Kocic_Matematika i Estetika, NKC 2003

Ljubiša Kocić

MATEMATIKA I ESTETIKA

NKC NIŠ, 2003

Biblioteka JEDAN SVET GLAVNI I ODGOVORNI UREDNIK Stevan Bošnjak

UREĐIVAČKI ODBOR Ljubiša Kocić Verica Novakov Ognjen Radović Ljiljana Jevtić Zoran Pešić Sigma Stevan Bošnjak

SADRŽAJ Uvod

7

Matematička istraživanja u estetici

13

Skriveni broj: egzegeza transcedentnog

55

Ponoćne refleksije o simetriji

71

Komentari na Peri Elikon

87

Ortogonalnost – kognitivno estetska funkcija

147

Umetnički elementi u fraktalnim konstrukcijama

179

UVOD U LEPO I RACIONALNO

S

aznanje je magičan proces iz nekoliko razloga. Onaj koji saznaje ima doživljaj otkrovenja. Onaj od koga saznanje potiče, dobija trajni oreol intelektualnog autoriteta dok predmet saznanja podjednako koristi i jednom i drugom. Ipak, najviše dobija ljudska zajednica budući da se jednom započeti proces lančano nastavlja u oba smera. Jer, učenik teži da postane učitelj a učitelj, opet, da bude učenik nekog još boljeg učitelja. Ovaj lanac ništa ne prekida. Ništa, osim lepote.

Ako se u saznanju naiđe na lepotu saznajni proces postaje ozbiljno ugrožen. Zbog čega? Zbog toga što se lepota ne da saznati. A to zato jer je lepota sastavljena od materije koja nije od iste vrste kao što su, na primer, zakoni Fizike. No, i to da se lepota ne saznaje, i to je saznanje. Naš duh je beskrajno fina mešavina racionalnog i iracionalnog. Svrsishodna i koncentrisana iracionalnost je neophodna za postojanje mitologije i, simetrično tome, svrsishodna i koncentrisana racionalnost vodi nauci. Mit i nauka (koja se sve oštrije izdvaja iz filozofije) dva su pola ljudskog intelekta. I mit i nauka traže svoje sublimne izraze. Tako se mit izražava kroz Umetnost a nauka kroz Matematiku. Umetnost je Lepota, Matematika je Logika. Ali nužno, u Logici takođe ima Lepote kao što u Lepoti ima Logike. One se, ustvari, ne mogu potpuno razdvojiti, kao što se ni Nebo i Zemlja ne mogu potpuno razdvojiti. Tako se ta dva, prividno

7

suprotna pola, spajaju u harmonični dualizam lepo-logično. Najveći umetnici su vrhunski logični kao što su i najveći naučnici prevashodno ljubitelji Lepog. U Srednjem veku gotovo potpuno zaboravljena Euklidova geometrija je vaskrsla iz tame kada su renesansni umetnici počeli njeno sistematsko proučavanje zbog primene u perspektivi. Na taj način je Umetnost čuvala Matematiku koja je u samom svom središtu imala Umetnost za inspiraciju i tako u beskraj. Kada je civilizacijska svest jednom stavila Matematiku i Umetnost jednu kraj druge, pokazalo se da su prožimanja mnogo dublja i temeljnija nego što se u početku i slutilo. Geometrijske proporcije doprinose estetskom doživljaju. Krug je lepa geometrijska figura. Sonet je cikličan. Matematički grafovi su obojeni dok se muzički komadi oslanjaju na ornamentalnu kombinatoriku. Klasični hramovi i građevine sadrže kanon Zlatnog preseka koji je sažet u jednom iracionalnom broju sa najjednostavnijim neprekidnim razvojem. Pozorišni komadi imaju svoju numeriku koja se ogleda u prebrojavanju konfiguracija diskretnih topoloških struktura. Slikarstvo se koristi iterativnim preslikavanjima i računarskom grafikom, dok stroge matematičke teorije traže ilustraciju u Haiku poeziji. Broj π se pojavljuje u Bibliji a ortogonalnost u lingvistici i antropologiji. Dezeni tradicionalne japanske kimono svile sadrže matrice koje se pojavljuju u Teoriji haosa, a u tlocrtu Katedrale u Šartru (Chartres, Francuska) otkriven je šifrirani muzički zapis skriven u odnosima rastojanja nosećih stubova od dve fokusne tačke u osi glavnog broda Katedrale.

8

Muzički zapis u Katedrali u Šartru

Svakidašnji dokaz prožimanja Umetnosti i Matematike je sve veća zavisnost Umetnosti od Tehnologije i obratno, proizvodi Tehnologije ne mogu se prodavati ukoliko nisu oplemenjeni umetničkim dizajnom. Oblik karoserije automobila prati poslednja ostvarenja savremene skulpture a kist starih majstora zamenjen je računarskom grafikom. Kada je na prelasku iz XIX u XX vek došlo do eksplozije umetničkih pravaca i raznih „-izama“ bilo je jasno da je Umetnost kontaminirana hiper-analitičnošću specijalnih nauka. Jer, Umetnost u Periklovoj Atini se malo razlikovala od Umetnosti u Robespjerovom Parizu. Prodor je došao kasnije, kada se Estetika osetila ugroženom od naizgled superiornije Logike odenute u ruho prividnog tehnološkog napretka. Kakva zabluda! Kada su u XX veku planuli veliki ratovi, bilo je već kasno. Fatalna greška je bila načinjena. Nazad se nije moglo, napred takođe.

9

Ova knjiga nudi jedno rešenje. Ništa revolucionarno. Pre iskreno. To rešenje se zasniva na ubeđenju autora da je moguća nova Renesansa i nova velika integracija Umetnosti. Kako? Možda treba početi sa jednim iskrenim priznanjem da Umetnost ne može bez Matematike a Matematika bez Umetnosti. Taj se brak više ne može razvenčati. Zatim, moguće je, treba osloboditi umetnike straha od Logike, straha koji stvara nezdravu zavisnost, kao i logičare, straha od Lepog. Umesto straha i zavisnosti, neka Logičari proučavaju Umetnost a umetnici Logiku. Kao u drevnoj Heladi. Za to

Đorđo Morandi: Mrtva priroda (1919)

10

nije potreban čak ni veliki napor. Samo odustajanje od licemernog zatvaranja u svoje male, ali čvrsto ograđene prostore gde smo dovoljni sami sebi i samo sebi. Tako se, moguće je, može razdvojiti racionalni deo Lepote od iracionalnog i iracionalni deo Logike od racionalnog. Iz Nauke treba proterati mitologizirane i kvazi-naučne sadržaje. Iz Umetnosti odstraniti naučni mit. Na taj način bi se mogla osloboditi prava kreativnost, a visoka koncentracija kreativnosti donela bi Umetnosti novu Renesansu a Nauci nove prodore, ranije nepoznate. Na kraju, treba glasno opomenuti svakog i svakud: Nema napretka bez snažnog etičkog opredeljenja. Možda je to ključ. Jer Jedan Svet najpre mora biti bolji da bi bio lepši i pametniji. U Nišu, novembra 2003. Autor

11

12

MATEMATIČKA ISTRAŽIVANJA U ESTETICI UVOD Sa smrću Boga, umetnost je dobila na vrednosti. Nietzsche

M

nogi auditivni i vizuelni doživljaji su praćeni izvesnim intuitivnim osećajem vrednosti, koji je jasno odvojen od senzualnog, emotivnog, moralnog ili intelektualnog osećanja. Tim osećanjem, koje su antički Grci zvali aisthesis (αισθησισ) bavi se estetika. Predmeti koji iniciraju estetsko osećanje, nazivaju se estetskim predmetima. Lice estetike je dvostruko. Ona se može smatrati filozofskom disciplinom, kako su smatrali Platon, Kant, Schelling, Hegel i njihovi sledbenici, ili naučnom disciplinom za šta su se zalagali Fechner, Müller-Freienfels, Meumann, Lips, Desoar, Utic, Laloux, Munro i drugi. U prvom slučaju, estetske norme se uvode deduktivno, iz filozofskih refleksija, što daje estetiku odozgo. U drugom, estetika je zamišljena kao strogo induktivna, eksperimentalno-empirijska nauka, dakle estetika odozdo. U ovom članku, posmatraćemo naučno lice estetike, uz posebno pažljivo postavljanje pi13

tanja: da li se mogu koristiti i matematičke metode za njeno istraživanje, kao što se koriste u drugim naukama? Na osnovu postojeće literature može se zaključiti da je odgovor na ovo pitanje sasvim sigurno pozitivan, a to je u skladu i sa autorovim najdubljim ubeđenjem. Naime, matematika, kao sublimirani i pročišćeni oblik naučne misli višestruko je povezana sa estetikom. U prilog ovome idu sledeći argumenti. 1.

Rešavanje matematičkih problema praćeno je snažnim estetskim doživljajem. Dakle, matematički problem i njegovo rešenje predstavljaju i estetske predmete. Ovo iskustvo nije karakteristično samo za matematičare, već je mnogo šire rasprostranjeno.

2.

Istraživanjem estetskih doživljaja moguće je uočiti strukturalne karakteristike estetskih predmeta. U jednom broju slučajeva one su slične karakteristikama matematičkih estetskih objekata. Prema Birkhofu ovo omogućuje uvođenje estetske mere jednostavnih objekata.

3.

Iz takvih estetsko-matematičkih iskustava izvedene su neke tradicionalne karakteristike „dobro uređenih“ estetskih predmeta, kao npr. proporcija, simetrija, harmonija, ritam itd. Ove karakteristike mogu se opisati modelima euklidske geometrije, a u nekim slučajevima i drugim vrstama klasičnih neeuklidskih geometrija.

4.

Oni estetski predmeti koji nisu „dobro uređeni“ već su pre amorfni i haotični (oblaci, mahovina, talasi ili enformel slikarstvo) takođe nalaze svoj adekvatni matematički model u fraktalnim geometrijama.

14

Svakoj od gornjih tačaka posvećena je po jedna sekcija u daljem tekstu, u kojima se opširnije govori o problemima sa kojima se matematička estetika suočava.

MATEMATIČKI ESTETSKI OBJEKTI Ne mogu da ne poverujem – jer je neverovatno! Oscar Wilde U proleće 1919-te, sedamnaestogodišnji Werner Heisenberg, čitao je Platonov dijalog Timaj, ležeći u oluku krova na zgradi semeništa u Minhenu i grejući se na jutarnjem suncu. Dečak je bio zadivljen Platonovom smelošću sa kojom tvrdi da su najsitniji delići materije oblika pravouglih trouglova, koji, kada se dva po dva sastave u ravnostrane trouglove ili kvadrate (Sl. 1.), obrazuju pravilna geometrijska tela: kocku, tetraedar, oktaedar i ikosaedar. Ta četiri tela sačinjavaju osnovne gradivne jedinice četiri elementa: zemlje, vatre, vazduha i vode. „Pritom me je u izvesnom smislu fascinirala predstava kako se kod najsitnijih delića materije naposletku nailazi na matematičke oblike“ piše Heisenberg u [13]. Kasnije će ova jednostavna geometrij-

Slika 1: Platonov trougao i oblici koji se od njega mogu sastaviti 15

ska shema biti osnovna ideja vodilja u zametnom opusu ovog vodećeg fizičara XX veka, koji je više puta naglasio da ga je fascinirala upravo jedinstvena lepota Platonove ideje. Platon je svakako bio svestan činjenice da se Zemlja ne sastoji od sićušnih kockica, ali nije mogao naći pogodniji način od geometrijskog da izrazi silinu ideje o harmoniji za koju je bio siguran da prožima svu prirodu. Da bi iskazao svoje oduševljenje za lepotu koja se nalazi u prapočecima prirodnih stvari, Platon je posegnuo za jezikom geometrije i njenim čvrstim zakonima. Može se reći da je time on svoj estetski doživljaj matematički kodirao i odaslao ga u budućnost kroz tekst svog dijaloga, siguran da će na budućeg čitaoca koji uspe da dekodira njegovu geometrijsku šifru preneti bar deo tog doživljaja. Heinsenberg je bio pun pogodak. Estetsko osećanje je bilo dominantno kod antičkih matematičara Menehma i Apolonija, kada su proučavali zanimljiva svojstva krivih koje su nazvali ελλειψιζ, παραβολη i υπερβολη, koje su se dobijale u preseku ravni i kupaste površi. Oni tada nisu mogli ni sanjati o bilo kakvoj praktičnoj primeni svojih istraživanja. Dve hiljade godina kasnije, Keppler i Newton pokazali su da su elipsa, parabola i hiperbola upravo osnovni oblici u prirodi – pitanje nebeskih tela. Sledeći primer je iz XVIII veka. Johann Bernoulli je, privučen lepotom Galilejevog problema brahistohrone krive – trajektorije po kojoj telo za najkraće vreme silazi iz više u nižu tačku – primenio svoju novu metodu beskonačno malih veličina i dobio kao rešenje cikloidu – krivu koja predstavlja pravu riznicu estetskih svojstava. 16

Kako piše Hadamard [12], godine 1913-te, francuski matematičar E. Cartan je došao do značajne klase analitičkih i geometrijskih transformacija koja je u vezi sa Teorijom grupa. U to vreme nije bilo nikakvih praktičnih primena ovih rezultata. Petnaest godina kasnije, fizičari su eksperimentalnim putem otkrili neobično ponašanje elektrona koje se moglo objasniti samo zahvaljujući Cartanovim idejama. Ovaj Cartanov primer se može lepo ilustrovati (Sl. 2.) na kojoj je prikazana mikrofotografija biljnih ćelija i Mondrianova raster-slika Losangique sa sivim linijama [2]. Mon-

Slika 2: Mikroskopski snimak ćelija u stabljici site (levo) i raster-slika Pieta Mondriana Losangique sa sivim linijama

drian, poput Cartana postavlja osnovnu strukturu, rukovodeći se estetskim idejama, a takva slična struktura biva otkrivena u mikroprirodi.

17

STRUKTURA ESTETSKOG DOŽIVLJAJA I ESTETSKA MERA Važno je da u’vatiš istinu. Čika Božo, starac sa Durmitora Edgar Allan Poe, taj zagonetni pesnik Novog sveta bio je, uprkos svojoj emocionalnoj osetljivosti i nekim iracionalnim postupcima, jedan od najgorljivijih zagovornika naučne estetike. Naravno, to ga je zanimalo u okvirima veštine stihotvorstva – versifikacije. Tako, on na jednom mestu kaže, odgovarajući na pitanje „Šta su stihovi?“ [19, s. 363]: „Jer, iako se može uzeti da trećinu toga pitanja sačinjava metafizika, i da se zato o njoj može raspravljati po ćudi ovog ili onog pojedinca, još uvek one dve preostale trećine pripadaju, neosporno matematici.“ Zalažući se za uvođenje opštih zakona versifikacije, Poe polemiše sa eventualnim prigovorom da tvorac Ilijade nije znao za takve zakone pa ipak je Ilijada milozvučnija i skladnija od svega što je napisano u novije vreme, i kaže da bi ta nova nauka o versifikaciji možda mogla da poboljša ahajski ep, jer verovatno ni Homer nije bio zadovoljan pojedinim njegovim mestima. Na kraju, slepi pesnik sa Hiosa je možda te zakone naslutio u svom duhu, ali ipak je Ilijada produkt njegovih ušiju i prstiju pa ih nije mogao valjano oteloviti (setimo se Hofmannove tragedije raskoraka između muzičke imaginacije i tehnike izvođenja). Možda je Hesse upravo ovo imao na umu kada u romanu Narcis i Zlatousta piše „Posmatrao je kako je lišće male biljke tako ljupko, tako neobično pametno složeno oko stabljičice. Lepi su Vergilijevi stihovi, on ih je voleo, ali bilo je kod Vergilija mno18

go stihova koji nisu bili ni upola tako lepi i krcati smislom kao što je spiralni poredak ovih sićušnih listića duž stabljike.“ Poe je dao i neka praktična uputstva kako bi neki od estetskih zakona versifikacije trebalo da izgledaju. U Filozofiji kompozicije on [19, s. 350] piše da „…dužina pesme treba da bude u matematičkom odnosu s njenom vrednošću…“ On čak sugeriše i način kvantifikovanja intenziteta estetskog osećaja u odlomku koji citira i Georg Birkfoff, američki matematičar koji se među prvima ozbiljno pozabavio idejom estetske mere: „Posmatrajmo, na primer, neki kristal. Našu pažnju odmah privlači jednakost strana i uglova jedne od njegovih površina, ali kad uočimo drugu njegovu površinu, u svakom pogledu istovetnu prvoj, naše uživanje izgleda kao da se učetvorostručilo: kad uočimo i treću kao da se uosmostručilo, itd: nimalo ne sumnjam, zaista, da bi se našlo da doživljeno uživanje, kad bi se moglo meriti, ima pravilne matematičke odnose, onakve, ili skoro onakve, kakve sam naveo – što će reći, do jedne određene tačke, posle koje bi u istim odnosima nastupilo opadanje.“ [19, s. 365]. Svakako jedna od najviše pominjanih konstanti matematičke estetike je zlatni broj ϕ=

1+ 5 ≈ 1,618 , 2

koji predstavlja odnos dužina pri tzv. zlatnom preseku tj. takvoj podeli duži kod koje se cela dužina prema većem delu odnosi kao veći prema manjem delu. Zlatni presek, a naročito zlatni pravougaonik, kod koga je odnos duže prema kraćoj stranici jednak ϕ (srednji pravougaonik u nizu 19

Slika 3: Oblici pravougaonika

na Sl. 3, korišćen je u arhitekturi i vajarstvu stare Grčke (Fidia), a koristio ga je Euclid za konstrukciju pravilnih poligona, ali je bio poznat pod nazivom „srednjeg i krajnjeg odnosa“. Za razliku od broja π , koji je transcedentan i ne može se geometrijski konstruisati (čime je stavljena tačka na problem kvadrature kruga), broj ϕ je iracionalan, može se konstruisati i to vrlo jednostavno, i ima približnu vrednost 1,618. Termin zlatni presek uveden je u XIX veku, a oznaku ϕ predložio je američki matematičar M. Bar u čast vajara Fidie. U doba Renesanse, zlatni presek je ponovo došao u središte pažnje, pa su tako otkrivene mnoge njegove interesantne osobine. Na primer, kada se iz zlatnog pravougaonika izdvoji kvadrat, preostali pravougaonik je takođe zlatan (Sl. 4). Produžujući ovaj postupak dobijaju se sve manji i manji zlatni pravougaonici. Slika 4: Zlatni pravougaonici se smanjuju po Zakonu logaritamske spirale 20

Tačke koje dele stranice pravougaonika u odnosu zlatnog preseka leže na logaritamskoj spirali, a pol ove spirale nalazi se u preseku prva dva pravougaonika iz zlatnog niza. Oblik ove spirale sreće se na mnogim mestima u prirodi (Sl. 5), o čemu je pisao M. Ghyka u svojoj sjajnoj knjizi [9], koja je tako mnogo uticala na Salvadora Dalia, da je na mnogim slikama koristio rog nosoroga koji je takođe savijen po Zakonu logaritamske spirale. Na primer, u slikama Naturaleza muerta viva ili Joven virgen sodomizada por los cuernos de su propia castidad, oblik roga je

Slika 5: Oblici spirale u prirodi 21

ključ kompozicionog rešenja slike. U Otkrivenim tajnama Salvadora Dalia, Bernard tvrdi da je Dali, u vezi sa zlatnim presekom, od 1948-me godine, u svojim slikama koristio i božansku proporciju koju je uveo italijanski matematičar Luca Pacioli, i uz pomoć jednog rumunskog matematičara proračunava položaj Lede na slici La Leda Atomica, kako bi se figura Lede tačno uklopila u geometriju ove obrnute proporcijske sheme. Božansku proporciju proučavao je i koristio i Milić od Mačve. U intervalu od 1854-te do 1884-te godine, nemački filozof Adolf Zeising, koji je bio pod Hegelovim uticajem, objavljuje nekoliko rasprava u kojima tvrdi da od svih proporcija zlatni presek ostavlja najpovoljniji estetski utisak na posmatrača. Ovo će eksperimentalno potvrditi lajpciški profesor Gustav Fechner, utemeljivač eksperimentalne estetike. Rezultat eksperimentalnog istraživanja estetičnosti pravougaonika različitih oblika mogu se ukratko izraziti sledećim rečima: Kvadrat i specijalno, pravougaonik čije dimenzije stoje u odnosu od približno 8 5 se uopšteno procenjuju kao najbolje forme među različitim pravougaonim oblicima. Fechnerove ideje razviće dalje Ernst Meumann u svom delu Uvod u savremenu estetiku koje i danas služi kao standardni univerzitetski udžbenik. Sledeći u nizu nemačkih mislilaca, poklonika ‚estetike odozdo‘ (Asthetik von unten), je psiholog i filozof Rihard Müller Freienfels koji umetnost shvata kao estetsku impresiju a estetsko uživanje je po njemu rezultat psihofizičkog principa stvaralačke, životne ekonomičnosti. Takođe treba pomenuti i Theodora Lippsa, još jednog nemačkog filozofa, autora Teorije o 22

uživljavanju (Einfuhlung) iz koje izvodi svoju estetiku. Thomas Manro, američki estetičar, smatra da estetika još uvek nije prava nauka, ali da ima sve uslove da to postane, koristeći pre svega striktno klasifikacionu i induktivnu metodu. U daljem tekstu zadržaćemo se podrobnije na objašnjavanju ideja poznatog američkog matematičara Georga Birkhoffa koji je, polazeći od Fechnerovih istraživanja i ideja E. A. Poea došao do estetske mere, načina da se estetski doživljaj pri posmatranju jednostavnijih geometrijskih tela izrazi brojnom vrednošću. Osnovu metode G. Birkhoffa [3], [4], čini povezivanje tri veličine, koje se mogu meriti. To su: 1.

Intenzitet estetskog doživljaja ili estetska mera – M;

2.

Kompleksnost (složenost) estetskog predmeta, koji je proporcionalan naporu pažnje potrebnom za njegovu percepciju – C i

3.

Mera uređenosti, harmonija ili simetrija predmeta koji se posmatra – O.

Ono što sigurno znamo, to je da estetska mera funkcionalno zavisi od kompleksnosti i uređenosti, tj.

M = f (O, C )

(1)

gde je f nepoznata funkcija (u matematici se (1) naziva funkcionalnom jednačinom). Ako povećamo uređenost O pri nepromenljivoj kompleksnosti, vrednost M raste. Isto je i ako smanjujemo kompleksnost uz istu vrednost uređenosti, međutim, ovo nije dovoljno za određivanje funkcije f. U tu svrhu, Birkhoff predlaže sledeći hipotetički eksperiment: Pretpostavimo da pred nama imamo skup od k ob23

jekata iz iste klase i neka svi imaju istu uređenost O i kompleksnost C, i drugi skup od k ′ objekata sa uređenošću O′ i takođe kompleksnošću C. Izaberimo k i k ′ tako da je k′ C ′ = k C . Osmotrimo sada prvi skup objekata, jedan za drugim; ukupni osećaj kompleksnosti biće jednak zbiru pojedinačnih, dakle k C (pretpostavlja se da naša pažnja ne slabi, tj. da smo idealni posmatrači). Takođe, ukupna mera uređenosti za čitav skup je k O . U slučaju drugog skupa, ukupna kompleksnost je k′C ′ što je jednako k C , dok je uređenost k′O′ . Ako su estetske vrednosti objekata iste za obe klase, jasno je da je rezultujuća mera uređenosti za obe klase jednaka, tj. k′O′ = k O . Na taj način odnosi O C ′ i O C moraju biti isti, tj. estetska mera zavisi samo od odnosa O C , ili ⎛O ⎞ M= f ⎜ ⎟ ⎝C ⎠

(2)

Kako M mora da raste sa porastom količnika O C to je f nužno rastuća funkcija. Takođe, po prirodi stvari, ona mora biti neprekidna. Posmatrajmo sada dva objekta iste kompleksnosti ali različite uređenosti O1 i O2 ; tada će mera doživljaja pri percepciji svakog predmeta pojedinačno biti jednaka doživljaju oba predmeta istovremeno tj. ⎛O O ⎞ ⎛O ⎞ ⎛O ⎞ f ⎜ 1 ⎟+ f ⎜ 2 ⎟ = f ⎜ 1 + 2 ⎟ ⎝C C ⎠ ⎝C ⎠ ⎝C ⎠

što predstavlja Cauchyevu funkcionalnu jednačinu f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) , čije je rešenje na skupu nepre24

kidnih funkcija, (videti, npr. [1]), f (x ) = A x , gde je A proizvoljna konstanta. Iz našeg uslova monotonosti dobijamo A > 0 . Budući da stvarna numerička vrednost funkcije f može biti proizvoljna jer zavisi od skale koju smo uveli, to treba obratiti pažnju samo na njenu relativnu vrednost, pa možemo staviti A = 1 . Tako dobijamo f (x ) = x , tj. na osnovu (2), konačno je M=

O C

(3)

Osim ovog, strogo matematičkog izvođenja, Birkhoff nudi i drugi, više intuitivni metod, kojim dolazi do istog rezultata. Potvrdu svoje formule on nalazi u definiciji lepote holandskog estetičara T. Hemsterhuisa: „Lepota je ono što daje najveći broj ideja u najkraćem vremenskom intervalu“. Drugim rečima, Birkhoff smatra da se estetska vrednost sastoji u postizanju što većeg reda uz što manju složenost i odnos O C naziva gustinom uređenosti estetskog objekta. Ovo je u skladu i sa Voltaireovom misli da „poezija sa manje reči kazuje više nego proza“, kao i sa Gaussovom izrekom o „maksimumu ideja u minimumu obima“. Ovu formulu Birkhoff testira na primerima jednostavnih geometrijskih objekata. On najpre polemiše o oblicima pravougaonika, (Sl. 3), koje karakteriše odnos r veće stranice prema manjoj [5]. Na prvom mestu je kvadrat, r = 1 , na drugom pravougaonik koji ima osobinu da se sastoji od dva pravougaonika istog oblika, r = 2 ≈ 1,414 , što daje proporciju državne zastave. Treći je zlatni pravougaonik, r = 1 + 5 2 ≈ 1,618 . Zatim dolazi Platonov pravo-

(

)

25

ugaonik (videti takođe Sl. 1), kod koga je r = 3 ≈ 1,732 , i najzad, poslednji u nizu je udvojeni kvadrat, dakle r = 2 . Između ovih pet pravougaonih oblika, Birkhoff se opredeljuje za „zastavu“ pre nego za „zlatni pravougaonik“, uglavnom zbog zaista lepog svojstva da se deljenjem tog oblika na pola ponovo dobija isti oblik. To je, ustvari, fraktalno svojstvo koje će dobiti na vrednosti tek sedamdesetih godina, sa pojavom fraktalnih geometrija, o čemu će biti reči u petoj sekciji. U radu [5], Birkhoff daje podrobniju formulu za izračunavanje estetske mere kod mnogouglova: M = O C , pri čemu je uređenje O dato sa O = V + E + R ⋅ HV − F ,

(4)

gde su značenja veličina sledeća: V – vertikalna simetrija, E – ravnoteža, R – rotaciona simetrija, HV – veza sa horizontalno-vertikalne mreže, F – faktor koji umanjuje uređenje zbog suviše kratkih strana, suviše malih ili velikih uglova, nedostatka simetrije i sl. U daljem tekstu, Birkhoff podrobno analizira primenu gornje formule na 90 različitih poligona, od kojih, na (Sl. 6), izdvajamo 20. Ispod svakog poligona označena je njegova estetska mera. Vidimo da je prema Birkhoffu, najviše estetski vrednovan kvadrat, a najslabije – zvezdasti mnogouglovi pri dnu. Vrednost svoje formule Birkhoff je eksperimentalno proverio tako što je listu sa slikama svih 90 poligona pokazao dvema grupama studenata na Columbia University (1929te godine) i na Harvardu (1930-te). Oni su se složili da je „rejting“ pojedinih poligona koji daje formula (3), sasvim u skladu sa estetskim izgledom poligona. 26

Slika 6: Prvih dvadeset mnogouglova sa vrednošću estetske mere po Birkhoffu

Jedino su postojale rezerve prema suviše niskom kotiranju pravouglog trougla (označenom sa o na Sl. 6). U radu [3], Birkhoff proširuje primenu svoje formule na krivolinijske konture vaza. Pri tome, uređenost je data 27

slično kao u [4]. Slika 7 prikazuje studije četiri različita profila (levo), kao i vaze koja ima „idealnu formu“ sa vrednošću estetske mere M = 1 (desno). U istom radu Birkhoff naglašava da bi se slična formula mogla primeniti i na poeziju, pri čemu bi O označavalo muzikalnost stihova po određenim pravilima koje bi trebalo dobro izabrati, a kompleksnost C bi bio broj stihova pesme koja se posmatra. Takođe, on se osvrće i na muziku pri čemu naglašava vrednost istraživanja koja su u toj grani umetnosti vršili Helmholz i Gurney. Birkhoff je svakako značajan kao jedan od pionira naučne estetike. Njegove ideje preispitivali su Rul Ganzenhauser i Max Bense, koristeći savremene metode Teorije informacija i upoređujući ih sa nekim pojavama iz fizike i logike. Međutim, ako govorimo o matematičkoj estetici poezije i

Slika 7: Vaze i njihova estetska mera 28

književnosti uopšte, nezaobilazna je Monografija [18] Solomona Marcusa, čije su osnovne karakteristike multidisciplinarnost, lep stil i bogatstvo citirane bibliografije (citirano je 1.336 jedinica). Ukratko ćemo navesti osnovne ideje koje su iznete u ovoj knjizi. Na početku se diskutuje o problemu mogućnosti primene naučnog i posebno matematičkog jezika, kao njegovog najvišeg oblika na proučavanje pesničkog jezika. Nabrajaju se suprotnosti ova dva jezika: Naučni jezik je logički gust, beskonačan u sinonimiji a lišen homonimije, veštački, opšti, prevodljiv, lišen stilskih problema, fiksiran u vremenu i prostoru, prebrojivog skupa fraza, nepodudarne kardinalnosti tog skupa i skupa značenja, proziran, tranzitivan, nezavistan od izraza i muzičke strukture, paradigmatski, podudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, kratkih konteksta, logičan, denotativan, rutinski, opšte stereotipije, trezven, predvidljiv itd. Pesnički jezik je: sugestivno gust, lišen sinonimije a beskonačne homonimije, prirodan, pojedinačan, neprevodiv, krcat stilskim problemima, promenljiv u vremenu i prostoru, neprebrojivog skupa fraza, podudarne kardinalnosti tog skupa i skupa značenja, neproziran, refleksivan, zavistan od izraza i muzičke strukture, sintagmatski, nepodudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, dugih konteksta, alogičan, konotativan, stvaralački, lične stereotipije, pun zanosa, nepredvidiv itd. Zaključak koji Marcus izvlači iz ovih suprotnosti je da, bez obzira na njih, nema nikakve prepreke da se matematički jezik (kao sublimat naučnog) koristi za analizu pes29

ničkog jezika, i da se te razlike mogu koristiti kao prednosti. Zatim se analizira matematički jezik i matematičko modeliranje suprotnosti između pesničkog i naučnog jezika. U tom smislu uvodi se apstraktna matematička struktura semantičkog jezika L nad rečnikom V. Svaki konačan niz elemenata iz V, naziva se fraza na rečniku V, a skup svih fraza na V sačinjava univerzalni jezik. Uvodeći pojam sinonimije i homonimije pomoću stroge Teorije skupova, zatim ritamsku dužinu, indeks, dijametar, dimenziju i ritamsku strukturu, Marcus dokazuje 25 stavova, koristeći se instrumentima topologije i funkcionalne analize. U narednom poglavlju, razmatraju se pesničke figure kao devijacije naučnog jezika. Odstupanja se mere posebno uvedenim rastojanjima. Zatim se razmatraju oni aspekti pesničkog jezika koji su u vezi sa Teorijom verovatnoće i Teorijom informacija. U okviru tzv. stilističke statistike, koja je najbolje proučena oblast matematičke poetike, barata se statističkim pokazateljima, kao što su procenat samoglasnika u nekom jeziku (npr. italijanski 47,73%, nemački 38,86%), verovatnoća sa kojom se dve, slučajno izabrane reči rimuju ili broj rimovanih parova koji se nalazi u uzorku od n reči. Na primer, od 100 reči u ruskom jeziku može se napraviti 25 a u francuskom 37 rimovanih parova. Na osnovu relativnih parametara može se izračunati informaciona energija pesničkog stiha i njegova entropija. Rasprava o tome da li je entropija mera poetičnosti može se naći na kraju 6-og poglavlja. Sedmo poglavlje je posvećeno komparativnoj analizi pesničkih tekstova. Uvodeći Hamingovo rastojanje između pesničkih segmenata, Marcus navodi primer upoređivanja četiri prepeva Baudelaireove pesme A une passante, s tim što je poređeno 16 semantičkih karakteristika. Prevodioci su bili Filipide, Karajon, Bas30

ković i Dauš. Rastojanja su pokazala da su najverniji prevodioci Basković i Karajon; Filipideov prepev je na priličnom rastojanju, dok je Daušov prevod najudaljeniji od originala. Poslednje poglavlje Marcusove knjige posvećeno je matematičkim metodama u pozorištu, koje je više kombinatorika umetnosti od poezije. Iz šest dramskih funkcija Etienne Souriau, kombinatornim postupkom dobija 210.141 dramsku situaciju. Razvijajući dalje Souriauove ideje, Paul Ginestier izgradio je tzv. geometriju drame. Ustvari, Ginestier je upotrebio ono što matematičari zovu graf. Pomoću standardnih metoda Teorije grafova, moguće je razrešiti dublja značenja radnje i lica u jednom dramskom delu. Prema Raymondu Queneau [20], svaka nauka prolazi kroz četiri faze; empirijsku, kada se nabrajaju činjenice; eksperimentalnu, kad se vrše merenja; analitičku, kada se računa i aksiomatsku, kada se uz pomoć dedukcije, izvode zaključci i utvrđuju zakoni. Prema onome što je napred rečeno, jasno je da matematička estetika polako ulazi u treću, analitičku fazu. Naravno, umetnosti se razlikuju među sobom, i svakako je teže matematički analizirati film koji je četvorodimenzionalan nego pozorište koje je dvodimenzionalno, pa je taj deo matematičke estetike koji se bavi filmom tek na početku.

