Las Matemáticas y la Robótica Julieta Yasmín Yasmín Goldsmidt
2011
MONOGRAFÍA ANUAL
Tema: “Las matemáticas y la robótica para la humanidad”
Alumna: Julieta Yas Yasmín mín Goldsmidt Profesor/a: Paolo Corradini Materia: Matemática Director/a: Mónica Márquez Coleio: !scuela Arentina del "este Curso: #$ Polimodal% "rientación &'umanidades( A)o: *+,, *+,,
MONOGRAFÍA ANUAL
Tema: “Las matemáticas y la robótica para la humanidad”
Alumna: Julieta Yas Yasmín mín Goldsmidt Profesor/a: Paolo Corradini Materia: Matemática Director/a: Mónica Márquez Coleio: !scuela Arentina del "este Curso: #$ Polimodal% "rientación &'umanidades( A)o: *+,, *+,,
Introducción
Introducción "Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo" ! #n$lin %&''()
Desde el inicio de nuestra razón nos -reuntamos qu. somos A-arentemente esto es im-osi0le de res-onder% -ero1 si 2u0iera aluna forma de acercarnos a la res-uesta1 rá-idamente nos enfocaríamos en aquello que 2acemos a lo laro de nuestras 3idas en relación a nuestros o04eti3os -ersonales 'a5 situaciones en donde esta -reunta es fundamental -ara definir nuestro futuro 5 5o me 2e encontrado en una de ellas A los cuatro a)os1 mis -adres me 2a0ían realado una cocina de 4uuete 51 a diferencia de cualquier ni)a1 me sentía alo dece-cionada 6o -odía entender -ara qu. a una nena de tan -oca edad le i0an a realar una cocina1 que no ser3ía ni siquiera -ara crear alo &real(1 cuando con seme4ante estructura de -lástico -odían 2acerse tantas otras cosas Con el tiem-o la cocina nunca se usó 2asta que un día se me ocurrió: 7Por qu. no usarla de la0oratorio81 5 así sucedió: 4unto a el microsco-io que me 2a0ían realado -ara 6a3idad 5 todos el resto de 4uuetes rotos que i0a acumulando comenc. a in3entar Desde ese momento su-e que lo mío era crear% lo que sea1 -ero crear !sta an.cdota -uede a-arentar ser inadecuada -ero1 a la 2ora de eleir mi carrera en lo -rimero que -ens. fue en ese recuerdo 5 es el día de 2o5 que -ude descu0rir mi más -rofundo sue)o: el de crear tecnoloía con fines -ositi3os -ara el ser 2umano Para quienes lean esto 9ltimo1 les -uede -arecer una frase altamente desastada1 -ero -uedo aseurar que a0arca mi más aut.ntico deseo Día tras día o0ser3o como la e3olución de la ciencia a-orta a nue3as 2erramientas tecnolóicas que automatizan la 3ida cotidiana1 -ero -oco se 2ace conocer acerca de .stas -ara la a-licación de recursos con fines realmente 0eneficiosos -ara el 2om0re !stamos más acostum0rados a sa0er so0re los nue3os modelos de tel.fonos celulares eistentes en las randes industrias1 que en las etremidades ro0óticas ca-aces de 2a0ilitar a un -aralítico el -oder
analizada desde un -unto mu5 -esimista1 -ero realmente sucede a causa del desconocimiento de todo lo que se -uede lorar cuando se la utiliza correctamente Curiosamente ocurre una analoía entre este 2ec2o 5 cómo se o0ser3a a la matemática !sta ciencia 2a a-ortado una cantidad de recursos in3alua0les -ara el desarrollo del 2om0re 5 su entorno% -ero a -esar de todo lo que nos ofreció1 se mantiene oculta 2umildemente detrás de las randes -irámides1 edificios1 monumentos1 medios de trans-orte1 2asta el mismo suelo que -isamos o la silla en la que estamos sentados Mientras1 la sociedad1 -ara no caer tan es-ecíficamente en los -osi0les factores1 se 2a ocu-ado de darle tan mala fama cateorizándola muc2as 3eces como ciencia &-esada( o &a0urrida(1 como se 2a 2ec2o con los a3ances tecnolóicos -re4uzándolos al ni3el de da)inos ;ealmente se desconoce que la matemática -uede ser tan interesante 5 misteriosa que no alcanzaría una 3ida entera -ara -oder a-reciarla en su totalidad !l o04eti3o de este tra0a4o monoráfico es demostrar o 3erificar de di3ersas formas el 2ec2o de que la matemática1 a tra3.s de su a-orte cinemático 5 dinámico1 2a -erfeccionado la ro0ótica enerando un desarrollo tecnolóico que me4oró la calidad de 3ida de la 2umanidad
Desarrollo
Capítulo I
Conceptos matemáticos y físicos básicos
Antes de comenzar con el tema central de la monorafía1 es requerido a0arcar los conce-tos fundamentales 5 0ásicos -ara la com-rensión e in3estiación de lo que llamaremos dinámica> 5 cinemática> asociadas al análisis de la ro0ótica que se -asará a e-oner a continuación
I .1. Conceptos matemáticos *&#Matrices
?na matriz es un arrelo rectanular que aru-a elementos @-ueden ser 3ectores1 -untos1 ecuaciones1 funciones u otras matrices Bon un recurso mu5 im-ortante -ara e-resar 5 discutir -ro0lemas que suren en la 3ida real 5 nos muestra una re-resentación más clara 5 fácil de los datos =as matrices1 así como los 3ectores1 son un instrumento im-ortante -ara -resentar cálculos com-le4os1 e-resiones 5 relaciones de una forma más sencilla !sta matriz llamada A contiene &m( filas 5 &n( columnas 5 se e-resa de la siuiente forma:
am, am* am#F amn
ai4 E Amn% ai4 E ;
a,, a,* a,#F a,n a*, a** a*#Fa*n A a#, a#* a##F a#n : : : :
+jemplo: A E M#H
A
* , I
I K
L H
# + *
Ti-os de matrices: Matriz cuadrada: nm N Mmm Matriz cero o nula: Cuando todos sus elementos son + Matriz fila: Cuando esta formada -or una sola fila Matriz columna: Cuando esta formada -or una sola columna Matriz o-uesta: Cuando sumada a la -rimiti3a da cero Be indica sim0ólicamente OM =os elementos com-onentes de la matriz o-uesta son los o-uestos de los corres-ondientes a la -rimiti3a !4 A # * % OA # * Matriz diaonal: Cuando todos los elementos que com-onen la diaonal -rinci-al @a,,% a**% a##F anm son distintos de cero 5 el resto de los elementos son nulos Matriz escalar: Ti-o de matriz diaonal en la que los elementos de la diaonal -rinci-al no solo son distintos a cero sino que además son iuales !s decir a,,a**a##Fanm Matriz unidad: Ti-o de matriz escalar en la que los elementos de la diaonal -rinci-al son iuales a uno Matriz trans-uesta@ At : A ai4 N At a 4i Matriz sim.trica: @At A QN ai4 a 4i Matriz anti sim.trica: At a 4i A ai4 Matriz identidad: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diaonal -rinci-al son iuales a , 5 todos los demás elementos son iuales a + Be -uede e-resar sim0ólicamente como R E M • • • • •
