Matemáticas para la Educación Educaci ón Normal Nor mal
Guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición Tenoch E. Cedillo Ávalos Masami Isoda Antonio Chalini Herrera Valentín Cruz Oliva
II
Geometría y Medición
Secretaría de Educación Pública José Ángel Córdova Villalobos Secretario de Educación
Rodolfo Tuirán Gutiérrez Subsecretario de Educación Superior
Marcela Santillán Nieto Directora General de Educación Superior para Profesionales de la Educación.
Datos de catalogación bibliográfca
Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz,V. Matemáticas para la Educación Normal Guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición SEP,, México. SEP Méx ico. Contra Punto Editores S de RL de CV, 2012 ISBN: Área : Matemáticas Matemáticas Formato: Páginas:
Todos los derechos reservados. Coordinador general:
Manuel Cerón
Editora:
Paloma Núñez Aguilera
Diseño:
Jaime E. Esquivel
Traducción:
Edgar Krauss
PRIMERA EDICIÓN, 2012. D.R. c 2012 Contra Punto Editores S de RL de CV. 5 de febrero 792, interior11 Colonia Álamos, C.P. 03100 Benito Juárez, México, D.F. E-mail: direccion.editorialsin
[email protected]
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: XXXXXXXXXXXXXX Impreso en México. Printed in Mexico.
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Geometría y Medición
Secretaría de Educación Pública José Ángel Córdova Villalobos Secretario de Educación
Rodolfo Tuirán Gutiérrez Subsecretario de Educación Superior
Marcela Santillán Nieto Directora General de Educación Superior para Profesionales de la Educación.
Datos de catalogación bibliográfca
Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz,V. Matemáticas para la Educación Normal Guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición SEP,, México. SEP Méx ico. Contra Punto Editores S de RL de CV, 2012 ISBN: Área : Matemáticas Matemáticas Formato: Páginas:
Todos los derechos reservados. Coordinador general:
Manuel Cerón
Editora:
Paloma Núñez Aguilera
Diseño:
Jaime E. Esquivel
Traducción:
Edgar Krauss
PRIMERA EDICIÓN, 2012. D.R. c 2012 Contra Punto Editores S de RL de CV. 5 de febrero 792, interior11 Colonia Álamos, C.P. 03100 Benito Juárez, México, D.F. E-mail: direccion.editorialsin
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Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: XXXXXXXXXXXXXX Impreso en México. Printed in Mexico.
Geometría y Medición
III
Nuestro profundo agradecimiento por su valiosa contribución a nuestros distinguidos colegas: María Olga Martínez Torres, Escuela Normal “Profr y Gral. Alberto Carrera Torres”, Torres”, Tamaulipas. Tamaulipas. María del Rocío Nava Álvarez, Álvarez, Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México. Enrique Vega Ramírez, Ramírez, Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Noé Sanmartín Román, Escuela Normal No. 1 de Nezahualcóyotl, Estado de México.
IV Geometría y Medición
Índice Introducción
VIII
Parte I : La enseñanza de las matemáticas: el papel del análisis de videos y de los libros de texto.
1
Qué es el Estudio de Clases
2
Actividades
2
Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
2
3 3
3 3
¿Por qué los niños pudieron decir “hay algo que está mal”? El potencial de un libro de texto bien secuenciado
4
Actividades
4
Reexiones adicionales
4
Aprendiendo a aprender matemáticas
7
Parte II:
¿Cómo podemos saber si los niños están aprendiendo por sí mismos?
8
Exploración del entorno desde la perspectiva de las matemáticas: reicación y comprensión.
Actividades Reexiones adicionales
8
8 8
El mundo de las matemáticas: belleza, simplicidad, precisión, eciencia y generalización.
Actividades Reexiones adicionales
9
9 9
¿Dónde podemos ver actividades similares en los demás tomos?
10
Actividades
10
Aprendiendo matemáticas a partir de una situación especíca: desarrollo del conocimiento matemático
con comprensión
11
Actividades
11
Geometría y Medición
Reexiones adicionales
Actividades
11
12
Extensión del mundo de las matemáticas: desarrollo de las matemáticas desde las matemáticas
12
Actividades
12
Reexiones adicionales
Actvidades
12
13
Piensa cómo lo hiciste: desarrollo de ideas y su generalización mediante representaciones formales
14
Actividades
14
Uso de las representaciones como herramientas del pensamiento
15
Actividades
15
Reexiones adicionales
Actividades
15
15
Reexiones adicionales
15
Resolución de problemas: el gusto por las matemáticas
17
Parte III:
Actividades fructíferas en la resolución de problemas: ¿cómo podemos ir más allá?
19
Actividades
19
Reexiones adicionales
Actividades
19
19
Reexiones adicionales
19
Diferencias entre una tarea y un problema: problematización
20
Actividades
20
Reexiones adicionales
20
Formulación de preguntas y cambios de representación
21
Actividades
21
Reexiones adicionales
21
Extensión de las ideas previamente aprendidas
22
Actividades
22
Reexiones adicionales
22
Desarrollo de la actitud para hacer matemáticas como un matemático
23
Actividades
23
Reexiones adicionales
23
V
VI Geometría y Medición
Planeación de la clase empleando el pizarrón
26
Actividades
26
Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades Reexiones adicionales
Actividades
26
27 27
28 28
29 29
30 30
31 31
32
Reexiones adicionales
32
Una útil lista de cotejo para planear la clase
33
Actividades
33
Reexiones adicionales
33
Una lista de cotejo para recopilar las impresiones de los alumnos
34
Reexiones adicionales
34
Parte IV: Geometría
37
Formas
38
Construcción de cajas
40
Círculos y esferas (1)
42
Círculos y esferas (2)
43
Círculos y esferas (3)
44
Concepto de circunferencia
46
Ángulos
48
Clasicación de triángulos
50
Construcción de triángulos
52
Conceptualización de rectas perpendiculares
54
Conceptualización de rectas paralelas
56
Paralelas y perpendiculares: aplicación conceptual
58
Cuadriláteros: clasicación
60
El paralelogramo y su didáctica
62
Geometría y Medición VII
Ángulos del triángulo: razonamiento inductivo
66
Polígonos: razonamiento inductivo
68
Desarrollos planos
70
Prismas
72
Parte V: Medición
75
Comparemos longitudes (1)
76
Comparemos longitudes (2)
77
Longitud (1): ¿cómo expresar la longitud?
