Sesión de aprendizaje y Didáctica de la Geometria - Huancayo.

COMPONENTE PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ORIENTACIÓN INTERCULTURAL BLOQUE TEMÁTICO: SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR MÓDULO FORMATIVO

III CICLO

Componente: PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ORIENTACIÓN INTERCULTURAL Bloque Temático: SESIONES DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Jefe de Proyecto: Dr. Amador Vilcatoma Sánchez Coordinador Académico: Lic. Alex ESPINOZA ESPINOZA

Diagramación y corrección de estilo: EQUIPO DE ESPECIALISTAS Equipo de Especialistas:

    

Fabio Abraham CONTRERAS ORÉ Pablo José CARDENAS PERALTA Miguel Ángel VILA YUPANQUI Arturo Donato ESPINOZA CASAS Melitón CHIPANA VELIZ

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DE INSTITUCIONES EDUCATIVAS PÚBLICAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR 2012 – 2014 III CICLO Universidad Nacional del Centro del Perú Facultad de Educación Dirección: Av. Mariscal Castilla Nº 3909 – El Tambo – Huancayo. Teléfono: 064 – 481081 Fax: 064 – 248595 Página Web: www.uncp.edu.pe © Reproducción: Derechos reservados conforme a ley. Se prohíbe la reproducción parcial o total del texto sin autorización del MED.

MAYO 2013

INDICE Pag. Presentación

I UNIDAD: Estrategias para enseñar geometría en relación al contexto socio-cultural Esquema de contenidos

9

1.1 Etnomatemática rural, urbano marginal.

12 12 13 14

1.1.1 Etnomatemática 1.1.2 Etnomatemática, matemática, educación 1.1.3 Antecedentes 1.2 Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de 16 la sesión de aprendizaje. 16 1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje 18 1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje 19 1.2.3 Procesos cognitivos 19 1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento. 20 1.2.5 Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidades 1.3 APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE? 1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes) 1.3.2 Secuencia didáctica 1.3.3 Evaluación 1.4 MOMENTOS Y PROCESOS 1.4.1 Inicio del aprendizaje 1.5 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela.

1.6 El enfoque centrado en la resolución de problemas 1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución de problemas. 1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas 1.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA 1.8 Capacidades matemáticas 1.9 Escenarios de aprendizaje: 1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, la interculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática. 1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer un buen gobierno y tener un buen clima en el aula. 1.10.2 Objetivos de la estrategia. 1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad.

21 21 21 22 23 23 25

26 27 29

30 32 35 40 40 44 58

II UNIDAD: Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

68

2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard 2.2 La teoría de la transposición didáctica 2.3 La perspectiva antropológica 2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele. 2.5 Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele               

Rectas horizontales y verticales. ¿Cómo construir un juego de tangrama? Construcciones geométricas elementales doblando papel Construcción del triángulo equilátero doblando papel a partir de una hoja a4 Construcción directa del hexágono regular a partir de un rectángulo Triángulos isósceles inscritos en una hoja rectangular compartiendo dos vértices contiguos del rectángulo. El tamaño a4. Comprobación doblando papel de la suma de los ángulos de un triángulo. Área del triángulo. Trazado del incentro doblando papel. Igualdad de la distancia del incentro a los lados. Trazado del circuncentro doblando papel. Igualdad de la distancia a los vértices. Octógono regular Otra forma de obtener un hexágono regular Construcción del pentágono regular como nudo. Construcción de un pentágono regular a partir de un cuadrado La regla y el compás de la geometría clásica Algunas construcciones básicas: Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás. Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás Construcción de ángulos rectos Construcción de rectas paralelas División de un segmento en n partes Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero Polígono regular de 4 lados: Cuadrado Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular

69 70 75 81 89 90 90 93 94 95 96 97 98 99 100 101 101 102 103 104 104 105 106 106 106 107 107 108 109

III UNIDAD: Modelando fenómenos geométricos y trigonométricos del entorno, utilizando el softwuare cabri geometre. 3.1 El uso de programas computacionales. Software Cabri Geometry II La ventana de Cabri Geometry II Elementos de la ventana Cabri Geometry II 3.2 Situaciones problemáticas de Geometría 3.3 La trigonometría en la vida cotidiana Trigonometría y Arquitectura Navegación, Geografía y Astronomía 3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría

111 112 113 114 115 117 122 126 126 128

Tarea Situación problemática 3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría ¿Qué significa demanda cognitiva? Las tareas de demanda cognitiva baja Las tareas de demanda cognitiva alta 3.6 Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzman 3.7El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría Materiales manipulativos para geometría plana