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"-eraciones entre matrices: uma entre matrices: A ∪ S E Mmn N AS ai4 0i4 ci4 C N C E Mmn
Pro-iedades: Asociati3a: A ∪ S ∪ C E Mmn N @A S C A @S C Conmutati3a: A ∪ S E Mmn N A S S A !istencia de matriz cero nula: A E Mmn N A + + A A !istencia de matriz o-uesta: @A E M mn @ A ai4 N A @A + • • • •
-roducto por un escalar %.) A E Mmn U E 6 N UA Uai4
Pro-iedades: • • •
Asociati3a: A E Mmn U∪V E 6 N @UVA U@VA !lemento 6eutro: A E Mmn N ,WA A Distri0uti3a: A ∪ S E Mmn U∪V E 6 N U @AS U A U S @UVA UAVA
-roducto de matrices A E Mm- S A E Mm- N AS ai, 0,4 ai* 0*4 F ai-
0-4 C C E Mmn Pro-iedades: Pro-iedad asociati3a: @AS C A @SC Pro-iedad distri0uti3a @A S C AC SC X C@A S CA CS !istencia de -roducto de matrices con di3isor nulo: AS + N ∃ A X S + Bim-lificación no siem0re eistente: AS AC N ∃ S C 6o conmutati3a: AS SA Por lo tanto no eiste la di3isión entre matrices Matriz identidad: AR RA A • • • • • • •
!l determinante: !l determinante de una matriz cuadrada es un n9mero que se o0tiene a -artir de los elementos de .sta !l escalar> o0tenido tiene el fin de re-resentar a la matriz !n el caso de que .sta sea de orden #1 es decir A ##1 el determinante se lora de la siuiente forma:
*&/ 0ectores
?n 3ector es un semento orientado que resulta como 2erramienta -ara re-resentar manitudes físicas como -uede ser la fuerza o la 3elocidad !ste elemento siem-re -osee un orien @el -unto de a-licación 5 un etremo que lo determinan1 otorándole una dirección @la recta que lo forma1 lonitud @módulo * de la distancia entre el orien 5 el etremo 5 sentido @orientación =os 3ectores se re-resentan mediante dos letras ma59sculas que indican su orien 5 el etremo1 los cuales lle3an su-er-uesta una flec2a1 tam0i.n se -uede se)alar con una letra min9scula acom-a)ada de una flec2a en la -arte su-erior "-eraciones con 3ectores 5 sus -ro-iedades uma: Be define la suma como a 0 @a,0,1 0* 0*1 a#0#1F1 an0n "curre lo
mismo en la resta Bu-oniendo que 2a5a dos 3ectores llamados &3( 5 &Z(1 su suma será equi3alente a la diaonal formada a -artir del -araleloramo que -osea los lados &3( 5 &Z( @=e5 del Paraleloramo !n la adición tam0i.n se cum-le la -ro-iedad asociati3a 5 conmutati3a1 como tam0i.n la eistencia de un elemento neutro 5 uno o-uesto -roducto: Producto entre un 3ector 5 un escalar: !sta multi-licación da -or resultado un 3ector 5 se realiza multi-licando al escalar -or cada una de las com-onentes del 3ector de la siuiente forma 3 @1 5 N [ 3 [ @1 5 @[1 [5 Producto !scalar: Multi-licación entre dos 3ectores que da -or resultado un escalar Be realiza de la siuiente forma 3 @1 51 z > Z @Z 1 Z5 1Zz Z 5 Z5 Z Zz !scalar Producto \ectorial: Multi-licación entre dos 3ectores que da -or resultado otro 3ector !sto -uede realizarse a -artir de la a-licación de determinantes . =os elementos &i(1 &4( 5 &[( son 3ersores> que se 2allan sim0ólicamente1 -ermitiendo la resolución del -roducto
*&1 2rans3ormaciones “4na trans3ormación en un plano, es una aplicación 5ue se hace corresponder a cada punto - de coordenadas %x, y) del plano, otro punto -6 de coordenadas %x6, y6) del mismo plano +n consecuencia, cual5uier punto conjunto de puntos 7 se pueden trans3ormar en otro conjunto de puntos 76 ” &
=as transformaciones que se requiere conocer -ara -oder desem-e)arse en los modelos cinemáticos son la traslación 5 la rotación =a traslación re-resenta el des-lazamiento de un -unto o un con4unto de .ste1 a -artir de un 3ector fi4o @ &3(1 que no es nulo Para resol3er la traslación de un -unto &P( de
forma que una translación &T( se9n el 3ector 3 @ 3,13*1 se -uede re-resentar como la suma de matrices !s decir1 @^ 3, X @5^ 53* N T
x+v1 y+v2
P^ @^1 5^
=a rotación1 eom.tricamente es la transformación o iro de una fiura en torno a un -unto fi4o1 que se lo denomina centro de rotación @-uede estar en tanto en interior como en el eterior de la fiura Cuando la fiura &_( rota un ánulo ] en sentido anti2orario1 se o0tiene la fiura _^ Para -oder determinar la fiura transformada es necesario multi-licar la matriz de rotación -or la matriz columna asociada a ese -unto Cos] Ben] =a matriz de rotación que se utiliza en dos dimensiones es : Ben] Cos] !n cuanto a tres dimensiones1 eisten # ti-os de matrices1 de acuerdo a cual sea su centro de rotación:
*&8 #plicaciones matriciales en la 39sica
=as matrices como -udimos o0ser3ar tam0i.n -ueden re-resentar e-resiones lineales Por lo tanto muc2as 3eces en la física se suelen utilizar estas1 en su calcificación de tensores> -ara análisis dinámicos Alunos de los casos -ueden ser: !l tensor de inercias>1 la matriz que da cuenta de las aceleraciones centrífua 5 de Coriolis1 la matriz de ra3edad 5 la de rozamiento 3iscoso Para com-render al menos lo 0ásico de este tema es necesario com-render los siuientes conce-tos
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Momento de inercia: !l momento de inercia @R es una medida de la inercia rotacional> de un cuer-o Cuando un cuer-o ira en torno a uno de los e4es -rinci-ales de inercia1 la inercia rotacional ser -uede re-resentar como una manitud escalar llamada momento de inercia Bin em0aro1 la inercia rotacional de0e ser re-resentada -or medio de un con4unto de momentos de inercia 5 com-onentes que forman el llamado tensor de inercia Aceleración centrífua: =a aceleración centrífua es la aceleración que toma un cuer-o determinado -or causa de la fuerza centrifua !sta 9ltima en realidad es una fuerza de inercia1 -roducida -or1 4ustamente1 la inercia de los cuer-os al mo3erse en torno a un e4e !s im-ortante aclarar que la fuerza centrífua aumenta con el radio del iro @r 5 con la masa @m del cuer-o !l efecto Coriolis: es el que se o0ser3a en un sistema de referencia en rotación @no siendo inercial cuando un cuer-o se 2alla en mo3imiento en relación a un sistema de referencia
