Fungsi Bernilai Vektor
Definisi Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan setiap t R dengan tepat satu vektor
F (t ) R 2(3)
Notasi :
f : R R 2(3) t
F (t ) f1 (t )i
t
f 2 (t ) j
f1 (t ), f 2 (t )
F (t ) f1 (t ) i f 2 (t ) j f3 (t ) k
dengan
f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) fungsi bernilai real
Contoh :
1. F (t ) t 2 i (t 3) 3)1 j ˆ
2.
F (t ) cos t i sin t j k ˆ
2 3. F (t ) ln t
ˆ
ˆ
ˆ
i 6 t j ˆ
ˆ
Daerah Asal (DF )
D F t R | t D f1 D f 2 D f 3
Daerah Hasil (R F )
R F
F (t ) R3 | t DF
Contoh : Tentukan Domain dari F (t )
t 2 i (t 3)
Jawab : f1 (t ) t 2
D f 1 [2, )
f 2 (t ) (t 3) 1 D f 2
R {3}
Jadi
t R t [2, ) R 3
D F t R t D f 1 D f 2
t [2, ) 3 [2, 3) (3, )
1
j
2 2. F (t ) ln i 6 t j t ˆ
ˆ
Jawab:
2 f1 (t ) ln t
D f (0, )
f 2 (t ) 6 t
D f (, 6]
1
2
D F t R t D f 1 D f 2
t R t (0, ) (, 6] (0,6]
Latihan Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut 1.
F (t ) (t 4) i t j
2.
F (t ) t i 4 t 2 j
3.
4.
ˆ
ˆ
F (t ) F (t )
ˆ
ˆ
1 (t 4)
i t j ˆ
1
ˆ
i t2 j ˆ
4 t
ˆ
Persamaan Parameter Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter: x f1 (t ) ; y f 2 (t ) ; z f 3 (t ) , t I Contoh : 1.
F (t ) cos t i sin t j t k
2.
F (t ) (t 4) i t j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x cos t
, y sin t , z t
x (t 4) , y t
Garis Garis adalah himpunan semua titik P sehingga P P 0
z
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
w
w0
v x
y
tv
P0 P t v
v = vektor yang sejajar dengan garis
w0 w t
v
w w0 t v
(Persamaan garis dalam bentuk vektor)
Jika
w x, y, z
w0
x0 , y 0 , z 0
v
a, b, c
Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:
x x0 y
at
y 0 bt
z z 0
ct
Contoh 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3> Jawab:
x, y, z
4,5, 2
t 1, 2,
3
Persamaan parameter garis itu:
x 4 t y
5
2t
z 2 3t
Contoh 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4) Jawab: Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah
v
5 2, 1 3, 4 1
3, 2, 3
Pilih titik (2,-3,-1) Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:
x 2 3t ; y 3 2t ; z 1 3t
Latihan 1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan: a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6) b. (2, -1, 5), (7, -2, 3) c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan a. (4,-6,3), <-2,1,5> b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>
Grafik Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan F (t ) f1 (t ) i f2 (t) j ˆ
Df =[a,b] [
] atb
ˆ
y c
f (a)
f (t) f (b)
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung f ( t ) menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu f (a) disebut titik pangkal lengkungan C f (b) disebut titik ujung lengkungan C Jika f (a) f (b) kurva C disebut kurva tertutup
Grafik fungsi vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R 2(3) dengan arah tertentu Cara menggambar grafik fungsi vektor : 1. Tentukan persamaan parameter dari kurva 2. Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi parameter t ) dan gambarkan 3. Tentukan arahnya
Contoh Gambarkan grafik fungsi vektor 1. F (t ) 3cos t i 2sin t j ; 0 t 2 ˆ
ˆ
Persamaan parameternya: x = 3 cos t x/3 = cos t
cos2 t + sin2 t =1 2
x y 3 2 1
y/2 = sin t
y = 2 sin t Arahnya
y
F (0) 3 i (3, 0) ˆ
F ( ) 2 j (0, 2) 2 F ( ) 3 i (3, 0) 3 F ( ) 2 j (0, 2) 2 F (2 ) 3 i (3, 0)
2
2
(ellips)
C
ˆ
ˆ
3
-3
ˆ
ˆ
-2
x
2.
F (t ) (t 4) i t j ; 0 t 4 ˆ
ˆ
Persamaan parameternya:
x t 4 t x 4
y t
y x 4
x y 2 4 (parabola)
y
Arahnya:
C
2
F (0) 4 i (4, 0) ˆ
-4
F (4) 2 j (0, 2) ˆ
x
Latihan Gambarkan grafik fungsi vektor berikut: 1.
