PLĂCI ÎN STARE PLANĂ Func ţ ia ia lui Airy. Ecua ţ ia ia pl ăcii în stare plan ă
Dacă încărcările transversale sunt nule iar cele de membran ă nu duc la apari ţia săgeţilor w (placa nu-şi pierde stabilitatea), a doua ecua ţie a lui Kármán se verific ă identic iar prima ecua ţie devine ΔΔ F = = 0, unde (1) F = F ( x x, y) este func ţ ia = 0 se poate ob ţine direct din ecuaţiile pentru starea pan ă. ia de tensiuni a lui Airy. Ecuaţia biarmonică ΔΔ F = Neglijând for ţele volumice din ecua ţiile de echilibru ∂σ y ∂τ yx ∂σ x ∂τ xy + + X = 0 , + + Y = 0 , (2) ∂ x ∂y ∂ y ∂x ∂σ ∂τ ∂σ ∂τ ∂ A ∂ B ∂ A ∂B acestea se scriu sub forma − x = xy , y = − xy . Ele sunt satisf ăcute dacă σ x = − , σ y = =− , şi τ xy = ∂ x ∂y ∂ y ∂x ∂ y ∂ x ∂y ∂ x unde A = A( x x, y) şi B = B( x x, y). Luând A = − ∂F / ∂y şi B = ∂F / ∂x rezultă
∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F , σ = , τ = − . (3) xy y ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ x ∂y Pentru o distribu ţie dată de tensiuni, funcţia F ( x x, y) se defineşte cu aproxima ţia unei funcţii liniare în x şi y, care nu influenţează distribuţia dată. Dacă se ţine seama de for ţele masice, rela ţia (3)3 devine ∂ 2 F τ xy = − − Xy − Yx . (4) ∂ x ∂y Relaţiile (3) sunt (3) sunt valabile pentru orice mediu (elastic, plastic etc). Un mediu elastic izotrop, caracterizat de 2 constante σ x =
elastice independente din cele trei ( E , G, υ), deoarece G =
E
2 (1 + υ)
, are legea constitutiv ă
1 ⎛ ∂ 2 F ∂ 2 F ⎞ 1 1 ⎛ ∂ 2 F ∂ 2 F ⎞ 2(1 + υ) 2(1 + υ) ∂ 2 F τ xy = − , (5) ⎜⎜ 2 − υ 2 ⎟⎟ , ε y = (σ y − υσ x ) = ⎜⎜ 2 − υ 2 ⎟⎟ , γ xy = E E ⎝ ∂ y E E ⎝ ∂ x E E ∂ x∂y ∂y ⎠ ∂x ⎠ unde deformaţiile specifice se exprim ă în funcţie de deplas ări prin relaţiile lui Cauchy, ∂u ∂v ∂u ∂v ε x = , ε y = , γ xy = + . (6) ∂ y ∂ y ∂x ∂ x Prin eliminarea deplas ărilor din relaţiile lui Cauchy, se ob ţine relaţia de continuitate continuitate (compatibilitate) a deformaţiilor specifice ale pl ăcii (relaţia lui Saint-Vénant), 2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy + − =0 . (7) ∂ y 2 ∂x 2 ∂ x∂y Înlocuind (5) Înlocuind (5) în în (7), (7), se obţine ecuaţia ∂ 4 F ∂4 F ∂ 4 F 2 (8) + + = 0 ⇔ ΔΔ F = 0 , ∂ x 4 ∂x 2∂y 2 ∂y 4 unde ΔΔ este dublul operator al lui Laplace. Ecua ţia biarmonică (1) se (1) se numeşte ecuaţia diferenţială a pl ăcii în stare plană, sau a discului, sau a grinzii perete, sau a şaibei.