A causa de la 3iscosidad1 es necesario e4ercer una fuerza -ara o0liar a una ca-a de fluido a deslizar so0re otra
Capítulo II La robótica
II. La robótica II.1 Introducción a la robótica =a ro0ótica es una ciencia que estudia el dise)o 5 construcción de máquinas ca-aces de desem-e)ar tareas realizadas -or el ser 2umano =as ciencias 5 tecnoloías de las que deri3a son: el ále0ra>1 los autómatas -rorama0les>1 las máquinas de estados>1 la mecánica> 5 la informática> !stás maquinas que -oseen la ca-acidad de mani-ular o04etos 5 realizar acti3idades -ro-ias de los 2umanos se denominan ro0ots ?n ro0ot es una estructura electromecánica> que se desem-e)a con un determinado ni3el de autonomía1 a tra3.s de un -rocesador de datos1 -ara la realización de una cierta tarea
II.2 Estructura mecnica de un robot Mecánicamente1 un ro0ot está constituido -or un encadenamiento de elementos o esla0ones unidos a -artir de articulaciones que -ermiten un mo3imiento relati3o entre cada dos esla0ones consecuti3os =a estructura física de la ma5oría de los ro0ots industriales es mu5 -arecida a la anatomía del 0razo 2umano @A6!`", =os mo3imientos -osi0les -ara las articulaciones son: @A6!`" * Des-lazamiento @articulación lineal o -rismática1 Giro @articulación rotacional o de re3olución1 =a com0inación de am0os1 @este 9ltimo es menos com9n en la -ráctica • • •
Cada mo3imiento inde-endiente que -uede e4ecutar una articulación en relación a su anterior se lo llama rado de li0ertad @GD= !l n9mero de GD= del ro0ot es resultado de la suma de los rados de li0ertad de las articulaciones que lo forman 'a0itualmente el n9mero de GD= suele coincidir con la cantidad de articulaciones que lo constitu5en Bi se quiere -osicionar un o04eto de cualquier modo en el es-acio se -recisan K GD= @tomando en cuenta tanto la -osición como la orientación !n definiti3a1 la e4ecución de una tarea im-lica que el efector final> del mani-ulador -roduzca un mo3imiento esta0lecido Para que esto ocurra1 se requiere de un sistema de control que arantice la eficaz realización del mo3imiento del efector final1 -ara lo cual de0e ser -osi0le encontrar la manifestación -arcial de las fuerzas 5 torques que se a-licarían a los actuadores con el o04eti3o de arantizar que las tra5ectorias de referencia se cum-lan !s fundamental dis-oner de un modelo que re-resente el com-ortamiento del ro0ot !ste modelo de0e a-licar la cinemática del mani-ulador1 es decir% el mo3imiento del mani-ulador en relación a un sistema de referencia cartesiano fi4o1 5 en otras -ala0ras1 el com-ortamiento del ro0ot en función de las fuerzas 5 momentos a-licados
Capítulo III La matemática en acción
III. La matemtica en acción !n este tra0a4o monoráfico se -odrán a-reciar los di3ersos recursos matemáticos que se utilizan en la ro0ótica !l -ro0lema más elemental que de0e resol3erse es lorar un modelo eom.trico de la estructura del ro0ot que -ermita relacionar los rados de li0ertad @las 3aria0les eneralizadas con las coordenadas cartesianas de cada -unto que constitu5e el ro0ot !sto se lo conoce como -ro0lema cinemático directo1 5 -ara ro0ots clásicos tiene una solución mu5 sencilla Pero el incon3eniente que sure cuando se intenta u0icar un 0razo ro0ótico o una -ierna de un 2umanoide es 4ustamente el o-uesto1 5a que se inicia a -artir de las -osiciones cartesianas como 3alores de entrada 5 lo que se de0e 2allar son los 3alores de las 3aria0les eneralizadas !l -ro0lema cinemático in3erso sólo -uede solucionarse de manera analítica en casos sencillos1 5 -uede -oseer desde cero 2asta infinitas soluciones !n alunos casos -articulares se -uede 2acer un -ro5ecto relati3o esta0lecido a -artir de matrices 4aco0ianas> De0e o0ser3arse que el -lanteamiento cinemático no es 3álido cuando se -retende
donde inter3ena el tiem-o De0e tam0i.n tenerse en cuenta que un ro0ot de0e mo3erse en tiem-o real1 -or lo cual es necesario -lantear soluciones de 0a4a com-le4idad com-utacional
III.1 Modelo cinemtico “La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de re3erencia La cinemática se interesa por la descripción anal9tica del movimiento espacial del robot como una 3unción del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación de la herramienta del robot con los valores 5ue toman sus coordenadas de sus articulaciones” ;
!isten dos -ro0lemas elementales en la cinemática del ro0ot !l -rimero se conoce como el -ro0lema cinemático directo
III.2 !roblema cinemtico directo =a cinemática directa se 0asa en o0tener la u0icación en el es-acio del cuer-o a -artir de los 3alores de las 3aria0les eneralizadas
` f @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn Y f 5 @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn f z@q,1q*1q#1qH1qI1Fqn U f U @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn V f V @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn b f b @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn
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q,Fn Bon las 3aria0les de las articulaciones 1 5 1 z Coordenadas de la -osición del etremo del ro0ot f @q,1q*1q#1qH1qI1Fqn nulos de la orientación del etremo del ro0ot
A -artir de un 0ásico modelo eom.trico -ara una articulación de # GD= en dos dimensiones se tiene
!n este caso ` l, Cos ], l* Cos@ ], ]* l# Cos @], ]* ]# Y l, Ben ], l* Ben@ ], ]* l# Ben @], ]* ]# Para ro0ots de más de # GD= es dificultoso em-lear -rocedimientos eom.tricos -ara la solución de su cinemática directa Por eso1 a cada esla0ón se le asocia un sistema coordenado 5 a -artir del uso de transformaciones 2omo.neas es -osi0le e-resar las rotaciones 5 traslaciones relati3as entre los distintos esla0ones que forman el ro0ot
