MOMEN A. TITIK BERAT PENAMPANG
1.
TUJUAN
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar ini mahasiswa: a. Dapat menjelaskan pengertian titik berat penampang. b. Mampu menghitung dan menentukan titik berat penampang dengan benar. 2. MATERI KULIAH
Titik berat adalah adalah tempat (titik pusat) pusat) dari gaya berat suatu garis, garis, bidang datar atau benda akibat grafitasi bumi. Titik Titik bera beratt sebua sebuah h garis garis lurus lurus serb serba a sama sama (homo (homoge gen) n) terle terletak tak diten ditengah gah-tengahn tengahnya. ya. Sebagai Sebagai penggant penggantii gaya gaya berat berat sebuah sebuah garis materi materi serba sama ialah panjang garis itu.
1/2 L
1/2 L
G=L Titik berat bangun-bangun bidang datar beraturan letaknya ditentukan menurut bentuk penampang dari bangun bidang datar seperti gambar berikut :
1
Bentuk
Gambar
1. Bujur sangkar
terletak pada titik potong kedua diagonalnya
z
2. Empat persegi panjang
3. Segitiga
Letak Titik Berat ( z )
terletak pada titik potong kedua diagonalnya
z
C 2/3 t
terletak pada titik potong garis beratnya
=
1/3 t = A
t
z B
4. Lingkaran
Terletak di pusat lingkaran z
5. Setengah Lingkaran
Mz = 4 R 3π
z
= 0,4244 R
Untuk Untuk mene menentu ntuka kan n letak letak titik titik bera beratt suat suatu u pena penampa mpang ng kita kita mengg mengguna unaka kan n pertolongan sumbu koordinat X dan Y. Contoh 1: Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat penampang dengan cara grafis dan analitis.
6m
4m
2m
4m
Penyelesaian : a. Analitis : Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut dibagi menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dari tiap penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi paling kiri dan paling bawah dari gambar.
2
y I
z1
F1 6m y
F1 y1
zo x z2
II y2
4m
F2
F2 x x1 x2 2m
4m
Perhitungan :
Bagian I : luas F1 = 2 m x 6 m = 12 m 2 Bagian II : luas F2 = 4m x 6m = 24 m 2 Jumlah ∑ F = 36 m2 Ordinat masing-masing titik berat penampang : x1 = 1 m y1 = 7 m x2 = 3 m y2 = 2 m Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas (Dalil Momen) terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y. x = F1.x1 + F2.x2 ∑F 2 x = 12m .1m + 24m 2.3m 36 m2 x = 12m3 + 72m3 36m2 x = 84 m 3 36 m2 x = 2,333 m y = F1.y1+ F2.y2 ∑F y = 12 m 2.7m + 24m2.2m 3
36 m2 y = 84 m 3 + 48m3 36 m2 y = 132 m 3 36 m2 y = 3,667 m Jadi letak titik berat Zo (2,333 ; 3,667) m .
b. Grafis : skala gambar 1 cm = 2m skala luas (F) 1 cm = 6 m 2
I
z1
n
F1
I 4
RF F1
F1 zo Y
z2
II
S2
II
O
III IV
RF F2
F2
F2
V F1
RF
3 F2
3 2 S1
1
RF X
Letak titik berat penampang Zo : X = 1,15 m x 2 m = 2,3 m 1 cm Y = 1,85 cm x 2 m = 3,7 m 1 cm Langkah-langkah penyelesaian grafis : 1. gambar yang ditetapkan. 2. F2 (RF). 3. jari-jari kutub I, II, III, IV dan V.
4
Gambar bidang datar dengan skala Gambar resultan gaya-gaya F1 dan Tentukan titik kutub O dan gambar
4.
Perpanjang garis kerja gaya F1 dan F2 kemudian pindahkan jari-jari kutub pada gambar sehingga memotong jaris kerja F1 dan F2. 5. Perpanjang jari-jari kutub yang pertama dengan yang terakhir, sehingga saling memeotong di titik S. Titik S inilah titik yang dilalui resultan RF. 6. Garis kerja R yang pertama (vertikal) dengan R yang kedua (horizontal) berpotongan, maka titik potong itulah letak titik berat bidang datar Zo.
5
Contoh 2 :
Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo dengan cara analitis.