78
Longitud (2): El metro
79
Tiempo y hora
80
¿Cómo medir distancias? El kilómetro
82
Peso de un objeto
83
Volumen
84
Ángulos
86
Área (1)
88
Área (2)
90
Área del paralelogramo
92
Área del triángulo
94
Triangulación
96
Diámetros y circunferencias
98
El área de un círculo
99
Volumen
100
Cálculo del volumen
102
Medición con otro tipo de unidades. Promedio
104
Midamos usando otro tipo de unidades
106
Velocidad
108
Área aproximada
110
Referencias
112
VIII Geometría y Medición
L
a Subsecretaría de Educación Superior de la Secretaría de Educación Pública, a través de la Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación, pone a disposición de los docentes y estudiantes de las Escuelas Normales el libro
Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición. Este volumen consiste en un conjunto de orientaciones didácticas para
el tratamiento de los temas de geometría y medición que se abordan en la educación básica, estas orientaciones se acompañan con actividades que se sugieren para el futuro docente cuya nalidad es coadyuvar a que profundicen su conocimiento pedagógico-matemático del contenido
de la asignatura y lo relacionen con la práctica en el aula. Este libro es uno de los resultados del intenso trabajo de estudio e investigación que la Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación llevó a cabo durante cuatro años con el Centro de Investigación y Cooperación Internacional en Desarrollo Educativo de la Universidad de Tsukuba, Japón. Ese trabajo se anó y concretó con la importante colaboración
de 140 profesores de 90 Escuelas Normales del país que participaron en las acciones de la Comunidad de Práctica Profesional en Enseñanza de las Matemáticas. Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición, incluye el análisis de episodios en el aula que conducen a reexiones sobre las
formas de actuar de experimentados maestros, en particular, cómo elaboran un plan de clase y cómo lo ajustan sobre la marcha a partir de las reacciones de sus alumnos. En este análisis se abordan componentes esenciales en la formación de los futuros docentes, como la determinante inuencia que ejerce el conocimiento matemático-pedagógico del maestro en las decisiones que
debe tomar en una clase, durante todo el curso y sus efectos en los apre ndizajes de sus alumnos. El análisis de episodios en la clase de matemáticas se realiza en el marco del método de Estudio de Clases originalmente desarrollado en Japón, este tipo de análisis permite identicar
la distancia que hay entre lo que un maestro puede lograr trabajando de forma aislada, y lo que puede alcanzar si lo hace colegiadamente con sus pares y con maestros más experimentados. En estos episodios se destacan competencias que el futuro docente debe cultivar, como la capacidad de escuchar a sus colegas y a sus alumnos, y sobre todo, la capacidad de generar múltiples formas para que sus alumnos desarrollen esas competencias.
Geometría y Medición IX
Las experiencias en el aula que se analizan en este volumen conrman que si queremos que
a los alumnos les gusten las matemáticas es indispensable que las entiendan, aún más, que las entiendan muy bien. Los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales muestran lo difícil que es lograrlo, en particular porque requiere que el maestro produzca secuencias didácticas cuya articulación matemática permita que los contenidos sean comprensibles para sus alumnos, es decir, que cada paso que avancen se sustente en una clara comprensión de los conocimientos que previamente construyeron. El propósito central de este libro es propiciar que los futuros docentes analicen secuencias didácticas bien articuladas matemáticamente, esto favorecerá que desarrollen competencias docentes que en su momento aplicarán para conducir a sus alumnos en la construcción de una sólida estructura conceptual que les haga posible aprender a aprender matemáticas. Esto último constituye una meta que debe aspirar un docente, y su logro es uno de los grandes propósitos de los nuevos planes y programas de la Educación Normal. En este sentido, nuestra expectativa es que este libro ofrezca oportunidades de aprendizaje para que los futuros docentes disfruten al estudiar matemáticas y que, con base en esto, se inicien en la generación de propuestas didácticas orientadas a que sus alumnos también disfruten al construir conocimientos matemáticos y resolver problemas. Este libro está organizado en cinco partes, en la Parte I se trata lo referente al análisis de una clase de matemáticas empleando el método del Estudio de Clases, en qué consiste y cómo podemos aplicarlo fructíferamente. En la Parte II, a través del estudio de casos se discute qué queremos decir con “aprender a aprender matemáticas”, cómo podemos propiciar que ocurra ese tipo de aprendizaje, cómo podemos darnos cuenta si está ocurriendo y qué tipo de actividades son más adecuadas para propiciar que los alumnos aprendan a aprender matemáticas. En la Parte III se trata lo correspondiente al enfoque de resolución de problemas y las posibilidades que brinda para favorecer que los alumnos cultiven el gusto por las matemáticas. En la Parte IV se analiza pormenorizadamente el tratamiento didáctico y matemático de los temas de geometría que se estudian en la educación básica. La Parte V se aboca al tratamiento didáctico y matemático de los temas de medición que se estudian en la educación básica. Los materiales de análisis en las Partes IV y V son las lecciones sobre geometría y medición que se presentan en los once volúmenes de la serie Matemáticas para la Educación Normal . Marcela Santillán Nieto