131 133 140 142 142 143 147 155 161

GLOSARIO BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

171 173

PRESENTACIÓN

Estimado(a) docente participante: El Módulo Formativo Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría, que se desarrolla en este Tercer Ciclo es parte del componente Pedagogía y Didáctica del área de Matemática con Orientación Intercultural, ha sido elaborado considerando los lineamientos generales del Programa Nacional de Especialización Docente 2012 – 2014, que tiene por finalidad promover y apoyar el desarrollo personal, pedagógico y social de los profesores de educación secundaria de la especialidad de Matemática. Poniendo énfasis en el desarrollo de su autonomía profesional y la capacidad para investigar, innovar y reflexionar críticamente sobre su práctica pedagógica para autoregularla, resignificarla y producir el saber pedagógico, orientando la afirmación de una docencia mediadora del diálogo intercultural, con actitud crítica frente a las inequidades que imposibilitan el diálogo y con capacidad para indagar y proponer alternativas educativas pertinentes a cada contexto sociocultural del país. El presente material nos aproxima a unificar principios y criterios básicos fortaleciendo el diseño de sesiones de aprendizaje y el tratamiento de la Didáctica de la Geometría, su didáctica y el pensamiento variacional, valorando las diferencias individuales de sus estudiantes y fortaleciendo el trabajo cooperativo en su entorno sociocultural. El módulo formativo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría considera tres unidades: En la I Unidad se presenta la Etnomatemática, las sesiones de aprendizaje y estrategias para abordar un buen clima en el aula, utilizando como herramienta para la resolución de problemas el software Cabri geometre; la II Unidad presenta la transposición didáctica de Ives Chevallard, los modelos de enseñanza y las fases de Van Hile, en la que se trata de fortalecer los enfoques teóricos referentes a las transformaciones didácticas que debe sufrir el saber sabio, pasando por el saber enseñado para terminar en el saber aprendido, utilizando como herramienta para la resolución de problemas los software Cabri Geometre; la III Unidad comprende los fenómenos y situaciones geométricas y trigonométricas, donde se trata de esbozar el fundamento teórico, elaborar situaciones problemáticas de geometría y trigonometría que ocurren en el entorno del estudiante, utilizando como herramienta para la resolución de problemas el software Cabri Geometre. El valor de este módulo radica en proporcionar, durante el desarrollo de las clases presenciales, los marcos explicativos partiendo de las situaciones problemáticas de los cuales los docentes pueden derivar modelos didácticos que orienten su actuación en el aula y, de otro lado, comprender la gradualidad y complejidad de los temas a tratar en Geometría, incidiendo en la formación de un docente crítico reflexivo que permita el manejo efectivo de procesos pedagógicos interculturales que incidan en el logro de los aprendizaje de los estudiantes. Los autores.

RUTA FORMATIVA

El módulo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría se desarrolla en el III ciclo del Programa de Especialización de matemática, en el marco del convenio establecido con la IFD facultad de educación de la UNCP-Huancayo y el Ministerio de Educación. Está dirigido a profesores en ejercicio de la especialidad de matemática del nivel de educación secundaria de la Región Junín y Huancavelica El modulo está estructurado en tres unidades teniendo en cuenta los temas afines para el cual, se tendrá en cuenta tres aspectos: Desde la práctica: Que a partir de casos prácticos, es decir de actividades cotidianas y teniendo en cuenta el aspecto crítico-reflexivo e intercultural, se propicia la reflexión de sus prácticas pedagógicas, se correlaciona con el bloque temático de la Geometría e investigación Acción. La reflexión teórica: En esta parte se propone una serie de contenidos temáticos con la finalidad de reforzar el conocimiento relacionado a las sesiones de aprendizaje y didáctica de la Geometría aplicando diversos ejemplos simulados, desarrollando modelos didácticos y reforzando el marco teórico. Herramientas para la nueva práctica: Incorpora procesos didácticos, interculturales, desarrollando sus capacidades crítico reflexivo así como analizar, razonar aplicar, comunicar y construir modelos didácticos para el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría afianzando las técnicas de planificación del proceso de aprendizaje a través de las sesiones, que permiten afianzar los nuevos conocimientos, y por último con actividades de metacognición. Anexado a este material se desarrollará sesiones de aprendizaje donde se incluirá talleres de trabajo analítico y gráfico participativo, medios y materiales como los diseñadores gráficos, y se indicará el logro de las competencias específicas, contenidos e indicadores.

Competencia general Ejecuta su plan de acción, organizando, sistematizando y evaluando permanentemente los resultados de su propuesta pedagógica alternativa, para validarla, construyendo saber pedagógico desde la acción.

