1. La temperatura T en un lugar del hemisferio norte depende de la longitud x , la latitud y , y el tiempo t , de modo que podemos escribir
( x , y ,t ) . Midamos el tiempo en horas desde el T =f (
principio de enero. (a) ¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parciales
/∂ y ∂ T /
/∂ t # ∂ T /
y
(b) $onolulu tiene longitud que, alas
/∂ x , ∂ T /
158 ªO y la latitud
21 ªN . %uponga
9:00 a . m . del 1 de enero, el "iento esta soplando aire
caliente hacia el noroeste, de modo que el aire al oeste y al sur es caliente y el aire al norte y al este es mas fresco. ¿&s de esperar que
f x ( 158,21,9 ) , f y ( 158,21,9 ) y
f t (158,21,9 ) sea positi"o o negati"o#
&'plique. Solución: /∂ x : representa la tasa de variación de (a) ∂ T / y y
t y consideramos
T cuando fjamos
T como una unción de la única
variable x , que describe cómo rápidamente la temperatura cambia cuando cambia de longitud, pero la latitud y el tiempo son constantes
/∂ y : representa la tasa de variación de ∂ T / x y
t y
T cuando fjamos
T consideramos como una unción de
y , que
describe la rapide! con la los cambios de temperatura temperatura cuando los cambios de latitud, pero la longitud y el tiempo son constantes ∂ T / /∂ t : representa la tasa de variación de
x e y y consideramos
T cuando nos fjamos
T como una unción de
t , que
describe cómo rápidamente los cambios de temperatura en el tiempo para una longitud y latitud constante 158,21, 9 ) : representa la tasa de cambio de la temperatura a (b) f x ( 158,21,
longitud de "#$%&, latitud '"%, a las :** am, cuando sólo longitud var+a uesto que el aire es más cálido, al oeste, de los resultados, el aumento de longitud del este en un mayor aire temperatura, por lo 158,21,9 ) que esperar+amos que f x ( 158,21,9 ) sea positiva
f y ( 158,21,9) : representa la velocidad de cambio de la temperatura al mismo tiempo y ubicación cuando sólo latitud var+a uesto que el aire es más cálido en el sur y más resco -acia el norte, incrementar los resultados de latitud en una disminución de la temperatura del aire, por lo que esperar+amos que f y ( 158,21,9 ) a ser negativo
f t ( 158, 21,9 ) : representa la tasa de cambio de la temperatura al mismo tiempo y ubicación sólo cuando el tiempo var+a .ado que por lo general aumenta la temperatura del aire de la ma/ana a la tarde cuando el sol calienta, esperar+amos f y ( 158,21,9 ) para ser positivo
. &l ndice enfriador del "iento como la temperatura real es
I es la temperatura percibida as
T y la "elocidad del "iento es
de modo que podemos escribir
v ,
I =f ( T , v ) . La tabla de "alores
presentes en es un e'tracto de una tabla de "alores de
I
compilada por National Atmospheric and Oceanic Administration. (a)&stime los "alores los "alores f T (12,20 ) y f v ( 12,20 ) .¿Cual es la interpretaci*n practica de estos "alores# T v 1+ + + -+ + /+ 0+ + 1/ 1
1 12
1/ 11 +
12 3
1 0 1 3
1 0 + 3/
1 / + 30
1 / 31 30
(b)&n general,¿ que se puede decir acerca de
+
1+ + 1 1 1 31 31 31 3 3 3 los signos ∂ I / ∂ T y
∂ I / ∂ v # (c)¿Cual parece que es el "alor del siguiente limite# ∂ I lim v →∞ ∂ v Solución:
2+
f ( 12 + h , 20 ) −f ( 12,20 ) , 0ue h
(a) or defnición tenemos , f T (12,20 )=lim h→0
podemos apro1imar considerando
