COORDENADAS POLARES I.
DEFINICIÓN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue. Donde r distancia dirigida de O a P, radio !ector. θ "ngulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde eleje polar #asta el segmento OP.
Figura No. 01
$%as coordenadas polares de un punto se indican dentro de un par&ntesis, escri'i&ndose primero el radio !ector. As, las coordenadas de P se escri'en (r,θ). l "ngulo polar θ se mide como en trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el radio !ector como lado final del "ngulo, es decir, partiendo del eje polar #acia el radio !ector* se considera positi!o o negati!o seg+n ue el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los con!enios #ec#os en trigonometra, consideran ue el radio !ector nunca de'e ser considerado como negati!o* otros autores, en cam'io, admiten ue el radio !ector puede tomar todos los !ectores reales. -osotros seguiremos este +ltimo con!enio. Seg+n esto, si un punto tiene un radio !ector negati!o, se mide primero el "ngulo polar de la manera ordinaria, y despu&s se toma el radio !ector en la prolongación del lado final. As pues el punto P tendra como coordenadas (r, θ)/.
jemplo. 0omo se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. O's&r!ese ue en este sistema es con!eniente localizar los puntos con respecto a una retcula de circunferencias conc&ntricas intersecadas por rectas radiales ue pasan por el polo.
Figura No. 02
n coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación +nica. sto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 123 θ) representan el mismo punto 4!er los apartados ') y c) de la figura -o. 516.7am'i&n, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (r, θ32) representan el mismo punto. n general, el punto (r, θ) puede e8presarse como (r, θ) = (r, 2π+ θ) ó (r, θ) = (r, θ+ (2!+1)π),
Donde n es cualuier entero. Adem"s, el polo est" representado por (5, θ) donde θ es cualuier "ngulo.
$l trazo de puntos en el sistema polar se facilita considera'lemente usando papel coordenado polar, ue consiste en una serie de circunferencias conc&ntricas y rectas concurrentes. %a circunferencia tiene su centro com+n en el polo y sus radios son m+ltiplos enteros del radio m"s peue9o, tomados como unidad de medidas. 7odas las rectas pasan por el polo, y los "ngulos formados por cada par de rectas consecuti!as son iguales/. :n ejemplo de este papel est" representado en la siguiente figura donde se #an trazado los puntos P;< (=, 12>?), P1 < (=, 2>@), P? < (1, 2>;1), P < (?, 2>?)
P;
P
1
P
P
=
Figura No. 0"
?
II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA. Para esta'lecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se #ace coincidir el eje polar con el eje 8 positi!o y el polo con el origen, como se ilustra en %a figura No.0#. Puesto ue (8, y) se encuentra en un crculo de radio r, se sigue ue Figura No. 0#
r1 < 813 y1. Para r 5, la definición de las funciones trigonom&tricas implica ue tanθ< y>8 ,
cosθ<8>r ,
senθr.
Si r B 5, estas relaciones tam'i&n son !"lidas, como se puede !erificar. Si el polo y eje polar del sise!a de "oordenadas polares "oin"iden# respe"i$a!ene# "on el ori%en y pare posii$a del eje & de 'n sise!a de "oordenadas o "aresianas el paso de 'no a oro de esos dos sise!as p'ede e(e"'arse por !edio de las si%'ienes ()r!'las de rans(or!a"i)n* TEOREMA 01:
C < r cosθ, y < r senθ, 8 13 y1 < r1, θ < arctg(y>8), r <
jemplos ;. ncuentre las coordenadas polares del punto P< (;, ;). Eesolución
De la gr"fica :sando las transformaciones
$r%fi&a No. 01
A dem"s se podra utilizar otras eui!alencias polares
1. ncontrar una ecuación cartesiana de la gr"fica cuya ecuación polar es r 1 < 1 senθ Eesolución
III. EC+ACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES. %a ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y +til cuando uno de los dos focos (Fig. No. 0') est" en el polo y el eje focal coincide con el eje polar. Sea la recta ,l- la directriz correspondiente del foco O* esta recta es perpendicular al eje polar, sea D el punto de intersección. Designemos la distancia
l
, entre el
foco y la directriz, por la cantidad
P(r, θ)
C r
D
θ
d
O
positi!a $d-. Sea P(r, θ) un punto cualuiera de la cónica. Desde P tracemos las perpendiculares FPOF y PCal eje polar y a la directriz, respecti!amente.
Figura No. 0'
Seg+n ella el punto P de'e satisfacer la condición
en donde e es la e8centricidad. A#ora 'ien,
FPOF< r y
FP0 F< FDGF
de donde,
Podemos demostrar, recprocamente, ue cualuier punto cuyas coordenadas satisface la ecuación (1) satisface la condición geom&trica (;) y, por tanto, est" so're el lugar geom&trico. Seg+n esto, la ecuación (1) es la ecuación 'uscada de la cónica.
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE AC+ERDO CON LA E/CENTRICIDAD. Sean F 'n p'no (ijo 0(o"o1 y ,l- 'na re"a (ija 0dire"ri21 en el plano. Sean P oro p'no en el plano y ,e- 0e&"enri"idad1 el "o"iene o3enido al di$idir la disan"ia de P a F enre la disan"ia de P a D. El "onj'no de odos los p'nos P "on 'na deer!inada e&"enri"idad es 'na ")ni"a. 4. La ")ni"a es 'na elipse si 5 6 e 6 4. 7. La ")ni"a es 'na par83ola si e 9 4. :. La ")ni"a es 'na ;ip
02:
CRC*NFERENCAS 0ircunferencias con centro el polo.
