2012
Laporan Praktikum Fisika Menentukan Titik Berat Benda
Kelompok 5 Riza Fahlevi Rizqi Zakaria Nur Rohmah Itsnawati Rudi Handoko Septian Ika Prasetya Shaffil Wildaan Siti Nurhayati
Kelas XI-IPA 2
SMA NEGERI AJIBARANG
ABSTRAK
Kami melakukan percobaan untuk menentukan titik berat dari sebuah benda datar yang tidak beraturan. Titik berat atau disebut juga pusat massa yaitu suatu titik dimana massa sistem dapat dikonsentrasikan yang jika diberikan gaya pada titik tersebut maka sistem akan bergerak translasi murni. Tujuan dari percobaan ini adalah untuk menentukan titik berat benda datar tidak beraturan. Percobaan ini dilakukan dengan cara menentukan tiga garis berat pada sisi yang berbeda, kemudian menentukan titik perpotongan dari garis-garis berat tersebut. Titik perpotongan dari dar i beberapa garis berat be rat adalah pusat massa mass a atau titik berat benda. bend a. Kata kunci: Vektor, Benda Tegar, Torsi, Momen Inersia, Titik Berat
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, taufiq, hidayah, serta inayah-Nya, sehingga kami dapat melaksanakan kegiatan praktikum menentukan titik berat bidang datar tak beraturan serta menyusun laporan kegiatan praktikum menentukan titik berat. Kegiatan praktikum bertujuan untuk menentukan titik berat atau pusat massa dari sebuah benda/bidang datar yang bentuknya tidak beraturan (poligon). Metode yang digunakan untuk menentukan titik berat benda adalah dengan metode garis berat. Sementara penyusunan laporan kegiatan praktikum menentukan titik berat benda bertujuan untuk melaporkan struktur, proses, hasil, dan kesimpulan yang kami peroleh dari kegiatan praktikum kami. Keberhasilan kami dalam melaksanakan praktikum serta menyelesaikan penyusunan laporan praktikum tidak lepas dari dukungan serta bantuan langsung dari berbagai pihak. Maka dari itu, kami mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada: 1.) Kepala SMA Negeri Ajibarang, Bapak Drs.Arif Priadi, M,Ed Terima kasih kami ucapkan atas bimbingan dan dukungan yang senantiasa diberikan kepada seluruh stakeholders demi pembangunan sekolah kita tercinta; 2.) Bapak dan Ibu Guru SMA Negeri Ajibarang. Terima kasih kami ucapkan dan penghargaan yang setinggi-tingginya atas didikan, motivasi, serta ilmu yag senantiasa ditularkan kepada kami sepanjang waktu; 3.) Orang tua kami tercinta, Ayah dan Bunda yang telah membesarkan dan mendidik kami. Terima kasih atas do’a yang selalu kalian kal ian panjatkan demi kesuksesan kami serta dukungan yang tiada henti; 4.) Guru mata pelajaran Fisika kelas XI selaku pembimbing kegiatan praktikum kami, Bapak Drs. Kusno. Terima kasih yang sebanyak-banyaknya serta penghargaan yang setinggitingginya atas bimbingan, tuntunan, didikan, serta motivasi tiada henti yang selalu Bapak berikan pada kami; 5.) Siswa-siswi SMA Negeri Ajibarang, khususnya siswa-siswi kelas XI-IPA 2. Yang senantiasa menemani kami menjalani hari-hari dalam suka dan duka. Terima kasih kami sampaikan atas dukungan yang senantiasa kawan berikan.
6.) Pihak-pihak lan yang turut mendukung dan membantu kegiatan praktikum dan penyusunan laporan yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu. Terima kasih dan penghargaan penghargaan yang setinggi-tingginya atas dukungan dan bantuan anda. Kami berharap agar kegiatan praktikum dan laporan yang sederhana ini tidak hanya sekedar sekedar untuk memenuhi tugas tugas belaka. Namun seyogyanya seyogyanya laporan laporan ini dapat memberikan manfaat yang lebih bagi kami sebagai penyusun serta bagi pembaca sekalian untuk menambah khazanah pengetahuan keilmuan. Kami telah berusaha semaksimal mungkin agar laporan ini dapat disusun sedemikian baik, namun kami tentu menyadari masih terdapat banyak kekurangan dan kekeliruan. Maka, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca dan pengguna laporan ini demi perbaikan pada penyusunan laporan-laporan laporan-laporan selanjutnya.
Ajibarang, Januari 2012
Penyusun
MOTTO
”Hidup adalah drama penuh improvisasi,tanpa scenario,tanpa tahu apa yang akan terjadi, siapa yang akan kau temui, atau tempat-tempat mana yang akan kau pijak. Katakan
“ya”. Dan jika kau beruntung, kau akan bertemu dengan seseorang yang a kan mengatakan “ya” kembali padamu. Apakah dengan berkata “ya” bisa mengantarkanmu pada kesulitan? Apakah dengan berkata “ya” bisa menyebabkan kau kau melakukan suatu kesalahan? Ya,tentu bisa. Tapi jangan takut membuat kesalahan. Ingat, kau tak bisa menjadi muda dan bijak dalam waktu bersamaan. Orang muda yang berlagak bijak dan mengerti tentang hidup, kebanyakan adalah orang-orang sinis. Merka tidak akan belajar apapun. Karena sikap sinis berarti membutakan diri sendiri,penolakan terhadap dunia luar karena selalu ketakutan jika dunia luar akan menyakiti dan mengecewakan. Orang-orang sinis selalu berkata “tidak”.
Tetapi dengan berkata “ya” berarti memulai ses uatu yang baru. Berkata “ya” mengantarkanmu pada pengetahuan baru. Jadi, selama kau mempunyai kekuatan, katakan
“ya” .:: Stephen Colbert
DAFTAR ISI Halaman Judul ........................................... .................................................................. ............................................. ......................................... ................... Kata Pengantar...................................................... ............................................................................. .............................................. .............................. ....... Motto ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ .................................. ............ Daftar isi ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ........................... ..... BAB I
PENDAHULUAN 1. 2. 3. 4.
BAB II
Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Praktikum Manfaat Praktikum LANDASAN TEORI
A. B. C. D. E. BAB III
Analisis Vektor Kinematika Rotasi Dinamika Rotasi Titik Berat Kesetimbangan Benda Tegar METODOLOGI PRAKTIKUM
A. Alat dan Bahan Praktikum B. Desain Praktikum C. Pengolahan dan Analisis Data BAB IV
HASIL PRAKTIKUM DAN PEMBAHASAN A. B. C. D.
BAB V
Proses Praktikum Bidang Datar Tak Beraturan Data Hasil Praktikum Pembahasan PENUTUP
A. B. C. D.
Tes Komprehensif Tes Formatif Kesimpulan Saran
DAFTAR PUSTAKA.............................................................. .................................................................................... .................................. ............
