección, sino también de la distancia recorrida. Por ello podemos precisar: Dada una función f : D C 1Rn ------+ IR y un punto p de su dominio, de entre todos los posibles incrementos ~x de la misma longitud longitud suficientemente pequeña ll~xll, ¿cuál es el que hace mayor el incremento ~f(p)(~x)? • Dicha dirección recibe el nombre de dirección de máximo crecimiento de la función f en el punto p, y cuando la función f es diferenciable en p es muy fácil de calcular. En tal caso sabemos que ~f(p)(~x) ~ df(p)(~x)

= Vf(p) · ~x =

IIVf(ii)ll·ll~xll cosa,

10.2 Direcciones de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento nulo

153

donde hemos usado una propiedad general según la cual el producto de vectores es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. En nuestro caso, pues, o: es el ángulo que forma la dirección D.x y el gradiente de la función. Como IIV f(p) 1 y ll~:rll son fijos, la dirección de máximo crecimiento será la que hace máximo a coso:, lo que sucede cuando coso: = 1, es decir, cuando o: = O. En otras palabras:

• La dirección de máximo crecimiento en un punto de una función diferenciable es la dir·ección marcada por su vector gradiente en el punto. Similarmente, podemos calcular la dirección de máximo decrecimiento, es decir, la dirección que hace el incremento de f más negativo, que se dará cuando coso: = -1, lo cual corresponde a un ángulo o: de 180 grados. Por lo tanto:

• La dirección de máximo decrecimiento de una función diferenciable es la dirección opuesta a la dirección marcada por el gradiente en el punto. Por último, las direcciones que cumplen coso: = O, es decir, las direcciones que forman un ángulo de 90 grados con el vector gradiente, son las que hacen que el incremento de la función sea el menor posible y reciben el nombre de direcciones de crecimiento nulo de la función. En general hay infinitas, pues hay infinitas direcciones perpendiculares a una dada. Como la longitud del gradiente no es relevante a la hora de especificar la dirección, es frecuente presentar las direcciones de crecimiento dividiendo el gradiente entre su norma para que sean vectores de longitud l. Así pues: Si una función f es diferenciable en un punto punto viene dada por

p,

su dirección de máximo crecimiento en dicho

V f(p)

IIV f(p)ll' su dirección de máximo decrecimiento es

V f(p)

IIVf(iJ)II y sus direcciones de crecimiento nulo son las direcciones iJ que cumplen V f(p) · iJ

=

O.

• Notemos que la dirección de máximo crecimiento, decrecimiento etc. no se pueden calcular si V f(p) = O. En tal caso puede suceder que la función f alcance en p su valor máximo (con lo que todas las direcciones son de decrecimiento) o su valor mínimo (con lo que todas sus direcciones son de crecimiento) o incluso que no suceda ni lo uno ni lo otro pero las variaciones sean muy pequeñas en todas direcciones. Calcula las direcciones de máximo crecimiento, máximo d~iento y crecimiento nulo de la función f(x, y, z) = x 2 yv'z- 12z en el punto (3, 2, 1).

Ejemplo 4

--~

2

SOLUCIÓN:

Calculamos el gradiente de la función: V f

= (2xyvlz, x 2 vlz, x ~- 12). Ahora

2yz lo calculamos en el punto dado: V f(3, 2, 1) = (12, 9, -3). En tercer lugar calculamos la norma del

10

154

Ten en cuenta que hay que calcular la norma del gradiente, no la del punto dado en el que calculamos las direcciones. Por ejemplo, en este caso sería un error calcular la norma

11(3, 2, 1)11 = )3 2 + 22

&

Otro error frecuente es calcular

/J\. ~

gradiente: IIY'f(3,2,1)11 = 11(12,9,-3)11 = )122

/122

=

/234 =

15.3.

12 9 3 DMC = ( 15.3' 15.3'- 15.3) = (0. 78, 0.59, -0.196). Para calcular la dirección de máximo decrecimiento basta cambiar los signos:

11(12,9,-3)11 =

+ 92 + (-3)2

Por lo tanto:

+ 12

= v'l4 = 3.74.

Diferenciabilidad

DMD = (-0.78, -0.59, 0.196).

+ 92-32

= vl44 + s1- 9 = 14.7.

El conjunto de direcciones de crecimiento nulo es

Si una coordenada es negativa, el signo menos desaparece al elevarla al cuadrado.

DCN ={(u, v, w) E ~ 3 =

1

(12, 9, -:3)(u, v, w) =O)}

{(u,v,w) E ~ 3 l12u + 9v- 3w

=

0)}.

Todas las direcciones (u, v, w) que cumplan la ecuación 12u + 9v- 3w =O serán direcciones de crecimiento nulo.

10.3

Problemas resueltos

l. El beneficio diario de una empresa viene dado por la función

B(t, x)

=

1000 e0 ·1t ln(1

+ x),

donde tes el tiempo en años y x es el nivel de producción diaria. El nivel de producción en la actualidad ( t = O) es de 100 unidades de producto. (a) Calcula dB. (b) Calcula dB(O, 100). (e) Calcula aproximadamente el incremento del beneficio que puede esperar la empresa para dentro de seis meses si mantiene constante su nivel de producción. ( d) Calcula de forma exacta y aproximada mediante el cálculo diferencial el incremento de beneficio esperado para dentro de un mes (D.t = 1/12) si la empresa reduce su producción diaria a 98 unidades de producto (toma al menos dos cifras decimales). (e) Comprueba que el porcentaje de error de la aproximación anterior no llega al 2%. (f) Calcula la dirección de máximo crecimiento deBen el punto (0, 100). SOLUCIÓN: 0 0 + oB ox dx = 1 000e ·1t0 . 1ln(1 + x) dt + 1 000e' ·1t_l_ l+x dx' dB(O, 100) = 100 ln(101) dt + 1000 161 dx = 461.51 dt + 9.9 dx

( a) dB (b)

=

oB ot dt

(e) D.tB(O, 100)(0.5)

~

aaBit

(0,100)

·0.5 = 461.51 · 0.5 = 230.76 u.m.

10.3

155

Problemas resueltos (d) ~B(O, 100)(1/12, -2) ~ dB(O, 100)(1/12, -2) = 461.51 112 + 9.9( -2) = 18.66 u.m. (e) El incremento exacto es

B(O, 100)(1/12, -2) = B(1/12, 98)- B(O, 100) = 4633.57-4615.12 = 18.45, luego el porcentaje de error es

E= 18.66- 18.45 . 100 = 1. 14 o/c 18.45 o, inferior al 2%.

11 (461.51' 9.9) 11 = y/461.51 2 + 9.9 2 = 461.61

(f) \7 B(O, 100) = (461.51, 9.9)

\7 B(O, 100)

DMC =

IIV B(O, 100)11

=

(461.51 9.9 ) 02 461.61' 461.61 = (0. 999 ' 0 · ).

2. La función N(t, P, K) representa el número de socios de una red social (en millones de personas), donde t es el tiempo en años, P la inversión en publicidad de la red y K el capital que ésta invierte en contenidos, servicios, presentación, calidad, etc. En la actualidad se cumple que

aNI -,-

at

-aNI

= 0.5,

oP

co,10o,10 ooo)

=0.1, co,10o,10ooo)

-aNI

oK

=0.003. co,10o,10ooo)

(a) Calcula el número esperado de nuevos socios en los próximos 2 años si la empresa mantiene su inversión actual en publicidad y su capital. (b) Y si decide aumentar en 2 u.m. su inversión en publicidad pero reduce su capital a 9800 u.m., ¿cómo variará en este caso el número de socios durante los dos próximos años? SOLUCIÓN:

~tN(O, 100, 10 000)(2) ~

:1

·

0

2 = 0.5 · 2 = 1 millon de nuevos socios. t (0,100,10000) (b) ~N(O, 100, 10000)(2, 2, -200) ~ dB(O, 100, 10000)(2, 2, -200) (a)

=aNI -

at

aNI ·2+ co,10o,10ooo)

oP

aNI ·2+ co,10o,10ooo)

oK

. (-200) co,10o,10ooo)

= 0.5 · 2 + 0.1 · 2 + 0.003( -200) = 0.6 millones de socios. 3. La función de demanda de un producto es:

D(r,p)

2r

=-

Vi5

donde r es la renta media de los consumidores y p es el precio del producto. Actualmente, r

= 1 000 € y p = 16 € . (a) Calcula dD.

1O Diferenciabilidad

156 (b) Calcula dD(1 000, 16).

(e) Utiliza el apartado anterior para calcular aproximadamente el incremento de demanda que se producirá si tanto la renta media de los consumidores como el precio de venta del producto disminuyen en un 10%. Comprueba que el porcentaje de error no llega al 3% (sin tener en cuenta el signo). (d) Calcula la dirección de máximo crecimiento y la dirección de máximo decrecimiento de la función Den el punto (1 000, 16). SOLUCIÓN:

8D

(a) dD = -

dr

ar

8D 2 1 _ ¡ 2 r +dp = - dr + 2r( -- )p 3 2 dp = - dr- - - . dp. 8p y'p 2 y'p (y'p) 3

(b) dD(1 000, 16) =

2

1000

VW 3 dp = 0.5 dr- 15.626 dp.

~ dr-

16 ( 16) (e) ~D(1 000, 16)( -100, -1.6) ~ dD(1 000, 16)( -100, -1.6) V

= 0.5( -100) - 15.626( -1.6) = -25.

Para calcular el porcentaje de error necesitamos el incremento exacto: ~D(1

000, 16)( -100, -1.6) = D(900, 14.4)- D(1 000, 16) = 474.34- 500 = -25.658.

El error es

E= -25- (-25.658) . 100 = -2.56w 10 -25.658 ' ' que es menos del 3%.

(d) v D(1 ooo, 16) = (o.5, -15.656),

11v D(1 ooo, 16) 11 = vo.5 2

+ 15.6562 =

15.66,

DMC (1 000, 16 ) = ( 0.5 = (0.032, -0.99 ) . _ ,- 15.656) _ 15 66 15 66 DMD(1 000, 16) = (-0.032, 0.99). 4. Dada la función f(p, q, r) = 3p2

+ 2qr- 5q2 + q- 2p + 100,

\7f(1,2,-1),

Hf,

y la d~~ección de máximo crecimiento de

f

df,

calcula

df(1,2,-1)

en el punto (1, 2, -1).

SOLUCIÓN:

\7 f = (6p- 2, 2r- 10q + 1, 2q), Hf

= (

\7f(1,2,-1) = (4,-21,4)

~o -1~2 o~)

= (6p- 2) dp + (2r- 10q + 1) dq + 2q dr df(1, 2, -1) = 4dp- 21 dq + 4dr IIV f(1, 2, -1)11 = 11(4, -21, 4)11 = V42 + (-21) 2 + 42 = 21.75 df

\7f(1,2,-1) DMC

= IIVJ(1,2,-1)11 =

(

4 -21 4 ) 21.75' 21.75' 21.75

= (0.18 ,- 0 .96 ' 0 "18 )

10.4

10.4


157


l. Dada la función

(a) Calcula df. (b) Calcula df(2, 1, -1). (e) Calcula df(2, 1, -1)(1, -2, 3). (d) Calcula la dirección de máximo crecimiento, la dirección de máximo decrecimiento y el conjunto de direcciones de crecimiento nulo de f en el punto (2, 1, -1). 2. Repite el problema anterior con la función f(x, y) en los datos).

=

2

xeY

-

1

(eliminando los valores de z

:~.La función D(p,p') = 100ln(1 + ~)u.p. representa la demanda del artículo que fabrica una empresa, donde p y p1 representan el precio (en euros) al que la empresa vende su producto y el precio medio al que la competencia vende un artículo equivalente (pero no se dice qué variable representa cada cosa). (a) Calcula las derivadas parciales en (p,p')

= (4,2)€. Indica sus unidades.

(b) A partir de las derivadas que has calculado, razona qué variable representa el precio de la empresa y qué variable representa el precio de la competencia. (e) Interpreta las derivadas. (d) Calcula aproximadamente mediante la diferencial el incremento de demanda que se producirá si de la situación actual (p,p') = (4,2)€ se pasa a (p,p') = (3,3)€. (e) Calcula el incremento exacto. (f) Comprueba que el porcentaje de error es de un 13%. (g) Explica por qué el error es relativamente grande. 4. Una empresa fabrica dos productos A y B en cantidades x e y. Los beneficios que obtiene con su producción vienen dados por una cierta función B(x, y). Actualmente los beneficios ascienden a 200 u.m., pero la empresa tiene más demanda de la que realmente está cubriendo, por lo que se plantea aumentar su producción. Sus recursos le permiten un aumento de 10 unidades de producto. La empresa estima que, para la producción actual p = (x, y) se cumple

aBI

--;::)

ux p

=

.

3 u.m.jumdad de A,

aBI = 2 u.m.jumdad . de B. a y p

(a) ¿Cuál es exactamente la interpretación de estas derivadas en este contexto concreto? (b) ¿Qué beneficios pasaría a obtener la empresa si aumentara en 5 unidades la producción de A? ¿Y si aumenta en 5 unidades la producción de B? (e) Para estimar con estos datos los beneficios de la empresa en el supuesto de que aumente simultáneamente 5 unidades la producción de A y 5 la de B necesitamos una hipótesis sobre la función B, ¿cuál? (d) Con dicha hipótesis, ¿cuáles pasarían a ser los beneficios de la empresa?

158

10

Diferenciabilidad

Cálculo de diferenciales y de direcciones de crecimiento 5. Calcula la diferencial de las funciones siguientes: (a) P

=

2x 3 y- 3x

(d) T = e3u2+y-Vt,

+ 4y 2 ,

(b) Q = 3x - 5y + 7,

(e) V= {/sen(x2y),

(e) z = lnxy,

(f)

r

ijX = __2_ p

6. Calcula la diferencial de las funciones siguientes en los puntos indicados.

(a) h(x, y)= (x

+ ln y) 2

en (3, 1),

(b) Q(x, y) =2ft ln y en (4, 4),

(e) g(x, y, z) = ij:rln

z¡

1

en (2, 1, 1),

=

3u3

w 4 en (1,0, 1),

-

( g)

_ 2 e v-w en ( 2, 3, 3 ) , g ( u, v, w ) -u

(h) f(x, y, z) = x 2 + y 2

-

2xy- z 2 en (1, 2, 0),

(i) h(p, q) = 3p + 4q en (1, 1),

(d) j(a, b) =aben (3, 1), (e) h(u,v,w)

(f) f(x, y) = x 2 + 2xy en (3, 4),

(j) f(x, y)= x 3 ln(y + 1) en (2, 0),

7. Calcula la dirección de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y las direcciones de crecimiento nulo de las funciones del problema anterior en los puntos indicados.

Aproximación de incrementos totales 8. Una empresa estima que sus beneficios B(p, x) dependen del precio medio de sus materias primas p y de la cantidad de producto que fabrica x. Actualmente sus beneficios son de 100 u.m. y corresponden a una producción de x = 5 unidades y a unos precios de p = 1 u.m. Así mismo considera que

~B 1 p

(1,5)

= -3 u.m.ju.m.,

aaB 1 X

= 2 u.m.ju.p.

(1,5)

(a) Interpreta las derivadas, especialmente su signo. (b) ¿Qué beneficios cabría esperar si los precios aumentan a 1.3 u.m.?

(e) ¿Y si, además de dicho aumento de precios, la empresa aumenta su producción en

~~

unidades? (d) ¿Hace falta alguna hipótesis matemática sobre la función B para justificar la respuesta a (e)? 9. Considera la función de producción P(K, L) = K 3 + L 3 + K 2 L, en la que K y L son las cantidades empleadas de dos factores de producción. Las cantidades empleadas actualmente son (K,L) = (2,1). (a) Calcula la producción marginal respecto a cada factor de producción para la situación actual. Interpreta el resultado. (b) Calcula de forma aproximada con la diferencial el incremento de producción que puede conseguirse si se emplea (K, L) = (2.2, 1.1). (e) Calcula el porcentaje de error de la aproximación anterior.

10.4


159

10. Sea D(p, r, t) la función de demanda de un artículo en un mercado, donde pes el precio (en u.m.), r la renta media de los consumidores (en u.m.) y t el tiempo en años. Actualmente (t =O) se tiene (p, r) = (5, 14) y D(5, 14, O) = 200. Además

oDI üt

()DI

= 2o (5,14,0)

Üp (5,14,0) = -

'

15

()DI '

Ür (5,14,0) = 10.

(a) Interpreta estas derivadas. (b) ¿Qué demanda cabría esperar dentro de un año si la renta ha pasado a r = 13 u.m. y el precio a p = 4.5 u. m.?, ¿qué hipótesis sobre D es necesaria para responder a esta pregunta con los datos disponibles? 11. La función C(x,p) determina el coste de producción de una empresa a partir del nivel de producción x y del precio p de un factor de producción. Actualmente se tiene que (x,p) = (1 000, 3) y el coste es de 500 u.m. Además

acl

3

= '

Üx (1 ooo,3)

DCI Üp

= 10 (1 000,3)

o

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Calcula el coste (no el incremento de coste) que cabría esperar si la producción pasa a ser de 1050 u. p. y el precio se reduce en 0.8 u.m. (e) Calcula ~xC(1 000, 3)(10) e interpreta el resultado.

12. La función D(p, P, t) representa la demanda diaria de una empresa en función del precio p (en euros) al que vende su producto, de la cantidad P (en euros) que invierte mensualmente en publicidad y del tiempo t (en años). Actualmente (t =O) la empresa vende su artículo a p = 30 € e invierte P = 90 000 euros mensuales en publicidad. Sabemos que

üD 1 Üp

(:~0,90 000,0)

= ±10000 '

üD üP

= ±3000,

1

(3o,9oooo,o)

-aDI üt

= -1000. (30,90 000,0)

(a) Razona el signo correcto que cabe esperar para las dos primeras derivadas. (b) Interpreta las tres derivadas. (e) Calcula el incremento de la demanda que cabe esperar para dentro de un mes (1/12 de año). ¿La empresa aumentará o disminuirá sus ingresos frente a la situación actual? (d) Supón que la empresa decide vender su producto a 29.50€. ¿Cuál sería en tal caso el incremento de la demanda dentro de un mes? (e) La empresa se plantea aumentar su inversión en publicidad dentro de unos meses. Por ello está interesada en saber si el efecto que tendrá sobre su demanda un aumento de la inversión en publicidad aumenta o disminuye con el tiempo. ¿Qué derivada indica el efecto que tiene sobre la demanda un aumento en la inversión en publicidad? ¿Qué derivada indica si esta derivada aumenta o disminuye con el tiempo?

10

160

Diferenciabilidad

13. Un consumidor consume dos bienes en cantidades x e y, y con ello obtiene una utilidad U(x, y)= x 2 + x-/f}. Su consumo actual es de 2 unidades de A y 4 de B. (a) Calcula la utilidad marginal de A y B para el consumo actual. Interprétala. (b) Calcula a partir de las utilidades marginales el incremento de utilidad que se producirá si el consumo de A se incrementa en 0.1 unidades y (a la vez) el consumo de B se incrementa de 0.5 unidades. (e) Calcula el porcentaje de error de la aproximación anterior. 14. Una empresa fabrica un producto Z a partir de dos factores de producción A y B. Su función de producción viene dada por Q(x, y, P)

= fiY-

VP,

donde x e y son las cantidades empleadas de lo factores A y B y P es el nivel de producción de otros artículos que fabrica la misma empresa. Actualmente la empresa emplea 200 unidades de A y 800 de B, y el nivel de producción de otros artículos es P = 100 u. p. (a) Calcula el nivel de producción actual del producto Z. (b) Calcula

1&'3

derivadas parciales de Q para los valores actuales de las variables.

(e) Interpreta las derivadas del apartado anterior. (d) Calcula dQ(200, 800, 100). (e) Utiliza la diferencial que has calculado para aproximar el incremento de producción que conseguiría la empresa si aumentara en 5 unidades ambos factores de producción y redujera la producción de otros artículos a P = 81 u.p.

15. La función B(p, D, t) representa los beneficios de una empresa en función del precio p (en euros) al que vende un artículo, la demanda diaria D de dicho artículo y el tiempo t en aflos. Actualmente (t = O) vende su artículo a un precio p = 25€, tiene una demanda de 20 000 artículos diarios y B (25, 20 000, O) = 300 000 €. Además

aB\

-

at

aB\

-

=120 (25,20 ooo,o)

'

ap

aB\

= -700 (25,2oooo,o)

'

aD

=12 (25,2oooo,o)

·

(a) Interpreta las derivadas. ¿Son razonables los signos? (b) ¿Qué beneficios cabría esperar dentro de dos meses (2/12 de aflo) si la e m presa redujera su precio a 22 unidades y ello provocara un aumento de la demanda de 100 artículos diarios? (e) ¿Qué hipótesis hemos de suponer sobre B para responder a la pregunta anterior? ¿Por qué? (d) La empresa quiere estudiar si su beneficio marginal sobre el precio aumenta o disminuye con el paso del tiempo. ¿Qué derivada contiene esta información?

16. La función de producción de una empresa es Q(x,y) = 2ft lny, donde :z; e y son las cantidades empleadas de dos factores de producción. Actualmente, la empresa utili11a 400 unidades del primero y 100 del segundo.

10.4


161

(a) Calcula ~xQ(400, 100)(10) de forma exacta y aproximadamente mediante derivadas. Interpreta el resultado. (b) Calcula de forma aproximada el incremento de producción que puede lograrse utili:;r,ando los factores de producción en cantidades (415, 105). (e) Razona mediante derivadas si un aumento de la cantidad empleada del primer factor hace aumentar o disminuir la producción marginal respecto de x.

, 1 000 ln(p + x 17. La funcion B(x, y,p) = p

+ 2y)

representa el beneficio de una empresa en

función de su producción de dos artículos A y B y del precio p de su principal materia prima. Actualmente la empresa produce 48 toneladas de A, 25 de By compra su materia prima a 2 u.m./t. (a) Calcula dB. (b) Calcula dB(48, 25, 2) (e) Calcula la dirección de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y el conjunto de direcciones de crecimiento nulo de B en el punto (48, 25, 2). (d) Calcula el incremento exacto de beneficio que cabe esperar si, partiendo de la situación actual, si el precio de la materia prima desciende un 5% y la empresa aumenta su producción a 50 t. de A y 30 de B. (e) Comprueba que el porcentaje de error que resulta al aproximar el incremento anterior mediante la diferencial (sin tener en cuenta el signo) no supera el 4%.

18. La función C(x,p, q) = 1000yl3x + 1(x + 2p + 3q) representa el coste de producción de una empresa cuando x es la cantidad producida y p y q son los precios de sus principales materias primas. Actualmente la empresa produce 8 toneladas de su producto y los precios son p = 3€, q = 2€. (a) Calcula dC. (b) Calcula dC(8, 3, 2). (e) Calcula la dirección de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento nulo de en el punto (8, 3, 2).

e

(d) Usando los cálculos que has hecho, aproxima el incremento de coste que se produciría si la empresa aumenta su producción un 2% y el precio p disminuye 10 céntimos de euro (y el precio q no varía). (e) Comprueba que el porcentaje de error de la aproximación del apartado anterior no excede del 1%.

11

La regla de la cadena

En esta sección estudiamos la regla de la cadena, que nos permite calcular las derivada'> de funciones compuestas a partir de las derivadas de las funciones que las componen. Veremos que también puede usarse para calcular derivadas de funciones implícitas a partir de las derivadas de la ecuación que las definen.

11.1

Derivación de funciones compuestas

Recordemos el ejemplo 1 de la página 65:

Ejemplo 1 La demanda de una empresa D está en función de los precios PI y P2 a los que vende sus dos artículos. A su vez, la empresa fija estos precios en función de los precios q 1 y q2 de las materias primas que emplea en su fabricación. Digamos que D(pl,P2) = 50/(PIP2), donde a su vez PI = 3ql + Q2, P2 = Ql + 2q2. Según vimos, tenemos una función D que depende de las variables p 1 y p 2 , las cuales a su vez dependen de las variables Ql y Q2· El árbol de la izquierda refleja la situación. Por consiguiente, a partir de estas funciones podemos calcular la función compuesta D(q¡, q2) que nos da la demanda de la empresa en términos de los precios Ql y q2 de las materias primas. En este caso

A partir de esta expresión podríamos calcular fácilmente las derivadas y

sin embargo vamos a ver cómo podemos obtener estas mismas derivadas a partir de las derivadas de las funciones iniciales D (PI, p2), PI (Ql, Q2) y P2 (Ql, Q2), sin necesidad de haber calculado la función compuesta. La fórmula que relaciona estas derivadas con las de la función compuesta se llama regla de la cadena, y en lugar de considerar el caso general es preferible deducirla en cada caso concreto a partir del árbol que muestra las dependencias entre las variables. Por ejemplo, para calcular la derivada

aD

8q1 consideramos todos los caminos en el árbol que llevan desde D hasta Ql· Vemos que en este caso hay dos. La fórmula de la regla de la cadena multiplica las derivadas correspondientes a cada camino y suma los productos correspondientes a caminos distintos. En este caso:

Observarnos que el primer sumando tiene dos factores correspondientes a las dos ramas del camino D p 1 -- q1 y el segundo otros dos factores correspondientes a las dos ramas del camino D -- P2 - Ql·

163

164

11


Ahora ya podemos calcular las cuatro derivadas que aparecen en el término de la derecha:

Ejemplo 2

Dadas las funciones del ejemplo 1, calcula

1


uq2 (1,2)

SOLUCIÓN: Aplicamos la regla de la cadena:

Observa que cuando nos piden calcular

~D

aD¡ a

no hay duda de (1,2) que la función Des D(q1,q2) y no D(p1,p2) (pues nos piden derivar respecto de qz) y por eso mismo sabemos que (1, 2) es (q1, q2) y no (p¡, pz). Al aplicar la fórmula de la regla de la cadena aparecen también las variables p¡, pz, pero no es necesario que nos den sus valores en el enunciado, ya que podemos calcularlas a partir de q1, qz, puesto que conocemos las relaciones p¡ = 3q¡ +q2, P2 = q¡ +2q2. Q2

Calculamos las derivadas:

Para evaluar las derivadas en (q1, q2) P1(1, 2) = 5, P2(1, 2) = 5, de modo que

( 1, 2) calculamos

~~ (1,2) = - ~~;)~ - \~~)25 = -1.2. 1

La interpretación es que, por cada unidad que aumente el precio q2, la demanda disminuirá 1.2 unidades, partiendo de que los precios actuales de las materias primas son (q1, q2) = (1, 2), suponiendo que q1 no se modifica y teniendo en cuenta que los precios de venta (p 1, P2) dependen de (q1, q2) de la forma indicada.

Ejemplo 3

Dadas las funciones f(p, q)

a) Calcula df

dt

1

= p 2 eq ~5, 3

p

= t 2 , q =Vi.

mediante la regla de la cadena.

4

b) Repite el cálculo derivando directamente la función compuesta y comprueba que coinciden los resultados. N· ) df = Sol , l icio' ~ . a d

t

o.f dp ;::¡ d up

t

+

a;::¡.f dq d uq

t

= 2 q3~s 2t + 2 q3-s3 2 _1_ pe p e q li" 2v t

Para sustituir en t = 4 tenemos en cuenta que p(4) = 16 y q(4) = 2: ddlf 1 = 2 · 16e3 2 · 4 + 162e3 3 · 2 2 ~ = 20 567.59 t 4 4 b) La función compuesta es f(t) = t 4 evt ~s, luego 3

it =4t evt -

df

3

¡¡:3

5

lt

¡¡:3 3 df 1 . 3 +t 4 evt -s t 112 =? =4·4 3 é+4 4 é2"·2=20567.59.

2

Observamos que el resultado es el mismo.

4

11.1

Derivación de funciones compuestas

Ejemplo 4

165

La función de demanda de un producto es:

2r D(r,p) = -

vP

donde res la renta media de los consumidores y pes el precio del producto. Actualmente, r = 1 000€ y p = Hi€. Por otra parte, B(D,p) representa los beneficios de la empresa. Se estima que:

éJB 1 éJD (500,16)

= 15

-aBI op

=

200.

(5oo,16)

a) Explica la diferencia de interpretación entre

éJB(D,p) op

1

y (5oo,16)

éJB(r,p) op

1

(1 ooo,16) ·

b) Usando toda la información disponible, estudia si un aumento unitario del precio haría aumentar o disminuir el beneficio.

SOLUCIÓN: Tenemos que

lo que nos da una función compuesta B(r,p). . éJB(D,p) 1 . a ) La denvada representa elmcremento de 0p (500,16) beneficios que se produce por cada unidad que aumente el precio, partiendo de la demanda y el precio actuales y suponiendo que la demanda permanece constante, mientras que la éJB(r,p)

derivada

representa el incremento de bene-

Üp (1 000,16)

ficios que se produce por cada unidad que aumente el precio, partiendo de la renta y el precio actuales, pero teniendo en cuenta que la variación del precio afecta a la demanda. b) Según lo dicho en el apartado anterior, no podemos usar la derivada que nos dan en el enunciado porque supone constante la demanda y eso es falso. Por eso consideramos la función compuesta B (r, p), que tiene en cuenta la dependencia de la demanda respecto del precio. Por la regla de la cadena: üB(r,p) aB éJD éJB

_a_:_p___::_:_ = -an- -ap- + -a-p ·

Necesitamos calcular éJD op

(

1) _

= 2r -2

312

p

=-

#r

=}

éJD 1 op (1000,16) = -15.626.

Debemos tener bien presente que cuando derivamos una función de varias variables respecto de una de ellas, el resultado supone que las demás variables permanecen constardes. Pero hay muchos contextos en los que esto no es razonable, como en este problema: si se modifica el precio, cabe esperar que la demanda también se modifique. Si esto es así, la derivada de la función dada "miente", pues, en nuestro caso, nos dice lo que pasaría si variara el precio sin variar la demanda, que no es lo que pasará realmente.

Cuando la variación de una variable de una función afecta a las demás variables, para estudiar su efecto tenemos que derivar la función compuesta con las funciones que determinan las relaciones entre las variables. En nuestro caso, ante la pregunta de qué efecto tendrá un aumento de precio sobe el beneficio, sería un error grave haber mirado la derivada del enunciado para concluir que un aumento unitario del precio haría aumentar el beneficio en 15 unidades. Como se ve al estudiar la función compuesta, en realidad el aumento del precio no hace aumentar, sino disminuir el beneficio.

11

166

Notemos que, al pasar de la expresión general de la regla de la cadena:

_oE-----'r-'-( -"-,p-"-) = _oE __ oD_ + _oE_ op av ap ap

oE(r,p) 1 op (1 ooo,16)

Por lo tanto:

8B(r,p) 8p

1

(1 000,16)

an\ an\ an\ an (soo,16) ap (1 ooo,l6) + ap (500,16)

= 15( -15.625) + 200 =

a la que nos da la derivada en el punto:

'


-;~4.375.

Como la derivada es negativa, concluirnos que ante un aumento uní tario del precio (partiendo de una renta r = 1 000 y de un precio p = 16 y teniendo en cuenta que la variación del precio afecta a la demanda) el beneficio disminuirá.

sería un error escribir

aal aDl aEl oD (1ooo,16)ap (1ooo,1~ op (10oo,16) Hemos de tener en cuenta que la función E es aquí B(D,p) y que D es D(r,p). Por lo tanto, las derivadas respecto de B se calculan en (D, p) = (500, 16) y la de D en (r,p) = (1 000, 16). Lo correcto es, pues:

oEl oDl + oEl oD (500,16) op (1ooo,16J op (5oo,l6) tal y como hemos escrito en la solución.

11.2

El teorema de la función implícita

Recordemos que, dada una ecuación, como por ejemplo

decimos que define a una de las variables, por ejemplo y, como función implícita de las restantes (en este caso, de x) si para cada valor de x existe un único valor de y para el cual se cumple la ecuación (o, al menos, un único valor que cumpla alguna condición prefijada, como ser positivo). En muchos, casos, para justificar que efectivamente una ecuación determina una variable y como función implícita de otra variable x, basta despejar la variable:

-{Noo_~ 3 - C'i.'

Y-

x

vx3

Así vemos que, dado un valor para x > O, el único valor positivo para y que cumple la ecuación es el dado por la fórmula que acabamos de obtener despejando. Sin embargo, a veces puede no ser fácil (o incluso ser imposible en la práctica) despejar una variable sin que ello signifique que la ecuación no determina una función implícita.

Ejemplo 5a

Consideremos la ecuación yln(x +y+ 2) 3 ln 7 = ·

Es fácil ver que define a x como función implícita de y, para x, y despejar: ln(x

+y+ 2) =

3ln 7 y

=?X+ y+ 2 =

e3ln7/y =?

x

=

> O. En efecto, podemos

e3ln7/y-

y- 2.

Por ejemplo, x(1) = 340 significa que, cuando y = 1, hemos de tomar x = ;340 para que se cumpla la ecuación. En cambio, el hecho de que y aparezca tanto dentro como fuera del logaritmo hace que en la práctica sea imposible despejar la y como función de x. Podríamos pensar que esto significa que dicha ecuación no define a y como función implícita de x, pero no es así.

11.2 El teorema de la función implícita

167

Para convencernos de ello basta mirar la figura, en la que están representados los puntos que cumplen la ecuación. Para cada valor de x, vemos que hay un único valor de y sobre la curva, es decir, un único valor de y que cumple la ecuación. Por ejemplo, la figura parece indicar que y(2) = 3 y, en efecto, podemos comprobar fácilmente que (x, y)= (2, 3) cumple la ecuación: 3ln(2 + 3 + 2) ln 7

4 '

'1 1

Y

2

= 3_

En cambio, no es fácil calcular y( 4)

o '

= 2.69869 ...

1

o

2

4

6

X 10

• El teorema de la función implícita proporciona una condición sencilla para justificar que una ecuación dada determina a una de sus variables como función implícita de las restantes. Lo enunciamos para el caso de una única ecuación, aunque puede generalizarse al caso de un sistema de ecuaciones.

Teorema de la función implícita Dada una ecuación f(x¡, ... ,xn) =O, definida por una función f de clase C 1 , y un punto p = (p¡, ... , Pn) de su dominio que cumpla la ecuación, si se cumple que

af

1

OXn p

#O,

entonces la ecuación define a Xn como función implícita de x¡, ... , Xn-1 para puntos cercanos a

p, es decir, para cada punto (x¡, ... , Xn-d suficientemente próximo a (p¡, ... ,Pn-d existe un único valor para Xn tal que el punto (x¡, ... , Xn) está próximo a p y cumple la ecuación. En la práctica: Para que una ecuación f(x¡, ... , xn) = O defina a una variable Xn como función implícita de las demás variables basta con que su derivada respecto de dicha variable Xn sea diferente de O. Más concretamente, si hemos comprobado que la derivada no vale O en un punto (p¡, .. . , Pn) que cumple la ecuación, no sólo sabemos que la función implícita cumple xn(p¡, ... ,Pn-d = Pn. sino que para puntos próximos a p¡, ... , Pn-1 tomará valores próximos a Pn·

Ejemplo 5b

Continuando con el ejemplo 5a, tenemos la ecuación yln(x +y+ 2) ln 7

= 3'

y sabemos que el punto (2, 3) la satisface. Para justificar que para todo valor de x cercano a 2 hay un único valor y(x) cercano a 3 que cumple la ecuación (como se ve en la figura) basta calcular la derivada

af Üy

ln(x

+y+ 2) +y~ ln 7

=?

af

ay

= ln 7 + 3/7 #o.

1

(2,3)

ln 7

11

168

Observa que, aunque hemos enunciado el teorema de la función implícita tomando la última variable Xn, el orden de las variables es irrelevante, y podemos aplicarlo a cualquiera de ellas. Así, en este ejemplo, para comprobar que x puede ponerse como función implícita de y derivarnos respecto de x y para comprobar que y puede ponerse como función implícita de x derivarnos respecto de y. Observa también que en el teorema general considerarnos funciones igualadas a O, mientras que en este ejemplo la función está igualada a 3. El número de la derecha también es irrelevante, porque se puede pasar al miembro izquierdo y no influye en el resultado de la derivada, pues las constantes desaparecen al derivar.

En la práctica podemos entender así el planteamiento: tenemos una ecuación U(x, y) = 100 y vamos a derivar sus dos miembros, el miembro izquierdo lo derivamos mediante la regla de la cadena (según el árbol anterior que tiene en cuenta la función implícita), y la derivada del miembro derecho es (siempre) cero porque es la derivada de una constante. Es importante recalcar que el = O no es parte de la regla de la cadena, es decir, que al aplicar la fórmula de la regla de la cadena el resultado no tiene por qué ser O. Esto es así siempre que derivamos una ecuación que define una función implícita, pero no en otros casos.


Aunque ya lo habíamos comprobado directamente (despejando), también podemos usar el teorema de la función implícita para comprobar que la ecuación define a x como función implícita de y. En este caso, la derivada que necesitamos es

a¡

ax

11.3

= x+t+2 :::}

a¡

ln 7

üx

= _3_

1

#o.

7ln 7

(2,3)

Derivación de funciones implícitas

Para terminar vamos a ver cómo podemos usar la regla de la cadena para calcular derivadas de funciones implícitas derivando directamente las ecuaciones que las definen, sin necesidad de conocerlas explícitamente. Esto se conoce como derivar implícitamente la ecuación. La técnica es siempre la misma: Supongamos, por ejemplo, que tenernos una ecuación U(x, y) = 100, corno sucede, de hecho, en el ejemplo siguiente, y que la ecuación define a y como función implícita de x, es decir, que tenemos una función y(x) que a cada x le asigna un y que cumple la ecuación, es decir, U(x, y(x)) = 100. Tenernos entonces la situación siguiente:

de forma que la función compuesta U(x) vale siempre 100 y, por lo tanto, tiene derivada O. Dicha derivada (que, según acabarnos de decir, es cero) podernos calcularla también mediante la regla de la cadena:

Ahora observarnos que las dos derivadas

au üx

y

au

oy

se calculan a partir de la ecuación dada, y la tercera es la

derivada de la función implícita, luego para calcularla basta despejar en la fórmula anterior. La función U(x,y) = x+ln(xy) representa la utilidad que obtiene un consumidor con la adquisición de dos bienes en cantidades x, y >O. Actualmente adquiere 100 unidades del primer bien y consigue una utilidad de 100 unidades.

Ejemplo 6

11.3

Derivación de funciones implícitas

169

a) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia (curva de nivel de utilidad) correspondiente al consumo actual. lnterprétala. b) Comprueba que dicha ecuación define a y como función implícita de x para consumos similares al actual. e) Calcula la función

Observa que el apartado e) te pide simplemente que calcules la derivada de la función implícita indicada en el apartado b). En microeconomía dicha derivada (cambiada de signo, por el motivo que veremos enseguida) recibe el nombre de Relación Marginal de Sustitución (RMS), aunque no es necesario ningún conocimiento previo ni para calcularla ni para interpretarla como se pide en el apartado f), pues se interpreta como cualquier otra derivada.

y(:r).

d) Calcula y(100) e interpreta el resultado. e) Calcula la relación marginal de sustitución

RMS = - oy

ox para el consumo actual, derivando directamente la función implícita y derivando implícitamente la ecuación. f) Interpreta el resultado. SOLUCIÓN:

a) La curva de nivel es x + ln(xy) = 100. Representa todos los consumos posibles que proporcionan al consumidor una utilidad de 100 unidades. b) Por el teorema de la función implícita basta comprobar que En efecto:

au

1 1 - = -x=oy xy y

No conocemos el consumo actual, pero, sea cual sea, en este caso podemos asegurar que la derivada no será cero y que existe la función implícita.

¡.o.

e) Despejamos en la curva de nivel: :r:

~~ ¡. O.

+ ln(xy) = 100::::} ln(xy) = 100- x::::} xy = e 100 -x::::}

elOO-x

y=--. X

Así pues, elOO-x

y(x) = - - . X

d)

ewo-wo y(lOO)

=

100

= 0.01.

Esto significa que, para conseguir una utilidad de 100 unidades adquiriendo 100 unidades del primer bien, necesitamos 0.01 unidades del segundo bien. e) Derivando directamente la función implícita:

oy

ax

elOO-x( -1)x- elOO-x ::::}

x2

Por lo tanto, RMS(lOO) = 0.0101.

oy 1 ox lOO

-100- 1 1002

= -0.0101.