31

MOZAICI ALHAMBRE Kristali blistaju simetrijom. E. S. Fedorov Naš pesnik i helenista Laza Kostić, u [16] analizira pojmove simetrije i harmonije i zaključuje da uzajamna veza ova dva estetska elementa – tzv. ukrst (tj. jedinstvo suprotnosti) predstavlja osnovno načelo bića ali i umetnosti. On uvodi grafičke znake: >< za simetriju i << za harmoniju, i tvrdi da je simetrija analiza harmonije, protivnost u skladu, a harmonija je sinteza simetrije ili sklad u protivnosti. I simetrija i harmonija se sreću u svim umetnostima. Ritam u muzici je simetrija vremenske dimenzije. Simetrija se javlja u igri, u dramskim situacijama, u umetnosti stripa, filma i televizije. Simetrija i harmonija karakterišu ljudsko delovanje kroz istoriju civilizacije. Hramovi i Sveta mesta uvek imaju simetričnu arhitekturu. Ako je tačna teza da hram predstavlja projekciju kolektivnog mentalnog prostora religiozne grupe, simetrija hramova nije ništa drugo do otelovljenje snažnog osećanja unutrašnje lepote. Kao ilustraciju, pogledajmo tri „Svete slike“ predstavljene na Sl. 8. i 9. Na Sl. 8 (levo) prikazana je mandala Šri yantra koja u tantričkoj jogi služi kao sredstvo kontemplacije [14], dok je desno petostruki „kvadrat“ – kufijska inskripcija iz jednog mauzoleja u Iranu iz XIV veka [21]. Na Sl. 9 prikazan je pečat svetog Servacija iz katedrale u Maastrichtu. Svaka od ovih slika je višestruko simetrična:

32

Slika 8: Simetrija „svetih“ ornamenata

mandala dvostruko, inskripcija petostruko a pečat sedmostruko. Samim tim to su i harmonične celine. J. Keppler je svakako imao na umu harmoniju sfera kada je postavio hipotezu o tajni geometrije sunčevog sistema: „Zemlja je mera svih orbita. Oko sfere zemljine orbite opišemo dodekaedar. Sfera opisana oko dodekaedra je sfera Marsa. Oko Marsove sfere opišemo tetraedar. Sfera opisana oko tetraedra je sfera Jupitera. Oko sfere Jupitera opišemo heksaedar (kocku). Sfera opisana oko tog heksaedra je sfera Saturna. U sferu Zemlje upišemo ikosaedar. Sfera upisana u njemu je sfera Venere. U sfeSlika 9: Simetrija sedmog reda ru Venere uložimo oktapečata iz Maastrichta edar. Sfera upisana u taj 33

Slika 10: Platonova tela: pet pravilnih poliedara

oktaedar je sfera Merkura“. Dakle, broj planeta i rastojanja među njima određeni su pomoću pet Platonovih tela. (Sl. 10). Pokušavajući da dokaže ovu fantastičnu hipotezu, Keppler posle mnogih godina mukotrpnih merenja, otkriva svoja Tri zakona o eliptičnim orbitama planeta. Dobijeni rezultat se Keppleru toliko dopao, da je njegova estetska vrednost daleko nadmašila lepotu naivne konstrukcije sa pravilnim poliedrima. Za njega, to je bila istina šifrovana u grčkoj ideji o muzici sfera. Harmonija sveta bila je otkrivena i napisana. U trećoj knjizi ovog svog dela, Keppler se bavi geometrijom muzike gde iz prostih proporcija dobija sedam osnovnih harmonijskih intervala: oktavu sa odnosom frekvencija 1 : 2 , uvećanu sekstu 3 : 5 , malu sekstu 5 : 8 , čistu kvintu 2 : 3 , čistu kvartu 3 : 4 , veliku tercu 4 : 5 i malu tercu 5 : 6 . „Ovih sedam podela strune – objašnjava Keppler – ja sam otkrio najpre rukovodeći se sluhom, u broju jednakom broju harmonija u granicama jedne oktave, a tek zatim sam, ne bez napora, odredio razloge za te posebne podele i njihove ukupnosti iz najdubljih svojstava geo34

metrije“. [8] U istom svetlu harmonije, Keppler definiše osam proporcija uglova pod kojima zraci sa nebeskih tela koji dolaze na Zemlju imaju uticaj na atmosferske prilike pa i na ljudsko raspoloženje. Ustvari, Keppler je tipičan predstavnik naučnika koji se rukovodio simetrijom i har-

Slika 11: Sedamnaest kristalografskih grupa Fedorova 35

monijom kao idejama koje su osvetljavale put racionalnoj misli kroz tamu Svete tajne. To je verovatno navelo Hermanna Weyla da u [24] primeti: „Koliko ja mogu da prosudim, simetrija je izvor svih apriornih tvrđenja fizike“. Kaleidoskop, igračka koja od raznobojnih staklića obrazuje lepe, simetrične slike, dostupna je iskustvu svakog deteta. Ali, već je dečija intuicija dovoljna da primeti razliku između slike u kaleidoskopu i slike u ogledalu. Postoje razne vrste simetrija. Pažnju ljudi tokom vekova privlačila je lepota mozaika i ornamenata sve dok se matematičari ozbiljno nisu pozabavili zakonitostima ornamenata. Kao što se Platonovim pravouglim trouglom može prekriti cela ravan, tako se ravan može prekriti i ravnostranim trouglovima, kvadratima i šestouglovima, ali ne može petouglovima. Šta je razlog ovom pravilu? U čemu je tajna lepote mozaika i ornamenata koji imaju pravilnu strukturu ponavljanja? Prva detaljna istraživanja sproveli su nezavisno ruski kristalograf E. S. Fedorov i A. Schoenflies krajem prošlog veka. Rezultat je bio zanimljiv: Sve periodične geometrijske strukture mogu se podvesti pod matematičku teoriju grupa. Kristalne rešetke nisu ništa drugo do ornamenti u trodimenzionalnom (3D) prostoru. Grupa je pojam koji je u matematiku postepeno uvođen kroz radove niza matematičara u XVIII i XIX veku, a svakako treba istaći imena Nielsa Abela i Everista Galoisa. Pokazalo se da je simetrija nekog ornamenta objašnjiva invarijantnošću tog ornamenta u odnosu na tri operacije kretanja: translaciju, rotaciju i refleksiju. Drugim rečima, on čini grupu simetrije transformacije u ravni. Fedorov je dokazao 1891-ve godine da postoji tačno 17 grupa simetrije u ravni, i 219 36

grupa u prostoru. U radu [11], nalazimo shematski prikaz 17 grupa u ravni, (Sl. 11). Ove grupe danas nazivamo kristalografskim grupama, (alternativni nazivi: grupe Fedorova, grupe ornamenata, kristalografske matrice itd). Pokazalo se da prelepi mozaici iz mavarskih Slika 12: Sedamnaesta grupa dvoraca u Alhambri simetrije: p31m mogu da se klasifikuju u 13 kristalografskih grupa. Četiri grupe nisu bile poznate mavarskim umetnicima. To su grupe koje se simbolički označavaju sa pg, p2, pgg i p31m. Prve tri od ovih preostalih grupa pronađene su na grnčariji i uzorcima tkanine afričkih plemena Bakuba i Benin sa juga Sahare. Preostala, 17-ta grupa simetrije nije nađena nigde na tlu Evrope pa ni Afrike, već prema [7], na jednom kineskom ornamentu, a njen šematski prikaz je dat na Sl. 12. Da bi podvukao sličnost ornamentalnih struktura sa kristalima, Mamedov je u [17] uporedio motiv kristalne strukture 1,3,5-trifenilbenzena i široko rasprostranjeni srednjevekovni islamski ornament (Sl. 13). Holandski grafičar M. K. Escher, poznat po svojim dvoznačnim slikama, grafikama-zagonetkama i grafikama-ornamentima (Sl. 14), konstruišući svoje ornamente ponovo je otkrio 16 od 17 grupa simetrije Fedorova. Isto kao i afrički umetnici Escher nije uspeo da otkrije samo grupu 37

Slika 13: Molekul trifenilbenzena i mozaik sa Srednjeg istoka

p31m. Escherovi radovi izazvali su veliko interesovanje među matematičarima. Međutim, nakon utvrđivanja zakonitosti po kojima je on pravio svoje grafike, a to je korišćenje kristalografskih matrica koje proizilaze iz pojedinih grupa simetrije, i sami matematičari su se počeli takmičiti sa Escherom, ni malo ne zaostajući za njim [17] (Sl. 15). Simetrija je poznati element muzike. Čak se može uspostaviti direktna veza između ornamenata i muzičkih formi. Na primer, pojedinačni, nepovezani ornamentalni motivi u arhitekturi, npr. triglifi i metope kod grčkih hramova imaju analogon u muzici: stakato i portato.

38

Slika 14: Escherove grafike 39

Slika 15: Po uzoru na Eschera – Mamedov i Amiraslanov: Ptice

Neprekidni motivi: bordure, girlande i sl. u muzici daju legato, dok kombinacija neprekidnih i izolovanih geometrijskih motiva odgovaraju muzičkom kontrapunktu. U Bachovom kanonu, datom na Slici 16, melodija kao da se odslikava u vertikalnom ogledalu: svaka violina izvodi obrnutu partiju druge violine. Simetrija u poeziji i književnosti, koju je Laza Kostić tako dobro osećao, počinje palindromskim dosetkama kojih ima u svim jezicima. Na primer, naša palindromija Ana voli Milovana ima u španskom jeziku analogiju Anita lava la tina. Palindromske izreke, pa i poezija nađene su i u hijeroglifskim tekstovima, a i danas predstavlja književnu formu u kojoj se pesnici rado ogledaju. Kineski pesnik Li Yan, koji je živeo na prelazu iz XVIII u XIX vek ostvario je zavidan umetnički nivo baš u palindromskim pesmama. Jorge Luis Borges, pisac izvanredne mašte, voleo je da u svoju prozu unosi matematičke elemente, npr. kombina40

Slika 16: Bachov kaon i simetrija

toriku, beskonačnost (kao u pripovetci Peščana knjiga) ili simetriju kao u Zastrtim ogledalima. U pripovetci Smrt i kompas Borges vodi svog detektiva Lenrota kroz dramatiku traganja za ubicom koji na mestima zločina ostavlja poruke koje asociraju na četvorougao, a posle trećeg, najavljuje se i četvrto ubistvo. Lenrot na mapi ocrtava lokacije prethodnih zločina i dobija ravnostrani trougao. Četvrto teme romba ukazuje na letnjikovac Triste-le-Roi na jugu u kome detektiv predviđa moguće četvrto ubistvo. Sa ciljem da ga spreči, on odlazi u vilu i tamo strada od ruke ubice, ispunivši time zlokobni plan o geometrijskom rasporedu zločina. 41

FRAKTALNA ESTETIKA Iz pepela se digla vatra jača. Tolkien Jedan od osnovnih argumenata protivnika naučne estetike je da priroda i umetnička dela mogu biti veoma udaljeni od bilo kakvih regularnih struktura. Kako se, na primer, postaviti strukturalistički prema oblicima kakvi su: mahovina, oblaci, površina uzburkanog mora, nazubljene stene, izmaglica, tekstura trave i lišća, turbulencija vodenog toka i sl. Takve oblike nalazimo u mnogim delima likovne umetnosti. Dovoljno je pogledati npr. Turnerov akvarel Šekspirov greben u Doveru, crtež Potop Leonarda da Vinčia (Sl. 17), Dalievu grafiku Sveti Đorđe i zmaj (Sl. 18), ili Mathieuovo ulje i Michauxov crtež (Sl. 19), da bi se dobila predstava o neslućenim enformel strukturama. Naravno, Pollockovi radovi su još veći izazov. Takva dela su potpuno različita od onoga što nalazimo u geometrijskim radovima op-artista ili konstruktivista kao Mondrian (Sl. 2) ili u [23]. Čak i tehnika crtanja pravim linijama o kojoj piše Birkhoff [6] spada u arsenal koji je bliži enformelistima nego konstruktivistima. U književnosti tu spada signalistička i konceptualna poezija, pa i zidni grafiti. U muzici to su asonantne kompozicije i razni ready made tonovi iz prirode i urbanog okruženja, sve do eksperimenta reprodukovanja zvukova iz antike pomoću gramofonske igle koja klizi po kanelurama stare grnčarije, vaskrsavajući na taj način zvuk okretanja grnčarskog točka anonimnog majstora od pre više milenijuma. Estetsko osećanje se tu pre može definisati kao skup haotičnih mikro-osećaja. 42

Slika 17: Turnerov Šekspirov greben u Doveru (levo) i Da Vinčijev Potop 43

Slika 18: Salvador Dali: Sveti Đorđe i zmaj

Međutim, fraktalna geometrija, koja je u povoju, prema prvim istraživanjima nudi zadovoljavajuće instrumente koji mogu, u domenu haotičnih formi, preuzeti ulogu simetrije i harmonije. Fraktalni fenomeni su u matematici bili poznati još u prošlom veku, ali je njihovo istraživanje odlagano, uglavnom zbog nedostatka računskih mašina. Za ogromno interesovanje koje za fraktale vlada u zadnje vreme, najviše je zaslužan Benoit Mandelbrot i njegova knjiga The Fractal Geometry of Nature iz 1983-će godine. Sa pojavom računara, posebno mikroračunara, istraživanja su eksplodirala. Pred očima matematičara po prvi put su se pojavili „portreti“ fraktalnih objekata kakvi su Mandelbrotove kolekcije, Julia skupovi, Cantorova prašina, Kochova pahulja, 44

Steinhausova kriva i sl. Mi smo već pomenuli jedan fraktalni objekt. To je pravougaonik čiji je odnos stranica r = 2 (Sl. 3). Na njemu se može objasniti osnovna karakteristika fraktalnih objekata: samosličnost. Naime, ako naš pravougaonik podelimo simetralom, dobijamo dva nova pravougaonika koji su slični svom „roditelju“. Deljenjem svakog od njih dobijaju se 4 = 2 2 novih „kopija“. Posle n deljenja dobićemo 2 n pravougaonika koji su svi istog oblika kao i pra-

Slika 19: G. Mathieu: Blanche d’Escaudoeuvres (levo) i H. Michaux Crtež No. 4

vougaonici u bilo kojoj od prethodnih n generacija. Nastavimo li tako do beskonačnosti, dobijamo neobičan objekat: pravougaonik koji je ispunjen beskonačnim brojem beskonačno malih pravougaonika. Ako takav hipotetički objekat posmatramo pod mikroskopom, ni pri beskonačno velikom uvećanju nećemo biti u stanju da vidimo ništa drugo do ponovo pravougaonik, podeljen na beskonačno mnogo manjih. Zanimljivo je da dimenzija fraktalnog objekta može biti razlomljen broj. Na primer, posmatrajmo trougao na Sl. 20. Ako svaku njegovu stranicu modifikujemo kao što je to urađeno na crtežu (b), dobijamo 45

Slika 20: Konstrukcija Kochove krive

šestokraku zvezdu. Sličnom transformacijom svake od novih stranica zvezde, dobijamo nešto složeniju zvezdu. Nastavimo li tako do beskonačnosti, dobijamo „pahulju“, čiji je deo konture prikazan na dnu Sl. 20. Dimenzija ove krive je 1,2616, a svaki, i najmanji deo ove krive je identičan celoj krivoj. Još jedan primer dat je na Sl. 21. Dimenzija konture ove figure, u njenom idealnom vidu je 1,5, videti [15]. Primer iz prirode koji nalazimo u [15] je morska obala. Ako liniju obale posmatramo na mapi, stičemo utisak da je linija obale doduše komplikovana, ali ipak „glatka“ i „uređena“ kriva, dok neposrednim posmatranjem vidimo „haotičnu“ granicu između mora i kopna.

46

Ova linija dinamično varira u prostoru i vremenu. Jedan deo te obale ima „sličan“ oblik kao cela obala. Jedan od dobrih modela haotičnog kretanja je Brownovo kretanje molekula tečnosti u sudu. Na Slici 22 prikazan je hipotetični kontinent, čija je „obala“ nastala kao rezultat Brownovog kretanja. Dimenzija te „obale“ je 4 3.

Slika 21: Fraktalna kriva dimenzije D = 1,5

Slika 22: Mapa imaginarnog kontinenta nastalog iz Brownovog kretanja molekula 47

Kao što se mogu modelirati fraktalne krive, mogu se modelirati i fraktalne površi. Jedan primer (približno) fraktalne površi prikazan je na Sl. 23, uz korišćenje sredstava računarske grafike. Slika 23: Fraktalno modeliran reljef

Prema Queneauovoj podeli, fraktalna matematička estetika je tek u prvoj fazi. Haotične pojave, pa i fraktali, podrazumevaju mnogo sofisticiraniji matematički aparat od onog koji je primenio Fedorov da bi objasnio zakonitosti kristalografskih matrica, a pre svega statistiku i verovatnoću, uz neizbežnu primenu sve moćnijih računara. Mogućnosti i interesantne osobine fraktalne muzike još ni izdaleka nisu istražene. Ako bi se npr. reprodukovala muzika koju proizvodi Kochova pahulja sa Sl. 20, ona bi bila identična toj istoj muzici, reprodukovanoj na gramofonu sa 1 3 brzine, dok to neće biti slučaj sa muzikom violine. Osobine fraktalne muzike proučava Richard Vose, iz IBM Watsonovog Istraživačkog centra.

48

ZAKLJUČAK I OTVORENA PITANJA Lepota je u tvojim očima. (Nepoznati autor) U ovom kratkom pregledu nije bilo mesta za detaljnije analize opravdanosti pojedinih metoda Matematičke estetike. Treba još jednom podvući izvanrednu važnost i nezamenljivu pomoć računara. U [25], npr. nalazimo zanimljivu primenu kompjuterske animacije na dokaze pojedinih teorema iz Teorije brojeva. Ideje G. Birkhoffa se možda mogu primeniti na uvođenje estetske mere proizvoljnih krivih linija [22]. Ovde treba napomenuti da su istraživanja u oblasti tzv. krivih slobodne forme donela mnoga nova saznanja o geometriji krivih linija. Budući da se ovakve krive, u matematici poznate kao Bezierove i splajn krive, široko koriste u dizajniranju krivih površi u industriji aviona, automobila, brodogradnji i slično, postoji obilje iskustava u vezi estetike takvih krivih. Prema Farinu i Sapidisu [22], estetika jedne krive može se okarakterisati dijagramom krivine. Kriva je „dobra“ (ovi autori koriste uobičajeni engleski termin fair), ukoliko je ovaj dijagram neprekidan, ima potreban znak (dakle održava konveksnost) i bliska je, deo po deo, monotonoj funkciji sa što je moguće manje monotonih delova. Oni uvode i kvantitativne indikatore: diferenciju prvih jednostranih izvoda krivine u kritičnim tačkama – čvorovima splajna. Ovaj pristup je u skladu sa načelom G. Birkhoffa da je kriva „regularna“ ukoliko je maksimalna promena njene krivine duž krive minimalna. Farin, takođe navodi način inspekcije površi pomoću linija jednake krivine. To su 49

Slika 24: Frazerova spirala

linije upisane na površi, na kojima data površ ima konstantnu krivinu. Ove linije koristio je i Kon-Vossen, ne bi li na površini lica statue Apolona iz Belvedera otkrio kakvu zakonitost koja bi mu ukazala na tajnu lepote koju ova statua nosi u sebi.

Takođe, nije bilo reči o psihologiji estetskog viđenja. To je onaj kamen spoticanja o koji je naučna estetika često zapinjala. Da li isti zakoni važe za sve posmatrače? Možda je naučnik, koji rešava problem estetskog vrednovanja nekog predmeta, psihološki pripremljen za donošenje specifičnih zaključaka? Svakako, naučna estetika mora da računa sa poteškoćama koje se mogu ilustrovati na pri-

Slika 25: Dvosmisleni crteži i Geštalt psihologija 50

meru „optičke varke“ date na Sl. 24 poznate kao Frazerova spirala [10]. Posebna geometrija ove konstrukcije utiče na posmatrača da na slici vidi spiralu iako se tamo nalaze samo koncentrični krugovi. Takođe, dvoznačnost treće dimenzije, ilustrovane na Sl. 25, prisiljava posmatrača da uloži dodatni napor za razumevanje ovih objekata. Ovo se uspešno može objasniti Geštalt psihološkim teorijama. Međutim, upravo ove dvoznačnosti i iluzije proizvode uvek isti efekat na posmatrača, tako da se ovi fenomeni mogu koristiti kao in-varijante i čvrste tačke u daljim proučavanjima. Psihološko kolebanje u percepciji perspektive koristi Paul Klee u svom akvarelu Stari parobrod (Sl. 26). Sve ovo pokazuje da je matematička estetika tek na početku svog pohoda. Ako je tačno mišljenje koje zastupaju neki savremeni filozofi, da polako napuštamo epohu do-

Slika 26: Paul Klee: Stari parobrod, akvarel 51

minacije etičkih vrednosti i ulazimo u razdoblje nadmoći estetskih principa, ovoj grani estetike tek predstoji period afirmacije.

52

LITERATURA [1]. J. Aczel: Lectures on Finctional Equations and their Applications, Academic Press, New York 1966. [2]. O. Bihalji Merin: Prodori moderne umetnosti, Nolit, Beograd 1962. [3]. G. D. Birkhoff: Quelques Elements Mathematiques de L’art, Atti del Congresso Internationale dei Mathematici, Bologne, 3–10 settemre 1928-IV, 1929, 1 pp. 315–333. [4]. G. D. Birkhoff: A Mathematical Aprooch to Aesthetics, Scientia, September 1931, 133–146. [5]. G. D. Birkhoff: Polygonal Forms, Sixth Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics, Mathematics in Modern Life, 1931. [6]. G. D. Birkhoff: On Drawings Composed of Uniform Straight Lines, Journal de Mathematique, XIX, (1940), No. 3, 739– 754. [7]. H. S. M. Coxeter: Angels and Demons, in: Mathematical Gardner, (D. A. Klarnered), Prindle, Weber and Schmidt, pp. 253–267, Boston (Ma) and Wadsworth International, Belmont (Ca) 1981. [8]. Yu. A. Danilov: J. Keppler and his Harmony of World, in: Paterns of Symmetry, (M. Senechal and G. Fleck eds.), pp. 256–269, Univ. of Massachusetts Press, Amherst (Ma.), 1977. [9]. M. Ghyka: The Geometry of Art and Life, Sheed and Ward, New York 1946. [10]. E. H. Gombrih: Umetnost i Iluzija – Psihologija slikovnog predstavljanja, Nolit, Beograd 1984. [11]. B. Grunbaum, Z. Grunbaum, G. C. Shephard: Symmetry in Moorish and Other Ornamenis, Comp. Math. Appl. 12BNo. ¾ (1986), 641–653. 53

[12]. J. Hadamard: Essoi sur le Psychologie de L’invention dans le Domaine Mathematique, Albert Blanchard, Paris 1959. (Takođe ruski prevod: Sovetskoe Radio, Moskva 1970). [13]. V. Hajzenberg: Fizika i Metafizika, Nolit, Beograd 1972. [14]. C. G. Jung: Psychologie und Alchemic, Walter Verlag AG Olten, Schweiz 1972. (Takođe srpskohrvatski prevod, Naprijed, Zagreb 1984). [15]. J. Keppler: The Geometry of Coastlines: A Study in Fractals, Comp. Math. Appl. 12BNo. ¾ (1986), 655–671). [16]. L. Kostić: Osnovno Načelo, Kultura, Beograd 1961. [17]. Kh. S. Mamedov: Crystallographic Palerns, Comp. Math. Appl. 12BNo. ¾ (1986), 511–529. [18]. S. Markus: Matematička poetika, Nolit, Beograd 1974. [19]. E. A. Po: Odabrana dela, Nolit, Beograd 1974. [20]. R. Queneau: La place des mathematiques dans la classification des sciences, Albert Blanchard, Paris 1962. [21]. E. Rozsa: Symmetry in Muslim Arts, Comp. Math. Appl. 12BNo. ¾ (1986), 725–750. [22]. N. Sapidis, G. Farin: Automatic fairing algorithm for B-spline curves, Computer Aided Design 22 (1990), 121–129. [23]. P. Scharfenberg: On the Symmetries in the Graphic Art of Horst Barting, Comp. Math. Appl. 12BNo. ¾ (1986), 883– 893. [24]. H. Weyl: Symmetry, Princeton University Press, Princeton 1952. [25]. A. A. Zenkin: Kognitivnaya Kompjuternaya Grafika, Nauka, Moskva 1991.

54

SKRIVENI BROJ: EGZEGEZA TRANSCEDENTNOG Leto je bilo na izmaku, a ja shvatih da je knjiga čudovišna. Borhes, Peščana knjiga

I

ZAGONETKA

sali more; Deset lakata bješe mu od jednog kraja do drugog, okruglo unaokolo, a pet lakata bješe visoko a unaokolo mu bješe trideset lakata. 1

U ovom odlomku, poznavaoci Starog Zaveta svakako prepoznaju stih 23 iz 7-mog poglavlja Prve Knjige o Carevima ili, kraće 1 Car. 7, 23. Ovo poglavlje govori o jednom od najvećih neimarskih poduhvata ikad preduzetih u Hebreja – o zidanju Prvog Hrama Jerusalimskog po naređenju cara Solomona. Vreme: IX vek pre Hrista. Mesto: stenovito brdo Ofel u Jerusalimu. Za graditelja hrama car je odabrao Hirama iz Tira „od plemena Naftalimova“ koji, kao i njegov otac bejaše „umjetnik mjedarski“ (1. Car. 7, 14). Hram je građen od kamena i livanske kedrovine. U kame1

Citati iz Starog Zaveta su prema prevodu Đ. Daničića. 55

Slika 1: „More“ iz hrama cara Solomona (rekonstrukcija)

nolomima i na seči stabala radila je vojska od oko 150.000 podjarmljenih Hananaca. Velika pažnja poklonjena je hramovnom nakitu. Hiram je glavne delove hramovnih ukrasa izlio od bronze, zlata i srebra: stubove sa biljnom ornamentikom, postamente sa životinjskim figurama, obredne posude i, između ostalog – „more“ – objekt o kome govore stihovi 23–26 7-og poglavlja Prve Knjige o Carevima. To je, ustvari, bio veliki bronzani rezervoar s vodom, u obliku ljiljanovog cveta koji je sveštenicima služio za pranje žrtvenih životinja (Sl. 1). Stajao je na leđima dvanaest bronzanih volova, u predvorju Solomonovog hrama. Prečnik posude, prema Zuidhofu, bio je oko 5 m, visina oko 2,5 m a zahvatala je približno 45.000 litara. I pored ove masivnosti, posuda je delovala skladno i elegantno jer „debljina mu bejaše s podlanice, a kraj mu beše kao kraj u čaše“ (1. Car. 7, 26).

