La Musica de Los Numeros Primos - Marcus Du Sautoy

La música de los números primos

Colaboración de Sergio Barros

www.librosmaravillosos.com

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Marcus du Sautoy

Preparado por Patricio Barros



Marcus du Sautoy

Reseña A los niños les enseñan en la escuela que los números primos sólo pueden dividirse por sí mismos mismos y por la unid unidad. ad. Lo que no les enseñ enseñan an es que los númer números os primos primos representan el misterio más fascinante al que nos enfrentamos en nuestra búsqueda del conocimiento. ¿Cómo predecir predecir cuál va a ser el siguiente número primo de una serie? ¿Existe alguna fórmula para generar números números primos? En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann planteó una hipótesis que apuntaba a la solución del antiguo enigma. Pero no consiguió demostrarla y el misterio no hizo más que aumentar. En este libro asombroso, Marcus du Sautoy nos cuenta la historia de los hombres excéntricos y brillantes que han buscado una solución para revolucionar ámbitos tan distintos como el comercio digital, la mecánica cuántica y la informática. El relato de Du Sautoy constituye una una evocación maravillosa y emocionante del mundo de las matemáticas, de su belleza y sus secretos.


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Reseña A los niños les enseñan en la escuela que los números primos sólo pueden dividirse por sí mismos mismos y por la unid unidad. ad. Lo que no les enseñ enseñan an es que los númer números os primos primos representan el misterio más fascinante al que nos enfrentamos en nuestra búsqueda del conocimiento. ¿Cómo predecir predecir cuál va a ser el siguiente número primo de una serie? ¿Existe alguna fórmula para generar números números primos? En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann planteó una hipótesis que apuntaba a la solución del antiguo enigma. Pero no consiguió demostrarla y el misterio no hizo más que aumentar. En este libro asombroso, Marcus du Sautoy nos cuenta la historia de los hombres excéntricos y brillantes que han buscado una solución para revolucionar ámbitos tan distintos como el comercio digital, la mecánica cuántica y la informática. El relato de Du Sautoy constituye una una evocación maravillosa y emocionante del mundo de las matemáticas, de su belleza y sus secretos.


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En memoria de Yonathan du Sautoy 21 de octubre de 2000


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Índice 1. 2.

¿Qu ¿Quién ién qui quiere ere ser ser mill milloonario ario?? Loss áto Lo átomos mos de la ari arittmét mética

3. 4.

El espe espejo jo mat matem emát átic ico o ima imagi gina nari rio o de de Ri Rieman emann n La h hipó ipóte tesis sis de Riemann Riemann:: de los númer números os prim primos os aale leato atorio rioss a los los cero ceross

5. 6. 7.

ordenados La carre carrera ra de relevo relevoss matem matemáti ática: ca: comi comienz enzaa la revol revoluci ución ón riemani riemaniana ana Rama Ra man nujan jan, el el mís místtico ico mat mateemáti mático co Éxod Éxodo o mat mateemáti mático co:: de de Got Gotin inga ga a Pri Princ ncet eton on

8. 9. 10. 10.

Máquinas de la mente La era era de la inf infor ormá máti tica ca:: de la men mente al pc Desc Desciifrar frar núm númeeros ros y códi código goss

11. 11. 12. 12.

De los los cero ceross orde ordena nado doss al cao caoss cuán cuánti tico co La últ últim imaa pie pieza za del del rom rompe peca cabe beza zass

Agradecimientos


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Capítulo 1 ¿Quién quiere ser millonario? ¿Sabemos mos cuál es la secuencia de números? ros? Bien ien, vamo amos a hacerlo mentalmente… cincuenta y nueve, sesenta y uno, sesenta y siete… setenta y uno… ¿No son todos estos números primos?». Un murmullo de conmoción c onmoción recorrió la sala de control. La expre xpresi sión ón de Ellie llie reve reveló ló por por un inst instan ante te el alet aleteeo de una una emoción intensa, que sin embargo fue rápidamente sustituido por la templanza, por el temor de verse superada, por una inquietud de parecer boba, no científica. c ientífica. CARL SAGAN Contacto Una cálida y húmeda mañana de agosto de 1900 David Hilbert, de la Universidad de Gotinga, tomó la palabra en el Congreso Internacional de Matemáticos, en una atestada sala de conferencias en la Sorbona. Hilbert, que ya entonces era reconocido como uno de los más m ás grandes matemáticos de la época, época , había preparado un importante discurso: se proponía hablar no de lo que había sido demostrado, sino de lo que todavía era desconocido. Esto iba contra todas las reglas, y cuando Hilbert empezó a exponer su propia visión sobre el futuro de las matemáticas el público pudo percibir el nerviosismo en su voz: « ¿Quién de nosotros no gozaría descorriendo el velo tras el cual se oculta el porvenir, dejando caer su mirada sobre los futuros progresos de nuestra ciencia y sobre los secretos de su desarrollo durante los próximos siglos?». Para anunciar el nuevo siglo, Hilbert proponía como reto a sus oyentes una lista de veintitrés problemas que, según él, trazarían el camino de los exploradores matemáticos del siglo XX. Los siguientes decenios pudieron ver la respuesta a muchos de aquellos problemas, y los que descubrieron las soluciones forman un ilustre grupo de matemáticos conocidos como «Los primeros de la clase». El grupo cuenta con personajes del calibre de Kurt Gödel y de Henri Poincaré, junto con muchos otros pioneros cuyas ideas han revolucionado radicalmente el paisaje matemático. Pero había un Colaboración de Sergio Barros

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problema, el octavo de la lista de Hilbert, que parecía destinado a sobrevivir al siglo sin que apareciera un campeón capaz de vencerlo: la hipótesis de Riemann. Ri emann. De todos los retos que Hilbert había propuesto, el octavo ocupaba un lugar especial en su corazón. Existe un mito germánico sobre Federico Barbarroja, un emperador muy querido por los alemanes. Tras su muerte, acaecida durante la Tercera Cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad Federico continuaba con vida, que yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser y despertaría cuando Alemania lo necesitara. Se dice que alguien preguntó a Hilbert: «Si usted, como Barbarroja, despertara dentro de quinientos años, ¿qué sería lo primero que haría?». «Preguntaría si alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann», respondió. A finales del siglo XX la mayor parte de los matemáticos se había convencido de que, entre todos los problemas propuestos por Hilbert, aquella piedra preciosa no sólo tenía grandes posibilidades de sobrevivir al siglo, sino que quizá no estaría resuelta cuando Hilbert se despertara de su sueño de quinientos años. Con su revolucionario discurso, cargado de misterio, había provocado el desconcierto en el primer Congreso Internacional del siglo XX. Sin embargo, a los matemáticos que tenían intención de participar en el último Congreso del siglo les aguardaba una sorpresa. El 7 de abril de 1997 una noticia excepcional apareció en las pantallas de los ordenadores de toda la comunidad matemática mundial. En la página de Internet del Congreso Internacional que tenía que celebrarse al año siguiente en Berlín se anunció que habían encontrado el Santo Grial de las matemáticas: alguien había demostrado la hipótesis de Riemann. Era una noticia destinada a tener efectos muy profundos. La hipótesis de Riemann es un problema fundamental para las matemáticas en su conjunto. Al leer su correo electrónico los matemáticos temblaban de emoción ante la perspectiva de comprender al fin uno de los más grandes misterios de su disciplina. La noticia se anunciaba en una carta del profesor Enrico Bombieri. No era posible contar con una fuente más fiable: Bombieri es uno de los albaceas de la hipótesis de Riemann y forma parte del Institute for Advanced Study de Princeton, de cuyo


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equipo formaron parte Einstein y Gödel. Habla muy pausadamente, pero los matemáticos escuchan con atención todo lo que tenga que decir. Bombieri creció en Italia, donde los viñedos de su acaudalada familia le hicieron adquirir el gusto por la belleza de la vida. Los colegas lo llaman afectuosamente «el aristócrata de las matemáticas». Cuando era joven, su elegancia llamaba siempre la atención en las reuniones europeas, donde llegaba a menudo a bordo de costosos automóviles deportivos. Por otra parte, a él le encantaba alimentar los rumores que contaban que alguna vez había llegado sexto en un rallye de veinticuatro horas celebrado en Italia. Con el tiempo, sus éxitos en el circuito de las matemáticas fueron más tangibles, de modo que en los años setenta le valieron una invitación a Princeton, donde se encuentra todavía. Ha sustituido el entusiasmo por las carreras por la pasión de pintar, sobre todo retratos. Pero lo que procura a Bombieri la mayor emoción es el arte creativo de las matemáticas, y en particular el reto de la hipótesis de Riemann, que lo tiene obsesionado desde la tierna edad de quince años, cuando oyó hablar de la cuestión por vez primera. Las propiedades de los números lo fascinaron desde que comenzó a ojear los libros de matemáticas que su padre, economista, tenía en su inmensa biblioteca. Descubrió que la hipótesis de Riemann era considerada el problema más profundo y fundamental de la teoría de los números. Su pasión por el problema se vio acrecentada cuando su padre le prometió un Ferrari si lo resolvía, en un desesperado intento de evitar que condujera su Ferrari. su Ferrari. Volviendo al mensaje electrónico de Bombieri, alguien se le había adelantado haciéndole perder el premio. «Se han producido fantásticos acontecimientos tras la conferencia que Alain Connes pronunció el pasado miércoles en el Institute for Advanced Study», empezaba Bombieri. Bombieri. Muchos años atrás, la noticia de que Connes fijaba su atención en la hipótesis de Riemann con intención de resolverla había puesto en tensión al mundo matemático. Connes es uno de los revolucionarios de la disciplina, un benigno Robespierre de las matemáticas respecto del Luis XVI que encarnaría Bombieri. Se trata de un personaje dotado de un extraordinario carisma, cuyo estilo fogoso dista mucho de la imagen tradicional del matemático serio y circunspecto. Está dotado de la pasión pas ión de un fanático profundamente convencido convencido de su propia visión del mundo, y deja hipnotizados hipnotizados a cuantos asisten a sus clases. Para Colaboración de Sergio Barros

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sus seguidores es casi una figura de culto; les encantaría unirse a él en las barricadas matemáticas para defender a su héroe de cualquier contraofensiva que fuera lanzada desde las posiciones del Antiguo Régimen. El lugar de trabajo de Connes es la respuesta francesa al Instituto de Princeton: el Instituí des Hautes Etudes Scientifiques de París. Desde su llegada, en el año 1979, Connes ha creado un lenguaje totalmente nuevo para la comprensión de la geometría. La idea de llevar esta disciplina hasta el extremo de la abstracción no le espanta en absoluto. Incluso entre los matemáticos, que están habituados a las aproximaciones fuertemente conceptuales de su disciplina con relación a la realidad, en muchos casos existen dudas sobre la revolución abstracta que propone Connes. Sin embargo, según ha demostrado a los que dudan de la necesidad de una teoría tan árida, su nuevo lenguaje geométrico contiene muchos elementos útiles para comprender el mundo real de la física cuántica. Si resulta que provoca el terror de las masas matemáticas, paciencia. La audaz convicción de Connes de que su nueva geometría no sólo podría descorrer el velo de la física cuántica, sino también explicar la hipótesis de Riemann —el mayor misterio numérico— produjo sorpresa e incluso turbación. El simple hecho de osar aventurarse en el corazón de la teoría de los números y enfrentarse directamente con el más difícil de los problemas irresueltos de las matemáticas reflejaba su desprecio por los límites convencionales. Desde su aparición en escena, a finales de los noventa, flotaba en el aire la sensación de que, si alguna vez había existido alguien con recursos suficientes para enfrentarse a un problema de tamaña dificultad, ése era Alain Connes. Pero, según parecía, no había sido Connes quien había hallado la última pieza del complicado rompecabezas. En su correo, Bombieri narraba que un joven físico que asistía a la conferencia había percibido «como un relámpago» un modo de utilizar su extraño mundo de «sistemas supersimétricos fermiónico-bosónicos» para atacar la hipótesis de Riemann. Pocos eran los matemáticos que conocían el significado de aquel cóctel de tecnicismos, pero Bombieri explicaba que describían «la física correspondiente a un conjunto muy próximo al cero absoluto de una mezcla de aniones y morones con spins opuestos». La cuestión seguía sonando un tanto oscura, pero ya que se trataba de la solución del problema más difícil de la historia Colaboración de Sergio Barros

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de las matemáticas, nadie esperaba que se tratara de una cosa simple. Volviendo a Bombieri, afirmaba que, después de seis días de trabajo ininterrumpido y, gracias a un nuevo lenguaje de programación llamado MISPAR, el joven físico había desentrañado por fin el problema más arduo de las matemáticas. Bombieri terminaba su correo con las palabras: « ¡Guau! Por favor, den la máxima difusión a esta noticia». Aunque parezca extraordinario que un joven físico hubiera acabado demostrando la hipótesis de Riemann, después de todo la noticia no era tan sorprendente: en los últimos decenios había sucedido con frecuencia que las matemáticas y la física se entretejieran. Por más que se trataba de un problema central de la teoría de los números, desde hacía algunos años la hipótesis de Riemann mostraba relaciones inesperadas con algunos problemas de la física de partículas. Los matemáticos se prepararon para cambiar sus planes de viaje y volar a Princeton para compartir el momento. Todavía se mantenía fresco el recuerdo de la emoción de pocos años atrás, cuando Andrew Wiles, matemático inglés, anunció la demostración del último teorema de Fermat durante una conferencia celebrada en Cambridge en junio de 1993. Wiles demostró que la afirmación de Fermat, según la cual la ecuación x n+ y n = z n no tiene soluciones para cualquier valor de n mayor que 2, era correcta. Apenas soltó Wiles la tiza al final de la conferencia, saltaron los tapones de las botellas de champán y empezaron a dispararse los flashes de las cámaras. Los matemáticos eran conscientes de que la demostración de la hipótesis de Riemann tendría una importancia enormemente mayor para el futuro de las matemáticas de la que tuvo saber que la ecuación de Fermat no admite soluciones. Tal y como Bombieri había descubierto a la tierna edad de quince años, con la hipótesis de Riemann se intentaba comprender los objetos más fundamentales de las matemáticas: los números primos. Los números primos son los auténticos átomos de la aritmética. Se definen como primos los números enteros indivisibles, es decir, los que no pueden expresarse como producto de dos enteros menores. Los números 13 y 17 son primos, mientras que el número 15 no lo es, ya que puede expresarse como producto de 3 y 5. Los números primos son joyas engarzadas en la inmensa extensión de los números, el Colaboración de Sergio Barros

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universo infinito que los matemáticos exploran desde la antigüedad. Los números primos producen en los matemáticos una sensación maravillosa: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, números sin tiempo que existen en un mundo independiente de nuestra realidad física. Son un don que la naturaleza ha entregado al matemático. Su importancia para las matemáticas descansa en el hecho de que tienen la capacidad de construir todos los demás números. Cualquier otro número entero que no sea primo puede construirse multiplicando estos números de base primitiva. Cualquier molécula existente en el mundo físico puede construirse utilizando los átomos de la tabla periódica de los elementos químicos. La lista de los números primos es la tabla periódica del matemático. Los números 2, 3 y 5 son el hidrógeno, el helio y el litio de su laboratorio. Dominar esos elementos básicos ofrece al matemático la esperanza de poder descubrir nuevos métodos para trazar un recorrido a través de la desmesurada complejidad del mundo matemático. Sin embargo, a pesar de su aparente simplicidad y de su carácter fundamental, los números primos siguen siendo los objetos más misteriosos que estudian los matemáticos. En una disciplina que se dedica a investigar patrones y orden, los números primos suponen el supremo reto. Probemos a examinar una lista de números primos y descubriremos que es imposible prever cuándo aparecerá el siguiente. La lista parece caótica, y no nos proporciona ninguna pista sobre cómo determinar el siguiente elemento. La lista de los números primos es el ritmo cardíaco de las matemáticas, pero sus pulsaciones parecen estimuladas por un potente cóctel de cafeína:

Los números primos comprendidos entre 1 y 100: el ritmo cardíaco irregular de las matemáticas. ¿Y si intentamos hallar una fórmula que genere los números primos de esta lista, una regla mágica que nos diga cuál es el centésimo número primo? Este es un problema que obsesiona a los matemáticos desde hace muchos siglos. Tras más de dos mil años de esfuerzos, los números primos se resisten a cualquier intento de


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insertarlos en un esquema sencillo y regular. Generaciones enteras han escuchado con atención el redoble de los primos emitiendo su secuencia de números: dos golpes, después tres, más adelante cinco, siete, once. A medida que continúa la secuencia, fácilmente terminaremos por pensar que el redoble de los números primos no es más que un ruido aleatorio, sin ninguna lógica. En el centro de las matemáticas, de la búsqueda del orden, los matemáticos sólo consiguen oír el sonido del caos. Los matemáticos se resisten a admitir la posibilidad de que no exista una explicación de cómo la naturaleza elige los números primos. Si las matemáticas no tuvieran una estructura, si no poseyeran una maravillosa simplicidad, no merecerían ser estudiadas. Escuchar un ruido nunca se ha considerado un pasatiempo agradable. Como escribió el matemático francés Henri Poincaré: «el científico no estudia la naturaleza por la utilidad de hacerlo; la estudia porque obtiene placer, y obtiene placer porque la naturaleza es bella. Si no fuera bella no valdría la pena conocerla, y si no valiera la pena conocer la naturaleza, la vida no sería digna de ser vivida». Es de esperar que, tras un inicio nervioso, el latido de los números primos se regularice. No es así: cuanto más avanzamos en la secuencia, más empeoran las cosas. Consideremos, por ejemplo, los números primos comprendidos en el intervalo de los cien números anteriores a 10.000.000 y en el intervalo de los cien números posteriores a 10.000.000. Empecemos por los números primos anteriores a 10.000.000: 9.999.901

9.999.907

9.999.929

9.999.931 9.999.971

9.999.937 9.999.973

9.999.943 9.999.991

Sin embargo, observemos qué pocos son los números primos comprendidos entre 10.000.000 y 10.000.100: 10.000.019, 10.000.079


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Es difícil pensar en una fórmula capaz de generar una secuencia de este tipo. En efecto, esta serie de números primos recuerda mucho más a una sucesión aleatoria de números que a una estructura bien ordenada. Así como noventa y nueve lanzamientos de una moneda son de muy poca utilidad para establecer el resultado del centésimo lanzamiento, del mismo modo los números primos parecen hacer inútil cualquier intento de previsión. Los números primos presentan a los matemáticos una de las contraposiciones más extrañas que existen en su disciplina. Por un lado, un número o es primo o no lo es. No es lanzando al aire una moneda como sabremos si un número es divisible por otro menor. Por otra parte, es imposible negar que la sucesión de los números primos aparece de manera indudable como una secuencia de números al azar. Es cierto que los físicos están cada vez más habituados a la idea de que un dado cuántico puede decidir el futuro del universo y de que cada lanzamiento de ese dado determina el lugar donde los científicos encontrarán materia. Pero provoca una cierta incomodidad el hecho de tener que admitir que los números fundamentales, los números sobre los que se basan las matemáticas, hayan sido elegidos por la naturaleza lanzando una moneda, decidiendo en cada lanzamiento el destino de un número. Azar y caos son anatema para un matemático. Si dejamos de lado su aleatoriedad, los números primos poseen —más que cualquier otra parte de nuestro acervo matemático— un carácter inmutable, universal. Los números primos existirían aunque nosotros no hubiéramos evolucionado lo suficiente como para reconocerlos. Como afirmó el matemático de Cambridge G. H. Hardy en su famoso libro Apología de un matemático: «317 es un número primo no porque nosotros pensemos que lo es o porque nuestra mente esté conformada de un modo o de otro, sino porque es así , porque la realidad matemática está hecha así». Es probable que algunos filósofos estén en desacuerdo con esta visión platónica del mundo —la convicción de que se trata de una realidad absoluta y eterna más allá de la existencia humana— pero, en mi opinión, es precisamente eso lo que los hace filósofos y no matemáticos. En Materia de reflexión hay un diálogo fascinante entre Alain Connes, el matemático al que se citaba en el correo electrónico de Bombieri, y Colaboración de Sergio Barros

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el neurobiólogo Jean-Pierre Changeux. En el libro se palpa la tensión, con Connes sosteniendo la existencia de las matemáticas fuera de la mente humana y Changeux decidido a refutar cualquier idea similar: « ¿Por qué no vemos " π= 3,1416” escrito en el cielo con letras de oro o “6,02 × 10 23” apareciendo en los reflejos de una bola de cristal?». Changeux expresa su frustración ante la insistencia de Connes en sostener que «existe, con independencia de la mente humana, una realidad matemática pura e inmutable» y que en el corazón del mundo se halla la secuencia inmutable de los números primos. Las matemáticas, afirma Connes, «son indiscutiblemente el único lenguaje universal ». Puede concebirse que en otra parte del universo existan una química o una biología distintas, pero los números primos seguirán siendo números primos en cualquier galaxia que elijamos. En la conocida novela de Carl Sagan, Contacto, los extraterrestres usan los números primos para entrar en contacto con la Tierra. Ellie Arroway, la heroína del libro, trabaja en el SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence), el programa internacional para la búsqueda de señales de vida inteligente provenientes del espacio. De pronto una noche, cuando están dirigidos hacia Vega, los radiotelescopios captan extraños impulsos que emergen del ruido de fondo. Ellie reconoce al instante el ritmo de esas señales de radio: dos latidos seguidos por una pausa, luego tres latidos, cinco, siete, once… y así sucesivamente, reproduciendo la secuencia de los números primos hasta el 907. Después la secuencia vuelve a empezar. Aquel redoble cósmico interpretaba una música que los terrícolas no podrían dejar de reconocer. Ellie está convencida de que sólo una forma de vida inteligente puede generar tal ritmo: «Es difícil imaginar un plasma irradiante que envíe una serie regular de señales matemáticas como ésta. Los números primos sirven para atraer nuestra atención». Si una civilización alienígena hubiera transmitido los números ganadores de una lotería extraterrestre durante los últimos diez años, Ellie no hubiera sido capaz de distinguirlos del ruido de fondo; pero a pesar de que la lista de números primos parece tan aleatoria como la de la lotería, su invariabilidad universal ha determinado su elección en la trasmisión alienígena. Es en esa estructura que Ellie reconoce la firma de una vida inteligente.