III.2.A A"licación Matricial Para re-resentar la transformación de un sistema de coordenadas con res-ecto al anterior se de0en usar matrices de transformación 2omo.neas Biendo la matriz: Aii, de transformación 2omo.nea que re-resenta la -osición 5 orientación relati3a entre los sistemas asociados a dos esla0ones consecuti3os del ro0ot Para el caso de un ro0ot de K e4es1 su cadena cinemática queda re-resentada -or la siuiente matriz de transformación 2omo.nea: T A+K A+, A ,* A *# A #H A HI A IK !sta matriz THH re-resenta la transformación de un 3ector de un sistema de coordenadas a otro 5 se constitu5e -or H su0matrices>: ;## Bu0matriz de ;otación P#, Bu0matriz de Traslación _, # Bu0matriz de
!,, Bu0matriz de !scalado Glo0al !n la ro0ótica1 se suele a-licar a la Bu0matriz de Pers-ecti3a como nula 5 la de !scalado Glo0al con la constante uno
III.2.# Al$oritmo% de &ena'it ( )artenben$ Para arrelos de enlaces más com-le4os es -referi0le usar una notación estandarizada -ara descri0ir la eometría de un mani-ulador !sto fue -ro-uesto en ,II -or Dena3it and 'ar0enter 5 actualmente su uso es mu5 0eneficioso Be9n la re-resentación D'1 escoiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados -ara cada esla0ón1 sería -osi0le -asar de uno al siuiente mediante H transformaciones 0ásicas que de-enden eclusi3amente de las características eom.tricas del esla0ón !stas transformaciones 0ásicas consisten en una sucesión de rotaciones 5 traslaciones que -ermitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i, =as transformaciones en cuestión son las siuientes: , * # H
;otación alrededor del e4e i, un Anulo ]i Traslación a lo laro de i, una distancia di% \ector di @+1 +1 di Traslación a lo laro de `i una distancia ai% \ector ai @+1 +1 ai ;otación alrededor del e4e `i1 un ánulo Ui
, ]i: !s el ánulo que forman los e4es ` i, 5 `i medido en un -lano -er-endicular al e4e i,1 utilizando la rela de la mano derec2a Be trata de un -arámetro 3aria0le en articulaciones iratorias * di: !s la distancia a lo laro del e4e i, desde el orien del sistema de coordenadas @i, esimo 2asta la intersección del e4e i, con el e4e ` i Be trata de un -arámetro 3aria0le en articulaciones -rismáticas # ai% !s a la distancia a lo laro del e4e `i que 3a desde la intersección del e4e i, con el e4e `i 2asta el orien del sistema iesimo1 en el caso de articulaciones iratorias !n el caso de articulaciones -rismáticas1 se calcula como la distancia más corta entre los e4es i, 5 i H Ui: !s el ánulo de se-aración del e4e i, 5 el e4e i1 medido en un -lano -er-endicular al e4e ` i1 utilizando la rela de la mano derec2a ?na 3ez o0tenidos los -arámetros D'1 el cálculo de las relaciones entre los esla0ones consecuti3os del ro0ot es inmediato1 5a que 3ienen dadas -or las matrices A1 que se calcula se9n la e-resión eneral: i,
A i T1 zi,1 di T1 zi,1 ]i T1 i1 ai T1 i1 Ui
!n el aneo se -uede o0ser3ar -aso -or -aso 5 ráficamente cómo es -osi0le determinar cada transformación -ara la realización eficaz del aloritmo @A6!`" #
III.* !roblema cinemtico in'erso !l fin del -ro0lema cinemático in3erso se 0asa en 2allar los 3alores que de0en ado-tar las coordenadas articulares del mani-ulador -ara que su etremo se -osicione 5 oriente se9n una determinada localización es-acial Así como se -uede utilizar el -ro0lema cinemático directo de forma sistemática a -artir del de matrices de transformación 2omo.neas1 e inde-endientemente de la confiuración del ro0ot1 no sucede iual con el -ro0lema cinemático in3erso !n este caso el medio de o0tención de las ecuaciones es altamente de-endiente de la confiuración del ro0ot Rualmente1 a -esar de esta dificultad1 la ma5oría de los ro0ots tienen cinemáticas relati3amente sencillas que facilitan de aluna forma la resolución del -ro0lema cinemático in3erso =os m.todos eom.tricos eneralmente consiuen o0tener los 3alores de las -rimeras 3aria0les articulares1 que son las que -ermiten -osicionar el ro0ot @desconociendo la orientación de su etremo Para esto se utilizan relaciones trionom.tricas 5 eom.tricas so0re los com-onentes del ro0ot _recuentemente se recurre a la resolución de triánulos constituidos -or los elementos 5 articulaciones del ro0ot que1 a 3eces1 llean a infinitas soluciones
III.+ Modelo dinmico “La dinámica se ocupa de la relación entre las 3uerl se ori$ina como resultado de las mismas -or lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las 3uer
=a ela0oración de este modelo -ara ro0ots de ,o * GD= no llea a ser tan com-licada -ero1 a medida que la cantidad de GD= crece1 el dise)o 5 o0tención del modelo dinámico se dificulta considera0lemente !s -or esta razón que no siem-re se lora o0tener un modelo dinámico re-resentado a tra3.s de una serie de ecuaciones1 que -ermita sa0er qu. mo3imiento sure a -artir de una determinada fuerza o qu. fuerzas se de0en a-licar -ara la o0tención de un mo3imiento es-ecífico Por lo tanto este modelo de0iera ser resuelto de manera reiterada a -artir de la utilización de un -rocedimiento num.rico !l incon3eniente que sure a -artir de la o0tención del modelo dinámico de un ro0ot
-ara efectuar tareas como la simulación del mo3imiento de un ro0ot1 su dise)o 5 estimación de su estructura mecánica1 dimensionamiento> 5 la elección de los actuadores> “La obtención del modelo dinámico de un determinado mecanismo, y en particular de un robot, se basa 3undamentalmente en el planteamiento del e5uilibrio de 3uer
•
Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en 3unción de las 3uer
+l diseño del e5uilibrio de 3uer