56

Danas postoje dve varijante Starog Zaveta: Hebrejsko-protestantska i katolička. Prva se oslanja na tzv. masoretski kanon, tj. na verziju hebrejskih redaktora Biblije koji su u vremenu od VI–IX veka n.e. upoređivali rukopise Starog Zaveta i na taj način došli do kanonskog teksta. Pravoslavna verzija Biblije drži se ovog kanona. Stari Zavet po ovom kanonu sadrži 39 knjiga među kojima su dve Knjige o Kraljevima (u pravoslavnoj redakciji, to su Knjige o Carevima) iza kojih slede dve Knjige o Dnevnicima koje se zajedničkim imenom zovu Paralipomenon što znači ‚ono što je propušteno‘. Svrha uključivanja Knjiga Dnevnika u kanon je dopuna prethodnih 12 knjiga, mada se, ustvari, mnogi događaji ponavljaju, pa se ponavlja i priča o gradnji Hrama. Tako se stih, citiran na početku, doslovce ponavlja u 2-gom stihu 4-tog poglavlja Druge Knjige Dnevnika (2 Dnev. 4, 2). Svete knjige su predanja višeslojnih značenja. Tako, Biblija često govori jezikom brojeva i mera. Zapadnoj misaonoj tradiciji ovaj jezik nije svojstven pa joj je zato često nerazumljiv. Broj π je izuzetak ali i snažna potvrda ovog stava. Drugim rečima, Zapadni mislioci su nastojali da iz Svetog Pisma dokuče vrednost ove, nadasve važne prirodne konstante, a kada su u Knjizi pronašli odgovor, nisu ga razumeli. Jer, odnos obima „mora“ i njegovog prečnika, daje vrednost broja π iz Hebrejske Biblije πHeb = 3 , a mnogo tačnija vrednost ove konstante bila je poznata 1500 godina pre vremena pisanja Knjige o Carevima (V ili VI vek p.n.e.). Ovaj paradoks nije promakao već ranim tumačenjima Knjige, hermenautičarima i ljudima od znanja iz antike, a oduvek je privlačio pažnju matematičara.

57

PARADOKS Danas svi znamo iz elementarnog matematičkog obrazovanja da je π ≈ 3,14 . Oni koji su upamtili mnemotehničku šifru ‚ još i krug u školi upoznaješ ‘ prebrojavanjem slova dobijaju poboljšanu vrednost π ≈ 3,14159 . Danas, uz pomoć kvalitetnih programa za numerička izračunavanja, broj decimala broja π je, praktično ograničen samo vremenom rada računara. Broj π je beskonačan, kao i Borhesova Peščana knjiga. On spada u tzv. iracionalne brojeve, koji se ne mogu, u dekadnom brojnom sistemu, izraziti konačnim brojem decimala. Međutim, on spada u onu grupu iracionalnih brojeva koji se ne mogu konstruisati, za razliku od npr. broja 2 . ‚Konstruisati‘ broj, znači, pomoću lenjira i šestara odrediti duž čija je dužina jednaka datom broju. Ovakvi brojevi se zovu transcedentni. L. Euler je 1775-te godine postavio hipotezu o transcedentnoj prirodi broja π . Sto sedam godina taj problem je bio otvoren, da bi, najzad, 1882-ge godine F. Lindemann dokazao njegovu transcedentnu prirodu. Time je rešen jedan mnogo stariji problem koji je nerazlučivo vezan za broj π : problem kvadrature kruga. Koliko danas znamo, ovaj problem potiče od Anaksagore iz Klazomene (500–428 p.n.e.). Dok je ležao u atinskom zatvoru optužen za bezbožnost jer je, pored ostalog, učio da Sunce nije božanstvo već nebesko telo, Anaksagora je vreme prekraćivao baveći se kvadraturom kruga. Problem se sastoji u konstrukciji kvadrata jednake površine kao zadati krug. Počev od Anaksagore, gotovo svi veliki umovi geometrije i matematike su se oprobali na ovom problemu. Lindemannov dokaz rešava problem time što dokazuje 58

njegovu nerešivost. Jer konstrukcija kvadrata svodi se na konstrukciju broja π , a budući da je on transcedentan nemoguće ga je konstruisati. Sada možemo postaviti pitanje: Zbog čega u Prvoj Knjizi o Carevima nailazimo na tako grubu procenu broja π , tj. π ≈ πHeb = 3 ? Moguća su tri odgovora: 1. Redaktori Biblije nisu znali za tačniju vrednost π ; 2. Znali su, ali iz nekog razloga nisu saopštili to što su znali; 3. Znali su, a tačniju vrednost su prikrili negde u tekstu; Prvu pretpostavku moramo odmah odbaciti. Redaktori Svetih spisa koji su kasnije ušli u Bibliju, bili su sveštenici – rabini. Kao i u sumero-vavilonskoj i egipatskoj duhovnoj tradiciji i kod Hebreja je ovim svetim ljudima bilo povereno čuvanje znanja i veština nad svim onim što je predstavljalo duhovno jezgro naroda. Našavši se u središtu najvažnije komunikacije Starog sveta, oni su bili u prilici da nauče mnoga nova znanja i tehnologije. Veze između Izrailjaca i dve velike civilizacije tog doba su višestruko isprepletane. Predvođeno patrijarhom Avramom Izrailjsko pleme potražilo je Obećanu zemlju oko 1850-te godine p.n.e. napuštajući Mesopotamiju, zemlju svojih predaka. Jedan deo izrailjskog naroda bio je u egipatskom ropstvu i oko 1250-te godine p.n.e. i pod Mojsijevim vođstvom izašao je iz Egipta.

59

Mojsije je bio egipatski sveštenik, a i mnogi njegovi sunarodnici, koji su učestvovali u ovom poduhvatu, zauzimali su važna mesta u piramidi egipatske države. Najzad, upravo u vreme formiranja masoretskog biblijskog kanona, delovi hebrejskog naroda odvođeni su čak tri puta u haldejsko ropstvo, ako se ne računa nepovratno odvođenje stanovnika Samarije u Asiriju, posle osvajanja ove nepristupačne tvrđave od strane Sargona II, 721-ve godine p.n.e. Tako je Asurbanipal, 642-ge godine odveo cara Manašea u ropstvo u Ninivu; njegov naslednik Nabukadonosor 598-me godine u Vavilon šalje cara Joahina, s tim što s njim polazi i prorok Jezekelj i još 8.000 Judejaca. Najzad, Sadekija, poslednji judejski car posle pada Jerusalima, 587-me godine polazi na isti put zajedno sa desetinama hiljada sunarodnika. U Vavilonskom ropstvu, mnogi judejski sveštenici su nastavili svoju delatnost i radili na obnovi duhovnog blaga. U tom smislu, dodiri sa naukom i kulturom Vavilonaca i Egipćana bili su neizbežni. S druge strane, znamo da su Vavilonci poznavali broj π kroz njegovu približnu vrednost πVavilon ≈ 3 1 8 = 3,125 . Ova vrednost je pronađena na pločici sa klinastim pismom koja je otkopana 1936-te godine na lokalitetu u blizini arheoloških ostataka Vavilona. Naime, pločica je sadržavala vrednost odnosa 6 r C gde je r poluprečnik a C obim kruga. Broj 6 r C je odnos obima pravilnog šestougla upisanog u krug i obima tog kruga (Sl. 2, levo). Smatra se da je

60

vrednost πVavilon korišćena u Mesopotamiji oko 2000-te godine p.n.e. Egipatska varijanta bila je nešto bolja,

π Egipat ≈ (16 9) 2 = 3,1605 , i takođe je bila poznata oko 2000-te godine p.n.e. Svedočanstvo o tome je poznati Rhindov papirus koji je nazvan prema njegovom prvom vlasniku, antikvaru Henryju Rhindu koji je dokument nabavio u Egiptu, 1858-me godine. Papirus predstavlja svojevrsni zbornik matematičkih problema koje je prepisao izvesni Ahmes sa nepoznatog originala, oko 1650-te godine p.n.e. Do približne vrednosti π ≈ (16 9 ) 2 , Ahmes dolazi tako što kvadrat deli na 9 manjih jednakih kvadrata, svaki površine 9 kvadratnih jedinica (Sl. 2, desno). Povlačenjem duži AB, CD, EF, GH, dobija se osmougaonik koji preseca dati krug u 8 i dodiruje ga u 4 tačke, i čija se površina ne razlikuje mnogo od površine kruga, a jednaka je površini 7 manjih kvadrata. Iz-

Slika 2: Izračunavanje broja π prema vavilonskom (levo) i egipatskom izvoru (desno) 61

jednačujući ove dve površine, i uzimajući da je 7 × 9 = 63 približno 64 = 8 2 , dobijamo (9 2 ) 2 π = 8 2 , tj.

π Egipat ≈ (16 9) 2 . Može li se braniti teza da su vrednosti πEgipat i πVavilon , prošle nezapaženo od hebrejskih rabina ako se zna da su upravo oni imali brojne kontakte sa egipatskim i haldejskim sveštenstvom? Pa i da je tako, i najjednostavnije merenje obima kruga nacrtanog na vlažnom pesku pomoću dva štapa i jednog kanapa, lako pokazuje da se prečnik sadrži u obimu više od tri puta. „Višak“ koji se tom prilikom dobija uopšte nije zanemarljiv. Na primer, kod kruga prečnika 2 m, ovaj ostatak ima dužinu od oko 628 cm. Drugu pretpostavku odbacujemo još brže. Znati tajnu broja π a ne uneti to znanje u Svete spise nešto je krajnje neverovatno. Tekstovi ove Svete knjige su predstavljali reč Božju. Da li bi mudri sedi sveštenici rizikovali zamenu istine poluistinom bez opasnosti da zbog toga navuku nesreću na svoj narod do koga im je pre svega bilo stalo? Jer, treba se podsetiti da je čitav smisao hebrejske verske tradicije upravo život u saglasnosti sa tradicionalnom Jehovinom verom i njegovim zakonima. Ostaje treća, najlogičnija ali i najzanimljivija hipoteza: redaktori Biblije su znali tačniju vrednost broja π od vrednosti πHeb = 3 , koja se dobija iz stiha 1 Car. 7, 23, ali su to iskazali u skrivenoj formi.

62

POKUŠAJI EGZEGEZE Egzegeza je veština tumačenja biblijskih tekstova. Čitava nauka, hermenautika, teorijska je osnova za egzegezu. Mnoge generacije rabina tumačile su sporne delove Svete knjige kroz vekove. Tako je bilo i sa stihom 1 Car. 7, 23, koji je zbunjivao i tražio objašnjenje. Jedan od zanimljivih pokušaja vezan je za Rabi Nehemiju, koji je živeo i radio u Palestini oko 150-te godine n.e. neposredno posle neuspelog ustanka Bar-Kohbe protiv Rimljana, koji je doveo do Dijaspore. Nehemija je autor prve hebrejske knjige o geometriji Mišnat-ha-Midot, u kojoj komentariše sporni stih. Da bi ovo tumačenje bilo jasnije moramo napomenuti da Daničićev slobodni prevod dela stiha koji govori o obimu „mora“ „a unaokolo mu bješe trideset lakata“ nije sasvim tačan. U doslovnom prevodu ovaj odlomak glasi: „i uže dužine trideset lakata obuhvatalo ga je unaokolo“, tj. pominje se reč ‚uže‘ (vrpca, traka) Vratimo se Nehemijinom tekstu iz Mišnatha-Midota, u kome se kaže: ‚Krug ima tri aspekta: obim, širinu i pokrivač. Šta je obim? To je dužina užeta koje obuhvata krug; jer je napisano „I uže dužine trideset lakata obuhvatala ga je unaokolo“. Šta je širina? To je prava linija od jednog do drugog kraja; jer je napisano „Od jednog kraja do drugog“. A pokrivač je sam po sebi, površina.‘ Nekoliko redova niže on nastavlja: ‚I ako želite da izračunate obim, pomnožite širinu sa 3 1 7 …‘ Ovde je Rabi Nehemija upotrebio Arhimedovu vrednost broja π , tj. 3 1 7 ≈ 3,142857 , do koje je naučnik iz Sira63

kuze došao u III veku p.n.e., dakle, bio je poznat Nehemiji, i on u nastavku teksta oseća potrebu za objašnjenjem nepoklapanja πHeb = 3 i Arhimedove vrednosti: ‚Kako učeni ljudi tvrde da se obim kruga sadrži u njegovoj širini 31 7 puta, treba jednu sedminu odbiti na debljinu zidova „mora“, tako da ostaje obim od trideset lakata.‘ Ovo bi moglo biti dobro objašnjenje. Dakle deset lakata je prečnik meren između spoljašnjih ivica „mora“, dok je obim meren iznutra. Na ovaj način proizilazi da je debljina zidova posude oko 10 cm, što se poklapa sa delom stiha 1. Car. 7, 26 „debljina mu bejaše s podlanice“, ali se nikako ne poklapa sa njegovim nastavkom „a kraj mu beše kao kraj u čaše“. Naime, na samom „kraju“, dakle na bridu posude gotovo da nije bilo razlike između „unutrašnjeg“ i „spoljašnjeg“, a teško je prihvatiti da je prečnik meren kod otvora posude a obim negde na sredini. To bi bilo isto kada bi broj π definisali kao količnik obima boce Coca-Cole na najširem mestu i prečnika njenog grlića. Bilo je još pokušaja da se nesklad između πHeb = 3 i stvarne vrednosti broja π objasni geometrijom posude. Tako, nemački dogmatski komentatori Biblije iz XVIII veka tvrde da je „more“ moralo imati šestougaoni oblik iako se u spornom stihu jasno kaže da je bilo „okruglo unaokolo“. Slično ovome, autori Almkvist i Brend, u jednom članku iz 1988-me godine napominju da pojmove ‚okruglo‘ i ‚duboko‘ treba interpretirati slobodno, i da je prema tome, „more“ moglo biti eliptičnog oblika. Gematrijska egzegeza: π Heb ≈ 3,14154094… 64

Biblija je spis višeslojnih značenja. To je bila i pre masoretske redakcije, kada je postojala samo kao usmeno predanje a zatim kao petoknjižje Tora (Thora). O tome srednjevekovni filozof i pesnik Rabi Moše ben Nahman poznat kao Nahmanid kaže: „Sve što je Mojsiju, našem učitelju preneto kroz četrdeset devet kapija razumevanja, zapisano je u Tori otkriveno ili skriveno u rečima, u brojevnim ekvivalentima pojedinih slova ili u obliku slova tako da su napisana ili normalno ili sa malim izmenama u obliku, izvijenim ili kitnjastim slovima ili drugim izmenama…“ Slova hebrejskog alfabeta su, davno pre podizanja Prvog Hrama, tradicionalno korišćena za potrebe numerisanja, pa su shodno tome, imala brojne vrednosti. Standardna numeracija slova hebrejskog alfabeta je sledeća:

Dakle, moguće je izračunati numerički ekvivalent neke hebrejske reči jednostavnim sabiranjem brojčanih vrednosti pojedinih slova od kojih se ta reč sastoji. Ovaj metod poznat je kao gematrija. U svojim radovima iz 1962–ge i 1968-me, Rabi Matitiahu HaKohen, koji je pisao pod pseudonimom Maks Munk, izneo je orginalnu egzegezu vezanu za stih 1 Car. 7, 23, koji u Hebrejskom originalu izgleda ovako:

65

Naime, upoređujući taj stih sa identičnim stihom 2 Dnev. 4, 2, HaKohen ukazuje na to da hebrejska reč koja se prevodi sa ‚uže‘ (u engleskoj verziji to je reč line) nije napisana na isti način. Naime, u Knjizi o Carevima ona je napisana po pravilima pisanih reči dok u Knjizi Dnevnika stoji njena fonetska varijanta. Prema hermenautici, to znači da je dužina užeta koja opasuje hramovnu posudu data samo približno. Koristeći brojčane ekvivalente hebrejskih slova lako

se može izračunati numerički ekvivalent pisane verzije reči ‚uže‘ i to je 111, dok je numerički ekvivalent fonetske verzije iste reči 106. Dakle varijabilna reč, kada se prvi put pominje (Knjiga o Carevima) ima gematrijski kôd 111, dok ista reč u drugom pominjanju (Dnevnici) ima kôd 106. Ima li šta prirodnije nego formirati razlomak ta dva kôda 111 106 i tim faktorom pomnožiti provizornu vrednost πHeb = 3 ? Tako se dobija nova, korigovana vrednost πHeb = 3 15 106 što daje

π Heb ≈ 3,1415094…

66

što je tačnost do četvrte decimale, a to je, s obzirom na vreme kada je Prva Knjiga o Kraljevima pisana (oko VII vek p.n.e.), bila basnoslovna tačnost, čak bolja od one koju su znali starogrčki matematičari πGr = 22 7 ≈ 3,142857 !

OTVORENA PITANJA Na XVII Kanadskom Kongresu o Istoriji i Filozofiji Matematike (Queen’s University, Kingston, Ontario) maja meseca 1991-ve, Edvard Belaga iz Nacionalnog Istraživačkog Centra Luj Paster u Strazburu, raspravljajući o HaKohenovoj egzegezi, pita se zbog čega autor Prve knjige o Carevima, a to je prema predanju prorok Jeremija, nije jednostavno ispisao tačne mere obredne posude i tako otkrio tačniju vrednost broja π . Međutim, da je Jeremija tako uradio, stih 1 Car. 7, 23 bi glasio ovako: I sali more; Deset lakata bješe mu od jednog kraja do drugog, okruglo unaokolo, a pet lakata bješe visoko a unaokolo mu bješe trideset jedan lakat i još četiristotine petnaest hiljaditih delova od jednog lakta. Odmah pada u oči rogobatnost ovog stiha u odnosu na daleko skladniji njegov sadašnji oblik. Naime odnos: trideset lakata obima prema deset lakata prečnika je mnogo pogodniji za ritualne svrhe zbog svoje fonetske jednostavnosti. O tome srednjevekovni filozof Rabi Moshe ben Maimon, poznatiji kao Majmonid, kaže: …odnos obima kruga prema njegovom prečniku ne može se saznati… ali se može dati približno… i ta približna vrednost koju koriste ljudi od nauke je

67

3 1 7 … Kako nije mogućno doći do tačnog odnosa, oni (hebrejski tekstovi) pretpostavljaju da je to ceo broj (=3).

Dakle, tekst Biblije je prilagođen praktičnim potrebama laika, kojima tačnost broja π ne znači mnogo, dok je poboljšana vrednost namenjena samo upućenima. Ako se setimo srednjevekovnog duhovnog ambijenta koji je dobrim delom kreirala inkvizicija, možemo oprostiti Majmonidu i Nahmanidu, koji su sasvim sigurno bili „upućeni“ ali nisu smeli o tome da napišu ni slova. Ovakvi duhovni pritisci doveli su do otuđivanja ideje Hrišćanstva koja se sve više gubila u beskrajnim teološkim raspravama i postajala sve apstraktnija. Kao posledica ovog neurotičnog rascepa pojavila se i potreba strogog odvajanja ‚legalne‘ vrednosti broja π = 3 od njegove ‚ezoterične‘ vrednosti 3,141509 koji otkriva egzegeza.

LITERATURA [1] Beckmann P, A History of π , St. Martin’s Press, New York, 1971. [2] Belaga, S. E. G., On the rabbinical Exegesis of an Enchanced Biblical Value of π , Publication Inst. Res. Math. Advan. 1992.

68

PRILOG: Vremenska linija koja pokazuje simetriju dogadjaja zidanja hrama i Velike šizme kada se Crkva definitivno podelila na Istočnu i Zapadnu: hram

HRIST

šizma

*



ß

−2000

+2000

Rana istorija Izrailja i gradnja hrama Prvo pismo (Sumer); Prvo državno uređenje, Rana 3200– Sumer, Akad, Egipat (staro carstvo-piramidebronza 2200 početak trgovine)

Srednja 2200– bronza 1550

U egipatskim tekstovima se pominju gradovi: Jerusalim, Aškelon, Sihim, Vet-San

2000 Izlazak iz Mesopotamije ↓ (1. EGZODUS) ↓ Vreme patrijarha 1400 Avram, Isak, Jakov ↓ ↓

1792– 1750 Pozna 1550– 1740– bronza 1200 1200

Hamurabi, vladar Vavilona Hiksi u Egiptu

1250 ↓ ↓

Izgon Josifa → odlazak u Egipat sinova Jakovljevih Izlazak iz Egipta (2. EGZODUS)

Isak Navin prelazi Jordan i uvodi Jevreje 1230 u Obećanu Zemlju

USMENA PREDANjA MASORETSKI KANON

1200–1020 SUDIJE 1020–1000 SAUL prvi car Jevreja 1000–961 DAVID SOLOMON → GRADNJA HRAMA 961–931 raspad Solomonovog carstva na severno (Izrailj) i južno (Judeja) Sargon II, car Asura (Asur, Asir – „blaženi“) 721 osvaja Samariju – pad severnog carstva Asurbanipal, car Asura i Vavilonije odvodi u 642 ropstvo cara MANASIJU i deo stanovništva u Asur Nabukadonosor odvodi u ropstvo cara 598 JOAHINA Osvajanje Jerusalima i pad južnog carstva 586 (Judeje), car SEDEKIJA odveden u ropstvo sa desetinama hiljada Jevreja

Vrednosti broja π onako kako su bile poznate u starom veku π

izvorni izraz

decimalni

racionalni

neprekidni

Egipat

(169 ) 2

3,1605

256 81

−

Vavilon

3 81

3,125

25 8

−

Biblija

3

3

3

[3;]

Arhimed

3 71

3,142857

22 7

[3;7]

Izrael

15 3 106

3,1415094

333 106

[3;7,15]

…i sedam će vremena proći preko tebe dokle poznaš da Višnji vlada carstvom ljudskim i daje ga kome hoće.

Данило 4:25 70

PONOĆNE REFLEKSIJE O SIMETRIJI

R

eč simetrija je složenica starogrčkog porekla i sastoji se od prefiksa syn (uz, zajedno) i korena metron (meriti). Prema pravilima starogrčke Gramatike krajnje n u prefiksu prethodi slovu m i zbog toga se transformiše u m dajući reč symmetron sa značenjem meriti zajedno. Tako ova kovanica dobro definiše osnovnu osobinu simetričnog objekta: njegovi delovi imaju istu meru – ravnomerni su. Ravnomernost delova može, ali ne mora značiti njihovu podudarnost. Takođe, objekat može, ali ne mora da bude ni predmet ni živo biće. Ali čak i u najjednostavnijim pojavnim oblicima kao kod simetrije leptira ili kristala dijamanta (Sl. 1.) simetrija predstavlja još uvek beskrajni izvor tajanstvenog smisla i izazova koji inspiriše. Dovoljno je primetiti da taj konkretni slučaj predstavlja dve suštinski različite simetrije. Iako su i leptir i kristal trodimenzionalni objekti simetrija leptira je dvodimenzionalna dok je simetrija dijamanta trodimenzionalna. Ravan u kojoj leži leptir je samo jedan od beskonačno mnogo presečnih ravni koje prolaze kroz osu kristala pa se može reći da se u simetriji kristala sadrži beskonačno mnogo leptirovih simetrija. To može da navede na zaključak da dijamant ima beskrajno savršeniju strukturu od leptira jer je beskrajno jednostavniji. Naravno, zaključak je ispravan ako se pod strukturom podrazumeva geometrijska struktura tj. količina

71

Slika 1: Dve simetrije: leptir i dijamant

informacija potrebna da se objekat formalnim jezikom opiše u odgovarajućem ambijentnom prostoru. Kroz istoriju ljudske duhovnosti potpuno ravnopravno, sasvim opravdano ali unutar nepojmljivo nepovezanih tokova, odvojeno jedna od druge, razvijala se svest o simetriji i njenom značaju. Tako je važnost simetrije uočena nezavisno u muzici, arhitekturi, biologiji, slikarstvu ali pre svega u fizici i matematici. Sasvim je izvesno da je među prvima, termin simetrija upotrebio Vitruvije (Marcus Vitruvius Pollio, c. 90–20 pre Hrista.), antički arhitekt i teoretičar arhitekture. Svoju izuzetnu slavu u arhitekturi Vitruvije je stekao čvrsto se držeći pitagorejskih principa proporcije. U početku (krotonski period), Pitagora je svojim učenicima preneo ideju o tri glavna tipa proporcije: aritmetičkoj, geometrijskoj i harmonijskoj. Naziv za geometrijsku proporciju bio je analogija (analogia) i ona se predstavlja odnosom a : b = c : d . Vitruvije u svom epohalnom delu O arhitekturi utvrđuje da je sklad jedne građevine posledica simetrije koja se izvodi iz analogije, tj. geometriske proporcije. Tako, on kaže: „Simetrija je usklađenost mera između različitih elemenata dela i

72

između tih izdvojenih elemenata i celine… Kao u ljudskom telu… ona proističe iz proporcije – one koju Grci zovu analogija – saglasnosti između svakog dela i celine… Ta simetrija ravna se prema modulu, etalonu zajedničke mere (za delo koje se razmatra), što Grci zovu posotes („broj“)… Kada se još i svaki značajan deo građevine prikladno razmeri u odnosu na visinu i širinu, širinu i dubinu i kada svi ti delovi imaju mesto u totalnoj simetriji građevine, onda dobijamo sklad (harmoniju)“. Međutim, osim sklada i vizuelne prijatnosti važnost simetrije je u principu redukcije. Naime, količina informacija potrebna da se neki objekat izgradi, raste sa njegovom nepravilnošću i obratno, opada sa pravilnošću. Na primer sfera,

Slika 2: De Architectura, klasično delo Marka Vitruvija

73

Slika 3: Konstrukcija Guhyasamaja mandale, manastir Nechung, (Dorje Drak-den) Tibet

edan od najpravilnijih trodimenzionalnih objekata zahteva samo dve informacije da bi bila konstruisana: poziciju centra i poluprečnik. Jednostavnije rečeno, da bi načinili strategiju gradnje nekog objekta za koji znamo da poseduje ogledalsku simetriju, potrebno je da našu gradnju svedemo samo na polovinu objekta, a druga polovina se kompletira jednostavnim ponavljanjem onih delova koje smo već izgradili. Dakle, simetrija kao posledica primene proporcija, u sebi sadrži bar dve pogodnosti: pojednostavljuje gradnju i (istovremeno) podiže estetski nivo građevine čineći je tako prijatnom za upotrebu. Tirš (Tiersch) u svom delu Die Proportion in der Architektur analizira lepe građevine proteklih epoha: „Posmatrajući najuspešnija dela svih vremena, utvrdili smo da se u svakom od njih ponavlja jedna osnovna forma i da delovi kompozicijom i rasporedom obrazuju slične figure… Harmonija potiče samo iz ponavljanja glavne figure dela u njegovim celinama“. Tiršov zaključak je univerzalan i može se primeniti i na muzička, likovna i literarna dela svih epoha. Mandale su obavezni deo rituala tantričke inicijacije. Mandalu prave mladi monasi koji se spremaju za čin inicijacije i

74

to od obojenog peska koji se posipa na posebno konstruisanu matricu. (Sl. 3.) prikazuje geometriju konstrukcije Guhyasamaja mandale. Osnovu čini centralni kvadrat koji je dimenzija 8 × 8 jedinica. Vertikalna osa kvadrata usmerena je u pravcu severoistoka. Zatim se konstruišu četiri podudarna kruga prečnika 12 jedinica. Posle toga matrica se dalje usložnjava sistemom manjih i većih kvardata i koncentričnih krugova. Kad je matrica spremna pažljivo se naspe pesak u jasnim bojama. U ovom slučaju dominira zelena, oker, zlatno-žuta i crvena boja. Proces izrade mandale traje i po nekoliko meseci i odvija se u posebnoj prostoriji manastira na nekoj vrsti oltara. Posle obreda mandala se uništava a njen pesak se prosipa u najbliži potok. Da li je osmostruka simetrija Guhyasamaja mandale od esencijalne važnosti za izražavanje religioznih osećanja budističkih vernika? Naravno da jeste. U budističkoj tantričkoj tradiciji mandala je slika Devičakre – božanskog točka koji se okreće oko centra sveta. Svojim okretanjem od donosi promene ali osa točka je nepokretna. To je istočno rešenje zagonetke o nepokretnom pokretaču i osnova neprekidnog toka rađanja i umiranja (u starogrčkoj filozofiji: genesis kai ftora). Dakle, kružno kretanje kao osnova periodičnog stalnog vraćanja je savršenije od translatornog i zbog toga postaje sinonim božanskog. Aristotel je takođe primetio ovu „božansku“ osobinu kružnog kretanja i izrazio je lepim zaključkom da kružnom kretanju, za razliku od translatornog, nije potreban novi prostor. Mandala prikazuje jedan trenutni položaj velikog božanskog točka. Ali ne bilo koji položaj, već onaj koji se poklapa sa koordinatama strana sveta – sa ružom vetrova. U

75

Slika 4: Rotaciona simetrija kao sredstvo redukcije informacija

centru mandale uvek se nalazi neko božanstvo u nekom od mnogih reinkarnacija. Prema nazivu božanstva i stanju reinkarnacije dobija ime i mandala. Jedno od najpopularnijih božanstava oko kojih se izgrađuje mandala je Vajravarahi. U čuvenoj phag-mo mngon-byung dkyil-khor mandali koju nalazimo u kolekciji mandala iz XIII–XVI veka, najvećoj na zapadu, Rossi & Rossi (London), vidimo Vajravarahija okruženog sa 8 strana: sa istoka Dakinijem, sa severa Lamom, sa zapada Khandarohom, sa istoka Rupinijem, zatim sa jugoistoka posudom sa supstancom „prosvetljujuća misao“ (bodhicitta), sa jugozapada posudom sa krvlju, sa severozapada posudom koja sadrži „pet nektara“ (pancamirta) i sa severoistoka posudom sa „pet supstanci za prosvetljenje“ (pancapradipa). Vratimo se sada kružnom kretanju. Ako se na jedan likovni motiv (Sl. 4, levo) primeni Zakon kružnog kretanja oko utvrđene ose i kretanje se zaustavi posle 2 3 kruga dobijamo sliku koja ima rotacionu simetriju trećeg reda (potrebna su tri okreta za 2 3 kruga da bi slika došla u početni položaj) – (Sl. 4, sredina). Rotaciona simetrija nekog predmeta znači da je količina informacija koja opisuje čitav objekat

76

umanjena za red simetrije. Mnogi organizmi u prirodi odlikuju se rotacionom simetrijom (Sl. 4, desno). Kružna simetrija je karakteristično svojstvo organizma na nižem stepenu evolucije. Sa specijalizacijom pojedinih delova organizama koji su na višem stepenu razvojne lestvice gubi se simetrija. Dakle, za formiranje organizma sisara potrebno je više informacija nego za formiranje jednog mekušca ali ipak mnogo više nego za formiranje jedne radiolarije. Za radiolariju opet, više nego za neki virusni bacil itd. Poseban deo fitologije bavi se morfologijom biljaka. Simetrija je prisutna u izobilju u svakoj vrsti. Poseban značaj se pridaje proučavanju simetrije skrivenosemenica (cvetnica) kod kojih glavna osa rašćenja prolazi kroz stablo i koren. Rast je posledica pojave novih ćelija u blizini vršnog i korenog apeksa. Simetrija u odnosu na glavnu osu je evidentna u rasporedu bočnih izdanaka. Začeci novih listova i izdanaka nalaze se u konusnom vrhu stabla koje raste, u oblasti koja se zove meristen. Simetrija sveg rastinja sadrži se unutar meristena. Porast bočnih izdanaka se povećava sa udaljenošću od apeksa ili meristena a njihov raspored ( filotaksija ) je sadržan u informacijama koje se čuvaju u ćelijama meristena. Ove informacije se mogu predstaviti razlomkom kome u brojiocu stoji broj okretaja koji se izvode po zavojnoj liniji uzduž vetrikalne ose stabla između dva susedna lista sa istim položajem po vertikali (ortostih) dok u imeniocu broj vertikalnih listnih redova (ortostihova). Kod nekih biljaka (ulmus americana, na primer) listovi se nalaze na svakom kolenu sa suprotne strane. Takva biljka, dakle, ima dva ortostiha a potreban je jedan okret da bi se stiglo do sledećeg lista istog ortostiha. Ovo su najjednostavnije fitotaksije i njih karakteriše razlomak ½. Dakle, ponovo pitagorejski odnos,