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La comunicación mediante números primos no sólo es ciencia ficción. En el libro El hombre que confundió a su mujer con un sombrero , Oliver Sacks documenta el caso de John y Michael, dos gemelos autistas de veintiséis años cuya más profunda forma de comunicación consistía en el intercambio de números primos de seis cifras. Sacks narra su sorpresa cuando los descubrió por primera vez, en el rincón de una habitación, intercambiando números primos en secreto: «A primera vista parecían dos expertos catadores degustando vinos raros de añadas prestigiosas». En un principio, Sacks no consigue imaginar qué es lo que traman los gemelos; sin embargo, en cuanto consigue descifrar su código, memoriza algunos números primos de ocho cifras que, en la siguiente entrevista, deja caer astutamente en medio de la conversación. La sorpresa de los gemelos es seguida por una intensa concentración que se transforma en emoción cuando reconocen que se trata de nuevos números primos. Ahora, si bien Sacks había recurrido a tablas numéricas para determinar sus números primos, es un misterio la forma en que los gemelos consiguieron los suyos: ¿podría ser que aquellos sabios autistas estuvieran en posesión de una fórmula secreta desconocida por generaciones y generaciones de matemáticos? La historia de los gemelos está entre las preferidas de Bombieri: Para mí es difícil oír esta historia sin sentirme intimidado y pasmado ante el funcionamiento del cerebro humano. Sin embargo, me pregunto: mis amigos no matemáticos ¿tienen la misma reacción que yo? ¿Tienen la menor idea de hasta qué punto es sorprendente, prodigioso e incluso sobrehumano el talento singular que poseen los dos gemelos de manera tan natural? ¿Son conscientes de que desde hace siglos los matemáticos se esfuerzan por encontrar una forma de hacer lo que John y Michael hacían espontáneamente: generar y reconocer números primos? A los treinta y siete años, antes de que alguien pudiera descubrir cómo lo conseguían, los gemelos fueron separados por los médicos, convencidos de que su lenguaje numerológico privado estaba obstaculizando su desarrollo. Si esos médicos hubieran oído las conversaciones habituales de las salas de profesores en los Colaboración de Sergio Barros

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departamentos universitarios de matemáticas, probablemente también habrían recomendado su clausura. Cabe la posibilidad de que los gemelos, para verificar si un número era primo, utilizaran un truco basado en el llamado teorema menor de Fermat. Este método es similar al utilizado por los sabios autistas para averiguar rápidamente, por ejemplo, que el 13 de abril de 1922 cayó en jueves. Los gemelos presentaban habitualmente este número en los programas televisivos de variedades en que participaban. Ambos trucos se basan en la aritmética modular o del reloj. Aunque no tuviesen una fórmula mágica para obtener los números primos, su habilidad sigue siendo asombrosa. Antes de que los separaran habían llegado a determinar primos de veintidós cifras, sobrepasando de mucho el límite más alto de las tablas de números primos de que disponía Sacks. Igual que la heroína del libro de Sagan, que escucha el latido de los números primos cósmicos, o como Sacks, que espía el misterioso diálogo numérico de los gemelos, desde hace siglos los matemáticos se han esforzado por percibir un orden en este caos. Nada parecía tener sentido: era como escuchar música oriental con oídos occidentales. Más tarde, a mediados del siglo XIX, se llegó a una encrucijada decisiva: Bernhard Riemann empezó a observar el problema de una manera completamente nueva. Con esta nueva perspectiva, Riemann empezó a comprender algunas cosas sobre la estructura que estaba en el origen del caos de los números primos. Bajo el ruido aparente se escondía una armonía fina e inesperada. Pero a pesar de aquel gran paso adelante, muchos de los secretos de la nueva música permanecían todavía fuera de su alcance. Riemann, el Wagner del mundo de las matemáticas, no se desanimó. Hizo una previsión audaz sobre la misteriosa música que había descubierto. Aquella previsión ha pasado a la historia con el nombre de hipótesis de Riemann. Quien consiga demostrar que la intuición de Riemann sobre la naturaleza de aquella música era correcta estará en disposición de explicar por qué los números primos dan una impresión tan convincente de aleatoriedad. La intuición de Riemann siguió a su descubrimiento de un espejo matemático que le permitía escrutar los primos. Cuando Alicia atravesó su espejo, el mundo se invirtió; en el extraño mundo matemático que se encuentra más allá del espejo de Riemann, en cambio, el caos de los números primos parece transformarse en una estructura Colaboración de Sergio Barros

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ordenada más estable de lo que cualquier matemático podría esperar. Riemann conjeturó que, por más lejos que se mire en el mundo infinito del espejo, aquel orden se mantendrá. La existencia de una armonía interna en el otro lado del espejo explicaría por qué externamente los números primos parecen tan caóticos. Para muchos matemáticos, la metamorfosis que produce el espejo de Riemann, donde el caos se transmuta en orden, es casi milagrosa. La empresa que Riemann encargó al mundo matemático fue demostrar que el orden que él creía haber discernido existía realmente. El correo electrónico del 7 de abril de 1997 prometía el inicio de una nueva era: la visión de Riemann no había sido un espejismo. El aristócrata de las matemáticas había ofrecido a sus colegas la halagüeña posibilidad de la existencia de una explicación en el aparente caos de los números primos. Los matemáticos esperaban impacientes el momento de apropiarse de todos los tesoros que, como bien sabían, habrían sido desenterrados gracias a la resolución del gran problema. En efecto, la solución de la hipótesis de Riemann tendrá enormes consecuencias sobre muchos otros problemas matemáticos. Los números primos son tan fundamentales para la actividad del matemático que cualquier progreso en la comprensión de su naturaleza tendría un enorme impacto. La hipótesis de Riemann parece un problema imposible de eludir: cuando uno se mueve en el terreno matemático tiene la impresión de que todos los caminos conducirán necesariamente a algún punto desde el cual divisaremos el imponente panorama de la hipótesis de Riemann. Muchos han comparado la hipótesis de Riemann con el ascenso al Everest: cuanto más tiempo la cumbre permanece inalcanzada, mayor es el deseo de conquistarla. Y el matemático que finalmente consiga escalar el monte Riemann será ciertamente recordado mucho más que Edmund Hillary. La conquista del Everest produce admiración no porque su cima sea un lugar particularmente emocionante para vivir, sino por el reto que supone. Bajo este aspecto la hipótesis de Riemann difiere significativamente del ascenso a la montaña más alta del mundo. La cima de Riemann es un lugar donde queremos instalarnos porque conocemos ya los panoramas que se abrirán ante nuestros ojos cuando consigamos alcanzarla. Aquel que demuestre la hipótesis de Riemann habrá hecho posible completar las lagunas Colaboración de Sergio Barros

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de miles de teoremas que dependen de su veracidad. Para alcanzar sus propias metas, muchos matemáticos han tenido que suponer que la hipótesis es cierta. El hecho de que tantos resultados dependan del reto lanzado por Riemann justifica que los matemáticos lo definan como hipótesis en lugar de hablar de conjetura. El término hipótesis tiene la connotación mucho más fuerte de una suposición necesaria que hace un matemático para edificar una teoría. En cambio, una conjetura representa simplemente una previsión sobre cómo el matemático cree que se comportará su mundo. Para muchos no hubo otra solución que aceptar su propia incapacidad para resolver el enigma de Riemann y se han limitado a adoptar su previsión como hipótesis de trabajo. Si alguien consiguiese transformar la hipótesis en teorema, todos aquellos resultados no demostrados se confirmarían. Cuando apelan a la hipótesis de Riemann, los matemáticos están poniendo en juego su reputación con la esperanza de que algún día alguien demuestre que la intuición de este matemático era correcta. Hay quien no se limita a adoptarla como hipótesis de trabajo: para Bombieri, el hecho de que los números primos se comporten de la manera prevista por la hipótesis de Riemann es un artículo de fe. En pocas palabras, la hipótesis de Riemann se ha convertido en una piedra angular en la búsqueda de la verdad matemática. Si resultase falsa, destruiría completamente nuestra confianza en la capacidad que tenemos de intuir el funcionamiento de las cosas. Estamos ya tan seguros de que Riemann tenía razón que la alternativa exigiría una revisión radical de nuestro modo de concebir el mundo matemático. En particular, todos los resultados que creemos que existen más allá de la cumbre de Riemann se desvanecerían en el vacío. Sin embargo, una demostración de la hipótesis de Riemann significaría para los matemáticos sobre todo la posibilidad de disponer de un procedimiento muy rápido y absolutamente cierto para determinar, por ejemplo, un número primo de cien cifras o de cualquier otra cantidad de cifras que elijamos. « ¿Y qué?», se preguntará usted, con toda la razón. A menos que sea matemático, la idea de que este hecho pueda tener importantes consecuencias en su vida le parecerá harto improbable. Encontrar números primos de cien cifras parece tan inútil como contar los granos de arena de una playa. La mayor parte de la gente reconoce que las matemáticas están en la base de la construcción de un avión o del desarrollo de la tecnología Colaboración de Sergio Barros

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electrónica, pero pocos esperarían que el esotérico mundo de los números primos tenga un impacto directo en sus vidas. En realidad, todavía en los años cuarenta del pasado siglo, G. H. Hardy opinaba igual: «Tanto un Gauss como otros matemáticos menos importantes pueden alegrarse con razón del hecho de que, de todos modos, hay una ciencia [la teoría de los números] cuya propia lejanía de las actividades humanas ordinarias debería mantenerla amable y pura». Sin embargo, más recientemente, los acontecimientos han tomado un nuevo cariz que ha permitido a los números primos conquistar el centro del escenario del mundo sucio y despiadado del comercio. Los números primos ya no están encerrados en la ciudadela matemática. En los años setenta tres científicos —Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman— transformaron la investigación sobre los números primos de un juego desinteresado que se practicaba en las torres de marfil del mundo académico en una aplicación comercial seria: explotando un descubrimiento de Pierre de Fermat en el siglo XVII, los tres idearon un modo de utilizar los números primos para proteger los números de nuestras tarjetas de crédito mientras viajan por los centros comerciales electrónicos del mercado global. Cuando se propuso la idea por primera vez en los años setenta nadie podía ni remotamente imaginar las dimensiones que alcanzaría el comercio electrónico, pero hoy ese comercio no podría existir sin el poder de los números primos. Cada vez que usted compra algo en una página de Internet, su ordenador usa la seguridad que proporciona la existencia de números primos de cien cifras. El sistema se llama RSA, a partir de las iniciales de sus tres inventores. Actualmente se han usado ya más de un millón de números primos para proteger el mundo del comercio electrónico. Cualquier actividad comercial en Internet depende de los números primos de cien cifras para mantener la seguridad de la transacción. Finalmente, la expansión del comercio en Internet llevará a identificar a cada uno de nosotros mediante un número primo personal. El hecho de saber cómo una demostración de la hipótesis de Riemann puede contribuir a conocer la distribución de los números primos en el universo de los números ha adquirido de pronto un interés comercial. Lo extraordinario es que, si bien la construcción de ese código de seguridad depende de los descubrimientos sobre números primos que Fermat realizó hace más Colaboración de Sergio Barros

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de trescientos años, su decodificación depende de un problema que todavía somos incapaces de resolver. La seguridad de la codificación RSA depende de nuestra incapacidad de responder a cuestiones fundamentales sobre los números primos. Somos capaces de comprender la mitad de la ecuación, pero no la otra mitad. Por tanto, cuanto más penetramos en el misterio de los números primos tanto menos seguros se vuelven los códigos usados en Internet. Los números primos son la llave del cerrojo que protege los secretos electrónicos del mundo. Por eso empresas como AT&T o Hewlett-Packard están invirtiendo ingentes cantidades de dinero para comprender las sutilezas de los números primos y de la hipótesis de Riemann: lo que termine por descubrirse podría servir para descifrar códigos. Por esta razón la teoría de los números y el mundo de los negocios han sellado tan extraña alianza. El mundo de los negocios y los servicios de seguridad vigilan atentamente a los matemáticos puros. En consecuencia, no sólo los matemáticos se agitaron ante el anuncio de Bombieri: ¿aquella solución de la hipótesis de Riemann iba a provocar el descalabro del comercio electrónico? Enviaron a Princeton agentes de la NSA, la agencia de seguridad nacional estadounidense, para averiguarlo. Sin embargo, mientras matemáticos y agentes del contraespionaje se dirigían a Princeton, algunas personas empezaron a notar algo sospechoso en el correo electrónico de Bombieri. Ciertamente se han asignado nombres extravagantes a algunas partículas elementales descubiertas: gluones, hiperones csi, mesones encantados, quark — este último gentileza del Finnegan’s Wake de James Joyce—. ¿Pero morones?1 ¡Desde luego que no! Bombieri tiene la reputación de conocer al dedillo la hipótesis de Riemann, pero quienes lo tratan personalmente saben que posee además un pérfido sentido del humor. Incluso el último teorema de Fermat había sido motivo de una inocentada cuando se descubrió una laguna en la demostración que Andrew Wiles había propuesto en Cambridge. Con el correo de Bombieri, la comunidad matemática se había dejado embaucar otra vez: el ansia de volver a vivir la emoción levantada por la demostración del último teorema de Fermat había llevado a los matemáticos a precipitarse sobre el anzuelo que Bombieri había puesto a su alcance. Además, el 1

Moron en inglés «idiota». (Nota del T., como todas las que siguen).


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placer de reenviar un correo electrónico tan singular hizo que, mientras éste se difundía rápidamente, la fecha del 1 de abril desapareciera del texto. Todo lo anterior, en combinación con el hecho de que el correo se difundió en países en los que no se celebra el April Fool’s Day 2 provocó que la burla tuviera un éxito mucho mayor de lo que su autor podía prever. Finalmente, Bombieri tuvo que confesar que su mensaje era una broma. Mientras se aproximaba el siglo XXI, los números más fundamentales de las matemáticas se mantenían en la más profunda oscuridad: quien reía el último eran los números primos. ¿Cómo es posible que los matemáticos fuesen tan ingenuos como para creer a Bombieri? Desde luego, no se trata de personas dispuestas a conceder trofeos fácilmente. Antes de declarar que se ha demostrado un resultado, los matemáticos exigen severísimas verificaciones, mucho más severas que cualquier otra disciplina. Wiles lo comprendió cuando apareció la laguna en su primera demostración del último teorema de Fermat: completar el noventa y nueve por ciento del rompecabezas no es suficiente; la historia sólo recordará a quien coloque la última pieza. Y muy a menudo la última pieza permanece oculta durante años. La búsqueda del manantial secreto de donde brotaban los números primos estaba en marcha desde hacía más de dos milenios; el aroma de aquel elixir había vuelto a los matemáticos demasiado vulnerables al engaño de Bombieri. Durante años, la simple idea de enfrentarse de algún modo a aquel problema tan difícil había aterrorizado a muchos de ellos; sin embargo, con el fin de siglo ocurrió un hecho singular: cada vez eran más numerosos los matemáticos dispuestos a hablar de la posibilidad de abordarlo, y la demostración del último teorema de Fermat alimentó todavía más la esperanza de resolver los grandes problemas. Los matemáticos habían disfrutado de la atención que la solución de Wiles al problema de Fermat había atraído sobre su gremio, y no cabe duda de que esa sensación contribuyó a su deseo de creer a Bombieri. Un buen día, le propusieron a Andrew Wiles que posase para un anuncio de pantalones. Ser matemático casi te hacía sentir sexy. Los matemáticos pasan mucho tiempo en un mundo que los colma de emoción y de placer y, sin embargo, se trata de un placer que raramente pueden compartir con el resto del mundo; ahora se presentaba la ocasión de 2

1 de abril, equivalente en los países anglosajones a nuestro 28 de diciembre, festividad de los Santos Inocentes.


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levantar un trofeo, de mostrar los tesoros que habían descubierto en sus largos y solitarios viajes. La demostración de la hipótesis de Riemann hubiera sido un digno colofón matemático al siglo XX, un siglo que se había iniciado con el reto de Hilbert a los matemáticos de todo el mundo para que resolvieran aquel enigma. De los veintitrés problemas de la lista de Hilbert, la hipótesis de Riemann era el único que alcanzaba invicto el siglo XXI. El 24 de mayo de 2000, con motivo del centenario del reto de Hilbert, matemáticos y periodistas se reunieron en el Collège de France de París para escuchar el anuncio de una nueva colección de siete problemas con los que se retaba a la comunidad matemática ante el tercer milenio. Los proponía un pequeño grupo de matemáticos de fama mundial formado, entre otros, por Andrew Wiles y Alain Connes. Se trataba de problemas inéditos en todos los casos excepto uno, que ya había formado parte de la lista de Hilbert: la hipótesis de Riemann. En homenaje a los ideales capitalistas que caracterizaron el siglo XX, estos retos aumentaban su interés con el añadido de un premio de un millón de dólares para cada uno: un incentivo seguro para el joven físico inventado por Bombieri, en caso de que no se conformara con la gloria. La idea de los Problemas del Milenio se le ocurrió a Landon T. Clay, un hombre de negocios de Boston que hizo fortuna con la compraventa de fondos de inversión en un momento en que la bolsa iba viento en popa. A pesar de haber abandonado sus estudios de matemáticas en Harvard, Clay siente una auténtica pasión por esta disciplina, y quiere compartirla. Sabe que la fuerza que motiva a los matemáticos no es el dinero: «Lo que espolea a los matemáticos es el deseo de verdad, la sensibilidad ante la belleza, el poder y la elegancia de las matemáticas». Pero Clay no es ingenuo, y como hombre de negocios sabe bien que un millón de dólares podrían inducir a un nuevo Andrew Wiles a incorporarse a la cacería de soluciones de los grandes problemas irresueltos. Y así ha sido: la página de Internet del Instituto Clay de Matemáticas, donde se exponen al público los Problemas del Milenio, quedó bloqueado por la gran cantidad de visitas que recibió. Los siete Problemas del Milenio tienen un espíritu distinto de los veintitrés problemas que Hilbert eligió un siglo antes: Hilbert había señalado el camino para los matemáticos de su siglo; muchos de sus problemas eran inéditos, y alentaban Colaboración de Sergio Barros

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un cambio de actitud significativo respecto de las matemáticas. A diferencia del último teorema de Fermat, que obligaba a concentrarse en un detalle, los veintitrés problemas de Hilbert dirigían a la comunidad matemática hacia un modo de pensar más conceptual. Hilbert ofrecía a los matemáticos la oportunidad de efectuar un paseo en globo a gran altura sobre su disciplina, incitándolos a comprender la configuración global del terreno en lugar de examinar una a una las rocas presentes en el paisaje matemático. Este nuevo punto de vista debe mucho a Riemann, quien cincuenta años antes había iniciado ya la revolucionaria transición de las matemáticas de una disciplina de fórmulas y ecuaciones a una disciplina de ideas y teorías abstractas. La elección de los siete Problemas del Milenio fue más conservadora: son los Turner de la galería de arte de los problemas matemáticos, mientras que las cuestiones de Hilbert constituían una colección más revolucionaria, más vanguardista. El conservadurismo de los nuevos problemas es imputable en parte al deseo de que las soluciones sean suficientemente definidas como para que quienes las planteen puedan recibir el premio de un millón de dólares. Los Problemas del Milenio son cuestiones que los matemáticos conocen desde hace ya décadas y, en el caso de la hipótesis de Riemann, desde hace más de un siglo: se trata de un compendio de clásicos. Los siete millones de dólares que Clay puso sobre la mesa no suponen el primer caso en que se ofrece dinero para la solución de un problema matemático. Por haber demostrado el último teorema de Fermat, Wiles ingresó 75.000 marcos alemanes del premio que ofreció Paul Wolfskehl en 1908. De hecho, fue la historia del premio Wolfskehl lo que hizo que Wiles se fijara en Fermat a la impresionable edad de diez años. Clay cree que, si consigue otro tanto con la hipótesis de Riemann, será un dinero bien gastado. Más recientemente, dos editoriales, Faber & Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury de los Estados Unidos, han ofrecido un millón de dólares a quien logre demostrar la conjetura de Goldbach, como reclamo publicitario para el lanzamiento de la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis. Para ganar el premio había que explicar por qué todo número par puede expresarse como suma de dos números primos. Sin embargo, los editores no concedieron mucho tiempo a los posibles concursantes: la Colaboración de Sergio Barros

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solución debía presentarse antes de la medianoche del 15 de marzo de 2002 y, cosa absurda, el concurso sólo estaba abierto a los residentes en Gran Bretaña y los Estados Unidos. Según Clay, los matemáticos reciben escasas recompensas y poco reconocimiento a sus desvelos; por ejemplo, no existe un premio Nobel de Matemática al que puedan aspirar. En cambio, la medalla Fields puede ser considerada como el más importante reconocimiento en el mundo matemático. A diferencia de los Nobel, que acostumbran a concederse a científicos que se acercan al término de su carrera por los resultados que han obtenido mucho antes, las medallas Fields están reservadas a los matemáticos que todavía no hayan cumplido cuarenta años. Esta elección no está basada en la opinión muy extendida de que los matemáticos se queman muy jóvenes: John Fields, que concibió y dotó el premio, quería que los fondos sirvieran para incentivar a los matemáticos más prometedores para que obtuvieran resultados aún más importantes. Las medallas se otorgan cada cuatro años con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos, y las primeras se entregaron en Oslo en 1936. El límite máximo de edad se respeta estrictamente. A pesar de lo extraordinario de la labor desarrollada por Andrew Wiles al demostrar el último teorema de Fermat, el comité del premio no pudo otorgarle una medalla en el Congreso de Berlín de 1998, es decir, en la primera ocasión posible tras la aceptación definitiva de su demostración, porque Wiles había nacido en 1953. Por supuesto, se acuñó una medalla especial para conmemorar su empresa, pero no es comparable con el hecho de ser miembro del ilustre club de los agraciados con una medalla Fields. Entre éstos hay muchos de los protagonistas principales de nuestra historia: Enrico Bombieri, Alain Connes, Atle Selberg, Paul Cohen, Alexandre Grothendieck, Alan Barker, Pierre Deligne. Estos nombres suponen casi la quinta parte de la totalidad de las medallas concedidas hasta ahora. Pero los matemáticos no aspiran a la medalla Fields por dinero. En lugar de las importantes sumas que ingresan los ganadores de un Nobel, la dotación que acompaña a una medalla Fields es de unos modestos 15.000 dólares canadienses. Sin embargo, los millones de Clay contribuirán a competir con el poderío económico de los premios Nobel. Al contrario de lo que ocurre con la medalla Fields o con el Colaboración de Sergio Barros

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premio que ofrecieron Faber & Faber y Bloomsbury por la solución de la conjetura de Goldbach, en este caso cualquiera puede aspirar a ganar el premio, con independencia de su edad o nacionalidad, y sin más límite de tiempo para hallar la solución que el inexorable tic-tac de la inflación. De todas maneras, la recompensa económica no es el principal motivo que empuja a los matemáticos a la caza de uno de los Problemas del Milenio, sino más bien la embriagadora perspectiva de alcanzar la inmortalidad que las matemáticas pueden conferir. Ciertamente, resolviendo uno de los problemas de Clay ganaría un millón de dólares, pero eso no es nada en comparación con el hecho de inscribir el propio nombre en el mapa intelectual de la civilización. La hipótesis de Riemann, el último teorema de Fermat, la conjetura de Goldbach, el espacio de Hilbert, la función tau de Ramanujan, el algoritmo de Euclides, el método del círculo de Hardy-Littlewood, la serie de Fourier, la numeración de Gödel, un cero de Siegel, la fórmula de la traza de Selberg, la criba de Eratóstenes, los números primos de Mersenne, el producto de Euler, los enteros de Gauss: todos ellos son descubrimientos que han llevado a la inmortalidad a los matemáticos que han desenterrado esos tesoros en el curso de sus exploraciones sobre los números primos. Sus nombres sobrevivirán mucho después de que nos hayamos olvidado de Esquilo, de Goethe o de Shakespeare. Como explicaba G. H. Hardy, «las lenguas mueren, pero las ideas matemáticas no. Inmortalidad quizá sea una palabra ingenua, pero un matemático tiene más probabilidades que cualquier otro ser humano de alcanzar lo que aquella palabra designa». Los matemáticos que han luchado larga y fatigosamente en esta aventura épica para comprender que los números primos son algo más que simples nombres inscritos en el firmamento matemático. El tortuoso camino que ha seguido la historia de los números primos es el resultado de vidas concretas, de un conjunto rico y variado de dramatis personae. Figuras históricas de la Revolución francesa y amigos de Napoleón dan paso a modernos magos y a empresarios de Internet. Las historias de un contable indio, de un espía francés que se libró de ser ejecutado y de un judío húngaro fugitivo de la persecución de la Alemania nazi, tienen como Colaboración de Sergio Barros

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denominador común la obsesión por los números primos. Cada uno de estos personajes ofrece una perspectiva única en su intento de añadir el propio nombre al cuadro de honor matemático. Los números primos han unido a los matemáticos a través de muchas fronteras nacionales: China, Francia, Grecia, América, Noruega, Australia, Rusia, India y Alemania son sólo algunos de los países que han aportado miembros prominentes a la tribu nómada de los matemáticos que cada cuatro años se reúne en un congreso internacional para narrar las historias de sus viajes. No sólo es el deseo de dejar una impronta en el pasado lo que motiva a los matemáticos. Igual que ocurrió cuando Hilbert osó posar su mirada sobre lo desconocido, la demostración de la hipótesis de Riemann supondría el comienzo de una nueva aventura. Cuando Wiles tomó la palabra en la conferencia de prensa convocada para anunciar los premios Clay, insistió en subrayar que los problemas no son la meta final: Allá afuera hay todo un mundo de matemáticas esperando a que lo descubran. Piensen, por favor, en los europeos de 1600. Sabían que al otro lado del Atlántico había un Nuevo Mundo; ¿qué clase de premio habrían otorgado para contribuir al descubrimiento y al desarrollo de los Estados Unidos? No un premio a la invención del aeroplano, no un premio a la invención del ordenador, no un premio a la fundación de Chicago, no un premio a la construcción de máquinas capaces de trillar campos de trigo; todas estas cosas han pasado a formar parte de Estados Unidos, pero en 1600 no podían ni imaginárselas: no, habrían dado un premio a la solución de problemas como el de la longitud. La hipótesis de Riemann es la longitud de las matemáticas. Su solución abre la perspectiva de dibujar un mapa de las brumosas aguas del inmenso océano de los números primos. Representa apenas el comienzo de nuestra comprensión de los números de la naturaleza. Una vez que descubramos el secreto para orientarnos entre los números primos, quién sabe qué otras cosas podría haber allá afuera esperando a que las descubramos.