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Perkembangan Sains semakin pesat seiring dengan semakin meningkatnya taraf hidup manusia di era modernisasi. Sains semakin mantap kedudukannya dalam kehidupan manusia, tidak sekedar untuk menjelaskan dan mempelajari fenomenafenomena alam, tetapi tendensinya semakin mengarah ke aplikasi dalam berbagai produk teknologi dari hasil pengembangan dan pengkajian penemuan-penemuan dan teori-teori yang telah diungkap manusia. Sebagai rujukan, adalah bagaimana teori-teori tentang gelombang elektromagnetik yang pada awalnya hanya sekedar rumusanrumusan matematis, sekarang telah membawa revolusi dalam kehidupan dan budaya manusia setelah diaplikasikan ke dalam berbagai produk teknologi yang senantiasa dikembangkan, seperti gelombang radio untuk telekomunikasi dan kepentingan militer, sinar-X dan sinar gamma digunakan dalam teknologi medis. Kemajuan ilmu-ilmu murni telah menjadi sumber bagi ilmu-ilmu il mu-ilmu terapan seiring semakin bijak dan berkembangnya dimensi pemikiran manusia. Selama ini kebanyakan orang di Indonesia adalah pelanggan setia dari produkproduk teknologi yang berkembang sedemikian pesatnya. Mereka adalah objek statis, konsumen dari produk-produk teknologi yang jarang berpikir bagaimanakah prinsip kerja dari produk-produk teknologi yang mereka gunakan. Apalagi berinisiatif untuk menciptakan inovasi dalam bidang teknologi sains. Urgensi yang yang krusial saat saat ini adalah bagaimana menciptakan menciptakan atmosfer atmosfer courage and interest terhadap perkembangan teknologi terutama bagi generasi muda. Tidak
sekedar
mengikuti
perkembangan
teknologi,
tetapi
juga
mampu
menguasai,
memanfaatkan, serta diharapkan mampu memberikan sumbangsih bagi perkembangan teknologi. Jalan terbaik agar dapat menguasai, memanfaatkan, serta menciptakan inovasi teknologi adalah dengan mempelajari, menguasai, dan menerapkan Sains. Dalam mempelajari Sains, langkah awal yang terbaik adalah dengan mempelajari dasar-dasar sains. Dasar-dasar tersebut berupa konsep dan prinsip suatu fenomena alam dalam sebuah disiplin ilmu. Konsep-konsep Konsep-konsep dan prinsip tersebut merupakan konsep dan prinsip yang ilmiah, yang menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari-
hari.Tahap selanjutnya yang sangat krusial adalah menerapkan konsep-konsep dan prinsip-prinsip tersebut untuk menjelaskan prinsip kerja dari suatu produk teknologi. Bahkan, bagi siswa yang memiliki kreativitas dan pemikiran il miah, mengaktualisasikan diri untuk menciptakan inovasi produk teknologi berdasarkan konsep dan prinsip ilmiah yang telah dikuasai merupakan langkah emas menuju teciptanya sumber daya unggul. Semangat dan motivasi untuk mempelajari dan menguasai konsep dan prinsip ilmiah yang menjelaskan fenomena natural dalam kehidupan sehari-hari adalah pemicu yang mendorong kami untuk mempelajari konsep dan prinsip titik berat dalam disiplin ilmu Fisika. Diharapkan, setelah mempelajari konsep dan prinsip titik berat, kami dapat menguasai menguasai konsep dan d an prinsip tersebut, kemudian mengaplikasikannya dalam keidupan sehari-hari agar mendatangkan manfaat. Konsep titik berat, yang berhubungan erat dengan dinamika rotasi dan kesetimbangan benda tegar adalah konsep yang sangat penting dan diterapkan secara meluas di berbagai bidang dalam kehidupan manusia. Hal itulah yang menarik minat kami untuk mempelajarinya. Penerapan dari konsep titik berat meliputi bidang arsitektur, teknik sipil, olahraga, dan banyak bidang lainnya.Sehingga penguasaan konsep titik berat dapat memberikan prospek bagi pilihan karier di masa depan.
B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, maka rumusan masalah dari kegiatan praktikum ini adalah: 1. Bagaimana cara menentukan titik berat dari suatu benda datar yang bentuknya tidak beraturan? 2. Bagaimana hubungan antara titik berat suatu benda dengan titik berat dari bagianbagian benda yang dipisahkan kemudian digabungkan kembali? 3. Bagaimana cara menentukan titik berat sistem benda yang merupakan gabungan dari beberapa benda?
C. Tujuan Praktikum
Berdasarkan Rumusan Masalah diatas, kegiatan praktikum menentukan titik berat benda datar tak beraturan dan penulisan laporan kegiatan praktikum memiliki beberapa tujuan, yaitu: 1. Tujuan Umum (Tujuan Kegiatan Praktikum) Kegiatan Praktikum menentukan titik berat benda datar tak beraturan bertujuan: a. Untuk menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan dengan metode menentukan beberapa beberapa garis berat yang saling berpotongan pada suatu titik; b. Untuk membuktikan bahwa titik berat suatu sistem benda sama dengan titik berat dari gabungan benda-benda yang merupakan hasil pemisahan dari sistem benda tersebut. 2. Tujuan Khusus Kegiatan praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan dan laporan kegiatn praktikum tersebut bertujuan untuk memenuhi tugas mata pelajaran Fisika bab Kesetimbangan Benda Tegar, serta untuk mengaktualisasikan diri dalam aktifitas akademik ilmiah secara mandiri.
D. Manfaat Penelitian Dengan tercapainya tujuan dari kegiatan praktikum dan penulisan laporan praktikum, maka manfaat yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut: 1. Dapat memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip mengenai kesetimbangan kesetimbangan benda tegar beserta konsep, prinsip dan metode menentukan titik berat suatu benda menggunakan menggunakan metode garis berat benda; 2. Dapat membuktikan bahwa titik berat suatu sistem benda sama dengan titik berat gabungan dari benda-benda yang merupakan penyusun dari benda tersebut; 3. Dapat mengaktualisasikan diri dalam suatu kegiatan akademik yang menyangkut kajian ilmiah, sehingga dapat meningkatkan taraf pengetahuan pengetahuan dan penerapan Sains; 4. Dengan pemahaman yang mendalam tentang konsep dan prinsip ilmu Fisika, terutama dalam bab kesetimbangan benda tegar dan titik berat benda, maka siswa dapat memiliki modal dasar yang krusial bagi mereka yang hendak meneruskan jenjang pendidikannya pendidikannya di tingkat universitas pada jurusan arsitektur maupun teknik sipil.
BAB II
LANDASAN TEORI A. ANALISIS VEKTOR I. Besaran Vektor dan Besaran Skalar Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Sementara besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar,tetapi tidak mempunyai arah. Contoh dari besaran skalar adalah massa, energi, dan volume. Suatu besaran vektor dapat digambarkan dengan sebuah anak panah yang memiliki suatu titik tangkap dan ujung anak panah yang menyatakan arah vektor. Berikut adalah notasi dari sebuah besaran vektor.
O
A
Gambar II.A.1 Vektor OA Keterangan:
O
adalah titik tangkap vektor
A
adalah ujung vektor
OA
adalah panjang vektor yang menyatakan besar vektor
OA
adalah arah anak panah yang menyatakan arah vektor
Suatu vektor dapat dituliskan dengan satu huruf, berupa huruf kecil atau huruf besar, misalnya a atau A . Vektor dapat pula dituliskan dengan dua huruf besar, misalnya AB.
