Universidad Técnica de Machala Unidad Académica De Ingeniera Civil Carrera de ingeniería civil
INFORME DE MÉTODOS NUMÉRICOS INTEGRANTES: Camacho Jiménez Wilson Jefferson Orellana Mendieta John Henry Sánchez Arrobo Erick Alcidez Zambrano Armijos Luis Guilber Docente: Ing. Civil Romero Valdiviezo Elsi América, Mgs. Curso: Quinto semestre “ ”
Materia: Métodos Numéricos Año lectivo 2017/2018
INTRODUCCIÓN
En la ingeniera, tratar de construir una función llamada “función interpolante” de la que se establecen una serie de datos conocidos como “datos de interpolación” ha representado un problema frecuente. Estos datos pueden ser resultantes del análisis de determinado experimento en el que dos o más variables están relacionadas e involucran valores de una función y de sus derivadas. El objetivo que se plantea es verificar dichos datos facilitar su construcción y manipulación.
Objetivo Desarrollar un informe sobre Interpolación, mediante una investigación bibliográfica, para tener mayor conocimiento sobre los temas a tratarse en clases.
GENERALIDADES Los problemas de interpolación se presentan de esta manera:
“Dado un conjunto de datos, por lo general valores de una función o sus derivadas en ciertos puntos =0.1,….,n que serán llamados nodos, el objetivo es construir otra función que coincida con la función previamente otorgada en los datos de interpolación.
Hay algunos tipos de interpolación, entre ellos están:
Interpolación de Lagrange Se conoce los valores de la función =0,1,….,
en
puntos diferentes,
Interpolación de Taylor Los datos son el valor de la función y sus derivadas sucesivas en un punto el orden
() 1
,
hasta
Interpolación de Hermite Se dispone de los valores de una función y d algunas de sus derivadas sucesivas en ciertos puntos.
Las funciones interpolantes en general constituyen un espacio vectorial de dimensión finita. La interpolación tomará el nombre de polinómica, racional, spline polinomial, trigonométrica. Entre las diferentes funciones interpolantes, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en casos de interpolación, es así que las funciones base son Pero no siempre la respuesta es favorable, en especial si la solución del problema demanda el uso de polinomios de alto grado.
)=, , = 0,1,…….
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON: DIFERENCIAS DIVIDIDAS Diferencias dividas es el método más común para resolver una interpolación polinomial.
() = = → = () = = ( ) → = ( ) )= ( ) ( = ( )( ) → = ( )( ) {
,,… () = ,(),,()()⋯ ,…,() … (−) = ,…, ,,…,
A esta notación se la conoce como diferencia dividida de f, por lo tanto, se obtendría que el polinomio interpolante de Newton será:
En el cual y será el coeficiente principal de Newton del polinomio que interpolas la función f en los nodos [1]
Teorema
[,+,…,+ ] ,+ ,…,+−] [,+,…,+ ] = [+,+,…,++][ ,
La diferencia dividida
satisface la ecuación
Este se puede analizar de manera matricial
⋮
, , ,, , ,, ,,, ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,,,,,,… ,,…,
Para calcular , se debe calcular una matriz en la que las nuevas columnas se construyen con los datos de la columna anterior
→ ↑ ← , ↑ ← , ← ,,
, ,, = ,
Ejemplo: Utilizando el método de diferencias divididas calcular el polinomio interpolante para los datos (-1,2), (1,1), (2,2), (3,-2) y el polinomio interpolante para los datos (1,1), (2,2), (3,2).
