Hukum dan Pembuktian Himpunan dalam Logika Matematika Matematika - Hukum pada himpunan adalah sifat-sifat (properties) himpunan. Dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Prinsip ini merupakan prinsip dualitas. Melalui artikel ini diharapkan mampu memahami dan dapat membuktikan pernyataan himpunan.
Hukum dan Pembuktian Himpunan baa juga!pemodelan Data dalam rekayasa perangkat perangk at lunak ". Hu Huku kum m pada pada him himpu puna nan. n. Hukum pada himpunan adalah sifat-sifat properties (properties) himpunan. Hukum himpunan sering disebut sebagai hukum aljabar himpunan. #erikut adalah hukum aljabar pada himpunan. Hukum identitas ! Hukum null & dominasi! A $ A A $ A% $ A A% $ % Hukum komplemen! Hukum idempoten! A $ % AA $ A A $ AA $ A Hukum penyerapan (absorpsi)! Hukum in'olusi! ( #) $ $ ( #) $ Hukum komutatif! Hukum asosiatif! #$# (# ) $ ( #) #$# (# ) $ ( #) Hukum distributif! Hukum De Morgan! (# ) $ ( #) ( ) $ (# ) $ ( #) ( ) $ Hukum *&" $ % $ + ". Prin Prinsi sipp dua duali lita tas. s. Prinsip Dualitas dikatakan berlaku pada saat dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. ontoh! Di merika kemudi mobil di kiri depan, nggris (juga ndonesia) kemudi mobil di kanan depan. Peraturan! (a) di merika erikat,
•
mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
•
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
•
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di nggris, •
mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
•
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
•
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas! /onsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di merika erikat menjadi berlaku pula di nggris (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , dan komplemen. 0ika 1 diperoleh dari dengan mengganti . •
2,
•
2,
•
2 %,
•
%2,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan 1 juga benar dan disebut dual dari kesamaan . Hukum identitas! Dualnya! A $ A A % $ A Hukum null & dominasi! Dualnya! A $ A % $ % Hukum komplemen! Dualnya! A $ % A $ Hukum idempoten! Dualnya! A A $ A A A $ A Hukum penyerapan! Dualnya! ( #) $ ( #) $ Hukum komutatif! Dualnya! # $ # # $ # Hukum asosiatif! Dualnya!
(# ) $ ( #) Hukum distributif! (# )$( #) ( ) Hukum De Morgan! $ Hukum *&"
%$ (# ) $ ( #) Dualnya! (# ) $ ( #) ( ) Dualnya! $ Dualnya! $ +
". Pembuktian Pernyataan Himpunan. •
Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
•
Pernyataan dapat berupa!
". /esamaan (identity) ontoh ! #uktikan 3 A4 ( B5C ) $ ( A4 B) 5 ( A4C )6 ". mplikasi ontoh! #uktikanbahwa 30ika 4 # $ +dan 7 (# 5 ) maka selalu berlaku bahwa 7 6. ". Pembuktian dengan menggunakan diagram 8enn Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. #uktikan A4 ( B5C ) $ ( A4 B) 5 ( A4C ) dengan diagram 8enn. Bukti: A4 ( B5C )
( A4 B) 5 ( A4C ) /edua digaram 8enn memberikan area arsiran yang sama. 9erbukti bahwa A4 ( B5C ) $ ( A4 B) 5 ( A4C ). •
•
Diagram 8enn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram 8enn tidak dianggap sebagai metode yang 'alid untuk pembuktian seara formal.
". Pembuktian dengan menggunakan table keanggotaan Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. #uktikan bahwa A 4 ( B5C ) $ ( A4 B) 5 ( A4C ). Bukti! A B C B5C A4 ( B5C )
A4 B
A4C
( A4 B)
5 ( A4C ) * * * * * * * * * * " " * * * * * " * " * * * * * " " " * * * * " * * * * * * * " * " " " * " " " " * " " " * " " " " " " " " " /arena kolom A4 ( B5C ) dan kolom ( A4 B) 5 ( A4C ) sama, maka A 4 ( B5C ) $ ( A4 B) 5 ( A4C ). ". Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Misalkan A dan B himpunan. #uktikan bahwa ( A4 B) 5 ( A4 ) $ A Bukti! ( A4 B) 5 ( A4 ) $ A4 ( B5 ) (Hukum distributif) $ A4% (Hukum komplemen) $ A (Hukum identitas) Misalkan A dan B himpunan. #uktikan bahwa A5 ( B : A) $ A5 B Bukti! A5 ( B : A) $ A5 ( B4 ) (Definisi operasi selisih) $ ( A5 B) 4 ( A5 ) (Hukum distributif) $ ( A5 B) 4% (Hukum komplemen) $ A5 B (Hukum identitas) #uktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i) A5 ( 4 B) $ A5 B dan (ii) A4 ( 5 B) $ A4 B Bukti! (i) A5 ( 4 B) $ ( A5 ) 4 ( A4 B) (Hukum distributif) $ %4 ( A4 B) (Hukum komplemen) $ A5 B (Hukum identitas) (ii) adalah dual dari (i) (Hukum distributif) A4 ( 5 B) $ ( A4 ) 5 ( A4 B) $ +5 ( A4 B) (Hukum komplemen) $ A4 B (Hukum identitas) ". Pembuktian dengan menggunakan definisi •
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. #iasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (7 atau ;).
ontoh. Misalkan A dan B himpunan. 0ika A4 B $ + dan A7 ( B5C ) maka buktikan bahwa A7C. Bukti! •
Dari definisi himpunan bagian, P 7Q jika dan hanya jika setiap x< P juga =
Dari definisi operasi gabungan (5), x< ( B5C ) berarti x< B atau x
/arena x< A dan A4 B $ +, maka x> B
Dari (i) dan (ii), x
