SISTEM K SISTEM KOORDINAT OORDINAT VEKTOR VEKTOR A. Vektor ktor pad pada a Bida Bidang ng Bentuk Komponen Suatu Vektor Vektor Banyak kuantitas dalam geometri dan fisika, seperti luas, volume, suhu, massa, dan waktu, dapat dikarakteristikkan sebagai suatu bilangan real tunggal yang diskalakan terhadap satuan ukuran yang tepat. Kuantitas-kuantitas tersebut dinamakan kuantitas skalar , dan bilangan real yang berasosiasi dengan kuantitas tersebut dinamakan skalar .
Kuantitas-kuantitas lain, seperti gaya, kecepatan, dan percepatan, melibatkan nilai dan arah dan tidak dapat dikarakteristikkan hanya dengan suatu bilangan real tunggal. Ruas garis berara digunakan untuk merepresentasikan kuantitas semacam itu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. uas garis berarah PQ berarah PQ memiliki memiliki titik pangkal P dan dan titik u!ung Q, dan pan!angn"a !atau besarn"a" dinotasikan sebagai ## PQ##. PQ##. uas-ruas garis berarah yang memiliki panjang dan arah sama dikatakan ekuivalen, seperti yang ditunjukkan Gambar $. %impunan semua ruas garis berarah yang ekuivalen dengan ruas garis yang diberikan, diberikan, PQ, PQ, merupakan suatu vektor pada bidang dan dinotasikan sebagai
&alam pengetikan, vektor biasanya ditulis dalam huruf kecil dan tebal seperti u, #, dan $. Ketika ditulis tangan, vektor biasanya ditulis sebagai huruf kecil dengan tanda panah di atasnya. 'astikan kita memahami bahwa suatu vektor merepresentasikan himpunan ruas-ruas himpunan ruas-ruas garis berarah !masing-masing memiliki panjang dan arah yang sama". (kan tetapi dalam prakteknya, prakteknya, biasanya tidak dibedakan antara suatu vektor dan satu ruas garis berarah representasinya. %onto &' Representasi Vektor' Ruas(ruas )aris Berara
)isal # merepresentasikan ruas garis berarah dari !*, *" ke !+, $", dan misalkan u merepresentasikan ruas garis berarah dari !1, $" ke !, ". unjukkan bahwa u dan # ekuivalen. )isalkan P !*, !*, *" dan Q!+, $" menjadi titik pangkal dan titik ujung #, dan misalkan *embaasan )isalkan P R!1, R!1, $" dan S !, !, " menjadi titik pangkal dan titik ujung u, seperti yang ditunjukkan Gambar +.
Kita dapat menggunakan umus arak untuk menentukan panjang PQ dan RS memiliki panjang yang sama.
Kedua segmen tersebut memiliki arah yang sama, karena kedua garis tersebut mengarah ke kanan atas pada garis-garis yang memiliki gradien sama.
dan
Karena ruas garis berarah PQ dan RS memiliki panjang dan arah sama, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua vektor tersebut ekuivalen. /aitu, # dan u ekuivalen.
Operasi(operasi Vektor De+inisi ,umla Vektor dan *erkalian Skalar
)isalkan u 0 u1, u$2 dan # 0 v1, v$2 adalah vektor-vektor dan misalkan c adalah skalar. 1. umlah vektor u dan # adalah vektor
$. 'erkalian skalar c dan u adalah vektor
+. 3egatif # adalah vektor
. 4elisih u dan # adalah vektor
4ecara geometris, perkalian skalar dari vektor # dan skalar c adalah vektor yang panjangnya #c# kali dari vektor #, seperti yang ditunjukkan Gambar 5. ika c positif, maka c# memiliki arah yang sama dengan #. ika c negatif, maka c# memiliki arah yang berlawanan.
umlah dua vektor dapat direpresentasikan secara geometris dengan meletakkan vektor-vektor !dengan tidak mengubah besar dan arahnya" sedemikian sehingga titik pangkal satu vektor bertemu dengan titik ujung vektor lainnya, seperti yang ditunjukkan Gambar 6. 7ektor u 8 # disebut #ektor resultan , merupakan diagonal jajar genjang yang memiliki u dan # sebagai sisisisi yang berurutan.
Gambar 9 di bawah menunjukkan kesetaraan definisi geometris dan definisi aljabar dari penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan menampilkan interpretasi geometris dari u : #.
%onto -' Operasi(operasi Vektor
;ntuk # 0 :$, <2 dan $ 0 +, 2, tentukan vektor-vektor = #, $ : #, dan # 8 $$. *embaasan 7ektor-vektor = #, $ : #, dan # 8 $$ dapat ditentukan sebagai berikut.