h =4 y
h =−4
y utili!ando los valores
dados en la tabla: 2uando h =4 tenemos:
f T (12,20 ) ≈ 2uando
f ( 16,20 )− f ( 12,20 ) 4
=
11−5 6 = =1.5 4 4
h =−4 tenemos:
f T (12,20 ) ≈
f ( 8,20 ) −f ( 12,20 )
−4
=
0− 5
−4
3n promedio de estos valores, se estima que
=
−5 =1.25 −4
f T (12,20 ) viene -acer
apro1imadamente "45# or lo tanto, cuando la temperatura real es "'62 y la velocidad del viento es de '* 7m 8 -, la temperatura aparente se incrementa en alrededor de "45#62 por cada grado que la temperatura real se eleva
.el mismo modo, f v ( 12,20 ) =lim h→ 0 apro1imar considerando
f ( 12,20 + h )−f ( 12,20) que podemos h
h =10 y
h =−10 y utili!ando los valores dados
en la tabla: 2uando h =10 tenemos:
f v ( 12,20 ) ≈ 2uando
f ( 12,30 ) − f ( 12,20 ) 10
=
3 − 5 −2 = =−0.2 10 10
h =−10 tenemos:
f v ( 12,20 ) ≈
f ( 12,10 )− f ( 12,20 )
−10
=
9 −5 4 = =−0.4 −10 −10
3n promedio de estos valores, se estima f v ( 12,20 ) sea de apro1imadamente 9*4 or lo tanto, cuando la temperatura real es "'62 y la velocidad del viento es de '* 7m 8 -, la temperatura aparente disminuye apro1imadamente *,462 por cada 7m8- que aumenta la velocidad del viento
(b) ara una velocidad de viento
v fjo, los valores del +ndice de
enriamiento del viento I aumento a medida que aumenta la temperatura
T (mirar a una columna de
la tabla), por lo que
∂ I / ∂ T es positivo
T , los valores de I disminución (o se
ara una temperatura fja
mantienen constantes) como v aumenta (mirada en una fla de la tabla), por lo que ∂ I / ∂ v es negativo (o qui!á *)
T , la unción de valores de
(c) ara valores fjos de
v aumenta, por lo que la tasa de
constante (o casi constante) como
v aumenta sto sugiere
cambio correspondiente es * o cerca de * que que
lim v →∞
f ( T , v ) parecen ser
∂ I =0 ∂v
-. La altura "elocidad
h de las olas en el mar abierto depende de la
v del "iento y del tiempo
t que el "iento haya estado
soplando a esa "elocidad. &n la siguiente tabla se dan "alores de la funci*n
h =f ( v ,t ) en pies4 v t 5
10
15
20
30 40
50
10
2
2
2
2
2
2
2
15
4
4
5
5
5
5
5
20
5
7
8
8
9
9
9
30
9
13
16
17
18
19
19
40 14
21
25
28 31
33
33
50
19
29
36
40
45
48
50
60
24 37
47
54
62
67
69
(a)¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parciales (b)&stime los "alores de
f v ( 40,15 ) y
∂ h ∂ h y ∂ v ∂t #
f t ( 40,15 ) .¿Cual es la
interpretaci*n practica de estos "alores # (c) ¿Cul parece ser el "alor del siguiente limite# ∂h lim t → ∞ ∂t Solución: (a) ∂ h / ∂ v : representa la tasa de variación de y consideramos
h cuando fjamos a
h como una unción de la única variable
t
v , que
describe cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia la velocidad , pero el tiempo es constantes
∂ h / ∂ t : representa la tasa de variación de consideramos
h cuando fjamos a
h como una unción de la única variable
v y
t , que describe
cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia el tiempo, pero la velocidad es constantes f ( 40 + h , 15 )− f ( 40,15) ( ) = f 40,15 lim (b) or defnición tenemos , v , 0ue h h→ 0 podemos apro1imar considerando
h =−10
h =10 y
y utili!ando los
valores dados en la tabla: 2uando h =10 tenemos:
f v ( 40,15 ) ≈ 2uando
f ( 50,15 ) − f ( 40,15 ) 10
=
36 −25 11 = =1.1 10 10
h =−10 tenemos:
