Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales Actividad Integradora. Concentración de C! en una función
Actividad integradora. Malt"us Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 2. Antiderivada de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad. #$u% producto entregarás&
Un documento en donde integres el desarrollo de lo que se pide, argumentando cada paso que se realiza, además de dar el bosqueo !dibuo a mano" de la grá#ca que te resulte. #$u% "acer&
$. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la la aplicación del modelo de %homas &althus, economista ingl's en $()*, y el uso de la antiderivada. +n esencia, la idea de este modelo matemático de &althus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P! t ", ", de ese país en cualquier momento ! t en en aos". +n otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. +n t'rminos matemáticos, esta hipótesis se puede e-presar
/onde el símbolo 0 !alfa" indica que ambas cantidades son proporcionales y k es es esa constante de proporcionalidad. +ste modelo no n o tiene en cuenta otros factores !por eemplo, inmigración y emigración" que pueden in1uir en las poblaciones humanas, haci'ndolas crecer o disminuir, pero predio con mucha e-actitud la población de +stados Unidos desde $() hasta $*3. 4a ecuación diferencial anterior a5n se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeos durante cortos intervalos. 6omo se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación dP = kP (t) dt
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Para profundizar en el principio de población de &althus puedes estudiar el siguiente video https77888.youtube.com78atch9v:2n;<;=<>?no >hora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en t'rminos de y nos resulta dy = kydt
%enemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo
+n este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en t'rminos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su antiderivada. 2. @ntegra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de &althus, argumentando los pasos de la solución. Ao olvides que cada función tiene su propia constante de integración
Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despea la variable y para que sea una función en t'rminos de t , debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. %u proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de &althus y =C e
kt
Con el modelo de la hipótesis de Malthus:
dP dP ∝ P , = kP dt dt
/onde dP =kP ( t ) dt , en el cual y = P ( t ) dt , y resultando que
dP =kP ( t ) dt
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1
d y =k y dt → d y =kdt → ∫ dy = ∫ kdt y y lny= kt + C /espeando ahora a
y del logaritmo natural 4ln5, donde C tiene el valor de
ec(1) o simplemente ec kt
y = e
+e c y =C e
kt
/onde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población
y =C e
kt
.
=. /esarrollo. 6on la aplicación de la antiderivada del modelo de &althus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica y =C e
kt
P0=C e
+n el cual
k ( 0)
y = P ( t )= C e
kt
Balidado el tiempo con !t:", !C:" y entonces
( 0)
→ P0=C e → P0=C →C = P0 → y representado tambi'n por
P (t )= P 0 e
kt
que
es la ecuación para gra#car el crecimiento poblacional. Dónde: P(t ): Población a razón de tiempo C = P0 = Población inicial e = A5mero de +uler k = Ditmo de crecimiento
0
=3 50∗(1 )=3 50
P ( 0 )=3 50 Población dentro de 12 aos 'uan Antonio (or)agaray Miranda *rupo+ M1,C-*-/0, aril 2/ de !/13
Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales Actividad Integradora. Concentración de C! en una función Dónde: t : $2 !aos" C = P0 = =E k = .= Desarrollo: ( 0.3 )( 12 ) P ( 0 )=350∗e
P ( 0 )=350∗e
3.6
¿ 350∗36.598234444 ¿ 12,8 09.382055 P ( 0 )=12,809.382055
!i"a de acceso a archi#o de apoyo en $%cel donde se "ra&có en base a las ecuaciones resultantes e ima"en de "r'&ca manual: https77drive.google.com7#le7d7F(mFlGs;ohc%2E$;H@IC)/BU7vie89usp:sharing https77drive.google.com7#le7d7F(mFlGs;ohcdHJ$%2hmICG%B2s7vie89usp:sharing
Deferencias
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<+P. !2$(". &ódulo $*. 6álculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Unidad @@. 4a derivada en la e-plicación de los fenómenos naturales y procesos sociales. Decuperado abril 2*, de 2$(, de cadematica !2$2". 6recimiento Poblacional. !>plicaciones +cuaciones diferenciales de primer orden". Decuperado abril 2), de 2$(, de ?no
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