11

170

Aquí aplicamos la técnica descrita antes de este ejemplo: derivamos la ecuación U(x, y) = 100, la parte i;~quierda con la regla de la cadena y el 100 de la derecha tiene derivada O. Observa que, al despejar la derivada, llegamos a la expresión

oy

~1~1/x

ox

1/y

y para calcularla en x = 100 necesitamos el valor y(lOO) = 0.01 que hemos calculado en el apartado d). Si no lo hubiéramos calculado allí, tendríamos que calcularlo ahora igualmente.

En general, la derivada de una función implícita y( x) representa cuánto tiene que variar y por cada unidad que aumenta x para que se siga cumpliendo la ecuación que define a la función implícita (con las mismas precisiones que requiere cualquier otra derivada: "ceteris paribus", etc.). En el caso concreto del apartado f) esto se concreta en la expresión "para mantener el nivel de utilidad 100", puesto que la función implícita surge de la curva de nivel que se cumple cuando la utilidad conseguida es 100. Esto tiene que aparecer necesariamente en la interpretación de la derivada de toda función implícita, pues sería absurdo afirmar que si consumimos más de x "debemos" consumir menos de y sin más explicación. Esta disminución es necesaria sólo en el supuesto de que queramos mantener el mismo nivel de utilidad, pero nada nos obliga a ello.

4


Para derivar implícitamente consideramos el árbol

y derivamos la ecuación mediante la regla de la cadena:

au(x) ax

=

=?

au + au ay ax ay ax 1 1 +X

=?

1 ay

= 0

=* 1 +_!_Y+ _!_x ~Y

xy

ay ax

xy

(h;

= 0

-1 - 1 f:r: 1/y

+ ~- = 0 = ? - = -.,........,--'-yax

ay¡ ax 100

-1-0.01 1/0.01

= -0.0101

y nuevamente llegamos a que RMS(100) = 0.0101.

f) Por cada unidad que aumente el consumo del bien :r, el consumidor necesitará 0.0101 unidades menos 4 del bien y para mantener el nivel de utilidad 100, partiendo de que el consumo de x es de 100 unidades.

• Las derivadas de funciones implícitas definidas por curvas de nivel reciben nombres distintos en economía según el contexto, pero todas ellas resultan del mismo cálculo matemático y se interpretan como cualquier derivada de cualquier función implícita. Así, según acabamos de ver, la derivada de una curva de indiferencia (curva de nivel de utilidad) recibe el nombre de Relación Marginal de Sustitución, la derivada de una isocuanta (curva de nivel de producción), también cambiada de signo por el mismo motivo, recibe el nombre de Relación de Sustitución Técnica (RST), la derivada de una frontera de posibilidades de producción (cambiada de signo) es la Relación de Transformación de Producto (RTP), cte.

En realidad estamos interpretando la derivada (no la RMS), que es negativa, lo que se traduce en que (como es de esperar) un aumento del consumo de x requiere una disminución del consumo de y para mantener el mismo nivel de utilidad. Precisamente porque esta derivada (por su interpretación) va a ser siempre negativa, la RMS se define como la derivada cambiada de signo, de modo que RMS = 0.0101 se interpreta corno una disminución y no un aumento. También puede interpretarse como que el consumidor estaría dispuesto a sustituir una unidad de x por 0.0101 unidades de y.

11.4

11.4

171

Problemas resueltos

Problemas resueltos

l. Considera las funciones

f(s, t)

1 = - ,

S= xY,

st

(a) Calcula la composición de las funciones anteriores (indicando el nombre de la función compuesta). (b) Calcula

~f \ ax (1,3)


SOLUCIÓN

1

(a) f(x,y) = xY (ln3 ( x 2 )

+ 2)

(b)

Para sustituir en el punto tenemos en cuenta que s(1, ~~) = 1, t(1) = 2:

af\

ax

(1,3)

1 3 = -23+0= -2.

2. Dadas las funciones P(x, y)= xyfY.

~p \

(a) Calcula

as

Observa que en la derivada de la pregunta (b) hay que entender que el punto es (x, y) = (1, 3), por lo que necesitamos calcular (s, t) a partir de la.'l funciones dadas en el enunciado.

y= sen5s + 12t,

x = 23 s-l,


(0, 3)

(b) Calcula la composición de las funciones anteriores (indicando el nombre de la función compuesta). (e) Repite el cálculo del apartado (a), pero ahora a partir del apartado (b). Comprueba que coinciden los resultados.

'

SOLUCION:

aP ap ax ap ay 3s 1 X 4 ( a ) - = - . - - + - - = y'y · 2 - ln2 · 3 + --5sen scoss. as

ax as

2JY

ay as

Teniendo en cuenta que x(O) = 0.5, y( O, 3) = 36,

~p\ as

= J36.

r

1

ln2. 3 +

(0,3)

! 5sen ocoso = 9ln2 +o= 6.238. 2v 36 0

4

(b) P(s, t) = 23s-lJsen5 s + 12t

aP as

(e) -

= 238 - 1 ln2 · 3Vsen5 s + 12t + 23 s-l

1 5sen4 scoss 2Vsen5 S+ 12t 1

aP¡ =T 1 ln2·3Vsen5 0+12·3+T 1 as (o, 3 ) 2Jsen5 o+ 12. 3 = El resultado es el mismo.

1 1n2 · 3J36 = 9ln2 = 6.238. 2

5sen4 0cos0

172

11


3. Una empresa planea sacar al mercado un nuevo producto, que estima que le proporcionará unos beneficios dados por B(D,p, t) = p..fJ5+t, donde Des la demanda, p el precio de venta y t el tiempo en años (de modo que t = 1 es el momento en que lanzará el producto). La demanda esperada durante los primeros años viene dada por la función D = g + ln 2 t, donde g es el gasto en publicidad, y, por otra parte, la empresa planea lanzar el producto a un precio bajo, para ir aumentando progresivamente su precio según la función p = 22t- 1 . En el momento del lanzamiento (t = 1) el gasto en publicidad será de g = 9 u.m. (a) Calcula la función compuesta de las tres funciones dadas (indicando su nombre). (b) Calcula las derivadas respecto de t de la función B(D,p, t) y de la función compuesta para los valores correspondientes al momento de lanzamiento del producto. La derivada de la función compuesta la has de calcular derivando directamente la función compuesta y mediante la regla de la cadena. Comprueba que da lo mismo. (e) Explica la diferencia de interpretación entre las dos derivadas que has calculado en el apartado anterior. SOLUCIÓN:

(a) B(g,t) = 2 2t- 1 Jg+ln 2 t+t. (b) Nos faltan los valores actuales de la demanda y el precio, que son D(9, 1) p(1) = 2. 8B(D,p, t) 8B(D,p, t) 1 =l. ot = 1, luego

at

(9,2,1)

Derivamos la función compuesta directamente:

oB(g,t) =2 2t- 1 ln2·2Vg+ln2 t+2 2 t- 1 ot 2

1

J g + ln2 t

2lnt

Teniendo en cuenta que ln 1 =O, al sustituir queda

f)B~g, t)

= 2ln2 · 2v'9 + 1 = 12ln2 + 1 = 9.32.

1

t

(9,1)

Derivamos la función compuesta por la regla de la cadena:

8B(g, t) 8B 8D at = an at =

prn 2lnt

2vD

~+

8B op + op at

()B + at

VD2 2 t- 1 ln2 · 2 +l.

t

Por lo tanto:

f)B~g, t) t

el mismo resultado.

= v'92ln2 · 2 + 1 = 12ln2 + 1 = 9.:32,

1

(9,1)

~+1. t

9,

11.4

Problemas resueltos

173

(e) La derivada

fJB(D,p, t) fJt

=1

1

(9,2,1)

indica que por cada año que pasa el beneficio de la empresa aumenta en una unidad partiendo de una demanda de 9 u.p., un precio de 4 u.m. y del instante inicial t = 1, suponiendo que la demanda y el precio no varían con el tiempo, lo cual es falso. Por ello, la variación real del beneficio de la empresa nos la da la derivada

fJB(g, t) 1 = 9.32, fJt (9,1) según la cual, por cada año que pasa, el beneficio de la empresa aumenta 9.32 u.m. partiendo de un gasto en publicidad de 9 u.m. y del instante inicial t = 1, suponiendo que el gasto en publicidad no varía, pero teniendo en cuenta que la demanda y el precio varían con el tiempo. 4. La función B(p, D, e) representa el beneficio que obtiene una empresa con la fabricación de un producto en función del precio de venta p, de la demanda D y de un índice de calidad e de su producto. Actualmente el producto se vende a 3€, la demanda es de 10000 u.p. y el índice de calidad es de e= 0.6. Además se estima que

fJB fJp

= 8000,

1

aBI fJD

(3, 10 000, 0.6)

= 2.5, (3, 10 000, 0.6)

-aBI = -1000 fJe (3, 10 ooo, 0.6)

o

Por otro lado, un estudio de marketing indica que los consumidores responderían favorablemente a un aumento de la calidad del producto, de modo que

aDI ~ uc

=500

o

0.6

Teniendo en cuenta toda la información de que dispones, indica si un aumento en la calidad del producto haría aumentar o disminuir el beneficio. SoLUCIÓN: Para responder a la pregunta no podemos considerar la derivada de B respecto de e dada en el enunciadio (según la cual los beneficios disminuirían al aumentar la calidad), porque dicha derivada supone que la demanda permanece constante al aumentar la calidad, lo cual es falso. En su lugar tenemos que calcular la derivada de la función compuesta

B(p, e): aBI fJe (3,0.6)

-fJBI fJD

aDI -,(3,10000,0.6)

fJe

+aBI 0.6

fJc

=2.5·500-1000=250. (3,10000,0.6)

Como la derivada es positiva, concluimos que al aumentar la calidad aumentan los beneficios de la empresa.

11

174


5. La función de producción de una empresa es Q(K, L, M) = K VLln M, donde K, L, M son las cantidades empleadas de tres factores de producción. Las características del proceso productivo requieren que la cantidad empleada del tercer factor venga dada por !vi= 3JKL. (a) Calcula la función compuesta (indicando su nombre). (b) Calcula las derivadas respecto de L de la función Q(K, L, M) y de la función compuesta para K = 4, L = l. La derivada de la función compuesta tienes que calcularla derivando directamente y mediante la regla de la cadena.

(e) Una de las derivadas anteriores da 4.39. ¿Es correcto afirmar -teniendo en cuenta toda la información del problema- que si aumentamos en una unidad la cantidad empleada del factor de producción L la producción aumentará en 4.39 unidades de producto? Explica por qué. SOLUCIÓN:

(a) Q(K,L) = KVLln3VKL. (b) Nos falta el valor de M, que es M(4, 1) = 3A = 9. aQ(K, L, M) _ K-1-l M aQ(K, L, M) L rr n =? aL a 2v L

_ l _ - 2 n9- 4.39.

1

(4,1,9)

Derivamos directamente la función compuesta:

=K-1-ln3VKL+KVL-1 ~3VKrln3

aQ(K,L) aL

2VL

3VKL

1

K

2VKL

aQ ~K' L) 1 = 4 ~ ln 9 + 4ln 3 ~ 4 = 2ln 9 + 4ln 3 = 9. 79 L (4 ,1) 2 4 Derivamos mediante la regla de la cadena: aQ(K L) aL

aQ aL

aQ aM aM aL

1 2VL

1 M

~

--=--'- = - + - - = K--lnM + KVL- 3vKI~ ln:) aQ(K, L) aL

1

(4,1)

1 K 2Vi(L

1 1 1 =4 -ln9+4- 32 ln3 - 4=2ln9+4ln3=9.79 4 9 2

(e) No es correcto, porque se trata de la derivada de Q(K, L, M), y ésta indica que si aumentamos una unidad la cantidad empleada de L la producción aumentará en 4.39 unidades suponiendo que no se modifican las cantidades emplead&'> de K y L, pero el enunciado nos dice que al modificar L se ha de modificar también M. El incremento de producción a que dará lugar un aumento de una unidad en la cantidad empleada de L (manteniendo constante la cantidad empleada de K) es en realidad 9. 79, pues éste es el valor de la derivada de la función compuesta, que tiene en cuenta que l'vf depende de L. 6. La función de producción de una empresa es Q(K,L,M) = KLlnM, donde K, L, M son las cantidades empleadas de tres factores de producción. La empresa desea alcanzar una producción de 100 unidades de producto.

11.4

Problemas resueltos

175

(a) Escribe la ecuación de la isocuanta de nivel 100 (curva de nivel de producción) y comprueba que define a M como función implícita de K y L. (b) Calcula M(5, 4) e interpreta el resultado. (e) Calcula la relación de sustitución técnica RST

= -

~M uL

derivando implícitamente

1

(5,4)

la isocuanta e interpreta el resultado. SOLUCIÓN:

{a) KLlnM = 100. Para que esta ecuación defina a M como función implícita de K y L basta comprobar que

aQ

aM En efecto:

-1=

o.

aQ KL aM =M >O

admitiendo que las cantidades empleadas de los tres factores son positivas. (b) El valor que nos piden es el valor de M que hace que se cumpla la ecuación cuando K= 5 y L = 4, es decir, el que cumple 5 · 4lnM = 100 * lnM =

100 = 5 *M= 20

é

= 148.41.

Así pues: M(5, 4) = 148.41. Esto significa que, para conseguir una producción de 100 unidades de producto usando 5 unidades del primer factor de producción y 4 del segundo, son necesarias 148.41 unidades del tercero.

(e)

aQ(K,L) _ aQ aL - aL

aQ aM _

+ aM aL -

O

*

KlnM

5ln 148.41 + - 20 aMI ~L =O 148. 4 1 u (5,4) * 25+0.135 aMI aL

=o* aMI aL (5,4)

RST =-()MI

aL c5 A)

(5,4)

=

~= o.135

25 0.135

---

185.5.

Esto significa que, por cada unidad que aumente la cantidad empleada de L, se necesitarán 185.5 unidades menos de M para mantener el nivel de producción de 100 unidades, partiendo de que las cantidades empleadas de K y L son 5 y 4, respectivamente, y que la cantidad empleada de K no se modifica.

KLaM _

+ M aL -

O

*

Como siempre, la derivada de la función implícita representa la variación necesaria de M "para que se cumpla la ecuación", que en este caso es "para mantener el nivel de producción", puesto que la ecuación se cumple cuando la producción es 100. Sería incorrecto decir que si se emplea una unidad más de L la cantidad empleada de M disminuirá en 185.5 unidades, sin más aclaración, puesto que el empleo de más cantidad de L no obliga en absoluto a reducir la cantidad de M. La disminución que indica la derivada es la necesaria para mantener el nivel de producción.

11

176


7. Los beneficios diarios de una empresa vienen dados por la función

B(p, q)

= pq- q3 + 10q2 -

35q- 2,

donde p es el precio de venta de una tonelada de su producto y q es su nivel de producción diaria. Actualmente, el precio es de p = 20 u.m. y la empresa está produciendo 3 toneladas diarias. (a) Escribe la ecuación de la curva de nivel correspondiente al beneficio actual. lnterprétala. (b) Calcula la función implícita p(q) determinada por la curva de nivel. lnterprétala. (e) La ecuación define también a q como función implícita q(p). Calcula

dql dp

20 '

pero no intentes calcular la función q(p), que no es fácil. Interpreta el resultado. SOLUCIÓN:

(a) B(20, 3) = 16, luego la curva de nivel es

pq - q3

+ 10q2 -

35q - 2 = 16.

Esta ecuación determina todas las combinaciones posibles de precio y producción que proporcionan un beneficio de 16 u.m. (el beneficio actual).

(b) . pq = 16 + q3

-

10q2

+ 35q + 2 =? p(q) =

16 + q 3

-

10q2 + 3.5q + 2 q

o

La función determina el precio al que la empresa debe vender su producto si produce una cantidad q para que su beneficio sea el mismo que el actual (16 u.rn.).

(e) aB(p) aB - a - = -a P p

=> aq = ap

aB aq

+ -aq -ap = o => q + (p -

3q

2

+ 2oq -

-q => aq 1 = -3 = P - 3q 2 + 2oq - 35 ap 20 1s

aq up

•

.~5)--;:;- = o

-o 16 ·

'

donde hemos usado que q(20) = 3, porque 3 es el valor de q que hace que se cumpla la ecuación cuando p = 20. La interpretación es que, por cada unidad que aumente el precio del producto, para que el beneficio se mantuviera igual al actual, sería necesario reducir la producción en 0.16 unidades de producto, partiendo de que el precio actual es 20. 8. La función U(x,y,z) = JXlny + lnz representa la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir tres productos en cantidades x, y y z, donde x, y, z > l. Actualmente consume 25 unidades del primer producto y 100 del segundo, lo que le proporciona, junto con la cantidad consumida del tercero, una utilidad de 28.

11.4

177

Problemas resueltos

(a) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia correspondiente al consumo actual. lnterpréta la. (b) Comprueba mediante el teorema de la función implícita que la ecuación anterior define a z como función implícita z(x, y) para consumos similares al actual. (e) Calcula la función z(x,y). lnterprétala. ( d) Calcula z(25, 100) e interpreta el resultado. (e) Usando el apartado (e), calcula la relación marginal de sustitución RMS(25, 100)

~z

=-

y

1

.

(25,100)

(f) Vuelve a calcular RMS(25, 100), ahora derivando implícitamente, y comprueba que el resultado coincide con el obtenido en el apartado anterior. (g) Interpreta el resultado obtenido en los dos apartados anteriores. (h) Supongamos ahora que el consumo de los dos primeros productos está relacionado de modo que x = yj4. Teniendo esto en cuenta, estudia el efecto que tendría sobre la utilidad un aumento unitario del consumo del segundo producto partiendo de la situación actual. SOLUCIÓN:

(a) JX ln y + ln z = 28 La ecuación determina todos los posibles consumos de los tres productos que dan lugar a una utilidad de 28. (b) Hay que comprobar que

aU = ~ az z

i= O

'

lo cual es cierto porque el numerador no puede valer O.

(e) lnz

= 28- y'xlny::::} z(x,y) = e 2S-y'Xlny.

La función z(x, y) determina la cantidad del tercer producto que es necesario consumir para conseguir una utilidad de 28 cuando se consumen cantidades x e y de los dos primeros productos. (d) z(25, 100) = e 28 - 5 inlOO = 144.6. Si se consumen 25 unidades del primer producto y 100 del segundo, se necesitan 144.6 del tercero para conseguir una utilidad de 28 unidades.

(e) az = -e2s-vxinyVX ay y

*

RMS(25, 100) =

e28-5lnwo~

1oo

= 7.23.

(f)

aU(x, y) = aU ay ay

+ aU az

=O=? JX

az ay =? RMS(25, 100)

y

+ ~ az

5/100 1 144 .6

= j

=O=? az = _ JXjy

z ay

= 7.23.

ay

1/ z

178

11


(g) Por cada unidad que aumente el consumo del segundo producto, se necesitarán 7.23 unidades menos del tercero para mantener la utilidad de 28 unidades, partiendo de que se consumen 25 unidades del primer bien y 100 del segundo, y suponiendo que no se modifica el consumo del primer bien. (h) Derivamos la función compuesta:

aU(y, z) ay

aU ax ax ay

aU ay

lny 1 2JX 4

JX

--'-------'- = - - +- = - - - +-

'*

aU(y, z) ay

ln 100 1

1

(100,144.6)

y

J25

= 2J25 4 + 1oo = o.165.

Un aumento unitario del consumo del segundo producto haría aumentar la utilidad en 0.165 unidades, partiendo del consumo actual y teniendo en cuenta la relación entre el consumo de los dos primeros productos.

11.5


l. Dadas las funciones f(x, y)= x 2 +y, x

af(x, y) ay

=

y 2 calcula la función compuesta. Calcula

y

En el caso de la derivada de la derecha, haz el cálculo derivando directamente la función y por la regla de la cadena. 2. Sea B(p,p') la función de beneficios de una empresa E, donde pes el precio de su producto y p' el precio medio de la competencia. Para los precios actuales p = 21, p1 = 20 se estima que aB(p,p') 1 aB(p,p') 1 = -3 2 ap' (21,20) = . ap (21,20) '

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Supongamos que la competencia ajusta sus precios según los de la empresa E, de modo que p' = p- l. Calcula aB(p) 1 . ap 21

(e) Explica la diferencia entre las dos derivadas respecto de p, desde un punto de vista matemático y en cuanto a su interpretación económica. ¿Cuál de ellas nos serviría para estimar el efecto que tendría sobre los beneficios una disminución del precio p de 2 u.m.? 3. Considera la ecuación

f(x, y, z) = exYz- 10ez =O. (a) Comprueba que define a x como función implícita de y, z siempre que y, z-¡. O. (b) Calcula la función x(y,z).

11.5


179

(e) Calcula x(5, 10) usando y sin usar el apartado anterior. (d) Calcula

ax¡ az

(5,10)

derivando la función implícita. (e) Calcula la misma derivada derivando implícitamente la ecuación. 4. La función de costes de una empresa es

e=q

3

-

+ 15q + 5,

6q 2

donde q es su nivel de producción, que actualmente es de q

= 10

u.p.

(a) Calcula el coste de producción actual. (b) Demuestra que la ecuación anterior define a q corno función implícita de valores de q y próximos a los actuales.

e

e

para

(e) Calcula dq

de para los valores actuales e interpreta el resultado. 5. Una empresa utiliza K= 20 máquinas y L = 100 trabajadores para producir un artículo. La producción diaria que puede conseguirse en general con K máquinas y L trabajadores viene dada por la función Q(K,L) = K 2 L. El dueño de la empresa se está planteando la posibilidad de abaratar el proceso de producción sustituyendo a parte de la plantilla por una máquina adicional. (a) Calcula la producción diaria actual de la empresa.

200

(b) Escribe la ecuación de la isocuanta ( = curva de nivel de producción) actual. Interprétala.

125

175 150 100

(e) La figura muestra la gráfica de la isocuanta. Localiza en ella la situación actual de la empresa.

75 50 25 5

10

15

20

25

(d) Calcula la función implícita L(K) definida por la curva de nivel. Interprétala. (e) Calcula L(20) y L(21), e interpreta los resultados. (f) Calcula la relación de sustitución técnica RST(20) = - dL 1 dK 20 derivando la función implícita e interpreta el resultado. (g) Repite el cálculo derivando implícitamente la curva de nivel. (h) ¿Cuántos trabajadores irán a la calle si la negociación sindical no lo impide?

30

11

180


6. Un consumidor consume dos bienes en cantidades anuales x e y. Su función de utilidad es U(x, y) = xy. Supongamos que el consumidor ajusta su consumo a su nivel de renta anual r, de modo que su curva de indiferencia (curva de nivel de utilidad) es :ry = r. Si los precios de los dos bienes son, respectivamente, p y q, entonces el gasto del consumidor viene dado por la función G(x, y,p, q) = px + qy. (a) Calcula la función implícita y(x, r) determinada por la isocuanta. Interprétala. (b) Calcula la función compuesta G (x, p, q, r). Interprétala.

200 lOO

(e) La figura muestra la función G(x, 5, 2,1 000). 20

40

60

80

lOO

Calcula el consumo x que minimiza el gasto del consumidor. Calcula el consumo y del segundo bien y el gasto del consumidor. Interpreta todos los resultados. (d) Comprueba que, en general, el consumo que minimiza el gasto del consumidor (para unos valores fijos de p, q y r) es

x(p,q,r) =

JY!

=

rl/2ql/2p-l/2.

Esta función se representa también como D(p, q, r) y no es sino la función de demanda del consumidor. 5 (e) Considerando la función y(x, r), comprueba que la demanda del segundo bien es

y(p, q, r) = rl/2q-l/2pl/2, así corno que el gasto es Interpreta esta función. (f) Comprueba que se cumple el lema de Shephard: La derivada del gasto G de un consumidor respecto del precio p de un bien es igual a la demanda (compensada) de dicho bien. 6 5

Más precisamente, es la demanda hicksiana o demanda compensada, que depende (en este caso a través de la renta) del nivel de utilidad deseado por el consumidor. La demanda marshalliana es la que maxirni:t:a la utilidad fijado un nivel de gasto (un presupuesto). 6 Es fácil demostrar que el lema de Shephard se cumple en general (al menos para el ca.'lo de dos bienes): La condición para que el gasto G = + sea mínimo es

px qy

y la derivada del ga.<;to respecto de p es

ac = x + p-a ax + q-a ay = x + p-a ax + q-a ay -a ax = x + -a ax (P + q-a ay) = x, -a p p p p p p donde hemos derivado px como un producto y hemos aplicado la regla de la cadena a la composición X

;¡;


181

Derivadas de funciones compuestas 7. Sea f(x, y)= x 2

+ 3y- y3 ,

donde y= x 2

+ 3.

af ax

y

Calcula

df dx'

usando la regla de la cadena cuando sea posible. 8. Sea z = xy, x = u 2

+ v,

y = u- v. Calcula azl

au

(1,2)

por la regla de la cadena. 9. Sea w = x 2

+ y 2 + z 2 , donde

+ 2y.

Entonces

aw

aw

z= x

awaz

=+-. ay ay az ay Explica la diferencia entre las dos primeras derivadas que aparecen en la fórmula. Calcula la del miembro izquierdo en el punto (x, y)= (2, 1). 10. Sean p(r, s) = 5Vr 2

+ s 2 + 3{Y5- r,

dondes= u+ sen v, r = 4cosv.

(a) Calcula la función compuesta. (b) Calcula üp 1

au

mediante la regla de la cadena. (3,0)

11. Considera las funciones z = x 3 yt 3 , x = u 2 v, y = 2u, t = v 2 + l. Calcula la función compuesta y su derivada respecto de u en el punto (1, 2) por la regla de la cadena. 12. El coste de producción de una empresa está en función del precio de cada uno de los dos inputs que utiliza, C(x, y)= 2 + 3x + 5y u.m. Por otra parte, el precio de los inputs varía con el tiempo. Concretamente x(t) = 1 + 2t u.m., y(t) = 1 + t u.m., donde tes el tiempo expresado en años. (a) Calcula los precios de los inputs en el primer año estudiado (t = O). Calcula el coste correspondiente. (b) Calcula la función C (t). (e) Calcula el incremento de costes correspondiente al primer año (periodo [0, 1]). (d) Calcula las derivadas

ac¡ ax

(1,1) '

acl ay

(1,1) '

del dt o

derivando directamente cada función (indica las unidades correspondientes). (e) Calcula la última derivada del apartado anterior mediante la regla de la cadena. (f) Interpreta todas las derivadas que ha..-; calculado.

11

182


13. Una empresa estima que sus beneficios vienen dados por la función - 4 + 0.2t ( ) Bt,p~' yp2- 5 donde el numerador es una estimación de la demanda futura en función del tiempo t y el denominador es una corrección en función del IPC p. El tiempo actual es t = 1 y el IPC es p = 3 u.m. No hay ninguna previsión fiable de la evolución del IPC, pero la empresa estima que en la actualidad

Según estas estimaciones, ¿los beneficios de la empresa van a aumentar o a disminuir a corto plazo? 14. Sea D(p, r, t) la función de demanda de un artículo en un mercado, donde pes el precio, r la renta media de lo~ consumidores y t el tiempo en años. Actualmente (t =O) se tiene (p, r) = (5, 14) y D(5, 14, O)= 200. Además

aDI at

aDI ap

= 20 (5,14,o)

'

= -15, (5,14,o)

oDI ar

(5,14,0)

=

lO.

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Supongamos que r

= r(t)

yp

= p(t),

de modo que

dr 1 = 0.2

dt o

'

Interpreta estas derivadas.

(e) Calcula dD(t) 1 dt o ' (d) Interpreta esta derivada explicando especialmente la diferencia con la interpretación de oD(p, r, t) 1 .

at

(5,14,0)

15. La función B(p, q, t) = 1000e0 ·lt(10p- 2q) representa los beneficios de una empresa en función del precio p de venta de su producto, el precio q de su principal materia prima y el tiempo t en años. En la actualidad (t =O) se tiene p = 1 y q = 2. (a) Calcula la derivada parcial de B respecto de ten el momento actual e interprétala. (b) La empresa ajusta el precio p en función del tiempo y del precio q de la materia prima. Sabiendo que

apl aq (2,o) = o.1,

apl at (2,o) = o.2,

estudia si estos datos modifican la previsión del apartado (a).


183

16. El beneficio de una empresa viene dado por la función B(p, D) = 1 OOOp ln D, donde pes el precio al que vende su producto y Des su demanda. A su vez, la demanda depende del precio según la relación

D(p)

= 10~00. p

Actualmente el artículo se vende a un precio p

= 5 €.

(a) Calcula la demanda actual del producto. (b) Calcula

8B(p,D) 8p para los valores actuales de las variables. Interpreta el resultado. ¿Podemos deducir que a la empresa le conviene aumentar el precio de su artículo?

(e) Calcula mediante la regla de la cadena la derivada que indica realmente el efecto que tiene sobre el beneficio un aumento unitario del precio.

17. La función B( t, p, D) determina los beneficios anuales previstos para una empresa en función del tiempo t, el precio medio p de sus factores de producción y la demanda D. Actualmente (t =O) se tiene que p = 15 y D = 1000. Además se estima que

aBI 8t

aB¡

= 5oo (0,15,1000)

'

8p

aB¡

= -100 (0,15,1 000)

8D

'

= 100 (o,15,1ooo)

'

an¡

8pl = 2 8t o '

8t o= -300.

(a) Interpreta las derivadas. (b) Razona por qué no podemos afirmar, de acuerdo con la primera de las derivadas anteriores, que dentro de un año los beneficios de la empresa habrán aumentado en 500u.m.

(e) Calcula el incremento esperado para los beneficios anuales de la empresa el año próximo.

18. La función U(x, y) representa la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir dos bienes en cantidades x e y. Su consumo actual es (x, y)= (10, 50). Los bienes son complementarios, y el consumidor los compra según la proporción y= 5x. Sabemos que

au¡ 8x

= (10,50)

2 '

au¡ 8y

_4 (10,50) -

.

(a) Explica brevemente por qué no podemos usar la derivada de la izquierda para predecir el incremento de utilidad que se produciría si el consumidor adquiriera una unidad más del primer bien. (b) Calcula la derivada que nos proporciona dicha información. 19. La función U(x, y, z) = xy.,fZ representa la utilidad que obtiene un consumidor por la adquisición de tres bienes A, By C en cantidades x, y, z, respectivamente. El consumidor adquiere estos bienes manteniendo las relaciones x = 2z, y = 3z + l.

11

184


(a) Calcula la función compuesta. (b) Calcula las derivadas

au¡

8Z

du¡

(R,13,4) '

dz

4

usando la regla de la cadena cuando sea posible. (e) Interpreta separadamente ambas derivadas y explica después la diferencia entre ambas. 20. La demanda de un artículo depende del tiempo t, de su precio p y de la renta r de los consumidores según la función

D(t,p,r) = 1000:et/l0. p

Actualmente el precio es p = 2€ y la renta es r = 400€. (a) Calcula

~~


1

(0,2,400)

(b) Ra:wna por qué no podemos usar únicamente la derivada anterior para determinar la demanda del año próximo si sabemos además que

dpl dt

= 0.2€ /ano, 0

drl

-

dt o

= 15€/aüo.

(e) Calcula la derivada que indica realmente la demanda esperada para el año próximo e interpreta el resultado. 21. La función B(D,p) representa el beneficio de una empresa en función de su demandaD y del precio p al que vende su producto. Por otra parte, la demanda D es función del precio p. Actualmente el artículo se vende a un precio p = 10 € y D(10) = 5 000. (a) Interpreta las derivadas

aBI ap

(5 ooo, 1o) '

dBI dp

10

y explica la diferencia de interpretación entre una y otra.

(b) Una de las dos derivadas anteriores vale 5 000€ / €, y la otra vale -200€ / €. Razona cuál es cual. 22. La función de costes de una empresa es C(x) = 2 000+5x, donde x es la cantidad producida de un artículo. Su función de beneficios es B(x, C, D), donde D representa la demanda. Para los valores actuales (xo, Co, Do) se tiene que

aBI a

X (xo,Co,Do)

=8

,

aBI ac

= - 3, (xo,Co,Do)

aBI aD

= 1o. (xu,Co,/Jo)

(a) Explica brevemente por qué no es correcto afirmar que si la empresa produce una unidad más sus beneficios aumentarán en 8 unidades monetarias. (b) Razona si a la empresa le conviene o no aumentar su producción.

1L5


185

23. Un pequeño empresario emplea K = 5 máquinas y L producción es Q(K, L) = )K3 + KL2.

=

12 trabajadores. Su función de

(a) Calcula las derivadas parciales de Q para las condiciones actuales e interprétalas.

(b) Para manejar K máquinas son necesarios L(K) función Q(K).

= 2K + 2 trabajadores. Calcula la

(e) Calcula la derivada de Q(K) para K= 5 mediante la regla de la cadena. (d) Explica la diferencia de interpretación entre las dos derivadas de Q respecto de K que h&'> calculado. ¿Cuál indica realmente lo que sucedería si decidiéramos emplear una máquina más en el proceso de producción? 24. La función D(r,p, q) = r 2 jpq representa la demanda de un producto en función de su

precio p, de la renta r de los consumidores y del precio q de un bien complementario. Actualmente r = 100, p = 5 y q = 2. La renta depende del tiempo r(t) = 100e0 · 1t y, por otra parte, la empresa ajusta el precio de su producto en función del tiempo y del precio q, de modo que p(t, q) = e0 ·2 t(q + 3). (a) Calcula la función compuesta D(t, q). (b) Calcula las derivadas parciales de la función compuesta mediante la regla de la cadena para t = O y q = 2.

(e) Explica la diferencia de interpretación entre las derivadas

aDI

aDI

y

8q

[)q (100,5,2)

(0,2)

de modo que la explicación refleje claramente qué variables dependen de otras y cuáles no. 25. La producción Q(p, t) de una empresa depende del precio p al que vende su artículo y del tiempo t. Actualmente el precio es p = 3 € y la producción es de 100 000 artículos. Se estima que

8QI -,-

= 5 000 artículos/ €,

[)p (3,0)

~Q

1

= 1000 artículos/año.

t (3,0)