ε x =
1
(σ x − υσ y ) =
Condi ţ ii ii la limit ă
Pe conturul plăcii în stare plan ă pot fi aplicate înc ărcări (fig. 1) sau/şi deplasări. Când pe contur sunt aplicate înc ărcări, se spune c ă problema este cu condi ţii la limită mecanice sau naturale sau Neumann. Dac ă pe contur sunt impuse deplas ări, problema este cu condiţii la limită geometrice sau esen ţiale sau Dirichlet. Exist ă şi probleme cu condiţii la limită mixte. q y = hp y
)
B ( x x B, y B
σ x
d y α d s τ x d x
τ xy σ y
O
Fig. 1
dυ α d y q x = hp x d x
A ( x x A, y A)
x
STATICA STRUCTURILOR DE NAVE
2
Pentru plăci dreptunghiulare, impunerea condi ţiilor la limită mecanice este relativ simpl ă. Există însă şi plăci cu contur oarecare supuse la st ări plane de tensiune, cum sunt guseele, pl ăcile ovale sau/ şi cu decupări ovale etc. În astfel de cazuri, se utilizează ecuaţiile de echilibru pe contur l σ x + m τ xy = qx , l τ xy + mσ y = q y , exprimate cu ajutorul funcţiei Airy,
∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F − = , − + = q y . (9) m q l m ∂ x∂y x ∂ y∂x ∂ y 2 ∂ x 2 Considerând că la parcurgerea conturului ( A → B, fig. 1) placa r ămâne în stânga, se pot scrie rela ţiile ∂ y ∂x ∂ x ∂y = , m = sin α = − = , (10) l = cos α = ∂ s ∂υ ∂ s ∂υ astfel încât relaţiile (9) devin ∂ 2 F ∂y ∂ 2 F ∂x ∂ ∂F ∂ 2 F ∂ y ∂ 2 F ∂x ∂ ∂F + = = , − − = − =q . (11) q x ∂ y∂x ∂s ∂ x2 ∂s ∂s ∂x y ∂ y 2 ∂ s ∂y∂x ∂s ∂s ∂y Se consider ă c ă într-un punct oarecare A de pe contur sunt cunoscute func ţia lui Airy şi derivatele par ţiale ale acesteia: F A, (∂ F /∂ x) A , (∂ F /∂ y) A . Integrând relaţiile (11), pentru un punct curent B( x B, y B) se obţine ⎛ ∂ F ⎞ − ⎛ ∂F ⎞ = − q ds , ⎛ ∂ F ⎞ − ⎛ ∂F ⎞ = + q ds , (12) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫ y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫ x l
⎝ ∂ x ⎠ B ⎝ ∂x ⎠ A
AB
⎝ ∂ y ⎠ B ⎝ ∂y ⎠ A
AB
xB ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∂ F ⎛ ∂F ⎞ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ (13) F B − FA = ∫ ⎜ dx + dy ⎟ = ⎜ ⎟ ( xB − xA ) + ⎜ ⎟ ( yB − yA ) + ∫ ⎜ ∫ qx ds ⎟ dy − ∫ ⎜ ∫ qy ds ⎟ dx . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ x y x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A A ⎠ ⎠ A y A ⎝ A B x A ⎝ AB Rezultă că, prin trecerea de la punctul A la punctul B de pe contur, creşterile derivatelor par ţiale ale funcţiei F în raport cu x şi y sunt egale, cu aproximaţia unei constante, cu proiec ţiile pe axele (– y) respectiv x ale încărcării aplicată între A şi B (v. (12)), iar creşterea funcţiei F este egală, cu aproximaţia unei funcţii liniare aditive, cu momentul fa ţă de punctul B dat de toate încărcările aplicate între A şi B (v. (13)). Dacă torsorul for ţelor aplicate conturului este nul, la o parcurgere complet ă ( ABA), integralele