77

ponovo razmera. Proučeni su svi mogući odnosi fitotaksije biljaka i oni čine niz: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 , , , , , , , , ,… 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Primetimo da u ovom nizu postoji pravilnost: zbir brojioca dva uzastopna razlomka čini brojilac sledećeg a isti zakon važi i za imenioce. Niz brojioca 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … je poznati Fibonačijev niz. Količnik dva sukcesivna člana ovog niza teži ka graničnoj vrednosti ϕ=

1+ 5 = 1,6180339887498948482045868343656… 2

koji se zove Zlatni broj ili Zlatni presek. Ulogu Zlatnog broja intuitivno su naslućivali Pitagorejci kao i Platon jer se ovaj broj javlja pri konstrukciji pravilnog petougla. Zanimljivo je da niz fitotaksija konvergira broju 0,381966… kome odgovara granični ugao obrtanja oko ose stabla od 137° 30′ i 28″, i koji se naziva idealnim uglom. Brojevi 34, 55 i 89 iz Fibonačijevog niza pojavljuju se u rasporedu semenki

Slika 5: Ravno ogledalo kao sredstvo za konstrukciju simetričnih svetova: Escher

78

suncokreta. Prvim iskustvima simetrije uglavnom treba da zahvalimo ogledalu. Obično, ravno ogledalo deli prostor na dva dela ali pridružuje mu se i jedan novi prostor, prostor iluzije. Baš zato što slika u ogledalu deluje trivijalno ne nalazimo u njoj ništa posebno zanimljivo. Međutim, slika u ogledalu, sem što je simetrična slika prednje polovine prostora, krije i mnoge druge neobičnosti. To ćemo uvideti ako probamo da procenimo veličinu koju slika predmeta zauzima na po-

Slika 6: Modifikacija simetrije: reljefni ukras sa jedne crkve u Srbiji (levo) i slika Hansa Hartunga (desno).

vršini ogledala, na primer naša glava. Ovu enigmu ogledalske simetrije uspešno dočarava holandski grafičar Maurits Cornelis Escher (Sl. 5). Matematički opis ogledalske simetrije je jednostavan i zahteva samo negativne brojeve. Ali primene ove vrste simetrije su bezbrojne i idu od kvantne mehanike do hirurgije. Ogledalska simetrija zbog svoje trivijalnosti nije pogodovala umetnicima. Zbog toga je bilo uvek potrebno modifikovati je do naboja umetničkog izraza. Na (Sl. 6.) data su dva takva primera. Prvi je reljefni motiv sa ukrasa na jednoj

79

Slika 7: Translatorna simetrija: Hamurabijeva palata i kristalna jedinica zlata.

srpskoj crkvi. On prikazuje dve mitske životinje postavljene u položaj ogledalske simetrije. Međutim, njihov pokret izvijanja vrata ingeniozno unosi treću dimenziju i narušava puko suvoparno ponavljanje motiva. Drugi primer je apstraktno delo Hansa Hartunga. Na slici vidimo niz vertikalno usmerenih linija, od pravih do lako savijenih. Uočavaju se dve osnovne mase dobijene grupisanjem linija. One zamalo čine simetrični motiv, ali je simetrija narušena većim grupisanjem linija sa jedne strane i blagim povijanjem većine od njih. Na ovaj način estetski doživljaj je intenzivniji. Druga velika grupa simetrija je translatorna simetrija. Ona podrazumeva ponavljanje motiva u ravni ili prostoru. Ova simetrija se primenjuje u arhitekturi od najstarijih vremena u obliku frizova (Sl. 7, levo) i popločavanja. Na primeru translatorne simetrije može se uočiti osnovna matematička karakteristka simetrije. Objekat A je simetričan ako se primenom neke transformacije T on ne menja. Kraće, ako je A = T ( A) . U slučaju translatorne simetrije T je translacija za dužinu jednaku razmaku između dva elementa simetričnog friza. Međutim, odmah se uočava da friz mora da bude beskonačan, da bi gornja formula mogla da se pravilno prime-

80

ni. Setimo se rotacionog kretanja koje ne zahteva novi prostor. Evo smo kod translacije koja ne može da postoji bez tog novog prostora. U prirodi se ova simetrija sreće u strukturi materije pre svega. Zlatna poluga se sastoji iz ogromnog broja kristalnih modula (Sl. 7, desno) koji, poređani jedan do drugog u sva tri prostorna pravca daju masivni volumen zlata. Sem u arhitekturi i dekorativnim umetnostima, translatorna simetrija se sreće i u muzici i poeziji. Ustvari, vremenska analogija prostorne translatorne simetrije je ritam. Analogija

Slika 8: Dvo- i trodimenzionalni ritam: Navajo ćilim i drvena posuda iz Zaira.

proporcije u vremenskom domenu je euritmija. Ukoliko vremenski događaj nije ritmičan on je anti-ritmičan i anti-ritmičnost je osnova razbijanja vremenske simetrije. Ali on takođe može biti i aritmičan i to onda kada ritam odsustvuje. Muzika kojoj se oduzme ritam svodi se na takt i to je jednodimenzionalna muzika. Ako se taktu doda ritam, dobijamo dvodimenzionalnu muziku a ako se doda tonalitet ona postaje trodimenzionalna. Ali nosilac estetskog u muzici, u poeziji, pa i u pozorištu je svakako euritmija. Jedna muzička

81

Slika 9: Zakrivljeni svet: izvor nove simetrije.

kadenca može biti anti-ritmična ali ne anti-euritmična ukoliko pretenduje na dopadljivost. Dvodimenzionalna euritmična muzika može se uporediti sa šarenim ćilimima narodne radinosti kojih ima u svim civilizacijama zapada i istoka (Sl. 8, levo) dok se trodimenzionalna euritmična muzika može uporediti sa delima arhitekture, vajarstva ili dekorativne plastike (Sl. 8, desno). Naravno, ne bismo imali potpunu predstavu o fenomenima simetrije ako bi se zadržali samo na njenim tradicionalnim formama. Pogledajmo umesto u ravno, u sferno ogledalo, kao što je to uradio grafičar Escher (Sl. 9), čiji smo lik već videli u ravnom ogledalu. Može li se naći transformacija T koja preslikava naš obični prostor u onaj koji vidimo u sfernom ogledalu? Ili u kapi rose? Odgovor je potvrdan. Ako sada naš prostor i njegovu zakrivljenu sliku posmatramo kao celinu, šta se može reći o tom novom svetu? Koju vrstu simetrije on poseduje? Odgovor je da je to nelinearna simetrija. A to znači da su naše dosadašnje, obične simetrije: rotaciona, translatorna i ogledalska linearne. I to je tačno. Njihova linearnost se ogleda u tome da pri transformisanju jednog dela u drugi transfor-

82

macijom T ne menjamo dužinu. Drugim rečima, tradicionalne simetrije su izometričke. Zaista, pri rotaciji, translaciji i ogledanju, linearne dimenzije predmeta ostaju nepromenjene. No, pre nego što vidimo šta je sa nelinearnošću, pomenimo još jednu transformaciju koja je srodna pomenutim trima a ima osobinu da može da menja dužinu. To je transformacija sličnosti. Ona preslikava kvadrat u manji ili veći kvadrat, krug u manji ili veći krug. Još opštija je tzv. afina transformacija. Ona sem veličine može da promeni i ugao, tako da kvardat prevodi u romboid, krug u elipsu. Ono što

Slika 10: Barnslijeva paprat: Objekat četvorostruke kontraktivne simetrije.

ostaje invarijantno pri afinoj transformaciji je razmera! Eto zašto je pitagorejska razmera tako važna. Uzmimo sada jednu afinu transformaciju T i primenimo je na objekat A. Pretpostavimo da dobijemo T ( A ) = A . Šta je A? Ne treba mnogo razmišljanja da bi se ustanovilo da A mora biti tačka. Svi ostali objekti ne bi odgovarali jer smanjivanje dužine usled transformacije T dovodi do toga da je T ( A ) manje od A. Jedino ako A nema dužine tada jednakost važi. Dobro. A šta ako uzmemo dve ili više afinih transformacija pa T definišemo kao ukupnost svih slika objekta A u odnosu na te transformacije? Tada se dobija

83

potvrdan odgovor. Objekti sa takvom kompleksnom simetrijom postoje. Na (Sl. 10.) prikazan je postupak dobijanja jednog takvog objekta poznatog kao Barnslijeva paprat (Michael Barnsley). U ravni deluju četiri transformacije afinog tipa koje smanjuju dužinu (tzv. kontraktivne transformacije). Početna slika je četvorokraka zvezda. Nakon primene sve četri kontrakcije, ukupnost slika ove zvezde je prikazana na Sl. 10, sasvim levo. Jedna od slika zvezde je, vidimo duž, ustvari veoma uska zvezda. Posle ponovljene procedure, uzimajući za polazni skup prethodnu sliku, dobijamo nešto složeniju sliku koja sadrzi 16 malih zvezdica, itd. Na (Sl. 10.) je prikazano 5 takvih etapa. Nastavljanjem procedure ubrzo dolazimo do skupa tačaka u ravni koji se više ne menja pod uticajem naše složene transformacije T. To je objekat prikazan sasvim desno na istoj slici. Ovaj objekat, označimo ga sa A, zadovoljava relaciju simetrije A = T ( A ) . On predstavlja simetričan objekat u odnosu na skup afinih kontraktivnih transformacija. Sada možemo postaviti pitanje: nije li svaki objekat na ovom svetu simetričan? Zar se ne može naći transformacija koja bi telo čoveka preslikala u levu nogu, zatim druga transformacija koja bi isto to telo preslikala u desnu nogu, pa, po jedna za obe ruke, itd? Sabiranjem slika tih transformacija možemo sastaviti čovečje telo i onda možemo reći da je ono simetrično na taj poseban način. Naravno da takve transformacije postoje ali je problem u tome što su one veoma, veoma složene. Na primer, one ne samo da nisu afine već su i veoma nelinearne. Na taj način dobijamo veoma složenu simetriju čovečjeg tela. Problem je pronaći jednostavne simetrije pa makar i nelinearne. Koja nelinearnost je najjed-

84

nostavnija? Naravno, kvadratna nelinearnost. To je ona nelinearna funkcija koja je vezana za Zakon kosog hica, a to je formula parabole. Ovakve jednostavne funkcije (preslikavanja) su dugi niz decenija mučile fizičare unoseći nepredvidivost u jednostavne fizičke modele kretanja – dinamičke modele. Na primer u model klatna. Kuglica obešena o nit, pri kretanju sledi periodičnu matricu, ono što smo u muzici zvali ritmom. Ali taj ritam nije jednostavan, već se pojavljuje odstupanje, istina sasvim malo, ali neobično složeno odstupanje od očekivanog kretanja koje se dobija proračunima iz pojednostavljenih linearnih modela. Objašnjenje leži u zanemarenim nelinearnostima, ali kako doći do njega? Danas je dobro poznat mehanizam ovih nepredvidivih odstupanja, ali je jedinstven zaključak da je on veoma složen. Proučavanje ove oblasti navelo je Mandelbrota (Benoit Mandelbrot) da konstruiše skup koji bi slikovito predstavio sve mogućnosti ovakvog nelinearnog odstupanja. Pritom se ograničio na kvadratnu nelinearnost. Eksperiment je izvodio krajem šezdesetih godina na jednom od prvih komercijalnih elektronskih računara. U prilično nejasnoj slici koju mu je odštampao računar, dobio je odgovor na to koliko je novi skup nepravilan. I sam Mandelbrot se iznenadio. Ovaj skup je sada jedan od ikona nove teorije koja se ubrzano razvija: Teorije haosa. Prikazan je na (Sl. 11, levo), i to je bela površina ograničena „koncentričnim“ linijama koje ga okružuju. Ipak, skup je simetričan na tradicionalan način, ogledalskom simetrijom. Leva polovina pripada negativnim brojevima a desna pozitivnim. Otuda simetrija: (-x) stepenovano drugim stepenom je x.

85

Slika 11: Nelinearna simetrija: Mandelbrotov skup i statua Bude.

Zbog svog specifičnog „trbušastog“ oblika i pomenute simetrije, Mandelbrotov skup liči na Budinu statuu. Ali to nije jedina sličnost. Izrazita složenost budističkog učenja, a jednu njenu emanaciju smo videli u beskrajno komplikovanim tantričkim mandalama, neodoljivo podseća na basnoslovnu složenost Mandelbrotovog skupa. Sukcesivnim uvećanjima delova, naročito granice ovog skupa, dolazimo do detalja koji se ponavljaju na raznim stepenima uvećanja, i u raznim zonama skupa. To je gotovo neodoljiva analogija sa učenjem o reinkarnaciji kada se u raznim vremenskim delovima pronalaze slična ili identična bića. Ustvari, samosličnost Mandelbrotovog skupa u geometrijskom prostoru, odgovara samosličnosti budističkog učenja o prirodi Univerzuma. Tu samosličnost je možda naslućivao i Pitagora kada je rekao (sudeći po svedočenjima njegovih učenika): „Priroda je uvek slična samoj sebi“. Na žalost, delovi spisa Hieros Logos koji bi nam to možda potvrdili su zauvek izgubljeni. Ipak, ono najdragocenije što nam je ostavila pitagorejska škola je zahtev za usklađivanjem, harmonijom ritmova individue i Univerzuma, ideja koju je od Pitagorejaca preuzeo i dalje širio Platon.

86

KOMENTARI NA PERI ELIKON – Ovo, rekoh napokon starcu, ovo ne može biti ništa drugo nego veliki malstremski vrtlog. E. A. Po: Silazak u Malstrem

PRELUDIJUM Duboko u ljudskoj podsvesti nalazi se nešto što se zove arhetip. „Pojam arhetipa” tvrdi Jung 1 , „je sam po sebi jedna nepredstavljiva, nesvesna, primarna forma, koja je izgleda sastavni deo nasleđene strukture psihe i koja se stoga spontano može ispoljiti bilo gde i bilo kada. Usled svoje nagonske prirode arhetip prožima emocionalno obojene komplekse deleći s njima njihovu autonomiju“ [11]. Ima više arhetipova, ne znamo koliko. Neki od njih se izražavaju geometrijskim jezikom i prikazuju slikom. Jedan od takvih, geometrijskh arhetipova je spirala. To je ujedno i prva komponenta koja spiralu (zavojnicu) ugrađuje u same temelje Univerzuma. Druga komponenta je njeno gnomonsko svojstvo. Ono se sastoji u tome da makar i najmanji deo spiralnog luka sadrži informaciju o spirali kao celini. Ili, bes1

Carl Gustav Jung, 1875–1961.

87

a. Šarden: Dečak s kartama; b. fitotaksija; c. proporcije Glave Meduze; d. maglina u sazvežđu Eridana; e. Keramika iz Anadolije (nalazište Hadžilar, rani halkolit, oko 5500 god. pre Hrista)

konačno u konačnom, obrazac rasta DNK. I najzad, treća komponenta je kategorija lepog, koja spiralu uvodi u svet umetnosti. Naime, postoji esencijalna veza zavojite linije sa proporcijom zlatnog preseka, geometrijom pravilnog petougla i Fibonačijevim nizom brojeva, tim osnovnim gradivnim elementima likovne forme i kompozicije. Otud njena spontana pojava u vizuelnim umetnostima, posebno u arhitekturi i slikarstvu. Ove tri komponente autorovog viđenja spirale date su u odeljcima pod naslovima arhetip, gnomon, i estezis. U odeljku estezis, se po prvi put u (svetskoj) literaturi, primenjuje spiralna kompoziciona analiza, i ilustruje na nekoliko poznatih dela likovne umetnosti. Sve u svemu, ovaj tekst je jedan pokušaj da se na čitaoce, koji bi pre njegovog čitanja, na pitanje „Postoji li veza između kompozicija umetničkih slika, rasta biljaka i životinja, proporcija antičkih statua, udaljenih galaksija, hemijskih reakcija i neolitske dekorativne grnčarije?“ odgovorili „A zar je ima?“ utiče tako da posle čitanja njihov odgovor glasi „A zar je nema?“.

88

ARHETIP Zavojite forme su očito imale nezamenljiv uticaj pri oblikovanju pojedinačne i zajedničke psihe. Lik spirale, viđan je i pobožno beležen od ustrašenih paleolitskih ljudi počev od predinastičkog Egipta, Krita, Mikene i Mesopotamije, preko Indije, Kine, i Japana do Okeanije, pretkolumbovske Amerike pa nazad, do Evrope, i kojegde još. Ko zna šta je sve zadavalo strah ali i izazivalo divljenje: oluje, grmljavine, vodene stihije, životinje, šume, kamenje, zemlja. Svetlost, tama, zvuk, tišina, toplota, hladnoća. Sve je ovo uticalo na uobličavanje duhovnog napora koji je nezadrživo nagonio primitivne ali veličanstvene civilizacije na ostavljanje predanja o sebi i na obaveštavanje budućih pokoljenja o vremenima koja neumitno i zauvek prolaze. Proučavanje dekorativne umetnosti primitivnih plemena i

Slika 1: Srednje bronzano doba: a. Votivna kolica iz Dupljaje; b. Detalj sa spiralnim motivima; c. Zoomorfni riton sa motivima dvostruke spirale (Vatin)

89

Slika 2: Rani Srednji vek, civiliacija Moche (Južna Amerika). Ratnik (levo) i ukras od zlata (desno)

drugih zajednica, pokazuje da je spiralni oblik korišćen kao simbol sunca, meseca, vaduha, vode, sile stvaranja, rađanja i umiranja. Kultu sunca i plodnosti su verovatno posvećene zavetne žrtve (votivi) sa Slike 1 ([9]). Jasno su izraženi ukrasi sa spiralnim linijama koji predstavljaju sunce ili spoj sunca i plodnosti. Na primerku glinene figurice južnoameričkog ratnika naroda Moche vidi se ukras u obliku dvostrane spirale (Sl. 2, levo). Da li je poreklo ovog motiva umirenje straha od jaguara, čiji je animistički idol bio inspiracija zlatnom ukrasu za glavu (Sl. 2, desno)? Za jaguara se mislilo da mu snaga leži u repu čiji je kraj uvek zagonetno zavojito savijen. Tako, ako ratnik na svojoj odeći nosi taj zavijutak, on će imati snagu i lukavstvo jaguara. Udvostručavanjem zavijutka efekat se pojaćava, kao što se zvuk osnažuje odjekom. Životinjski rep, spiralno savijen, može se videti i na tetoviranim telima poglavica iz skitskih grobnica u nalazištu Pazirik [15]. Veoma lep i čist oblik spirale nalazimo kod kamenih „crteža“ australijskih Aboridžana (Sl. 3a). Pretpostavlja se da on od-

90

slikava putanju kretanja lovca oko plena. U tom ritualnom približavanju životinji, ima nečeg višeg od pukog lovačkog lukavstva. Verovatno se radi o šamanističkom obredu postepenog preuzimanja životinjske duše pre njene smrti.

Slika 3: a. Jednostrana spirala aboridžanskih lovaca; b. dvostrana spirala na glinenoj pločici iz Kine; c. Patrijarh P’an-ku drži kosmičko jaje jin-jang (litografija, 19. vek)

U ovom slučaju, spiralnu putanju treba uzeti usmerenu ka centru. U nekim drugim slučajevima, spiralna linija je usmerena suprotno, tako da se odmotava, odnosno udaljava od centra. Spoj odvijajuće i zavijajuće spirale (dvostrana spirala, Sl. 3b) simbolizuje, dakle, jedinstvo jačanja (odvijajući smer) i slabljenja (zavijajući smer) neke svete sile. Obično se radi o simbolici jačanja i slabljenja solarnih i lunarnih moći, evoluciji i involuciji, dana i noći, života i smrti. Simbol jinjanga je takođe izveden iz oblika dvostrane spirale. Na (Sl. 3c), ovaj simbol je prikazan u svom izvornom značenju, kao dve polovine kosmičkog jajeta (nebo i zemlja) koje

Slika 4: Spiralni likovni elementi kod plemena Altaj, centralna Azija

91

Slika 5: Levo: Kikladska obredna posuda (3000 g. pre Hr. [5]); desno: Mikena – zlatni kolut sa motivom hobotnice [12]

drži niko drugi do patrijarh P’an-ku koji je rođen u tom jajetu, a od koga je kasnije postao čitav svet [12]. Da je oblik jednostrane pa i dvostrane zavojnice povezan sa životinjama, vidi se i na lepim primercima primitivne umetnosti Altajskih plemena [13] (Sl. 4). U Indiji, spirala simbolizuje sklupčanu i usnulu zmiju Kundalini, dok je dvostrana spirala simbol šaktu i šakti, muškog i ženskog principa u šaktijskoj varijanti Hinduizma. U keltskoj simbolici spirala predstavlja plamen i vatru. Takođe, i uglavnom u mediteranskim civilizacijama, ona može biti simbol kiše i kišonosnih oblaka, a jednako i munje i groma. No, svakako, jedan od moćnih uticaja na stvaranje geometrijskih arhetipova imale su vode – reke, jezera, mora, okeani, i živi svet u njima. Tako su, na Kritu i Mikeni, morski talasi kao i sklupčani pipci hobotnice bili prikazivani kao spirale (Sl. 5). Pritom je veštim korišćenjem simetrije pojačavan utisak spiralne simbolike. Na primer, kod obredne posude sa Kiklada, uočljiva je rotaciona simetrija spiralnih talasa koji okružuju Sunce, dok je ho-

92

botnica na zlatnom disku iz Mikene prikazana kao ogledalski simetrična figura.

Slika 6: Bura na moru. Kineska slika iz 12. veka

Osim što je davalo hranu i povezivalo svetove, more je pokazivalo i svoju tamnu stranu (Sl. 6), koju je literarnoj publici na ingeniozan način predstavio Edgar Alan Po u pripovetci Silazak u Malstrem 1 . Obratimo pažnju na tekst.

Pisac svog glavnog junaka dovodi u Norvešku da bi od lokalnog starog ribara čuo neverovatnu priču o velikom spiralnom, levkastom vrtlogu koga u području Lofodskih ostrva periodično obrazuju ćudljive morske struje. O tom fenomenu posetilac je bio obavešten iz pisanog izveštaja izvesnog Jonasa Ramusa, ali ono što se sada odigravalo pred njegovim očima, dok je sa ribarom stajao na vrhu brega Helzegen, mnogostruko je prevazilazilo sva njegova očekivanja. „Odjednom, sasvim iznenadno, taj novi vrtlog poprimio je završni kružni oblik od oko pola milje u prečniku. Ivica vrtloga predstavljena je prstenom blještave bele pene. Ali, Orginalni naslov A Descent Into the Maelstrom [18], kod nas je preveden različito: npr. U Vrtlogu Malstrema [16] ili Zaneseni u Maelstrom [17] 1

93

ni jedna jedina čestica tog pojasa nije skliznula u ždrelo užasnog levka, čiju je unutrašnjost, dokle se okom moglo dopreti, sačinjavao gladak, sjajan i kao ugalj crn vodeni zid, nagnut pod uglom od oko 45°, koji se vrtoglavom brzinom kretao u krug, klateći se, uzavirući i prolamajući vazduh strašnim glasom, upola krikom upola rikanjem, kakav čak ni moćni slap Nijagare nikad ne upućuje nebu u svojoj agoniji“. Posetilac saznaje da je ribar imao lično iskustvo sa divovskim vrtlogom u koji je bio uvučen zajedno sa svojim bratom, takođe ribarom, i malom ribarskom barkom. O tom događaju, zbog kojeg je osedeo za jednu noć, ribar priča: „Nikad neću zaboraviti ono osećanje strahopoštovanja, užasa i divljenja s kojim sam gledao oko sebe. Barka kao da je nekom čarolijom visila na pola puta u provaliju, na unutrašnjoj površini širokog i neizmerno dubokog levka, za čije se savršeno glatke strane moglo pomisliti da su od abonosovine da nije bilo one zapanjujuće brzine kojom se sve obrtalo u krug i onog bleštavog i sablasnog sjaja svetlosti punog Meseca koji se odbijao o njih čineći sjajnu zlatnu reku koja se spuštala niz crne zidove do u najskrovitije dubine ponora“. Neočekivano, u nastavku dijaloga, ribar daje začuđujuće racionalno objašnjenje za svoje iracionalno spasenje. „Uočio sam, takođe, tri značajne stvari. Prvo, kao opšte pravilo, da ukoliko su predmeti veći, utoliko je i njihovo spuštanje brže; da od dva predmeta jednakog obima, ako je jedan sferičan a drugi ma kakvog drugog oblika, brzina spuštanja kugle je veća; treće, da od dva predmeta jednake veličine, ako je jedan cilindričan a drugi ma kakvog drugog oblika, cilindričan će biti progutan sporije“.

94

Da bi potkrepio upotrebu matematičkih termina, koje jedan siromašni ribar verovatno ne bi mogao da poznaje, Po se koristi zanimljivom racionalnom konstrukcijom prema kojoj je ribar naučio značenje termina „sferičan“ i „cilindričan“ od lokalnog učitelja dok on sam, u noti na kraju priče, navodi svoj izvor gornjeg, veoma racionalnog zapažanja, koje, kako vidimo pripada Arhimedu [1]. U nastavku priče, našavši se u smrtnoj opasnosti, ribar sledi svoj ratio i privezuje se za bačvu sa palube, predmet cilindričnog oblika, tako da našavši se u vodi, posle raspada barke, vrtlog ne uspeva da ga usisa dovoljno brzo i – njegov život je spasen. Analiza ove Poove pripovetke pokazuje da Malstremski vrtlog nosi arhetipsku simboliku zavojnice, čija konvergencija ka centralnoj graničnoj tački predstavlja večni, beskrajni ponor. Veliki spiralni vrtlozi poput Malstrema mogućni su i u atmosferi (tornado) ali i u daleko većim razmerama, u dalekoj Vasioni. Kompjuterska simulacija jednog gravitacionog vrtloga koji nastaje u blizini crne jame sa dva gravitaciona centra prikazan je na (Sl. 7). Simbolika

Slika 7: Levo: vodeni vrtlog (detalj sa Sl. 5); desno: svemirski vrlog (kompjuterska simulacija)

95

vrtloga je, kao i Poova priča, najpre i najviše vezana za predstavu suprotstavljenosti principa racionalno – iracionalno. Drugi vid ove suprotnosti ogleda se kroz oprečnost saznajno – emotivno. Proces učenja, ili, šire, proces duhovnog obogaćenja često je, u racionalnoj evropskoj tradiciji prikazan kao mukotrpan uspon zaSlika 8: Rembrant: Filozof sa otvorenom vojitim stazama ili steknjigom, 1633, ulje na platnu peništem kao što nam to ilustruje Rembrantova slika (Sl. 8), upravo zbog toga što je svako učenje unutrašnja borba između emotivnog i saznajnog. Uporedimo „aboridžansku spiralu“ sa (Slike 3a) i „Navaho spiralu“ sa (Slike 9a), koja predstavlja plan čarobnog kružnog crteža (mandale) za šamanistički obred ozdravljenja kod Indijanaca iz plemena Navajo [10]. U kružni crtež – mandalu, ulazi bolesnik krećući se lagano po spiralnoj stazi ali tako da mu mandala stalno ostaje sa desne strane. Jung je utvrdio [10] da desna strana posmatrača simbolizuje svesni deo njegove psihe. To važi za snove ali i za arhetipske rituale, kao što je ovaj ritual ozdravljenja koji izvodi šamanski vrač. Dakle, kretanje po spirali koja savija udesno i približava se centru, znači postupno, te-

96

Slika 9: a. Navajo mandala; b. novčić sa Knosa; c. Silazak u Danteov pakao

meljno približavanje svesnim sadržajima psihe, ili svojoj racionalnoj suštini. Kod „aboridžanske spirale“, koja je takođe proizvod šamanskog rituala, dešava se suprotno. Tamo lovac prilazi plenu u centru tako da mu plen uvek ostaje sa leve strane. Ovo je moguće objasniti položajem oružja koje lovac nosi (luk i strela) ali i podsvesnoj identifikaciji lovca sa animalnom „dušom“ životinje koja se nalazi u centru. U ilustraciji Danteove Božanstvene komedije (Sl. 9c) data je ista, desna „Navaho spirala“ dok je plan lavirinta na Knosu, prikazan na jednom bronzanom novčiću (Sl. 9b), zagonetna spiralna konstrukcija, koja savija čas ulevo čas udesno. Veliku sličnost sa lavirintom na Knosu [10], nalazimo kod spiralnih lavirinta izgrađenih od kamena iz bronzanog doba severa Evrope (Finska). Na crtežu Viljema Blejka (Sl. 10, levo) ženski lik je prikazan u ulozi vodiča u nepoznato u muškom procesu inicijacije [10]. Da li je Blejk slučajno izabrao zavojitu kamenitu stazu koja spiralno skreće ulevo, dakle prema područjima nesvesnog?