4m
6m
4m
4m
3m
Penyelesaian : Y I F1
z1
4m
F1 II y3 III F2
z2
6m
z3 y2 y1
F2
F3
x1 x2 x3 4m
4m
3m
Penampang kita bagi menjadi tiga bagian yaitu I, II dan III.
6
F3
Perhitungan : Bagian I : Luas F 1 = 4 m x 4 m = 16 m 2 Luas F2 = 8 m x 6 m = 48 m2 Luas F3 = ½. 3m.6m = 9 m 2 ∑F = 73 m2 Ordinat masing-masing titik berat penampang : x1 = 2m y1 = 8 m x2 = 4 m y2 = 3 m x3 = 9 m y3 = 2 m Letak titik berat penampang Zo : Statis momen luas terhadap sumbu X dan sumbu Y adalah sebagai berikut : x =F1.x1 + F2.x2 + F3.x3 ∑F 2 x = 16 m .2m + 48m2.4m + 9 m 2.9m 73 m2 3 x = 32 m + 192 m3 + 82 m3 73 m2 x = 305 m3 73 m2 x = 4,178 m
y = F1.y1 + F2.y2 + F3.y3 ∑F 2 y = 16 m .8 m + 48 m2.3m + 9 m2. 2m 73 m2 y = 128 m3 + 144 m3 + 28 m3 73 m2 3 y = 300 m 73 m2 y = 4,109 m Jadi titik berat penampang Zo (4,178 ; 4,109) m .
3. LATIHAN
• Soal-soal dan Tugas 1. Diketahui sebuah penampang batang berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.Tentukan letak titik berat Zo dengan cara : a. Grafis
7
b. Analitis
2 Cm
6 Cm
4 Cm
5 Cm
2 Cm
5 Cm
2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo dengan cara a. Grafis b. Analitis
3 Cm
4 Cm
4 Cm
6 Cm
4 Cm
8
B. MOMEN INERSIA / MOMEN KELEMBAMAN 1.
TUJUAN
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar ini mahasiswa: a. Dapat menjelaskan pengertian momen inersia b. Mampu menghitung momen insersia terhadap garis sumbu dengan benar. 2. MATERI KULIAH Momen inersia adalah suatu sifat kekakuan yang ditimbulkan dari hasil perkalian luas penampang dengan kwadrat jarak ke suatu garis lurus atau sumbu. Momen inersia atau momen kelembaman ini dibutuhkan dalam perhitunganperhitungan lenturan, puntiran dan tekukan. Momen inersia di dalam perhitungan diberi simbul dengan haruf I, jika terhadap sumbu X maka diberi simbul Ix dan jika terhadap sumbu Y diberi simbul Iy.
Y F X F
Y O
X
Jadi momen inersia ∆ F terhadap sumbu X : ∆ Ix = ∆ F.y2 Begitu juga terhadap sumbu Y : ∆Iy = ∆ F. X2 Di mana : F = luas seluruh bidang . ∆ F = bagian kecil luas suatu bidang. Apabila luas bidang (F) dibagi-bagi menjadi ∆F1, ∆F2, ∆F3 dan seterusnya dan jarak masing-masing bagian ke sumbu X adalah Y1,Y2, Y3 dan seterusnya begitu pula jarak masing-masing bagian ke sumbu Y adalah X1, X2, X3 dan seterusnya maka besar momen insersia adalah sebagai berikut : Terhadap sumbu X : Ix = ∆F1.Y12+∆F2.Y22+…..+∆Fn.Yn2 Terhadap sumbu Y : Iy = ∆F1.X12+∆F2.X22+….+∆Fn.Xn2
9
Di mana Ix dan Iy dalam cm 4 x dan y dalam cm ∆ F dalam cm2 Karena jarak x maupun y berpangkat positif maka hasil momen kelembaman selalu posistif, pada perhitungan tekukan kita memasukkan arti jari-jari kelembaman/radius of giration (i). I = F.i2 atau i = √ I F Di mana i = jari-jari kelembaman, dalam satuan cm. Ada dua momen inersia : a. Momen kelembaman linier yaitu momen kelambaman terhadap suatu garis lurus atau sumbu. Y F X F
Y X
O
Ix = Σ ∆F.y2 = F.y2 Iy = Σ ∆F.x2 = F.x2 b. Momen kelembaman Poler yaitu momen kelembaman terhadap suatu titik perpotongan dua garis lurus/sumbu (titik kutub O). Dengan kata lain bahwa momen kelembaman Poler adalah jumlah momen kelembaman linier terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.