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Capítulo 2 Los átomos de la aritmética Cuando las cosas se vuelven demasiado complicadas, a veces tiene sentido parar y preguntarse: ¿he planteado la pregunta correcta? ENRICO BOMBIERI «Prime Territory», en The Sciences Con te n ido :

1. 2. 3.

La búsqueda de modelos La demostración, guía de viaje del matemático Las fábulas de Euclides

4. 5.

A la caza de los números primos Euler, el águila matemática

6.

La estimación de Gauss

Dos siglos antes de que la inocentada de Bombieri pusiera en evidencia al mundo de los matemáticos, otro italiano, Giuseppe Piazzi, difundía una noticia igual de apasionante: desde el observatorio astronómico de Palermo, Piazzi había descubierto un nuevo planeta que giraba alrededor del Sol en una órbita entre las de Marte y Júpiter. Ceres, como lo llamaron, era mucho más pequeño que los siete planetas mayores conocidos hasta entonces, pero su descubrimiento, el 1 de enero de 1801, se consideró un maravilloso augurio para el futuro de la ciencia en el nuevo siglo. El entusiasmo se convirtió en decepción pocas semanas después, cuando el pequeño planeta desapareció de la vista: su órbita estaba conduciéndolo al otro lado del Sol, donde su débil luz terminó ocultada por el deslumbrador brillo solar. Ceres desapareció del cielo nocturno, perdido de nuevo entre la plétora de estrellas del firmamento. Los astrónomos del siglo XIX no disponían de suficientes instrumentos matemáticos para calcular su órbita completa a partir de la breve trayectoria que habían seguido durante las primeras semanas del nuevo siglo. Lo Colaboración de Sergio Barros

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habían perdido, y parecía que no existía ningún modo de prever dónde haría su siguiente aparición. Sin embargo, casi un año después de desvanecerse el planeta de Pazzi, un alemán de veinticuatro años, natural de Brunswick, anunció que sabía dónde debían buscar los astrónomos el objeto perdido. A falta de previsiones alternativas a su disposición, los astrónomos dirigieron sus telescopios hacia la región del cielo que indicaba el jovencito. Como por milagro, Ceres se encontraba precisamente allí. Esa previsión astronómica sin precedentes no procedía, sin embargo, de la misteriosa magia de un astrólogo: la trayectoria de Ceres había sido calculada por un matemático que había identificado un orden allí donde los demás habían visto simplemente un minúsculo e imprevisible planeta. Carl Friederich Gauss había tomado los escasísimos datos que se habían registrado sobre la trayectoria del planeta y había aplicado un nuevo método de cálculo desarrollado recientemente por él mismo para determinar dónde se encontraría Ceres en cualquier fecha futura. Gracias al descubrimiento de la trayectoria de Ceres, Gauss se convirtió de inmediato en una estrella de primera magnitud en la comunidad científica. Su gesta fue un símbolo del poder de predicción de las matemáticas en un período, la primera mitad del siglo XIX, en que la ciencia estaba en plena eclosión. Si bien los astrónomos habían descubierto el planeta por casualidad, un matemático había puesto en juego la capacidad analítica necesaria para explicar qué ocurriría a continuación. A pesar de que el nombre de Gauss todavía era desconocido en la comunidad astronómica, su joven voz ya había dejado una impronta formidable en el mundo matemático. Gauss había conseguido trazar la trayectoria de Ceres, pero su auténtica pasión era la de identificar estructuras regulares en el mundo de los números. Para él, el universo de los números suponía un reto más importante: hallar estructura y orden donde los demás sólo veían caos. Con excesiva frecuencia se usan epítetos como niño prodigio y genio de las matemáticas, pero pocos matemáticos tendrían nada que objetar al hecho de que tales calificativos se atribuyan a Gauss. El simple número de ideas nuevas y descubrimientos que produjo incluso antes de cumplir los veinticinco años parece inexplicable.


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Gauss nació en una familia de modestos trabajadores de Brunswick (Alemania) en 1777. A los tres años corregía las cuentas de su padre; a los diecinueve, su descubrimiento de una magnífica construcción geométrica de una figura de 17 lados le convenció de que debía dedicar su vida a las matemáticas. Antes que él, los antiguos griegos habían demostrado que era posible construir un pentágono perfecto usando sólo regla y compás. Desde entonces nadie había sido capaz de demostrar cómo utilizar aquellos simples instrumentos para construir otros polígonos perfectos, llamados polígonos regulares, con un número primo de lados. La excitación de Gauss cuando descubrió la manera de construir aquella figura perfecta de 17 lados lo empujó a dar comienzo a un diario matemático que mantuvo durante los siguientes dieciocho años. Este diario, que quedó en manos de su familia hasta 1898, se convirtió en uno de los documentos más importantes de la historia de las matemáticas, entre otras razones porque confirmó que Gauss había probado, sin publicarlos, muchos resultados que otros matemáticos intentaron demostrar hasta bien entrado el siglo XIX. Entre las primeras contribuciones matemáticas de Gauss, una de las principales fue la invención de la calculadora de reloj . No se trataba de una máquina material, sino de una idea que abría la posibilidad de hacer matemáticas con números que hasta aquel momento habían sido considerados inabordables. La calculadora de reloj se basa en el mismo principio que los relojes convencionales. Si su reloj marca las 9 y le añade 4 horas, la manecilla se colocará sobre la una. De igual manera, la calculadora de reloj de Gauss da 1 como resultado de 9 + 4. Si Gauss deseaba realizar un cálculo más complicado, como por ejemplo 7 × 7, la calculadora de reloj daba como resultado el resto que se obtiene al dividir 49 (es decir, 7 × 7) entre 12. El resultado es otra vez 1. Sin embargo, la potencia y velocidad de la calculadora de reloj comenzaba a ponerse de manifiesto cuando Gauss quería calcular 7 × 7 × 7. En lugar de multiplicar otra vez 49 por 7, Gauss podía limitarse a multiplicar 7 por el último resultado obtenido, es decir 1, para obtener la respuesta, que es 7. De esta forma, sin tener que calcular 7 × 7 × 7 —que da 343— podía saber sin gran esfuerzo que aquel resultado, al dividirlo por 12, daba como resto 7. La calculadora demostró toda su potencia cuando Gauss empezó a utilizarla con grandes números, que Colaboración de Sergio Barros

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sobrepasaban sus propias capacidades de cálculo. Incluso sin tener ni idea del valor de 799, su calculadora de reloj le decía que ese número dividido entre 12 daría 7 como resto. Gauss se dio cuenta de que en los relojes de 12 horas no había nada de especial. Por ello introdujo la idea de una aritmética del reloj —o aritmética modular, como se llama a veces— basada en relojes con cualquier número de horas. Por ejemplo, si insertamos el número 11 en una calculadora de reloj de 4 horas, obtendremos 3 como respuesta ya que al dividir 11 entre 4 el resto que se obtiene es 3. Los estudios de Gauss sobre este nuevo tipo de aritmética revolucionaron las matemáticas de principios del siglo XIX. Así como el telescopio había permitido a los astrónomos vislumbrar nuevos mundos, la invención de la calculadora de reloj ayudó a los matemáticos a descubrir en el universo de los números estructuras que habían estado ocultas durante generaciones. Todavía hoy la aritmética modular de Gauss es fundamental para la seguridad en Internet, donde se utilizan relojes con cuadrantes divididos en más horas que átomos existen en el universo observable. Gauss, hijo de padres pobres, tuvo la suerte de poder sacar provecho de su talento matemático. Había nacido en una época en que las matemáticas eran todavía una actividad privilegiada, financiada por cortesanos y mecenas, o practicada a ratos libres por aficionados como Pierre de Fermat. El protector de Gauss era Carl Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick. La familia de Ferdinand siempre había apoyado la cultura y la economía del ducado. Su padre había sido el fundador del Collegium Carolinum, una de las universidades técnicas más antiguas de Alemania. Ferdinand, imbuido del ethos paterno según el cual la instrucción era la base de los éxitos comerciales de Brunswick, estaba siempre al acecho de talentos dignos de apoyo. Coincidió por primera vez con Gauss en 1791, y quedó tan impresionado por sus capacidades que se ofreció a financiar los estudios de aquel joven en el Collegium Carolinum para que pudiera así desarrollar su indiscutible potencial. Lleno de gratitud, Gauss dedicó su primer libro al duque en 1801. Aquel libro, titulado Disquisitiones arithmeticae, recogía muchos de los descubrimientos sobre las propiedades de los números que Gauss había anotado en sus diarios. Todo el mundo reconoce que no se trata de un simple compendio de observaciones sobre los números, sino que supone el anuncio del nacimiento de la teoría de los números Colaboración de Sergio Barros

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como disciplina independiente. Su publicación hizo de la teoría de los números «la reina de las matemáticas», como siempre le gustó a Gauss definirla. Y si esa teoría era una reina, las joyas engarzadas en su corona eran los números primos, los números que habían fascinado y atormentado a generaciones enteras de matemáticos. La prueba más antigua del conocimiento de los humanos sobre las propiedades especiales de los números primos es un hueso que data del 6500 a. C. El hueso, llamado de Ishango, se descubrió en 1960 en las montañas de Africa ecuatorial. Tiene grabadas tres columnas con cuatro series de muescas. En una de las columnas encontramos 11, 13, 17, 19 muescas, es decir, la lista de los números primos comprendidos entre 10 y 20. También las otras columnas parecen tener significados de naturaleza matemática. No está claro si este hueso, que se conserva en el Instituto Real de las Ciencias Naturales de Bruselas, representa realmente uno de los primeros intentos que hicieron nuestros antepasados para entender los números primos o si se trata de una selección de números que resultan ser primos por casualidad. Sin embargo, no podemos excluir la posibilidad de que se trate de la primera incursión humana en los números primos. Algunos sostienen que la civilización china fue la primera en oír el tam-tam de los números primos. Los chinos atribuían características femeninas a los números pares y masculinas a los impares, pero además de esa nítida separación, consideraban afeminados los impares que no son primos, como el 15. Hay pruebas de que, antes del 1000 a. C., los chinos habían ideado un método muy concreto para comprender qué hace especiales a los números primos entre todos los números. Si tomamos 15 alubias podemos distribuirlas en un rectángulo perfecto compuesto por tres columnas de cinco alubias. En cambio, si tomamos 17 alubias sólo podremos construir un rectángulo de una fila de 17 alubias. Para los chinos, los números primos eran números viriles que resistían cualquier intento de descomponerlos en producto de números menores. Si bien a los antiguos griegos también les gustaba atribuir cualidades sexuales a los números, fueron ellos los que descubrieron, en el siglo IV a. C., la fuerza real de los números primos como elementos básicos para la construcción de todos los demás. Comprendieron que todo número puede ser construido multiplicando entre sí Colaboración de Sergio Barros

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números primos. Aunque se equivocaron al creer que el fuego, el aire, el agua y la tierra constituían la base de la materia, acertaron al identificar los átomos de la aritmética. Durante siglos los químicos intentaron en vano identificar los elementos constitutivos básicos de su disciplina, hasta que la búsqueda iniciada por los antiguos griegos culminó en la tabla periódica de los elementos de Dimitri Mendeleiev. En cambio, a pesar de disfrutar de la ventaja de la identificación por los griegos de los elementos básicos de la aritmética, los matemáticos todavía se debaten en sus intentos por descubrir su tabla de los números primos. Hasta donde sabemos fue Eratóstenes, gran bibliotecario del importantísimo centro cultural de la Grecia antigua que fue Alejandría, el primero en producir tablas de números primos. Como una especie de antiguo Mendeleyev de las matemáticas, en el siglo III a. C., Eratóstenes ideó un procedimiento razonablemente sencillo para determinar qué números eran primos entre los comprendidos, por ejemplo, entre 1 y 1.000. Para empezar, escribía la secuencia entera de números; a continuación tomaba el menor primo, es decir 2, y a partir de él tachaba de la lista un número de cada dos: como son divisibles entre 2, todos los tachados no son primos. Entonces pasaba al siguiente número no tachado, es decir 3, y a partir de él tachaba de la lista un número de cada tres: como todos esos números son divisibles entre 3, no son primos. Continuaba el proceso tomando el siguiente número no tachado y suprimiendo de la lista todos sus múltiplos. Con este proceso sistemático construyó tablas de números primos, y este método recibió el nombre de criba de Eratóstenes: cada nuevo número primo crea una «criba», un cedazo que Eratóstenes utiliza para eliminar una parte de los números que no son primos. En cada nueva fase del proceso las dimensiones de la malla cambian y, cuando Eratóstenes llega a 1.000, los únicos números supervivientes del proceso de selección son los primos. Cuando Gauss era un jovencito recibió como regalo un libro que contenía una lista de varios millares de números primos que probablemente se había construido utilizando los antiguos cedazos numéricos. Para Gauss, aquellos números aparecían desordenadamente. Predecir la órbita elíptica de Ceres había sido ya suficientemente difícil, pero el reto de los números primos tenía más en común con la empresa casi imposible de analizar la rotación de cuerpos celestes del tipo de Colaboración de Sergio Barros

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Hiperión, uno de los satélites de Saturno, que tiene forma de hamburguesa. A diferencia de nuestra Luna, Hiperión no es en absoluto estable desde el punto de vista gravitacional, y por esa razón gira caóticamente sobre sí mismo. De todos modos, por más que la rotación de Hiperión o las órbitas de algunos asteroides sean caóticas, por lo menos sabemos que su comportamiento viene determinado por la atracción gravitacional del Sol y de los planetas; en cuanto los números primos, no tenemos ni la más ligera idea de qué fuerzas los atraen o los repelen. Cuando escrutaba sus tablas numéricas, Gauss no conseguía determinar ninguna regla que le indicara cuánto tenía que saltar para hallar el siguiente número primo. ¿Podría ser que los matemáticos debieran resignarse a aceptar que esos números han sido elegidos al azar por la naturaleza, que hubieran sido fijados como estrellas en el cielo nocturno, sin pies ni cabeza? Gauss no podía aceptar semejante idea: la motivación primaria en la vida de un matemático es determinar estructuras ordenadas, descubrir y explicar las reglas que están en los cimientos de la naturaleza, prever qué sucederá a continuación. 1. La búsqueda de modelos La aventura de la búsqueda de los números primos por parte de los matemáticos está perfectamente expresada en uno de los problemas que todos hemos resuelto en la escuela: dada una sucesión de números, determinar el siguiente elemento. Veamos, a título de ejemplo, tres de estos problemas: 1, 3, 6, 10, 15,… 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30,… Muchas preguntas asaltan la mente matemática ante listas así: ¿cuál es la regla que está detrás de la creación de cada sucesión? ¿Es posible predecir el siguiente elemento? ¿Se puede determinar una fórmula que nos permita calcular el centésimo término de la sucesión sin que sea necesario calcular los 99 anteriores? La primera de las tres sucesiones anteriores está formada por los llamados números triangulares. El décimo número de la lista es el número de alubias necesarias para Colaboración de Sergio Barros

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construir un triángulo de diez filas que comience con una fila de una única alubia y que termine con una fila de diez alubias. Por esta razón, el enésimo número triangular se obtiene simplemente sumando los primeros N números: 1 + 2 + 3 +… + N . Si deseamos determinar el centésimo número triangular tenemos ya un método largo y laborioso: atacar frontalmente el problema sumando los 100 primeros números de la sucesión. El maestro de la escuela a la que asistía Gauss tenía por costumbre poner este problema a sus alumnos, con la seguridad de que tardarían en resolverlo el tiempo suficiente para que él pudiera echar una cabezadita. A medida que terminaban el problema, los alumnos se levantaban y ponían su pizarra en una pila ante el maestro. Mientras los demás alumnos apenas se habían puesto a la tarea, en pocos segundos Gauss, con diez años, había dejado ya su pizarra sobre el escritorio del maestro. Furioso, éste creyó que el joven Gauss estaba siendo insolente, pero cuando miró la pizarra, vio que la respuesta —5.050— estaba allí, sin un solo paso de cálculo. El maestro pensó que Gauss había hecho trampa de un modo u otro, pero el alumno explicó que bastaba con insertar N = 100 en la fórmula 1/2 × (N + 1) × N para obtener el centésimo término de la sucesión sin tener que calcular ningún otro término. Gauss no había atacado el problema directamente, sino que se había aproximado a él lateralmente. El mejor modo de descubrir cuántas alubias hay en un triángulo de 100 filas, razonó, era tomar otro triángulo igual, darle la vuelta y ponerlo al lado del primero. Ahora Gauss tenía un rectángulo de 100 filas, de 100 alubias cada una, y calcular el número total de alubias de este rectángulo formado por dos triángulos era muy fácil: el total de alubias es 101 × 100 = 10.100. Por tanto, un único triángulo contenía la mitad de ese número de alubias, es decir,


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1/2 × 101 × 100 = 5.050. Además, el número 100 no tiene nada de especial: si lo sustituimos por N , obtendremos la fórmula 1/2 × ( N + 1) × N . La siguiente figura ilustra el razonamiento en el caso de un triángulo de 10 filas en lugar de 100.

Una ilustración del método usado por Gauss para demostrar su fórmula para el cálculo de los números triangulares. En lugar de atacar frontalmente el problema que su maestro le proponía, Gauss había encontrado un punto de vista distinto. El pensamiento lateral, la capacidad de observar el problema desde todos los ángulos posibles para verlo desde una nueva perspectiva, es una cuestión de inmensa importancia para el descubrimiento


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matemático y supone una de las razones por las que las personas capaces de razonar como el joven Gauss son buenos matemáticos. La segunda de las sucesiones que hemos propuesto, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, es la de los llamados números de Fibonacci . Para construirla basta calcular cada número sumando los dos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, 13 = 5 + 8. Leonardo Fibonacci, matemático pisano del siglo XIII, dio con ella al estudiar los hábitos reproductores de los conejos. Fibonacci intentó divulgar los descubrimientos de los matemáticos árabes en un intento fracasado de sacar las matemáticas europeas de los oscuros siglos de la Alta Edad Media. Sin embargo, fueron los conejos los que le confirieron la inmortalidad en el mundo matemático. Según su modelo de reproducción, cada nueva estación tendremos un número de parejas de conejos que siguen una pauta regular. Este esquema está basado en dos reglas: cada pareja madura de conejos producirá una nueva pareja de conejos por estación, y cada nueva pareja necesitará una estación para llegar a la madurez sexual. Pero los números de Fibonacci no sólo gobiernan el mundo de los conejos. Esta sucesión aparece en la Naturaleza de mil maneras distintas. El número de pétalos de una flor es siempre un número de Fibonacci, y también el número de espirales de una piña de abeto. Y el crecimiento de una concha marina a lo largo del tiempo sigue la progresión de los números de Fibonacci. ¿Existe una fórmula rápida que, como la de Gauss para los números triangulares, permita determinar el centésimo número de Fibonacci? También en este caso, la primera impresión es que tendremos que calcular los 99 términos anteriores, ya que para determinar el centésimo término necesitamos conocer el nonagésimo octavo y el nonagésimo noveno. ¿Puede ser que exista una fórmula que nos determine este centésimo término insertando simplemente el número 100? Tal fórmula existe, pero su determinación es mucho más complicada que la regla que nos permite determinar esos otros números. La fórmula para generar los números de Fibonacci se basa en un número especial llamado número de oro o proporción áurea, un número que empieza por 1,61803… Igual que π, la proporción áurea es un número cuya expresión decimal no tiene fin, no manifiesta ninguna regularidad y, sin embargo, encierra las que a lo largo de los Colaboración de Sergio Barros

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siglos han sido consideradas como las proporciones perfectas. Si examinamos los lienzo lienzoss que se expone exponen n en el Lou Louvre vre o en la Tate Tate Gallery Gallery,, descub descubrir riremo emoss que con mucha frecuencia el artista ha elegido un rectángulo cuyos lados están en la proporción de 1 a 1,61803. Además, los experimentos revelan que entre la altura de una persona y la distancia que separa sus pies del ombligo se conserva esa misma proporción numérica. La aparición de la proporción áurea en la naturaleza tiene algo de misterioso. El enésimo número de Fibonacci puede expresarse mediante una fórmula construida a partir de la enésima potencia de la proporción áurea. Dejaremos la tercera sucesión numérica —1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30,…— como un reto estimulante sobre el cual volveremos más adelante. Sus propiedades contribuyeron a consolidar la fama de uno de los personajes más fascinantes de las matemáticas del siglo XX: Srinivasa Ramanujan, que poseía una extraordinaria habilidad para descubrir nuevas estructuras y fórmulas en zonas de d e las matemáticas en las que otros se habían encallado. En la Naturaleza no sólo se encuentran los números de Fibonacci: el reino animal también conoce los números primos. Existen dos especies de cigarras llamadas Magicicada septendecim y Magicicada tredecim que que vive viven n a menu menudo do en el mismo mismo medio. medio. Tienen Tienen ciclos de vida de 17 y 13 años respectiva respectivament mente. e. Durante todos esos años se alimentan de la savia savia de las raíces raíces de los árboles. árboles. Luego, Luego, en el último año del ciclo, se metamorfosean de crisálidas en adultos completamente formados y salen del suelo en masa. Asistimos a un acontecimiento acontecimiento extraordinario cuando, cada 17 años, los ejemplares de Magicicada septendecim se septendecim se apoderan del bosque en una sola noche. Entonan su potente canto, se aparean, se alimentan, ponen sus huevos, y al cabo de seis semanas, mueren. El bosque vuelve al silencio durante otros 17 años. Pero ¿por qué esas dos especies han elegido como duración de su vida un número primo de años? Hay diversas explicaciones posibles; como las dos especies han desarrollado ciclos de vida que duran un número primo de años, es raro que aparezcan el mismo año. En efecto, ambas especies deberán compartir el bosque solamente una vez cada 13 x 17 = 221 años. Imaginemos lo que sucedería en el caso de elegir ciclos de años no primos, por ejemplo 18 y 12. En el mismo período de 221 años se habrían Colaboración de Sergio Barros

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encontrado en sincronía seis veces, exactamente en los años 36, 72, 108, 144, 180 y 216, 216, es decir, decir, en los los años años compue compuesto stoss de los númer números os primos primos que son divisor divisores es de 18 y de 12. Los números primos 13 y 17, por tanto, evitaban evitaban a las dos especies especies de cigarra una competenc c ompetencia ia excesiva. La aparición de un hongo que se presentaba simultáneamente con las cigarras nos ofrece otra posible explicación. Para las cigarras aquel hongo era letal, y por esa razón desarrollaron un ciclo de vida que les permitiera evitarlo. Al pasar a un ciclo de 17 o 13 años, años , las cigarras se han asegurado de aparecer en el mismo año a ño que el hongo con mucha menor frecuencia de la que se daría si sus ciclos de vida durasen un número no primo de años. Para las cigarras, los números primos no eran una simple curiosidad abstracta, sino la clave de la supervivencia. Por más que la evolución hubiere descubierto algunos números primos a las cigarras, los matemáticos necesitaban un método más sistemático para obtenerlos. Entre todos los enigmas numéricos, la lista de los números primos era el lugar donde, más que en ningún otro, los matemáticos buscaban una fórmula secreta. Sin embargo, debemos ser cautos al pensar que en el mundo matemático hay estructura y orden en todos los rincones. A lo largo de la historia han sido muchos los que se han perdido en el vano intento de determinar una estructura escondida en la expresión decimal de π, uno de los números más importantes de las matemáticas. Precisamente ha sido su importancia la que ha alimentado intentos desesperados por descubrir mensajes bajo su caótica expresión decimal. Si una vida alienígena utilizaba los números primos para atraer la atención de Ellie Arroway al principio de la novela de Carl Sagan Contacto, Contacto , el mens mensaj ajee últi último mo del del libr libro o está stá escondido en las profundidades de la sucesión decimal de π, en la que repentinamente aparece una serie de ceros y de unos definiendo unas pautas que revelarían «la existencia de una inteligencia anterior al Universo». En la película π, Darren Aronofsky también juega con este célebre icono cultural. A modo de advertencia para aquellos que se sientan fascinados ante la idea de descubrir mensajes escondidos en números como π, los matemáticos han conseguido demostrar que la mayoría de los números decimales esconden, en alguna parte de sus expresiones decimales infinitas, cualquier secuencia de números que deseemos. Por ello, existe una elevada probabilidad de que Colaboración de Sergio Barros

