Intrazeriális matematika
Írta:
Kaczvinszky József
Budapest, 1959. TARTALOMJEGYZÉK.
Előszó
…………………………………………………………………………
ELSŐ RÉSZ. A magasabbfokú pontosság matematikai rendszere. rendszere.
………….
6 7
I. fejezet.
A zérus mint gyűjtőfogalom és mint szám. 1.§. 1.§. Az egye egyens nsúl úlyt ytör örvé vény ny a mate matema mati tiká kába ban. n. ………… ……………… ………… ………… …… 2.§. A klasszikus ma matematika zé zérus-fogalma. ………………………… 3.§. A határozott zé zérus. ………………………………………………...
8 9 14
II. fejezet.
Határozott érték a végtelenben. 4.§. .§. A kla klasszi szikus kus ma matemat matika fel felfogá ogásána sánakk mód módos osíítása. sa. ………………… 5.§. .§. A szá számo mokk mi mint a vég végtele elennek nek a függvé ggvény nyeei. ………………………… 6.§. A øo esetleges értékváltozásainak hatása a øo függvényeinek az az értékére. ………………………………………… 7.§. .§. A meg megnyi nyilván vánuló uló szá számo mokk rel relatív rend rendsz szeere. re. ………………………… 8.§. .§. Az Az ese esettleges gesen vál változó ozó vé végte gtelen és és zé zérus rus vi viszon szonya ya.. ………………… 9.§. .§. A hat határoz rozott végte gtelen. ………………………………………………...
17 18 20 22 23 24
III. fejezet
A magasabbfokú pontosság. 10.§. Az xø hatvá tvány in intra trazeriális ér értéke. …………………………………
26
11.§. A pontossági fo fokok. ………………………………………………… 12.§ 12.§.. A pont pontos ossá sági gi foko fokokh khoz oz alka alkalm lmaz azko kodó dó spec speciá iáli liss egys egység égek ek.. ………… ………… 13.§ 3.§. A végte gtelenül nül-nag -nagyy tagszá gszám mú so sorok. rok. Szá Számsz mszinte ntek. ………………… 14.§. Az intrazeriális határérté rtékek pontossága. ………………………… 15.§ 15.§.. Péld Példaa az intr intraz azer eriá iáli liss hatá határé rért rték éksz szám ámít ítás ásra ra.. ………… ……………… ………… ………… …… 16.§ 16.§.. A hat hatvá vány nyok ok int integ egrá rálá lási si sza szabá bály lyai aina nakk álta általá láno nosí sítá tása sa.. ………… ……………… ……… …
27 28 29 32 35 36
IV. fejezet 2
Matematikai számtorzulás. 17.§ 17.§.. Kiv Kivét étel eles es eset esetek ek a közö közöns nség éges es oszt osztás ásii mű műve vele letb tben en.. ……… ………………… ………… 18.§ 8.§. Kü Különbs önbség égeekbe kben fe fellépő ze zeriá riális lisan kicsin siny ta tagok. gok. ………………… 19.§. A számtorzulási tényező. ………………………………………… 20.§. Tényleges és nem-tényleges műveletek. ………………………… 21.§. A határozott végtelen definíciója. ………………………………… 22.§. „A” -típusú határértékek, irirracionális exponens esetén. ………… 23.§. A L’Hospital-féle tétel korlátos érvényessége. ………………… 24.§. A L’Hospital-féle té tétel ko korlátai. ………………………………… 25.§ 25.§.. „A” „A” típ típus usúú függ függvé vény nyek ek mag magat atar artá tása sa a mi mikr kro-t o-tér érkö közö zönn bel belül ül.. ………… ………… 26.§ 26.§.. Pél Példá dákk a mi mikr kroo-té térk rköz özbe beli li függ függvé vény nygö görb rbén ének ek a meg megha hatá táro rozá zásá sára ra.. … 27.§. A „0 – 0” jelkép. ………………………………………………… 28.§. Példák a számtorzulási tényező alkalmazására. …………………
38 39 43 46 48 49 51 53 55 57 61 63
V. fejezet.
Számok alkalmazkodási törvényei. 29.§. 29.§. Szorza Szorzato tokk tényl ténylege egess kiv kivoná onása. sa. ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… …… 30.§ 0.§. Effek fektív kie kiemelése ések. ………………………………………………… 31.§ 31.§.. Magu Magukt któl ól végb végbem emen enőő effe effekt ktív ív kiem kiemel elés ések ek.. ………… ……………… ………… ………… …….. 32.§ 2.§. A L’ L’Hos Hospit pital-fé -féle for form mula ula ki kiemel melési le lehet hetősége ségeii. …………………. 33.§ 3.§. Ké Két sz szám öss összzegé egének nek és és kü különbs önbséégéne génekk sz szorza rzata. …………………. 34.§. A negatív egység. ………………………………………………… 35.§. A negatív egységnek mint tényleges kivonandónak a számtorzulási tényezője. ………………………………………… 36.§. A negatív számok mint szorza rzatok. ………………………………… 37.§. A negatív szám fogalma. ………………………………………… 38.§. 38.§. Koord Koordin inát átare arends ndszer zerek ek origój origójaa és origo origo-fo -folt ltja ja.. ………… ……………… ………… ………… ……..
70 70 72 75 76 78 78 79 80 82
VI. fejezet.
Klasszikus matematikai képletek a magasabbfokú pontosság megvilágításában. 39.§. A lim(1+1/n)n határérték, ha n→∞ . ………………………………… 84 40.§. Az e szám ma magasfokú po pontosságú me meghatározása. ………………… 86 41.§ 1.§. Ze Zeriál riáliisan kic kicsiny tagok gok vé végtele elen-fo -fokú ha hatvány ványaai. ………………… 42.§. A z =1+Ø ۰ i komp komple lexx szám számna nakk a loga logari ritm tmus usa. a. ……… ………………… ………… 43.§. Binomiális együtthatók speciális sora. ………………………… 44.§ 4.§. Ze Zeriál riáliisan ki kicsiny geo geomet metriai riai függvé ggvénnyek. yek. ………………………… 45.§. Ko Kooperatív ko koordinátarendszerek rek. ………………………………… 46.§. A határozott zérus logaritmusa. ………………………………… 47.§. A meghatározott zérusnak a ln øo fokú gyöke. …………………. 48.§. A Øø hatvány. ………………………………………………………… 49.§. Az (m ۰ øo+n) összeg logaritmusa. …………………………………
3
87 88 89 90 91 94 95 96 97
50.§. Az ln øo mint irracionális szám.
…………………………………
98
VII. fejezet.
Infinitezimális műveletek. 51.§. Az Az intrazeriális di differenciálhányados fo fogalma. ………………… 52.§ 2.§. A differe ferenc nciá iállás mag magasf asfokú okú pont pontoossá sságú mű műve vellet. ………………… 53.§ 53.§.. Zer Zeriá iáli lisa sann kics kicsin inyy kon konst stán ánso sok. k. ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… …… ø 54.§. Az x hatv hatván ányy dif diffe fere renc nciá iálh lhán ánya yado dosa sa.. ………… ……………… ………… ………… ……… ……… 55.§. A differenciálok ér értéke. ………………………………………… 56.§ 56.§.. Impl Implic icit itee mega megado dott tt füg függv gvén ényy diff differ eren enci ciál álás ása. a. ………… ……………… ………… ………… …… 57.§. Zeriálisan ki kicsiny érté rtékeket felölelő integrálok. ………………… 58.§. Az ∫ (0 −0) ⋅dx integrál. …………………………………………
102 105 106 106 107 107 107 110 110 112 112
59.§. Az ∫ ln x ⋅dx inte integr grál ál egy egyik ik meg megha hatá táro rozá zása sa.. ………… ……………… ………… ………… …….. 60.§. 60.§. Diff Differe erenc nciál iálhá hánya nyados dosok ok hatá határta rtala lanul nul hoss hosszú zú sorár soráraa bonto bontott tt inte integrá grál.l. …. 61.§ 61.§.. Hatá Határo rozo zott tt és és impr improp opri rius us int integ egrá rálo lok. k. ………… ……………… ………… ………… ……… ………. ……. 62.§ 2.§. Int Integrá egrállhatáro árok átalakí akítása tása.. ………………………………………… 63.§. 63.§. Az int integr egrál ál-fo -formu rmulá lákk pont pontoss ossági ági foka. foka. ………… ……………… ………… ………… ………… ………. ….
113 113 113 115 115 116 117
VIII. fejezet. fejezet.
Az intrazeriális matematika számtartománya. 64.§ 4.§. A 0 – 0 ki kifej fejezés sajáts átságai gai. …………………………………………. 120 65.§ 65.§.. Az intr intraz azer eriá iáli liss mate matema mati tika ka szám számta tart rtom omán ányá yána nakk a hatá határa rai. i. ………… ………….. 121 121 66.§. 66.§. Hiper-p Hiper-pont ontos osság ságúú matem matemat atika ikaii rendsz rendszere erek. k. ………… ……………… ………… ………… …….. 122 67.§. 67.§. A tök tökél élete etesen sen ti tiszt sztaa szám számért érték ékek ek probl problémá émája. ja. ………… ……………… ………… ………… …….. 124 68.§ 68.§.. A geo geome metr tria iaii hal halad advá vány ny össz összeg egzé zési si képl képlet ete. e. ………… ……………… ………… ………… …… 125 125 − 69.§. Az y = x függ függvé vénny. ………………………………………………… 127 70.§. Az y = mx függvény ér értéktartománya. ………………………………… 128 m
MÁSODIK RÉSZ. Szférikus analízis. IX.fejezet.
A számszférák elmélete. 71.§. A végtelenség és a határtalanság fogalma. 72.§. Az y = x − függvény folytonossága a klasszikus szakadásának a helyén. 73.§. A számszféra fogalma. 74.§. A természetes számkör és annak negyedei. 75.§. A latens vagy lappangó számok fogalma. 76.§. Az abszolút-érték voltaképpeni fogalma. 77.§. A számkörre felvitt sorok. 78.§. A øo egységű számszféra. m
4
79.§. Egyéb egységű számszférák. 80.§. A számszféra-elmélet célja. X. fejezet.
A határtalan geometriai haladvány. 81.§. Az
y
= 2 x függvény értékei. .
82.§. Az x I hatvány. 83.§. A határtalan geometriai haladvány összegzése. 84.§. A határtalan és divergens geometriai haladványok különbsége. 85.§. A határtalan geometriai haladványok összegzésével nyerhető meghatározások. meghatározások. 86.§: A polinomokkal végzett osztási műveletnek és az összeadás kommunatív törvényének az összeegyeztetése. 87.§. A határtalannál is hosszabb sorba fejtett hányados. 88.§. Lánctört értékű geometriai haladvány. XI. fejezet.
A számkör jellegzetes helyeinek sajátságai. 89.§. Ívhossz- és végpont-egyenlőségek végpont-egyenlőségek a számkörön. 90.§. A W szám törzsszám-voltának egyszerű bizonyítása. 91.§. Negatív távolságok a szférán. 92.§. Az İ szám rendkívüli sajátságai. sajátságai. 93.§. A W szám pozitív fokú hatványai. 94.§. A Q szám pozitív egészfokú hatványai. 95.§. Műveletek az 1/İ törtkifejezéssel. 96.§. A faktoriális számértékek helye a számkörön. 97.§. Négy gyökű másodfokú egyenletek. 98.§. Törtek W -nél nagyobb ívhosszúságú nevezői. XII. fejezet.
A számkörön végzett szummációk. 99.§. Negatív irányú szummációk. 100.§. negatív irányú szummációk speciális esetei és példái. 101.§. Logaritmusok szummációja a számkörön. 102.§. Fordított integrál mint negatív irányú szummáció. 103.§. Parciális szummációk. 104.§. Negatív egész számok tényező-sora. 105.§. A természetes számsor elemeiből alkotott hatványsorok szummációja. 106.§. A harmonikus sor szummációja. 107.§. A határtalan harmonikus sornak a reális összege.
5
XIII. fejezet. fejezet.
Speciális meghatározások. meghatározások. 108.§. Az
∫ x
−m
⋅ dx integrál határtalan sorbafejtése.
109.§. Az ∫ x − ⋅dx integrál határtalan sorbafejtése. 110.§. Példa a határtalan sorba fejtett integrál meghatározására. 111.§. Az eWi hatvány abszolút értéke. 112.§. A π szám többszörösének sinus és cosinus függvényei. 113.§. A határtalan határtalan Fourier-sorok. 114.§. Az aW hatvány kifejtése Maclaurin-féle sorba. 115.§. Különböző komplex-számok azonos helye a szférán. 116.§. Töretlen periódussal körbenfutó trigonometriai függvények a számszférán. 117.§. Függvénygörbék lappangó szakaszai. 118.§. Egységes eljárással szerkesztett, különböző fajtájú kúpszeletgörbék. 2
XIV. fejezet.
Végtelen nagy tagszámú sorok. 119.§. Végtelen határú integrálok. 120.§. Végtelenül-nagy tagszámú sorok összegzése. 121.§. A határozott integrál mint zeriálisan kicsiny értékek szummációja. 122.§. A végtelenül-nagy végtelenül-nagy tagszámú harmonikus sor. 123.§. A nem-abszolútan /feltételesen/ konvergens sorok. 124.§. Példa egy végtelenül-nagy tagszámú sor határértékének a meghatározására. XV. fejezet.
Összefoglalás. 125.§. Az intrazeriális rendszer jellemzése. 126.§. A számszférák gömbi sugara. 127.§. A számok osztályozása. 128.§. Kísérlet a számtorzulás indoklására és levezetésére, a számszféra-elmélet alapján.
vonatkozásai. HARMADIK RÉSZ. A számszféráról való sorozatos kiemelések fizikai vonatkozásai. XVI. fejezet.
A relativisztikus fizika formulái. 129.§. A számszféráról való kiemelés és visszahelyezés elve. 130.§. Sorozatos kiemelések és visszahelyezések. 131.§. Az irányítottan végzett kiemelés és annak szabályos sorozata. 132.§. Eredő erőhatások felbontása merőleges erőpárokra. 133.§. A jelenléti- és eltávolodási-valószínűség fogalma. 6
134.§. Jelenléti- és eltávolodási-valószínűségek a kiemelési sorozatokban. 135.§. A relativisztikus fizika alapvető formulái. XVII. fejezet. fejezet.
Speciális megállapítások a relativisztikus fizika formuláival kapcsolatban. 136.§. A kinetikai energia relativisztikus képletei. 137.§. A visszamaradási valószínűség fogalma. 138.§. A relativisztikus Doppler-effektus. 139.§. A „nyugalmi tömeg” fogalma. 140.§. Impulzusok. 141.§. Az idő mint diszkrét mennyiség. XVIII. fejezet. fejezet.
Elvi következtetések. következtetések. 142.§. Sebességek összetevődési tétele. 143.§. A maximális eltávolodási sebesség. 144.§. Reális körpályán keringő pontnak a sorozatos kiemelése. 145.§. Ugyanaz, de ϑ = 0 − 0 esetén. 146.§. A relatív idő-differencia. 147.§. A de Eroglie-féle hullámformula. 148.§. A kiemelési munkára vonatkozó hipotézis. 149.§. Irreális tényezők szerepe a fizikában. 150.§. A fénysebességnél nagyobb sebességnek a feltételezése. 151.§. Visszatekintés.
FÜGGELÉK. A számtorzulási tényező meghatározása. meghatározása.
7
……………………
ELŐSZÓ. Az intrazeriális matematika a magasfokú pontosság rendszere. Jelentősége egyrészt abban áll, hogy a matematika műveleti törvényeinek az érvényességét a törvények megváltoztatása nélkül kiterjeszti a végtelenül-nagy és a végtelenül-kicsiny abszolútértékű számok tartományára is, másrészt pedig, hogy olyan felismerésekhez is vezet, olyan törvényszerűségeket is megvilágít, amelyeket a matematika eddig szükségszerűen figyelmen kívül hagyott. Megkülönböztetésül Megkülönböztetésül,, a XX. század első feléig kialakult matematikát, vagyis azt a rendszert, amel amelyy a végt végtel elen entt csak csak hatá határo roza zatl tlan an szim szimbó bólu lumm mmal al jelö jelöli li meg meg és enné ennélf lfog ogva va nem nem tud tud különbséget tenni a ⋅∞ = b⋅∞ = ∞
(a
≠ b)
között , klasszikus matematikának nevezzük a továbbiakban. Az intrazeriális felfogás igen súlyos követelményeket tár elénk. Megkívánja például, hogy az f(x) = 1/x függvénynek a különböző helyekre jutó értékeit, 0
Felfogása azonban már így is forradalmasítja az évszázadokon át változatlanul fennálló nézeteket a matematika területén. A rendszer részletes kidolgozása a jövőnek a feladatát képezi, amelyre egyetlen emberélet nem lehet elég.
Budapest, 1959. K. J.
I. RÉSZ.
A MAGASABBFOKÚ MAGASABBFOKÚ PONTOSSÁG PONTOSSÁG MATEMATIKAI RENDSZERE.
9
I. FEJEZET A ZÉRUS, MINT GYŰJTŐFOGALOM ÉS MINT SZÁM.
1.§. Az egyensúlytörvény a matematikában. Minden Minden matemati matematikai kai törvény törvény egyetlen egyetlen alaptörv alaptörvényre ényre vezethet vezethetőő vissza. vissza. Ez az alapvető alapvető törvény törvény az egyensúlytörvény, amelyet amelyet a matemat matematikai ikai egyenlős egyenlőségne égnekk a szimbólu szimbóluma ma jut juttat tat kifejezésre. Ha /1,1/
p
=q ,
vagyis ha a p betűkifejezésnek a tárgya valóban egyenlő a q betűkifejezésnek betűkifejezésnek a tárgyával, akkor az ilymódon felírt képlet primér értelemben tükrözi az egyensúlytörvény lényegét. Ha mind p, mind q egy és ugyanannak a tárgynak a különböző megnevezése megnevezése csupán, akkor az /1,1/ egyenlőség a maga eszményi tökéletességében áll fenn, vagyis azt állítja, hogy a p és q betűk által jelölt tárgy: egyenlő önmagával. Ha p nem ugyanazt a tárgyat képviseli, mint q, akkor az egyenlőség korlátozottabb értelművé válik: csupán azt mondja ki, hogy p „ugyanolyan”, mint q.
10
Ha pedig megállapodásszerűen még azt a szempontot is megnevezzük, amely szerint p és q semmiben sem különbözik egymástól, akkor az egyenlőségnek az értelme még korlátozottabb lesz: mindössze azt fejezi ki, hogy az illető szempontból megítélve p nem különböztethető meg q -tól. Maga az egyensúlytörvény azonban így is változatlanul érvényre jut az egyenlőségnek a szimbólumában. A matematikai egyenlőség ilyen korlátozott értelmű kifejezés. Megállapodásszerűen csupán annyit állít, hogy mérték, számszerűség, illetőleg érték szempontjából megítélve, a valóságos tárgyuktól elvonatkoztatott p és q mennyiségek egymással megegyeznek: egyenlők. A matematikai egyenlőség tehát nem több, mint mennyiségek érték-egyezésének érték-egyezésének képletbe foglalása. Feltételezve természetesen, hogy a mennyiségek „értéke” éppúgy lehet reális, mint irreális értelmezésű fogalom. Mind Mindez ezek ek a korl korlát átoz ozás ások ok és kikö kiköté tése sekk azon azonba bann a legk legkev evés ésbé bé sem sem csor csorbí bítj tják ák az egyensúlytörvény abszolút érvényességét az egyenlőségre nézve. Az egyensúlytörvény hatása elsősorban abban a vonatkozásban nyilvánul meg, hogy ha p= f(x) és q= φ(x), akkor feltétlenül igaz az /1.2/
f
=
egyenlőség is, mégha x értéke akármilyen szabadon is változik. Ha pedig p = F(x,y) és q állandó mennyiség, akkor az /1.3/
F( x, y)
=q
egyenlőségben x -nek minden változása az y érték megfelelő változását követeli meg, feltétlen szigorúsággal, amely törvény alól kivétel nem lehet. Az F függvény bizonyos műveleti összefüggéseket állapít meg, műveleti kapcsolatokat kapcsolatokat juttat kifejez kifejezésre ésre az x és y mennyisé mennyiségek gek között. között. Akármily Akármilyenek enek is legyene legyenekk a fennáll fennállóó műveleti műveleti kapcsolatok: x -nek változá változása sa esetén esetén y értéke csakis úgy válto változha zhati tikk meg, meg, amint amint azt azt az egyensúl egyensúlytör ytörvény vény abszolút abszolút érvényes érvényessége sége megkívá megkívánja. nja. Az y érték érték valamenn valamennyi yi változás változásában ában biz bizon onyo yoss szab szabál ályo yoss sság ágok ok,, szig szigor orúú törv törvén énys ysze zerű rűsé sége gekk nyil nyilvá vánu nuln lnak ak meg meg tehá tehát. t. Ezek Ezek a szabályosságok szabályosságok és törvényszerűségek törvényszerűségek alkotják az u.n. „műveleti törvényeket”, az F függvényben foglalt műveletekre vonatkozóan.
A matematika műveleti törvényeit ennélfogva mindenkor az abszolút egyensúlytörvény műveleti törvénye törvényeknek knek szigorú szigorú determin determinálts áltságáb ágában an tükröződ tükröződik ik szekundé szekundér r determinálja. A műveleti
értelemben az egyensúlytörvény egyensúlytörvén y lényege. Ameddig az egyensúlytörvény állandó, addig az általa determinált műveleti–törvények is csak állandóak lehetnek. Kivételeket pedig – éppen a feltétlen determináltságnál fogva – egyetlen műveleti-törvény sem tűrhet meg a maga érvényességi körén belül. Az egyensúlytörvény állandó hatása tökéletesen kizárja a kivételek lehetőségét. Mindez Mindez logik logikai ailag lag,, könnye könnyenn belát beláthat ható. ó. Nyil Nyilvá vánv nval alóó tehá tehát, t, ho hogy gy a mate matema mati tika ka
gyakorlatában felbukkanó bármely kivételes eset azonnal arra a körülményre mutat rá, hogy az illető esettel kapcsolatos műveleti-törvényeket még nem ismerjük eléggé alaposan, vagy nem fogalmaztuk meg eléggé pontosan, az egyensúlytörvénynek megfelelőleg. Erre a meggondolásra támaszkodik az intrazeriális matematika egész rendszere.
11
2.§. A klasszikus matematika zérus-fogalma. A szám számok okka kall kapc kapcso sola latb tban an megv megval alós ósít ítha ható tó mű műve vele lete tekk dete determ rmin inál áltt törv törvén énye yein inek ek a megismer megismerése, ése, illetől illetőleg eg az ezekre ezekre a törvénye törvényekre kre vonatkoz vonatkozóó ismerete ismeretekk gyűjtemé gyűjteménye nye képezi képezi a matematikának - mint tudománynak - egész területét és anyagát. A klasszikus matematika érvényessége alá tartozó számoknak a tartományát végtelenülnagynak szokás tekinteni. A materiális világban azonban végtelenül-nagy értéket mérni nem tudunk. A számunkra megnyilvánuló természetben nincsenek végtelenségek. Mérésekkel nem ellenőrizhetjük tehát a matematikának a végtelenül-nagy számokra vonatkozó érvényességét. Más úton-módo úton-módonn kell kell megvilá megvilágíta gítanunk nunk ezért ezért a kérdést, kérdést, vajjon vajjon a klasszik klasszikus us matemati matematika ka érvényességének a számtartománya valóban felöleli-e az általunk nem mérhető, végtelenbeveszően nagy számokat is, vagy sem. A kérdés megvilágítása rendkívül érdekes meglátásokhoz és felismerésekhez vezet. A végtelennek a reciprok értékét a klasszikus matematika zérusnak nevezi és ezt az értéket a 0 jelképpel jelöli meg. Elegendő tehát ezt a reciprok-értéket vizsgálnunk. Mert ha meg tudunk győződni arról, hogy a klasszikus matematika műveleti törvényei egyöntetűen és hiánytalanul érvényesek a zérusra vonatkozólag is, akkor kimondhatjuk, hogy ugyanúgy érvényesek a zérus reciprok értékére, vagyis a végtelenre, a végtelenül-nagy számokra nézve is. Erről meggyőződnünk azonban nem lehetséges. lehetséges. A zérus fogalmát a klasszikus matematika általában úgy határozza meg, hogy a zérust két egymással egyenlő szám különbségének tekinti. /2,1/
0
=a −a .
Ugyanakkor azonban mégsem azonosítja a zérust az „ideális semminek” a fogalmával, mert a /2.1/ egyenlőség ellenére megtűri rendszerében a /2.2/
0 0
=n
egyenlőséget is, amelyben n bármilyen reális vagy irreális mennyiség lehet. Mit fejez ki tehát a zérus jelkép? A klasszikus felfogás szerint a zérus nem egyéb, mint az algebrai számsor pozitív és negatív szakaszának a közös határa. Ugyana Ugyanakko kkorr azonba azonbann a klassz klassziku ikuss matema matematik tikaa besoro besorozz zzaa a zérus zérustt egyré egyrészt szt az egész egész-számoknak a sorába, másrészt a páros számok sorába is, más esetekben viszont mégis úgy tekinti, mintha csak idegen elemként szerepelne a zérus a reális és az irreális számoknak a tartományában. Ilyenformán még az sem válhatik világossá tehát, hogy a zérus csakugyan számnak tekinthető-e, vagy sem. A klasszikus matematika régies írásmódja szerint felírhatjuk, m = ∞ esetén, az a m
=0
egyenlőséget. Az újabb írásmód szerint felírt 12
lim
m→∞
a m
=0
formula ugyanezt a megállapítást fejezi ki. Azzal a különbséggel, hogy az utóbbi esetben m -et nem nem teki tekintj ntjük ük a végte végtele lenne nnell egyen egyenlőn lőnek, ek, hanem hanem – a nyí nyílna lnakk az értel értelméb mében en – mi mindö ndössz sszee feltesszük feltesszük róla, hogy egyre jobban, végül pedig már az elképzelhető legnagyobb tökéletességgel tökéletességgel megközelíti /értékére nézve / azt az értéket, amelyet a nyílnak a hegye elé írtunk. Mármost, minél magasabbfokú pontosságú kifejezésnek tekintjük az utóbbi formulát, annál inkább egyértelművé válik az előző egyenlőséggel. A klasszikus matematika felfogása szerinti megközelítés azonban – még a legelőnyösebb esetben is, – csak bizonyos határig történő közeledés lehet valamely megadott érték felé, – de sohasem az illető értéknek a tökéletes
elérése.
Fennállanak ilyen értelemben a klasszikus matematikában például az alábbi meghatározások: /2,3/
/2,4/
lim sin 2 x x →α
lim x →α
sin 2x sin x
sin x , ≠ lim x →α
lim sin 2x
= x→α
lim sin x x →α
mindaddig, amíg α ≠ 0 . Az α = 0 eset nyilvánvaló nyilvánvalóan an kivétel kivételtt képez, képez, mint mintha ha a zérusnak zérusnak a szerepe szerepe egyszeri egyszeriben ben megváltoztatná a fenti kifejezéseknek az egyébként általános érvényességét. Mert lim sin 2 x
= lim sin x , x →0
sin 2x
lim sin 2x
x →0
lim x →0
sin x
≠
x →0
lim sin x x →0
ez pedig egyértelmű a /2,3/ és a /2,4/ formulában foglalt állításoknak a teljes „felborulásával”, α = 0 esetén. Más módon közelíti meg tehát x a zérust, mint valamely határozott α ≠ 0 értéket? Vizsgáljuk meg a kérdést közelebbről is. Tegyük fel, hogy esetünkben α valamely igen kicsiny pozitív törtszámnak az értékével bír. Mármost, ha a tizes számrendszert vesszük alapul, akkor magától értetődik, hogy mialatt az x változó α –t jobbról közelíti meg, azalatt x sorra felveszi az
/2,5/
x
= k ⋅ 10 −m
k = 9,8,7, ...1 ; m = 1,2,3,... .
13
értékeket. Világos továbbá, hogy minél tökéletesebben közelíti meg x az α értéket, annál határozottabbá válik a /2,5/ függvényben k -nak és m -nek az a kívánt értéke, amely a megadott
α = k 0 ⋅10− m
0
egyenlőséget kielégíti. Folytassuk ezekután x -nek a zérushoz való közelítését. Tegyük fel a továbbiakban, hogy k konstáns. Majd csökkentsük tovább x -et, mégpedig azáltal, hogy m -nek az értékét egyre növeljük. Az x = x(m) függvényértékek rohamosan csökkennek. Ilyenformán tehát okvetlenül el kell jutnunk egy olyan tartományhoz, amelyben az értelemben, sem pedig aritmetikailag aritmetikailag – x(m) és x(m+1) értékek egymástól már – sem gyakorlati értelemben, számunkra többé meg nem különböztethetők. Legalább is a klasszikus matematika felfogásában már nem létezik létezik közöttük számszerűleg számszerűleg is kimutatható kimutatható különbség. Egyszerűen azért, mert m már odáig növekedett, hogy számszerűleg nem vagyunk képesek felírni! E miatt pedig – mint fel nem becsülhető mennyiségek mennyiségek – az m-1 és m+1 értékek valóban egybeolvadni egybeolvadni látszanak látszanak m -mel, és teljesen elmosódik közöttük minden különbség a gondolkodó ember szempontjából nézve. Ebben a nagyon messzi tartományban – a különbségek különbségek ki nem mutatható volta következtében következtében – nyilvánvalóan az alábbi helyzetnek kell kialakulnia: /2,6/
x ( m)
= x( m +1) = ... = x( m + t ) .
Ezt a körülményt a klasszikus matematika, a maga sajátos írásmódja szerint, az /2,7/
x ( m)
= x( m + t ) = 0
egyenlőséggel fejezi ki. Belátható azonban, hogy – gyakorlati értelemben – sokkal hamarább be kell következnie ennek a speciális helyzetnek, mintsem még arról beszélhetnénk, hogy m értéke az úgynevezett végtelenbe nő. Ennélfogva a fent említett távoli tartományban még okvetlenül igaznak kell lennie – még akkor is, ha egyáltalában nem mutatatható ki, – hogy valójában: m ≠ m + 1 ≠ ... ≠ m + t
.
Ezek az egyenlőtlenségek nem kétségesek és nem vitathatók, míg m < ∞. A /2,6/ alatti helyzet pedig okvetlenül már előbb bekövetkezik a függvényértékek tartományában, még mielőtt m minden határon túl növekednék, vagyis az elképzelt „végtelenség” felé nőne. Magát Magától ól értet értetődi ődikk tehát tehát,, hogy hogy csupá csupánn a kifeje kifejezé zésbe sbelili megkü megkülön lönböz böztet tethe hetős tőség égnek nek a gyakorlati lehetetlensége okozza a /2,7/ alatti egyenlőségnek a megtűrését és elfogadását a matematikában. Mindez pedig kétségtelenül kifejezésre juttatja azt a tényt, hogy a /2,7/ egyenlőségbeli zérus volta vol takép képpen pen:: egymá egymást stól ól már meg nem kül különb önbözt öztet ethet hető, ő, de valój valójába ábann egymás egymástól tól eltérő eltérő értékeknek a közös gyűjtőfogalma. A zérus tehát nem szám, hanem gyűjtőfogalom . Mint ilyen: magában foglal minden olyan számértéket, amely – a felbecsülés bizonytalanságnál fogva, vagyis emberi meghatározó14
képességnek a korlátozott és természetszerűleg tökéletlen volta folytán – egyaránt teljesen értéktelennek látszik a pozitív egységhez mért viszonyában . Ennélfogva a zérus – mint gyűjtőfogalom – felöleli a végtelenül-csekély abszolút-értékű számoknak a végtelen sokaságát is. Tekint Tekintet ettel tel arra, arra, hogy hogy a /2,6/ /2,6/ alat alattt említ említet ettt m, m+1, … m+t tartomán tartománynak ynak az elemeit elemeit számszerűleg meghatározni és megkülönböztetni nem áll módunkban, már most kimondjuk – mint megállapodást – hogy a /2,7/ alatti x -értékeket ugyanúgy zeriálisan /zérus-szerűen/ ahogy a valób valóban an végtele végtelenül-c nül-cseké sekély ly kicsiny számoknak nevezzük a továbbiakban , mint ahogy abszolút-értékű abszolút-értékű számokat is így nevezzük ezentúl. ezentúl. /A kétféle tartomány között tehát nem teszünk különbséget a zérus fogalmának a szempontjából./ Ennek Ennek a megje megjegyz gyzés ésnek nek az előre előreboc bocsá sátás tásaa után, után, a követ következ kezőké őképpe ppenn defini definiál álhat hatjuk juk a klasszikus matematikának a zérus–fogalmát: a zérus olyan gyűjtőfogalom, amely magában
foglalja az algebrai számsor pozitív és negatív szakaszának az értéktelenül közös határát, valami valamint nt ezenfe ezenfelül lül az összes összes zeriáli zeriálisan san-ki -kicsi csiny ny poz pozití itívv és neg negatí atívv értéke értéket,t, illetv illetvee a végtelenül-csekély végtelenül-csekély abszolút-értékű számokat is . Ennek a definíciónak az értelmében azonnal belátható, hogy például az a −a
1 = lim = lim = lim sin x = 0 x →0 x →∞ α x →0
egye egyenl nlős őség égek ek való valóba bann nem nem álln állnak ak elle ellent ntmo mond ndás ásba bann egym egymás ássa sal, l, mi mind ndad addi dig, g, amíg amíg nem nem visz viszon onyí yítj tjuk uk ezek ezeket et az egye egyenl nlős őség égek eket et egym egymás ásho hoz. z. Az effé efféle le visz viszon onyí yítá tásn snak ak visz viszon ontt bizon bizonyta ytala lansá nságho ghoz, z, és ellen ellentmo tmondá ndások sokhoz hoz kell kell vezetn vezetnie ie,, mert mert egy egy hatá határoz rozatl atlan an érték értékűű gyűjtőfogalom nem állhat nevezőként egy olyan törtben, amely törtnek számlálója is csak bizonytalan értéket képvisel. A fenti definícióval valóban tisztáztuk a zérusnak a szerepét a matematikában. Ugyanakkor azt is be kell látnunk azonban, hogy szükség van egy efféle gyűjtőfogalomra, mégpedig azért van szükség, mert a zeriálisan kicsiny számok – mint mennyiségek – semmi módo mó donn sem sem mérh mérhet etők ők össz összee a vége végess egys egység égge gell és a megh meghat atár ároz ozha ható tó vége végess szám számok okka kal, l, akárm akármil ilyen yen kicsin kicsinyne ynekk is vessz vesszük ük fel fel az utóbb utóbbia iakat kat.. A nagys nagyságr ágren endi di alapo alaponn értel értelmez mezet ettt összemérhetetlenségnek a következtében tehát fennáll az a helyzet, hogy bármely zeriálisan kicsiny szám egyformán aránylik bármely véges számértékhez: számértékhez: /2,8/
lim x a
x →0
= lim x = 0 . b
( a ≠ b) .
x →0
A /2,8/ egyenlőség ugyanis mindössze azt az egyetlen körülményt fejezi ki, hogy a zeriálisan kicsiny számok nagyságrendileg nagyságrendileg teljesen összemérhetetlenek összemérhetetlenek a véges számokkal , vagyis más szóval, hogy az összemérési lehetőségük – mint arányítás – ugyancsak zérussal egyenlő. Ebből következik viszont, /2,8/ szerint, hogy 0 ⋅ a = 0 ⋅ b . És minthogy a nem egyenlő b -vel, -vel, azért azért a zérus-jel zérus-jelképn képnek ek alkalma alkalmasnak snak kell kell lennie lennie arra, hogy minden zeriálisan-kicsiny nagyságrendű számot helyettesíteni tudjon a fenti egyenlőségben. Ennek a kívánalomnak pedig csakis egy megfelelő „gyűjtőfogalom” tehet eleget, de nem valamely szám. Így jutunk el első lépésként ahhoz a felismeréshez, hogy a klasszikus matematika zérusát – mint zeriálisan kicsiny értékeknek a gyűjtőfogalmát – valóban nem szabad, de nem is lehet számnak minősítenünk.
15
A zérussal való osztást a matematika szigorúan meg-nem-engedhető műveletnek tekinti. Miután a zérus valamennyi zeriálisan kicsiny számnak a gyűjtőfogalma, azért ez a tilalom tökéletesen indokolt. Mert ha elképzeljük, hogy van is a zérusnak valamely sajátosan kicsiny abszolút-értéke, ez a feltételezett érték csak bizonytalan lehet mindaddig, amíg a zérus – mint gyűjtőfogalom – tetszésszerinti zeriálisan-kicsiny zeriálisan-kicsiny értéket képviselhet. képviselhet. Valamely bizonytalan értékkel, vagyis a zérussal végzett osztás pedig csak határozatlan hányadoshoz vezethet. Az osztásnak a műveleti törvénye ennélfogva nem alkalmazható a zérusra, ha a zérus osztóként fordul elő. Az általános műveleti törvények alól kivételt kell, hogy képezzen ezért a zérusnak a reciprok értéke, vagyis a klasszikus matematika ∞ -je is. Ha a zérus gyűjtőfogalom, gyűjtőfogalom, akkor a reciprok-értéke, vagyis a végtelen is az kell, hogy legyen: 1
/2,9/
a lim n →∞ n
=
1 b lim n →∞ n
=∞
( a ≠ b)
,
A klasszikus matematika ∞ jellel jelölt szimbóluma tehát nem egyéb, mint a végtelenbe-vesző számoknak a határozatlan gyűjtőfogalma. Azzal a különbséggel, hogy +∞ a pozitív, -∞ pedig a negatív efféle számértékeket öleli fel. Érthetővé válik ennélfogva, hogy a klasszikus klasszikus matematika nem küszöbölheti ki rendszeréből a zérus zérusra, ra, valam valamint int a végte végtele lenn szimb szimbólu ólumár máraa vonat vonatkoz kozóó állan állandó dó bizony bizonytal talan anság ságot, ot, hisze hiszenn gyűjtőfogalmaknak nem tulajdoníthat fix értéket. Nem tagadható azonban ugyanakkor, hogy a klasszikus felfogás a ∞ -nek mégis reális értéktartományt tulajdonít. Mert világosan kimondja az alábbi összefüggéseket: -
∞ < -1 < 0 < 1 < + ∞ .
Magától értetődik viszont, hogy ez a reálisként felfogott értéktartomány – a sajátos és elképzelhetetlen „nagyságrendje” folytán – nem lehet ábrázolható semmiféle véges–egységű koordinátarendszerben koordinátarendszerben sem, ilyenben tehát nem lehet jelen, másrészt pedig – miután a ∞ -jelkép: gyűjtőfogalom, – értéke még a saját körén belül is mindenkor csak határozatlan lehet. Mindezek a megállapítások természetesen a zérusra is vonatkoznak, ha úgy fogjuk fel a zérust, mint a ∞ -nek a reciprok értékét. Hiszen valamely véges-egységű koordinátarendszerben a zérusnak csupán a kijelölt helyét tüntethetjük fel, de a zeriálisan kicsiny értékek tartományának a „kiterjedését” már nem nevezhetjük jelenlévőnek a koordinátarendszer tengelyein. Mind a ∞ -ről, mind a 0 -ról feltehető tehát, hogy mindkettő, a maga sajátos és a véges számérté számértékekk kekkel el nagyságre nagyságrendil ndileg eg össze össze nem mérhető mérhető tartomán tartományába yában: n: elképzel elképzelhete hetetle tlenül, nül, sőt határtalanul sok egymástól különböző, de gyakorlatilag meg nem különböztethető olyan értéket tartalmaz, tartalmaz, amely értékeknek mindegyike mindegyike valójában „fix” érték is lehet. A fentebbi fejtegetések fejtegetések és megállapítások megállapítások értelmében látnunk kell, hogy ezt a föltevést föltevést a klasszikus klasszikus matematika nem zárja
ki.
De törődjünk most csupán a zeriálisan kicsiny értékekkel. Tegyük Tegyük fel mindenek mindenekelőt előtt,t, hogy a zéruson, zéruson, mint gyűjtőfo gyűjtőfogal galmon mon belül: valóban valóban létezne léteznek k zeriálisan kicsiny, fix értékek. A matematika törvényei szerint magától értetődik, hogy ha csakugyan léteznek ilyen értéktelennek látszó, de mégis fix értékek, akkor ezek viszonyíthatók kell, hogy legyenek egymáshoz. Az efféle viszonyításoknak a hányadosa, mint a logika alapján 16
feltehe feltehető, tő, lehet lehet zeriáli zeriálisan san kicsiny kicsiny értékű, értékű, vagy lehet lehet végtele végtelenül-n nül-nagy, agy, – kedvező kedvező esetekbe esetekbenn azonban véges hányadosokra is számíthatunk. Természetes, Természetes, hogy a véges számokra felépülő klasszikus rendszer egyetlen egyetlen zeriálisanzeriálisan- kicsiny ”fix” értéket sem határozhat meg. Zeriálisan kicsiny függvény-értékek hányadosát azonban – kerülő úton – mégis meghatározni képes. A probléma tehát megvilágítható. Így például legyen w( x) = x
3
−8
y( x ) = x − 2
és
.
Nyilvánvaló, Nyilvánvaló, hogy az x= 2 helyen mindkét függvénynek az értéke zérus, vagyis w(2) = 0 és tekinthető. Ezeknek a zeriálisan kicsiny értékeknek értékeknek y(2) = 0 egyaránt zeriálisan kicsiny értéknek tekinthető. a hányadosa azonban: w (2) y(2)
3 3 ( x −8 x − 8) ' = lim = lim =12 , x →2 x − 2 x →2 ( x − 2) '
az így nyert véges hányados viszont logikusan arra mutat rá, hogy föltevéseink csakugyan jogosultak lehetnek: a zéruson mint gyűjtőfogalmon belül, zeriálisan kicsiny, de egymáshoz viszonyítható fix értékek állhatnak fenn. A zéruson belüli, vagyis a véges egységhez nagyságrendileg nem viszonyítható /össze nem mérhető/ számokat intrazeriális számoknak nevezzük a továbbiakban. Ezekkel a számokkal – mint mi nt egymás egymástól tól megkül megkülönb önböz öztet tethet hetőő határo határozot zottt értéke értékekke kkell – fogla foglalk lkozi ozikk az intrazeriális matematika rendszere. Nehézségek nélkül is azonnal belátható, hogyha valamilyen módon meghatározhatnánk és valamely függvény-definíciónak a segítségével rögzíteni tudnánk csak egyetlen fix és határozott értéket is a zéruson mint gyűjtőfogalmon belül, akkor ehhez az egyedüli fix értékhez már hozzámérhetnénk mind a többi zeriálisan-kicsiny értéket is , tehát ilyenformán valamennyit be be tudn tudnán ánkk soro soroln lnii egy egy olya olyann spec speciá iáli liss szám számso sorb rba, a, amel amelyy – telj teljes es egés egészé zébe benn – a zéru zéruss tartományán belül helyezkedik el. Az alapv alapvet etőő akadá akadályo lyokk abban abban állna állnak, k, hogy hogy véges véges számok számokka kall nem mérhe mérhető tő fel egyet egyetle lenn zeriálisan kicsiny érték sem. A klasszikus matematika pedig egyetlen olyan függvény-kifejezést sem ismer, amellyel egy-egy zeriálisan kicsiny, de fix értéket lehetne meghatározni, mégpedig a többi hasonlóan kicsiny érték-kifejezéstől függetlenül. Ennek az utóbbi akadálynak az elhárítása képzi rendszerünknek az elsődleges célját.
3.§. A határozott zérus. Tegyük fel, hogy a klasszikus matematika felfogásában írjuk fel az alábbi formulát: ε =n −n
.
Világos, hogy ez az egyenlőség egyenlőség mindössze úgy értelmezendő, miszerint azt mondja ki, hogy a klasszi klasszikus kus matemati matematika ka nem képes képes megkülön megkülönbözt böztetn etnii ε -nak -nak az abszo abszolút lút-ér -érté tékét két az n - n különbségtől. Ennél többet azonban nem állít. Másrészt az 17
F( x )
=
1 x
függvénynek azokon a helyein, ahol az x -nek az értéke már túllépi a véges számok tartományát, az F(x) függvénynek a helyi értékei – a klasszikus matematika felfogása szerint – ugyancsak nem különböztethetők meg az n - n különbségtől: 1 x →∞ x
lim
= n −n .
Könnyen belátható, hogy amikor │x│ a véges számok legfelső határán is túl növekedik, akkor a klasszikus matematika az F(x) függvénynek a helyi értékeit már egymástól sem képes megkülön megkülönbözt böztetni etni többé, többé, annak annak ellenére ellenére,, hogy │x│ még még egyre egyre növeke növekedhe dheti tikk a tov tovább ábbi,i, legtávolabbi végtelenség felé: 1 x →∞ x
lim
= xlim →∞
n
1 , x
(n
>1)
A klasszikus matematika értelmezése szerint, mindhárom felírt egyenlőségünk értéke: zérus. Mintha a legutóbbi két határérték között – számszerűleg – semmiféle különbség sem állna fenn. Annak ellenére, hogy ugyancsak a klasszikus matematika állítja, miszerint: 1 x →∞ x
lim
= lim x →∞
1 xn
=0 ,
ámde lim
x →∞
lim
x →∞
1 x 1
=∞ ,
( n >1) .
xn
Relatív vonatkozásban, valóban óriási bizonytalanság bizonytalanság áll előttünk, a 0 és a ∞ gyűjtőfogalmak gyűjtőfogalmak által képviselt számértékeket illetően. Belátható, Belátható, hogy problémánk terén rendet teremteni csakis úgy volna lehetséges, ha ki tudnánk jelölni egy olyan, pontosan definiálható, tehát feltétlenül határozott, zeriálisan-kicsiny értéket a zérusnak zérusnak,, mint gyűjtőf gyűjtőfogal ogalomnak omnak a tartomán tartományán yán belül, belül, amely amely értéket értéket eszményi étalonként kezelhetnénk a számításaink során. Az intrazeriális matematika rendszere valóban megoldhatóvá teszi ezt a követelményt. Legyen a kijelölt ideális étalon jele és elnevezése: Ø = határozott zérus.
18
Precíz definícióját csak később adhatjuk meg. Egyelőre úgy kell elfogadnunk – megállapodásszerűen – mint olyan határozott és állandó számértéket, amely zeriálisan kicsiny, tehát a természetben meg nem nyilvánuló, és ennélfogva nem mérhető össze semmiféle véges számértékkel sem . Felt Feltét étel elei eink nk alap alapjá jánn mi mind ndös össz szee anny annyit it tudu tudunk nk róla róla,, hogy hogy a klas klassz szik ikus us zéru zéruso sonn mi mint nt gyűjt gyűjtőfo őfogal galmon mon belül belülii számt számtart artom omány ányba ba tarto tartozi zik, k, vagyi vagyiss , hogy hogy a klass klasszi zikus kus matem matemati atika ka felfogásában: Ø=0. Magától értetődik, hogy reciprok értékének ugyancsak határozottnak kell lennie és végtelenülnagyn nagynak ak.. Nevez Nevezzük zük recipr reciprokok-ért érték ékét ét a „hatá „határoz rozott ott végte végtele lenne nnek” k” és jelöl jelöljü jükk ez utóbb utóbbit it a következőképpen: /3,1/
1 Ø
= øo = határozott végtelen.
Feltételezett, Feltételezett, eszményi étalonunk segítségével, segítségével, ezáltal egy meghatározott meghatározott értéket rögzítettünk a klasszikus matematikának a ∞ gyűjtőfogalmán belül is. A következő fejezetben ki fogjuk mutatni és be fogjuk bizonyítani, hogy øo határozott értékének kijelölése és rögzítése lehetséges és megengedhető, – annak ellenére, hogy øo mint végtelenül-nagy számérték: nem mérhető össze és nem fejezhető ki semmiféle véges számmal sem. Ugyancsak megállapodásszerűen kimondjuk e helyütt még azt is, hogy Ø zeriálisan-kicsiny pozitív számérték. Ebből következik, miszerint: /3.2/
Ø>-Ø,
valamint /3.2/
Ø + (-1) · (- Ø) = 2 · Ø = Ø · 2 .
Egyelőre még nincs is szükségünk a határozott zérus, vagyis Ø értékének a szabatosabb meghatározására. Máris felismerhetők a bevezetett eszményi étalonnak az előnyei a matematika fokozott pontosságának a terén. Mert míg a klasszikus matematika felfogásában: a − n ⋅0 = a − 0 = a
= a + 0 = a + n ⋅0 ,
addig az intrazeriális matematika rendszerében: a - n ⋅Ø < a -Ø < a < a + Ø < a + n ⋅Ø
,
19
amely amely utóbbi utóbbi egyenlőt egyenlőtlen lenség ség szinte szinte felfogh felfoghata atatlan tlanul ul pontosab pontosabbb értelmez értelmezéshe éshezz vezet, vezet, mint a megelőző klasszikus egyenlőség. Hasonlóképpen, a klasszikus felfogásban: 0 = 02
= 0 3 = ... = 0 n ,
az intrazeriális rendszerben viszont elvitathatatlan, miszerint Ø > Ø2
> Ø 3 > ... > Ø n .
A Ø szi szimból bólum umna nakk a bev bevezet zetése igen egys egyszzerű megol goldás dás. Beláth átható, hogy a legterm legtermésze észetese tesebb bb kulcsát kulcsát képezi képezi annak annak a problémán problémának, ak, hogyan hogyan fokozha fokozhatjuk tjuk a matemati matematikai kai pontosságát messze túl az eddig fennálló lehetőségek határain. A Ø értékét azért neveztük étal étalon onna nak, k, mert mert eszm eszmei ei alapmértékül szol szolgá gáll olya olyann szám számér érté téke kekk kife kifeje jezé zésé séhe hez, z, összehasonlításához és összeméréséhez, amely számérték – a maguk végtelenül-kicsiny, vagy pedig pedig védte védtele lenül nül-na -nagy gy mi mivol voltá tában ban – a termé természe szetbe tbenn meg-ne meg-nem-n m-nyi yilvá lvánul nulóó menny mennyis isége égeket ket képviselnek. Ezáltal lehetővé válik az efféle számokkal végzett számításoknak is az egészen egyszerű megoldása. Mindössze azt kell kell bebizonyítanunk, bebizonyítanunk, hogy Ø értékének értékének – mint határozott állandó állandó értéknek – a feltételezése egyrészt megengedhető, másrészt valóban lehetséges is ezt az értéket a véges számok segítségével, egyértelműen definiálnunk. II. FEJEZET. HATÁROZOTT ÉRTÉK A VÉGTELENBEN. VÉGTELENBEN.