(a) Interpreta estas derivadas. (b) Si la política de precios de la empresa viene dada por p( t)

~~~o·

= 3 + 0.05( t + 1? €, calcula

(e) Interpreta esta derivada y explica la diferencia con la derivada análoga que aparece en el enunciado. (d) ¿Qué producción cabe esperar para dentro de dos años teniendo en cuenta la política de precios de la empresa?

Derivadas de funciones implícitas 26. Estudia si la ecuación x 2 + 4y 2 = 4 define a x corno función implícita de y y a y corno función implícita de x cerca del punto (2, 0).

11

186


27. La función de producción de una empresa es q(K, L) = 3K 2 L 3 , donde K es el capital y L el trabajo. Actualmente, la empresa utiliza los factores (K, L) = (5, 4). (a) Calcula la isocuanta ( = curva de nivel de producción) actual. Interprétala. (b) Calcula la función implícita K ( L) determinada por la isocuanta. Interprétala.

(e) Calcula la Relación de Sustitución Técnica RST=- dK dL Haz el cálculo a partir de la función K(L) y derivando implícitamente la ecuación de la isocuanta. (d) Calcula la RST actual e interprétala. 28. Un consumidor adquiere dos bienes en cantidades x e y, de modo que su función de utilidad es U(x, y)= JX + Vfj. Su nivel de consumo actual es (x, y)= (9, 4). (a) Calcula la utilidad actual. (b) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia ( = curva de nivel de utilidad) actual e interprétala.

(e) Calcula la Relación Marginal de Sustitución RMS(9) = -dy\ dx 9 e interprétala. Haz el cálculo derivando implícitamente la ecuación y derivando la función implícita.

29. Considera de nuevo el problema 6 de la pág. 93, en el que una empresa fabrica dos artículos en cantidades x e y sujeta a la frontera de posibilidades de producción 3:r 2 + y 2 = 6 300. Calcula la Relación de Transformación de Producto RTP(9) = - dy

rJx

1 9

e interprétala. 30. Para cada una de las funciones de utilidad

U1(x,y) = xy,

U3(:r:, y)= lnx + lny,

donde x e y son las cantidades consumidas de dos artículos: (a) Calcula la utilidad marginal respecto de x y estudia en cada caso mediante derivadas si ésta aumenta o disminuye a medida que x aumenta. (b) Considera una curva de indiferencia ( = curva de nivel de utilidad) U (x, y) = o: arbitraria y calcula la función implícita y(x) que determina. Interprétala.

11.5


187

(e) Calcula la Relación Marginal de Sustitución dy

RMS(x) = - dx. Interprétala.

(el) Comprueba mediante derivadas que RMS(x) es decreciente en los tres casos, es decir, que disminuye cuando el consumo x aumenta. 31. Una empresa fabrica dos artículos en cantidades x e y, pero sus posibilidades de producción exigen que se cumpla la relación x 2 + y 2 = 125. (a) Calcula la función implícita y(x) determinada por la ecuación. (b) Calcula y(10) e interpreta el resultado. (e) Calcula la relación de transformación de producto RTP(x)

dy

= --. dx

(d) Calcula RTP(10) e interpreta el resultado. (e) Razona si la RTF aumenta o disminuye al aumentar la producción de x. 32. Continuando con el problema 4, la función de beneficios de la empresa será B(p, q)

= pq- q3 + 6q 2

-

15q- 5,

donde pes el precio del producto. La figura muestra la gráfica de la función B(195, q). (a) Calcula la producción q con la que la empresa consigue el beneficio máximo si el precio del producto es p = 195u.m.

1400 1200 1000 800 600

·, aB (b) E sen·b e 1a ecuac10n oq

· = o para un preCIO

p ar b.1-

trario y comprueba que define a q como función de p para valores próximos a los actuales.

400 200 '

2.5

'

5

'

7.5

'

10

'

12.5

'

15

(e) Calcula dq para los valores actuales e interpreta el resultado. (Nota que la función dp implícita es la función de oferta de la empresa.) 33. Una oposición consta de tres ejercicios puntuados de O a 10. Para aprobar hay que obtener una nota final de al menos 5, donde, si las notas obtenidas en los ejercicios son x, y, z, la nota final se calcula mediante la fórmula

(a) Calcula la nota final de un opositor que ha obtenido un 5 en cada ejercicio. (b) Escribe la ecuación de la curva de nivel 5 de la función N. Interprétala.

11

188


(e) Comprueba que dicha ecuación define una función implícita z (x, y) para valores cualesquiera x, y, z ;::: O. (d) Calcula z(5, 5) y z(6, 0). Interpreta los resultados. (e) Calcula

~z \


y (5,5)

:~4.

La utilidad de un consumidor viene dada por U (x, y) cantidades adquiridas de dos bienes.

= xeY + y ex, donde x

e y son las

(a) Comprueba mediante el teorema de la función implícita que las curvas de nivel de U definen a y como función implícita de x siempre que x, y ;::: O. (b) La figura muestra varias curvas de nivel de U. ¿A qué nivel de utilidad corresponde la que pasa por los puntos (0, 1) y (1, O)? Escribe la ecuación correspondiente e interprétala. o

(e) Observa que no es posible calcular la función

o

2

implícita y(x), a pesar de que hemos justificado que existe y la figura así lo muestra.

0.2

0.4

0.6

0.8

(d) Calcula la relación marginal de sustitución RMS = - dy.

dx

35. Una empresa fabrica tres artículos en cantidades x, y, z, Los recursos de la empresa exigen que x, y, z cumplan la relación

xy + xz

+ yz =

80.

(a) .Justifica mediante el teorema de la función implícita que dicha ecuación define a z como función implícita z(x, y) para producciones x, y, z >O. (b) Calcula z(10, 2) e interpreta el resultado.

(e) Calcula

az\ ay

cw,2J

derivando implícitamente la ecuación e interpreta el resultado.

36. La demanda de un artículo viene dada por la función

D(r,p) = 3000l- 20lnp, donde r es la renta de los consumidores y p el precio. Actualmente r

= 16 000 y p = 4.

(a) Escribe la ecuación de la curva de nivel de demanda actual. Interprétala. (b) Comprueba que dicha ecuación define a p corno función implícita de r para valores próximos a los actuales. (e) Calcula e interpreta la derivada ddp 1 T 16000

.

11.5

189


37. La función de utilidad de un consumidor es U (x, y) = 4xy 3 12 , donde x e y son las cantidades que consume de dos bienes. Su consumo actual es (x, y)= (3, 4). (a) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia correspondiente al nivel de utilidad actual. (b) Razona mediante el teorema de la función implícita que la ecuación anterior define a x como función implícita x = x(y). (e) Calcula la relación marginal de sustitución RMS = - dx

dy derivando implícitamente la curva de indiferencia. Indica la expresión general (para x, y arbitrarios), y también su valor para el consumo actual. (d) Calcula explícitamente la función implícita x(y) y, a partir de ella, calcula directamente la RMS para el consumo actual. Comprueba que obtienes el mismo resultado. (e) Razona que la RMS es decreciente, es decir, que disminuye a medida que y aumenta. 38. Una fábrica elabora dos productos en cantidades x e y, y su frontera de posibilidades de producción viene dada por la ecuación 2x 2 + y 3 = 80. La producción actual es (x, y) =

(6, 2). (a) Comprueba que la ecuación anterior permite definir a y como función implícita de y= y(x) para producciones similares a la actual. (b) Calcula la Relación de Sustitución del Producto RSP = - dyl dx 6 derivando implícitamente. (e) Calcula explícitamente la función y(x) y calcula la RSP derivando directamente. (d) Interpreta el valor obtenido para la RSP. 39. Un consumidor compra 10 libros al año, va 40 veces al cine y 5 veces al teatro. La utilidad que consigue con estas aficiones viene dada por la función

(a) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia correspondiente al consumo actual. (b) Razona que dicha ecuación define a C como función implícita C (e) Calcula la.<; derivadas

ac¡ aL

(10,5),

ac\ aT

= C(L, T).

(10,5)

sin calcular la función C(L, T). (d) Interpreta las derivadas del apartado anterior. (e) Calcula la función C(L, T) y, a partir de ella, vuelve a calcular las derivadas anteriores.

11

190


40. La función U(x, y, z) = xyy'z representa la utilidad que obtiene un consumidor por la adquisición de tres bienes A, By C en cantidades x, y, z, respectivamente. Dicho consumidor desea obtener un nivel de utilidad de 100 unidades. (a) Escribe la ecuación de la curva de indiferencia elegida por el consumidor. (b) Comprueba que la ecuación anterior define a z como función implícita z(x, y) siempre que las cantidades consumidas sean no nulas. (e) Calcula explícitamente la función z(x, y). (d) Calcula z(10, 5) e interpreta el resultado. (e) Calcula e interpreta la derivada

~~

1

uX (10,5)

.

12

Cálculo de primitivas

Recordarnos ahora el cálculo de primitivas de funciones de una variable, que nos será necesario para las secciones siguientes, en las que veremos algunas de sus aplicaciones en contextos económicos.

12.1

Concepto de primitiva

• El concepto de primitiva es el opuesto al de derivada en el sentido siguiente: Es equivalente decir que cosx es la derivada de senx o que senx es una primitiva de cosx. • Notemos que decimos una primitiva y no la primitiva porque sen x no es la única función que al derivarla da cos x como resultado. Teniendo en cuenta que las constantes tienen derivada nula, resulta que las funciones senx + 7,

senx + 1/3

senx- 20,

son todas ellas primitivas de cos x. En general, las primitivas de cos X son las funciones sen X+ e' donde la constante tomar cualquier valor.

e

puede

• La forma usual de expresar lo que acabamos de decir es la siguiente:

J

cosxdx = senx +C.

dx " para representar las primitivas de una función se

La razón de la notación "/ entenderá más adelante. • También se dice que

J

J(x) dx es una integral indefi-

nida y calcularla significa encontrar todas las funciones F(x) cuya derivada es F'(x) = J(x). • Según lo dicho, si hemos encontrado una primitiva concreta F(x), la integral indefinida completa será

J

f(x) dx = F(x)

donde

+ C,

e recorre todos los números reales.

• Por ejemplo, si n

1-

-1, se cumple que

Hasta ahora hemos usado siempre la notación

8F 8x para referirnos a la derivada de una función. Para funciones de una variable, donde no es necesario especificar respecto de qué variable estamos derivando, a veces es más cómodo escribir F'(x), que es la notación que emplearemas aquí.

xn+l

J

xn dx = - - +C. n+1

B&c;ta observar que al derivar el miembro derecho se obtiene xn. Esta regla vale incluso si n es negativo o fraccionario:

J

5

X

6 x dx=-+C 6 '

J

.if;Tdx =

J J

1 -dx= x7

J x

-7

X -6 1 dx=-+C=--+C -6 6x 6 '

x8f7 7{/;;8 x 117 dx = - +C =--+C.

8/7

191

8

192

12


• La integral de un número por una función se calcula dejando el número e integrando la función: x8

J

5x 7 dx = 5 S +C

• En cambio, ten presente que, mientras los números que suman desaparecen al derivar, al integrar es distinto: x3

J

x2

(6x 2 + x + 4) dx = 6 3 + ~ + 4x + C.

En general, para integrar una suma de varias funciones, como en este último ejemplo, se integra cada una de ellas por separado.

12.2

Integrales inmediatas

• Cada regla de derivación puede reescribirse como una regla para cálculo de primitivas. Las integrales que pueden calcularse sin más que aplicar dichas reglas se llaman 'integrales 'inmediatas. La tabla siguiente contiene las más importantes.

Tabla de primitivas inmediatas Observaciones

1)

J

f(x)n f'(x) dx = f(x)n+l n+1

J

+e 2

f(x)f'(x) dx = !(;)

2) 3)

f'(x) f(x) dx = ln lf(x)l

J J

af(x)

!' (x) dx =

J

ef(x)

5)

J!' J

6)

j

4)

+e

Paran

cJ -1.

Sin= -1 es la regla 2).

Es la regla 1) paran= l.

+e

1 - - af(x)

lna

+e

!' (x) dx = ef(x) +e

(X) sen j (X) dx = -

COS

a> O, a#

l.

Es la regla 3) para a= c.

j (X) + C

f'(x) cosf(x) dx = senf(x) +e

1

;'j~~) 2 dx = arctanf(x) + C

• Cada una de estas reglas se justifica derivando el miembro derecho. Por ejemplo, para justificar la regla 4) observamos que la derivada de- cos f(x) +Ces-(- sen j(:1:) )f'(:r) = f'(x) sen f(x ), por lo que la integral de f'(x) senx es - cos x +C.

193

12.2 Integrales inmediatas

• En la regla G) aparece la función arcotangente que nunca habíamos manejado hasta ahora. La figura siguiente muestra su gráfica y sus propiedades básicas.

y= arctanx

La función tangente se define como

senx tanx= - cosx y la función arcotangente es la inversa de la tangente, es decir, es equivalente

y= tanx

o

x = arctany.

Una tangente "se despeja" con un arcotangente y viceversa. -10

-20

10

-o1

_))

lím f(x) x-----+-oo

Ejemplo 1

=

Calcula

-~ ·- -·------ /

Las derivadas de estas funciones son (tanx)' = 1 + tan x, 2

/

' -1.51

J;~

20

(arctanx)' = -

1 -

1+x2

.

dx.

Un procedimiento que podemos seguir para calcular integrales inmediatas es el siguiente:

a) Buscarnos una regla cuyo integrando tenga algo en común con la función que querernos integrar. En este caso, como la función tiene una fracción, podemos pensar en la regla 2).

b) N os preguntarnos cuál tiene que ser la función f ( x) para aplicar la regla. Normalmente, sólo habrá una respuesta posible. El integrando de la regla 2) es de la forma f'((x)), luego f(x) tiene que ser todo el denominador de la integral que tengamos. En este fx caso, f(x) = 2y'X y no hay otra opción.

e) Calcularnos f'(x). En este caso f'(x)

=

2 r;:;:

2yx

=

1 r;:;:·

yx

d) Comprobarnos si todo lo que hay en nuestra integral, aparte de f(x) y lo que la regla exige que haya, coincide con f' ( x) y está concretamente donde la regla exige que esté. En nuestro caso, la regla dice que la integral debe tener una fracción con f (x) en el denominador. Aparte de esto, no tiene que haber nada más que f' (x) en el numerador. Pero nuestro numerador es eVx que no se parece en nada a f'(x) = Por lo tanto, no se puede aplicar la regla 2).

Jx·

e) Si no se puede aplicar la regla elegida, buscarnos otra y volvernos a empezar. a) En nuestro caso, en nuestra integral también hay una potencia con la variable en el exponente, luego podemos pensar en aplicar la regla 3), cuyo integrando es de la forma

f' (x )ef(x).

194

12


b) Para esta regla, f(x) es necesariamente lo que está sobre la e (sin contar la e). La única opción es f(x) = JX. e) Derivamos: f'(x) =

2

}x.

d) Ahora comprobamos si en la integral, aparte de la e que aparece en la regla y del exponente f(x) = JX, todo lo demás coincide con la derivada y, en efecto, el integrando es

,¡x

1

2JX la derivada multiplicada por

ef(x).

e

'

Por lo tanto, se puede aplicar la regla:

J-2JX

1 - eVx dx = eVx +C.

• Al llegar al apartado d) no es necesario que la derivada que hemos calculado coincida exactamente con lo que aparece en la integral que queremos calcular. Si la diferencia consiste en números que faltan o sobran multiplicando o dividiendo, se puede operar para ajustar la integral a la regla. Hay dos operaciones que (aunque en el fondo son la misma) en la práctica conviene distinguir y no confundir: • Un número que esté dentro de una integral multiplicando puede sacarse multiplicando, y si está dentro dividiendo puede sacarse dividiendo.

J

2

5xsenx dx

=5

J

J

cos 2x d 1 x=3 3 sen 2x

2

xsenx dx,

¡

cos 2x --dx. sen 2:r;

• Podemos añadir un número multiplicando dentro de una integral a condición de ponerlo fuera también dividiendo, y si lo añadimos dentro dividiendo lo tenemos que poner fuera también multiplicando. 5

Ejemplo 2

J

2

x sen x dx =

Calcula

J3 ~

~

J

eVx r;;. dx = 2 yX

J

2

2x sen x dx,

¡

eVx r;;. dx. 2yx

sen JI, dx.

SOLUCIÓN:

a) Como en la integral hay un seno, pensamos en aplicar la regla del seno (4).

f (x)

b) Para ello,

f(x) = e) f'(x) =

tiene que ser lo que hay dentro del seno, en este caso sólo puede ser

JX. 1 ¡;;;.

2yx

d) Al comparar observamos que sobran el 3 y el 5 y falta un 2:

1

.

5r;;. sen Vx dx 3y X

= -5 3

J

1r;;. sen Vx dx yX

= -5 .- 2 3

J

1r;;. sen JI, dx 2y X

= - 10 - cos JI, + C. 3

12.3

12.3

195

Integración por partes

Integración por partes

• La fórmula de integración por partes permite transformar una integral en otra que en ocasiones puede ser más fácil de calcular: La forma tradicional de recordar esta fórmula es mediante la frase:

./ udv = uv- ./ vdu. Ejemplo 3

Calcula ./ (2x

"un día vi una vaca vestida de uniforme".

+ 3)ex dx.

Observarnos que esta integral no es inmediata. La única regla que cabría aplicar es la de la exponencial, para la cual tendría que ser f(x) = x, con lo que f'(x) = 1, y vemos que, aparte de e 2x+ 3 tenemos 2x + 3 y no 1, que es la derivada. Y esto no puede arreglarse ajustando constantes. En cambio, si aplicamos la fórmula de partes tomando

u = 2x

(2x + 3)

+ 3,

dv = ex dx

= ./ex dx = é

v

&

la integral se convierte en

.! ( + 2:r

+ 3)ex -

v

du

Siguiendo el ejemplo anterior podemos pensar en aplicar la fórmula de partes tomando:

dv = lnx

pero entonces nos encontramos con que tenemos que calcular

du = dx,

v = .flnxdx

y no es fácil calcular v. De hecho, luego veremos que

v=xlnx-x, por lo que, aunque sepamos calcular esto, al aplicar la fórmula de partes obtenemos

.!

X

ln X dx

=

X (X

ln X

-

J

= (2x + 3)ex +e

ex dx

=

j(2x

+ 3)ex dx =

j (2x + 3) dx j ex dx

=

(x

2

+ 3x)ex +C.

2ex +C.

Calcula ./ x ln x dx.

'U=X,

3)ex dx

...__, ...__,

v

u

= (2x

ex - ./ ex 2 dx

'--v--"'-v-'

dv

1L

Ejemplo 4

+ 3)

3) ex dx = ( 2x

'--v--"~

j (2x +

para reducir la integral a una inmediata, ni tampoco se puede integrar por separado cada factor:

y calculamos

du = 2 dx

No es posible "sacar" de una integral términos que contengan la variable, por lo que no podemos escribir

X) -

.!

(X

ln X

-

X)

dx

y nos sale así una integral más complicada que la inicial.

A la hora de aplicar la fórmula de partes es importante elegir adecuadamente qué parte de la integral tomamos como u y cuál como dv. Para ello debemos pensar que lo que llamemos u aparecerá en la nueva integral como du, es decir, derivado, mientras que lo que llamemos dv aparecerá como v, es decir, integrado. Por lo tanto, hay que llamar u a lo que convenga derivar para simplificar la integral, y dv a lo que convenga (o sepamos) integrar. En el ejemplo 3 es irrelevante derivar o integrar ex, porque el resultado es el mismo, pero la parte 2x+3 conviene derivarla, ya que al hacerlo se simplifica ( du = 2 dx), mientras que si la hubiéramos integrado se habría convertido en 2 x + 3x, más complicado que lo que ya tenemos.

12

196

Aquí deberíamos haber razonado que aunque, ciertamente, el factor x del integrando se simplifica al derivarlo y se complica al integrarlo, la simplificación que obtenemos al derivar el factor In x (que hace que el logaritmo desaparezca de la integral) tenga mucho más peso que la ligera complicación que resulta de integrar el factor x. En general, cuando un integrando tiene un factor con cualquier función cuya derivada sea más sencilla (como el logaritmo o el arcotangente) suele ser conveniente aplicar la integración por partes tomando como u dicha parte.

Observa que. podernos aplicar el método de partes tomando como u todo el integrando y dv = dx. Esto es útil cuando no sabemos integrar directamente el integrando pero su derivada es más sencilla, como ocurre con el caso del logaritmo. Observa también que, como se ve en los dos últimos ejemplos, al aplicar el método de partes puede ser necesario operar y simplificar la integral resultante antes de intentar calcularla.

12.4


Sin embargo, esto no significa que la integral no pueda resolverse mediante integración por partes. Lo que sucede es que es mejor tomar u= lnx,

= xdx,

dv

con lo que

1 du=-dx, X

De este modo:

J

x2

x ln x dx = -

ln x -

2

=

v

¡

x2

J

xd:r

= ~·

2 x2 1 x - - dx = - ln ;z; 2 X 2

-

1 2

-

¡

x2

x2

lnx-- +C. 2 4

Ejemplo 5

Calcula

J

lnxdx

SOLUCIÓN: Aplicamos la fórmula de integración por partes con u= lnx, dv = dx,

1 du=-dx,

V=

X

J

dx

=X.

Así:

J

lnxdx

=

x lnx-

J

xt dx

=

x ln;r-

J

d:z:

= :z; ln;¡;-:z:+C.

Problemas resueltos

La potencia ( ) 2010 apunta a la regla 1 con

J(x) ¡'(x)

=

= écosx + 5 écosx(-3senx).

Sobra el 7 y falta un -3.

x d:z;

l. Calcula:

J sen~ J = ~3 J

SOLUCIÓN:

7écosx

(écosx

7e 3 cosx senx

-3écosx

(écosx

senx

7 (écosx

= -3

+ 5\2010 d~ + 5) 2010 d;z;

(écosx

+

5)2010

+ 5)2011

2011

+C

d:z;

12.4

Problemas resueltos

197

2. Calcula: / x 3 lnx 3 dx SOLUCIÓN:

1 2 3 du = 3 3x dx = - dx X X dv = x 3 dx

13e4cosx senx 3. Calcula: ~,

'

SOLUCION:

=

13 / -4

e4 cos:r:

/ /

+5

dx Como el integrando es un cociente, aplicamos la regla del logaritmo con f(x) = e4cosx + 5

13e4cosx senx dx e4 cosx + 5

écosx( -4) senx dx = - 13ln ie4cosx 51 e4cosx + 5 4 + +

4. Calcula: /

e

¡'(x)

=

e 4 cosx(-4senx).


3xe 1 - 2x dx

SOLUCIÓN: /

u= 3x dv = e 1 - 2 x dx

3xe 1- 2x dx

= -~xe 1 - 2 x- / -~e 1 - 2 x3dx = -~xe 1 - 2 x + ~ / e 1- 2x dx

du = 3dx v =

J

c 1 - 2 x dx

= -~

J

1

-2e -

2

x

dx =

-~e 1 - 2 x

Notemos que la última integral es la misma que hemos calculado para obtener v, por lo que no hace falta volverla a calcular.

5. Calcula: / (2x + 5)e 2x+ 5 dx SOLUCIÓN: /

(2x + 5)e 2x+ 5 dx

u = 2x + 5 dv =

e2x~t 5 dx

=

(2x + 5)~e 2 x+5- /

~e 2 x+5 2 dx

du = 2 dx v =

J

e2x+5

dx =

~

J

2e2x+5

dx =

~e2x+5

12

198

Hemos aplicado la regla de la exponencial con

1

)

2x

_1_1_ 2ln(2x+5) dx 2x +5

SOLUCIÓN:

2

+ 5·

Sobraba el 11 y faltaba un 2.

7. Calcula:

11 - - 2ln( 2x+5) dx 2x 5

6. Calcula:

+ 5)

J(x) = ln(2x

f (x =

J- + J = g J__ +

J J

2

2x

2_ 2ln(2x+5) dx 5

=

g _1_ in(2x+5) + e 2 ln2

5xe- 5 x dx 5xe- 5 x dx

SOLUCIÓN:

= 5x ( -~e- 5 x) du

u= 5x dv = e-sx dx

5

e -5x d x=--1 5

J

( -5)e- 5 x dx

8. Calcula:

j'(x) = 5xln5. Sobra el 11 y falta un In 5 (observa que In 5 = 1.61 es un número y, como tal, puede añadirse multiplicando dentro y dividiendo fuera).

Hemos aplicado la regla del arcotangente con

5 5 dx

J

Aplicamos la regla del seno con

J(x) = 5x,

J-~e- x

5dx

=

v=

= -xe- 5 x--1

J

SOLUCIÓN:

1 -5x -5e -5x d x=--e 5

5

11

dx

5x sen5x 1 dx = - - 11 11ln5

J

¡

5x 1n 5 sen 5x dx

1

= -1-(- cos5x) +e 11 n5

9. Calcula:

4éx sen éx 1 + cos 2 e5x

J

SOLUCIÓN:

J'(x) = - senéxéx 5.

dx

1

.

4éxsenéx d ____ 4 2 5 X 1 + cos e x 5


¡

-5e 5'rsenc 5x d·· 2 " ;1. 1 + cos e·)x

4

= --5 arctancoséx +e .

J

SOLUCIÓN:

¡( )

1 5 x +e = -xe- 5 x- -e-

5xsen5x

J(x) = cose 5 x

10. Calcula:


(3- x)7 3x dx

!(3- x)7 3x dx = (3-

Como en el problema 8, debes tener presente que In 7 = 1.95 es un número, por lo que no hay ningún problema en sacarlo de la integral, igual que sacamos el 3.

1 3 x)~ 3n7 1 7 x-

u=3-x dv = 73 x dx

(3-x)73x 31n 7

J-

1 3 7 x( -1)d:r 1 3n7

du = -dx V

= /73x dx = ~ .

3

J

3 . 73x dx = _1_7'lx :31n 7

_1_!73xdx= (3-x)73x 31n 7

+ 3ln 7

1

:h

+ (3ln 7) 2 7 +

e

12.4

Problemas resueltos

199

11. Calcula:

Aplicamos la regla del arcotangente con

5 (x2 + l) x dx 1 + (3lnx + x 3 ) 2 '

J SOLUCIÓN:

5 ( x + .l) dx 1 + (3lnx + x 3 ) 2 2

J

- - ' - - - " ' - x:.......,..,...,.

¡

= -5

3

f(x) = 31nx + x 3 1 f '( x ) = -3 + 3x2 = 3(x 2 +-). X

3 ( x + l.) x dx 1 + (3lnx + x3) 2 2

X

Sobra el 5 y falta un 3.

5

= 3 arctan(3lnx + x 3 ) +e 12. Calcula:

J

(2x + 3) 5 ln(2x + 3) dx

SOLUCIÓN:

6 2 = ln(2x + 3) ( x + 3 )

J(2.T + 3) 5 ln(2x + 3) dx

u= ln(2x dv

=

(2x

+ 3)

du = 2x

+ 3) 5 dx

12

(2x

+ 3) 5 dx = ~

J

JJ~ J-

=

2 -ln(2x + 3) dx 2x + 3

2

14. Calcula: J(2x SoLUCIÓN:

5

2(2x + 3) dx =

~ (2x; 3 )

6 = ln(2x + 3) ( 2x + 3 )

-

12

6

6 _!__ (2x + 3 )

12

6

f(x) = ln(2x + 3)

~ ln ( 2x + 3 ) 2 2 2

=

J

¡' (x) = 2x: 3 ·

+e

5

(2x + 3) sen~ dx

Sobra el 9 y falta un 2.

dv =sen

-5(2x + 3) cos

X

S dx

X

5+

J

= -5(2x + 3) cos ~ du

=

v =

10

J

sen -X dx = 5 5

X

¡1

- sen -X dx = -o~ cos -X 5 5 5

X

5 dx = -5(2x + 3) cos 5 +50 X X 3) cos 5 +50 sen 5 dx +e

cos

= -5(2x +

-5 cos ~ 2 dx

2dx

J

+e

Aplicamos la regla de la potencia con n = 1,

+ 3) sen::_ dx

u=2x+3

=

J

9 -ln(2x + 3) dx 2x +3

SOLUCIÓN:

3 6 2 x + ) _ _ dx 12 2x + 3

+ 3 dx

2 3 6 ln(2:r + 3) ( x + ) - _!__ 2(2x + 3) 5 dx 12 12 9 13. Calcula: -ln(2x + 3) dx 2:r +3 =

2

2

J

v =

J(

-

¡15

cos

X

5

dx

12

200

12.5


J J

18.

lnxdx

l. Calcula las integrales siguientes: l.

J

3. 4.

5.

cosxdx

J(~h + J

9.

¡

4

3

¡

17.

(sen 5x

5.

6.

2 x + 1 dx (x 3 + 3x) 7

7.

¡+

x2 dx (1 + x 3 ) 2

J~

(3y'x + 8) dx

1

10

x2 dx 4{Yx 3 - 3

11.

2cosx dx 1 sen 2 x

12.

j Vx

9.

1 xex 2 - -dx x4

¡ ¡+ J J J

(x- 3) sen(x xlnxdx

+ 4) dx

14.

15.

9

cosx- senx dx (cos x + scnx)2

cosx- senx dx cosx + senx

· .

13.

xex dx

+ 3) dx

52x sen 52x dx

9 dx 5-x

8.

lnxdx

eos 4x

7éx coséx dx

¡ ¡ 1 ¡

j-

16.

3.

x - 5) dx

x13 - 5 cos x) dx

(x 6

4.

12.

15.

2.

J~~dx

J( + J + J + J J 3x3 - 6x 2

l.

sen(7 y'x) dx

11.

14.

2. Calcula las integrales siguientes:

3 eos (5 - x) sen ( 5 - x) dx

X

13.

+ 5x) dx

7x3 -4- d x x +8

J~ J

10.

5) cos(x

3

4 5 x 2x dx

. J Vx J

8.

6x 3 + 3x 2 + 2x- 6) dx

-

2

6.

7.

(1- x)Tx dx

19.

2. J(4x 7


(3x

3x + 5 &r + 5) 2 + 10 "

5x dx {Y5x + 5 1 ecosy'x sen

J J J~

2

9x3-x dx senxcosxdx 5

ln :rdx

Vxxdx


12.5

201

17.

J J

18.

¡

19.

J

37.

20.

¡

5 + 75;¡;2 d X 7:r d 5 + 5:J: 2 ;¡;

38.

16.

21.

22.

ex

J;3 + 5ex dx

e3x + ;¡;2 ·¡ dx 3 ex+ X'

35.

2 cos ln(3x + 5) dx 3x+ 5

36.

J ¡

39.

sen(5- x) d:r:

.

34.

5

3x sen~:r - 1) dx cos(x;:,- 1) 4

J J

xsenxdx

3x (4 sen 2x + 9 eos 3x) dx

¡

2

3xsenx dx 5cosx 2

J J J

(1- 2x)ex dx 7exl 2 {/3 + ex/ 2 dx xsen(2x + 1) dx

3. Calcula las integrales siguientes: l.

Jvksen~dx

24.

J

3.

¡ ¡

25.

j(vx+x)(1+ 2 ~)dx

4.

J

x scnx 5 cosx 5dx 23. !44

4scn5 xcosx dx

5

26. j(vx+x) (1 + 27. 28. 29. 30. 31.

32. 33.

2 ~)dx

2.

7 sen(5x + 3) 8

COS

( X+ ) d X 5 3

7(5x + 3) cos(5x + 3) dx 8

2 2 x lnx dx

5. J(5-3x)2 3 - 5 xdx

(5- x) sen(5- x) dx

6.

¡

4 lnx dx

7.

J

:r:lln x 4 dx

8.

x- 1 lnx 4 dx

9. J(1-x) 3 ln(1-x)dx

J J J J J J J

(1- ;¡;)e-x d:1:

10.

(xex + ;¡;) dx

11.

x··¡ sen x 4 dx

12.

5cos3x sen3x dx 1 + cos2 3x

(3x + cos 3x) 5 (1- sen3x) dx

¡

5sen8x d 1 + cos 2 8x x

J J J

5x-2/3 + 1 ( if;r) 2 dx

x5x+ 1 dx

te-o.1t dt

12

202

13. 14. 15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

J JVx J J ¡ ¡ J J J

3éx coséx dx

28. 29.

lnx dx

1 ln 27 (2x + 3)-- dx 2x+3

33.

ln(2x) dx

34.

2éx dx v4 + 5e 3X

35.

2éx dx 4 + 5e3x

36.

8 eos 10 x sen x dx

37.

xe 3x+ 2 dx

38.

e-3x

vl- e-3x

dx

j x lnx dx 2

J J

cos 5 (3x + 2) sen(3x + 2) dx x sen(3x + 2) dx

j~cosvxdx Vx

26. j(x 27.

+ l)ijl- 2xdx

senx dx 1 + cos 2 :r

1

.

J+ J~ J (5

39. 40. 41. 42 . 43. 44. 45. 46.

e 2 x + 7xex) dx

47.

37inxdx

X

30.


x3x dx

48.

J J J J J J J~ J J( J J J J J J J

e 2x sen e 2 x dx

5(sen 3x) sen( cos 3x)) dx x sen(x/3) dx

1 3/( - ar:)2 e- Vx=5 dx y X

(1 - 2x) sen(3x) dx 5 3 x + ln (2x + 1) dx 2 1 y X

ln JX dx

5e 2x sen e 2 x dx cose 2 x x - 1) cos 5x dx

lOe 3x+2 sen e 3x+2 d:r 9

7x lnx dx x(x- 2)- 2 13 dx 3

lnx dx _5_ ;~ln(2x+l) dx 2x+ 1

7{;/cos3xsen3xdx

xel-x/ 30 dx

13

La integral de Riemann

Pasamos ahora a estudiar la integral de Riemann y su interpretación en contextos económicos. Fundamentalmente, tenemos que aprender a calcular e interpretar expresiones del estilo de

¡

7

(3x 2

+ 2x) dx

y la idea fundamental es que, informalmente, pueden interpretarse como sumas de infinitos sumandos infinitamente pequeños. Empezaremos explicando esta interpretación informal y en un apéndice esbozaremos cómo es posible eliminar toda referencia a cantidades "infinitamente pequeñas" mediante un cierto proceso de paso al límite, que constituye la definición de integral de Riemann.

13.1

El concepto de integral definida

• Sabemos que si conocemos, por ejemplo, el beneficio de una empresa en función del tiempo, B(t), el beneficio marginal, es decir, la función que nos indica a qué ritmo está aumentando dicho beneficio en cada instante, se calcula derivando la función, es decir:

Bm(t)

=

dB

dt.

• Una forma equivalente de escribir esto es a través de la diferencial:

dE= Bm(t) dt. • Aunque, como decimos, es equivalente a la anterior, esta expresión tiene su propia interpretación: indica que el incremento de beneficio de la empresa que se produce en un instante t cuando pasa un tiempo dt es (aproximadamente) el producto del beneficio marginal por el incremento de tiempo (el incremento unitario por el número de unidades que aumenta la variable). • Supongamos, concretamente, que el beneficio marginal de una empresa durante un periodo de un año (entre t = O y t = 1) viene dado por Bm(t) = 240t u.m.jaño, de modo que dB = 240tdt. Esto significa que el beneficio acumulado entre los meses de abril y junio, es decir, desde t = 3/12 = 0.25 h&'lta t = 6/12 = 0.5 viene dado por ~B(0.25)(0.25) ~

Bm(0.25)0.25 = 240 · 0.25 · 0.25 = 15u.m.

Ahora bien, esto no es más que una aproximación. No es el incremento exacto de los beneficios de la empresa en dicho periodo. Sabemos que este tipo de aproximaciones son mejores cuanto menores son los incrementos de tiempo considerados. • Una idea fundamental en (la interpretación informal de) el cálculo diferencial es que la igualdad de la definición de diferencial:

dB

= 240tdt

puede interpretarse como una auténtica igualdad (no como una aproximación) si entendemos que dB representa el incremento de beneficio infinitamente pequeño que se produce tras un incremento de tiempo infinitamente pequeño dt. 203

13

204


• En estos términos, para saber el incremento exacto de los beneficios de la empresa entre t = 0.25 y t = 0.5 tendríamos que sumar los infinitos incrementos infinitesimales de beneficios a que dan lugar los infinitos incrementos de tiempo dt que podemos considerar entre los valores de t indicados. Y la idea subyacente es que la operación matemática que proporciona el valor exacto de esa "suma de infinitos incrementos infinitesimales" es la integral: El signo

~B(0.25)(0.25)

j

=

proviene de una S y

conviene tener presente que, para especificar una "suma" no basta con decir qué expresión queremos sumar (el integrando), sino también desde dónde hasta dónde queremos sumar (en este ejemplo, desde 0.25 hasta 0.5). En general, es muy raro que pueda aparecer una integral en un contexto en el que tenga una interpretación económica específica y que sea una integral "indefinida", es decir sin extremos de integración. Si te encuentras con un caso así, piensa que es más probable que se te haya olvidado especificar los extremos requeridos.

Observa que los corchetes J8j 5 representan la operación de restar el resultado de sustituir su contenido en el extremo superior menos el resultado de sustituir en el extremo inferior. La integral de 240t la hemos calculado mediante las técnicas de la sección anterior, pero observa que no hemos puesto

[240~ + e] o.

5 o

e

dB =

10.5

1 0.25

240t dt

0.25

Enseguida veremos cómo calcular en la práctica esta integral, pero de momento queremos resaltar que representa la "suma de los infinitos incrementos de beneficio dB = 240t dt correspondientes a los infinitos incrementos de tiempo dt que pueden considerarse entre t = 0.25 y t = 0.5" o, en definitiva, el incremento (exacto) de los beneficios de la empresa entre los dos instantes indicados. • Para calcular integrales definidas de funciones continuas contamos con la regla de Barrow:

Regla de Barrow Si f : [a, b] ---+IR es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f tiene una primitiva F en [a, b] y, si F es una primitiva cualquiera de j, entonces

1b

f(x) dx

=

[F(x)]~ = F(b)- F(a).

0.5

Ejemplo 1

Calcula

1

240t dt.

0.25

SOLUCIÓN:

05 ·

¡

240t dt

lo.25

=

0.25

Podríamos haberlo hecho, pero la constante desaparecería al ponerla primero sumando y luego restando, por lo que podemos no ponerla directamente. En cualquier caso, sería inadmisible terminar con que la integral vale 22.5 + C. Una integral definida es un número concreto.

0.5

O r:2

=

2

5

[240 t ] o. 2 o.25

o 2r:2 0

240~ - 240---- = 22.5. 2 2

• El resultado del ejemplo 1 (22.5 u.m.) se interpreta, según hemos explicado, como el beneficio exacto que consigue la empresa entre los instantes t = 0.25 y t = 0.5. Como vemos, es muy diferente del valor aproximado que habíamos calculado antes con la diferencial (15 u.m.). Más en general:

La integral de una magnitud marginal (beneficio marginal, coste marginal, etc.) representa la correspondiente magnitud acumulada en el intervalo en que integramos (el aumento de beneficio, el aumento de coste, etc.) en el intervalo en el que se calcula la integral.

13.2 Interpretación geométrica de la integral

13.2

205

Interpretación geométrica de la integral

• Al margen de la interpretación económica que acabamos de discutir, toda integral definida tiene también una interpretación geométrica que conviene conocer:

/

Si nos fijamos en la región sombreada de la izquierda, es aproximadamente un rec(x) tángulo, salvo por que en su parte superior depende de la gráfica de la función. El área de ese "rectángulo" es (base x altura) f(x) dx. Para el incremento dx mostrado en la figura esto no es exacto, porque dx no es realmente "infinitesimal", pero para "' dx '' .'<.(f~ '" '·' " incrementos dx infinitesimales, se puede con• f(x) . / -1 siderar que la expresión f(x) dx determina exactamente el área "infinitesimal" de la región sombreada, con la única salvedad de que el resultado es positivo cuando f(x) es positivo (el caso de la zona sombreada de la izquierda), pero es negativo cuando f(x) es negativo (el caso de la derecha). Al "sumar" todas estas áreas

1 1

~.llit l.

infinitesimales, es decir, al integrar, obtenemos el área total, con las precisiones siguientes: Geométricamente, una integral definida es el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje X entre los dos extremos de la integral, pero con la salvedad de que los fragmentos de área situados bajo el eje se tienen que restar de los situados sobre el eje.

1 ') 3.0

-1

-~

2

Así, la integral marcada con un

f f(x) dx, lo.5

donde f(x) es la función representada en la figura, es el área

+ menos el área marcada con un

-.

En particular conviene recordar que si una función es positiva en un intervalo, su integral será necesariamente positiva, y si la función es negativa la integral será negativa. Si la función toma los dos signos, entonces el signo de la integral dependerá de que el área de la parte positiva sea mayor o menor que la de la parte negativa.

13.3

lntegrabilidad y cálculo de integrales