F (t ) t i 4 t 2 j ; 2 t 2 ˆ
ˆ
2. F (t ) 4 t 2 i t j ; 2 t 2 ˆ
3.
ˆ
F (t ) 4t 1 i 2t j ; 0 t 3 ˆ
ˆ
4. F (t ) t 2 2t i t 3 j ; 2 t 3 ˆ
5.
ˆ
F (t ) t i a2 t 2 j ; a t a ˆ
ˆ
Ekivalen
Fungsi
f (t ) dan g (t ) disebut ekivalen jika f (t ) dan g (t )
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama pula.
Contoh
f (t ) a cos t i a sin t j , 0 t ˆ
ˆ
2 2 g (t ) t i a t j , a t a ˆ
ˆ
Norm Misalkan f (t ) f1 (t ) i f 2 (t ) j f3 (t ) k maka norm dari f (t ) ˆ
f (t )
ˆ
ˆ
2
2
2
f1 (t ) f2 (t ) f3 (t )
Sifat fungsi vektor
Misalkan f (t ) f 1(t ) i f 2(t ) j f 3(t ) k dan g(t ) g1(t ) i g2(t ) j g3(t ) k
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1. f (t ). g(t ) f 1(t ) g1(t ) f 2(t ) g2(t ) f 3(t ) g3(t ) f (t ) g(t ) cos
adalah
sudut antara dua vektor tersebut i
ˆ
j ˆ
k ˆ
2. f (t ) x g(t ) f 1(t ) f 2(t ) f 3(t )
g1(t ) g2 (t ) g3(t )
f 2 (t )
f 3(t )
g2 (t ) g3 (t )
i
ˆ
f 1(t )
f 3(t )
g1(t ) g3(t )
j ˆ
f 1(t )
f 2 (t )
g1(t ) g2 (t )
3. c f (t ) g(t ) c f 1(t ) g1(t ) i c f 2(t ) g2(t ) j c f 3(t ) g3(t )k
ˆ
c =konstanta
ˆ
ˆ
k ˆ
Limit Definisi lim f (t ) L 0 0 0 t a f (t ) L t a
y
Ilustrasi
f (t) - L
f (t)
.
( a- a
) a+
ε
L
x
Teorema Misalkan f (t ) f1 (t ) i f 2 (t ) j , maka f (t ) mempunyai limit di a ˆ
f 1(t)
ˆ
dan f 2(t) mempunyai limit di a, dan
lim f (t ) lim f1 (t ) i lim f 2 (t ) j t a
ˆ
t a
t a
ˆ
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
t 2 9 t 2 t 6 1. lim i j 2 t 3 t 9 t 3 ˆ
ˆ
t sint 2. lim i t j t 0 t e ˆ
ˆ
3. lim ln(t 2 ), t ln t t 0
Jawab t 2 9 t 2 t 6 t 2 9 t 2 t 6 1. lim i 2 j lim i lim j 2 t 3 t 3 t 3 t 3 t 9 t 9 t 3 t 3t 3 t 3t 2 i lim j lim 3 t 3 t t 3t 3 t 3 t 2 lim t 3 i lim j t 3 t 3 t 3 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
6 i ˆ
t sint 2. lim i t j t 0 e t ˆ
ˆ
ˆ
5 j 6 ˆ
t sint i lim t j lim t 0 t 0 e t ˆ
i 0 j i ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3. lim ln(t 2 ), t ln t t 0
lim ln(t 2 ), lim t ln t
t 0
t 0
karena lim ln(t 2 ) (tidak ada) t 0
Maka lim ln(t 2 ), t ln t tidak ada t 0
Latihan Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan): t 2 t 2 t 6 1. lim 2 i j t 2 t 2 t 4 ˆ
ˆ
sint t 2 1 2. lim i 2 j t t 2t 3t ˆ
3. lim e1 / t , t 0
1 t
ˆ
Turunan f (t ) f1 (t ) i f2 (t ) j f3 (t) k
Definisi: Misalkan
ˆ
ˆ
ˆ
f1 (t h) i f 2 (t h) j f 3 (t h ) k f1 (t ) i f 2 (t ) j f 3 (t ) k f '(t ) lim ˆ
ˆ
ˆ
h 0
ˆ
ˆ
ˆ
h
f3 (t h) f3 (t ) f 2 (t h) f 2 (t ) f1 (t h) f1 (t ) i j k lim h 0 h h h ˆ
lim
f1 (t h) f1 (t )
h 0
i lim ˆ
f 2 (t h ) f 2 (t )
h 0
h
h
f1 '(t ) i f 2 '(t ) j f3 '(t) k ˆ
ˆ
ˆ
Jadi f '(t ) f1 '(t ) i f 2 '(t ) j f3 '(t ) k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
j lim
ˆ
h 0
f3 (t h) f3 (t ) h
k ˆ
Contoh 2 2t 1. Diketahui f (t ) (2t 3) i e j. Tentukan f '(0) dan f ''(0) ˆ
ˆ
Jawab i.