Competencia específica/Bloque temático Desarrolla de forma creativa estrategias metodológicas de enseñanza y aprendizaje de la geometría y el diseño de sesiones de aprendizajes pertinentes mediante la producción y uso de diversos recursos educativos orientados al desarrollo de las competencias en el área, así mismo, desarrolla espacios de reflexión de labor docente.

Indicadores de logro



Fundamenta su propuesta pedagógica innovadora tomando en cuenta los principios de la pedagogía y la didáctica.



Incorpora en su propuesta pedagógica innovadora recursos didácticos, actividades y estrategias de enseñanza aprendizaje que contribuyen al logro de aprendizajes significativos.



Selecciona los contenidos relevantes del área y los adecua teniendo en cuenta el enfoque del área, el contexto, las demandas y necesidades de los estudiantes.



Diseña la programación curricular teniendo como base la propuesta pedagógica innovadora.



Registra los saberes locales y regionales y los incorpora en la planificación curricular de corto y mediano plazo.

PRODUCTO ESPERADO Informe preliminar de la ejecución de la propuesta pedagógica alternativa.

9

I UNIDAD: Estrategias para enseñar geometría en relación al contexto socio-cultural

Presentación Estimado(a) docente participante, en este texto podrá encontrar un acercamiento general sobre la pedagogía y didáctica de la geometría, su relación con la Etnomatemática, asimismo, la operativización de los escenarios de aprendizaje propuestos en las rutas del aprendizaje, para promover el aprendizaje de calidad en los estudiantes. Asumiendo una actitud crítica y reflexiva frente a las propuestas de Ives Chevallar y de los esposos Van Hile referente a la enseñanza y aprendizaje de la geometría. Promoviendo en el docente una actitud reflexiva y de investigación.

SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

10

UNIDAD I

ESQUEMA DE CONTENIDOS

Estrategias para enseñar geometría en relación al contexto socio-cultural

Estrategias Etnomatemática

Diseños de sesión

metodológicas

en geometría

de aprendizaje

para abordar el buen clima en el aula


11

APRENDIZAJE ESPERADO: Diseña sesiones de aprendizaje de geometría con etnomatematica e interculturalidad

PARTE 1:

DESDE LA PRÁCTICA

“Tratar de conocer la realidad en la que viven nuestros alumnos es un deber que la práctica educativa nos impone: sin esto, no tenemos acceso a su modo de pensar y difícilmente podremos, entonces, percibir lo que se saben y cómo lo saben” Freire (2002, p. 86) El cotidiano y la escuela Los estudiantes que protagonizaron este estudio manejaban dinero, es decir, los estudiantes hacían mandados a la tienda y debían dar cuenta del dinero que les era entregado para realizar ciertas compras, otros estudiantes trabajaban como vendedores informales en la plaza de mercado o en otros lugares y debían desarrollar las habilidades matemáticas que su trabajo les exigía. Sin embargo, en sus prácticas escolares parecía que los estudiantes no tuvieran las habilidades matemáticas que por fuera de ella sí habían desarrollado. Por ejemplo, los estudiantes

no

realizaban,

de

forma

correcta, los algoritmos de la suma y de la resta; además, no tenían claro aspectos relativos al sistema decimal, utilizado por la sociedad, y que la escuela enseña. En este sentido, traemos a colación un interrogante propuesto por Freire (2002, p.32): “¿Por qué no establecer una ‘intimidad’ necesaria entre los saberes curriculares fundamentales para los estudiantes y la experiencia social que ellos tienen como SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

12

personas?”. Aquí Freire cuestiona el porqué de la poca interrelación entre el currículo de la escuela y la experiencia de vida de los estudiantes, si es precisamente en esa experiencia de vida donde está presente un sin número de vivencias y conocimientos que pueden ser retomados e integrados en el currículo de la

escuela. Si esta relación

existiese, la escuela no sería vista como un espacio ajeno a la propia vida del estudiante; como un sitio en el cual se recibe una gran cantidad de conocimientos sin saber qué utilidad tienen para su vida. Después de leer el texto anterior, contesta las siguientes preguntas: 1.

¿Qué habilidades matemáticas desarrollan tus estudiantes fuera de la escuela, en la comunidad donde laboras?

2.

¿Utilizan las habilidades matemáticas de su entorno en el aprendizaje en el aula?

3.

¿Utilizas la etnomatemática para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula?