4.§. A klasszikus matematika felfogásának módosítása. Mint már az első fejezetben kifejtettük, a klasszikus matematika felfogása szerint 0 valójában gyűjtőfo gyűjtőfogalo galom, m, az intraze intrazeriáli riáliss matemati matematika ka viszont viszont Ø -nak határozot határozottt értéket értéket tul tulajdo ajdonít. nít. És minthogy zérus és a végtelen között ugyanaz a viszony áll fenn, mint valamely szám és annak reciprok értéke között, azért a klasszikus matematika ∞ -t is gyűjtőfogalomnak, az intrazeriális rendszer pedig øo -t is határozott számnak tekinti. Máris feltehető a kérdés, vajjon összeegyeztethető-e ez a két felfogás? Minden Mindeneke ekelő lőtt tt meg kell kell gondol gondolnun nunk, k, hogy hogy a megny megnyil ilván vánuló uló termé természe szetb tben en nin nincse csenek nek végt végtel elen enül ül-n -nag agyy mére mérete tek. k. Mert Mert ha léte létezn znek ek is il ilye yenn mére mérete tek, k, azok azok nem nem lehe lehetn tnek ek megnyilvánulóak. Az ember által tapasztalható világban, akármilyen nagyok is azok a számok, amelyek meghatároznak valamely sokaságot, valójában minden sokaság véges mennyiséget képez. képez. Be kell látnunk, látnunk, hogy a mérhetet mérhetetlen len vil világeg ágegyete yetemek mek egyik egyik aránylag aránylag jelenté jelentéktel ktelenül enül kicsi kicsiny ny égite égitesté sténn élünk élünk,, amely amelyen en sohas sohasem em tapas tapaszt ztalh alhat atunk unk végte végtele lenül nül-nag -nagyy méret méreteke eket.t. Érzékszerveink nem is lehetnek képesek efféle tapasztalásra. Az anyag anyag atomjai atomjai,, a fizika fizika megállap megállapítá ításai sai szerint, szerint, ugyancsa ugyancsakk véges véges méretűek méretűek.. Egy-egy Egy-egy atomn atomnak, ak, il ille letől tőleg eg az atom atom alkot alkotóré órésze szeine inekk a méret méretee azonb azonban an számu számunk nkra ra már meg-n meg-nememnyilvánuló méret. Még kisebb méretek még kevésbe nyilvánulhatnak meg. Magától értetődik 20
tehát, hogy a végtelenül-kicsiny méretek, vagyis a végtelenül-kicsiny abszolút-értékű számok, számunkra sohasem lehetnek megnyilvánulók. Mindeb Mindebből ből termé természe szets tszer zerűl űleg eg követ következ kezik ik,, hogy hogy akármi akármilye lyenn hatá határoz rozott ott érték értékee lehet lehet is valamilyen végtelenül-nagy vagy végtelenül-kicsiny számnak, tapasztalati úton semmi esetre sem tudunk különbséget tenni egyrészt a · ∞ és b · ∞, másrészt a · 0 és b · 0 között, mégha a nem nem is egye egyenl nlőő b-vel. -vel. Érzékelh Érzékelhető ető világunk világunkban, ban, a végtele végtelenül-na nül-nagy gy és végtele végtelenül-k nül-kics icsiny iny mennyisé mennyiségek gek valóban valóban nem jelleme jellemezhet zhetők ők számunkr számunkraa másként, másként, mint általáno általánosító sító és átfogó átfogó „gyűjtőfogalmak” alkalmazásával. El kell ismernünk, hogy a klasszikus matematika segítségével tanulmányozott tapasztalati tények a klasszikus matematika felfogását támasztják alá, minden tekintetben. Tény, hogy tapasztalatainkból tapasztalatainkból kell következtetnünk következtetnünk a valóságra, ha nem akarunk eltévelyedni eltévelyedni attól. Még azokban az esetekben is csak a tapasztalásra szabad építenünk, amikor felmerül valamely lehetősége annak, hogy a tapasztalataink esetleg félrevezetők lehetnek. Mert ha ellentmondások merülnek fel a tapasztalásban, akkor az ellentmondásoknak az áthidalása lehet az egyedüli eszköz ahhoz, hogy közelebb jussunk a helyes megismeréshez. Érzékelt fizikai világunkban úgy tapasztaljuk, hogy a mechanika megállapított törvényei minden esetben helyesek és irányadók. A fizikusok ezért kezdetben úgy vélték, hogy ezeknek a törvényeknek változatlanul érvényesnek kell lenniök a fizikai anyag mikro-részecskéinek a vilá világáb gában an is. A tapasz tapasztal talás ás azonb azonban an mást mást bizon bizonyí yítot tott.t. A már megáll megállapí apítot tottt törvén törvények yeket et helyesbíteni, módosítani kellett, hogy megfeleljenek az új területre, a mikro-részecskék területére vonatkoztatott tapasztalásnak. Hasonló problémával problémával állunk szemben szemben a matematika matematika terén is. A végtelenül-kicsiny végtelenül-kicsiny számok számok párhuzam párhuzamba ba állí állíthat thatók ók a fizikai fizikai anyag anyag mikro-rés mikro-részec zecskéi skéivel vel.. Felt Feltehet ehetőő tehát, tehát, hogy a véges véges számokra érvényes műveleti törvényeket is helyesbítenünk és módosítanunk kell, amikor ki akarjuk terjeszteni azokat a zéruson belüli számtartományra. Mint ahogy a fizikáb fizikában an a Heisenbe Heisenberg-fé rg-féle le határoza határozatla tlansági nsági relációk relációk kimondjá kimondjákk annak annak a ténynek a megállapítását, hogy az érzékelhető fizikai jelenségekből leszűrt mechanikai törvények bizonyos módosítások módosítások nélkül a mikro-részecskékre nem alkalmazhatók, – éppúgy az intrazeriális matematikában is találunk olyan összefüggéseket, amelyek megkívánják a klasszikus felfogásnak módosítását, mihelyt a végtelenül-kicsiny számoknak a tartományát vesszük vizsgálat alá. A klass klasszi zikus kus matem matemati atikán kának ak az a felf felfogá ogása sa,, amely amely szeri szerint nt a végte végtelen lenülül-kic kicsin sinyy és a végtelenül-nagy számok csak bizonytalan gyűjtőfogalmakkal jellemezhetők, mindössze azt a tényt tényt jutt juttatja atja kifejezé kifejezésre, sre, miszerin miszerintt a megnyilv megnyilvánul ánulóó mennyisé mennyiségek, gek, vagyis vagyis a véges véges számok számok magatartásából leszűrt matematikai törvények – módosítások nélkül – nem elégségesek a nemvéges számok sajátos magatartásának a pontos leírására és maghatározására. Véges számok révén a nem-véges számok nem fejezhetők ki. A klasszikus matematika felfogása tehát nem enged mélyebb betekintést betekintést a nem-véges számok tartományába. Ez a felfogás azonban korántsem zárja ki azt a lehetőséget, hogy a nem-véges számok – a saját tartományukon belül – épen olyan határozottak lehetnek, mint amilyenek a tapasztalható világban a véges számok. Nem fogadhatjuk el azt a feltevést, feltevést, hogy a végtelenül-kicsiny végtelenül-kicsiny és a végtelenül-nagy számok az egyensúlytörvénytől függetlenek, vagyis minden törvényen kívül állók. Ha pedig nem fogadjuk el ezt a feltétevést, akkor ki kell mondanunk, hogy az efféle számoknak is, – legalább is a maguk módján, – mindenkor határozott műveleti törvények alá rendelt számoknak kell lenniök.
21
5.§. A számok mint a végtelennek a függvényei. A /3,1/ egyenlőségek az értelmében: /5,1/
Ø ⋅ øo = 1 .
Magától értetődik, hogy az egység határozott értékű szám. Elegendő tehát /5,1/ szerint, ha a øo -t tekintjük határozott értékű számnak, ezzel máris kitűnik, hogy következményképpen Ø -nak is határozott értékű számnak kell lennie. A következőkben eltekintünk a határozott zérus fogalmától, és helyette a végtelenül-nagy számok tartományában kívánjuk bebizonyítani, hogy felvehető és kiválasztható azon belül egy végtelenül-nagy, de mégis határozott érték. Meg kell gondolnunk mindenekelőtt, hogy a klasszikus matematika felfogása szerint: /5,2/
0 ⋅∞ = a
,
amely egyenlőségben a tetszésszerinti, tehát véges és reális szám is lehet. Ha gyűjtőfo gyűjtőfogalm galmat at gyűjtőfo gyűjtőfogalo galommal mmal szorzunk, szorzunk, akkor akkor a szorzat szorzat sem lehet lehet egyéb, egyéb, mint gyűjtőfogalom. Ezt a megállapítást szögezi le az /5,2/ egyenlőség. Pusz Pu sztá tánn az a tény tény azon azonba ban, n, hogy hogy az /5,2 /5,2// egye egyenl nlős őség égbe benn a klas klassz szik ikus us mate matema mati tika ka megállapításai szerint feltehető, hogy a = a0 valamely határozott határozott értékű reális szám valamely adott esetben, - arra mutat rá, miszerint a klasszikus matematika is elismeri annak a lehetőségét, hogy a zérus és a végtelen, egyes esetekben, nemcsak mint gyűjtőfogalom jöhet számításba, hanem a gyűjtőfogalom keretein belül valamely határozott értékű számot is képviselhet. Azonnal nyilvánvalóvá nyilvánvalóvá válik ez a körülmény, ha az /5,2/ egyenlőséget az alábbi formában írjuk fel, a = a 0 esetére: /5,3/
1
∞
⋅ ∞' = a 0 ,
amikor is kitűnik, hogy a 0 =1/∞ törtben a ∞ -nek más értékű mennyiségnek kell lennie, mint ∞’; a két végtelenül-nagy mennyiségnek a viszonya azonban feltétlenül határozott, mert a0 -val egyenlő. Világos tehát, hogy ∞’ ∞ ’ értékének bármely változásához változásához mindenkor valamely határozott értékű ∞ tartozik az egyenlőségben. Mindezek előbocsátása után, most foglalkozzunk egy másik kérdéssel. Feltéve, hogy øo -nek valóban állandó és határozott értéke van, fenn kell állnia az alábbi /5,4/
øo øo
=1
egyenlőségnek, míg a klasszikus matematika szerint ugyanakkor: øo = ∞ .
22
Ebben az esetben könnyen belátható, hogy minden létező és elméleti számot ki tudunk fejezni a øo -nek valamely függvényével, még hozzá olyan függvénnyel, amelyben a független változó helyébe írt øo -en kívül semmiféle más szám nem szerepel. Semmiféle véges szám sem
alkalmas arra, hogy annak a függvényeként kifejezhessünk minden létező és elméleti számot. Állításunkat az alábbi példákkal világíthatjuk meg. A racionális számok körében: =x ,
/5,5/
ha
f ( x )
akkor
/5,6/
ha
F( x ) =
/5,7/
ha
x + x + x x µ( x ) = , x
/5,8/
ha
ν( x) =
x
x +x
,
x
f ( øo)
=1 ,
akkor
F( øo) =2
,
x +x
x
akkor µ(øo) =9 ,
,
x +x
akkor ν( øo) =
és így tovább. A zérusra vonatkozólag: vonatkozólag: /5,9/
ha
x , ρ( x ) = x
akkor ρ (øo) =0 .
x
Az irracionális számok, valamint az imaginárius-egységnek az esetében például: x
/5,10/
ha
x +x x +x ϕ( x ) = , x
/5.11/
ha
Φ( x ) =
x +x x
akkor ϕ(øo) =
−x ,
2
akkor Φ ( øo) = i ,
x
majd az alábbi transzcendens számokra vonatkozólag: x
/5,12/
ha
x + x x ψ ( x ) = x
,
akkor ψ (øo) = e ,
x
/5,13/
ha
Ψ( x )
x x +x x = − ⋅log nat − x x min .
akkor x = øo esetén: 23
,
,
1 2
,
øo
− øo øo+øo ⋅ log nat − øo = ± −1 ⋅ log nat( −1) = ±i ⋅ ( 2n +1) ⋅ πi = ±( 2n +1) ⋅ π , øo øo
amely kifejezésben kifejezésben n bármilyen egész szám vagy zérus is lehet, minélfogva a szorzat abszolútértékének a minimuma, vagyis a Ψ( øo) függvény az /5,13/ formula szerint: /5,13’/
Ψ( øo) = π .
Csaknem valamennyi felsorolt példában a függvények értéke változatlanul ugyanaz a szám marad marad,, ha a függe függetl tlen en változ változót ót nem øo -nel, -nel, hanem hanem akárm akármil ilyen yen más számma számmall tesszü tesszükk is egyenlővé. Kivételt képeznek azonban ebből a szempontból a /5,9/ és az /5,12/ függvények, amelyek csakis x→∞ esetén határozzák meg a zérus, illetőleg az e értékeket. A felhozott példák világosan rámutatnak tehát arra, hogy valóban minden reális és elméleti szám kifejezhető a øo -nek a függvényeként. Nem létezik viszont olyan véges szám, amelynek a függvényeként ki lehetne fejezni hiánytalanul az összes számokat.
6.§. A øo esetleges érték-változásainak hatása a øo függvényeine f üggvényeinekk értékére. Tegy Tegyük ük fel fel egye egyelő lőre re,, hogy hogy a øo jelk jelkép épet et számként értel értelmez mezzü zük. k. Későb Későbbb a 9.§. 9.§. -ban -ban
kimutatjuk, hogy valóban számnak tekinthető. Magától értetődik értetődik azonban , hogy øo -nek a számszerű értékét véges véges eszközökkel felmérni felmérni és véges véges összeh összehaso asonlí nlítá tások sok révén révén meghat meghatáro ározni zni sohase sohasem m állh állhat at módunk módunkba ban. n. A øo a maga maga elképze elképzelhet lhetetle etlenn nagyságá nagyságában, ban, számunkra számunkra mindig mindig is csak felfogh felfoghata atatlan tlan számot számot jelenth jelenthet. et. Legfeljebb Legfeljebb feltevéseink, feltevéseink, logikus elgondolásaink, elgondolásaink, következtetéseink következtetéseink lehetnek lehetnek egy efféle számmal kapcsolatban. Magá Magátó tóll érte értető tődi dikk tová tovább bbá, á, hogy hogy egy egy felf felfog ogha hata tatl tlan an szám számot ot nem nem isme ismerh rhet etün ünkk meg meg közvet közvetle lenül nül.. Mit sem sem tudha tudhatun tunkk meg tehát tehát telj teljes es bizony bizonyoss osságg ággal al arról arról,, hogy hogy az által általunk unk nevezett øo számnak valóban valóban állandó-e állandó-e az értéke, vagy sem. sem. Éppúgy határozott-végtelennek nevezett feltehető ezért, hogy a øo -nek olykor megváltozik az értéke, mint az is elképzelhető, hogy értékében szüntelenül változó mennyiséget képvisel. Voltaképpen még azt a körülményt sem tudjuk tapasztalati úton megítélni, hogy ennek a jelképnek – mint számnak – valóban valamely értéke van. A /3,1/ egyenlőség egyenlőség szerint Ø ennek a számnak a reciprok reciprok értéke. Mindazok tehát, tehát, amelyek a øo -re vonatkoznak egyúttal a Ø -t is érintik. Ilyenformán, ha øo csakugyan állandó és határozott számérték, akkor Ø is az. Ellenkező esetben viszont Ø is változó és határozatlan. Ha pedig a határozott végtelennek nincs úgynevezett számértéke, akkor a határozott zérusnak sem lehet értéket tulajdonítani. A Ø számról pedig, amely a klasszikus matematika zérus-fogalmába tartozik, – meg-nemnyilvánuló nyilvánuló voltánál fogva – éppúgy nem tudjuk tapasztalati úton megállapítani, vajjon állandó-e, vagy változó értékű, mint ahogy øo-nek az esetében sem dönthetjük el ezt a kérdést. Nem lehetséges tehát az sem, hogy Ø -nak a vizsgálata révén világítsunk rá a øo -nek a természetére. Be kell látnunk azonban, hogy valamely matematikai rendszernek a szempontjából, szempontjából, valójában nem is fontosak ezek a kérdések. Az intrazeriális matematikának az álláspontját az jellemzi, hogy meg sem kísérli a döntést a megoldhatatlan kérdések területén.
24
Az intrazeriális rendszer, felfogásának az igazolása érdekében, egyszerűen arra a tényre támaszkodik, támaszkodik, hogy minden lehetséges szám felfogható és kifejezhető øo -nek valamely függvényeként. Ennek az állításnak az igazságáról pedig az 5.§. -ban tárgyaltak alapján már meggyőződtünk. Nincs is szükségünk ennél több bizonyításra. Meg kell gondolnunk ugyanis a következőket. Tegyük fel, hogy u, v, és w a klasszikus matematika felfogása szerinti három tetszőleges szám, amelyek közül viszont egyik sem egyenlő a végtelennel vagy a zérussal. Akko Akkorr az u, v és w számokat számokat kifejez kifejezhetj hetjük ük és meghatár meghatározha ozhatjuk tjuk három három megfelel megfelelőő függvénnyel, például: /6,1/
=f (øo) , v =F(øo) , w = ϕ( øo) .
u
Amikor tehát a klasszikus matematika szellemében , u -ról, v -ről és w -ről beszélünk mint számokról – és valahányszor valahányszor ezekkel a számokkal műveleteket műveleteket végzünk, – akkor az intrazeriális intrazeriális matematika felfogása szerint: valójában mindig csak az f(øo), F(øo) és φ(øo) függvények állnak előttünk, és csupán ezekkel az értékekkel. Belátható Belátható továbbá, hogy a øo -nek mindhárom függvényben azonosnak kell lennie, – hiszen ez az alapfeltétele a /6,1/ alatti függvények létezésének. Ha pedig az alapfeltétel teljesül, akkor már valóban igaz, hogy øo -nek az időbeli esetleges értékváltozásai – akár felmerülnek ilyenek, akár akár nem, nem, – a legke legkevés vésbé bé sem sem befol befolyás yásolh olhatj atják ák a /6,1/ /6,1/ alat alatti ti függvé függvényé nyérté rtékek keket. et. Fel Felté téve ve természetesen, hogy az esetleges értékváltozások ellenére, mindenkor fennáll a megkövetelt øo = ∞ egyenlőség, amely nélkül a øo jelképének nem is lehetne létjogosultsága. Tökéletesen mellékes tehát az az elvi kérdés, vajjon időben állandó vagy változó értéket fejezünk-e ki ezzel a jelképpel. Tagadh Tagadhata atatla tlann tény tény ugyani ugyanis, s, hogy hogy az u, v és w számokat számokat csupán csupán egymássa egymássall tudj tudjuk uk összehasonlítani, összehasonlítani, vagy más más véges számokkal, számokkal, øo -nek a voltaképpeni voltaképpeni mivoltával mivoltával és értékével azonban sohasem . Belátható ennélfogva, hogyha u mindenkor f(øo) marad, ha a v számot mindenkor az F(øo) függvény képezi, és ha a w szám sem lesz soha más, mint φ(øo), akkor a
három számnak, vagyis a három függvénynek az egymáshoz való viszonya nem változik meg meg egye egyetl tlen en eset esetbe benn sem, sem, bá bárm rmililye yenn álla álland ndóó vagy vagy állh állhat atta tala lann jell jelleg egűű legy legyen en is a függvényekben szerepet játszó øo -nek az értéke. Valamely esetben fennáll tehát az /6,2/
f (øo) : F(øo) : ϕ(øo) = u : v : w
arány-egyenlőség. És éppígy nem változik meg az u, v és w számoknak a többi véges számhoz való viszonya sem, hiszen azok is csak øo -nek a hasonló természetű függvényei. De ugyancsak nem változik meg az u, v és w számoknak a végtelen felé fennálló, vagyis øo -nel vonatkozásban álló relatív helyzete sem, amelyet mindenkor az f, F és φ jelképek fejeznek fejeznek ki és határoznak meg formulákban. A øo függvényeinek a szempontjából nézve, tökéletesen elhanyagolható tehát az a kérdés, hogy øo -t állandónak vagy változónak kell-e tekintenünk a maga önálló mivoltában. Az összes létező számoknak az egymáshoz való viszonya – és így az egységé is a többi számhoz képest – 25
teljesen független ugyanis attól a körülménytől, hogy øo időben állandó-e vagy változó, ha ez a jelkép bármely t időpillanatban: minden függvényben mindenkor azonos.
7.§. A megnyilvánuló számok relatív rendszere. Megnyilvánuló számoknak nevezzük a továbbiakban az összes pozitív és negatív előjelű, véges, reális számokat, mert ezek az értékek számunkra megnyilvánuló természetben valóban megtalálhatók és tapasztalhatók. Átvitt értelemben: a megnyilvánuló számok közé sorozzuk az összes pozitív és negatív előjelű, véges, képzetes számokat is, abban az értelmezésben, hogy a természetben ezek mintegy képzetesen megnyilvánulók. Nem-megn Nem-megnyil yilvánu vánulók lók ezzel ezzel szemben szemben a végtelen végtelenül-ki ül-kicsin csiny, y, valamint valamint a végtelen végtelenül-na ül-nagy gy abszolút-értékű mennyiségek, – mert ilyeneket a számunkra megnyilvánuló természet körében nem tapasztalhatunk. Gondoljuk meg mármost a következőket. Ha léteznék, ha volna egy olyan tökéletesen abszolút szám a világon, amelyhez a többi megnyilvánuló megnyilvánuló számot viszonyíthatnánk, viszonyíthatnánk, akkor azonnal meggyőződést szerezhetnénk øo -nek az esetleges értékváltozásairól, – hiszen értékének még a legcsekélyebb megváltozása azonnal kifejezésre jutna függvényeinek /vagyis a megnyilvánuló számoknak/ és az „abszolút számnak” a viszonyába viszonyában. n. Ilyen Ilyen abszolút abszolút szám azonban azonban nincs és nem is lehetség lehetséges, es, hogy legyen, legyen, mert mind mi nden en léte létező ző szám szám – egyö egyönt ntet etűe űenn – a végt végtel elen enne nekk a függ függvé vény nyek ekén éntt is felf felfog ogha ható tó és értel értelmez mezhet hető. ő. Valame Valamely ly szám szám pedig pedig csak csak akkor akkor lehet lehetne ne valóba valóbann abszolút , ha øo -nek a függvényeként semmiképpen sem volna kifejezhető. Márpedig, ha nincs ilyen abszolút szám, akkor be kell látnunk, hogy a megnyilvánuló számoknak az egész tartománya: bizonyos relatív rendszert képez csupán. Az ember mindenkor csakis øo -nek a függvényeit és e függvényeknek függvényeknek az egymásközti, tehát relatív kapcsolatait ismeri és ismerheti meg, a megnyilvánuló számok relatív rendszerén belül. A øo függvényeinek, vagyis az összes számoknak az egymásközti kapcsolatai és viszonyai – mint a 6.§. -ban kimutattuk – teljesen függetlenek a „határozott végtelennek” nevezett jelkép esetl esetleg eges es értékb értékbel elii vagy vagy bármif bármifél élee egyéb egyéb válto változás zásait aitól ól.. A megnyi megnyilv lvánu ánuló ló számok számokna nakk az egymásközti kapcsolatai és viszonyai tehát semmiféle körülmények között sem árulhatják el az ember számára, hogy mely időpontban változott és hogy változott-e egyáltalán, függvényein belül, a végtelen. Vált Változ ozás ások ok pedi pedig, g, amel amelye yekk semm semmif ifél élee körü körülm lmén énye yekk közö között tt sem sem észl észlel elhe hető tőkk és nem nem mutathatók ki, – emberi szempontból nézve, – nem–létezőknek tekinthetők csupán. Ha a megnyilvánuló világban, egy olyan rendszerben élünk, amely rendszer a maga teljes egészében a øo -nek az esetleges változásaival mindenkor együtt változik – és amely rendszer semmiféle abszolút elemmel össze nem hasonlítható, – akkor ennek a rendszernek bármelyik pon pontj tjáb ából ól nézz nézzük ük is øo -t , il ille lető tőle legg bárh bárhon onna nann is prób próbál álun unkk köve követk tkez ezte tetn tnii rá, rá, mi mind nden en következtetésünk csakis állandónak és határozottnak mutathatja azt nekünk, a relatív rendszer akármelyik pontjából megítélve. Hiszen nincs mód és nincs lehetőség arra, hogy øo -nek az esetleges értékváltozásait kimutathassuk, – sőt még arra sincs mód és lehetőség, hogy tudomást szerezhessünk az esetleges változásairól, ha vannak ilyenek valóban.
A megnyilvánuló számoknak az egész tartománya: efféle relatív rendszert képez, olyan rend rendsz szer ert, t, amel amelyy øo -nek -nek az eset esetle lege gess válto változá zása saiv ival al mind minden enko korr együ együtt tt válto változi zik. k. A megnyilvánuló számok: øo -nek a függvényei. A megnyilvánuló számok egész rendszerének a szempontjából nézve fennáll tehát, hogy a függvényekben szerepet játszó végtelen: csakis
26
állandó és határozott jellegűnek tekinthető, – miután soha nem merül fel lehetőség arra, hogy változást mutathassunk ki az értékében. Az effaj effajta ta szemlé szemlélet letben ben,, a fenná fennáll llóó relat relativi ivitá táss követk következt eztéb ében, en, vol volta takép képpen pen nem nem is øo állandóságáról szerzünk meggyőződést, hanem /6,1 / az u számot kifejező helyzeti pontnak a szemszögéből f -nek, a v pont szemszögéből F -nek, a w pont szemszögéből pedig φ -nek az állandóságáról győződünk meg csupán. Ugyanez az állandóság befolyásolja és rögzíti meg a szemléletünket akkor is, ha a megnyilvánuló számok tartományának bármelyik pontjából, mint megfigyelő-pontból, a végtelen felé fordulunk és az általuk határozott-végtelennek nevezett számnak a természetére próbálunk következtetni. Ha f, F és φ változnék meg a függvényekben, akkor észlelhetnénk változást. Ámde akkor sem a végtelent látnók megváltozottnak, hanem éppen csak arról szereznénk tudomást, hogy az u, v, és w értéke értékekk válto változt ztak ak meg egymás egymásköz közti ti és a többi többi véges véges számma számmall fennál fennálló ló kapcsolataikban. Tény, hogy a øo jelképéről nem mutathatjuk ki, vajjon változik-e értékében, vagy nem. Ennélfogva állandónak és határozottnak kell tekintenünk , állandóságának fennálló látszata szerint. Ezért nevezzük határozott végtelennek.
8.§. Az esetlegesen változó végtelen és zérus fogalma. A 6.§.-ban csupán azzal a kérdéssel foglalkoztunk, hogy øo -nek a megnyilvánuló számokat kifejező függvényei között fennálló viszony megváltozhatik-e abban az esetben, ha øo nem állandó jellegű. Válaszunk tagadó volt. Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy meg-nem-nyilvánuló számok között is állandó marad-e a viszony øo értékének esetleges megváltozása esetén. Azonnal belátható, hogy a /3,1/ egyenlőséggel meghatározott reciprocitás, amely szerint /8.1/
1 øo
=Ø
és
1 Ø
= øo ,
zavartalanul, akkor is fennáll, ha feltételezzük øo -nek valamely értékváltozását. Meg kell gondolnunk továbbá a következőket. A klasszikus matematika felfogása szerint, ha a, b, c véges számértékek, kimondhatjuk a következő egyenlőséget: /8,2/
( a > b) .
∞ ⋅ a = ∞ ⋅ b = ∞ ± c = ∞ ,
Az intrazeriális matematikai rendszerben azonban, a határozottnak tekinthető øo fogalmának a bevezetése bevezetése mellett, mellett, sokkal precízebb, mérhetetlenül mérhetetlenül pontosabb megkülönböztetéseket megkülönböztetéseket követelünk meg, – és valóban módunkban áll is az alábbi egyenlőtlenségek felírása: /8,3/
øo ⋅ a
> øo ⋅ b ,
/8,4/
øo - c < øo < øo + c ,
( a > b) , ( c < 0) ,
sőt az is nyilvánvaló, hogy megkülönböztetéseink az alábbi relációkra is érvényesek: 27
/8,5/
øo - c < øo - Ø < øo < øo + Ø < øo + c
/8,6/
øo - n ⋅ Ø < øo - Ø < øo − Ø
n
,
< øo ,
øo + n ⋅ Ø > øo + Ø > øo + Ø
n
( n >1) ,
> øo .
Kétségtelen Kétségtelen viszont, hogy éppen a /8,1/ alatti összefüggések összefüggéseknek nek a következtében, következtében, a /8,3/ - / 8,6/ egyenlőtlenségek tökéletesen függetlenek attól a problémától, vajjon csakugyan állandó-e a határozottnak minősített øo. Kimondjuk tehát, hogy ezzel a problémával a továbbiakban már nem is foglalkozunk, mert a kérdés az intrazeriális matematikai rendszer szempontjából teljesen érdektelen. Elvileg Elvileg feltéte feltételezz lezzük ük a lehetős lehetőségét égét annak, annak, hogy csak puszta látszat látszatként ként értelme értelmezzük zzük és fogadjuk el a øo értékének a határozott voltát. A 6.§. -ban tárgyaltak alapján, végeredményben be kell látnunk, hogy még ez a látszat is függvény. Nyilvánvaló, hogy øo érték-állandóságának a látszata: annak az egész függvény-rendszernek a függvénye, amely függvény-rendszer nem egyéb, mint a számok egész birodalma . Magától értetődik, hogy: /8,7/
ha
ω ( x) = x
,
akkor
ω (øo) =øo
.
Ha pedig még ezt a függvényt is beállítjuk beállítjuk a végtelen függvényeinek függvényeinek abba a sorába, amelyből az 5.§. -ban tárgyaltunk egyes jellemző példákat, akkor teljessé válik a sor, – és akkor a øo is éppen éppen olyan természetű természetű és éppen olyan határozo határozott tt szám-értékn szám-értéknek ek tekinthető tekinthető máris, máris, mint akármelyik másik szám a sorban.
9.§. A határozott végtelen. Végtelenül-nagynak nevezhetünk minden olyan számértéket, amely az ember érzékelhető világának, vagyis a megnyilvánuló természetnek a dimenzióit nemcsak méretben /pld. a > 1/, hanem hanem elvi elvileg leg is megha meghala ladj djaa /pl /pld. d. a→∞/. Az il ilye yenn szám számna nakk a dime dimenz nzió ióii kívü kívüll esne esnekk a megnyilvánuló természet dimenzióinak a körén. Éppen ezért az efféle számok a világegyetem megnyilvánulásaiban csak hatásaikban juthatnak kifejezésre az ember számára, a maguk igazi mivoltában azonban sohasem. Érté Értéké kéne nekk sajá sajáto toss dime dimenz nzió ióit it nézv nézve, e, volt voltak akép éppe penn isme ismere retl tlen en mara maradd szám számun unkr kraa az a végtelenül-nagy számérték is, amelyet az 5.§. -ban tárgyalt függvényekben az összes számok alap-eleméül választottuk. Mégis, minthogy határozott jelképpel /øo/ tudjuk kifejezni ezt a kiválasztott alap-elemet, azért a matematika számára többé már nem marad idegen elem, hanem jelképét jelképét illetőleg illetőleg éppúgy kezelhető számmá válik, mint ahogyan kezelhetők általában az összes többi többi számok számok.. Hisze Hiszenn a matem matemat atika ika min minden denkor kor csak csak számj számjel elkép képek ekkel kel és nem valósá valóságos gos számokkal operál. Ismételten le kell szögeznünk, előző meggondolásaink alapján, hogy ez az összes számok alap-eleméül alap-eleméül kiválasztott, végtelenül-nagy szám – a megnyilvánuló számok relatív rendszeréből szemlélve – csakis állandó és határozott értékűnek fogható fel, mégpedig tekintet nélkül arra a körülményre, hogy valójában, vagyis abszolút értelemben, milyen természetű.
28
Ezt az ily módon kiválasztott, kiválasztott, végtelenül-nagy számot az intrazeriális matematika határozott végtelennek nevezi. Az intrazeriális rendszer voltaképpen nem állít többet, csak annyit, hogy: /9,1/
øo øo
=1 ,
továbbá, hogy ennek az egyenlőségnek a folyományaképpen:
/9,2/
øo øo = Ø , øo
végül pedig:
/9,3/
n
=F
n
(øo)
,
vagyis hogy minden lehetséges n szám felfogható és kifejezhető olyképpen, mint øo -nek valamely függvénye. Fenti Fenti állí állítás tásain ainkk megeng megenged edhet hetők ők és jogos jogosak ak,, mert mert a tapas tapaszt ztala alati ti ténye tényekke kkell nem állna állnak k semmiféle ellentmondásban sem. A /9,1/ - /9,3/ egyenlőségek képezik az intrazeriális intrazeriál is matematika három alaptételét. Ezek az alaptételek pedig, vagyis a fenti három állítás és azok logikus következményei, valób valóban an megadj megadják ák a jogot jogot ahhoz, ahhoz, hogy hogy az int intraz razeri eriáli áliss matema matemati tika ka ne csak csak elmél elmélet etile ilegg tula tulajdo jdonít nítson son határo határozot zottt és állandó állandó értéke értékett a øo -nek -nek és a Ø –nak, –nak, hanem hanem hogy hogy mind a
megjelzett végtelent, mind a megjelzett zérust: határozott értékű számként kezelhesse is a számítási műveletek során, vagyis a matematika gyakorlatában, – mindenkor a /8,1/ alatti egyenlőségeknek az értelmében. E hely helyüt üttt még még nem nem áll áll mó módu dunk nkba bann mega megadn dnii a „hat „határ ároz ozot ottt végt végtel elen enne nek” k” a reál reális isan an megfogalmazott, első közelítésben pontos definícióját. A végleges definícióra nézve lásd a 21.§. -ban foglaltakat.
29
III. FEJEZET. A MAGASABBFOKÚ PONTOSSÁG.
10.§. Az xø hatvány intrazeriális értéke. A klasszikus klasszikus matematikában, matematikában, Taylor-sorral kifejezve: kifejezve:
a
x+h
=a + x
h ⋅ a x ⋅ ln a 1!
+
h2 ⋅ ax
⋅ ( ln a ) 2 2!
+
h 3 ⋅ a x ⋅ ( ln a ) 3!
3
+ ...
ha pedig ebben a formulában – ugyancsak a klasszikus matematika szellemében – h helyett x-et és x helyett 0-t írunk, akkor nyerjük az alábbi Maclaurin-féle sort: a
x
=1+
x ⋅ ln a 1!
+
x
2
⋅ ( ln a ) 2 2!
+
x
3
⋅ ( ln a ) 3 3!
+
x
4
⋅ ( ln a ) 4 4!
+ ...
amely formulának a helyességét a klasszikus matematika már sokszorosan bebizonyította. Ezt az utóbbi formulát használja fel az intrazeriális matematika is, amikor meghatározni kívánja az xø hatványnak azt az értékét, amelyet ez a hatvány a határozott-zérus bevezetése esetén képvisel. Ebből a célból az utóbbi egyenlőségben a helyett x -et és x helyébe Ø -t írva, a következő igen jelentős fontosságú formulát nyerjük: /10,1/
x
ø
=1+
Ø ⋅ ln x 1!
+
Ø 2 ⋅ ( ln x ) 2!
2
+
Ø3 ⋅ ( ln x ) 3!
3
+ ... ,
és minthogy az intrazeriális felfogás a /10,1/ alatti sornak az értelmében Ø -nak a különböző fokú hatványait, értékükre nézve, határozottan megkülönbözteti egymástól, azért a xø hatványnak a /10,1/ Maclaurin-féle sorában a zeriális értékű tagok mindenkor határozott értékű tagok. A /3,2/ /3,2/ képle képlett ttel el már rámut rámutat attun tunkk arra, arra, hogy hogy az int intraz razeri eriáli áliss mate matemat matik ikaa min minden denkor kor határozottan megkülönbözteti egymástól a Ø és -Ø értékeket. Magától értetődik tehát, hogy 30
/10,2/
xø
≠ x −ø ,
mert a /10,1/ formulának az analógiájára kifejezve: /10,3/
x
-ø
=1−
Ø ⋅ ln x 1!
+
Ø
⋅ ( ln x ) 2
2
2!
−
Ø
3
⋅ ( ln x ) 3 3!
+ ... .
Ha pedig pedig mi mindk ndkét ét formul formulába ábann x helyébe helyébe a természe természetes tes logaritm logaritmusren usrendsze dszerr alapszá alapszámát mát helyettesítjük be, akkor az alábbi sorok meghatározásához jutunk el: /10,4/
Ø2 e =1 + Ø + 2!
/10,5/
e -ø
ø
Ø3 + 3!
Ø4 + 4!
Ø5 + 5!
+ ... ,
2
3
4
5
2!
3!
4!
5!
= 1 − Ø + Ø − Ø + Ø − Ø + ... .
Nyilvánvaló, hogy az így nyert pontosság elképzelhetetlenül magasabbfokú, mint a klasszikus matematikának a szokásos pontossága.
11.§. A pontossági fokok. A magasabbfokú pontosság tág fogalom. Mindaddig az is marad, amíg a pontosságot nem osztjuk fel lépcsőzetesen, meghatározván a különböző fokait. Mármost, ha egyszerűen a klasszikus matematikának abból a felfogásából indulunk ki, hogy eseténn az εp hatvá hatvány ny az εp-1 értéke értéke mellet mellettt már telje teljesen sen elhan elhanyag yagolh olható ató,, akkor akkor az ε→0 eseté úgynevezett pontossági fokokat – ennek az elvnek az alapján – legegyszerűbben a határozott végtelennek, illetve a határozott zérusnak az egész fokú hatványai szerint különböztethetjük meg egymástól. További magyarázat helyett, megkíséreljük mindjárt példákkal megvilágítani a kérdést. Így például, ha az intrazeriális matematika felfogása szerint a /10,1/ sorból harmadfokú pontossággal fejezzük ki az xø hatványának az értékét, akkor: x
ø
= 1 + Ø ⋅ ln x +
Ø 2 ⋅ ( ln x ) 2
2
−
Ø 3 ⋅ ( ln x ) 6
a /10,1/ sorból másodfokú pontossággal kifejezve: x
ø
= 1 + Ø ⋅ ln x +
Ø
2
⋅ ( ln x ) 2 ; 2
a /10,1/ sorból elsőfokú pontossággal pontossággal kifejezve: 31
3
;
/11,1/
xø
= 1 + Ø ⋅ ln x ;
végül pedig a /10,1/ sorból zérusfokú pontossággal kifejezve: /11,2/
xø
=1 ,
tekintettel tekintettel arra, hogy valamely megkívánt pontossági–fok betartása mellett a határozott zérusnak a magasabbfokú hatványait tartalmazó tagok már valóban elhanyagolhatók. Megje Megjegye gyezzü zzük, k, hogy hogy a /11,2 /11,2// egyenl egyenlősé őségg nem változ változik ik meg, meg, ha a határo határozot zottt zérus zérustt a klasszikus zérussal /mint gyűjtőfogalommal/ helyettesítjük benne: /11,3/
x0
=1 ,
ami azonnal érthető is, ha meggondoljuk, meggondoljuk, hogy a /11,2/ egyenlőségnek egyenlőségnek a jobboldalán jobboldalán Ø már nem játszik szerepet. A /11,3/ egyenlőség megegyezik a klasszikus matematika állításával. Összehasonlítva /11,2/ -t /11, /11,3/ 3/ -mal -mal,, azon azonna nall megg meggyő yőző ződh dhet etün ünkk tehá tehátt arró arróll a körü körülm lmén ényr yről ől,, hogy hogy a klasszikus
matematika képleteinek a pontossága mindenkor zérusfokú pontosság csupán. Fent Fentii péld példái áink nk alap alapjá jánn kimo kimond ndha hatj tjuk uk,, hogy hogy ha vala valame mely ly n -edfokú -edfokú pontossá pontossággal ggal meghatározott f(x) kifejezésből egyszerűen kiemeljük azt az értéket, amelyet az illető kifejezés -edfokúú – tehát tehát a megado megadott ttnál nál alac alacson sonya yabb bb fokú fokú – pontos pontosság ság megköv megkövete etelé lése se mellet mellettt n-m -edfok képvisel, akkor ily módon máris meghatároztuk az illető kifejezésnek az értékét az n-m -edfokú
pontosság keretein belül. Az ilyen ilyen módon módon végrehajt végrehajtott ott érték-kie érték-kiemelé melést st a továbbia továbbiakban kban egyszerűe egyszerűenn kiértékelésnek nevezzük. Kiértékelés alatt ezért mindenkor valamely kifejezésnek a megadottnál alacsonyabb, vagyis korlátozott fokú pontossággal történő értékmeghatározását kell értenünk. Ebből következik, hogy valamely intrazeriális képletet zérusfokú pontossággal kifejezni
annyit jelent, mint kiértékelni az illető képletet a klasszikus matematika pontossága és elvei szerint.
Felhozot Felhozottt példáin példáinkk nem kívánnak kívánnak bővebb bővebb magyaráz magyarázatot atot.. Tanulmá Tanulmányozá nyozásuk suk során máris máris közvet közvetle lenül nül meggyő meggyőződ ződhet hetünk ünk arról, arról, mil milyen yen horrib horribil ilis is diffe differen renci ciaa áll áll fenn fenn a klass klasszi zikus kus matematika matematika és az intrazeriális matematika formuláiban az értékmeghatározásokna értékmeghatározásoknakk a pontossági lehetőségei között. Az efféle nagy pontosság – mint a továbbiakban látni fogjuk – nemcsak elvi és elméleti jelentőséggel bír, hanem alkalmazható és hasznosítható a gyakorlat terén is. Másrészt pedig olyan felismerésekhez is vezet, olyan új törvényszerűségeket tár fel, amelyeket a klasszikus matematikának a zérusfokú pontossága mélyen eltakar.
12.§. A pontossági fokhoz f okhoz alkalmazkodó speciális egységek. Miel Mielőt őttt ráté rátérh rhet etné nénk nk az intr intraz azer eriá iáli liss rend rendsz szer er kapc kapcsá sánn megv megvil ilág ágít ítot ott, t, a klas klassz szik ikus us matem matemati atikáb kában an még ismer ismeret etlen len törvé törvénys nysze zerűs rűség égein einek ek a tárgy tárgyal alásá ására, ra, előbb előbb még még tov tovább ábbii fogalmakat kell tisztáznunk és újabb megállapodásokat kell létesítenünk. Elsősorban meg kell gondolnunk a következőket. 32
Könnyen belátható, hogy két vagy több olyan számtartomány esetén, amelyeknek az elemei még még elvi elvile legg sem sem mérh mérhet etők ők össz össze, e, a reál reális isan an vége végess szám számok ok tart tartom omán ányá yánn kívü kívüll a többi tartományban: tartományban: az illető tartománynak tetszésszerinti elemét jelölhetjük jelölhetjük ki az odatartozó számok hozhatjuk fel erre a reális és az imaginárius imaginárius számok egymástól egységeként. Ismeretes példaként hozhatjuk független független tartományát; a reális számok egysége természetesen a pozitív egység, – az imaginárius imaginárius tartományban azonban az i számot már megállapodás alapján jelölte ki egységként a klasszikus matematika. Tekintettel arra, hogy a két tartományba tartozó számok még elvileg sem mérhetők össze egymással, – hiszen nem határozhatjuk határozhatjuk meg, hogy i mennyivel nagyobb, vagy mennyivel kisebb a reális egységnél, annak ellenére, hogy egészen bizonyosan nem egyenlő vele, – ez a megállapodás semmiféle zavart nem okozhat a matematika gyakorlatában. Hasonló a helyzet a véges számértékek és a végtelenül-nagy számok egymástól független tartomán tartománya ya között. között. Nyilvánv Nyilvánvaló aló,, hogy nem tudj tudjuk uk meghatá meghatározni rozni,, vajjon vajjon a ± øo számérté számérték k mennyivel nagyobb vagy mennyivel kisebb az 1-nél. A két tartományba tartozó számok még elvileg sem mérhetők össze. Akadálytalanul megvalósíthatjuk ennélfogva azt a megállapodást, amely szerint a øo jelkép által képviselt számértéket tekintjük a végtelenül-nagy számok mindenkori egységének . Tény, hogy a véges számértékek és a zeriálisan kicsiny számok tartománya is független egymástól. Valamely zeriálisan kicsiny mennyiség még elvileg sem mérhető össze a pozitív egységgel. Más a helyzet azonban a végtelenül-nagy számok és zeriálisan kicsiny értékek tartománya között, mert ezeknek az elemei között a reciprocitás törvényszerűsége áll fenn és ennélfogva az utóbbi két tartománynak az elemei egymással már összemérhetők. Ha tehát – megállapodásszerűen – a øo számot jelöltük ki a végtelenül-nagy számok tartományának az egységeként, egységeként, akkor a zeriálisan kicsiny számok tartományán tartományán belül csakis ennek reciprok értékét, vagyis Ø -t tekinthetjük a zeriálisan kicsiny számértékek mindenkori egységének. Ez minden további bizonyítás nélkül belátható. Meg kell gondolnunk továbbá azt az összefüggést is, amelynek értelmében a másodfokúan végtelenül-nagy számok ugyanúgy viszonyulnak az elsőfokúan végtelenül-nagy számokhoz, mint ahogyan a határozott végtelen viszonylik a pozitív egységhez: øo 2 : øo = øo : 1
.
Ha tehát tehát øo és 1 két két egymá egymástó stóll megkül megkülönb önböz öztet tetett ett és különálló számtartománynak számtartománynak az egysé egységé gétt képezi képezi a rendsz rendszerü erünkb nkben en,, akkor akkor – a fenti fenti egyenl egyenlősé őségün günkne knekk az értelm értelméb ében en – a másod másodfok fokúan úan végte végtelen lenülül-nag nagyy számok számoknak nak a tarto tartomán mányát yát is meg meg kell kell kül különb önbözt öztet etnün nünkk az elsőfokúan végtelenül-nagy számoknak a tartományától. A két utóbbi tartományt is egymástól különálló számtartománynak kell tekintenünk. Egységeik azonban már nem lehetnek egymástól függetlenek. A fenti aránypárnak az alapján ki kell mondanunk, miszerint – ha n valamely pozitív vagy negatív egész szám, – minden n -edfokúan végtelenül-nagy számot a többi számtartománytól megkülönböztetett megkülönböztetett és különálló, különálló, n -indexű tartományba tartozónak kell tekintenünk, – amelyen n belül a øo számot nevezzük az illető számtartomány sajátos egységének. egységének. Így például, ha n = -1, akkor a zeriálisan kicsiny számok -1 indexű tartományában az odatartozó számértékek sajátos egysége: øo -1
=
1 øo
=Ø .
33
Meg kell jegyeznünk végül, hogy felvett megállapodásunk teljes összhangban áll a pontossági fokoknak a 11.§. -ban tárgyalt megkülönböztetési rendszerével.
13.§. Végtelenül-nagy tagszámú sorok. Számszintek. Az előző §. -ban említett számtartományok és a pontossági fokok tanulmányozásának a kapcsán, foglalkoznunk kell még a következő problémával is. A klasszikus matematika teljesen bizonyos abban, hogy az elgondolható legnagyobb véges számhoz még mindig hozzáadhatunk egy egységet, az így nyert összeghez újra egyet, és így tovább, egészen a végtelenségig folytatva – elvben – az összegnek az egységenkénti növelését. Ebből az állításból pedig a klasszikus matematika azt a következtetést vonja le, hogy ha csakugya csakugyann határtal határtalanul anul folytatj folytatjuk uk az efféle efféle összegzé összegzést, st, akkor akkor az egymásho egymáshozz adott adott számok számok összege – valamikor és valahol – egyszer majd megközelíti és eléri a végtelent, és az így nyert összeg maga is végtelenül-nagynak lesz minősíthető. Amilyen igaz azonban a véges számokra vonatkozó első állítás, éppen olyan téves a ráépített következtetés. következtetés. Mert ugyancsak a klasszikus matematika felfogása szerint, jól tudjuk ugyanakkor, hogy valamely véges számhoz mindig csak véges számokat hozzáadva, az ilymódon nyert összeg sohasem éri el a végtelent. Az efféle ellentmondás összeférhet a klasszikus matematika zérusfokú pontosságával, az intrazeriális intrazeriális matematikának a magasabbfokú magasabbfokú pontosságú rendszeréből azonban okvetlenül okvetlenül ki kell küszöbölnünk. Kíséreljük Kíséreljük meg tehát a fenti ellentmondásnak ellentmondásnak egy egyszerű hasonlattal hasonlattal való megvilágítását, megvilágítását, és egyúttal áthidalását is. A hasonlat a következő. Egy földszinti folyosó padlójának a terjedelmét megnövelhetjük akárhány négyzetméternyi újabb padlóterületnek a hozzáadásával, ezáltal a földszinti folyosónak a padlója az első-emeleti folyosónak a padlózatát soha el nem éri és nem is érheti el. Semmi akadálya sincs azonban annak annak,, hogy hogy az emele emeleti ti és a földsz földszint intii padló padlóte terül rület eteke ekett össze összegez gezzük zük,, vagyi vagyiss hogy hogy kétfé kétféle le padlóterületnek a mértékszámát – mint összeget – közös képletben foglaljuk egybe. Még abban az esetben is akadálytalanul megtehetjük ezt, ha a földszinten más mértékegységgel számolunk, mint az emeleten. Haso Hasonl nlat atun unkk alap alapjá ján, n, a klas klassz szik ikus us mate matema mati tiká kána nakk az úgyn úgynev evez ezet ettt végt végtel elen en sora sorait it – helyesebben mondva: azokat a sorokat, amelyekben az összegezendő sortagoknak a száma végtelenül-nagy – úgy kell értelmeznünk tehát, hogy az efféle sorok a véges sorszámú tagoknak a „lehetséges legnagyobb” sokaságán felül, még további, végtelenül-nagy-sorszámú tagokat is tartalmaznak, – a véges sorszámú tagok szakaszához képest egy szinttel magasabban vagy alacsonyabban. A véges sorszámú és a végtelenül-nagy sorszámú tagok között azonban nincs folytonossági kapcsolat, mert a szintkülönbség miatt efféle folytonosság nem is lehetséges. A különböző szintekre tartozó tagok viszont minden akadály nélkül összegezhetők, illetve: közös képletbe foglalhatók. Ugyane Ugyanezz a helyz helyzet et áll áll fenn fenn az effél effélee sorok sorokban ban,, mi mint nt amely amelyet et a fenti fenti hason hasonla latun tunkka kkall világítottunk meg, a földszinti és emeleti folyosókra nézve. Nevezzük a különböző szinteket egyelőre számszinteknek. Ilyen Ilyen értele értelembe mbenn máris máris kimon kimondha dhatj tjuk, uk, hogy hogy az intra intraze zeriá riáli liss matema matemati tikán kának ak a zérus zérusná náll magas magasab abbfo bfokú kú pontos pontosság ságúú képle képletei tei:: kül különb önböző öző,, de egymá egymássa ssall min minden denkor kor „szo „szomsz mszéd édos” os” számszinteket foglalnak egybe, a számok korlátlan birodalmában. Minden egyes számszintnek megvan a maga sajátos egysége, amely a számszintet jellemzi és meghatározza annak fokát. A 34
véges számok számszintjének egysége az 1. A véges számok fölött elhelyezkedő, egymástól független számszintek egységei øo, øo 2, øo3, … stb. Míg ellenkező értelemben, vagyis a véges számok szintje alatt elhelyezkedő elhelyezkedő számszinteknek számszinteknek a jellemző jellemző egységei: Ø, Ø 2, Ø3, … és így tovább. Nyilvánvaló, hogy a feltételezett számszintek azonosak az előző paragrafusokban tárgyalt számtartományokkal. Nyoma Nyomaté tékos kosan an meg meg kell kell jegye jegyeznü znünk nk azonb azonban an már e helyüt helyüttt is, hogy hogy az int intraz razeri eriáli áliss matematika matematika rendszerébe, a különböző emeletekre vonatkozó fenti hasonlatunk alapján bevezetett számszint-elmélet – ebben a formájában – csak átmeneti segéd-teória , amelyet később majd módosítanunk kell az intrazeriális értelmezésnek a valódi szellemében. A számszin számszint-elm t-elméle életnek tnek,, mint segéd-teóriá segéd-teóriának, nak, - mint könnyen könnyen belátha belátható tó – még súlyos súlyos hiányosságai vannak. Nem ad választ például arra kérdésre sem, vajjon valamely úgynevezett végte végtele lenn sornak sornak a véges véges tagso tagsorsz rszámú ámú szakas szakasza za meddi meddigg érhet? érhet? Milyen Milyen hosszú hosszú lehet lehet ez a sorszakasz, sorszakasz, továbbá hogy – és főleg: milyen részösszeggel részösszeggel – ugorhatik át a sornak a más szintre tartozó, másik szakaszába, amelyben a tagoknak a sorszáma már végtelenül-nagy? Számszintelmél elmélet etünk ünk csak csak akkor akkor lehet lehet haszná használha lható, tó, ha felte feltessz sszük, ük, hogy hogy az effél effélee sorokb sorokban an a véges véges tagso tagsorsz rszámú ámú sorsz sorszaka akasz sz – ott, ott, ahol ahol gyakor gyakorla lati tila lagg már nem tud tudjuk juk követ követni, ni, – valam valamil ilyen yen törvényszerűség szerint determinált. A sorszakaszok determinált voltának bizonyítása és a szerepet játszó törvényszerűségek leírása azonban a számszint-elméletből még teljesen hiányzik. Ezeknek a kérdéseknek a megvilágítására és tisztázására csak sokkal később térhetünk ki, a szférikus analízisnek a keretében. Egyelőre mindössze azt kívánjuk érzékeltetni a felvett segéd-teóriával, hogy a végtelenülnagy számok a øo -nek az egész fokú hatványai szerint, a zeriálisan kicsiny számok pedig Ø -nak az egész fokú hatványai szerint jellemezhető, egymástól különálló szintekre tartoznak, amely szintek között nincs folytonos átmenet. A zérusnál zérusnál magasabb magasabbfokú fokú pontossá pontosságú gú int intraze razeriál riális is képletek képletek pedig pedig a különböz különbözőő szintek szintekre re tartozó számokat foglalják közös kifejezésbe. Így például az alábbi /13,1/
øo + 1 + Ø = N
egyenlőségnek a bal oldala három egymástól különböző szintnek az egységeit foglalja össze egyetlen egyetlen képletbe, a jobb oldalon álló N szám viszont a három különböző egységnek az együttes összegét fejezi ki. A képletben előforduló legnagyobb egységhez, vagyis a øo -hez viszonyítva, a többi egység jelentéktelennek látszik, mert alacsonyabbfokú szintekre tartozik. Ugyanez az egyenlőség tehát zérusfokú pontossággal , vagyis a klasszikus matematika pontosságával kifejezve: N
= øo .