II.Resultan II. Resultan Dua Buah Vektor Penjumlahan (resultan) dua buah vektor dapat dilukiskan dengan tiga metode,yaitu; 1. Metode Jajaran Genjang 2. Metode Segibanyak (Poligon) 3. Metode Analitis
Untuk menggambarkan resultan dua buah vektor dengan metode jajaran genjang, caranya adalah dengan menggambarkan dua vektor dalam satu pangkal, kemudian lukiskanlah garis yang ditarik dari ujung masing-masing vektor yang sejajar dengan vektor lainnya, kemudian tariklah sebuah vektor resultan yang pangkalnya ditarik dari titik yang sama dari pangkal kedua vektor dan berujung di titik perpotongan dari garisgaris yang ditarik dari ujung masing masing vektor dan sejajar dengan vektor lainnya. Berikut adalah contoh lukisan penjumlahan dua buah vektor yang saling tegak lurus. A+B=C A
C
B
Gambar II.A.2 Melukiskan resultan 2 vektor dengan metode jajaran genjang Untuk melukiskan resultan dua vektor dengan metode segibanyak (poligon), misalnya p + q = r , langkah-langkahnya sebagai berikut. Dari ujung vektor p, diteruskan dengan pangkal vektor q, lalu gambarlah resultan vektor p + q yang dilukis dari titik tangkap/pangkal vektor p dan berujung di ujung vektor q
r q p
Gambar II.A.3 Melukiskan resultan 2 vektor dengan metode segibanyak (poligon)
Besar dari resultan dua buah vektor dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
R =
√
(1-1)
Keterangan : o
a
= besar vektor a
o
b
= besar vektor b
o
o
= sudut apit terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b = besar resultan dua buah vektor
Dari persamaan (1-1) terlihat bahwa jumlah dua buah vektor bergantung pada sudut apit yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
Jika dua buah vektor searah dijumlahkan, maka vektor resultannya searah dengan kedua vektor itu dan besarnya sama dengan jumlah aljabar kedua vektor tersebut.
Jika dua buah vektor yang saling tegak lurus dijumlahkan, maka besar vektor resultannya dapat dihitung dengan dalil phytagoras untuk segitiga siku-siku.
Jika dua buah vektor yang berlawanan arah dijumlahkan, maka arah vektor resultannya searah dengan vektor yang terbesar dan besarnya sama dengan besar vektor yang terbesar dikurangi dengan besar vektor yang terkecil. Dalam kasus mengurangkan 2 buah vektor, misalnya c = a – b sama dengan
menjumlahkan vektor c = a + (-b). Pengurangan vektor (selisih 2 buah vektor) dapat dilukiskan sebagai berikut: b
a
-b
c
Gambar II.A.4 Melukiskan pengurangan pengurangan vektor a - b = c III. Menguraikan
Vektor
Menjadi
Komponen-Komponen
Sumbu
Koordinat
Cartesius
Setiap vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya pada sumbusumbu dalam koordinat Cartesius. Misalkan vektor V diuraikan, maka komponen vektor V pada sumbu X ditulis Vx, sementara komponen vektor V pada sumbu Y
ditulis Vy. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor V terhadap sumbu X positif adalah α, maka berdasarkan rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku siku AOB diperoleh:
sin α = cos α =
V x = V cos α
(1-4 a)
V y = V sin α
(1-4 b)
Bila besar komponen Vx dan Vx diketahui maka besar sudut yang dibentuk oleh vektor V terhadap sumbu x-positif dapat dicari sebaga berikut:
tan α=
(1-5)
IV. Menjumlahkan Vektor Secara Analitis Menjumlahkan secara analitis adalah menjumlahkan komponen-komponen vektor pada sumbu x dan sumbu y. Langkah-langkah menjumlahkan vektor secara analitis adalah sebagai berikut: 1. Uraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya padda sumbu x dan sumbu y, kemudian hitung besar komponen-komponen komponen-komponen tersebut dengan persamaan:
V x = V cos α
V = V sin α
2. Jumlahkan komponen-komponen komponen-komponen vektor pada sumbu x dan sumbu y R x =
∑V x
= V 1x 1x + V 2x 2x + V 3x 3x + ....... + V nx nx R y =
∑V y
R y =
V 1y 1y + V 2y 2y + V 3y 3y + ....... + V ny ny
3. Hitung besar dan arah resultan vektor dengan dalil phytagoras
tan α =
V. Perkalian Vektor Terdapat 2 (dua) macam perkalian vektor, yaitu: 1. Perkalian Skalar 2. Perkalian Vektor 1. Perkalian Skalar Perkalian skalar antara dua vektor a dan b, yang dituliskan sebagai a . b (dibaca “ a dot b”), menghasilkan sebuah skalar yang didapat dengan mengalikan besar a dan besar b serta cosinus sudut apit terkecil antara kedua vektor.
a.b
= a.b cos θ
a
= besar vektor a
b
= besar vektor b
θ
= sudut apit terkecil antara vektor a dan b.
b θ
a
Contoh besaran fisika yang merupakan hasil perkalian skalar ialah usaha,yang dirumuskan sebagai:
W
=F.s = F.s cos
θ
Dengan= W
= usaha
F
= vektor gaya
(joule)
F
= besar gaya
s
= vektor perpindahan
s
= besar perpindahan (m)
θ
= sudut apit F dan s
Operasi
perkalian
skalar
mengikuti
hukum
komutatif
dalam
matematika,yaitu: a.b
=
b.a
2. Perkalian Vektor Perkalian vektor antara dua vektor a dan b, yang ditulis sebagai
(dibaca a cross b), menghasilkan sebuah vektor yang besarnya dirumuskan oleh:
|a
Dengan: a
= besar vektor a
b
= besar vektor b
θ
= sudut apit terkecil antara antara kedua vektor a dan b.
Vektor | a
tegaklurus dengan bidang yang yang dibentuk oleh vektor a
dan vektor b. Perkalian vektor tidak bersifat komutatif, tetapi anti komutatif. Contoh besaran fisika yang merupakan hasil perkalian vektor adalah luas, momen gaya, dan gaya lorentz.
Luas jajaran genjang contohnya, didefinisikan sebagai: | A | = A = p.l sin θ Dengan p dan l adalah vektor-vektor yang membentuk jajaran genjang.
VI. Vektor Satuan Suatu vektor yang terletak bidang 2 dimensi dapat diuraikan menjadi komponenkomponen vektor dalam sumbu X dan sumbu Y. Sementara vektor yang yang terletak dalam ruang, maka vektor tersebut juga dapat diuraikan menjadi komponen-komponen pembentukya pada sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Gambar II.E.1 menunjukkan vektor A yang terletak dalam ruang diuraikan menjadi komponen-komponen pembentuknya, yaitu Ax, Ay, dan Az. Dengan demikian vektor A dapat ditulis sebagai berikut:
A = Ax + Ay + Az Untuk memudahkan analisis maka ditetapkanlah vektor-vektor satuan pada sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Lihat gambar II.E.1 Y
Ay
A j
i X
Az
Z
k
Ax
Keterangan Vektor A Sumbu-sumbu koordinat Cartesius Komponen-komponen vektor A pada sumbu koordinat
Vektor-vektor satuan pada sumbu koordinat
Vektor satuan adalah vektor sebuah vektor yang besarnya sama dengan satu. Vektor satuan pada sumbu X diberi lambang I, pada sumbu Y diberi lambang j, dan pada sumbu Z diberi lambang k. Sesuai dengan definisi vektor datuan maka;
| j | = | j | j | = 1 | i | = | j Berdasarkan vektor satuan ini maka vektor A dinyatakan dengan:
A
= Ax + Ay + Az
A
= Axi + Ay j + Azk
Pada gambar II.E.1, vektor A merupakan diagonal ruang bangun berbentuk balok A x , Ay , dan Az , sehingga berlaku: dengan rusuk-rusuk A
