Oleh : Khairul IQbal, ST, MT
Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu: • fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak). • fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (contoh sin x).
Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai sifat-sifatnya.
FUNGSI INVERS
FUNGSI LOGARITMA ASLI (LOGARITMA NATURAL) NATURAL)
FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI
FUNGSI HIPERBOLIK
Sebuah fungsi disebut fungsi satu-satu (invers), bila untuk setiap titik y berpasangan hanya dengan satu titik x. titik x.
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai inve invers rs nota notasi si f -1
Teorema : jika jika f monoton murni (selalu naik/selalu naik/selalu turun) maka maka f mempun mempunya yaii invers invers
Contoh : Diketahui a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab :
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
Prinsip: misalkan titik (a, ( a, b) pada grafik f(x), maka titik (b,a) berada pada grafik f −1 (lihat gambar di bawah, sebelah kiri). k iri).
Dengan demikian grafik f −1(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya (titik demi titik) terhadap garis y = x (gambar kanan).
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
Contoh Diketahui f ( x ) = x 5 + 2 x + 1 tentukan ( f -1 )' (4)
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x
ln x
1 t
dt , x 0
1 Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
x 1 1 D x ln x D x dt t x 1
Secara umum, jika u = u( x x ) maka
u ( x ) 1 1 du D x ln u D x dt t u dx 1
Contoh : Diberikan f ( x) ln(sin(4 x 2)) maka f ' ( x) Jika y ln | x | , x
1 sin( 4 x 2)
0
ln x , x 0 ln( x) , x 0 Jadi, d
(ln (ln | x |)
1
D x (sin( 4 x 2)) 4 cot(4x 2)
y ln x y '
x
y ln( x) y '
, x 0.
dx x Dari sini diperoleh : 1
x dx ln | x | C
ln(a/b ln( a/b)=ln( )=ln(a a) – ln( ln(b b)
1
1 1 x x
4
x
Contoh : Hitung
x 3
0
4
Jadi
3
x
x 0
x 2 3
2
x 2 3
2
dx
u x 2 du 3 x dx
Jawab : Misal
sehingga,
2
2
dx
dx
1 3
2
1 du
3
u
1
ln | u | c
3
4
ln | x 2 | 3
0
Grafik fungsi logaritma asli : Y=ln x
1
1 3
1 3
ln | x 3 2 | c
(ln (ln 66 ln 2)
1 3
ln 33.
ln 1 = 0
ln(ab) ln(ab) = ln a + ln b
ln(a/b)=ln(a) ln(a/b)=ln(a) – – ln(b)
ln a r = r ln a
Contoh :
Contoh : Hitung Jawab :
Sehingga,
Misalkan f(x) = lnx, x > 0. Grafik memotong sumbu-x pada x = 1
1. Fungsi eksponen natural Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natura naturall dan dinota dinotasik sikan an :
y = exp( x)
x x
= ln y
Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
er = exp(ln er ) = exp r ln e = exp r
exp (x) = e x
Secara umum
Contoh : Hitung
Jawab : Misalkan Sehingga :
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x Untuk mengamati sifat-sifat
lanjut dari fungsi exponen, kita definisikan bilangan baru, yaitu e yang bersifat ln e = 1 (lihat ilustrasi). e = 2.71828182845904......
Contoh : D (e3x lnx ) = e3x lnx .Dx (3x ln x) = e3x ln x (3ln x + 3).
Fungsi f (x) = a x, a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x ϵ R, ϵ R, didefinisikan
a x = e x ln a
Turunan dan Integral
D x (a x ) = D x (e x ln a ) = e x ln a ln a = a x ln a Jika u = u (x), maka
D x (au ) = D x (eu ln a ) = eu ln a ln a.u’ = au u’ ln a Dari sini diperoleh :
Contoh : Hitung turunan pertama dari 1. f (x) = 32x+1 2
2. ∫ 4 x . xdx Jawab :
1.
f’(x) = 2.32 x+1 ln 3
2.
Misal : u = x 2
du = 2x dx
dx = ½(x) du
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers
dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi alog x , sehingga berlaku :
y = alog x Dari hubungan ini, didapat
x = ay
Contoh : Hitung turunan pertama dari 1. f (x) = 3log (X 2 + 1)
2. f (x) = 4log (x + 1)/(x – 1) Jawab :
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
a. Invers fungsi sinus
b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤ x ≤ π monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcus cosx, cosx, notasi arc cosx atau cos-1 ( x) x) Berlaku hubungan
y = cos-1 x
Dari y = cos-1 x
x = cosy
x = cosy , -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ 0 ≤ y ≤ y ≤ π diperoleh
b. Invers fungsi cosinus
Contoh : Hitunglah
Jawab
c. Invers fungsi tangen ≤ x ≤ π/2 Fungsi f(x) = tanx ,(-π/2) ≤ x monoton murni(selalu naik), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi tan x disebut arcus tan x, x, notasi arc tan x atau tan-1 ( x) x)
Berlaku hubungan
y = tan-1 x
Dari y = tan-1 x
x = tan y
x = tan y , - π /2 ≤ y ≤ π /2, /2, diperoleh
d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x) = cot x , 0 ≤ x ≤ x ≤ π monoton murni (selalu turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cot x disebut arcus cot x, x, notasi arc cot x atau cot-1 ( x) x)
Berlaku hubungan
y = cot -1 x
Dari y = cot -1 x
x = cot y
x = cot y , 0 ≤ 0 ≤ x ≤ π, diperoleh
Contoh :
Contoh hitung:
Jawab :
Contoh :
Jawab :
e. Invers fungsi sec
f. Invers fungsi cosec
Contoh A. Hitung turunan pertama dari a. f(x) = sec -1 (x 2 ) b. f(x) = sec -1 (tan x)
Jawab
B. Hitung :
Jawab
Di dalam matematika, kombinasi tertentu dari e x dan e-x muncul demikian sering, sehingga diberi penamaan khusus
Definisi