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π




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contenga el programa informático para escribir el libro del Génesis si lo buscamos con paciencia suficiente. En resumen, para buscar estructuras escondidas en las matemáticas es preciso determinar el punto de vista correcto; su importancia se hace evidente cuando se examina desde perspectivas distintas. Lo mismo ocurría con los números primos. Armado con sus tablas de números primos y con su talento para el pensamiento lateral, Gauss estaba preparado para determinar el ángulo y la perspectiva correctos desde donde examinar los números primos de forma que, tras su fachada caótica, pudiera surgir un orden antes oculto. 2. La demostración, guía de viaje del matemático Si una parte del trabajo de los matemáticos consiste en hallar esquemas y estructuras en el mundo de las matemáticas, la otra parte consiste en demostrar que cierta estructura será siempre válida. El concepto de demostración marca quizás el auténtico principio de las matemáticas como arte de la deducción en lugar de la simple observación de los números; el punto en el cual la alquimia a lquimia matemática cede el puesto a la química matemática. Los antiguos griegos fueron los primeros en comprender que era posible demostrar que ciertos hechos siguen siendo ciertos por muy lejos que contemos, por muchos ejemplos que examinemos. El proceso creativo matemático empieza con una suposición. A menudo ésta emerge como resultado de la intuición que el matemático ha desarrollado durante años de exploración del mundo de las matemáticas, cultivando una sensibilidad como consecuencia de sus idas y venidas. Quizá simples experimentos numéricos revelen una regla que se suponga válida para siempre: en el siglo XVII, por ejemplo, los matemáticos descubrieron lo que creyeron un método seguro para verificar la primalidad de un número N : elevar elevar 2 a la N y y dividir el resultado por N . Si el resto es 2, entonces N sería sería un número primo. En términos de la calculadora de reloj de Gauss, aquellos matemáticos querían calcular 2 N con con un relo relojj de N horas. horas. El reto reto consistía en demostrar si tal suposición era cierta o falsa. Estas suposiciones o predicciones son lo que los matemáticos denominan conjeturas o conjeturas o hipótesis. hipótesis. Una suposición matemática recibe el nombre de teorema teorema sólo después de haber sido demostrada; este paso de conjetura o hipótesis a teorema es lo que indica indica la madurez matemática de un enunciado. Fermat legó a las matemáticas una montaña Colaboración de Sergio Barros

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de predicciones: generaciones enteras de matemáticos se han labrado un nombre demostrando la verdad o la falsedad de las hipótesis de Fermat. Ciertamente, el último teorema de Fermat siempre ha recibido el nombre de teorema y no n o de de conjetura, conjetura, pero se trata de un caso insólito, que probablemente se debe a que en sus notas garabateadas en la copia de la Arithmetica de Arithmetica de Diofanto, Fermat afirmaba poseer una maravillosa demostración que desgraciadamente era demasiado larga para caber en el margen de la página. Fermat nunca transcribió en parte alguna su presunta demostración, y esos comentarios al margen se convirtieron en la mayor broma matemática de la historia. Hasta que Andrew Wiles proporcionó una argumentación, una demostración del porqué de la inexistencia de soluciones interesantes de la ecuación de Fermat, el último teorema siguió siendo una mera hipótesis, simplemente un buen deseo. La anécdota escolar de Gauss resume perfectamente el paso de la suposición al teorema mediante la demostración. Gauss concibió una fórmula que, según su previsión, podía producir cualquier número triangular. ¿Cómo podía tener la seguridad de que la fórmula siempre funcionaría? Evidentemente, puesto que la sucesión tiene una longitud infinita, no podía verificar la fórmula sobre cada número de la sucesión para comprobar la corrección del resultado. Por tanto, recurrió a la potente arma de la demostración matemática. Su método de combinar dos triángulos para construir un rectángulo aseguraba que la fórmula funcionaría siempre sin necesidad de hacer un número infinito de cálculos. Por el contrario, el método ideado en el siglo XVII para verificar la primalidad con base en el cálculo de 2 N fue rechazado por el tribunal de las matemáticas en 1819: el método funciona correctamente hasta 340, pero a continuación determina 341 como número primo. Ahí es donde falla la verificación, ya que 341 = 11 × 31. Esta excepción no pudo ser descubierta hasta que fue posible usar una calculadora de reloj de Gauss con 341 horas para simplificar el análisis de un número como 2 341, que en una calculadora convencional tiene más de 100 cifras. El matemático de Cambridge G. H. Hardy, autor de la Apología de un matemático m atemático,, solía comparar el proceso de descubrimiento y demostración matemáticos con el trabajo de un cartógrafo que estudia paisajes lejanos: «Siempre he pensado en el matemático en primer lugar como un observador: un hombre que escruta una Colaboración de Sergio Barros

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remota cadena montañosa y anota sus observaciones». Cuando el matemático ha observado la montaña a distancia, su siguiente labor consiste en explicar a los demás cómo alcanzarla. Se comienza en un lugar donde el paisaje nos es familiar y no hay sorpresas que temer; en esa región conocida se encuentran los axiomas de las matemáticas, las verdades numéricas evidentes, junto con las proposiciones que ya han sido demostradas. Una demostración es como un sendero que, a través del paisaje matemático, conduce desde ese territorio familiar hasta cumbres remotas. El avance está ligado al respeto de las reglas de la deducción que, al igual que los movimientos permitidos a una pieza de ajedrez, prescriben qué pasos está permitido permitido dar en ese mundo. mundo. A veces veces se llega a lo que parece un punto muerto, muerto, lo que obliga a uno de los característicos pasos laterales, cambios de dirección o incluso retrocesos para superar el obstáculo. Quizá para continuar el ascenso es necesario esperar a que se inventen nuevos instrumentos, como las calculadoras c alculadoras de reloj de Gauss. En palabras de Hardy, el observador observador matemático: Ve nítidamente A, mientras que de B sólo consigue breves visiones momentáneas. Finalmente elige una cresta que parte de A y, siguiéndola hasta el final, descubre que culmina en B. Si quiere que los demás lo vean lo indica, o bien directamente o bien a través de la cadena de cumbres que lo han conducido a él mismo a reconocerlo. Cuando su discípulo también lo ve, la búsqueda, la argumentación, la demostración ha terminado. La demostración es la historia del viaje y el mapa que registra sus coordenadas: es el cuaderno de bitácora del matemático. Los que lean la demostración experimentarán la misma emergencia de la comprensión que experimentó su autor; no sólo verán finalmente la ruta que conduce a la cumbre, sino que además comprenderán que ningún futuro desarrollo podrá comprometer el nuevo recorrido. Muy a menudo una demostración no pretende poner todos los puntos sobre las íes: se trata de una reconstrucción del viaje y no necesariamente la reconstrucción de cada uno de sus pasos. Las argumentaciones que los matemáticos dan como Colaboración de Sergio Barros

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demostraciones pretenden entusiasmar al lector. Hardy acostumbraba a describir las argumentaciones que damos los matemáticos como «cháchara, florituras retóricas construidas para golpear la psicología, figuras en la pizarra durante las clases, instrumentos para estimular la imaginación de los alumnos». Los matemáticos están obsesionados con la demostración, y la simple prueba experimental de una hipótesis no basta para satisfacerlos. A menudo esta actitud provoca estupor e incluso burlas en otras disciplinas científicas. La conjetura de Goldbach ha sido verificada para todos los números hasta 400.000.000.000.000, pero no está aceptada como teorema; en casi cualquier otra disciplina científica estarían encantados de considerar estos aplastantes datos numéricos como argumento más que convincente y pasarían a otra cosa: si un día aparecieran nuevos datos que obligaran a reconsiderar aquel canon matemático, pues adelante. Si para las demás ciencias basta con eso, ¿por qué no para las matemáticas? Muchísimos matemáticos se estremecerían sólo con plantearse tal herejía. Dicho en palabras del matemático francés André Weil: «el rigor es para los matemáticos lo que la moral es para los humanos». En parte ello se debe a que, en matemáticas, a menudo los indicios son difíciles de valorar. Más que cualquier otra parte de las matemáticas, los números primos se resisten a revelar su auténtica naturaleza. Incluso Gauss se dejó llevar por una corazonada ante la enorme cantidad de datos que había obtenido sobre los números primos, pero un posterior análisis teórico lo despertó de su error. Por esta razón es esencial la demostración: las primeras impresiones pueden ser engañosas. Mientras que el ethos de ethos de cualquier otra ciencia establece que las pruebas experimentales son lo único realmente fiable, los matemáticos han aprendido a no fiarse nunca de los datos numéricos sin una demostración. En cierto sentido, la naturaleza etérea de las matemáticas como disciplina de la mente hace al matemático más propenso a proporcionar demostraciones para dar una sensación de realidad a ese mundo. Los químicos pueden estudiar tranquilamente la molécula real de futboleno, la secuencia del genoma supone un problema concreto para el genetista, incluso los físicos pueden comprobar la realidad de las minúsculas m inúsculas partículas subatómicas o de un remoto agujero negro; en cambio, el matemático ma temático se encuentra en la tesitura de tener que comprender objetos Colaboración de Sergio Barros

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que no poseen ninguna realidad física evidente: formas geométricas en ocho dimensiones o números primos tan grandes que superan el número de átomos del universo. Ante tan monstruosa lista de conceptos abstractos la mente puede hacer jugarretas extrañas, extrañas, y sin una demostración demostración se correría el el riesgo de crear auténticos auténticos castillos de naipes. En las demás disciplinas científicas la observación y el experimento sirven para validar la realidad de un objeto de estudio, pero si los demás científicos pueden usar los ojos para ver esa realidad física, los matemáticos tienen que confiar en la demostración matemática, como si de un sexto sentido se tratara, para gestionar su invisible objeto de estudio. Intentar demostrar pautas que ya han sido identificadas es, además, un gran catalizador para ulteriores descubrimientos matemáticos. Muchos matemáticos opinan que sería mejor si los problemas de ese tipo no se resolvieran nunca, habida cuenta de las nuevas maravillas matemáticas que se encuentran por el camino. Tales problemas le ofrecen al matemático pionero la posibilidad de explorar territorios cuya existencia jamás habría imaginado cuando empezó su travesía. Pero quizás el argumento más convincente para justificar por qué la cultura matemática da tanto valor al hecho de demostrar la verdad de un aserto sería que, a diferencia del resto de las ciencias, puede permitirse el lujo de hacerlo. ¿En cuántas disciplinas existe algo comparable c omparable a la posibilidad de afirmar que la fórmula de Gauss para los números triangulares no dejará nunca nunca de dar la respuesta correcta? Es posible que las matemáticas sean una materia etérea, circunscrita a la mente, pero su falta de realidad tangible está más que compensada por la certeza que proporcionan las demostraciones. A diferencia de lo que sucede en otras ciencias cuyo modelo del mundo puede desmoronarse en una generación, la demostración en matemáticas nos permite establecer con certeza absoluta que los hechos relativos a los números primos no cambiarán a la luz de futuros descubrimientos. Las matemáticas son una pirámide en la que cada generación edifica sobre lo realizado por la que la precedió sin necesidad de temer ningún hundimiento. Es esta indestructibilidad lo que hace tan apasionante el hecho de ser matemático: para ninguna otra ciencia se puede afirmar que lo que establecieron los antiguos griegos continúa siendo cierto. Hoy en día podemos reírnos de su idea de la materia compuesta por fuego, aire, agua y Colaboración de Sergio Barros

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tierra; y quizá las futuras generaciones contemplarán la lista de 109 átomos de los que consta la tabla periódica de los elementos de Mendeleyev con el mismo desprecio con que nosotros consideramos el modelo del mundo químico que elaboraron los griegos. En cambio, todo matemático empieza su formación aprendiendo lo que los antiguos griegos demostraron sobre los números primos. Los miembros de otros departamentos universitarios envidian la certeza que la demostración da al matemático al menos tanto como se burlan de ella. La estabilidad que crea la demostración matemática conduce a la auténtica inmortalidad citada por Hardy; a menudo es ésa la razón por la cual personas que están rodeadas de un mundo de inseguridades se sienten atraídas por esta disciplina. En muchos casos el mundo matemático ha ofrecido refugio a jóvenes mentes deseosas de evadirse de un mundo real que no conseguían afrontar. Nuestra fe en la indestructibilidad de una demostración se refleja en las reglas que gobiernan la asignación de los premios para quien resuelva los Problemas del Milenio de Clay: el premio monetario se ingresa al cabo de dos años de la publicación de la demostración, y una vez que ésta ha recibido la aceptación general de la comunidad matemática. Naturalmente, ello no garantiza completamente que la demostración esté libre de errores, pero reconoce un hecho que todos aceptamos: es posible determinar la existencia de errores en una demostración sin tener que esperar durante años a que aparezcan nuevas pruebas. Si hay un error deberá estar ahí, en la página que tenemos delante. ¿Son arrogantes los matemáticos por opinar que tienen acceso a demostraciones absolutas? ¿Puede sostenerse que la demostración de que cualquier número puede expresarse como producto de números primos tiene la misma probabilidad de ser refutada que la física newtoniana o la teoría de la indivisibilidad del átomo? La mayoría de los matemáticos creen que las investigaciones futuras nunca supondrán la destrucción de los axiomas relativos a los números, que se consideran verdades incontestables. Según ellos, si se aplican correctamente las leyes de la lógica para edificar sobre aquellas bases, se producirán demostraciones de los asertos sobre números que nunca serán invalidadas por nuevas intuiciones. Es posible que se trate de una idea ingenua desde el punto de vista filosófico, pero ciertamente se trata del principio fundamental de la secta de los matemáticos. Colaboración de Sergio Barros

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Mencionemos además la excitación emotiva que se adueña del matemático al trazar nuevos recorridos en el mapa de las matemáticas: hay una increíble sensación de euforia al descubrir una vía para alcanzar la cima de una montaña lejana que ha sido atisbada desde hace generaciones. Es como crear una historia maravillosa o una pieza musical que transporta a la mente desde lo familiar hasta lo desconocido. Es grandioso ser el primero en entrever la posible existencia de una montaña remota como el último teorema de Fermat o la hipótesis de Riemann, pero no se puede comparar con la satisfacción de explorar las tierras que nos conducen a tal fin. Quizá los que más adelante recorran la pista trazada por aquel pionero experimentarán en parte el sentido de elevación espiritual que acompañó el primer momento de epifanía en el descubrimiento de una nueva demostración. Esa es la razón por la cual los matemáticos siguen valorando la búsqueda de la demostración aunque estén absolutamente convencidos de la certeza de cosas como la hipótesis de Riemann: en matemáticas, el viaje es tan importante como la conquista de la meta. Las matemáticas ¿son un acto de creación o de descubrimiento? Muchos matemáticos oscilan entre la sensación de ser creativos y la de descubrir verdades científicas absolutas. A menudo las ideas matemáticas pueden parecer muy personales y ligadas a la mente creativa que las concibió; sin embargo, esta impresión tiene su contrapeso en la convicción de que la naturaleza lógica de la disciplina implica que todos los matemáticos viven un mismo mundo matemático, un mundo lleno de verdades inmutables. Esas verdades sólo esperan a ser desenterradas, y no existe ningún pensamiento creativo que pueda plantearse la discusión sobre su existencia. Hardy expresa perfectamente esta tensión entre creación y descubrimiento con la que luchan los matemáticos: «Defiendo que la realidad matemática se sitúa fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla y que los teoremas que demostramos y describimos con grandilocuencia como nuestras “creaciones” no son más que las notas de nuestras observaciones». Pero en otros momentos opta por una descripción más artística del proceso de hacer matemáticas: «Las matemáticas no son una disciplina contemplativa, sino creativa», escribe en Apología de un matemático, un libro que


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Graham Greene colocó junto a los diarios de Henry James como los mejores ejemplos de lo que significa ser un artista creativo. Por más que los números primos, junto con otros elementos de las matemáticas, sobrepasen las barreras culturales, mucha matemática es creativa y producto de la psique humana. Ocurre a menudo que las demostraciones, las historias que cuentan los matemáticos sobre su disciplina, pueden ser narradas de diversas maneras: probablemente la demostración de Wiles del último teorema de Fermat resultará a oídos extraños tan misteriosa como el ciclo del Anillo de Wagner. Las matemáticas son un arte creativo sujeto a reglas rígidas, como escribir poesía o tocar blues: los matemáticos están limitados por los pasos lógicos que tienen que seguir para dar forma a sus demostraciones; pero a pesar de todo, en el interior de esas rígidas reglas aún existe una gran libertad. De hecho, la belleza de crear obedeciendo a un sistema de reglas está en que nos vemos empujados hacia nuevas direcciones y hallamos cosas que nunca esperaríamos descubrir si no nos hubiéramos dejado llevar. Los números primos son como las notas de una escala musical, y cada cultura ha elegido tocar esas notas de una determinada manera, revelando más de lo que era de esperar sobre influencias sociales e históricas. La historia de los números primos es un espejo social como lo es el descubrimiento de verdades eternas. El floreciente amor por las máquinas en los siglos XVII y XVIII se reflejó en un enfoque muy práctico, experimental, del estudio de los números primos; en contraste, la Europa de las revoluciones produjo una atmósfera que favoreció la aplicación de ideas abstractas, nuevas y audaces, en su análisis. La elección sobre cómo narrar el viaje es específica de cada cultura particular. 3. Las fábulas de Euclides Los antiguos griegos fueron los primeros en narrar esas historias. Comprendieron el poder de las demostraciones en la búsqueda de los caminos definitivos que en el mundo matemático conducen a las montañas. Una vez coronadas, se desvanece para siempre el miedo de que aquellas montañas sean un remoto espejismo matemático. Por ejemplo, ¿cómo podemos estar realmente seguros de la inexistencia de ciertos números anómalos que no puedan construirse multiplicando números primos? Los antiguos griegos concibieron un razonamiento que no habría Colaboración de Sergio Barros

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de permitir dudas ni en sus mentes ni en las de generaciones posteriores sobre la posibilidad de que tales números aparecieran jamás. A menudo los matemáticos descubren una demostración aplicando a un caso particular la teoría general que intentan demostrar, e intentando después comprender por qué la teoría es válida en ese caso: tienen la esperanza de que la argumentación o la receta que ha funcionado una vez funcione siempre, con independencia del caso particular que hayan elegido para ser analizado. Por ejemplo, para demostrar que cualquier número es producto de números primos podríamos empezar por considerar el caso particular del número 140. Supongamos que hemos comprobado que cualquier número menor que 140 o bien es primo o bien es producto de números primos: ¿qué podemos decir del número 140? ¿Es posible que se trate de un número anómalo, que no sea ni primo ni producto de primos? Empezaremos por comprobar que no se trata de un número primo. ¿Cómo? Demostrando que puede ser expresado como producto de dos números menores que él. Por ejemplo, es igual a 4 × 35. Ya hemos conseguido lo más importante al establecer que 4 y 35, números inferiores a la presunta anomalía, 140, pueden escribirse como producto de números primos: 4 es igual a 2 × 2 y 35 es igual a 5 × 7. Uniendo esas informaciones verificamos que efectivamente 140 es producto de 2 × 2 × 5 × 7. Por tanto, en definitiva, 140 no es un número anómalo. Los antiguos griegos hallaron la manera de traducir este ejemplo particular en un razonamiento que es de aplicación general a todos los números. Lo más curioso es que su razonamiento empieza por pedirnos que imaginemos que existen números anómalos, números que ni son primos ni pueden escribirse como producto de primos. Si esos números anómalos existen, entonces cuando revisemos la secuencia completa de los números daremos antes o después con el menor de ellos, que llamaremos N . Dado que este número hipotético N no es un número primo, estaremos en condiciones de expresarlo como producto de dos números A y B menores que N . Si ello no fuera posible, N sería un número primo. Como A y B son menores que N , nuestra definición de N exige que A y B puedan expresarse como producto de números primos. Por tanto, si multiplicamos entre sí todos los primos que componen A por todos los primos que componen B obtendremos necesariamente el número N y, por tanto, habremos demostrado que Colaboración de Sergio Barros

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N puede expresarse como producto de números primos, lo cual es contradictorio con la definición de N . En consecuencia, nuestra hipótesis de partida, la existencia de números anómalos, no se puede sostener y, en definitiva, cualquier número, o bien es primo, o bien puede expresarse como producto de números primos. Cuando he intentado explicar este razonamiento a mis amigos, siempre han tenido la sensación de que les estaba haciendo trampa. Hay algo vagamente falaz en nuestro gambito de apertura: se supone que existen cosas que no queremos que existan y se termina por demostrar que no existen. Esta estrategia de pensar lo impensable se convirtió en un potente instrumento para la construcción de demostraciones por parte de los antiguos griegos. Está basada en un principio lógico: una afirmación debe ser cierta o falsa. Si partimos del supuesto de que la afirmación es falsa y terminamos en una contradicción, podemos deducir de ello que nuestro supuesto era erróneo y concluir que la afirmación tenía que ser cierta. La técnica de demostración que idearon los antiguos griegos se apoya en la pereza de muchos matemáticos: en lugar de afrontar la tarea imposible de realizar infinitos cálculos explícitos para demostrar que todos los números pueden ser construidos utilizando números primos, el razonamiento abstracto captura la esencia de cada uno de esos cálculos; es como conocer la manera de subirse a lo alto de una escalera infinita sin tener que llevar a término la empresa físicamente. Euclides, más que cualquier otro matemático griego, es considerado el padre de la demostración. Vivió en Alejandría alrededor del 300 a. C., en la época en la que Ptolomeo I acababa de fundar allí lo que hoy llamaríamos un gran instituto de investigación. Ahí escribió uno de los manuales más influyentes de toda la historia conocida: Elementos. En la primera parte del libro, Euclides fijó los axiomas de la geometría que describen las relaciones entre puntos y líneas. Estos axiomas se enuncian como verdades evidentes sobre los objetos geométricos, para que luego la geometría pueda dar una descripción matemática del mundo físico. A continuación Euclides utilizó las reglas de la deducción para enunciar quinientos teoremas geométricos. La parte central de los Elementos de Euclides se refiere a las propiedades de los números, y ahí hallamos lo que muchos consideran el primer ejemplo realmente brillante de razonamiento matemático. En la proposición 20, Euclides describe una Colaboración de Sergio Barros