A =
1. Penjumlahan Vektor Satuan Penjumlahan vektor satuan identik dengan penjumlahan suku-suku aljabar.
ai + b j + ck + d i + e j + f k = (a+d)i a+d)i + (b+e) j j + (c+f)k c+f)k
2. Perkalian Skalar Dua Buah Vektor Satuan
Perkalian Skalar Vektor Satuan yang Sejenis i.i = | i |.| i | cos 0o
= (1) . (1)(1) i.i = 1
jadi, kesimpulan untuk untuk perkalian vektor vektor satuan yang yang sejenis adalah: adalah:
i.i = j.j = k.k = 1
Perkalian skalar Vektor Satuan yang Tidak Sejenis i.j = | i |.| j | cos 90
o
= (1) . (1)(0) i.j = 0
Jadi, perkalian skalar vektor-vektor satuan yang tidak sejenis rumusnya adalah
i.j = j.k = i.k = 0 Perkalian vektor-vektor satuan sama dengan satu jika vektor-vektor satuan tersebut sejenis, dan sama dengan nol jika keduanya tidak sejenis. Rumus perkalian skalar dua buah vektor Jika vektor A dan B dinyatakan dengan vektor-vektor satuan sebagai berikut: A = A x i + A + Ay j + A + Azk dan B = B x i + By j + Bzk
Maka dengan menggunakan rumus perkalian skalar dua buah vektor satuan, diperoleh: = ( A x i + Ay j + Az k) . (B ( B x I + By j + Bz k)
A.B
A.B = A x B x + Ay By + Az Bz 3. Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan
Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan Yang Sejenis: | i x i | = | i |.| i | sin 0
o
= (1) . (1)(0) |ixi|=0
i.i = 0 Jadi, perkalian vektor dua vektor satuan yang sejenis:
ixi=jxj=kxk=0
Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan Yang Tidak Sejenis Untuk memperoleh hasil perkalian vektor dua buah vektor satuan yang tidak
sejenis digunakan diagram lingkaran putar kiri, sebagai berikut:
+
-
Dari diagram lingkaran putar kiri, diperoleh: ixj
= k
j x k
=i
kxi
=j
kxj
= -i
j x i
= -k
ixk
= -j
Penghitungan perkalian vektor beberapa vektor satuan tidak sejenis juga dapat diselesaikan dengan metode yang lebih cepat menggunakan determinan yang menggunakan menggunakan cara Sarrus.
a11 a12
a13
a11
a12
=
a11 a22 a33 + a12 a 23 a31 +
a21 a22
a23
a21
a22
a13 a21 a32 – a – a13 a 22 a31 -
a31 a32
a33
a31
a32
– a12 a21 a33 a11 a23 a32 – a
Contoh E.2 1 Tentukan hasil perkalian vektor dari vektor-vektor: A = 2i + 3j – k
axb=
dan
B
= -i + j + 2k
i
j
k
vektor-vektor satuan i, j dan k
2
3
-1
koefisien-koefisien vektor a
-1
1
2
koefisien-koefisien vektor b
i
j
k
i
j
= i (3)(2) + j (-1)(-1) + k (2)(1) -
2
3
-1
2
3
k (3)(-1) – j(2)(2) (3)(-1) – i(-1)(1) – (-1)(1) – j
-1
1
2
-1
1
Sehingga:
axb=
= 6i + j + 2k + 3k + i + 4 j =7i - 3 j + 5k
B. KINEMATIKA ROTASI Gerak rotasi merupakan gerak benda yang berputar terhadap sebuah sumbu putar ( sumbu rotasi ). Contoh dari gerak rotasi dalam kegiatan sehari hari misalnya gerak roda mobil yang berputar, gerakan pintu yang berputar pada engselnya, dan gerak rotasi pada sumbunya. Dalam melukiskan gerak rotasi, besaran-besaran yang digunakan meliputi posisi sudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut.
I. Posisi Sudut Posisi suatu benda dapat dinyatakan dalam koordinat cartesius ( x,y) ataupun dalam koordinat polar. Pada koordinat polar, posisi benda dinyatakan dalam r dan .
disebut posisi sudut yang diukur terhadap sumbu x-positif, berputar berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam.
r y = y = r sin r sin
x=r cos x=r cos
Hubungan antara (x,y) dan (r, ) adalah: X = r cos y = r sin
=
r=
Menyatakan Posisi Sudut dalam Derajat Radian Dalam penghitungan kinematika rotasi, posisi sudut sering juga dinyatakan dalam radian atau disingkat rad. Satuan radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang busur suatu juring lingkaran dengan jari-jari l ingkaran.
Sudut dalam radian =
=
Dari definisi diatas, besar sudut dalam radian= 1 apabila s = r. Sehingga dapat disimpulkan bahwa satu radian adalah sudut yang dibentuk suatu juring lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut. Dalam kasus sebuah lingkaran penuh, keliling lingkaran adalah 2 r, sehingga besar sudut suatu lingkaran penuh dalam radian adalah sebagai berikut: Besar sudut lingkaran penuh =
= = 2 radian
Sehingga, diperoleh: 2 radian = 360
o
1 rad = = 57,296
o
s = r
= 1 radian
=
1 radian s = r
Pada gerak rotasi, posisi sudut suatu partikel senantiasa berubah. Dengan kata lain, posisi sudut merupakan fungsi waktu dan dapat ditulis dengan = (t). (t).
II.Kecepatan II. Kecepatan Sudut B
+
A
t
t
O
Gambar diatas melukiskan grafik posisi sudut
t + t
suatu partikel sebagai fungsi
waktu. Misalkan pada waktu t partikel berada di A (posisi sudutnya ) dan setelah t + t posisi sudutnya adalah
B). + (titik B
Kecepatan sudut rata-rata partikel didefinisikan sebagai perubahan posisi sudut dibagi dengan selang waktu selama perubahan posisi sudut tersebut.
Kecepatan sudut sesaat (selanjutnya disebut sebagai kecepatan sudut) merupakan
kecepatan sudut rata-rata ketika
sangat kecil. Arah kecepatan sudut menyinggung
kurva (t). (t). Lambang kecepatan sudut adalah
.
Satuan
kecepatan
sudut
adalah
radian/sekon atau disingkat rad/s. Suatu gerak
rotasi
garis sin
un
kecepatan
sudut
konstan
dinamakan gerak melingkar beraturan.
A
dengan
Pada frekuensi
O
gerak putaran
melingkar didefinisikan
beraturan, sebagai
banyaknya putaran setiap detik. Karena 1
, maka frekuensi sama dengan kecepatan sudut dibagi dengan :
putaran sama
f
Perlu ditekankan bahwa : dengan besaran
(kecepatan sudut) merupakan fungsi waktu, berbeda
yang lain seperti:
atau Pada gerak melingkar beraturan keduanya sama. Satuan dari frekuensi adalah putaran per detik atau disingkat putaran/s. Seringkali satuan frekuensi ditulis sebagai s
-1
atau Hz (Hertz). Frekuensi juga dapat dinyatakan dalam rpm
(rotation per minute) atau putaran per menit.
1 rpm =
putaran/s =
Sementara itu, periode,T, merupakan waktu yang diperlukan untuk melakukan 1 kali putaran. Hubungan antara frekuensi dan periode adalah:
III. Menentukan posisi sudut dari kecepatan sudut Posisi sudut suatu benda dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan sudut. Jika posisi sudut awal partikel adalah
, maka posisi sudut pada waktu
t adalah
dan dapat dihitung sebagai berikut (anggap = 0) ∫ = ∫ t 0
Jika konstan, maka gerakan benda adalah gerak melingkar beraturan.