10
Y F X F P Y X
O Ip = F x p 2 Ip = Ix + Iy. Dalil pergeseran sumbu X/Y :
Y
Y
z
a
O
Y
F X
b
X
Sumbu X digeser ke X sejauh b dan sumbu Y digeser ke Y sejauh a, sehingga besar momen inersia/kelembaman terhadap sumbu X/Y menjadi : Ix = Izx + Fb 2 Iy = Izy + Fa 2 Izx dan Izy disebut bilangan asal (momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat), sedang Fa 2 dan Fb2 disebut bilangan koreksi (momen koreksi). Momen inersia / kelembaman untuk beberapa penampang : a. Momen kelembaman bentuk empat persegi panjang
11
Y
1/2 h X
z
h b1=1/2 h
X
A
Y
B
X
b
Momen inersia terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang Z adalah Izx atau Ix = 1/12.b.h 3 dan Izy atau Iy = 1/12.h.b 3 Momen inersia terhadap sumbu X adalah : Ix = Izx + Fb1 2 = 1/12 b.h 3+b.h.b1 2 = 1/12 bh3+b.h(1/2b) 2 = 1/12hb3 + ¼ hb 3 Ix = 1/3 bh 3 Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : Iy = Izy + Fa1 2 =1/12.hb 3+Fa12 = 1/12 hb3+b.h(1/2b) 2 =1/12hb 3+1/4hb3 Iy = 1/3hb 3 Jadi secara umum bila sumbu X atau Y tidak melalui titik berat Z maka momen inersia terhadap sumbu X atau Y harus diperhitungkan pula terhadap momen kelembaman koreksi. b. Momen kelembaman bentuk segi tiga
X X
z
h
X X
b
12
Momen inersia terhadap sumbu X yang melalui titik berat penampang Z. Ix atau Izx = 1/36 b.h 3 Momen inersia terhadap sumbu X yang melalui puncak segitiga adalah Ix = ¼ b.h3 c. Momen Kelembaman bentuk lingkaran Y
z
X
d
Momen inersia/kelembaman terhadap sumbu X yang melalui titik berat/titik pusat lingkaran adalah Ix = Iz = 1/64 π d 4 Untuk perhitungan konstruksi 1/64 π ~ 1/20 sehingga Ix = Iz = 1/20 d 4 Untuk penampang lingkaran ini sering digunakan untuk poros berputar ataupun konstruksi yang mengalami torsi. Untuk hal ini momen inersia yang digunakan dalam perhitungan adalah momen inersia/kelembaman polar. Ip = Ix + Iy sehingga Ip = 1/20 d 4 + 1/20 d4 Ip = 1/10 d 4 atau Ip = 0,1 d 4 d. Momen kelembaman bentuk cincin
d
D
Dianggap tidak berlubang : Ip1 = 0,1 D 4 Lubangnya saja : Ip2 = 0,1 d 4 Sehingga Ip = 0,1 D 4-0,1d4 Ip = 0,1 (D 4-d4) Contoh 1: Diketahui suatu penampang berbentuk empat persegi panjang dengan b = 6 cm dan h = 12 cm (lihat gambar)
13
h= 12 Cm
b= 6 Cm
Pertanyaan : a). Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang. b). Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu X yang melalui sisi alas penampang. Penyelesaian : Y
6 Cm
X
z
X h= 12 Cm
6 Cm
X
X Y b= 6 Cm
Momen inersia terhadap sumbu X adalah : Ix = 1/12.b.h 3 = 1/12. 6 cm. (12 cm) 3 = 864 cm4 Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : Iy = 1/12.h.b 3 = 1/12.12 cm (6 cm) 3 = 216 cm4 Momen inersia terhadap sisi alas X adalah : Ix = 1/3.b.h = 1/3. 6 cm. (12cm) 3 = 3456 cm 4
14
3
atau dapat dihitung dengan rumus /dalil pergeseran : Ix = Izx + F.b1 2 = 1/12. 6 cm. (12 cm) 3 + 6 cm.12 cm (6 cm) 2 = 8 64 cm 4 + 2592 cm 4 = 3456 cm 4
Contoh 2 : Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
12 Cm
4 Cm
4 Cm
8 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap suambu X/Y yang melalui titik berat penampang. Penyelesaian : a. Menentukan letak titik berat penampang profil, maka penampang profil dibagi menjadi dua bagian.