Como modelo alternati3o -ara la resolución del modelo dinámico eiste la formulación laraniana1 0asada en elementos ener.ticos1 el cual -osee una ma5or -racticidad 5 se -uede considerar más atracti3o matemáticamente1 facilitando etraordinariamente a una estructura tan com-le4a como el de un ro0ot Pero1 lo neati3o de esta alternati3a es el coste com-utacional que -osee1 siendo muc2o más su-erior al de la formulación 6eZtoniana Justamente -or esta razón1 a la 2ora de eleir formulaciones -ara ro0ots con una dinámica mu5 sencilla1 se contin9a o-tando -or la de 6eZton!uler
III.+.1 A"licación al$ebraica =a ecuación que constitu5e el modelo dinámico in3erso de un ro0ot es la siuiente: g D @q q ' @q1 q C @q _3 @q 1 D @q matriz de inercias ' @q1 q matriz que da cuenta de las aceleraciones centrífua 5 de Coriolis1 C @q matriz de ra3edad _3 matriz de rozamiento 3iscoso Be trata de una e-resión no lineal1 -or lo que no siem-re se o0tiene el modelo dinámico directo
\A=DR\R!B" ;enato1 Caracas1 \enezuela Matematica Maravillosa, Matrices y 2rans3ormaciones, _ascículo *,D Caracas% _undación Polar% ,$ edición% *++K% -,K* 1
G;?P" 6";R!GA1 Ciudad de M.ico1 M.ico Eistoria de la ciencia y tecnolo$9a *** % Ciudad de M.ico% !ditorial =imusa% ,h edición% *+++% - *H 2
AC"BTA B6C'!1 =eo-oldo BRG?T BAA\!D;A1 Marta Rslas Canarias1 !s-a)a Curso Rnteruni3ersitario &Bociedad1 Ciencia1 Tecnoloía 5 Matemáticas(% De-artamento de _ísica _undamental 5 !-erimental1 !lectrónica 5 Bistemas1 ?ni3ersidad de =a =auna% ,$ edición *++I% -# 3
AC"BTA B6C'!1 =eo-oldo BRG?T BAA\!D;A1 Marta Rslas Canarias1 !s-a)a Curso Rnteruni3ersitario &Bociedad1 Ciencia1 Tecnoloía 5 Matemáticas(% De-artamento de _ísica _undamental 5 !-erimental1 !lectrónica 5 Bistemas1 ?ni3ersidad de =a =auna% ,$ edición *++I% -K 4
Conclusión
Conclusión
!n este tra0a4o monoráfico se 2a -odido o0ser3ar la ran di3ersidad de recursos que -uede ofrecer la matemática -ara el desarrollo de la tecnoloía ;etomando mi 2i-ótesis e-uesta en la introducción1 afirmo que la matemática1 a tra3.s de su a-orte cinemático 5 dinámico1 2a -erfeccionado la ro0ótica enerando un desarrollo tecnolóico que me4oró la calidad de 3ida de la 2umanidad Como -uede a-reciarse1 a tra3.s del aloritmo Dena3it 'arten0er1 o sim-lemente la a-licación matricial -ara las transformaciones del mo3imiento de cuer-os ríidos1 claramente mi 2i-ótesis -uede 3erificarse 5 afirmarse mu5 fácilmente Ya que a tra3.s de todo el tra0a4o realizado se 2an dado nítidos a-ortes de las matemáticas -ara la función de la ro0ótica @ -or e4em-lo1 los casos nom0rados recientemente =a matemática inter3iene en todo lo que nos rodea Bi esta no eistiera1 o no 2u0iera tenido los -roresos ale0raicos que 2emos 3isto como matrices 5 3ectores% quizás nunca se 2a0ría -odido esta0lecer el modelo -ara realizar un ro0ot1 o ni siquiera -odríamos estar usando com-utadoras @5a que estas se 0asan en el sistema 0inario 5 en matrices1 -or lo tanto el 2ec2o de que la matemática es una fundadora de la tecnoloía actual 5 de sus a3ances1 queda más que claro
?na 3ez aclarado este -unto fundamental1 es necesario destacar más allá del cómo @3isto en todo este tra0a4o1 desarrollar el dónde 5 el -orqu. !n esta monorafía 9nicamente 2e manifestado cómo la matemática a-orta a la ro0ótica1 -ero no se -uede o0ser3ar en donde se -uede a-licar !s -or eso que es necesario aclarar que sus utilidades son -rácticamente infinitas1 -ues1 si la monorafía tratara so0re este tema1 directamente nunca se loraría finalizar Para eneralizar1 se -uede decir que esta ciencia1 4unto a la ro0ótica1 2a fa3orecido sustancialmente a la medicina 1 la informática1 la accesi0ilidad1 las di3ersas industrias1 otras ciencias como la física1 química1 0ioloía1 arqueoloía% tam0i.n a la aricultura1 la astronomía1 5 la lista -odría ser intermina0le@ Para 3er e4em-los es-ecíficos 3er A6!`" De esta forma se -uede o0ser3ar claramente que estos dos -ilares @la ro0ótica 5 las matemáticas fueron1 son 5 serán un recurso ilimitado -ara que el 2om0re -ueda me4orar su calidad de 3ida Anteriormente nom0r. al -orqu.1 5 esto sure a -artir de una -reunta mu5 sencilla: 7!l 2om0re se merece 5 -uede ser res-onsa0le de
seme4ante -oder que le otora la
tecnoloía8 juizás la res-uesta no se -ueda esta0lecer en unas sim-les -áinas1 -ero lo que sí se -uede -lantear1 es que mientras la .tica eista 5 nos inter3ena1 -odemos confiar en la tecnoloía !s -or esto que de0emos ocu-arnos 1 desde nuestras más diminutas -osi0ilidades1 -ara que los nue3os recursos est.n en manos de quienes luc2an día a día -or el a3ance de la 2umanidad1 los que luc2an -ara conseuir una 0eca del !stado 5 que no -ueden seuir sus a3ances de in3estiación1 -ara aquellos que 2acen todo lo -osi0le -or construir 0razos 5 -iernas a quien no las tiene1 los que constru5en casas intelientes es-ecializadas -ara -ersonas con ca-acidades distintas1 quienes im-lementas me4oras diariamente a la ciruía ro0ótica1 -ara aquellos que quieren un mundo me4or1 todos 5 cada uno de ellos se merecen la eistencia de una ciencia tan altruista 5 desinteresada como es la matemática !sencia del -roreso 5 arma creada -ara la -az
“@o s> lo 5ue parecer> a los ojos del mundo, pero a los m9os es como si hubiese sido un muchacho 5ue jue$a en la orilla del mar y se divierte de tanto en tanto encontrando un $uijarro más pulido o una concha más hermosa, mientras el inmenso oc>ano de la verdad se extend9a, inexplorado 3rente a m9” %*saac @eAton, &F?(&G(G)
Glosario
Glosario
Actuadores: Dis-ositi3os que tienen como misión enerar el mo3imiento de los elementos del ro0ot se9n las órdenes dadas -or la unidad de control
Álgebra: Parte de las matemáticas en la cual las o-eraciones aritm.ticas son eneralizadas em-leando n9meros1 letras 5 sinos Cada letra o sino re-resenta sim0ólicamente un n9mero u otra entidad matemática Cuando aluno de los sinos re-resenta un 3alor desconocido se llama incónita
Algoritmo: Con4unto de instrucciones o relas 0ien definidas1 ordenadas 5 finitas que -ermite realizar una acti3idad mediante -asos sucesi3os que no eneren dudas a quien de0a realizar dic2a acti3idad