IV. Percepatan sudut
B
A
t
t +
Gambar diatas merupakan grafik kecepatan sudut suatu partikel sebagai fungsi waktu. Misalkan pada waktu t, partikel berada di A (kecepatan sudutnya +
partikel berada di
B (kecepatan sudutnya
).
) dan setelah
t
Percepatan sudut rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi dengan selang waktu selama perubahan kecepatan sudut tersebut.
Percepatan sudut sesaat (disebut percepatan sudut) sama dengan percepatan sudut rata-rata ketika
t sangat
singgung kurva
kecil. Arah percepatan sudut sama dengan arah gradien garis
Percepatan Percepatan sudut diberi lambang .
2
2
Satuan dari percepatan sudut adalah radian/detik atau disingkat rad/s .
V. Menentukan kecepatan sudut dari percepatan sudut Kecepatan sudut dapat dihitung dengan mengintegralkan percepatan sudut. Jika kecepatan sudut awal partikel adalah
maka kecepatan sudut pada waktu
dan dapat dihitung sebagai berikut (anggap t 0 = 0).
∫
Jika
konstan, maka
t adalah
Posisi sudut untuk
,
∫
Gerakan dengan
konstan dinamakan gerak dinamakan gerak melingkar melingkar berubah berubah beraturan. beraturan.
VI. Besaran-besaran Tangensial
Gambar disamping melukiskan sebuah titik pada tepi roda yang berputar mengelilingi sumbu putar O. Jika jarak titik tersebut ke pusat putaran adalah R, maka panjang lintasan titik setelah
O
S
menempuh sudut
R
s = R
adalah:
Karena jari-jari lintasan R adalah konstan, maka laju perubahan s sepenuhnya disebabkan disebabkan oleh laju perubahan
Dengan mengambil limit
mendekati nol, maka persamaan diatas dapat
dituliskan sebagai:
merupakan kecepatan translasi atau kecepatan tangensial. Arah kecepatan ini searah dengan gerakan titik. Jika putaran roda dipercepat, maka kecepatan tangensial v aka semakin besar dan laju perubahan kecepatan sepenuhnya disebabkan oleh l aju perubahan kecepatan sudut.
= R Dengan mengambil limit
sangat kecil, rumus diatas dapat dituliskan sebagai:
merupakan kecepatan tangensial. Arah percepatan ini searah dengan arah gerakan titik. Selain percepatan tangensial, suatu titik yang bergerak melingkar akan mengalami percepatan sentripetal (perceatan normal atau percepatan radial) yang arahnya menuju ke pusat lingkaran.
Besar percepatan tangensial adalah:
= Kesimpulan: Hubungan antara besaran- besaran tangensial dengan besaran- besaran sudutnya adalah=
C. Dinamika Rotasi Benda Tegar Benda tegar didefinsikan sebagai benda yang tidak berubah bentuknya jika pada benda itu bekerja sejumlah gaya. Misalnya baja, beton, besi, batu dan sebagainya. Dinamika adalah ilmu yang mempelajari gerak benda dengan memperhatikan penyebabnya. Sementara gerak rotasi atau gerak melingkar adalah gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk lingkaran. Maka dalam dinamika rotasi yang dipelajari adalah gerak rotasi berkaitan dengan penyebabnya.
I. Torsi (Momen Gaya) Sebuah gaya dapat menimbulkan gerak rotasi apabila garis kerja gaya tidak melalui pusat rotasi. Gaya yang menyebabkan gerak rotasi menghasilkan torsi atau disebut juga dengan momen gaya. Torsi atau momen gaya adalah penyebab dari benda berotasi yang berperan layaknya gaya pada gerak lurus. Momen gaya disebut juga torsi atau torka ataupun dobrakan putar. Torsi didefinisikan sebagai hasil perkalian vektor (cross product) antara vektor gaya F dengan vektor jarak r Semakin besar momen gaya, semakin besar percepatan sudut yang dihasilkannya.Secara matematis , torsi atau momen gaya ( : tau) dirumuskan dengan:
Dengan
= torsi/momen gaya
r = vektor jarak
r = besar jarak
F = vektor gaya
F = besar gaya
= sudut apit terkecil antara r dan F
Arah vektor r
tegaklurus terhadap bidang yang dibentuk oleh
r dan F
r
Gaya
arah putaran
F
F
menyebabkan
batang
berputar searah putaran jarum jam dengan titik O sebagai poros putaran. Arah torsi yang dihasilkan
O
r
menuju
bidang
erkalian vektor
sesuai
aturan
Momen gaya bergantung pada besar gaya Garis kerja gaya
yang diberikan dan lengan momen. Lengan momen adalah jarak tegak lurus sumbu rotasi dengan garis kerja gaya. Dengan kata lain, lengan momen
l Lengan momen
merupakan jari-jari rotasi. Pada gambar dibawah,
lengan momen ditarik dari sumbu putar (O) tegak lurus garis kerja gaya.
Dengan mengikutsertakan lengan momen, persamaan momen gaya dapat dinyatakan dengan:
θ atau Torsi merupakan besaran vektor, maka ketentuan mengenai harga torsi sesuai arahnya adalah sebagai berikut:
apabila menyebabkan putaran searah dengan putaran jarum jam;
(berharga negative) apabila menyebabkan putaran berlawanan arah dengan putaran jarum jam.
II.Momen II. Momen Inersia Inersia adalah kecenderungan benda untuk mempertahankan posisinya. Benda yang sukar untuk digerakkan ketika diam dan benda yang sukar dihentikan ketika ia bergerak dikatakan memiliki inersia yang besar. Massa merupakan ukuran dari inersia. Pada kasus gerak rotasi, besaran yang menentukan inersia benda adalah inersia rotasi. Inersia rotasi yaitu kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaan rotasinya. Jika benda dalam keadaan diam, maka benda tersebut cenderung tetap diam. Jika benda dalam keadaan berotasi, benda tersebut cenderung untu terus berotasi. Ukuran yang menyatakan besarnya kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaan rotasinya adalah momen inersia.Momen inersia bergantung pada massa benda, bentuk benda, dan cara penyebaran massa pada benda tersebut. Benda yang bermassa sama namun bentuk bangunnya berbeda memiliki momen inersia yang berbeda. Untuk merumuskan momen inersia secara matematis, pada kasus momen inersia benda titik yang berputar;momen inersianya didefinisikan sebagai hasil perkalian antara massa partikel,m dengan kuadrat jarak partikel tersebut dari sumbu putarnya.
Untuk momen inersia sebuah sistem yang memiliki banyak partikel, momen inersia dari sistem partikel tersebut adalah jumlah total momen inersia dari tiap-tiap partikel.
∑
III. Momen Inersia Benda Tegar Momen inersia dari benda tegar (benda yang tidak berubah bentuk walau mendapat gaya atau momen gaya) adalh jumlah dari momen inersia setiap partikel dalam partikel benda tersebut. Berikut adalah tabel momen inersia dari benda-benda homogen. NO
BENTUK BENDA TEGAR
l
1
KETERANGAN
MOMEN INERSIA
Batang silinder tipis.
Poros melalui pusat titik tengah batang
l
Batang silinder tipis. Poros melalui salah satu ujung batang
Cincin. Poros melalui sumbu
simetri
r
Cincin. Poros melalui diameter.
Silinder pejal. Poros melalui pusat silinder.
Silinder pejal. Poros melalui tepi silinder.
r
Kulit bola. Poros melalui pusat kulit bola.
r
Bola pejal. Poros melalui pusat bola.
r
Bola pejal. Poros melalui tepi bola.