• Al igual que no toda función es derivable o diferenciable en un punto dado, de modo que no siempre existe la derivada o la diferencial de una función, la definición de integral (que explicaremos en el apéndice al final de esta sección) no es aplicable a todas las funciones, sino que una función dada debe satisfacer ciertas condiciones para que sea integrable, es decir, para que tenga sentido considerar su integral. En realidad, existen distintas definiciones de integrabilidad, unas más amplias que otras, y aquí estamos considerando concretamente la llamada integral de Riemann. La definición de "función integrable Riemann" es algo compleja (véase el apéndice), pero en la práctica nos bastará tener en cuenta el criterio siguiente:

13 La integral de Riemann

206 Para que una función f condiciones siguientes:

[a, b]

------t

IR sea integrable Riemann es necesario que cumpla las

• Debe estar definida en un intervalo acotado • La función

f

tiene que estar acotada en

[a, b]

[a, b],

(es decir, con extremos finitos).

es decir, tiene que haber una cota

superior M y una cota inferior m, de forma que

f(x) nunca tome valores menores

que m o mayores que M. Que una función f cumpla estos requisitos no garantiza que sea integrable. Una condición que nos asegura la integrabilidad es que, además de lo dicho, la función f sea continua salvo a lo sumo en un número finito de puntos.

• En la práctica, para las funciones con las que trabajamos, que una función esté acotada equivale a que no tenga límite infinito en ninguno de los puntos del intervalo donde queremos estudiar si es integrable. En la mayoría de los casos los límites infinitos aparecerán cuando el integrando tenga algún denominador que tome el valor cero en el intervalo considerado, aunque una función también puede ser no acotada por tener, por ejemplo, un logaritmo cuyo argumento toma el valor O en el intervalo. 5 no está acotada en el intervalo [-10, 10], porque su X -1 denominador se anula en x = 1 y x = -1, por lo que la función tiende a infinito en dichos puntos. En cambio, sí que está acotada en el intervalo [3, 7], pues el denominador no se anula en ninguno de sus puntos. De hecho, f(x) es integrable en [3, 7] porque es continua en dicho intervalo.

Ejemplo 2

= -2

La función f(x)

• La regla de Barrow sólo es aplicable a funciones continuas. Para integrar funciones discontinuas o, más en general, funciones definidas por expresiones distintas en intervalos distintos, usamos la propiedad siguiente de las integrales: Si a < e < b, una función f es integrable Riemann en el intervalo los intervalos [a, e] y [e, b] y en tal caso

l

a

b

f(x) dx =

le a

f(x) dx

+

lb e

• Teniendo en cuenta la interpretación de la integral como el valor acumulado por el integrando en un intervalo, lo que afirma la propiedad anterior es que el valor acumul~do en todo el intervalo [a, b] puede descomponerse co~o la suma del valor acumulado en [a, e] más el valor acumulado en [e, b]. En términos de áreas, lo que dice la propiedad es que el área sombreada es la suma de las áreas A y B en la figura.

[a, b]

si y sólo si lo es en

f(x) dx.

J(:r)

a

\

B

A

e

b

13.3

Integrabilidad .Y cálculo de integrales

Ejemplo 3

207

La función de coste marginal de una empresa viene

dada por

Cm(q)

50- q q2

=

{

si O:::; q

50

< 30,

4()

si 30 :S q,

50

La gráfica de la función Cm(q) es la siguiente:

" " ,,

30

donde q es la cantidad producida, y los costes fijos son de 300 u.m. Justifica que la función Cm(q) es integrable Riemann en [O, 40] y calcula el coste de producir 40 unidades de producto.

20

La función de coste marginal Cm(q) es integrable Riemann en el intervalo [0, 40] porque está acotada (porque no tiende a infinito en ningún punto del intervalo) y es continua salvo a lo sumo en el punto q = 30.

y en ella vemos que no es continua en q = 30. Sin embargo, no es necesario estudiar la continuidad en este punto para determinar si es integrable, sino que basta observar que Cm(x) es continua salvo a lo sumo en q = 30, pues, tanto si lo es como si no, la función será integrable, ya que la continuidad puede fallar en un número finito de puntos sin que eso afecte a la conclusión. Observa además que, mientras que tiene sentido decir que una función es derivable en todos los puntos excepto en uno en concreto, esto no tiene sentido para la integrabilidad: una función o es integrable en un intervalo o no lo es, pero no podemos decir que Cm ( q) es integrable en [0, 40] excepto en q = 30. En nuestro caso, decimos que Cm(q) es integrable en todo el intervalo [0, 40] porque es continua en todo el intervalo excepto en q = 30.

JO

10

SoLUCIÓN:

El coste de producir 40 unidades viene dado por C(40) = 300+

1 ®

o

Crn(q) dq

= 300 +

= 300 +

[

= 300+

1w o

(50-q) dq+ ¡®~ - dq 30 50

2]30 [ 3]40 + .!!.._ 2 o 150 30

50q - Cj_

2 30 - O) + (403 1500 - -303) = 1596.66 u.m. ( 2 150 150

Conviene destacar algunos hechos relacionados con el ejemplo precedente:

1° 4

• La integral

Cm(q) dq nos da el incremento de coste

que se produce al pasar de una producción q =O a una producción q = 40, pero esto no es el coste de producir 40 unidades de producto porque ahí no tenemos en cuenta el coste fijo, que es el coste que tenemos incluso cuando la producción es de O u. p. Así pues, la integral (entre O y una producción q) de una función de coste marginal nos da el coste variable de producir q unidades, y tenemos que sumarle el coste fijo para tener el coste total. M&'-l en general: Si calculamos una magnitud acumulada a partir de su correspondiente marginal integrándola en un intervalo [a, b], pero sabemos que ya había una cantidad acumulada anterior a a, deberemos sumársela a la integral, pues ésta sólo nos proporciona la cantidad acumulada en el intervalo.

20

30

40

50

Se podría objetar que al calcular

1° 3

la integral

Cm(q) dq no es co-

rrecto sustituir el integrando por 50 - q (como hemos hecho) porque la definición 50 - q es válida para q < 30, pero no para q = 30. Esto es cierto, pero sucede que si una función se modifica en un único punto la integral no cambia (porque el área que queda por debajo de un único punto de la gráfica es cero), de modo que la función 50- q definida en [O, 30] tiene exactamente la misma integral que la función que vale 50 - q para q < 30 y toma otro valor en q = 30.

208

13 La integral de Riemann • Conviene que prestes especial atención a cómo hemos partido la integral del ejemplo anterior. En principio teníamos que calcular

ro

Jo

Cm(q) dq,

y debemos tener en cuenta que en el intervalo [0, 40] el integrando Cm(q) no es igual ni a 50- q ni a q2 /50, por lo que sería incorrecto pensar por ejemplo que, como tenemos que integrar hasta 40, debemos tomar la segunda expresión y por lo tanto

ro

Jo

Cm(q) dq

ro

=Jo

q2

50 dq.

Lo correcto es tener en cuenta que el coste marginal es el dado por la primera expresión mientras la producción varía entre O y 30 y es el dado por la segunda expresión mientras la producción varía entre 30 y 40. Por lo tanto:

¡40

Cm(q) dq

o

=

¡30

Cm(q) dq

o

+

140

Cm(q) dq

=

30

¡30 o

(50- q) dq +

140 -

q2

305 0

dq,

tal y como se ve en la solución. También sería incorrecto tener presente que hay que usar las dos definiciones pero hacerlo de este modo: q2 Crn(q) dq = (50- q) dq + - dq. o o o 50

40 1

140

140

Lo correcto es integrar cada definición sobre el intervalo en el que es válida. Observa que en este ejemplo nos piden la función de coste, luego el resultado tiene que ser una función y no un número. Queremos la función que para cada producción q nos da el coste de producir q unidades, por lo que (aparte de sumar el coste fijo) integramos entre O y q. El resultado final dependerá de q, como tiene que ser. No hay que sustituir q por ningún valor salvo que nos pidan calcular el coste para una producción fija. Nota también que es importante poner los extremos de integración O y q. Sería un error concluir que

Ejemplo 4

Calcula la función de costes de una empresa sabiendo que su coste marginal es

Cm(x) = 100 + (x- ;{) 6 u.m.ju.p y el coste fijo es C¡

= 500

u.m.

SOLUCIÓN: El coste de producir q unidades de producto vendrá dado por

C(q)

= 500 +

1q

(100 + (:z:- 3) 6 ) d:1:

= 500 + [lOOx +

(;¡;

~ 3)

7 [

6

C(x) = 500+ J(lOO+(x-3) )dx

= 500 + lOOx + (x

~

3

7

)

.

&

Observa que así no da la misma función, y la correcta es la del ejemplo.

7 = 500 + lOOq + (q- 3 )

-

(-

7

= 812.43 + 100q + (q

~ 3)

7

3 7

?

13.4

209

Valor medio

13.4

Valor medio

• La integral de Riemann nos permite definir en general el concepto de valor medio de una función: El valor medio de una función integrable

f : [a, b]

fJ=

lb

----+

ffi. en un intervalo [a, b] se define como

f(x) dx

"--"'a _ _ __

b-a

• Desde un punto de vista económico, este concepto se corresponde ciertamente con lo que cabe entender por un valor medio. Por ejemplo, si Bm(t) es el beneficio marginal de una empresa en función del tiempo, entonces

es el beneficio medio obtenido entre los instantes t = 3 y t = 7: el numerador es el beneficio acumulado en ese periodo de cuatro años y, al dividirlo entre 7 - 3 = 4, obtenemos el beneficio obtenido de media en esos cuatro años. • Desde un punto de vista geométrico, la interpretación se obtiene teniendo en cuenta que

fJ,

=

lb

f(x) dx

-"--"'a-,--_ __

b-a

¡b

/

f(x) dx = fJ(b- a).

Sabemos que la integral es el área sombreada en la figura, mientras que ~J(b - a) es el área del a b rectángulo de b&'ie [a, b] y altura f-L· Así pues, el valor medio fJ es la altura para la cual el área A de la parte de la gráfica que se sale del rectángulo coincide con el área B que le falta a la gráfica para llenarlo.

Ejemplo 5

Una empresa lanzó al mercado un nuevo producto en un instante t = O y su beneficio marginal (en millones de € /año) durante los dos años siguientes resultó ser

i

L4i L2

LO 0.8

si O ~ t::; 1, si 1 < t ~ 2. El beneficio inicial (es decir, los costes de lanzamiento del producto cuando todavía no había ingresos) era B(O) = -0.5 millones de €.

0.6

0.4 0.2

0.5

LO

L5

'

2.0

13

210


a) Calcula el beneficio obtenido por la empresa al cabo de los dos años. b) Calcula el beneficio medio que proporcionó el producto durante el segundo semestre del primer año. e) Interpreta economiCa y geométricamente la integral que has calculado para responder a la pregunta anterior (no el valor medio, sino únicamente la integral). d) ¿Qué puedes decir a partir de la gráfica sobre el beneficio de la empresa en aumentando o disminuyendo?

a) El beneficio en t t =O hasta t = 2: SoLUCIÓN:

+

estaba

= 2 será el beneficio inicial más el beneficio acumulado desde

1 2

B(2) = -0.5

t = 0.8:

1 1

Bm(t) dt = -0.5 +

te

2

1

-t

dt

+~

2

1 dt

= -0.5--111 -2te 1-t2 dt + [th2 = -0.5--1 [e 1-t2] 1 + 2- 1 2 o

o

2

= -0.5- ~(e 1 - 12 - e 1- 02 ) + 1 =

1.36 millones de€.

b) El segundo semestre del primer año se corresponde con el intervalo [0.5, 1]:

1 1

JL =

Brn(t) dt

=0-~5_ _ __

1-0.5 El beneficio medio puede interpretarse así: el beneficio acumulado por la empresa en el semestre considerado es el mismo que habría tenido si su beneficio marginal en dicho periodo hubiera sido constante igual a p, = 1.117 millones de €/ año.

1

t Bm(t) dt = lo.5{ lo.5 =

-~ 2

[e1-t2]1 = 0.5

te 1-t

2

dt =

-~

1

{ -2te 1-t 2 dt

lo.5

-~(eJ-12- e1-0.52) = 0.5585, 2

luego el beneficio medio es JL

0.5585 0.5

= --- =

e) La integral (0.5585 millones de €) es el beneficio acumulado por la empresa durante el segundo semestre del primer año. Geométricamente es el área sombreada en la gráfica. d) La gráfica muestra que el beneficio marginal en el instante t = 0.8 es positivo, luego el beneficio estaba aumentando en ese momento.

1.117 millones de € /año.

Bm(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5

1.5

2

• En el apartado d) del ejemplo anterior hubiera sido un error responder que el beneficio de la empresa estaba disminuyendo en t = 0.8 basándose en que la gráfica del beneficio marginal decrece en ese instante. Por si esto no está suficientemente claro vamos a discutirlo a continuación con más detalle, aunque las observaciones siguientes no son necesarias para responder al ejercicio.

13.5

211

Problemas resueltos

La gráfica muestra el beneficio marginal Bm(t) y el beneficio acumulado B(t). Vemos que el beneficio acumulado es creciente en todo momento (como era de esperar, porque el beneficio marginal es siempre positivo). El beneficio acumulado empieza siendo negativo (cosa que ya sabíamos, pues su valor inicial es -0.5). El momento en que la empresa amortiza la inversión inicial es T = 0.68. Este valor puede obtenerse resolviendo la ecuación

B(T) = -0.5 +

1T

1.5 1

0.5

~

T

0.68

~

7

-0.5

-·-·

1

1.5

2

--'/

2

te 1-t dt = O.

(Véase el problema propuesto n° 12.) Vemos, pues, que el hecho de que el beneficio marginal empiece creciendo, luego decrezca y luego se estabilice no se traduce en que al beneficio acumulado le suceda lo mismo, sino que éste nunca deja de crecer. ¿En qué se traduce entonces el crecimiento y decrecimiento del beneficio marginal? 1.5 El beneficio marginal es la pendiente del beneficio pendiente = 1 pendiente = 1.17 " en cada punto. En t = O, el beneficio marginal es O, 1.17 ~ 1 lo que en la gráfica se traduce en que la pendiente del beneficio es O, es decir, que la tangente a la curva del 0.5 beneficio es horiwntal. El hecho de que el beneficio marginal empiece siendo creciente se traduce en que . esta pendiente va aumentando, y llega a tomar su valor 1.5 2 máximo en t = O. 71, y dicho máximo es 1.17 (véase el 5 problema propuesto 12). Esto significa que en t =O. 71 -O· pendiente~ o la empresa ganaba 1.17 millones de euros anuales, y éste fue el momento en el que su ritmo de ganancias fue máximo. Desde ese instante hasta t = 1 el beneficio marginal (es decir, la pendiente de la gráfica del beneficio) pasa a descender hasta llegar a la pendiente 1 que se mantiene durante todo el segundo año. Así pues, la empresa, después de alcanzar el ritmo de beneficios de 1.17 millones de euros anuales, reduce esta tasa hasta estabilizarse en 1 millón de euros anuales. r---~~---__,_.~

~

En resumen, el hecho de que el beneficio marginal de la empresa fuera decreciente en t = 0.8 (el instante por el que se preguntaba en el apartado d) del ejemplo) no se puede interpretar como que el beneficio acumulado de la empresa estuviera disminuyendo, es decir, como que la empresa tuviera pérdidas en ese momento, sino como que el beneficio acumulado estaba aumentando cada vez más lentamente (en el tránsito de los 1.17 millones anuales al millón anual).

13.5

Problemas resueltos 5

l. Calcula la integral { en [2 , vr:l .

l2

X

2

x dx. Justifica previamente que la función es integrable Riemann -50

SoLUCIÓN: Para que el integrando esté acotado basta con que el denominador no se anule en ninguno de sus puntos. Los únicos puntos donde se anula son los que cumplen x 2 - 50= O, es decir, x = ±J56, pero J56 = 7.07 ... no está en [2, 5], luego, en efecto, el integrando está acotado en [2, 5]. Además, se trata de una función continua en dicho intervalo (porque es un cociente de polinomios, luego es continua en su dominio.

13

212

5

Observa que da igual poner 1 2 5 1 2 5 2[1n lx -50ih que [21n lx -501]2. En cambio, sería un error grave o!vidarse del valor absoluto:

1

1 2

=

1

x

1 dx = 50 2

X2 -

¡

5

2:r X2 -

2

(ln[-25[-ln[-46[)

2

=


1 dx = - [ln [x 2 50 2

5

- 50[L

1

2(ln25-ln46) = -0.305.

5

2

2x- X 2 -50

dx = [ln(x 2

=In( -25)- In( -46)

-

50)] 52

&

porque los logaritmos de números negativos no existen, pero es que no aparecen si aplicas correctamente la regla

J~(~;

SOLUCIÓN

¡

2

xex dx.

Integramos por partes: u= x

du

dx

=

dx =In lf(x)l +C.

Observa que al calcular por partes una integral definida hay que poner los extremos [1,2] tanto en la nueva integral como en la parte que no tiene integral. También es correcto calcular aparte la integral indefinida

J

xex dx = xex - ex

+e

y luego aplicar la regla de Barrow:

¡

2. Calcula la integral

2

xex dx = [xex -

exJi

¡

¡

2

xex dx

=

2e 2

=

[xex]i -

-

e - (e 2

-

2

e)

ex dx

= 2c 2

= e2 -

e

-

e1

-

[ex]f

+ e = e2 .

3. Un el iente de un ba neo tenía en su cuenta corriente :~ 000 € el 1 de enero de 2009, y su ahorro marginal durante dicho año (en € /mes, incluyendo los intereses de la cuenta) vino dado por la función 150t A m ( t) = { 1OOt cos (t 2 /30)

si t < 4, si 4 :S t :S 12,

donde t es el tiempo en meses.

(a) Explica qué podemos decir a partir de la gráfica del saldo de la cuenta corriente a principios de noviembre (t = 10). (b) Calcula el saldo de la cuenta en dicho instante. ¿Estaba la cuenta en "números rojos"? (e) Calcula cuánto aumentó el saldo de la cuenta desde febrero hasta abril (inclusive). lnterpreta el resultado geométricamente.

10

-sm

-1ooo

(d) Calcula el ahorro medio del cliente en dicho periodo (de febrero a abril). Sería un error concluir en a) que, como el ahorro marginal es negativo, la cuenta está en "números rojos". De hecho, en el apartado b) se ve que no es así.

a) El ahorro marginal es aproximadamente de -1 000 € /mes, lo cual significa que, en ese momento, el cliente estaba sacando dinero de su cuenta a ese ritmo. SOLUCIÓN:

b) El saldo en t = 10 será el saldo de la cuenta a 1 de enero más el ahorro acumulado desde esa fecha (t =O) hasta t = 10:


213

1

10

A(lO) = 3 000 + 4 [ }0

1 4

Am(t) dt = 3 000 +

1

10

150t dt

+

100t cos(t 2/30) dt.

2 4 2 42 150tdt= [150t ] =150 -150° =1200-0=1200. 2 0 2 2 10

100 · 30 [ 10 2t 2 2 100tcos(t /30)dt= cos(t /30)dt } 2 30 4 4 2 2 0 = [1500 sen(t /30)]! = 1500 sen(10 /30) - 1500 sen( 42/30)

Aplicamos la regla del coseno con f(t)=tz¡ 3 oyj'(t)= 2 t¡ 30

[

}

Recuerda que para hacer el cálculo final tienes que tener la calculadora en radianes.

= -285.85 - 762.61 = -1 048.46.

En total: A(10) = 3 000 + 1200- 1 048.46 = 3151.54. Como el saldo es positivo, la cuenta no estaba en números rojos. De hecho, tenía más dinero que al principio del año. e) Los meses febrero, marzo y abril corresponden al periodo [1, 4], luego el saldo acumulado en dicho periodo es

o 2

4

4

E

MI Al M

F 1

3

2

4

5

4

42 12 Am(t)dt= { 150tdt= [150t ] =150 -150 =1125€. }1 }¡ 2 1 2 2 Geométricamente, esta cantidad es el área sombreada en la gráfica. {

d) El ahorro medio es

8

10

4

JL =

f 1 Am(t) dt 4-1

= 1125 = 375 € /mes. 3

-500 -750 -1000

4. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de dos años ha venido dado por

B (t) = { 10 sen(t- 1) m t 2 - 4t + 3

2 si O :S: t < 1, si 1

:S: t :S:

(a) Calcula el beneficio medio del primer semestre del segundo año.

2.

Bm(t) 6

(b) Razona a partir de la gráfica si el beneficio acumulado por la empresa a lo largo de todo el periodo de dos años fue en total positivo o negativo. SoLUCIÓN:

a) El beneficio medio es

[1.5 2 }1 (t - 4t + 3) dt jL

=

1.5- 1

4

-2

-0.21 = - - = -0.42. 0.5

2

214

13

¡

1.5

2

(t - 4t + 3) dt =

1


[t3 t2 ]1.5 1.53 2 1 . - - 4- + 3t = - - 2(1.5) + 3. 1.5- ( :-- 2 + 3) = -0.21. 3

2

3

1

3

El beneficio acumulado en los dos años es

Geométricamente, esta integral es el área marcada en la figura con un signo + menos el área marcada con un signo -. Como el área positiva es claramente mayor que la negativa, el beneficio acumulado es positivo.

2.0

5. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de 15 años ha sido:

Brn(t) / ·

1 _¡·

I()(Xl 2

2oot e O.lt -0.4 Bm(t) = { 4t 3 - 80t 2 + 400t- 112

os t s 2,

si si 2

_

< t S 15.

s
//

(a) Calcula el beneficio medio de los primeros 4 años.

2

/

1

--~

~ ~-

· -- -

4

6

8

· //

-----10-'

12

14

(b) Interpreta económica y geométricamente la integral que has calculado en el apartado anterior (no el valor medio). (e) Razona a partir de la gráfica si en t disminuyendo. SOLUCIÓN:

= 11

el beneficio acumulado estaba aumentando o

a) El beneficio medio es:

Bmed

1 4

=

j 04 Brn(t) dt 4

_O

1 2

Brn(t) dt = =

200 0.2

200te 0 ·1t

2

{ 0.2te0 · 1t

Jo

= 1000 [e 0 ·1t

=

1252.34 . = 313.086 4

1 4

2 -

04 ·

dt +

(4t3 - 80t 2 + 400t- 112) dt

4

2

-0.4

dt + { (4t3 - 80t 2 + 400t- 112) dt

J2

2

2

-o.4]

o

+ [t4

-

80 3

1 2

t 3 + 200t - 112t] 2

8043+200·4 2 -112·4- ( 24 - 8023 +200·2 2 -112·2 ) =1252.,)4 . =1000(1-e -0 ·4 )+44 - 3 3 b) Económicamente es el beneficio acumulado por la empresa en los cuatro primeros años. Geométricamente es el área sombreada en la figura. e) La gráfica muestra que en t = 11 el beneficio marginal es negativo, lo que significa que el beneficio acumulado estaba disminuyendo.

Brn(t)/

1

I
500

//

J

v• 6

12

14

13.6


215

6. Los costes marginales de una empresa vienen dados por la función

Crn(x) = { 0.04x

2

4x + 112 si O::=:; x < 60,

-

si 60::::; x ::::; 3000.

0.15x + 7

Teniendo en cuenta que la producción tiene un coste fijo de 840 u.m., calcula el coste total de producir 100 unidades.

El coste de producir 100 unidades será el coste fijo más el incremento de coste que se produce al pasar de producir O unidades a producir 100, es decir: SoLUCIÓN:

C(lOO) = 840 +

100 Crn(x) dx = 840 + 160 (0.04x 1o o 2

3

= 840 + [o.04 x

3

=

-

4 x + 112x] 2

2

4x + 112) dx +

-

60

60

o

¡100 (0.15x + 7) dx

2

100

+ [o.15 x + 7x] 2

60

60 3 1002 60 2 840 + 0.04--2.602 + 112.60- o+ 0.15- + 700- (0.15- + 7. 60)

3

2

2

= 840 + 3160 = 4000 13.6


l. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de un año ha venido dado por la función Brn(t) = 4t 3 - 60t 2 + 150t + 800u.m./mes,

donde tes el tiempo en meses (O ::::; t::::; 12). (a) Calcula Brn(2} y Brn(11). Interpreta los resultados.

tado.

1

800 600

11

(b) Calcula

1000

Brn(t) dt. Interpreta el resul-

Mr---r-----~~---------h--

400

2

(e) Interpreta geométricamente el resultado anterior.

200 10

12

(d) Calcula el beneficio medio M de la empresa en el periodo comprendido desde marzo a noviembre inclusive. Interprétalo. (e) Interpreta geométricamente en la figura el beneficio que habría acumulado la empresa en el periodo indicado en el apartado anterior si su beneficio marginal hubiera sido constante igual a M· (f) Calcula el beneficio B(t) acumulado por la empresa desde el 1 de enero hasta el instante t. (g) A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, comprueba que el beneficio marginal de la empresa es el dado en el enunciado del problema.

13

216


2. Calcula

3. Los costes marginales de una empresa vienen dados por la función 10- !L

Cm(q) = { 3 + q20 50

si O :S q :S 100, si 100 S q.

Además, la empresa tiene un coste fijo de 300 u.m.

t50 Cm(q) dq. (a) Calcula Jo

10 8

(b) Interpreta económicamente el resultado.

6

(e) Interpreta geométricamente el resultado.

4 2

(d) Calcula el coste de producir 150 unidades de producto.

.'

50

.

4. La funcwn de coste margmal de una empresa es Cm(q)

= 1+

lOO 2

(2q - 6) 2

son de 20 u.m.

150

200

y sus costes fijos

(a) Calcula la función de coste de la empresa. (b) Teniendo en cuenta que la producción que maximiza el beneficio de la empresa es la que cumple que Cm(q) = p, donde pes el precio de mercado del producto, calcula la función de oferta de la empresa7 q = S(p). (e) Calcula las cantidades de producto qo y q1 que le conviene producir a la empresa si el precio de mercado es Po = 9.66 y Pl = 20, respectivamente. Identifícalas en la figura. (d) Calcula el incremento de beneficio que consigue la empresa si el precio de mercado pasa de ser Po a ser Pl· p S(p) = Cm(q) 1 30 (e) Calcula b..C = Cm(q) dq. Interpreta

1q qo

25

el resultado económica y gráficamente. (f) Se define el excedente del productor como EP =

[P S(p) dp = {P S(p) dp, }Po

Jo

q donde Po es el precio de cierre y p el precio de venta. Calcúlalo para p = Pl = 20 e interpreta el resultado geométricamente. 1

2

3

4

5

6

7

(h) A partir de la figura, interpreta económicamente la suma b..J = b..C + EP. (i) Interpreta económicamente el excedente del productor. 7 Puede probarse que el precio de cierre de la empresa, es decir, el precio por debajo del cual sus beneficios son negativos, es po = 9.66 u. m. Así, el dominio con sentido económico de S(p) es [po, +oo[ o, equivalentemente S'(p) =O para p < po.


217

5. Razona cuáles de las funciones siguientes son integrables Riemann en el intervalo [-5, 5] y cuáles no: 1

' 5 .r '

X 5'

si x ::; O, si x >O,

f(x) = { -x3 ' ln ;¡;

6. Calcula

6 (x + 10) 5 '

¡V7i

Jo

q(x)

¡

2

x sen x dx,

lnx 2

'

ex+2

ex+7

ex+2- 1'

ex+7- 1'

~ { x ~2x2

si x
h( X)

~x-2,

~ { V1:- X v'x

si x
17

vx-=!dx,

10

r/2 }

sen5 x cos x dx,

0

7. Calcula las integrales en el intervalo [-5, 5] de las funciones del problema 5 que sean integrables en dicho intervalo. 8. Calcula la integral en [3, 15] de la función x2

f(x) =

{

Vx

si x ::; 10, si x > 10.

9. Calcula el valor medio en el intervalo [4, 10] de la función

4 + 3y'x si O ::; x ::; 5, f(x) =

{

1

2-x

si x > 5.

10. Calcula la integral de la función

f(x) =

v'x 5 { v'x cos v'x

si x ::; 4, si x > 4,

en el intervalo [1, 9]. 11. Los beneficios marginales de una empresa a lo largo de un año han venido dados por la función Bm(t) = 2t 3 - 26t 2 + 60t + 100 u.m./mes, donde tes el tiempo en meses (O::; t ::; 12).

218

13


sool

(a) Calcula el beneficio acumulado por la empresa a lo largo del año

Brn(t)

400 300

(b) Interpreta geométricamente el resultado.

200

(e) ¿Qué signo tendrá el beneficio acumulado durante los meses de julio y agosto?

100 10

12

(d) Calcula el beneficio medio correspondiente a dichos dos meses.

12. El beneficio marginal de una empresa durante un año (desde t = O hasta t = 1) ha venido 2 dado por Bm (t) = te 1 -t millones de euros/ año. El beneficio inicial (es decir, los costes de lanzamiento del producto cuando todavía no había ingresos) era B(O) = -0.5 millones de €. (a) Calcula la función de beneficio acumulado B(T) para dicho periodo. (b) Calcula el instante T en que los beneficios de la empresa fueron nulos (es decir, el instante en que la empresa compensó la inversión inicial y pasó de tener pérdidas a tener beneficios). (Véanse las figuras de la página 211.)

(e) Calcula el instante en que el beneficio marginal fue máximo. 13. Los costes fijos de una empresa son de 100 u.m., mientras que la función de costes marginales es Cm(q) = 3q 2 - 60q + 345 u.m.ju.p. (a) Calcula el coste de producir 8 unidades de producto. (b) Calcula la función de coste total.

14. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de 10 años [O, 10] ha sido 10000 Bm(t) = (2t + 1)3. Calcula el beneficio medio en el periodo [4, 9]. Interprétalo. ¿En qué instante el beneficio marginal coincidió con el beneficio medio?

15. Calcula la función de costes de una empresa cuyos costes fijos son de 500 u.m. y cuya función de coste marginal es Crn(q) = 0.1q 2 - 2q + 15 u.m./u.p. 16. Calcula la cotización media de las acciones del problema 17 de la pág. considerado en dicho problema.

6~3

durante el año

17. Las funciones de oferta y demanda de un bien son, respectivamente,

S(p) = { 31 +

2~p- 5

si p < 5, si p 2: 5, '

y

D (p)

=

1 000 _ l. p+4

18.6


219

(a) Comprueba que el precio de equilibro es Po

= 21.

(b) Calcula el precio p¡ a partir del cual el producto deja de tener demanda.

p 80 70 60

(e) Si el precio de venta es el precio de equilibrio,

50

calcula el excedente del productor y el excedente del consumidor:

40

¡Po S(p) dp, EP =

EC

=

0

1Pl D(p)dp. Po

30

Po

20 10 10

(d) Interpreta geométricamente ambas integrales. 8

20

30

40

50

60

70

80

q

18. La función de oferta de un bien en un mercado es S(p) = 1250p, donde pes el precio de venta. La demanda la determina un total de 1 000 consumidores, cada uno de los cuales sigue la función de demanda 10 D(p) = y'P' (a) Calcula el precio de equilibrio. (b) Calcula el nuevo precio de equilibrio si el número de consumidores aumenta a 1100.

(e) Calcula el incremento del excedente del productor y el incremento del excedente del consumidor (de un consumidor) debidos a la variación del precio. 19. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de cinco años ha venido dado por la función

Bm(t) = { 1 OOOVt si O :S t :S 2, 500 t

si 2

< t :S 5.

Calcula el beneficio medio de los cuatro últimos años. Interprétalo. 20. La función de costes marginales de una empresa es

C (x) = m

(

10+~

si O ::; x

< 50,

X+

10 120

10 + --:-------:-::(x + 10)2

si x :S 50,

donde x es la cantidad producida de cierto artículo. Teniendo en cuenta que la producción tiene un coste fijo de 1000 u.m., calcula el coste de producir 110 u.p. 8 Teniendo en cuenta el lema de Shephard (problema 6 (pág. 180)) la función D(p) es la derivada del gasto G del consumidor (el ga.'>to total necesario para mantener su nivel actual de utilidad), por lo tanto

EC =

¡Pl PO

D(p) dp =

¡Pl d

dG

PO

dp = G(pt)- G(po) = /:!,.G.

p

Así pues: el excedente del consumidor es el incremento del gasto del consumidor que se produciría si el precio del artículo pa.<>ara de po a Pt o, equivalentemente, lo que se ahorra el consumidor a la hora de alcanzar su nivel de utilidad gracias a que el precio del artículo es po y no otro que lo deje fuera de sus posibilidades.

13

220

La integral de Riernann

21. Calcula el valor medio en el intervalo [1, 5] de la función si si si si

1/x

f(x) =

x2

{ xe

x2

lnx

O< x < 2, 2:::; x < 4, 4:::; x < 6, 6:::; x.

22. Una empresa produce un artículo con la siguiente función de coste marginal:

O:::; x:::;

si

20

Cm(x) = { 1 ~00

100,

si 100 < x.

Calcula el coste medio de producir 200 unidades de producto.

23. El coste marginal de una empresa viene dado por la función

Cm( ) = { 5- q si O :S: q :S: 4, q 2q - 7 si q ~ 4, donde q es la cantidad producida de un artículo. Los costes fijos son de 15 u.m.

1

10

(a) Calcula

Cm(q) dq.

(b) Interpreta la integral anterior gráfica y económicamente.

(e) Supongamos que la empresa pasa de producir 6 artículos a producir 9. Calcula el coste medio de los nuevos artículos producidos. (d) Calcula el coste de producir 3 artículos.

Cm(q) / / /

/ /

/

/

/ / /

10

' 12

24. El beneficio marginal de una empresa durante un periodo de 10 años ha venido dado por la función si O :::; t :S: 5, 3+t Bm(t) = { 18- 2t si 5 :S: t :S: 10. Al principio del periodo el capital de la empresa era de 100 u.m.

{10

(a) Calcula }

6

Bm(t) dt.

221

13.7 Apéndice: La definición de la integral de Riemann

(b) Interpreta la integral anterior gráfica y económicamente. (e) Escribe la expresión para el beneficio medio que obtuvo la empresa en los cuatro últimos años del periodo. (d) Calcula el capital de la empresa al final del periodo. 10

Bm(t)

' 111 -2

13.7

Apéndice: La definición de la integral de Riemann

En este apéndice veremos cómo puede definirse la integral de Riemann sin hablar de incrementos infinitamente pequeños, pero de modo que, al mismo tiempo, la integral así definida responda a la interpretación infinitesimal que hemos manejado. Tal y\omo ya hemos explicado, la integral de Riemann está definida únicamente para funciones f : [a, b] ------+ lR cuyo dominio es un intervalo acotado (con extremos finitos a y b) en el cual están acotadas, es decir, hay un valor mínimo m y un valor máximo M de modo que m :S f(x) :S M para todo punto x de su dominio. La idea es que f(x) representa una magnitud marginal (un beneficio marginal, un coste marginal, una utilidad marginal, etc.) y a partir de ella queremos calcular el valor acumulado en el intervalo [a, b]. Que f(x) sea la magnitud marginal correspondiente significa que, para incrementos pequeños de la variable ~x el producto f(x)~x representa aproximadamente el valor acumulado correspondiente al intervalo [x, x + ~x], y la aproximación es mejor cuanto menor es el incremento. Para calcular el valor acumulado exacto, en lugar de considerar "incrementos infinitesimales" ; lo cual no tiene un significado preciso, partimos el intervalo [a, b] en una cantidad finita de subintervalos: p

= {a = XO < Xl < X2 < · · · < Xn = b}

1

~

~

"--~

/

Para cada posible partición P, llamamos ~Xi = Xi - Xi-1 a la longitud del intervalo ~Xl ~X2 ~X3 i-ésimo de la partición y, para cada uno a= x 0 Xl de esos subintervalos, consideramos el valor mínimo mi y el valor máximo Mi que toma en él la función dada f. La figura muestra una partición de [a, b] en tres subintervalos y están destacados el valor mínimo m3 y el máximo M3 que toma f en el tercero de ellos.

222

13


De este modo, si en el subintervalo i-ésimo [xi-1, xi]la función marginal f(x) torna valores entre mi y Mi, podemos decir que el valor acumulado en dicho subintervalo estará comprendido entre9 rnitlxi y Mitlxi, luego el valor acumulado en todo el intervalo [a, b] estará comprendido entre las sumas n

s(P, f) =

L

n

rnitlxi

y

S(P, f) =

i=l

L

Mitl.Xi.

i=l

Estas sumas reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann de f para la partición P.

Para el ejemplo de la partición en tres subintervalos, la suma inferior de Riemann es m1tlx1

+ rn2tlx2 + rn3tlx;3,

que gráficamente se interpreta como el área sombreada en la figura de la izquierda (cada sumando es el producto de la base por la altura de uno de los rectángulos), que es menor que el área limitada por la gráfica de la función. Alternativamente, según hemos explicado, podemos pensar que la suma inferior es un valor menor que el valor acumulado en [a, b] que querernos calcular. Similarmente, la suma superior es M1tlx1

+ M2tlx2 + M3tl.x3,

que es la suma de las áreas de los tres rectángulos de la figura de la derecha, mayor que el área limitada por la gráfica de la función y, según hemos visto, también es un valor mayor que el valor acumulado que queremos calcular. Vemos que el área correspondiente a la suma inferior difiere bastante del área limitada por la gráfica de la función, que es la de la figura de la derecha, y lo mismo sucede con el área de la suma superior, que es bastante mayor. La clave es que esto se debe a que la partición que estamos considerado tiene pocos subintervalos y muy grandes. Si consideramos una partición con muchos subintervalos muy pequeños, el parecido entre la suma superior, la suma inferior y el área limitada por la gráfica es mucho mayor.

a

b