Ha elsőfokú pontossággal fejezzük ki, akkor: N
= øo + 1 .
Maga Maga az eredet eredetile ilegg megado megadott tt /13,1/ /13,1/ egyenlőség.
alatt alattii formul formulaa viszon viszontt másodfokú másodfokú pontosság pontosságúú
35
Valamely p -edfokú pontosságú intrazeriális képlet ugyanis mindenkor p+1 számú, egymással „szomszédos” számszintet foglal egybe, közös képletbe. Intr Intraz azer eriá iáli liss kife kifeje jezé zése sekk eset esetén én,, a form formul ulák ák pont pontos ossá sági gi foka foka álta általá lába bann könn könnye yenn meghatározható. Valamel Valamelyy algebrai algebrai összeget összeget kifejező kifejező és int intraze razeriáli riáliss pontossá pontossággal ggal megadott megadott képletn képletnek ek a pontossági foka ugyanis: a képlet minden egyes tagjában szorzótényezőként szerepet játszó øo -nek a formulában formulában előforduló előforduló legmagasabb legmagasabb és legalacsonyabb legalacsonyabb hatványfoka közötti különbséggel 0 egyenlő, ha tekintetbe vesszük, hogy øo = 1 és Ø n = øo -n . Így például a øo
2
+ a ⋅ Ø + b ⋅ Ø3 + c = k
képletről a megfelelő átalakítás után: øo 2
+ a ⋅ øo -1 + b ⋅ øo -3 + c ⋅ øo 0 = k ,
azonnal leolvashatjuk, leolvashatjuk, hogy az ötödfokú pontossággal pontossággal határozza meg a k értéket. – Mint látjuk, ez a képlet 6 különböző számszintet ölel fel és kapcsol egybe, mégpedig a következő øo 2 , øo, 1, Ø, Ø 2 , Ø3
különböző szintbeli-egységek által jellemzett, egymással szomszédos számszinteket, annak a körülménynek körülménynek ellenére, ellenére, hogy a példaképpen példaképpen felvetett k összeg nem tartalmaz olyan tagot, amely 2 a øo és a Ø egységű számszintekre tartozik. A k összegnek minden egyes tagjában más és más egységgel, vagyis különböző mértékkel számolunk, minélfogva az összegben előforduló tagok nem homogén értékűek. Akadálya még sem merül fel annak, hogy ezeket a nem-homogén értékű tagokat egybefoglaljuk és egyetlen k számmal fejezzük ki. Ugyanúgy, mint ahogy a klasszikus matematikában is lehetséges valamely z
= a + bi
egyenlőségben a reális a -t és a képzetes bi szorzatot, mint nem-homogén értékű tagokat, egyetlen z számmá egyesítve kifejeznünk. Természetesen más a pontossági foknak kritériuma akkor, ha Ø vagy øo az exponensekben fordul elő. Így például az m 1+Ø
=M
intrazeriál intraze riális is egyenlős egyenlőség ég már nem minősíth minősíthető ető elsőfokú elsőfokú pontossá pontosságú gú kifejezé kifejezésnek snek.. Beláthat Beláthatóó ugyanis, hogy
36
= m ⋅ mØ ,
m1+Ø
miért is a /10,1/ formulának az értelmében: m⋅m
ø
=m+
Ø ⋅ m ⋅ ln m 1!
+
(
Ø2 ⋅ m ⋅ ln m 2!
) + Ø ⋅ m ⋅ ( ln m) + ... , 2
3
3
3!
ez a sor pedig, ha az első p+1 számú tagját vesszük tekintetbe, a megmaradt tagok összegezett értékével az M számot p -edfokú pontossággal határozza meg. A példaképpen felemlített m 1+Ø
=M
egyenlőség tehát tetszésszerinti p -edfokú, vagyis – minthogy p -t elvileg akár határtalanul-nagy határtalanul-nagy számnak is tekinthetjük, – határtalan, illetőleg „teljes” intrazeriális pontosságú kifejezés. A telj teljes es int intraz razeri eriáli áliss pontos pontossá ságú gú megha meghatá tároz rozáso ásokna knakk a gyakor gyakorla lati tilag lag is érvény érvényesí esíthe thető tő legmagasabb pontossági fokát általában nem szükséges külön megneveznünk.
14.§. Az intrazeriális határértékek pontossága. A kül különb önböz özőő számsz számszin inte tekne knekk az egybe egybekap kapcs csolá olásár sáraa irányu irányuló ló törek törekvés vésün ünkk kíván kívánja ja meg mindenkor, hogy intrazeriális, vagyis magasabbfokú képletekkel végezzük számításainkat. Kimondhatjuk tehát, hogy csakis azokban az esetekben szükséges intrazeriális, vagyis
magasabbfokú pontosságú képletekkel számolnunk, amikor valamely műveletben vagy kifejezésben a végtelennek /vagy reciprok-értékének / el nem hanyagolható szerepe van. A maga magasa sabb bbfo fokú kú pont pontos ossá ságn gnak ak a beve beveze zeté tésé sébő bőll köve követk tkez ezik ik visz viszon ontt az a tová tovább bbii megállapításunk, hogy mérhetetlenül jobban meg tudjuk világítani és be tudjuk szűkíteni a határérték-fogalmat, mint ahogyan az a klasszikus matematikában lehetséges. Világítsuk meg mindjárt a kérdést a klasszikus matematika /14,1/
lim x x →a
=a
egyenlőségével kapcsolatban. Legyen v valamely igen nagy értékű pozitív egész-szám. Akkor Akkor rendsz rendszerü erünk nk írásmó írásmódjá djával val kifej kifejezv ezvee nyi nyilv lvánv ánval aló, ó, hogy hogy a /14,1 /14,1// egyen egyenlős lősége égett a következőképp írhatjuk fel: /14,2/
lim x = a ± v ⋅ Ø ± v1 ⋅ Ø x→ a
2
±
...
± v n−1 ⋅ Øn ,
feltéve természetesen, hogy n -edfokú pontossággal számolunk. Maradjunk meg egyenlőre az elsőfokú pontosságnak a kereteinél. A /14,2/ formulából akkor is arra kell következtetnünk a /14,1/ alatti x→a közelítéssel kapcsolatban, hogy abban x értéke az 37
a − v⋅Ø < x < a + v⋅Ø
határok között között teljesen bizonytalan bizonytalan.. Sőt a /14,2/ formula alapján alapján azt is kimondhatjuk, kimondhatjuk, hogy a megközelítésben x -nek az értéke csakis a szélső határokat érheti el, vagyis, hogy x = a − v ⋅ Ø vagy pedig x = a + v ⋅ Ø , ámde ezeken a határokon belül x nem közelítheti meg jobban az a értéket, mert tökéletesebb megközelítésre a /14,1/ egyenlőség nem foglal magába semmiféle utasítást sem. Az a − v ⋅ Ø és a + v ⋅ Ø értékeket a klasszikus matematika nem képes megkülönböztetni egymástól. egymástól. Ez a két érték az x változó abszcissza-tengelyén abszcissza-tengelyén egy olyan „mikro-térközt” határol be kétoldalról, kétoldalról, amely mikro-térközről a klasszikus klasszikus matematikának nincs és nem is lehet tudomása, a maga zérusfokú pontossága mellett. Az intrazeriális matematika megvilágításában megvilágításában azonban a két szélső érték közötti a + v ⋅ Ø - ( a - v ⋅ Ø) = 2 ⋅ v ⋅ Ø
különbség – relatíve relatíve – óriási nagy térközt juttat kifejezésre, kifejezésre, tekintettel tekintettel v -nek az igen magasan felvehető értékére. Meg kell gondolnunk ezzel szemben, hogy az intrazeriális rendszer módot ad a fentinél sokkalta tökéletesebb megközelítésre is. Mert ha v -edfokú pontossággal számolunk, akkor az intrazeriális határértéknek határértéknek a definíciója : /14,3/
inz lim x x →a
=a±
Øv v
határokig történő megközelítést enged meg. Márpedig ha v valóban igen nagy értékű pozitív szám, akkor a Ø v / v törtnek az értéke még v-1 fokú pontosságnak az esetében is, tökéletesen elhanyagolható. A v szám pedig csaknem határtalanul nagy lehet. A /14,3/ alatti egyenlőség tehát voltaképpen azt mondja ki, hogy v-1 -edfokú pontosságnak a keretein belül: x valóban felveszi az a értéket, és nem marad közben olyan mikro-térköz, amelyben az x érték még változó és bizonytalan lehetne. A kétféle határérték-meghatározás közötti különbség – és annak következményei – meglepő megálla megállapítá pításokh sokhoz oz vezetne vezetnekk el. Egyútta Egyúttall azonban azonban le is egyszerű egyszerűsíti sítikk a határérté határértékszá kszámítá mításs gyakorlati megoldásait. Vegyük vizsgálat alá például a következő feladatot. Legyen magoldandó az alábbi példa, az intrazeriális határértékszámításnak az alkalmazásával:
=? . m ⋅ x − 1 1
/14,4/
inz lim
m→øo
m
Eljárá Eljárásun sunkk azonba azonbann abban abban áll, áll, hogy hogy m -nek -nek az értéké értékétt egyszerűen egyszerűen behelyettesítjük a megközelítést jelző nyílnak a hegye elé írt határozott értékkel, azaz øo -nel. Ilyenformán:
38
/14.5/
m1 inz lim m ⋅ x − 1 øo ⋅ x ø − øo = øo ⋅ (1 + Ø ⋅ ln x ) − øo = ln = m →øo
x
,
ha a /11,1/ képlettel, csupán elsőfokú pontossággal számolunk. A klas klassz szik ikus us mate matema mati tika ka is el tud tud jutn jutnii ugya ugyane nehh hhez ez a megh meghat atár ároz ozás ásho hoz, z, bár bár csak csak hosszadalmas és kerülő úton. Mint ismeretes ugyanis: m
x = e x , lim 1 + m→∞ m
ha pedig az ex függvényt nem határértékként fogjuk fel, akkor írhatjuk a következőképpen is: m
e
x
x = 1 + + ε , m
amikor is ε egy olyan értéket jelöl, amely m→∞ esetén eltűnik. Ennek az egyenlőségnek a közismert levezetés szerint végzett átalakítása során nyerjük, miszerint x
= m ⋅ (m e x − ε − 1 .
Másrészt azonban m
ex
ε − ε = m e x ⋅ (1 − ε ⋅ e −x ) + m e x ⋅ 1 − ⋅ e −x + ... , m
vagyis m⋅m e
x
− ε = m ⋅ m ex + η ,
amely képletből az η érték m→∞ esetén eltűnik. Ebből következik, hogy a megfelelő helyettesítéssel: m⋅
(
m
ex
−1 + η = x ,
ha pedig ebben az egyenlőségben ex helyett x -et, és x helyett ln x kifejezést írunk, nyerjük az alábbi egyenlőséget:
1
m ⋅ x m
−1 +η=ln x
,
majd ennek alapján a keresett határérték:
39
/14,6/
1 m lim m ⋅ x − 1 = ln x . m →øo
Meggyőződhetünk róla, hogy a klasszikus matematika által nyújtott megoldás /14,6/ teljesen egyezik a /14,5 / alatt meghatározott intrazeriális határértékkel. Az utóbbi levezetés azonban sokkal bonyolultabb volt, mint ahogyan eljutottunk ugyanehhez a megoldáshoz az intrazeriális rendszer gyakorlatával. A magasa magasabbf bbfokú okú ponto pontossá sságg keret keretein ein belül belül,, rendk rendkívü ívüli li módon módon leegys leegyszer zerűsí űsíthe thetj tjük ük a határért határértéksz ékszámít ámítási ási eljárását eljárását,, elsősorba elsősorbann azzal azzal a lépésse lépéssel,l, hogy a független változónak a helyé helyébe be egysze egyszerűe rűenn beh behely elyett ettesí esítjü tjükk ann annak ak az elérni elérni-kív -kívánt ánt érték értékét. ét. Magasabbfokú pontosság mellett ez valóban megengedhető lépés, a /14,3/ egyenlőségnek az értelmében. Ebből következik például, hogy felírhatjuk az alábbi intrazeriális egyenlőségeket: ax = an , = inz lim x →n
/14,7/
inz lim x n
/14,8/
inz lim x ln a
x →a
x →e
= inz lim eln x = a , x →a
és így tovább. Ugyanakkor meggyőződhetünk továbbá arról is, hogy a klasszikus matematika megfelelő határértékei nem egyenlők. Mert például elsőfokú pontosság mellett, /142/ alapján: /14,9/
lim x n
= ( a ± v ⋅ Ø) n ,
/14,10/
lim a x
= a n ±v⋅Ø ,
x→ a
x →n
amely értékek nemcsak egymással nem egyenlők, hanem a /14,7/ alatti meghatározással sem egyeznek meg, mihelyt csak elsőfokú pontossággal is számolunk.
15.§. Példa az intrazeriális határértékszámításra. határértékszámításra. A hatványo hatványozás zás műveleti műveleti törvénye törvényeinek inek megfele megfelelően lően,, nyil nyilvánv vánvalóa alóann felírhatj felírhatjuk uk az alábbi alábbi egyenlőséget: /15,1/
øo øo 2 2 x Ø ⋅ ⋅ + ⋅ x ⋅ Ø + ... . 1 2
(1 + x ⋅ Ø ) øo = 1 +
Azonnal belátható, hogy ha az így nyert sorban külön-külön minden egyes tagot zérusfokú pontosság mellett kiértékelünk, akkor a sor a következő alakot veszi fel: 1+
x 1!
+
x2 2!
+
x3 3!
+... .
40
Tudvalé Tudvalévő, vő, hogy ha ezt a sort Taylor-sor Taylor-sorként ként értelmez értelmezzük, zük, akkor összegze összegzett tt értéke az ex hatvánnyal egyenlő. Ebből következik tehát, hogy a /15,1/ alatti hatványnak az értéke, zérusfokú pontosság mellett: /15,2/
(1 + x ⋅ Ø ) øo = e x .
Kimondhatjuk ennélfogva, hogy a zérusfokú pontosság keretein belül kiértékelve: m
/15,3/
x øo inz lim 1 + = (1 + x ⋅ Ø ) = e x . m →øo m
Fenti meggondolásunk előbocsátása után, határozzuk meg most az alábbi határértéket, az intrazeriális rendszer felfogása szerint: 1
inz lim( 1 − n ) k = ? /15,4/
n→ 0 k → 0 n
→λ
k
Azonnal belátható, hogy mind az n, mind a k változó egyszerre nem közelítheti meg a konstáns Ø értéket, mert akkor az n/k = 1 ≠ λ eset valósulna meg. A /15,4/ feladatot tehát kétféleképpen kell megoldanunk. Tegyük fel először, hogy n→Ø. Akkor k= Ø/λ . Ilyenformán pedig
/15,5/
1
λ
k
Ø
inz lim ( 1 − n) = ( 1 − Ø) = ( 1 − Ø)
øo⋅ λ
=e
n→ Ø k → Ø/λ
-λ
,
ha tekintetbe vesszük a /15,2/ egyenlőséggel meghatározott hatvány-értéket. Tegyük fel továbbá másodsorban, hogy nem n, hanem k tart a határozott zérus értékhez: k→Ø. Akkor /15,4/ szerint: n = λ · Ø. Így tehát
/15,6/
1
1
k
Ø
øo
inz lim ( 1 − n ) = ( 1 − λ ⋅ Ø) = ( 1 − λ ⋅ Ø) = e n→ λ ⋅ Ø k→ Ø
41
−λ
,
ugyancsak a / 15,2/ egyenlőség alapján. Mindkét meghatározásunk egyenlő. Kimondhatjuk tehát, hogy a /15,4/ alatti feladatnak a megoldása: 1
inz lim( 1 − n ) k = e
−λ
n→ 0 k → 0 n
/15.7/
→λ
k
hozzáfűz hozzáfűzve ve természe természetese tesenn azt a kötelez kötelezőő megjegyz megjegyzésün ésünket ket,, hogy meghatá meghatározás rozásunk unk csupán csupán zérusfokú pontosságú, – miután mindkét mindkét esetben esetben a zérusfokúan zérusfokúan pontos /15,2/ /15,2/ egyenlőséggel egyenlőséggel operáltunk.
16.§. A hatványok integrálási szabályának általánosítása. Legyen meghatározandó a klasszikus matematika szerint felírt /16,1/
dx
∫ x = ∫ x
−1
⋅ dx
integrálnak az értéke. A klasszikus matematika felfogása szerint itt egy kivételes esettel találkozunk. találkozunk. A hatványok hatványok integrálására vonatkozó általános érvényű szabály ugyanis, amelynek az értelmében:
∫ x
m
⋅ dx =
x m +1 +C m +1
,
a jelen esetre nem alkalmaz alkalmazható ható,, mert ha mégis mégis alkalma alkalmazni zni kívánjuk kívánjuk,, akkor akkor a követke következő ző egyenlőséget nyerjük: /16,2/
∫
x
−1
⋅ dx =
x
0
0
+C ,
ebben a kifejezésben pedig egy olyan tört fordul elő, amelynek a nevezője zérus értékű. Az osztás tehát tilalmas! A /16,2/ törtnek az értéke ezért bizonytalannak és határozatlan értékűnek tekintendő a klasszikus matematika felfogásában. Az intrazeriális rendszernek az alkalmazása mellett azonban máris kiküszöbölhetjük a fenti kivételt a szabály alól. A zérusfokúan pontos /16,1/ kifejezést jogunkban áll átalakítani a magasfokú pontosságú, alábbi integrállá:
42
/16,3/
∫ x
ø -1
⋅ dx .
Alka Alkalm lmaz azzu zukk erre erre az álta általá láno nosí síto tott tt inte integr grál álás ásii szab szabál ályt yt.. Akko Akkor, r, ha csup csupán án első elsőfo fokú kú pontossággal számolunk is tovább: /16,4/
∫ x
ø-1
⋅ dx =
xø
+ C1 = øo ⋅ x ø + C1 = øo ⋅ (1 + Ø ⋅ ln x ) + C1 = øo + ln x + C1 ,
Ø
a /11 /11,1/ ,1/ egyen egyenlő lőség ség felha felhaszn sználá álása sa mell mellett ett.. Minth Minthogy ogy pedig pedig az int intraz razeri eriáli áliss matem matemati atikai kai rendszer rendszerben ben nyil nyilvánv vánvaló, aló, hogy a „határoz „határozott ott végtelen végtelen”” feltétl feltétlenül enül konstán konstánss számérté számértéknek knek tekintendő, azért a konstánsok összevonása mellett kimondhatjuk, miszerint C1
+ øo = C .
A megfelelő helyettesítéssel tehát: /16,5/
∫ x
ø -1
⋅ dx = ln
x +C
.
Zérusfokú pontossággal történő kiértékelés mellett ennélfogva: /16,6/
dx x
∫
= ln
x +C
.
Ehhez az eredményhez pedig a /16,4 / alatti levezetéssel jutottuk el, amelynek során a hatványok általános integrálási szabályát alkalmaztuk, nem fogadva el kivételes esetnek a feltételezését a
műveleti szabály alól.
IV. FEJEZET. MATEMATIKAI SZÁMTORZULÁS.
17.§. Kivételes esetek esetek a közönséges közönséges osztási műveletben. műveletben. Mielőtt rátérnénk a kivételes esetek kérdésére, mindenekelőtt gondoljuk meg a következőket. Tegyük fel, hogy magasfokú pontosság mellett fennáll valamely /17,1/
{
f f 1 [ f 2 ...f k ( x ) ]
} = ϕ( x )
egyenlőség. egyenlőség. Magától értetődik, hogy a /17,1/ formula, az x független független változónak változónak bármely értéke mellett, voltaképpen az
43
/17,2/
{
f f 1 [ f 2 ...f k ( x ) ]
} = ϕ( x )
érték-azonosságot juttatja kifejezésre. Magasfokú pontosság mellett nem lehetséges tehát , hogy x→a esetén az inz lim f f 1 [ f 2 ...f k ( x ) ] x →a
} = inz lim ϕ( x ) , → x
a
vagyis az alábbi helyettesítés után, az ilyen módon nyert /17,3/
{
f f 1 [ f 2 ...f k ( a ) ]
} = ϕ( a )
egyenlőségnek az egyik oldala oldala határozott, a másik oldala pedig határozatlan /bizonytalan/ /bizonytalan/
legyen.
Efféle kivételes esetnek a feltételezése egyértelmű volna az alapvető egyensúlytörvénynek a teljes megtagadásával. Márpedig a matematikának az egész rendszere /1.§./ éppen az alapvető egyensúlytörvényre és annak kihatásaira épül fel. Ha tehát ilyen kivételes eset – látszólag – mégis előáll, vagyis előfordul a matematikának a gyakorlatában, akkor nyilván magától értetődik, hogy egy efféle látszatnak az előidéző oka
csakis az illető kivételes esetnek a hiányos, tökéletlen értelmezése lehet, és semmi más.
Jelen megállításunknak a leszögezése után, vegyük vizsgálat alá a következő osztást. Ha feltesszük, hogy n pozitív egész szám, akkor közönséges osztási művelettel meghatározva nyilvánvalóan fennáll, miszerint: /17,4/
a n − b n a − b
= a n −1 + a n −2 ⋅ b + a n −3 ⋅ b 2 + ... + b n −1 ,
amely sorban a tagok száma n. Mármost, ha magasfokú pontosság mellett meghatározni kívánjuk az intrazeriális a n − b n inz lim b →a a − b
határért határértéket éket,, akkor – a 14.§. 14.§. -ban tárgyalt tárgyalt fejtegetés fejtegetésnek nek az értelmében értelmében – egyszerűen egyszerűen úgy járhatunk el, hogy b→a esetén a b változót közvetlenül az a értékkel helyettesítjük, /17,4/. Ebben az esetben az alábbi /17,5/
an a
− a n = n ⋅ a n −1 −a
alakú egyenlőséget nyerjük, amelynek bal oldalán egy értéktelenné vált számlálójú és nevezőjű törtkifejezés áll, a jobb oldala pedig egy pontosan meghatározott értéket képvisel. 44
Miután b = a értel értelméb mében en csupán csupán helye helyett ttesí esíté tést st végez végeztün tünk, k, és nem tarto tartott ttuk uk meg a határértékéhez határértékéhez közelítő kifejezésnek kifejezésnek az explicit explicit függvény-jellegét, függvény-jellegét, azért a klasszikus matematika a /17,5/ alatti törtkifejezést /amely tilalmas osztást foglal magában/ kimondottan határozatlan és bizonytalan értékű törtnek minősíti. Fentebb a /17,3/ egyenlőséggel kapcsolatban kijelentettük, hogy magasfokú pontosságnak a megkövetelése mellett, ilyen kivételes eset nem állhat fenn. Máris felmerül tehát a probléma: miként lehet ez a határozatlannak látszó törtkifejezés a / 17,5/ egyenlőségnek a jobb oldalán álló szorzattal egyenlő értékű? A kérdés boncolása messzemenő következtetésekhez vezet el. A klassz klassziku ikuss matem matemati atika ka nem tul tulaj ajdon donít ít fonto fontossá sságot got a probl problémá émának nak.. Nem ismer ismer oly olyan an eljárást, amellyel meghatározhatná az efféle típusú törtkifejezéseknek az értékét úgy, hogy a meghatározás egyértelmű legyen. Magát a /17,5/ egyenlőséget tehát inkább figyelemre sem méltatja, mert logikai pontatlanságot, sőt logikai abszurdumot lát benne. A magasfokú pontossággal kalkuláló intrazeriális matematikai felfogás azonban nem térhet il ilye yenn könnye könnyenn napire napirendr ndree a felme felmerül rülőő probl probléma éma felett felett.. Mert Mert ha a fenti fenti b = a szerinti behelye behelyette ttesíté sítést st valóban valóban a /14,3/ /14,3/ egyenlős egyenlőségne égnekk az értelméb értelmében en hajtott hajtottuk uk végre, végre, – ez pedig pedig kétsé kétségte gtele len, n, – akkor akkor a /17,4 /17,4// egyen egyenlő lőség ség semmi semmiese esetre tre sem sem bil bille lenhe nhete tett tt ki az egyen egyensúl súlyi yi helyzetéből, tehát meg kellett maradnia egyenlőségnek a /17,5/ alatti alakjában is. Márpedig minthogy ez utóbbi egyenlőségben a jobb oldalon álló szorzatnak pontosan meghatározott meghatározott értéke van, azért ugyanilyen értéke kell, hogy legyen benne a bal oldalon kialakult törtkifejezésnek is. Ha nem nem így így vol volna, na, akkor akkor máris máris a matema matemati tikai kai törvén törvények yek álta általán lános os érvén érvényes yesség ségét ét kelle kellene ne kétségbe vonnunk, – ezzel a feltevéssel pedig mélyen aláásnánk a matematikának – mint tudománynak – egész fennálló rendszerét. Mindenáron meg kell kísérelnünk tehát, hogy megtaláljuk megtaláljuk annak a kérdésnek a magyarázatát, miként lehet a teljesen értéktelenné vált számlálójú és nevezőjű törtnek olyan valóságos és hatá határo rozo zott tt érté értéke ke,, amel amelyy érté értéke kett sem sem a szám számlá láló lóba ban, n, sem sem a neve nevező zőbe benn lévő lévő tago tagokk nem nem határozhatnak meg a maguk fennálló helyzetében. A felmerülő problémának az egyetlen logikusan elfogadható megoldását tárgyaljuk meg a következő paragrafusban.
18.§. Különbségekben fellépő zeriálisan kicsiny tagok. Ha abból az egyszerű meggondolásból meggondolásból indulunk ki, hogy zeriálisan kicsiny, vagyis meg-nemnyilvánuló r és s értékeknek a feltételezése esetén nyilvánvalóan fennáll, miszerint u − u + r r = v −v +s s
,
amely r/s hányados valamely reálisan megnyilvánuló szám is lehet, (miután zeriálisan kicsiny értékeknek az egymáshoz való viszonyítása nem szükségképpen ugyancsak zeriálisan kicsiny értéket adhat hányadosul) akkor önként felmerül máris az a további feltevés, hogy a /17,5/ alatti an a
− a n = n ⋅ a n −1 −a
45
egyenlőségnek efféle zeriálisan kicsiny, meg nem nyilvánuló értékeket kell tartalmaznia, az alábbi /18,1/
an a
− a n + r = r = ⋅ n −1 n a −a +s s
értelemben, mert különben a /17,5/ egyenlőség valóban értelmetlen formula volna csupán. Gondoljuk meg, hogy a /17,4/ egyenlőséget a klasszikus matematika műveleti törvényeinek alkalmazásával állítottuk elő. A belőle leszármaztatott /17,5/ egyenlőség tehát ugyancsak a klasszikus matematika pontossága mellett áll fenn, ugyanúgy, mint az az egyenlőség, amelyből származo származott. tt. Ilyen Ilyen értelem értelemben ben pedig, pedig, zérusfok zérusfokúú pontossá pontossággal ggal végrehaj végrehajtott tott kiérték kiértékelés elés esetén esetén /vagy /vagyis is a klassz klassziku ikuss matema matematik tikaa saját sajátos os ponto pontossá ssága ga melle mellett tt// a /18,1 /18,1// egyenl egyenlősé őségg valób valóban an megegyezik a /17,5/ alattival. A /18,1/ formula tehát semmiféle ellentmondásban nem áll a /17,5/ egyenlőséggel. Ennélfogva pedig a /18,1/ képletbeli feltevésünk megengedett feltevés és valóban helytálló lehet. Azonnal felmerül azonban a következő, újabb probléma. Miként és milyen törvényszerűség alapj alapján án jutot jutotta takk bele bele a törtb törtbee az r és s meg-nem-ny meg-nem-nyilv ilvánul ánulóó értékek, értékek, amelyek amelyek – bár ott rejtőzhettek ugyan a /17,4/ alatti törtkifejezésben is, – nyilvánvalóan nem tartoztak hozzá szükségszerűen az eredeti osztási művelet osztandójához és osztójához? Ha a -t és n -et változónak tekintjük a /18,1/ formulában, akkor n ⋅ a n −1 szorzat: mindkét változónak változónak a függvényét képezi. Az r és s zeriálisan zeriálisan kicsiny értékeknek az r/s viszonya pedig az n −1 függvénnyel egyenlő. Ennélfogva kimondhatjuk, hogy r és s is valamely függvényét n ⋅a kell, hogy képezze az a, n változóknak. A /18,1/ alatti hipotézisünket mindaddig fenntartjuk, amíg nem kerül ellentmondásba a tapasztalattal. A továbbiakban viszont be fogjuk bizonyítani, hogy azt a tapasztalat minden tekintetben igazolja. Bizonyos Bizonyosra ra vehetjük vehetjük tehát, tehát, hogy r éppen úgy, mint s is, olyan számok, amelyek nem kerülhet kerülhettek tek be „véletle „véletlenül” nül” a /18,1/ /18,1/ alatt alatt felírt felírt egyenlős egyenlőségbe égbe.. Mert abban abban olyan olyan határozo határozott tt szerepet töltenek be, amelyet mind r -nek, mind s -nek az értéke ki kell, hogy elégítsen. Honnan származhattak azonban ezek az értékek és miért? Első tekintetre úgy ítélhetnők meg a helyzetet, hogy az a számhoz már eredetileg hozzátársult volt valamel valamelyy zeriáli zeriálisan san kicsiny kicsiny ε érték, érték, vagyis vagyis hogy hogy a helyett helyett az a + ε összegge összeggell kell szám számol olnu nunk nk.. Ez az elgo elgond ndol olás ás azon azonba bann való valójá jába bann mi mitt sem sem ér. ér. Mert Mert,, ha /17, /17,5/ 5/ alat alatti ti törtk törtkif ifej ejezé ezésbe sben, n, a száml számlál álóba óbann és a nevez nevezőbe őben, n, mi mind nd a kiseb kisebbít bítend endőő tagokb tagokban an,, mi mind nd a kivonandó tagokban az a számnak a helyébe a + ε összeget írunk, akkor egy lépéssel sem jutottunk előbbre a probléma megoldása terén. Ahhoz pedig nyilvánvalóan nincs jogunk, hogy mind a számlálóban, mind a nevezőben, csak az egyik a számot számot helyett helyettesít esítsük sük az a + ε összeggel, a másik a számot pedig változatlanul hagyjuk, feltételezve, hogy az utóbbiakhoz semmiféle zeriálisan kicsiny érték sem társult volt hozzá előzetesen. Belátható, hogy a problémát másként kell megoldanunk. Így jutunk el a következő kérdéshez. Bizonyos Bizonyos,, hogy a egyenlő a -val. -val. Ha tehát tehát azt azt kérdez kérdezzük zük,, hogy hogy mi kül különb önböz öztet tetii meg n n egymástó egymástóll a kisebbít kisebbítendő endő a hatványt hatványt a kivonand kivonandóó a hatványt hatványtól ól a tört számlálójáb számlálójában an és nevezőjében /ahol n = 1/, akkor a válaszunk egyedül az lehet, hogy semmi egyéb, csak a végrehajtott végrehajtott kivonási-műveletben kivonási-műveletben betöltött betöltött szerepük . Ha semmiféle más megkülönböztetési lehetőség lehetőség nem áll fenn az illető hatványok között, akkor logikusan máris azt kell feltételeznünk, feltételeznünk, hogy az r és s értékek egyrészt maguknak az illető hatványoknak, másrészt pedig a hatványok
által betöltött szerepnek függvényei. függvényei.
46
Ez a gondolatmenet viszont oda vezet el, hogy fel kell tennünk, miszerint a ténylegesen végrehajtott a n − a n és a − a kivonási műveletek mindkét esetben a kivonandó-tagnak, vagy a kisebbít kisebbítendő endő-tag -tagnak, nak, valamely valamely zeriális zeriálisan an csekély csekély mértékű mértékű értéktorzulását eredményezik, mégpe mégpedi digg szüksé szükségsz gszerű erűen en és törvén törvénysz yszerű erűen. en. Az r és az s érté értéke kekk pedi pedigg enne ennekk az értéktorzulásnak értéktorzulásnak a származékai származékai a törtben. Feltevésünk a fizika elméletére támaszkodik. Hasonló természetű értéktorzulásokkal ugyanis a relativitás elméletében is találkozunk. Valamely hosszúság-méret vagy időtartam-méret éppen olyan matematikai matematikai mennyiség, mint akár az an hatvány. A relativitás elmélete elmélete arra mutat rá, hogy az efféle méretek – speciális esetekben – valóban eltorzulhatnak, értékváltozást szenvedhetnek, az esem esemén énye yekb kben en betö betölt ltöt öttt szer szerep epük ük szer szerin int. t. Miér Miértt ne tehe tehetn tnők ők fel fel tehá tehát, t, hogy hogy elvont matematikai mennyiségeket is érinthet és befolyásolhat a relativitás elvének valamely efféle törvényszerűsége? Problémánk még így is meglehetősen bonyolult marad. Mert bár feltehetjük, hogy ténylegesen végrehaj végrehajtott tott kivonási kivonási művelete műveletekk bizonyos bizonyos értéktorz értéktorzulás ulástt eredmény eredményezne eznekk a különbsé különbségnek gnek a tagjaiban, egyelőre még azt sem tudjuk eldönteni, hogy végeredményben a kisebbítendő, vagy pedig a kivonandó tagnak az értéktorzulásával kell-e számolnunk. Ha azonban meggondoljuk, hogy hogy a kise kisebb bbít íten endő dő tagn tagnak ak egy egy eset esetle lege gess δ érté értékk kkel el való való megnövekedése tökéletesen egyértelmű egyértelmű a kivonandó tagnak ugyanilyen értékű csökkenésével, akkor ez az utóbbi kérdés már el is veszít veszítii a fontos fontossá ságát gát.. Az a körül körülmén ményy tehát tehát,, hogy hogy melyi melyikk tagna tagnakk az értékt értéktorz orzulá ulását sát tételezzük fel, pusztán megállapodás kérdése lehet. Ha viszont abból indulunk ki, hogy a kivonási műveletekben a kisebbítendő szám passzív, a kivonandó szám pedig aktív szerepet tölt be, akkor ésszerűen a kivonandó számnak a torzulását kell elsősorban feltételeznünk. Márcsak azért is, mert – ha a tényleges kivonási műveletnek az operátorát P -vel jelöljük – nyilvánvalóan fennáll, miszerint /18,2/
Px
= −x = Ψ(x ) ,
amely amely állítás állításunk unk vil világos ágosan an kimondja kimondja,, hogy a ténylege ténylegesen sen végrehajt végrehajtott ott kivonási kivonási műveletb műveletben en kivonandó x érték amúgy is értékváltozást szenved a Ψ függvénynek az értelmében. Miért ne tehet tehetnők nők fel fel tehát tehát,, hogy hogy il ilyy értel értelmű mű érték értékvál változ tozás ás bizon bizonyos yos zeriá zeriáli lisan san kicsi kicsiny ny mérté mértékű kű értéktorzulással is együttjárhat? Lehetséges, Lehetséges, hogy a magasabbfokú pontossággal értelmezett értelmezett Ψ függvény ezeknek a zeriálisanzeriálisancsekély értékváltozásoknak a feltételeit is magába foglalja. A múltban ezt a függvényt csak zérus zérusfok fokúú pontos pontosság ság mell mellett ett értel értelmez mezte te a klassz klassziku ikuss matema matemati tika. ka. Magas Magasfok fokúú ponto pontossá sságú gú meghatározását pedig még nem ismerjük. Mindem Mindemee meggon meggondol doláso ásokna knakk a tekin tekintet tetbe be vétel vételév ével, el, felt feltess esszü zükk tehát tehát,, hogy hogy a /17,5 /17,5// törtkife törtkifejezé jezésnek snek mindkét mindkét kivonand kivonandó-tag ó-tagja ja egy-egy egy-egy zeriáli zeriálisan san csekély csekély,, olyan olyan értékvál értékváltozá tozást st szenved a végrehajtott kivonási művelet folyamán, amelyet a klasszikus matematika kimutatni nem képes, de amely értékváltozás implicite ott szerepel a /17,5/ egyenlőségnek a bal oldalán álló törtkifejezésben. Belátható, hogy a /18,1/ alatt a törtnek a számlálója független a nevezőjétől. Feltevésünk szerint ennélfogva az r érték a tényleges kivonási műveletnek, valamint az a és n változóknak változóknak a függvénye: r = r ( P, a, n ) ; másrészt viszont az s érték a tényleges kivonási műveletnek és az a vált változó ozóna nakk a függvé függvénye nye csupán csupán:: s =s( P, a ) . A szám számlá láló lóna nakk a neve nevező zőtő tőll való való telj teljes es függetle függetlenség nségee folytán folytán nincs nincs okunk okunk feltéte feltételezn leznii a kétféle kétféle függvény függvénynek nek az egymástó egymástóll eltérő eltérő jellegét. A helyzetet úgy kell tekintenünk tehát, miszerint
47
(
r = F P, a , n
s
),
= F( P, a ) .
Legyen továbbá 1−
r an
1−
s a
= ϕ(a n ) , = ϕ( a )
amikor is
ϕ(a n ) = 1 − F( P, na , n ) , a
ϕ( a ) = 1 − F( P, a ) . a
Feltevésünk alapján, ebben az esetben a /18,1 / egyenlőséget a következő alakra hozhatjuk: /18,3/
− a n ⋅ ϕ( a n ) = n ⋅ a n −1 . a − a ⋅ ϕ( a )
an
Ebből az egyenlőségből a φ függvény már könnyen meghatározható /levezetését lásd a Függelékben./ Elsőfokú pontosság mellett : /18,4/
ϕ( x ) =1 −β⋅ ln x ,
amely kifejezésben β valamely zeriálisan kicsiny, de egyszer s mindenkorra meghatározott, konstáns értéket kell, hogy képviseljen. Magasfokú pontosságnak a megkövetelése esetén viszont: /18,5/
ϕ( x ) = x −β .
Elégedjünk meg egyenlőre az elsőfokú pontossággal és végezzünk helyettesítést /18,4/ szerint a /18,3/ egyenlőségben. Ebben az esetben a
− a n ⋅ ϕ( a n ) = a n − a n ⋅ (1 − β ⋅ ln a n ) = β ⋅ a n ⋅ ln a n = β ⋅ a n ⋅ n ⋅ ln a = ⋅ n −1 n a , β ⋅ a ⋅ ln a β ⋅ a ⋅ ln a a − a ⋅ ϕ( a ) a − a ⋅ (1 − β ⋅ ln a )
n
48
az így nyert hányados tehát valóban kielégíti a /18,1/ alatti egyenlőséget. Minthogy pedig /18,4/ -ből a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett ϕ( x ) =1 ,
azért azért kimondha kimondhatju tjuk, k, hogy a fenti fenti megoldás megoldásaink aink alapján alapján meghatá meghatározot rozottt φ(x) tényezőn tényezőnek ek a bevezetése a legcs legcseké ekélye lyebb bb ellent ellentmon mondás dásban ban sem sem áll a klass klasszik zikus us matema matematik tikána ánakk a
rendszerével rendszerével és felfogásával.
19.§. A számtorzulási tényező. Megjegyezni kívánjuk e helyütt, hogy az /19,1/
A
=inz lim x→ a
F( x ) −F(a ) f ( x ) −f (a )
=
F(a ) −F(a ) f (a ) −f (a )
alakú határérték-kifejezéseket a továbbiakban mindenütt, egyszerűen A-típusú határértékeknek határértékeknek fogjuk nevezni. Az alábbi /19,2/
B = inz lim[ F( x ) − Fa ] = F(a )− F(a ) x →a
különbségeket pedig B -típusú különbségeknek különbségeknek mondjuk . Magától értetődik, hagy az A -típusú határértékeket mindenkor két efféle B -típusú különbségnek a viszonya kell, hogy alkossa. A /14,3/ alatti egyenlőségnek az értelmében, az intrazeriális limeszeket azzal az eljárással képez képezzük zük a gyakor gyakorla latb tban, an, amely amely szerin szerintt a függet függetle lenn vált változó ozóna nakk az elérn elérni-k i-kívá ívánt nt érték értékét ét egyszerűen behelyettesítjük a független változónak a helyébe. A fenti B -típusú különbségek határértékeinek a meghatározásakor ennélfogva mindig olyan esetekkel állunk szemben, amelyekben a kisebbítendő érték és a kivonandó egymással éppen megegyezik. Megállapodhatunk abban, hogy a ténylegesen végrehajtott kivonásnak a műveletét egy olyan vízsz vízszint intes es vonal vonalla lall jelö jelölj ljük, ük, amely amelyet et a tényl ténylege egesen sen kivon kivonan andó dó szám szám fölött fölött helye helyezün zünkk el, el, mégp mégped edig ig olym olymód ódon on,, hogy hogy a vona vonall a mű műve vele leti ti /m /mín ínus usz/ z/ jel jel fölé fölé is kite kiterj rjed ed.. Vilá Világo goss megkülönböztetésül alkalmazzuk ezt a jelölést, a csupán tényleges-összeadandóként szereplő negatív értékekkel szemben. A továbbiakban továbbiakban mindenütt ezt a megkülönböztető jelölést kívánjuk alkalmazni. Ennek a jelölésmódnak a bevezetésével tehát írhatjuk, hogy /19,3/
( − a ) = inz lim (a − a ) = a − a → →
inz lim x n x
a
n
x
x
n
n
n
n
;
vagyis kifejezésre jutatva azt a körülményt, hogy a különbségben egy ténylegesen végrehajtott kivonás áll előttünk, az így nyert határértéket a 18. §. –ban tárgyalt hipotézisünk alapján vizsgáljuk tovább. 49
Kifejtettük ott azt az elméletünket, amely szerint a ténylegesen kivonandó szám mindenkor bizonyo bizonyoss meghatár meghatározot ozott,t, de zeriáli zeriálisan san kicsiny kicsiny értéktor értéktorzulá zulást st szenved, szenved, amely amely torzulá torzulásnak snak a mértékét a kivonandó mellé szorzótényezőként rendelt φ(x) függvény határozza meg, amelyben x a kivonandó számot jelenti. A /19,3/ egyenlőséggel egyenlőséggel kapcsolatban, /18,4/ vagy /18,5/ szerint, írhatjuk tehát, hogy elsőfokú pontossággal: /19,4/
an − an
= a n − a n ⋅ ϕ(a n ) = a n − a n ⋅ (1 − β ⋅ ln a n ) = β ⋅ n ⋅ a n ⋅ ln a ;
magasfokú pontosság mellett pedig /19,5/
an − an
−β = a n − a n ⋅ ϕ(a n ) = a n − a n ⋅ (a n ) .
Amennyiben a 18.§. –ban tárgyalt feltevéseink valóban helytállóak, akkor nyilvánvaló, hogy a /19,3/ alatti intrazeriális limeszek nem lehetnek teljesen értéktelenek, ha zérusnál magasabbfokú magasabbfokú pontossággal határozzuk meg a határértékeket. Vizsgáljunk meg mindjárt egy idevágó példát a gyakorlatban. Legyen meghatározandó, fenti feltevéseink alapján, a következő határérték:
− a bc a bc − a bc a bc − a bc ⋅ ϕ( a bc ) a bc − a bc ⋅ (1 − β ⋅ ln a bc ) = c c = c c = c c = c c x →c ( ) ( ) −ac − ⋅ ϕ − ⋅ − β ⋅ a a a a a 1 ln a a −a bc β ⋅ a ⋅ bc ⋅ ln a = = b ⋅ a ( b −1)⋅c , b β ⋅ a ⋅ c ⋅ ln a
inz lim
/19,6/
a bx ax
amely meghatározáshoz úgy jutottunk el, hogy elsőfokú pontosság mellett, a /18,4/ szerinti helyettesítést alkalmaztuk a levezetésben. Vegy Vegyük ük azut azután án vizs vizsgá gála latt alá alá ugya ugyane nezt zt a hatá határé rért rték éket et a klas klassz szik ikus us mate matema mati tiká kána nakk a szempontjából, vagyis a megoldást a L’Hospital-féle tétellel megközelítve. Akkor bx bc − a bc lim (a − a ) ' lim a bx ⋅ b ⋅ ln a b a ( b−1)⋅c = x→c x c = x→c x = ⋅ , x c (a − a ) ' a −a a ⋅ ln a bx
//19,7/
lim x →c
a
amik amikor or is arró arróll győz győződ ődhe hetü tünk nk meg, meg, hogy hogy ez utób utóbbi bi megh meghat atár ároz ozás ásun unkk az intr intraz azer eriá iáli liss számtorzulási-elv szerint nyert /19,6/ alatti határértékkel teljesen megegyezik. Vizsgálj Vizsgáljuk uk meg továbbá, továbbá, a követke következő ző példában példában,, egészen egészen más természe természeti ti függvény függvényekne eknek k valamely, ugyancsak A -típusú határértékét. Legyen a feladat és annak megoldása az alábbi intrazeriális levezetés:
50
inz lim x →α
/19,8/
=
tgx − tgα cot cot gx − cot cot gα
=
tgα− tgα cot gα− cot cot gα
tgα − tgα ⋅ (1 − β ⋅ ln tgα) cot gα − cot cot gα ⋅ (1 − β ⋅ ln cot gα)
=−
β ⋅ tgα ⋅ ln tgα = −tg 2α β ⋅ cot gα ⋅ ln tgα
=
=
tgα − tgα ⋅ ϕ( tgα) cot gα − cot gα ⋅ ϕ( cot cot gα)
=
β ⋅ tgα ⋅ ln tgα = cot gα β ⋅ cot gα ⋅ ln cot
.
Majd oldjuk meg ezt a feladatot a klasszikus matematika felfogásában, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával az alábbiakban:
/19,9/ .
1 2 2 ( tgx − tgα ) ' tgx − tgα sin x cos x 2 = = = − = − lim lim lim lim tg α 2 x →α cot gx − cot gα x→α ( cot gx − cot gα ) ' x →α − 1 x →α cos x sin 2 x
A kétféle meghatározás ismét megegyezik. A fenti példákból nyilvánvalóan kitűnik, hogy az intrazeriális elv szerint nyert meghatározás minden esetben egyező eredményhez vezetett. Kitűnik továbbá az a tény is, hogy a β értéknek egy olyan, zeriálisan kicsiny, meghatározott állandónak kell lennie, amely az A -típusú függvények megoldását mindenkor kielégíti. Ez a szám voltaképpen csak azért merül fel a tényleges kivonások esetében, hogy a /18,4/, illetőleg a / 18,5/ alatti φ(x) függvényben – ha azt sorbafejtjük – az első tagnak a kivételével, annak valamennyi többi tagját zeriálisan-kicsiny értékűvé tegye. minnt már már A számto számtorz rzulá ulás, s, helyes helyeseb ebben ben a kivona kivonandó ndó tagna tagnakk az érték értéktor torzul zulása ása – mi megál megálla lapít pított ottuk uk az előző előző paragr paragrafu afusba sbann – mind minden en tény tényle lege gess kivo kivoná nási si műve művele letn tnek ek a
végrehajtásakor, végrehajtásakor, szükségszerűen és automatikusan végbemegy a művelet folyamán, a /18,3/ formulában foglalt törvényszerűség törvényszerűség szerint.
A zeriálisan kicsiny kicsiny β értékű konstáns tehát tehát ennek az általános általános érvényű törvényszerűségnek törvényszerűségnek az értelmében, automatikusan kerül bele a B -típusú különbségnek a magasabbfokú magasabbfokú pontosságú meghatározásába. Ez a körülmény nyújt módot és lehetőséget arra, hogy a határozott zérusnak, vagyis Ø –nak a valóságos értékét definiáljuk. A határozott zérusnak az értéke véges számok segítségével nem feje fejezhe zhető tő ki. ki. Jogun Jogunkb kban an áll áll azonba azonbann a øo¸-1 = Ø egységge egységgell jell jellemze emzett tt számszi számszinte ntenn olyan olyan értelemben rögzítenünk a Ø egységnek az egyszer s mindenkorra érvényes értékét, ahogyan kívánjuk. Jogunkban áll tehát megállapodásszerűen kimondanunk, hogy a tényleges kivonási műveletnek a végrehajtásakor törvényszerűen és automatikusan felmerülő β értéket tekintjük rendszerünkben rendszerünkben a határozott zérus mindenkori állandó értékének: /19,10/
β =Ø .
A fenti levezetéseinkben alkalmazott φ(x) függvényt pedig számtorzulási tényezőnek fogjuk nevezni a továbbiakban, az egyszerűbb és félreérthetetlen Hx kifejezéssel jelölve azt. Újonnan
51
bevezetett jelölésünk értelmében következik tehát a /18,5/ formulából, miszerint /19,10/ -et tekintetbe véve: /19,11/
Hx
= x −ø = e −ø⋅lnx
határ határozz ozzaa meg a számt számtorz orzulá ulási si tényez tényezőne őnekk a telj teljes es intra intraze zeriá riáli liss pontos pontossá ságga ggall kifej kifejeze ezett tt mindenko mindenkori ri értékét, értékét, ha egyenlős egyenlőségün égünkben kben x azt azt a tényl ténylege egesen sen kiv kivona onandó ndó értéke értékett jelen jelenti, ti, amelyhez a Hx számtorzulási tényező törvényszerűen és automatikusan hozzátársul a ténylegesen végrehajtott kivonási műveletnek a folyamán. Ha P –vel jelöljük a tényleges kivonási műveletnek az operátorát, akkor a számtorzulási tényezőnek a szerepét a következőképpen értelmezzük tehát: /19,12/
Px
= − x = −x ⋅ H x = −x 1−ø = −x ⋅ e −ø⋅lnx .
Ugyanebben az értelemben: a + Pa
= a − a = a − a ⋅ H a = a − a1−ø
egyenlőségünk határozza meg a B -típusú különbségeket. Ebből logikusan következik máris az alábbi megállapítás: b + Pa
= b− a = b − a ⋅ Ha = b − a1−ø ,
amely egyenlőség nyilvánvalóan kimondja, miszerint a számtorzulás nemcsak a B -típusú
különbségekben, különbségekben, hanem minden ténylegesen végrehajtott kivonási műveletben végbemegy. Természetes viszont, hogy a b ≠ a esetében, ha zérusfokú pontossággal számolunk, a véges
számé számérté rtékek kek mell mellett ett a számto számtorzu rzulá láss folyt folytán án fellé fellépő pő zeriá zeriáli lisan san-ki -kicsi csiny ny érték értékek ek mi mindi ndigg elhanyagolhatók.
20.§. Tényleges és nem-tényleges műveletek. Valamel Valamelyy elvégzen elvégzendő dő matemati matematikai kai feladat feladatnak nak az első képletbe képletbe foglalá foglalását sát megelőző megelőzően: en: a feladatnak a legszigorúbb realitással megfogalmazott szövegében előforduló és abban szerepet játszó műveleteket nevezzük tényleges műveleteknek. Nyilvánvaló továbbá, hogy – elvileg – a feladatban foglalt és előírt műveleteket voltaképpen már akkor végrehajtjuk, végrehajtjuk, illetőleg éppen akkor hajtjuk végre, amikor első ízben képletbe foglaljuk azokat. Az így nyert képlet az elvileg juttatja atja kifejezé kifejezésre. sre. A elvileg már elvégzet elvégzettt művelete műveleteket ket jutt megszerkesztett /felállított/első képlet tetszés szerint átrendezhető és az egyensúlytörvénynek a megsérté megsértése se nélkül nélkül akárhány akárhányszor szor és akármil akármilyen yen módon módon átalakí átalakíthat tható. ó. Az első képletet képletet addig addig rendezhetjük és alakíthatjuk, amíg csak egy olyan formulát nem nyerünk, amely már világosan kifejezi számunkra a feladatnak a keresett megoldását. Az átrendezéssel és átalakítással azonban a feladatban foglalt és elvileg már végre is hajtott művel művelete etekne knekk az eredmé eredménye nyein in,, il illet letől őleg eg az eredmé eredménye nyekne knekk a helyes helyesség ségén én,, már már mit sem
52
vált változt oztat athat hatunk unk.. Ezek Ezek a tov tovább ábbii – átren átrendez dezési ési és átala átalakít kítási ási – művel művelet etek ek tehát tehát másfajta műveletek, mint azok, amelyek az eredeti feladatban foglaltatnak benne. Az ilyen átrendezési és átalakítási műveleteket nevezzük nem-tényleges műveleteknek. Minden tényleges kivonási művelet alkalmával, az intrazeriális matematika megállapításai szerint, a kivonandó tagnak értéktorzulást kell szenvednie. Azonnal belátható viszont, hogy ha az átrendezések átrendezések és átalakítások átalakítások során eszközölt eszközölt műveletek műveletek ugyanolyan ugyanolyan jellegű jellegű műveletek volnának, mint amilyeneket a feladat tartalmaz, akkor az első képlet átrendezésének, illetve minden egyes átalakításnak az alkalmával, valahányszor újabb és újabb kivonásokat hajtunk végre közben, mindig új és új értéktorzulásoknak értéktorzulásoknak kellene végbemenniök végbemenniök a kivonandó tagokkal tagokkal kapcsolatban. kapcsolatban. Ezek a további értékváltozások azonban egyrészt megbontanák az egyenlőségek egyensúlyát, másrészt pedig teljes bizonytalanságot vinnének bele a számításokba. Fel kell tennünk és ki kell mondanunk tehát, hogy csakis a feladatban foglalt műveleteket
szabad és kell tényleges műveleteknek minősítenünk, – ámde az átrendezések műveletei sohasem lehetnek ténylegesek.