IV. Momentum Sudut
Momentum sudut suatu partikel (benda titik) yang berputar terhadap suatu titik O didefinisikan sebagai:
z L
L
r
y
r P
x
P
P merupakan vektor momentum partikel dan r adalah vektor posisi partikel
terhadap titik O. L
O r
p
y
z
Pada gambar diatas, sebuah partikel berputar mengelilingi sumbu putar yang melalui O. Momentum sudut terhadap titik O adalah:
θ k
Besar dari momentum sudut dapat dituliskan: L =
k merupakan vektor satuan arah sumbu z positif dan
merupakan
vektor
kecepatan sudut.Arah dari vektor kecepatan sudut:
Jika partikel bergerak melingkar berlawanan arah dengan putaran jarum jam
dalam bidang xy, maka arah vektor kecepatan sudutnya kea rah sumbu z positif;
Jika partikel bergerak melingkar searah dengan putaran jarum jam, maka
vektor kecepatan sudutnya kea rah sumbu z negatif. Rumus
berlaku juga untuk benda tegar.
V. Hubungan antara Torsi, Momen Inersia, dan d an Percepatan Sudut
Momen gaya ( ) menyebabkan gerak rotasi pada benda, sehingga timbul percepatan sudut ( ) F
Pada gambar disamping, benda kecil bermassa m dihubungkan dengan tongkat ringan yang dapat berputar
r A
bebas pada ujung A. Gaya F bekerja pada ujung B. Gaya B
tersebut menimbulkan momen gaya sebesar
yang
menyebabkan menyebabkan benda berotasi.
Besar percepatan tangensial dari partikel tersebut adalah a =
.
Berdasarkan hukum II Newton, diperoleh F = maT , maka:
= =
Karena momen inersia benda adalah I =
maka: ,
Persamaan diatas merupakan hukum II Newton pada gerak melingkar.
VI. Energi Kinetik Rotasi Dalam gerak translasi, energi kinetik dirumuskan dengan
Dalam gerak rotasi, v=
sehingga: ,
Dengan I adalah momen inersia dan
merupakan kecepatan sudut.
Pada benda yang melakukan gerak translasi sekaligus gerak rotasi, hukum kekekalan energi mekanik dapat dirumuskan dengan:
Atau,
VII.
Kekekalan Momentum Sudut Torsi merupakan turunan pertama momentum sudut terhadap fungsi waktu. Dapat
dituliskan sebagai:
Jika tidak ada momen gaya luar yang bekerja pada sistem (
maka:
Persamaan diatas berarti bahwa momentum sudut sistem selalu konstan (tidak berubah sepanjang waktu baik besar maupun arahnya). L = konstan
Dapat disimpulkan, dalam kasus tidak ada momen gaya luar,
I I
Dimana I 0 dan I adalah momen inersia mula-mula dan momen inersia akhir. Sedangkan
dan menyatakan kecepatan kecepatan sudut mula-mula dan kecepatan sudut akhir.
D.KESETIMBANGAN BENDA TEGAR Bangunan tinggi dapat berdiri kokoh , kita dapat berdiri tegak lurus atau lampu dapat tergantung semua ini disebabkan disebabkan karena mereka dalam keadaan seimbang. Ada dua macam keseimbangan :
Keseimbangan Keseimbangan statik , yaitu keseimbangan keseimbangan ketika benda diam.
Keseimbangan Keseimbangan dinamik , yaitu keseimbangan ketika benda bergerak dengan kecepatan tetap.
I. Keseimbangan Titik
Gaya Resultan
Anggap suatu partikel atau benda titik mengalami 3 buah gaya F 1 , F2 ,dan F3 . Resutan dari ketiga gaya ini merupakan suatu gaya tunggal:
R = ∑F i = F 1 + F 2 + F 3
Syarat Keseimbangan
Anggap suatu partikel (benda titik )menerima beberapa buah gaya. Resultan gayagaya ini adalah R. Apa yang terjadi jika partikel tersebut diberi gaya yang besarnya sama dengan R tetapi arahnya berlawanan ? Resultan Resultan gaya-gaya ini akan sama dengan dengan nol . Karena resultan total gaya-gaya yang bekerja pada partikel itu sama dengan nol, maka menurut hokum II Newton (F = ma ) percepatan partikel juga nol . Artinya partikel yang semula diam akan tetap diam. Partikel dalam kondisi ini dikatakan berada dalam keseimbangan static. Jadi dapat dikatakan bahwa suatu partikel berada dalam keseimbangan static jika jumlah gaya atau resultan gaya yang bekerja pada partikel ini sama dengan nol. Secara matematis pernyataan tersebut dapat ditulis: ∑Fx= 0
………………………………….(1)
∑Fy=0
………………………………….(2)
Persamaan (1) dan (2) dinamakan Syarat Keseimbangan benda titik.
II.Resultan II. Resultan Gaya pada Benda Tegar Benda tegar atau benda pejal merupakan benda yang tidak mengalami perubahan bentuk atau volume walaupun diberi gaya atau momen gaya.
Seperti halnya pada benda titik, pada benda tegar gaya-gaya yang bekerja juga dapat digantikan dengan satu gaya tunggal asalkan arah resultan dari gaya-gaya (R) yang bekerja adalah tegak lurus dengan arah momen gaya ( ) yang ditimbulkan oleh gaya -gaya yang gaya-gaya ini. Maksud kata “digantikan” disini adalah jika seluruh gaya-gaya bekerja pada benda kita gantikan dengan suatu gaya lain, kondisi gerak benda akan tetap sama. Misalkan gaya-gaya yang bekerja pada benda tegar adalah F 1, F 2, F 3,…..,dan titik tangkap masing-masing gaya adalah r 1, r2, r3,……. Keadaan gerak benda benda akan tetap sama jika jumlah gaya (∑F) dan jumlah momen gaya (∑) yang bekerja padanya tetap sama. Misalkan kita gantikan gaya-gaya tersebut dengan suatu gaya F t yang bekerja pada titik tangkap r t, maka Ft dan rt harus memenuhi : Ft = F1 + F2 + F3 +…………… rt X Ft = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3 +…. Ternyata Ft sama dengan resultan gaya R. Dari persamaan diketahui rt X Ft = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3 +……..= rt X R = (Catatan : momen gaya diukur terhadap sembarang titik) Karena didapat dari hasil kali kali silang antara rt dan R, maka arah R pastilah tegak lurus arah . JAdi, terbukti bahwa gaya-gaya yang bekerja dapat digantikan dengan gaya tunggal. Dengan catatan arah resultan gaya R harus tegak lurus dengan arah total momen gaya ( ). Syarat agar R dan R dan
tegak lurus ( R. = 0 )
akan tegak lurus ( R. = 0 ) jika gaya-gaya yang bekerja pada sebuah
benda tegar mempunyai sifat sebagai berikut : a) Gaya-gaya sepusat , maksudnya semua gaya yang bekerja mempunyai titik tangkap yang sama. b) Gaya-gaya sebidang,maksudnya semua gaya yang bekerja terletak pada bidang yang sama. c) Gaya-gaya paralel , maksudnya semua gaya yang bekerja sejajar.
Gaya-gaya sepusat
Gambar 12.3a melukiskan dua buah gaya F1 dan F2 yang bekerja pada suatu titik pada sebuah benda tegar.