97

Slika 10: Levo: Crtež Viljema Blejka; desno: san Jungove pacijentkinje

U antologijskom delu [10], Jungova saradnica MarieLouise von Franz iz Ciriha, navodi slučaj religioznog sna jedne Jungove pacijentkinje u kome je ona imala viziju Boga koji joj se prikazao zaklonjen plaštom, kako lebdi nad ponorom. U oštroj suprotnosti sa nemirom zalepršanog plašta, u viziji koju je kasnije pacijentkinja svojeručno naslikala (Slika 10, desno), nalazila se i jedna smirena i stabilna spiralna forma koja se jasno isticala na tamnoplavom nebu, takođe lebdeći nad provalijom koju su ograničavale dve vertikalne stene. U svom tumačenju ovog sna, Jung je spiralnu formu shvatio kao simbol Svetog Duha koji predstavlja snagu delovanja u smeru daljeg razvoja naših religioznih shvatanja. Budući da se

98

osa zavojnice ne diže uvis, nego je usmerena prema pozadini slike, dalji razvoj neće voditi ni u veće duhovne visine, ni dole, u telursko carstvo materije, nego u novu dimenziju – u nesvesno – zaključuje von Franz. Da je oblik zavojnice zaista geometrijski arhetip, potvrđuje i njeno uporno pojavljivanje u praksi religijskih obreda. Na Tibetu, putanja koja vodi ka hramu, penje se spiralno, obilazeći hram, tako da on uvek ostaje sa desne strane (videti Sliku 11). U nekim primerima islamskih džamija stepenice minareta se uspinju spiralno, ali ovoga puta spirala se savija ulevo. Zavojito stepenište koje povezuje spratove hrama postojalo je i u drevnom Solomonovom Hramu u Jerusalimu. U Svetom Pismu, u šestom poglavlju Prve knjige o Carevima nalazimo na podroban izveštaj o tome kako Solomon počinje gradnju Hrama: „Četiri stotine i osamdesete godine po izlasku sinova Izrailjevih iz zemlje misirske, četvrte godine carovanja Solomunovog mad Izrailjom, meseca Zifa, a to je drugi mesec, poče zidati dom Gospodu“. Dalje se navode podrobnije dimenzije i oblik hrama: „A dom što ga zida car Solomon Gospodu beše u dužinu od šezdeset lakata, a u širinu od dvadeset lakata, a u visinu od trideset lakata“. Najzad, u osmom stihu se kaže: „Vrata od donjeg hodnika behu na desnoj strani doma, i izlažaše na zavojnicu na srednji hodnik, i iz srednjeg na treći“. Da li i ovde, kao u slučaju sna Jungove pacijentkinje, zavojnica predstavlja simbol duhovnog uspona, te temeljne vrednosti koju donosi Sveto Pismo? Da li je to simbol ravnovredan simbolu Jakovljevih lestava koji se pominje u Prvoj knjizi Mojsijevoj (odeljak 28, stih 12)?

99

Slika 11: Levo: Hodočasnici na usponu; desno-gore: manastir Gjan-ce (Tibet); desno-dole: minare Velike Džamije u Samari

Arhetip spirale ugrađen je i u oblike slova i cifara. Tako, grčko epsilon ( ε ) i omega ( ω ), čitav niz arapskih i indijskih slova sadrži motive jednostrane i dvostrane spirale. Svakako, kakrakteristične su i cifre 6 i 9 koje imaju spiralnu formu počev od staroindijskih devanagari tekstova iz IX veka, zapadnoarapskih rukopisa iz X veka, španskih i francuskih apeksa iz X i XII veka preko francuskih cifara iz XIII veka i gotskih cifara sa početka XV veka. Tako dolazimo do savremenih cifara koje se gotovo nisu menjale od Renesanse, a cifre 6 i 9 kakve danas imamo redukovane su tako da se izvorna spiralnost ne može lako uočiti.

100

GNOMON Termin gnomon potiče od Aristotela i označava geometrijsku figuru koju treba dodati osnovnoj figuri tako da zbirna figura ima iste proporcije kao osnovna. Ovo se može bolje razumeti sa Slike 12. Manji, sivi kvadrat, krajnje levo, se može dopuniti tamnijom ugaonom figurom, oblika obrnutog slova L, do većeg kvadrata koji ima iste proporcije kao i polazni. Taj „L“ dodatak je gnomon polaznog kvadrata. Za trougao ABC gnomon je veći trougao BCD, jer je zbirni trougao ABD sličan osnovnom trouglu ABC. Aristotel je uvođenjem pojma gnomona želeo da se približi samoj osnovi (arhee) mehanizma rasta u prirodi. Ustvari, gnomonski rast predstavlja najlogičniji obrazac samosličnog, samoreproduktivnog rasta jer se bazira na minimalnoj količini informacija. Kao i svaki drugi temeljni kamen prirode, i ovaj otvara nove enigme. Na primer, možemo se pitati: koje dimenzije a i b treba da ima pravougaonik tako da bude jednak svom gnomonu? Rešenje nije teško. Ako osnovnom pravougaoniku dodamo gnomon koji je ponovo pravougaonik dimenzija a i b, dobićemo ponovo pravougaonik ali sada veći, dimenzija 2b i a. Veći pravougaonik biće sličan polaznom ako važi ili 2b : a = a : b a 2 = 2b 2 , odakle se dobija

Slika 12: Gnomoni i neprekidna podela pravougaonika

101

a : b = 2 ≈ 1,41421 . Pravougaonik sa ovim odnosom strana sada ima izuzetno svojstvo, da se može (neprekidno) deliti na dva jednaka dela istih razmera kao početni.

Ovaj postupak se, i to je još značajnije, može produžavati u beskraj (Sl. 12). Međutim, ako se postavi isto pitanje o razmerama pravougaonika čiji je gnomon kvadrat, tada dolazimo do podele kao na (Slici 12, krajnje desno). Odnos d : c za ovakav pravougaonik je zlatni broj,

Slika 13: Spirala života (zlatna spirala) (levo); Nautilus Pompilius (desno)

(

)

ϕ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 , dok sama figura nosi naziv zlatni pravougaonik. Zlatni broj pokazuje proporciju u kojoj treba podeliti neku celinu na dva nejednaka dela tako da delovi budu skladni prema celini. Ustvari, zlatna podela je najlogičnija podela celine na dva nejednaka dela. Pravougaonik koji se dobija izdvajanjem kvadrata iz zlatnog pravougaonika, ponovo je pravougaonik, manji, ali takođe u zlatnoj proporciji. Pri ponovljenoj podeli na sličan način, opet se dobija zlatni pravougaonik, itd. Ovaj proces se može ponavljati do u beskonačnost, i pritom se niz, sve manjih i manjih zlatnih pravougaonika spiralno na-

102

gomilava oko tačke O (Slika 13, levo) koja se nalazi na preseku dijagonala prvog i drugog zlatnog pravougaonika. Ova tačka je, takođe, granična tačka (fokus) logaritamske spirale koja svojim lukovima spaja suprotna temena gnomonskih kvadrata koji se sukcesivno izdvajaju u opisanoj ponovljenoj podeli zlatnog pravougaonika. Ova spirala je poznata pod nazivom zlatna spirala. Sa ilustracije se vidi da „zlatni rez“ koji deli zlatni pravougaonik, takođe deli spiralu na manji (desni) deo, koji se sadrži u gnomonskom kvadratu, i veći (levi) deo koji sadrži spiralni fokus O. Beskrajna podpodela zlatnog pravougaonika deli i zlatnu spiralu na beskonačno mnogo spiralnih segmenata koji su jedan drugom slični. To pokazuje da je gnomon zlatne spirale ponovo segment zlatne spirale. Ili, drugim rečima, ona je samoslična kriva. Stoga, ona nosi u samom svom obliku jednu jednostavnu i logičnu matricu rasta koja se sreće svuda u živoj prirodi i najupečatljivije se može ilustrovati na jednoj vrsti morske školjke Nautilus

Slika 14: Spiralne formacije kod puževa i školjki: amonite (a, g.); foraminifere (b, e.); morski puž Prosobranchia (c.); školjka Phylum Brachiopoda (d.); zvezdasti koral (f.)

103

Pompilius, (Sl. 13, desno). Tu je i čitavo mnoštvo drugih tipova školjki i puževa od kojih neke pripadaju davno izumrlim vrstama (Sl. 14). Ta rasprostranjenost donela je zlatnoj spirali i drugi naziv: spirala života. Pokazalo se da je zlatna spirala samo jedna iz neograničenog mnoštva logaritamskih spirala. Ustvari, logaritamsku spiralu viđamo svakodnevno, kod biljaka. Teofrast 1 , u svom delu Istraživanje biljaka navodi da „kod ravnolisnih biljaka, listovi su raspoređeni u pravilnim serijama“, dok Plinije 2 u Istoriji prirode daje više detalja ovog rasporeda. Danas su prepoznatljive dve dominantne matrice prirodnog rasta biljaka: spiralni i helikoidni. Kod spiralnog rasta, niz primordijuma obrazuje jasno prepoznatljive spiralne tokove, tzv. parastihije, koji su jasno uočljivi kod radiolarije, u rasporedu organela, kod morske ventuze i njenih sisaljki ili kod suncokreta, u rasporedu semena (Sl. 15). Ovakvi spiralni obrasci se prenose i na veće delove i organe kod biljaka (Sl. 16, a–d), kod mekušaca (Sl. 16, e, f) ali

Slika 15: Parastihija – gnomonski rast : a. Radiolarija; b. Ventuza; c. Suncokret 1 2

370–285 pre Hr. 23–79 posle Hr.

104

i kod čoveka, čiji slušni sistem sadrži pužasti organ, kohleu (od starogrčkog κοχλορ , puž) u kojem se nalazi još jedan spiralni oblik – Kortijevo telo (Sl. 16 g, h). Jedan od razloga zašto se baš logaritamska spirala pojavljuje u prirodi je da samom osnovom spiralnog rasta vlada veoma jednostavan algoritam koji glasi ovako: korak 1: rast za 1 jedinicu; okret za 1 jedinicu; korak 2: rast za 2 jedinice; okret za 1 jedinicu; korak 3: rast za 3 jedinice; okret za 1 jedinicu; itd.

Slika 16: Spiralna arhitektura biljaka (a.–d.), životinjskih organa (e, f.) i delova ljudskog unutrašnjeg uha: g. Puž (kochlea) i h. Kortijevo telo

105

Ovaj algoritam dovodi do toga da je rast organizma proporcionalan veličini organizma. O tome je opširno pisao učitelj grčkog, prirodnjak i matematičar, Škot D’Arsi Tomson1 [20]. On je utvrdio vezu između logaritamske spirale i oblika raznovrsnih školjki i puževa ali i princip minimalne površine u konstrukSlika 17: Spiralno kretanje zvezda: ciji pčelinjih saća. TaPlaton (427?–347. pre Hr.) kođe je tvrdio da se biljke ili životinje mogu jedino razumeti kroz čistu matematiku. O tome je pisao ovako: „…ja mislim da mogu da razumem ponešto od koristi i lepote matematike. Znam da u proučavanju prirode postoji trojni ključ koji vodi ka egzaktnom znanju a to je broj, poredak i položaj i da ovo trojstvo u rukama matematičara može poslužiti za stvaranje početne skice Univerzuma.“ Termin spirala se prvi put pominje u Platonovom Timaju [3]. U 39-tom odeljku, Platon piše o kretanju zvezda, kako izgleda da se one kreću po spiralama i da je to posledica različitih brzina okretanja viših i nižih nebeskih sfera. Danas možemo korigovati Platonov stav našim skromnim zapažanjem da su trajektorije nebeskih tela ne1

D’Arcy Wentworth Thompson, 1860–1948.

106

što drugačije, ali ostajemo nemi pred njegovom gigantskom intuicijom, jer, zaista, spiralno kretanje je sama osnova kosmosa i dinamike materije u njemu (Sl. 17). Ovde ponovo dolazi Aristotel sa svojom ne manje basnoslovnom intuicijom i zapažanjem da je osnovna razlika kružnog u odnosu na pravolinijsko kretanje ta, da kružno kretanje ne zahteva novi prostor. Ukoliko pri kružnom kretanju nekog tela na njega deluje homogena sila u smeru centra obrtanja, dolazi do spiralnog kretanja. Tako, asteroid koji uleti u Zemljinu orbitu, u pravcu koji ne sadrži centar Zemlje, ulazi u spiralnu putanju i pada na površinu Zemlje u tački u kojoj spirala seče površinu Zemljine lopte ili sagoreva u atmosferi. Suprotno, formiranje spiralnih galaksija se događa kombinovanjem rotacionog i ekspanzivnog kretanja, kada dodatne sile deluju radijalno u smeru od centra ka periferiji. Tako, “spiralni krug” je besmislica, isto kao “lažna istina”. No, vratimo se Platonu. U svom Tetetu, Platon navodi dijalog između Sokrata i Teteta, u kome Tetet pominje izvesnog Teodorusa iz Kirene, i diskutuje metod kojim je

Slika 18: Teodorusova enigma i Anderhabovo rešenje

107

Teodorus dokazivao da kvadratni koren broja 2 nije jedini broj nesamerljiv sa jedinicom. On je konstruisao nove nesamerljive iracionalnosti: 3 , 5 , 7 itd, na način kako ilustruje (Sl. 18, levo). Pri konstrukciji on je primenio ono što se savremenim jezikom naziva iterativnim postupkom. Polazeći od 2 , koji se konstruiše kao hipotenuza pravouglog trougla sa jediničnim katetama, Teodorus konstruiše 3 kao hipotenuzu pravouglog trougla čije katete su 1 i 2 . Ono što je lepo u njegovom postupku je racionalnost konstrukcije, jer on upravo koristi prethodni trougao, stranica 1, 1 i 2 . Produžujući ovim načinom, Teodorus, konstruiše 4 koji je ceo broj, ali zato u sledećoj etapi dobija 5 , 6 , 7 i tako dalje. Kako Platon dalje tvrdi u Tetetu, on se neočekivano zaustavio na 17 i dalje iracionalnosti nije računao, iako je metod omogućavao da se na isti način nastavi i dalje. U samom dijalogu, ni Sokrat ni Tetet nisu diskutovali razlog ovog iznenadnog prekida. Pitanje prekida Teodorusove konstrukcije kod broja 17 , mučilo je matematičare tokom dva milenijuma i mnogi su ponudili svoje odgovore. Među njima se, po svojoj neobičnosti, izdvaja odgovor izvesnog J. H. Anderhaba (Anderhub) iz 1941. godine [3]. Rešenje je zanimljivo jer osim matematičkih, uzima u obzir i estetske kriterijume. Naime, Anderhab primećuje da uzastopna konstrukcija pravouglih trouglova dovodi do spiralne figure i da je trougao sa hipotenuzom 17 , poslednji u seriji trouglova koji još uvek ne prekriva ostatak figure (Sl. 18, desno).

108

Naime sledeći trougao, konstruisan sa 17 kao osnovom i jediničnom katetom (dakle hipotenuza je dužine 18 ) delimično pokriva početni trougao. Znajući da je u vreme Teodorusa, za geometrijsko crtanje korišćen sandučić sa peskom, Anderhab je pretpostavio da Teodorus nije želeo da konstrukcijama novih linija izgubi jasnoću crteža koji je sadržao 17 trouglova i davao šest novih iracionalnosti, nesamerljivih sa jedinicom ili sa već poznatim iracionalnostima: 3 , 5 , 7 , 11 , 13 i, najzad, 17 . Spirala koja se dobija na ovaj način naziva se Teodorusova spirala. Međutim, prva prihvatljiva definicija i prvo sistematsko izučavanje spirale počinje od Arhimeda 1 (Sl. 19). U svom delu Peri Elikon (O Spiralama), Arhimed daje definiciju spirale kao krive koja nastaje dvostrukim kretanjem: okretanjem poluprave oko njenog utvrđenog početka (centra) i kretanjem tačke duž poluprave, počev od centra ka periferiji. Oba kretanja, i rotaciono i pravolinijsko su uniformna. Krivu, koju dobija na taj način, Arhimed naziva ’elix (spirala, zavojnica) a centar, na (Sl. 19) označen sa O, naziva archa (početak). U savremenoj matematičkoj terminologiji, ovu spiralu zovemo Arhimedova spirala, i ona se očigledno razlikuje od logaritamske spirale sa (Sl. 19), koju su, kako ćemo videti, nezavisno otkrili Dekart i Toričeli skoro dva milenijuma kasnije. Osim definicije, Arhimed u istom delu navodi i dokazuje sledećih nekoliko osobina svoje spirale:

1

Archimedes, 287–212 pre Hr.

109

Slika 19: Arhimed i geneza ’elix-a

Dužine niza radijusa koji međusobno zaklapaju jednake uglove čine aritmetičku progresiju; Ako prava linija dodiruje (Arhimedovu) spiralu, dodiruje je u samo jednoj tački; Površina figure ograničene prvim zavojem (Arhimedove) spirale i najvećim radijusom jednaka je trećini površine kruga sa istim radijusom. Ovo su zaista zapanjujući rezultati, ako se uzme u obzir vreme kada su nastali. Naime, u isto vreme dok je Arhimed radio na osobinama svoje spirale, keltska plemena su naseljavala Britaniju, između Rima i Kartagine je besneo Prvi punski rat, a u Indiji je uspostavljena prva imperija pod kraljem Ašokom. Naše divljenje postaje još veće ako se uzme u obzir da je jednačina Arhimedove spirale u pravouglom (x, y)-koordinatnom sistemu prilično komplikovana: ⎛ y⎞ x 2 + y 2 = a 2 arctg 2 ⎜ ⎟ , ⎝x ⎠

110

(1)

pri čemu je a realan broj, čijim izborom određujemo širinu koraka spirale. Ova jednačina je zbog toga komplikovana, jer u sebi nosi kombinaciju jedne iracionalne (korene) funkcije i jedne transcedentne funkcije, (arkustangensa). U takozvanom polarnom koordinatnom sistemu jednačina (1) je znatno jednostavnija, i glasi ρ = a θ , ali je istovremeno otežano izučavanje njenih osobina. Ovde je ρ radijus (radijusvektor) a θ ugao koji radijus zaklapa sa polarnom osom. Čak i danas, kada imamo na raspolaganju čitav spektar matematičkih aparata i specijalnih znanja, nije jednostavno dokazati gornje tri osobine. Arhimed je, ne zaboravimo, za dokaz, od instrumenata imao na raspolaganju samo tablu sa peskom i svoju logiku! Međutim, treba pomenuti da se, prema nekim izvorima [19], otkriće Arhimedove spirale pripisuje Kononu Somoskom, ali on nije išao dalje u izučavanju njenih osobina. Arhimed je takođe pokazao vezu između ove spirale i obima kruga. Ipak, obim one iste figure čiju je površinu on izračunao, bilo je moguće izračunati tek u XVII veku, pronalaskom integralnog računa i u radovima Kavalerija, Robervala, Fermaa i Paskala. Sledeća zanimljiva epizoda u istoriji spirale vodi nas u Švajcarsku, u katedralu grada Bazela. Tu je, na kamenu jednog nadgrobnog spomenika uklesana logaritamska spirala. Oko nje stoji inskripcija na latinskom EADEM MUTATA RESURGO [14]. To je grob Jakoba Bernulija (Sl. 20) a natpis znači: „PROMENJEN VASKRSAVAM PREĐAŠNJI“ 1 . Koji je smisao ovog neobičnog natpisa? 1 U slobodnijem prevodu: „Ja ću vaskrsnuti isti, iako sam bio promenjen“.

111

Jakob Bernuli 1 je jedan od nekoliko znamenitih matematičara koje je dala bazelska porodica Bernuli. Njegovo ime danas nosi jedan krater na Mesecu i jedna ulica u pariskom osmom arondismanu. Njegov brat Johan i njegov sinovac Danijel su takođe bili vrsni matematičari. Kao doktor filozofije i teologije, Jakob je 1676-te otišao u Đenovu kao tutor a zatim je putovao u Francusku gde je došao u dodir sa matematičarem Malbranšom koji je bio Dekartov sledbenik. Nakon putovanja u Holandiju i En-

Slika 20: Jakob Bernuli, teolog i matematičar, podlegao je mistici arhetipa spirale

glesku, godine 1683-će, Jakoba ponovo nalazimo u Bazelu i to kao profesora mehanike na bazelskom Univerzitetu. Sa logaritamskom spiralom se verovatno upoznao kod Dekartovih sledbenika, budući da je prvi put u istoriji Dekart ovu spiralu pomenuo 1638-me u svom pismu Merseneu. U periodu između Arhimedovog i Dekartovog otkrića čovečanstvo se nije mnogo promenilo. Australija je tek bila otkrivena, u Rusiji je vladalo rasulo oko borbe za 1

Jacob Bernoulli, 1654–1705.

112

presto, u Nemačkoj je besneo 30-togodišnji verski rat, Turci su pripremali osvajanje Evrope a Mandžurci su upravo krenuli u invaziju Kine. Nezavisno od Dekarta, logaritamsku spiralu je otkrio i Toričeli 1 . On je izračunao dužinu njenog luka (rektifikacija) kao i površinu figure koju ona ograničava jednim svojim radijusom (kvadratura). Međutim, Jakob Bernuli je detaljno istražio njena svojstva i toliko bio njima oduševljen da je ovu krivu nazvao spira mirabilis (divna spirala). Naročito ga je porazilo svojstvo nepromenljivosti spirale pri različitim transformacijama. Ovo Bernuli nije uspeo da objasni racionalno. Smatrao je da je u pitanju mistika i iz tog razloga je naložio da se na njegovom nadgrobnom spomeniku ukleše epitaf o vaskrsenju u istom obliku. Ovde ponovo potvrđujemo vezu između spirale kao geometrijskog arhetipa i odnosa racionalno-iracionalno. Tek u XIX veku Feliks Klajn je u svom delu Viša Geometrija demistifikovao ovo svojstvo i prikazao ga kao posledicu svojstva logaritamske spirale da se preslikava u samu sebe pri linearnim transformacijama ravni koje čine grupu. Logaritamska spirala, naziv koji je Bernulijevoj divnoj spirali dao Varinjon 2 , ima i druge zanimljive osobine. Na primer, ona seče svoje radijuse pod istim uglom. Ovo svojstvo još jedino ima krug, koji seče svoje radijuse pod pravim uglom. U slučaju logaritamske spirale čija jednačina, u polarnom sistemu ima oblik ρ = e aθ , 1 2

Eangelista Torricelli, 1608–1647. Pierre Varignon, 1654–1722.

113

gde je a parametar, taj ugao μ je dat svojim tangensom tg μ =

1 . ln a

Zatim, dužina odgovarajućeg radijusa proporcionalna je dužini luka spirale (ovu osobinu Dekart je iskoristio za definiciju), ali i poluprečniku krivine. Iako je logaritamska spirala kriva koja se beskonačno obmotava oko svog pola, ona ima konačnu dužinu do bilo koje tačke određene konačnim radijusom r. Ta dužina je jednaka dužini polarne tangente u toj tački (duž AB na Sl. 21, levo) i računa se po formuli rektifikacije

L =r

1 + ln 2a ln a

koju je dobio Toričeli. Iz formule se vidi da je dužina luka L proporcionalna radijusu tačke koja ograničava luk. Ovo je još jedna proporcionalnost iz čitavog niza drugih. Jedan od takvih nizova, uz oznake na (Sl. 21, desno), glasi

Slika 21: Osobine logaritamske spirale ρ = e a θ

114

OA OB OC = = =… OB OC OD

Ove proporcionalnosti su siguran znak da Bernulijeva spira mirabilis zaista ostaje nepromenljiva i pored linearnih transformacija ravni (rotacija, homotetija). Ovakvo bogatstvo osobina nije ostalo nezapaženo u nauci i tehnologiji koja se baš u to vreme ubrzano razvijala. Još je Leonardo da Vinči konstruisao letilicu koja je trebalo da koristi neku vrstu spirale (konusna helikoida). Njen zadatak je bio da pretvara obrtno kretanje u aerodinamički potisak. Naravno, letilica nije ostvarena jer u Leonardovo vreme nije postojao dovoljno snažan a kompaktan i lak izvor energije koji bi pokretao uzgonski mehanizam. Helikopter, kakav danas znamo je, ustvari, usavršena verzija Leonardove zamisli. Osobina logaritamske spirale, da seče svoje radijuse pod konstantnim uglom primenjuje se u navigaciji. Kriva koja odgovara logaritamskoj spirali a leži na površi Zemljinog globusa naziva se loksodroma i ona preseca geografske meridijane pod konstantnim uglom, namotavajući se oko Severnog ili Južnog pola. Najjednostavniji način navigacije da se plovni objekt upravlja prema kompasu i to tako da pravac igle na kompasu zaklapa stalan ugao sa uzdužnom osom broda. U tom slučaju, putanja broda je loksodroma. Ako su poznate geografske koordinate (geografska širina i dužina) polazne luke A, npr. ( s 1 , d 1 ), i ciljne luke B ( s 2 , d 2 ), ugao ϕ koji treba držati konstantnim da bi se stiglo iz A u B je dat formulom

115

π ⎞⎤ ⎡ ⎛s −s ln ⎢tg ⎜ 2 1 + ⎟⎥ 4 ⎠⎦ ⎝ 2 ϕ = arctg ⎣ d 2 − d1

(2)

Iz ovoga možemo izvući dva zanimljiva zaključka. Prvi se odnosi na Kolumbovu ekspediciju a drugi na stradanje Titanika. Naime, sasvim je izvesno da formula (2) u vreme Kolumbovih putovanja nije bila poznata (prvo putovanje – 1492, drugo – 1493, treće – 1498, četvrto – 1502). To znači da Kolumbo sasvim sigurno unapred nije znao geografske koordinate svog cilja. On je, dakle, plovio naslepo. Što se pak Titanika tiče, taj brod je bio jedan od najsolidnije izgrađenih brodova XX veka. Potonuo je 1912te godine, a tragedija bi verovatno bila izbegnuta da je njegova plovna trajektorija nije bila loksodroma. Međutim, cilj Titanika nije bio najbezbednija navigacija već najbrža ruta i postavljanje rekorda u brzini plovidbe preko Atlantika. A najkraći put po sferi, loksodroma, zalazi u hladni deo Atlantika, kojim su u to vreme plovile ledene sante. Da je Titanik plovio po nešto juznijoj, modifikovanoj ruti, možda bi plovidba trajala duže ali brod sigurno ne bi ušao u opasnu zonu ledenih santi i tako ne bi došlo do brodoloma. Konstantan ugao logaritamske spirale koristi se takođe u konstrukciji reznih alata kod kojih noževi za rezanje imaju spiralni profil a parametri spirale se podešavaju prema vrsti materijala koji se obrađuje. U hidrodinamici, fluid se na lopatice turbine dovodi kroz cev koja je savijena u obliku logaritamske spirale. Ista osobina konstantnog ugla sada osigurava da gubitak energije usled promene smera toka u cevi bude minimalan. Logaritamska spirala se ko-

116

risti u projektovanju zupčanika sa promenljivim prenosnim odnosom, tako da se obrtna brzina periodično menja. U projektu Argus, niz radio-teleskopa je instaliran duž krakova spirale. Na taj način pojačavaju se grupne performanse sistema, i povećava daljina sa koje Argus može da osluškuje Vasionu. Eksperimentišući 1951. gogine sa rastvorom sumporne kiseline i kalijum-bromata ruski naučnik Boris Belousov je primetio da se boja rastvora u epruveti periodično menja svakih dvadesetak sekundi. Ovo je, na prvi pogled bilo protivno zakonima termodinamike, po kome reakcija uvek ide u jednom smeru, u smeru smanjenja energije, i nepovratna je. Ovde se radilo o stalnom periodičnom vraćanju. To je tek uspeo da dokaže Anatolij Žabotinski sa Moskovskog državnog univerziteta, primenjujući rezultate Teorije haosa. Potpuno objašnjenje mehanizma reakcije Belousov-Žabotinski u čijoj osnovi leži spiralni atraktor (Sl. 22, desno) dala je grupa Fild-Koros-Nojes sa Univerziteta u Oregonu, 1984te godine, pomoću tzv. oregonator oscilatorne sheme.

Slika 22: Slojevi mikrofilma (levo) i atraktor hemijske reakcije Belousov – Žabotinski (desno)

117

Danas znamo strašnu istinu da se čitav Univerzum nalazi u stanju pritajenog haosa, ali smo ohrabreni naučno argumentovanim saznanjem da je to stanje prilično stabilno. Jedan dinamički Slika 23: Put u haos: a. periodičnost; sistem, pre prelaska u b. vrtloženje; c. haos haotično stanje, prolazi kroz faze periodičnih kretanja koja se, sa povećavanjem energije sistema, postupno pretvaraju u neku vrstu vrtložnog kretanja kojim dominiraju spiralne trajektorije. Ako se energija i dalje pojačava, sistem prelazi u stanje kritične entropije – haosa. Kretanje fluida je naročito ilustrativan primer (Sl. 23). Sa ove strane haosa, na samoj granici, nalaze se gotovo sve žive i nežive stvari, sva Vasiona. Ponavljanje spiralnih tokova na plodu brokolija (broccoli) (Slika 24,

Slika 24: Dva lica haosa: brokoli i atmosfera Jupitera

118

levo) i u atmosferi Jupitera, imaju isti uzrok – stanje kontrolisanog (tihog) haosa sa spiralnim trajektorijama. Osnovu kompleksne dinamike danas čini Mandelbroov 1 skup, ta ikona Teorije haosa, koja u ovoj teoriji ima sličnu ulogu koju u klasičnoj geometriji ima krug. Uvećanje pojedinih delova ovog skupa otvara nova polja ispunjena pravim vatrometima lepih spiralnih formi, kao što su ove prikazane na (Sl. 25). Međutim, ono što je zbunilo i eksperte je da dve, naizgled potpuno različite konfiguracije,

Slika 25: Fraktali: spiralni oblici su nerazdvojni deo kompleksne dinamike

Mandelbroov i Žilija 2 skup, pri sukcesivnom uvećanju pojedinih delova pokazuju gotovo identične detalje (Sl. 26), iako su, na neki način, jedan drugome uzrok. Posmatrajući ovaj fenomen stiče se utisak da geometrija unapred „zna“ konfiguraciju koju očekujemo tek koji tren kasnije u budućnosti. To je slično onome što bi doživeo umetnik koji na praznom papiru vidi crtež koji tek namerava da nacrta! 1 2

Benoit Mandelbrot, 1924– Gaston Julia, 1893–1978.

119

Slika 26: Identične spirale na dubokim nivoima uvećanja Mandelbroovog (levo) i Julia skupa (desno)

To zbunjuje razum do te mere da se dolazi na pomisao da je u jednom kratkom intervalu vreme teklo unazad! Ili, kao što je govorio Mikelanđelo, da umetnik samo oslobađa formu koja je već postojala i ležala zarobljena u materijalu, postavljena tamo rukom Tvorca.

120

ESTEZIS Treća komponenta koja spiralu povezuje sa temeljima prirode je njena lepota. Kome se neće dopasti odmerena ljupkost sintetičkih figura generisanih u operativnoj memoriji računarskih grafičkih stanica koje su prikazane na (Sl. 27)? Jednostavnom varijacijom parametara u formuli spirale, mogu se projektovati razni objekti spiralne konfiguracije. kao što su ljušture puževa i školjki, mašinski i mehanički elemnti, turbine, spiralni prenosnici, lanci DNK. Na sličan način se mogu proučavati vrtlozi u fluidima i razvoj spiralnih galaksija. Na bazi parastihije, može se simulirati rast biljaka i pojedinih organa. I svaka od ovih kreacija nosiće u sebi eleganciju i lepotu spirale. Da li je ova lepota bila korišćena od autora umetničkih dela kroz istoriju? Već smo, u odeljku o arhetipovima videli da je spirala bila čest motiv na mnogim kultnim i votivnim predmetima. Mračnu lepotu vodenog vrtloga, kako smo videli, koristio je Edgar Alan Po ali i filmski režiser Alfred Hičkok. U crno-belom filmu 39 stepenica (iz 1935-te godine)

Slika 27: Konhoidna površ (levo); Štajnbahova površ (desno).