din (12), (13) se anulează, ceea ce înseamn ă că în acest caz func ţia F şi derivatele par ţiale ale acesteia în raport cu x şi y sunt funcţii uniforme (au valori unice). Constantele din (12), (13) nu intervin în expresiile tensiunilor. Pentru domenii simplu conexe ele pot avea orice valoare, în particular zero. Pentru domenii multiplu conexe, aceste constante nu pot fi luate arbitrar pe toate contururile. Dac ă pe un contur se iau egale cu zero, pe celelalte contururi se determin ă din condiţia de unicitate a deplasărilor. Relaţiile (12) permit determinarea derivatei lui F după tangenta şi normala la contur, y B
B
∂ F ∂F ∂x ∂F ∂y ∂ F ∂F ∂x ∂F ∂y = + , = + . (14) ∂ s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂υ ∂ x ∂υ ∂y ∂υ Din ecuaţia biarmonică (8) şi condiţiile la limită (12), (13) rezultă teorema lui M . Levy, cu aplicaţii în analiza experimentală a tensiunilor: pentru pl ăci izotrope simplu conexe cu condi ţ ii la limit ă mecanice, func ţ ia tensiunilor nu depinde de constantele elastice. Această teoremă permite a se înlocui studiul tensiunilor în piese metalice cu studiul tensiunilor pe modele ale acestora, confec ţionate din materiale izotrope transparente – cu propriet ăţi optice speciale, sensibile la deforma ţii. Evident, deplasările sunt dependente de material. Pentru pl ăci multiplu conexe, teorema este valabil ă numai dacă pe fiecare contur torsorul încărcărilor este nul. Solu ţ ii analitice elementare ale ecua ţ iei biarmonice
Funcţia Airy poate fi exprimat ă prin polinoame algebrice, serii de puteri, polinoame trigonometrice etc. Un procedeu eficient este cel propus de Bernoulli-Kantorowich, în care solu ţia se consider ă de forma (15) F ( x, y ) = Fo ( x, y ) + ∑ n = 1,2,... Fn ( x , y ) , unde F o ( x, y) şi F n ( x, y) sunt produse de dou ă funcţii depinzând de câte o singur ă variabilă, F o ( x, y) = X o ( x) Y o ( y) , F n ( x, y) = X n( x) Y n( y) , n = 1, 2, … . O funcţie F n ce satisface ecua ţia (8) este o solu ţie particular ă a acestei ecua ţii. Introducând (17) în (8), rezultă ''''
X n Yn
''
''
''''
+ 2 X n Yn + X n Y n = 0 , sau
X n'''' X n
+2
X n'' Yn'' X nYn
+
Y n'''' Y n
=0 .
Prin derivarea expresiei (18) în raport cu y, se obţine ' ' ' ⎛ Yn'''' ⎞ X n'' ⎛ Yn'' ⎞ ⎛ Y n'''' ⎞ X n'' 1 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 0 sau F2 ( y ) ≡ ⎜ ⎟ '' = − 2 ≡ F1 ( x) = 2α 2n , ' X n ⎝ Yn ⎠ ⎝ Y n ⎠ Y X n ⎝ n ⎠ (Yn / Y n ) 2 unde valoarea comun ă 2 αn a funcţiilor F 1 ( x), F 2 ( y) nu poate fi decât o constantă. Rezultă '' 2 '' 2 '''' 4 X n + α n X n = 0 ⇔ X n = −α n X → X n = αn X n , [αn] = [ L – 1] . • Dacă αn ≠ 0, ecuaţia diferenţială (20)1 are soluţia X n = Gn sin αn x + H n cos αn x . '''' Substituind (20)2,3 în (18), se obţine Yn − 2α 2n Yn'' + α 4nY n = 0 .