9 Por ejemplo, si nos dicen que el beneficio marginal de una empresa durante un periodo de tlt = :3 años ha oscilado entre un mínimo de m = 500 u.m.jaño y un máximo de M = 600 u.m./año, podernos decir que el beneficio acumulado en ese periodo será un valor comprendido entre m!lt = 1500 u.m. (que es el beneficio acumulado que se habría obtenido si el beneficio marginal hubiera sido siempre de !'íOO u.rn./aiio) y M ilt = 1800 u.m. (que es el beneficio acumulado que se habría obtenido si el beneficio marginal hubiera sido siempre de 600 u.m.jaño).

223

13.7 Apéndice: La definición de la integral de Riemann

La figura muestra una partición en 16 subintervalos con sus correspondientes sumas superiores e inferiores. El área correspondiente a la suma superior excede del área limitada por la gráfica de la función en lm; pequeíios trüingulos que sobresalen, mientras que lo que le falta a la suma inferior para llegar al área de la gráfica es el área de los pequeños triángulos que quedan por debajo de la gráfica. El caso es que ambas se parecen más que las anteriores al valor correcto del área y, lo que más importa aquí, ambas se parecen más entre sí.

-

,,

Esto nos lleva a que para definir la integral de f no necesitamos tomar "infinitos intervalos infinitesimales de longitud dx", sino estudiar qué sucede con las sumas superiores e inferiores cuando tomarnos particiones con cada vez más subintervalos de longitud menor D.xi. Concretamente, cuanto más intervalos tiene una partición, las sumas inferiores se hacen más grandes (se parecen cada vez más al área de la gráfica), por lo que podemos definir la integral inferior de f en [a, b] como el mayor número Técnicamente, la integral inferior es el supremo del conjunto de sumas inferiores de Riemann, es decir, el menor número que es mayor o igual que todas las sumas inferiores. Igualmente, la integral superior es el ínfimo del conjunto de las sumas superiores de Riemann, el mayor número que es menor o igual que todas ellas.

que puede alcam;arse corno límite mediante sumas inferiores para distintas particiones de [a, b]. Similarmente, cuanto más intervalos tiene una partición, las sumas superiores se hacen más pequeñas, por lo que definirnos la integral superior de f en [a, b] como el menor número

lf(x) dx que puede obtenerse corno límite con sumas superiores para distintas particiones de [a, b]. Lo que hemos visto es que

s(f P) ::; { '

~alor acurnul~do

area de la grafica

} ::; S(f P) ' '

cualquiera que sea la partición P, luego también se cumplirá que

1

f(x) dx::; {

~alor acurnul~do

area de la grafica

} ::;j-J(x) dx. a

En una función "usual" las sumas inferiores tienden a parecerse a la.<> sumas superiores a medida que tornamos particiones mayores, y eso se traduce en que la integral inferior coincide con la superior. Sin embargo, hay funciones "patológicas" en las que esto no sucede. Esto es precisamente lo que determina si una función es integrable:

La integral de Riernann

13

224

Una función acotada

f : [a, b]

------+

IR. es integrable Riemann si se cumple la igualdad

f

y en tal caso dicho valor se llama integral de Riemann de

en

[a, b].

Según sabemos, a la integral de Riemann así definida se la representa por

1b f(x) dx. b

La clave es que

SI

-b

una función extraña cumple que 1f(x) dx

< 1f(x) dx, no podemos

concluir nada sobre cuál es el valor exacto ni del área determinada por la gráfica ni del valor acumulado por la función vista como magnitud marginal. En cambio, cuando la función es integrable Riemann, lo que tenemos es que valor acumulado } ::; área de la gráfica

rab

J

f(:r) dx,

n

de donde podemos concluir que

rb

la

f(x) dx =

{

valor acumulado } área de la gráfica '

es decir, que la integral, así definida, es exactamente el valor acumulado por la función, o el área limitada por su gráfica, y no una mera aproximación.

14

La integral impropia

El concepto de integral de Riemann

¡b

f (x) dx tiene sentido para funciones acotadas f

definid&'>

en un intervalo acotado [a, b], es decir, para funciones que toman valores comprendidos entre un mínimo m y un máximo M para valores de la variable x que varían entre un mínimo a y un máximo b. Ahora vamos a ver que es posible extender el concepto de integral para permitir que el intervalo en el que se integra sea no acotado (es decir, un intervalo de la forma [a, +oo[ o ]-oo, b], o incluso ]-oo, +oo[ =IR) o bien que la función tome valores arbitrariamente grandes dentro del intervalo donde calculamos la integral. Las integrales en este contexto más general reciben el nombre de integrales impropias.

14.1

Integrales impropias de primera especie

Ejemplo la Consideremos, por ejemplo, la integral siguiente: ¡+oo e-3x dx

1.0

Jo

En principio,~sta integral "debería ser" el área sombreada en la figura, donde hay que tener presente que, aunque parezca lo contrario, la función f(x) = e- 3 x nunca llega a tocar el eje X. Por ejemplo, podemos 1.5 2.0 1.0 comprobar que f(2) = e- 6 = 0.00248 y, por más que avanzáramos en el eje X, nunca encontraríamos el valor O. Para x = 3 tenemos f(3) = 0.0001234 y para x = 10 nos encontramos con f(lü) = e- 30 = 0.000000000000093. Estos resultados están señalando que, como ya sabemos, lím e- 3 x =O. x->+oo

Esto hace que el área bajo la gráfica sea esencialmente la que se ve en la figura, en el sentido de que "la que falta", es decir, el área que queda bajo la gráfica entre 2 y +oo, sea insignificante y sea irrelevante tenerla en cuenta o no al calcular el área total, que es lo que estaremos calculando al calcular la integral dada. En general, las integrales de funciones sobre intervalos no acotados (como [0, +oo[ en nuestro ejemplo) se llaman integrales impropias de primera especie. La condición para que tenga sentido calcular una integral impropia de primera especie en un intervalo [a, +oo[ es que la función sea integrable Riemann en cada intervalo [a, t], con t >a, (como ocurre en nuestro caso, porque la función es continua), lo cual nos permite calcular las integrales

La integral impropia se define en este caso como

1

+oo

0

e- 3 x dx

=

lím

1t

e- 3 x dx

t->+oo 0

=

lím t->+oo

( 1 +-1) --e- 3t

3

3

1 3

Así pues, la idea es que, como "no sabemos" integrar una función desde O hasta +oo, "nos paramos antes" y calculamos la integral desde O hasta un punto arbitrario t, con lo que obtenemos

225

14

226


el área bajo la gráfica de la función en el intervalo [0, t], y luego, una vez hecha la integral, estudiamos cómo se comporta dicha área a medida que t aumenta. Si el resultado (el límite) es finito, es el valor de la integral. En nuestro ejemplo hemos visto que el área total determinada por la gráfica de la función es 1/3 = 0.333 ... , mientras que el área dibujada de hecho en la figura es

lo{2 e-3x dx = - 31 e -6 + "31 = 0.3325 ... Vemos que la diferencia (lo que no se ve en la gráfica) es menor que una milésima. En resumen: • Una integral impropia de primera especie es una integral de la forma

Jt)Q f(x) dx (o de la

forma f~oo f(x) dx), donde la función f(x) es integrable Riemann en cada intervalo [a, t] (o [t, b]). La integral se dice convergente si existe el límite lírn t--->+oo

rt f(x) dx

(o bien lím

la

lb

t--->-00 t

f(x) dx)

y en este caso, dicho límite es el valor de la integral. En caso contrario se dice que la integral es divergente y no tiene ningún valor asignado.

En la práctica, calcular una integral de este tipo supone dar cuatro pasos:

CD

Expresar la integral como un límite de una integral de Riemann.

@ Calcular la primitiva. @ Calcular la integral mediante la regla de Barrow. @ Calcular el límite.

Como ilustración vamos a volver a resolver el ejemplo anterior restringiéndonos a lo estrictamente imprescindible (sin más explicaciones):

Ejemplo lb

Estudia si la integral siguiente es convergente y, en caso afirmativo, calcula su valor: ¡+oo

lo

e-3x dx

SOLUCIÓN: Es una integral impropia de primera especie porque el intervalo de integración tiene un +oo. Por lo tanto planteamos:

l

0

+oo

e- 3x dx (D = lím

lt

t--->+oo 0

t

1 3. x] @ 1 3. t e- 3x dx @ = lím [ -;-e= lím ( -;-ct--->+oo 3 t--->+oo .~ 0

Aquí hemos usado que cuando t

-+

+oo tenernos que -3t

Vemos, pues, que la integral es convergente.

-+

-oo y c- 3 t

-+

O.

1 + ;-1 ) @) = ;-. .~

.3

14.1

Integrales impropias de primera especie

Ejemplo 2 tes:

227

Estudiamos a continuación si las integrales siguientes son convergentes o divergen¡+oo

2

x dx,

} 1

J,

+oo

1 -dx. X

1

Aunque no son necesarias para obtener la respuesta, conviene observar las gráficas de las dos funciones: 25

f(x) = 1/x 4

20

15

2

10

o

o

4

A la vista de la primera gráfica, es evidente que la primera integral es divergente, pues el área sombreada (no sólo la que se ve en la figura, sino su prolongación cuando x tiende a infinito) es claramente infinita. Podemos comprobarlo calculando la integral: ¡+oo x 2 dx [> lím ¡t x 2 dx } 1 t-->+oo} 1

~

lím [ x ] t ~ lím ( t t-->+oo 3 1 t-->+oo 3 3

3 -

~) ~ +oo. 3

Ahora bien, podríamos haber llegado a la misma conclusión sin necesidad de calcular la integral (pero también sin necesidad de ver la gráfica). Basta observar que lím x 2 = +oo, x-->+oo y tener en cuenta lo siguiente:

Para que una integral impropia 1+oo f(x) dx sario que

lím f(x) x-->+oo

(o bien ¡boo f(x) dx)

sea convergente es nece-

= O (o, en el segundo caso, que lím f(x) = 0). Si esto no sucede, la x-->-oo

integral es necesariamente divergente. Así pues, como el límite del integrando (x 2 ) no es igual a cero, podemos concluir directamente que la integral es divergente. Para la segunda integral tenemos que ' 1 llm -=o, x-->+oo X pero ahora es fundamental tener en cuenta lo siguiente: Si el integrando de una integral impropia ¡+oo f(x) dx

(o bien ¡boo f(x) dx)

cumple que

lím f(x) =O (o, en el segundo caso, que lím f(x) =O) no podemos asegurar por ello x-->+oo x-->-oo que la integral sea convergente.

228

14


En nuestro caso, para saberlo calculamos:

J,

+oo

1

- dx X

1

CD

= lím

t-->+oo

J,t -1 dx CD= 1 X

lím [ln lxiJi

t-->+oo

® =

lím ln ltl -O

t-->+oo

® = +oo.

Así pues, aunque el área sombreada en la figura podría parecer finita, acabamos de comprobar que no lo es.

14.2

Integrales impropias de segunda especie

Ejemplo 3

4

Consideremos ahora la integral

La figura muestra la gráfica del integrando. La integral "debería" ser el área sombreada, pero ahora observamos que, en principio, no tenemos definida esta integral, porque el integrando no es una función acotada en el intervalo [O, 1]. Esto es lo que se llama una integral impropia de segunda especie.

f(:¡;)

1

=-

Vi

No necesitamos la figura para advertir que la integral es impropia. Basta darse cuenta de que el integrando tiene un denominador que vale O cuando x = O (y lo que importa es que O está en el intervalo de la integral, no necesariamente en un extremo). El planteamiento para calcularla es esencialmente el mismo que hemos empleado para las integrales impropias de primera especie: como "no sabemos" integrar desde O hasta 1, porque la función tiende a infinito en O, calculamos la integral desde un t > O hasta 1 y luego estudiarnos qué le sucede al resultado cuando t -+ o+:

¡

1

0

1

r,:;: dx

VX

CD =

lírn

11

t-->O+

1

r,:;: dx

t

VX

® ® = lím [2VXJ~ = lím (2Vl- 2/t) = 2.

@

t -+0 t

t-->O-t

Vemos, pues, que la integral es convergente, y el área sombreada es de 2 unidades. En resumen:

.r:

• Una integral impropia de segunda especie es una integral de la forma f(x) d:1:, donde f(x) es una función integrable Riemann en todo intervalo de la forma [t, b], con a< t < b (o bien en todo intervalo [a, t], para a< t < b). La integral se dice conver:qente si existe el límite lím t-->a-+

¡b

¡

t

f(x) dx

(o bien lím t-->b-

t

f(x) d:r:)

a

y en este caso, dicho límite es el valor de la integral. En caso contrario se dice q1w la integral es divergente y no tiene ningún valor asignado.

14.3

Integrales impropias generales

• En general, diremos que una integral

¡b

f(x) dx (donde a o b pueden ser finitos o infinitos)

es impropia si se puede descomponer en suma de integrales en subintervalos de modo que

14.3 Integrales impropias generales

229

cada una de ellas sea impropia de primera o de segunda especie. En tal caso, la integral completa será convergente cuando todos los sumandos lo sean, y el valor de la integral será la suma de los valores de las integrales en que la hemos descompuesto. Pero basta con que una de las integrales sea divergente para que la integral completa también lo sea.

Ejemplo 4

Calcula la integral

J

+oo 5

-oo

V

1 -~ 1":""3 e dx. x~

SOLUCIÓN: La integral es impropia en -oo y en +oo, y en la figura se ve ~demás que es impropia en O. Esto último se puede ver también sin necesidad de la figura, observando que

,

hm

x-->0

1

s¡-;¡_

y ::¡;3

e

-~

= oo.

El esquema siguiente resume la situación:

o

-1

-oo

1

+oo

Por lo tanto, partimos la integral de esta forma:

J

+oo

-oo

1

5 1"'>. 3

v :r:

e

-Vx"2

dx =

J-i -oo

1

5 ~3 e

-~

vx

dx+

Jo

1

5 1"'>. 3

-1 V

x

e

-~

dx

1

1 5¡-;;¡+oo 1 5¡-;;- - e - vx2 dx+ - - e - vx2 dx .o~ 1 ~ Para no calcular cuatro veces la misma integral conviene calcular aparte la integral indefinida:

+

i

Conviene hacerse un esquema como éste, en el que hemos representado el intervalo de integración (en nuestro caso ]-oo, +oo[) y hemos marcado (con puntos negros) los puntos donde la integral es impropia. Necesitamos partir el intervalo en subintervalos de modo que en cada uno de ellos la integral sea impropia sólo en uno de sus extremos. Por ello no serviría partir la integral de la forma

¡

+oo

(Aplicamos la regla de la exponencial con

2 -3/5 2 f 1 (x) = --x = ---.) 5~

5

Ahora calculamos las cuatro integrales por separado:

J

1

-i

5 1"'>. 3

-oo V

\!::) (i)\

=

lím t-->-00

[

x

e

- ~

¡-1

CD ,

dx = hm

t-->-oo

t)

52~ -1 0\

2

t

r: --e{1x2 ]

=

lím t-->-00

(

t

1

5~ e V x3

- ~

dx

1

5 ~e 3

_V;¡:2

dx. o Si lo hiciéramos así, cada integral sería impropia en los dos extremos de su intervalo. Para evitar esto introducimos dos nuevos puntos (el - 1 y el 1) marcados en blanco en el esquema, para separar los puntos conflictivos. Hemos elegido el -1 y el 1 por simplicidad, pero no importa cuáles tomemos: el resultado final será el mismo.

vx

i) 52 ) ® 5 -1 r: 5 ?ft2 1 +-e--e=--e 2 2 2

Aquí hemos usado que cuando 5(;'i" y e- ve· --+O.

t--+

-oo tenemos que t 2 --+ +oo,

W--+

+oo,

-W--+

-oo

230

14


Consideramos ahora la segunda integral:

o -1- e - Vx2d x

J

_1 ~

CD =

l'1m

t-+o-

Jt

5 -1- e - Vx2d x @ = l'1m [ --e

_1 ~

2

t__,o-

@ 5 -lft2 +-e 5 = l'1m ( --e t-+o2 2

-1)

@ 5 5 =--+-e 2 2

Vx2] t

_1

-1

La tercera es:

1 1 o

1 e -Vx2dx CD = l'1m

- 5

~

t-+O+

11 t

5 -5 -1 e -Vx2dx @ = l'1m [ --e ~ t--->0+ 2

-Vx2]

1

t

Y la cuarta:

El valor O de la integral total podía esperarse a la vista de la gráfica de la página anterior, porque es claro que el área negativa de la parte izquierda es igual al área positiva de la parte derecha, por lo que la suma de amba.'l tiene que ser cero.

¡

+oo

1

No obstante, no podríamos haber afirmado esto con seguridad sólo viendo la gráfica, porque también podría haber ocurrido que tanto el área positiva como la negativa fueran infinitas, y entonces la integral habría sido divergente.

1

~e v5 x 3

- Vx"2

dx

Q)

~t

'

= hm

t-->+oo

1

~e v5 x 3

1

- éfx2

dx

Como las cuatro integrales han resultado convergentes, la integral completa es convergente y su valor es

J+oo 1 _ Vx"2 5 _ 1 5 5 -1 5 _ 1 5 5 ¡ .__ _ _ _ _ _ _ _ _ ___. -oo ~e dx = - e - + c - e + + e- =O.

2

¡:

2 2

2

2 2

00

Ejemplo 5

Calcula la integral

SOLUCIÓN (INCORRECTA):

J

oo x 3 dx

_ 00

SOLUCIÓN:

= lím

x 3 dx.

La integral es convergente, pues

Jt x

t-->+oo -t

3

dx

= lím [x t-->+oo

t4

4

4

] t

-t

t4

lím - - t-++oo 4 4

= lím O = O. t-->+oo

Como es impropia en -oo y en +oo, hay que partirla: -CX)

+oo 3 x dx J -oo

=

Jo

x 3 dx

-oo

o

+oo

+ 1+oo x 3 dx. O

Pero cualquiera de las dos integrales de primera especie es divergente, porque el integrando no tiende a O en infinito:

Por lo tanto, la integral del enunciado es divergente.

14.3 Integrales impropias generales

231

5

Ejemplo 6

Calcula la integral {

--;.

lo x

dx.

En realidad la integral es divergente. Para evitar este tipo de errores es recomendable eliminar los exponentes negativos o fraccionarios tras integrar (y también tras derivar) y sustituirlos por fracciones o raíces. En este caso:

SOLUCIÓN (INCORRECTA):

5----;;-1 d:r =

& 1

O X''

=

lím

[5 x-

5

dx

t-+O+ . t

-4

t-+O+

/c4) = - - - =

5-4 lím ( - - t->O+ -4 -4

[ -4] 5

= lím ~

5-4

o-4

-4

-4

-0.0004-0

t

= -0.0004.

Ejemplo 7 Una empresa estudia lanzar una campaña publicitaria que incluye un sorteo por el que los consumidores de sus productos pueden ganar un sueldo de 1 000€ mensuales durante un número de años a determinar. Para ello entra en negociaciones con un banco que se ofrece a hacerse cargo del pago del premio a cambio de un único pago inicial. Concretamente, para cada pago de 1 000 dt € en el instante t (en meses), el banco pide a la empresa una aportación inicial de dC = 1 000(1.00643)-t dt€. a) Calcula el capital que tendría que desembolsar la empresa para asegurar el sueldo durante 40 años (480 meses). b) Calcula el capital que tendría que desembolsar la empresa para asegurar un sueldo perpetuo de dicho importe.

1 lím - --4 = -oo. 4t

t-+O+

En este problema suponemos que el pago del sueldo se efectúa de forma continua, es decir, que el ganador no recibe un pago de 1 000 € cada primero de mes, sino que cobra una fracción infinitesimal 1 000 dt € de dicho sueldo en cada instante infinitesimal dt. Como la empresa paga por anticipado, no necesita pagar justo esta cantidad, sino que puede pagar un poco menos, a saber, la cantidad dC dada por el enunciado, lo que, según la matemática financiera, se interpreta como que el banco le aplica a la empresa un factor de descuento i12 = 0.643% (equivalente a un 8% anual).

SOLUCIÓN: a) El capital que deberá abonar la empresa para garantizar el sueldo durante 480 meses es la suma de los capitales dC que debe aportar al inicio para garantizar el pago en cada instante t desde t t = 480, es decir: 480

C( 480) = {

lo

= 1000

1 000(1.00643)-t dt

= O hasta

480 1 ) (1.00643)-t] 1n 1.00643 0

= 1000 [ ( -

Cn(1.~~643) (1.00643)-480 + ln(1.010643)) = 148825€.

b) Para que el banco pague el sueldo a perpetuidad la empresa deberá aportar un capital

C00

=

1

+oo

1 000(1.00643)-t dt = lím

O

T-++oo

=T =

Este resultado se interpreta, más

1 000(1.00643)-t dt en general, como la cantidad que

O

~r¡_l00 1 000 [ ln ( 1.~~643 ) (l. 00643)- t] ~

lím 1000 ( 7'-++oo

1T

1 (1.00643)-T ln(1.00643)

+

1 ) ln(l.00643)

1000 ) = 156020.46€. ln 1.00643 (

hay que ingresar en un banco a un interés constante para que al ir sacando los intereses (sin tocar el capital) obtengamos una renta de 1 000€ /mes. Notemos que la diferencia entre oo y 40 años no es mucha (unos 7 000 € ) . Por eso a veces es más sencillo (y razonable) trabajar con intervalos infinitos sin especificar un tiempo final en concreto.

14

232


Problemas resueltos

14.4

l. Calcula

¡1

a)

_ 00

¡13

X

--ln- 3 (x 2 X +2

-

2

+ 2) dx

2-x dx yl(3-x)(x- 1)

d)

¡3

g)

2

-6~ 3

¡74 4 dx -7 ~3x-6

b)

¡+oo 3e-Sx sene- 5 x dx

8 dx 5 -oo ~2x10

!)

¡+oo

52-x dx -oo 52-x- 1

i)

¡10 ¡3

e)

h)

dx

e)

o

4 ¡4

2

~dx 5x-:{

-oo 1- 5X- 3

d:r.

SoLUCIÓN: a) Calculamos primero la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla 2x de la potencia con f(x) = ln(x 2 + 2) y f'(x) = - 2- - . Falta un 2: X +2

J-

Como ya hemos señalado, cuando al resolver una integral quedan exponentes negativos o fraccionarios, como en este caso, que queda un exponente -2, es conveniente expresarlos de nuevo como fracciones o raíces, especialmente si después hay que hacer operaciones como sustituir o calcular límites.

¡

2

+ 2) dx = ~ 2

J

2

2

-2

2 x ln- 3 (;¡; 2 +2

X2

= ~ln- (x +2) +C= _

1 4ln2 (x 2 + 2)

1 ++ 1

--;-

x

+2

3

ln- (x

2

+ 2) dx

+e

Como el denominador x 2 + 2 no se anula en ningún punto, la integral sólo es impropia en -oo.

1

_ 00

ln- 3 (x 2

x

X 2 +2

+ 2) dx =

lím t-+-oo t

1 4ln 3

= lím - - 2- + t-+-oo

x

3

2

2

ln- (x + 2) dx

1 4ln (t 2 +2)

= lím [t-+-oo

1 1 . ] 4ln 2 (x2 + 2) t

1 4ln 3

= - - 2- = -0.207,

2

donde hemos usado que t 2 + 2--+ +oo, luego ln(t 2 luego 4ln2 (t 2 + 2)--+ +oo, luego 41 n2(~ 2 + 2 )--+ O.

+ 2) --+ +oo, luego ln 2 (t 2 + 2) --+ +oo,

b) Calculamos primero la integral indefinida:

J

4 3

{Y3x- 6

dx

=

Aplicamos la regla de la potencia con f(x)

=

~3

J

3(3x- 6)- 113 dx

La integral es impropia en x

J

4(3x- 6)-l/.'3 dx

= 3x- 6 y f'(x) = 3. Sobra el 4 y falta un 3:

6

13

= ~3 (3x? +e= 2{/(3x- 6) 2 +e 2/3 <

= 2, por lo que tenemos que partirla:

-7

2

74

•

14.4

Problemas resueltos

233

¡74

4 3

{13x- 6

-7

1. 2

-7

dx =

4 • dx = lím 3 {13x6 t_.2-

¡2

4 3

{13x- 6

-7

Jt

-7

dx

+

174 2

4 3

{13x- 6

dx.

4 dx = lím [2{1(3x- 6) 2 3 {13x6 t_.2-

]t

-7

= lím 2{/(3t- 6)2- 2{/(-27) 2 =O -18 = -18. t_.2-

74 { 2

}?

4 dx = lím ( {'l'3x - 6 t_.2+

4

74 4 dx = lím [2{1(3x- 6) 2 ] {13x - 6 t_.2+ t

lt

3

= lím 2V2J:62- 2{/(3t- 6) 2 = 72- O= 72. t--42+

Corno las dos partes son convergentes, la integral completa es convergente y vale

¡

4

74 3

{13x- 6

-7

dx = -18 + 72 = 54.

e) Calculamos primero la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla del seno con f(x) = e- 5x y f'(x) = e- 5x( -5). Sobra el 3 y falta un -5:

J

3e- 5 x sene- 5 x dx =

-~

5

J

1

+oo 3c- 5x sene- 5x dx =

o

lím t--4+00

=

-~(- cos e- 5x) + C

-5e- 5 x sene- 5 x dx =

1t o

5

3e- 5 x sene- 5 x dx =

=

~ cose- 5x +C. 5

[3

lím t--4+00

- cose- 5 x ]t 5 o

, 3 -5t 3 3 3 hm -cose - - cos 1 = - - - cos 1 = 0.276, 5 5 5 5

t--4+00

donde hemos usado que -5t

----+

-oo, luego e- 5 t

----+

O, luego cos c- 5 t

----+

cosO = l.

d) Calcularnos primero la integral indefinida, para lo que aplicarnos la regla de la potencia con j (X) = (3 - X) (X - 1)

Falta un 2.

=

~

J

J

j' (X) = - (X - 1) + (3 - X) = -X + 1 + 3 - X = 4 - 2x = 2 ( 2 - X).

y

2

dx - x y/(3- x)(x- 1)

= ¡(2- x)((3- x)(x- 1))- 1 / 2 dx

2(2- x)((3- x)(x- 1))- 11 2 dx =

~ (( 3 -

x){¡ 2

1

112

))

= y/(3- x)(x- 1).

El denominador de la integral vale cero en x = 1 y x = 3, luego la integral es impropia en ambos puntos y hay que partirla, por ejemplo en 2:

1

2

3

14

234

!,

2- x dx = J(3- x)(x- 1)

3

1

!,

2

2

=

t--->1 +

1 2

1

2-

X

------r;===;=:;====;=

J(3- x)(x- 1)

t-->1+

t--->3-

lt

J (3 -

2) (2 - 1) -

1t

dx = lím t--->3-

J (3 -

= lím

2

- x dx J(3- x)(x- 1)

lím {

J (3 -

= lím

3

2- x dx + J(3- x)(x- 1) 2

dx - x J(3- x)(x- 1)

1

!,2

2

2-

X

J (3 -

2- x dx J(3- x)(:r- 1)

1

=

lím [J(3- :r)(:r -1)]

t

t--->1+

dx = lím

[

J(3- ::r:)(x- 1) ] t

t-->3-

2) ( 2 - 1)

2

= O- 1 =

-l.

Como las dos partes son convergentes, la integral completa también lo es, y vale

!,

3

2-

X

J(3- x)(x- 1) dx = 1- 1 =O.

1

e) La integral es impropia en -oo y en x

00

Jo _ 00

5

10

8 dx = Jo 8 dx + {5 8 d::r: + to 8 d::r:. ~2x - 10 -oo ~2x- 10 Jo ~2x - 10 ./5 ~2:r - 10

w J_

= 5, por lo que hemos de partirla: O

-oo

8 dx ~2x - 10 5

lím

=

t--->-oo

1o

8(2x- 10)- 115 dx

[

t--->-00

lím 4

=

t

2

4 5

4/5] o =

1°

"

2(2::r:- 10)-l/ü d::r:

t

t--+-oo

= lím 4 ( x-/O)

lím [5\1(2x-10)1] t--->-00

t

0

t

lím 5\l(i0)4- 5\1(2t- 10) 1 = -oo,

=

t--->-00

donde hemos usado que 2t- 10----+ -oo, (2t- 10) 4 ----+ +oo, {1(2t- 10) 4 ----+ +oo. Como una parte es divergente, la integral completa también lo es.

f) Vemos que es impropia en 4 y en +oo, por lo que la partimos en dos trmos:

4

1

+oo

4

15 4

2

~x-4 3

2 x-4

5

~dx=

dx

=

lím t--+4+

15 t

15 4

2 x-4

2

t) (t - 1) = 1 - O = l.

J(3- x)(x- 1)

t) (t - 1) -

!,2


+oo

~dx+

1+oo

5

2(x- 4)- 113 dx = lím 2 t--+4+

2

~dx

4

15 t

.

(x- 4)- 113 dx

14.4

Problemas resueltos

235

23 5 5 = lím [2(x-/:) / ] = lím [3\l(x-4) 2] = lím 3-3{/(t-4) 2 =3 2 3

t--+4 t

~ d;¡; =

¡+oo }5

/

t--+4 +

t

t--+4 +

t

¡t 2(x- 4)- 113 dx =

lím

lím [3\l(x- 4) 2] t

t--++oo } 5

=

t--++oo

5

lím 3{/(t- 4) 2 - 1 = +oo.

t--++oo

Corno la segunda parte es divergente, la integral dada en el enunciado también lo es. g) Es impropia en 2, por lo que la partirnos en dos trozos:

-6

¡3 -6

¡

2

3 {/X - 2

2

2

-6

¡2

dx=

~ dx = lím

¡t

t--+2-

-6

t--+2-

3~ 2 dx =

1 2

2 3 {/X - 2

-6

dx+

13

2 dx 3 2 {/X - 2

2(x- 2)- 113 dx = lím

2

(x _ 2?/3] / 2 3

t -6

= lím 3{/(t- 2) 2 -12 = -12; t--+2-

-6

¡3 2(x- 2)- 13 dx = lím 1

t--+2+

[

t--+2-

]t

= lím [3\l(x- 2) 2

3

2

t

3 [ (x _ 2)2/3] lím 2 / 2 3

t--+2+

t

3

= lím [3\l(x- 2) 2] = lím 3- 3{/(t- 2)2 = 3. t--+2+

Por consiguiente:

¡:

t

t--+2-

~dx = -12+3 =

-9.

h) Calculamos primero la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla del logaritmo con J(x) = 52 - x - 1 y f'(x) = 52 -x ln5( -1). 52 -x 1 ----;:-----dx = - 2 5 -x- 1 ln5

J

¡-

ln 5 52 -x 1 dx = - - l n 15 2-x -11 +e 2 5 -x- 1 ln5

El denominador de la integral se anula en x = 2, por lo que es impropia en -oo y en 2. Por consiguiente, tenemos que partirla:

o

-(X)

¡ J 3

-oo

o

_

5 2-x

---,----- dx = 52-x - 1

00

5

252-x -x -

1

JO

52-x

-oo 52-x -

dx = lím t--+-oo

1

dx

{o 252-x

}t 5

-x -

3

2

+ 1

¡2

52-x

O 52-x -

1

dx

+

13 2

52-x 52-x -

1

dx.

dx = lím [- _11 ln 152-x - 11] o t--+-oo n5 t

1 1 lím - --lnl5 2 - 11- ( - --lnl5 2- t - 11) = +oo, ln 5 ln 5 pues 2- t ---+ +oo, 52-t ---+ +oo, 15 2-t - 11 ---+ +oo, ln 15 2-t - 11 ---+ +oo. Por lo tanto, la integral diverge. =

t--+ -oo


14

236

i) Calculamos primero la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla del logaritmo con f(x) = 1- 5x- 3 y f'(x) = -5x- 3 ln5. 1 5x- 3 =-1 - 5x- 3 ln 5

J

¡

1 -ln5 5x- 3 x-3 dx=--ln 1-5 1 - 5x-3 ln 5 1 1+

= 3, por lo que es impropia en -oo y en 3.

El denominador de la integral se anula en x Por consiguiente, tenemos que partirla:

o

-()()

¡4 ¡o -oo

5x-3 1 - 5x-3 dx -

-OO

=

5x-3 1 - 5X- 3

-------=- dx

¡o -oo

=

3

5x-3 1 - 5x-3 dx

lím

lo t

t-->-00

e

+

4

¡3

5x-3 1 o - 5x-3 dx

5x-3 dx 1 - 5x- 3

=

[

lím t-->-00

' 1 ln 11 - 5t-3 1) hm - -1l n 11 - 5 -3 1- ( - ln 5 ln 5

t-->-oo

¡4 1 5x-3r:x-3 d.L. n

+

3

-

,)

1 . ]O - - l n 11- 5x- 3 1 ln 5 t

1 ln 11 = -ln 5

5 -3 1,

pues t- 3 _____, -oo, 5t- 3 _____,O, 11- 5t- 3 l _____, 1, lnl1- 5t- 3 l _____,O.

r

lo

_5_x_-_3--;:-3 dx 1 - 5x-

=

=

lím t-->3-

¡t 5x-3 3 dx = lím lo 1 - 5xt-->3-

[- _1_ ln 11 - 5x-31] t ln 5 0

1 1 lím - --ln 11- 5t- 31- ( - --ln 11- 5- 31) t-->3- ln 5 ln 5

=

+oo,

pues t- 3 _____, O, 5t- 3 _____, 1, 11 - 5t- 3 l _____, O, ln 11 - 5t- 3 l -----t -oo. Por lo tanto, la integral es divergente. 2. Calcula:

¡

5

3

3x --dx x2-

4

Calculamos en primer lugar la integral indefinida. Para ello aplicarnos la regla del logaritmo con f(x) = x 2 - 4 y f'(x) = 2x. Sobra el 3 y falta un 2:

J

3x 3 - dx = x2 - 4 2

¡

2x

x

Como el denominador sólo se anula en x segunda sí, y hay que partirla:

o

3 2

- dx = -ln 2

4

-

lx2 - 41 +C.

= 2 la primera integral no es impropia, pero la

2

4

14.5


5

1 3

5

0

¡ 0

Una solución incorrecta sería la siguiente:

_3:r dx, _ [ :_lni:I: 3 2 3 3 -4I ] =-ln21--ln5=2.15 :r 2 -4 2 2 2 3

¡ 2

237

1

3x dx :r-2

~

=

¡ ¡t 0

3x - - - dx = lírn ;¡; 2 - 2 t--->2-

0

2

3x- dx + - 2x-2

4

2

3x

-2 x-2

41-

~2 ln4 =

-oo

& 14 x23~

dx.

3x- dx = lírn [ -ln 3 lx 2 - 2X - 2 t--->2- 2

~ ln lt 2 t--->2- 2

= lírn

1-

-

41 ]

t

3 [ -2 In

41 ]

4

o

=

=

3 In 12 - -3 In 4 2 2

-

= 1.648.

O

También sería un error grave no haber puesto el valor absoluto y decir que la integral es divergente porque In( -4) no existe.

'

pues lt 2 - 41 -+ O, luego ln lt 2 - 41 -+ -oo. Concluirnos que la integral es divergente, porque lo es una de sus partes.

14.5

lx 2 -

2 dx


l. Un empresario compra una nueva máquina para su fábrica de la que espera obtener un rendimiento de 1 000€ /mes. No obstante, el desgaste de la máquina hace que este rendimiento marginal no se mantenga constante, sino que vaya disminuyendo según la función Rrn(t) = 1000 e-O.lt € /mes, donde t es el tiempo en meses a contar desde el momento de compra. La figura muestra su gráfica.

1000

400 200 12

24

48

36

60

72

(a) ¿A partir de qué instante t se hace O el rendimiento marginal de la máquina? (b) Calcula el rendimiento acumulado R(t) = hasta un tiempo t.

¡t

Rrn(t) dt por la máquina desde

t

O

o

(e) Calcula el rendimiento acumulado al cabo de 5, 6, 10 y 20 años. Interpreta económicamente los resultados. Interpreta geométricamente los dos primeros.

¡+oo

(d) Calcula Jo

Rrn(t) dt. Interpreta el resultado.

238


14

= J?j_, con lo que el coste medio es

2. La función de costes de una empresa es C(q)

C(q) 1 Cmed(q) = - - = - . q JCj

Cmed(q)

(a) ¿Es el coste medio integrable Riemann en el intervalo [0, 4]? (b) ¿Tiene sentido (matemáticamente) calcular su valor medio

1 4

Cmed(q) dq 4-0

JL= en dicho intervalo?

(e) Comprueba que

1 4

Cmed(q) dq = 4 u.m.

Interpreta geométricamente este resultado. (d) Concluye que el valor medio es 11 =l. Interpreta geométricamente este resultado.

3. Estudia si las integrales siguientes son convergentes o divergentes y, en caso de que sean convergentes, calcula su valor.

J,+oo -dx 1 1 x2 J+oo -oo x dx 3

¡2

-oo

1

if;r=1 dx

11 - -1 d x

j_ooo x3 dx

15 0

- -1 d x 1- X

1- X

0

3

¡

-2 X

11 Vxd;¡; 2 O

6x- 3

2

-X-

d 2

X

X

1+oo o ;¡;14 d:J;

1+oo e-2x dx o 1 + e-2x

J

+oo ex d:r

-00

+oo -6d;¡; 2 . -oo

f

X

4. Calcula la integral 1+f(x) dx, donde

f(x) - {Vx 1jx2

si x < 1, si x 2 l.

5. Estudia si las integrales en el intervalo [-5, 5] de las funciones del ejercicio 5 de la pág. 217 que no son integrables Riemann son convergentes o divergentes. 6. Calcula las integrales

¡

1

3 -élxdx

-1 X 2

'

+oo 2é/xdx. 5 J-oo X

14.5

239


7. Calcula

2

/

d:r !," 1 6- 2x

¡

-oov4-2x

110 x-,'l d .5 :r;2- 6x x ¡2 - X dx o ;¡;2- 1

¡1

7 (

-;-:3

_¡X

¡+= lo

1

dx

~x- 1

10

X

X !,5 dx 2 1 {/x - 4

¡1 ex --dx -1 1 -ex

J,+oo -e1 2 /x dx 1 x2

¡+oo xe1-xz dx

!,1

¡+= _.!._ e 1/xz d x -2 X 3

. -oo

3+2 X

5 !, X - 3 dx 1 x 2 - 6x

J,+oo -ln1 5x dx

6dx

)5 dx

5

1 1 ---dx X ln2 X ,

6x- 3 X 2 -X-

2

13

5

x-3 dx

_ 1 x 2 - 6x

3x dx {/(x2 - 4)5 ¡o 2e-2/x 1 dx

-1

X

¡+= ex ¡+= dx 5 l-oo (ex-1) dx lo (x-3) 4

¡+= ---::-;::;==1=::::;:=;:c e- Vx'=-5 dx lo {/(x- 5) 2

+oo 2-x ¡+oo - - - dx ¡ -oo 2-x- 1 -1

¡

dx

¡+oo o

e-3x ¡5 4x dx - - - dx V1- e-3x o x2- 4

8. Dada la función

2e3x

f(x) =

V4 + 5e 3 x

{

si x

< 1,

si x 2: 1,

1/x

calcula su integral en [O, 5] y en ]-oo, 0]. 9. Calcula la integral ¡+oo f(t) dt, donde 2 f(t) = { e-0.02t + v't si O :S: t < 10, si t 2: 10.

10. Un empresario realiza una inversión en maquinaria cuyo rendimiento marginal se estima en Rm (t) = 2 oooe-O.Olt € 1año, donde t es el tiempo en años. (a) Calcula el rendimiento medio del periodo [4, 10]. (b) Calcula el rendimiento máximo que puede dar la maquinaria, es decir, el rendimiento desde t = O hasta +oo. 11. Un producto se vende a un precio p = 2€, y su función de demanda es

D(p) = 50 0. p2

Calcula el excedente del consumidor

EC =

¡+= lP D(p) dp.

14

240


12. La oferta y la demanda de un artículo vienen dadas por las funciones

S(p) = { 5p

2 -

Ü

125

S~ p 2: 5, p < 5,

D(p) = 37 ~00. p

Sl

(a) Comprueba que el precio de equilibrio es Po= 10€. (b) Calcula el excedente del productor y el excedente del consumidor:

¡

+oo

[Po

EP =Jo

S(p) dp,

EC =

Po

D(p)dp.

15

Variables aleatorias continuas

Mostraremos aquí una aplicación de la integral de Riemann y la integral impropia: los hechos básicos (en cuanto a cálculo matemático) relacionados con las variables aleatorias continuas.

15.1

Variables aleatorias y funciones de densidad

• Informalmente, una variable aleatoria X es una variable cuyo valor concreto en un momento dado a través de un "experimento" que depende del azar, una moneda, preguntarle la edad a una persona elegida al azar, etc. Así, no preguntarse cuál es el valor que toma la variable, sino únicamente cuál es la de que tome un valor dado cada vez que se realiza un experimento.

se determina como lanzar tiene sentido probabilidad

• Aquí nos vamos a ocupar únicamente de las variables aleatorias continuas, que son aquellas determinadas por lo que los economistas llamarían una función de "probabilidad marginal", pero que los estadísticos prefieren llamar una función de densidad f ( x), es decir, una función tal que la probabilidad de que la variable X tome un valor en un intervalo infinitesimal de longitud dx viene dada por dP = f(x) dx, de forma que la probabilidad de que la variable X tome un valor en un intervalo [a, b] es la "suma" de todas las probabilidades infinitesimales f ( x) dx, donde la "suma" es, naturalmente, la integral: P(a :S: X :S: b)

=lb

f(x) dx.

• Naturalmente, también tiene sentido preguntarse cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor :S: b, lo cual nos lleva a una integral impropia: P(X :S: b)

=

¡boo f(x) dx.

• Esta función F(x) = P(X :S: x) = f~oo f(x) dx se conoce como función de probabilidad acumulada asociada a la variable aleatoria.

Ejemplo 1 Los autobuses de una ciudad pasan por cada parada cada 5 minutos. Un hombre tiene que coger dos autobuses para llegar a su trabajo, y se puede probar que la variable aleatoria X que representa el tiempo total que tiene que esperar conjuntamente en las dos paradas viene determinada por la función de densidad X

f(x)

=

25 2 X --25 5

o

si O ::; x ::; 5, si 5 ::; x ::; 10, en otro caso.

a) Calcula la probabilidad de que la espera sea a lo sumo de 3 minutos. b) Calcula la probabilidad de que la espera sea de más de 3 minutos.

241

242

15

Variables aleatorias continua.'>

e) Calcula la probabilidad de que la espera sea de a lo sumo 8 minutos. d) Calcula la probabilidad de que la espera esté entre 3 y 8 minutos. e) Calcula la probabilidad de que la espera sea exactamente de 8 minutos.

f) Calcula la probabilidad de que la espera esté entre 15

y 20 minutos.

g) Calcula la probabilidad de que la espera esté entre -100 y 100 minutos.