f '(t ) 2 2 t 3 2 i 2e 2t j ˆ
f '(0) 12 i 2 j ˆ
ii. f "(t ) 8 i
ˆ
ˆ
4e2t j
ˆ
f ''(0) 8 i 4 j ˆ
ˆ
ˆ
8 t 12 i 2e2t j ˆ
ˆ
Contoh 2. Diketahui f (t ) cos2t i
ˆ
et j
ˆ
Tentukan
a. f '(t ) dan f ''(t )
b. sudut antara f '(0) dan f ''(0) Jawab a. f '(t ) 2sin 2t i et j , ˆ
b. f '(0) j ; ˆ
cos
f ''(t ) 4 cos 2t i
ˆ
ˆ
e
t
j
ˆ
f "(0) 4i j
f '(0). f "(0) f '(0) f "(0)
ˆ
ˆ
1 17
1 cos 17 1
Latihan 1. Diketahui
f (t ) tan 1 t i t e2t j ln t 2 1 k ˆ
Tentukan f '(0) 2. Diketahui Tentukan 3. Tentukan
ˆ
dan f ''(0)
r (t ) e2t i ln(t 3 ) j ˆ
ˆ
Dt [r (t ).r '(t )] r '(t ) dan t
a.
r (t ) e e
b.
r (t ) tan t i 2t
t
ˆ
r "(t ) t 2
i e ˆ
5/ 3
j
ˆ
j
ˆ
ˆ
Arti Geometris
f (t h) - f (t)
z Df =[a,b]
P
c
f (t)
[ Vektor
] a t b
f (t h) h
f (t h)
O y x f (t ) , h 0 searah dengan vektor f (t h) - f (t )
Jika h 0, maka lim h 0
f (t h) f (t ) h
f '(t )
merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat t Df
Arti Geometris f '(t ) : Vektor Singgung
Garis Singgung z
P f ' (t 0 )
Df =[a,b] [
f (t 0 )
] atb
x
O
c
y
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
x (t ) f (t0 ) t f '(t 0 ) atau x,
y, z f1 (t0 ), f2 (t0 ), f3 (t0 ) t f1 '(t0 ), f2 '(t 0), f3 '(t 0 )
Contoh f (t ) cos t i sin t j t k
Diketahui
ˆ
ˆ
ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P ( –1, 0, ). Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t 0 =
f '(t ) sin t i cos t j k ˆ
ˆ
f '( ) 0 i ( 1) j k ˆ
ˆ
0, 1, 1
ˆ
f ( ) (1) i 0 j k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1,0,
Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, ) adalah x = –1 , y = – t , z = + t
Latihan 1. Diketahui f (t ) 3sin t i
ˆ
4cos t j
ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). 2. Diketahui
f (t ) et sin t i et cos t j 1 t 2 k ˆ
ˆ
ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). 3. Diketahui f (t ) 2t 2 i
ˆ
3t 2 2 j
ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P ( –2, –2).
Gerak Sepanjang Kurva Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka r (t ) f (t ) i g (t ) j
ˆ
ˆ
menyatakan vektor posisi dari titik P. Jika t berubah
ujung
vektor r ( t ) bergerak sepanjang
lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)
Definisi
Contoh
1. Kecepatan
v( t ) titik P adalah
1. Gerak Linear
v(t ) r ' (t ) f ' (t ) i g' ( t ) j
ˆ
ˆ
v( t ) di sebut laju titik P
2. Gerak pada Lingkaran
2. Percepatan a ( t ) titik P
r ( t ) a cos t i a sin t j , a 0
a ( t ) r ' ' (t ) f ' ' (t ) i g' ' ( t ) j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3. Gerak pada ellips
a ( t ) di sebut besar percepatan pada saat t
r (t ) p h(t ) q p, q vektor tetap; h(t ) fungsi real
r (t ) a cos t i b sin t j , a, b 0 4. Gerak pada heliks Lingkaran r (t ) a cos t i a sin t j bt k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Contoh Gerak Sepanjang Kurva Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai
Jawab a. Persamaan parameter
cos2 t + sin2 t =1 2 2 x y 1 (ellips) 3 2
x = 3 cos t x/3 = cos t y = 2 sin t y/2 = sin t y v(t) 2 P
.