(16) (17) (18)
(19) (20) (21) (22)
Pl ăci în stare plană. Fâ şia adi ţ ional ă
3
Ecuaţia (22) are soluţia Y n = An ch αn y + Bn sh αn y + αn y (C n ch αn y + Dn sh αn y) ,
(23)
astfel încât din (17), (21), (23) se obţine (24) F n ( x, y) = (Gn sin αn x + H n cos αn x)[ An ch α n y +Bn sh αn y + αn y (C n ch αn y + Dn sh αn y)] . '' '''' '''' • Pentru αn = 0, X o = 0 şi X o = 0 (v. (20)2) iar din (18) rezultă Y o = 0 . În consecinţă X o = Go + H o x ; Y o = Ao + Bo y + C o y 2 + Do y 3 , adică 2 3 (25) F o ( x, y) = (Go + H o x) ( Ao + Bo y + C o y + Do y ) . Înlocuind (24) şi (25) în (15), se obţine F = ( Go + H o x)( Ao+ Bo y + Co y 2 + Do y 3 )+ ∑ (Gn sin αn x + H n cos αn x ) × [ An cosh αn y + Bn sinh αn y + αn y (Cn cosh αn y+ Dn sinh αn y )] . (26) n
Dacă se deriveaz ă (18) în raport cu x, rezultă soluţii identice cu cele ob ţinute mai sus, în care x şi y şi-ar inversa locurile, ceea ce este echivalent cu rotirea sistemului de axe cu 90 o. Solu ţ ii în polinoame
Soluţia care rezultă prin reţinerea în numai a termenilor polinomiali până la gradul 3 în x sau în y şi până la gradul 4 în x şi y (f ăr ă termenul x2 y2) a fost propusă de Ménagé, (27) F ( x, y ) = (Go1+ H o1x )( Ao1+ Bo1 y + C o1 y 2+ Do1 y 3 ) + (G o2 + H o2 y )( Ao2 + B o2x + C o2 x 2+ D o2x 3 ) . În general, soluţiile în polinoame au forma F ( x, y) = P m( x) P n( y). Este evident că ele trebuie s ă satisfacă ecuaţia biarmonică ΔΔ F = 0. Coeficien ţii polinomului-soluţie se obţin din condiţiile la limită. Dacă funcţia F este polinomială de grad ≥ 4 (f ăr ă nici o restricţie), se stabilesc anumite rela ţii între coeficienţii acesteia din condi ţia de biarmonicitate. Aplica ţ ii q y
σ
σ b
σ
q x
a
τ y
τ x
q x
σ gros.
x
q xy q y
Fig. 2 • Pentru placa dreptunghiular ă de grosime h, solicitată uniform la întindere/compresiune pe direcţiile x şi y de sarcinile q x respectiv q y 〈 N / m〉 şi la forfecare pur ă de sarcina q, aşa cum se arat ă în figura 2, a, funcţia lui Airy care satisface ecua ţia biarmonică ΔΔ F = 0 şi condiţiile la limită pe orice element al conturului este F ( x, y ) = q x
y 2
x2
+ qy
− q xy
xy
. (28) h 2h 2h • Luând axa x pe axa de simetrie a unei pl ăci dreptunghiulare (fig. 2, b) încovoiate în planul ei de momentul încovoietor 3
M , funcţia lui Airy are expresia F ( x, y ) = 2
⎛ y ⎞ , după cum se verific ă uşor folosind relaţiile (3) : ⎜ ⎟ h ⎝b⎠ 12 y 6 σ y = τ xy = 0, σ x = ; σ x max = 2 . 3 hb
q x (0, b/2) = hσ x max
σ x max
(29)
a
σ x
σ x
q x
hb
b
q x
gros. z
z
Fig. 3 Momentele M z trebuie aplicate pl ăcii pe laturile x = 0, a prin încărcări cu aceeaşi lege de variaţie ca şi σ x, adică q x = σ x h. Pentru aceste încărcări, rezultanta şi momentul rezultant fa ţă de mijlocul laturii sunt +b / 2
∫− / 2 b
q x ( y ) dy
=0 ,
+b / 2
∫− / 2 q ( y) y dy = M b
x
.
z
• Să se determine condi ţiile la limită mecanice (încărcările) pentru o placă dreptunghiular ă de grosime h, corespunzătoare funcţiei lui Airy având expresia
(30)
STATICA STRUCTURILOR DE NAVE
4
F ( x, y ) = 2Q
a−x⎛ y⎞ h
3
xy
⎜ b ⎟ + 1,5Q bh . ⎝ ⎠
(31)
a hσ x max
q x
gros.