En principio habría que plantear que

P(X

~ 3) =

¡

SOLUCIÓN:

3

P(X

= J(x) dx,

pero esta integral se descompone como

Una alternativa para el apartado e) sería haber calculado

P(X

> 8) =

l lO (2

d€~spués

[~~J:

5 dx =

;

=:o-

O= 0.18.

> 3) =

110

f (x) dx

3

=

15 X + ilO (2 - X) -

25

3

d.r

.

~ ,J

5

~

2o

dx,

pero una alternativa más sencilla es que la probabilidad de esperar más de 3 minutos es 1 menos la probabilidad de esperar menos de 3 minutos, es decir: P(X

e) P(X

~

> 3) = 1- P(X

8) =

18 o

f(x) dx

~

:3) = 1- 0.18 = 0.82.

15 -X

=

o 25

dx

+ ¡8

( ~2 X) dx ~

5

o)

25

- - -X) dx

8

y

1

~ 3) =

3

b) Podemos plantear P( X

La primera integral vale O porque J(x) vale O en J-oo, O], y la segunda es la que hemos calculado. En la práctica podemos restringirnos directamente a los intervalos en los que la función de densidad no es nula. Lo mismo vale para el apartado b).

a)

5

25

haber usado que

P(X ~ 8) = 1- P(X

= 0.92.

> 8).

d) P (3 Observa que el resultado del apartado e) es general: la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor concreto es siempre O. A su vez esto hace que P(X ~ 8) = P(X

< 8)

y, en general, a efectos de calcular probabilidades con variables aleatoria.-; continuas, no hay diferencia entre desigualdades estrictas y no estrictas.

=

~ X ~ 8) =

15

1 8

f (x) dx

¡8(5 2

x

25 dx +

:e

25

) dx = [:r:502]5: + [52:1: - :r502]8 3

2

5

2

25 9 (2•8 8 ) (2·5 5 ) = 50 - 50+ -5-- 50 - -5-- 50 = 0 ·74 ·

1 8

e) P( X = 8) =

f ( x) dx = O.

f)P(15~X~20)=

/,

20 f(x)dx= /,20 Odx=O.

15

15

15.1 !Variables aleatorias y funciones de densidad

g)P(-100:SX:S100)=

1100

15 X

f(x)dx=

-dx+

o 25

-100 5

= [ -x2] + [2x 5 50 o

243

- -x2] 50

110 (2- - -X) dx 5

5

25

10

= 0.5 5

o+ 2 -

1.5 = 1

• Observa que, puesto que el autobús del ejemplo anterior puede tardar un máximo de 10 minutos en total (un máximo de 5 minutos en cada parada), la probabilidad del apartado g) es en realidad la probabilidad de que el tiempo de espera sea uno cualquiera, por lo que podríamos haber predicho que dicha probabilidad tenía que ser igual a 1 (es un hecho seguro que el tiempo de espera será cierto valor entre -lOO y 100, luego la probabilidad de ese hecho tiene que ser igual a 1). En general: • Para que una función f(x) pueda ser la función de densidad de una variable aleatoria debe cumplir dos requisitos: a) f(:r) 2:: O para todo número real x. b)

j

+oo -oo

f(x) dx =l.

La primera condición está relacionada con que una probabilidad no puede tomar valores negativos, mientr&'> que la integral que aparece en la segunda es la probabilidad de que la variable X tome cualquier valor posible, y dicha probabilidad debe ser necesariamente l.

Ejemplo 2a El número de horas que dura una batería de calculadora solar recién cargada elegida al azar antes de necesitar de nuevo luz solar es una variable aleatoria cuya función de densidad es de la forma si 2 :::; x :::; 10, en otro caso. a) Calcula el valor de la constante k. b) Calcula la probabilidad de que una batería dure más de cuatro horas.

¡:

00

SoLUCIÓN:

a) Para calcular k usamos que

j

+oo

-oo

f(x)dx

= 110 3k

= k [Por lo tanto,

2

dx =k

X

j(x) dx =l. Calculamos:

110 x2

3

[ -2]

dx =k ~

10

2 2

2~2] ~o = k (- 2~0 + ~) = ~~ ·

3k 25 = 1, de donde k= 3· 25 10

b)P(X>4)=

1 4

10

25 [ - 1 ] =25 -253 dx=- (- 1 200 3x 3 2x 3 4 3

+

_1 ) =0.023. 2 43

15

244

15.2


Esperanzas y medianas

• La esperanza de una variable aleatoria es el valor al que tiende la media de los valores que toma cuando se repite muchas veces el experimento que la determina. Por ejemplo, la esperanza de una variable aleatoria que represente el peso de un recién nacido es aproximadamente el valor que resulta de pesar a un gran número de bebés y calcular la media de los pesos obtenidos. • La fórmula que permite calcular la esperanza de una variable aleatoria X a partir de la función de densidad es +oo E[X] = -oo xf(x) dx.

J

Ejemplo 2b

Calcula la esperanza de la variable aleatoria del ejemplo anterior. SOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que, según hemos calculado, la constante del enunciado del ejemplo anterior es k= 25/3,

Observa que, del mismo modo que cuando calculas una probabilidad el resultado te tiene que quedar entre O y 1, cuando calculas una esperanza el resultado tiene que estar dentro del intervalo de valores que puede tomar la variable con probabilidad no nula. Por ejemplo, en este caso el número de horas de duración de la batería puede variar entre 2 y 10, luego la esperanza tenía que estar entre estos extremos, como así ha sucedido. Lo mismo es válido para las medianas.

J

+oo xf(x) dx =

E[X] =

1

10

2

_ 00

= 235 [

-t] ~o=

25 1 dx =--;251 x3 3X ,3 2

235 ( _110

+ ~)

=

10

1 d:r 2 X

~3.33.

• La mediana de una variable aleatoria X es el valor m que hace que

P(X S m)= P(X 2m)= 0.5,

es decir, que resulta igual de probable que la variable tome un valor menor que m o un valor mayor que m.

Ejemplo 2c

Calcula la mediana de la variable aleatoria del ejemplo anterior.

SOLUCIÓN:

La mediana m debe cumplir

P(X S m)=

1 m

2

25 1

- -3 dx = 0.5. 3

X

Calculamos:

{m 25 _!_ dx = 25 [

J2

3 x3

·

3

1 ] m 25 ( 1 = 3 -2m2 2

- 2x 2

1)

+8

=

05 · ·

Ahora resolvemos la ecuación:

1 2m

1 8

---2 + - = 1 -2

m

3 -0.5 25

= 2 . 0.065 = 0.13

= 0.06 ::::}

::::}

m

2

1

1

2m

8

- - -2 = 0.06 - - = -0.065 1

=- =

0.13

7.69

::::} m =

V'f.69 = 2. 77.

15.3

245

Problemas resueltos

La figura muestra la función de densidad de los ejemplos precedentes junto con la esperanza y la mediana que hemos calculado. El área sombreada corresponde a una probabilidad de 0.5, al igual que el área en blanco que queda a continuación hasta ::r; = 10.

15.3

l.O

0.8

0.6

0.4

0.2

Problemas resueltos

l. La función de densidad de una variable aleatoria es de la forma f(x)

2

()

= { ~x2

2.7 3.3

4

6

si -1 < x < 1, en otro caso.

(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula P(X

< 0).

(e) Calcula la esperanza E[X]. SOLUCIÓN: a) Se debe cumplir que

¡+oo {1 2 J~oo f(x) dx = ./~ kx dx =l.

1

Calculamos la integral:

Jt~

1

2

kx dx =

1x dx = k [x3

¡t k J~

Por lo tanto:

2k =

-

b) P(X

< O) =

3

¡

+oo

~oo

1

==}

¡

]

~

1

= k

3

3 0

~1

xf(x) dx =

3

¡1

~1

(13 - ~1) = 32k ·

k = - = 1.5. 2

o 1.5x 2 dx = [ 1 5x ·-]

e) E[X] =

1

3

2

1.5x 3 dx =

~1

-1- · 5 = 0.5. = O- -

3

1

[1- 5x4] 15 15 ·= - · - - · =O. 4 ~l 4 4

2. La función de densidad de una variable aleatoria X es de la forma

f ( x) = { kx O (a) Calcula el valor de k. (b) Calcula P(X

> 0.5).

(e) Calcula la esperanza E[X].

si O < x < 1, en otro caso.

10

15

246


SOLUCIÓN: a) Se debe cumplir que

J

+oo

f(x)dx =

-oo

11

kxdx =l.

O

Calculamos la integral:

1 1

1

x dx = k [

Por lo tanto:

~] 2

1

kx dx = k

k

- = 2

:

=k(

~-

k 2

O)

1::::} k= 2.

b) 1

P(X > 0.5) = { 2xdx =

lo.s

[x 2 J~.s = 1-0.52 = 0.75.

e) 1

E[X] =¡+oc xj(x) dx = {

Jo

-oo

2x 2 dx

=

3

[ ~3 ] =~-O=~. 3 3 2

1

0

3. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es si x 2': 10 si x < 10 (a) Calcula k. (b) Calcula la mediana de X. SoLUCIÓN: a) Se debe cumplir que

Observa que la integral es impropia de primera especie, pero no de segunda especie, porque el denominador sólo se anula en el punto x = -5/2, que no está dentro del intervalo de integración.

J

+oo ],+oo 1 f(x)dx =k ( . -oo 10 2x +

ry rl:J; =l.

,)

Calculamos:

],

+oo (2x + 5)- 3 dx

= lím

t->+oo

10

= lím

],t (2x + 5)10

~[(2x+5)-2]t

t->+oo 2

,

-2

1(

10

1

=

3

dx = lím ~ t->+oo 2

],t 2(2x + 5)-

3

d:r

10

lím ~[1 ]t t->+oo 2 2(2x + 5)2 10

1)

1

= t_l!~oo 2 - 2(2t + 5) 2 + 1250 = 2 500' . donde usamos que s1 t ~ +oo entonces 2t + 5 ~ +oo, (2t + 5? ~ +oo y ,

As1 pues, k

1

2 500

=

1, con lo que k

= 2 500.

( 2 2t

1

+5

) 2 ~ O.

15.3

Problemas resueltos

247

b) La mediana m debe cumplir:

¡m -oo

J(x) dx

=

¡m (

2500

2x + 5

10

)3 dx = 0.5.

Calculamos:

{m } 10

2 500 dx = 2 500 [1 ]m= _ 2 500 + 2 500 3 2 2 (2x + 5) 2 2(2x + 5) 10 4(2m + 5) 2 500 ·

Ahora tenemos que resolver la ecuación 2500 4(2m + 5)2 + 1 = 0.5

2500 ( 4 2m + 5)2 = 1 - 0.5 = 0.5

2500 (2m+ 5) 2 = - - = 1250 4. 0.5

=?

2m+ 5 = V1250 = 35.35

=?m= 35.35-5 = 15.18. 2 4. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es

j(x) = { k(3 O+ 2x)

si 5 :'S X :'S 10, en otro caso.

(a) Calcula k. (b) Calcula la esperanza E[X]. (e) Calcula la mediana de X.

{10

SoLUCIÓN: a) Se tiene que cumplir que }

{10

k(3 + 2x) dx =k }

5

Calculamos

{10 } 5

10

(3+2x)dx= [3x+x 2] 5 =130-40=90.

Por lo tanto k90 = 1 y k= 1/90. 10

b) E[X] =

1 5

(3 + 2x) dx =l. 5

3 +2x dx = 1 x90 90

1

10

5

2 3 1 [3x (3x + 2x 2) dx = +2x- ] 90 2 3

10

5

1

= 90 (816.66- 120.83) = 7.73.

. 1m

3+2x - dx = 0.5. Calculamos 5 90 {m 3 + 2x 1 m 3m + m 2 - 40 }5 -----gQ dx = 90 [3x + x2] 5 = 90 .

e) La mediana m tiene que cumphr que

Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación 3m + m 2 - 40 = _ 3m + m 2 - 40 = 45 05 90

m 2 +3m- 85 =O

- -3 ± y'349 - { 7.84 =? m 2 -10.84 Como sabemos que la mediana tiene que estar en el intervalo [5, 10], tiene que ser m= 7.84.

15

248

15.4



l. Supón que la función de densidad de probabilidad de la nota X que vas a sacar en Matemáticas I es 0.25

o f(x)

=

x-1 24 9-x -8

o

si x < 1,

0.2

si 1 :S x < 7,

0.15

si 7 :S x :S 9,

0.1

si 9 < x.

0.05 2

4

6

8

10

(a) Calcula tu probabilidad de suspender, tu probabilidad de aprobar y tu probabilidad de sacar un notable. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que saques exactamente un 8?

(e) Calcula tu probabilidad de sacar una nota cualquiera entre -oo y +oo. (d) Calcula tu nota esperada. (e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar más de 9?, ¿puedes poner un ejemplo de circunstancias en las que se diera este caso? 2. La variable aleatoria X mide la duración en años de una bombilla halógena. Su función de densidad es O.le-O.lx si x 2': O, J(x) = { en otro caso. o

(a) Comprueba que f(x) cumple lo necesario para ser una función de densidad de probabilidad. (b) ¿Le conviene al fabricante ofrecer una garantía de un año?

3. Sea X la edad de un alumno de clase escogido al azar, y supongamos que X es una variable aleatoria con esta función de densidad:

T

45-2x

J(x) =

{

si 18 :S x :S 22, en otro caso.

(a) Comprueba que la función f(x) es aceptable como función de densidad. (b) Calcula la edad media E[x] de los alumnos de la clase. (e) Calcula la mediana M de las edades de los alumnos de la clase, es decir, la edad M para la que P(X :S M) = 0.5. (d) Calcula la probabilidad de que un alumno tomado al azar tenga 18 años (y ten presente que una persona no tiene 18 años sólo el día de su cumpleaños, sino que tiene 18 años hasta que cumple 19 años). 4. Sea X una variable cuya función de densidad de probabilidad es la de la distribución normal: -x2j2 f( x ) = _1_ ~e . y27!"

Comprueba que la esperanza de X vale O.

15.4


249

5. Supón ahora que X es la nota que sacará en esta asignatura un alumno del grupo tomado al azar (no la nota de un alumno en concreto). No sería descabellado que la función de densidad de X fuera de la forma o. 3

f(x)

= {

k(5

~ x)2

0.25

si O S x S 10, en otro caso.

o. 2 o.15

(a) Calcula el valor de k para que J(x) sea ciertamente una función de densidad.

0.1 0.05

6

10

(b) Da una posible interpretación de la función f(x), suponiendo que aproximadamente la mitad de los alumnos del grupo no asiste a clase.

(e) Calcula la probabilidad de que X corresponda a un aprobado justo (no a un notable ni a un sobresaliente).

(d) Calcula la nota media esperada para el grupo. 6. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad sea de la forma

J(x) = { k(1

~ y'X)

si O S x S 4, en otro caso.

(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula P(2.1 S X S 3.5).

(e) Calcula la esperanza de X. 7. En las encuestas de evaluación del profesorado, los alumnos responden a varias preguntas sobre su profesor puntuándolas entre 1 y 5. Sea X la media de las respuestas de un alumno del grupo escogido al azar y supongamos que la función de densidad de probabilidad de X es de la forma si 1 S x S 5, en otro caso.

(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula la valoración media que los alumnos han hecho del profesor (la esperanza

E[x]).

(e) Calcula la probabilidad de que un alumno asigne al profesor una valoración mayor que 4. 8. Sea X la edad de una persona tomada al azar en una población dada. Supongamos que la densidad de probabilidad de X es

J(x) = {

0.025e-0.025x

o

si x 2': O, en otro caso.

(a) Comprueba que la función J(x) es realmente una función de densidad de probabilidad. (b) Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, su edad esté comprendida entre los 6 y los 14 años. (e) Calcula la edad a que cumple P(X S a)= 0.95. (d) Calcula la probabilidad de encontrarnos con una persona de más de 500 años.

15

250


9. Para preparar el partido de la próxima jornada de liga, el entrenador del equipo de fútbol A ha analizado todos los partidos en los que su equipo se ha enfrentado a su adversario B, y ha concluido que el tiempo (en minutos) que el equipo B tarda en meter el primer gol es una variable aleatoria con función de densidad de la forma

f(t) =

ke-0.3t {

si t ;:::: O, si t
o

(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula la probabilidad de que el equipo B meta el primer gol en los primeros 10 minutos de partido.

(e) ¿Debería estar preocupado el portero del equipo A? 10. La variable aleatoria X representa la temperatura mínima del día 1 de enero en cierta ciudad. Su función de densidad es -x 2 /18 f( x ) = _1_ ~e .

3y27r

Calcula la temperatura mínima esperada E[X] para el próximo 1 de enero. 11. La función de densidad de una variable aleatoria es

si O< x < 2, en otro caso. (a) Calcula el valor de k. (b) Calcula la esperanza de X.

(e) Calcula la mediana de X. 12. Calcula la mediana de una variable aleatoria cuya función de densidad es

6x+3

f(x) =

{

3~2

si 2

< x < 10,

en otro caso.

13. Supongamos que la nota X en esta asignatura de un alumno escogido al función de distribución si O S x S 10, en otro caso.

a~ar

tenga la

(a) Comprueba que fes una función de densidad de probabilidad y calcula el valor de k. (b) Calcula la esperanza E[X]. 14. La edad de los habitantes de una población es una variable aleatoria X cuya función de densidad es de la forma lel-x/30 si x 2: O, f(x) = { k o si x
(a) Calcula el valor de k. (b) Calcula la edad media de la población. (e) Calcula la edad t tal que Pr(X S t) = 0.95.

16

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales permiten determinar una función a partir de información sobre sus derivadas. Cuando la función que se quiere determinar tiene varias variables se habla de ecuaciones en derivadas parciales, mientras que en el caso de funciones de una variable se habla de ecuaciones diferenciales ordinarias. Aquí nos restringiremos a este segundo caso y, dentro de él, al caso en que la ecuación sólo interviene la primera derivada de la función. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones diferenciales (ordinarias) de primer orden. Aun en este caso concreto, no existe un único procedimiento general que permita resolver cualquier ecuación dada, sino que existen distintas técnic&'> aplicables a ecuaciones con distintas características. Aquí nos centraremos en una de ellas, la llamada de separación de variables.

16.1

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Ejemplo 1

Un inversor compró en t =O unas acciones por un valor de 2 000€ cuya rentabilidad durante los tres años siguientes ha venido dada por la función i 00

( ) t

= 3-

t

+ t sen e

0.041

::r-- - \ 0.01

i • ' • '

0.5 -0.01

f\ 1

\

100

Calcula el valor final de las acciones.

i 00 ( t)

1.0

' '

1.5

' • ' \

' '

'1

~ fs \__j

'

-0.02

Si C(t) es el valor de las acciones en cada instante t, es decir, el capital de que puede disponer el inversor en cada instante t vendiendo sus acciones, aquí llamamos "rentabilidad" a la derivada de C(t) en tanto por uno, es decir, . ~ 00

1 dC

=e di·

Teniendo esto en cuenta, lo que nos dice el enunciado es que en nuestro caso:

1 dC

e

dt

3- t

+ t sen t 2 100

Esto es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden: Una ecuación diferencial ordinaria de pnmer orden es una ecuación en la que aparece una función y(x) junto con la variable :z; y la derivada ~. Resolver la ecuación diferencial significa encontrar todas las funciones y(x) que satisfacen la ecuación.

En nuestro caso la función incógnita no se llama y( x) sino C(t). Por ejemplo, la función C(t) = t 2 no es solución de nuestra ecuación diferencial, pues si calculamos el miembro

251

Este concepto de rentabilidad, conocido como interés continuo, aunque es bastante natural (es el incremento de capital que produce cada unidad de capital invertida por unidad de tiempo) no es el usado de forma más habitual en la matemática financiera (el interés efectivo anual i¡ correspondiente a la ley de capitalización del interés compuesto), pero la relación entre ambos es muy simple: i= = ln(l + i1) (o, equivalentemente, i 1 = eioo - 1). Por ejemplo, la rentabilidad inicial de las acciones de este ejemplo era ioo(O) = 0.03, que corresponde a i¡ (O) = 0.03045. Si el dato de partida fuera i 1 en lugar de i= plantearíamos

y seguiríamos razonando como aquí, pero con esta fórmula.

3.0

252

16


izquierdo 1 de 1 2 - - = -2t=2 dt t t'

e

vemos que no coincide con el miembro derecho:

3- t

+ tsen t 2 100

El problema es encontrar una función e(t) para la que al calcular el miembro izquierdo con e(t) y su derivada se obtenga el miembro derecho.

A continuación vamos a ver un procedimiento para resolver ciertas ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones a las que este procedimiento es aplicable reciben el nombre de ecuaciones con variables separables. Existen muchas ecuaciones a las que este método no es aplicable, pero también existen muchos otros métodos alternativos que no vamos a tratar aquí. El procedimiento es el siguiente:

1) Separar las variables de la ecuación Es decir, hay que operar para que la función incógnita (en este caso la e) quede en un miembro y la variable dependiente (la t ) quede en el otro. Esto no siempre puede hacerse. Precisamente, una ecuación es de variables separables si se puede dar este paso. En nuestro caso es fácil separar las variables: 1 de

e

3- t

dt

2) Integrar ambos miembros

+ tsen(t 2 )

de

e

100

1 e 1 de _

La integral del miembro izquierdo es inmediata, mientras que en la del miembro derecho sacamos primero el 100 y luego la descomponemos en suma de la integral de un polinomio más otra inmediata por la regla del seno, con f(t) = t 2 y f' (t) = 2t. Al calcular la integral, llamamos K a la constante, en lugar de e, porque en este contexto e es la función e(t) que queremos calcular. Notemos que basta poner una constante de integración en uno de los miembros. Si pusiéramos dos constantes K 1 y K 2, una en cada miembro, podríamos agruparlas en una única K= K2- K t.

+ tsen t 2

3- t

3- t

+ t sen t 2 1oo dt

1dg

+ t sen t 2

1

3- t

dt

100

1OO

= lne

¡

1

dt = lOO . (3 - t

+ t sen t 2 ) dt

1 ~ 0 (1 (3- t) dt + 1 sen t

=

t

=

1

100

=

(

3t -

t

1

2 2 +2

1

2

dt)

2

2t sen t dt )

2

1 2) 2 - 2 cos t + K

1 ( 3t - t lOO

Por lo tanto: ln

e=

2

1 ( 3t - t 100 2

-

1

2 cos t

2) +

K

16.1


253

3) Despejar la función incógnita

En el apartado 3) deberíamos haber escrito

1 ( 3t-z-2cost ,2 1 2)

eTim

tK

• La solución: 1

=Ke

1 (3 22- 21 2)

Tim

t- t

cost

,

donde K' = eK es otra constante, pero no merece la pena ir cambiando los nombres de las constantes. En la práctica, conviene recordar que una constante arbitraria que suma en un exponente puede bajarse multiplicando a la potencia. 10

que hemos obtenido es lo que se llama la solución general de la ecuación diferencial. • La solución general de las ecuaciones que estamos considerando (ecuaciones ordinarias de primer orden) depende siempre de una constante arbitraria (K en este caso). En otras palabras, una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una para cada valor que demos a la constante que aparece en su solución general.

• Sin embargo, en muchos casos (en particular, prácticamente en todos aquellos en los que la ecuación tenga una interpretación económica concreta) se necesita seleccionar una solución particular de la ecuación, es decir, calcular un valor concreto para la constante K. • Esto se consigue a través de lo que se llama una condición inicial, que es el valor que toma la función incógnita para un valor concreto de la variable. En el caso del ejemplo sabemos que e(O) = 2 000, pues nos dicen que el capital invertido (el valor de las acciones en t = O) es de 2000€. Cuando tenemos una condición inicial, podemos completar como sigue el proceso de resolución:

4) Calcular la constante de integración Para ello usamos la condición inicial sustituyendo en la solución general t = o y e = 2 000: 2 000 = K e- 0 ·5

=}

K

=

2000 e_ 0 _5

e (O) =

2 000

= 3 297.44.

5) Sustituir la constante en la solución general ~ 1 t2) e= 3 297.44 e 1001 (3t-2-2 cos . 10

Esto está relacionado con el hecho de que al integrar

J i; de

hemos puesto In e en lugar de In ¡e¡.

hubiéramos puesto lo que en principio es correcto, habríamos llegado a que K

lflo

(3t-?-~ cm;t2)

¡e¡

= e

6 (at-~-! cost

1 0

2

)

+K

Si

, con lo

K

que e = ±e e . Ahora, si K es una constante arbitraria, entonces e es una constante positiva arbitraria, mientras que ±eK es una constante no nula arbitraria (positiva o negativa). Por lo tanto, llegarnos

.

.,

1 ~ 0 (3t-?-! cost2)

.

. ..

.

1gualrnente a que la soluc10n es e = K e , para una c1erta constante K que, en pnnc!p!O, tiene que ser no nula, pero si K = O, entonces e = O y es también solución de la ecuación diferencial, siempre y cuando no la escribamos con e en el denominador. Así pues, en la práctica podemos no poner el valor absoluto al integrar lje a condición de bajar la constante de integración del exponente y considerarla una constante arbitraria, no necesariamente positiva.

16

254


Con esto hemos obtenido la solución particular de la ecuación diferencial correspondiente al contexto del problema y con ello termina el proceso de resolución. No obstante, el problema no pide meramente resolver la ecuación diferencial (es decir, encontrar la función C(t)), sino que pregunta concretamente el valor final de las acciones al cabo de los tres años. La solución que hemos obtenido nos permite responder a esta pregunta:

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación diferencial

Es importante introducir la constante en el momento en que integramos, y no luego. Por ejemplo, si nos hubiéramos olvidado de la e habríamos llegado a

dy dx

e

y=~-3, y si luego nos damos cuenta de que falta la constante, sería un error poner

&

SOLUCIÓN:

1) Separamos variables (y+ 3) 3 dy = exdx. 2) Integramos ambos miembros

y=~-3+e.

Observa que al pasar el4 multiplicando habría que poner 4

(y+ 3) = 4ex

3) Despejamos la función incógnita

+ 4e, ::::}

pero si e es una constante arbitraria, 4e también es una constante arbitraria. En general, a una constante arbitraria no es necesario sumarle o multiplicarle ningún número, pues el resultado es otra constante arbitraria.

Resuelve la ecuación diferencial

y cos x dy Al separar las variables es imprescindible que las diferenciales queden multiplicando y no dividiendo. Por ejemplo, sería un error hacer

ycosxdy = -(y cosx senxdx

/.}\ 1

~

y=±~4ex+C-3.

Ésta es la solución general de la ecuación. Como no tenemos ninguna condición inicial, no podemos calcular ninguna solución particular.

e

Ejemplo 3

y+3=±~4cx+C

(y+3) 4 =4ex+C::::}

2

+ (y 2 + 1) sen x dx = SoLUCIÓN:

y2

+1

=?

ydy

COS X

senxdx = -

1

y

ycosxdy = -(y 2

+ 1)senxdx

J

3.

y- dy = y2 + 1

¡-

::::}

'IJ sen :r _ . _ dy = - - - d:J: 2 y +1 . cosx

::::}

2) Integramos

2

+1 ydy ·

=

1) Separamos variables

+ 1)senxdx

---

y(O)

O,

sen x dx ::::} -1 2

¡

COS X

1

2ln(y

2

+ 1) = ln

1

2y- dy = y2 + 1 cosxl

+e

¡-

sen x dx

COS X

16.1


255

3) Despejamos la función incógnita ln(y 2

+ 1) = 2lnlcosxl +C

y 2 =ecos 2 x -1

y=

::::}

No hemos puesto valor absoluto al logaritmo de la izquierda porque se iría luego al bajar la constante del exponente, pero, en principio, el de la derecha sí que lo requiere. Observemos la simplificación que podemos conseguir gracias a la relación e 1n A = A. Aquí no podíamos aplicarla directamente por el 2 situado entre el logaritmo y la exponencial, pero el 2 se podía sacar usando que e 2A = (eA) 2 . Por último, el valor absoluto de la derecha se va, porque

::::}

± J C cos 2 X

l.

-

4) Calculamos la constante C con la condición y(O) = 3:

:~=Jecos 2 0-l=ve-1

*

C-1=9

*C=lü.

5) Sustituimos la constante en la solución general y= V10cos 2 x- 1

Ejemplo 4

1) Separamos variables

J

3Vfjdy =

3Vfj dy =

J)x V: cos

1

r;;:

yX

V::

0

2

J

1 2

y 1 dy = 4

J4~ V: cos

Vx +e* 2 # =

3 / = 4sen 2 3 2

dx ::::}

4sen

Vx 2 +C.

3) Calculamos la constante usando la condición inicial y( 1r2 ) = 4:

y';2

2v'43 = 4 sen-2

+ e : : } 16 = 4 + e ::::} e =

(cosx)

2

= cos 2 x.

Vx + 12::::} 2

Vx

cos- dx

2

Si tenemos una condición inicial, excepto cuando la integral del miembro izquierdo sea de tipo logaritmo (en cuyo caso la constante bajará de la exponencial), el mejor momento para calcular la constante no es después de haber despejado la función incógnita, sino antes, pues la constante aparece sumando y es muy fácil despejarla. Esto supone adelantar al tercer lugar el cuarto paso del procedimiento que hemos explicado.

12 .

4) Sustituimos la constante en la solución general 5) Despejamos la función incógnita 2Vi)3 = 4sen

=

dx.

Para hacer la integral del miembro derecho usamos la regla del coseno con f(x) = y f'(x) = 4 }x, luego falta un 4: ::::} 3

2

1 Vx -cos-, JY 2

dx

2) Integramos

cosxl

El signo final de la raíz cuadrada tiene que ser positivo porque y(O) tiene que ser 3 y no -3.

Resuelve la siguiente ecuación diferencial:

dy 3v/X= SoLUCIÓN:

1

2Vif3 = 4sen

JY3 = 2sen Vx + 6::::} y 3 = 2

V::+ 12 2

(2sen

Vx + 6) 2

16

256

16.2


Problemas resueltos

l. Resuelve:

= VY

5 dy cos(x/2) dx A la hora de separar variables es irrelevante dejar las constantes como el 5 en un miembro o en otro, pero, como al final hay que llevar todo a la derecha, si lo pasamos al principio al miembro derecho tenemos ese paso adelantado.

=>

esen(x/2)

y(O) = 9.

'

SOLUCIÓN:

-dy = -1 cos -X esen(x/2) d x =>

.¡y

5

2

:=:;,

1/2

}!______

1/2

=

2

J

Y-1/2

+e

-esen(x/2)

¡ .¡y ¡ -dy = -1 5

2

d;~;

2

2 2JY = -esen(x/2) 5

5

2

dy = _2¡1_ COS _X esen(x/2) 5

=>

cos -X esen(x/2) d x

+e

Antes de despejar calculamos la constante:

2V§ = ~esen(0/2) 5

2 = 5.6. 5

+e

e= 6--

La solución particular es:

2JY = ~esen(x/2) 5

Y

:=:;, 2. Resuelve:

VY = ~esen(x/2) + 2.S

+ 5 .6

5

= ( ~esen(x/2) + 2.S)

(5y + 1)3 dy ( 3 - 1) dx - cos x ' 2x2

2

y(1) =o.

SOLUCIÓN:

(5y

+ 1) 3 dy = 2x 2 cos(;~; 3 - 1) dx

:=:>

J

+ 1) 3 dy =

(5y

(5y

J

2x 2 cos(;~; 3

+ 1) 4 20

=

2

3

- 1) dx

. sen(x 3 -1) +C.

Aplicamos la condición inicial:

1 20 =C. Sustituimos en la solución general:

( 5y

:=:>

+ 1) = ~ sen(x 3 4

1)

20

3

5y + 1 =

\)~O sen (x 3 =>

Y=

+ __!_

(5y

20

1)

+1

:=:>

51 y4/40 3 sen(x 3 -

+ 1) 4 =

5y =

1)

40

3

\)~O sen( x 3 1

+ 1- 5.

3

sen(x - 1)

1)

+1

+1-

1

16.2 ~~-

257

Problemas resueltos

Hemos invertido (en t =O) 2 000€ en unas acciones cuya rentabilidad anual ha venido dada por i 00 = 0.01 + 0.02t. Calcula en qué momento las acciones alcanzaron el valor de 2 210€. ¿Cuánto tendríamos que haber invertido para haber terminado en dicho instante con 3 000 €? SoLUCIÓN: La rentabilidad es la derivada del capital e(t) en tanto por uno, luego tenemos que 1 de e di = 0.01 + o.o2t.

dg = (0.01 + 0.02t) dt =?

ln e = 0.01t + 0.02

t2

2

+K

1dg 1 =

=?

(0.01

= 0.01t + 0.01 t 2 + K

+ 0.02t)

=?

e=

dt K e 0·01t+O.Ol t

2

Si hemos invertido 2 000€, tenemos la condición e(O) = 2 000, con lo que 2000 = Ke 0 =K

'

2 luego el capital en función del tiempo es e(t) = 2 000e0.ült+O.Olt . El instante t en que el capital p&'-la a ser de 2 210€ viene dado por la ecuación 2 210 = 2 OOOeO.Olt+O.Ol t2

=?

O.Olt + 0.01 t 2 = lnl.105 = 0.1

=?

=?

eO.Olt+O.Ol t2 = 1.105

t + t 2 = 10

=?

=?

t 2 + t- 10 =O

- -1±v'4I- { 2.7 2 -3.7

t-

Descartamos la solución negativa, luego obtendremos el capital indicado al cabo de 2. 7 anos. Para la segunda pregunta volvemos a la solución general: aplicamos la condición inicial e(2. 7) = 3 000, con lo que 3000 = KeO.Ol-2.7+0.01·(2.7)2 = KeO.l

=?

e

K eO.Olt+O.Ol t2 y ahora

K= 3e~~~ = 2714.51.

2 Por lo tanto e(t) = 2 714.51 e0·01t+O.Ol t y el capital inicial necesario es e(O) = 2 714.51. 4. La función e(q) representa el coste de producir q unidades de un artículo. Calcula el coste de producir 15 unidades de producto sabiendo que el coste fijo es de 10 u.m. y que cada unidad que aumenta la producción aumenta el coste en un porcentaje de qje 2 %. SOLUCIÓN: Nos dicen que qje 2 es la derivada en porcentaje de la función e(q), luego tenemos que lOO de e dq

__1_d ee d - 100 q q

16

258


El coste fijo es el coste cuando se producen O unidades, luego C(O) = 10. Esto nos da el valor de K: 10 2 = K K = 50, 2

*

luego 2 2

e

=

_!!____

lOO

2

1~0 + 100.

+ 100

El coste de producir 15 unidades es

15 2 100

e(15) =

+ 100 = 10.11 u.m.

5. Se estima que la elasticidad demanda D de un bien respecto de su precio p es

E=_ 0.001D_ p Si actualmente el precio es p = 0.30€ y la demanda es de 150 unidades de producto, calcula la demanda esperada si el precio subiera a 0.40€.

SOLUCIÓN: Según el enunciado: p dD

0.001D

D dp

p

Resolvemos la ecuación diferencial:

J

dD D2

¡1

= -0.001. P2

Sustituimos la condición inicial D(0.30)

1 _ o.o01 -150- 0.30

dp

*

= 150:

+

e

e= -o.01.

Por lo tanto

_ _!_ = 0.001 - 0.01 D

P

1

0.001 - 0.01p

D

p

0.01p - 0.001 p

D( )-

p P - 0.01p - 0.001

Por lo tanto, la demanda si el precio sube a 0.40€ es

D (0.40 )

0.4

= 0.01 . 0.4 _ 0.001 = 133.33 unidades de producto.

16.3

16.3


259


l. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

dy (a) -· = 2y, dx dy X (b) dx y'

(e) (1

dv + ex)y -· =ex,

y( O)= 1,

dx

+ (1 + x 2 ) dy =O, (1 + y 2 ) dx + :rydy =O,

(d) (1 +y 2 ) d:r

(e)

dy

(f) - senx dx

=

ycosx,

(g) xv'1- x 2 dx + y~dy =O, (h) ylnydx+xdy=O,

y(O)

= 1,

y(1)=e.

2. Sea p el precio de un bien, y supongamos que la oferta y la demanda vienen dadas por

S(p) = 2p,

D(p) = 100- 8p.

(a) Calcula el precio de equilibrio. (b) Supongamos que el precio p varía con el tiempo p = p(t) y que éste cumple la ecuación de Walras: p1 = k(D(p)- S(p)) con k> O. Interpreta económicamente esta condición. (e) Calcula p(t) si k= 0.5. (d) Comprueba que lím p(t) es el precio de equilibrio. t->+CXl

3. Sea D(p) la demanda de un artículo en función de su precio. Supongamos que cuando p = 1 la demanda es de 100 unidades de producto, así como que la elasticidad es constante E = -l. Calcula la demanda correspondiente a un precio p = 5 u.m. 4. Hemos invertido 1 000 € durante un año en unos fondos cuya rentabilidad ha resultado ser la dada por i= = 10 cos 27ft. Calcula el capital final que hemos obtenido. 5. Resuelve la..'> ecuaciones diferenciales siguientes:

y2 dy X (a) - - = e , x dx

dy (b) dx = xysenx,

(e)

dy

xsenx 2

dx

JY dy d:r

(d) xy- = 1

y(O)

=3

y(O)

=5

y(O)

=4

16

260

(e)

dy dx

y , x


y(2)=4

(f) ~ dy = ~ dx y dy 1+(y+1) 2 1 3 (g) (y+ )dx = 1+(x+1) 2 dy dx

(h) cos 2x -

dy dx dy (j) dx dy (k) dx (i)

= 6Vfj sen 2x

2x

y

VfJ x5

2x

eY' 2 dy (1) xe Y_= lnx dx '

y(1)

=o y(1)

=o

6. Un artículo se vende a un precio p = 4 € y su demanda actual es de lOO 000 unidades diarias. Determina qué demanda cabría esperar si el precio fuera de 5 € sabiendo que la elasticidad de la demanda es E= -p/10. 7. Un artículo se vende a un precio p = 2€ y su demanda actual es de 10000 unidades. Calcula la demanda correspondiente a un precio p = 3€ si la elasticidad es E= p~2- p. 8. La elasticidad de la demanda de un bien respecto de la renta de los consumidores es E (r) = -r ln r. Calcula la demanda correspondiente a una renta T = 2 u.m. si cuando la renta es de 1 u.m. la demanda es de 1 000 u. p. 9. La población actual de una ciudad es P = 1 000 000 habitantes, y evoluciona en el tiempo según la ecuación diferencial dP = ~JP. dt 2 Calcula la población que tendrá la ciudad dentro de dos años. 10. La población de cierto país aumenta proporcionalmente al número de habitantes. Si después de dos años la población se ha duplicado y después de tres aüos es de 20.000 habitantes, calcula la población inicial. 11. Invertimos un capital de 3 000€ a un interés continuo variable dado por Í 00 3 aüos. Calcula el capital final.

= O.Olt durante

12. Invertimos un capital de 1 000€ en una inversión que nos proporciona una rentabilidad Í 00 = 0.02t (a partir de t = 0). Calcula la función C(t) que da el capital en cada instante t. ¿Cuántos aüos han de pasar para lograr un capital de 2 000 €? 13. Se nos plantea la posibilidad de invertir un capital por un periodo de tres aüos. De entre las distintas expectativas sobre la rentabilidad de la inversión, la menos favorable pronostica que la evolución del interés será i 00 (t) = 5 + 16t- 3t 2 %. Determina el mínimo capital que debemos invertir para asegurarnos un capital final de 1000 €.

16.3


261

14. La oferta y la demanda de un bien dependen de su precio p, pero también varían con el tiempo t (dado en meses), de modo que

S (p) = (40 + 1Op) (t + 1),

D (p) = ( 100 - 20p) (t + 1).