%a ecuación cartesiana de una circunferencia es x
2
+ y = a
2
2
2
+ y = a
Aplicando transformaciones tenemos x
2
(r cos θ)
2
2
r
2
r
2
cos
(cos
+
(r
2
θ+
2
r = a
Eesultando, finamente r = a
2
sen 2
sen 2
θ) = a 2
sen
2
θ + r
2
θ=a
θ) = a
2
2
2
Ejemplo:
Hraficar r < 1 SOL*CN
Por inspección de la ecuación dada concluimos ue el lugar geom&trico es una circunferencia con centro el polo y ue tiene radio 1.
0ircunferencias tales ue contienen al polo y tienen centro el punto (a, I) O'ser!emos el gr"fico
De all o'tenemos el tri"ngulo
De all o'tenemos el tri"ngulo
Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos 2
a
2
= r + a − 2ar cos(θ − φ )
r =
2
2ar
2
(θ
cos
− φ)
Eesultando, finalmente r
= 2a cos(θ − φ )
0J-K0AS tales ue el foco es el polo y su recta directriz est" a una distancia LdL del polo O'ser!e la figura.
,a la elipse (0 < e < 1 ) y a la #ip&r'ola Se define a la par"'ola (e = 1) ( como el conjunto de puntos del plano tales ue e > 1) d
( P , F ) = e d ( P , l )
ntonces d (P, F ) = e d (P, l ) r = e[d − r cos(θ − φ)] r = ed − er cos(θ − φ) r + er cos(θ − φ) = ed r[1 + e cos(θ − φ)] = ed r=
ed
1 + e cos(θ − φ)
0asos especiales son
Figura No. 0-
n la figura No. 0-, o's&r!ese ue en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fijo (foco) ue se da en la definición.
%os cuatro tipos de ecuaciones ue se indican en el 7eorema, se pueden clasificar como sigue, siendo do.
%a figura No 0. Klustra estas cuatro posi'ilidades en el caso de una par"'ola. 5M
Figura No. 0
jemplos ;. Hraficar r <
@
;3cos Eesolución
n este caso e < ;(coeficiente del coseno), por lo tanto tenemos una par"'ola con el foco en el polo (el origen) y directriz con una ecuación cartesiana 8<@ (a la derec#a y paralela al eje 2>1). Par%/oa &ó!&aa a a i3ui4r5a.
L5
5N
$r%fi&a No. 02
Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar ue la distancia entre el foco y la directriz es @. O sea FQF< @
Eesolución n este caso e < R (coeficiente del coseno) por tanto tenemos u!a 4i674 con un foco en el polo y el otro foco a la izuierda del eje polar.
Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar ue la distancia entre el foco y la directriz es ;1. O sea
FQF< ;1
IV.TRA>ADO DE C+RVAS EN COORDENADAS POLARES. %a gr"fica o lugar geom&trico de una ecuación e8presada en coordenadas polares es H<(r,θ)
E8E> r< f(θ)T
DKS0:SKJ- D :-A 0:A0KJ- PO%AE. Para facilitar el trazado de gr"ficas en las ecuaciones en coordenadas polares es con!eniente esta'lecer el siguientes an"lisis. ;ero K-7ES00KO-S a) 0O- % U PO%AE se #ace θ < 2n# n ') 0O- % U A V5W
>.
se #ace θ < 2>1 3 2n# n
>.
1do SKX7EYAS a) 0O- % U PO%AE se reemplaza (r,θ) < (r, θ) (r,θ) < (r, 2θ)
') 0O- % U A V5W
se reemplaza (r,θ) < (r, 2θ) (r,θ) < (r, θ)
c) 0O- % PO%O
se reemplaza (r,θ) < (r, θ) (r,θ) < (r, 2 3θ)
Si la ecuación no cam'ia, entonces la cur!a presenta simetra. Sólo 'asta ue cumpla con una condición para ue sea sim&trica.
?ero C7-SKJ-. Son los puntos m"8imo y mnimo de la gr"fica. Para determinar la e8tensión de la gr"fica de un lugar geom&trico dado en coordenadas polares, primero se despeja el radio en función de θ, de modo ue tenemos r< f(θ) Si r es finito para todos los !alores de θ, se trata de una cur!a cerrada. Si, en cam'io, r se !uel!e infinita para ciertos !alores de θ la gr"fica no puede ser una cur!a cerrada. Para los !alores de θ ue #acen a r compleja no #ay cur!a. 7ales !alores de θ constituyen inter!alos e8cluidos del lugar geom&trico. Si la gr"fica es una cur!a cerrada, es +til, frecuentemente, determinar los !alores m"8imo y mnimo de r . =to 7AG:%A0KJ-. Se determina los !alores de r correspondientes a los !alores asignados a θ en el dominio y se ordena los pares. Zto 7EA[ADO D %A HE\QK0A. n el sistema coordenado se localizan los puntos #allados y se traza la cur!a.