Q b
τ x σ x
σ x
M z
Q hτ xymax Fig. 4
Tensiunile şi valorile acestora pe contur au expresiile (v. (3)) : ∂ 2 F ( x, y ) ∂ 2 F ( x, y) 12Q σ y = = 0 ; σ = = 3 (a − x) y , x ∂ x 2 hb ∂ y 2
σ x (a, y ) = 0 , σ x (0, y ) =
Qa I z
y
=
z y
I z
(32)
, σ x max/min = σ x (0, ±b / 2) =
Qab
2 I z
y
;
(33)
∂ 2 F ( x, y ) 3Q 3Q⎛ Qy 2 y2 ⎞ 3Q 1 4 , , τ xy (∓b / 2) = 0 . (34) =− +6 3 = − − τ = − ⎜⎜ ⎟ max xy ∂ x∂y 2 hb 2 hb ⎝ 2 hb hb b 2 ⎟⎠ Ţinând seama de aceste expresii, în fig. 4 sunt prezentate înc ărcările aplicate pe contur (condiţiile la limită mecanice). τ xy = −
Solu ţ ii în serii trigonometrice
Pentru rezolvarea plăcilor dreptunghiulare la care τ xy = 0 şi u = 0 pe laturi le x = 0, x = a, Ribière a propus (1898) soluţia în cosinusuri de x, adică a considerat Gn = 0 în seria (26), (35) F =∑ [ An cosh α n y + Bnsinh α n y + α n y (Cn cosh α n y + Dnsinh αn y ) cos α n x] . n
În 1903 Filon a propus soluţia în sinusuri de x (considerând H n = 0 în seria (26)) pentru plăci dreptunghiulare la care σ x = 0 şi v = 0 pe laturile x = 0 şi x = a, (36) F =∑ [ An cosh α n y + Bnsinh α n y + α n y (Cn cosh α n y + Dnsinh α n y ) sin α n x] . n
Pentru a fi îndeplinite condiţiile mecanice impuse la x = a în soluţiile Ribière (τ xy = 0) şi Filon (σ x = 0), este necesar ca sin αn a = 0, de unde rezultă αn = nπ / a , n = 1, 2, ... . În tabelul 1 sunt prezentate ca structur ă funcţiile cu ajutorul cărora se obţin tensiunile σ x, σ y, τ xy, deformaţiile specifice ε x , ε x , γ xy şi deplasările u, v în soluţiile Ribière şi Filon. Condiţiile la limită în tensiuni şi deplasări, realizate automat în solu ţiile Ribière/Filon pe laturile x = 0/a, corespund legăturilor din fig. 5. Tabel 1 Forma funcţiei în soluţia Ribière Forma funcţiei în soluţia Filon
∑ g ( y) cos α x ∑ g1 ( y) cos α x ∑ g 2 ( y) cos α x ∑ g3 ( y) sin α x ∑ g 4 ( y) cos α x ∑ g5 ( y) cos α x ∑ g6 ( y) sin α x ∑ g7 ( y) sin α x ∑ g8 ( y) cos α x
F
σ x σ y τ xy ε x ε y γ xy u v
σ x v
τ xy u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a b x
∑ f ( y) sin α x ∑ f1 ( y) sin α x ∑ f 2 ( y) sin α x ∑ f3 ( y) cos α x ∑ f 4 ( y) sin α x ∑ f5 ( y) sin α x ∑ f6 ( y) cos α x ∑ f7 ( y) cos α x ∑ f8 ( y) sin α x τ xy u = 0 σ x v
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a b x
Fig. 5 Constantele An, Bn, C n, Dn se obţin din condiţiile la limită pe laturile y = 0, b. Acestea pot fi mecanice sau/şi geometrice. Condi ţ ii la limit ă mecanice (v. fig. 6 şi tabel 1)
Pl ăci în stare plană. Fâ şia adi ţ ional ă – În soluţia Ribière: ∑ n g 2n (0) cos αn x = −q 1 y ( x) ,
∑ g 2 (b) cos α x = q 2 n
n
n
y
n
f 2 n (b) sin α n x = q2 y ( x )
,
n
n
n
∑ g3 (b) sin α x = q 2
( x) ,
n
n
– În soluţia Filon: ∑ n f 2n (0)sin αn x = −q 1 y ( x) ,
∑
∑ g3 (0) sin α x = −q 1 n
xy
xy
( x ) ;
(37)
( x ) .