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verdad simple, pero fundamental, sobre los números primos: que hay infinitos. Parte del supuesto de que cualquier número puede construirse multiplicando entre sí números primos. Sobre esto edifica la demostración. Si los números primos son los elementos básicos de todos los demás números, se pregunta: ¿es posible que sólo exista un número finito de tales elementos básicos? La tabla periódica de los elementos químicos fue obra de Mendeleiev, y en su forma actual clasifica 109 átomos distintos con los que se puede construir toda la materia. ¿No podría suceder lo mismo con los números primos? ¿Y si un Mendeleiev de las matemáticas hubiera presentado a Euclides una lista de 109 números primos y lo hubiera retado a demostrar que faltaba alguno en la lista? ¿Por qué, por ejemplo, no es posible construir todos los números simplemente multiplicando diversas combinaciones de los números primos 2, 3, 5 y 7? Euclides reflexionó sobre cómo se podrían buscar números que no fueran producto de esos cuatro primos. «Bueno, es fácil», podríamos decir. «Basta con tomar el siguiente primo, que es 11»; ciertamente no se puede obtener 11 utilizando 2, 3, 5 y 7. Pero antes o después esa estrategia está condenada al fracaso ya que, todavía hoy, no tenemos una idea nítida sobre cómo establecer con certeza dónde se encontrará el siguiente número primo. Y precisamente por esa impredecibilidad fue por lo que Euclides tuvo que intentar un camino distinto en su búsqueda de un método que funcionase con independencia de lo larga que fuera la lista de los primos. No tenemos forma de saber si la idea fue realmente de Euclides o si él se limitó a poner por escrito las ideas que otros habían tenido en Alejandría. En cualquier caso, Euclides consiguió mostrar cómo podía construirse un número imposible de calcular utilizando cualquier lista de números primos dada. Tomemos, por ejemplo, los primos 2, 3, 5 y 7; Euclides calculó su producto, con lo que obtuvo 2 × 3 × 5 × 7 = 210 y a continuación —y aquí está el golpe genial— sumó 1 al producto para obtener 211, que no era divisible por ninguno de los primos de la lista, es decir, 2, 3, 5 y 7. Al añadir 1 al producto garantizaba que la división entre un número primo de la lista daría siempre 1 de resto. Ahora bien, dado que Euclides sabía que todos los números se construyen multiplicando números primos entre sí, esto también tenía que ser cierto para 211. Y como 211 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, tenía que haber forzosamente otros Colaboración de Sergio Barros

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números primos tales que al multiplicarlos entre sí dieran 211 como resultado. En este ejemplo en particular, 211 es en sí mismo un número primo. Euclides no afirmaba que el número así obtenido sería siempre primo, sino que tenía que estar formado por un producto de números primos que no estaban en la lista proporcionada por nuestro Mendeleiev de las matemáticas. Por ejemplo, supongamos que alguien afirme que todos los números se pueden construir utilizando la lista finita de números primos 2, 3, 5, 7, 11 y 13. En este caso, el número que se obtiene con el método pensado por Euclides es 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30.031, que no es primo. Todo lo que Euclides afirmaba es que, dada una lista finita cualquiera de números primos, él siempre podía construir un número que fuese el producto de números primos no comprendidos en esa lista. En el caso particular de 30.031, los números primos necesarios para construirlo son 59 y 509. Sin embargo, en general Euclides no tenía manera de conocer el valor exacto de esos nuevos números primos: sólo sabía que tenían que existir. Era una argumentación maravillosa: Euclides no sabía cómo producir explícitamente números primos, pero podía demostrar que los primos no se terminarían jamás. Un hecho sorprendente es que todavía hoy no sabemos si los números de Euclides contienen infinitos números primos, pero en cambio son suficientes para demostrar que tienen que existir infinitos números primos. Con la demostración de Euclides se desvanecía la posibilidad de construir una tabla periódica que comprendiera todos los números primos o de descubrir un genoma de los números primos capaz de codificarlos por millones. Si nos limitamos a coleccionar ejemplares no llegaremos jamás a comprender estos números. He ahí, pues, el reto final: el matemático, dotado de armamento limitado, se lanza sobre la extensión infinita de los números primos. ¿Cómo podremos algún día conseguir trazar un recorrido a través de este caos infinito de números y determinar una estructura que nos permita prever su comportamiento? 4. A la caza de los números primos Durante generaciones se ha intentado sin éxito superar a Euclides en la comprensión de los números primos y se han planteado especulaciones interesantes, pero, como le gustaba decir a Hardy, profesor de matemáticas de Colaboración de Sergio Barros

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Cambridge, «cualquier bobo puede plantear preguntas sobre los números primos a las cuales el más inteligente de los hombres no puede responder». Con la conjetura de los primos gemelos, por ejemplo, se nos pregunta si existen infinitos números primos p tales que p + 2 sea también un número primo. Un par de números primos gemelos está formado por 1.000.037 y 1.000.039 (observemos que esa es la mínima distancia entre dos números primos, ya que N y N + 1 no pueden ser ambos primos —excepto en el caso N = 2— ya que al menos uno de ellos es divisible por 2), ¿es posible que los hermanos gemelos de Sacks, los sabios autistas, poseyeran una especial capacidad para determinar esos primos gemelos? Euclides demostró hace dos mil años que hay infinitos números primos, pero nadie sabe si existe un número más allá del cual no hay más de esas parejas de primos vecinos. Pero si las suposiciones son una cosa, el objetivo final sigue siendo la demostración. Con diferentes grados de éxito, los matemáticos buscaron inventar fórmulas que, aunque no generaran todos los números primos, al menos produjeran una lista de primos. Fermat creyó haber hallado una: su hipótesis era que elevando 2 a la potencia 2N y sumándole 1, el número resultante sería un número primo; este número recibe el nombre de enésimo número de Fermat. Por ejemplo, si tomamos N = 2 y lo elevamos a la potencia 2 2 = 4, obtenemos 16 y, al añadirle 1, obtenemos 17, que es el segundo número primo de Fermat. Fermat creía que su fórmula siempre le proporcionaría un número primo, pero ésta resultó una de las pocas ocasiones en que se equivocó. Los números de Fermat se hacen enormes muy rápidamente: el quinto número de Fermat tiene ya diez cifras, y estaba fuera del alcance de sus cálculos. Se trata además del menor número de Fermat que no es primo, ya que es divisible entre 641. Los números de Fermat eran muy estimados por Gauss. El hecho de que 17 sea uno de los primeros números de Fermat es la clave gracias a la cual Gauss consiguió construir su figura geométrica perfecta de 17 lados. En su gran tratado Disquisitiones arithmeticae, Gauss demuestra por qué, si el enésimo número de Fermat es un número primo, se puede realizar una construcción geométrica de N lados utilizando sólo la regla y el compás. El cuarto número de Fermat, 65.537, es primo, y ello significa que con estos instrumentos realmente elementales es posible construir una figura geométrica perfecta con 65.537 lados. Colaboración de Sergio Barros

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Hasta la fecha los números de Fermat apenas nos han dado más de cuatro números primos, pero Fermat tuvo mayor éxito en determinar algunas de las propiedades muy especiales que poseen. Descubrió un hecho curioso relativo a los números primos que, como 5, 13, 17 o 29, al dividirlos entre 4 dan 1 de resto: tales números se pueden escribir como la suma de dos cuadrados, por ejemplo: 29 = 2 2 + 52. Esta es otra de las bromas de Fermat: aunque afirmó poseer la demostración, le faltó poner por escrito la mayoría de sus pormenores. El día de Navidad de 1640 Fermat escribió sobre su descubrimiento —que ciertos números primos podían expresarse como suma de dos cuadrados— en una carta que envió a un monje francés llamado Marín Mersenne. Los intereses de Mersenne no se limitaban a las cuestiones litúrgicas, amaba la música y fue el primero en elaborar una teoría de los armónicos coherente. También amaba los números. Mersenne y Fermat mantenían correspondencia regular sobre sus descubrimientos matemáticos: Mersenne se hizo famoso por su papel de intermediario en la comunidad científica internacional: los matemáticos de la época difundieron sus ideas a través de él. Tal como ha sucedido a generaciones enteras de matemáticos, también Mersenne fue poseído por la obsesión de descubrir un orden en los números primos. Y, a pesar de no conseguir una fórmula que produjera todos los primos, ideó una que a la larga se ha demostrado mucho más eficaz para descubrir números primos que la fórmula de Fermat. También él, como Fermat, empezó por considerar las potencias de 2. Pero en lugar de sumar 1 al resultado, como había hecho Fermat, Mersenne decidió restar 1, por ejemplo: 2 3 − 1 = 8 − 1 = 7, que es un número primo. Es posible que Mersenne se apoyara en su intuición musical: doblando la frecuencia de una nota se la aumenta una octava y, por tanto, las potencias de 2 producen notas armónicas; por otra parte, es natural esperar que un desplazamiento de frecuencias de 1 dé lugar a una nota disonante, incompatible con todas las frecuencias anteriores, una «nota prima». Mersenne descubrió enseguida que su fórmula no siempre daba un número primo, por ejemplo: 24 − 1 = 15. Entendió que si n no era primo, entonces tampoco lo era 2n − 1, pero afirmó con osadía que, para valores de n no superiores a 257, 2 n − 1 sería primo si y sólo si n era uno de los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, Colaboración de Sergio Barros

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67, 127, 257. Había descubierto un hecho engorroso: aunque n fuera un número primo, ello no garantizaba que lo fuera 2 n − 1. Mersenne podía calcular a mano 2 11 − 1 obteniendo 2.047, que es 23 × 89. Generaciones de matemáticos se han quedado estupefactas ante la capacidad de Mersenne de afirmar que un número grande como 2 257 − 1 era primo. Se trata de un número de setenta y siete cifras. ¿Podría ser que el monje hubiera accedido a una fórmula mística aritmética que le dijera por qué aquel número, absolutamente fuera de las capacidades humanas, era primo? Los matemáticos opinan que si continuáramos con la lista de Mersenne, hallaríamos infinitos valores de n tales que sus correspondientes números de Mersenne 2 n − 1 serían primos, pero todavía falta una demostración de la veracidad de tal suposición. Todavía estamos a la espera de un Euclides de nuestros días que demuestre que los primos de Mersenne no se terminarán nunca. O quizás esa cumbre remota es sólo un espejismo. Muchos matemáticos de la generación de Fermat y Mersenne se recrearon en las interesantes propiedades numerológicas de los números primos, pero sus métodos no estaban a la altura del ideal de demostración de los antiguos griegos. Ello explica en parte por qué Fermat no proporcionó los detalles de muchas demostraciones que decía haber descubierto: en su época había una manifiesta falta de interés en proporcionar tales explicaciones lógicas. Los matemáticos quedaban satisfechos plenamente con una aproximación más empírica a su disciplina, una disciplina en la que, de manera cada vez más mecánica, los resultados se justificaban a partir de sus aplicaciones prácticas. Sin embargo, en el siglo XVIII apareció en escena un personaje que habría de recuperar el sentido de la demostración en matemáticas: el matemático suizo Leonard Euler, nacido en 1707, encontró explicación a muchas de las regularidades que Fermat y Mersenne habían descubierto pero no habían conseguido justificar. Los métodos de Euler habrían de tener más adelante un papel fundamental en la apertura de nuevas ventanas teóricas a nuestra comprensión de los números primos. 5. Euler, el águila matemática


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Los años centrales del siglo XVIII fueron un período de mecenazgo cortesano. Se trata de la Europa pre revolucionaria, cuando los países estaban regidos por déspotas ilustrados: Federico el Grande en Berlín, Pedro el Grande y Catalina la Grande en San Petersburgo, Luis XV y Luis XVI en París. Bajo su mecenazgo se financiaron las academias que dieron impulso intelectual a la Ilustración. Para aquellos soberanos, el rodearse de intelectuales en sus cortes era un signo de distinción y eran conscientes de la potencialidad de las ciencias y de las matemáticas para aumentar las capacidades militares e industriales de los países que regían. El padre de Euler era pastor, y esperaba que su hijo lo siguiese en su carrera eclesiástica; sin embargo, los precoces talentos matemáticos de Euler habían reclamado la atención de los poderosos: bien pronto las academias de toda Europa empezaron a hacerle ofertas. Estuvo tentado de inscribirse en la Academia de París, que en aquella época se había convertido en el centro mundial de la actividad matemática, pero eligió aceptar la oferta que recibió en 1726 de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, piedra angular de la campaña que Pedro el Grande promovió para la mejora de la instrucción en Rusia. Allí, Euler se reencontraría con distintos amigos de Basilea que habían estimulado su interés por las matemáticas cuando era niño. Le escribieron desde San Petersburgo pidiéndole que trajera de Suiza quince libras de café, una libra del mejor té verde, seis botellas de brandy, doce docenas de pipas de buen tabaco y algunas docenas de paquetes de naipes. Cargado de regalos, el joven Euler necesitó siete semanas para completar su largo viaje en barco, a pie y en diligencia; finalmente, llegó a San Petersburgo en mayo de 1727 para continuar sus sueños matemáticos. La producción posterior de Euler fue tan vasta que, cincuenta años después de su muerte, acaecida en 1783, la Academia de San Petersburgo estaba todavía publicando los materiales que se guardaban en sus archivos. El papel del matemático cortesano queda reflejado a la perfección en una anécdota que habría tenido lugar mientras Euler se encontraba en San Petersburgo: Catalina la Grande tenía como huésped al famoso filósofo ateo francés Denis Diderot; Diderot tuvo siempre una actitud más bien despreciativa hacia las matemáticas, manteniendo que éstas no añadían nada a la experiencia y que únicamente servían Colaboración de Sergio Barros

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para interponer un velo entre los hombres y la naturaleza; Catalina se cansó pronto de su huésped, pero no por sus ideas denigratorias hacia las matemáticas sino por sus irritantes intentos de hacer tambalear la fe religiosa de los cortesanos. Euler fue llamado a la corte para que contribuyera a silenciar a aquel ateo insoportable; por gratitud al mecenazgo de Catalina, Euler aceptó rápidamente y, ante la corte reunida, se dirigió a Diderot en tono solemne: «Señor, ( a + bn)/n = x ; por tanto, Dios existe: responda». Se dice que, ante un asalto matemático tan impetuoso, Diderot se batió en retirada. Es probable que esta anécdota, que fue narrada por el famoso matemático inglés Augustus De Morgan en 1872, haya sido adornada para hacerla más ocurrente, y refleja sobre todo el hecho de que muchísimos matemáticos gozan humillando a los filósofos; pero demuestra que las cortes reales europeas no se consideraban completas sin un ramillete de matemáticos junto a los astrónomos, los artistas y los compositores. Catalina la Grande estaba menos interesada en las demostraciones matemáticas de la existencia de Dios que en la obra de Euler en el campo de la hidráulica, de las construcciones navales y de la balística. Los intereses del matemático suizo se dirigían a todos los rincones de las matemáticas de su tiempo: además de dedicarse a las matemáticas militares, Euler escribió sobre teoría de la música, aunque se da la paradoja de que su tratado fue considerado demasiado matemático por los músicos y demasiado musical por los matemáticos. Uno de sus triunfos más populares fue la solución del problema de los puentes de Königsberg. El río Pregel, hoy conocido con el nombre de Pregolya, cruza la ciudad prusiana de Königsberg (hoy se encuentra en Rusia, y se llama Kaliningrado). Como, al dividirse, el río crea dos islas en el centro de la ciudad, los habitantes de Königsberg habían construido siete puentes para cruzarlo (véase figura).


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Los puentes de Königsberg. Para sus ciudadanos se había convertido en un reto saber si era posible pasear por la ciudad cruzando por cada puente una y sólo una vez y volver al punto de partida. Finalmente, en 1735, Euler demostró que se trataba de una empresa imposible. A menudo se cita su demostración como el origen de la topología, en la que las dimensiones físicas reales son irrelevantes para el problema: lo que contaba para la solución de Euler era la red de conexiones entre las diversas partes de la ciudad, y no sus localizaciones reales ni las distancias respectivas. El mapa del metro de Londres nos muestra un ejemplo de este principio. Pero lo que cautivaba por encima de todo el corazón de Euler eran los números. Como escribiría Gauss: Las particulares bellezas de estos campos han atraído a todos los que se han dedicado activamente a su cultivo; pero ninguno ha expresado este hecho tan a menudo como Euler quien, en casi todos sus numerosos escritos dedicados a la teoría de los números, cita continuamente el placer que obtiene de esas investigaciones, y el grato cambio que haya respecto a las labores más directamente ligadas a aplicaciones prácticas.


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La pasión de Euler por la teoría de los números había sido estimulada por su correspondencia con Christian Goldbach, un matemático aficionado alemán que vivía en Moscú con el empleo no oficial de secretario de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Igual que el matemático aficionado Mersenne antes que él, Goldbach encontraba fascinante jugar con los números y ejecutar experimentos numéricos. Fue a Euler a quien Goldbach comunicó su propia conjetura: según él, era posible escribir cualquier número par como producto de dos números primos. Como respuesta, Euler escribiría a Goldbach para pedirle que verificara muchas de las demostraciones que él había formulado con el objeto de validar el misterioso catálogo de los descubrimientos de Fermat. En contraste con la reticencia de Fermat para informar al mundo de sus presuntas demostraciones, Euler estuvo encantado de mostrar a Goldbach su demostración del hecho de que ciertos números primos se pueden expresar como la suma de dos cuadrados, como había afirmado Fermat. Euler consiguió incluso demostrar un caso particular del último teorema de Fermat. A pesar de su pasión por las demostraciones, en lo más profundo Euler seguía siendo, por encima de todo, un matemático experimental: muchas de sus argumentaciones contenían pasos que no eran totalmente rigurosos; que andaban, a fin de cuentas, sobre el filo de la navaja. Ello no le preocupaba, a condición de que condujeran a nuevos descubrimientos interesantes. Como matemático, poseía excepcionales capacidades de cálculo y era extraordinariamente hábil manipulando fórmulas hasta conseguir que aparecieran extrañas conexiones. Como hizo notar el académico francés François Arago: «Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el viento». Más que cualquier otra cosa, a Euler le gustaba calcular números primos. Confeccionó tablas de todos los primos menores de 100.000, y de algunos mayores. En 1732 fue también el primero en demostrar que la fórmula de Fermat para calcular números primos, 22N , dejaba de ser válida cuando N = 5. Empleando nuevas ideas teóricas consiguió mostrar que es posible descomponer aquel número de diez cifras como producto de dos primos menores. Uno de sus descubrimientos más curiosos fue una fórmula que parecía generar una inexplicable cantidad de números primos. En 1772 calculó todos los resultados que se obtienen cuando se sustituyen todos los números comprendidos entre 0 y 39 en la fórmula Colaboración de Sergio Barros

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x 2 − 1 − x + 41 Obtuvo la lista siguiente: 41

43

47

53

61

71

83 197 383 641

97 223 421 691

113 251 461 743

131 281 503 797

151 313 547 853

173 347 593 911

971 1.373

1.033 1.447

1.097 1.523

1.163 1.601.

1.231

1.301

A Euler le pareció extraño que fuera posible generar tantos números primos utilizando aquella fórmula. Comprendió que el proceso estaba destinado a interrumpirse en un cierto punto. Es probable que el lector ya haya notado que, cuando se sustituye x por 41 en la fórmula, obtenemos un resultado que es divisible entre 41. También cuando x = 40 la fórmula produce un número que no es primo. De todas formas, Euler se sorprendió de la capacidad de su fórmula para generar tantos números primos. Empezó a preguntarse con qué números distintos de 41 podría obtener un resultado similar. Descubrió que, además de 41, podía elegir también q = 2, 3, 5, 11, 17 para que la fórmula x 2 + x + q nos diera números primos para cualquier valor de x comprendido entre 0 y q − 2. Sin embargo, hallar una fórmula así de simple que generara todos los números primos era una empresa imposible, incluso para el gran Euler. Como escribió en 1751: «Hay algunos misterios que la mente humana no penetrará jamás. Para convencernos de ello basta con que echemos un vistazo a las tablas de números primos. Observaremos que en ellas no reina orden ni ley». Resulta paradójico que


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los objetos fundamentales sobre los que construimos el mundo lleno de orden de las matemáticas se comporten de un modo tan salvaje e impredecible. Más adelante se descubrió que Euler estaba prácticamente sentado sobre una ecuación que terminaría por sacar a los números primos del punto muerto. Pero tendrían que pasar otros cien años, y se necesitaría otra gran mente para hacer evidente lo que Euler no consiguió mostrar: esa mente era la de Bernhard Riemann. Sin embargo, fue Gauss quien en uno de sus clásicos movimientos laterales, terminó por sugerir a Riemann la nueva perspectiva. 6. La estimación de Gauss Si muchos siglos de investigaciones no habían servido para alumbrar una fórmula mágica que generara la lista de los números primos, quizá había llegado ya el momento de adoptar una estrategia distinta. Esto es lo que pensaba Gauss a los quince años, en 1792. El año anterior le habían regalado un libro de logaritmos. Hasta hace pocas décadas, las tablas de logaritmos les resultaban familiares a todos los adolescentes que efectuaban cálculos escolares. Después, con la aparición de las calculadoras de bolsillo, estas tablas han perdido su papel como instrumentos fundamentales en la vida cotidiana, sin embargo, desde hace centenares de años los navegantes, banqueros y mercaderes venían utilizándolas para convertir difíciles multiplicaciones en simples sumas. Al final del nuevo libro de Gauss había también una tabla de números primos. Para Gauss, el hecho de que los números primos y los logaritmos aparecieran juntos tenía algo de misterioso. De hecho, tras muchos cálculos, había llegado a tener la sensación de que había alguna conexión entre estos dos objetos aparentemente independientes. La primera tabla de logaritmos se concibió en 1614, en una época en que magia y ciencia eran compañeras inseparables. Su creador, el barón escocés John Napier, era considerado por sus vecinos como un brujo que practicaba las ciencias ocultas. Vestido de negro, con un gallo negro como el carbón sobre el hombro, rondaba con aires furtivos por los alrededores de su castillo farfullando lo que predecía su álgebra apocalíptica: que entre 1688 y 1700 tendría lugar el Juicio Universal. Pero además de aplicar sus habilidades matemáticas a la práctica del ocultismo, Napier descubrió la magia de la función logarítmica. Colaboración de Sergio Barros

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Si introducimos un número en nuestra calculadora, por ejemplo 100, y a continuación pulsamos la tecla «log», la calculadora nos dará un nuevo número, el logaritmo de 100. Lo que la calculadora ha hecho es resolver un pequeño enigma: ha buscado el número x que es solución de la ecuación 10 x = 100. En este caso específico la respuesta que nos da la calculadora es 2. Si introducimos 1.000, un número diez veces mayor que 100, la respuesta de la calculadora será 3: el logaritmo ha aumentado en 1 unidad. Esta es la característica fundamental del logaritmo: transforma la multiplicación en suma. Cada vez que multiplicamos el número original por diez, obtenemos el nuevo resultado sumando una unidad al resultado anterior. Para los matemáticos fue un paso importante comprender que era posible considerar logaritmos de números que no fueran potencias enteras de 10. Por ejemplo, Gauss podía ir a sus tablas de logaritmos para descubrir que si elevaba 10 a la potencia 2,10721 obtendría un número muy próximo a 128. Esos eran los cálculos que Napier había recogido en sus tablas de 1614. Las tablas logarítmicas contribuyeron a acelerar el desarrollo del mundo del comercio y de la navegación que florecía en el siglo XVII. Gracias al diálogo que los logaritmos permiten entre multiplicación y suma, las tablas transformaban el complejo problema de multiplicar dos números grandes en la tarea más sencilla de sumar sus logaritmos. Para multiplicar números grandes, el mercader sumaba sus logaritmos, y a continuación utilizaba las tablas logarítmicas a la inversa para hallar el resultado de la multiplicación original. El tiempo que un marinero o un vendedor ahorraba gracias a las tablas podía evitar el naufragio de una nave o el fracaso de un negocio. Pero lo que realmente fascinó a Gauss fue la tabla de los números primos que se adjuntaba al final de su libro de logaritmos. Al contrario de lo que sucedía con los logaritmos, para los que se interesaban en las aplicaciones prácticas de las matemática, esas tablas de números primos no eran sino una curiosidad. (¡Las tablas de números primos confeccionadas en 1776 por Antonio Felkel se consideraron tan inútiles que terminaron por ser utilizadas como cartuchos en la guerra entre Austria y Turquía!). Los logaritmos eran muy predecibles; los números


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primos eran completamente azarosos: parecía que no hubiera forma de predecir el menor número primo mayor que 1.000, por ejemplo. El importante paso que dio Gauss fue plantearse una pregunta distinta. En lugar de intentar prever la posición precisa de un número primo respecto del anterior, intentó comprender si era posible averiguar cuántos números primos existirían inferiores a 100, cuántos inferiores a 1.000, y así sucesivamente. Dado un número N cualquiera, ¿había alguna forma de estimar el número de primos comprendidos entre 1 y N ? Por ejemplo, los números primos menores que 100 son 25; es decir, si elegimos un número al azar comprendido entre 1 y 100, tenemos una posibilidad sobre cuatro de dar con un número primo, ¿cómo cambia esta proporción cuando se consideran los números comprendidos entre 1 y 1.000, o entre 1 y 10.000? Armado con sus tablas de números primos, Gauss empezó la búsqueda. Al observar la fracción de números primos comprendidos entre intervalos cada vez mayores, descubrió que empezaba a aparecer una estructura. Dejando aparte el azar de aquellos números, parecía como si una sorprendente regularidad apareciera entre la niebla. Si observamos la tabla de valores de los números primos comprendidos entre 1 y diversas potencias de diez que transcribimos a continuación, que está basada en métodos de cálculo más modernos, esa regularidad resulta evidente.