Vektor(#ektor Satuan Baku 7ektor-vektor satuan 1, *2 dan *, 12 disebut vektor-vektor satuan baku pada bidang dan dinotasikan dengan
seperti yang ditunjukkan Gambar 1*. 7ektor-vektor ini dapat digunakan untuk merepresentasikan sembarang vektor secara unik, seperti berikut.
7ektor # 0 v1i 8 v$ ! disebut sebagai kombinasi linear i dan !. 4kalar-skalar v1 dan v$ disebut komponen(komponen oriontal dan #ertikal # .
%onto /' Menuliskan Kombinasi 0inear dari Vektor(#ektor Satuan
)isalkan u adalah vektor yang memiliki titik pangkal !$, :<" dan titik ujung !:1, +", dan misalkan # 0 $i : !. uliskan vektor-vektor u dan $ 0 $u : +# sebagai kombinasi linear dari i dan !. *embaasan )asing-masing vektor u dan # dapat dituliskan ke dalam kombinasi linear i dan ! sebagai berikut.
ika u adalah vektor satuan dan > adalah sudut !yang diukur berlawanan arah jarum jam" dari sumbu- x positif ke u, maka titik ujung u terletak pada lingkaran satuan, dan kita mendapatkan
seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 11. ?ebih lanjut, untuk sembarang vektor tidak nol # yang memiliki sudut > terhadap sumbu- x positif yang searah dengan u, kita dapat menuliskannya menjadi
%onto 1' Menuliskan Vektor Berdasarkan Besar dan Ara "ang Diberikan
7ektor # memiliki besar + dan membuat sudut +*@ 0 A5 dengan sumbu- x positif. uliskan # sebagai kombinasi linear vektor-vektor satuan i dan !. *embaasan Karena sudut antara # dan sumbu- x positif adalah > 0 A5, maka kita dapat menuliskan
B. Koordinat Ruang dan Vektor dalam Ruang Koordinat dalam Ruang )ungkin sampai saat ini, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. (kan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi.
4ebelum memperluas konsep vektor ke dalam tiga dimensi, kita harus mampu untuk mengidentifikasi titik-titik dalam sistem koordinat tiga dimensi . Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu- z yang memotong tegak lurus sumbu- x dan sumbu- z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. ika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat C bidang( xy, bidang( xz , dan bidang( yz . Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Dktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. &alam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan ! x, y, z ", dimana x, y, dan z dijelaskan sebagai berikut.
•
x 0 jarak langsung dari bidang- yz ke P y 0 jarak langsung dari bidang- xz ke P
•
z 0 jarak langsung dari bidang- xy ke P
•
Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar $ berikut.
4istem koordinat tiga dimensi dapat berorientasi tangan kanan atau tangan kiri. ;ntuk menentukan orientasi sistem tersebut, bayangkan kita berdiri pada titik asal, dengan kedua tangan menunjuk ke sumbu- x positif dan sumbu- y positif, dan sumbu- z menunjuk ke atas, seperti yang ditunjukkan Gambar +. (pakah sistem tersebut berorientasi tangan kanan atau tangan kiri bergantung pada tangan mana yang menunjuk sumbu- x. 'ada pembahasan ini, kita akan menggunakan sistem yang berorientasi tangan kanan.
Banyak rumus-rumus yang diperoleh dari koordinat dua dimensi dapat diperluas ke tiga dimensi. 4ebagai contoh, untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat menggunakan eorema 'ythagoras dua kali, seperti yang ditunjukkan Gambar . &engan melakukan ini, kita akan memperoleh rumus jarak antara dua titik ! x1, y1, z 1" dan ! x$, y$, z $".
Vektor dalam Ruang &alam ruang, vektor dinotasikan dengan tripel berurutan # 0 v1, v$, v+2. 7ektor nol dinotasikan dengan 2 0 *, *, *2. &engan menggunakan vektor-vektor satuan
notasi #ektor satuan baku untuk # adalah
seperti yang ditunjukkan Gambar 5 berikut.
ika # direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P ! p1, p$, p+" ke Q!q1, q$, q+", seperti yang ditunjukkan Gambar 6, maka bentuk komponen # dituliskan dengan mengurangkan koordinat titik ujung dengan koordinat titik pangkal, sebagai berikut.