121

Slika 28: a. Sumerska grnčarija sa simbolima Ea-Oana; b, c. ornamenti od kovanog gvožđa

kao i u poznatoj sekvenci ubistva u kultnom ostvarenju Psiho (snimljenom 1960-te), Hičkok vešto barata arhetipom spirale kroz enterijer spiralnog stepeništa i krupnim planom vrtloga kojom iz kade otiče voda obojena krvlju žrtve. Spirala oslobađa dinamičku energiju. To je ona energija koja je uložena u konstrukciju spirale. Energija spirale razlikuje se od energije kruga. Energija kruga je statična, energija spirale dinamična. Nacrtajte krug i obrćite sliku oko centra. Izgledaće kao da krug miruje. Nacrtajte spiralu i ne pomičite papir. Izgledaće kao da se slika obrće. Tako deluje tajna energije spirale. Hoće li nam crtež sa sumerske zemljane posude (Sl. 28a, [4]) izgledati statično? Naravno, ne. Mesopotamski slikar je to znao, i sa vre-

122

menskog rastojanja od oko 4 milenijuma nam šalje jednu lepu i dinamičnu kompoziciju. Ona predstavlja četiri jarca koja su u sumerskoj tradiciji simbolizovala Ea-Oana, gospodara vodenog bezdana, a kasnije vavilonskog Ningursua. Mali kvadrat u sredini predstavlja vodenu lokvu, a produženi rogovi životinja daju osam nezavisnih spirala, sa fokusom u centru vodene površine. Ovim se narušava simetrija kruga i, u našoj imaginaciji, čitava kompozicija dobija impuls obrtnog kretanja. Ona u stvarnosti miruje, ali posmatrač neprekidno oseća taj pritisak obrtnog momenta. Tako dobijamo „četiri jarca u trku oko pojila“ kako se ova slika interpretira u istorijama umetnosti [15]. Sličan efekat se dobija posmatranjem ornamenta b. sa iste slike. To je utrostručeni motiv jin-janga, a njegova dinamičnost se bazira na istim principima narušavanja ravnoteže kružne simetrije, kao i sumerska dekoracija. Drugi ornament, označen sa c, nizom mekih, zavojitih formi prenosi posmatračev pogled s leva na desno i obrnuto, ostavljajući utisak ritmičkog kretanja i vizualne ugodnosti. I sama reč “ritam” ima grčki koren rhein = teći.

Slika 29: Drvena zdela sa poklopcem – vakahuja. Maori, Novi Zeland

123

Rotacioni naboj sa slika a. i b. ovde se razvija u ravan. Ovakva ritmičnost je slična osećanju koje imamo kada posmatramo zatalasano more. Te morske ritmove prenosi nam tzv. ornament tekućih spirala, koji je bio poznat još neolitskim umetnicima. Ovaj ornament, takođe poznat kao meanderski ornament, može biti linijski (niz dvostranih spirala povezanih u lanac) kao na vakahuja zdeli sa Novog Zelanda (Sl. 29) ili na grnčariji jonske civilizacije (Krit, Mikena, Kikladi), u Maloj Aziji (zlatna grivna iz kraljevske rezidencije u Troji, bazaltna obredna zdela iz hananskog hrama u Asoru). Identične ili modifikovane varijante ornamenata tekućih spirala nađene su širom neolitske Evrope i Evrope bronzanog doba (npr. ukrašeni kamen na

Slika 30: Navlaka za jastuk, Dahomej

124

ulazu u grobnicu u Nju Grejndžu, Irska). Na jonskim ostrvima pojavila se trougaona i kvadratna shema povezivanja dvostranih spirala kao na (Sl. 5). Dakle, ornamenti tekuće spirale, karakteristični za narode okružene morem, pojavili su se na više tačaka u svetu nezavisno i širili su se na kopnene civilizacije koje su ih koristile, moguće i zaboravivši njihovu vezu sa morem. Spiralni biljni ornamenti karakteristični su za kontinentalne civilizacije. Tako se u skitskim grobnicama sa Dnjepra mogu naći lepi primerci oslikanih vaza sa ovakvom ornamentikom [15]. Sasvim je drugačija namera, takođe nepoznatog umetnika iz Dahomeja, koji je ukrasio komad štavljene kože tradicionalnim motivima (Sl. 30), po svemu, veoma starim, iz vremena osvita afričke civilizacije. Umesto neprekidnog toka, ovde pleni sistematičnost modularnog rasporeda folklornih simbola. Četiri od pet geometrijskih ornamenata su spirale. Jedna od četiri spiralne forme predstavlja oklop kornjače, dve su verovatno izvedene od rogova životinja a četvrti je, moguće, simbol Sunca. Rotaciono ili translatorno ponavljanje jednog likovnog modula koji sadrži spiralni segment rezultuje umnožavanjem ritmova. Ako se osim rotacije i translacije aktivira i

Slika 31: Fraktalna multiplikacija spiralnih ritmova

125

sažimanje (kontrakcija), i ove se geometrijske operacije ponavljaju po unapred zadatom periodičnom algoritmu, mogu se dobiti veoma komplikovane fraktalne sheme kao što je Julia skup na (Sl. 31, desno). Kao što bilo koji deo spiralne linije u sebi sadrži sve informacije potrebne za kreiranje celine, tako i kod fraktala, bilo koji deo tkiva fraktalnog skupa može biti „seme“ za rekonstrukciju čitavog objekta. Ovo ne bi bilo moguće ostvariti bez osobine da afine transformacije ravni ne menjaju razmeru. Rotacija, translacija i kontrakcija su specijalni slučajevi afinih transformacija. To ima za posledicu umnožavanje ritmova, bilo pri rastu ili smanjivanju. O ovome je bilo reči u prethodnom odeljku u vezi sa gnomonskim rastom ili beskonačnom potpodelom pravougaonika. Ovakvu potpodelu omogućuje odnos dimenzija a : b pravougaonika ili njegova proporcija, i tada se ona naziva dinamička proporcija, a za pravougaonik se kaže da poseduje dinamičku simetriju [6]. Pravougaonik čije su dimenzije, a i b, celi brojevi, ne može biti dinamički simetričan, dakle, njegova potpodela nije moguća, pa ni odgovarajuća spirala. Da bi pravougaonik mogao da bude dinamički simetričan, odnos a : b mora da bude iracionalan (nesamerljiv sa jedinicom). Tada će postojati i odgovarajuća logaritamska spirala, i ona će upravo biti nosilac te proporcionalnosti. Međutim, neće svaki proporcionalan odnos biti skladan, a da bi se to dogodilo, potrebno je da postoji komodulacija delova prema celini. U istoriji (pretežno arhitekture) poznata su tri tipa komodulacija ili sistema proporcija od kojih su dva prikazana na (Sl. 32):

126

Slika 32: Dva sistema proporcija: a. Rimski sistem i b. Pročelje crkve Santa Marija Novela; c. Zlatni petougao i d. Hermesova maska (Meduza), 1. vek pre Hrista

Rimski sistem, baziran na broju θ = 1 + 2 ≈ 2,4142 .

Ovaj broj je poznat kao sveti presek, a pravougaonik čiji je odnos strana θ kao Rimski pravougaonik. Mreža proporcija Rimskog sistema povezana je sa pravilnim osmouglom (Sl. 32a). Naime dijagonale ovog pravilnog mnogougla seku se u odnosu 1 : θ . Presek dijagonala, opet, for-

127

mira novi, manji osmougaonik čija stranica prema stranici većeg ponovo čini odnos 1 : θ . Ovaj proporcijski sistem je veoma korišćen u građevinarstvu starog Rima gde je došao iz Grčke. Proprcije i ritmovi pročelja crkve Santa Marija Novela u Rimu su izvedeni upotrebom ovog sistema (Sl. 32b), a Mikelanđelo ga je koristio u projektovanju Kapele Mediči. Sistem zlatnog preseka, koji za svoj modul ima zlatni broj, ϕ=

1+ 5 ≈ 1,618 . 2

Ovaj sistem je povezan sa pravilnim petouglom, na analogan način kao Rimski sistem sa osmouglom (Sl. 32c). Ovaj sistem je korišćen u antičkoj arhitekturi (Partenon, grobnica Ramzesa IV), ali i u renesansnom slikarstvu i skulpturi. Sl. 32d prikazuje zlatne proporcije Hermesove maske. Ovaj sistem je detaljno proučio Le Korbizije, i na njemu je bazirao svoj Modulor. Sistem baziran na broju ψ = 1 + 3 ≈ 2,732 .

Pravilni poligon koji generiše ovaj sistem proporcija je dvanaestougao. Preseci dijagonala, odnos strana početnog i upisanog poligona itd. je 1 : ψ . Ovaj sistem je koristio renesansni arhitekta Andrea Paladio, pri projektovanju brojnih građevina. Svakom od ovih proporcijskih sitema pridružuje se odgovarajuća logaritamska spirala, a neke primere vidimo na (Sl. 33). Može se slobodno reći da nema (ili da nije bilo)

128

nijedne autentične antičke građevine (Grčka, Rim) koja ne podleže bar jednom od ova tri sistema proporcija. Harmonija nije ništa drugo do zvučna komodulacija. Element Rimske proporcije, 2 pojavljuje se kod muzičkih lestvica. Naime, odnos frekvencije (broja treptaja u sekundi) note fis koja na skali leži između f i g (na klavijaturi to je crna dirka između dve bele, f i g) prema noti c, je tačno 2 (videti [22]). Tako se, teorijom proporcija, muzika prirodno povezuje sa vizuelnim umetnostima, pa se otuda, u slikarstvu, vajarstvu i arhitekturi koriste nelikovni termini, kao ritam, euritmija, harmonija, simfonija, dok

Slika 33: Spirale koje odgovaraju raznim sistemima proporcijama korišćene su u dekoracijama kao volute kod antičkih stubova, girlanda i reljefa

129

muzika može biti koloritna ili voluminozna. Ono što je svakako zadivljujuće je da najskladnija od tri pobrojane proporcije, zlatni presek ϕ = 1+ 5 2 , ima istovremeno i najbogatija matematička svojstva. Pre svega, važi

(

ϕ = 1+

)

1 , ϕ

odakle sledi da niz stepena broja ϕ , tj. niz … 1 ϕ 2 ,

1 ϕ , 1, ϕ , ϕ 2 , ϕ 3 , …, ima jednostavno svojstvo da je svaki član niza jednak zbiru prethodna dva. Međutim, ovo nije jedini niz sa tom osobinom. Najjednostavniji niz brojeva koji ima to svojstvo je tzv. Fibonačijev niz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Uzastopni količnici članova ovog niza čine novi niz 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, … koji konvergira upravo ka broju zlatnog preseka ϕ ≈ 1,618 . Zlatna spirala, generisana beskonačnom potpodelom zlatnog pravougaonika, u svom obliku, kondenzovano, sadrži sve ove odnose i proporcije. Slične osobine, ali u manjoj meri, imaju i druga dva proporcijska broja θ i ψ . U slikarstvu, spirale su korišćene u kompoziciji slike mahom u Renesansi i Baroku, dok se u modernom slikarstvu javljaju ređe. Srpski slikar Leonid Šejka [20], podrobno je analizirao sliku Dva ambasadora nemačkog renesansnog majstora Hansa Holbajna 1 i deo njegove studije je reprodukovan na (Sl. 34, levo). Holbajnova slika prikazuje dva francuska ambasadora, Dintervila (stoji levo) i de Selvea, 1

Hans Holbein, 1541–1620.

130

između njih je sto prekriven turskim ćilimom a iza njih je polica. Na stolu i polici su raspoređeni astronomski, hronometrički i muzički instrumenti: nebeski i zemaljski globus, cilindrični i poliedrični sunčani časovnik, kvadrant, torkvetum, lauta, flauta, nekoliko knjiga. Jedna od knjiga je zbirka duhovnih himni, i ta je otvorena, dok je druga Apijanova Matematika i ona je poluzatvorena. Šejka nalazi da je centralna masa slike veoma složeno komponovana i da su glavni elementi ove kompozicije dve nejednake elipse koje imaju zajedničku žižu, a čije su glavne ose iskošene jedna u odnosu na drugu za oko 15 ugaonih stepeni. U tu se osnovnu shemu uklapa kvadrat koji sadrži geometrijsku situaciju stola i police sa obiljem geometrijskih međuodnosa. O strukturalnoj shemi figura i predmeta Šejka kaže: „Unutar glavnih elipsi, unutar ovih Keplerovih orbita, razvija se jedan sferični prostor vretenastih, kapljastih i spiralnih polja. Ovaj sferični prostor ocrtan je linijama, površinama i volumenima predmeta, sklopova predmeta, delovima tela i odeće leve i desne figure. Kapljaste krive i površine trećeg stepena na-

Slika 34: Leonid Šejka: Kompoziciona i strukturna analiza slike Dva ambasadora Hansa Holbajna

131

lazimo na području levog i desnog rukava, otvora prsluka, površine krzna na levoj figuri“. A zatim, „Noga leve figure je osovina eliptičkog ornamenta na podu, spirala – galaktički vrtlog u predelu rukava na bundi, lepezasti snop krivih linija laute“. Analiza Šejkinih skica, prikazanih na desnoj polovini (Sl. 34.) pokazuje da je Holbajn koristio elemente Rimskog sistema proporcija (skica a). Naime, vertikalna osa, koja odvaja figuru sa leve strane, od veće površine desno, deli horizontalni format slike u odnosu 1 : 2 . (Skice b i c) pokazuju razvoj analize centralne mase koju čine dve elipse (dve „Keplerove orbite“ kako ih Šejka naziva) i jedan kružni sektor koji obuhvata predmete na stolu, koja najzad rezultuje zaključkom o jednoj pužastoj formi (skica d). Tako, Šejkina analiza otkriva dve spiralne konfiguracije u makrosvetu slike, jednu skrivenu u samoj kompoziciji (puž sa skice d) a drugu u spiralnom vrtlogu na rukavu ambasadora Dintervila, dok strukturna analiza pokazuje takođe bezbroj malih „vretenastih, kapljastih i spiralnih polja“. Inače Šejka klasifikuje predmete prema geometrijskom obliku na sedam kategorija od kojih je četvrta po redu spiralno telo (ostala su: parabolično, elipsoidno, zrakasto, kubično, cilindrično i loptasto). Osim Holbajna, još mnogi slikari su u svojim kompozicijama koristili, svesno ili nesvesno, zavojite i spiralne konfiguracije. One se mogu uočiti u delima Đota, Duča, Lorencetija, Fra Anđelika, Mantenje, Botičelija, Šongauera, da Vinčija, Koređa, Parmiđanina, del Piomba, Bordonea, Direra, Murilja i drugih. Od modernista tu su pre svega Van Gog sa svojim karakterističnim prekidnim potezom koji dobija spiralne forme u delu Čempres na mesečini ili Put

132

sa čempresima (oba iz 1889-te godine), Anri Matis, Alber Glez, Viktor Pasmor, Žak Pjober, Salvador Dali i mnogi drugi. Autor ovog teksta načinio je eksperiment da utvrdi oblik i matematičku jednačinu spirale koja nosi kompoziciju na nekoliko primera umetničkih slika. Prema znanju autora, takve analize dosada nisu rađene. Uz primedbu da ova, nazvaćemo je spiralna analiza, nije egzaktna (i ne može biti), biće naveden postupak formiranja jednačine loga-

Slika 35: Spiralna analiza: Angelus Žan-Fransoa Milea i osnovna jednačina spirale

ritamske spirale, za slike Milea, Šardena, Dalija i jedne prerimske skulpture nepoznatog autora. (Sl. 35.) prikazuje spiralnu analizu slike Angelus ŽanFransoa Milea 1 i odgovarajuću spiralu logaritamskog tipa. Njena osnovna jednačina, u polarnom sistemu glasi ρ (θ ) = 16 e 0.31 θ . 1

Jean-Francois Millet, 1814–1875.

133

Pritom, nezavisna promenljiva θ , uzima vrednosti iz intervala ( − 3 π , 2,4 π ). Pravougli koordinatni sistem je postavljen tako da Mileova slika leži u prvom kvadrantu i zauzima pravougaonik formata 300 × 230 . Fokus osnovne spirale je zatim transliran u novi fokus sa koordinatama (180, 60). Zatim je usledila rotacija oko ove tačke za 95 ugaonih stepeni u smeru suprotnom od kazaljke na satu i najzad je primenjena kontrakcija duž x-ose za oko 83%. Ovo je ostvareno interaktivnim podešavanjem parametara na računaru uz pomoć programskog paketa MATEMATIKA 4.0. Na početku analize problem je izbora fokusne tačke spirale. To je etapa u kojoj može doći do izražaja subjektivnost posmatrača, naročito ako spiralna formacija kompozicije nije jasno prepoznatljiva. U slučaju Angelusa, fokusna tačka leži u imaginarnom prostoru slike, između nogu figura koje je zvono iz udaljene crkve zateklo na radu u polju. Par je u položaju molitve i pravci njihovih mogućih pogleda presecaju se baš negde u blizini tačke fokusa. To je, na neki način, psihološki centar slike, tačka sa najvećom energijom. Pri posmatranju, oko posmatrača luta po površini slike, ali svakako dolazi i do te tačke, bilo da njegov pogled polazi iz nje ili se vraća u nju. Iz te tačke polazi i naša spirala. Zatim, u svom odmotavanju, ona prolazi preko korpe, obuhvata, na očigledan način donji deo figure žene, zahvata ručna kolica koja se nalaze nedaleko iza nje, svojim lukom spaja dve figure, prateći ženinu pognutost i tangirajući vrh glave muškarca, da bi završila u polju nedaleko od ivice slike. Raspored masa na slici takođe prati ovaj spiralni pokret. Spirala, ustvari, ne leži u ravni slike, već u ravni koja je malo iskošena i sadrži stajne tačke figura. Zbog toga je i primenjena transformacija sažimanja duž x-ose, koja ustvari, odgovara nalaženju za-

134

Slika 36: Spiralna analiza: Šardenov Dečak s kartama i skulptura boginje Artio

vršnog položaja spirale u toj, zakošenoj ravni. Za Mileovog Angelusa, Salvador Dali je rekao da je to „najuzbudljivije slikarsko delo najzagonetnije, najgušće i najbogatije koje je ikad postojalo u nesvesnom mišljenju“. Sledeća dva primera prikazana su na (Sl. 36.) Sa leve strane je slika Dečak s kartama, još jednog francuskog slikara, Žan-Batiste Šardena 1 . Određivanje formule spirale je u ovom slučaju pojednostavljeno jer je prikaz modela strogo profilni, tako da nemamo otklanjanje od frontalne ravni kao kod Milea. Tačka fokusa je ponovo u psihološkom centru slike, a to su karte koje dečak drži u rukama, ili, izraženo u koordinatama to je (170, 200) u odnosu na format slike 520 × 600 . To je tačka u kojoj je koncentrisana dečakova pažnja i neka vrsta težišta svetlih površina na slici. Spirala, čija je osnovna jednačina ρ (θ ) = 0.3 e 2.8 θ ,

1

Jean-Baptiste Chardin, 1699–1779.

135

0.1π < θ < 4π , je translirana tako da njen fokus padne u

tačku (170, 200), a zatim je primenjena rotacija za 80 ugaonih stepeni u smeru suprotnom od smera kazaljki. Tako njena linija posle odvajanja od karata, obilazi pun krug u trenutku tangiranja karata koje stoje uspravno na stolu, zatim prelazi preko svetle romboidne površine – usamljene karte koja viri iz fioke, potom savija uvis, savršeno prateći luk dečakovih leđa, da bi završila malo iznad njegove glave, gotovo vertikalno iznad polazne tačke. Ova analiza se može primeniti i na skulpture. (Sl. 36, desno), prikazuje figuru boginje Artio, čiji je simbol medvedić. Delo je iz prerimskog perioda i nađeno je u Bernu (bern = medved). Kompozicija skulpture izvanredno prikazuje istovremenu (mitološku) povezanost boginje sa životinjom i njenu odvojenost od nje. Ovo je iskazano zajedničkim pokretom obe figure udesno. Fokus je u centru medveđe njuške a osnovna jednačina spirale u ovom slučaju je ρ (θ ) = 0.3 e 2.6 θ ,

dok je ( 0.1π , 3.6π ) interval promene θ . Linija spirale prati pokret prednjeg dela medvedice, prolazi kroz osnovu sedeće figure boginje i prati njen pokret unazad. Od modernih slikara, Salvador Dali 1 je mnogo pažnje posvetio klasičnim aspektima slikarskih tehnika, pa i kompoziciji. U javnim nastupima kontradiktoran, nedosledan i bizaran duh ovog umetnika je ustvari redak obrazac sistematičnosti i metoda. Istražujući nove mogućnosti geometrijskih kompozicionih shema, on je podrobno proučio 1

Salvador Felipe Jacinto Dali y Domenech, 1904–1989.

136

delo Matile Gike [6], u kojem je našao vezu između geometrije spirale i estetskih vrednosti likovne kompozicije. U njegovom ateljeu visila je slika suncokreta sa ucrtanom logaritamskom spiralom koja prati raspored njegovog semena, na zidovima su stajali trofejni rogovi raznih životinja, a Gala je pozirala držeći u ruci rog nosoroga, koji je zbog svog oblika logaritamske spirale dugo fascinirao Dalija. No, Dalijev prvi susret sa pužastim oblikom dogodio se nešto malo pre njegovog susreta sa Frojdom, u Londonu 1938-me. U svom Tajnom životu Salvadora Dalija, umetnik opisuje situaciju kada je, sedeći u jednom pariskom bistrou, u novinama, pročitao vest da otac psihoanalize, koga su nadrealisti obožavali, putuje u London, zauvek napuštajući Beč koji samo što su bili zaposeli nacisti. Pogled mu je pao na fotografiju koja je prikazivala Frojdov portret. „U tom momentu došao sam do otkrića o tajni mor-

Slika 37: Spiralna morfologija Frojdove glave: Dalijevi crteži kao ilustracija Tajnog života Salvadora Dalija (levo) i Frojdov portret iz 1938. godine (desno)

137

fologije Frojda.“ – piše Dali – „Njegova lobanja ima oblik puža.“ Kada je uskoro, uz posredovanje Štefana Cvajga posetio ostarelog lekara u Londonu, skicirao je njegov portret (Sl. 37, [2]) koji odražava ovo njegovo otkriće. Prema pisanju Ernsta Džonsa, Frojdovog učenika i biografa [5], Frojd je, nakon Dalijeve posete promenio mišljenje o nadrealistima, a u vezi sa Dalijevom asocijacijom o pužastom obliku njegove glave napomenuo je da bi taj stav trebalo podvrći psihoanalizi. Dalijevo interesovanje za spiralne kompozicije, moguće, datira iz perioda kada je naslikao jedno neobično platno pod nazivom Pravi izgled Ostrva mrtvih Arnolda Beklina u vreme Angelusa, godine 1932-ge. Kao što je već rečeno, Dali je posebno cenio Mileovu sliku Angelus, koju je često citirao. Da li je on u toj, prevashodno mističnoj slici, naslućivo spiralnost kompozicije? To ne možemo znati, ali na pomenutoj slici prikazana je jedna porculanska šolja sa jednim dodatkom u obliku dugog štapa, debljine olovke. Kasnije, Dali ponavlja ovu temu u slici iz 1946-te godine pod nazivom Leteća šolja snabdevena neobjašnjivim dodatkom dugim pet metara (Sl. 38). Na ovoj slici mogu se izolovati dva spiralna toka, ali u oba slučaja to su veoma otvorene spirale sa jednačinama

ρ (θ ) = 10 e 1.2 θ ,

−π < θ < 0.975π

ρ (θ ) = 20 e 1.2 θ ,

−π < θ < 0.9 π

i

(za unutrašnju i spoljašnju spiralu respektivno).

138

Posebno je zanimljiva situacija Galinog portreta iz 1935te. Ovde je Gala prikazana sa svojom dvojnicom, tako da se linije pogleda modela i dvojnice seku negde u prostoru između njih. Ta tačka se može izabrati za fokusnu tačku, a spirala, koja se sama po sebi nameće, razvija se u ravni određenom linijom koja spaja dve figure. Takva spirala se projektuje na frontalnu ravan kao eliptička spirala. Osnovna jednačina je

ρ (θ ) = 5 e 0..2 θ ,

−π < θ < 4.7 π .

Drugi naslov ove slike je Galin Angelus jer je Dali, budući opsednut Mileovom slikom, jednu njenu verziju postavio na zid iza manje Galine figure koja je licem okrenuta posmatraču.

Slika 38: Salvador Dali: Varijacija na Ostrvo smrti Arnolda Beklina iz 1946 (levo) i Galin portret iz 1935 (desno)

139

Slika 39: Metju Brend (Matthew Brand): Nastanak mobilije

Na kraju, treba pomenuti primenu spirala kod skulptura. Savremeni umetnik Metju Brant koristi veoma elegantne žičane linije, od kojih su mnoge upravo segmenti spirala, za konstrukciju svojih mobilija (Sl. 39). Primeri skulptura sa (Sl. 40.) prikazuju slobodnu razvijenost formi u prosto-

Slika 40: Skulpture sa spiralnim elementima

140

ru, ali i neizbežnu spiralu koja se dobija u svim projekcijama. Jer, geometrijsko svojstvo spirale, da je njena projekcija ponovo spirala, ovde utiče na ostvarivanje posebnog doživljaja o sveprisutnosti spiralne forme. Spirala je mnogo eksploatisana u domenu optičkih iluzija. Već i sama, matematički precizna, zavojnica može da zbuni čula. Na pitanje koja od spirala sa (Sl. 41.) ima konačnu a koja beskonačnu dužinu, većina će odgovoriti da je to desna spirala. Ustvari, ona ima konačnu, a leva beskonačnu dužinu. Ova iluzija se bazira na nemogućnosti našeg oka

Slika 41: Beskonačna i konačna spirala

da razlikuje brzinu nagomilavanja navojaka jedne i druge spirale. Nikolas Vejd (Wade) sistematski je izučavao spiralne iluzije i neke od ovih primera prikazane su na (Sl. 42). Na ovim grafikama, iluzija spirale se stvara zbog geštalt efekta u kome učestvuje naš vizuelni sistem ali i naša psihologija. Naime, ovaj sistem ima tendenciju da favorizuje celinu na račun detalja i da favorizuje poredak na račun nereda. U psihologiji Geštalta, poznata je Frejzerova spirala, kao iluzioni model. Ove op-art tvorevine, međutim, izazivaju zamor već posle kraćeg perioda posmatranja, i stvaraju

141

Slika 42: Spirale – iluzije

utisak pokreta, sličan onom koji na Sl. 28, dočarava umetnik iz Mesopotamije. Među iluzije spiralnog tipa možemo ubrojati i predstave spirala pomoću jednostavnijih geometrijskih oblika. Na primer, ako se veliki broj duži poređa na odgovarajući, strogo kontrolisan način, dobija se dijagram prikazan na (Sl. 43, levo). Ovakvi dijagrami se pojavljuju u Teoriji dinamičkih sistema, a spirala koja se naslućuje je anvelopa (obvojnica) rešenja jedne diferencijalne jednačine.

Slika 43: Spirala od pravolinijskih segmenata i spiralna pesma

142

Ni pesnici konceptualisti nisu odoleli magiji spiralnih formi. Na istoj (Sl. 43.) je prikazana jedna „spiralna pesma“: Trava se njiše pod vetrom, drveće takođe, Umirući maslačak rastura seme niz vetar, Oblake vetar pokreće, i našu kosu, napred – nazad, Perje leti po vetru, ali mi ga ne možemo videti, Već samo osetiti VETAR. Na kraju, završićemo ovaj tekst jednom slikom Dragana Mojovića, (Sl. 44.) našeg nedavno preminulog slikara, čije delo sadrži, u umetnosti retko viđenu i neobično uspešnu sintezu poetskog i racionalnog. Treba li da nas začudi što uz plitku brazdu koja u pesku ocrtava oblik logaritamske spirale imamo i jednu katarku, simbol kolumbovskog stremljenja, jedno jaje i penušavi morski talas koji prati obrazac dinamičkih shema na rubu haosa?

Slika 44: Dragan Mojović: Blagovest jutra: Mimozemlje, 1989

143

LITERATURA [1] Archimedes: De Incidentibus in Fluido, lib. 2. [2] Dali, Salvador: Retrospective 1920–1980, Katalog izložbe održane od 18.12.1979. do 14.04.1980. u Centru Georges PompidouMusee National d’Art Moderne, Paris. [3] Davis, Philip J.: Spirals – From Theodorus to Chaos, A K Peters, Wellesley, Massachusetts 1993. [4] Drost, D. Damm, H. Hartwig, W.: Ornament i plastika. Afrika, Okeanija, Sibir, „Jugoslavija“, Beograd 1964. [5] Džons, E.: Život i delo Sigmunda Frojda, II, Matica Srpska, Novi Sad 1985. [6] Ghyka, Matila Costiescu: The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc., New York 1977. [7] Grasi, Ernesto: Teorija o Lepom u Antici, Srpska Književna Zadruga, Beograd 1974. [8] Haeckel, Ernst: Art Forms in Nature, Dover Publ., 1974. [9] Janićijević J.: U znaku Moloha-Antropološki ogledi o žrtvovanju, Vajat, Beograd 1986. [10] Jung, Carl Gustav et al.: Man and His Symbols, Aldus Book Limited, London 1964. (takođe prevod u izdanju Mladinske Knjige, Ljubljana 1973). [11] Jung, Karl Gustav: O psihologiji nesvesnog, Matica Srpska, Novi Sad 1978. [12] Kuper, Džin Kembel: Ilustrovana Enciklopedija Tradicionalnih Simbola, Prosveta-Nolit, Beograd 1986. [13] Mamedov, Kh. S.: Crystallographic Patterns, Comp&Maths. Appls, 12B (1986), 511–529.

144

[14] Markushevich, A. I.: Remarkable Curves, English translation, Mir Publishers, Moscow 1980. [15] Piggot, Stuart (urednik): Osvit civilizacije – opšti pregled starih kultura, „Jugoslavija“, Beograd 1969. [16] Po, Edgar A.: Odabrana dela, Nolit, Beograd 1975. [17] Poe, Edgar A.: Priče – Knjiga Prva, Nakladni Zavod Matice Hrvatske, Zagreb, 1986. [18] Poe, Edgar A.: A Descent Into the Maelstrom, http://xroads.virginia.edu/~HYPER/POE/descent.html. [19] Savelov, A. A.: Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb 1979. [20] Thomson, D’Arcy W.: On Growth and Form, Paperback, Cambridge Univ. Press, 1992. [21] Šejka, Leonid: Traktat o slikarstvu, Zlatna Grana, Sombor 1995. [22] Štajnhaus, Hugo: Matematički Kaleidoskop, Nauka, Moskva 1981. (na ruskom).