Titik tangkap dari resultan gaya gaya terletak pada titik tangkap kedua gaya ini. Mari kita hitung momen gaya akibat kedua gaya ini . Untuk mempermudah kita ambil momen ini terhadap titik O. 0
= r X F1 + r x F 2
= r X (F1 + F2 ) = r X R Pada perkalian silang (cross product ) , vektor hasil perkalian selalu tegak lurus dengan vector-vektor yang dikalikan . Dengan demikian terbukti bahwa R tegak lurus terhadap
0
.
b) Gaya-gaya sebidang Gambar 12.4 melukiskan 3 buah gaya F1,F2 dan F3 pada bidang xy (sebidang ) . Titik tangkap ketiga gaya gaya berada pada titik (x1,y1 ) , ( x2,y2 ) dan (x3,y3).i Gaya resultan R : R = F1 + F2 + F3 = (Fx + Fx2 + Fx3 ) i + ( Fy + Fy2 + Fy3 ) j
Vector posisi titik tangkap t angkap ketiga gaya adalah : r1 = x1 i + y1 j r2 = x2 i + y2 j r3 = x3 I + y2 j
Momen gaya total akibat gaya-gaya yang yang bekerja pada pada benda ( terhadap titik O ) adalah
0
= ri X Fi = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3
– y1 Fx1 ) k + ( x 2Fy2 – =(x1f y1 Fy2 – y2 y2 Fx2 ) k + ( x3Fy3 – x3Fy3 – y3 y3 Fx3 ) k y1 – y =(xiFy1 + x2Fy2 + x3Fy3 ) k – k – (y1Fy1 (y1Fy1 + y2Fy2 + y3Fy3 ) k =0
Ternyata R.
0
= 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga gaya ini dapat
digantikan dengan sebuah gaya tunggal. Besar gaya tunggal ini sama dengan besar gaya resultan. Lokasi titik tangkap gaya tunggal ini adalah (x c, yc) dimana
Bukti : Vektor posisi titik tangkap gaya resultan: Rc = xc I + yc j Momen gaya di titik O akibat gaya resultan : (0) = rc X R = (x cRy - ycRx) k Karena gaya resultan dianggap sebagai pengganti dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka momen gaya yang disebabkan oleh gaya resultan ini harus sama dengan momen gaya total yang ditimbulkan oleh tiap-tiap gaya yang bekerja. Dengan kata lain
(0) gaya-gaya = (0) resultan
( ) Atau , Secara umum koordinat titik tangkap resultan dapat ditulis sebagai sebagai
∑
∑
Gaya-gaya sejajar
Gambar 12.6a melukiskan 3 gaya F1, F2, dan F3 yang sejajar sumbu y dengan titik tangkap masing-masing masing-masing gaya pada titik (x1, y1, z1) , (x2, y2, y2, z2) , (x3, y3, z3) dan besarnya masing-masing gaya adalah F1, F2, dan F3. Resultan gaya R : R = F1 + F2 + F3 Arah gaya resultan sudah tentu berada pada sumbu y karena arah ketiga gaya penyusunnya semuanya berada pada sumbu y. R = ( F1+ F2 +F3) j Vektor posisi titik tangkap dari ketiga gaya adalah : r1 = x1 +y1 j + z1 k r2 = x2 + y2 j + z2 k r3 = x3 + y3 j + z3 k
Momen gaya total (terhadap titik o)
∑
= -(zi Fy1 +z2Fy2 + z3Fy3) i + (x1Fy1 + x2Fy2 + x3Fy3) k R. 0 = ( F1 + F2 + F3) j . (x1Fy1 + x2Fy2 + x3Fy3) k – (z – (z1Fy1 + z2Fy2 + z3Fy3) i =0 Ternyata R. o = 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga gaya dapat digantikan dengan sebuah gaya gaya tunggal. Gaya tunggal ini sama dengan gaya resultan : R = (F1 + F2 + F3 ) j Lokasi titik tangkap gaya tunggal (gaya resultan) ini adalah ( x ci + yc j + zck ) dapat dicari sebagai berikut : Vektor posisi titik tangkap : rc = xci + yc j + zck
Momen gaya di titik O akibat gaya resultan adalah : (0) = rc x R = -zcRy i + xcRyk Karena gaya resultan dianggap sebagai pengganti gaya-gaya, maka momen gaya akibat gaya resultan ini harus sama dengan momen gaya total akibat gaya gaya yang bekerja. Dengan kata lain
III.Syarat Kesetimbangan benda tegar Telah kita lihat bahwa adalam keadaan tertentu gaya gaya yang bekerja pada suatu benda tegar dapat digantiakan oleh sebuah gaya tunggal dengan arah dan titik tangkap tertentu. Jika benda diberikan gaya lain yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan gaya gaya tunggal pengganti, pengganti, maka benda benda tidak akan bergarak translasi ataupun berputar (berotasi). Keadaaan tidak bergerak translasi dan rotasi ini dinamakan keadaan seimbang. Pada keadan kesetimbangan, jumlah gaya yang bekerja sama dengan nol dan jumlah momen gaya gaya terhadap sembarang titik juga sama sama dengan nol. nol.
E. PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT I.Pusat masa 1) Titik pusat massa dapat dianggap sebagai suatu titik dimana masa system dapat dikonsentrasikan. 2) Gaya yang bekerja di titik pusat massa suatu system akan membuat system bergerak translasi murni (tanpa rotasi) JIka kita mempunyai system yang terdiri dari n buah benda yang bermassa masing-masing m1, m2, m3, ….., mn dan terletak pada koordinat (x 1,y1), (x2,y2), (x3,y3)……….. (xn,yn), maka koordinat pusat masa dari system ini (x pm,ypm) dimana xpm dan ypm didefinisikan sebagai berikut:
II. Titik Berat Berat suatu benda tergantung pada gravitasi di tempat benda itu berada. Berat benda dapat dianggap terkonsentrasi pada suatu titik. Titik ini dinamakan pusat gravitasi atau titik berat. Dalam medan gravitasi homogen (medan gravitasi di setiap titik sama)lokasi titik berat sama dengan lokasi pusat massa.
X1,y1 m1
X2,y2
X1,y1
X2,y2
m2 m1g
m 2g
m3
X3,y3
X3,y3
m3g W = mg (a)
(b)
Keterangan gambar: benda dibagi dibagi dalam sejumlah besar besar partikel-partikel kecil kecil dengan massa m 1, m2, m3,….. yang terletak pada koordinat (x 1,y1), (x2,y2), (x3,y3),… koordinat x pusat massa untuk system ini adalah :
Gaya berat yang ditimbulkan tiap partikel memberikan momen gaya terhadap titik 0 yang besarnya sama dengan berat partikel dikalikan dengan lengan momennya, misalnya berat m1g momen gayanya m 1g1x1 dan seterusnya. Anggap suatu suatu gaya W (besarnya sama sama dengan berat berat benda) diletakkan diletakkan di suatu titik sedemikian sehingga momen gaya yang dihasilkannya sama dengan jumlah total momen gaya yang dihasilkan oleh seluruh partikel. Titik ini adalah titik berat benda.
Terbukti bahwa koordinat titik berat sama dengan koordinat titik pusat massa ketika medan gravitasi uniform!