f v ( 40,15 ) ≈
f ( 30,15 ) − f ( 40,15 )
−10
=
16 −25 −9 = =2.25 −10 −4
3n promedio de estos valores, se estima que
f v ( 40,15 ) viene -acer
apro1imadamente ";5# or lo tanto, cuando el tiempo que el viento soplo es "# - y la velocidad del viento es de <* 7m 8 -, la altura aparente se incrementa en alrededor de ";5# pies, por cada 7ilometro que la velocidad del viento real se eleva
.el mismo modo, f t ( 40,15 )= lim h →0
f ( 40 + h , 15 ) −f ( 40,15 ) , 0ue podemos h
h =10 y
apro1imar considerando
h =−10
y utili!ando los valores dados
en la tabla: 2uando h =5 tenemos:
f t ( 40,15 ) ≈ 2uando
f ( 40,20 )− f ( 40,15) 10
=
28− 25 10
=
3 10
= 0.3
h =−5 tenemos:
f t ( 40,15 ) ≈
f ( 40,10 )− f ( 40,15)
−5
=
21−25 −4 = =0.8 −5 −5
3n promedio de estos valores, se estima f t ( 40,15 ) sea de apro1imadamente *## or lo tanto, cuando el tiempo real es "# - y la velocidad del viento es de <* 7m 8 -, la altura aparente disminuye apro1imadamente *,## pies por cada -ora que aumenta el tiempo de soplado del viento (c) ara valores fjos de
v , la unción de valores de
constante (o casi constante) como
t aumenta, por lo que la tasa de t aumenta sto sugiere
cambio correspondiente es * o cerca de * que que
lim t→∞
f ( t , v ) parecen ser
∂h = 0 ∂t
. Las siguientes super!cies, marcadas una funci*n
a, b y c , son las gra!cas de
f y sus deri"adas parciales
f x y f y
super!cie y de ra6ones para sus elecciones. (a) n la superfcie anterior podemos destacar que el punto (*,',') es un punto de silla, as+ tambi=n como los puntos (<,*,) y (9<,*,) pueden ser má1imos absolutos los cuales responden a las derivadas parciales ntonces por elección tomar+a al araboloide >iperbólico por el unto de silla que contiene
. 5denti!que cada
(b) ?a siguiente superfcie tiene la orma de una ola como si perteneciera a una unción que contenga senos y cosenos @ posee un punto de silla el cual no se llega a notar pero que esta por la coordenada
( 0,−1,0 )
(c) ?a siguiente superfcie tiene mas que una orma de ola una orma sim=trica con respecto al plano
( xy) @ posee tambi=n
un punto de silla que esta muy disimulado en la coordenada
( 0,−1,2 ) ,
/.7 continuaci*n se da un mapa de contorno para una funci*n .8tilicel
f
o para
estimar
f x ( 2,1 )
y
f y ( 2,1) .
Solución: Si aplicamos el criterio de las derivadas parciales a la grafca que nos muestra las curvas de nivel, podr+amos decir que:
f x ( 2,1 ) , la cual es la derivada parcial con respecto a positiva y se va encontrar apro1imadamente en
x esta va ser
z =10
f y ( 2,1 ) , la cual es la derivada parcial con respecto a positiva y se va encontrar apro1imadamente en 0. si
f ( x , y ) =16− 4 x − y 2
2
z =10
f x ( 1,2 ) y
, encuentre
x esta va ser
f y ( 1,2 ) e interprete
estos n9meros como pendientes. 5lustre con dibu:os a mano o a computadora. Solución: >allamos el
f x =−8 x
f x @
y el
f y
:
f y =−2 y
→ siendo evaluado en
( 1,2 ) → f x =−8 y f y=−4
. si
f ( x , y ) =√ 4 − x −4 y 2
2
f x ( 1,0 ) y
, encuentre
f y ( 1,0 ) e interprete
estos n9meros como pendientes. 5lustre con dibu:os a mano o a computadora. Solución: >allamos el
f x =
f x
− x 2 2 √ 4 − x −4 y
y el
f y
@
→ siendo evaluado en
:
f y =
−4 y √ 4 − x2 −4 y 2
( 1,0 ) → f x=
−1 √ 3
y f y = 0