N

Número de primos comprendidos entre 1 y N , que se suele indicar

Distancia media entre dos números primos

como π(N ).

consecutivos.

10 100 1.000

4 25 168

2,5 4,0 6,0

10.000 100.000 1.000.000 10.000.000

1.229 9.592 78.498 664.579

8,1 10,4 12,7 15,0

100.000.000

5.761.455

17,4


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1.000.000.000

50.847.534

19,7

10.000.000.000

455.052.511

22,0

Esta tabla, que contiene mucha más información de la que tenía Gauss a su disposición, nos muestra claramente la regularidad que descubrió. Esta se manifiesta sobre todo en la última columna, que representa la proporción de números primos sobre la totalidad de los números considerados. Por ejemplo, cuando se cuenta hasta 100, uno de cada cuatro números es primo, es decir, en este intervalo deberemos contar 4, en promedio, para pasar de un número primo al siguiente. Entre los números menores a 10 millones, 1 de cada 15 es primo. (Es decir, por ejemplo, que hay una probabilidad sobre 15 de que un número telefónico de siete cifras sea primo). Para N mayor que 10.000, el incremento de valores de esta última columna es siempre aproximadamente igual a 2,3. O sea que, cada vez que Gauss multiplicaba N por 10, tenía que añadir 2,3 a la relación entre los números primos y N ; este nexo entre multiplicación y suma es precisamente la relación subyacente en un logaritmo. Gauss, con su libro de logaritmos, debió tropezar con esta conexión que lo miraba directamente a la cara. La razón por la que las fracciones de números primos aumentaban en 2,3 en lugar de hacerlo en 1 cada vez que Gauss multiplicaba N por 10 está en el hecho de que los números primos prefieren los logaritmos basados en potencias de un número distinto de 10. Cuando tecleamos el número 100 en nuestra calculadora y pulsamos a continuación la tecla «log», el resultado que obtenemos es 2, es decir, la solución de la ecuación. Pero nada nos impide elegir un número distinto de 10 para elevarlo a la potencia x : lo que hace al número 10 tan atrayente es nuestra obsesión por los diez dedos. El número que se eleva a la potencia x recibe el nombre de base del logaritmo. Podemos calcular el logaritmo de un número en una base distinta de 10; si, por ejemplo, queremos calcular el logaritmo de 128 en base 2 en lugar de la base 10, tendremos que resolver un problema distinto: hallar un número x tal que 2 x = 128. Si nuestra calculadora tuviera una tecla «log en base 2», la pulsaríamos y obtendríamos 7 como respuesta, ya que tenemos que elevar 2 a la séptima potencia para obtener 128: 2 7 = 128.


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Lo que Gauss descubrió es que para contar los números primos se pueden usar los logaritmos en base e, un número especial que, hasta la duodécima cifra decimal, vale 2,718 281 828 459… (Igual que π, este número tiene una expresión decimal infinita y no periódica). En matemáticas e resulta ser tan importante como π, y hace su aparición en cualquier rincón del mundo matemático. Por esta razón, los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos «naturales». La tabla que Gauss había construido a los quince años lo llevó a formular la siguiente hipótesis: para los números comprendidos entre 1 y N , cada log(N ) números se dará en promedio uno que será primo (donde log( N ) indica el logaritmo de N en base e). En consecuencia, podía estimar que la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N es aproximadamente N /log(N ). Gauss no afirmaba que ello le diera por arte de magia una fórmula exacta para calcular cuántos números primos hay entre 1 y N ; sólo que parecía proporcionar una óptima estimación aproximada. Su filosofía era similar a la que había aplicado para calcular el reencuentro con Ceres: aquel método astronómico proporcionaba una buena previsión para la observación de una pequeña región del espacio, sobre la base de los datos disponibles, de modo que Gauss adoptó la misma actitud al analizar los números primos. Para generaciones de matemáticos, el hecho de intentar prever la posición exacta de un número primo respecto del anterior e idear fórmulas que generen números primos se había convertido en una obsesión. Al evitar fijar su atención en el detalle insignificante de establecer qué números eran o no primos, Gauss había identificado una especie de orden. Si en lugar de preguntarnos qué números son primos, damos un paso atrás y nos planteamos la cuestión más amplia de cuántos números primos hay menores que un millón aparece una notable regularidad. Gauss había introducido una importante modificación psicológica en la observación de los números primos. Era como si las generaciones anteriores hubieran escuchado una nota de la música de los números primos cada vez, sin conseguir oír la composición completa. Al concentrarse en la cantidad de números primos que se localizan cada vez que contamos cifras más altas, Gauss descubrió una nueva forma de escuchar el tema principal.


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Siguiendo el ejemplo de Gauss, se ha convertido en práctica habitual indicar la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N con el símbolo π(N ) (que no tiene nada que ver con el número π). Fue muy desafortunado que adoptara un símbolo que recuerda la circunferencia y el número 3,1415… Para evitar malas interpretaciones, pensémoslo sólo como una nueva tecla de nuestra calculadora, escribamos el número N y pulsemos la tecla π(N ) para que la calculadora nos revele el número de primos menores o iguales que N . Por ejemplo, π(100) = 25 es el número de primos no mayores que 100, y π(1.000) = 168. Observemos que también podemos utilizar esta nueva tecla «cuentaprimos» para identificar con precisión la posición de un número primo. Si tecleamos 100 y pulsamos nuestra tecla para contar los números primos entre 1 y 100, obtendremos 25. Si ahora tecleamos el número 101 la respuesta aumentará en una unidad y obtendremos 26, lo cual significa que 101 es un nuevo número primo. Es decir, cada vez que hay diferencia entre π(N ) y π(N + 1) sabremos que N + 1 ha de ser un nuevo número primo. Para ilustrar hasta qué punto es sorprendente la regularidad que descubrió Gauss, podemos observar un gráfico de la función π(N ). Veamos el aspecto de la gráfica de π(N ) para valores de N entre 1 y 100:

La escalinata de los números primos. La gráfica representa las cantidades acumuladas de números primos que hay contando desde 1 hasta 100.


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A esta pequeña escala, el resultado de la gráfica es una escalinata caprichosa, en la que es difícil prever cuánto habrá que esperar antes de encontrar el siguiente escalón. Con estas dimensiones todavía conseguimos ver los pequeños detalles de los números primos, las notas individuales. Demos ahora un paso atrás y observemos la gráfica de la misma función cuando N toma valores comprendidos en un intervalo mucho mayor. Contemos, por ejemplo, los números primos hasta 100.000:

La escalinata de los números primos en el intervalo que va de 1 a 100.000. Cada escalón particular se vuelve insignificante y podemos observar la tendencia general de esta función: un ascenso lento y regular. Este era el gran tema que había oído Gauss y que era capaz de imitar utilizando la función logarítmica. La revelación del crecimiento regular de la gráfica, a pesar de la extrema impredecibilidad de los números primos, es uno de los hechos más milagrosos de las matemáticas y supone uno de los hitos de la historia de los números primos. En la última página de su libro de logaritmos, Gauss anotó el descubrimiento de su fórmula para conocer la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N en términos de la función logarítmica. Sin embargo, y a pesar de la importancia del descubrimiento, Gauss no le contó a nadie lo que había encontrado. Lo único que el mundo supo de la revelación que Gauss había tenido fueron estas enigmáticas palabras: «No os podéis imaginar cuánta poesía hay en una tabla de logaritmos».


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El porqué de la discreción de Gauss sobre un asunto de tanta importancia permanece envuelto en el misterio. Es cierto que únicamente había identificado los primeros indicios de una conexión entre números primos y logaritmos. Sabía que no poseía absolutamente ninguna explicación ni demostración del motivo por el que esas dos entidades tenían algo en común. No había certeza de que aquel patrón no pudiera desaparecer de repente al considerar valores de N aún mayores. En cualquier caso la renuencia de Gauss a anunciar resultados no demostrados supuso un punto de inflexión en la historia de las matemáticas. Si bien los antiguos griegos habían introducido la idea de la importancia de la demostración como componente del proceso matemático, antes de la época de Gauss los matemáticos se interesaban mucho más por la especulación científica sobre su disciplina. Si las matemáticas funcionaban, no se preocupaban demasiado de justificar de forma rigurosa por qué lo hacían. Las matemáticas seguían siendo el instrumento de las demás ciencias. Al poner el acento sobre el valor de la demostración, Gauss rompió con el pasado. Para él, el objetivo principal de las matemáticas era ofrecer demostraciones, y tal regla sigue siendo fundamental hasta hoy. Sin una demostración, para Gauss, el descubrimiento de la conexión entre logaritmos y números primos no tenía ningún valor. La libertad de acción que suponía para él el apoyo financiero del duque de Brunswick le permitía ser muy selectivo, casi darse el lujo de cierta complacencia. Su motivación primaria no estaba en la fama ni en el reconocimiento sino en la comprensión personal de la disciplina que amaba. En su sello llevaba el lema Pauca sed matura [«poco pero maduro»]. Hasta que hubiera alcanzado la plena madurez, un resultado no pasaba de ser un mero apunte en su diario o un garabato en la contraportada de su tabla de logaritmos. Para Gauss, la matemática era una búsqueda personal: llegó a proteger las notas de su diario con un lenguaje cifrado. La interpretación de algunas de esas notas es fácil, por ejemplo, el 10 de julio de 1796 escribió la famosa exclamación de Arquímedes, «¡Eureka!», seguida por la ecuación núm = ∆ + ∆ + ∆, para representar su descubrimiento de que todo número puede expresarse como suma de tres números triangulares —1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …—, es decir, los números cuya fórmula había ideado Gauss en sus años escolares. Por ejemplo: 50 = 1 + 21 Colaboración de Sergio Barros

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+ 28. Sin embargo otras de sus notas permanecen en un absoluto misterio: nadie ha conseguido entender lo que se esconde tras el escrito de Gauss del 11 de octubre de 1796: «Vicimus GEGAN». En opinión de algunos, la falta de difusión de los descubrimientos de Gauss ha provocado un retraso de medio siglo en el desarrollo de las matemáticas: si Gauss se hubiera preocupado de explicar la mitad de lo que había descubierto y no hubiera sido tan críptico en sus explicaciones, quizá las matemáticas habrían avanzado más rápidamente. Algunos mantienen que Gauss se reservó sus resultados porque la Academia de París había rechazado su gran tratado de la teoría de los números: las Disquisitiones arithmeticae, juzgándolo oscuro y denso. Ofendido por el rechazo, para protegerse de más humillaciones decidió no considerar siquiera la posibilidad de publicar algo antes de que todas las piezas del rompecabezas matemático encajaran a la perfección. Una de las causas de que las Disquisitiones arithmeticae no recibieran el aplauso inmediato es que Gauss se mantuvo críptico incluso en las obras a las que dio publicidad. Sostuvo siempre que las matemáticas eran como una obra arquitectónica: un arquitecto jamás dejará los andamios para que la gente vea cómo se construyó el edificio. Desde luego, esta filosofía no ayudó a los matemáticos en su comprensión de la obra de Gauss. Pero había otras razones por las que París no fuese tan receptiva como podía esperarse con las ideas de Gauss. A finales del siglo XVIII, en París más que en cualquier otro sitio, las matemáticas estaban consagradas a satisfacer las demandas de un Estado cada vez más industrializado. La revolución de 1789 y sus consecuencias confirmaron a Napoleón la necesidad de una enseñanza centralizada de la ingeniería militar. Respondió a tal necesidad con la militarización de la École Polytechnique. «El progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente vinculados con la prosperidad del Estado», declaró Napoleón. De esta forma, las matemáticas francesas quedaron, a partir de 1805, consagradas a la resolución de problemas de balística e hidráulica. Pero a pesar del énfasis que ponía en las necesidades prácticas del Estado, París ensalzaba aún a algunos de los matemáticos puros más eminentes de Europa. Una de las mayores autoridades parisienses era Adrien-Marie Legendre, veinticinco años mayor que Gauss. Los retratos de Legendre nos muestran el rostro redondo y Colaboración de Sergio Barros

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regordete de un gentilhombre de aspecto engreído. Al contrario que Gauss, Legendre procedía de una familia rica, pero había perdido su patrimonio durante la Revolución y no había tenido más remedio que utilizar sus propias capacidades matemáticas para ganarse la vida. También estaba interesado en la teoría de los números, y en 1798, con seis años de retraso sobre los cálculos del jovencísimo Gauss, anunció el descubrimiento de un nexo experimental entre números primos y logaritmos. Aunque más tarde se probó la precedencia de Gauss en el descubrimiento, Legendre perfeccionó la estimación sobre el número de primos comprendidos entre 1 y N . Gauss había supuesto que los números primos comprendidos entre 1 y N eran aproximadamente N /log(N ). Aunque su fórmula proporcionaba una buena aproximación, se comprobó que se alejaba progresivamente de los datos reales a medida que aumentaba el valor de N . Vemos a continuación una comparación entre la estimación juvenil de Gauss (la curva inferior del diagrama siguiente) y el número efectivo de números primos (la curva superior):

Comparación entre la estimación de Gauss y el número efectivo de números primos. Esta gráfica revela que, aunque ciertamente Gauss había descubierto algo, todavía quedaba espacio para la mejora. Legendre sustituyó la aproximación dada de N/ log(N ) por la fórmula:


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introduciendo así una pequeña corrección que conseguía elevar la curva de Gauss, acercándola a la de la distribución real de los números primos. Con los valores de estas funciones susceptibles de ser calculados en aquella época, era imposible distinguir la gráfica de π(N ) de la correspondiente a la estimación de Legendre. Éste, centrado en su preocupación principal de hallar aplicaciones prácticas de las matemáticas, era mucho menos reacio a arriesgarse y a aventurar alguna hipótesis sobre la relación entre números primos y logaritmos. No era persona que temiera poner en circulación ideas no demostradas, incluso demostraciones con lagunas. En 1808 publicó su hipótesis sobre los números primos en un libro titulado Théorie des nombres. La controversia sobre quién había sido el primero en descubrir la conexión entre los números primos y los logaritmos provocó una agria disputa entre Legendre y Gauss. No se limitaba a la cuestión de los números primos: Legendre afirmaba que también había sido él el primero en descubrir el método de Gauss para determinar el movimiento de Ceres. Ocurría con gran frecuencia que, si Legendre afirmaba haber descubierto una nueva verdad matemática, Gauss lo rebatía afirmando que ya había saqueado tal tesoro. En una carta escrita el 30 de julio de 1806 a una colega astrónomo llamado Schumacher, Gauss comentaba: «Parece como si yo estuviese destinado a coincidir con Legendre en casi todos mis trabajos teóricos». Durante toda su vida, Gauss fue demasiado orgulloso como para meterse en guerras abiertas sobre la precedencia de sus descubrimientos. Cuando, tras su muerte, se estudiaron sus notas y su correspondencia, quedó claro que la razón estaba invariablemente de su parte. Sólo en 1849 el mundo supo que Gauss había ganado a Legendre en el descubrimiento de la relación entre números primos y logaritmos, un descubrimiento que él reveló a su colega, el matemático y astrónomo Johann Encke, en una carta escrita la Nochebuena de aquel año. Teniendo en cuenta los datos disponibles al principio del siglo XIX, la función de Legendre proporcionaba, respecto de la fórmula de Gauss, una aproximación mucho mejor del número de primos menores o iguales que N . Pero la presencia de un Colaboración de Sergio Barros

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término de corrección tan feo como 1,08366 indujo a los matemáticos a pensar que tenía que existir un método mejor, más natural, para describir el comportamiento de los números primos. Desde luego, números feos como éste seguramente son muy comunes en otras ciencias, pero es extraordinaria la frecuencia con la cual el mundo matemático opta por la formulación más elegante posible. Como veremos, la hipótesis de Riemann puede tomarse como ejemplo de una filosofía muy difundida entre los matemáticos: ante la alternativa de un mundo feo y otro bello, la naturaleza elige siempre el segundo. Es motivo de asombro para la mayoría de los matemáticos que las matemáticas deban ser así, y explica por qué a menudo les entusiasma la belleza de su disciplina. Por este motivo, no nos sorprende que, en los últimos años de su vida, Gauss perfeccionara su estimación del número de primos, llegando a una fórmula todavía más precisa, que además era mucho más bella. En la misma carta que escribió a Encke en Nochebuena, Gauss explica cómo había encontrado una forma de hacerlo mejor que Legendre: había vuelto a sus primeras investigaciones sobre los números primos, las que había hecho de joven. Había calculado que la cuarta parte de los números comprendidos entre 1 y 100 eran primos, pero cuando consideraba los números comprendidos entre 1 y 1.000, la probabilidad de que uno de ellos fuera primo descendía a 1 entre 6: Gauss comprendió que a medida que ascendía en la cuenta disminuía la probabilidad de que un número fuera primo. De esta forma, Gauss formó en su mente una imagen de cómo la naturaleza podía haber decidido qué números estaban destinados a ser primos y cuáles no. Ya que su distribución parecía tan aleatoria, ¿no podría ser que lanzar una moneda al aire fuera un buen modelo para la elección de números primos? ¿Y si realmente la naturaleza hubiera lanzado una moneda (cara, número primo, cruz no)? Podríamos ahora, pensó Gauss, trucar la moneda de forma que el resultado no fuera «cara» en la mitad de los casos, sino con una probabilidad parecida a 1/log( N ). Así, la probabilidad de que el número 1.000.000 fuera primo debería ser 1/log(1.000.000), que es próximo a 1/15. Las posibilidades de que un número N sea primo disminuyen al crecer N , ya que disminuye el valor de 1/log(N ), es decir, la probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea «cara». Colaboración de Sergio Barros

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Se trata de una pura especulación, ya que 1.000.000, igual que cualquier otro número, o es primo o no lo es, y el lanzamiento de una moneda no podrá nunca modificar este hecho. Aunque su modelo conceptual no servía para predecir si un número era primo, Gauss descubrió que era muy eficaz para hacer previsiones sobre la cuestión mucho menos específica de cuántos números primos se espera encontrar a medida que los contamos. Lo utilizó pues para estimar la cantidad de números primos que deberíamos encontrar tras lanzar la moneda de los números primos N veces. Con una moneda normal, que cae en cara con probabilidad y, el número de caras debería ser 1/2 N . Pero con la moneda de los números primos la probabilidad disminuye a cada lanzamiento. El modelo de Gauss prevé que la cantidad de números primos menores o iguales que N sea

En realidad, Gauss fue un paso más allá para crear una función que llamó logaritmo integral y que se indica como Li(N ). La formulación de esta nueva función se basaba en una ligera variación de la anterior suma de probabilidades y resultó increíblemente precisa. Cuando Gauss, ya con más de setenta años, escribió a Encke, había construido tablas de números primos hasta 3.000.000: «Con mucha frecuencia yo utilizaba un cuarto de hora de inactividad para revisar otra chilíada [intervalo de mil números] a la búsqueda de números primos». La estimación de los números primos inferiores a 3.000.000 que hizo mediante su logaritmo integral Li( N ) se desviaba apenas siete centésimas del uno por ciento de la realidad. Legendre había logrado manipular su fea fórmula de forma que igualara a π(N ) para valores relativamente pequeños de N ; por esta razón, con los datos disponibles en la época, parecía que su fórmula fuera superior. Cuando se empezaron a confeccionar tablas más extensas, se descubrió que la estimación de Legendre resultaba mucho menos precisa para los números primos mayores que 10.000.000. Un profesor de la Universidad de Praga, Jakub Kulik, dedicó veinte años de su vida exclusivamente a la confección de tablas de números primos hasta 100.000.000. Los ocho volúmenes de esta obra faraónica, Colaboración de Sergio Barros

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completada en 1863, nunca se publicaron, pero quedaron custodiados en los archivos de la Academia de Ciencias de Viena. A pesar de que el segundo volumen se perdió, aquellas tablas eran ya suficientes para revelar que el método de Gauss, basado en la función Li(N ), se mostraba una vez más superior al de Legendre. Las tablas modernas muestran hasta qué punto fue mejor la intuición de Gauss. Por ejemplo, su estimación de los números primos menores que 10 16 (es decir, 10.000.000.000.000.000) se aparta del valor correcto en apenas una diezmillonésima del uno por ciento, mientras que con la estimación de Legendre está cerca de la décima parte del uno por ciento. El análisis teórico de Gauss había triunfado sobre los intentos de Legendre de manipular su fórmula para que coincidiera con los datos disponibles. Gauss observó una curiosa característica en su propio método. A partir de lo que sabía sobre los números primos menores que 3.000.000 podía ver que la función Li(N ) parecía sobreestimar la cantidad de números primos. Supuso entonces que siempre sería así; y, ¿quién pondría en duda la intuición de Gauss ahora que las modernas comprobaciones numéricas la confirman hasta 10 16? Indudablemente, cualquier experimento que diera el mismo resultado 10 16 veces se consideraría muy convincente en casi todos los laboratorios; pero no en el de un matemático. Una vez más, una de las hipótesis de Gauss se reveló errónea. Pero a pesar de que hoy los matemáticos han demostrado que, antes o después, π(N ) tomará valores mayores que Li(N ), nadie lo ha visto suceder nunca, ya que todavía no estamos en situación de poder llegar suficientemente lejos con los cálculos. La comparación entre las gráficas de π(N ) y de Li(N ) muestra tal concordancia que es casi imposible distinguirlas por un largo trecho. Sin embargo, debo subrayar que si se observa con una lente de aumento una porción cualquiera de esta imagen, la diferencia entre las funciones se hace evidente. La gráfica de π(N ) se parece a una escalinata, mientras que la de Li(N ) es una curva lisa, sin saltos bruscos. Gauss había mostrado las pruebas de la existencia de la moneda que la naturaleza había lanzado para elegir los números primos. Se trataba de una moneda hecha de manera que un número N tenía una probabilidad de 1 entre log( N ) de ser primo. Pero a Gauss todavía le faltaba un método para predecir el resultado preciso de los


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lanzamientos. Serían necesarias las capacidades de penetración de una generación entera de matemáticos para descubrirlo. Al cambiar su perspectiva, Gauss había percibido un patrón en los primos: su hipótesis fue llamada conjetura de los números primos. Para conseguir el trofeo de Gauss, los matemáticos tenían que demostrar que el porcentaje de error que separa el logaritmo integral de la verdadera cantidad de números primos se reduce siempre conforme se va contando. Gauss había visto aquella cumbre remota, pero quedaba para las futuras generaciones el deber de obtener una demostración, de revelar el sendero para alcanzarla o, en caso contrario, de desenmascarar el carácter ilusorio del nexo. Muchos atribuyen a la aparición de Ceres la responsabilidad de haber distraído a Gauss del intento de demostrar por su cuenta la Conjetura de los números primos. La fama inmediata que alcanzó con sólo veinticuatro años lo dirigió hacia la astronomía. En 1806, cuando su mecenas, el duque Ferdinand, fue asesinado por Napoleón, Gauss tuvo que buscar otro empleo para alimentar a su familia. A pesar de las propuestas de la Academia de San Petersburgo, que estaba buscando un sucesor para Euler, decidió aceptar el puesto de director del Observatorio de Gotinga, una pequeña ciudad universitaria de la Baja Sajonia. Dedicó su tiempo a seguir el rastro de otros asteroides en el cielo nocturno y a realizar reconocimientos topográficos para los gobiernos de Hannover y Dinamarca, pero nunca dejó de pensar en las matemáticas: mientras trazaba los mapas de las montañas de Hannover, meditaba sobre el axioma euclidiano de las rectas paralelas, y de vuelta al observatorio continuaba ampliando su tabla de números primos. Gauss había oído el primer gran tema de la música de los números primos, pero sería uno de sus pocos discípulos, Riemann, quien revelaría la verdadera fuerza de los armónicos que se escondían bajo la cacofonía de los números primos.