15
Y
I
z1
F1 12 Cm
F1
y1 II z2 y2
F2
4 Cm
F2 X x1 x2 4 Cm
8 Cm
Bagian I : luas F1 = 4 cm + 12 cm = 48 cm2 Bagian II : luas F2 = 4 cm + 12 cm= 48 cm2 ∑ F = 96 cm2 Ordinat masing-masing titik berat penampang z1/z2 terhadap sumbu x dan y : X1 = 2 cm y1 = 10 cm X2 = 6 cm y2 = 2 cm Letak titik berat penampang profil z0 adalah statis momen luas terhadap sumbu x dan sumbu y sebagai berikut : X = F1.X1+F2.X2 ∑F = 48 cm2. 2 cm + 48 cm 2. 6 cm 96 cm2 = 96 cm3 + 288 cm3 96 cm2 x = 4 cm Y = F1.Y1+F2.X2 ∑F = 48 cm2.10 cm+ 48 cm 2. 2cm 96 cm2 3 = 480 cm + 96 cm3 96 cm2 = 576 cm3 96 cm2 = 6 cm
16
Jadi letak titik berat penampang profil Zo (4:6) cm. b. Perhitungan momen inersia Y
z1 12 Cm b1 zo (4;6)
X
b2 y=6 Cm
z2 4 Cm
a1
X
a2
x= 4 Cm 4 Cm
8 Cm
Jarak titik berat penampang Z1 dan Z2 terhadap sumbu x dan y : b1 = 10 cm – 6 cm = 4 cm b2 = 6 cm – 2 cm = 4 cm a 1 = 2 cm a2 = 6 cm – 4 cm = 2 cm Momen inersia terhadap sumbu X adalah : rumus : Ix = Izx + Fb 2 Ix1 = 1/12.4 cm.(12 cm) 3+48 cm2. 42= 576 cm4+768 cm4 = 1344 cm 4 Ix2 = 1/12.12 cm (4 cm) 3 + 48 cm2(4cm)2=64 cm4+768 cm4 = 832 cm4 Jadi Ix=2176 cm 4 Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : rumus : Iy = Izy + F.a 2 Iy1 = 1/12.12 cm(4 cm) 3+48 cm2.(2 cm)2 = 64 cm4+192 cm4=256 cm4 Iy2 = 1/12.4 cm(12cm) 3+48 cm2 (2 cm)2=576 cm4+192 cm4=248 cm4 Jadi Iy = 504 cm 4 Contoh 3 : Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
17
R= 6 Cm
a) Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu X yang melalui titik berat penampang. b) Hitung momen kelembaman polarnya.
Penyelesaian :
18
x
z
x
d = 12 Cm
a) Ix = 1/20 d 4 = 1/20.(12 cm) 4 = 1036,8 cm 4 b) Ip = 0,1 d 4 = 0,1.(12 cm) 4 = 2073,6 cm 4
19
3. LATIHAN
•
Soal-Soal Dan Tugas
1. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah. 2 Cm
6 Cm
4 Cm
2 Cm
5 Cm
5 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil. 2. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah. 5 Cm
12 Cm
4 Cm
4 Cm
2 Cm
4 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil.
20
•
EVALUASI
1. Tentukanlah momen gaya-gaya sejajar P1, P2, P3 dan P4 terhadap titik Q sebagai pusat momen yang terletak pada jarak 2 m dari P2 (lihat gambar)
P2 = 4 t P4 = 3 t
P1= 1 t Q
P3 = 2 t 2m
2m 1m 2m
Kerjakan dengan cara : a.Grafis b.Analitis 2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. 6 Cm
4 Cm
12 Cm
4 Cm
12 Cm
Tentukan letak titik berat Zo dengan cara : a. Grafis b. Analitis
21
3. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah ini.
6 Cm
4 Cm
4 Cm
12 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil.
22
KUNCI JAWABAN
1. Titik Berat Bidang Datar Y Y
zo
X
Y
X O
X
Letak titik berat zo terhadap sumbu x/y : X = 6 cm Y = 5,286 cm
23
2. Y
Y
zo
X
Y
X O
X
Letak titik berat Zo terhadap sumbu X/Y : X = 3,973 cm Y = 4,178 cm
Momen Inersia:
1. Ix = 1295,6182 cm4 Iy = 868 cm4 2. Ix = 3424 cm4 Iy = 352 cm4
24