Paso 1: Utilizando los datos se crea la matriz de diferencias dividas
, , ,, , ,, ,,,
2 → 12 1/21 1/2 2 4 5/2 3/4
() = 2 12 ( 1) 12 (1)( 1) 34 (1)( 1)(2) Para los datos (1,1), (2,2), (3,-2)
() =11(1) 52 (1)(2)
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
f(x)
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4.5
4.6
4.7
Pero se necesita el polinomio interpolante de
() = 3.21.(0.2)
()
x
0.2
0.3
0.4
0.5
f(x)
3.2
3.3
3.4
4.5
0.(0.2)(0.3) 166.66.(0.2)(0.3)(0.4)
Por tanto
(0.35) ≈ (0.35) =3.2875
INTERPOLACIÓN LINEAL La forma más simple de una interpolación consiste en unir dos puntos con una recta a esta técnica se le conoce como interpolación lineal, cuanto menor sea el intervalo entre dos datos mejor será la aproximación, ya que, cuando un intervalo disminuye una función continua estará mejor representada por una recta. [2]
Formula General de Interpolación Lineal
() () () = () (() )
Pasos para resolver una interpolación lineal
Paso 1: Identificar la variable dependiente Paso 2: Identificar la variable independiente Paso 3: Identificar el punto 0 y el punto 1 Paso 4: Sustituir en la fórmula de interpolación lineal Paso 5: Interpolar el valor deseado
Ejemplo
0 ln(6) =1.791759
Estimar el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal, si se sabe que el y el
ln(1) =
Desarrollo Variable dependiente: Logaritmo de 2 Variable independiente: El número 2 Punto 0: (1, 0)
Punto 1: (6, 1.791759)
Formula General
() () () = () (() ) 917590 (1) () = 0 1.7(61) () =00.3583519(1) () =0.35835190.3583519 () =0.3583519(2) 0.3583519=0.3583519 ln(2) 0.3583519 ln(2) ≈0.3583519 El valor de
es aproximadamente
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA La temática de interpolación cuadrática básicamente trata de optimizar un x, en el cual se aproxima con una función cuadrática o gráficamente denominada parábola, además cumple con pasar por tres puntos con valores iniciales ( , , en donde x y , .De tal manera al tener los tres valores iniciales, la parábola se ajusta al polinomio de grado 2.
)
Para calcular un x
∈ ,
se debe utilizar la siguiente expresión matemática:
∈
)()( )()( ) ( )( = = 2()( )2()( )2()( ) Esta expresión se puede demostrar con ciertos procesos algebraicos.[3] Existe un error de aproximación cuando el polinomio es curva y se analiza mediante interpolación lineal. El utilizar la interpolación cuadrática depende de los valores iniciales tal como se lo menciona anteriormente. Una de las formas más conveniente para la interpolación cuadrática es:
() = () = = = = = = = () () = () ( )( ()( ) ) = Se pode expresar de la siguiente manera al agrupar términos:
Obteniendo así:
Para calcular los coeficientes , , . Se tiene que evaluar , , respectivamente en:
,
,
, cuando
Ejemplo
Dado un polinomio de segundo grado, realizar el ajuste de los tres puntos
() = 4 3 =4,17 () = 0 =3,79 ()=5,98 =2,73 ()=11,83
evaluar cuando x=3
=
RESOLUCIÓN
= 0 5,980 =15,7368 = 3,794,17 11,2,733,79 835,98 3,794,17 5,980 = 2,734,17 =7.0958 (3) = 3 4(3) 3
Interpolación cuadrática para estimar
(3) =0(15,7368)(34,17)(7,0958)(34,17)(33,79) (3) =11,8534 (3) = 3 4(3) 3 (3) = 12 −. ∗100% = 1,2 216% () = ()− () *100%=
=
FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON La generalización de la interpolación trata de acoplarse a un polinomio de n-ésimo grado con n+1 de datos, el cual se expresa mat emáticamente como:
()= ()()()⋯()()…(−)
CONCLUSIONES
A través de la elaboración de este informe se adquirió los conocimientos necesarios para resolver las interpolaciones tratadas en este informe. Las interpolaciones lineales y cuadráticas son especificaciones de las formas generales, en la cual se puede expresar matemáticamente de dos formas, las cuales son denominadas interpolaciones de newton e interpolaciones de LaGrange. Las interpolaciones dependen esencialmente de valores iniciales para poder realizar una evaluación a un polinomio.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1]
W. Mora F., Instituto Tecnológico de Costa Rica, Escuela de matemática "Interpolación polinomial" , Costa Rica, 2011
[2]
H. Martínez A., Tecnológico de Monterrey,(Campus de Monterrey) "Métodos Numéricos" , México, 2004
[3]
S. C. Chapra y R. P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, Quinta. Mexico, 2006.