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Capítulo 3 El espejo matemático imaginario de Riemann ¿No lo oís, no lo veis? Sólo yo oigo esta melodía que tan maravillosa y gentil… RICHARD WAGNER Tristán e Isolda (Acto III, escena III) Con te n ido :

1.

Los números imaginarios: un nuevo panorama matemático

2. 3. 4.

Un mundo más allá del espejo La función zeta: el diálogo entre música y matemática Una reescritura de la historia griega de los números primos

En 1809, Wilhelm von Humboldt se convirtió en ministro de instrucción de Prusia, en Alemania septentrional. En una carta de 1816 a Goethe, escribió: «Aquí me he ocupado mucho de ciencia, pero he sentido profundamente el poder que la antigüedad siempre ha ejercido en mí. Lo nuevo me disgusta…». Humboldt promovió un movimiento de alejamiento de la ciencia como medio para conseguir objetivos prácticos y favoreció un retorno a la más clásica tradición de la búsqueda del conocimiento por el conocimiento mismo. Los programas de estudios anteriores se habían orientado a producir funcionarios públicos para mayor gloria de Prusia; a partir de ahora se pondría el énfasis en una instrucción al servicio de las necesidades del individuo, más que del Estado. En su papel de pensador y de funcionario, Humboldt puso en marcha una revolución que habría de tener efectos de largo alcance. En toda Prusia y en el estado colindante de Hannover se crearon nuevas escuelas secundarias, llamadas Gymnasien. A la larga, los maestros de esas escuelas ya no serían miembros del clero, como sucedía en el viejo sistema educativo, sino licenciados de las nuevas universidades y politécnicos que iban surgiendo en aquel período. La joya de la corona era la Universidad de Berlín, fundada en 1810, durante la ocupación francesa: Humboldt la definía como «la madre de todas las universidades Colaboración de Sergio Barros

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modernas». Instalada en lo que antes había sido el palacio del príncipe Enrique de Prusia, en la gran avenida Unter den Linden, la Universidad promovió por vez primera la investigación a la vez que la enseñanza: «La enseñanza universitaria no sólo hace posible una comprensión de la unidad de la ciencia sino también su avance», declaró Humbold. Pese a su pasión por el mundo antiguo, fue bajo su guía que la universidad se abrió a nuevas disciplinas junto a las clásicas facultades de leyes, medicina, filosofía y teología. El estudio de las matemáticas constituyó por vez primera una parte importante del currículum de los nuevos Gymnasien y universidades: se animaba a los estudiantes a estudiar las matemáticas por sí mismas, y no simplemente como una disciplina al servicio de las demás ciencias. Todo ello contrastaba fuertemente con las reformas educativas que Napoleón había introducido, consistentes en la explotación de las matemáticas para la expansión de los horizontes militares franceses. En 1830, Carl Jacobi, uno de los profesores de Berlín, escribió a Legendre en París sobre el matemático francés Joseph Fourier, que había reprochado a la escuela alemana de pensamiento su ignorancia de los problemas más prácticos: Ciertamente, Fourier opinaba que el objetivo principal de las matemáticas es la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería haber sabido que el único objetivo de la ciencia es honrar el espíritu humano, y que desde este punto de vista un problema de teoría de los números es tan digno como un problema sobre el sistema del mundo. Para Napoleón, la educación destruiría finalmente las arcanas reglas del Antiguo Régimen. Su reconocimiento de la educación como la espina dorsal sobre la que había que construir la nueva Francia llevó a la creación de algunos de los institutos parisienses que todavía hoy mantienen su fama. Tales institutos no sólo eran meritocráticos, es decir, podían seguir sus cursos estudiantes de cualquier clase social, sino que su filosofía didáctica ponía gran énfasis en una educación y una ciencia al servicio de la sociedad. En 1794, uno de los representantes regionales del gobierno revolucionario escribió a un profesor de matemáticas para recomendarle que impartiera un curso de «aritmética republicana»: «Ciudadano: la revolución no Colaboración de Sergio Barros

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sólo mejora nuestros principios morales y allana el camino para nuestra felicidad y para la de las generaciones futuras, sino que desata las cadenas que frenan el progreso científico». La actitud de Humboldt respecto de las matemáticas era muy distinta de la filosofía utilitaria que prevalecía al otro lado de la frontera. El efecto emancipador de la revolución didáctica en Alemania estaba destinado a tener un gran impacto sobre la comprensión por parte de los matemáticos de muchos aspectos de su campo. Les permitiría desarrollar un nuevo lenguaje matemático, más abstracto. En particular, revolucionaría el estudio de los números primos. Una ciudad que se benefició de las iniciativas de Humboldt fue Luneburgo, en Hannover. Luneburgo, que había sido un importante centro comercial, estaba en decadencia; sus amplias avenidas adoquinadas ya no vibraban con la actividad de la que habían sido testigos en los siglos anteriores. Pero en 1829 se erigió un nuevo edificio entre los altos campanarios de las tres iglesias góticas de Luneburgo: el Gymnasium Johanneum. Pocos años más tarde, hacia 1840, la nueva escuela había prosperado. Su director, Schmalfuss, era un defensor entusiasta de los ideales humanísticos propugnados por Humboldt. Su biblioteca reflejaba sus ideas ilustradas: no sólo albergaba los clásicos y las obras de los escritores alemanes modernos, sino también volúmenes provenientes de lugares lejanos. En concreto, Schmalfuss consiguió algunos libros procedentes de París, motor de la actividad intelectual europea en la primera mitad del siglo. Schmalfuss acababa de admitir un nuevo alumno en el Gymnasium Johanneum: Bernhard Riemann. Riemann era un joven muy tímido y tenía grandes dificultades para hacer amigos. Había estudiado en el Gymnasium de la ciudad de Hannover, donde se alojaba en casa de su abuela, pero al morir ésta había tenido que trasladarse a Luneburgo, donde estaba a pensión en casa de uno de los profesores. Ingresar en la escuela cuando todos los demás habían ya establecido sus lazos de amistad no le facilitó la vida a Riemann: sufría una desesperada añoranza de su casa y los demás estudiantes le tomaban el pelo. Habría preferido volver a pie a la lejana casa de su padre en Quickborn antes que quedarse jugando con sus compañeros. Colaboración de Sergio Barros

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El padre de Riemann, pastor en Quickborn, tenía grandes expectativas sobre su hijo. Por esto, aunque fuera infeliz en la escuela, Bernhard se empleaba a fondo y estudiaba concienzudamente para no defraudarlo, pero tenía que luchar contra un perfeccionismo obsesivo. Frecuentemente, su incapacidad para entregar a tiempo sus deberes descorazonaba a los profesores. Era incapaz de entregar un trabajo que no fuera perfecto: no podía soportar la indignidad de obtener una nota inferior a la máxima. Sus profesores empezaron a dudar de que Riemann llegara a superar los exámenes finales. Fue Schmalfuss quien ideó una manera de desarrollar a aquel jovencito y sacar provecho de su perfeccionismo. Schmalfuss había observado enseguida las extraordinarias capacidades matemáticas de Riemann y estaba ansioso por estimular sus habilidades escolares: le dio libre acceso a su biblioteca, con la excelente colección de libros de matemáticas que contenía; allí, el jovencito podía huir de las presiones sociales de sus compañeros de clase. La biblioteca abrió a Riemann un mundo nuevo, un lugar donde se sintió como en su casa, dueño de la situación: de repente se encontró con un mundo matemático perfecto, idealizado, un nuevo mundo al que las demostraciones impedían hundirse y en el cual los números se convertían en sus amigos. El impulso que Humboldt dio a la enseñanza para apartarse de las ciencias como instrumento práctico y abrazar una concepción estética del conocimiento impregnó las aulas escolares de Schmalfuss. Apartó a Riemann de la lectura de textos matemáticos llenos de fórmulas y reglas cuya finalidad era la de satisfacer las demandas de un mundo industrial en expansión, y lo dirigió hacia los clásicos de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Con su geometría, los antiguos griegos buscaban la comprensión de una estructura abstracta hecha con puntos y líneas; no les obsesionaban las fórmulas que se escondían detrás de los conceptos matemáticos. Cuando Schmalfuss dio a Riemann un texto más moderno, el tratado de geometría analítica de Descartes —un libro lleno de ecuaciones y de fórmulas— el maestro se dio cuenta de que el método que se desarrollaba en el libro no era del agrado de un Riemann cada vez más interesado en una matemática conceptual: «Ya en aquel tiempo era un matemático en posesión de medios ante los cuales un maestro se sentía pobre», recordó más tarde Schmalfuss en una carta a un amigo. Colaboración de Sergio Barros

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Uno de los libros que había en las estanterías de la biblioteca de Schmalfuss era un volumen de matemáticas contemporáneas que el maestro había comprado en Francia. Publicado en 1808, la Théorie des nombres de Adrien-Marie Legendre era el primer texto en registrar la observación de un extraño nexo entre la función que permitía contar los números primos en un intervalo dado y la función logarítmica. Tal nexo, descubierto por Gauss y Legendre, se basaba únicamente en indicios experimentales: no estaba en absoluto claro si, suponiendo que continuáramos contando, la función de Gauss o la de Legendre continuarían aproximándose al verdadero número de primos. A pesar del grosor del volumen —859 páginas de gran formato—, Riemann lo devoró, y apenas seis días más tarde, lo devolvió al profesor diciendo: «Es un libro maravilloso: me lo sé de memoria». Schmalfuss no lo creyó pero, cuando dos años más tarde, durante los exámenes finales, preguntó a Riemann sobre el contenido del libro, el estudiante respondió impecablemente. Aquel episodio supuso el principio de la carrera de uno de los gigantes de las matemáticas modernas. Gracias a Legendre, en la mente del joven Riemann se plantó una semilla que años más tarde terminaría por dar frutos espectaculares. Una vez superados los exámenes finales, Riemann estaba ansioso por inscribirse en una de las nuevas universidades que, con gran energía, estaban pilotando la revolución didáctica en Alemania. Sin embargo, su padre tenía otras ideas: la familia de Riemann era pobre y su padre esperaba que Bernhard siguiera sus pasos y entrara a formar parte de la Iglesia. Una vida eclesiástica le habría supuesto unos ingresos regulares con los que mantener a sus hermanas. La única universidad del reino de Hannover donde se enseñaba teología no era una de aquellas nuevas instituciones, sino la Universidad de Gotinga, fundada más de un siglo antes, en 1734. Por esa razón, para satisfacer los deseos de su padre, Riemann tomó el camino de la húmeda y fría ciudad de Gotinga. Gotinga reposa plácidamente entre las suaves colinas de la Baja Sajonia. Su núcleo central es una ciudadela medieval circundada de antiguas murallas: esa es la Gotinga que Riemann conoció y que todavía hoy conserva mucho de su carácter original, las callejuelas serpenteaban entre casas de madera y tejados rojos. Los hermanos Grimm escribieron muchos de sus cuentos en Gotinga, y no es difícil Colaboración de Sergio Barros

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imaginarse a Hansel y Gretel corriendo por sus calles. En el centro se levanta el edificio medieval del Ayuntamiento, sobre cuyos muros campea el lema: «No hay vida fuera de Gotinga». Para los que estaban en la universidad, ésa era ciertamente la sensación: la vida académica era autosuficiente. Aunque la teología había dominado los primeros años de la universidad, los vientos de cambio académico que soplaban en Alemania habían estimulado los estudios científicos también en Gotinga. Cuando Gauss fue nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio de la ciudad, en 1807, era más la ciencia que la teología lo que estaba haciendo famosa a Gotinga. El fuego matemático que el profesor Schmalfuss había encendido en el joven Riemann aún ardía vigorosamente. El deseo paterno de que estudiara teología lo había conducido a Gotinga, pero fue la influencia del gran Gauss y de la tradición científica lo que lo marcó durante aquel primer año. Fue sólo una cuestión de tiempo el que las clases de griego y de latín dejaran paso a las tentaciones de los cursos de física y de matemáticas. Con inquietud, Riemann escribió a su padre dándole a entender que desearía cambiarse de teología a matemáticas. La aprobación paterna lo significaba todo para Riemann. Recibió su bendición con alivio, e inmediatamente se sumergió en la vida científica de la universidad. Para un joven dotado de su talento, Gotinga pronto empezó a parecer pequeña. En un año, Riemann había agotado los recursos que tenía a su disposición. Gauss, ya anciano, se había alejado un tanto de la vida intelectual de la universidad: desde 1828 sólo había pasado una noche lejos del observatorio, donde vivía. En la universidad se limitaba a impartir clases de astronomía, en concreto sobre el método que lo había hecho famoso muchos años antes, cuando había reencontrado a Ceres, el planeta «perdido». Riemann tendría que buscar en otra parte los estímulos que necesitaba para dar un paso más en su desarrollo: se dio cuenta de que Berlín era el lugar donde sonaba más fuerte el murmullo de la actividad intelectual. Los prestigiosos institutos franceses de investigación creados por Napoleón, como la Ecole Polytechnique, tuvieron una gran influencia sobre la Universidad de Berlín que, después de todo, se había fundado durante la ocupación francesa. Uno de los embajadores científicos más importantes fue un brillante matemático llamado Peter Colaboración de Sergio Barros

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Gustav Lejeune-Dirichlet. Había nacido en Alemania en 1805, pero su familia era de origen francés. En 1822, el regreso a las raíces lo condujo a París, donde pasó cinco años impregnándose de la actividad intelectual que florecía en las academias. Alexander von Humboldt, hermano de Wilhelm y científico aficionado, coincidió con Dirichlet durante sus viajes y quedó tan impresionado que le buscó un empleo en Alemania. Dirichlet tenía un espíritu más bien rebelde: quizá la atmósfera de las calles de París le había desarrollado el gusto por retar a la autoridad. En Berlín, disfrutó ignorando algunas de las tradiciones anticuadas que habían impuesto las autoridades universitarias, bastante retrógradas, y a menudo se mofaba de sus peticiones para demostrar su dominio del latín. Gotinga y Berlín ofrecían ambientes distintos a los nuevos matemáticos como Riemann. Gotinga tenía a gala su independencia y aislamiento; raramente se celebraban seminarios que impartieran personajes procedentes de más allá de las murallas de la ciudad. La universidad era autosuficiente y producía ciencia a partir de su combustible interno. En cambio, Berlín prosperaba gracias a los estímulos de más allá de sus fronteras: las ideas procedentes de Francia se entremezclaban con el innovador enfoque alemán de la filosofía natural para crear un nuevo y prometedor cóctel. Los distintos climas de Gotinga y Berlín se adaptan a distintos tipos de matemáticos. Algunos no hubieran avanzado nunca sin entrar en contacto con las nuevas ideas que provenían del extranjero, mientras que el éxito de otros matemáticos se puede imputar a un aislamiento que los obligaba a encontrar una fuerza interior y, con ella, nuevos lenguajes y formas de pensar. En lo referente a Riemann, sus conquistas matemáticas fueron fruto del contacto con la abundancia de nuevas ideas que flotaban en el aire, y él era consciente de que Berlín era precisamente el lugar donde tenía que estar. Riemann se trasladó a Berlín en 1847 y vivió dos años en la ciudad. Durante su estancia consiguió estudiar los papeles de Gauss que no había podido conseguir directamente del reservado maestro en Gotinga. Asistió a las clases de Dirichlet, quien rápidamente adoptó una parte de los sensacionales descubrimientos de Riemann sobre los números primos. Era opinión general que Dirichlet tenía la capacidad de insuflar la inspiración a todo aquel que lo escuchaba. Un matemático que asistió a sus clases lo describía así: Colaboración de Sergio Barros

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Dirichlet es insuperable en cuanto a riqueza de materiales y capacidad de penetración. … Se sienta a su alto escritorio de cara a nosotros, se sube las gafas hasta la frente, toma su cabeza entre las manos y… de entre ellas surge un cálculo imaginario que nos lee en voz alta, y que nosotros comprendemos como si también fuésemos capaces de verlo. Me gusta mucho esta forma de enseñar. En los seminarios de Dirichlet, Riemann trabó amistad con varios jóvenes investigadores que, como él, ardían de pasión por las matemáticas. Pero en Berlín había también otras fuerzas que se agitaban. Desde las calles de París, la revolución de 1848 que acabó con la monarquía francesa se difundió por gran parte de Europa, y alcanzó las calles de Berlín cuando Riemann estaba allí estudiando. Según el relato de sus contemporáneos, aquellos acontecimientos produjeron un profundo impacto sobre él. En una de las pocas ocasiones de su vida en las que se unió a los que estaban a su alrededor en algo que fuera más allá del estricto nivel intelectual, Riemann se unió a los estudiantes que defendían al rey en su palacio de Berlín. Se cuenta que se mantuvo en su puesto en las barricadas durante dieciséis horas seguidas. Sin embargo, la respuesta de Riemann a la revolución matemática que venía de París no fue la de un reaccionario. Berlín no sólo importaba de París la propaganda política, sino también muchas de las revistas y publicaciones que salían de las academias: Riemann recibía los volúmenes más recientes de la influyente revista francesa Comptes rendus y se encerraba en su habitación para estudiar los artículos del matemático revolucionario Augustin-Louis Cauchy. Cauchy, que había nacido pocas semanas después de la toma de la Bastilla, era hijo de la Revolución. Desnutrido a causa de las carencias alimenticias de aquellos años, desde joven el frágil Cauchy prefirió ejercitar la mente en lugar del cuerpo. Siguiendo la moda consagrada por la época, el mundo de las matemáticas fue su refugio. Un matemático amigo de su padre, Lagrange, reconoció el talento precoz del joven. Comentó a un conocido: «¿Veis a aquel jovencito? Bien, ¡como matemático nos superará a todos!». Tuvo también un buen consejo para el padre de Cauchy: «Haced que no toque un libro de matemáticas hasta que cumpla Colaboración de Sergio Barros

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diecisiete años». En su lugar sugirió estimular las capacidades literarias del joven, para que cuando volviera a las matemáticas estuviera en condiciones de expresarse por escrito con su propia voz y con la que hubiera adquirido en los libros de la época. Se demostró que se trataba de un consejo certero: Cauchy desarrolló una voz nueva que, una vez abiertas las compuertas que lo protegían del mundo exterior, fue imposible frenar. La producción de Cauchy creció hasta hacerse tan importante que la revista Comptes rendus tuvo que imponer un límite de páginas para los artículos publicados, un límite al que todavía hoy se ciñe estrictamente. El nuevo lenguaje matemático de Cauchy era demasiado difícil para algunos de sus contemporáneos; en 1826 el matemático noruego Niels Henrik Abel escribió: «Cauchy está loco… Lo que hace es excelente, pero confuso. Al principio no entendía prácticamente nada; ahora consigo discernir una parte con mayor claridad». Abel continuaba haciendo notar que, de todos los matemáticos de París, Cauchy era el único que hacía «matemáticas puras» mientras que los demás «se dedicaban exclusivamente al magnetismo y a otros temas físicos… Él es el único que sabe cómo se debería hacer matemática». Cauchy tuvo problemas con las autoridades parisienses por haber alejado a los estudiantes de las aplicaciones prácticas de las matemáticas. El director de la Ecole Polytechnique, donde Cauchy enseñaba, le escribió criticando su obsesión por la matemática abstracta: «Es opinión de muchas personas que se está exagerando claramente con la enseñanza de las matemáticas puras en la Ecole y que una tan inmotivada extravagancia es dañina para las demás disciplinas». No hay, por tanto, motivos para extrañarse de que la obra de Cauchy fuera tan apreciada por el joven Riemann. Aquellas nuevas ideas eran tan emocionantes que Riemann se convirtió casi en un recluso. Durante el tiempo que dedicó a estudiar la producción matemática de Cauchy desapareció completamente de la vista de sus colegas. Reapareció unas semanas más tarde declarando: «Esta es una nueva matemática». Lo que había captado la imaginación de Cauchy y de Riemann era el poder emergente de los números imaginarios.


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1. Los números imaginarios: un nuevo panorama matemático La raíz cuadrada de −1, el elemento base de los números imaginarios, parece una contradicción en los términos. Algunos opinan que el hecho de admitir la posibilidad de que tal número exista es lo que separa a los matemáticos de todos los demás. Es necesario un salto creativo para ganarse el acceso a esta pequeña porción del mundo matemático. A primera vista se tiene la impresión de que no tiene nada que ver con el mundo físico: éste parece estar construido sobre números cuyo cuadrado es siempre un número positivo. Sin embargo, los números imaginarios son más que un simple juego abstracto: son ellos los que guardan la llave que da acceso al mundo de las partículas subatómicas del siglo XX. En una escala mayor, los aviones no habrían alzado jamás el vuelo si los ingenieros no hubieran emprendido un viaje al mundo de los números imaginarios. Este nuevo mundo ofrece una flexibilidad que se niega a los que permanecen atados a los números ordinarios. La historia del descubrimiento de esos nuevos números empieza con la necesidad de resolver simples ecuaciones. Tal como ya sabían los babilonios y los egipcios, si, por ejemplo, queremos dividir siete pescados entre tres personas, en la ecuación aparecerán números fraccionarios: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, etcétera. En el siglo VI a. C. los griegos, al estudiar la geometría del triángulo, descubrieron que a veces estas fracciones eran incapaces de expresar la longitud de los lados de un triángulo. El teorema de Pitágoras los obligó a inventar nuevos números que no podían escribirse como simples fracciones. Por ejemplo, Pitágoras podía tomar un triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud unitaria; su famoso teorema le decía entonces que la hipotenusa tenía una longitud x , donde x es una solución de la ecuación x 2 = 12 + 12 = 2. Dicho de otra forma: la longitud de la hipotenusa era igual a la raíz cuadrada de 2. Las fracciones son los números cuya expresión decimal tiene un patrón que se repite, por ejemplo 1/7 = 0,142 857 142 857…, o bien 1/4 = 0,250 000 000… En contraste, los griegos pudieron demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es igual a una fracción: por más que avancemos en el cálculo de la expresión decimal de la raíz cuadrada de 2, nunca se estabilizará con un patrón repetitivo como los que hemos visto. La raíz cuadrada de 2 empieza con 1,414 213 562… En los años en los que Riemann estuvo en Gotinga era frecuente que dedicara sus horas libres a Colaboración de Sergio Barros

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calcular un número cada vez mayor de estos decimales. Su récord fue de treinta y ocho decimales, una empresa no precisamente fácil sin un calculador, pero quizá también un buen indicio de lo aburrida que debía ser la vida nocturna en Gotinga y lo esquivo de la personalidad de Riemann, que se entregaba a esa extraña distracción. En todo caso, Riemann sabía que por más que avanzara en sus cálculos nunca podría escribir el número completo o descubrir un patrón repetitivo. Para describir la imposibilidad de expresar aquellos números de otra forma que como la solución de ecuaciones del tipo x 2 = 2, los matemáticos los bautizaron como números irracionales. El nombre reflejaba la incapacidad de los matemáticos de escribirlos de forma exacta. A pesar de todo, los números irracionales conservaban un significado real, ya que se podían ver como puntos marcados sobre una regla, o sobre lo que los matemáticos llaman recta numérica. La raíz cuadrada de 2, por ejemplo, es un punto que se encuentra en alguna parte entre 1,4 y 1,5. Si se construyese un triángulo rectángulo pitagórico con sus dos catetos de una unidad de longitud, entonces podríamos determinar la posición exacta de este número irracional apoyando la hipotenusa del triángulo sobre la regla y marcando el punto correspondiente a su longitud.