Autómatas programables: !n electrónica un autómata es un sistema secuencial1 @donde los 3alores de las salidas1 en un momento dado1 no de-enden eclusi3amente de los 3alores de las entradas en dic2o momento1 sino tam0i.n de-enden del estado anterior o estado interno aunque en ocasiones la -ala0ra es utilizada tam0i.n -ara referirse a un ro0ot Puede definirse como un equi-o electrónico -rorama0le en lenua4e no informático 5 dise)ado -ara controlar1 en tiem-o real 5 en am0iente industrial1 -rocesos secuenciales
Cinemática: ;ama de la física 5 la mecánica clásica que estudia las le5es del mo3imiento de los cuer-os sin tener en cuenta las causas que lo -roducen1 limitándose1 esencialmente1 al
estudio de la tra5ectoria en función del tiem-o
imensionamiento: Proceso -ara determinar la medición deseada de la característica de una -ieza
inámica: Parte de la física que descri0e la e3olución en el tiem-o de un sistema físico en relación con las causas que -ro3ocan los cam0ios de estado físico 5/o estado de mo3imiento !l o04eti3o de la dinámica es descri0ir los factores ca-aces de -roducir alteraciones de un sistema físico1 cuantificarlos 5 -lantear ecuaciones de mo3imiento o ecuaciones de e3olución -ara dic2o sistema de o-eración
!fector "inal: 'erramental es-ecial que -ermite al ro0ot de uso eneral realizar una a-licación -articular Be encuentra en el etremo de su estructura
!scalar : 69mero real o com-le4o !structura electromecánica: Dis-ositi3os que com0inan -artes el.ctricas 5 mecánicas -ara conformar su mecanismo
"luido: _luido a un con4unto de sustancias donde eiste entre sus mol.culas -oca fuerza de atracción1 cam0iando su forma
Informática: Con4unto de conocimientos científicos 5 t.cnicas que 2acen -osi0le el tratamiento automático de la información -or medio de ordenadores
Inercia: Pro-iedad que tienen los cuer-os de -ermanecer en su estado de mo3imiento1 mientras no se a-lique so0re ellos aluna fuerza
#á$uinas de estados: Modelo de com-ortamiento de un sistema con entradas 5 salidas1 en donde las salidas de-enden no sólo de las se)ales de entradas actuales sino tam0i.n de las anteriores =as máquinas de estados se definen como un con4unto de estados que sir3e de intermediario en esta relación de entradas 5 salidas1 2aciendo que el 2istorial de se)ales de entrada determine1 -ara cada instante1 un estado -ara la máquina1 de forma tal que la salida
de-ende 9nicamente del estado 5 las entradas actuales
#atri% &acobiana: Matriz formada -or las deri3adas -arciales de -rimer orden de una función ?na de las a-licaciones más interesantes de esta matriz es la -osi0ilidad de a-roimar linealmente a la función en un -unto !n este sentido1 el 4aco0iano re-resenta la deri3ada de una función multi3aria0le
#ecánica: ;ama de la física que trata del equili0rio 5 del mo3imiento de los cuer-os sometidos a cualquier fuerza
#ódulo: \alor a0soluto de un n9mero real =onitud del semento que define un 3ector 'ubmatri%: Matriz formada -or la selección de ciertas filas 5 columnas de una matriz más rande
(ersor: \ector de módulo , )ensor: Cierta clase de entidad ale0raica de 3arios com-onentes1 que eneraliza los conce-tos de escalar1 3ector 5 matriz de una manera que sea inde-endiente de cualquier sistema de coordenadas eleido .Para definir un tensor es necesario -artir de un es-acio físico que defina cual es el es-acio 3ectorial 0ase so0re el que se construirán tensores de diferente ti-o 5 orden Por e4em-lo1 un tensor de orden * es una matriz
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Diario La Crónica ;residenteE Oa
Ane5o
Anexo 6. !imilitudes entre el braHo umano y el mecánico
* Ti-os de mo3imiento
. ;arámetros D=%
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D%8
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Aumenta el uso de robots cirujanos para atender cáncer de próstata Antimio CruH R AcademiaR 8966=9>=8: R %ora de creaciónE 86EPER *ltima modiFcaciónE 88EE:
&n los Sltimos 66 a/os la cirugía robótica abdominal y pl0ica para atender cáncer de próstata a aumentado aceleradamente( segSn un reporte publicado esta semana por el Instituto $acional del Cáncer( de &stados *nidos. &l sistema de robot ciruMano Da +inci TDa +inci !urgical !ystemU aora se utiliHa en P de cada : prostatectomías radicales en ese país y aumenta su adopción en &uropa y Amrica Latina. !u uso tambin es cada 0eH más frecuente en el tratamiento de otros cánceres( como los relacionados con tumores ginecológicos( de cabeHa y de cuello. &n -5ico( la 4acultad de -edicina de la *$A- ya tiene un robot ciruMano Da +inci( para educación( y algunos ospitales pri0ados( como la "orre -etropolitana( ya usan ese sistema para acer cirugías abdominales desde 899:. &l informe del Instituto $acional de Cáncer de &stados *nidos indica Vue( sólo en Amrica del $orte( e5isten ya mil robots ciruManos laborando diariamente. -ás allá de ser un interesante dato tecnológico( el aumento de cirugías robóticas de próstata a coincidido con una disminución en el nSmero de muertes por cáncer de próstata en &stados *nidos( pero aSn no se puede decir Vue aya una relación directa entre más robots y menos muertes. &se es un tema Vue aSn forma parte de una contro0ersia entre ciruManos. Lo Vue sí es un eco irrebatible es Vue el nSmero de cirugías de próstata ecas por robots a crecido a partir de 899P. -ientras en ese a/o se realiHaron > mil prostactectomías robóticas( en 8969 rebasaron las 9 mil anuales. &l cambio parece aber alterado para siempre el tratamiento VuirSrgico para el cáncer de próstata( segSn comentó el doctor %ug La0ery( ciruMano urólogo del Centro -dico -ount !inaí en $ue0a orW. 1Creo Vue las prostatectomías abiertas y la laparoscopía an desaparecido2( indicó el doctor La0ery. Los datos disponibles indican Vue los pacientes y los ciruManos 1están pidiendo robots( y los están consiguiendo2( agregó.