I. Titik Berat Benda Tegar
Benda Beraturan
Titik berat benda yang beraturan dan sederhana seperti segiempat atau segitiga, terletak pada perpotongan garis beratnya. Misalnya segiempat berukuran a X b. Titik berat segiempat tersebut adalah terletak pada perpotongan kedua kedua garis berat yaitu yaitu pada titik (1/2 a, ½ b) (di tengahtengah benda)
(½ a, ½ b)
b
a Suatu segitiga mempunyai garis berat seperti nampak pada gambar dan titik beratnya terletak pada perpotongan perpotongan ketiga garis berat itu yaitu pada titik (0, 1/3 t)
Gabungan beberapa benda
Untuk gabungan dari beberapa benda tegar seperti tampak pada gambar. Titik beratnya (anggap g uniform) dicari dengan menggunakan rumus
(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) menyatakan titik berat masing-masing benda tegar.
dimana
TABEL TITIK PUSAT MASSA BENDA GAMBAR
NAMA
LETAK TITIK BERAT
KETERANGAN
y0 Garis lurus A
Z
y0 = ½ AB
R
AB
B
Z
A
Z= ditengah-tengah
y0`
B
Busur lingkaran
̅ ̂
̅ = Tali busur AB ̂= busur AB R= jari-jari lingkaran
M
Z
Busur setengah y0
lingkaran
R= jari-jari lingkaran
M
A
Z B
R
y0
Juring lingkaran x
̅ ̂
R= jari-jari lingkaran
M
Z y0 M
̅ = Tali busur AB ̂= busur AB
Setengah lingkaran
Selimut setengah lingkaran
R = jari-jari lingkaran
R= jari-jari lingkaran
t = tinggi kerucut
Setengah bola
R= jari-jari bola
Limas
t= tinggi limas
Kerucut
t= tinggi kerucut
Selimut limas
t = tinggi limas
Selimut kerucut
BAB III METODOLOGI PRAKTIKUM
A. Alat dan Bahan Praktikum
Bahan-bahan yang diperlukan dalam melaksanakan praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan adalah sebagai berikut: 1. Kertas karton 2. Kertas millimeter block 3. Lem kertas 4. Benang 5. Kertas Kerja (tabel data hasil pengukuran) pengukuran) Alat-alat yang diperlukan dalam melaksanakan praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan adalah sebagai berikut: 1. Statif 2. Penggaris 3. Bolpoin 4. Gunting kertas 5. Kamera
B.
Desain Praktikum
Rancangan dasar dari praktikum mentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan adalah dengan 1. Menentukan tiga titik tangkap dari garis-garis berat suatu suatu benda; 2. Menentukan garis-garis berat dari benda dengan cara menggantungnya pada seutas benang. Setelah benda diam, garis berat benda dilukiskan lurus terhadap benang. 3. Menentukan titik potong dari beberapa garis berat yang yang telah dilukiskan. Titik potong tersebut merupakan titik berat benda. Untuk menguji ketepatan dari titik benda yang telah ditemukan dari perpotongan garis-garis berat benda, maka desain praktikumnya adalah sebagai berikut. 1. Menimbang massa benda sebelum dipisahkan menjadi beberapa bagian; 2. Memotong benda menjadi beberapa bagian 3. Menimbang massa dari setiap potongan bagian benda 4. Menentukan titik berat dari masing-masing potongan benda dengan metode yang sama dengan menentukan titik berat benda sebelum dipotong; 5. Menggabungkan kembali potongan-potongan benda menjadi benda yang utuh pada kertas millimeter block. 6. Menentukan koordinat dari titik berat sistem benda (titik berat benda sebelum dipotong yang telah digambarkan sebelumnya): 7. Menentukan koordinat koordinat titik berat dari masing-masing bagian/ potongan benda 8. Menghubungkan titik berat masing-masing potongan benda dengan titik berat sistem benda
C. Pengolahan dan Analisis Data
Data hasil pengukuran variabel-variabel variabel-variabel praktikum dicatat secara teliti dalam table di kertas kerja. Variabel dari praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan adalah massa sistem benda(massa benda secara keseluruhan sebelum dipotong-potong menjadi beberapa bagian, massa dari setiap potongan-potongan benda, serta koordinat dari titik benda system benda maupun koordinat potongan-potongan benda dalam koordinat cartesius.
Format Tabel dalam kertas kerja untuk pengolahan dan analisi data adalah sebagai berikut:
M M1
M2
M1 + M 2
X
Y
X1
Y1
X2
Y2
M.X
M.Y
M1.X1+M2.X2
M1.Y1+M2.Y2
Teknik menganalisa data untuk menguji ketepatan pengukuran titik berat adalah dengan memerikas ekuivalensi dari kolom M.X dengan kolom M 1.X1+M2.X2 dimana kedua kolom pada table tersebut merupakan angka penunjuk letak titik berat benda pada sumbu x jika system benda diletakkan pada koordinat cartesius. Jika harga pada kedua kolom tersebut equivalent, yang artinya keduanya memiliki harga yang sama atau mendekati sama, maka pengukuran titik berat benda pada sumbu x tersebut tepat. Demikian halnya dengan dengan harga harga dari kolom
M.Y dengan dengan kolom M 1.Y1+M2.Y2,.Jika
harga pada kedua kolom tersebut equivalent, jika keduanya memiliki harga yang sama atau mendekati sama, maka pengukuran titik berat benda pada sumbu y tersebut tepat. Yang dimaksud dengan titik berat dari benda yang sedang diukur adalah X dan Y dalam koordinat cartesius, yang harganya sama atau mendekati sama dengan:
, untuk harga dari X , untuk harga dari Y
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN I. Pembahasan Dengan pengukuran terhadap massa benda sebelum dipisahkan dan massa masing-masing bagian benda yang diukur dengan teliti, maka diperoleh nilai M (massa benda sebelum dipotong menjadi dua bagian menurut garis beratnya) sama dengan nilai M1 (massa bagian benda ke-1) ditambah dengan M 2 (massa bagian benda ke-2). Ekuivalensi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
M +M 4,3 g 2,3 g + 2,5 g M
1
2
Dari hasil pengukuran terhadap koordinat jarak titik berat benda sebelum dipotong dan titik berat masing-masing bagian benda pada sumbu-x koordinat cartesius, diperoleh harga M.X mendekati harga M 1.X1+M2.X2.Kesamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
M .X +M .X 57,6 g.cm 17,94 + 39,75 = 57,69 g.cm 1
1
2
2
Sementara dalam sumbu-y, terlihat bahwa harga M.Y mendekati harga M1.Y1+M2.Y2.
M Y +M .Y . 38,4 g.cm 17,02 + 21,75 = 38,77 g.cm
M.Y
1.
1
2
2
Dari ekuivalensi harga-harga MX dan MY terhadap sesamanya, dapat disimpulkan bahwa nilai hasil perkalian dari massa benda (sebelum dipotong) dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x mendekati nilai jumlah keseluruhan dari hasil kali antara massa masing-masing bagian benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x dari bagian benda tersebut. Demikian juga dengan sumbu y, nilai hasil perkalian dari massa benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu y mendekati nilai jumlah keseluruhan dari hasil kali antara massa masing-masing bagian benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu y.
Jika kesalahan pengukuran diabaikan, maka diperoleh nilai hasil perkalian dari massa benda (sebelum dipotong) dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x,y mendekati nilai jumlah keseluruhan dari hasil kali antara massa masing-masing bagian
benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x,y dari bagian benda tersebut. Secara matematis dapat dituliskan M.X = M1.X1+M2.X2
dan
M.Y = M1.Y1+M2.Y2
Dari keseluruhan persamaan yang diperoleh dari simpulan data hasil penelitian, diperoleh kesimpulan bahwa titik berat sebuah system benda (gabungan benda) sama dengan jumlah total titik berat dari masing-masing bagian penyusun benda.
Xo =
Dan
Yo =