Los números reales. Cada número fraccionario, negativo o irracional se representa como un punto sobre la recta numérica. Los números negativos se descubrieron de forma similar, al intentar resolver simples ecuaciones como x + 3 = 1. Los matemáticos indios propusieron estos nuevos números en el siglo VII d. C. Los números negativos se crearon para responder a las exigencias de un mundo financiero en expansión, ya que eran útiles para representar los débitos. Tuvo que pasar otro milenio antes de que los matemáticos europeos se decidieran a admitir la existencia de tales «números ficticios», como les llamaban. Los números negativos ocuparon su lugar sobre la recta numérica en el lugar que se extendía a la izquierda del cero. Colaboración de Sergio Barros

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Los números irracionales y los números negativos nos permiten resolver diversos tipos de ecuaciones. La ecuación de Fermat x 3 + y 3 = z 3 tiene soluciones interesantes si uno no se obstina en pretender, como había hecho Fermat, que x , y y z sean números enteros. Por ejemplo, podríamos elegir x = 1 e y = 1, colocar z igual a la raíz cúbica de 2, y la ecuación estaría resuelta. Sin embargo, quedaban otras ecuaciones que no se podían resolver recurriendo a los números de la recta numérica. Parecía que ninguno de los números existentes daba una solución de la ecuación x 2 = −1. Al fin y al cabo, si elevamos al cuadrado un número, ya sea positivo o negativo, el resultado siempre es positivo; por ello, un número que satisfaga una ecuación así no podrá ser un número ordinario. Pero los griegos habían imaginado un número como la raíz cuadrada de 2, a pesar de no poder escribirlo en forma de fracción, y los matemáticos comenzaron a entender que podían hacer un salto análogo con su imaginación y crear un nuevo número para resolver la ecuación x 2 = −1. Semejante salto creativo supone uno de los retos conceptuales que deben afrontar todos los que estudian matemáticas. El nuevo número, la raíz cuadrada de menos uno, se definió como número imaginario y se le asignó el símbolo «i ». Por contraste, los matemáticos empezaron a llamar números reales a los que se encontraban sobre la recta numérica. El crear aparentemente de la nada una solución para esta ecuación parece un engaño: ¿por qué no aceptar que la ecuación no tiene soluciones? Esa es una posible forma de proceder, pero a los matemáticos nos gusta ser más optimistas: una vez aceptada la idea de la existencia de un número que efectivamente resuelve la ecuación, las ventajas del salto creativo efectuado superan con creces cualquier incomodidad inicial. Una vez que se le ha asignado un nombre, su existencia parece inevitable; ya no da la sensación de tratarse de un número creado artificialmente, sino más bien parece como si siempre hubiera estado ahí y hubiera pasado desapercibido hasta que nos planteamos la pregunta oportuna. Los matemáticos del siglo XVIII fueron reacios a aceptar la existencia de números de este tipo, pero los Colaboración de Sergio Barros

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matemáticos del siglo XIX tuvieron la valentía de creer en nuevas formas de pensar que ponían en cuestión las ideas comúnmente aceptadas sobre lo que constituía el canon matemático oficial. Francamente, la raíz cuadrada de −1 es tan abstracta como la raíz cuadrada de 2. Ambas se definen como soluciones de ecuaciones. ¿Significa esto que los matemáticos deberían empezar a crear nuevos números para cada nueva ecuación que aparezca? ¿Y si quisiéramos las soluciones de una ecuación como x 4 = −1? ¿Tendríamos que usar cada vez más letras para intentar dar un nombre a todas esas nuevas ecuaciones? Hubo un cierto alivio cuando Gauss demostró en 1799 que no hacían falta más números nuevos: usando el número i , la raíz cuadrada de −1, los matemáticos podían resolver cualquier ecuación que se les pusiera por delante. Cada ecuación tenía una solución que consistía en una combinación de los habituales números reales —es decir, las fracciones y los números irracionales— y de este nuevo número, i . La clave de la demostración de Gauss era la extensión de la imagen que ya teníamos de los números habituales como puntos situados sobre la recta numérica: una línea recta que va de este a oeste en la que cada uno de sus puntos representa un número. Estos números eran los números reales, que eran familiares a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos griegos. Pero en la recta no había sitio para aquel nuevo número imaginario, la raíz cuadrada de −1. Por esta razón, Gauss se preguntó qué sucedería si se introdujera una nueva dirección, si para representar i se usara un punto situado por encima de la recta numérica, a una unidad de distancia. Todos los nuevos números necesarios para resolver ecuaciones eran combinaciones de i y de números habituales, por ejemplo, 1 + 2 i . Gauss comprendió que cada punto situado sobre este mapa bidimensional correspondía a cualquier número posible. Los números imaginarios se convertían, simplemente, en coordenadas sobre el mapa. El número 1 + 2 i se representaba por el punto que se alcanzaba recorriendo una unidad hacia el este y dos unidades hacia el norte. Gauss interpretaba estos números como coordenadas para moverse en su mapa del mundo imaginario. Sumar dos números imaginarios: A + Bi y C + Di , significaba seguir dos pares de coordenadas, uno tras otro. Por ejemplo, si sumamos 6 + 3 i y 1 + 2i , eso nos llevará a la posición 7 + 5i (véase la siguiente gráfica). Colaboración de Sergio Barros

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Cómo sumar dos números imaginarios: siguiendo sus direcciones A pesar de tratarse de una representación muy eficaz, Gauss tuvo que mantener escondido su mapa del mundo imaginario. Una vez construida la demostración, retiró los andamios gráficos de manera que no quedara ningún rastro de su visión. Era consciente de que, en aquella época, en matemáticas se miraban las gráficas con cierta sospecha. El predominio de la tradición francesa durante la juventud de Gauss implicaba que el camino preferido para ingresar en el mundo matemático era el lenguaje de las fórmulas y de las ecuaciones, lenguaje que encajaba a la perfección con el enfoque utilitario de la disciplina. Había también otras razones para tal aversión hacia los números imaginarios. Durante muchos siglos, los matemáticos habían creído que las representaciones gráficas tenían el poder de provocar errores. Al fin y al cabo, el lenguaje de las matemáticas había sido introducido para domesticar el mundo físico. En el siglo XVII, Descartes había intentado reducir el estudio de la geometría a simples aserciones sobre números y ecuaciones: «Las percepciones sensoriales son engaños Colaboración de Sergio Barros

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de los sentidos», era su lema. Riemann había aprendido a detestar este menosprecio de la representación física cuando leía a Descartes en la comodidad de la biblioteca de Schmalfuss. En los albores del siglo XIX, los matemáticos estaban escaldados debido a una demostración gráfica equivocada que describía la relación entre el número de ángulos, aristas y caras de los sólidos geométricos: Euler había avanzado la hipótesis de que, si un poliedro tiene V vértices, A aristas y C caras, entonces los números V , A y C tienen que satisfacer la relación V − A + C = 2; un cubo, por ejemplo, tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. En 1811, el mismo joven Cauchy había elaborado una «demostración» de la fórmula que se basaba en una intuición visual, pero quedó desacreditada cuando se mostró un sólido que no obedecía a la fórmula: un cubo con un agujero en el centro. La «demostración» había olvidado el hecho de que un sólido puede tener agujeros. Por esta razón era necesario introducir en la fórmula un elemento añadido que tuviera en cuenta el número de agujeros presentes en un sólido. Al haber sido engañado por el poder de las imágenes de esconder perspectivas que al principio no resultan evidentes, Cauchy se refugió en la seguridad que parecían dar las fórmulas. Una de las revoluciones que provocó fue la creación de un nuevo lenguaje que permitió a los matemáticos analizar rigurosamente el concepto de simetría sin tener que recurrir a figuras. Gauss sabía que su mapa secreto de los números imaginarios hubiera estado mal visto por los matemáticos de finales del siglo XVIII, y por ello lo excluyó de su demostración. Los números eran entidades para ser sumadas y multiplicadas, no para ser dibujadas. Tuvieron que pasar unos cuarenta años antes de que Gauss se decidiera a desvelar el andamiaje gráfico que había usado en su tesis doctoral. 2. Un mundo más allá del espejo Incluso sin el mapa de Gauss, Cauchy y otros matemáticos habían empezado a explorar lo que sucede si se extiende el concepto de función a ese nuevo mundo de números imaginarios en lugar de limitarse a los números reales. Para su sorpresa, los números imaginarios inauguraban nuevas relaciones entre partes del mundo matemático aparentemente independientes. Colaboración de Sergio Barros

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Una función es como un programa de ordenador en el cual se introduce un número, se hacen unos cálculos y el resultado es un nuevo número. La función puede definirse por medio de una simple ecuación como x 2 + 1. Cuando se le inserta un número, por ejemplo 2, la función calcula 2 2 + 1, y da 5 como resultado. Otras funciones son más complicadas: Gauss estaba interesado en las funciones que contaban la cantidad de números primos. Si introducimos un número x en una función así, nos dirá cuántos números primos hay que sean menores o iguales a x . Gauss había decidido darle a esta función el nombre de π( x ) . Su gráfica es una escalera ascendente, como vimos en la página 85. Cada vez que el número que insertamos en la función π( x ) es un número primo, el valor numérico que ésta nos da como resultado sube un peldaño en la escalinata. Por ejemplo, cuando x va de 4,9 a 5,1, el número de primos aumenta pasando de dos a tres para registrar el nuevo número primo: 5. Los matemáticos observaron enseguida que en algunas funciones, como la que viene dada por la ecuación x 2 + 1, se podían insertar números imaginarios lo mismo que números reales. Por ejemplo, si insertamos x = 2i en la función obtendremos (2i )2 + 1 = −4 + 1 = −3. En la generación de Euler se empezaron a introducir números imaginarios en las funciones. Ya en 1748, en una de sus excursiones más allá del espejo, Euler se había topado con extrañas conexiones entre fragmentos separados de las matemáticas. Euler sabía que cuando se insertaban números reales x en la función 2 x , se obtenía una gráfica que ascendía con rapidez. Pero cuando intentó insertar números imaginarios en la función, el resultado que obtuvo fue bastante inesperado; en lugar de una gráfica que crecía exponencialmente vio aparecer ondas del tipo que asociamos, por poner un ejemplo, a los sonidos. La función que produce tal tipo de ondas se llama función seno. La imagen de la función seno es una curva familiar que se repite cíclicamente, de manera que cada 360 grados vemos reaparecer la misma forma. Actualmente la función seno se utiliza en una gran cantidad de cálculos prácticos: por ejemplo, puede usarse para calcular la altura de un edificio midiendo ángulos desde el suelo. Fue la generación de Euler la que descubrió que estas ondas sinusoidales eran también la clave para reproducir sonidos musicales; una nota pura como el la que da un diapasón que se usa para afinar un piano se puede representar mediante una onda sinusoidal. Colaboración de Sergio Barros

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Euler insertó números imaginarios en la función 2 x . Para su sorpresa, lo que apareció fueron las ondas correspondientes a una determinada nota musical. Euler demostró que las características de cada nota individual dependían de las coordenadas del número imaginario correspondiente. Cuanto más al norte se encuentra un número, tanto más alta es la nota a él asociada. Cuanto más al este se encuentra, tanto mayor es la intensidad de la nota. El descubrimiento de Euler era el primer indicio del hecho de que los números imaginarios podían abrir caminos nuevos e insospechados en el paisaje matemático. Siguiendo a Euler, los matemáticos empezaron a aventurarse en las tierras recién descubiertas de los números imaginarios. La búsqueda de nuevas relaciones se revelaría contagiosa. Riemann volvió a Gotinga en 1849 para completar su tesis doctoral y someterla a la consideración de Gauss. Era el año en que Gauss escribió a su amigo Encke a propósito de la relación que había descubierto de joven entre números primos y logaritmos. Aunque es posible que Gauss discutiera su descubrimiento con miembros de la facultad de Gotinga, Riemann todavía no se preocupaba por los números primos: estaba completamente concentrado en la nueva matemática que venía de París, ansioso por explorar el extraño mundo de funciones alimentadas con números imaginarios que estaba surgiendo. Cauchy se había puesto a la labor de transformar en una disciplina rigurosa los primeros pasos inciertos de Euler en aquel nuevo territorio. Pero si los franceses eran maestros en ecuaciones y manipulación de fórmulas, Riemann estaba preparado para capitalizar el retorno de la didáctica alemana a una concepción del mundo más abstracta. En noviembre de 1851 sus ideas ya habían tomado forma, y presentó su tesis en la facultad de Gotinga. Como era de esperar, las ideas de Riemann impresionaron gratamente a Gauss. Éste recibió aquella tesis doctoral como el signo evidente «de una mente creativa, activa, genuinamente matemática, y de una originalidad magníficamente fértil». Riemann, escribió a su padre, ansioso de explicarle sus progresos: «Creo haber mejorado mis expectativas con la tesis. Espero también aprender ahora a escribir más rápido y con mayor fluidez, sobre todo si me inserto en la sociedad». Pero la vida académica de Gotinga no se podía comparar con la excitante vida de Berlín. La universidad era muy cerrada, provinciana, y a Riemann le faltaba seguridad en sí Colaboración de Sergio Barros

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mismo para entrar en conflicto con la vieja jerarquía intelectual. Había menos estudiantes en Gotinga con quienes pudiera relacionarse; era sospechoso para los demás y nunca se encontraba realmente a gusto en ese ambiente social. «Ha hecho aquí las cosas más extrañas sólo porque está convencido de que nadie lo soporta», escribió su contemporáneo Richard Dedekind. Riemann era hipocondríaco y una persona propensa a sufrir crisis depresivas. Escondía su rostro tras la seguridad de una barba negra cada vez más tupida. Estaba muy preocupado por su situación económica, ya que su supervivencia dependía de los inciertos honorarios de media docena de alumnos particulares. La sobrecarga de trabajo que ello suponía, junto a la presión de la indigencia, le produjo una breve crisis nerviosa en 1854. Pero su humor se iluminaba cada vez que Dirichlet, el campeón de la tradición matemática, se presentaba de visita en Gotinga. Un profesor de esta universidad con quien Riemann consiguió trabar amistad fue el eminente físico Wilhelm Weber. Weber había colaborado con Gauss en numerosos proyectos durante el tiempo que pasaron juntos en Gotinga. Se convirtieron en un Sherlock Holmes y un doctor Watson de la ciencia, con Gauss proporcionando las bases teóricas y Weber poniéndolas en práctica. Uno de sus inventos más famosos fue la aplicación del electromagnetismo para la comunicación a distancia. Consiguieron establecer una línea telegráfica entre el observatorio de Gauss y el laboratorio de Weber a través de la cual se intercambiaban mensajes. Mientras que para Gauss aquel invento era una simple curiosidad, Weber se dio cuenta claramente del alcance de aquel descubrimiento: «Cuando el globo terráqueo esté cubierto de una red de caminos de hierro y de hilos telegráficos», escribió, «esa red prestará servicios comparables a los del sistema nervioso en el cuerpo humano, en parte como medio de transporte, en parte como medio para la propagación de ideas y sensaciones a la velocidad del rayo». La rápida difusión del telégrafo, además de la posterior aplicación a la seguridad informática de la calculadora de reloj inventada por Gauss, hacen de Gauss y Weber los abuelos del comercio electrónico y de Internet. La ciudad de Gotinga ha inmortalizado su colaboración con una estatua que los representa juntos. Un huésped de Weber en Gotinga nos lo representa con la típica imagen del científico un poco loco: «Un tipo curioso que habla con voz estridente, desagradable Colaboración de Sergio Barros

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y vacilante. Tartamudea sin parar; no se puede hacer otra cosa que escucharle. A veces ríe sin ninguna razón, y uno lamenta no poder unirse a él». Weber era algo más rebelde que Gauss: había sido uno de los «siete de Gotinga», profesores expulsados temporalmente de la universidad por haber protestado contra el gobierno arbitrario del rey de Hannover. Tras haber terminado su tesis, Riemann fue asistente de Weber durante algún tiempo. Durante este aprendizaje cortejó a la hija de Weber, pero sus avances no fueron correspondidos. En 1854 Riemann escribió a su padre: «Gauss está seriamente enfermo y los médicos temen su muerte inminente». Temía que Gauss muriera antes de que superara su examen de habilitación, que era indispensable para convertirse en docente de una universidad alemana. Afortunadamente Gauss vivió lo suficiente como para escuchar las ideas de Riemann sobre la geometría y sus relaciones con la física que habían germinado durante la etapa de trabajo con Weber. Riemann estaba convencido de que se podían contestar todas las preguntas fundamentales de la física usando únicamente las matemáticas. Muchos consideran la teoría de la geometría de Riemann como una de sus más significativas contribuciones científicas, y llegaría a ser uno de los ejes fundamentales de la plataforma sobre la que Einstein lanzó su revolución científica a principios del siglo XX. Gauss murió un año más tarde. Pero si el hombre se había marchado, sus ideas tendrían ocupados a los matemáticos durante las siguientes generaciones. La hipótesis que dejó tras de sí sobre el nexo entre los números primos y la función logarítmica, daría mucho que pensar a las generaciones posteriores. Los astrónomos lo inmortalizaron en el firmamento bautizando un asteroide con el nombre de Gaussia, y en la colección de anatomía de la Universidad de Gotinga todavía se puede observar el cerebro de Gauss conservado para la eternidad, del que se afirma que es más rico en circunvoluciones que cualquier otro cerebro diseccionado con anterioridad. Dirichlet, a cuyas clases había asistido Riemann en Berlín, fue nombrado titular de la cátedra que Gauss dejó vacante. Llevó a Gotinga una parte de la vivaz actividad intelectual que Riemann había añorado tanto desde su estancia berlinesa. Un matemático inglés describió la impresión que tuvo de Dirichlet al visitarlo en Gotinga por aquella época: «Es un hombre más bien alto, de aspecto enjuto, con Colaboración de Sergio Barros

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bigote y barba que empiezan a volverse grises… su voz es algo estridente y está más bien sordo: todavía era temprano, no se había lavado ni afeitado, llevaba su schlafrock [bata], las zapatillas, una taza de café y un cigarro». A pesar de esta apariencia bohemia, en su interior ardía un deseo de rigor y un amor por las demostraciones sin igual en su época. Carl Jacobi, coetáneo suyo y colega en Berlín, escribió al primer protector de Dirichlet, Alexander von Humboldt, que «sólo Dirichlet, ni yo ni Cauchy ni Gauss, sabe qué es una demostración perfectamente rigurosa, mientras que nosotros sólo lo aprendemos de él. Cuando Gauss dice haber demostrado algo, pienso que muy probablemente sea cierto; cuando lo dice Cauchy, está al cincuenta por ciento; cuando lo dice Dirichlet, se trata de una certeza». La llegada de Dirichlet a Gotinga sacudió el tejido social de la ciudad. Su mujer Rebecka era hermana del compositor Félix Mendelssohn. Rebecka detestaba el soporífero ambiente social de Gotinga y organizó muchas recepciones para intentar recrear la atmósfera de los salones berlineses que había tenido que abandonar. La actitud menos formal de Dirichlet hacia la jerarquía académica supuso para Riemann la posibilidad de discutir abiertamente de matemáticas con el nuevo profesor. Desde su vuelta a Gotinga desde Berlín, Riemann estaba más bien aislado. A causa de la personalidad austera del anciano Gauss y de su propia timidez, había discutido poco con el gran maestro. En cambio, las formas relajadas de Dirichlet fueron perfectas para Riemann quien, en una atmósfera más favorable a la discusión, empezó a abrirse. Riemann escribió a su padre sobre su nuevo mentor: «A la mañana siguiente Dirichlet estuvo conmigo durante dos horas. Leyó toda mi tesis y estuvo muy amable conmigo, cosa que no me esperaba, dada la gran diferencia de rango entre nosotros». Por su parte, Dirichlet apreciaba la modestia de Riemann y reconocía la originalidad de su trabajo. En alguna ocasión incluso consiguió sacarlo de la biblioteca y salir con él a pasear por la campiña de los alrededores de Gotinga. Casi en tono de excusa, Riemann escribió a su padre que aquellas fugas de las matemáticas le eran más útiles desde el punto de vista científico que si se hubiese quedado en casa consultando sus libros. Fue durante una de las discusiones mantenidas caminando por los bosques de la Baja Sajonia cuando Dirichlet inspiró el paso siguiente de


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Riemann, que vendría a inaugurar una perspectiva completamente nueva sobre los números primos. 3. La función zeta: el diálogo entre música y matemática Durante los años que pasó en París antes de 1830, Dirichlet quedó fascinado con el gran tratado juvenil de Gauss, las Disquisitiones arithmeticae. Por más que supusiera el inicio de la teoría de los números como disciplina independiente, se trataba de un libro difícil y muchos no conseguían penetrar en el estilo conciso que Gauss prefería. De todas formas, Dirichlet estaba más que feliz de batallar con aquella sucesión ininterrumpida de párrafos difíciles. Por la noche ponía el libro bajo la almohada con la esperanza de que a la mañana siguiente lo leído tomara sentido de repente. El tratado de Gauss había sido descrito como un «libro de siete sellos» pero, gracias a las fatigas y vigilias de Dirichlet, los sellos se fueron rompiendo y los tesoros guardados en su interior obtuvieron la amplia difusión que merecían. Dirichlet tenía un interés especial en el reloj calculador de Gauss. Le intrigaba particularmente una conjetura formulada por Fermat: si tomamos una calculadora de reloj con un cuadrante de N horas y le introducimos los números primos, entonces, había conjeturado Fermat, el reloj señalaría la una un número infinito de veces. Si, por ejemplo, tomamos un reloj con un cuadrante de cuatro horas, según la conjetura de Fermat, hay infinitos números primos que al dividirlos entre 4 dan de resto 1. La lista empieza con 5, 13, 17, 29 … En 1838, a los treinta y tres años, Dirichlet había dejado su propia marca en la teoría de los números al demostrar que la intuición de Fermat era correcta. Lo consiguió mezclando ideas que provenían de diversas áreas de las matemáticas sin aparente relación entre sí. En lugar de una argumentación elemental como la que había permitido a Euclides demostrar que existen infinitos números primos, Dirichlet utilizó una función sofisticada que había aparecido en el circuito matemático por vez primera en tiempos de Euler: se llamaba función zeta, y se indicaba con la letra griega La siguiente ecuación suministró a Dirichlet la regla para calcular el valor de la función zeta según el valor de x :


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Para continuar su cálculo, Dirichlet tenía que efectuar tres pasos matemáticos. Primero, calcular los valores de las potencias 1 x , 2 x , 3 x , …, n x ,… A continuación, tomar los inversos de todos los números obtenidos en el primer paso (el inverso de 2x = 1/2x). Para terminar, sumar todos los resultados obtenidos en el segundo paso. Se trata de una receta complicada. El hecho de que cada número 1, 2, 3, El origen del interés de los matemáticos por esta suma infinita procedía de la música, y se remontaba a un descubrimiento realizado por los antiguos griegos. En realidad, Pitágoras había sido el primero en determinar el nexo fundamental que liga matemáticas y música. Había llenado de agua un recipiente y lo había percutido con un pequeño martillo para producir una nota. Al retirar la mitad del agua y percutir de nuevo el recipiente la nota había subido una octava. Cada vez que retiraba agua de manera que quedara un tercio, un cuarto, y así sucesivamente, las notas que se producían sonaban en su oído en armonía con la primera nota que había obtenido. Cualquier otra nota que se obtuviera retirando del recipiente una cantidad distinta de agua resultaba disonante con respecto a la nota original. Estas fracciones contenían una belleza que podía ser escuchada. La armonía que Pitágoras había descubierto en los números 1, 1/2, 1/3, 1/4,… lo indujo a creer que el universo entero estaba controlado por la música, y por esta razón acuñó la expresión «la música de las esferas». A partir del descubrimiento pitagórico de un nexo aritmético entre matemática y música, las características estéticas y físicas de las dos disciplinas siempre han estado próximas. En 1722, el compositor barroco francés Jean-Philippe Rameau escribió: «A pesar de toda la experiencia que yo pueda haber adquirido en la música por el hecho de haberme asociado a ella desde hace mucho tiempo, debo confesar que sólo con la ayuda de las matemáticas se han clarificado mis ideas». Euler intentó hacer de la teoría musical «una parte de las matemáticas y de deducir de forma ordenada, a partir de principios correctos, todo lo que pueda hacer placentera


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