145

146

ORTOGONALNOST – KOGNITIVNO ESTETSKA FUNKCIJA UVOD Izgleda da je pojam ortogonalnosti prvi put upotrebljen u engleskom jeziku u knjizi Thomasa Diggesa A geometrical practise named Pantometria, iz 1571-ve godine [1]. Inače, Euklid je još u IV veku p.n.e. koristio naziv orthogon za pravougli trougao. Ovaj naziv je kasnije prenet u latinski jezik kao orthogonium ili orthogonion. Budući da pojam ortogonalnosti zahvata u same osnove geometrije a geometrija sveobuhvatno odražava logiku Prirode, sleduje da je ortogonalnost jedan od temeljnih gradivnih elemenata Univerzuma. Pitagorejci su taj fenomen formulisali kao sveprisutno ispunjavanje logosa, a to stanovište je pozitivna nauka, počev od XVII veka podigla na nivo principa. U ovom poglavlju biće reči o tri fenomenološka aspekta ortogonalnosti, mogućno u poretku u kome su se javljali u istoriji civilizacije. To je najpre rano iskustvo vezano za procese sa minimalnom energijom, zatim pojam nezavisnosti dimenzija i najzad, ortogonalnost kao informacija.

147

ORTOGONALNOST KAO MINIMUM ENERGIJE Iskustva praktičnog života najranijih humanih stanovnika planete Zemlje su vezana za njihov opstanak. Pri rukovanju raznim oruđima gomilala su se iskustva koja su prenošena s kolena na koleno i dalje korišćena u naslednim pokoljenjima. Jedno od takvih, životno važnih iskustava je saznanje da za održavanje jednog štapa u vertikalnom položaju nije potreban veliki napor, dok je za njegovo održavanje u kosom položaju, potreban. Slika 1 prikazuje situaciju uspravljanja štapa i grafik energije u funkciji ugla prema horizontali. Ono što pada u oči, to je postojanje lokalnog minimuma energije pri vertikalnom položaju štapa, drvenog debla, duguljastog kamena ili sličnog predmeta čija je jedna dimenzija mnogo veća od druge dve. To je bila jedna važna komponenta u saznanju neolitskog čoveka. Druga je bila da

Slika 1: Rano iskustvo: Lokalni minimum vertikalnog položaja

148

Slika 2: Bronzano doba: Stonehange, Salisbury Plain, England (3000–1500 g. p.n.e)

vertikalni položaj ima poseban značaj za njegove praktične i kulturne potrebe. Kamen koji ima izdužen oblik u prirodi se veoma retko nalazi uspravljen. Dokaz za to je i poseban naziv za takve kamene blokove koji su postojali u skoro svim civilizacijama a neki od tih naziva su i danas u upotrebi: obelisk ili menhir. Njegov prirodni položaj je horizontalan. Zbog toga, uspravan kamen može da znači prisustvo inteligentnog bića, izraz volje tog bića, i simbol njegove pobede nad silama prirode. Sem toga, uspravan položaj ima i čitav niz aposteriornih i simboličkih značenja koji idu od prostog obeležavanja nekog važnog mesta, preko falusnih simbola plodnosti do impresivnih artefakata hramova posvećenih brojnim bogovima i boginjama mediteranskog i hiperborejskog sveta. Šta je drugo zagonetni spomenik u Stonehangeu (Sl. 2), ako ne jedna inteligentna zamisao ostvarena uspravnim kamenjem. Dešifrovanje tačne svrhe ovog neobičnog kamenog kompleksa još uvek nije privedeno kraju, ali preovlađujuće mišljenje je da je on neka vrsta kalendara bronzanog doba.

149

Civilizacije koje su ostavljale ovakve spomenike nesumnjivo su imale svest o sebi i, što je još važnije, bile su uverene u sopstveno trajanje. Međutim, bilo je i onih koje su bile u stalnom ili u periodičnom kretanju. Takve su civilizacije donele čovečanstvu druge vrste otkrića, a među najvažnijim je svakako točak. Nema lepšeg primera primene principa ortogonalnosti od točka. Funkcija točka je uspostavljanje neprekidne ortogonalnosti između pravca delovanja gravitacije i smera kretanja. U idealnoj geometrijskoj aproksimaciji, točak dodiruje horizon-

Slika 3: Seobe naroda: Točkovi i ortogonalnost

talnu ravan u jednoj tački i prenosi uporno dejstvo te tačke dodira na osovinu koja se kreće u horizontalnom pravcu, i to u svakom trenutku kretanja. Na taj način, uspostavljanje minimalnog stanja energije se prenosi iz jedne vremenske tačke u sledeću prateći neprekidnost vremena i prostora a koristeći princip ortogonalnosti sa Slike 1. Prvi točak koji je korišćen za transport je verovatno bio izrađen od jednog komada kamena ili drveta, dok je kasnije bio sastavljen iz dva polukružna masivna komada, kao na (Sl. 3, levo). Vremenom, kada je (moguće samo intuitivno) otkriven već pomenuti princip prenosa sile težine, primećeno je da nije po-

150

trebna čitava masa točka za prenos ove sile koja je delovala u pravcu tačka dodira-centar, već su za to bili dovoljni paoci (Sl. 3, desno) čime je točak dobijao na lakoći i eleganciji. Time se ovaj važan premet lagano transformisao od isključivo upotrebnog do objekta visoke estetske vrednosti. Neumitne sile gravitacije pratile su i graditelje hramova. Hramovi su bili neobično važne građevine jer su to bile uporišne tačke vere u nebesku teogoniju a samim tim i temelji civilizacije tog doba. Isti onaj princip lokalnog energetskog minimuma doveo je antički hram do njegovog finalnog oblika, koji se uz veće ili manje varijacije može svesti na starogrčki Partenon, što je opšti naziv za tip građevine prikazane na (Sl. 4). Osnovni geometrijski oblik

Slika 4: Stroga ortogonalnost: – konstrukcija Partenona (VI vek p.n.e)

151

koji je i ključ i tajna Partenona je pravougaonik. Osim što je upotrebljiv kao gradivni element (ovo otkriće Grci duguju Sumercima), on čini i osnovu hrama. Pravougaoni oblik, koji bi bio nemoguć bez ortogonalnosti, dopušta ustanovljenje razmere, koja, kao odnos dužine stranica, ima presudnu ulogu u estetskom doživljaju čitave građevine. Upečatljiva lepota Partenona je posledica proporcije zlatnog preseka, koji za svoj modul ima zlatni broj, ϕ=

1+ 5 ≈ 1,618 2

(videti poglavlje Komentari na Peri Elikon). Ovaj sistem proporcija je povezan sa pravilnim petouglom i izgleda da je u Grčku došao iz Egipta, jer je primenjen kod grobnice Ramzesa IV. Kasnije je primenjivan u renesansnom slikarstvu i skulpturi. Ovaj sistem je detaljno proučio Le Corbusier, i na njemu je bazirao svoj Modulor, univerzalni proporcijski sistem. Drugi važan sistem proporcija je Rimski sistem, baziran na broju θ = 1 + 2 ≈ 2,4142 .

Mreža proporcija Rimskog sistema povezana je sa pravilnim osmouglom čije se dijagonale seku u odnosu 1 : θ . Presek dijagonala, opet, formira novi, manji osmougaonik čija stranica prema stranici većeg ponovo čini odnos 1 : θ . Ovaj sistem je veoma korišćen u građevinarstvu starog Rima gde je došao iz Grčke. Proprcije i ritmovi pročelja crkve Santa Marija Novela u Rimu su izvedeni upotrebom ovog sistema, a Mikelanđelo ga je koristio u projektovanju Kapele Mediči.

152

Najzad, pomenimo Paladiov proporcijski sistem baziran na broju ψ = 1 + 3 ≈ 2,732 ,

koji je vezan za pravilni dvanaestougao. Preseci dijagonala pravilnog dvanaestougla, odnos strana početnog i upisanog poligona itd. stoje u odnosu 1 : ψ . Ovaj sistem je koristio Andrea Paladio pri projektovanju renesansnih građevina. Kao antiteza grčkom Partenonu i egipatskim građevinama pojavila se kupola. U osnovi, pronalazak semitskih naroda, kupola se gradi od elemenata koji blago odstupaju od paralelopipeda, odnosno od ortogonalnosti, Slika 5: Kupola kao odstupanje od ortogonalnosti – Santa Maria del Fiore kako se vidi na (Sl. u Firenci 5). Ukoliko se gradivni element tako oblikuje da u preseku, umesto pravougaonika ima trapez sa stranicama čiji ugao od pravog odstupa za veoma mali iznos (nekoliko stepeni), nadovezivanjem tih elemenata se umesto pravougaone građevine dobija obličasti svod. Ako se elementi tako oblikuju da umesto paralelopipeda obrazuju zarubljenu piramidu sa malim uglovima nagiba

153

strana, naslagani jedan do drugog, obrazovaće kupolu (Sl. 5).

154

ORTOGONALNOST KAO SAZNANJE I VERA Kroz grad Niš, antički Naissus, protiče reka Nišava, antička Navya. Po jednoj logičnoj i prilično dobro argumentovanoj teoriji, Naissus je dobio ime po reci. U istoriji civilizacije reke su igrale neobično važnu ulogu. Tako se, u okruženju svake važnije reke razvijao korpus pojmova vezanih za vitalne pojave koje je reka donosila. Svi su se ti pojmovi vremenom kristalisali oko dve glavne osobine jedne reke: plovnost i brodivost (prelazivost). Plovnost neke reke (Nil, Eufrat, Tigar, Gang) donosila je dobro krajevima uz reku. To je, pre svega značilo jevtin način transporta ali i teškoće u prelasku sa jedne na drugu obalu ukoliko se ne poseduje plovni objekat koji nije svakom bio dostupan. S druge strane, brodivost je donosila mogućnost brzog i sigurnog prelaza s jedne obale na drugu i siromašnijim slojevima. Tako se može reći da su pojmovi plovan i brodiv logički protivrečni i na neki način ortogonalni jer su vezani za dva međusobno upravna pravca kretanja u odnosu na reku: longitudinalni pravac (duž rečnog toka) i transverzalni pravac

Slika 6: Willem Bleau: Tabula Magellanica, Atlas Maior sive Cosmographia Blaviana, Amstelodami, Blaeu, 1662

155

(poprečno u odnosu na tok reke). Tako se u [5] lepo zapaža da je oblik navya pridevski deo od punog imena reke koji je izgleda glasio Danus Navya i da je, moguće, indoiranskog poreSlika 7: Određivanje oblika i veličine kla. Na primer, u Zemlje: Eratosten iz Kirene jednom natpisu cara Darija I koji se odnosi na reku Tigar se kaže: uta abis navya aha što je prevedeno kao „i zbog naraslih voda (reka Tigar) je bila neprelazna“ dakle „neprebrodiva“ tj. mogla se preći samo pomoću plovila. Pojam plovan može se primeniti i na druge vodene puteve. Na primer, kada je Ferdinand Magellan (1480–1521) pokrenuo ekspediciju sa ciljem da otkrije put do Tihog okeana, ušao je na leto 1520-te, u lavirint moreuza na krajnjem jugu Južne Amerike. Iako je svaka milja ovih voda, zbog velikih dubina, bila itekako plovna, do kraja je bilo neizvesno da li postoji plovni put. Tek oktobra 1520-te njegova ekspedicija je pronašla put kroz prolaz kome je Magellan dao naziv Prolaz Svih Svetih da bi kasnije poneo njegovo ime. U ovom slučaju, evropska civilizacija je bila zainteresovana samo za prvu komponentu ortogonalnog para (plovnost, brodivost) jer je ekonomska važnost plovnosti kroz kanal daleko nadmašivala njegovu brodivost, tj. poprečnu prelazivost.

156

Princip ortogonalnosti je mnogo puta bio od pomoći pri otkrivanjima tajni prirode. Lep primer je Eratosten iz Kirene (rođen 276-te godine u Kireni, Libija; umro 194-te godine pre Hrista, u Aleksandriji, Egipat) i njegov ubedljiv dokaz. Eratosten je primetio da sunčevi zraci u njegovom rodnom gradu Kireni u letnje podne padaju vertikalno u odnosu na tle jer osvetljavaju dna dubokih bunara, dok u Aleksandriji, koja je od Kirene udaljena 787 km to nije slučaj. Razlog ovome je neznatno odstupanje od ortogonalnosti pravca pod kojim sunčevi zraci padaju na tle u Aleksandriji. Eratosten je izmerio ovo odstupanje i odredio njegov ugao: 7,2°, što je 50-ti deo punog kruga. Rastojanje između Aleksandrije i Kirene je u to vreme procenjeno na 5 hiljada stadijuma, tako da je Eratosten jednostavno izračunao da je obim Zemlje 50 × 5.000 = 250.000 stadijuma. Kako je jedan stadijum predstavljao dužinu od 157,5 m, dobija se obim od 39.690 km dok je savremena nauka tu dužinu utvrdila na 40.035 km. Dakle, greška je svega 0,86%, što predstavlja zadivljujuću tačnost. Već smo dotakli simbolički i kulturni smisao ortogonalnosti. U tom pogledu svakako je nezaobilazan oblik krsta. Krst je prvobitno, još u Starom veku, bio povezivan sa ljudskim stradanjem, budući da je korišćen za kažnjavanje buntovnika i ljudi van zakona. Zatim, u Novoj eri, on postaje glavni simbol Hrišćanstva i stilizovana slika Hristovog stradanja. Osim reprodukovanja geometrije raspeća, krst ima i dublji teološko-filozofski smisao. Naime, on je slika (ortogonalnog) ukrsta dva principa: zemaljskog (ljudskog) i nebeskog (božanskog). Nebeski princip je predstavljen vertikalnom linijom (patibulum), dok je zemaljski predstavljen horizontalnom linijom (an-

157

tena). Podrobnije, o tome duhovnik Jovan [7] napominje da se duhovnost prima vertikalno, kao poslanje od Oca, ali i horizontalno, kroz istoriju hebrejskog naroda i njegovog etičkog iskustva. Ova dva modusa duhovnosti su dakle, simbolizovana krstom. U početku, krst je bio jednostavan, ravnokraki ili sa dužom vertikalnom komponentom, ali kako se izvorno Hrišćanstvo mutilo raznim jeretičkim frakcijama da bi se u XI veku definitivno podelilo, tako je svaka struja u okviru ove doktrine usvajala svoju varijantu krsta. Slika 8 prikazuje nekoliko varijanti hrišćanskih krstova počev od krstastih novčića koji su se koristili u ranim kinovijama (zatvorenim hrišćanskim zajednicama) (Sl. 8a), i keltskog krsta iz X veka (Sl. 8b), koji sadrži upečatljiv prikaz četiri eksera koji predstavljaju eksere koji su koričćeni pri raspeću, dok su po dijagonalama ljiljani koji simbolizuju Hristovo bezgrešno rođenje. Na (Sl. 8c) prikazan je rani irski sunčani krst koji je, po jednoj teoriji, nastao kao sinteza nadolazećeg Hrišćanstva i nekog prehrišćanskog paganskog kulta u kome je Sunce bilo glavno božanstvo. Sva tri ranohrišćanska krsta se odlikuju jednakom dužinom krakova krsta što je bilo suprotno utvrđenoj latinskoj varijanti u kojoj je patibulum bio dva puta duži od antene. Na taj način, jednakokraki krst je postao simbol ortodoksne crkve koja je, uklanjajući se od Zapadne varijante i papskih progona, našla utočište najpre u zajednicama na periferiji Rimskog carstva (Bliski istok, Severna Afrika), da bi se kasnije obrela u Baskiji (Sveti Priscilijan i svetilište u Santjago de Komposteli), pa u Irskoj. U kasnijoj tradiciji irske crkve, ovaj krst se transformisao poprimajući latinski oblik (Sl. 8d) u skladu sa kompromisom koji je ova crkva uspostavila sa Rimom.

158

Slika 8: a. Ranohrišćanski novčić; b. Keltski krst sa ljiljanima (X vek); c. Suncani krst; d. Irski krst; e. Ruski Pravoslavni krst

Ipak, ostao je tradicionalni irski preplet koji ovom krstu daje posebnu lepotu. Zanimljiva je Pravoslavna varijanta ovog simbola. Slika 8e prikazuje ruski Pravoslavni krst (iz jednog manastira u Ukrajini), i na njemu se vidi da sem dve horizontalne prečke, postoji i treća, u donjem delu, ali ona ne stoji upravno na stablo krsta, već pod uglom od 45°. Otkud takvo, naglaše-

159

no odstupanje od horizontale? Odgovor se dobija pažljivom analizom značenja pojedinih delova krsta. Primećuje se da antena i patibulum čine osnovni krst, Krst raspeća. Gornji, manji krst predstavlja ortodoksnu komponentu, simbol Vere Hristove, dok donja, kosa prečka predstavlja zapis (titulus) koji je, u Katoličkoj vari- Slika 9: Sveta Brigida od Kildarea i njen krst: a. ukrasna varijanta; b. janti stajao iznad a u preplet od slame Pravoslavnoj ispod Hristovog tela. U dugoj tradiciji institucije raspeća, ovaj zapis je obaveštavao prisutnu publiku i građane o razlogu raspeća, odnosno o sagrešenju kažnjenog. To je obično bio komad pergamenta ili kože na kojoj je sudski pisar ispisivao razlog presude i presudu. Kako je, u slučaju Hristovom, presuda bila nepravedna, natpis se nije, u ikonografskom smislu, mogao ravnati sa gornjim prečkama koje imaju božansku prirodu, pa je, u ovoj Pravoslavnoj varijanti postavljen koso. Na taj način, forma ortogonalnosti je iskorišćena kao simbol reda, božanskog zakona i ljubavi, dok je humani greh simbolički obeležen odstupanjem od ortogonalnosti kao merom nesavršenosti.

160

Na kraju ovog osvrta navedimo i to da danas postoji na stotine varijanti simbola krsta, i da ustvari svaka od brojnih hrišćanskih frakcija ima svoju varijantu. Od tradicionalnih treba pomenuti sledeće: crux ordinata (latinski krst), crux inversa (obrnuti ili Petrov krst), crux quadrata (grčki krst), crux decussata (Andrejin krst), jerusalimski krst (krst Svetog groba), malteški krst, sunčani krst, krst sastavljen od četiri slova Γ (gama) tzv. crux gammata, koptski krst (sa dijagonalnim ekserima), krst Evangelista, trolisni (brabantski) krst, kukasti krst (svastika) itd. No, posebnu ljupkost svakako ima krst irske svetiteljice Svete Brigide koja je poznata još pod imenima Bride, Bridget, Brigit ili Ffraid. Živela je u ranom Srednjem veku, rođena oko 450-te godine u pokrajini Louth (Irska), a sahranjena u Kildareu (Irska) oko 525-te godine. Ovaj krst ima samo rotacionu ali ne i osnu simetriju, za razliku od velike većine klasičnih krstova, koji su u ogromnoj većini simetrični u odnosu na vertikalnu osu, a neki od njih i u odnosu na horizontalnu osu. Osim toga, Brigidin krst se pravi isključivo prepletom i to na tačno određeni način (Sl. 9).

NEZAVISNOST DIMENZIJA Sledeći aspekt ortogonalnosti je nešto apstraktniji jer nužno sadrži elemente apsurda. Naime, prema osnovnom principu fizike, dva različita tela ne mogu zapremati isti prostor. Međutim, kako se fizička materija ispoljava i u talasnom obliku, tada, možemo imati dva fizička događaja u istom prostorno-vremenskom kontinuumu, odvojena ne prostorom niti vremenom, već posebnom unutrašnjom organizacijom – ortogonalnošću. Klasičan primer je istovremeno

161

Slika 10: Električno kolo naizmenične struje: napon i struja kao nezavisni vektori

postojanje napona i struje kod električnog kola. Električni napon i struja su fizičke realnosti potpuno različitih, mada povezanih priroda. U slučaju naizmeničnog režima, ove dve veličine ko-egzistiraju kao dve funkcije vremena koje se, na primer, mogu menjati po zakonu sinusne funkcije. No, ako je jedna veličina prikazana sinusnom funkcijom u prikladnom koordinatnom sistemu, druga je nužno kosinusna funkcija (Sl. 10). Zgodna grafička paradigma je tzv. versorski dijagram (Sl. 10, krajnje desno), koji prikazuje ove dve veličine u obliku dva ortogonalna, rotirajuća vektora, koja svojom projekcijom upravo definišu sinusno-kosinusnu zavisnost, efektno ukazuje na pravu unutrašnju strukturu ovog fenomena, a to je ortogonalni poredak veličina. Ovakav poredak je potreban jer je i jedino realan i samo iznosi na svetlost dana ne baš evidentnu istinu (bar ne na prvi pogled) da električna struja i napon predstavljaju nezavisne veličine koje koegzistiraju u istom prostorno-vremenskom kontinuumu, i da je najbolji geometrijski prikaz ovih veličina – ortogonalni sistem (Sl. 10).

162

Ovakvih primera u Prirodi ima na pretek, i uvek je najprirodniji način „razdvajanja“ koegzistentnih veličina, njihovo prikazivanje u pravouglom koordinatnom sistemu sa onoliko ortogonalnih osa koliko ima nezavisnih veličina. U tome je upravo Slika 11: Lissajousovo klatno (odnos veličina i snaga 13 : 21 ) Descartesovog otkrića koordinatnog sistema, koje nam danas deluje kao trivijalnost. Lep primer kombinovanja međusobno ortogonalnih oscilacija predstavlja Lissajousovo (Lisažu) klatno i odgovarajuće, Lissajousove figure (Sl. 11) koje opisuje to klatno. Lissajousovo klatno (Sl. 11) se sastoji od trougaone „ljuljaške“ koja osciluje napred-

Slika 12: Lissajousove figure

163

nazad, i o čiji je vrh okačeno obično klatno koje se klati levo-desno. Ukoliko su periode ove dve oscilacije koje se, dakle, odvijaju u ortogonalnim ravnima, u brojnom odnosu dva cela broja, dobijaju se „lepe“ figure, kao na (Sl. 12). Do ovih lepih oblika došao je francuski matematičar JulesAntoine Lissajous 1857-me prilikom eksperimenta sa ogledalcima pričvršćenim za dve ortogonalno postavljene zvučne viljuške koje su zatim pobuđene na oscilovanje. Svetlosni zrak koji je padao na jedno a zatim se odbijao do drugog ogledalca opisivo je svetle linije koje su imale oblik onih na (Sl. 12) uvek kad bi viljuške zvučale čistim tonovima. U suprotnom, kriva koju je svetlosni zrak opisivao na ekranu, rasplinula bi se u haotičnu mrlju svetlosti. Čistom zvuku odgovarao je „čist“ odnos brojeva oscilacija u jedinici vremena. Matematičkim jezikom rečeno, ortogonalne komponente Lissajousove figure koja se dobija odnosom frekvencija zvučnih viljuški, ω1 ω2 , mogu se predstaviti beskonačnim trigonometrijskim sumama x (t ) =

a0 ∞ + ∑ (a i cos (i ω1t ) + bi sin (i ω1t )) 2 i =1

y (t ) =

c0 ∞ + ∑ (c i cos (i ω2 t ) + d i sin (i ω2 t )) 2 i =1

pri čemu su { a i }, { bi }, { c i } i { d i } beskonačni nizovi konstanti. Ukoliko je zvuk zvučnih viljuški „čist“ tada se anuliraju sve ove konstante osim njih konačno mnogo, i tada preostali članovi u trigonometrijskim sumama predstavljaju periodične projekcije kretanja Lissajousovog klatna

164

Slika 13: Ortogonalno razlaganje kretanja Lisažuovog klatna

na ortogonalne ravni. Slika 13 prikazuje ortogonalno razlaganje Lissajousove figure sa (Sl. 11), kod koje je odnos frekvencija 13 : 21 . Ako su nezavisne veličine koje leže u samim temeljima prirode neumitno ortogonalne, tim pre će se slične strukture pojaviti i u ljudskim tvorevinama, bilo da potiču od ruku ili duha. Kao primer, uzećemo muziku. Prateći njen razvoj od praistorije do danas, nalazimo da negde do prelaska u Novu eru dominira metrički i ritmički muzički izraz. Takva muzika se može opisati kao jednodimenzionalna. Zaista, za reprodukciju takve muzike dovoljno je znati uvek

Slika 14: Evolucija muzike: metro-ritmika, melodija, polifonija

165

samo jednu vrstu veličine, a to je (vremenski) razmak između tonova, koji se proizvode po pravilu udaraljkama. Sa usložnjavanjem muzike, izazvane pre svega novim zahtevima izraza, javlja se i druga, nezavisna dimenzija, visina tona. Spajanjem metro-ritmike i varijacijom visine tona dobija se nova, dvodimenzionalna muzička forma, melodija. U kasnom Srednjem veku, melodika je dosegla vrhunac a u svom, čistom obliku postoji i danas. Negde na prelazu iz Srednjeg veka u Renesansu javlja se i treća muzička dimenzija – polifonija, muzička forma u kojoj dve ili više melodija teku istovremeno. Tako je muzika evoluirala do trodimenzionalnosti (Sl. 14). Likovne umetnosti, takođe počev od Renesanse, počinju da svesno koriste nezavisnost dimenzija trodimenzionalnog prostora da bi poboljšale realističnost prikaza sveta koji nas okružuje. Na taj način se spontano došlo do saznanja da ljudsko oko ima svoje zakonitosti po kojima opaža grafičke iluzije, a jedna od njih je vezana za dvoznačnost trodimenzionalnih predmeta, ukoliko su prikazani na pojednostav-

Slika 15: Percepcija ortogonalnosti: Izvor iluzije

166

ljen geometrijski način (Sl. 15). To je umetnike navelo na temeljno proučavanje perspektive, i ponovo se došlo do saznanja o potrebi kontrolisanog odstupanja od ortogonalnosti kao izvoru novih mogućnosti realističkog prikazivanja. Ovo odstupanje je bilo lako nelinearno i sprovođeno je različito u različitim ortogonalnim pravcima, zavisno od položaja posmatrača i pravca njegovog gledanja. Laka nelinearnost je posledica veoma slabe deformacije opaženog prostora izazvane sfernom geometrijom oka i očnih sočiva, kao i unutrašnje geometrije receptora vida. Tajnu blagog odstupanja od ortogonalnosti u različitim pravcima znali su još antički graditelji sa Pelaškog arhipelaga. Ako se pažljivo analiziraju velike građevine, kao što je Partenon na (Sl. 4), dolazi se do zaključka da glavne linije hrama veoma malo, ali ipak merljivo, odstupaju od ortogonalnosti. Naime, frontalne pravougaone formacije hramovne osnove i arhitrava su blago proširene prema krajevima, tako da imaju oblik veoma slabog bikonkavnog sočiva. Ovakva neobična geometrija imala je za cilj „korekciju“ nelinearnosti koju oko poseduje, pa tako posmatrač doživljava pravougaone celine kao nedeformisane, pa prema tome snažnije i kompaktnije, što rezultira u pojačanom utisku monumentalnosti cele građevine. Igre iluzijama koje se baziraju na odstupanju od ortogonalnosti su nastavljene i u vreme rimske arhitekture i slikarstva, naročito dekorativnog, kada su zatvorene prostorije rimskih vila arhitektonski tako izvođene i oslikavane da su davale iluziju produženja prostora do u beskonačnost. Ovaj likovni iluzionizam preuzet je od arhitekata i slikara Srednjeg veka za oslikavanje kupola i svodova bazilika i crkava.

167

U Renesansi, iluzije bazirane na ortogonalnosti i odstupanju od nje su dovedene do savršenstva, i to ne samo u vezi pomenute Slika 16: Kontrapunkt klasičnom idealu perspektive, već i u ortogonalnosti: Hogarthova The Line Of uvođenju Beauty And Grace anamorfoza – posebnih nelinearnih modifikacija likova, kao kod krivih ogledala. U razdoblju Baroka i Rokokoa, ova sklonost ka jako nelinearnim, zavojitim i spiralnim formama je dovedena do vrhunca. Engleski slikari tog doba, su po prirodi bili suzdržani i nerado su uvodili kitnjaste novotarije, pa ipak je William Hogarth (1697–1764), u svojoj knjizi The Analysis of Beauty koja je objavljena 1753-će, prikazao svoju „liniju lepote i gracioznosti“ koja je imala oblik slova „S“ (Sl. 16) i promovisao je u svoj estetski princip. Ova linija se pojavila nekoliko godina ranije na jednom Hogarthovom autoportretu koji se danas nalazi u Tate galeriji u Londonu, i tu je prikazana kao nevažan detalj, ali uz jasan natpis „The Line Of Beauty And Grace“. U ovoj tački svog istorijskog razvoja, likovne umetnosti su bile najviše udaljene od uzvišenih kanona grčke umetnosti koja je slavila jednostavnost oličenu u ortogonalnoj organizaciji predmeta. Tek je XX vek doneo povratak klasičnoj tradiciji. To je primetno u različitim pravcima moderne umetnosti koji su se množili naročito na početku veka. Ono što je Impresioni-

168

zam učinio za boju, Kubizam je učinio za formu. Impresionizam je redukovao boju pejzaža na njegove sastavne delove. Kubizam je redukovao oblike na euklidske korpuskule – kocku, kupu, loptu. I jedan i drugi pokret polaze od analize realnog. Eksperimentišući s Kubizmom, Holanđanin Piet Mondriaan (1872–1944) ide dalje. Dedukcijom, on dolazi do osnovnih gradivnih elemenata likovnosti dvodimenzionalnog, slikarskog prostora – vertikale i horizontale. Na Slici 17 prikazana je razvojna linija ovog izuzetnog slikara. Posle realističke i naturalističke faze, 1908-me, mladi Mondriaan prihvata Simbolizam posle čega potpada pod uticaj Pointilista i Fovista. Negde oko 1911-te, očaran Brakom i Pikasom on otpočinje sopstveno ogledanje s Kubizmom i razvija sopstvenu varijantu analitičkog Kubizma. Godine 1916te priključuje se Theu van Doesburgu sa kojim formira grupu De Stijl (Stil).

169 Slika 17: Piet Mondriaan: Povratak ortogonalnosti

Slika 18: Ortogonalnost u umetnosti: Naomi Asakura

Naredne godine njegov Kubizam postaje još čistiji u svojoj geometriji, sa jasnom tendencijom ka razlaganju oblika po principu ortogonalnosti. Od 1918-te godine Mondriaan otpočinje sa novim, nezavisnim stilom, koji je on nazvao Nieuve Bleeding a danas je poznatiji kao Neo-plasticizam. Sve slike iz zrelog perioda ovog umetnika su varijacije na istu temu: suptilni odnos vertikalno-horizontalno kao i odgovarajuća pravougaono-kvadratna ornamentika često dopunjena ne beznačajnim kolorističkim zahvatima. Sem Mondriaana, na putu redukcije formi do vertikalnog, horizontalnog i dijagonalnog našli su se i Kazimir Maljevič, Viktor Vasarely i mnogi njihovi sledbenici. U svom eksperimentu na (Sl. 18, levo), japanski umetnik Naomi Asakura koristi isključivo ortogonalnost da bi dobio iluziju sfernog objekta, dok na slici desno odbacuje horizontale i svoj umetnički doživljaj gradi samo na toplo-hladnim hromatskim vertikalama.