Kijelentésünk egyaránt vonatkozik az összeadási, kivonási, szorzási, osztási, hatványozási és integrálási műveletekre. A gyökvonás sohasem lehet tényleges művelet, mert csupán annak a megfelelő számnak a puszta keresésében áll, amely számnak a gyök-kitevő szerinti hatványa a gyök alatti számmal egyenlő. A logaritmálás és a differenciálás – hasonlóképpen – pusztán keresési műveletek, ennélfogva ezek sem lehetnek ténylegesnek minősíthetők. Az össz összea eadá dási si mű műve vele lett ttel el nem nem kell kell külö különn fogl foglal alko kozn znun unk, k, mert mert – mi mint nt fent fenteb ebbb már már megállapítottuk megállapítottuk – csak a tényleges kivonásnak az esetében merül fel értéktorzulás. A többszörös összeadási, összeadási, vagyis a szorzási és a hatványozási hatványozási műveleteket is figyelmen kívül hagyhatjuk hagyhatjuk tehát, éppúgy, mint az integrálást is. Vegyük vizsgálat alá ennélfogva mindjárt az a – b formulát. Belátható, hogy már a feladatnak a megfogalmazásakor is meg kell különböztetnünk két számnak a puszta elvi összemérését összemérését egyik számnak a másikból való kivonásától. Két szám elvi összemérésének összemérésének a fogalmán mindössze annak a körülménynek a megállapítását megállapítását értjük, hogy két szám /mennyiség/ közül az egyik mennyivel nagyobb a másiknál, a jelen pill pillana anatba tban. n. Az effél effélee elvi elvi össze összemér mérés és még inkom inkomme menzu nzuráb rábil ilis is mennyi mennyiség ségek ek közöt közöttt is jelképezhető. Egyik számnak /mennyiségnek/ a másikból való tényleges kivonása viszont egyértelmű a jelen pillanatot megelőző időben még csonkítatlanul fennálló kisebbítendő számnak a művelet végrehajtása során eszközölt megcsonkításával, vagy megszüntetésével, megszüntetésével, mindenkor a kivonandó tag értékétől függően. Adott a és b számnak az elvi összemérését – a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett – ugyanazzal az a – b formulával szokás kifejezni, mint a b számnak az a –ból történő tényl ténylege egess kivon kivonásá ását,t, amely amely vol voltak taképp éppen en valame valamely ly végre végrehaj hajtot tottt értékérték-csö csökke kkenté ntést, st, érték érték-eltávolítást jelent a formulából. Az intrazeriális rendszerben viszont az elvi összemérésnek a
műveletét sohasem szabad összetévesztenünk a tényleges kivonással, mert a két művelet nem azonos egymással . Belátható azonban ugyanakkor, hogy a nem-tényleges kivonás és az
elvi elvi össz összem emér érés ésii mű műve vele lett közö között tt semm semmif ifél élee külö különb nbsé ségg sem sem áll áll fenn fenn,, a mate matema mati tika ka gyakorlatának a szempontjából nézve. Ismételten leszögezzük tehát e helyütt is azt a tételt, hogy számtorzulás csupán a tényleges kivonási műveleteknek az alkalmával lép fel, ott azonban szükségszerűen és okvetlenül fellép. Vegyük vizsgálat alá ezekután az osztási műveletet.
53
Az a : b vagy a/b formulákk formulákkal al kifejeze kifejezett tt osztási osztási művelet művelet,, magától magától értetődő értetődően, en, csak gyakorlatilag – vagyis csak az átrendezések során végbevitt műveleteket illetően – egyezik meg az ”ismételten végrehajtott kivonásnak” a megvalósításával. A valóságban – vagyis a feladatban az a : b osztás nem tartalmaz és nem rejt magában tényleges kivonási műveleteket, hanem mindössze azt a q számot /hányadost/ határozza meg, amely kifejezi azt a jelen pillanatban fennálló körülményt, hogy az a szám hányszorta nagyobb a b számnál. Az osztás, vagyis a tört: egyszerű viszonyszámnak a meghatározása csupán. Még a tényleges osztás sem kapcsolatos tehát a kivonásnak a műveletével a feladatban. A valamely valamely feladat alapján már felírt a : b képletet viszont átrendezhetjük olyképpen, hogy a –ból annyiszor kivonjuk – persze: nem ténylegesen ! – a b értéket, ahányszor csak lehetséges az. A nem-ténylegesen nem-ténylegesen végrehajtott kivonások száma adja meg a q hányadost, hányadost, ha pedig a nem fogy el, nem tűnik el teljesen, akkor m maradékkal is kell számolnunk. Az m/b tört azonban ismét csak egy viszonyszámot juttat kifejezésre, nem pedig tényleges kivonást. Sem a tényleges, sem a nem-tényleges osztási műveletben nem szerepelhet ennélfogva a számtorzulási tényező, vagyis az osztásban nem léphet fel értéktorzulás. Mint Mint már mondot mondottu tuk, k, a matem matemati atikai kai felad feladat atban ban,, il ille letől tőleg eg a fela feladat dat megfog megfogal almaz mazott ott szövegében szerepet játszó műveletek mindenkor a legszigorúbb realitással, a valóságnak
megfelelően értelmezendők. értelmezendők.
Ha van közöttük kivonási művelet, akkor a feladatnak a képletbe-foglalásakor, képletbe-foglalásakor, vagyis az első képletne képletnekk a megszerk megszerkeszt esztések ésekor, or, – mint minthogy hogy a feladat feladatban ban minden minden művelet művelet csak tényleges tényleges művelet lehet, – minden kivonandó tag mellett fel kell tüntetnünk a természetszerűleg
hozzátársuló számtorzulási számtorzulási tényezőt t ényezőt is.
A már megszerkesztett képletnek a további átrendezése és átalakítása folyamán azonban újabb számtorzulási tényezőket bejelölnünk már nem szabad! Az átrendezés során felmerülő és szerepet játszó összes műveletek ugyanis már csak elméleti, vagyis nem-tényleges műveletek lehetnek, amelyek nem érintik magát a feladatot és nem is foglaltatnak annak szövegében. Az egyenlőségbe, vagy egyéb képletbe eredetileg bejelölt számtorzulási tényezőket továbbra is figyelembe kell vennünk, mindenkor a megkívánt pontossági foknak a keretein belül. Világítsuk meg két egyszerű példával is a kérdést. 1. Feladatunk szerint legyen maghatározandó, hogy ha a értékéből elveszünk b értéket, mekkora értéket kell hozzáadnunk a visszamaradt visszamaradt különbséghez, hogy az így nyert összeg c –vel legyen egyenlő? Minth Minthogy ogy a fela feladat datban ban min minden den művel művelet et csak csak tényl ténylege egess lehet lehet,, azért azért az első első képle képlete tett a következőkeppen kell felírnunk: a − b ⋅ H b
+x =c ,
amiből: x
= c − a + b ⋅ H b ,
mint magasfokú pontosságú meghatározás. 2. Másik feladatunk szerint legyen meghatározandó, hogy mekkora értéket kell hozzáadnunk a értékhez, ha azt kívánjuk elérni, hogy az így nyert összeg b –vel legyen nagyobb mint c?
54
Feladatun Felada tunkba kbann ezútt ezúttal al elvi elvi össze összemér mérésr ésről ől van szó, szó, mi mint nt tényl tényleg eges es művel műveletr etről ől.. Az elvi elvi összemér összemérés és azonban azonban nem kivonás, kivonás, tehát tehát mentes mentes minden minden értéktor értéktorzulá zulástól stól.. Első képletün képletünket ket ennélfogva az alábbi módozatban kell felírnunk: ( a + x ) − b = c ,
amiből, eltérően az előző eredménytől: x
= c − a + b .
A klasszikus matematika felfogása szerint a két feladatnak feladatnak a megoldása pontosan megegyezik megegyezik egymássa egymással,l, hiszen hiszen ebben ebben a felfogá felfogásban sban mindkét mindkét meghatá meghatározá rozást st csak zérusfokú zérusfokú pontossá pontosságú gú egyenlős egyenlőségne égnekk szabad szabad tekinten tekintenünk. ünk. Az intrazer intrazeriáli iáliss matemati matematika ka magasabb magasabbfokú fokú pontossá pontossága ga mellett azonban a két megoldás egymástól jelentős mértékben különbözik. Mindezek után, végül még külön említést kell tennünk a függvényekről is. Kivétel nélkül, nélkül, minden függvényben fennáll az a helyzet, hogy bármilyen értéket is vesz fel a független változó, minden egyes változásakor egy-egy újonnan előállt egyenletnek a megoldása hatá határo rozz zzaa meg meg azt azt az érté értéke ket, t, amel amelye yett a függ függőő vált változ ozóó kény kényte tele lenn felv felven enni ni,, a függ függvé vény ny felt feltét étele eleine inekk a követ következ kezté tében ben.. Ha meggon meggondol dolju juk, k, könnye könnyenn belá belátha tható tó,, hogy hogy kül különb önböző öző egyenleteknek a megoldása mindenkor egy-egy külön feladatot képez. A független változónak minden legcsekélyebb változása is egy-egy új feladat elé állít tehát bennünket, a függő változó értékének a meghatározása terén. A feladatokban foglalt műveletek pedig mindenkor tényleges műveletek.
Rendkívül fontos azonban, hogy a feladatokban eredetileg bennerejlő függvényeket a maguk valóságos – és nem átrendezett, átalakított – formájában foglaljuk első képletbe. 21.§. A határozott végtelen definíciója. Mint a 18. §. -ban kifejtettük, a számtorzulási törvényt a közönséges osztási műveletből veze vezett ttük ük le, le, /17. /17.§. §./. /. Vala Valame mely ly A -típ -típus usúú hatá határé rért rték ékne nekk az eset esetéb ében en,, a szám számto torz rzul ulás ásii törvé törvénys nysze zerűs rűség ég a közön közönség séges es osztá osztási si művele műveletne tnekk az álta általán lános os eredmé eredményé nyéből ből logikusan következik, – külön bizonyításra tehát nem szorul. Minden tényleges kivonásnak az esetében a /19,11/ alatt definiált számtorzulási számtorzulási tényezőnek a felmerülésével is számolnunk kell, mint feltétlen törvényszerűséggel, a fentiek szerint. Az elsőfokú pontosságnak „határozott végtelen” pontosságnak a keretein belül, máris megadhatjuk tehát a „határozott értékének a pontos definícióját, ha csakis tényleges műveleteket veszünk figyelembe: /21,1/
inz lim x →e
e x −e
= øo .
Mert /19,11/ -nek a figyelembevételével, elsőfokú pontossággal végezve számításainkat: inz lim x →e
e x −e
=
e e− e
=
e e − e ⋅ He
=
e e − e ⋅ (1 − Ø ⋅ ln e )
55
=
1 Ø
= øo .
Ezzel véglegesen kiegészítettük a 9.§. -ban foglaltakat.
22.§. „A” –típusú határértékek, határértékek, irracionális exponens esetén. Legyenek m, r, s, u, v pozitív egész-számok, ezenfelül legyen a>1. Bebizonyítjuk, hogy a
/22,1/
Q=
r
r s
u
u
a s − b v
a − b
v
osztás algebrailag, vagyis közönséges osztási műveleteknek az alkalmazásával, elvégezhető. Tegyük fel átmenetileg, hogy 1
A
= a sv ,
B = b
1 sv
.
Akkor egyszerű behelyettesítéssel:
− Brv A rv − Brv A − B A rv − Brv A su − Bsu Q = su : ; = ⋅ = A − Bsu A − B A su − Bsu A−B A−B A rv
az utóbbi két törtkifejezésnek az értékét meg tudjuk határozni – ugyancsak egyszerű osztási művelettel – /17,4/ szerint, miáltal a fenti állításunk bebizonyul: Q
=
A rv−1 + A rv−2 ⋅ B + A rv −3 ⋅ B 2 + ... + B rv −1 A su −1 + A su −2 ⋅ B + A su −3 ⋅ B 2 + ... + B su −1
.
mármost, ha a = b, akkor A = B. Ennélfogva
/22,2/
r s
r
rv−1 rv− 2 rv− 3 2 rv−1 A + A ⋅ B + A ⋅ B + ... + B − b s inz lim Q = inz lim u = inz Blim = u → A Asu−1 + Asu− 2 ⋅ B + Asu− 3 ⋅ B2 + ... + Bsu−1 b→ a v v a − b rv−1 rv ⋅ A rv rv−su = = ⋅A su−1 su ⋅ A su
a
56
mert mert középs középsőő egyenl egyenlősé őségün günkbe kbenn a számlá számlálób lóbeli eli tagok tagokna nakk a szám számaa nyi nyilv lvánv ánvaló alóan an rv, a nevezőbeli tagoknak a száma pedig su. Megfelelő visszahelyettesítéssel végül:
inz lim Q =
rv su
⋅ A rv−su =
rv su
⋅a
rv −su sv
r r − u = s ⋅ a s v . u v
Ugyan Ugyaneh ehhez hez az eredmé eredményh nyhez ez jut jutunk unk el akkor akkor is, ha a /22 /22,2/ ,2/ hatá határér rérté téket ket a számto számtorzu rzulás lásii tényezőnek a bevezetésével határozzuk meg: r s
r s
− b = u b→ a u v a − b v
inz lim
a
r s
r s
− a ⋅ Ha
r s u u a v − a v ⋅ Ha u v a
=
r s
r s
r s
− a ⋅1 − Ø ⋅ ln a = u u u a v − a v ⋅ 1 − Ø ⋅ ln a v a
r r − u = s ⋅ a s v u v Valamint ugyanehhez a meghatározáshoz jutunk el akkor is, ha a /22,2/ alatti határértéket a klasszikus matematikának a szellemében, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával számítjuk ki. Háromféle módszer is rendelkezésünkre áll tehát ahhoz, hogy meghatározhassuk a /22,2/ határértéket, és mind a három fajta eljárásnak az eredménye megegyezik. Nyilvánvaló tehát, hogy u = v esetén: /22,3/
inz lim
a
r s
r
− b s = r ⋅ sr −1 . a a − b s
b→ a
A továbbiakban, mondjuk ki ismét az u ≠ v egyenlőtlenséget, majd tegyük fel, hogy a > 1, továbbá legyen /22,4/
r < s
m
Akkor /22,3/ alapján máris kimondhatjuk, hogy /22,5/
inz lim b→a
a
u
u
− b v = u ⋅ a uv −1 . a − b v v
57
A /22,4/ egyenlőtlenségnek a következtében: r s
r
⋅a
s
−1
<
m ⋅a
m −1
u
u
< ⋅av
−1
v
ámde ugyanakkor
inz lim
r → m s
r s
⋅a
r −1 s
= inz lim
u → m v
u v
u
⋅a
v
−1
,
tehát a két határértéknek – még a klasszikus matematika felfogásában is – okvetlenül meg kell egyeznie a közbezárt m −1
m ⋅a
szorzatnak az értékével. A /22,3/ és /22,5/ egyenlőségekből azonnal következik ennélfogva, miszerint /22,6/
inz lim
a
b→a
− b a − b
m
m
=
m −1
m ⋅a
.
Ez az egyenlőség nyilvánvalóan akkor is érvényes, ha m nem teljes négyzet, vagyis ha az A -típusú határértékben szerepet játszó exponens irracionális. Összes idevágó példáinkból és levezetéseinkből következik tehát, hogy bármilyen pozitív a, m, és n értékek esetén: inz lim
/22,7/
b→a
Ø⋅a
a n − b n a m − b m
=
an − an a
m
− am
⋅ ln a n n n −m = = ⋅a Ø ⋅ a m ⋅ ln a m m
− a n ⋅ Ha a n − a n ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a n ) = m m = = a − a ⋅ H ( a ) a m − a m ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a m ) an
n
m
n
.
Meggondolván továbbá, hogy a Ø ⋅ a n ⋅ ln a n / Ø ⋅ a m ⋅ ln a m törtből az ln a logaritmus-érték kiesik, belátható, hogy a fenti formula negatív a értékek esetén is érvényben marad. Előreb Előrebocs ocsátv átvaa megje megjegye gyezzü zzük, k, hogy hogy a /22 /22,7/ ,7/ alat alatti ti határ határért érték ék tets tetszés zéssze szerin rinti ti negatív exponensek esetében esetében is, változat változatlanu lanull fennáll. fennáll. Ennek Ennek bizonyít bizonyításár ásáraa azonban azonban csak később később térhetünk ki. /87.§./.
23.§. A L’Hospital-féle tétel korlátos érvényessége. Egye Egyelő lőre re ismé ismétt a klas klassz szik ikus us mate matema mati tika ka felf felfog ogás ását át tart tartsu sukk szem szem előt előtt, t, az aláb alábbi bi meggondolásainkkal kapcsolatban. 58
Tegyük fel, hogy k és n az egységnél nagyobb pozitív egész számok. Majd M ajd mindenekelőtt mindenekelőtt – a világosabb áttekinthetőség érdekében – végezzük el a következő algebrai osztást: ax
/23,1/
n
n
− b k
... + a x
n
: (a x
−k n −1 ⋅x
− b k ) = a x
⋅ b k −k n
n
−x
+ a x −2 x ⋅ b k + a x −3 x ⋅ b 2 k + ... + a x ( ha x = k ) . n
,
n
n
− jx
⋅ b ( j−1) k + ...
Nyilván Nyilvánvaló való,, hogy feltét feltételei eleink nk mellett mellett,, a sorbafejt sorbafejtett ett hányados hányadosban ban a tagoknak tagoknak a száma: száma: n −1 jmax = k . Végezzük mármost a helyettesítést /23,1/ -ben az a = b egyenlőség egyenlőség szerint. Ebben az esetben, mint közönséges osztási műveletnek a hányadosa: /23,2/
a
xn
− a k ) = a x −x + a x −2 x+k + a x −3x+2k + ... − − jx +( j−1) k (ha x = k ) + ... + a x −xk +k −k , n
− a k
... + a
x
n
: (a
n
x
n
n
n 1
n
n
Tekintetbe véve, hogy az utóbbi sornak ugyancsak k n-1 számú tagja van, határozzuk meg a sornak a határértékét x→k esetén. Ha a sort szummáció-kifejezésként írjuk fel, akkor /23,3/
j=k n −1
lim
x →k
∑a
x n − jx +( j−1) k
n
= k n −1 ⋅ a k −k .
j=1
Magától értetődik értetődik tehát – még mindig a klasszikus klasszikus matematika szellemében, szellemében, - hogy miután a / 23,3/ alatti szummáció a /23,2/ alatti osztásnak a hányadosa, azért ez utóbbinak a limesze: magának az osztásnak is a limesze kell, hogy legyen. Ennélfogva fenn kell, hogy álljon, miszerint /23,4/
lim
x →k
n
n
− a k = k n −1 ⋅ a k −k , a x − a k
ax
n
ha a /23,2/ alatti osztást tört-alakban írjuk fel. Határozzuk meg ezekután – ugyancsak a klasszikus matematika szerint – a /23,4/ alatti törtnek a határértékét a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával: n
/23,5/
ax lim x x →k a
− a k = lim (a x − a k ) ' = lim a x ⋅ n ⋅ x n −1 ⋅ ln a = n ⋅ k n −1 ⋅ a k −k . a x ⋅ ln a − a k x →k (a x − a k ) ' x →k n
n
n
n
n
Azonnal meggyőződhetünk róla, hogy ez a meghatározás a /23,4/ alattival nem egyezik meg. Nyilvánvaló viszont, hogy a /23,2/ alatti osztásnak vagy törtnek a hányadosából – vagyis a törtnek az „egyszerűsített” alakjából – közvetlenül levezetett levezetett határérték: feltétlenül megbízható megbízható számítási eredményt képvisel. A L’Hospital-féle tétel tehát – az adott esetben – helytelen és hamis eredményhez vezet. Mindezt pedig maga a klasszikus matematika mutatja ki, a fenti levezetéseink során. 59
A következő paragrafusokban világosan meg fogjuk magyarázni a L’Hospital-féle eljárás révén nyert számítási eredmény téves voltának az okát. Egyúttal megnevezzük és meghatározzuk azokat a korlátokat is, amelyek megszabják a L’Hospital-féle tétel érvényességének a határait. Előbb azonban még az intrazeriális matematika szempontjából is meg kell vizsgálnunk a felmerült ellentmondást. Kriti Kritikus kus esett esettel el állun állunkk szemb szemben, en, amely amely a L’Hos L’Hospi pita tal-f l-féle éle tétel tétel megbíz megbízhat hatat atlan lan vol voltát tát bizonyítja. Meg kell győződnünk tehát – éppen ezzel a kritikus esettel kapcsolatban – arról is, vajjon vajjon az intrazer intrazeriáli iáliss felfogá felfogásban sban,, a számtor számtorzulá zulási si tényező tényezőkk alkalmaz alkalmazása ása mellett, mellett, mily milyen en számítási eredményhez jutunk el? Térjün Térjünkk át ezért ezért az int intraz razeri eriáli áliss rendsz rendszerr erre, e, majd majd határo határozz zzuk uk meg újból újból a /23 /23,4/ ,4/ alatt alattii törtkifejezésnek az A -típusú határértékét, a tényleges kivonási műveletekben szükségszerűen fellépő fellépő számtorz számtorzulás ulásnak, nak, illetől illetőleg eg a felmerül felmerülőő számtorz számtorzulá ulási si tényezők tényezőknek nek a szabálys szabályszerű zerű figyelembe vétele mellett. Ebben az esetben, ha csak elsőfokú pontossággal számolunk is és ha a Hx számtorzulási tényezőt – helyszűke miatt – kivételesen a H(x) függvénykifejezéssel jelöljük a számításaink során, az alábbi meghatározáshoz jutunk: n
inz lim
x →k
/23,6/
xn
k n
k n
k n
−a = a −a x a − a k a k − a k
a
n
− a k ⋅ H ( a ) = k k = a − a ⋅ H (a ) a k
k n
k
a k ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a k ) Ø ⋅ a k ⋅ ln a k − = k k = = a − a ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a k ) Ø ⋅ a k ⋅ ln a k Ø ⋅ a k ⋅ k n ⋅ ln a = = k n −1 ⋅ a k −k . k Ø ⋅ a ⋅ k ⋅ ln a n
n
a k
n
n
n
n
n
Kétség Kétségte tele lenül nül bizon bizonyos yos,, hogy hogy a /23 /23,2/ ,2/ alatt alatt elvég elvégzet zettt közöns közönség éges es osztá osztási si művel művelett ettel el meghatározott hányados, valamint annak /23,3/ alatti egyszerű határértéke: okvetlenül helyes számítási eredményt szolgáltat. A L’Hospital-féle tétellel /23,5/ alatt levezetett maghatározás ettől jelentősen eltér. A számtorz számtorzulás ulásii tényezők tényezőknek nek az alkalma alkalmazásá zásával, val, vagyis vagyis az intrazeri intrazeriális ális rendszer rendszer sajátos sajátos elveinek elveinek az alapján nyert /25,6/ alatti meghatározás viszont pontosan megegyezik a közönséges osztás /23,3/ alatti hányadosának a határértékével. Ez a kirag kiragado adott tt példá példánk nk is nyi nyilv lvánv ánvaló alóan an bizon bizonyí yítj tjaa azt a körülm körülmény ényt,t, hogy hogy – kriti kritikus kus esetekben – nem a L’Hospital-féle tétel, hanem a számtorzulási tényezőknek a figyelembe vétele vezet el a valóban megbízhat és helyes számítási eredményhez. Ez a körülmény pedig bizonyítékot szolgáltat egyúttal arra nézve is, hogy a tényleges kivonási művel művelete etekbe kbenn a kiv kivona onandó ndó tagna tagnakk az értékt értéktorz orzulá ulása sa okvet okvetlen lenül ül beköve bekövetk tkezi ezik, k, és hogy hogy a végb végbem emen enőő torz torzul ulás ás pont pontos osan an olya olyann mért mérték ékű, ű, mi mint nt ahog ahogya yann a /19, /19,11 11// alat alattt kife kifeje jeze zett tt számtorzulási tényező azt minden esetben megkívánja és előidézi. A L’Hospital-féle tételben a számtorzulási tényezők nem szerepelnek. Belátható tehát, hogy amennyiben a kivonandó tagoknak az értéktorzulása valóban törvényszerű a tényleges kivonási műveletekben, akkor ez olyan matematikai tétel, amely az elmaradhatatlan értéktorzulást teljesen figyelmen kívül hagyja, nem is vezethet kritikus esetekben a helyes eredmény-meghatározáshoz. Ismé Ismétt arra arra nézv nézvee nyer nyertü tünk nk bizo bizony nyít íték ékot ot tehá tehátt a felh felhoz ozot ottt péld példán ánkk kapc kapcsá sán, n, hogy hogy az intrazeriális rendszer és az annak megfelelő számítási eljárás feltűnő mértékben pontosabb és
60
megbízhatóbb, mint a klasszikus matematikának a zérusfokú pontosság keretein belül felállított és kimondott tételeink az alkalmazása.
24.§. A L’Hospital-féle tétel korlátai. Az elsőfokú pontosság keretein belül, a /14,2/ és /14,3/ egyenlőségeknek az alapján, azonnal belátható, miszerint a klasszikus matematika szellemében felírt alábbi határérték a /24,1/
lim x x →a
x = a ± v⋅Ø = ± v ⋅ Ø + inz lim x →a
egyenlőségnek az értelmében egyezik meg a megfelelő intrazeriális határértékkel. Átmeneti Átmenetileg leg fel kell tennünk, tennünk, hogy v valamely valamely igen igen nagy értékű pozitív pozitív véges véges számot számot képvisel. A /24,1/ formulából következik az alábbi kifejezési módnak a lehetősége, ugyancsak az elsőfokú pontosságnak a keretében: /24,2/
lim x = inz lim( x ± v ⋅ Ø) a ± v ⋅ Ø . x →a x →a
Nyilvánvaló, hogy a L’Hospital-féle tétel a klasszikus matematika matematika limesz-meghatározásai limesz-meghatározásaira ra épült fel. Valamely A -típusú, de klasszikus klasszikus matematikai határértéket, a fenti meggondolásaink meggondolásaink alapján, az elsőfokú pontosság megkövetelése mellett a következő egyenlőséggel fejezhetjük ki: /24,3/
lim x →a
F( x ) − F(a ) f ( x ) − f (a )
= inz lim → x
a
F( x ± v ⋅ Ø) - F(a) f ( x ± v ⋅ Ø) - f(a)
.
Vezessük le mármost – az intrazeriális matematika szellemében – a /24,3/ alatti egyenlőségből a L’Hospital-féle tételt. Meggondolásaink és lépéseink során mindenkor tekintetbe kell vennünk azt a körülményt, hogy hogy a felad feladat atunk unkba bann szere szerepet pet játsz játszóó kivon kivonási ási mű művel velet eteke ekett tényl tényleg eges es művele művelete tekké kként nt kell kell kezelnünk, kezelnünk, – ennélfogva ennélfogva a megfelelő megfelelő számtorzulási-tényező számtorzulási-tényezőknek knek a felmerülésével felmerülésével is számolnunk számolnunk kell. Jelöljü Jelöljükk a /24,3/ /24,3/ alatti alatti klasszik klasszikus-ma us-matema tematika tikaii határért határértéket éket U –val –val.. Ebbe Ebbenn az eset esetbe benn egyszerűen kimutathatjuk, miszerint: F( x ± v ⋅ Ø) - F(a) F(a ± v ⋅ Ø)- F(a) = inz lim = = x→a f ( x ± v ⋅ Ø) - f(a) f (a ± v ⋅ Ø)- f(a) = F(a ± v ⋅ Ø) - F(a) ⋅ H[ F(a)] = F(a ± v ⋅ Ø) - f(a) ⋅ [1 - Ø ⋅ ln F(a)] f (a ± v ⋅ Ø) - f(a) ⋅ H[ f(a)] f (a ± v ⋅ Ø) - f(a) ⋅ [1 - Ø ⋅ ln f(a)] U
/24,4/
,
ha a számtorzulási tényezőt ismét függvény alakúnak írjuk, valamint ha elsőfokú pontossággal számolunk. Fejezzük ki az F( x ± v ⋅ Ø) függvényt Taylor-sorral, első közelítésben, x→a esetében, akkor
61
/24,5/
F(a
± v ⋅ Ø) = F(a) ± v ⋅ Ø ⋅ F' (a) ,
valamint hasonló formulát nyerünk f (a ±v ⋅ Ø) értékére is. Végezzünk behelyettesítést e szerint a /24,4/ alatti levezetésnek az utolsó szakaszában. Akkor, vagy + vagy – előjelű v esetén: /24,6/
U
= v ⋅ Ø ⋅ F' (a ) + Ø ⋅ F(a) ⋅ ln F(a ) = v ⋅ F' (a ) + F(a) ⋅ ln F(a ) v ⋅ Ø ⋅ f ' (a ) + Ø ⋅ f(a) ⋅ ln f (a ) v ⋅ f ' (a ) + f(a) ⋅ ln f (a )
.
Ha a v szám, mint mondottuk, mondottuk, valóban rendkívül nagy értékű , akkor a törtben logaritmusos tagok elhanyagolhatókká válnak a v tényező tényezőjű jű tagok tagok mellett mellett.. Ebben Ebben az egyetle egyetlen, n, speciál speciális is esetben tehát, a v tényezőnek a kiesése folytán: /24,7/
lim x →a
F( x ) − F(a ) f ( x ) − f (a )
=U =
F' (a ) f ' (a )
,
amiv amivel el mári máriss leve leveze zett ttük ük a L’Ho L’Hosp spit ital al-f -fél élee téte tétell lényegét , az intr intraz azer eriá iáli liss mate matema mati tika ka felfogásának a megvilágításában. (Ha megismételjük a fenti levezetést másodfokú, harmadfokú, stb. pontossággal is, akkor rávilágíthatunk a L’Hospital-féle tételnek azokra az eseteire is, amikor a függvények második, harmadik, stb. deriváltjával kell számolnunk a klasszikus matematikában.) Ezzel meghatároztuk egyúttal a L’Hospital-féle tétel érvényességének a korlátait is, amelyeket az a körülmény szab meg, hogy az a ± v ⋅ Ø összegben v -nek valóban rendkívül nagy pozitív számnak kell lennie.
Nem érvényes tehát a L’Hospital-féle tétel a független változó x -nek azokra az értékeire, amikor /24,8/
a − v⋅Ø < x < a + v⋅Ø
,
a mellet mellett,t, hog hogyy v -t valóba valóbann gigant gigantiku ikusan san nag nagyy érték értékűne űnekk kell kell tekint tekintenü enünk nk a véges véges számtartományban. A /24,8/ alatti mikro-térk mikro-térköz öz belsejében belsejében változó változó x -nek a különböző különböző függvény függvény értékeir értékeiree nézve a L’Hospital-féle tétel nem alkalmazható. Nem világíthat rá ennélfogva a L’Hospitalféle tétel az −F(a ) f ( x ) −f (a )
F( x )
függ függvé vény ny görb görbéj éjén ének ek arra arra a szak szakas aszá zára ra sem, sem, amel amelyy az említ említet ettt mikr mikroo-té térk rköz özne nekk a belsejében helyezkedik el. Az intrazeriális matematika viszont erről a mikro-térközről is tiszta és világos képet ad.
25.§. „A”-típusú függvények magatartása a mikro-térközön belül. 62
Különb Különbözt öztess essük ük meg mi minde ndene nekel kelőt őttt azoka azokatt a speciá speciáli liss esete eseteket ket,, amelye amelyekk az A -típus -típusúú függvények görbéjének mikro-térközbeli szakaszára elsősorban jellemzőek. Ismét Ismételt elten en írjuk írjuk fel ezért ezért a /24,6 /24,6// alat alatti ti egyen egyenlős lősége éget,t, amely amely vol volta takép képpen pen a követk következő ező összefüggést fejezi ki: /25,1/
lim x →a
F( x ) − F(a ) f ( x ) − f (a )
=
v ⋅ F' (a ) + F(a ) ⋅ ln F(a ) v ⋅ f ' (a ) + f (a ) ⋅ ln f (a )
az elsőfokú pontosság keretein belül. Azonnal belátható, hogy meg kell különböztetnünk a következő fontosabb eseteket: 1. Legye Legyenn v valób valóban an vala valamel melyy gig gigant antik ikus us méretű méretű szám. szám. Akkor Akkor – mi mint nt már már az előző előző paragrafusban említettük – a derivált tényezőjű tagokhoz képest a logaritmust tartalmazó tagok elhanyagolhatók. elhanyagolhatók. Az így fennmaradó törtből viszont kiküszöbölődik kiküszöbölődik maga a v szám is. Ebben az esetben tehát /25,2/
lim x→ a
F( x ) −F(a ) f ( x ) −f (a )
=
F' (a ) f ' (a )
,
a L’Hospital-féle tételnek megfelelően. /24,7/. A v szám abszolút-értékének gigantikusan nagy volta esetén azonban a /25,1/ egyenlőség a legcsekélyebb mértékben sem enged betekintést a /24,8/ mikro-térköznek a belső világába. 2. Legyen a második speciális esetünkben /25,3/
F' (a ) f ' (a )
=
F(a ) ⋅ ln F(a ) f (a ) ⋅ ln f (a )
,
akkor a /25,3/ alatti baloldali törtnek mind a számlálóját, mind a nevezőjét v –vel megszorozva, megszorozva, majd ezután mindkét törtből a számlálókat és a nevezőket párhuzamosan összeadva, az alábbi /25,4/
v ⋅ F' (a ) + F(a ) ⋅ ln F(a ) v ⋅ f ' (a ) + f (a ) ⋅ ln f (a )
=
F' (a ) f ' (a )
egyenlőséget nyerjük. Ilyen esetekben nyilvánvaló, hogy v –nek bármilyen véges értéke mellett – sőt még abban az esetben is, ha v teljesen értéktelen, – a /25,1/ alatti meghatározás okvetlenül megegyezik a L’Hospital-féle tétel /24,7/ eredményével. Magától értetődően, ez a körülmény arra vall, hogy a /24,8/ mikro-térköznek a belsejében a / 25,1/ függvény-értékek függvény-értékek nem változnak. változnak. Az efféle kategóriába tartozó A -típusú függvényeknek függvényeknek a görbéje tehát a mikro-térköz belső világában is folytonos, voltaképpen az abszcissza-tengellyel párhozamos egyenes kell, hogy legyen. 3. Legyen a harmadik speciális esetünkben /25,5/
F' (a ) f ' (a )
≠
F(a ) ⋅ ln F(a ) f (a ) ⋅ ln f (a )
.
63
Ebben az esetben az intrazeriális intrazeriális és elsőfokúan elsőfokúan pontos /25,1/ alatti meghatározás meghatározás csakis abban az esetben egyezhetik meg a L’Hospital-féle tételnek a /24,7/ eredményével, ha a v számnak az absz abszol olút út-é -ért rték ékét ét olya olyann nagy nagyra ra tudj tudjuk uk felv felven enni ni,, hogy hogy a v ⋅ F' (a ) szor szorza zatt mell mellet ettt az F(a ) ⋅ ln F(a ) érték, másrészt pedig a v ⋅ f ' (a ) szorzat mellett az f (a ) ⋅ ln f (a ) érték is, teljesen elhanyagolhatóvá válik. (Megjegyezzük e helyütt – közbevetőleg, – hogy a /23,5/ alatti téves eredmény annak a körülménynek a következményeként állt elő, hogy a függvényben implicite bennefoglalt v számot /a függvényben foglalt összefüggések sajátos természete folytán/ nem lehetséges olyan nagyra felvenni, hogy a fentebb említett elhanyagolások valóban megvalósíthatók legyenek a függvényben.) Könnye Könnyenn belát beláthat ható, ó, hogy hogy a /25,5 /25,5// alatt alattii egyenl egyenlőt őtlen lenség ségekn eknek ek a fennál fennállá lása sa eseté esetén: n: a L’Hospital-féle tétel révén nyert értékmeghatározás /24,7/ teljesen független az x változónak a mikro-térköz belső világában felvett értékeitől. Kimondhatjuk azonban, hogy amikor az elsőfokú pontosságnak a keretein belül v teljesen értéktelennek tekinthető, akkor /25,6/
lim x →a
F( x ) − F(a ) f ( x ) −f (a )
=
F(a ) ⋅ ln F(a ) f (a ) ⋅ ln f ( a )
.
Azon a mikro-térközbeli helyen pedig, ahol /25,7/
v
=−
f (a ) ⋅ ln f (a ) f ' (a )
,
nyilvánvaló, nyilvánvaló, hogy – amennyiben a /25,1/ alatti függvény a /25,5/ egyenlőtlenséggel egyenlőtlenséggel összhangban áll, – a függvénygörbén a mikro-térköz belsejében szakadásnak kell mutatkoznia. Ebben az esetben ugyanis a /25,1/ alatti jobboldali törtkifejezésnek a nevezője okvetlenül értéktelenné válik. A követk következ ezőő paragr paragraf afusb usban an egyik egyik kid kidolg olgozo ozott tt példáj példáját át mut mutat atjuk juk be annak annak a gyakor gyakorla lati ti eljárás eljárásnak, nak, hogy miként határozhat határozhatóó meg egy efféle efféle függvény függvénygörbé görbének nek a jellege jellege a mikromikrotérközön belül. Magától értetődik ugyanis, hogy ha sorozatosan felveszünk különböző pozitív és negatív v értékeket, majd ezeket behelyettesítjük a /25,1/ egyenlőséggel meghatározott törtkifejezésbe, akkor minden egyes v értéknek a függvényeként meg tudjuk határozni a mikro-térköz belsejében belsejében vonuló függvénygörbének egy-egy pontját.
26.§. Példák a mikro-térközbeli függvénygörbének függvénygörbének a meghatározására. meghatározására. Az A -típ -típus usúú hatá határé rért rték ékek ekke kell kapc kapcso sola latb tban an,, vegy vegyün ünkk fel fel néhá néhány ny jell jelleg egze zete tess péld példát át,, amelyekben rámutathatunk a határértéket megközelítő függvénygörbének a mikro-térköz belső világában tanúsított magatartására.
1. példa. Vizsgáljuk meg a /22,7/ alatti egyenlőséget, amely szerint
64
/26,1/
an n n −m − inz lim m = ⋅a , x →a x − am m xn
az elsőfokú pontosságnak a keretén belül, a változóknak bármilyen értéke esetén. Azonnal belátható, hogy olyan függvény áll előttünk, amely a /25,3/ egyenlőséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a szellemében. Mert a jelen esetben F' (a ) f ' (a )
( = inz lim x →a
x
(x
F(a ) ⋅ ln F(a ) f (a ) ⋅ ln f (a )
=
n
m
) ' = n ⋅a ) ' m⋅a
a n ⋅ ln a n a m ⋅ ln a m
=
n −1 m−1
=
n
⋅ a n−m , m
a n ⋅ n ⋅ ln a a m ⋅ m ⋅ ln a
=
n ⋅ a n −m m
Függvényünk tehát a 25.§. –ban tárgyalt 2. kategóriába kategóriába tartozik. Kimondhatjuk Kimondhatjuk ennélfogva, ennélfogva, hogy bármilyen v értéket is veszünk fel, a függvénynek az értéke állandó állandó marad. marad. A mikro-tér mikro-térköz köz belső belső világára világára vonatkoz vonatkoztat tatott ott koordiná koordinátare tarendsz ndszerbe erbenn tehát tehát a n −m függvénygörbe folytonos, vagyis voltaképpen egy n ⋅ a / m ordinátájú vízszintes egyenest képez.
2. példa. Vizsgáljuk meg a /19,6/ alatti egyenlőséget, amely szerint /26,2/
inz lim x →a
− n ba = b ⋅ n ( b−1)a nx − na
n bx
az elsőfokú pontosság keretein belül. Ismét belátható, hogy olyan függvénnyel van dolgunk, amely a /25,3/ egyenlőséget egyenlőséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a jelölései szerint. Mert a jelen esetben is F' (a ) f ' (a )
= inz lim x→a
F(a ) ⋅ ln F(a ) f (a ) ⋅ ln f (a )
( n ) ' = n ⋅ b ⋅ ln n = b ⋅ n n ⋅ ln n (n ) ' bx x
ba
( b−1) a
a
⋅ ln n ba = a = b ⋅ n ( b−1) a a n ⋅ ln n ba
n
Jelen függvényünk tehát ismét a 25.§. -ban tárgyalt 2. kategóriába tartozik. Kimondhatjuk ezért, hogy bármilyen v értéket is veszünk fel, ez utóbbi függvényünknek az értéke értéke is állandó állandó marad. A mikro-té mikro-térköz rköz belső belső világába világábann tehát tehát a függvény függvénygörbe görbe folytonos, folytonos, ( b −1) a voltaképpen egy b ⋅ n ordinátájú egyenes szakasz.
3. példa. Vizsgáljuk meg ezek után az /26,3/
inz lim x →a
ln x − ln a x −a
= R
65
határértéket, amelyet az /26,4/
e ln ln x inz lim ln x x →a e
− e ln ln a = R − e ln a
alakban is felírhatunk. Belátható, hogy ezúttal olyan függvényt vizsgálunk, amely a /25,5/ egyenlőtlenséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a szellemében. Mert ebben az esetben
F' (a ) f ' (a )
=
(e ) ' = = inz lim ln x x →a ln ln x
(e )
e ln ln a ⋅ ln ln a e ln a ⋅ ln a
=
'
1 a ⋅ ln a 1 e ln a ⋅ a
e ln ln a
⋅
= 1 ⋅ F(a ) ⋅ ln F(a ) = a f ( a ) ⋅ ln f (a )
ln ln a , a
Jelen függvényünk ennélfogva a 25.§. –ban tárgyalt 3. kategóriába tartozik. Kimondhatjuk tehát, hogy különböző v értékekn értékeknek ek a felvétel felvételee mellett mellett:: egymástó egymástóll eltérő eltérő függvény-értékeket nyerünk. A mikro-térköz belső világában világában pedig a függvénygörbének függvénygörbének meg kell kell szakadnia, mert /25,7/ szerint a
/26,5/
v=−
f (a ) ⋅ ln f (a ) f ' (a )
=−
⋅ ln a = −a ⋅ ln a ln a 1 e ⋅
e
ln a
a
helyen a /25,1/ egyenlőség jobboldalán álló törtkifejezésnek a nevezője értéktelenné válik. Nyil Nyilván vánval valóó viszon viszont,t, hogy hogy a klass klasszi zikus kus matem matemati atika ka – a L’Hos L’Hospit pital al-fé -féle le téte tételne lnekk az alkalmazása révén – csakis azt a két határértéket képes meghatározni, amelyek a kétoldalról történő megközelítések folyamán akkor állnak elő, amikor x = a − v ⋅ Ø és x = a + v ⋅ Ø ama kikötés mellett, hogy v -nek valóban rendkívül nagy pozitív számnak kell lennie. A két említett határponton, a /24,7/ egyenlőségnek az értelmében, a függvénynek az értéke természetesen megegyezik. Miután a mikro-térköznek a belső világába a klasszikus matematika betekinteni nem képes, azért a klasszikus felfogás ezt az egyezést úgy értelmezi, hogy a függvénygörbe a két határpont között is csak folytonos lehet, – hiszen a klasszikus rendszerben ez a két határpont látszólag látszólag egybeesik, a zérusfokú pontosságból pontosságból fakadó durva megítélés alapján. A magasabbfokú magasabbfokú pontosság mellett eszközölt analízis viszont arra mutat rá, hogy a relatíve egymástól rendkívül messze eső két határpont között a függvény értéke nem állandó, sőt közben szakadásnak is be kell következnie. A kétfé kétféle le felf felfogá ogáss tehát tehát – a 3. kateg kategóri óriába ába tarto tartozó zó függvé függvénye nyekne knekk az eseté esetében ben – éles éles ellentmondásba kerül egymással. Hatá Határo rozz zzuk uk meg meg ezek ezekut után án a /26, /26,4/ 4/ alat alatti ti intr intraz azer eriá iáli liss hatá határé rért rték éket et,, a szám számto torz rzul ulás ásii tényezőknek a figyelembe vétele mellett:
66
/26,6/
inz lim x →a
− eln ln a = eln ln a − eln ln a ln x ln a ln a − eln a e e −e
eln ln x
és minthogy ez az utóbbi kifejezés – mint hatványoknak a tényleges különbsége – analóg a / 22,7 22,7// alat alatti ti tény tényle lege gess hatv hatván ányk ykül ülön önbs bség égge gel, l, (a /26, /26,3/ 3/ egye egyenl nlős őség éget et volt voltak akép éppe penn azér azértt változtattuk /26,4/ alakúra, hogy fennállhasson ez az analógia), azért közvetlenül /22,7/ -nek az alapján kimondhatjuk, miszerint /26,7/
e ln ln x inz lim ln x x →a e
− e ln ln a = ln ln a ⋅ ln ln a −ln a e − e ln a ln a
ha /22,7/ -ben a helyett e –t írunk, n helyett ln ln a -t, m helyett pedig ln a logaritmust. Ha tehát /26,4/ -et /26,3/ -mal helyettesítjük, akkor a fentiek értelmében az intrazeriális matematika elsőfokú pontossága mellett: /26,8/
inz lim x →a
ln x − ln a x −a
=
ln ln a ln ln a −ln a ⋅e ln a
=
ln ln a a
.
Ezzel meghatároztuk a /26,3/ határértéket, mégpedig az elsőfokú pontosságnak a körén belül teljesen értéktelennek minősíthető v számnak az esetére.
4. példa. Vegyük vizsgálat alá példaképen az u
= ln x − ln 2 x −2
függvényt, függvényt, majd határozzuk határozzuk meg annak értékét az x = 2 helyen, amikor a törtkifejezésben törtkifejezésben mind a számláló, mind a nevező látszólag értéktelenné válik. A klasszikus matematika szerint, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával: /26,9/
lim x→2
ln x − ln 2 x −2
( ln x − ln 2) ' 1 1 = lim = lim = . x →2 x →2 x 2 ( x − 2) '
Az intrazeriális matematika szerint, elsőfokú pontossággal: /26,10/
inz lim x →2
ln x − ln 2 x −2
=
ln ln 2 2
,
a /26,8/ /26,8/ egyenlős egyenlőségne égnekk az alapján. alapján. Ennélfog Ennélfogva, va, három három tizedes tizedesjegy jegyre re korlátoz korlátozott ott pontossá pontosságg mellett: /26,11/
ln x − ln 2 x→2 x −2
inz lim
= −0 •183 . 67
Fenti megállapításaink értelmében, ez az utóbbi függvényérték akkor áll fenn, amikor v értéktelennek minősíthető. Ha viszont v -nek az abszolút-értéke gigantikusan nagy, akkor – a mikro-térköz két szélső korlátjánál – a függvény az ½ értéket veszi fel, /26,9/ szerint. A kétféle értékmeghatározás valóban eltér egymástól. Térjünk rá végül annak a megvilágításra, megvilágításra, hogy miképpen változnak változnak az u függvénynek függvénynek a helyi értékei az x = 2 pontot felölelő mikro-térközön belül. A /25,1/ formulának az értelmében:
/26,12/
lim x →2
ln x − ln 2 x−2
=
v⋅
1
+ ln 2 ⋅ ln ln 2 2 v + 2 ⋅ ln 2
=
v + 2 ⋅ ln 2 ⋅ ln ln 2 2v + 4 ⋅ ln 2
=
•
v − 0 5081 2v − 2• 7759
ha négy tizedesjegyre korlátozott pontossággal végezzük számításainkat. Tekintsük mármost a véges v számot változónak. A /26,12/ egyenlőségnek az alapján azonnal meghatározhatjuk a keresett függvényértékeket. A jellemző meghatározásokat táblázatba foglalva, megállapíthatjuk a következőket: ha v = – 20000 , ha v = – 2000 , ha v = – 200 , ha v = – 20 , ha v= –2, ha v = - 1 •9 , ha v = - 1 •7 , ha v = - 1 •5 , ……………..
akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor
u = 0 • 5000 , u = 0 • 5005 , u = 0 • 5048 , u = 0 • 5509 , u = 2 • 0489 , u = 2 • 3514 , u = 3 • 5381 , u = 8 • 9607 ,
ha ha ha ha ha ha ha ha ha ha
akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor akkor
u = - 10 • 2791 , u = - 2 • 7923 , u = - 1 • 9437 , u = - 0 • 1830 , u = 0 • 1029 , u = 0 • 2202 , u = 0 • 4557 , u = 0 • 4953 , u = 0 • 4995 , u = 0 • 5000 ,
v = – 1 •3 , v = – 1 •1 , v=–1, v értéktelen , v=1, v=2, v = 20 , v = 200 , v = 2000 , v = 20000 ,
és így tovább. A függvény szakadásának, a /26,5/ egyenlőség szerint, a 68
/26,13/
v = −2 ⋅ ln 2 = −1•3863
értéknek megfelelő helynél kell bekövetkeznie. A táblázatszerűen egybefoglalt értékmeghatározásokból azonban kitűnik, hogy a kritikus mikro-térköz két szélső határpontjánál a függvény a valóban megegyező 0•5 értékkel bír, a / 26,9/ egyenlőségnek megfelelőleg. Világosan látható továbbá az is, hogy a mikro-térköznek a belsejé belsejében ben miként miként hajlik hajlik el a függvény függvénygörbe görbe a klasszik klasszikus us matemati matematika ka által által megállap megállapítha ítható tó • u = 0 5 határértéktől, miként szakad meg a görbének a folytonossága a /26,13/ képletnek megfelelően a v = −1•5 és v = −1•3 értékek között, azután miként halad át a görbe /26,11/ szerint az értéktelennek minősített v -hez tartozó u = −0•183 függvény-érték pontján, végül pedig pedig miképpen miképpen kanyarod kanyarodik ik vissza vissza a klasszi klasszikus kus matemati matematika ka által által megállap megállapíth ítható ató u = 0 •5 határértékhez, /26,9/. Ezzel valóban kimerítően jellemeztük a függvénygörbének a mikro-térközbeli magatartását.
27.§. A „0-0” jelkép. A /26,8/ egyenlőségben implicite szerepet játszó v számot az elsőfokú pontosság keretein belül, mint mondottuk, egyszerűen „értéktelennek” minősítjük. Nem Nem írhatu írhatunk nk helye helyett ttee zérust zérust,, mert mert zérusn zérusnak ak az elsőf elsőfokú okú ponto pontossá sságg körébe körébenn valame valamely ly bizonytalan bizonytalan értéke lehet, de Ø –t sem írhatunk helyette, annál kevésbé, mert Ø –nak határozott értéke van. Szük Szüksé ségg van van tehá tehátt egy egy olya olyann jelk jelkép épre re a rend rendsz szer erün ünkb kben en,, amel amelyy a legm legmag agas asab abbf bfok okúú intrazeriális pontosság mellett is, még mindig értéktelennek minősül. Legyen az ilyen értéktelenségnek a jelképe a 0 – 0 kifejezés. Gondoljuk meg ezzel kapcsolatban a következőket. Tényleges kivonási műveletnek az esetében: k − k = k − k ⋅ H k
= k − k ⋅ k − ø ,
ezzel szemben azonban, mint számtorzulás-mentes, pusztán elvi összemérés, vagy pedig mint nem-tényleges kivonási művelet: k − k = n − n
,
amely egyenlőségben n bármilyen, tetszésszerinti szám lehet. Fennáll tehát, miszerint: k − k = 3 − 3 = 2 − 2 = 1 − 1 = i − i
,
és így tovább. Az n szám helyébe viszont határozott vagy határozatlan zérust is írhatunk és ilyenformán:
69
k − k = 0 − 0
.