Actualmente (en t =O) el precio es de p = 3€. Determina el precio que cabe esperar para dentro de un mes, para dentro dos meses y para dentro de tres meses si éste cumple la ecuación de Walras (cf. problema 2) con k= 0.02. Compara los resultados con el precio de equilibrio. 15. Un artículo se vende a un precio de p = 2€ y su demanda actual es de 200 u. p. Se estima que, para valores de p cercanos al actual, la elasticidad de la demanda es p- 4. Calcula la demanda que cabría esperar si el precio se incrementara en 0.5 €. 16. El beneficio marginal de una empresa es Bm(t) = B/100, donde tes el tiempo en años (y B el beneficio). Sabiendo que el año pasado el beneficio fue de 1 000 u.m., calcula el beneficio actual (en t =O) y el beneficio esperado para el año próximo. 17. Depositarnos un capital de 1000 u.m. durante 10 años a un interés continuo variable, que ha resultado ser i 00 (t) = 0.05 + O.Olt. Calcula el capital final. 18. Querernos invertir un capital durante un año (desde t = O hasta t = 1) y esperamos que la rentabilidad de la inversión sea i 00 = 0.07 + 0.06yt + 0.09t 2 . Calcula el capital que hemos de invertir si queremos asegurarnos un capital final de 3 450 €. 19. Una inversión durante un año (desde t =O hasta t = 1) ha proporcionado una rentabilidad i 00 = 0.04(t + 1). Calcula cuánto tendríamos que haber invertido para haber conseguido un capital final de 5 000 €. 20. La demanda actual de un producto es de 740u.p. y su elasticidad respecto de la renta de los consumidores es E( r) = r /1 000. Si la renta actual es de 2 000 u.m., calcula la demanda que cabe esperar si dicha renta aumenta en 100 u.m. 21. La población de una ciudad (en miles de habitantes) tiene una tasa de crecimiento anual de 2VPtcost miles de habitantes/año. Calcula la población esperada dentro de ocho años si la población actual (en t =O) es P = 100. 22. La variación con el tiempo de la demanda de un artículo (en porcentaje) viene dada por la función c-O.lt. Si la demanda actual (en t =O) es de 1000u.p., calcula la demanda prevista para dentro de un año. 23. La población de una ciudad crece a un ritmo de JP e0 ·lt habitantes/ año, donde P es la población en el instante t. Determina el número de habitantes en t = O sabiendo que en t = 10 la ciudad contaba con dos millones de habitantes. 24. Unos fondos de inversión han proporcionado durante un periodo de tres años [0, 3] una rentabilidad i 00 = t cos t 2 . Determina qué capital tendríamos que haber invertido para garantizar un capital final de 10 000 €.

16

262


25. La oferta y la demanda de un producto en función de su precio vienen dadas por

S(p) = 3p,

375 p

D(p) = ~·

(a) Calcula el precio de equilibrio po. (b) Aplica la ecuación de Walras (problema 2) con k= 1 para determinar la función p(t) que determina la evolución del precio del artículo con el paso del tiempo. (e) Calcula el precio que cabe esperar dentro de tres años si actualmente (en t precio es p = 10€.

= O) el

26. La oferta y la demanda de una empresa vienen dadas por

S(p) = P2- 4, p

5 p

D(p) = -.

(a) Calcula el precio de equilibrio po.

(b) Calcula el excedente del consumidor Jpo r+oo D(p) dp.

(e) Calcula la evolución del precio en función del tiempo resolviendo la ecuación de Walras (problema 2) con k= l. 27. La rentabilidad de unas acciones ha venido dada por i 00 (t)

= 0.15 sen(0.8t + 2).

(a) Plantea y resuelve la ecuación diferencial que determina el valor C(t) de las acciones en cada instante t.

(b) Determina la cantidad que deberíamos haber invertido en un capital de 1 000 € en t

=

t

= O para haber logrado

l.

(e) ¿Nos hubiera convenido mantener la inversión durante 3 años? 28. La rentabilidad de las acciones de una empresa durante un periodo de cuatro años O ~ t ha venido dada por t-5 ioo(t) = 0.2 t2- lOt- 11.

~

4

(a) Calcula la rentabilidad media de los dos primeros años. (b) Plantea y resuelve la ecuación diferencial que determina el valor C (t) de las acciones en cada instante t. (e) Si hemos comprado un paquete de 500 € de dichas acciones en t = 1, calcula su valor en t = 4.

17

Álgebra lineal y sistemas de ecuaciones

17.1

Matrices

• Si m, n 2:: 1 son números naturales, una matriz m X n de números reales es un conjunto A de rn · n números reales ordenados en m filas y n columnas. Al número que ocupa la fila i y la columna j se le representa por aij. Por lo que una matriz A se representa también por A = ( aij). Así pues, una matriz m x n es de la forma

Ejemplo 1

La matriz A es 3 x 3, mientras que B es 2 x 4:

~ ~1)' J2 -8

-1

1/2

• Las matrices con el mismo número de filas que de columnas se llaman cuadradas, mientras que las que no son cuadradas se llaman rectangulares. Por ejemplo, la matriz A del ejemplo anterior es cuadrada mientras que B es rectangular. • Los vectores de JRn son un caso particular de matrices. Por ejemplo, podemos ver a (2, 3, 5, 5) como un vector de IR 4 o como una matriz 1 x 4. Estas matrices que tienen una sola fila se llaman vectores fila. Igualmente, las matrices con una sola columna se llaman vectores columna. • La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los coeficientes a 11 , a22, ... Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si todos los coeficientes que no están en su diagonal principal son cero.

Ejemplo 2 La matriz A siguiente no es diagonal. Su diagonal principal está formada por los números en negrita. La matri:t: B, en cambio, sí que es diagonal:

Observa que una matriz diagonal puede tener también ceros dentro de su diagonal. Lo único que hace falta para que lo sea es que fuera de la diagonal todos los coeficientes sean ceros. Dentro puede haber ceros o no.

• Se define la matriz nula m x n como la matriz m x n cuyos coeficientes son todos O. La matriz identidad m x m es la matriz Im que tiene unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal. Por ejemplo:

h = (1),

263

264

17 Álgebra lineal y sistemas de ecuaciones • Debes ser capaz de realizar las operaciones siguientes con matrices:

Suma

Si A= (aij) y B

= (bij) son matrices mxn, entonces A+B = (aij+bij). Ejemplo: -2 ) 3

Producto por un escalar o: A = (o:aij). Ejemplo:

+

( -1 4

1 -2

o o

Si o: E IR y A

-3 ( 1 3 2 1

-2) ( -3-6 9

) ( ~ ~ -4) 3

.

(aij) es una matriz m x n, entonces

-2~).

-9 -3

Producto de matrices Si A= (aij) es m x n y B = (bij) es n x r, entonces AB es la matriz m x r que en la posición (i,j) tiene el número ailblj + · · · + ainbnj· Ejemplo:

En palabras: para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

( 1 3 -2 2 1 9

En cuanto al cálculo, por ejemplo, el 14 que aparece en la última matriz está en la segunda fila y en la primera columna, luego se obtiene de multiplicar toda la segunda fila de la primera matriz (2, 1, 9) por toda la primera columna de la segunda (2, 1, 1), y para multiplicarlas hacemos 2 · 2 + 1· 1 + 9 · 1 = 14.

-1

)(:

-1 1

= ( 2+3-2 -1-3-2 0+9+0)

n

4+1+9 -2-1 + 9 0+3+0

( 14 3

-6 9) 6 3 .

Trasposición Si A es una matriz m x n, se llama matriz traspuesta de A a la matriz n x m representada por At dada por a~j = aji, es decir, At es la matriz que resulta de cambiar filas por columnlli}. Ejemplo: - ( 1 3 2 1

A-

-2) A'~ 9 '

(

Jn

• Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir, si A= At. Por ejemplo, la matriz S es simétrica, pero T no lo es:

S= (

~

-~ ~). 4

3 17.2

o

Determinantes

• Cada matriz cuadrada A tiene asociado un número real llamado determinante de A, y que representaremos por IAI o det A. Como la definición teórica de determinante es complicada, será suficiente con que sepas cómo calcularlos en la práctica:

Matrices 1

X

1

Simplemente,

lal = a.

Ejemplo:

1-51 = -5.

17.2 Determinantes Matrices 2

X

2

265

La fórmula es 1

~ ~

1

= ad - be.

Ejemplo: 1 3 -1 1

Matrices 3

X

3

1

=4.

La fórmula es b de g h

a

e f

=aei+bfg+edh-eeg-afh-bdi.

Hay varias formas de recordar este desarrollo (conocido como regla de Sarrus). Una es la figura siguiente:

+ Esto significa que hay que multiplicar los grupos de tres números que en la figura aparecen en un triángulo o en una diagonal, sumando los resultados correspondientes al esquema de la izquierda y restando los correspondientes al esquema de la derecha. Ejemplo: 1 -1 3 1 2 1

-3

2

= 1.2

o

. o+ (-1) . 1 . ( -3)

+ 3 . 1 . 2 - 3 . 2 . ( -3) = o + 3 + 6 + 18 - 2 - o = 25.

1 . 1 . 2 - ( -1) . 1 . o

• Para dimensiones superiores conviene reducir el determinante a otros de menor tamaño mediante la regla siguiente:

Teorema

Si A es una matriz cuadrada n x n y 1 ::::; i ::::; n, se cumple que

IAI =

n

2::(-1)i+jaijAij, j=l

donde Aij es el determinante de la matriz que resulta de tachar la fila i y la columna j de A. Lo mismo es válido cambiando filas por columnas. 1

f-

- ::.. ¡ .;

17 Álgebra lineal y sistemas de ecuaciones

266

Por ejemplo, el determinante que acompaña al -1 es el que resulta de tachar la fila y la columna del 1 en el determinante original: 1

-1

2

-1

o

Ejemplo 3a Desarrollamos el determinante siguiente por la segunda fila:

3

3

1

2

1

Para determinar si hay que multiplicar por 1 o por -1 el sumando correspondiente lo más sencillo es pensar que el signo depende de la posición en la forma siguiente:

+ +

+

+

+

+

teniendo en cuenta que a la esquina superior izquierda siempre le corresponde un +.

2 -1

1 2 -1

o

o

2

:3

:~

2 1 1 1

1 -:3

-2

2 -1 3 3 -3 1 2 1 1

+0

1 -1 3 -1 -:~ 1 o 1 1

-1

1 2 3 -1 3 1 o 2 1

+2

1 2 -1 -1 3 -3 o 2 1

= -2 20- 1 o

o

(

-3) + 2 13 = -11 o

• A menudo es práctico manipular previamente los determinantes para hacer que tengan una fila o columna con todos los coeficientes nulos salvo uno, de modo que el desarrollo tiene un único sumando. Para ello nos basamos en la propiedad siguiente: Teorema Si a una fila o columna de un determinante le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía. Ejemplo 3b

Vamos a calcular de nuevo el determinante del ejemplo anterior:

1 2 -1 2 o 1 -1 3 -3 o 2 1

3 2 1 1

1

o o o

2 -1 3 -4 3 -4 4 5 -4 2 1 1

= +1

-4

3

-4 4 = -11. 5 -4 2

1

1

En el primer paso, a la segunda fila le hemos sumado la primera multiplicada por -2 y a la tercera le hemos sumado la primera multiplicada por l. Luego hemos desarrollado por la primera columna. Ejemplo 4

Calcula el determinante

4 2 6 8 3 1 2 1 -2 1 1 2 4 2 1 3 SOLUCIÓN (INCORRECTA):

4 2 6 8

&

3 1 2 1 -2 1 1 2 4 2 1 3

2 1 3 4 o 2 10 20 o 4 8 12 o o 5 5

=+2

2 10 20 4 8 12 o 5 5

= 320

17.3

Sistemas de ecuaciones lineales

267

Las operaciones realizadas han sido:

No se puede dividir una fila entre un número (salvo que pongamos dicho número multiplicando fuera del determinante). No se pueden multiplicar dos filas por números y sumarlas. Cuando modificamos una fila, podemos sumarle otra multiplicada por un número, pero la propia fila que cambiamos no puede multiplicarse por nada. Así, 3) está mal porque hemos multiplicado por 2 la fila que modificamos. En particular, se puede modificar una fila restándole otra, pero tiene que ser la otra la que se reste y no al revés, como se ha hecho (mal) en 4), donde la fila modificada la hemos multiplicado por -l.

& Dividir la primera fila entre 2. 2) & Multiplicar por 3 la primera fila, por -4 la segunda 1)

y sumar, y poner el resultado en la segunda fila.

& Multiplicar la tercera fila por 2 y sumarle la primera. 4) & Restar la primera fila menos la cuarta, y poner el

3)

resultado en la cuarta fila. Todas estas operaciones /'>on incorrectas. Tampoco sería válido cambiar el orden de dos filas. En realidad podemos intercambiar dos filas, pero a condición de multiplicar el determinante por -1. SOLUCIÓN (CORRECTA):

4 2 6 3 1 2 -2 1 1 4 2 1

8 1

-2 o 3 1

2 6 2 1

o

-3 1

-2

2 6

2

= +1 -5 -1 1 = 80 -5 o -1 1

3

-2

Las operaciones realiz;adas ahora han sido: 1) A la primera fila le hemos sumado la segunda multiplicada por -2. 2) A la tercera fila le hemos sumado la segunda multiplicada por -1.

-2 -3 1

Aquí hemos seguido un proceso sistemático consistente en elegir un pivote, es decir, un coeficiente no nulo cualquiera (preferentemente un 1 o un -1, en este caso el 1 de la posición a22) y usarlo para hacer ceros en toda su fila o su columna.

3) A la cuarta fila le hemos sumado la segunda multiplicada por -2.

17.3


• Aquí consideraremos las ecuaciones del tipo más simple posible: aquellas en las que las variables aparecen únicamente multiplicadas por escalares y sumadas. Ejemplo 5a

El sistema X+ 2y- Z = 3 } 2x- y+ 3z = 6 -x+y+4z = 3

es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Observemos que admite la expresión matricial 2 -1 1


268

• En general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas admite siempre la expresión matricial Axt = l}, donde A es una matriz m X n llamada matriz de coeficientes del sistema, b E ffi.m es el vector de términos independientes y x E ffi.n es el vector de incógnitas. • Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones podemos emplear el método de reducción de Gauss, consistente transformar el sistema teniendo en cuenta que si a una ecuación le sumamos otra multiplicada por un escalar, el sistema que resulta sigue teniendo las mismas soluciones, al igual que si multiplicamos o dividimos una ecuación por un escalar no nulo.

Ejemplo 5b

En el primer paso hemos sumado a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2 y a la tercera le hemos sumado la primera. En el segundo paso hemos dividido la segunda ecuación entre 5 y la tercera entre 3. En el tercer paso a la tercera ecuación le hemos sumado la segunda.

X+ 2y- Z = 3 2x- y+ 3z = 6 -x +y +4z = 3 Z

=3

-y+ z

=o

X+ 2y-

y+z=2

}~

2y- Z = 3 } -5y + 5z =O 3y + 3z = 6

X+

X+

::::} }

=?

2y- Z = 3 } -y+ z =o 2z = 2

Con esto hemos triangulado el sistema, es decir, hemos dejado la x sólo en la primera ecuación, la y sólo en las dos primeras ecuaciones y la z (sólo) en las tres primeras ecuaciones. Resolver un sistema triangulado es inmediato: 2 z=-=1 2 '

y= z

La solución es, pues, (x, y, z)

=

= 1,

X

= 3 - 2y +

Z

= 3 - 2 + 1 = 2.

(2, 1, 1).

Sistemas indeterminados En general un sistema de ecuaciones lineales no tiene por qué tener una única solución. El método de Gauss es aplicable también aunque haya más de una. Ejemplo 6 X+ 2y + Z = 4 2x+ y-z=2 7x + 8y + z = 16

}~

X+ 2y + Z = 4 y+z=2 y+z=2

}~

X+ 2y + Z = 4 } -3y- 3z = -6 -6y- 6z = -12 X+ 2y+ Z = 4 y+z=2

::::}

}

Ahora el sistema ha quedado triangulado, pero hay menos ecuaciones que incógnitas. En tal caso asignamos valores arbitrarios a todas las variables de la última ecuación excepto a una. Por ejemplo, hacemos z = ..\, donde ..\ E ffi. es un número real arbitrario. Al despejar queda:

z = ..\,

Y=2-..\ '

X

= 4- 2y-

Z

= 4- 2(2 - ..\) - ..\ = ..\.

Las soluciones del sistema son, pues, (x, y, z) = (..\, 2- ..\, ..\), para todo ..\ E ffi.. El hecho de que ..\ pueda tomar cualquier valor se expresa diciendo que ..\ es un parámetm. Como ..\

17.3


269

puede tomar infinitos valores, el sistema tiene infinitas soluciones. A veces podemos necesitar una solución particular del sistema. Para encontrarla basta elegir valores concretos para los parámetros de los que dependa la solución general. Por ejemplo, si hacemos A = 3 obtenemos la solución particular (x, y, z) = (3, -1, 3).

-8istemas incompatibles También puede suceder que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución. El método de Gauss nos permite reconocer si se da el caso: Ejemplo 7

+ 3z = +y - z = 4x + y + z = 2::r: - y ;¡;

2 } 1 ::::}

2x - y

+

3z 3y - 5z

6

3y - 5z

= = =

2 } O ::::} 2

2x - y

+

= = O=

3z 3y - 5z

2 } O 2

Corno la última ecuación es imposible, concluimos que el sistema no tiene solución. (En realidad esto se ve ya al comparar las dos últimas ecuaciones del sistema del centro.)

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Los casos anteriores agotan todas las posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: o bien tiene una única solución, y entonces se dice que es compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, que quedarán en función de uno o más parámetros, en cuyo caso se dice que es compatible indeterminado, o bien no tiene solución, en cuyo caso se dice que es incompatible. La regla de Cramer La regla de Cramer es otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes. El caso principal es el de un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas cuya matriz de coeficientes tiene determinante no nulo. Ejemplo 8 Z = y+ 3z = -x +y+ 4z = X+

2y-

2x-

3 } 6

3

Según la regla de Cramer,

X=

3

2

-1

6

-1

3

1

3 4

1

2

-1

2

-1 1

3 4

-1

-60 - 2. - -30-

El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema, mientras que el numerador resulta de sustituir en esta matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Si sustituimos los coeficientes de y obtenemos el valor de y:

y=

1 3 -1 2 6 3 4 -1 3 -30

-30 -1. - -30-


270

Igualmente:

1 2 3 2 -1 6

-1

z=

1 3

-30 -1 - -30-

-30

La solución es, por tanto, (x, y, z)

o

= (2, 1, 1).

Ejemplo 9 Si tenemos menos ecuaciones que incógnitas también podemos aplicar la regla de Cramer del modo siguiente: x + y - 2z + w = 4 } 2x + 2y + z + 2w = 3 Buscamos una submatriz 2 x 2 de la matriz de coeficientes con determinante no nulo. Vemos que el formado por las dos primeras columnas no sirve, pero el formado por la segunda y la tercera sí: 1

~ ~

1

=o,

1

~ -~

1

= 5"

Entonces dejamos la segunda y la tercera columna a la izquierda y pasamos las restantes a la derecha: y - 2z = 4 - x - w } 2y + z = 3 - 2x - 2w Las variables de la derecha las convertimos en parámetros: x las calculamos por la regla de Cramer:

y=

4- A- JL 3- 2A- 2¡L

-21

=

A, w

=

JL, y las de la izquierda

1

1

-'---.,--1-~---~-----;-----'- = 5(4- A- JL + 6- 4A- 4¡L) = 2- A -¡L, 1

z=

1

~

4- A- JL 3- 2A- 2¡L 5

1

1

= "5(3-2A-2JL-8+2A+2JL) =

-1.

La solución es (x, y, z, w) =(A, 2- A- JL, -1, JL), para todo A, JL E R

17.4

Matrices inversas

El cálculo de matrices inversas es una herramienta muy útil para trabajar con sistemas de ecuaciones lineales:

Definición Si A es una matriz cuadrada n x n, se llama matriz inversa de A a la matriz A - 1 de orden n x n que cumple AA- 1

=

A- 1 A= In, donde In es la matriz identidad n x n.

Es importante tener presente que no todas las matrices cuadradas tienen inversa, pero cuando existe, la matriz inversa es única, es decir, una misma matriz no puede tener dos matrices inversas distintas. Es fácil saber cuándo existe la matriz inversa:

17.4

Matrices inversas

Teorema

271

Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es diferente de O.

Para calcular la inversa de una matriz calculamos primero la llamada matriz adjunta: Definición La matTiz adjunta de una matriz cuadrada A es la matriz que tiene en la posición (i, j) el valor ( -1 )i+j multiplicado por el determ~nante de la matriz que resulta de tachar la fila i y la columna j de A. La representaremos por A. Teorema

Si una matriz cuadrada A tiene determinante no nulo, entonces

A Ejemplo 10

-1

1

-t

=TATA.

Vamos a calcular la matriz inversa de

3 -1 2 En primer lugar calculamos IAI = 2 (si hubiera dado O, no habría inversa). La matriz adjunta es

Por ejemplo, el determinante situado en la esquina superior izquierda (primera fila y primera columna) resulta de tachar la primera fila y la primera columna en la matriz dada. Los signos negativos se disponen en la forma

Sólo hay que recordar que en la esquina superior izquierda siempre va un +, y que al lado de un + siempre va un -, y viceversa.

Ahora calculamos la traspuesta:

y por último dividimos entre el determinante: 1

o -1 Podemos comprobar que el resultado es correcto multiplicando:

3 -1 2

~)(

-1

1

2

o

o

1/2

2

-1

-7/2

)

(

1 0

o o) =h. 1 01

o o


272

• La relación entre las matrices inversas y los sistemas de ecuaciones lineales se basa en el hecho de que, corno ya hemos indicado, todo sistema admite una expresión matricial de la forma

• Si el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (con lo que la matriz A es cuadrada) y !Al #O, entonces el sistema es compatible determinado, ya que podernos calcular su solución de la forma siguiente:

• En definitiva: si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales Axt = Ti es cuadrada y tiene determinante no nulo, entonces su solución viene dada por :rt = A- 1[/.

Ejemplo 11

Vamos a resolver rnatricialrnente el sistema de ecuaciones X+ 3y + Z = 2x- ~ + z =

2

5 } ~ .

Matricialrnente es

La matriz A tiene determinante no nulo. De hecho, hemos calculado su inversa en el ejemplo anterior. Por lo tanto, la solución es -1

o 2

La solución es, pues, (x, y, z)

17.5

=

1

o -1

(14, 4, -21).

Sistemas de ecuaciones arbitrarias

No existe ningún método general para resolver sistemas de ecuaciones arbitrarias (no necesariamente lineales). Una técnica que a menudo resulta conveniente es despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en todas las demás, con lo que pasamos a tener una ecuación menos y una incógnita menos. Repetirnos el proceso hasta llegar a una única ecuación con una única incógnita.

Ejemplo 12

Resuelve el sistema de ecuaciones xyz

z

=6} = 3

~ ~

;

.\

X

xy

+ 2x- z

=1

,,

17.5 Sistemas de ecuaciones arbitrarias

SOLUCIÓN:

Despejamos z

273

= 3x en la segunda ecuación y sustituimos en las otras:

_x_,y=- 3-~-2x_y_=-~-} _x_y"--~-2-~-=-~-} ==?

z

Ahora despejamos y =

xt

1

= 3x

= 3x

z

en la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

x(x

+ 1)

x:1

-2

y

}

z = 3x Ahora ya podemos resolver la primera ecuación: x 2

+x -

2

= O, cuyas soluciones son

x=-l±Vf+8={ 1, 2

-2.

Para cada valor de x, calculamos los valores correspondientes de y, z. Las soluciones son:

(x, y, z) = (1, 2, 3), Ejemplo 13

(-2,1/2, -6).

Resuelve el sistema de ecuaciones !

l t

Despejamos x = 3- y en la tercera ecuación y sustituimos en las otras (en este caso, sólo en la primera): SoLUCIÓN:

=4z

=

X

De la segunda ecuación obtenemos y= mos dos casos:

y'10- y+ y = 4z y =Z J:; =3-y Caso 1

Sustituimos y

}

y

±z, por

z2

=3-y lo que tene-

= 4z = -z

y'10- y+ y y

=3-y

X

}

}

Nota que en la segunda ecuación tomamos raíces cuadradas, pero entonces el resultado no es y = z, sino y = ±z. Cuando al resolver un sistema nos encontramos con dos alternativas, tenemos que distinguir dos casos independientes, que aquí tratamos como Caso 1 y Caso 2.

= z en la primera ecuación y nos queda \1'10- z

+ z = 4z.

Para resolver una ecuación con una raíz despejamos la raíz y luego elevamos al cuadrado:

\1'10- z = 3z

10- z = 9z 2

==?

9z 2

+z -

10 = O

=}

z

=

1, { -10/9,


274

Cuando se eliminan raíces elevando al cuadrado, puede ocurrir que aparezcan nuevas soluciones que no corresponden a las ecuaciones originales, por lo que hay que comprobar si los puntos obtenidos las verifican. En realidad, podíamos haber descartado la solución con z negativa porque la ecuación z = 3z implica que z debe ser :;:> O.

viO -

con lo que las soluciones (de este caso) son

(x,y,z) = (2,1,1),

(37/9,-10/9,-10/9).

En este caso, el segundo punto no cumple la primera ecuación, luego sólo hemos encontrado la solución (x, y, z) = (2, 1, 1). Sustituimos y = -z en la primera ecuación y nos

Caso 2 queda

)10 + z - z = 4z 10 + z = 25z 2

=?

)10 + z = 5z

=? =?

25z 2

-

z - 10 = O

de donde obtenemos z = 0.6528 y z = -0.6128, lo que nos lleva a los puntos

(x, y, z) = (3.6528, -0.6528, 0.6528),

(2.3872, 0.6128, -0.6128).

Como antes, debemos descartar el segundo punto, mientras que se comprueba que el primero cumple las tres ecuaciones originales. En total, pues, hemos encontrado la-; soluciones:

(x, y, z) = (2, 1, 1),

Ejemplo 14

(3.6528, -0.6528, 0.6528)

Resuelve el sistema de ecuaciones

Cuando tenemos ecuaciones como las dos últimas, en las que un producto está igualado a O, es má.<; cómodo empezar por éstas descomponiendo cada una de ellas igualando a cero cada factor. Esto nos lleva a formar casos según cuál de las ecuaciones se cumple del primer grupo, cuál de las del segundo grupo, etc. En este ejemplo aparecen cuatro casos.

-2x-). -4- 2).- 1/ =0 >.(2-x-2y) =0 vy =0

=o}

SOLUCIÓN:

.\=0 .\(2- X - 2y) = 0::::} { 2- X - 2y = 0

Esto nos da cuatro posibilidades, según cuál de las dos opciones se verifica en cada caso:

Caso 1 Se cumplen las ecuaciones ). en total tenernos: -2x-). -2x -4- 2.\- 1/ =0} -4 =0} =0 =0 ::::} ). =0 1/

=0

v=O vy =O=? { y=O

=

O y v = O, con lo que

no hay solución (pues 4

i-

0).

1/

Caso 2 Se cumplen las ecuaciones ). = O e y = O, con lo que en total tenernos:

~o}

-2x-). -4- 2.\- 1/ =0 ). =0 y =0

~o}

-2x -4-1/ =0 ::::} ). =0 y =0

=0 1/ = -4 ::::} ). =0 } => (x, y,>., v) y =0 X

~

(0, O, O, -4)

17.6

Problemas resueltos

275

Caso 3 Se cumplen las ecuaciones 2 - x - 2y = O y v = O, con lo que en total tenernos:

}~

-2x- A =0 -4- 2A- V =0 2- ;¡;- 2y =0 V =0

}~

;¡;+2y =2 ;¡; =1 =? A = -2 V =0

}~

-2x- A =0 2A = -4 x+2y =2 V =0 1 + 2y

=2 X =1 A = -2 V =0

}~

-2x- A =0 x+2y =2 A = -2 V =0

}~

-2x+2 =0 x+2y =2 A = -2 V =0

}

~05}

y X

A

=1 = _

=?

2

(x, y, A, v) = (1, 0.5, -2, O)

=0

V

Caso 4 Se cumplen las ecuaciones 2 - x - 2y = O e y = O, con lo que en total tenernos: -2:E- A -4 - 2A - V 2 - ;¡; - 2y y -2A=?

=O } -2x- A = 0 =? - 2A - V = 0 2- X =0 y

=4 A = -4 ;¡; =2 y =0 V

}~

=O } -2x- A = 4 =? - 2A - V = 0 X =0 y

8-v =4 A = -4 X

y

=2 =0

}~

=O } = 4 =? = 2 =0

=4 A = -4 } X =2 y =0

V

~

-

-4- A =O } 2A - V = 4 X = 2 y =0

(x,y,>.,v)

~

(2,0,-4,4)

En total hemos obtenido tres soluciones:

(x, y, A, v) = (0, O, O, -4), (1, 0.5, -2, 0), (2, O, -4, 4). 17.6

Problemas resueltos

l. Multiplica cuando sea posible:

a)

e)

(~ (

i)"

e: ;) o o

2 3 1 -1 o 1

) ( -~ ~ )

-i ~ )(~ :)

b)

(

d)

( -

~

ne~ ~ :)

SOLUCIÓN:

i

Los productos a) y e) no pueden efectuarse, porque en a) la primera matriz es 2 x 2 y la segunda :3 x 2, y en e) la primera matriz es 2 x 3 y la segunda 2 x 2, de modo que el número de columnas de la primera matriz no coincide con el número de filas de la segunda.

~ ~ (~ ~)=

-1 (

1 )

o)

~ ~

( -3

(

-1 1 ) ( 2 3 1 ) = ( -3 -3 -1 o 1 1 2 o 3

~)


276

2. Multiplica las matrices siguientes en el orden adecuado para que el producto sea una matriz 4 x 4 y calcula el determinante de la matriz resultante:

(

(-! D

-2 1 1 3 ) 1 1 -1 1 '

SOLUCIÓN:

El producto de una matriz 2 x 4 por otra 4 x 2 es una matriz 2 x 2, luego para que el resultado sea 4 x 4 hay que multiplicarlas en el orden contrario al dado:

(-~ D( -3 3 1 4

o

1 -1

1 1 -3 6 -2

n~ ( o -3

-2 1 1 1 1 -1

1

3

1 1 -1 4 1 -3 6 -2

o 6 -2 10 1 1 -1 1 o -3 1 -5 =(-1)·1· o 6 -2 10 = -(60 + 60 + 60- 60- 60- 60) =o.

7 1 -1 10

3. Calcula:

-:) 10

6 -3

6

-2

10

1

-5

-2

10

2 3 o -5 -2 5 2 -3 5 3 o 2 2 5 2 3

SOLUCIÓN:

2 3 o -5 -2 5 2 -3 5 3 o 2 2 5 2 3

2 3 o -5 -2 5 2 -3 5 3 o 2 4 o o 6

= -2

2 3

-5

5 3

2 6

4

o

= -2.30 = -60.

Hemos multiplicado la segunda fila por -1 y se la hemos sumado a la cuarta. 4. Multiplica las matrices siguientes y calcula la matriz inversa del resultado:

-~ -1~ ~) -5 SOLUCIÓN:

16

El producto es

A=(~~~)· 1 2 1

1


277

Para calcular la inversa calculamos

A=

(

IAI = 4,

2 o -2 ) O 2 -4 ,

o o

A- 1

=

4

1/2 O ( -1/2

5. Calcula las matrices inversas de

SoLUCIÓN:

e~

IAI = -4, A=

(

A_t=

o

A-l= (

IBI = -6 B=

e2 J) -D o

-2 4

1/2

1/2 -1/4

o 6 -4 -2 2 1

B-1=

-2 4 1 4

o -1 -1

J)

1/n

j) o -1/6) o

e~

4/6 2/6

; - 2y

=1 }

o

-4 -2

iJt=

-2/6 3/6

6. Resuelve:

2y

+.!. = 1

X

X

SOLUCIÓN:

y2y = X 2y

1

X

X

1

===> }

2

X-

2y =y } ===>

2y

-+-=1,

2y + 1 - 2y 2 = y

y-

2y 2

-

y- 1=

o

+ 1 =X

_1±v'f+8_{ 1

==}

===>

4

-

-0.5

=>x=3 ==} X = 0

Descartamos la segunda solución porque no cumple la segunda ecuación. Por lo tanto la solución es (x, y)= (3, 1).

Álgebra lineal y sistema.'> de ecuaciones

17

278

7. Resuelve: }

l

1'

.

SOLUCIÓN:

y -+3=y

y

X

+ ;3x = xy

}

::::}

y 1 - - - =1 } 2x x

y

} ::::} 2:r: + 2 + :3x = x(2:r: + 2)

y - 2 = 2x

2

+ 3x = xy

::::}

y = 2x + 2

2

::::} 5x + 2 = 2x + 2x ::::} 2x - 3x - 2 = O ::::} x =

3±J9+16 { 2 = _ _ 05 4

::::}y=6 ::::} y = 1

Por lo tanto, hay dos soluciones: (x, y)= (2, 6), (-0.5, 1).

l,

8. Resuelve el sistema de ecuaciones: 2

2

x - 3y

= 10

3 ---

=1

x +y+ lnz

=7

X

y

y

. '\-\

~

/

SOLUCIÓN: Las dos primeras ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos trabajar primero con ellas. En primer lugar las simplificarnos:

x

2

2

3y = 10 } x-3 =y

-

Despejamos x en la segunda: x =y+ 3 y sustituimos en la primera: (y+ 3) 2

-

3y 2 = 10 ::::} y 2 + 6y + 9- 3y 2 = 10 ::::} 2y 2 y = 6±

v'28 4

= { 2.82 0.18

::::} ::::}

;¡;

X

-

6y + 1 =

= 5.82 = 3.18

Ahora usamos la tercera ecuación para calcular z: 5.82 + 2.82 + lnz = 7::::} lnz = -1.64::::} z =

e-l.G 4

= 0.19,

3.18 + 0.18 + ln z = 7::::} ln z = 3.64::::} z = e:{. 61 = 38.09. Por lo tanto hay dos soluciones: (x, y, z) = (5.82, 2.82, 0.19), (3.18, 0.18, 38.09)

o

17.6

Problemas resueltos

279

9. Resuelve el sistema de ecuaciones:

2x- y

= 10

}

X

- +2y =7 y ez-x- 2y =4

Las dos primeras ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos trabajar primero con ellas. En primer lugar las simplificamos: SoLUCIÓN:

2x- y = 10 } X+ 2y 2 = 7y Lo más fácil es despejar la x de la segunda ecuación (porque si despejamos la y de la primera tendremos que meterla en un cuadrado en la segunda):

Al sustituir en la primera queda:

2(7y- 2y 2 ) -y= 10::::} 14y- 4y 2 -y= 10::::} 4y 2

y=

13 ± vf169 - 160 _ 13 ± 3 _ { 2 ::::} 8 8 1.25 ::::}

X

X

-

13y + 10 =o

= 7 · 2 - 2 · 22 = 6 = 7 · 1.25 - 2 · 1.25 2 = 5.625

Ahora usamos la tercera ecuación para calcular z: ez- 6 -

ez- 5 ·625

-

2 · 2 = 4 ::::} ez- 6 = 8 ::::} z - 6 = ln 8 ::::} z = 6 + ln 8 = 8.079,

2 · 1.25 = 4 ::::} ez- 5 ·625 = 6.5 ::::} z - 5.625 = ln 6.5

-+

z = 5.625 + ln 6.5 = 7.487.

Así pues, hay dos soluciones:

(x, y, z) = (6, 2, 8.079), (5.625, 1.25, 7.487) 10. Resuelve: 6- 2x +y- 2>.x =O } -2y+x =O >.(4- x 2 ) =O SOLUCIÓN: Como en la tercera ecuación tenemos un producto igualado a cero, empezamos por separarlo en dos casos:

17 Álgebra lineal .Y sistemas de ecuaciones

280

Caso 1 A = O, con lo que tenemos 6 - 2x

+y -

2Ax = O } 6 - 2x + y = O } 6 - 2x -2y +X = 0 ::::} - 2y + X = 0 ::::} A =0 A =O 3

=o }

6- 4y +y ::::}

= 2y

X

::::}

A =0

~ :~y}=? (x,y,A)

+y = O X

}

= 2y

A =0

(4,2,0)

=

A =0

Caso 2 4- x 2 =O, con lo que tenemos 6 - 2x + y - 2Ax -2y +X 4- x 2

La última ecuación es x 2

= 4,

luego x

=

=O =0

}

=O

±2 y tenemos dos subcasos:

Subcaso 2a 6- 2x +y- 2Ax -2y+x X

:~ }

::::}

=

6- 2x +y- 2Ax y

2

X

: ~ }=? (x, =

y, A)= (2, 1,

~)

2

Subcaso 2b 6 - 2x + y - 2Ax -2y +X X

=O } 6 - 2x + y - 2Ax =0 =0 ::::} y = -1 } => (x,y,A) = -2 X = -2

~ (-2,-1,-~)

Por lo tanto tenemos tres soluciones:

(x, y, A)= (4, 2, 0), (2, 1, ~), ( -2, -1,

17.7

-~).

Problemas propuestos Productos de matrices

l. Calcula:

( ~ ~ ) ( ~ ~ -~ ) ' 1 2 ( 1 -1

1 1 ( -1 o

~)( -1~ ~), 3

3 -1 ) ( 1 -2 ) ( 2 5 4 -1 '

~)(~3 -2~), ( -~ ~ ) ( ~ -~ ) '

1 ( 2

1 2 1 2 ) ( -1 1 ) ( 1 o 3 3 '

1 2 ( o 1

1)( 3

~ ~

)

.

-1 ) -1 '


281

Determinantes 2. Calcula los determinantes siguientes: -1

3 2 -2 3 1 1 2

= 8,

2 1 5 -1 3 2 1 1 2

= -8,

2 1 5 -1 3 2 3 -2 3

= 27,

1 2 -1 2 3 3 1 3 4

= 18,

2 -2 1 1 2 5 o 2 o

2 o o 1 2 -1 2 3 3 3 1 4

3 2 1 2

:~

2 -1 2 3 3 1 1 4 2

=o, = 2.

3. Calcula los determinantes siguientes:

2 1 1 -1 o 3 3 :3 -2 1 2 1

5 2 3 2

= 16,

2 2 1 2 3 o 1 1 5 3 2 1 -2 2 -2 -2 2 o 2 -3 3 -1 1 -1 -2 1 2 -2

-1

2 3

1

2 3 1 2 -2 1 3 1 -2 -3 6

-2 3 5

o

3 2 5 -3

-2 3 -1

o

= 24,

2

1 2 -3

5 10

1 3 1 -1 -2 4

2

3

5

= -26,

= -27,

2 1 5 1 3 o 1 -2 4 2 7 7 -1 -3 -11 2 2

= -60,

3

5

o

-15

o

-2 2 1 1

=

-2

-1,

= 110,

9

~ -1~

1 1 -3 -1

= 2.

= -8,

2 o -3 8 3 -5 2 1 -1 -1 -2 3

3

o

=o,

3 -1 1 -1 -2 3

o

-1 o o o 3 o 2 o 1 5 3 2 2 7 5 3

= -29.

3

Matrices inversas 4. Calcula la matriz inversa de las matrices siguientes:

5. Calcula la matriz inversa de las matrices siguientes: 3 o o 2 1 -1 ( 1 2 o

)

'

-1 3) o

-6 3 3

'

A- 1 =

1/3 -1/6 ( 1/2

~ 1/2 1/~ ) '

-1

282

C!

1

o 3) o '

A=

1 1

o

(!

-1 1

e ~),

(-: D, (j

A-1

A- 1 =

A- 1 =

'

1 1 -1

(j

(

A- 1 =

o o n, -1 )

-4 4 4

~(

-4/3 2/3

5/10

3/10 -4/10

(

o

'

o)

4/10 -2/10

-2/10 6/10

,

2/10 -2/10 -4/10 ) 7/10 -2/10 1/10 13/10 -8/10 -1/10

6/12 -2/12

(

-1 ) 2

3/~)'

1

-4 2 -1/2

-1/3 2/3

( -2/12 -3/12

A- 1 =

o '

o

-1/2 1/2

-1j:l -1/3)

: -1

3 -1 ) 5 -3 ' -1 1

(

A- 1 =

-1

3

3 1

3 1

~)'

-1

~ -~

o

2 1 1


A-1 =

O -2/4

c/4

2/~

7/12 )

3/12 3/12

3/4 -1

1 1

,

-3/12 1/12

,

-1/4 ) O 2/4

'

1/4 1/4 )

1/4 o -1/4 3/4

.

Sistemas de ecuaciones lineales 6. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

X+ 2y + Z -6 } -x- y+ 4z = 12 2x + 3y- z = 6

2x- y- z --1 } x + 2y + 5z ;: 2 -3x + y+ 2z = 9

X+ 3y- Z -15 } X - y+ Z : -1 X+ 2y = 0

-2x +y -10 } y+ 2z ;: O 2x + z = 6

5x + 10y + z 3x + 6y + z -2x+ y+10z

= 2 }

=

2

=0

2x + 3y- z=ll x- y+ z= 2 -x + 2y + 3z= 4

x+2y- 6z=10 2x- y+ 3z= o -x- y+ 10z= 1

} }

6x- y+ z X+ y+ Z 2x- 3y- 4z

=

O }

= -3 = 2

3x + 2y + z=4 x + 2y- z=O -2x- y+4z=7

}

x + 4y- z= 1 } 2x + 10y- 3z = -2 -5x - 21y + 6z = 1

283


2x + 5y - 3z = -2 x+3y- Z= 2 -3x- y+ z= 2 x- 2y + 3z=

5

:3x + y+2z=

1

-3x + 5y - 3z = -8

3x + 10y + 8z = 5 x+ 5y + 2z= 1 - 2x - 9y + 3z = 5

} }

3x+ y+2z= 1 x- 2y+3z= 5 -3x + 5y - 3z = -8

}

}

Sistemas de ecuaciones 7. Resuelve los sistema.'> de ecuaciones siguientes:

~

5x + 1Oy

y X

20x + 5y

5

y x+3 2x + 2y

10 } = 1 600 20 5 = 4000

}

=1 } = 400

xl/2yl/2 = 200 } y= 2x

2xy = 25600 } y=x

8. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

4x + 6y = 24 } 8x + 3y = 24

8- 4x- 8y =O } 10- 6x- 3y =O

p+ 1.5q =

6 }

p->.=0 q- 1.5).

=o

3x 2 + y2 = 6 300 3- 6x). =O 2- 2y). =o JX+y=9 20y = 81

JX+y=ll } 20y = 120

X+

X+

X+ 2y =

8 }

y-).=0

X-

2).

9 - ).(y + 5) = o 2->.(x+2)=0 xy + 5x + 2y = 6

2x 2y

+ 4y - ). - ¡;, = O + 4x - ). - v = O = 0 vy =O

j),X

-

2Vfj

=0

yz- 2). =O ;¡;z- ). =O xy- 3). =O 2x +y+ 3z = 18

Jx- 2x). =O - 5-

x2

}

10y). = O

+ 5y 2 =

21

16- 4x). =O 24- 6y). =o 12- 2z). =O 2 2x + 3y 2 + z 2 = 29 1- 2x). =O 16y). y

} }

} } }

}

x 2 + 3y 2 = 146

}

- 2x + 8 - ). = O } -2y- A- V= 0 vy =O

=o

2 2 3x + y = 6 300 } 3x + 2y = 210 h + 1.5r = 6 } 2hp =o 2r- 1.5p =O

X+ y= 30 + 2y = 80

}

4x

1- 2KL). =O } 3- K 2 ). =O K 2 L = 36

3- yz). =O 4- xz). =O 2- xy). =O xyz = 72 3 - ). - 4¡;, = 2 - ). - 2¡;, =

}

o} o

-2x + z =O } 10 - 2y - 2).y = o 9- 2z + x =O

>.(1- y2 )

=o

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1

285

A