a(t)
3
-3
x
-2 b. r (t ) 3 cos t i 2 sint j
ˆ
ˆ
r ' (t ) v (t ) 3 sint i 2 cos t j
ˆ
ˆ
r " (t ) a(t ) 3 cos t i 2 sint j r (t )
ˆ
ˆ
v (t ) 9 sin 2 t 4 cos 2 t
5 sin2 t 4 sin 2 t 4 cos 2 t 5 sin 2 t 4 sin 2 t cos 2 t
5 sin 2 t 4 b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3 /2 yaitu pada titik (0, ±2) Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, yaitu pada titik (±3, 0)
Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai
Kelengkungan Andaikan atb,
r (t ) f (t ) i g (t ) j vektor posisi titik P.
ˆ
ˆ
Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah b
s
t
f ' (u) g' (u) 2
2
a
du
r ' (u) du
a
Laju titik yang bergerak itu adalah
ds dt
r ' (t ) v (t )
dt ds
1
v (t )
Definisi. Vektor Singgung Satuan di P,
y
Notasi T (t ) didefinisikan sbb
T (t )
r ' (t )
r ' (t )
v (t )
v (t )
Apabila P bergerak
T (t ) berubah arah
d T ds
disebut vektor kelengkungan di P
o
x
Kelengkungan di P; (kappa).
Dengan aturan rantai diperoleh
d T ds
d T ds
d T dt dt ds
T ' (t )
1
v (t )
T ' (t )
v (t )
Jadi
d T ds
T ' (t )
v (t )
dan
R
1
disebut jari-jari kelengkungan
Contoh: Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
1. r (t ) 8 cos3 t i 8 sin3 t j , di titik P pada t
ˆ
ˆ
12
Jawab: r ' (t ) v (t ) 24 cos2 t sint i 24 sin2 t cos t j
ˆ
ˆ
v (t ) 24 cos 4 t sin2 t sin4 t cos2 t
24 cos 2 t sin2 t (cos2 t sin2 t ) 24 cos t sint
v (t ) cos t i sint j T (t ) v (t )
ˆ
ˆ
T ' (t ) sint i cos t j ˆ
ˆ
T ' (t )
sin2 t cos2 t 1 1 (t ) v (t ) 24 cos t sint 24 cos t sint 12 sin2t
1 ( ) 12 1 6 12 sin2 12 sin 12 . 12 6 2 1 R 6 (Jari-jari kelengkungan)
1
1
1
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= /12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6
Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan
1. r (t ) et sin t i et cos t j , di titik P pada t
ˆ
ˆ
2. r (t ) 2t i t 1 j , di titik P pada t 1 2
ˆ
2
ˆ
3. r (t ) 4t 2 i 4t j , di titik P pada t 1
ˆ
ˆ
2 4. r (t ) 8 sin t i 8 cos t j 4t k , di titik P pada t
ˆ
ˆ
ˆ
5. r (t ) sin 3t i cos 3t j t k , di titik P pada t
6
ˆ
ˆ
ˆ
9
Teorema Andaikan x = f (t ) dan y = g (t ) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka
x' y" y ' x"
x' y' 2
2
3
2
Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku
y"
1 y' 2
3
2
Contoh 1. Tentukan kelengkungan elips x = 2 cos t , y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = /2 Jawab: x’ = –2 sin t x” = –2 cos t
y’ = 3 cos t y” = –3 sin t
Kita peroleh 2 2 x' y" y' x" 6 6 sin t 6 cos t 3 3 2 2 2 2 2 2 2 32 x' y' 2 sin t 3 cos t 4 sin t 9 cos t 2
Sehingga (0)
6
4 sin
2
0 9 cos 0 2
3
2
6
9
3
2
2 9
(
2
)
6 3 2 2 2 4 sin 2 9 cos 2
3 4
2. Tentukan kelengkungan kurva y = x 2 di P(1, 1) Jawab: y’ = 2x Kita peroleh
y” = 2 y"
1 y' 2
3
2
2
1 2 x
2 32
Sehingga
1
2
1 2.1
2 32
2 3/ 2
5
2 5 25