Ebben az értelemben, írhatjuk továbbá a következő egyenlőségeket is: a k a k
= a k −k = a n −n = a 0−0 = 1 ,
amelynek amelynek alapján alapján kimondha kimondhatjuk tjuk,, hogy az intrazer intrazeriáli iáliss matemati matematikána kánakk a legmagas legmagasabbf abbfokú okú pontossága mellett is fennáll, miszerint bármely számnak a 0 – 0 fokú hatványa a pozitív
egységgel egyenlő.
Ha pedig pedig a legut legutóbb óbbii formul formulába ábann a helyébe helyébe a természe természetes tes logaritm logaritmusren usrendsze dszernek rnek az alapszámát helyettesítjük be, akkor: e k e
k
0 −0
= e k −k = e n −n = e = 1 ,
ennek az egyenlőségnek a két utolsó tagozatából viszont világosan következik, hogy /21,7/
ln 1 = 0 − 0
,
Ez teljes intrazeriális pontosságú meghatározás. A fentiekből következik továbbá, miszerint n −n
= 1 −1 = 0 − 0 ,
ámde ugyanakkor írhatjuk, hogy n −n
= n ⋅ (1 − 1) = n ⋅ (0 − 0) ,
a két utóbbi egyenlőségnek az egybevetésével pedig: /27,2/
n ⋅ (0 − 0)
= 0 −0 ,
amely szorzatban n az intrazeriális matematika számtartományába tartozó bármilyen számérték lehet, akár még a végtelennek valamely véges fokú hatványa is. Meg kell jegyeznünk továbbá még a következőket is. A pozitív egységhez – mint tényleges kivonandóhoz – hozzátársuló számtorzulási tényező / 19,11/ és /27,1/ szerint: /27,3/
H1
= e −ø⋅ln1 = e -ø⋅(0-0) = e 0−0 = 1 .
Fenn kell állnia tehát az alábbi egyenlőségnek is: 70
/27,4/
1−1 =1 −1 ⋅ H1
=1 −1 = 0 −0 .
Feltételeztük és megköveteltük, hogy a 0 – 0 kifejezést még a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság alkalmazása mellett se tudjuk megkülönböztetni a teljes érték-nélküliségtől. Ebből következik tehát, /27,4/ alapján, hogy a pozitív egység az az egyedüli megnyilvánuló
szám, amelynek a tényleges kivonásokban fellépő torzulását az intrazeriális matematika semmi esetre sem képes kimutatni.
A fentiekb fentiekből ől pedig pedig nyil nyilvánv vánvaló, aló, hogy még az int intraze razeriál riális is matemat matematika ika is alkalmaz alkalmaz egy elkerülhetetlen gyűjtőfogalmat, vagy vagyis is a 0 – 0 jelk jelkép épet et mi mind ndaz azok okna nakk a /27, /27,2/ 2/ szer szerin inti ti szorzatoknak mint számoknak a felölelésére és egybefoglalására, amelyeket már semmiképpen sem tud megkülönböztetni a látszólagosan teljes érték-nélküliségtől. A 0 – 0 kifejezés tehát a megközelítően teljes abszolút érték-nélküliségnek a jelképéül szolgál a rendszerünkben. Gyakorlati szempontból, szempontból, meg kell jegyeznünk ezért még kiegészítésül, kiegészítésül, hogy a Maclaurin-féle sornak a klasszikus matematikában használatos F( x )
x
x2
1!
2!
= F(0) + ⋅ F' (0) +
⋅ F' ' (0) +...
alakja helyett – magától értetődően – csakis az /27,5/
F( x )
2
x
x
1!
2!
= F(0 − 0) + ⋅ F' (0 − 0) +
⋅ F' ' (0 − 0) + ...
alakban írt formuláját alkalmazhatjuk helyesen, ha magasabbfokú pontossággal számolunk.
28.§. Példák a számtorzulási tényező alkalmazására. alkalmazására. 1. példa. A feladatokban foglalt műveletek mindig ténylegesek. ténylegesek. Ha tehát valamely feladatban feladatban két vagy több kivonandó számérték játszik szerepet, akkor mindenekelőtt tisztáznunk kell azt a kérdést, vajjon ezek a számértékek számértékek egyidejűleg, vagyis egy-összegben hozhatók-e kivonásba, vagy pedig csak külön-külön, illetőleg egymás után. A tényleges különbség ugyanis eltér egymástól, a kétféle eset szerint. Mert először, ha a feladatnak az értelmében, a -ból ténylegesen ki kell vonnunk b, c, … t értékeket, a kivonást azonban egyidejűleg hajthatjuk végre, vagyis a kivonandó tagoknak az összevonása mellett, akkor a tényleges különbség: /28,1/
a −( b +c +... + t )
= a −( b +c +... + t ) ⋅ H ( b+c+...+t ) .
Második esetünkben viszont, ha a feladatnak az előírásai szerint, a -ból előbb ténylegesen ki kell vonnunk b -t, majd c -t, – és így tovább, – végül pedig a t értéket, – tehát valamennyit külön-külön és egymás után, akkor belátható, hogy a tényleges különbség csak 71
/28,2/
{ [(a − b )− c] − ...}− t = a − b − c − ...− t = a − b ⋅ H − c ⋅ H − ... − t ⋅ H b
c
t
lehet. Nyilvánvaló, hogy a /28,1/ és /28,2/ alatti különbségek csakis zérusfokú pontosságnak a betartása mellett – vagyis a klasszikus matematika felfogásában – egyezhetnek meg egymással, magasabbfokú pontosság esetén azonban eltérőek.
2. példa. Vizsgá Vizsgálj ljuk uk meg a matem matemat atika ikaii játé játékok kok körébe körébe tarto tartozó zó,, hamis hamis megál megálla lapít pítás áshoz hoz vezet vezető, ő, közismert levezetést, amely szerint az /28,3/
a
2
− a 2 = a ⋅ (a − a)
egyenlőségből, annak átalakításával, az alábbi képtelen konklúzióhoz jutunk el: (a + a ) ⋅ (a − a )
a+a
= a ⋅ (a − a ) ,
=a ,
2 =1 .
A klasszikus matematika az efféle levezetések meg nem engedhető voltát azzal a tilalommal indokolja, indokolja, hogy a – a különbséggel, különbséggel, vagyis zérussal osztanunk sohasem szabad, még akkor sem, ha az egyenlőségnek mindkét oldalán végezzük el az osztást, azonosan. Az intra intraze zeriá riáli liss matem matemati atika ka ezze ezzell szembe szembenn nem a leveze levezetés téstt hib hibázt áztat atja ja,, hanem hanem az első első egyenlőségnek /28,3/ a felírási módját. Mert kétféle eset lehetséges. a.) Ha pusztán elvi összemérésnek vagy nem-tényleges különbségnek minősítjük a fentebb megadott a 2 − a 2 és a − a formulákat, formulákat, akkor /28,3/ helyett az a2
− a 2 = a ⋅ (a − a ) = 0 − 0
egyenlőséget kell felírnunk helyesen. Ez pedig nem vezet a 2 = 1 képtelenséghez. b.) b.) Ha visz viszon ontt mi mind ndké kétt mega megado dott tt külö különb nbsé sége gett tényleges kivon kivonási ási mű művel velet etkén kéntt kell kell felfogn felfognunk, unk, akkor tekinte tekintetbe tbe kell vennünk és be kell jelölnünk jelölnünk a megfelel megfelelőő számtorz számtorzulá ulási si ténye tényezők zőket et is a legel legelső ső képlet képletne nekk a felí felírás rásako akor. r. Ilyenf Ilyenform ormán án azonb azonban an egyenl egyenlősé őségg helye helyett tt egyenlőtlenség áll előttünk. Mert a 2 −a 2
a2
≠ a ⋅ (a −a )
,
− a 2 ⋅ H ( a ) ≠ a ⋅ (a − a ⋅ H a ) , 2
72
amiből /19,11/ alapján, már elsőfokú pontosság mellett is levezethető az
− a 2 ⋅ (1 − Ø ⋅ ln
a2
[
a 2 ) ≠ a ⋅ a − a ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a )
Ø ⋅ a 2 ⋅ 2 ⋅ ln a
],
> a ⋅ (Ø ⋅ a ⋅ ln a ) ,
2>1 helytálló és igaz egyenlőtlenség.
3. példa. Példaképpen vegyünk fel két alábbi típusú függvényt. Legyen u
=
x 4 − 81 x −3
és
v
=
x 3 − 27 x −3
.
Mármos Mármostt abból abból a célbó célból,l, hogy hogy megáll megállap apít íthas hassuk suk azt azt a helyze helyzetet tet,, amely amelyben ben az u és v függvények egymással pontosan egyenlő értékűek, kapcsoljuk egybe az egyenlőség jelével a függvényeket meghatározó két törtkifejezést: /28,4/
x 4 − 81 x −3
=
x 3 − 27 x −3
,
majd oldjuk meg x -re nézve az így képezett egyenletet. A klasszikus matematika műveleti szabályai szerint a megoldáshoz úgy juthatunk el, hogy az egyenlet egyenletnek nek mindkét mindkét oldalát oldalát megszoro megszorozzuk zzuk a közös közös nevezőve nevezővel,l, majd az egyenlet egyenlet mindkét mindkét oldalához hozzáadunk 81 -et. Ilyenformán az /28,4’/
x4
= x 3 + 54
negyedfokú negyedfokú egyenletet nyerjük, amelyről már megállapítható, megállapítható, hogy annak egyik reális gyöke: x 1 • = 3 , másik reális gyöke továbbá x 2 ≈ -2 5 . Logikailag ez nyilvánvalóan annyit kellene, hogy jelentsen, miszerint – ha az egyenlet további két gyökétől eltekintünk, eltekintünk, – akár x = x 1, akár x = x 2 esetében, nemcsak a /28,4’/ egyenleten egyenleten belül, hanem a /28,4/ alatti egyenlőségben is: a két oldalon szembenálló függvénykifejezéseknek
egymással egyenlő értékűeknek kell lenniök.
Az x 2 gyök valóban kielégíti mindkét egyenletet. Világos azonban, hogy x = x1 = 3 esetén a / 28,4/ egyenlőségnek mind a két oldalán egy-egy olyan törtfüggvény áll elő, amelyekben mind a számlálók, mind a nevezők megközelítőleg értéktelenné válnak. Ezért a klasszikus matematika egyszerűen kijelenti, hogy x 1 csupán /28,4’/ -ben áll fenn, ugyanakkor viszont nem gyöke a / 28,4/ alatti egyenletnek is.
73
Állításában elvileg igaza van. Egyértelműen indokolni azonban nem képes azt, a zérusfokú pontosságnak a keretein belül. Mert a klasszikus klasszikus matematika egyrészt arra a körülményre hivatkozik, hivatkozik, hogy miután x = x 1 = 3 esetén a /28,4/ egyenlőségnek mindkét oldalán egy-egy olyan tört áll, amelynek a nevezőjét zérus értékűnek kell tekintenünk, – és minthogy a zérus nevezőjű törtek mindenkor bizonytalan és határo határoza zatl tlan an értékű értékűek, ek, – azért azért az il ilye yenn törte törteket ket magában magában foglal foglalóó egyen egyenlős lőség ég is csak csak bizonytalan lehet. Másrészt ugyancsak a klasszikus matematika bizonyítja, éppen a L’Hospital-féle tétel alapján, hogy x→x1=3 esetén: lim x→3
lim x →3
4 − 81 ( x − 81)' = lim = 108 , x −3 ( x − 3)'
x
4
− 27 = lim (x 3 − 27)' = 27 , x −3 (x − 3)'
x
3
vagyis, hogy x = x1 = 3 esetében a /28,4/ alatti egyenlőségnek mindkét oldalán egy-egy határozott számérték áll elő. Mármost, ha bizonyítottnak vehetjük ilyenformán, hogy az adott függvényeknek az x = 3 helyen véges és határozott értékük van, akkor aligha hivatkozhatunk arra a körülményre, hogy az illető függvényeknek ugyanazon a helyen nincs és nem is lehet határozott értékük, hanem csak bizonytalanok maradhatnak. A logikai ellentmondás nyilvánvaló. Meg kell gondolnunk továbbá, hogy a zérussal, mint gyűjtőfogalommal végzett szorzást még a klasszikus matematika műveleti szabályai is megengedik. A /28,4/ alatti egyenlőségnek a szab szabál ályy szer szerin intt tehá tehátt mi mind ndké kétt olda oldalá látt még még akko akkorr is meg meg szabad szoroznu szoroznunk nk az x – 3 különbséggel, különbséggel, ha fennáll, hogy x = 3 . Az egyenlőségnek egyenlőségnek az értelme ezáltal nem változhatik változhatik meg, a műveleti szabályok általános érvényessége értelmében. Ha azonban elvégezzük azt a szorzást, akkor az /28,5/
x4
− 81 = x 3 − 27
egyenlet egyenlethez hez jutunk, jutunk, amelynek amelynek egyik egyik reális reális gyöke gyöke valóban valóban x1=3 értékű. Ez a gyök viszont mégsem gyöke az eredeti /28,4/ egyenletnek. Mert x = 3 esetén – a L’Hospital-féle tétellel fente fentebb bb már már megha meghatár tározo ozott tt határé határérté rtékek kek szerin szerintt – nem is egyen egyenlő lőség ség,, hanem hanem valós valóságo ágoss egyenlőtlenség áll előttünk. Ha tehát x = x1 = 3, akkor egyik függvénynek a görbéje sem metszheti valóban az abszcissza-tengelyt.
A klassz klassziku ikuss matema matematik tikaa az említe említett tt ellent ellentmon mondás dásoka okatt egysz egyszer erűen űen nem kíván kívánja ja Olyan precíz precíz magyaráz magyarázatta attall viszont viszont nem tud szolgálni, szolgálni, amely amely ezeket ezeket az tudomásul venni. Olyan
ellentmondásokat ténylegesen kiküszöbölhetné. Egészen másként fest a helyzet azonban, ha a problémát az intrazeriális matematikának a szempontjából nézzük. Mert ha a /28,4/ egyenlőségben szerepet játszó különbségeket tényleges kivonási műveletek eredmé eredmény nyeké eként nt értel értelmez mezzük zük,, akkor akkor az elle ellentm ntmond ondáso ásokk azonna azonnall megsz megszűnn űnnek. ek. Tényle Tényleges ges különbségek esetén ugyanis a számtorzulási tényezőket is be kell jelölnünk. Akkor pedig /28,4/ helyett az alábbi egyenlőséggel kell számolnunk: 74
/28,6/
− 81 ⋅ H81 x 3 − 27 ⋅ H 27 = . x − 3 ⋅ H3 x − 3 ⋅ H3
x4
Mármost, ha ennek az egyenlőségnek egyenlőségnek mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, majd átrendezéssel az egyenletet u.n. kanonikus alakra hozzuk, akkor írhatjuk, miszerint: x4
− x 3 + (27 ⋅ H 27 − 81 ⋅ H 81 ) = 0 − 0 ,
amely egyenletnek egyik reális gyökét nyilvánvalóan az x1 = 3 ⋅ H 3 = 3 ⋅ 3− ø érték képezi. Belátható, hogy a klasszikus matematika ehhez a magasfokú pontosságú meghatározáshoz nem képes eljutni. Zérusfokú pontosság mellett ugyanis – magától értetődően – fennáll az x1
= 3 ⋅ 3− ø = 3
egyenlőség. Ezért a klasszikus matematika csakis az x1 = 3 értékre tud következtetni a keresett gyökkel kapcsolatban. Annál inkább, mert zérusfokú pontosság mellett a /28,6/ egyenlőség is megegyezik a /28,4/ alattival. Az intrazeriális felfogás viszont teljesen megvilágítja a helyzetet. Mert x1 = 3 ⋅ H3 esetén, – (a számtorzulási tényező hatványozására nézve lásd a /28,15/ formulát), – fennállanak fennállanak az alábbi Hx számtorzulási határértékek, amelyekre a megközelítő L’Hospital-féle tétel már nem alkalmazható: inz lim
− 81 ⋅ H 81 0 − 0 = , x − 3 ⋅ H3 0 −0
x4
x →3⋅H 3
x 3 − 27 ⋅ H 27 inz lim x →3⋅H 3 x − 3 ⋅ H3
= 0−0 , 0−0
minnélfogva a magasfokúan pontos x1 = 3 ⋅ H3 helyen valóban előáll egy olyan szinguláris helyzet, amelyben a /28,6/ egyenlőség a következő alakot veszi fel: 0 −0 0 −0
=
0 −0 0 −0
,
miáltal teljesen fejezés is külö ülönböz nbözőő teljesen határozatl határozatlanná anná válik valóban valóban , lévén a 0 – 0 kifej szorzatoknak a gyűjtőfogalma, /27.§./. Teljesen világos ezek szerint, hogy x1 = 3 ⋅ H3 magasfokúan pontos értéknek az esetében a / 28,6/ egyenlőségnek bizonytalanná kell válnia, és ezzel a voltaképpeni értelmét is elveszíti. Az így határozatlanná váló egyenletnek tehát valóban nem képezheti gyökét az x1 = 3 ⋅ H3 érték.
75
Mindezt Mindezt pedig pedig a zérusfok zérusfokúú pontossá pontosságnak gnak a körére körére vonatkoz vonatkoztat tatva, va, állítás állításunka unkatt most már jogosan kiterjeszthetjük a /28,4/ egyenlőségre is, éppen az x1 = 3 értékű gyökkel kapcsolatban. Belátható Belátható az utóbbi állításunknál állításunknál fogva, hogy a függvényeknek a szakadása voltaképpen nem a magasfokúan pontos x = 3 helyen, hanem a zérusfokú pontosság mellett meghatározott x = 3 értéke értékett magába magába záró, záró, kritik kritikus us mik mikro-t ro-térk érközb özben, en, a mikr mikroo-té térk rköz özne nekk a bels belsőő vilá világá gába bann következik következik be, mégpedig éppen azon a magasfokú pontossággal pontossággal meghatározott helyen, amelynél x1 = 3 ⋅ H3 . A magasfok magasfokúan úan pontos pontos x = 3 helyen helyen a függvé függvénye nyekne knekk a görbéj görbéjee még folyt folytono onos. s. Ezt Ezt bizonyí bizonyítjá tjákk a fentebb fentebb meghatá meghatározot rozottt L’Hospit L’Hospital-f al-féle éle limeszek limeszekkel kel megegyez megegyezőő int intraze razeriál riális is határértékek, ha x→3 esetére ez utóbbiakat is meghatározzuk. Ezek az egymástól eltérő 108 és 27 értékek pedig nyilvánvalóan arra vallanak, hogy a magasfokúan pontos x = 3 helyen még nem közelítettük meg eléggé az egyenletnek a keresett x1 gyökét. Azon a magasfokúan pontos helyen azonban, ahol a keresett x1 = 3 ⋅ H3 gyöknek valóban fenn kellene állnia, mindkét függvénynek a görbéje megszakad. Ezt bizonyítják az intrazeriális limeszek által, fentebb meghatározott 0 – 0 nevezőjű törtek, amelyek mindkét függvénynek az esetében esetében,, egy és ugyanazo ugyanazonn a magasfok magasfokúú pontossá pontossággal ggal meghatár meghatározha ozható tó x1 = 3 ⋅ H3 helyen lépnek fel. A függvények tehát a mikro-térköznek a szélső határain, valamint azokon belül is, 108 illetőleg 27 értékűek. Tényleges szakadások pedig a mikro-térköznek a belsejében áll elő, egyetlen helyen , ahol x1 = 3 ⋅ H3 . Nyilvánvaló, Nyilvánvaló, hogy a kritikus mikro-térköznek a belső világában beálló változásokat változásokat csakis az intrazeriális rendszer képes kimutatni. A klasszikus zérusfokú pontosság nem különböztetheti meg egymástól az x = 3 és x1 = 3 ⋅ H 3 0 értékeket. Míg tehát tehát a klasszik klasszikus us matemati matematikána kánakk az indoklás indoklásai ai a műveleti műveleti szabály szabályokra okra vonatkoz vonatkozóó ellentmondásokba bonyolódnak, addig az intrazeriális rendszer megvilágításában teljesen világos és nyilvánvaló, hogy x1 miért nem képezheti a /28,4/ alatti egyenletnek a gyökét.
4. példa. Vizsgáljuk meg egyúttal azt a kérdést is, vajjon bonyolultabbá vagy egyszerűbbé teszi-e számításainkat az intrazeriális elvnek az alkalmazása a gyakorlatban. Tegyük fel példaképpen, hogy legyen meghatározandó /28,7/
y
=+
− +
x
+ x −a x2 −a2 a
függvénynek függvénynek az értéke az x→a helyen. Föltéve, hogy a valamely reálisan megnyilvánuló pozitív számértéket képvisel. Határozzuk meg a keresett függvényértéket először a klasszikus matematika felfogása felfogása és elvei szerint. Azonnal belátható, hogy az adott esetben a L’Hospital-féle tételt nem alkalmazhatjuk a feladat megoldásánál. Feltehetjük azonban, hogy x = a + h , és ilyen értelemben helyettesíthetjük is x -et a /28,7/ kifejezésnek a különböző tagjaiban. Megállapíthatjuk ilyenformán, hogy
76
−
x
/28,8/
a
=
a+h
−
− 1 =
a
=
a ⋅ 1 +
h − a a
=
h h 2 − 2 + ... = a 2 a 8 a h h h h2 − = ⋅ a ⋅ − 2 + ... = ⋅ ⋅ h a h 2a 8a 2a a ⋅ 1 +
=
/28,9/
x −a
/28,10/
x
2
=
h
a +h −a
a ⋅
=
h3 8a 2
+ ...
,
,
h
− a 2 = (a 2 + 2ah + h 2 ) − a 2 =
h
⋅
2a + h
.
Ha pedig a /28,8/ - /28,10/ alatti részlet – meghatározásokat az y függvénynek megfelelő módon újra egyesítjük, akkor a szándékolt h→0 feltételnek az előírása mellett, felírhatjuk az alábbi határérték-egyenlőségeket. Az y törtfüggvény számlálójára nézve:
( →
lim x
a
x
−
a
+
x −a
) = lim → h
0
h
⋅
a
⋅ h − 2a
h3 8a 2
+ ... + 1 ,
a nevezőjére nézve viszont: lim x 2 x →a
− a 2 = lim h →0
h ⋅ 2a + h
.
Végül az utóbbi határérték-egyenlőséggel osztva az előtte lévőt, nyerjük a feladatnak a megoldását:
/28,11/
x
lim x →a
−
+ x − a = lim 2 2 h →0 x −a a
h a ⋅ 2a −
h3 8a 2
2a + h
+ ... +1 =
1
.
2a
Ezzel szemben az intrazeriális matematika felfogása szerint, a különbségeket tényleges különbsé különbségekn geknek ek tekintve tekintve a függvény függvényben, ben, vagyis vagyis a felmerül felmerülőő számtorz számtorzulás ulásii tényezők tényezőknek nek a megfelelő bejelölése mellett, az elsőfokú pontosságnak a keretein belül: inz lim x →a
=Ø
x
−
+ x −a = x2 − a2
a ⋅ ln a
a
+ Ø ⋅ a ⋅ ln Ø ⋅ 2 ⋅ a 2 ⋅ ln a
a
a
−
a ⋅H
+ a − a ⋅ Ha = a 2 − a 2 ⋅ H (a ) a
2
=
Ø ⋅ a ⋅ ln a Ø ⋅2 ⋅a
77
2
⋅ ln a
+
1 2a
.
Ha pedig ezt az összeget zérusfokú pontosság mellett kiértékeljük abból a célból, hogy összhangba hozzuk az eredményt a klasszikus matematika szerinti meghatározással, - vagyis ha tekintetbe vesszük, hogy Ø elhanyagolható a megnyilvánuló számértékek mellett, – akkor az inz lim x →a
x
−
+ x −a = x 2 −a 2 a
1 2a
zérus zérusfok fokúú ponto pontossá sságú gú eredmé eredményh nyhez ez jutun jutunkk el, el, amely amely valób valóban an megegy megegyezi ezikk a /28,1 /28,11/ 1/ alat alatti ti meghatározással. A megoldáshoz vezető lépések sokkal egyszerűbbek, mint a klasszikus matematikában.
5. példa. A számítások világosabb áttekinthetősége áttekinthetősége végett, feltüntetjük feltüntetjük végül a számtorzulási tényezők szorzataiból és hatványaiból adódó alábbi képleteket is: /28,12/
Hx ⋅ Hy
= x −ø ⋅ y −ø = ( xy ) -ø = H xy ,
/28,13/
Hx ⋅Hy
= e −ø⋅ln x ⋅ e −ø⋅ln y = e −ø⋅(ln x +ln y) ,
/28,14/
( H x ) n = x −ø⋅n = H nx ,
/28,15/
H (x n )
= ( x n ) −ø = ( x −ø ) n = H nx .
Mindez a /19,11/ egyenlőségből azonnal következik. V. FEJEZET. SZÁMOK ALKALMAZKODÁSI TÖRVÉNYEI.
29.§. Szorzatok tényleges kivonása.
Tegyük fel, hogy valamely feladatban, annak követelményei szerint, egy megadott a ⋅ c szorz szorzatb atból ól többs többször zör is ki kell kell vonnun vonnunkk tényl ténylege egesen sen az adott adott b értéket. értéket. Belátha Belátható, tó, hogy a többszörö többszöröss kivonás kivonás ismételt kivo kivoná nást st jele jelent nt,, vagy vagyis is egym egymás ássa sall mege megegy gyez ezőő kivo kivoná nási si művel művelete etekne knekk az egymá egymásut sutánj ánját, át, a soroz sorozat atát át értjük értjük alatt alatta. a. Tegyü Tegyükk fel fel továb továbbá, bá, hogy hogy a feladatunkban az így ismételt kivonásoknak a száma: c. Ilyenformán tehát nem egyidejű, egyidejű, hanem ismételt, sorozatos, egymást követő kivonások állnak előttünk az adott feladatban. Ennélfogva a /28,2/ formulának az alapján kell eljárnunk, amikor feladatunkat képletbe kívánjuk foglalni. Első képletünk pedig a következő meggondolást kell, hogy kifejezésre juttassa:
78
/29,1/
1
2
3
c
∪
∪
∪
∪
ac − b − b − b − ... − b
= ac − b ⋅ c = ac − c ⋅ b ⋅ H b = c ⋅ (a − b ⋅ H b )
.
Az így megfogalmazott képlet teljesen megfelel a fent említett feladat szellemének. Abban az eltérő esetben viszont, ha egy másik feladatunk az a ⋅ c szorzatból valamely értéknek ek a tényl ténylege egess kivon kivonásá ásátt kíván kívánja ja meg, meg, a kivon kivonási ási művel művelet et csak csak megadott b ⋅ c = g értékn egyszeres értelemben játszik szerepet. Ebben a műveletben a g mennyiséget nem szabad b és c tényezőkre tényezőkre bontanunk, mert a feladat az egységes g mennyiségnek a tényleges kivonását írja elő, nem pedig külön a b és külön a c tényezőjét. Ilyen esetben tehát nem a bc szorzatot, hanem közvetlenül a vele azonos g értéket tekintjük az egyedüli kivonandónak, a /28,1/ formulának az értel értelméb mében en.. Fel Felada adatun tunkk első első képlet képletbe be fogla foglalá lásán sának ak pedig pedig az alábbi alábbi meggon meggondol dolást ást kell kell tartalmaznia: /29,2/
ac−( bc)
= ac−g =ac −g ⋅ H g .
A /29, /29,1/ 1/ és /29, /29,2/ 2/ egye egyenl nlős őség égek ekne nekk az össz összeh ehas ason onlí lítá tásá sábó bóll azon azonna nall kitű kitűni nik, k, hogy hogy a kétféleképpen kétféleképpen kivonandó bc szorzatnak mindenkor a feladatnak az eredeti szelleméhez kell
alkalmazkodnia.
30.§. Effektív kiemelések. A végett, hogy rávilágíthassunk a klasszikus matematikában alkalmazott közönséges osztási műveletnek egyik különösen jellemző sajátságára, mindenekelőtt meg kell különböztetnünk egymástól a polinomokból eszközölt tényező-kiemeléseknek két típusát, illetőleg faját. Ha valamely A tényezőnek és B polinomnak az eredetileg létrejött és már fennálló AB szorzatából szorzatából ismét kiemeljük kiemeljük az A tényezőt, tényezőt, az ilyen műveletet műveletet effektív kiemelésnek nevezzük a továbbiakban. Ha viszont valamely C = AB polinomból emeljük ki az A tényezőt, tényezőt, minek következtében az eredeti C polinom a C / A jellegű törtkifejezéssé alakul át, akkor eljárásunk nem-effektív
kiemelés.
Így például valóban effektív kiemelés: ak + bk + ck = k ⋅ (a + b + c)
.
Nem nevezhetjük azonban effektív kiemelésnek – a fenti meghatározásunk értelmében – az alábbi példákban végrehajtott kiemelést: b + c , a a a b c a + b + c = k ⋅ + + . k k k a + b + c = a ⋅ 1 +
79
A klasszikus matematika szempontjából nézve, az efféle megkülönböztetésnek semmiféle fontossága, de mégcsak jogosultsága sincs. A magasabbfokú pontosság, vagyis az intrazeriális rendszer viszont megköveteli a kétféle eljárásnak a szigorú megkülönböztetését. Könnyen belátható, hogy bármely megadott polinomnak az esetében, a benne végrehajtható effektív tényező-kiemeléseknek mindenkor van egy olyan szélső értékük, amelyen túl már csak nem-effektív kiemelések eszközölhetők. Ha tehát tehát az effektív effektív tényező-k tényező-kiem iemelés elésekne eknekk a poli polinomb nomban an rejlő rejlő valamennyi lehetőségét kihasználjuk és végrehajtjuk, ezt maximális vagy teljes effektív kiemelésnek nevezzük. Így például az alábbi effektív kiemelésben: a 5 ⋅ b 4 c + a 3 ⋅ b ⋅ c 2
+ a 4 ⋅ b 2 ⋅ c3 = a 3 ⋅ b ⋅ c(a 2 ⋅ b 3 + c + a ⋅ b ⋅ c 2 )
az a 3 ⋅ b ⋅ c szorzat az a maximális maximális tényező-csoport, amely még effektíven kiemelhető az adott polinomból. Példánk tehát a teljes effektív kiemelést mutatja. A következő b n
+ b n = b m ⋅ ( b n −m + b n −m )
példa ugyancsak effektív kiemelést mutat, ha 0→m→n, de nem teljes effektív kiemelést tár elénk, ha m valamely valamely tetszésszerinti szám a jelzett határok között. Abban az esetben azonban, ha feltesszük, hogy m = n, az effektív kiemelés teljessé válik az adott polinomra nézve. Meg kell jegyeznünk továbbá még a következőket is. Ha valamely polinomban törtek is előfordulnak, akkor mindenekelőtt közös nevezőre kell hoznunk a polinom tagjait, a teljes effektív kiemelést pedig csak azután hajthatunk végre, mégpedig külön a számlálóban és külön a nevezőben. Így például az alábbi számtorzulás-mentes egyenlőségben:
+ v3 w v 2 + vz + k = 2 u v + uw u 2 v − uw v2
teljes effektív kiemelést csak úgy eszközölhetünk, ha a törteket előbb közös nevezőre hozzuk. Ebben az esetben: k =
2u 2 v 3
+ u 2 v 4 w − uv 3 w 2 + u 2 v 2 z + uvwz , u 4v2 − u 2w 2
majd külön a számlálóban és külön a nevezőben megvalósítva a teljes effektív kiemelést: k =
(
uv ⋅ 2uv 2
+ uv3 w − v 2 w 2 + uvz + wz) u 2 ⋅ ( u 2 v2 − w 2 )
illetőleg:
80
2 uv 2 + uv 3 w − v 2 w 2 + uvz + wz k = ⋅ u u 2v2 − w 2 v
vagyis kimondhatjuk, hogy a v/u tört az a maximális tényező, amelyet effektíven kiemelhetünk a fenti egyenlőségben megadott polinomból. Magától értetődik, hogy ha valamely polinomban negatív előjelű exponensek is előfordulnak, előfordulnak, akkor az efféle hatványokat mint törtkifejezéseket kell kezelnünk. A teljes effektív kiemelésnek a végrehaj végrehajtása tása során ugyanúgy ugyanúgy kell eljárnun eljárnunkk tehát, tehát, mint a törteket törteket tartalmazó tartalmazó poli polinomo nomok k esetében. Vagyis a kiemelést nem szabad gépiesen, olyként eszközölnünk, hogy a valamennyi tagban tagban előfordul előforduló, ó, legmagas legmagasabbf abbfokú okú hatványt hatványt emeljük emeljük ki a poli polinom nom elé, hanem a negatív negatív exponenssel bíró hatványokat előbb törtkifejezésekké kell átalakítanunk, majd a fenti értelemben eljárnunk. Így például teljes effektív kiemelést mutat az alábbi egyenlőség:
(
a −3 ⋅ b + a −5 ⋅ c + a 2 ⋅ d = a −5 ⋅ a 2 ⋅ b + c + a 7 ⋅ d
),
míg nem-teljes effektív kiemelést tüntet fel ugyanerre a polinomra nézve a következő formula: a −3 ⋅ b + a −5 ⋅ c + a 2 ⋅ d
= a 2 ⋅ (a −5 ⋅ b + a −7 ⋅ c + d ) ,
mert ha az adott polinomnak a tagjait közös nevezőre hozzuk, akkor a
−3
−5
⋅ b + a ⋅ c + a ⋅ d = 2
a 2 ⋅ b + c + a 7 ⋅ d a
5
,
ennek a törtnek a számlálójából számlálójából pedig csak a pozitív egység emelhető ki, nevezőjéből viszont az 5 a hatvány, – vagyis effektíven és maximálisan, az egész törtre vonatkozó 1 a5
= a −5
tényező. /Lásd fentebb, a teljes effektív kiemelést feltüntető egyenlőségben./ Felsorolt példáinkból világosan kitűnik egyébként, hogy nemcsak az effektív és a nemeffektív kiemeléseket kell megkülönböztetnünk egymástól, hanem ezenfelül különbséget kell tennünk a teljes effektív és a nem-teljes effektív kiemelések között is.
31.§. Maguktól végbemenő effektív kiemelések. Tegyük fel, hogy a klasszikus matematika eljárásai szerint, közönséges osztási művelttel meghatározzuk az alábbi – példának felvett – három törtkifejezésnek az értékét. Elvégezve az osztásokat, nyerjük miszerint:
81
/31,1/
/31,2/
/31,3/
a 6 ⋅ b 3 − a 3 ⋅ c 6 a ⋅ b − c
2
= a 5 b 2 + a 4 bc 2 + a 3c 4 ,
a 5 ⋅ b 4
− a ⋅ c8 = a 4 b 3 + a 3 b 2 c 2 + a 2 bc 4 + ac6 , a ⋅ b − c 2
a 7 ⋅ b 2
− a 5 ⋅ c4 = 6 + 5 2 a b a c . 2 a ⋅ b − c
Belátható, hogy ha a fenti egyenlőségekben a, b és c helyébe olyan értékeket helyettesítünk be, hogy a törtekben a számlálók számlálók és a nevezők véges értékűek maradnak, akkor az egyenlőségek nyilv nyi lvánv ánvaló alóan an helytá helytáll llókn óknak ak és igaz igazakn aknak ak tekin tekinthe thetők tők.. Mihel Mihelyt yt azonb azonban an oly olyan an értéke értékett tulajdonítunk az a, b és c számnak, vagyis ha úgy végezzük el a helyettesítést, helyettesítést, hogy a számlálók számlálók és a nevezők nevezők egyaránt egyaránt megközel megközelíthe íthessék ssék az érték-nél érték-nélküli külisége séget,t, akkor akkor a három három egyenlős egyenlőség ég azonnal ellentmondásba kerül egymással. Így például, ha egyszerűen helyettesítést végzünk b = a és c = a értelemben, akkor a következő – egymásnak valóban ellentmondó – egyenlőségekhez jutunk: /31,4/
− a9 = 3 ⋅ a7 , a2 − a2
/31,5/
− a9 = 4 ⋅ a 7 , a2 − a2
/31,6/
− a9 = ⋅ 7 . 2 a a2 − a2
a
9
a9
a9
Ezt az elle ellentm ntmond ondást ást a klas klasszi szikus kus matem matemati atika ka azzal azzal a körülm körülménn énnye yell ind indoko okolj lja, a, hogy hogy mindhárom utóbbi törtnek a nevezője zérus. A törtek tehát bizonytalan és határozatlan értékűek. Az intrazeriális felfogás azonban nem nyugodhatik bele ebbe a triviális triviális indoklásba a törtek és hányadosok további vizsgálata nélkül. Minden Mindenese esetre tre fel kell kell téte tételez leznün nünk, k, hogy hogy a /31,1 /31,1// - /31,3 /31,3// alat alatti ti száml számlál álók ók és nevez nevezők ők törvényszerűen alkalmazkodnak valamely olyan szemponthoz, amely a /31,4/ - /31,6/ alatti hányadosoknak a fellépését írja elő, még akkor is, amikor b = c = a. Vizsgálataink során, csakhamar megtaláljuk ezt a szempontot. Összehas Összehasonlí onlítva tva az eredeti eredeti törteket törteket a legutóbb legutóbbii hányados hányadosokka okkal,l, arról győződhe győződhetünk tünk meg ugyanis, hogy maguktól végbemenő teljes effektív kiemelések valósulnak meg az osztási Ezt a spontá spontánn átala átalakul kulást ást felté feltétl tlen enül ül művele művelett folyam folyamán án az erede eredeti ti törtki törtkifej fejezé ezések sekben ben. Ezt teki tekinte ntetbe tbe kell kell vennün vennünk, k, ha b→a b→a és c→a c→a eseté eseténn megha meghatá tároz rozni ni kív kívánj ánjuk uk a törtf törtfügg üggvén vények yek intrazeriális határértékeit. Ezt az átalakulást valóban tekintetbe véve, máris kimondhatjuk, miszerint a /31,1/ alatti törtből kiemelést végezve:
82
a−a 6 − − inz lim a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a = 3 ⋅ a = = → a ⋅ b − c 2 a−a → 3 3
/31,7/
3
a b c
6
6
3
3
2
b a c a
6
2
6 2
7
2
,
a /22,7/ alatt már meghatározott formulának az értelmében. Ha a /31,2/ törtből önmagától végbemenő kiemelést vesszük tekintetbe, akkor
− a − a 8 − inz lim a ⋅ a⋅ a ⋅ ⋅ a = 4 ⋅ a = = → a ⋅ b − c 2 a−a → 4 4
a b c
/31,8/
8
8
8 2
2
b a c a
8
2
2
7
,
majd ugyanígy a /31,3/ törtre vonatkozólag:
a−a 4 − − = = inz lim a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a = 2 ⋅ a → a ⋅ b − c 2 a−a → 2 2
/31,9/
5
a b c
4
4
5
2
b a c a
4
5
2
2
4 2
7
,
az így nyert határérték-meghatározások ugyanis teljesen megegyeznek a /31,4/ - /31,6/ alatti hányadosokkal. A számok számok törvé törvénys nysze zerű rű alkal alkalmaz mazkod kodása ása – vagyi vagyiss a spontá spontánn végbe végbeme menő nő telj teljes es effek effektí tívv kieme kiemelé lésne snekk a megva megvalós lósulá ulása sa a törte törtekbe kbenn – a /31 /31,7/ ,7/ - /31,9 /31,9// alat alatti ti leve levezet zetése éseink inknek nek az értelmében, nyilvánvaló. Mit jelent azonban ez az átalakulás a matematika rendszerében? Előző fejtegetéseink alapján, már nem ütközik nehézségbe, hogy megadjuk erre a kérdésre a választ. Azok a teljes effektív kiemelések, amelyeket az intrazeriális határértékeknek a képleteiben tekintetbe vettünk és feltüntettünk: teljes analógiát mutatnak a /29,1/ alatti meggondolással. A klasszikus matematikának a közönséges osztási művelete ezeknek a spontán végbemenő effektív kiemeléseknek a megvalósulását ab ovo megköveteli. Ezt bizonyítják a /31,1/ - /31,3/ alatt meghatározott hányadosok, amelyeknek az intrazeriális limeszei:
inz lim( a b + a bc + a c ) = 3 ⋅ a 5 2
b→ a c→ a
4
2
3 4
7
,
83
(
4 3
3 2 2
2
4
6
)
inz lim a b + a b c + a bc + ac = 4 ⋅ a b→ a c→ a
(
6
5 2
)
inz lim a b + a c = 2 ⋅ a b→ a c→ a
7
,
7
,
törvényszerűen megegyeznek a /31,7/ - /31,9/ alatti határértékekkel. Minth Minthogy ogy pedig pedig az az analóg analógia, ia, amely amely az osztá osztási si művel művelet et által által megkö megköve vetel teltt effek effektí tívv kiemelések és a /29,1/ alatti levezetés között fennáll, közvetlenül arra mutat rá, hogy a /31,1/ - / 31,3/ törtekben előforduló a3c6, ac8 és a5c4 szorzatok mint kivonandók voltaképpen a 3 ⋅ c 6 ⋅ H c , a ⋅ c8 ⋅ H c és a 5 ⋅ c 4 ⋅ H c szorzatokként szorzatokként értelmezendők, – azért kimondhatjuk, hogy a klasszikus 6
8
4
matematikának a közönséges osztási művelete csakis az ismételt /nem egyidejű/ tényleges kivonásokat értelmezi, a /29,2/ szerint végbevitt kivonásokat pedig csak akkor, ha a kivonandókban kivonandókban valamely szorzat helyett csak egyetlen betűkifejezést alkalmazunk. Ebből következik az alábbi tétel:
Valamely tényleges különbségnek csakis abban az esetben szabad meghatároznunk az intrazeriális határértékét, ha ezt megelőzőleg a különbségből már teljes effektív kiemelést hajtottunk végre. Így például legyen meghatározandó az A -típusú u
= 8 x − 16 x −2
függvénynek az értéke az x = 2 helyen. helyen. Tételünk Tételünk szerint, szerint, a telj teljes es effektí effektívv kiemelé kiemelésnek snek a végrehajtása után: inz lim 8 ⋅ x →2
x −2 x −2
= 8⋅
2− 2 2− 2
=8 .
Jellegzetes az alábbi példa is. Határozzuk meg a v=
9 x 2 − 3x 3 x −3
függvényértéket az x = 3 helyen. Akkor a teljes effektív kiemeléssel:
x →3
inz lim − 3x 2 ⋅
x − 3 = −27 x − 3
,
84
szem előtt tartva azt a körülményt is, hogy az osztó és az osztandó egyaránt rendeztessék valamely betűfejezésnek a fogyó vagy növekvő hatványai szerint.
32.§. A L’Hospital-féle formula kiemelési lehetőségei. A klasszikus matematikai felfogás nem tesz különbséget effektív és nem-effektív kiemelések között. Ennélfogva a klasszikus matematikának minden formulája egyaránt meg kell, hogy engedje mindkét fajta kiemelésnek a végrehajtását. A L’Hospital-féle tétel ugyancsak a klasszikus matematikába tartozik és annak zérusfokú pontossága pontossága mellett áll fenn. Vizsgáljuk meg tehát azt a kérdést, vajjon a L’Hospital-féle L’Hospital-féle formula is helytálló marad-e tetszésszerinti kiemeléseknek az esetében. Tegyük fel ezért, hogy F, f , φ és u mind az x változónak valamely függvénye, a pedig valamely konstáns számérték. Ebben az esetben, ha a klasszikus matematika felfogása szerint fennállnak az /32,1/
F(k ) −f (k )
=0 ,
ϕ(k ) − a = 0
egyenlőségek, – akkor be kell bizonyítanunk, hogy valóban helytálló és igaz a tetszésszerinti kiemelést tartalmazó, alábbi
/32,2/
lim
x →k
F( x ) − f ( x )
ϕ( x ) − a
F( x ) f ( x ) u ( x ) − u ( x ) [ F( x ) − f ( x )] ' = lim = lim u ( x ) ⋅ x →k x →k [ϕ( x ) − a ] ' [ϕ( x ) − a ] '
'
egyenlőség is, amelyben u bármilyen függvénye lehet az x változónak. Mert ha a felírt /32,2/ egyenlőségünk csakugyan helytálló, akkor a L’Hospital-féle formula valóban érvényes bármiféle fajta kiemelésnek a végrehajtása mellett. Könnyen beláthatók a következő összefüggések: /32,3/
/32,4/
( F −f )' (ϕ−a )'
=
F'−f '
ϕ'
,
F −f ' F'−f ' F ⋅ u '−f ⋅ u ' u u F'⋅u −f ⋅ u '−f '⋅u +f ⋅ u ' u⋅ = = − = u ⋅ϕ ' u ⋅ϕ ' ϕ' ( ϕ−a ) ' F'−f ' u' , = −( F −f ) ⋅ u ⋅ϕ ' ϕ'
ebből pedig a /32,3/ egyenlőségnek az alapján azonnal következik, miszerint egyrészt
85
/32,5/
[ F(x ) −f (x )] ' F' (k ) −f ' (k ) = x→ k ϕ ' (k ) [ϕ(x ) −a ] '
lim
másrészt viszont /32,4/ -nek az értelmében:
/32,6/
F( x ) f ( x ) u ( x ) − u ( x ) ' F' (k ) − f ' (k ) , u ' k = lim u ( x ) ⋅ −[ F(k ) − f (k )] ⋅ x →k u ⋅ k ⋅ ϕ' (k ) ϕ ' k [ϕ( x ) − a ] '
de miután a /32,1/ alatti egyenlőség szerint F(k ) −f (k ) =0 , azért a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett, a /32,5/ és /32,6/ alatti képleteknek az összehasonlítása alapján kimondhatjuk, miszerint a /32,2/ egyenlőség valóban fennáll és igaz. Fenti levezetésünk élesen rávilágít arra a körülményre, hogy a L’Hospital-féle tétel nem tesz különbséget f(x) és
f ( x ) u (x)
alakú alakú kivon kivonan andó dó tagok tagok között között,, amikor amikor x→k x→k eseté eseténn ez adott adott
törtfügg törtfüggvény vény számlál számlálója ója és nevezője nevezője megköze megközelíti líti az érték-nél érték-nélküli külisége séget,t, mert /32,6/ /32,6/ -ban a differenciálási műveletnek a szükségességét nem terjeszti ki a törtfüggvényből kiemelt u(x) függvényre. Ezáltal pedig elismeri, hogy a kiemelés révén megváltoztatott törtfüggvénynek ugyanolyan szerepet tulajdonít a határérték-meghatározás terén, mint az eredetileg megadott /kiemelés nélküli/ törtfüggvénynek. Magától értetődik viszont, hogy mindez csakis zérusfokú pontosságnak a megkövetelése mellett állhat fenn, magasabbfokú pontosságnak az esetében azonban már nem lehet igaz. Ismételt Ismételten en bizonyí bizonyítva tva látjuk látjuk tehát tehát azt a tényt, tényt, hogy a L’Hospit L’Hospital-f al-féle éle tétel tétel zérusfok zérusfokúnál únál magasabbfokú pontosságú tételnek semmi esetre sem tekinthető.
33.§. Két szám összegének és különbségének szorzata. szorzata. Vizsgáljuk meg a klasszikus matematikában gyakorta alkalmazott /33,1/
(a + b) ⋅ (a − b) = a
2
− b 2
egyenlőséget, abból a szempontból, hogy amennyiben a benne foglalt különbségeket tényleges különbségeknek tekintjük, helytálló marad-e a /33,1/ formula mint magasabbfokú pontosságú egyenlőség, vagy pedig egyenlőtlenséggé változik-e át. Jelöljük be e végett a számtorzulási tényezőket. Akkor az egyenlőség – tényleges különbségek esetén – a következő alakot nyeri: /33,2/
(a + b ) ⋅ (a − b ⋅ H b ) = a 2
− b 2 ⋅ H ( b ) , 2
amely egyenlőség zérusfokú pontosság esetén nyilvánvalóan helytálló, mert a /33,1/ formulába olvad át. Végezzük számításainkat számításainkat egyelőre csupán elsőfokú pontossággal. pontossággal. Tegyük fel továbbá, hogy b = a. Ebben az esetben, a megfelelő helyettesítéssel:
86
/33,3/
( 2a ) ⋅ [ a − a ⋅ (1 − Ø ⋅ ln a ) ] = a 2 ( 2a ) ⋅ (Ø ⋅ a ⋅ ln a)
Ø⋅2⋅a
2
− a 2 ⋅ (1 − Ø ⋅ ln
a2)
= Ø ⋅ a 2 ⋅ ln a 2 ,
⋅ ln a = Ø ⋅ 2 ⋅ a 2 ⋅ ln a ,
amiből kitűnik, hogy a /33,2/ egyenlőség még a kritikus körülmények között is helytálló marad az elsőfokú pontosságnak a keretein belül. Mindez azonban nem bizonyítja a /33,2/ egyenlőségnek a magasfokú pontosságát, mert – miután a /33,3/ alatti legutolsó egyenlőségünknek mindkét oldalán csak egyetlen számszintre tarto tartozó zó érték értékek ek fogla foglalna lnakk helyet helyet – a speci speciáli áliss esetre esetre vonatk vonatkozó ozó /33 /33,3/ ,3/ egyenl egyenlősé őségg is csak csak zérusfokú pontosságú pontosságú kifejezés. Azt pedig már a klasszikus matematika matematika is megállapította, megállapította, hogy a /33,1 /33,1// alat alatti ti egyen egyenlő lőség ség zérusf zérusfokú okú pontos pontosság ság melle mellett tt mi mindi ndigg igaz igaz marad, marad, tehát tehát a /33 /33,3/ ,3/ formulának is igaznak kell lennie. Ahhoz, hogy a /33,2/ alatti állításnak a magasfokú pontosságáról, vagy annak ellenkezőjéről meggyőződhessünk, el kell végeznünk az alábbi átalakításokat: ( a + b ) ⋅ (a − b ⋅ H b ) = a 2 − b 2 ⋅ H ( b 2 ) a2
,
+ ab − ab ⋅ H b − b 2 ⋅ H b = a 2 − b 2 ⋅ H ( b ) , 2
ab − ab ⋅ H b
= b 2 ⋅ H b − b2 ⋅ H( b ) ,
ab ⋅ 1 − H b
ab
= b 2 ⋅ H b ⋅ (1 − H b ) ,
= b 2 ⋅ H b ,
ez az egyen egyenlős lőség ég azonba azonbann – zérus zérusnál nál magasa magasabbf bbfokú okú pontos pontossá ságg melle mellett tt – nyi nyilvá lvánva nvalóa lóann hamisnak bizonyul , még b = a esetében is. Ebből Ebből pedig pedig azonna azonnall követk következ ezik ik az a megál megállap lapít ítás, ás, hogy hogy a /33 /33,1/ ,1/ alat alatti ti formul formulaa nem vonatkozhatik tényleges különbségekre, ha magasfokú pontossággal számolunk. Levezetéseink nyomán azt látjuk tehát, hogy a klasszikus matematika formulái korántsem alka alkalm lmaz azko kodn dnak ak mi mind ndig ig a maga magasa sabb bbfo fokú kú pont pontos ossá ságn gnak ak a köve követe telm lmén énye yeih ihez ez,, – hane hanem m ellenkezőleg: a magasfokú egyenlőségeknek az alapján állnak fenn csupán, ha kiértékeljük azokat a zérusfokú pontosságnak a keretein belül.
34.§. A negatív egység. Az intra intraze zeriá riális lis rendsz rendszer er a negat negatív ív számok számokat at is máskén máskéntt kell kell,, hogy hogy értel értelmez mezze, ze, min mintt a klasszikus felfogás, mert mindenkor élesen elhatárolt különbséget kell tennie az összeadandóul vett negatív számok és a ténylegesen kivonandó pozitív számok között. 87
Annál fontosabb ez a megkülönböztetés, mert a „mínusz” jel, vagyis a negatív számok előjele, egyúttal a végrehajtandó kivonási műveleteknek a jelképe is. A megkülönböztetésnek az első feltétele, hogy pontosan meghatározzuk a negatív egységnek a fogalmát. Tegyük fel e végett, hogy a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság mellett is értéktelennek tekinthető 0 – 0 különbségből ténylegesen kivonjuk a pozitív egységnek az értékét. Akkor, a számtorzulási tényezőnek a bejelölése mellett írhatjuk, miszerint: (0 − 0) −1 = (0 − 0) −1 ⋅ H 1
.