(38)
∑ f3 (0 cos α x = −q 1 ( x) ; ∑ f3 (b) cos α x = q 2 ( x) . n
n
n
n
n
n
5
(39)
xy
(40)
xy
Condi ţ ii la limit ă geometrice
– În soluţia Ribière: ∑ n g7n (0)sin αn x = u1 ( x) ,
∑ g7
(b) sin α n x = u2 ( x ) , – În soluţia Filon: ∑ n f7n (0)cos αn x = u1 ( x) , n
∑
n
n
f 7 n (0) cos α n x = u2 ( x )
,
∑ g8 (0) cos α x = v1 ( x ) ∑ g8 (b) cos α x = v2 (x)
;
∑ f8 (0) sin α x = v1 ( x ) ∑ f8 (b) sin α x = v2 ( x)
;
n
n
n
n
n
;
n
n
n
n
n
n
n
(41) (42) (43)
;
(44) q2 y
q2 xy
a Condi ţ ii Ribière sau Filon
b
Condi ţ ii Ribière sau Filon
q1 y
x
q1 xy
Fig. 6 În probleme concrete, se dezvoltă în serii trigonometrice funcţiile deplasări impuse u1 ( x) = 0 , v1 ( x) = 0 , u2 ( x) = 0 , şi încărcările q1 y( x), q1 xy( x), q2 y( x), q2 xy( x), obţinându-se sisteme de ecua ţii algebrice cu necunoscutele An , Bn , C n , Dn .
v2 ( x) = 0
Fâşia adi ţ ional ă a grinzilor cu platbande late
Frecvent se întâlnesc structuri tip grindă, realizate prin sudur ă dintr-o inimă şi două platbande a căror lăţime nu este cu mult mai mică faţă de lungime, aşa cum se întâmpl ă la bare obi şnuite – de exemplu la profile laminate standardizate. În diverse tipuri de analize, astfel de structuri pot fi modelate ca sisteme de plăci sau ca grinzi cu platbande late, în ultimul caz fiind necesar ca în calculul caracteristicilor geometrice ale sec ţiunilor transversale să se înlocuiască lăţimile reale ale platbandelor cu lăţimi fictive, mai mici decât cele reale. Aceste corec ţii sunt impuse de faptul c ă distribuţia de tensiuni în platbandele grinzii diferită de formula Navier, aplicabilă la bare obişnuite şi obţinută pe baza ipotezei lui Bernoulli. Se consider ă grinda din figura 7, a. După cum se ştie, încărcările transversale q sunt preluate aproape exclusiv de inimă. Antrenarea platbandelor în procesul de încovoiere a grinzii se face prin tensiuni tangen ţiale de lunecare – transmise platbandelor de către inimă prin cordoanele de sudur ă. Produsul dintre aceste tensiuni şi grosimea platbandelor, numite fluxuri, sunt notate cu q1 respectiv q2 (v. fig. 7, b). Tensiunile normale σ x care apar în platbande (de compresiune în platbanda superioar ă şi de întindere în cea inferioar ă) sunt variabile pe l ăţimea acestora, datorit ă "r ămânerii în urmă" a deplasărilor axiale pe măsura depărtării de inimă. În literatur ă, fenomenul este cunoscut sub denumirea " shear lag ". Dată fiind reducerea continu ă a tensiunilor normale pe m ăsura depărtării de inimă, fenomenul se mai nume şte "relaxarea tensiunilor". Pentru a face aplicabil ă formula lui Navier şi la grinzi cu platbande late, s-a introdus no ţiunea de l ăţ ime sau fâ şie adi ţ ional ă. Observa ţ ie. Fenomenul de relaxare apare şi atunci când un profil oarecare este sudat p e o tablă. În acest caz, caracteristicile geometrice se calculeaz ă adăugând la secţiunea profilului secţiunea corespunzătoare fâşiei adiţionale de tablă. Fâşia adiţională ba este o l ăţime fictivă, care în presupunerea c ă tensiunile normale sunt constante pe l ăţime şi egale cu valoarea maximă a tensiunilor reale din sec ţiunea respectivă, preia aceeaşi for ţă axială ca şi fâşia reală. Conform definiţiei, σmaxba h = h ∫b σ x ( y ) dy (fig. 7, c), de unde rezultă ba