;ACI&$"&! ;ID&$ ,B"!. De acuerdo con la periodista Carmen ;illips( Vuien elaboró un reportaMe de in0estigación sobre robots ciruManos para el Instituto $acional de Cáncer de &stados *nidos( los mdicos an comenHado a e5perimentar y padecer la e5igencia de mucos pacientes Vue e5igen ser operados con robots( aunVue no en todos los casos se MustiFVue. !egSn Carmen ;illips( un estudio de P99 sitios
Carpincho ar!entina
un
robot
made
in
9?K66K69 ;or !IL+IA $AI!%"A"
Decididamente( casi no e5isten robots como ,obocop( aVuel sSper policía con cuerpo mecánico de la pantalla. Algunos son una caMa( otros un braHo o una oruga. Lo esencial es Vue toman decisiones y eso signiFca una escala superior respecto a los procesos automáticos( en los Vue se deFnen pre0iamente todos los pasos a seguir. La Sltima semana en el Itba TInstituto "ecnológico de Buenos AiresU los e5pertos en robótica e inteligencia artiFcial ablaban en idioma incompresible. !e referían con las siglas *A+( *G+ y *+ a robots de aire( tierra o agua. &n Argentina no e5isten fábricas como la estadounidense I ,obot Vue factura *!X :99 millones. $i siVuiera las dos Vue se destacan en Cile. muco menos un Instituto como en Japón. ;ero en silencio Yoreció la acti0idad en distintas uni0ersidades. Carpinco ( por eMemplo( es un robot desarrollado por la *ni0ersidad $acional del CentroE puede reconocer el terreno para transitar en forma segura . *tiliHa un sensor láser para la detección precisa de obstáculos cercanos y corrige posibles errores. La *ni0ersidad de Baía Blanca rompió una frontera con un robot submarino para tareas de mantenimiento en las tuberías de e5tracción del petróleo. "ransporta un sistema de sensores para tomar información de inters en el poHo petrolero. Al robot areo Vue creó el I$A* de !an Juan no se lo enga/a fácilmente. !e le pide Vue busVue un obMeti0o en base a un G;! y puede cambiar el rumbo en función del 0iento u otra ad0ersidad climática. %ay elicópteros robots y a0iones fumigadores Vue tambin lo son. &n el I"BA in0entaron uno para recolectar residuos. &n medicina ay una re0olución a partir del Da +inci Vue opera con precisión sobre umana.
ZCómo llegar de un lugar a otro[ ZCómo actuar en una situación e5trema[( son desafíos segSn Juan -iguel !antos( doctor en Ciencias de la Computación y profesor del I"BA. Igual Vue en otros campos( la in0estigación 0a por delante de las necesidades. !antos concluye Vue la robotiHación es irre0ersible. aunVue aSn falta muco( teme 1por la sustitución de mano de obra por parte de estos aparatos inteligentes Vue trabaMan sin orario y no discuten salarios2.
CI&$CIA \ DIALG C$ ;ABL D& C,I!"4,I!( &!;&CIALI!"A &$ ,B"ICA( D& LA 4AC*L"AD D& CI&$CIA! &]AC"A! D& LA *BA
La oscura robots
autonomía
de
los
Z;ueden aprender los robots[ La posibilidad de Vue puedan tomar decisiones propias sin la inter0ención de los umanos y aprender de sus acciones es una bSsVueda eterna de la robótica( Vue plantea( por aora( más preguntas Vue respuestas. ;or Leonardo -oledo QA 0er( este asunto de los robots... Cunteme Vu ace usted. QBásicamente( en este laboratorio... QAclaremos Vue es un laboratorio del Departamento de Computación de la 4acultad de Ciencias &5actas de la *BA... no pude ponerlo en la 0olanta porVue era muy largo... Q...Vue es donde se conciben( se piensan( se dise/an( se construyen( crecen( se desarrollan e incorporan diferentes capacidades a robots mó0iles de distinto tipo( con distintos sensores( con distintos motores( con distintas conFguraciones. &sa es toda un área de desarrollo del laboratorio de robótica. tra área tiene Vue 0er con cómo se dota al robot de todo el soft
QZA Vu se reFere cuando abla de entorno[ Z&ntorno topológico[ Q;uede ser un entorno topológico. ;or eMemplo( si yo Vuiero ir de acá a mi casa( no 0oy a tener un mapa preciso de todas las instancias del entorno Vue 0oy a tener Vue recorrer3 lo Vue 0oy a acer( mentalmente( es recordar Vue e5iste una parada de colecti0os( Vue yo tengo Vue ir a esa parada de colecti0os( Vue para ir aí tengo Vue salir de la facultad( Vue luego de tomarme el colecti0o tengo Vue baMarme en determinada parada( etc. &so es lo Vue acemos los umanos. tambin es lo Vue procuramos Vue agan los robots. eso es lo interesante. &sa misma metodología se le puede asignar a un robotE e5isten mapas topológicos( mapas mtricos. Q e5iste el G;!. Q!í( claro. ^ue tambin se utiliHa en robótica( fundamentalmente en entornos abiertos( e5teriores( porVue en ambientes cerrados no se puede utiliHar. QZ;or Vu[ Q;orVue necesita poder 10er2 los satlites Vue en0ían la información. QZ a dónde apunta todo esto[ Q*na de las cosas Vue se busca permanente en la robótica mó0il es la autonomíaE Vue los robots puedan acer cada 0eH tareas más compleMas sin la inter0ención umana. La capacidad de sensado( de control( de mo0erse en un entorno desconocido es algo muy interesante y atracti0o desde el punto de 0ista del desarrollo. ;or eMemplo( los robots Vue se mandaron a -arte tu0ieron la capacidad de na0egar y e5plorar la superFcie marciana sin Vue un umano lo maneMara desde acá. &so ubiese sido imposible porVue el tiempo Vue tarda en llegar una orden desde la tierra abría eco Vue los robots cocaran con las rocas. Aí ay una aplicación bien concreta. !i uno Vuiere inspeccionar un lugar Vue puede estar contaminado por material radiacti0o( tambin es bueno tener un robot Vue cuente con autonomía para poder tomar decisiones sin inter0ención umana. QZCómo toma las decisiones[ QLo más interesante es Vue mucas 0eces no es el programador el Vue decide cuál es la acción Vue 0a a realiHar el robot ante cada situación( sino Vue el robot puede ir tomando decisiones Vue 0a aprendiendo de la propia interacción con el medio. &so tambin e5iste y es toda un área de desarrollo. &s decir Vue el robot puede aprender. Q;ero el programador( imagino( le pone una función del tipoE 1!i ay más Vue 5 umedad( salí del lugar2. Z el robot puede tomar decisiones por sí mismo[