Minthogy azonban a /27,3/ formulának az értelmében H1=1, a 0 – 0 jelképet pedig egyszerűen elhag elhagyha yhatj tjuk, uk, mégpe mégpedig dig a nélkül nélkül,, hogy hogy az egyen egyenlős lőség ég ezál ezáltal tal vált változá ozást st szenv szenved edne, ne, azért azért kimondhatjuk, hogy /34,1/
−1 = −1 .
Ezek Ezek szer szerin intt tehá tehátt nyil nyilvá vánv nval aló, ó, hogy hogy a tényle tényleges gesen en kivona kivonandó ndó poz pozití itívv egysé egységge ggell
definiálhatjuk a negatív egységnek a fogalmát.
Ez a definíció azonban csak a negatív egységre nézve helytálló, nem alkalmazható viszont a negatív számokra általánosságban.
35.§. A negatív egységnek mint tényleges kivonandónak a számtorzulási tényezője. A matematikában a negatív egységnek is értéke van. Ha tehát –1 tényleges kivonandóként szerepel valamely különbségben, akkor éppen úgy értéktorzulást kell szenvednie, mint bármely más számnak. A –1 értékű tényleges kivonandóhoz hozzátársuló H-1 számtorzulási tényezőnek a képlete tehát, a /19,11/ egyenlőségnek az értelmében: /35,1/
H −1
= (−1) −ø = e −Ø⋅Ln(-1) ,
amikor is ln (-1) több-értékű képzetes szám , az Ln (−1)
= (2n +1) ⋅ πi
szorzatnak az értelmében, amelyben n tetszésszerinti egész-szám, vagy 0 – 0 is lehet. Ebből következik, hogy amennyiben a negatív egységet a negatív egységből ténylegesen kivonjuk, akkor a fennálló különbségnek az értéke: /35,2/
(−1)− (−1)
= (−1) − (−1) ⋅ H −1 = −1 + H −1 = −1 + e −Ø⋅Ln(-1) .
Így tehát, elsőfokú pontossággal kiértékelve:
88
/35,3/
( −1)−(−1)
=−Ø ⋅ Ln(-1) ,
amely különbség, a negatív egység logaritmusának a következtében, nyilvánvalóan képzetes
szám.
Magá Magátó tóll érte értető tődő dően en fenn fennál álll egyé egyébk bkén ént, t, mi mint nt tény tényle lege gess összeadási művel művelet et,, amely amely mindennemű értéktorzulástól mindenkor mentes marad, a következő formula is: /35,4/
1+( −1)
=0 −0 .
Az int intraze razeriál riális is matemati matematika ka felfogá felfogásába sábann definiá definiált lt negatív negatív egységet egységet tehát tehát mindössz mindösszee a végbemenő értéktorzulások terén kell megkülönböztetnünk a klasszikus matematika negatív egységétől.
36.§. A negatív számok mint szorzatok. Az intrazeriális rendszer az általános értelemben vett negatív számot, vagyis a –a értéket természetszerűen úgy kell, hogy értelmezze, miszerint az a negatív egységnek és a pozitív a értéknek a szorzatából áll: /36,1/
−a = ( −1) ⋅ a .
Ezt a meghatározást valójában úgy kell értenünk, mint egymásután a -szor végbevitt, végbevitt, ismételt valame mely ly adot adottt szám számér érté tékb kből ől,, vagy vagy a 0 – 0 tényle ténylege gess kivoná kivonását sát a poz pozitív itív egysé egységne gnek, k, vala különbségből, a /29,1/ alatti egyenlőség szerint. Minthogy pedig a ténylegesen kivont pozitív egység /34,1/ éppen egyenlő a negatív egységgel, azért felfogásunknak az értelmében írhatjuk, hogy
1 2 3 a ∪
∪ ∪
∪
/36,2/
.
(0 − 0) − 1− 1− 1. . − 1 = (0 − 0)− 1⋅ a = (− 1) ⋅ a = − a Rendszerünkben a negatívnak tekintett –a értéket másként értelmeznünk nem szabad. Könn Könnye yenn belá beláth that atju jukk enne ennekk a ti tila lalo lomn mnak ak a szük szüksé ségs gsze zerű rű volt voltát át.. Mert Mert ha 0 – 0 –ból –ból ténylegesen kivonunk valamely a értékű pozitív számot, akkor a törvényszerű értéktorzulást szenvedett különbség: 0 −0−a
= −a ⋅ H a ,
89
Vagy pedig Taylor-sorral kifejezve:
− a ⋅ H a = −a + Ø ⋅ a ⋅ ln
a-
Ø 2 ⋅ a ⋅ (ln a ) 2 2!
3 3 + Ø ⋅ a ⋅ (ln a ) − +...
3!
amiből világosan kitűnik, hogy a 0 – 0 -ból ténylegesen kivont pozitív a szám nem egyetlen negatív számot képez , hanem egy olyan algebrai összeget, amelynek valamennyi tagja más és
más számszintre tartozik.
Kivétel csupán a pozitív egység, a /34,1/ formulának az alapján, amely egyetlen számszinten határozza meg a negatív egységnek az értékét. Mindebből nyilvánvaló, nyilvánvaló, hogy a negatívnak negatívnak tekintett tekintett –a értéket, csakis a /36,1/, illetőleg illetőleg /36,2/ formu formulá lákk szerin szerintt szaba szabadd értel értelmez meznün nünk, k, nem pedig pedig azono azonosna snakk min minősí ősíte tenün nünkk a tényl ténylege egess kivonandóként szerepet játszó pozitív a értékkel a számításainkban. Ebből következik továbbá, hogy valamely ténylegesen ténylegesen kivonandó –a értékhez törvényszerűen törvényszerűen hozzátársuló számtorzulási tényezőnek a képlete: /36,3/
H −a
= H a ⋅ H −1 ,
a /28,12/ egyenlőségünk szerint. Magától értetődik viszont, hogy tényleges tényleges összeadási művelet esetén, amikor is értéktorzulás értéktorzulás nem mehet végbe, a következő formula irányadó /36,4/
a +( −a )
=0 −0 .
Ha eltekint eltekintünk ünk a tényleg tényleges es kivonási kivonási művelete műveletekk alkalmá alkalmával val törvénysz törvényszerűe erűenn végbemen végbemenőő értéktorzulásoktól, kimondhatjuk ennélfogva, hogy egyébként, vagyis gyakorlati szempontból, az intrazeriális matematika is ugyanúgy kezeli a negatív számokat, mint a klasszikus felfogás. Mindössze arra kell tekintettel lennünk, miszerint /36,5/
− a = (−1) ⋅ a , −a = −a ⋅ H a ,
−(−a ) = a ⋅ H a ⋅ H −1 ,
amely formulának a gondos alkalmazása elkerülhetetlenül fontos az intrazeriális rendszernek a gyakorlatában.
37.§. A negatív szám fogalma. Az intrazeriális matematika felfogása szerint, mindenekelőtt meg kell gondolnunk, hogy a nega negatí tívv szám számér érté téke kekk nem nem való valósá ságo gos, s, hane hanem m elméleti számér számérté tékek kek csupán csupán.. Negat Negatív ív 90
számértékekkel ugyanis – ha nem tévesztjük össze a negatív számnak a fogalmát a tényleges kivonandó számnak a fogalmával, – a természetben, a megnyilvánulások világában sohasem találkozunk. A köznapi életben, a negatív számfogalom elképzelésének a megkönnyítése céljából a hiány fogalmára szokás hivatkozni, olyképpen, hogy a „hiány” szóval szokás érzékeltetni a „negatív” szónak a jelentését, amennyiben az számokra, mennyiségekre vonatkozik. Ez azonban már alapjában véve téves felfogás. Mert még a hiány is csak pozitív hiány lehet a természetben, és sohasem negatív, ha egyáltalában megnyilvánulásokra vezet. Elvitathatatlan tény, hogy valamely hegyszakadéknak a felső peremétől mért mélységét a szakadék negatív magasságaként is értelmezhetjük; a hegyszakadék alulról mért magasságát viszont a szakadék negatív mélységével vehetjük egyenlőnek. Valamely m értékű adósságot úgy is felfoghatunk, mint –m értékű, vagyis negatív vagyont; valamely m értékű aktivát ezzel szemben, -m értékű, vagyis negatív passzivaként is értelmezhetünk. Valamely mennyiségnek a csökkené csökkenését sét negatív negatív növekedé növekedésnek snek is tekinthe tekinthetjük tjük;; valamel valamelyy mennyisé mennyiségnek gnek a növekedé növekedését sét viszo viszont nt negat negatív ív csökk csökkené enésne snek. k. És így tov tovább ább.. Mindö Mindössz sszee szempont kérd kérdés ésee lehe lehett az a körülmény, hogy a természetben természetben előforduló méretek közül melyiket kell pozitívnak tekintenünk, mert a vele ellentétes értelemben felfogott méret azonnal negatív jellegűvé válik. A negatív méret azonban nincs a természetben. Másik szempontból nézve, az utóbbi méret is pozitív. A negatív méreteket, a negatív számokat tehát csak az elmélet hozta létre, az ellentétes szempontok megkülönböztetése céljából. A matematika elmélete megengedi ennélfogva, hogy a fentebb felsorolt és az azokhoz hasonló összes ellentétpárok akármelyik tagjának a mértékét tetszés szerint fejezzük ki akár pozitív, akár negatív számértékkel, számértékkel, ha ugyanannak ugyanannak az ellentétpárnak ellentétpárnak az ellentétes ellentétes értelmű tagjára az ellentétes előjelű és értelmű számokat vonatkoztatjuk. Tény az is, hogy a valóságban nem hajthatunk végre egy adott számértékből egy nála nagyobb értékű számnak a kivonását. A nyert különbség tehát még az ilyen esetben is csak elméleti számérték lehet, – ha számok alatt ténylegesen fennálló mennyiségeket mennyiségeket értünk. Minthogy azonban – a fenti gondolatmenet alapján – az is csak szempont kérdése, hogy két adott számérték közül melyiket kell pozitív értelemben nagyobbnak tekintetnünk a másiknál, azér azértt bárm bármik ikor or előá előáll llha hatn tnak ak olya olyann eset esetek ek,, amik amikor or tényleges kiv kivoná onási si művel művelet etet et kell kell végrehajtanunk úgy, hogy egy nagyobb számot vonunk ki egy kisebből. Az így nyert különbségeket természetesen negatív számokkal kell kifejeznünk. Ha pedig megváltoztatott megváltoztatott szempontból nézzük a természetben természetben előforduló méreteket, bármikor előadódhatnak olyan esetek is, amikor valamely negatívnak értelmezett értelmezett számot ténylegesen kell kivonnunk valamely pozitív vagy negatív számértékből. A ténylegesen végrehajtott kivonási műveletek, a magasabbfokú pontosságú matematikai rend rendsz szer erne nekk a megá megáll llap apít ítás ásai ai szer szerin int, t, mi mind nden enko korr a kivo kivona nand ndóó tagn tagnak ak a törv törvén énys ysze zerű rű értéktorzulásával járnak együtt. Ha tehát a kivonandó tag negatív szám, akkor az illető negatív számnak is értéktorzulást kell szenvednie, a tényleges művelet folyamán. Voltaképpen mindig igaz, hogy a kivonandó negatív számérték egy bizonyos szempontból történő megítélés szerint látszik negatívnak csupán, valójában azonban egy olyan méretet juttat kifejezésre, amely a természe természetben tben ténylege ténylegesen sen előfordu előfordul.l. Negatív Negatív számnak számnak a kivonása kivonása is lehet lehet ezért ezért tényleges
értelemben végrehajtott kivonás.
Maga a negatív szám viszont mégis csak elméleti számot képez. Telje Teljesen sen log logiku ikusna snakk látsz látszik ik tehát tehát az a továb további bi követ következ kezte tetés tésünk ünk,, hogy hogy valam valamely ely effél effélee lehet reális reális torzul torzulás, ás, han hanem em csak csak „elméle „elméleti” ti” számnak számnak a végbemen végbemenőő értéktorz értéktorzulás ulásaa nem lehet képzetes . Hiszen maga az a szám sem „valóságban fennálló érték”, amelynek a torzulása végbemegy az ilyen esetben. 91
Ezt a következtetésünket teljes mértékben igazolja a negatív a számhoz hozzátársuló H-a számtorzulási tényezőnek a /36,3/ alatt meghatározott képlete, amely /35,1/ szerint: valóban
képzetes /komplex/ függvényt juttat kifejezésre.
Ennek alapján meggyőződhetünk arról, hogy bármely negatív számnak a tényleges kivonása mind mi nden enko korr képz képzet etes es /kom /kompl plex ex// külö különb nbsé sége gett ered eredmé mény nyez ez,, ha zéru zérusn snál ál maga magasa sabb bbfo fokú kú pontossággal számolunk. Visszatérve Visszatérve végül arra a fentebb kifejtett gondolatmenetre, gondolatmenetre, amely szerint a számoknak – mint méreteknek – a negatív jellege és előjele mindig a felvett megítélési szempontnak a függvénye csupán, meggyőződhetünk egyúttal arról is, hogy ebben a szempontok szerinti függőségben megint a számok törvényszerű törvényszerű alkalmazkodása nyilvánul meg a matematikában. Könnyen belátható, hogy feltétlenül szükséges megismernünk a különböző alkalmazkodási törvé törvénye nyeket ket,, ha magasa magasabbf bbfokú okú ponto pontossá sságot got követ követel elünk ünk meg. meg. Alapve Alapvető tő összef összefügg üggése ésekk és fogalmak tisztázása csakis ily módon válik lehetővé. A magasfokú pontosságú matematikában éles éles megkülön megkülönbözt bözteté etéseke sekett kell kell tennünk, tennünk, gyakran gyakran olyan olyan fogalmak fogalmakon on belül belül is, amelyeke amelyekett a klasszikus felfogás nem definiál elég mélyrehatóan ahhoz, hogy azok megfeleljenek a zérusnál magasabbfokú pontosság ésszerű kívánalmainak is. A klasszikus rendszer megelégedhetik azzal, például, hogy egyetlen fogalomnak – úgymint a „negatív számok” fogalmának – a körén belül csoportosítsa mind a –1 tényezővel szorzott pozitív értékeket, mind pedig a tényleges tényleges kivonandókat. Az intrazeriális intrazeriális felfogás viszont szigorú megkülönböztetést követel meg ezen a téren. Jelentékeny mértékben szűkítenünk kellett tehát a negatív számoknak a klasszikus fogalmát. És így tovább.
38.§. Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek origója és origo-foltja. Szükségessé válik rendszerünkben az origo fogalmának tisztázása is. Vegyünk fel ebből a célból egy derékszögű koordinátarendszert, amelynek tengelyein a megnyilvánuló véges számoknak az algebrai sorát tüntetjük fel. Nevezzük ezt a rendszert K rendszernek. Tegyük fel továbbá, hogy n valamely rendkívül nagy pozitív véges számot képvisel, amelynél nagyobbat szinte még elképzelni sem tudunk. Magától értetődik, hogy az 1/n törtnek a koordinátarendszerbeli koordinátarendszerbeli helye és a K rendszer origója között, gyakorlati értelemben különbséget tenni már nem tudunk. Jogosan feltehetjük azonban, hogy megfelelően erős nagyítású mikroszkópnak az igénybevétele mellett még kijelölhetjük az origótól bizonyos távolságra az 1/n értéknek a helyét is a tengelyeken. Szorozzuk meg ezután a K rendszerben feltüntetett összes értékeket a határozott zérussal. Belátható, hogy ezáltal egy olyan K 1 rendszert nyerünk, amely nem más, mint a Ø egységű számszintnek a sajátos koordinátarendszere. Tegyük Tegyük fel, fel, hogy hogy sokkal sokkalta ta erőseb erősebbb nagyí nagyítá tású, sú, elképzelt mikroszkó mikroszkópnak pnak a segítség segítségével ével,, bejelöljük ebben a K 1 rendszerben, rendszerben, az origótól bizonyos távolságra, távolságra, a Ø/n törtnek a helyét is. Bár gyakorlatilag keresztülvihetetlen, pusztán elméleti bejelölésről lehet szó csupán, logikailag mégis magától értetődik, hogy az a távolság, amely a Ø/n értéknek megfelelő pontot választja el az origótól, feltétlenül kisebb annál a K rendszerbeli távolságnál, amely ott az 1/n pont és az origo között mutatkozik. Szorozzuk meg most K 1 rendszernek minden egyes értékét a határozott zérussal. Ebben az eset esetbe benn egy egy olya olyann K 2 rend rendsz szer ertt nyer nyerün ünk, k, amel amelyy a Ø 2 egység egységűű számsz számszint intnek nek a saját sajátos os koordinátarendszere.
92
Jelöljük be hasonlóképpen, ebben a K 2 rendszerben, az origótól ismét bizonyos távolságra, a Ø /n értéknek a helyét is. Könnyen belátható, hogy az itt megállapítható távolság feltétlenül kisebb az előbb említett távolságoknál. A határozott zérussal való szorzást tetszésszerinti tetszésszerinti számban megismételhetjük. megismételhetjük. Így eljuthatunk eljuthatunk n végü végüll egy egy olya olyann K n rendsz rendszerh erhez, ez, amely amely nem egyéb egyéb,, mi mint nt a Ø egységű egységű számszin számszintnek tnek a koordinátarendszere. Még ebben a rendszerben is bejelölhetjük – legalább is elméletileg, – az origótól bizonyos távolságra, a Øn/n számnak a helyét. Ennél tovább azonban nem mehetünk. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan η érték, akármilyen elképzelhetetlenül csekély is az, amelyre nézve fennáll, hogy 2
n
η<Ø . n
Feltétlenül bizonyos, hogy még ennek az η értéknek a helye sem eshetik egybe a K n+k koor koordi diná náta tare rend ndsz szer erbe benn az orig origóv óval al,, hisz hiszen en η -nak -nak az absz abszol olút út érté értékn knél élkü küli lisé ségt gtől ől megkülönböztethető, sajátos értéke kell, hogy legyen a K n+k rendszeren belül. Az intrazeriális matematika elmélete azonban még a legmagasabbfokú pontosság mellett sem tudja elhatárolni az η -hoz -hoz haso hasonl nló, ó, fel fel nem nem fogh foghat atóa óann kics kicsin inyy absz abszol olút út-ér -érté tékű kű szám számok okna nakk a hely helyét ét a K n koordinátarendszernek koordinátarendszernek az origójától, origójától, ha n határozatlanul nagy. Az efféle, fel nem foghatóan kicsiny abszolút-értékű számoknak a gyűjtőfogalmát képezi a 0 0 kifejezés az intrazeriális matematikában. A K n rendszerben tehát egy origo körüli „foltot” jelképez a 0 – 0 kifejezés. Derékszögű koordinátarendszerek koordinátarendszerek origójánál ezt a hiper-mikro-foltot hiper-mikro-foltot kör alakúnak képzelhetjük el. A folton belül, természetesen, természetesen, pozitív és negatív η n értékek helyezkednek helyezkednek el. Ezeket az értékeket azonban az intrazeriális intrazeriális matematika már nem különböztetheti különböztetheti meg, sem egymástól, sem az origótól. A 0 – 0 kifejezés ennélfogva bizonytalan és határozatlan értékű jelkép, amelyről csak azt állapíthatjuk meg teljes határozottsággal, hogy az alábbi határok között áll: /38,1/
Øn − n
< 0 −0 <
Øn n
,
ha az n számot a fentebb megadott feltételeink szerint értelmezzük. A /38,1/ egyenlőtlenségnek az alapján, magától értetődik tehát, hogy a koordinátarendszer mindk mi ndkét ét tenge tengelyé lyéne nekk okvet okvetlen lenül ül át kell kell halad haladni niaa a 0 – 0 kifej kifejezé ezésse ssell jelöl jelöltt hip hiperer-mi mikro kro-számf számfolt oltnak nak a szimmé szimmétri triai ai közép középpon pontj tján. án. Ennél Ennélfog fogva va a két tenge tengely ly ebben ebben a szimmé szimmétri triai ai középpontban középpontban metszi egymást, vagyis éppen ott, ahol a szimmétria következtében következtében a rendszernek már egyetlen pozitív és egyetlen negatív értékű pontja sem helyezkedhetik el. A tengelyek egymást-metszésének a helyét nevezzük origónak.
Ki kell mondanunk, hogy az origónak a helye semmiféle értéket sem jelképezhet a koordinátarendszerben. Az origo-fogalom tehát az abszolút érték-nélküliséget juttatja kifejezésre, mindenkor a 0 – 0 jelű mikro-számfoltnak a közepén. Abban az esetben pedig, ha feltesszük, hogy mind a két tengelyt egy-egy olyan egydimenziós egyenes alkotja, amely egyenesek – mint vonalak – homogén elemi pontoknak mindenkor a 93
diszkrét sorozatából állnak, akkor egyben azzal a hipotézissel is élhetünk, miszerint az origo
mindig úgy alkalmazkodik alkalmazkodik a felvett rendszerhez, illetőleg illetőleg abban mindenkor úgy helyezkedik helyezkedik el, hogy okvetlenül két elemi pont közé kerül. Nyilvánvaló ugyanis, hogy két szomszédos elemi pont között csakis űr lehet – és semmi egyéb, – a homogén pontoknak a diszkrét sorában. Ez a hipotézis módot ad arra, hogy a koordinátarendszernek, kivétel nélkül, minden egyes pont pontjá játt valame valamely ly érték értékkel kel ruházz ruházzuk uk fel. fel. Ugyana Ugyanakko kkorr azonb azonban an az origo origo mégis mégis abszo abszolút lútan an értéktelen marad. Mert ahol nincs pont a rendszerben, ott pontok által képviselt „érték” sem lehet.
VI.FEJEZET KLASSZIKUS MATEMATIKAI KÉPLETEK A MAGASFOKÚ PONTOSSÁG MEGVILÁGÍTÁSÁBAN.
39.§. A
határérték, ha n→∞.
lim(1 +1 / n ) n
A /10,1/ egyenlőségnek a kapcsán meggyőződhettünk arról a körülményről, hogy a Taylorsorok magasfokú pontosságnak a megkövetelése esetén is helytállóak. Jogosan átalakíthatjuk tehát az ismeretes /39,1/
ln(1 + h )
2
3
4
2
3
4
= h − h + h − h + −... 1
ha
−1 < h ≤ 1 ,
Taylor-sort, a feltételeknek megfelelő h = Ø értéknek a behelyettesítésével, a következő /39,2/
ln(1 + Ø) =
Ø 1
−
Ø
2
2
+
3
Ø
3
−
Ø
4
4
+ −...
magasfokúan magasfokúan pontos Taylor-sorrá. 94
A megadott feltételeket természetesen az az eset is kielégíti, amikor h = x ⋅ Ø m . Ha pedig ezen az alapon végzünk helyettesítést a /39,1/ formulában, akkor az alábbi egyenlőséghez jutunk el: /39,3/
ln(1 + x ⋅ Ø ) = m
x ⋅ Øm 1
x 2 ⋅ Ø 2m − 2
+
x 3 ⋅ Ø 3m 3
− +... ,
feltételezve, hogy x valamely véges számérték. Ennek az egyenlőségnek az alapján már zérusnál magasabbfokú pontossággal is meg tudjuk határozni a n
x lim1 + n →∞ n
klasszikus matematikai határértéket. Mindenesetre a határozott végtelennel kell számolnunk a bizonytalan ∞ helyett, vagyis fel kell tennünk, hogy n→∞. Az egyszerűség kedvéért pedig tegyük fel továbbá, hogy a /39,3/ alatt m ≠ 1 ???? . Azután induljunk ki abból az általános érvényű egyenlőségből, amely szerint: /39,4/
(1 + x ⋅ Ø) øo = e ln(1+x⋅Ø) = e øo⋅ln(1+x⋅Ø) . øo
Ebből következik, hogy az intrazeriális elv alapján: n
/39,5/
x øo øo⋅ln(1+x⋅Ø) inz lim 1 + = (1 + x ⋅ Ø) = e , n →øo n
mint magasfokú pontosságú határérték. Példakép Példaképpen pen végezzün végezzünkk ezután ezután helyett helyettesít esítést ést az e hatvány hatványala alapnak pnak az exponens exponensében ében,, a másodfokú pontossággal kiértékelt /39,3/ formulának az alapján, ha m = 1. Ebben az esetben azonnal belátható, miszerint /39,6/
(1 + x ⋅ Ø)
øo
=e
Ø Ø2 2 ⋅x− 2 ⋅x 1
øo
=e
x−
Ø 2
⋅x 2
Ø
= e ⋅e x
− ⋅x 2 2
,
majd a tört-kitevőjű hatványt ismét Taylor-sorral kifejezve /10,1/ szerint, – amely sort azonban példánkban csak az elsőfokú pontosságnak a határáig értékelünk ki, – az alábbi egyenlőséghez jutunk el: Ø
/39,7/
(1 + x ⋅ Ø)
øo
= e ⋅e x
− ⋅x 2 2
=e
x
x Ø 2 x 2 e ⋅ 1 − ⋅ x + ... = e − Ø ⋅ x ⋅ . 2 2
Végül Végül,, az így így nyert nyert eredmé eredményü nyünke nkett egybev egybevet etve ve a /39,5 /39,5// alat alatti ti egyenl egyenlősé őségge ggel,l, máris máris kimondhatjuk, hogy az elsőfokú pontosságnak pontosságnak a keretein belül: 95
n
/39,8/
x x x 2 e inz lim 1 + = e − Ø ⋅ x ⋅ . n →øo 2 n
Eljutottunk ezzel feladatunknak a megoldásához. Vizsgáljuk meg ezek után azt az esetet is, amikor x = 1 . Ez a határérték /39,8/ alapján azonnal felírható. n
/39,9/
Ø 1 inz lim 1 + = e − ⋅ e , n → øo 2 n
ebből pedig nyilvánvalóan kitűnik, hogy a klasszikus matematikai n
1 lim 1 + = e n →øo n határérték-meghatározás valóban csak zérusfokú pontosságú kifejezés. Haso Hasonl nlók ókép éppe pen, n, a fent fentii eljá eljárá ráss szer szerin int, t, könn könnye yenn leve leveze zeth thet etőő tová tovább bbá, á, hogy hogy péld példáu áull negyedfokú pontossággal meghatározva: n
/39,10/
2 x x x x + inz lim 1 + = e − Ø ⋅ e ⋅ n →øo 2 n 3 4 3 x x 4 x 5 x 6 0 e + Ø 2 ⋅ e x ⋅ x + x − ⋅ ⋅ + + + 3 8 4 6 48 5 6 7 8 + Ø 4 ⋅ e x ⋅ x + 13x + x + x , 5 72 24 348
Fent levezetett megoldásaink teljes mértékben megvilágítják a felvetett problémát.
40.§. Az e szám magasfokú pontosságú meghatározása. meghatározása. A klasszikus matematikában a természetes logaritmusrendszernek az alapszámát általában kétféleképpen kétféleképpen szokás meghatározni. Az egyik verzió szerint, az /40,1/
ax
2 2 3 3 = 1 + x ⋅ ln a + x ⋅ (ln a ) + x ⋅ (ln a ) + ...
1!
2!
3!
Maclaurin-féle sornak az alapján, abban helyettesítést végezve a = e és x = 1 szerint, a zérusfokú pontosságnak a keretein belül, az /40,2/
e
=1 + 1 + 1 + 1 +... 1!
2!
3!
96
meghatározást nyerjük. A másik verzióban pedig, ugyancsak zérusfokú pontosság mellett: n
/40,3/
1 e = lim 1 + n →øo n
Ez a kétféle meghatározás valóban csak zérusfokú pontosságnak a megkövetelése mellett lehet egyenlőnek tekinthető. Mert ha a /40,3/ határértéket csak elsőfokú pontossággal is határozzuk meg, akkor /39,9/ alapján nyilvánvaló, miszerint n
/40,4/
1 Ø inz lim 1 + = e ⋅ 1 − , → n 2 n
øo
ebből pedig azonnal következik, hogy a /40,3/ nem lehet magasfokúan pontos meghatározása a természetes logaritmusrendszer alapszámának. Másrészt pedig, a /15,1/ egyenlőséghez egyenlőséghez fűzött megoldásainkból megoldásainkból az a további megállapításunk megállapításunk váli válikk nyil nyilvá vánv nval alóv óvá, á, hogy hogy a /40, /40,2/ 2/ alat alatti ti sort sort sem sem teki tekint nthe hetj tjük ük maga magasf sfok okúa úann pont pontos os meghatározásnak, ha a sor csak olyan hosszú, hogy tagjai megszámlálhatók. Valamely megállapodásra van szükségünk tehát az e számnak a magasfokúan magasfokúan pontos értékét illető illetően, en, ha a természe természetes tes log logarit aritmusre musrendsz ndszert ert valóban valóban fenn akarjuk akarjuk tartani tartani az intrazer intrazeriáli iáliss matematikában. Ez a megállapodás természetesen nem lehet más, mint a /40,5/
ln e
=1
egyenlőségnek a feltételezése. Ha viszont helyettesítést végzünk /40,1/ alatt a magasfokúan pontosnak feltételezett /40,5/ egyenlőség szerint, akkor a /40,2/ alatti sor azonnal magasfokúan pontos kifejezéssé válik. Ez pedig a /15,1/ alapján: nem lehetséges, ha a /15,1/ sornak csak megszámlálható számú tagját vesszük tekintetbe. Határtalanul hosszú sort viszont, abban minden egyes tagot külön-külön feltüntetve és összevonva, gyakorlatilag nem írhatunk fel.
Megállapodásunk ennélfogva csupán a /40,5/ egyenlőségre vonatkozik, a magasfokú pontosságnak pontosságnak a keretein belül. Kimond Kimondhat hatju jukk végül végül tehá tehát,t, hogy hogy az e szám valóban valóban „transzc „transzcende endens” ns” szám, szám, amelynek amelynek magasfokúan pontos értékét meghatározni nem áll módunkban.
41.§. Zeriálisan kicsiny tagok végtelen-fokú hatványai. Belátható, Belátható, hogy zeriálisan zeriálisan kicsiny tagokat is tartalmazó összegeknek a øo fokú hatványát – az eddig eddig rendelkez rendelkezésre ésre álló álló eljáráso eljárásokk alkalmaz alkalmazásáv ásával al – csakis csakis akkor akkor határozh határozhatju atjukk meg, ha a hatvá hatványa nyala lapp a zérusf zérusfokú okú pontos pontosság ságna nakk a keret keretei einn belül belül a pozit pozitív ív egysé egységge ggell tekin tekinthe thető tő egyenlőnek. Az efféle feladatokat viszont egészen könnyen oldhatjuk meg az intrazeriális matematikának a segítségével. 97
Tegyük fel például, hogy legyen meghatározandó az n
/41,1/
1n 1 inz lim x + = A n →øo n
intrazeriális intrazeriális határérték, amelyben a hatványalap hatványalap zeriálisan kicsiny tagokat is tartalmaz, a pozitív egységen kívül. Zérusfokú pontosság mellett, azonban az intrazeriális rendszernek a felfogása szerint, az elsőfokúan elsőfokúan pontos /11,1/ és a zérusfokú pontosságú pontosságú /15,3/ alatti formuláknak a felhasználásával, felhasználásával, a feladat könnyen megoldható: /41,1’/
=(x ø +Ø)
øo
A
=e ln x +1 =ex
=[(1 +Ø ⋅ ln
x
) +Ø]
øo
=[1 +(ln x +1) ⋅ Ø]øo =
,
mégpedig a klasszikus határértékszámításnak határértékszámításn ak a teljes mellőzése mellett.
2. példa. Legyen Legyen meghat meghatáro ározan zandó, dó, ugyan ugyancs csak ak zérus zérusfo fokú kú pontos pontosság ságna nakk a megköv megkövet etel elésé ésével vel,, a következő határérték: n
/41,2/
1 1 n n inz lim x + y − 1 =B . n →øo
Ugyanazzal az eljárással, mint az előző példában: /41,2’/
B
=( x ø + y ø −1)
=e ln x +ln y = xy
øo
=[(1 +Ø ⋅ln
] =[1 +(ln x +ln y ) ⋅Ø] =
x ) +(1 +Ø ⋅ ln y ) −1
øo
.
3. példa. Ugyancsak zérusfokú pontosságnak a megkívánása mellett, oldjuk meg a z változóra az alábbi egyenletet: /41,3/
xø
+ yø + zø = 3 .
Ha az egyenletet előbb átrendezzük a /41,4/
zø
= 3 − x ø − yø
alakra, majd mindkét oldalát øo fokú hatványra emeljük, akkor nyerjük, hogy
98
/41,5/
z
øo = (3 − x ø − y ø ) .
Az egyenlet megoldásánál az előző két példában követett eljárást alkalmazván: z
/41,6/
= (3 − x ø − y ø ) øo = [3 − (1 + Ø ⋅ ln x ) − (1 + Ø ⋅ ln y )] øo =
= [1 + ( − ln x − ln y ) ⋅ Ø] øo = e −ln x −ln y =
1
,
x⋅y
Erre az utóbbi példára később még visszatérünk. /56.§./
42.§. A z = 1 + Ø ⋅ i komplex számnak a logaritmusa. Tegyük fel, hogy legyen meghatározandó a z
=1 + Ø ⋅i
két számszintre tartozó komplex számnak a logaritmusa. Ha a /39,3/ formulában helyettesítést végzünk x = i és m = 1 értelemben, akkor nyerjük, miszerint:
ln (1 + Ø ⋅ i )
=
0⋅i 1
Ø2 ⋅ i2
−
2
+
Ø3 ⋅ i 3
−
3
Ø4 ⋅ i4 4
+
Ø5 ⋅ i 5 5
−
Ø6 ⋅ i6 6
+ −...
Ez a sor i -nek a hatványai szerint átalakítható az alábbi módon: ln (1 + Ø ⋅ i )
=
0 ⋅i 1
+
Ø2 2
−
Ø3 ⋅ i 3
−
Ø4 4
+
Ø5 ⋅ i 5
+
Ø6 6
−
Ø7 ⋅ i 7
− ... .
Ezt az utóbbi sort viszont két sornak az összegére bonthatjuk fel a következőképpen: /42,1/
Ø 2 Ø 4 Ø 6 Ø8 Ø ⋅ i Ø 3 ⋅ i Ø5 ⋅ i Ø 7 ⋅ i ln (1 + Ø ⋅ i ) = − + − + ... + − + − + ... 4 6 8 3 5 7 2 1
Meg kell gondolnunk továbbá, hogy tudvalevően /42,2/
arc tg x
=
x 1
x3 − 3
x5 + 5
x7 − 7
+ ... ,
ha pedig a /39,3/ egyenlőségbe behelyettesítjük az x = 1 és m = 2 értékeket, akkor
99
/42,3/
Ø2 1
ln (1 + Ø 2 ) =
4
6
8
− Ø + Ø − Ø + ... . 2
3
4
Mármost, ha a /42,2/ formulában x helyett Ø -t írunk, majd az így nyert egyenlőséget megszorozzuk i -vel, a /42,3/ egyenlőséget egyenlőséget viszont 2 -vel osztjuk, akkor az alábbi egyenlőséghez egyenlőséghez jutunk: /42,4/
i ⋅ arc tg Ø =
/42,5/
ln(1 + Ø 2 ) 2
Ø⋅i 1
=
Ø2 2
−0
3
⋅i
3
Ø4 − 4
+0
5
⋅i
5
Ø6 + 6
−0
Ø8 − 8
7
⋅i
7
+ ... ,
+ ... .
Végül a /42,4/ és /42,5/ formulákat a /42,1/ képletbe helyettesítve, nyerjük feladatunknak a megoldását: /42,6/
ln (1 + Ø ⋅ i )
=
ln (1 + Ø 2 ) + i ⋅ arc tg Ø 2
.
43.§. Binomiális együtthatók speciális sora. A határozott zérusnak az n -edrendű binomiális együtthatóját – mint tudvalévő – az alábbi
formulával határozhatjuk meg: /43,1/
Ø Ø ⋅ ( Ø - 1) ⋅ ( Ø - 2 ) ⋅ ( Ø - 3 ) ⋅ ... ⋅ ( Ø - n + 1) . = n 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n
A binomiális hatvány képlete szerint pedig: /43,2/
Ø
Ø
Ø
(1 + x ) ø = 1 + ⋅ x + ⋅ x 2 + ⋅ x 3 + ... . 1 2 3
Minthogy a /43,2/ formula feltétlenül érvényben van x = 1 esetén, azért helyettesíthetjük benne x -et ilyen értelemben. Ebben az esetben nyerjük, hogy /43,3/
2
ø
Ø Ø Ø = 1 + + + + ... . 1 2 3
Fejezzük ki a 2 ø hatványt a /10,1/ képlet szerint. Az így nyert sort pedig vessük egybe a /43,3/ formulával. Ilyenformán a következő érdekes megállapításhoz jutunk el:
100
/43,4/
Ø Ø Ø Ø + 2 + 3 + 4 + ... = Ø ⋅ ln 1
2+
Ø 2 ⋅ (ln 2) 2 2!
3 3 + Ø ⋅ (ln 2) + ... . 3!
Ez az intrazeriális intrazeriális egyenlőség főleg azért figyelemreméltó, figyelemreméltó, mert a határozott zérus különböző fokú hatványait tartalmazó sornak a tetszésszerinti tagjánál történő megszakítása: a binomiális együtthatókból képezett sornak a megfelelő fokú pontosságú kiértékelését is jelenti egyúttal, határtalan volta ellenére.
44.§. Zeriálisan kicsiny gniometriai függvények. A 0 – 0 jelk jelképn épnek ek a termé természe szetén ténél él fogva, fogva, az int intraz razeri eriál ális is rendsz rendszer er legmag legmagasa asabbf bbfokú okú pontossága mellett is kimondhatjuk, miszerint: /44,1/
sin 0 − 0 = 0 − 0
/44,2/
cos 0 − 0 = 1
,
.
Ezzel szemben azonban, ha n valamely megnyilvánuló /véges/ számérték, akkor a megfelelő Taylor-soroknak az értelmében: /44,3/
/44,4/
sin ( n ⋅ Ø)
cos( n ⋅ Ø)
= n ⋅Ø-
=1−
( n ⋅ Ø) 3 3!
( n ⋅ Ø) 2 2!
+
+
( n ⋅ Ø) 5 5!
( n ⋅ Ø) 4 4!
−
−
( n ⋅ Ø) 7 7!
( n ⋅ Ø) 6 6!
+
+
( n ⋅ Ø) 9 9!
( n ⋅ Ø) 8 8!
− ... ,
− ... .
Ebből következik továbbá, hogy például n = 1 esetén: 2 ⋅ Ø3 3!
/44,5/
tg Ø = Ø +
/44,6/
Ø cot g Ø = øo 3
+ 16 ⋅ Ø + 272 ⋅ Ø + 7936 ⋅ Ø + ... , 5
7
5!
Ø3 − 45
7!
2 ⋅ Ø5 − 945
9
9!
− ... .
Tegyük fel példaképpen, hogy legyen meghatározandó az alábbi x− inz lim x →Ø
2 3
1
⋅ sin x − ⋅ tg 3
x5
x
=G
intrazeriális határérték. Ebben az esetben, egyszerű behelyettesítések kapcsán: 101
Ø3 Ø5 1 2 ⋅ Ø3 16 ⋅ Ø5 Ø - ⋅ Ø + − ⋅ Ø + + 3 3! 5! 3 3 ! 5 ! = G= 2
Ø5
Ø-
= =−
2⋅Ø 3
+
18 ⋅ Ø5 3 ⋅ 5!⋅Ø 5
2 ⋅ Ø3 3 ⋅ 3!
=−
−
18 360
2 ⋅ Ø5 3 ⋅ 5! Ø5
=−
1 20
Ø
2 ⋅ Ø3
3
3 ⋅ 3!
− −
−
16 ⋅ Ø5 3 ⋅ 5!
=
,
az ötödfokú műveletnek megfelelően ötödfokú pontossággal kiértékelt /44,3/ és /44,5/ alatti soroknak az alkalmazásával.
45.§. Kooperatív koordinátarendszerek. koordinátarendszerek. Vegyünk Vegyünk fel egy euklide euklideszi szi síkban síkban fekvő, fekvő, derékszö derékszögű, gű, xy tengely tengelyűű koordinát koordinátaren arendsze dszert, rt, amelynek tengelyein a véges számok sorakoznak fel, origóját pedig – mint a 0 – 0 értékű mikroszámfoltnak a helyét /38.§./ – a 0 – 0 kifejezéssel jelöljük. Tegyük fel továbbá, hogy ebben a rendszerben az inz lim
v →øo
v n
= øo n
határértéknek mint számértéknek a helyét kívánjuk meghatározni mindkét tengelyen, valamely véges n számnak a feltételezése mellett. Azonnal belátható, hogy ez nemcsak gyakorlatilag, gyakorlatilag, hanem elméleti szempontból szempontból is lehetetlen. lehetetlen. Akármil Akármilyen yen nagy véges-ért véges-értéke ékett is tul tulajdo ajdonítu nítunk nk n -nek, -nek, a øo/ øo/nn nagys nagyságr ágrend endii számo számokn knak ak okvetlenül okvetlenül a véges koordinátarendszer koordinátarendszer legtávolabbi legtávolabbi perifériáján perifériáján túl, – mérhetetlenül mérhetetlenül távol, sőt végte végtele lenül nül-nag -nagyy messz messzes eségb égben en – kell kell elhel elhelyez yezked kedni niök ök a tenge tengely lyeke eken. n. A felve felvett tt rendsz rendszert ert semmiesetre, még elvileg sem terjeszthetjük ki olyan mértékben, hogy lehetővé tegye az efféle ábrázolást. Belátható, hogy valóban még elvi értelemben sem beszélhetünk ez euklideszi síknak a végtelenbe való kiterjesztéséről, mert akkor a síkban fekvő összes párhuzamos egyeneseknek ott már érintkezniök kellene. Ennélfogva tehát még abban az esetben sem ábrázolhatnók a øo/n számot a felvett rendszerünkben, ha nem számolnánk azzal a körülménnyel, hogy a øo/n øo/n szám másik számszintre tartozik , mint amely számszintre felépítettük a koordinátarendszerünket. A felvett rendszerben a øo/n jellegű és nagyságrendű számoknak nincs és nem is lehet helyük, mert magasabb szintre tartoznak, mint maga a rendszer, amelynek az egysége a véges 1. Meg Meg kell kell gond gondol olnu nunk nk azon azonba ban, n, hogy hogy egym egymás ássa sall szom szomsz széd édos os szám számsz szin inte tekn knek ek közö közöss koordiná koordinátare tarendsz ndszerbe erbe való való foglalás foglalásaa nemcsak nemcsak akkor akkor lehetetl lehetetlensé enség, g, ha a növekedő növekedő számok számok irányában vett legközelebbi számszintet prób róbáljuk egyesíteni egy megadott koordi koordinát nátare arends ndsze zerün rünkke kkel,l, hanem hanem akkor akkor is, is, ha ellen ellenkez kezőő irányb irányban an,, vagyis vagyis az elle ellenke nkező ző értelemben legközelebbi számszintet próbáljuk belefoglalni a megadott rendszerünkbe. Nevezzük egyelőre a felvett és véges-egységű rendszerünket K 0 rendszernek, a øo egységű számszintnek pedig a véges számoktól független koordinátarendszerét K 1 rendszernek.
102
Ha feltételeznők, hogy a végtelenül-nagy számoknak ebben a K 1 rendszerében a közvetlenül alacsonyabb rendű számszintre tartozó, tehát véges értékű a és b számok is benne foglaltatnak, akkor – szigorúan logikai alapon, vagyis a kölcsönösségnek a következtében – máris meg kellene követelnünk, hogy a véges értékek K 0 rendszerében a végetlenül-nagy számoknak is határozott határozott helyük legyen. legyen. Ez utóbbi követelmény követelmény azonban, azonban, – mint fentebb fentebb már kimutattuk, kimutattuk, – teljes lehetetlenség, mind elvi, mind gyakorlati értelemben. Ki kell mondanunk tehát, hogy a K 1 rendszerben nincsenek meg és nem is lehetnek jelenlévők a K 0 rendszerbe tartozó számok. Ennek a meggondolásnak az analógiájára pedig azonnal kimondhatjuk egyúttal azt is, hogy a Ø egységű számszintnek a K -1 koordinátarendszerébe tartozó zeriálisan kicsiny számok éppen így nincsenek és nem is lehetnek jelen a véges számoknak a K 0 rendszerében.
Minden Minden számsz számszint intnek nek megvan megvan tehát tehát a maga maga sajáto sajátoss koordi koordinát nátaa rends rendszer zere, e, ezek ezek a koordinátarendszerek koordinátarendszerek viszont egymással nem egyesíthetők. Ez oly olyan an megáll megállapí apítá tás, s, amely amelynek nek a helye helyessé sségé gétt nemcs nemcsak ak logik logikai ai érvek érvek alapj alapján, án, hanem hanem tapaszt tapasztalat alatii úton szerzet szerzettt meggyőző meggyőződésü désünk nk szerint szerint is, feltétl feltétlenül enül be kell látnunk látnunk és el kell kell ismernünk. A véges koordinátarendszerben valóban nincsenek jelen a végtelenül-nagy számok helyei. A øo egységű rendszerből ennélfogva, a puszta kölcsönösségnek a következtében, hiányoznia kell minden véges értékű számnak. Ha pedig mindkét rendszernek az értékeit megszorozzuk a határozott zérussal, akkor a øo egységú rendszerből véges rendszert nyerünk, a véges rendszer pedig Ø egységű rendszerré változik át. Ilyenformán mindössze egy véges rendszer áll előttünk és egy Ø egységű rendszer csatlakozik hozzá. Továbbra is fennáll azonban az a követelmény, hogy a magasabb rendű rendszerben a nála alacsonyabb rendű rendszerbe tartozó számok ne lehessen(ek) jelen, és viszont. A véges koordinátarendszerben tehát nincsenek meg és nem is lehetnek jelenlévők a Ø egységű rendszerbe tartozó értékek. Mégis beszélhetünk kooperatív koordinátarendszerekről. Mert nem tagadható, hogy bármilyen egységű koordinátarendszert is veszünk fel, minden esetben fennáll egy olyan látszólagos összefüggés, amely úgy tünteti fel, „mintha” a felvett rendsz rendszerb erben en a nála nála alac alacson sonyab yabbb rendű rendű össze összess száms számszi zint ntekn eknek ek a hason hasonló ló elhel elhelyez yezésű ésű és ugyanoly ugyanolyan an értelmű értelmű koordiná koordinátare tarendsz ndszerei erei is egyútta egyúttall bennefog bennefoglal laltatn tatnának ának,, egyetle egyetlenn közös közös origóval. Valamely øop egységű számszintre tartozó K p p koordinátarendszer tehát – látszólagosan – mindenkor felöleli a øop-r egységű számszintekre tartozó összes számokat, ( r =1,2,3,…). Ez a látszat pedig egyértelmű egyértelmű azzal a feltevéssel, hogy a K p rendszer és a nála alacsonyabb rendű K p-r p-r rendszerek szabályszerűen együttműködnek. Ugyanakkor azonban a K p p rendszer és a nála magasabb rendű K p+r p+r rendszerek már nem
tekinthetők kooperatív rendszereknek. rendszereknek.
Mindezt egyszerű matematikai összefüggésekkel bizonyíthatjuk. Tegyük fel, hogy egy véges egységű xy koordinátarendszert veszünk fel alapul, amelyet a komplex számok számsíkjaként értelmezünk. Tapasztalati tény, hogy ha ebben a rendszerben a z
= x + y ⋅i
komplex számot kívánjuk kifejezni, akkor a z = ϑ⋅ (cos ω+ i ⋅ sin ω)
103
egyenlőséget még abban az esetben is helytállónak ismerhetjük el, ha x -et vagy y -t valamely zeriálisan kicsiny értékben adjuk meg. Annak ellenére, hogy a zeriálisan kicsiny értékek nem tartoznak a véges rendszerünkbe, hanem valamely alacsonyabb rendű számszinten van helyük. Így például, ha az alábbi komplex számot vizsgáljuk: vizsgáljuk: z
=1 + Ø ⋅i ,
akkor fennállóknak tekinthetők a következő egyenlőségek: x
=1 ,
y
=Ø ,
ϑ=
x
2
ω = arc
+y2 =
tg
y x
1 +Ø
= arc
2
tg Ø
, ,
minélfogva a véges egységű koordinátarendszerben: /45,1/
z
= ϑ⋅ (cos ω+ i ⋅ sin ω) =
1 + Ø 2 ⋅ ei⋅arc tg Ø
Véges koordinátarendszerünk tehát együttműködött, példánk levezetése során, a Ø egységű rendszerrel, olyanformán, olyanformán, mintha a Ø egységű rendszer valóban benne foglaltatott volna a
véges rendszerben.
Állításainknak a helyességéről azonnal meggyőződhetünk ugyanis, ha a /45,1/ egyenlőséget logaritmáljuk. Mert ebben az esetben ugyanaz az egyenlőség áll előttünk, amelyet fentebb – egészen más úton – már meghatároztunk egyszer /42,6/ alatt: ln z =
( ln 1 + Ø ) + i ⋅ arc tg Ø 2
2
.
Az Ln z kifejezésnek – a 2πi modulus szerinti periodicitásából fakadó – több-értékűsége: a legkevésbé sem befolyásolja a fenti megállapításainknak a helyességét. Az effé efféle le mege megegy gyez ezés ések ek bizo bizony nyít ítjá ják, k, hogy hogy egym egymás ástó tóll függ függet etle lenn szám számsz szin inte tekn knek ek a koordinátarendszerei koordinátarendszerei együttműködnek együttműködnek olyképpen, olyképpen, mintha az alacson alacsonyabb yabb rangú rendszer rendszerek ek valóban bennefoglaltatnának a náluk magasabb rangú rendszerekben. Mindenesetre meg kell gondolnunk, hogy a példánkban felvett z = 1 + Ø ⋅ i számnak az absz abszol olút út-é -ért rték éke, e, vagy vagyis is a érté érték, k, való valójá jába bann nem egyé egyébb az alapu alapull vett vett véges véges egys egység égűű rendszerben, mint a komplex-számsíkbeli komplex-számsíkbeli z pontnak a rendszer origójától, vagyis a 0 – 0 mikroszámfolttól számfolttól mért egyszerű távolsága . Ezt a távolságot egy egyenessel juttathatjuk kifejezésre a véges egységű koordinátarendszerünkben. koordinátarendszerünkben. Fenti érveink alapján, bizonyítottnak bizonyítottnak vehetjük, vehetjük, hogy a 2 4 véges egységű rendszerben a Ø, Ø , Ø , stb. egységű számszintekre tartozó értékek nincsenek
104
meg meg és nem is is lehet lehetne nekk jelen jelen.. Levez Levezet etet ettt példá példánk nkba bann azonb azonban an a értelmezhettük, mintha a ϑ=
1+Ø
= 1+
2
Ø2 2
−
Ø4
érté értéke kett mégis mégis úgy úgy
+ ...
8
egyenlős egyenlőségne égnekk az az értelméb értelmében, en, a távolság távolság volt voltaké aképpen ppen különböz különbözőő és és egymástó egymástóll függe függetle tlenn számszintekre tartozó összetevő-értékeknek az összegéből állna. A zeriálisan kicsiny értékeket tehát – „mintegy” – ugyanabban a koordinátarendszerben mértük fel elvileg, mint amelyben a megnyilvánuló véges egységet! Ezzel szemben, azonnal belátható viszont, hogy ha példaképpen felvesszük a /45,2/
z' = 1 + øo ⋅ i
/ugyancsak két számszintre tartozó/ komplex számot, akkor annak abszolút-értéke: z'
=
1 + øo
2
=1+
øo 2
2
−
øo 8
4
+ ...
a véges egységű koordinátarendszerben mint távolság fel nem mérhető, sőt elképzelhetetlen. Belátható továbbá, hogy a z’ számnak az argumentuma: argumentuma: arc z ' = arc tg øo
nem is határozható meg a véges-egységű számszinten. Mert ha øo -t valóban határozott és konstáns értéknek tekintjük, akkor magasabbfokú pontosság mellett, /71,1/ alapján: /45,3/
arc tg øo ≠
π 2
.