Vektor dalam Ruang
)isalkan u 0 u1, u$, u+2 dan # 0 v1, v$, v+2 adalah vektor-vektor dalam ruang dan misalkan c adalah skalar. 1. Kesamaan Vektor: u 0 # jika dan hanya jika u1 0 v1, u$ 0 v$, dan u+ 0 v+. $. Bentuk Komponen: ika # direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P ! p1, p$, p+" ke Q!q1, q$, q+", maka
+. Panjang:
. Vektor Satuan daam !rah #:
<. Penjumahan vektor: # 8 u 0 v1 8 u1, v$ 8 u$, v+ 8 u+2 5. Perkaian Skaar: c# 0 cv1, cv$, cv+2
'erlu kita catat bahwa sifat-sifat operasi vektor pada bidang juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang. %onto -' Menentukan Bentuk Komponen Suatu Vektor dalam Ruang.
entukan bentuk komponen dan besar vektor #, yang memiliki titik pangkal !:$, +, 1" dan titik ujung !*, :, ". Kemudian tentukan vektor satuan dalam arah #. *embaasan Bentuk komponen dari # adalah
yang memiliki besar
7ektor satuan dalam arah # adalah
De+inisi Vektor(#ektor Se!a!ar
&ua vektor tidak nol u dan # sejajar jika ada skalar c sedemikian sehingga u 0 c#.
%onto 3' Vektor(#ektor Se!a!ar
7ektor $ memiliki titik pangkal !$, :1, +" dan titik ujung !:, 6, <". )anakah dari vektor-vektor berikut yang sejajar dengan $E
1. 2.
u 0 +, :, :12 # 0 1$, :15, 2
*embaasan 'ertama, kita tulis $ dalam bentuk komponen
1. Karena u 0 +, :, :12 0 :=:5, 9, $2 0 := $, kita dapat menyimpulkan bahwa u sejajar dengan $. $. &alam kasus ini, kita akan menentukan skalar c sedemikian sehingga ;ntuk menentukan c, kita selesaikan persamaan yang melibatkan komponen-komponen yang bersesuaian.
'erhatikan bahwa kita menghasilkan c 0 :$ untuk dua komponen pertama dan c 0 $ untuk komponen ketiga. %al ini berarti bahwa kesamaan 1$, :15, 2 0 c:5, 9, $2 tidak memiliki solusi, sehingga kedua vektor tersebut tidak sejajar. %onto /' Menggunakan Vektor untuk Menentukan Titik(titik Kolinear
entukan apakah titik-titik P !1, :$, +", Q!$, 1, *", dan R!, 6, :5" kolinear. *embaasan Bentuk komponen vektor PQ dan PR adalah
dan
Kedua vektor ini memiliki titik pangkal yang sama. 4ehingga, P , Q, dan R terletak pada garis yang sama jika dan hanya jika vektor-vektor PQ dan PR sejajar. Dleh karena itu kita dapat menyimpulkan bahwa ketiga titik tersebut kolinear karena PR 0 + PQ, seperti yang ditunjukkan Gambar F.
%onto 1' Notasi Vektor Satuan Baku
1. ulis vektor # 0 i :
1. Karena ! tidak ada, maka komponennya adalah * dan $. Kita perlu untuk menemukan Q!q1, q$, q+" sedemikian sehingga
ni mengakibatkan bahwa q1 : !:$" 0 6, q$ : + 0 :1, dan q+ : < 0 +. 4olusi ketiga persamaan tersebut adalah q1 0 <, q$ 0 $, dan q+ 0 9. 4ehingga, Q adalah !<, $, 9". +. 'erhatikan bahwa v1 0 :5, v$ 0 $, dan v+ 0 :+. 4ehingga, besar # adalah
7ektor satuan dalam arah # adalah
%onto 4' Mengukur )a"a
4uatu kamera televisi memiliki berat 9 kg disangga oleh tripod, seperti yang ditunjukkan Gambar 1*. epresentasikan gaya yang dihasilkan oleh masing-masing kaki tripod sebagai vektor.
*embaasan )isalkan 51, 5$, dan 5+ merepresentasikan gaya yang dihasilkan oleh masingmasing kaki tripod. Berdasarkan Gambar 1*, kita dapat menentukan arah 51, 5$, dan 5+ sebagai berikut.
Karena masing-masing kaki memiliki panjang yang sama, dan total gaya didistribusikan secara sama pada ketiga kaki tripod, kita tahu bahwa ## 51## 0 ##5$## 0 ##5+##. 4ehingga, terdapat konstanta c sedemikian sehingga
)isalkan total gaya yang dihasilkan oleh obyek adalah 5 0 *, *, :92. )aka dengan menggunakan fakta bahwa
kita dapat menyimpulkan bahwa H1, H$, dan H+ semuanya memiliki komponen vertikal :15. ni mengakibatkan bahwa c!:" 0 :15 dan c 0 . 4ehingga, gaya-gaya yang dihasilkan pada masingmasing kaki tripod dapat direpresentasikan dengan