Problemas variados resueltos

Modelo Al l. La función de producción de una empresa es Q(K, L, M)= K v'L + VJV13, donde K, L, M son las cantidades empleadas de tres factores de producción. Actualmente las cantidades empleadas son (K, L, M)= (90, 81, 100).

(a) Estudia si la función Q es homogénea y, en caso afirmativo, indica su grado de homogeneidad. (b) Calcula e interpreta la derivada

~~

1

.

(90,81,100)

(e) Calcula de forma aproximada mediante el cálculo diferencial el incremento de producción que se obtendría si se emplearan 86 unidades de los dos primeros factores y la cantidad del tercero se redujera en un 5%. (d) Calcula la derivada que indica cómo variará la producción marginal respecto del segundo factor de producción si, a partir de las condiciones actuales, aumenta la cantidad empleada del primero. Indica en particular si el resultado sería un aumento o una disminución. (e) Escribe la ecuación de la isocuanta (curva de nivel de producción) correspondiente a la producción actual e interprétala. (f) Calcula la función implícita L(K, M) que define la curva de nivel anterior e indica su interpretación económica. (g) Calcula

aL 1 aK (9o,wo)

derivando implícitamente la isocuanta e interpreta el resultado.

2. Considera las funciones

y(r,s) =

2r 8

1

-

r

,

z(r,s)=sen

f (x, '!!..2__z)

(a) Calcula el vector gradiente y la matriz hessiana de

2(S--:;::¡-3) .

en el punto (-2, 1, -1).

(b) Calcula la inversa de la matriz hessiana del apartado anterior. (e) Calcula df(x, y, z) y df( -2, 1, -1). (d) Calcula la dirección de máximo crecimiento de

f (x, y, z)

en el punto (- 2, 1, -1).

(e) Calcula la función compuesta indicando su nombre. (f) Calcula el dominio de la función compuesta. (g) Calcula

~~

en el punto (x, r, s)

= (2, 1, 3) derivando mediante la regla de la cadena.

3. Una empresa planea sacar al mercado un producto en t = O, del cual espera obtener un beneficio marginal dado por la función

7

Brn(t)

6

5 4

Brn(t)

{ 5( t + 1) cos t =

5 .4el-t

donde t es el tiempo en años.

si O ::::;

t::::; 1,

si t > 1,

3

2

0.5

1.5

2

2.5

3

A

286


(a) Calcula el beneficio medio que proporcionará el producto durante los dos primeros anos. (b) Calcula el beneficio acumulado por la empresa al cabo de dos ailos teniendo en cuenta que, para lanzar el producto, realizó una inversión inicial, de modo que B(O) = -2 u.m.

(e) Razona a partir de la gráfica si en t o disminuyendo.

= 2 el beneficio acumulado estaba aumentando

4. Calcula:

5. Una empresa compra para sus oficinas ordenadores que tienen un ailo de garantía. La variable aleatoria T representa el tiempo (en ailos) que tarda en renovarlos (bien por avería o por antigüedad transcurridos 4 años), y su función de densidad es f(t)

= { 6~(-t3 ~ 4t2 + t- 4) si 1 ::;

f(t)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

t ::; 4, 2

en otro caso.

3

(a) Calcula P (O ::; T ::; 2) e interpreta gráficamente el resultado. (b) Calcula la moda de T, es decir, el punto en el que la densidad de probabilidad es máxima. 6. El precio de un producto es actualmente p = 8.7 y su demanda es de 10000 u.p. Sabiendo que la elasticidad de la demanda es E(p) = -3ln - 2 p, calcula la demanda que cabría esperar si el precio pasara a ser de 15 u.m.

Soluciones Al l.

(a) Q(K, L, M)= K VL

+ .JM3

Q(>-.K,>-.L,>-.M) = >-.KV>:i + J(>-.M) 3 = >-.K>-. 112 Vi + JXlM:l

luego Q es homogénea de grado 3/2.

(b)

8Q= - K: : : }8Ql 8L

2VL

8L

00= 5 =(9o,si,wo)

18

.

Por cada unidad adicional que la empresa emplee del segundo factor de producción la producción aumentará en 5 unidades, partiendo de que actualmente se emplean 90 unidades del primer factor, 81 del segundo y 100 del tercero, y suponiendo que no se modifican las cantidades empleadas del primer y tercer factor.

5

287

(e)

~Q(90,

81, 100)( -4, 5, -5) ~ dQ(90, 81, 100)( -4, 5, -5)

dQ = aQ dK + aQ dL aK aL aQ = aK

Vi -=*

+

aQ dM aM

aQ 1 =9 aK (9o,s1,1ooJ '

aQI a = 5 (calculada antes)' L (90,81,100) aQ = ~M1/2-=* aQ 1 = 15 aM 2 aM (90,81,100) ' luego ~Q(90,

81, 100)( -4, 5, -5) ~ 9. ( -4)

+ 5. 5 + 15. ( -5) =

-86.

(d) La producción marginal respecto del segundo factor es

aQ aL

K

2v'L

y la derivada pedida es

Como es positiva, al aumentar la cantidad empleada del primer factor de producción, la producción marginal respecto del segundo aumentará. (e) La producción actual es Q(90, 81, 100) K

= 1810 y la isocuanta es

Vf + yf¡;j3 = 1810.

Esta ecuación determina todas las combinaciones posibles de los tres factores de producción que dan lugar a una producción igual a la actual (es decir, de 1810 unidades de producto).

(f) .

KvL = 1810- yf¡;j3-=*

Vf =

1 810 - y'M3

K

-=* L(K, M)=

2

1 810 - y'M3 (

K

)

Esta función determina la cantidad que hay que emplear del segundo factor, si se emplean cantidades K y M de los otros dos factores, para que la producción sea de 1810 unidades de producto.

(g) aQ(K,M) aQ aK = aK

aQaL

+ aL aK = 0

A

288


Sabemos que L(90, 100) = 81, porque 81 es el valor de L que hace que se cumpla la ecuación cuando (K,L) = (90, 100). Por lo tanto,

aQ 1 + aQ 1 aL 1 aK (90,81,100) aL (90,81,100) aK (9o,10o)

-

o

-

Las derivadas de Q las hemos calculado antes:

aL

9

+ 5 aK

aL

1

(9o,10o)

= 0 => aK

9

= -5 = -1. 8.

1

(9o,10o)

Esto significa que por cada unidad adicional que se emplee del primer factor de producción, serán necesarias 1.8 unidades menos del segundo factor para mantener la producción actual de 1810 unidades de producto, partiendo de que las cantidades empleadas actualmente del primer y tercer factor son (K, M) = (90, 100) y suponiendo que no se modifica la cantidad empleada del tercero. 2.

2

(a) f(x,y,z)=ex - 4 lny+z 5 2

4 a¡ a¡ a¡) 4 x2-4 ex V' f = ( ax' ay' az =(e 2x lny, -y-, 5z ) =}V' f( -2, 1, -1) = (0, 1, 5).

a2 J2 = aX

ex2-4 2x2x ln y + ex

2 ln y

=}

aa2 f2 X

exz -4 2x

a2 f

axay =

y

2

ayf2 =-ex

a

2

a2 f =}

1

axay

(-2,1,-1)

=-

1

o

= (-2,1,-1) a2 f

4

a:ú)z =o,

2

-4 -2

y

a2

ayf2

a

=}

f = 20z 3

az 2

1

= -1, (-2,1,-1)

a f2

a2 =}

=

Hf(-2,1,-1)

(b)

2 -4

1

z

(

=

-20.

(-2,1,-1)

o -1-4 Oo)

-4

o

o

-20

IHI = 320 #o

o

-1

o

1

H=

-1

-20 1

-4o

o

=

o 1 o

-20 1

1-4 -1 j¡t

-1

(

o

o -20

-80

o o

-1

(

20 -80

~ -4o o -4 -4 -1

-20 1 -1

o) o '

-16

1 ~-~ o

o

-1-~ ~

oo 1

20 -80

-4o

1

1

H

-1

=

(

320 2n 80

-32~

-80

o o

o

80 -320

o o

o) o 16

-320

o)

-1~

289 2

af af af 2 ex - 4 (e) df(:z;,y,z) = -;:)dx+ -;:)dy+ -;:)dz =ex - 4 2xlnydx+ --dy+5z 4 dz ux uy uz y df (- 2, 1, -1) = dy

+ 5dz

(d) Ya hemos calculado V J( -2, 1, -1)

(los cálculos están hechos antes).

= (0, 1, 5)

y(r,s) =

2r 8

1

-

r

z(r, s) = sen2

,

3)

~ S-

(

La función compuesta es

2r r 1+ sen (~ s - 3) 8

f(x, r, s) =ex - 4 ln 2

(f)

10

-


-1- 0:

• El argumento de un logaritmo debe ser > 0:

-1- O.

r

2

r~-l >O.

• La base de una potencia de exponente variable debe ser

> 0: r· > O.

Por lo tanto, el dominio de la función compuesta es

D={(x,r,s)EIR 3 Ir>O,

2r 8

-

1

r

>0}.

(g) aJ ar

= a J ay + a J az ay ar

azar

Corno y(1, 3) = 1, z(1, 3) =O, tenernos que

afJ afJ ayJ ar (2,1,3) = ay (2,1,0) ar (1,3)

a

z !"l

ur

afJ azJ az (2,1,0) ar (1,3)

3) ( 3) (s- 3)(-3)r

= 2sen ( -s - 3r

+

cos

-s - 3r

Por lo tanto:

-afJ ar

= 1· 5+0 = 5. (2,1,3)

a

-4 ::::? !"l z1

ur (1 ,3 )

=O.

.

A

290

3.

(a)

1

1 1

2

Bm(t)dt=

5(t+1)costdt+

J

5 (t + 1) eos t dt = 5 (t + 1) sen t -

u=5(t+l) dv

=

costdt


¡

2

5.4e 1 -tdt

J

sen t 5 dt = 5 (t + 1) sen t + 5 eos t + C

du=5dt v =

J

cos t dt

=

sen t

luego

1 1

5(t + 1) costdt = [5(t + 1) sent + 5costJ6 =lOsen 1 + 5cos 1-5 = 6.12

¡

2

5.4e 1 -t dt = -5.4

¡

2

-e 1 -t dt = -5.4[e 1 -t]i = -5.4(e- 1

donde hemos usado la regla de la exponencial con

f (t)

= 1 - t,

-

J' (t)

1) =

:~.41,

= -l.

1 2

Bm(t) dt = 6.12 + 3.41 = 9.53

El beneficio medio es

BMed

=

(b)

12

Bm(t) dt 9.53 _ O = - - = 4. 76 2 2

1 2

B(2) = -2 +

Bm(t) dt = -2 + 9.53 =

7.5:~

(e) En la gráfica vemos que Bm(2) >O, y si el beneficio marginal es positivo, el beneficio es creciente, es decir, el beneficio está aumentando con el tiempo. 4.

Se trata de una integral impropia en +oo y en x = O, pues en este punto se anula el denominador y la función no está acotada. Por lo tanto la partimos:

Calculamos la integral indefinida mediante la regla del seno, con j(x) = e-vx y e - .¡x --=-l.

2ft

o o

f' (;¡;)

=

291

= lím 2cose-

1

1 JX 1

1 r' - c-Vxsenc-Vxdx = Jo JX

lím t---+0+ -

1 1 - e-Vxsene-Vxdx = lím [2cose-Vx]

-

t

t

t---+0+

2cose-vít = 2cose-

1

-

2cos1 = 0.786

t-->O+

porque

Vt-+ O, -Vt-+ O,

e-vít

porque

Vt-+

-oo, e-vít

+oo,

Por lo tanto:

-Vt-+

¡+=

Jo

1

JX

-+

l.

-+

O, cos e-vít

-+

cosO = l.

e-vx sene-fidx = 0.786 + 0.134 = 0.92.

5.

j(t) = {

6~(-t 3 + 4t 2 + t- 4) O

si 1 :S: t::; 4, en otro caso.

(a) P(O :S: T :S: 2) =

~ [- t4 + 4 t3 + 63

4

3

=lo

2

2

j(t) dt =

t2 - 4t] 2 = 2

1

~ 6~ ( -t3 + 4t 2 + t- 4) dt

~ (-4 + 63

32 + 2 - 8 + ! 3 4

- ~- ! 3

2

+ 4)

~ 0.2

Gráficamente es el área sombreada en la figura:

(b) El punto que buscamos cumple

J'(t) = ~( -3t 2 + 8t + 1) =o~ -3t2 + 8t + 1 =o~ t = -

8 ± V64 + 12 = { -0.12 63 -6 2.79 Descartamos el valor negativo y concluimos que la moda es t = 2. 79, lo cual concuerda con lo que muestra la gráfica. 6. Tenemos que p dD _2 dD E = D dp = -3ln p ~ D = 1

lnD = -3 1n- p -1

-3p1 ln _ 2 p ~

+e=~+ e~ D = lnp

JD

dD

, = -3

Jp 1

ln

_2

p

é/Inp+C = eé/Inp.

Como D(8.7) = 10000, tenemos que 10000 = eé/Ins.? = 4e ~e=

10

~ 00 = 2500.

Así pues: D(p) = 2 500e 3 /lnp. Si el precio pasa a ser de 15 u.m. la demanda será D(15) = 2 500e 31 In 15 = 7 569 u. p.

292

A


Modelo A2 l. Considera la función f(x, y, z)

2

= {IX (x + Y)yjz ln (1 + z

2 ) Y x 2 +xy

.

(a) Calcula su dominio. (b) Estudia si es homogénea y en caso afirmativo indica de qué grado. 2. Dada la función f(x,y) = 2sen(x 2

-

yf[j), calcula:

(a) El vector gradiente y la matriz hessiana de

f.

(b) df(2,16). (e) La dirección de máximo crecimiento de

f

en el punto (2, 16).

3. La función B(p, D, I, t) determina el beneficio de una empresa en función del precio de venta p de su producto, de su demanda D, de la inversión I en estudios de mercado y del tiempo t (en años). Se estima que, para los valores actuales de estas variables, las derivadas de B son:

aB¡

-

8p

aB¡ 81

aB¡

-

=0.7,

8D

(19,5 000,9 500,1)

(19,5000,9500,1~ -l,

aB¡

-

at

-11 (19,5ooo,95oo,1J

= (19,5 ooo,9 5oo, 1 l

'

-2000.

(a) Interpreta la derivada de B respecto de D. (b) Utiliza la derivada anterior para estimar la variación del beneficio que se produciría si la demanda del producto fuera de 4 900 u. p. en lugar de 5 000. (e) Suponiendo que la función B es diferenciable en ( 19, 5 000, 9 500, 1), calcula aproximadamente ~B(19, 5 000,9 500, 1)(0.5, -1000,250, O) e interpreta el resultado. Responde de modo que se vea la necesidad de la hipótesis de diferenciabilidad. (d) Supongamos que la demanda de la empresa es D(p, t) su inversión en estudios de mercado es J(p)

= 500p.

=

100000Vfl pt

+1

,

, as1 como que

Calcula

DB(p, t) 1

at

(19,1)

e interpreta el resultado. (e) Explica la diferencia de interpretación entre la derivada anterior y la dada en el enunciado. ¿Sería correcto afirmar, en virtud de la derivada del enunciado, que los beneficios de la empresa disminuyen con el tiempo? (f) Estudia calculando la derivada oportuna si, en la situación actual, la elasticidad de la demanda (respecto del precio) aumenta o disminuye c:on el tiempo.

293 4. Una empresa estima que, si quiere obtener un beneficio b produciendo q toneladas de un determinado artículo, debe venderlo a un precio dado por la función p(b, q) = b2 +q3 - 2lq. Actualmente produce 3 toneladas de producto y las vende a 64 u.m.jt. (a) Escribe la ecuación de la curva de nivel corres- 14 b pondiente al precio actual y calcula la función 12 implícita b(q) determinada por dicha ecuación. 1o (b) Calcula

dbl

dq

q

3 2

derivando directamente la función implícita y derivando implícitamente la curva de nivel.

3

4

5

(e) Interpreta la curva de nivel, la función b(q) y la derivada que has calculado. (d) La figura muestra la gráfica de la función b( q). Determina la producción q para la que el beneficio es máximo.

5. Calcula la matriíl B- 1 A, donde

A= (

-~ ~ ~ ~ )

,

B = (

~ ~)

.

6. Una empresa sacó al mercado un nuevo producto en t = O y mantuvo su producción durante tres años. El beneficio marginal fue

5- 2t Bm (t) = 1 + lüt - 2t 2 . (a) Calcula el beneficio medio que proporcionó el producto durante los dos últimos años que estuvo a la venta.

(b) Calcula el beneficio acumulado por la empresa hasta un instante T teniendo en cuenta que el beneficio acumulado en T =O (es decir, el coste de lanzamiento) era B(O) = -0.3465 u.m. (e) Las gráficas siguientes corresponden a las funciones Bm(t) y B(T). o. 8 0.6

o. 5 -0.5

-0.2

-1

Interpreta en la primera gráfica la integral que has calculado en el apartado (a). u. En la segunda gráfica se ve que al cabo de 2.5 años la empresa empezó a tener pérdidas, y que si hubiera mantenido más tiempo el producto en el mercado, al cabo de algo menos de 5 años habría perdido todo el beneficio acumulado hasta entonces (es decir, B(T) = 0). Calcula el instante exacto Ten el que esto habría sucedido. 1.

A

294

7. Calcula la integral:

¡ -Tx2 5

2

- 3


cos ijX dx.

-1

8. La variable aleatoria T representa el tiempo en minutos que la central telefónica de una oficina tarda en recibir una nueva llamada en horario laboral. Su función de densidad es 2

f(t) = {

Calcula el promedio de tiempo esperado

~e

-t2

si t 2': O, si t
E[T] entre llamada y llamada.

9. Resuelve la ecuación diferencial: _Y_ dy cosx dx

= x(y2 + 4)2/3

}

y(O) = 2

Soluciones A2 2

l.

+2 (a) D={(x,y,z)EIR3 Iz:f=O, x 2 +xy=f=O, 1+x 2~xy>0, ~>0} • El denominador de una fracción debe ser =f= 0: z =f= O, :1: 2 + xy =f= O

• El argumento de un logaritmo debe ser • N o hay raíces de índice par

2

> 0: 1 + ~+ x xy > O

• La base de una potencia de exponente variable debe ser > 0:

(b) 3

J(>.x,>.y,>.z) = ~

(>.x + 2..\y) (>.y)/(>.z) ( (>.y)2 ) ln 1 + ( )2 AZ AX + AXAY

= if\ijX (>.(x + 2y) )y/z ln (1 + >.2y2, ) >.z >.2x2 + ).2xy = >.1/3ij:i

(X:

2y) y/z ln (1 +

).2(::~ xy))

=Al/3ij:i(x+2y)y/zln(1+ , y2 ) =>.1/:{f(;¡:,y,z), z x 2 + xy luego fes homogénea de grado m= 1/3. 2.

(a) Vf _ ( 4cos(x

Hf-

2

-

= ( 4x cos(x 2

Vf])- 4xsen(x sen(x 2

-

2

Vfj)'2x

VfJ

-

-

Vfj) 2x

yfij),

- cos(x

2

VfJ

-

Vfj) )

295 (b) df(2, 16).

df(2, 16) = 4 · 2 cos(2 2

-

- cos(2 2

Vi6) dx +

-

y16

v16)

dy = 8 dx - 0.25 dy

(e)

v !(2, 16) =

(8, -0.25),

DMC(2, 16) 3.

IIV f(2, 16)11

J8 2 + ( -0.25) 2 = 8.004,

=

. = ( . 8 ,- 0.25) = (0.999, -0.031). 8 004 8 004

(a) Por cada unidad que aumente la demanda, el beneficio aumentará 11 u.m., partiendo de que el precio del producto es de 19 u.m., la demanda es de 5 000 u. p., la inversión en marketing es de 9 500 u.m. y del momento t = 1, suponiendo que no se modifican ni el precio, ni la inversión ni el tiempo. (b) ~vB(19,5000,9500,1)(-100) ~

aBI

{) D

· (-100)

= -1100 u.m.

(19,5ooo,9500,1)

(e) Como la función es diferenciable, podemos aproximar el incremento mediante su diferencial: ~B(19,

5000,9 500, 1)(0.5, -1000,250, O)~ dB(19, 5 000,9 500, 1)(0.5, -1000,250, O)

aB/ aB/ aB/ 0.5+(-1000) +aB/ 250+o ap (19,5ooo,95oo,1) aD (19,5ooo,95oo,1) ai (19,5ooo,95oo,1) m (19,5ooo,95oo,1)

=-

= o. 7. 0.5 + 11 . ( -1 000) - 1 . 250- 2 000 . o = -11249.65. Partiendo de un precio de 19 u.m., una demanda de 5 000 unidades, una inversión de 9 500 unidades y del momento t = 1, si el precio se incrementa en 0.5 unidades, la demanda disminuye 1 000 unidades y la inversión aumenta en 250 unidades, el beneficio disminuirá en 11249.65 unidades. (d) Cuando (p, t)

= (19, 1) tenemos que

D(19 1) = '

100

ooov'I3 = 5 ooo 20

y

!(19)

= 500. 19 = 9 500,

luego, por la regla de la cadena:

aB(p, t) at

1

(19,1) =

aB aD

1

(19,5ooo,95oo,1)

aD at

aB

1

(19,1)

+ 8t

1

(19,5ooo,95oo,1)

= 11· 2750-2000 = 28250, donde hemos usado que

aD at

100000~3t 2 (pt + 1)- lOOOOOJi3p

(pt + 1)2

A

296 =?

aD 1

=

at c19 , 1)


= 2 750 .

1ooooo. 3. 20/2 - 1ooooo. 19 20 2

Esto significa que, por cada año que pase, el beneficio de la empresa aumentará en 28 250 u.m. partiendo del instante t = 1 con un precio del producto de 19 u.m., suponiendo que este precio (y por lo tanto la inversión en publicidad) permanece constante, pero teniendo en cuenta el modo en que el paso del tiempo afecta a la demanda. (e) La diferencia es que la derivada anterior tiene en cuenta que la demanda varía con el tiempo, mientras que la derivada del enunciado indica cómo variaría el beneficio con el paso del tiempo en el supuesto de que la demanda permaneciera constante, lo cual es falso. Por ello no es cierto que los beneficios disminuyan con el tiempo (corno parece indicar la derivada del enunciado), sino que, según hemos visto en el apartado anterior, a medida que pasa el tiempo el beneficio aumenta. (f) La elasticidad es

La derivada que indica si la elasticidad aumenta o disminuye con el tiempo es aE p(pt + 1)- ptp aE -a =( )2 =? -a t pt + 1 t

1

=

-o.o475
(19,1)

Como es negativa, concluimos que la elasticidad disminuye con el tiempo.

4.

(a) La curva de nivel es b2 2

b

+ q3 -

21q = 64.

= 64- q3 + 21q

=? b(q)

=

J64- q3 + 21q.

(b) Derivando directamente: db dq

1

2J64- q3

+ 21q

( -3q '2

+ 21)

=? -dbl

dq =~

' =-(U.

Derivando implícitamente: dp(q) _ ap db dq - ab dq

+

ab _ b db 2 dq aq - 0 =?

2 + 3q

_

_ db _ 21- 3q 2 21 - 0 =? dq 2b

Necesitamos el valor b(3) y lo obtenemos de la ecuación: b2 donde b = 10. Por lo tanto: dbl dq 3

21-3.3 2 -2-·1-0- = -0. 3 .

Comprobamos que llegamos al mismo resultado.

+ 33

-

21 · ~{

=

64, de

297 (e) La curva de nivel representa todas las posiblidades para el beneficio b de la empresa y la producción q para las que el precio de venta que da lugar a dicho beneficio es 64 u.m.jt. La función b(q) determina el beneficio que consigue la empresa cuando la producción es q y el precio de venta es 64. La derivada indica que por cada tonelada que aumente la producción, el beneficio de la empresa disminuirá en 0.6 u.m. si el precio de venta se mantiene en 64 u.m./t., partiendo de que la producción actual es de 3 toneladas. (d) Dicha producción cumplirá que

db

1

dq

2)64- q3 + 21q

-=o::::?-

(-3q2 + 21) =o::::?- -3q2 + 21 =o::::?- 3q2 = 21 ::::?- q2 = 7 ::::?- q =

v7 = 2.645t.

Notamos que este resultado cuadra con lo que aproximadamente se ve en la gráfica. 5.

IBI

* 1

n- A= ( 6.

-~ -~ ) *

i3 = (

= 7- 6 = 1,

B-1

= 1i3t = (

-! -~ ) ( -~

¿t = (

-~ -~ )

-~ -~

)

.

~ ~ ~ ) _( _2:

2 1 -6 o

~)

(a) Los dos últimos años corresponden al intervalo [1, 3]:

_¡

3

3-1

fJ-

Aplicamos la regla del logaritmo con f(t)

r r 1 Bm (t) dt = 1 1

1

=

5-2t + 1 lüt _ 2t 2 dt

Bm(t) dt

= 1 + 10t- 2t 2 y f'(t) = 10- 4t = 2(5- 2t).

f 3 2(5-2t) 1 = 2 1 1 + lüt _ 2t 2 dt = 2 [ln 11 + 1 1

1Ot - 2t 1J~ 2

1 2 2 2(ln 11 + 10 · 3- 2 · 3 1-ln 11 + 10 · 1- 2 · 1 1) = 0.18386,

luego el beneficio medio es fJ =

0.18386 2

o

=O. 92

(b) El beneficio en T será el beneficio inicial más el beneficio acumulado desde t = O hasta t = T:

B(T) = B(O) + {T Bm(t) dt = -0.3465 + {T

lo

= -0.3465 + 1

lo

~

[ln 11 + 10t- 2t 2

-0.3465+ -(ln 11 + lOT- 2T2 I-ln 11 + 10·0- 2 ·0 1)

2

=

2

5

2 dt - t 1 + 10t- 2t 2

=

1]~ = 1

-0.3465+ -ln 11 + 10T- 2T2 1

2


A

298 (e)

i. Es el área sombreada marcada con un + menos la marcada con un - (la figura muestra una ampliación de la gráfica del enunciado). '

041 0.31

::~¡ t

__.___ .L--'-·-·~-.J

1 -0>

2

1

-0.2t

11.

Al resolver la ecuación hemos supuesto que la expresión en el valor absoluto era positiva. Si no hubiéramos encontrado solueión habríamos considerado el caso de que fuera negativa.

1 -0.3465 + 2ln 11 ==?

==?

1 2ln 11

+ 10T- 2T2 1=O

+ 10T- 2T2 1= 0.3465

ln 11 + 10T- 2T2 1 = 0.693 ==;. 1 + 10T- 2T2 = e0 ·693 ~ 2

+ 1 = O ==;. T =

10 ± )100 - 8 = { 4.898 4 0.102 En la gráfica se ve que el valor que buscamos es el mayor de los dos, es decir T = 4.898 años. ==;. 2T 2 _ 10T

7. Calculamos primero la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla del coseno con J(x) = ijX = xl/3 y J'(x) = _31x-2/3 = ~3ifr2

J3~ v x2

cos ijX dx

=5

J3~ v x2

= 5 .3

cos ijX dx

El denominador de la integral se anula en x 2

J -1

o

v

-1

3v x 2

-1

x2

Jt

lím_

-1

t--+0

3 ~ cos ijX dx =

v

x2

lím (15senVt-15senH)

0

---+

O, sen 0 2 {

JO

---+

=

---+

-f!cos ijX dx = ~

O, sen

0

---+

5

~ 3

cos ijX d:r

lím_ [15 sen t--+0

-15sen(-1),

1-f!2

lím

t-->O+

lím (15sen

0

2

O.

t--+O+

pues

= 15 sen ijX + e

= O, por lo que tenemos que partirla:

t--+O-

pues

cos ijX dx

-f!cos ijX dx = Jo ~ cos ijX dx + { ~ ~ Jo

3~ cos ijX dx =

J

J 3~

t

~

cos ijX dx

= lím [15 sen \YX] ~ = t--+O+

-T2- 15sen Vi)= 15sen ij2,

O.

Por tanto, la integral es convergente y vale: 5

2

J

-1

3

1')

vx 2

cos ijX dx

=-

Hí sen( -1)

+ 15 sen -T2 = 26.9

299

8.

j +oo tj(t) dt = 1+oo . 2

E[T] =

-oo

Calculamo~ 2

2

r:;; te-t dt

O

V 7r

la integral indefinida, para lo que aplicamos la regla de la exponencial con

f(t) = -t y J'(t) = -2t.

J

2 -t2 1 vf1i te dt = - vf1i

J

-2 te

-t2

dt = -

1 -t2 vf1i e +e

Ahora: 00

+

2

. r:;; te

1O

-t2

' -t2 ' dt = hm 1T . 2r:;; te dt = , hm

T->+oo

V 7r

,

1

hm ( - - e T->+oo yf1i , T2

pue~

---+

+oo, - T2

---+

-T2

O

T->+oo

V 7r

1

1

O

1 -t2 ] T - . r:;; e V 7r

O

.

- ( - - e ) ) = - = 0.56 mmutos,

yf1i

-oo, e -T2

[

---+

yf1i

O.

Luego el promedio de tiempo entre llamada y llamada es de poco más de medio minuto. 9. Separando las variables queda: y (y 2 + 4 ) 2 / 3 dy

= xcosxdx

Ahora integramos a los dos lados:

J =J

(y 2 : 4 )2 13 dy

J

(y2

y

+ 4)2/3

dy

1 (y2

J

X

u= x dv = cosxdx

COS X dx

xcosxdx

2

+ 4)1/3 l3

= X Sen X

J

+ 4)-2/3 dy =!

y (y2

-2

=

-

J

2y(y2

+ 4)-2/3 dy = '

3

= -2 \1 y2 + 4 + e

J

sen X dx

= X Sen X + COS X + C

du = dx v =

j cosxdx

= senx

Por tanto,

~ ijy2 + 4 = x sen x + cos x + C. Calculamos el valor de e

su~tituyendo

X= o, y= 2:

33~ 2 y 22 + 4 = 0 ~en 0 + cos 0 + C

::::}

3=1+C

C=2

300

A


Por último, despejamos y:

~2 ij y2 + 4 = x sen x + cos x + 2 y

2

+ 4 = (-2 x sen x + -2cos x + -4) 3 3 3 ::::}

y=

2

2

4

(23

2

4)

W+4 = -3 x sen x + -3 eos x + -:~ 3

Y

2

= - x sen x + - cos x + -

( ~ x sen x + ~ cos x + ~)

3

3 -

4

3

3

-

4

301

B

Problemas variados propuestos

Modelo Bl l. La demanda de un artículo viene dada por la función

D( r,p )

=

IOOJT=P ' p

donde r es la renta de los consumidores y p el precio. En la actualidad, la renta es r = 630 y el artículo se vende a 5 €. (a) Estudia si la demanda es homogénea y, en tal caso, calcula el grado de homogeneidad. (b) Calcula las derivadas parciales de D en el momento actual e interprétalas. (e) Calcula aproximadamente el incremento esperado si la renta aumentara en 10 unidades y el precio pasara a ser de 4.5 €. (d) Calcula e interpreta la elasticidad de la demanda respecto de la renta en el momento actual. (e) La empresa que fabrica el artículo ajusta su precio según la renta de los consumidores, de modo que dp 1 = 0.15. Razona, a partir de la derivada oportuna, si teniendo dr 630 en cuenta este dato la demanda aumentará o disminuirá ante un aumento de la renta de los consumidores. (f) Escribe la ecuación de la curva de nivel de demanda correspondiente a la demanda actual. Interpreta dicha ecuación, así como la función implícita p( r) determinada por ella (pero no es necesario que la calcules). (g) Calcula e interpreta la derivada de la función implícita indicada en el apartado anterior para los valores actuales. 2. Dada la función J(x, y)= xsenyJI (a) Calcula el dominio de

+ lnx6 +y,

f.

(b) Calcula V'f(l,O). (e) Calcula df(I, O)( -1, 2). (d) Calcula la dirección de máximo crecimiento de

f

en el punto ( 1, O).

3. Calcula el determinante de la matriz hessiana de la función

J(x, y, z, w)

= x 2 + 2z2 + 3w2 + xy + 3xz + 5xw + 2yw + 3z.

4. El coste marginal de una empresa es Cm(q) = 10-qe-q/lO, donde q es la producción diaria. Los costes fijos son de 50 u.m. Calcula la función de coste C(x). 5. Calcula:

+oo 1 -~3lnxdx 2x 0

1

B

302


6. La función de densidad de una variable aleatoria X es de la forma

si

O~

x

~

1

en otro caso.

0.175 0.15 0.125 0.1

0.2

o.4

o:6

o.s

(a) Calcula el valor de k. (b) Representa en la figura P(0.5 ~X~ 1) y razona sin calcularla analíticamente si es mayor o menor que 0.5. 7. La rentabilidad de unas acciones (la derivada en tanto por uno de su valor) desde un instante t = O ha venido dada por la función i 00 (t)

= 0.2sen(2t + 0.05),

donde t es el tiempo en años. Determina el capital que tendríamos que haber invertido en t = O para obtener un capital de 10 000 € al cabo de dos años. ¿Hubiera convenido mantener la inversión durante 15 años?

Modelo B2 l. Una compañía de seguros médicos ofrece a una empresa una cobertura cuyo precio anual por trabajador se calcula mediante una función p(t, N, e) que depende del instante t en que se contrata o renueva el seguro, del número N de trabajadores de la empresa que tienen contratado el seguro en ese momento y de un índice e que mide el coste medio de los servicios que ofrece la compañía. El precio inicial (en t =O) de la póliza era de 250€, cuando había un total de 3 000 trabajadores asegurados y el índice de costes era e = 20. Además

ap¡ at

= 5, (o,3 ooo,2o)

ap \

aN

(o,3ooo,2o)

= -o.o5,

ap¡

-.

ae

=80. (0,3 000,20)

(a) Interpreta la derivada respecto de N. (b) Calcula cuál fue aproximadamente el incremento del precio del seguro en t = 1 sabiendo que en ese momento había 3.393 trabajadores asegurados y que el índice de costes era e = 20.3. (e) ¿Qué hipótesis sobre la función pes necesaria para justificar la respuesta a la pregunta anterior? (d) Escribe la derivada que indica si la influencia de cada nuevo trabajador sobre el precio del seguro estaba aumentando o disminuyendo con el tiempo en t =O.

303 (e) Durante un periodo de ocho años, la evolución del número de trabajadores que han suscrito el seguro ha venido dada por

N(t)

1000ln(t + 1)- 300t + 3000,

=

N(t)

::rl--

mientras que la evolución del coste de los servicios ha sido c(t) = 20 + 0.3t. Razona por qué 2000 no podemos usar la primera de las derivadas del 1500' enunciado para concluir que el precio del seguro 1000 estaba aumentando en t = O y calcula la deri5(KJ vada que indica su variación en dicho instante. , , O 2 4 6 R (f) La gráfica muestra la función N(t). Calcula el instante en que la compañía tuvo rrHL'> afiliados. 2. Considera la función f(x, y, z)

= z 2sen

2X

11 +

vY

x z Y.

(a) Calcula su dominio. (b) Estudia si es homogénea y en caso afirmativo indica su grado. (e) Calcula df(O, 1, 1). (d) Calcula la dirección de máximo crecimiento de

f

en (0, 1, 1).

¿p¡

(e) Calcula

az 2 (h:.

3. La demanda de un artículo viene dada por D(r,p) = lnr

+~'donde pes el precio y p

res

la renta de los consumidores. (a) Escribe la ecuación de la curva de nivel de demanda correspondiente a 10 unidades de producto e interprétala. (b) Comprueba que dicha ecuación define a r como función implícita de p mediante el teorema de la función implícita.

20

(e) Calcula la función implícita r(p). 10

(d) Calcula r(2) e interpreta el resultado.

f(x)

(e) Calcula lím r(p). p---tO+

,,~-,,

(f) Calcula

~~

2/ 4

derivando implícitamente la curva de nivel e

1

2

interpreta el resultado. -10 9

4. Calcula {

Jo

5

\1(1- x) 2

cos

~1 -

x dx

e interpreta geométrica-

mente el resultado con ayuda de la figura.

-20

5. Calcula la matriz inversa de la matriz hessiana de

f (x, y) = en el punto (5, 0).

3

2

x sen y + x - 3xy

(

6

8

B

304


6. Calcula la esperanza de la variable aleatoria cuya función de densidad es

o f(x) =

si x
3 --X 104 - 3 (10-x) 5 416

o

si O ::; x ::; 8, si 8 ::; x ::; 10, si 10 < x.

7. Calcula la función de demanda D(r) de un producto en función de la renta de los consumidores sabiendo que actualmente dicha demanda es de 3 000 u. p., que la renta de los consumidores es r = 10 u.m. y que la elasticidad es E=lnr+1. lnr

Modelo B3 l. Una empresa produce dos artículos en cantidades x e y, y su función de beneficios es

B(x,y) =e

x2+Y

1oo.

La producción actual es de 20 unidades del primer artículo y 30 del segundo. (a) Calcula el beneficio marginal respecto del primer artículo para la producción actual e interprétalo. (b) Utiliza el apartado anterior para estimar la variación del beneficio de la empresa que se produciría si la producción del primer artículo pasara a ser de 20.25 unidades.

(e) Razona mediante derivadas si dicho aumento de producción haría aumentar o disminuir el beneficio marginal respecto del primer artículo. (d) Calcula la derivada en porcentaje de la función de beneficio respecto de la producción del primer artículo para una producción arbitraria (x, y) (no para la producción actual). (e) Calcula qué cantidad habrá que producir del primer artículo para conseguir un beneficio de 500 u.m. si la producción del segundo artículo es de 45 unidades. 2. Una fábrica de calzado dispone de dos líneas de producción, una para calutdo deportivo y otra para calzado de vestir. Las producciones mensuales x e y (en miles de pares) de una y otra línea emplean eficientemente los recursos de la fábrica cuando se encuentran sobre la frontera de posibilidades de producción dada por la ecuación 1

Vx + .¡25=]j = 10. 25- y (a) Comprueba que la ecuación anterior define a y como función implícita de :1: para producciones cercanas a (81, 24).

(b) Calcula la función implícita y(x) e interprétala.

(e) Calcula

l!:Jldd

X

1

81

derivando implícitamente la frontera de posibilidades de producción, e

interpreta el resultado.

305

= x 3 z+ 1 y, x = pcos 3 q, y= 3qr, z = 2 + lnp,

3. Dada.•;; las funciones f(x, y, z)

(a) Calcula la matriz hessiana de f(x, y, z). (b) Calcula dx(2, 0).

(e) Calcula la función compuesta de las funciones dadas indicando su nombre. (d) Calcula el dominio de la función compuesta.

?f-1p (1,0,0) .

(e) Calcula

4. El beneficio marginal que obtiene una empresa cuando produce q unidades de su producto viene dado por la función

(qBm(q)

=

{

40)eq/lOO

llOOOOOO(q+l) y'(q2+2q)3

si O :S: q :S: 150, si 150 < q.

(a) Calcula el beneficio (acumulado) correspondiente a una producción Q = 200 u.p. (b) Interpreta geométricamente el resultado del apartado anterior.

(e) ¿Cuánto más podría aumentar el beneficio de la empresa? (es decir, calcula el beneficio adicional que obtentría la empresa si la producción pasara de Q

= 200 hasta

+oo). 5. Calcula la esperanza de una variable aleatoria cuya función de densidad de una variable aleatoria viene dada por

5x 2

f(x) =

3v'1 - x 4 { 0

si O :S: x < 1 en otro caso.

6. Un fondo financiero ha proporcionado durante un periodo de cinco años una rentabilidad variable dada por la función i 00 (t )

0.1t

= 0.03 + -2- - , t

+2

donde t es el tiempo en años. (a) Calcula el instante en que el fondo fue más rentable.

4

(b) Si hubiéramos invertido 1 000€ en dicho fondo al principio del periodo, ¿qué capital habríamos conseguido en el momento de mayor rentabilidad? 3 2 7. Calcula la matriz inversa de A= ( 5 5 ) .

Índice de materias argumento, 36 Barrow (regla de), 204 ceteris paribus, 39 conjunto (subconjunto de IR.n), 33, 34 continuidad, 45 coseno, 50 curva de indiferencia, 83, 91 de nivel, 81 demanda hicksiana, marshalliana, compensada, 180 derivación implícita, 168 derivada de funciones compuestas 163 de funciones implícitas 168 en porcentaje y en tanto por 1, 116 parcial, 109 segunda, tercera, etc., 137 determinante, 264 diferencial, 149 dirección de máximo crecimiento, decrecimiento, crecimiento nulo, 152 dominio, 35 subdominio con sentido económico, 51 ecuación con producto igual a cero, 43 con raíces, 26 de segundo grado, 26 diferencial, 251 ela.'lticidad, 116 error, 111 esperanza, 244 excedente del consumidor, 219 del productor, 216 exponencial, 20 gráfica y límites, 49 propiedades, 49 exponentes negativos y fraccionarios, 36 frontera de posibilidades de producción, 85

función, 15, 16 compuesta, 65 derivación, 163 continua, 45 coordenada, ~~6 de clase C 1 ' C 2 ' etc., 137 de Cobb-Dougla.s, 76 de densidad, 241 de probabilidad acumulada, 241 de utilidad, 91 diferenciable, 149, 151 escalar, vectorial, 35 exponencial, 20, 49 homogénea, 73 implícita, 83, 84 derivación, 168 integrable Riemann, 205, 223 lineal, 37 logaritmo, 49 potencial, 20, 46 seno, coseno, 50 tangente, arcotangentc, 19~3 gradiente, 102 grado de homogeneidad, 73 gráficas, 46 hessiana, 138 ilusión monetaria, 75 incremento, 17 marginal, 112 parcial, 18 aproximado, 110 total, 18 aproximado, 150 integral convergente/divergente, 226, 228, 229 de Riemann, 203, 22~~ definida, 203 impropia, 228 de primera especie, 225 de segunda especie, 228 indefinida, 191

Índice de materias inmediata, 192 por partes, 195 interés continuo, 251 isocuanta, 83 jacobiana, 102 límite en infinito, 44 finito, 42 infinito, 41 logaritmo, 49 marginal (beneficio, coste, etc.), 114 matriz, 263 adjunta, 271 cuadrada, 263 diagonal, 263 hessiana, 138 identidad, 263 inversa, 270 jacobiana, 102 nula, 263 simétrica, 264 traspuesta, 264 mediana, 244 norma de un vector, 34 número e, 20 7r, 50 pendiente, 115 polinomio, 37 porcentaje de error, 111 potencias, 20 propiedades, 46 primitiva, 191 producto de matrices, 264 de número por matriz, 264 de número por vector, 34 de vectores, 34 propiedades exponenciales, 49 logaritmo, 49 potencias, 46

307 raíces, 48 raíces (propiedades), 48 regla de Cramer, 269 regla de la cadena, 163 Relación de Transformación de Producto, 170 de Sustitución Técnica, 170 Marginal de Sustitución, 169 rendimientos a escala, 76 RMS, RST, RTP, 170 Schwarz (teorema de), 139 seno, 50 Shephard (lema de), 180 sistemas de ecuaciones arbitrarias, 272 lineales, 267 incompatibles, 269 indeterminados, 268 suma de matrices, 264 de vectores, 34 tangente (recta), 115 teorema de la función implícita, 167 de Schwarz, 139 valor medio, 209 variable aleatoria, 241 vector, 33

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