Nyilvánvaló ezért, hogy egy olyan /45,2/ komplex számnak az esetében, amelynek az egyik összetevője összetevője véges, a másik pedig végtelenül-nagy számértéket számértéket foglal magában, a véges-egységű véges-egységű komplex számsík már nem felel meg a rendeltetésének. Két vagy több, különböző számszintre tartozó koordinátarendszernek az együttműködése tehát – ha a szerepet játszó számszintek magasabb rangúak, mint amilyen az alapul felvett koordinátarendszernek a rangja – teljesen kizárt. A fenti érveinkből levonható következtetések értelmében, kimondhatjuk ennélfogva, hogy
bármely adott koordinátarendszert úgy szabad felfognunk, „mintha” az adott rendszer nemcsak a saját számtartományát zárná magába, hanem a nála alacsonyabb rendű összes számszinteket, valamint azok számtartományát is, egységes értelemben felölelné . – Az adottnál magasabb rendű számszintekre vonatkozólag azonban ez a lehetőség már nem áll fenn.
46.§. A határozott zérus logaritmusa. 105
A természe természetes tes logaritm logaritmusren usrendsze dszerr alapvet alapvetőő törvénye törvényeiből iből követke következik zik az az intrazer intrazeriáli iáliss pontosságú megállapítás, miszerint: /46,1/
Ø
= e ln Ø .
Hasonlóképpen /46,2/
øo
= e ln øo .
A /46,2/ egyenlőségnek az értelmében viszont nyilvánvaló, hogy /46,3/
Ø=
1 øo
=
1 e
ln øo
= e −ln øo .
Egybevetve ezt a /46,1/ egyenlőséggel: /46,4/
Ø = e lnØ
= e − ln øo
Ebből pedig azonnal következik az alábbi megállapítás: /46,5/
ln Ø = -ln øo
,
amivel – legalább is elvben – meghatároztuk a határozott zérusnak a logaritmusát. Továbbra is problematikus marad azonban, hogy valójában milyen fogalmat alkothatunk magunknak a végtelenül-nagy øo értéknek a logaritmusáról. A természet úgy alkotta meg az emberi elmét, hogy az csak a véges méreteket és így csak a véges számok értékeit tudja felfogni és elképzelni. De még felfogás és elképzelés között is különbséget kell tennünk. Mert a felfogási-, vagyis a gondolko gondolkozó-k zó-készs észség ég sokkal sokkal tágabb tágabb hatókörű hatókörű,, mint a tudatosa tudatosann alkalmaz alkalmazott ott elképzel elképzelőő erő. Akármilyen nagy méretű véges számról is legyen szó, az emberi gondolkodás tiszta fogalmat tud alkotni az illető számnak az értékéről, ha a szám valamely aritmetikai képlettel kifejezhető. Így például teljesen világos és tiszta fogalmunk lehet a kvintilliónak mint számnak az értékéről. Ezzel szemben azonban a kvintilliónak a gyakorlati értelemben vett értékét még a legnagyobb igyekezettel és még csak megközelítően sem tudjuk elképzelni. Az emberi képzelő-erő nemcsak a sokjegyű számok esetében bizonyul elégtelennek, elégtelennek, úgyhogy képtelen megbirkózni az adott feladattal, hanem már kétjegyű számok gyakorlati értékének a szánd szándék ékos os elkép elképzel zelésé ésénél nél is bizony bizonyta talan lansá ságba gba téved téved.. Tény, Tény, hogy hogy el tudun tudunkk képze képzelni lni két egymással marakodó kutyát, vagy hármat, de ha például hetvenkilenc egymással küzdő kutyát akarunk elképzelni, akkor képzeletünk a kutyáknak már csak bizonytalan nagyságú sokaságát vetíti elénk. Nyilvánvaló ezek szerint, hogy képzeltünk nem lehet alkalmas valamely végtelenül-nagy számértéknek az elképzelésére. De még gondolkodásunk sem alkalmas erre, mert nincsenek tapaszt tapasztalat alatok ok alapján alapján alkotott alkotott fogalma fogalmaink, ink, amelyekk amelyekkel el összehas összehasonlí onlításo tásokat kat tehetné tehetnénk nk ezen a téren. 106
Teljes mértékben le kell mondanunk ezért arról, hogy elképzeljük a határozott végtelent, sőt arról is le kell tennünk, hogy akár csak megközelítő fogalmat is alkothassunk magunknak róla. Még kevésbé lehetséges tehát, hogy felfoghassuk és megérthessük, mit jelent, milyen méretekre kiterjedő értéket képvisel ennek a számnak a logaritmusa. Mindez azonban nem zárja ki azt a tényt, hogy mint jelképpel, számításokat végezhessünk a ln øo kifejezéssel is. A /46,2/ egyenlőséggel pontosan definiáltuk a jelentését. Ez pedig már elegendő arra, hogy határozott és konstáns értéket tulajdonítsunk a ln øo kifejezésnek.
47.§. A határozott zérusnak a ln øo fokú gyöke. A ln øo jelképnek a gyakorlati alkalmazása terén, példaképpen tegyük fel, hogy meg kell
határoznunk a
ln øo
Ø
gyökkifejezésnek az értékét. Miután nyilvánvaló, miszerint −1
= (eln øo ) = (e−1 )
Ø = øo
-1
ln øo
,
azért számolnunk kell a Ø = (e -1 )
ln øo
egyenlőséggel. Ha pedig ebből az egyenlőségből gyököt vonunk, akkor máris feladatunknak a megoldásához jutunk el: /47,1/
ln øo
Ø
= ln øo (e -1 )
ln øo
=
1 e
.
A határ határozo ozott tt zérus zérusna nakk az 1/lnøo fokú hatványa hatványa tehát tehát reális érték értéket et képvi képvisel sel,, a véges véges számszinten.
48.§. A Øø hatvány. A klasszikus matematika felfogása szerint: 1
1 n lim =1 . n→ øo n
107
Ha valóban magasfokúan pontos volna ez az egyenlőség, akkor meg kellene maradnia egyenlőségnek abban az esetben is, ha mindkét oldalát n fokú hatványra emeljük. Ezzel szemben nyilvánvaló, hogy a hatványozás után, ha n→∞, a következő egyenlőtlenség áll elő: n
1 1n lim ≠ lim 1n n→ n→ ∞ n ∞
,
ez a körülmény pedig azonnal rámutat arra, hogy a klasszikus matematika által meghatározott fenti határérték csak zérusfokú pontosságnak a megkövetelése esetében állhat fenn. Az int intraz razeri eriáli áliss matema matemati tika ka felf felfogá ogásá sában ban viszon viszont,t, Taylor Taylor-so -sorra rral,l, vagyi vagyiss magas magasfo fokú kú pontossággal kifejezve: /48,1/
Ø
ø
=1−
Ø ⋅ ln øo 1!
+
( Ø ⋅ lnøo ) 2 2!
−
( Ø ⋅ lnøo ) 3 3!
+ ... .
Ez az egyenlőség egyrészt világosan arra vall ismét, hogy a ln øo kifejezésnek határozott és állandó értéket kell tulajdonítanunk valóban, – másrészt pedig határozottan kimondja, hogy abban a határozott zérusnak a ln øo értékkel képezett szorzata nem lehet egyenlő valamely véges értékű k számmal, vagyis hogy /48,2/
Ø ⋅ ln øo ≠ k
;
mert ha fennállhatna a Ø ⋅ ln øo = k egyenlőség, akkor a /48,1/ alatti Taylor-sornak az összegzett értéke e-k hatvánnyal lenne egyenlő, nem pedig Øø -val. Minthogy pedig zérusfokú pontosság mellett Øø=1, azért ugyancsak a /48,1/ egyenlőségből következik, hogy zérusfokú pontossággal kiértékelve: /48,3/
Ø ⋅ ln øo = 0
.
Helyettesítsünk be Ø = 1/øo szerint. Akkor /48,3/ -ból: /48,4/
ln øo øo
=0 ;
ezt az értékviszonyt – mint nagyságrendi viszonyt – egyébként a klasszikus matematika is bizonyítja, a /48,5/
lim n →∞
ln n n
=0
határértékkel. Ebből pedig azonnal következik, hogy ln øo nem lehet valamely végtelenül-nagy szám, amely a øo egységű számszintre tartozik, vagy még annál is feljebb.
108
Ámde ugyancsak a klasszikus matematika bizonyítja, valamely véges értékű k számnak az esetére, a /48,6/
lim n →∞
k ln n
=0
határértéknek a fennállását is. Ez viszont azt az állítást foglalja magában, hogy az ln øo érték mégis a végtelenül-nagy számoknak a régiójába tartozik. Nyilvánvaló ellentmondással találkozunk tehát a kétféle állítás terén, ha a /48,5/ és /48,6/ alatti határértékeket az intrazeriális felfogásnak az értelmében vesszük szemügyre. A továbbiakban /50.§./ ki fogjuk mutatni, hogy ez az ellentmondás a ln øo számnak az irreális voltából fakad.
49.§. Az (m ٠øo) øo) + n összeg logaritmusa. Feltéve, Felt éve, hogy m és n véges véges számér számérték tékek, ek, az m ⋅ øo + n össze összegne gnekk a logar logarit itmus musát át a
következőképpen határozhatjuk meg. Taylor-sorral kifejezve, mint a klasszikus matematikából ismeretes: /49,1/
ln(x + h ) = ln x +
h x
−
h2 2 ⋅ x2
+
h3 3 ⋅ x3
−
h4 4 ⋅ x4
+ ... ,
illetőleg a sor nem kívánt tagjainak az összevonása esetén: /49,2/
ln( x + h ) = ln x +
h x
+ R 2 .
Mármost, ha helyettesítést helyettesítést végzünk x = m ⋅ øo és h = n szerint, akkor a /49,2/ formulának az értelmében: ln( m ⋅ øo + n) = ln øo + ln m +
n m
⋅ Ø + R 2 ,
minthogy azonban elsőfokú pontosságnak a megkövetelése estén az R 2 tag már nem jöhet pontossággal meghatározva: számításba, azért kimondhatjuk, hogy elsőfokú pontossággal /49,3/
ln(m ⋅ øo + n) = lnøo + ln m +
n ⋅Ø m
.
Így például, a /49,3/ és /46,5/ formuláknak az alkalmazásával, alkalmazásával, írhatjuk miszerint inz lim x ⋅ ln x →øo
= øo ⋅ (-ln
x + b x
= øo ⋅ ln[Ø ⋅(øo + b)] = øo ⋅ln
øo) +øo ⋅ (ln øo + b ⋅ Ø) = b
109
.
Ø +øo ⋅ln(øo + b) =
50.§. Az ln øo mint ireális szám. Követendő gondolatmenetünknek gondolatmenetünknek az előzetes megvilágítása megvilágítása céljából, céljából, mindenekelőtt mindenekelőtt vegyünk fel két számtartományt, legyen az egyik A, a másik pedig B tartomány. Tegyük fel továbbá, hogy mindkét tartománynak megvan a maga sajátos egysége, ezek azonban nem egyenlők. Legyen A -nak az egysége a, B -nek az egysége b, a kétféle egység között fennálló viszonyt a /50,1/
b = a ⋅ k
egyenlőség fejezze ki. Azonnal felírhatjuk az alábbi összefüggést: /50,2/
a : b = a : a ⋅ k =
b k
:b
.
Vizsgáljuk meg a helyzetet először úgy, hogy szemszögünk legyen az A tartományban, amelyben a az egység egység,, tehát tehát a = 1. Akkor Akkor /50,2 /50,2// szerin szerint,t, a megfe megfele lelő lő helye helyette ttesí sítés téssel sel,, kimondhatjuk, hogy /50,3/
1 : b
= 1 : k ,
vagyis az A tartományból nézve b = k . Vizsgálj Vizsgáljuk uk a helyzet helyzetet et azután azután olyképpe olyképpen, n, hogy szemszög szemszögünk ünk legyen legyen a B tartomán tartományban yban,, amelyben b az egység, és így b = 1. Ebben az esetben, ugyancsak /50,2/ szerint, az újabb értelmű helyettesítés után, a következő egyenlőséget nyerjük: /50,4/
a :1 =
1 k
:1
,
vagyis a B tartományból szemlélve a = 1/k . Tekintsük ezekután az A tartományt a véges egységű számszintnek, amelyben a = 1, a B tartományt pedig a øo egységű szintnek, amelyben b = øo. Akkor /50,1/ alapján nyilvánvaló, hogy k = øo. A fenti gondolatmenetünk értelmében máris kimondhatjuk tehát, hogy a véges egységű A tartományból tartományból nézve: b = øo . Ezzel szemben viszont, a øo egységű B tartományból szemlélve a helyzetet: a = 1 / øo = Ø . Ezt bizonyítják az /50,3/ és /50,4/ alatti – különböző szempontú – egyenlőségek. Emeljük ezekután az /50,2/ egyenlőséget n fokú hatványra: /50,5/
n
a : b
n
=a
n
:a
n
⋅ k = n
b
n n
k
: b
n
.
110
Belátható, hogy amennyiben az A tartományban a -t tekintjük egységnek, akkor az egységre vonatkozó 1n=1 szabály, illetőleg törvény: az n fokú hatványra emelt /50,3/ egyenlőségben érvényesül: /50,6/
1 : b n
= 1 : k n ;
ha pedig a B tartományban b -t minősítjük egységnek, akkor ugyanez az egységre vonatkozó törvény – változatlanul! – az /50,4/ alatti egyenlőségben jut érvényre: /50,7/
a n :1 =
1 k n
:1
.
Nyilvánvaló, hogy az /50,2/ egyenlőséggel kapcsolatban tetszésszerinti műveletet hajthatunk végre. Minden esetben igaz azonban, hogy akár az A, akár a B tartományon belül vizsgálva az ott érvényes egységet: az illető tartományban érvényre jutó egység ott mindenkor egységként viselkedik, és csak a másik tartomány felől szemlélve látjuk az egységtől eltérő számnak. Vizsgáljuk meg a kérdést most egy másik szempontnak az alapján is. A véges egységű számszinten, a pozitív egységnek a természetes logaritmusa: /50,8/
Ln 1 = 2n ⋅ πi
,
amely kifejezésben n akármilyen egész-szám vagy 0 – 0 is lehet. Az /50,8/ alatti kifejezés azonban mindenképpen irreális számot juttat kifejezésre. És miután, mint előbb megállapítottuk, az egységre vonatkozó matematikai törvények minden számszinten változatlanok maradnak, ha az illető számszintnek a sajátos egységével számolunk, azért joggal következtethetünk arra a körülményre, hogy a végtelen egységű számszintnek a øo egységére az /50,8/ -ban foglalt törvény is – legalább lényegében – érvényben marad. Ez pedig annyit jelent, hogy a maga sajátos számszintjén az ln øo kifejezésnek is irreális számnak kell
lennie. lennie. Megközel Megközelítően ítően végtelen végtelenül-nag ül-nagynak ynak viszont viszont csakis csakis a véges-eg véges-egység ységűű számszin számszintről tről szemlélve tűnik fel. Ennek a felfogásunknak az alapján tudjuk kellőleg megindokolni a /48,5/ és /48,6/ alatti ellentmondásokat. A ln øo kifejezésnek az irreális voltára utal egyébként a következő meggondolás is. Tekintsük a véges-egységű számszinten felvett derékszögű koordinátarendszert a komplexszámok Gauss-féle számsíkjának. Azonnal belátható, hogy ezen a számsíkon, illetőleg ezen a számszinten, egész számértékű n esetén: /50,9/
A + 2π ⋅ i ≠ a + 2nπ ⋅ i ,
ha
n
≠1 .
Mert egyenlőtlenségünknek a bal oldala olyan számsíkbeli pontot határoz meg, amelynek abszcisszája a, ordinátája 2π. Az egyenlőtlenségnek egyenlőtlenségnek a jobb oldala viszont egy másik pontot jelöl ki a számsíkon, amely utóbbi pontnak az abszcisszája a -val, ordinátája azonban 2nπ -vel egyenlő. Ez a két pont semmiesetre sem lehet azonos, ha n ≠ 1. Nyilvánvalóan fennáll ezzel szemben az
111
/50,10/
e a ⋅ e 2 πi
= e a ⋅ e 2 n⋅π⋅i
egyenlőség, egyenlőség, amit ha logaritmálunk, akkor az érvényben lévő /50,11/
a + 2π ⋅ i = a + 2nπ ⋅ i
,
(n≠1)
egyenlőséghez jutunk el, teljes ellentmondásban az /50,9/ alatti állításunkkal. Egészen bizonyos, hogy az utóbbi egyenlőség a komplex számoknak a Gauss-féle számsíkján számsíkján nem lehet igaz, ezen a számsíkon tehát nem állhat fenn. Az /50, /50,10 10// egye egyenl nlős őség éget et tets tetszé zéss ssze zeri rint nti, i, tört tört-k -kit itev evőj őjűű hatv hatván ányr yraa is emel emelhe hetj tjük ük.. Így Így 2 π⋅i 2 n⋅π⋅i határ határozh ozhat atjuk juk meg a pozit pozitív ív egysé egységge ggell egyen egyenlő lő e = e kifejez kifejezésne ésnekk a különböz különbözőő hatványait és gyökeit, valamint a hatványoknak és gyököknek a logaritmusát. A klasszikus matematika az /50,9/ és /50,11/ között mutatkozó mutatkozó ellentmondást azzal hidalja át, hogy a pozitív egység különböző hatványainak és gyökeinek a logaritmusait nem a Gauss-féle számsíko számsíkon, n, hanem hanem egy olyan olyan körvon körvonaln alnak ak a megfel megfelelő elő ív-hos ív-hossza szaiva ivall ábr ábrázo ázolja lja,, amely amely
körvonal nem fekszik benne a komplex számoknak a számsíkjában, a síkkal pedig csak a koordinátarendszer origójánál van egyetlen közös pontja a körvonalnak, mint érintési pont.
A pozitív egység különböző hatványainak és gyökeinek a logaritmusai tehát nincsenek és nem is lehetnek a komplex számok számsíkjában, ha n = 0 – 0 . Ha viszont eltekintünk az imaginárius egységnek az elvi értelemben feltételezett szerepétől, akkor a komplex számsíkot a véges egységű számszintnek számszintnek egyik sajátok koordinátarendszerével koordinátarendszerével,, vagyis magával a véges-egységű számszinttel kell azonosítanunk. Ennélfogva pedig máris ki kell kell mondan mondanunk unk,, hogy hogy a véges véges egysé egységg hatván hatványai yaina nakk és gyöke gyökeine inekk a logar logarit itmus musai ai nem tartozhatnak a véges egységű számszintre. Sőt – mint ívhosszak – nem tartoznak semmiféle
más számszintre sem.
Fentebb már kimutattuk, hogy a mindenkori egységnek a fogalmára vonatkozó elvi törvények nem nem vált változ ozna nakk meg, meg, hane hanem m bárm bármel elyy szám számta tart rtom omán ányb yban an mi mind ndig ig ugya ugyana nazo zokk mara maradn dnak ak,, akármilyen számot tekintünk is az illető számtartomány sajátos egységének az illető tartományon belül. Arra kell következtetnünk tehát, hogy a végtelen egységű számszint øo egységének a ln øo jelkép által kifejezett logaritmusa: ugyancsak nem tartozik a végtelen egységű számszintre,
sőt semmiféle más számszintre sem.
Az „egységnek” a fogalmára vonatkozó elvi törvény csakis így maradhat változatlan, a øo egységű számszinten. Végeredményben ahhoz a konklúzióhoz jutunk el ilyenformán, hogy ln øo voltaképpen egy
olyan irreális szám, amely egyetlen számszintre sem tartozik a rendszerünkben. rendszerünkben.
Az „irreális” jelzőt azonban tágabb értelemben értelmezzük, mint szokás. Jelentését nem tekintjük szükségképpen azonosnak az imaginárius, illetőleg a komplex fogalommal. A véges egységnek a logaritmusa egy olyan i sugarú körnek a kerületével egyenlő, amely kör semmilyen számszintben sem fekszik benne, a véges egységű számszintet pedig csak egyetlen pontban, mégpedig a 0 – 0 pontban érinti. A véges egységű számszintnél közvetlenül magasabbrangú számszintnek a sajátos egysége: øo. Az egységnek a fogalmára vonatkozó elvi törvénynek az értelmében kimondhatjuk tehát, hogy a magasabbrendű egységnek, vagyis øo -nek a logaritmusa is egy irreális sugarú , olyan 112
körnek a kerületével kell, hogy egyenlő legyen, amely kör ugyancsak semmiféle semmiféle számszintnek a síkjában sem fekszik, a végtelen egységű számszintet pedig csak egyetlen pontban, a 0 – 0 pontban érinti. Ebből következik, hogy a határozott-végtelen természetes logaritmusnak a reális összetevője: /50,12/
RE ln øo
=0-0 ,
valamint /46,5/ alapján: /50,13/
RE ln Ø = 0 - 0
,
az intrazeriális matematika pontosságának a határain belül.
113
VII. FEJEZET. INFINITEZIMÁLIS MŰVELETEK.
51.§. Az intrazeriális differenciálhányados fogalma. Tudvalevő, hogy a klasszikus matematika az F(x) függvénynek a differenciálhányadosát a /51,1/
lim
F(x + h ) − F(x)
h →ø
h
=F
' (x)
határért határértékke ékkell határozza határozza meg, vagyis vagyis egy olyan olyan törtkife törtkifejezé jezésnek snek az egyszerű egyszerű hányados hányadosával ával defin definiá iálj lja, a, amely amelyben ben a függe függetl tlen en válto változón zónak ak a h növekmén növekménye ye mindjobb mindjobban an megközel megközelíti íti a zeriálisan zeriálisan kicsiny, már meg nem nyilvánuló nyilvánuló értékeket, amelyeknek a gyűjtőfogalmát gyűjtőfogalmát a nyíl elé írt határozatlan zérus fejezi ki. A magasabbfokú pontosságú rendszerben viszont, – mint később részletesen megindokoljuk, –célszerűbb a független változónak a növekedését az 1 + h szorzótényezőnek a beiktatása mellett megkívánnunk, miáltal az alábbi intrazeriális határértékhez jutunk el: /51,2/
inz lim h →Ø
F[ x ⋅ (1 + h )] − F( x ) x ⋅ (1 + h ) − x
=F
' (x)
,
amelyet azonban minden esetben ki kell értékelnünk a zérusfokú pontosságnak a határain
belül.
Ennek az utóbbi feltételnek a megkövetelése mellett: az /51,2/ határértéknek az alapján adhatjuk meg az intrazeriális differenciálhányadosnak a voltaképpeni definícióját. Nyilvánvaló, hogy ebben a felfogásban a független változónak a meghatározás alapjául vett növekményét nem a h konstáns alkotja, hanem x ⋅ (1 + h ) − x = x ⋅ h szerint, az
114
/51,3/
inz lim x ⋅ h = Ø ⋅ x = dx h →Ø
zeriálisan kicsiny értékű függvény képezi. Ha tehát a 14.§. -ban tárgyalt indoklásnak indoklásnak az alapján, egyszerűen helyettesítést helyettesítést végzünk /51,2/ -ben a h→Ø követelménynek az értelmében, akkor az alábbi intrazeriális egyenlőséget nyerjük: /51,4/
F( x + Ø ⋅ x) - F(x) Ø⋅ x
= F ' (x ) ,
megkövet megkövetelve elve ugyanakk ugyanakkor or – fenti fenti feltéte feltételünk lünknek nek megfele megfelelően lően – a hányados hányadosnak nak zérusfokú pontosságú kiértékelését. 2 F( x ) = a − 2 x Határozzuk meg mindjárt példaképpen az függ függvé vény nyne nekk a differenciálhányadosát /51,4/ szerint. Miután magasfokú pontossággal pontossággal ( x + Ø ⋅ x) 2
= x 2 + Ø ⋅ 2 ⋅ x 2 + Ø2 ⋅ x 2 ,
azért írhatjuk, hogy F( x + Ø ⋅ x)
= a - 2 ⋅ (x 2 + Ø ⋅ 2 ⋅ x 2 + Ø 2 ⋅ x 2 ) ,
az /51,4/ formulának az értelmében ennélfogva: a − 2 ⋅ (x 2
+ Ø ⋅ 2 ⋅ x 2 + Ø 2 ⋅ x 2 ) − (a − 2 ⋅ x 2 ) = F ' (x ) = Ø⋅x − 4 ⋅ Ø ⋅ x 2 − 2 ⋅ Ø2 ⋅ x 2 = = −4 ⋅ x − 2 ⋅ Ø ⋅ x , Ø⋅x ebből pedig a megkövetelt zérusfokú pontosságú kiértékelés után: F ' (x)
=−4 x
.
Az egysz egyszerű erű osztá osztássa ssall végze végzett tt diffe differen renciá ciálás lásii művel művelet etnek nek azonb azonban an nincs nincs gyakor gyakorla lati ti fontossága. Annál inkább fontosnak kell tartanunk ezzel szemben azt az elvi kérdést, amely /51,3/ szerint a dx = Ø ⋅ x differenciálnak – mint x határozott függvényének – a szükséges bevezetésével kapcsolatos a magasabbfokú pontosságú matematikában. Elsősorban is rá kell világítanunk arra a körülményre, hogy y = x = F(x) esetén a klasszikus törtkifejezésének a számlálóját számlálóját intrazeriális intrazeriális határértékkel határértékkel meghatározva meghatározva matematika /51,1/ alatti törtkifejezésének – és feltéve a h→Ø megközelítést – az alábbi dy = inz lim[ F( x + h ) − F( x )] = inz lim[ ( x + h ) − x ] = Ø h →Ø
h →Ø
115
konstáns értékhez jutunk el. Minthogy azonban y = x esetén a dy = dx egyenlőség is fennáll, ki kell mondanunk a dx
= Økonstáns
egyenlőséget egyenlőséget is. Mint ismeretes, a klasszikus klasszikus matematika a független független változónak változónak a differenciálját differenciálját
valóban konstánsnak is tekinti.
Ez a felfogás viszont semmiesetre semmiesetre sem tartható fenn, ha áttérünk a magasabbfokú magasabbfokú pontosságú matematikára. matematikára. Mert konstáns dx differenciálnak a feltételezése esetén olyan helyzet áll elő, hogy mindazokon a helyeken, ahol a függvényben a független változónak az abszolút-értéke nagyobb 0 – 0 –nál, de kisebb mint Ø, vagyis ha 0 −0
< x <Ø
.
a dx = Ø egyenlőségnek a folyományaképpen bekövetkezik a dx
>x
egyenlőt egyenlőtlens lenség. ég. Ez pedig pedig annyit annyit jelent, jelent, hogy az x függetl független en változón változónak ak a differe differenciá nciálja lja – mindezeken az említett helyeken – nagyobb, sőt jelentékenyen nagyobb is lehet , mint magának az x változónak a helyi abszolút-értéke. Könnyen belátható, belátható, hogy az így kialakuló helyzetek semmiképpen sem egyeztethetők egyeztethetők össze a diffe differen renci ciálá áláss elvév elvével el,, a diffe differen renciá ciálás lásii művel műveletn etnek ek a vol volta také képpe ppeni ni szell szellemé eméve vel,l, amel amelyy megkövet megköveteli, eli, hogy a dx differenciál differenciál mintegy végtelenszer kisebb legyen legyen az x változónak valamennyi helyi értékénél. Ez az egyik oka és magyarázata annak, hogy be kellett vezetnünk az intrazeriális rendszerbe az /51,3/ alatti függvényt. Meg kell gondolnunk továbbá a fentieken kívül azt is, hogy amennyiben valamely f (u,v,w, függvényb nyben en egysze egyszerre rre több több függet függetle lenn válto változó zó játsz játszik ik szerep szerepet, et, akkor akkor a klassz klassziku ikuss …,t) függvé matematika /51,1/ formulájának a szellemében meghatározott lim ∆u
∆u →0
h = ∆lim ∆v = ∆lim ∆w = ... = ∆lim ∆t = lim v→0 w →0 t →0 h →0
egyenlőségnek a következtében: du
= dv = dw = ... = dt = konstáns
helyzet áll elő. Ez pedig annyit jelent, hogy a felsorolt differenciálok által képviselt zeriálisan kicsiny értékek egymástól meg nem különböztethetők. Ha tehát magasabbfokú pontossággal kívánunk számolni, akkor: egymással egyenlő értékű differenciálok – bármikor felcserélhetők lévén – okvetlenül megzavarnák a számításainkat. Az effél effélee bizony bizonyta talan lanság ságnak nak a kik kiküsz üszöbö öbölé lése se ugyanc ugyancsak sak megkí megkíván vánja ja az /51 /51,3/ ,3/ alat alatti ti függvénynek a bevezetését. 116
Az alábbiak alábbiakban ban kimutatj kimutatjuk, uk, hogy ez a elfogás is teljes összhangban áll a klasszikus
matematika differenciálási elvével és szabályaival. Ha a független x változónak a dx differenciálját a Ø ٠ x függvénnyel tekintjük azonosnak,
akkor is fennáll a
d x dx
=
dx dx
Ø x = ⋅ =1 Ø⋅x
egyenlőség. Ebből azonnal következik, miszerint d dx d = (1) dx dx dx
= 0 −0 ,
vagy másként kifejezve ugyanezt d dx d 2 x = dx dx dx 2
= 0 −0 ,
ebből pedig máris nyilvánvaló, hogy /51,5/
d2x
= 0 −0 .
Az /51,5/ egyenlőségnek az alapján viszont fenn kell állnia az alábbi /51,6/
(dx )' =
d dx dx
=
d2x dx
=0 −0
egyenlőségnek is. Az /51, /51,5/ 5/ és /51, /51,6/ 6/ form formul ulák ák való valóba bann telj teljes es össz összha hang ngba bann álln állnak ak tehá tehátt a klas klassz szik ikus us matematikával, annak ellenére, hogy míg a klasszikus felfogás a dx differenciált konstánsként könyveli el, addig az intrazeriális rendszerben: dx = Ø ⋅ x függvény. (A fenti egyenlőségekben alkalmazott 0 – 0 kifejezésre vonatkozólag lásd az 53.§. –ban foglaltakat.)
52.§. A differenciálás magasfokú pontosságú művelet. Az előző paragrafusban említett ama követelmény, hogy az /51,4/ egyenlőséget zérusfokú pont pontos osság ság melle mellett tt kell kell kiért kiérték ékeln elnünk ünk,, azt a láts látszat zatot ot kelti kelti,, hogy hogy /51 /51,4/ ,4/ csupán csupán zérus zérusfo fokú kú pontosságú formula. A következőkben kimutatjuk ennek az ellenkezőjét. Legyen v valamely rendkívül nagy értékű pozitív, véges, egész szám. Tegyük fel továbbá, hogy az /51,3/ alatti feltevés helyett a
117
/52,1/
dx = inz limv x ⋅ h = Ø ⋅ x v
h→ Ø
függvénnyel számolunk. Helyettesítsük be ezt a meghatározást az /51,4/ formulában következő egyenlőséget nyerjük: /52,2/
F ( x + Ø v ⋅ x ) − F( x ) Øv ⋅ x
Ø⋅ x
helyébe. Ebben az esetben a
= F ' (x) .
Könnyen belátható, hogy ebben az esetben x -nek a feltételezett növekménye øov-1 -szer kisebb, mint /51,4/ alatt volt. Fejezzük ki ezután az /52,2/ egyenlőséget Taylor-sorral, hogy megállapíthassuk a pontossági fokát. Nyilvánvaló, hogy a megfelelő Taylor-sor, a szükséges átalakítások után: F( x + Ø v ⋅ x ) − F( x ) Øv ⋅ x
Øv ⋅ x = F ' (x) + ⋅ F ' ' ( x ) + ... 2!
.
Ezzel a sorbafejtéssel pedig már el is döntöttük, hogy az /52,2/ egyenlőség még v – 1 fokú pont pontos osság ságna nakk a megköv megkövet etelé elése se esetén esetén is helyt helytáll állóó és igaz. igaz. A v számot számot viszont viszont szabadon szabadon választhatjuk meg, – vagyis bármilyen nagy véges értékkel ruházhatjuk fel, – minélfogva ki kell mondanunk, hogy az /52,2/ alatti egyenlőség a gyakorlati értelemben vett legmagasabbfokú pontosságnak az előírása mellett is fennáll.
Az F(x) függvénynek a differenciálhányadosát az /52,2/ formula tehát az elérhető legmagasabbfokú legmagasabbfokú pontosság mellett határozza meg. Módunkban áll azonban, hogy az /52,2/ egyenlőséget egybevessük az /51,4/ alattival. Ebben az esetben kimondhatjuk, miszerint /52,3/
F( x + Ø v ⋅ x ) − F( x ) Øv ⋅ x
=
F( x + Ø ⋅ x) - F(x) Ø⋅x
= F ' (x) .
Ennek az egyenlőségnek az első tagozata, mint fentebb már bebizonyítottuk, v - 1 fokú pontosság mellett határozza meg az F’(x) függvényt. Az egyenlőségnek a második tagozata pedig, mint az 51.§. -ban igazoltuk, csak zérusfokú pontossággal végzett kiértékelés esetén egyenlő az F’(x) függvénnyel. Maga az F’(x) differenciálhányados azonban mindkét esetben Különbség séget et mi mindö ndössz sszee abban abban látha láthatun tunk, k, hogy hogy az /52 /52,3/ ,3/ egyenl egyenlősé őségbe gbenn az első első azonos. Különb törtkifejezést törtkifejezést legfeljebb legfeljebb v - 1 fokú pontossággal, a második törtkifejezést pedig legfeljebb zérusfokú pontossággal kell és szabad kiértékelnünk ahhoz, hogy fennálljon és fennállhasson maga az /52,3/ alatti egyenlőség. Minthogy azonban az F’(x) hányados mindkét pontosság mellett, vagyis mindkét esetben ugyanaz ugyanaz marad, azért az /52,3/ /52,3/ egyenlőség egyenlőségnek nek az alapján alapján megálla megállapíth píthatju atjuk, k, hogy az F’(x) differenciálhányados voltaképpen v – 1 fokú pontosságú kifejezésnek is tekinthető. És minthogy ugyanennek az egyenlőségnek a középső tagozatát az /51,4/ formula szerinti törtkifejezés képezi, azért a fenti következtetés alapján kimondhatjuk mint konklúziót, hogy az 118
F(x) F(x) függvé függvény ny differ differenc enciál iálhán hányad yadosá osának nak az /51,4/ /51,4/,, illetv illetvee /51,2/ /51,2/ formul formulaa szerin szerinti ti és zéru zérusf sfok okúú po pont ntos ossá ságg ggal al ab abbó bóll kiér kiérté téke kelt lt megh meghat atár ároz ozás ása: a: ug ugya yanc ncsa sakk a gyak gyakor orla lati ti értelemben elérhető legmagasabbfokú legmagasabbfokú pontosságú meghatározás! Nincs szükségünk tehát a Øv hatványnak, vagyis az /52,1/ függvénynek az alkalmazására és így így az egysze egyszerűb rűbbb /51,4 /51,4// képle képletne tnekk az alapj alapján án végez végezhet hetjü jükk számít számítása ásain inkat kat a nélkü nélkül,l, hogy hogy engedményt kellene tennünk a magasfokú pontosság terén. Mindezt azonban csakis az intrazeriális matematikának a megvilágításában tudjuk kimutatni.
53.§. Zeriálisan kicsiny konstánsok. Az /51,4/ /51,4/ képlet képlet törtkife törtkifejezé jezéséne sénekk a számlál számlálójáb ójában an nem ténylege ténylegess kivonási kivonási művelet műveletnek, nek, hanem csupán elvi összemérésnek a formulája áll előttünk. Az összemérés, mint a 20.§. -ban kifejtettük, kifejtettük, nem jár együtt értéktorzulással. értéktorzulással. Ennélfogva, ha feltesszük, feltesszük, hogy f(x) = a = konst., – amikor is magától értetődően fennáll az f ( x + Ø ⋅ x) = a egyenlőség, – az /51,4/ képletnek az alapján írhatjuk, miszerint: /53,1/
d a dx
= a −a = 0 −0 . Ø⋅x
Kimondhatjuk tehát, hogy bármely konstáns számértéknek a differenciálhányadosa 0 - 0
-val egyenlő.
Az intrazeriális matematikában a határozott értékű zérussal számolunk. Ennélfogva Ø -t mindenkor állandóként kell felfognunk a differenciálási műveletekben: /53,2/
d Ø =0-0 dx
.
Magától értetődik továbbá, hogy a Ø -nak a reciprok értékét, vagyis a határozott végtelent is állandóként kell kezelnünk: /53,3/
d dx
øo
=0-0 .
Hasonló értelemben fennáll természetesen, hogy /53,4/
d (a − a ⋅ H a ) = 0 − 0 dx
,
mint konstáns a számértékek tényleges különbségének a deriváltja.
54.§. Az xø hatvány differenciálhányadosa. differenciálhányadosa. A klasszikus matematikának a hatványok differenciálására vonatkozó szabálya változtatás nélkül kiterjeszthető a zeriálisan kicsiny kitevőjű hatványokra is. 119
Ennélfogva: /54,1/
d ø x dx
= Ø ⋅ x Ø-1 .
Azonnal bebizonyíthatjuk állításunknak a helyességét, ha a /10,1/ alatti sornak minden egyes tagját külön-külön differenciáljuk. Amikor is 2 2 3 3 Ø ⋅ (ln x) Ø ⋅ (ln x ) 1 + Ø ⋅ ln x + + + ... x = = dx dx 2! 3! 2 3 2 Ø Ø ⋅ ln x Ø ⋅ (ln x ) Ø Ø2 ⋅ (ln x) 2 = + + + ... = ⋅ 1 + Ø ⋅ ln x + + ... = x x x ⋅ 2! x 2! = Ø ⋅ x Ø-1 ,
d
ø
d
miután az egyenlőségnek az utolsó előtti tagozatában kibontakozó sor ismét az xø hatványnak hatványnak a / 10,1/ alatti sorával egyenlő.
55.§. A differenciálok értéke. Meg kell gondolnunk, hogy a klasszikus matematika felfogásában: dF( x ) dx
=F
' (x)
,
amiből egyszerű művelet útján következik, miszerint dF( x )
=F
' ( x ) ⋅dx
.
Mármost, ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát differenciáljuk, akkor a szorzatokra vonatkozó differenciálási szabályoknak az értelmében: /55,1/
d dx
dF( x) = dx ⋅
d dx
F ' (x ) + F ' (x) ⋅
d dx
dx
.
A klasszikus matematika a független változónak a differenciálját mindenkor konstánsként értelmezi. értelmezi. A dx = konst. differenciálnak differenciálnak az értéktelenné értéktelenné váló deriváltja deriváltja következtében tehát az / 55,1/ alatti összegnek a második tagja eltűnik. Az intrazeriális matematika a független független változónak változónak a differenciálját dx = Ø ٠ x függvényként fogja fel. Az /51,6/ alatti egyenlőségnek az értelmében azonban az /55,1/ alatti összegnek ugyancsak eltűnik a második tagja. Ennélfogva mindkét felfogás az alábbi, megegyező eredményhez vezet:
120
/55,2/
d dx
dF(x)
= dx ⋅
d dx
F ' (x)
,
ha pedig elvben ismét limeszekkel számolunk, akkor /55,2/ -ből: /55,3/
d ⋅ [ dF(x )]
= dF
' (x)
dx
⋅ (dx) 2 ,
ebből viszont, a szokásos jelölések alkalmazásával: /55,4/
2
d F( x )
=F
' ' ( x ) ⋅ dx
2
.
Ez azonban már az F(x) függvénynek függvénynek a másodrendű differenciálját differenciálját meghatározó egyenlőség, egyenlőség, – mégpedig mind a klasszikus, mind az intrazeriális matematikában egyöntetűen. Az F(x) függvény bármely magasabbrandű differenciáljának a meghatározását ugyancsak a fenti elvnek az alkalmazásával hajthatjuk végre. A magasabbrendű differenciálok tekintetében, alapul vehetjük tehát a klasszikus matematika elvei szerint megállapított /55,5/
n
d F( x )
= F( n ) ( x ) ⋅ dx n
formulát, amely az F(x) függvény n -edrendű differenciálját meghatározó egyenlőség. Azonnal belátható, hogy ha a dx differenciálnak az elsőrendű deriváltja 0 – 0 -val egyenlő / 51,6/, akkor a dx differenciál minden magasabbrendű differenciálhányadosa is 0 – 0 kell, hogy legyen. Az /55,5/ egyenlőség ennélfogva okvetlenül kielégíti az intrazeriális matematikának a legmagasabbfokú pontosságát is. A kétféle matematikai felfogás tehát a magasabbrendű differenciálok meghatározásának a tekintetében semmiféle eltérést sem mutat. Más a helyzet azonban akkor, ha az n -edrendű differenciáloknak a változó x különböző értékeinek megfelelő függvényeit, vagyis a differenciál-értékeket kívánjuk meghatározni. Mert az intrazeriális intrazeriális rendszer felfogása szerint, /55,5/ -ből: /55,6/
d n F( x) = inz lim F( n ) ( x ) ⋅ dx n dx →Ø⋅x
= Ø n ⋅ x n ⋅ F( n ) ( x ) .
Ez az egyenlőség az n -edrendű differenciáloknak differenciáloknak a mindenkori értékeit határozza meg, az x változónak a függvényeiként. Így például differenciál-értékek a következők: d (ax 3 )
= Ø ⋅ x ⋅ a ⋅ 3x 2 = Ø ⋅ 3 ⋅ a ⋅ x 3 ,
d 2 (ax 3 )
= Ø 2 ⋅ x 2 ⋅ a ⋅ 6x = Ø 2 ⋅ 6 ⋅ a ⋅ x 3 ,
121
d (ln x )
=Ø⋅x ⋅ 1 =Ø , x
d 2 (ln x ) = Ø 2 ⋅ x 2 ⋅ −
d 4 (ln x ) = Ø4 ⋅ x 4 ⋅ −
1 x
2
6 x
4
= −0 2 , = −6 ⋅ Ø4 ,
és így tovább. ismeretess értékébő értékébőll Valamel Valamelyy egyvált egyváltozós ozós függvény függvény n -edrendű -edrendű differen differenciál ciáljána jánakk az ismerete egyszerű módon visszaállíthatjuk azonban a klasszikus matematikában szokásos differenciálalakú kifejezést is, ha tekintetbe vesszük, hogy rendszerünkben dx = Ø ٠ x. Ennélfogva, Ennélfogva, ha valamely valamely n -edrendű differenciálnak differenciálnak az értékét kifejező kifejező függvény: ε(x), akkor a visszaállított differenciál-kifejezés: /55,7/
d f x = ε(x ) ⋅ n
dx n dx n
=
ε( x ) ⋅ dx n . n n Ø ⋅x
Így például, ha egy harmadrendű differenciálnak differenciálnak az ismeretes ismeretes értéke: ε( x ) = 2 ⋅ Ø3 , akkor az / 55,7/ formulának az értelmében visszaállított differenciál: d f ( x ) = 3
2 ⋅ Ø3 3
Ø x
3
⋅ dx 3 =
2 x
3
⋅ dx 3 .
Ebből következik az intrazeriális matematikának az a megállapítása, hogy bármely megadott és megnyil megnyilvánu vánuló ló φ(x) függ függvé vény ny felf felfog ogha ható tó úgy úgy is, is, mi mint nt a øo egys egység égűű szám számsz szin intn tnek ek a koordinátarendszerébe tartozó valamely Φ(x) függvénynek az egyszerű differenciál-értéke. Mert ha feltesszük, hogy φ(x)=ε(x) valóban differenciál-értéket képvisel, akkor az /55,7/ formulával visszaállított differenciál: dΦ( x ) = ϕ( x ) ⋅
dx dx
=
ϕ( x ) ϕ(x) ⋅ dx = øo ⋅ ⋅ dx , Ø⋅x x
amiből integrálás után: /55,8/
ϕ(x) Φ(x) = øo ⋅ ∫ ⋅ dx , x
mint a øo egységű számszinten fennálló függvény. Mag Magától érte rtetődi ődik tov továbbá ábbá,, hogy hogy mega megaddott ott dif differe ferenc nciá iáll-ért -érték ékeeket ket csa csak akko kkor diffe differen renci ciál álhat hatunk unk vagy vagy int integ egrál rálha hatun tunk, k, ha azokat azokat előzőleg előzőleg visszaál visszaállítjuk lítjuk közönséges differenciál-kifejezésekké, az /55,7/ formula szerint. 122
Ennek Ennek a feltéte feltételnek lnek a helytál helytállósá lósága ga márcsak márcsak azért azért is nyil nyilvánv vánvaló aló,, mert a differen differenciál ciálási ási eljárásnak az elve ab ovo megköveteli, hogy mindenkor valamely függvényt, de ne valamely függvény függvény-érté -értéket ket differen differenciál ciáljuk. juk. Ugyanez Ugyanez vonatkoz vonatkozik ik az integrál integrálási ási műveletr műveletree is. Megadott Megadott függvény-értékek tehát még akkor sem differenciálhatók vagy integrálhatók, ha az értékek ugyancsak függvény alakban vannak kifejezve. Annál kevésbé szabad figyelmen kívül hagynunk ezt a feltételt, mert – mint az alábbiak szerint könnyen belátható – a df(x) megadott differenciál-érték, mint függvény, kifejezetten
már egyáltalában nem határozza meg azt a diszpozíciót, hogy milyen változó szerinti differenciál-kifejezéssé kell visszaalakítanunk az illető differenciál-értéket, amelyből ez származott. Tetszésszerinti z változóra nézve fennállhat ugyanis a következő egyenlőség: /55,9/
df ( x )
= f ' (x ) ⋅ dx = f ' (x ) ⋅ Ø ⋅ x = Z ; és
Z = Ø ⋅ x ⋅ f ' (x) ⋅
dz dz
= Ø ⋅ x ⋅ f ' (x) ⋅
dz Ø⋅z
= x ⋅ f ' ( x ) ⋅ dz = ∂F( x , z ) ⋅ dz . z ∂z
Így például d (ln x ) = (ln x )'⋅dx
Ø =Ø⋅
du du
=Ø⋅
= 1 ⋅ dx = 1 ⋅ Ø ⋅ x = Ø ; és
du Ø⋅u
x
x
= du = d (ln u ) , u
ha az ln x függvénynek a meghatározott differenciál-értékéből valamely u változó szerinti differenciált kívánunk visszaállítani.
56.§. Implicite megadott függvény differenciálása. Valamely implicite megadott függvénynek a differenciálását elvileg ugyanúgy végezhetjük el, mint a klasszikus matematikában, még akkor is, ha abban zeriálisan kicsiny értékek is szerepet játszanak. Világítsuk meg a kérdést tehát egy egyszerű példának a levezetése során. Tegyük fel, hogy az 1 1 1 n n inz lim x + y + z n =3 n →øo
megadott egyenlőségből, amelyben x és y függetlenek, z pedig függő változó, a dz differenciált kell meghatároznunk. Mindenekelőtt írjuk fel a határérték-kifejezést az intrazeriális matematika felfogása szerint, a 14.§. -ban foglaltak alapján. Akkor a megadott egyenlőségünk a következő alakot nyeri: /56,1/
x
ø
+ yø + zø = 3 .
123
a.) Mint a klasszikus matematikából ismeretes, a z függő változónak a differenciálját az alábbi egyenlőség határozza meg: /56,2/
dz = p ⋅ dx + q ⋅ dy
,
amelyben p
=
∂z ∂x
és
q
=
∂z ∂y .
Ha tehát a megadott függvényben előbb x -et, azután y -t tekintjük az egyedüli független változónak, akkor fennáll, miszerint ∂F ∂F + p ⋅ = 0 −0 , ∂z ∂z ∂F + ⋅ ∂F = − q 0 0 . ∂y ∂z
Meghatározván a parciális deriváltakat az /56,1/ képletből: Ø ⋅ x Ø-1
+ p ⋅ Ø ⋅ z Ø-1 = 0 − 0 ,
Ø ⋅ y Ø-1
+ q ⋅ Ø ⋅ z Ø-1 = 0 − 0 ,
ebből pedig azonnal következik, hogy xø ⋅ z p = − x ⋅ zø
,
yø ⋅ z q =− y ⋅ zø
,
majd az így nyert törteket zérusfokú pontossággal kiértékelve: p
= −z ⋅ x −1 ,
q
= −z ⋅ y −1 .
Behelyettesítve végül ezeket az /56,2/ formulába, feladatunknak a megoldásához jutunk el:
124
/56,3/
dz = −z ⋅ x
−1
⋅ dx − z ⋅ y−1 ⋅ dy .
b.) Az /56,1/ egyenlőség megegyezik a /41,3/ alattival. Ezt az utóbbit már megoldottuk mint egyenletet a z változóra nézve, a /41,6/ alatt, amely megoldás szerint: /56,4/
z
=
1 x⋅y
.
Határozzuk meg ezúttal a dz differenciált az explicite megadott /56,4/ függvényből. Mint azonnal belátható: dz
= −x −2 ⋅ y −1 ⋅ dx −x
−1
⋅y −2 ⋅dy
.
Ha pedi pedigg szám számít ítás ásai aink nk elle ellenő nőrz rzés ések ekép éppe penn hely helyet ette tesí síté tést st végz végzün ünkk eben eben a legu legutó tóbb bbii egyenlőségünkben /56,4/ szerint, akkor az alábbi dz = −z ⋅ x
−1
⋅ dx − z ⋅ y−1 ⋅ dy
egyenlőséget nyerjük, amely megegyezik az /56,3/ alattival. Ez a megegyezés bizonyítékot nyújt egyúttal arra nézve is, hogy az /56,1/ = /41,3/ egyenletet helyesen oldottuk volt meg a 41.§. -ban , a øo -fokú hatvánnyal meghatározott /41,6/ = /56,4/ formulával.
57.§. Zeriálisan kicsiny értékeket felölelő integrálok. Ha a határozott zérust – valamint annak reciprok-értékét, vagyis a határozott végtelent – mindenkor konstánsnak tekintjük, akkor a zeriálisan kicsiny /vagy végtelenül-nagy/ értékek ellenére: az integrálási szabályok változatlanul ugyanazok maradnak, mint a klasszikus
matematikában.
Így például, ha az integrálandó integrálandó függvény: y=x
ø
⋅ ln x ,
akkor parciális integrálást végezve:
∫
x 1+Ø xØ x ⋅ ln x ⋅ dx = ⋅ ln x − ⋅ dx 1+Ø 1+Ø ø
∫
x 1+Ø x 1+Ø = ⋅ ln x − 1+ Ø (1 + Ø) 2
+C .
Az így nyert meghatározás teljes intrazeriális pontosságú kifejezés. Ha viszon viszontt mi mind nd az inte integra grandu ndusba sban, n, min mindd az int integ egrál rálnak nak a meghat meghatáro ározot zottt értéké értékébe benn zérusfokú-pontosságú kiértékelést végzünk, akkor példánk a klasszikus matematikai
125
∫ ln x ⋅ dx = x ⋅ ln x − x + C egyenlőséggé alakul át. A szabályok alól kivételt csak a 0 – 0 kifejezés képez.
58.§. Az ∫ (0 −0) ⋅ dx integrál. A klasszikus matematika szabályai szerint, konstáns a érték esetén: /58,1/
∫ a ⋅ dx = a ⋅ ∫ dx = a ⋅ x +C .
A 0 – 0 kifejezést azonban – mint gyűjtőfogalmat /27.§./ – sem konstánsnak, sem változónak tekintenünk nem szabad. Ebből következik, hogy a 0 – 0 tényező nem emelhető ki az /58,1/ egyenlőségnek az értelmében az integrál-jel elé. Mert /58,2/
∫ (0 −0) ⋅ dx ≠ (0 −0) ⋅ ∫ dx .
Belátható ugyanis, hogy a = 0 – 0 esetén
∫ (0 − 0) ⋅ dx = ∫ m ⋅ dx = m ⋅ x + C = (0 − 0) ⋅ x + C = C , másrészt azonban
∫
(0 − 0) ⋅ dx
= (0 −0) ⋅ ( x + C) = 0 − 0 .
A kifejezés nélkül és a kiemeléssel végzett integrál-meghatározás ennélfogva nem egyezik meg egymással
59.§. Az ∫ ln x ⋅ dx integrál egyik meghatározása. meghatározása. A /14,5/ alatti határértéknek az értelmében, elsőfokú pontosság mellett fennáll a /59,1/
øo ⋅ x ø
− øo = ln
x
egyenlőség. Integráljuk példaképpen példaképpen a dx differenciállal szorzott /59,1/ egyenlőséget. Feladatunknak megfelelően: 1+Ø
x øo ø ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ x ⋅ x ø − øo ⋅ x + C . ln x dx ( øo x øo) dx øo øo x C ∫ ∫ 1+Ø 1+0
126
Minthogy pedig elsőfokú pontosságnak az alkalmazása mellett: øo : (1 + Ø) = øo - 1 + ...