Q!í( puede. De alguna forma( construye una representación del mundo( conoce cuáles son las acciones Vue puede eMecutar y cuáles las 0ariables Vue puede incorporar del medio ambiente( y en función de esas dos cosas puede ir meMorando las acciones Vue puede ir tomando. Básicamente se realiHa un esVuema de aprendiHaMe por refuerHo Tes el caso del perro de ;a0lo0U( donde uno al robot lo deMa Vue tome acciones y lo premia cuando las tareas Vue eMecuta son las Vue se están buscando y se lo castiga cuando las acciones no son las Vue uno espera. &se algoritmo se puede eMecutar mucas 0eces y a medida Vue se 0a eMecutando meMoran las decisiones Vue puede tomar el robot. Q;ero ay un algoritmo Vue pone usted... Q!í( eso es cierto. "ambin emos utiliHado redes neuronales artiFciales para 0er si pueden aprender un determinado comportamiento. !i uno Vuiere Vue un robot e0ite obstáculos( puede entrenar determinada red neuronal. Q&l asunto de las redes neuronales( Zno está un poVuito en decadencia[ "u0o su boom y aora parecería ser Vue... QComo toda nue0a área( en sus comienHos parece Vue 0a a resol0er todos los problemas del uni0erso y luego se lo acota para abordar determinadas cuestiones puntuales. %oy por oy( se sabe Vue las redes neuronales no se pueden apro5imar a cualVuier función y Vue( por lo tanto( tienen una aplicación Vue no es uni0ersal Tcomo se creía en sus iniciosU. ;ero sí tiene utilidad para nuestros temas. Q;areciera ser Vue las decisiones Vue toma uno( como ser umano( se basan en un conMunto de estímulos no inFnito pero sí muy grande. ;or otro lado( pareciera ser Vue las Vue toma el robot no contemplan tantas 0ariables. Z sí[ &l sistema por el cual el robot toma decisiones( Zes parecido al umano[ Z"iende al umano[ Q&l mundo es muy compleMo y uno establece modelos. Cuando uno establece un modelo( lo Vue ace es acotar las 0ariables. Q;ero el proceso de toma de decisiones( Ztiende al proceso de toma de decisiones de los umanos[ Q&n realidad( eso ay Vue 0erlo en el desarrollo de la istoria de la robótica. !i uno tiende a 0er cómo fue meMorando la capacidad de autonomía de los robots desde los orígenes asta oy en día( de alguna forma puede tener una 0isión optimista. Los robots 0an ganando en autonomía y eso es posible porVue cuentan con una información del entorno más rica( más capacidad de sensado( más capacidad de procesamiento. Cada 0eH se parecen más... QZ;or Vu llama a eso 1optimista2[
QBueno( porVue de alguna forma es lo Vue estamos buscandoE Vue se acerVue al desempe/o de un animal 0i0o en el entorno. ;or otra parte( abría Vue se/alar Vue no está deFnido cómo toman decisiones los umanos. Q;ero tenemos ciertas intuiciones. *no podría pensar Vue el proceso de toma de decisiones en umanos funciona de manera computacional Tes decir( Vue ay determinada cantidad de 0ariables( enorme pero Fnita( y Vue en base a esa enorme cantidad de 0ariables se eligeU o Vue funciona de una manera Vue no puede compararse con la manera computacional de tomar decisiones. Lo Vue a mí me intriga es si la manera de tomar decisiones de los umanos es una 0ersión compleMiHada de la manera de tomar decisiones de los robots o si( más bien( es de un tipo completamente diferente. Q*no lo Vue puede medir( para tratar de ser obMeti0o( son determinadas capacidades... Q$o pido obMeti0idad. ;ido una intuición. QLibre albedrío no se le puede atribuir a un robot. Q;ero el libre albedrío nadie sabe lo Vue es. QBueno( la capacidad de tener conciencia y de actuar en función de eso. Lo Vue sí se imita( para Vue los robots actSen de manera libre( es la aleatoriedad del mundo. *no necesita Vue el robot responda a acciones al aHar cada tanto para Vue progrese en su autonomía.
+ndice Rntroducción kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPáI Desarrollo kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPáL R Conce-tos matemáticos 5 físicos 0ásicoskkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá R, Conce-tos matemáticoskkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá R,A Matrices kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá R,S \ectoreskkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá,, R,CTransformaciones kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá,, R,D A-licaciones matriciales en la físicakkkkkkkkkkkkkkkkkPá,* RR =a ro0óticakkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá,H RR, Rntroducción a la ro0óticakkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá,I RR* !structura mecánica de un ro0otkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPá,I