170

ORTOGONALNOST KAO INFORMACIJA Ako u uobičajenom koordinatnom sistemu uočimo tačke A = (3, 0 ) i B = (0, 4 ) , naći ćemo da je dužina segmenta AB celi broj 5. Ustvari, trougao ABC, pri čemu je C = (0, 0 ) je pravougli trougao sa celobrojnim dužinama strana: 3, 4 i 5. Ovakav trougao poznat je kao Egipatski trougao, jer ovo otkriće dugujemo Egipćanima. No, oni su kao praktičan narod, ovo matematičko znanje umeli da primene. Složeno ustrojstvo egipatske države sadržavalo je i jednu posebnu klasu državnih službenika koji si se zvali harpedonapti (prema grčkom izgovoru, „oni koji zatežu konopac“, (Sl. 19), a njihova je dužnost bila da ponovo iscrtavaju granice obradivih parcela, posle poplava Nila. Parcele su bile pravougaone, jer se tako najlakše mogla izračunati količina žetve sa jedne parcele. Dakle, bilo je potrebno stalno iznova i iznova postavljati prave uglove, a harpedonapti su to radili uz pomoć tri broja, 3, 4 i 5. Njihov zbir je 12, pa je bilo potrebno uzeti konopac dužine 12 jedinica, spojiti krajeve (kao na Sl. 14, levo) a zatim zategnuti tako dobijenu

Slika 19: Egipatski Harpedonapti

171

Slika 20: Egipatski trougao: „Celobrojna“ ortogonalnost

omču u tačkama 1, 4 i 8 i trougao koji se tom prilikom dobije biće pravougli sa pravim uglom u temenu 4 (Sl. 20, desno). Smisao Egipatskog trougla je upravo u saznanju da prav ugao možemo rekonstruisati iz skupa od tri cela broja. Drugim rečima, skup brojeva {3, 4, 5} sadrži sve potrebne informacije o pravom uglu. Ako se nezavisne veličine mogu „upisivati“ duž ortogonalnih koordinata, moguć je i obrnut postupak – dekodiranje informacija o veličinama koje su sadržane u ortogonalnom koordinatnom sistemu. Efektan primer je klasični način zapisivanja stereo-zvuka na gramofonskim pločama, prikazan na (Sl. 21). Duž žleba koji je ugraviran na gramofonskoj ploči klizi igla koja prenosi neravnine utisnute prilikom snimanja zvuka. Jedan zvučni kanal je snimljen na samo dno žleba a drugi na jednu njegovu bočnu stranu. Kako oscilacije koje se prostiru ortogonalno ne interferiraju (ne mešaju se), mogućno je njihovo nezavisno prenošenje na piezo-kristale koji konvertuju vibracije igle u zvuk. Naravno, piezo-kristali su postavljeni ortogonalno, svaki u pravcu jedne oscilatorne komponente,

172

tj. kanala A i B. Kada se električni impulsi dovoljno pojačaju, kanali se odvojeno reprodukuju čime se postiže utisak prostornosti zvuka. Videli smo da su tajnu egipatskog trougla poznavali samo privilegovani staleži, koji su bili sastavljeni od najboljih umova civilizacije Nila. Međutim, pokazalo se da je ideja ortogonalnog rasporeda delova neke celine bila od šireg, socijalnog značaja. Da bi objasnili ovu tezu, počećemo jednim pitanjem: Kako je običan, neobrazovan narod uspeo da prenese veliki broj informacija o manufakturnim iskustvima koji se razvio tokom mnogih vekova postojanja civilizacije, a koji su u sebi sadržali „matematičku ideju“ koju ni danas nije lako opisati, uza sav prefinjen matematički aparat kojim raspolažemo? Budući da nas interesuje ortogonalnost, ograničićemo se na jednu veštinu u kojoj upravo ona dolazi do izražaja, iako zanatlija koji se tom veštinom služi, ne zna ništa o ortogonalnosti niti o egipatskim trouglovima. To je veština pletenja korpi od pruća ili trske, stara koliko i čovek.

Slika 21: Jedna primena ortogonalnosti: Zapisivanje stereozvuka

173

Slika 22: Prenos informacija: Pletenje korpe u plemenu Makonde (Mozambik)

U svom radu [3], etnomatematičar Paulus Gerdes opisuje kako zanatlije iz plemena Makonde iz Severnog Mozambika pletu svoje chelo-korpe. Osnova korpe je asura ispletena od pruća ili trske, a postupak izrade korpe zahteva da asura bude strogo kvadratnog oblika i da se precizno znaju sredine stranica kvadrata. Pritom, ne smemo zaboraviti, zanatliji nije dostupan postupak merenja. On se služi samo svojim rukama (u slučaju chelo-korpi, u završnoj fazi, i nogama), i polazeći od budućeg centra koristi kvadratnu matricu pletenja, koja svojom dvostrukom bilateralnom simetrijom automatski vodi ka formiranju sve većih i većih koncentričnih kvadrata (Sl. 22, levo) čiji uglovi nedvosmisleno jasno naznačuju dijagonale. Posle rotacije od 45°, dijagonale uzimaju vertikalno-horizontalni smer, a koncentrična struktura asure omogućuje lako formiranje novog kvadrata simetričnog u odnosu na nove ose (Sl. 22, desno) posle čega sleduje utiskivanje pletara u okrugli ram. Dakle, sve što zanatlija treba da nauči od svog prethodnika je veština pletenja koja obrazuje kvadratnu matricu.

174

Sledeći primer kako ortogonalnost, ili bolje reći odstupanje od ortogonalnosti, generiše informaciju, nalazimo u biologiji i medicini [4]. Poznato je da baza lobanje kod čoveka, okcipit, leži na prvom pršljenu kičme, koji se zove atlas (po Divu iz grčke mitologije koji je nosio nebeski svod). Naredni pršljen ispod atlasa se zove aksis. Vertikalna osa tzv. okcipito-atlanto-aksijalnog kompleksa i horizontalna osa atlasa su uvek ortogonalne (Sl. 23). Svako odstupanje od ortogonalnosti dovodi do subluksacije (smanjivanja protoka energije kroz nerve vrata) a to u organizmu znači informaciju koja dovodi do bola i pokreće mehanizme raznih oboljenja. Ova ortogonalnost je u medicini poznata pod imenom atlas-ortogonalnost. Na kraju, pomenimo i jedan primer koji dolazi iz fraktalne geometrije, a predstavlja generisanje informacije o tačnom vremenu pomoću beskonačne kompleksnosti fraktalnih struktura. Na osnovu teorijskih radova Kennetha Falconera o projekcijama fraktalnih skupova [2], grupa istraživača [6], je patentirala sunčani časovnik koji pokazuje tačno vreme u digitalnom obliku. Pri tom, časovnik koristi samo sunčanu svetlost, ali ne da bi je transformisao u električnu energiju, već zrake projektuje tako da „senka“ ima oblik Slika 23: Atlas ortogonolanost prepoznatljivih brojeva.

175

Dakle, informacija koju časovnik dobija je samo ugao pod kojim sunčani zraci padaju na površinu displeja. U osnovi, naprava pokazuje da složena fraktalna struktura unutrašnjosti displeja može da samo jednu informaciju, upadni ugao sunčanih zraka (na određenoj geografskoj dužini i širini), pretvori u digitalni kod. Teorijska podloga ovog Slika 24: Sunčani digitalni časovnik zanimljivog fenomena je ortogonalna (U.S. patent 5 590 093) projekcija kompleksnih skupova.

176

LITERATURA [1]. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, http://members.aol.com/jeff570/mathword.html. [2]. K. Falconer, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, 1990. [3]. P. Gerdes, On Ethnomathematical Research and Symmetry, Symmetry: Culture and Science, Vol. 1, No2, 1990, 154-70. [4]. J. Ierano, What is Atlas Orthogonal (AO)? http://www. atlasorthogonal.com.au/atlas_orthogonal_care.html. [5]. A. Loma, Otkude Niš? Niš i Vizanija (Zbornik radova sa naučnog skupa Dani Sv. Cara Konstantina i Carice Jelene, ed. M. Rakocija), Prosveta, Niš 2003, pp. 15-21. [6]. H. Scharstein, W. Krotz-Vogel, D. Scharstein, Digital Sundial, http://www.digitalsundial.com/patent.html. [7]. J. Zizioulas, Theological Problem of „Reception“, Bull. Centro Pro Unione, 26 (1984), 3–6.

177

178

UMETNIČKI ELEMENTI U FRAKTALNIM KONSTRUKCIJAMA

I

UVOD

računari čine čuda. Ali, umetnost nije posledica čuda. Naprotiv, ona je posledica velikih napora i visokog duha. S druge strane, postoji široko rasprostranjeno mišljenje da računari mogu da proizvedu dobru vizuelnu umetnost i to automatski. Internet stranice su pune „kompjuterske umetnosti“ tj. eksperimenata ostvarenih pomoću različitih grafičkih paketa. Između različitih softvera za „uradi sam“ kućnu umetnost, fraktali su poslednji modni krik. Postoji i razlog. Glavni nedostatak klasične računarske grafike je njena nemogućnost proizvodnje kompleksnih, negeometrijskih oblika. Tako objekti kao što su oblaci, stenovite litice, vegetacija, morski talasi itd. izgledaju mnogo bolje ako su predstavljeni fraktalnim aproksimacijama. Ustvari, fraktalne aproksimacije i ne koriste ništa drugo osim klasičnih euklidskih elemenata: poligona i poliedara. Međutim, krajnji rezultat je daleko bliži idealnom fraktalu, i prema tome prirodnom objektu, nego bilo kom euklidskom geometrijskom obliku. S druge strane, ovakvi fraktalni softveri su korisni ali rađaju opasnu iluziju da su oni sami po sebi prečica ka pravoj umetnosti. Kada je iz štampe izašla Mandelbrotova knjiga Fraktalna Geometrija Prirode [8], počela je nova era geometrije. U ovoj

179

„fraktalnoj Bibliji“ stoji da su fraktali (termin koji je skovao Mandelbrot) bili odavno poznati u različitim oblastima nauke: fizici, biologiji, hemiji, geologiji, ekonomiji itd, ali bez zajedničke teorije. U knjizi se takođe navodi da fraktalna geometrija predstavlja uvod i predvorje buduće nauke. Međutim, ono što je za nas najvažnije u Fraktalnoj Geometriji Prirode je ubedljivo pokazano da fraktalni objekti mogu posedovati visok nivo lepote. Jedna od knjiga autora Peitgena and Richtera [11] pod naslovom Lepota fraktala upravo podvlači ovu karakteristiku fraktalnih objekata. Takođe, Michael Bansley, ključna ličnost u razvoju konstruktivne teorije fraktalnih skupova (uvođenjem IFS teorije) primećuje estetsku osobinu fraktala i naglašava mogućnost njihove primene u razvoju kompjuterske grafike. Francis Moon u [10] takođe nalazi mnogo lepote u tzv. čudnim atraktorima, tim grafikama iznenađujuće kompleksnosti koje predstavljaju portrete haotičnih procesa. Tema ovog poglavlja je skromno priložništvo u odgovoru na pitanja da li su fraktali sami po sebi umetničko delo? I, mogu li se fraktali koristiti za poboljšanje umetnosti? U drugom odeljku ovog poglavlja biće tretirano, na izvestan način inverzno pitanje da li su slikari ili skulptori koristili fraktalne strukture u svojim delima i u prošlim vekovima?

180

FRAKTALI U ISTORIJI UMETNOSTI Klasični grčki autor Filostratos, u svom dijalogu između Apolonija i Damisa, raspravlja o „slikama u oblacima“. Njegov zaključak je da posmatračev um može stvoriti takve slike samo ako umetnik koristi i svoj um i svoje ruke da bi imitirao prirodu. Plinije je primetio da sunđer, natopljen bojom i bačen na beli zid nekad može da izazove vrlo lepe efekte. Ovo su veoma rani primeri pominjanja kompleksnih ili fraktalnih objekata u vizuelnim umetnostima. Prema [5], kineski slikar Sung Ti (XI vek) sugeriše metod poznat kao kinesko zaklanjanje za dobijanje lepih pejzaža. Postupak se sastoji u sledećem. Komad bele svile se stavlja preko starog oronulog zida. Posmatrajući kroz svilu u rano jutro ili uveče mogu se videti fantastični „pejzaži koji se mogu zapamtiti i zatim se preneti u sopstveno umetničko delo“. Moguće je da je Wang Ximeng slikar Severne Song Dinastije koristio ovu tehniku (videti Sl. 1). Italijanski renesansni slikar Andrea Mantegna je eksperimentisao sa oblacima u kojima je pronalazio oblike ljudskih lica [5] ali je Leonardo da Vinči u njegovom čuvenom

Slika 1: Levo: Wang Ximeng (c. 1196-1120) Hiljade lija reka i planina, slika na svili; Desno: Leonardo Da Vinci: Potop, sangvina na papiru.

181

Slika 2: Van Goyen slikani oblaci nasuprot „fraktalnim oblacima“. Levo: Van Goyen, Dva čoveka na mostu preko potoka, 1655, ulje na dasci (detalj); Desno: Lj. Kocić, Oblak, 2000, fraktalna kompjuterska grafika

Traktatu o Slikarstvu mnogo opširnije obradio ovaj metod koji je danas poznat kao Leonardov metod mrlja. Moguće je da je Da Vinči bio inspirisan delima Pietra del Kosima kada je naglašavao snagu amorfnih oblika kao što su mrlje od vlage na starim zidovima, oblaci ili mutna voda u, „navođenju uma na različita otkrića“. Hoogstraeten, pisac iz XVII veka, nam je ostavio svedočanstvo da je holandski slikar Jan Van Goyen (1596-1656) bio u stanju da izradi umetničku sliku uz sasvim male napore koristeći mrlje boja. Tako, dolazimo do XVIII veka, perioda koji je prekinuo sa tradicijom „rođenih genija“ što je bila karakteristika Renesanse. Ovde nalazimo slikara pejzaža, Alexandera Cozensa, autora udžbenika crtanja pod naslovom Jedan novi metod za pomoć u zamišljanju originalnih kompozicija i pejzaža pri crtanju koji koristi i dalje razvija metod mrlja. On je bio ubeđen u važnost a priori poznavanja različitih oblika linija horizonta. Ovi oblici uključuju preciznu kopiju planinskog lanca. Ukoliko se mrlje od mastila mogu shvatiti kao fraktalni oblici u slikarstvu, ove horizotnske linije

182

Slika 3: Gore: Alexander Cozens, Paperjasti oblaci u dnu neba, (c. 1785), crtež na papiru; Dole: Fraktalna interpolacija Kozensovog horizonta u 10 tačaka.

su fraktalne krive koje je prvi uočio, izolovao i studirao Cozens. Gornji deo Slike 2 prikazuje jedan od njegovih crteža. Sa Cozensove linije horizonta izabrane su tačke kroz koje je provučena fraktalna interpolaciona kriva uz pomoć interpolacionog metoda koji je dat u [2]. Očigledno je da Cozensova linije horizonta ima gotovo idealan fraktalni oblik. Bez sumnje, francuski slikar pejzaža iz XVII veka, Claude Lorrain imao je veliki uticaj na takav slobodan pogled u slikanju pejzaža koji je Cozensa ohrabrio da tako verno kopira jedan izuzetno složen prirodni oblik. Važnost Cozensovog metoda postaje očigledna po njegovom uticaju na čuvenog Johna Constablea. Alexanderov ro-

183

đak, John Robert Cozens takođe koristi ovaj metod (Sl. 4a). Nisu samo slikari koristili mrlje od mastila ili boje da bi poboljšali inspiraciju. Nemački pesnik Julius Kerner koristio je mrlje (nemački Klecks) od mastila na ispresavijanom papiru da bi dobio inspiraciju za figurice „duhova“, a zatim je pisao pesme o tim figurama (Sl. 4). Primetićemo da neki fraktalni skupovi, dobijeni kao bazeni atrakcije nekih nelinearnih dinamičkih procesa (Sl. 5) veoma potsećaju na Kernerove figure. Naravno, ovo se može objasniti time da se širenje kapi mastila kroz vlakna papira takođe može opisati modelom dinamičkog sistema u kome sem kapilarnih sila deluju stohastički faktori izbora putanja kroz kapilarnu mrežu, a sistem završava svoje kretanje kada se iscrpi supstrat tečne komponente (mastila). Ovaj model je poznat kao DLA dinamički model.

Slika 4: a. John Robert Cozens (1752-1797), Satana prikuplja svoje legije, c. 1776, akvarel na papiru; b. c. d, Justinus Kerner, figure od mrlja od mastila iz zbirke Klecksographien (Stutgart, 1853).

184

Slika 5: Fraktalni skupovi koji podsećaju na mrlje od mastila. Ovi skupovi su kreirani pomoću Ultra Fractal 2 04 softvera uz pomoć sledećih formula a i c B. Margolis; b Carr2821bUF verzija Bob Carr, modifikovana od Sylvie Gallet; d. Muzika od D. H. Van den Berghe

Skraćenica DLA dolazi od Diffusion Limited Aggregation (Difuzija Ograničena Agregacijom). Joseph Mallord William Turner (1775–1851), engleski slikar pejzaža je izgleda sledeći veliki umetnik koji je koristio amorfne mrlje boje da bi postigao vibrantnu i dramatičnu preteću atmosferu prirodnog svetla i atmosferskih efekata prilikom slikanja pejzaža i marina (Sl. 6, levo). Široko je pri-

Slika 6: Levo: William Turner, Jutro posle potopa, 1843; Desno: Claude Monet, Pogled na more, zalazak sunca, 1874.

185

hvaćeno mišljenje da je njegov posao imao direktnog uticaja na razvoj Impresionizma. Ustvari, Impresionisti su koristili slobodno formirane obojene mrlje da bi dočarali tanane varijacije u nijansama neba, vode i vegetacije. Usitnjavanjem mrlja boje Impresionizam je ušao u svoju pointilističku fazu, sa Georgesom Seuratom (1859–1891), i Paulom Signacom (1863–1935) kao glavnim predstavnicima (Sl. 7, levo). Takođe, specifičan i originalan pristup u korišćenju stohastički raspršenih mrlja boje imao je francuski slikar Odilon Redon (1840–1916), videti (Sl. 7, desno).

Slika 7: Levo: Paul Signac, Primorski bor u Sen-Tropeu, 1892; Desno: Odilon Redon, Crveni čamac, 1906-7.

Osim korišćenja manje ili više amorfnih i haotično raspršenih čestica boje postoji i drugi, više „mehanički“ metod za podražavanje efekata prirodnih rastera. To je tzv. frottage ili fratting metod, koji je poznat iz dečije igre reprodukovanja reljefa novčića na komadu hartije tako što se olovkom trlja preko papira koji čvrsto naleže na novčić. Ova tehnika, primenjena na različite površine kao što su drvo, sintetički materijali, lišće itd. dovode do veoma uspešnih vizuelnih efekata koji su različiti od onih dobijenih metodom mrlja. Frottage tehniku koristili su Gustave Moreau (1826–1898) i nadrealisti, pre svega Max Ernst, Salvador

186

Dali ali i mnogi drugi. Ernst je takođe koristio metod dekalkomanije koji se sastojao u prenosu slikanog materijala sa jedne površi na drugu priljubljivanjem. Ove se tehnike mogu videti u seriji njegovih crteža Istorija prirode iz 1926-te i na mnogim njegovim platnima kao što su npr. Velika šuma, (1927) i Iskušenje Sv. Antonija (1945). Salvador Dali je priča za sebe. Njegov opus sačinjava grandiozna smeša realističke tradicionalne tehnike i avangardnih eksperimenata. U svojim ranim radovima Dali koristi

Slika 8: Levo: Gustave Moreau, Sappho, 1884, akvarel; Sredina: Max Ernst, Napoleon u pustinji, 1914, ulje; Desno: Salvador Dali, Veliki spomenik, plaža, mesec i ptica koja se raspada, 1928, kombinovana tehnika

šljunak zalepljen na platno, različite slojeve (Sl. 8, desno), delove drveta, kosti, metalne objekte itd. Upotreba mrlja boje i efekti frotaža njegovi su neprestani pratioci. Dali je takođe razvio nekoliko ličnih tehnika na koje se može gledati kao na maštovite varijacije metoda mrlja. Na primer, on je koristio eksploziv da bi po površini slike raspršio eksere i metalne opiljke kao na slici Pieta-Iz Apokalipse Sv. Jovana iz 1959-te godine. Zatim, on je razvio i koristio tehniku nagorevanja i dimljenja hartije svećom (Sfumato, 1972 [4]). Manje je poznata Dalijeva fabulozna varijanta

187

Slika 9: Levo: Prvi „fraktal“ u umetnosti – S. Dali, Lice rata, 1940, ulje na platnu; desno: Cantorov prah, fraktalna konstrukcija čija Hausdorff-Besicovitcheva dimenzija iznosi približno 0.705.

da Vinčijevog metoda pronalaženja figura i žanr-scena u belinama praznog prostora između novinskih redova [3]. U periodu između 1934-te i 1938-me on je koristio mrlje indijskog tuša kao i frotaže u mnogim crtežima (Portret Rene Crevela, Pećina Kičmenjaka - Transfer Serija, Ženska Glava s Cipelom, Gradiva, Fantastična Scena na Plaži sa Skeletom i Papagajem, itd.) Veliki deo njegovog iskustva sa mrljama i frotažima došao je do izražaja na njegovoj poznatoj slici Lov na Tune iz 1967-me. Ali, Salvador Dali je izgleda prvi umetnik koji je eksplicitno naslikao fraktal! To je Lice rata, ulje iz 1940-te (Sl. 9, levo), koje prikazuje halucinantnu viziju lobanja smeštenih jedne u drugima po sistemu hijerarhije ruskih drvenih lutki. Ovlašna analiza otkriva da fraktal koji odgovara Dalijevoj konstrukciji spada u klasu fraktala poznatih pod nazivom Cantorov prah ([8]). U konkretnom slučaju, fraktal se generiše pomoću tri afine kontraktivne transformacije sa faktorom kontrakcije približno 0,21, što daje fraktalnu (Hausdorff-Besicovitch) dimenziju od približno 0,705. O

188

Slika 10: Levo: Meret Oppenheim, Šoljica za kafu u krznu, 1936; Desno: Lj. Kocić, Krznena verzija Trougla Sierpinskog, računarska grafika generisana IFS tehnikom.

ovome videti [2]. Nemamo informaciju o istorijatu ove slike, ali sigurno je da Dali nije ništa znao o fraktalnoj geometriji u to vreme. Različite varijante metoda mrlja-frotaž koristili su i drugi nadrealisti, kao na primer: Andre Mason, Oscar Dominiguez, Raoul Ubac, Jacques Herold i drugi. Čak su se pojavili i objekti kojima bismo mogli da pripišemo pridev „fazi“ koji se, kao neologizam i tuđica pojavio i u našem jeziku krajem XX veka, sa značenjem „vlaknast“, „čupav“. Tipičan primer „fazi“ skulpture je Šoljica za Kafu u Krznu, Oppenheimov objekat iz 1936-te godine (Sl. 10, levo, [1]) koji dalje razvija suptilnu treperavu senzibilnost koju je, četvrt veka ranije, u skulpture uveo futurista Umberto Boccioni (na primer u radu Jedinstveni Oblici Neprekidnosti u Prostoru, bronza iz 1913-te, koja se čuva u Muzeju Moderne umetnosti u Njujorku). U računarskoj grafici postoje razne tehnike koje uvode „fazi“ fakture u „glatke“ objekte, a među njima izgleda da prednjače metodi fraktala. Na istoj slici (10, desno) prikazana je krznena varijanta klasičnog fraktala poznatog kao

189

Slika 11: Sa izložbe: ViveMath 2001, Galerija Savremene Umetnosti, Niš; Lj. Kocić, Fraktalna biljka (a), Vodena biljka (b), Savitljiva paprat (c).

trougao Sierpinskog. Tanana tekstura krzna koja se ovde pojavljuje je posledica modifikacije jedne od tri geometrijske transformacije iz klasične konstrukcije trougla Sierpinskog, i dobija se ubacivanjem jedne nestabilne komponente u matricu dvodimenzionalne kontrakcije. Podešavanjem drugačije odabranih parametara, mogu se

Slika 12: Sa izložbe ViveMath 2001, Galerija Savremene Umetnosti, Niš; Lj. Kocić, Poštovanje Sierpinskom (a), Figura od žada (b), Racionalni haos (c).

190

dobiti i drugi efekti, kao što su „svetlosni zraci“, „linije brzog kretanja“, „eksplozije“ i slično. Slike 11 i 12 prikazuju neke autorove eksperimente sa fraktalnim slikama kojima se oblik može menjati u skladu sa estetskim zahtevima. O teorijskim osnovama ovih, tzv. fraktala slobodne forme, videti [6].

Slika 13: Roy Lihtenstein, Mala Velika Slika, 1965, ulje, Whitney Museum of American Art, New York.

Tokom druge polovine XX veka, bili smo svedoci varijacije Filostratovih ideja u širokom opsegu. Ne mogu nas dakle iznenaditi motivi koje su inspirisali Lihtensteina da od poteza četkom u stilu stripa načini sasvim prihvatljivu kompoziciju (Sl. 13). Na osnovu svega što je dosad rečeno, jedan zaključak je sasvim očigledan: Nije važno šta je kompleksni objekat koji deluje na naše oko i razum. On je samo početni impuls kreativnog duha na osnovu koga on stvara svoju ličnu viziju (Sl. 14), koja zatim proizvodi Kreaciju in statu nascendi (videti [7]). Kreacija utiče povratno na naš um i našu viziju. Umetničko delo se rađa u tom magičnom krugu. Zbog toga i nije važno šta je objekt naše inspiracije: to može biti oblak,

191

Slika 14: Funkcionalni dijagram „metoda mrlja i frotaža“. Ulogu mrlje može preuzeti i fraktalni skup.

mrlja na starom zidu (sa ili bez pokrivača od svile), mrlja od mastila na hartiji, stari list ali i fraktalna slika. Umetnička stremljenja druge polovine XX veka išla su i dalje od samo formalne sličnosti sa fraktalima. Nekada je to bila sličnost sa samom suštinom Teorije haosa koja je brižljivo opisana u knjigama Benoit Mandelbrota [8], Peitgena i Richtera [11], Francisa Moona [10], Peitgena, Juergensa i Saupea [12] i Michaela Barnsleya [2]. Jedan takav primer dat je na Slici 15, gde slika Franka Stelle ponavlja dramatiku istraživanja stabilnosti jednog kvadratnog pre-

Slika 15: Levo: Iterativni dijagram logističkog preslikavanja koje odgovara vrednosti λ = 3,820 ; desno: Frank Stella, Les Indies Galantes V, 1973, ofset litografija.

192

slikavanja x 6 λ x (1 − x ) u zavisnosti od parametra λ . Najzad, možemo formirati zaključak kroz isticanje sledećih principa: –

Veoma složeni i kompleksni oblici u prirodi su oduvek budili zanimanje likovnih umetnika;

–

Veoma složeni i kompleksni oblici se gotovo idealno mogu predstaviti fraktalnim matematičkim modelom;

–

Fraktali mogu biti lepi i kao takvi mogu pobuditi zanimanje umetnika;

Iz ovoga sleduje da fraktali mogu biti korisno sredstvo kojim se „metod mrlja“ Leonarda da Vinčija podiže na viši nivo time što uključuje mogućnost automatskog generisanja oblika neslućenog stepena složenosti. Ali oni nisu sami po sebi umetničko delo, niti to mogu biti. Drugim rečima, kompjuterski kod koji generiše fraktale može se shvatiti kao svojevrsni hiper-frotaž koji bi umetničkoj opservaciji pružio mogućnost slobodne razrade oblika koji je generisan. U tom pogledu se slažemo sa Manifestom Fraktalne Umetnosti koji je 1999-te objavio Kerry Mitchell [9], u kome se navodi da Fraktalna umetnost ne može biti u potpunosti stohastička i nepredvidiva jer uključivanjem humanog faktora ona postaje delimično deterministička. Time bi ona postala ekspresivna, kreativna i najzad, nužno humana. U tom smislu, fraktali se mogu koristiti za poboljšanje umetnosti.

193

LITERATURA [1]. Alexandrin, S., L’art Surrealiste, Fernand Hazan editeur, Paris 1969. [2]. Barnsley, M. F., Fractals Everywhere, Academic Press, 1988. [3]. Salvador D., Retrospective (1920–1980), 18.12.1979– 14.04.1980, Centre Georges Pompidou, Musee National d’Art Moderne, Paris 1979. [4]. Descharnes, R., Neret, G., Salvador Dali, 1904-1989. The Paintings, Vol. I and II, Benedikt Taschen Verlag, Koeln 1993. [5]. Hombrich E. H., Art and Illusion, Phaidon Press, London 1977. [6]. Kocić, Lj., and Simoncelli, A. C., Towards Free-Form Fractal Modelling. In: Mathematical Methods for Curves and Surfaces II, M. Daehlen, T.Lyche, and L. L. Schumaker (Ed.), pp. 287--294, Vanderbilt U.P., Nashville, 1998. [7]. Kocić, Lj. M. and Stefanovska L., Complex Dynamics of Visual Arts, Chaos and Complexity Letters, Issue 1, part 2, (2004) (u štampi). [8]. Mandelbrot B., The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, San Francisco 1982. [9]. Mitchell, K., The Fractal Art Manifesto, http:// www.fractalus.com/info/manifesto.htm. [10]. Moon, F., Chaotic and Fractal Dynamics, Willey & Sons, Inc., 1992. [11]. Peitgen, H.-O., Richter, P. H., The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, 1986. [12]. Peitgen, H.-O., Juergens, H., Saupe, D., Chaos and Fractals - New Frontier of Science, Springer-Verlag, 1992.

194

MATEMATIKA I ESTETIKA Ljubiša Kocić 1. izdanje, Niš, 2003

TEHNIČKO UREĐENJE: Ivan Jevtić ART DIZAJN I KORICE: Nemanja Bošnjak LEKTURA: Verica Novakov KOREKTURA: Ljiljana Jevtić IZDAVAČ: NKC, Niš, Svetozara Markovića 14a ZA IZDAVAČA: Zoran Radosavljević ŠTAMPA: KRUG, Niš TIRAŽ: 500 NIŠ 2003

ISBN 86-83505-18-9