,
másrészt viszont, a /11,1/ formula szerint: x
ø
= 1 + Ø ⋅ ln
x
,
azért a megfelelő behelyettesítések után és ugyancsak elsőfokú pontossággal meghatározva:
∫ ln x ⋅ dx = (øo -1) ⋅ x ⋅ (1+ Ø ⋅ ln x) - øo ⋅ x + C = øo ⋅ x - x + x ⋅ ln x - øo ⋅ x + C = =x ⋅ln
x-x
+C
,
Az /59,1/ szerinti helyettesítéssel végzett integrál-meghatározásunk, mint meggyőződhettünk róla, valóban megegyezik a klasszikus matematika számításaival.
60.§. Differenciálhányadosok határtalanul hosszú sorára bontott integrál. Ha feltesszük, hogy C o valamely határozatlan konstáns, akkor – mint a későbbiek során bebizonyítjuk, – az intrazeriális rendszer felfogása szerint mindenkor érvényes az alábbi /60,1/
Co
+ inz ulim ϕ( u ) = C →0 −0
egyenlőség, amelyben C ugyancsak határozatlan konstáns marad. Ennek előrebocsátása után, induljunk ki abból a feltételből, hogy Taylor-sorral kifejezve: h h2 ϕ( x + h ) = ϕ( x ) + ⋅ ϕ ' ( x ) + 1! 2!
⋅ϕ
h3 ''(x) + 3!
⋅ϕ
' ' ' ( x ) + ...
,
⋅ϕ
x3 ' ' (x) − 3!
⋅ϕ
' ' ' ( x ) + ...
,
' ' ' ( x ) − +...
.
így tehát h = - x esetén: x x2 ϕ(0 − 0) = ϕ( x ) − ⋅ ϕ ' ( x ) + 1! 2!
amiből átrendezés után: /60,2/
ϕ( x ) = ϕ(0 − 0) + x ⋅ ϕ
' (x) −
x2 2!
⋅ϕ
'' (x) +
x3 3!
⋅ϕ
Ha feltesszük továbbá, hogy ϕ' ( x ) =f ( x ) , akkor ezt a föltett egyenlőséget előbb dx -el megszorozva, majd integrálva nyerjük, miszerint: 127
∫ϕ ' ( x ) ⋅dx = ∫ f ( x ) ⋅dx = ϕ( x ) +C
,
o
amiből: ϕ(x ) = ∫ f (x ) ⋅ dx +Co ,
amikor is C o valamely határozatlan konstáns. Mármost, ha ennek a legutóbbi egyenlőségnek az alapján helyettesítést végzünk a /60,2/ egyenlőségben, akkor: x
2
x
3
∫ f (x) ⋅ dx = x ⋅ f (x) − 2! ⋅ f ' (x) + 3! ⋅ f ' ' (x) − +... + C , lévén a ϕ(0 −0) függvényérték – a /60,1/ alatti formulának az értelmében – egyszerűen beleolvasztható Co -val együtt a C konstánsba, amely ugyancsak határozatlan marad. Ez az utolsó egyenlőség pedig nem egyéb, mint a differenciálhányadosok sorára bontott integrálnak az általános képlete, amelyet a következőképpen is megfogalmazhatunk: /60,3/ − (−x ) 2 df (x ) (−x ) n d n 1f (x ) ∫ f (x) ⋅ dx = −(−x) ⋅ f (x) + 2! ⋅ dx + ... + n! ⋅ dx n−1 + ...ad
Inf . + C
.
Így például:
∫
x 3 ⋅ dx
3x 4 = x − 2 4
2
3
4
2!
3!
4!
= x ⋅ ( x 3 ) − x ⋅ ( x 3 )'+ x ⋅ ( x 3 )' '− x ⋅ ( x 3 )' ' '+C = x4 +x − 4 4
+
C=
x4 4
+
C
.
Megj Megjeg egye yezz zzük ük,, hogy hogy a /60, /60,3/ 3/ form formul ulát át első elsőso sorb rban an a vége végett tt hatá határo rozt ztuk uk meg, meg, hogy hogy felhasználhassuk a levezetéseink során, a továbbiakban. A /60,1/ alatti egyenlőségben foglalt állításainkat állításainkat pedig a II. részben, a szférikus analízisnek analízisnek a keretében bizonyítjuk be.
61.§. Határozott és improprius integrálok. A határozott integrálnak a fogalmát az r
/61,1/
∫ f ( x ) ⋅ dx = F(r ) − F( p)
p
128
formula fejezi ki. Ez az egyenlőség annak a területnek az elvi értékét juttatja kifejezésre, amely területet az f(x) függvénygörbe, függvénygörbe, a koordinátarendszer koordinátarendszer x tengelye, valamint az x = p és az x = r pontokhoz tartozó ordináta-egyenesek ordináta-egyenesek határolnak be. Nyilvánvaló, Nyilvánvaló, hogy ezt a területet nem kell, de nem is szabad ténylegesen eltávolítanunk valamely nagyobb területből, valamint a /61,1/ területen belül sem engedhető meg, hogy annak egyik részét ténylegesen eltávolítsuk a másik részéből, még akkor sem, ha az egyik területrész az x tengely alatt terül el, minélfogva negatív előjellel bír. A /61,1/ formulában tehát tényleges kivonási művelet nem játszik szerepet. A formula ezért mentes kell, hogy legyen minden velejáró értéktorzulástól. Ki kell mondanunk ilyenformán, hogy a /61,1/ alatti különbség csak elméleti /nem tényleges/ kivonást, illetőleg elvi összemérést jelent, amellyel kapcsolatban értéktorzulás nem léphet fel. Ezért, ha p = r, vagyis ha az integrálnak a határai egyenlők, fennáll, miszerint a számtorzulásmentességnek a következtében: r
//61,2/
∫ f (x) ⋅ dx = F(r ) − F(r ) = 0 − 0 . r
A klasszikus matematikában gyakorta előfordul, hogy valamelyik integrálhatár a határozott előjelű, de bizonytalan értékű végtelenbe nő. Az efféle improprius integrálokkal az intrazeriális rendszer nem foglalkozik. A határozott végtelen: határozott szám. Ennél Ennélfog fogva va a határ határoz ozott ott végte végtelen lennel nel kifej kifejez ezett ett int integr egrál álhat határo árokk egyál egyáltal talán án nem adnak adnak improprius-jelleget az integrálnak, hanem – ellenkezőleg – azt határozott integrállá teszik. Így például: n
/61,3/
dx x
∫
inz lim
n →øo
1
øo
= ∫ dx = ln øo . x
1
Ezt az integrált át is alakíthatjuk az x = 1/t egyenlőség szerint. Ebben az esetben a kifejezés negatív előjelet nyer, a határai pedig 1 -re és Ø -ra változnak át, vagyis øo
/61,4/
dx x
∫ 1
Ø
= ∫ dt = ln øo . 1
t
Ha pedi pedigg a /61, /61,3/ 3/ és /61, /61,4/ 4/ inte integr grál álok okat at össz összea eadj djuk uk,, akko akkorr az utób utóbbi bi inte integr grál álna nakk a megfordítása után: 1
/61,5/
dt t Ø
∫
øo
+∫ 1
dx x
øo
= ∫ dx = 2 ⋅ ln øo . Ø
x
Azonnal arról is meggyőződhetünk, hogy számításaink valóban helyesek. helyesek. Mert ha /61,3/ -ban 1 helyett Ø –t írunk, akkor:
129
øo
/61,6/
dx
∫ x
= ln øo - ln
Ø
.
Ø
Egybevetve végül a /61,5/ és /61,6/ egyenlőségeket: 2 ⋅ ln øo
= ln
øo - ln Ø
,
ebből viszont azonnal következik a ln Ø = -ln øo
egyenlőség, amely valóban pontosan megegyezik a /46,5/ alatti meghatározásunkkal. Mindeb Mindebből ből nyi nyilv lvánv ánval aló, ó, hogy hogy a /61,3 /61,3// és /61 /61,6/ ,6/ alat alatti ti formul formulák ák csakug csakugyan yan határozott értelmezhetők a rendszerünkben. rendszerünkben. integrálokként értelmezhetők
62.§. Integrálhatárok átalakítása. Ha véges határú integrált ismét véges határú integrállá kívánunk átalakítani az /62,1/
X
T
x0
t0
∫ f (x) ⋅ dx = ∫ F(t) ⋅ dt
egyenlőségnek az értelmében, akkor a lineáris összehasonlítás alapján álló /62,2/
x − x0 X − x0
=
t − t0 T − t0
klasszikus matematikai formula a megfelelő megoldáshoz vezet. Magától értetődik, hogy az intrazeriális rendszerben az X, T, x0 és t0 jelölések zeriálisan kicsiny értékeket is képviselhetnek, valamint a zeriálisan kicsiny számoknak a reciprok értékeit is kifejezhetik. Ebbő Ebbőll köve követk tkez ezik ik,, hogy hogy a /62, /62,2/ 2/ form formul ulát át akko akkorr is alka alkalm lmaz aznu nunk nk szab szabad ad,, ha az inte integr grál álha hatá táro roka katt zeri zeriál ális isan an kics kicsin inny nyéé vagy vagy végt végtel elen enül ül-na -nagg ggyá yá kívá kívánj njuk uk átal átalak akít ítan ani. i. Magasabbfokú pontossággal megadott zeriálisan kicsiny vagy végtelenül-nagy integrálhatárok esetén pedig, ugyancsak a /62,2/ formulának az értelmében, az integrálkifejezést véges határú integrállá is alakíthatjuk át. Tegyük fel például, hogy egy megadott 0 – 0 és Ø határú integrálkifejezést a és b véges határú integrállal kívánunk helyettesíteni. Akkor /62,2/ szerint: x − (0 − 0) Ø - (0 - 0)
=
t −a b − a
,
130
amiből: x
= Ø ⋅ (t - a) , b - a
dx
=
Ø b - a
⋅ dt .
Kimondhatjuk tehát ilyenformán az Ø
/62,3/
Ø f(x) ⋅ dx = b - a 0- 0
∫
b
⋅ ∫ f Ø ⋅ ( t − a ) ⋅ dt b - a a
egyenlőséget. Ezzel pedig az adott 0 – 0 és Ø határú integrált valóban véges határú integrállá alakítottuk át. Így például, a /52,3/ formulának az értelmében: Ø
2
∫ x ⋅ dx = Ø ⋅ ∫ (t − 1) ⋅ dt = 2
0- 0
1
Ø2 2
.
Továbbá példaképpen tegyük fel, hogy valamely valamely magadott –Ø és Ø határú integrált kívánunk helyettesíteni a és b véges határú integrálkifejezésekkel. Ebben az esetben /62,2/ szerint: x −(−Ø) Ø - (-Ø)
=
t −a b −a
,
amiből: x
= 2 ⋅ Ø ⋅ t − Ø ⋅ (a + b) , b - a b − a
dx
=2
⋅Ø
b - a
⋅ dt .
A /62,1/ formulának az alapján, számolhatunk tehát az 2 ⋅Ø 2⋅Ø Ø ⋅ (a + b) f ( x ) ⋅ dx = ⋅ f ⋅t − ⋅ dt b a b a b a − -Ø a Ø
∫
b
∫
egyenlős egyenlőségge éggel,l, amellyel amellyel az adott adott -Ø és Ø határú határú int integ egrál ráltt ismét ismét véges véges határú határú int integr egrál állá lá változtattuk át.
131
Felhozott példáink teljesen világossá teszik az integrálhatároknak zérusnál magasabb fokú pontossággal végzett átalakítását.
63.§. Az integrál-formulák pontossági foka. Ha a klasszikus matematikában használatos integrál képleteket magasabbfokú pontosságú számításoknál kívánjuk felhasználni, akkor minden egyes esetben meg kell győződnünk először arról, hogy az igénybe veendő képletek nem rejtenek-e magukban olyan elhanyagolásokat, amelyek a magasabbfokú pontosságnak a szempontjából már meg nem engedhetők. Ezúttal ismét példákkal világítjuk meg a kérdést. a.) Mint ismeretes, az alábbi integrál minden elhanyagolás nélkül határozható meg: n
n
/63,1/
∫ a ⋅e
−ax
⋅ dx =−e
−ax
1
=e −a −e −an . 1
A klasszikus matematika tehát, n→∞ esetén, a lim e −an n →∞
=0
elhanyagolással, a következő formulát határozza meg: ∞
/63,2/
∫ a ⋅ e
−ax
⋅ dx = e −a ,
(a pozitív),
1
amel amelyy egye egyenl nlős őség égbe benn azon azonba bann az inte integr grál ál fels felsőő hatá határá rátt megh meghat atár ároz ozóó ∞ -t bizo bizony nyta tala lann kifejezésnek /gyűjtőfogalomnak/ kell tekintenünk az intrazeriális rendszernek a szempontjából. Tegyük fel, hogy z valamely megnyilvánuló /véges/ pozitív szám. Számoljunk ezúttal a határozott végtelennel, mégpedig elsőfokú pontosság mellett. Ebben az esetben írhatjuk, hogy z ⋅ øo
z⋅øo
∫ a ⋅e
-ax
⋅ dx = −e
−ax
1
=e −a ,
(a pozitív).
1
Meggyő Meggyőződ ződhe hetün tünkk róla, róla, hogy hogy megha meghatá tároz rozásu ásunk nk megegy megegyezi ezikk a klassz klassziku ikuss matema matemati tika ka szerinti /63,2/ alatti meghatározással. b.) Tegyük fel, hogy b→1. Akkor a b ٠Ø szorzat pozitív számértéket képvisel. Így tehát a fenti korlátozásnak, vagyis az a = pozitív feltételnek eleget téve, behelyettesíthetnénk a /63,2/ egyenlőségben a helyébe b ٠Ø szorzatot. Ámde ebben az esetben /63,1/ szerint: øo
øo
∫ b ⋅ Ø ⋅ e 1
- b⋅Ø⋅x
⋅ dx = −e
- b⋅Ø⋅x
= e − b⋅Ø −e − b , 1
132
a nyert meghatározás tehát nem azonos azzal, amit a /63,2/ formulába történt behelyettesítés révén nyerhetünk: e
−a
= e − b⋅Ø ,
hanem attól lényegesen eltér a -e-b taggal. Egyszerű példáink is világosan rámutatnak arra, hogy a klasszikus matematika integrálképleteit minden esetben gondosan felül kell vizsgálnunk, mielőtt a magasabbfokú pontosságú rendszerben is felhasználhatnók azokat. Minden egyes – közhasználatban lévő – integrál-formulát újból kell képeznünk tehát, a legel legelem emibb ibb felté feltéte telek lekből ből kiind kiindulv ulva, a, hogy hogy kiépí kiépíth thess essük ük az intra intraze zeriá riáli liss rendsz rendszer er int integr egrál ál-képlettárát, amely nem egyezik meg teljesen a klasszikus matematikáéval.
133
VIII. FEJEZET: AZ INTRAZERIÁLIS MATEMATIKA SZÁMTARTOMÁNYA.
64.§. A 0 – 0 kifejezés sajátságai. Mint már a 27. és 38.§. -ban kifejtettük, a 0 – 0 jelkép a voltaképpeni gyűjtőfogalmát képezi minda mi ndazok zoknak nak a felfog felfoghat hatatl atlan anul ul kicsi kicsiny ny abszo abszolút lút-ér -érté tékű kű számok számokna nak, k, amelye amelyeket ket még az intraze int razeriál riális is matemati matematika ka legmagas legmagasabbf abbfokú okú pontossá pontossága ga mellett mellett sem tudunk tudunk megkülön megkülönbözt böztetn etnii egymástól. A véges értékű és a pozitív egységnél nagyobb m esetén fennálló ... − Ø m
m
m
< − Ø < 0 − 0 < Ø < Ø m ... m
m
egyenlőtlenség világosan feltünteti azt a helyzetet, amelyet a 0 – 0 kifejezés foglal el az intrazeriális matematika számsorában. Ebből a helyzetből következik, hogy az intrazeriális rendszernek a gyakorlatában a 0 – 0 kifejezés kifejezés ugyanazt a szerepet tölti be, mint a klasszikus matematikában a közönséges értelemben vett, határozatlan zérus. Az intrazeriális felfogás alapján, általában ugyanazt mondhatjuk el a 0 – 0 kifejezésről, mint ami a klasszikus matematika zérusával kapcsolatban ismeretes: a./ ha 0 – 0 –t bármely véges számmal szorozzuk vagy osztjuk, mindig 0 – 0 marad, b./ ha 0 – 0 –t hozzáadjuk valamely számhoz, vagy akár kivonjuk belőle, az illető számnak az értéke nem változik meg, 134
c./ nem tehetünk különbséget a +(0 – 0) és –(0 – 0) kifejezések között, a kifejezések előjelének és értékének a szempontjából, d./ bármely számnak a 0 – 0 fokú hatványa mindenkor a pozitív egységgel egyenlő /27.§./, e./ a (0 – 0)0-0 hatvány ugyancsak a pozitív egységgel tekinthető egyenlőnek /ha 0 – 0 nem kimondottan valamely koordinátarendszerbeli abszolút origót jelképez/; ezzel szemben azonban véges n érték esetén: (0 – 0)n = 0 – 0, f./ a 0 – 0 jelkép: határozatlan és bizonytalan, meg nem állapítható értékű gyűjtőfogalom, amely csaknem abszo abszolút lútan an értékt értéktele elenne nnekk min minősí ősíthe thető tő,, – sőt esetl esetleg eg valóban abszolútan értéktelen is lehet /az origo körüli mikro-számfoltnak a közepén/, g./ éppen a határozatlan voltánál fogva, a 0 – 0 kifejezés kifejezés nem lehet osztó, nem lehet valamely törtn törtnek ek a nevez nevezője ője,, – az effél effélee osztá osztásbó sbóll nyert nyert hányad hányados os is csak csak bizony bizonyta talan lan lehet lehetne ne,, – minélfogva a 0 – 0 -val végzendő osztás mindenkor tilalmas művelet, h./ végül pedig leszögezhetjük, hogy a 0 – 0 kifejezés sajátságai között mindössze egyet találunk, amelyben lényegesen eltér a klasszikus zérustól, ez a sajátsága pedig abban áll, hogy a határozott végtelennek bármely véges-fokú hatványával képzett szorzata ugyancsak 0 – 0 értékű: /64,1/
øo
n
⋅ (0 − 0) = 0 − 0 .
Figyelembe Figyelembe véve a 0 – 0 kifejezésnek kifejezésnek a felsorolt sajátságait, sajátságait, ki kell jelentenünk jelentenünk tehát, hogy az intra intraze zeriá riáli liss felfo felfogás gás elvei elveinek nek és magas magasfok fokúú pontos pontosság ságána ánakk a beveze bevezeté tésév sével el koránt korántsem sem küszöbölhettük ki a klasszikus matematika zérusa körül felmerülő, rendhagyó jelenségeket a matematika rendszeréből. Az int intraz razeri eriáli áliss mate matemat matik ikána ánakk a bevez bevezet etésé ésével vel min minden denese esetre tre elért elértük ük azonb azonban an,, hogy hogy gigantikus mértékben megnöveltük a matematika műveleti törvényeinek az érvényességi körét, kiterjesztvén kiterjesztvén a törvények érvényességét érvényességét a megnyilvánuló megnyilvánuló számokon túl, a zeriálisan kicsiny és a végtelenül-nagy abszolút-értékű számoknak a felfoghatatlanul óriási kiterjedésű tartományaira is. Hisze Hiszenn belá belátha tható, tó, hogy hogy mi minde ndenn øon egysé egységű gű száms számszi zint nt – tehát tehát valam valamenn ennyi yi száms számszi zint nt egyenként – éppen annyi számot tartalmaz és ennélfogva relatíve éppen olyan nagy kiterjedésű, mint a véges számoknak a szintje, illetőleg tartománya.
65.§. Az intrazeriális matematika számtartományának számtartományának a határai. Az intrazeriális matematika pontosságának a 0 – 0 jelkép szab határt. A 64.§. g. pontjának az értelmében: mindazok a törtkifejezések, amelyeknek nevezőjét a 0 – 0 jelkép képezi, még a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság számára is megközelíthetetlenek, meghatározhatatlanok maradnak. Hacsak nem tudjuk kifejezni az efféle törteket valamilyen másféle módon is, olyképpen, hogy ne kelljen a 0 – 0 jelképet alkalmaznunk a nevezőben. Az intrazeriális matematika gigantikus kiterjedésű teljes számtartományának a határait a / 64,1/ formulának az alapján határozhatjuk meg. A /64,1/ egyenlőségre nézve feltételül kötöttük ki, hogy abban n -nek véges-értékű számnak kell lennie. Ha ez a feltétel valóban teljesül, akkor fennáll, miszerint /65,1/
øo n ⋅ (0 − 0) = øo ⋅ (0 - 0)
.
Ha pedig az említett feltétel okvetlenül szükséges szükséges feltétele a /64,1/ egyenlőségnek, akkor 135
/65,2/
øo
øo⋅n
⋅ (0 − 0) ≠ 0 − 0 .
Milyen értéket fejez ki azonban a /65,2/ egyenlőtlenségben feltüntetett szorzat? Ahhoz, hogy ez az egyenlőtlenség valóban fennállhasson, fel kell tennünk, hogy a Øøo hatvány egy olyan értéket határoz meg, amely beletartozik a 0 – 0 gyűjtőfogalomba, gyűjtőfogalomba, vagyis hogy az intrazeriális felfogás szerint: /65,3/
Ø øo
= 0 −0 .
Ebben az esetben valóban fennállhat, hogy a /65,2/ alatti szorzat: /65,4/
øo
øo⋅n
⋅ (0 − 0) = øoøo⋅n ⋅ Øøo⋅n = 1
lehet, akármilyen véges értéket tulajdonítunk is az n számnak. Mármost, ha feltesszük, hogy m valamely véges, de a pozitív egységnél feltétlenül nagyobb, tetszésszerinti számérték, akkor /65,3/ alapján: Ø
øo m
1 m
= (0 − 0 ) ,
és mi minth nthogy ogy az int intraz razeri eriáli áliss matema matemati tika ka felfo felfogás gásaa szerin szerint,t, vagyi vagyiss a 64.§. 64.§. e. pontj pontjána ánakk az értelmében, okvetlenül fenn kell állnia a 1
( 0 − 0)
m
= 0 −0
egyenlőségnek, azért írhatjuk, hogy /65,5/
øo
Øm
= 0−0 .
Ebből a meggondolásból következik, hogy ha /65,6/
øo
v
≤Ø m ,
akkor az intrazeriális matematika megkülönböztetései lehetőségei mellett: /65,7/
v = 0 −0
.
A v szám szám tehát tehát már kívül kívül esik esik az int intraz razeri eriáli áliss matema matematik tikaa törvén törvényei yeinek nek az abszo abszolút lút érvényességi körén. 136
Ha pedig a /65,6/ egyenlőtlenséget az m fokú hatványra emeljük, akkor: /65,8/
≤Ø øo
vm
Tegyük fel továbbá, hogy v = 1/u . Ebben az esetben, a /65,8/ formulába való behelyettesítés végrehajtása után írhatjuk, miszerint: /65,9/
≥øo øo
um
.
A /65,7/ képlettel kapcsolatban már kimondottuk, hogy a v szám kívül esik az intrazeriális matematika matematika törvényeinek az abszolút érvényességi érvényességi körén. Amit a v számról állítunk, azt v -nek a reciprok értékéről, vagyis az u számról is állítanunk kell, ugyanebben a vonatkozásban. A /65,8/ és /65,9/ formulákkal meghatározott u és v számok – az m hatványfoknak hatványfoknak a tetszésszerinti tetszésszerinti megválasztása mellett, föltéve, hogy m a pozitív egységnél nagyobb véges szám, – meghatározzák tehát az intrazeriális matematika törvényrendszerének és így az intrazeriális matematika egész számtartományának is az alsó, illetőleg a felső határát. Kimondhatjuk ennélfogva, hogy minden olyan k szám, amelyre nézve fennáll a /65,10/
v
< k < u
egyenlőtlenség: egyenlőtlenség: az intrazeriális matematika teljes számtartományába tartozik. Valóban indokolt tehát az a fenti állításunk, hogy ennek a számtartománynak a méretei gigantikusak, sőt beláthatatlanok, és nemcsak gyakorlati értelemben megközelíthetetlenek. A fenti gondolatmenet és a /65,10/ behatárolásnak az alapján azonnal belátható, hogy az
intra intrazer zeriál iális is matema matematik tikána ánakk az egész egész számta számtarto rtomán mányáh yához oz viszon viszonyít yítva: va: a klassz klassziku ikuss matematikának a teljes számtartománya /amelyen belül a műveleti törvények egységesek és változatlanok/ mindenestül jelentéktelenné válik. 66.§. Hiper-pontosságú matematikai rendszerek. rendszerek. Ha a /65,3/ formulának az értelmében feltesszük, hogy Ø øo
= 0 −0 ,
akkor – minthogy a 0 – 0 kifejezést úgyis a felfoghatatlanul kicsiny abszolút-értékű számok gyűjt gyűjtőfo őfogal galmán mának ak kell kell tekin tekinte tenün nünkk az int intraz razeri eriáli áliss matem matemati atika ka rendsz rendszeré erében ben,, – könnye könnyenn elképzelhetünk máris egy olyan „hiper-zeriális” matematikai rendszert, amelynek a pontossági foka foka,, vagy vagyis is a megk megkül ülön önbö bözt ztet etés ésii lehe lehető tősé sége geii olya olyann óriá óriási siak ak,, hogy hogy az il ille lető tő rend rendsz szer er megvilágításában fennáll, miszerint a koordinátarendszernek a pozitív oldalán:
Ø
øo
>
Ø
øo
2
>
Ø
øo
3
... >
Ø
øo
n
... > Ø
2⋅øo
3⋅øo
>Ø
>Ø
4⋅øo
137
... > Ø
n⋅øo
... >
Ø
n⋅øo
2
... >
Ø
n⋅øo
n
...
.
A koordinátarendszer negatív oldala természetesen ugyanilyen megkülönböztetéseket tesz lehetővé. A hiper-zeriális matematika elképzelt felfogása szerint ezek a hatványok mind értékek , amelyek a megfelelő egységű koordinátarendszernek a tengelyein helyezkednek el, mindkét oldalon és egymástól megkülönböztethetően, mégpedig a Ø n ⋅ øo ± Ø øo + n
( n >> 1 )
összeget meghatározó tengely-pontok és az origo között. Az intrazeriális matematika felfogásában viszont ezek az értékek mind beletartoznak a 0 – 0 gyűjtőfogalomba. A feltételezett hiper-zeriális rendszer tehát ugyanúgy viszonylik az intrazeriális rendszerhez, mint ahogy ahogy az intraze intrazeriáli riáliss matemati matematika ka rendszere rendszere viszonyl viszonylik ik a klasszi klasszikus kus matemat matematikáé ikáéhoz. hoz. Hiszen az intrazeriális matematikában még egymástól tisztán megkülönböztethető zeriálisankicsiny értékek is egytől-egyig beletartoznak a klasszikus matematika 0 gyűjtőfogalmába. Belát Beláthat hatóó azonb azonban an ugyan ugyanakk akkor, or, hogy hogy a felt feltéte ételez lezett ett hiper hiper-ze -zeriá riáli liss rendsz rendszer er sem lehet lehet abszolútan tökéletes. Magától értetődik, hogy ennek a hiper-zeriális rendszernek a legmagasabbfokú pontossága sem lehet elegendő ahhoz, hogy a (Ø øo − Ø øo ) kifejezést, amelyet a 0 – 0 jelképnek az analógiájára alkottunk, még nem tudja megkülönböztetni az origótól. A hiper-zeriális rendszernek is lesz tehát egy olyan gyűjtőfogalma, vagyis a (Ø øo − Ø øo ) kifejezés, amelyre a 64.§. -nak az a, b, …g. pontjaiban felsorolt megállapítások ugyanúgy vonatkoznak, vonatkoznak, mint a 0 – 0 kifejezésre az intrazeriális rendszerben, rendszerben, valamint a határozatlan határozatlan 0 -ra a klasszikus matematikában. Elképzeléseink terén továbbhaladva egy lépéssel, föltehetjük viszont, hogy létezhetik egy olyan olyan „ultra-hip „ultra-hiperze erzeriál riális” is” matemat matematikai ikai rendszer rendszer is, amely amely tisztán tisztán meg tudj tudjaa különböz különböztet tetni ni øo øo egymá egymást stól ól a (Ø − Ø ) gyűjtőfo gyűjtőfogal galmon mon belüli belüli számokat számokat.. Az efféle efféle ultra-hip ultra-hiperze erzeriál riális is rendszerben is találkoznunk kell azonban ismét egy olyan gyűjtőfogalommal, helyesebben a (Ø
øo
2
− Øøo
2
)
kife kifeje jezé zéss ssel el,, amel amelyr yree a 64.§ 64.§.. a, b, …g. …g. pont pontja jaib iban an fels felsor orol oltt megá megáll llap apít ítás ások ok ugya ugyanú núgy gy vonatkoznak, mint a határozatlan zérusra a klasszikus matematikában. És így tovább. Elképzelhető, hogy újabb és újabb lépcsőfokokon át emelkedő lépésekkel, talán a teljes határtalanságig határtalanságig megismételhetően, megismételhetően, egyre finomabb és finomabb megkülönböztetésű megkülönböztetésű – pontossági fokú – matematikai rendszerek valósíthatók meg. Valamennyi rendszernek lesz azonban egy-egy olyan gyűjtőfogalma, amelyre nézve a 64.§. a, b,…g. pontjaiban felsorolt megállapítások egyöntetűen érvényesek. Maga Maga a matema matemati tikai kai pontos pontosság ság tehát tehát egyre egyre fokozh fokozhat ató, ó, továb további bi rendsz rendszere erekk lépcs lépcsőze őzete tess kiépí kiépíté tésév sével, el, az origo origo körüli körüli mik mikro-s ro-szám zámfol foltot tot képvi képvisel selőő „gyűjt „gyűjtőf őfoga ogalom lom”” azonba azonbann csak csak szűkíthető, szűkíthető, de semmiféleképpen semmiféleképpen sem küszöbölhető küszöbölhető ki a magasabbfokú rendszerek megvalósítása és alkalmazása révén a matematikából.
138
67.§. A tökéletesen tiszta t iszta számértékek problémája. Valamely egész számot akkor nevezhetünk tökéletesen tisztának, ha az illető egész számnak a saját értékéhez semmiféle σ értéktöbblet sem társul hozzá. Minden számnak az értéke meghatározható a pozitív egységgel. Elegendő tehát, ha csak a pozitív egység tisztaságának a kérdésével foglalkozunk. A klassz klassziku ikuss matem matemati atika ka felfog felfogásá ásában ban a ti tiszt sztaa egysé egységne gnekk az érték értéke: e: 1. De ugyana ugyanakko kkor r kifejezhető ez az érték az 1 =1 + 0
egyenlőséggel is, amelyben zérus a zeriálisan kicsiny számoknak a gyűjtőfogalmát jelenti. Legyen a továbbiakban n pozitív egész, m pedig tetszésszerinti véges szám. Belátható, hogy amikor a klasszikus matematikában az egységnek a határozott értékéről beszélünk, akkor semmi sem biztosítja azt a körülményt, hogy az illető értékhez – az m ⋅ Ø n szorzattal kifejezhető ε(m, n ) zeriálisan zeriálisan kicsiny értékek közül – egy sem, vagyis semmiféle ε szám sem társul. Mert ha társul is, erről a zérusfokú pontosság mellett mellett egyszerűen nem vehetünk tudomást. Az intrazeriális matematika megvilágítja és elkülöníti egymástól a zeriálisan kicsiny értékeket is. Ezért, ha az intrazeriális matematika pontossága szerint határozzuk meg az egységnek az értékét és azt 1 -nek találjuk, akkor bizonyosak lehetünk abban, hogy valóban nem társul hozzá az egységhez egyetlen ε érték sem. Az intrazeriális matematika legmagasabbfokú legmagasabbfokú pontossága mellett is fennáll azonban az alábbi lehetőség: 1 =1 + (0 − 0)
,
amely egyenlőségben a 0 – 0 kifejezés ismét gyűjtőfogalmat képvisel, mégpedig /65,3/ szerint az øo⋅n szorzattal kifejezhető η( m, n ) értékeknek a gyűjtőfogalmát jelenti. m⋅0 Az intrazeriális rendszer legmagasabbfokú pontosságával meghatározott 1 értékről is fel kell tételeznünk tehát, hogy esetleg mégsem tiszta érték, mert valamely η értéktöbblet tartozik hozzá, amely értéktöbbletről nincs és nem lehet tudomásunk a rendszer keretein belül. A 66.§. -ban tárgyalt hiper-zeriális matematika az efféle η értékeket is megvilágítja és megkülön megkülönbözt bözteti eti egymástó egymástól.l. A hip hiper-ze er-zeriál riális is rendszer rendszer legmaga legmagasabb sabbfokú fokú pontossá pontossága ga mellett mellett meghatározott 1 értékről ezért teljes bizonyossággal kimondhatjuk, hogy az valóban minden η értéktöbblettől mentes. A hiper-zeriális rendszer érvényességi körén belül is fennáll azonban az 1 =1 + (Ø øo
− Øøo )
egyenlőség, amely ismét egy gyűjtőfogalmat tartalmaz, mégpedig az m ⋅ Øøo ⋅n szorzattal kifejezhető (m,n) értékeknek a gyűjtőfogalmát. /66.§./. És így tovább. Mint az előző paragrafusban kimutattuk, kimutattuk, minden matematikai matematikai rendszerben r endszerben helyet kell adnunk egy egy effé efféle le gyűj gyűjtő tőfo foga galo lomn mnak ak.. Akár Akármi mily lyen en mért mérték ékbe benn foko fokozz zzuk uk is – újab újabbb és újab újabbb rendszereknek a kiépítésével – a megvalósítható legmagasabb-rendű rendszernek a precizitását, 2
139
mindenképpen ahhoz a megállapításhoz kell eljutnunk tehát, hogy az egységnek az értékét mindenkor az 1 =1 + σ
egyenlőséggel határozhatjuk meg csupán, amely formában σ az éppen alkalmazott rendszernek az origo körüli mikro-számfoltra vonatkoztatott gyűjtőfogalma. Akármeddig folytatjuk is egyre magasabb rendű matematikai rendszereknek a kiépítését, sohasem juthatunk el odáig, hogy a σ gyűjtőfogalmat kiküszöbölhessük a legutolsó rendszerből. Ki kell mondanunk ennélfogva, hogy tökéletesen tiszta számértékekről nem beszélhetünk
a matematikában.
Sőt – a rendszer-lehetőségek határtalanul nagy számát véve tekintetbe – jogosan föltehetjük, hogy tökéletesen tiszta számértékek nem is létezhetnek a matematika gyakorlatában, de még az elméletében sem. Minden esetben számolnunk kell ezért a pozitív egységnek valamely σ értékű szennyeződésével.
68.§. A geometriai haladvány összegzési összegzési képlete. Mint tudvalevő, a véges tagszámú geometriai haladványnak az összegzési formulája: /68,1/
x
g
+ x g+1 + x g+2 + ... + x g+h −1 = x
g +h
− xg . x −1
Nyilvánvaló, hogy pozitív, véges és reális x értéknek az esetén a /68,1/ alatti /68,2/
F( x )
=
x
g +h
−x x −1
g
függvénynek szakadása nem állhat elő, mert a /68,1/ egyenlőségnek a bal oldala mindenkor véges, reális és határozott összeget foglal magában. Azonnal belátható azonban, hogy a klasszikus matematika felfogása szerint az x = 1 helyen az F(x) függvény teljesen határozatlanná válik mégis, mert /68,3/
g +h
−1g F(1) = 1 −1 1
valóban értéktelen számlálójú és értéktelen nevezőjű törtkifejezés. Az intr intraz azer eriá iáli liss mate matema mati tiká kána nakk a maga magasf sfok okúú pont pontos ossá ságú gú rend rendsz szer eréb ében en x→1 x→1 eset esetén én hasonlóképpen fennáll az x g +h − x g inz lim x →1 x −1
= 0 −0 0 −0
140
határozatlan határozatlan értékű egyenlőség. egyenlőség. Annak ellenére, hogy az Fx függvény az x = 1 helyen egyáltalán nem szakadhat meg és nem válhatik bizonytalanná. Végül pedig tegyük fel, hogy a /68,2/ alatti törtkifejezésben mindkét különbséget tényleges kivonási műveletek eredményének kell tekintenünk. Akkor is x g +h − x g inz lim x →1 x −1
=
1g +h
− 1g ⋅ H (1 ) 0 − 0 = , 1 −1 ⋅ H1 0 −0 g
miután az intrazeriális rendszer legmagasabbfokú pontossága mellett is /27,3/ szerint: H1=1, valamint /28,15/ alapján: H (1 ) =1 . A függvényérték tehát mindhárom esetben határozatlan. Márped Márpedig ig ez nem lehets Mert a függ függvé vény nyne nekk az érté értéké kétt megh meghat atár ároz ozóó /68, /68,1/ 1/ lehetsége égess . Mert egyenlőségnek a bal oldala x = 1 esetén mindenkor éppen h értéket képvisel, amikor is h -nak valamely pozitív egész számot kell jelentenie, a geometriai haladványban betöltött szerepénél fogva. Ha valóban fennállhatna a fentebb vázolt helyzet, vagyis az a körülmény, hogy az x = 1 esetben a /68,1/ egyenlőségnek a bal oldalán határozott h érték, a jobb oldalán pedig ugyanakkor egy határozatlan függvénykifejezés áll, akkor a matematika máris célját és értelmét veszítené, mert jogosan kétségbe vonhatnók logikai rendszerének azt az általános és kivételeket nem tűrő érvényességét, amely nélkül a matematika megbízhatatlanná válnék és mint tudomány már nem is állhatna fenn tovább. A 67.§. -ban tárgyaltaknak az alapján viszont könnyen bebizonyíthatjuk, hogy a /68,1/ formula valóban általános érvényességgel bír. Legyen Legyen ugyanis ugyanis σ = 0 – 0 valamely valamely olyan olyan csekély csekély abszolút abszolút-érté -értékű kű szám, szám, amelyet amelyet az intrazeriális rendszerben értéktelennek kell minősítenünk, ámde a hiper-zeriális vagy annál is magasabb rendű rendszerek valamelyikének a szempontjából mégis határozott számértéknek kell tekintenünk. A 67.§. -ban kimondottuk, hogy szennyeződésektől mentes, vagyis tökéletesen tiszta egység nem létezhetik a matematikában. A fenti x = 1 egyenlőségnek a feltételezésekor elkövettük tehát azt a hibát, hogy az egységnek az okvetlenül fennálló szennyeződését nem vettük tekintetbe, vagyis hogy nem az x = 1+σ egyenlőségnek az alapján végeztük számításainkat. /68,3/. Az elkövetett hibát feltétlenül helyesbítenünk kell. Ha pedig ezt a helyesbítést végrehajtjuk, akkor /68,2/ alapján: g
F(1 + σ)
=
(1 + σ)
g +h
− (1 + σ)g = h , (1 + σ) −1
ha az alkalmazott hiper-zeriális, vagy annál is magasabb rendű rendszernek a sajátos elsőfokú pontosságával számolunk. Az így meghatározott függvényérték valóban hibátlanul kielégíti a /68,1/ alatti egyenlőséget. Ennél Ennélfog fogva va a geome geometri triai ai haladv haladvány ány össze összegzé gzési si képlet képletén ének ek az álta általán lános os érvény érvényess esség égébe ébenn csakugyan nincs jogunk kételkedni. Éppen a fenti gondolatmenet bizonyítja azonban annak a teóriának a helyességét is, hogy tökéletesen tiszta számértéket valamely változó sohasem vehet fel . Bizonyítékul szolgál továbbá arra nézve is, hogy teljes mértékben megvan a jogosultsága jogosultsága az intrazeriálisnál is magasabb rendű 141
matematikai matematikai rendszerek feltételezésének, feltételezésének, mert helyes megoldáshoz bizonyos esetekben csakis az efféle rendszerek valamelyikének a számtartományában és szellemében juthatunk el. Bizonyítja végül még azt a szabályszerűséget is, hogy az egyensúlytörvény által determinált műveleti törvények minden rendű és rangú matematikai rendszerben azonosak , hiszen ha nem volnának azonosak, akkor a fenti F(1+σ) függvényértéket nem határozhattuk volna meg sablonosan, minélfogva a felvetett problémánknak megoldatlanul kellett volna maradnia. Belát Beláthat hatóó tehát tehát,, hogy hogy a geome geometri triai ai halad haladván ványna ynakk az egysz egyszerű erű összeg összegzés zésii képle képlete te már egymagában is elegendő bizonyítékot szolgáltat mindahhoz, amit a 66. és 67.§. -ban még csak feltételezett elvként tárgyaltunk és juttattunk kifejezésre. A klasszikus matematika – a maga zérusfokú pontossága mellett – nem világíthatott rá a nála magas magasab abbre brendű ndű int intraz razeri eriál ális is rendsz rendszern ernek ek az által általáno ánoss érvén érvényű yű művel műveleti eti törvén törvényei yeire. re. Az intrazeriális rendszerben tárgyalt és feltárt műveleti törvények viszont már valamennyi – az intrazeriálisnál is magasabb rangú – matematikai rendszert egyképpen kielégítik.
69.§. Az y = x -m függvény. A pozitív egységnél nagyobb és véges m számnak a feltételezése mellett, tegyük vizsgálat tárgyává az y
= x −m
függvényt. Ha a függvény függvénytt valamel valamelyy koordinát koordinátaren arendsze dszerre rre vonatkoz vonatkoztatj tatjuk uk a megnyilv megnyilvánul ánulóó /véges/ /véges/ számok szintjén, akkor x -nek az origo körüli mikro-értékei – a 45.§. -ban foglaltak értelmé értelmében ben – még úgy tekinthetők, „mintha” ugyanabban a koordinátarendszerben foglaltatnának benne. A függő y változónak a végtelenül-nagy értékei azonban már csak matematikailag fejezhetők ki, az alapul vett koordinátarendszerben nem ábrázolhatók. Vizsgáljuk meg a függvényt a mikro x -értékek helyeinél. Az origo helyén , a klasszikus matematika a függvényt az y=∞
kifejezéssel határozza meg, ha m páros, – másrészt pedig y
=±
kifejezéssel írja körül a függvénynek az értékét, ha m páratlan szám. Ez az utóbbi kifejezés azonban voltaképpen semmit sem jelent. Nem tételezhető fel ugyanis, hogy a ± ∞ kifejezésben a kétféle előjel egyszerre érvényesül. Mert mégha gyűjtőfogalomnak tekintjük is a végtelent, mint ahogy a klasszikus matematika értelmezi, akkor sincs értelme annak, hogy ez a gyűjtőfogalom pozitív és negatív is legyen egyidőben. Ha viszont úgy fogjuk fel, hogy ∞ -t vagy pozitívnak, vagy negatívnak negatívnak kell tekintenünk, tekintenünk, akkor máris ellentmondásba kerülünk azzal a határozott műveleti törvénnyel, amely szerint a páratlan –m fokú hatványnak az értéke mindenkor ugyanolyan előjelű kell, hogy legyen, mint 142
amilyen a hatványlapnak az előjele. Mert még a klasszikus matematika felfogásában is azonnal belátható, hogy az origo helyén az x változónak semmiféle előjele nincs és nem is lehet. Az efféle meghatározásokban rejlő ellentmondás és bizonytalanság – magától értetődően – a klasszikus matematika zérusfokú pontosságának a következménye. Ezze Ezzell szem szembe ben, n, az intr intraz azer eriá iáli liss rend rendsz szer er megv megvil ilág ágít ítás ásáb ában an nyil nyilvá vánv nval aló, ó, hogy hogy a koordinátarendszer x -tenge -tengely lyén én az origón origónak ak a tényl ténylege egess helyét helyét csak csak megköz megközelí elíté tések sekke kell határolhatjuk körül /38.§./, az úgynevezett origo-foltig, amelynek a belső világába már nem hatolhatunk be. Vizsgáljuk meg tehát az efféle megközelítéseket. Mindenekelőtt meg kell gondolnunk, hogy az y függvénynek a helyi értékei páros m esetén pozitív előjelűek. Mármost, ha arra a problémára kívánunk világosságot deríteni, hogy az y függvény függvénynek nek az elérhető elérhető maximális helyi helyi értéke értéke még mi mindi ndigg az intra intraze zeriá riáli liss matem matemati atika ka számtartományának a határain belül marad-e, vagy pedig túlhaladja-e ezeket a határokat, akkor elegendő azokat a megközelítő eseteket megvizsgálnunk, amikor x pozitív előjelű, m pedig páros szám. Az intrazeriális matematika legmagasabbfokú pontossága mellett, azonnal megállapíthatjuk, miszerint páros számértékű m -nek a feltételezése során: x=Ø
esetén
y = øo m ,
x = Ø2
esetén
y = øo2m ,
esetén
y = øonm .
…………. x=Øn
A megközelítő meghatározások mind egyértelműek. Nem fordulhat elő tehát olyan eset, amiko amikorr a kétol kétoldal dalról ról felvá felvált ltva va eszkö eszközöl zöltt megköz megközel elít ítése ésekk során során – párat páratla lann m értékn értéknek ek a feltételezése mellett – a függvény bizonytalan előjelet nyer. Belátható Belátható továbbá, hogy az n számmal kifejezhetjük az elképzelhető legnagyobb véges egészszámnak az értékét is. Az y függvénynek az x = Ø n helyre vonatkozó értékét még ebben az esetben is a határozott végtelennek valamely véges fokú hatványa határozza meg. A /65 /65,9/ ,9/ és /65 /65,10 ,10// formul formulák áknak nak a tekin tekintet tetbe be vétel vételee melle mellett tt,, kimon kimondha dhatj tjuk uk tehát tehát,, hogy hogy amennyiben x az intrazeriális matematikának matematikának a számtartományán számtartományán belül marad, akkor az y = x − függvénynek az értékei sem léphetik túl az intrazeriális rendszer számtartományának a határait, bármilyen nagy véges szám is m. Nyilvánvaló végül az a körülmény is, hogy hiába térnénk át a hiper-zeriális vagy még magasabb rendű matematikai rendszerekre, az abszolút értelemben felfogott origónak a helyét még akkor sem, semmiképpen sem tudnók meghatározni. /38.§./. Az x = origo helyen az y függvény valóban csak akkor nyerhetne értelmet, értelmet, ha az y -tengelyt – mindkét irányban – a teljes határtalanságig tudnók kiterjeszteni. m
70.§. Az y = m x függvény értéktartománya.
143
Tételezzük Tételezzük fel ismét, hogy m a pozitív egységnél nagyobb véges szám, majd tegyük vizsgálat vizsgálat tárgyává – különleges szempontból – az /70,1/
y = m⋅x
egyszerű függvényt. Kíséreljük meg a következő elgondolásnak a megvalósítását. Annak ellenére, hogy logikai képtelenségnek tűnik fel egy olyan pozitív véges egész-számnak a feltételezése, amely számnál már nem létezhetik nagyobb értékű véges szám, kísérletképpen ruházzuk fel mégis a W számot azzal a sajátsággal, amely szerint W a „lehetséges legnagyobb” véges egész-számmal egyenlő a számok egész birodalmában. Ezek után, ha feltesszük, feltesszük, hogy x = W, akkor a /70,1/ függvénynek függvénynek az értéke az x = W helyen, kétségtelenül: y
= m⋅W .
A szorzási művelet azonban az egyik tényezőnek az ismételt összeadását jelenti. Véges számok összegzésével összegzésével csak véges számot nyerhetünk eredményül, mert könnyen belátható, hogy az összeg meg kell, hogy maradjon azon a számszinten, amely számszintre kivétel nélkül valamennyi valamennyi összeadandó tag tartozik. Ha tehát két véges számot szorzunk össze, akkor a szorzat minde mi ndenn esetb esetben en maga maga is csak csak véges véges lehet lehet.. Nyilv Nyilvánv ánvaló alóan an téved tévedtü tünk nk ennél ennélfog fogva va abban abban az elképzelésünkben, elképzelésünkben, amikor W -t tekintettük a létező legnagyobb véges számnak, mert az m ⋅ W szorzat még W -nél is nagyobb véges szám kell, hogy legyen, – legalább is a klasszikus matematika felfogása szerint. Eredeti szándékunkat szem előtt tartva, helyettesítsük most a véges m ⋅ W szorzatot x -nek a helyébe. Ebben az esetben a /70,1/ függvénynek a helyi értéke: y
= m2 ⋅ W ,
amely m 2 ⋅ W = m ⋅ m ⋅ W szorzat – a fentiek értelmében – még mindig véges szám marad. Nyilvánvaló ugyanis, hogy véges számnak véges fokú hatványa mindenkor csak véges szám lehet. Véges számértéket fejez ki ennélfogva az mW−1 ⋅ W szorzat is. Az y függvénynek a helyi értéke tehát az x = m W −1 ⋅ W helyen: y
= mW ⋅ W .
Követett eljárásunkat tovább is folytathatjuk, az y
= m W+1 ⋅ W,
m W+2 ⋅ W,
...
m 2 W ⋅ W,
...
függvényértékek felé, sőt azokon túl is. A nyert függvényértékek mindenkor véges számok lehe lehetn tnek ek csup csupán án.. Magá Magátó tóll érte értető tődi dik, k, hogy hogy ez nem nem is lehe lehets tség éges es másk máskén ént, t, mert mert vége végess
144
számé számérté rtékek keknek nek a szorza szorzata ta sohase sohasem m érhet érhetii el a végte végtele lent, nt, – a számsz számszint intek ek teóri teóriáj áján ának ak az értelmében. Mindezeket meggondolva, be kell látnunk tehát, hogy követett eljárásunkat akármeddig,
akár a teljes határtalanságig is kiterjeszthetjük, mégpedig a nélkül, hogy y -nak az értéktartománya értéktartománya valaha is túl-léphetne a véges számok tartományának a határain Negatív egész-számú és véges x értékek esetén ugyanezeket a lépéseket ismételhetjük meg,
ugyancsak a teljes határtalanságig, ugyanolyan feltételek mellett. Logikusan felmerül tehát a kérdés: hogyan növelhetők a véges számértékek mind pozitív, mind negatív irányban a teljes határtalanságig a nélkül, hogy valaha is megközelítenék vagy elérhetnék a végtelent? Más fogalmazásban pedig: milyen nagy kiterjedésű valójában az y =m x függvénynek az értéktar értéktartomá tománya, nya, ha m vége végess szám szám és ha x vált változ ozóó sem sem hagy hagyha hatj tjaa el a vége végess szám számok ok számszintjét? A feltett kérdések nyilvánvalóan arra a körülményre mutatnak rá, hogy a számszintek eddigi teóriája – abban a fogalmazásban, ahogy azt a 13.§. -ban és azóta értelmeztük – nem tartható fenn tovább. Már a 13.§. 13.§. -ban -ban is hangsú hangsúly lyozt oztuk uk azonba azonban, n, hogy hogy a számsz számszint intek ek elmél elmélete ete,, a megad megadott ott formájáb formájában, an, csak segéd-teóriaként játsz játszik ik szerep szerepet et az int intraz razeri eriál ális is matem matemati atikai kai rendsz rendszer er bevezetésében. Feltett Felt ett kérdései kérdéseinkre nkre a továbbia továbbiakban kban,, csakis csakis a szfériku szférikuss analízi analíziss útj útján án adhatun adhatunkk kielégí kielégítő tő felelet feleletet. et. A szfériku szférikuss analízis analízis során olyképpe olyképpenn módosít módosítjuk juk és egészít egészítjük jük ki a számszi számszinte ntek k elmélet elméletét, ét, hogy az megfele megfeleljen ljen nemcsak nemcsak a logi logika ka követel követelménye ményeinek inek,, hanem hanem a matemati matematika ka alapvető elvének, vagyis az egyensúlytörvény feltételeinek is. Szüks Szükségü égünk nk van erre erre a módosí módosítás tásra ra és kiegé kiegészí szítés tésre re márcsa márcsakk azért azért is, is, hogy hogy vil világo ágosan san áttekin áttekinthes thessük sük végre végre az intraze intrazeriáli riáliss matemati matematika ka tot totális ális számtart számtartomány ományát, át, amelybe amelybe a véges véges számok határtalan szintje is beletartozik.
145