= ψb =
∫ σ ( y) dy b
x
σmax
,
(45)
în care s-a notat cu ψ = ba /b coeficientul de reducere a lăţimii platbandei. Distribuţia pe lăţimea platbandei a tensiunilor σ x ( y) se obţine prin metodele teoriei plăcilor în stare plană de tensiune; ţinând seama de condi ţiile la limită specifice fiec ărei probleme, se analizeaz ă separat platbandele P 1 şi P 2 precum şi inima W (wall), sub acţiunea (v. fig. 7, b) fluxurilor autoechilibrate q 1 în platbanda P 1 , fluxurilor autoechilibrate q 2 în platbanda P 2 şi sarcinii transversale q (împreună cu reacţiunile care o echilibrează) şi fluxurilor autoechilibrate q1, q2 aplicate inimii. Fluxurile necunoscute q1 , q2 se obţin din condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor specifice – impuse pe " liniile" de îmbinare a platbandelor cu inima (v. fig. 7, b):
STATICA STRUCTURILOR DE NAVE
6 ( P )
ε x 1
x , y = 0
= ε x(inimă )
x , y = h
, ε x( P 2 )
x , y = 0
= ε x(inimă )
x , y = 0
.
(46)
După determinarea fluxurilor q1 şi q2 , se pot obţine tensiunile reale σ x în platbande şi apoi se determin ă ba . Distribuţia reală a tensiunilor
q
Distribuţia tensiunilor după Navier
P 1
a)
l P 2
q1 b/2
x
Platbanda
h
q b)
ql /2
σmax
σ x ( y)
q1
b
Inima grinzii cu platbande late h
ql /2
c)
q2
σmax
x q2 b/2
ba
h
Platbanda
Fig. 7 Calculele au ar ătat că principalii factori ce influen ţează coeficientul de reducere ψ sunt raportul l / b şi condiţiile de rezemare ale grinzii la capete ( x = 0, x = l ). El este însă influenţat şi de condiţiile la limită pe marginile longitudinale ale platbandelor precum şi de tipul încărcării grinzii cu tălpi late ; pentru un raport l / b dat, ψ descreşte cu creşterea neuniformităţii încărcării exterioare. Într-o măsur ă mai mică, ψ este influenţat şi de raportul dintre aria sec ţiunii transversale a inimii şi cea a platbandei. Calitativ, varia ţia cu l / b a coeficientului de reducere ψ este reprezentată grafic în 8. Distribuţia de tensiuni în platbande şi coeficientul de reducere ψ sunt influenţate desigur de prezen ţa unor decupări în inimă. Registrele navale consider ă de obicei liniar ă variaţia lui ψ cu l / b până la valoarea = 1 / αo , iar pentru l / b > αo , se consider ă ψ = 1, unde raportul de referin ţă αo = bo / l are valorile : αo = 1 / 3 , pentru grinzi simplu rezemate la capete ; αo = 1 / 6…1 / 8 , pentru grinzi încastrate la capete . Se foloseşte deci relaţia ψ = min (1 , α o l / b ) . (47)
ψ ψ=1
ψ = αo l / b
1 uniformitate a l / b < 1 / αo
l / bo = 1 / αo
Fig. 8
l / b > 1 / αo
l / b