PARTE 2: REFLEXION TEORICA 1.1

Etnomatemática rural, urbano marginal. 1.1.1 Etnomatemática En la última década, la Etnomatemática se ha convertido en una nueva vertiente

del

conocimiento

matemático y en una herramienta imprescindible en la investigación de

la

enseñanza

de

las

Matemáticas. El término “etnomatemática”, que todavía

no

figura

en

los

diccionarios, fue acuñado en los años setenta por el profesor brasileño Ubiratan D’Ambrosio para describir las prácticas matemáticas de grupos que fueran culturalmente identificables. No debe asimilarse, aunque también lo incluye, a estudios centrados en el desarrollo de las Matemáticas de pequeños grupos indígenas.


13

La Etnomatemática puede referirse tanto a un grupo religioso, lingüístico e incluso a una comunidad obrera concreta; en general, a todo grupo étnico que en sus prácticas utilice sistemas simbólicos, métodos de cálculo, mediciones o cualquier otra actividad del conocimiento que pueda formalizarse matemáticamente. Sus actividades están coordinadas por el ISGEm

(International

Study

Group

on

Ethnomathematics),

Grupo

Internacional de Etnomatemática, que fue fundado en EEUU en 1985, y cuya finalidad es la de aumentar nuestra comprensión de la diversidad cultural de las prácticas matemáticas, para aplicar este conocimiento a la educación y el desarrollo. El Primer Congreso Internacional de Etnomatemática se hizo en España, concretamente en Granada, la primera semana de septiembre de 1998. 1.1.2 Etnomatemática, matemática, educación Donde, dentro de la Educación, "la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática", por tanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática. a)

Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o historia.

b)

La definición en sí misma depende de quién lo afirma, y culturalmente es específico.

c)

La práctica que describe es también culturalmente específica.

d)

Etnomatemática

implica

alguna

forma

de

relativismo

para

la

Matemática". Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir". "El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende:


14



El sistema de numeración propio.



Las formas geométricas que se usan en la comunidad.



Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen).



Instrumentos

y

técnicas

de

cálculo,

medición

y

estimación;

procedimientos de inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales. 

Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos."

1.1.3 Antecedentes Perú es un país cuya realidad compleja se caracteriza por su diversidad. Expresiones de esta diversidad son su diversidad geográfica y su biodiversidad, y en relación con estas su multilingüismo y pluriculturalidad. Según la información de los últimos censos nacionales realizados en el año 2007 y documentos de la Dirección de Educación Intercultural Bilingüe del Ministerio de Educación, actualmente coexisten en Perú hablantes de 54 lenguas que pertenecen a 16 familias lingüísticas, siendo la lengua originaria mayoritaria el quechua en sus variedades Cusco-Collao y AyacuchoChanka. Teniendo como premisa el reconocimiento de la compleja diversidad de la realidad peruana, sobre todo desde inicios de los 70‟ y en el marco de proyectos experimentales de educación bilingüe, se empezó a buscar respuestas de tipo pedagógico que permitieran tener en cuenta no solamente la diversidad lingüística sino también la diversidad sociocultural en Perú, con la perspectiva de brindar una educación pertinente a los estudiantes cuya lengua y cultura son originarias. En el siglo XXI, se ha reforzado la línea de atención a la diversidad en las políticas educativas oficiales, en concordancia con la Declaración Universal de la UNESCO sobre la diversidad cultural, adoptada el 2 de noviembre de 2001. En efecto, en el primer artículo de esta Declaración se manifiesta que la diversidad cultural es patrimonio común de la humanidad: “La cultura adquiere formas diversas a través del tiempo y del espacio. Esta diversidad se manifiesta en la originalidad y la pluralidad de las identidades que caracterizan a los SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

15

grupos y las sociedades que componen la humanidad. Fuente de intercambios, de innovación y de creatividad, la diversidad cultural es tan necesaria para el género humano como la diversidad biológica para los organismos vivos. En este sentido, constituye el patrimonio común de la humanidad y debe ser reconocida y consolidada en beneficio de las generaciones presentes y futuras”. El concepto de diversidad cultural, así como el de biodiversidad, va más lejos en el sentido de que considera la multiplicidad de las culturas en una perspectiva sistémica donde cada cultura se desarrolla y evoluciona en contacto con las otras culturas. Los antecedentes de la inclusión sistemática de las prácticas y saberes matemáticos de la propia cultura como base para el desarrollo de actividades conducentes a logros de aprendizaje de estudiantes hablantes de una lengua originaria, en el área Matemática, en Perú datan de 1981-89. En efecto, es en el marco del Proyecto Experimental de Educación Bilingüe, cuando se realiza un estudio sobre el sistema matemático subyacente en diversas manifestaciones socioculturales de comunidades quechuas y aimaras (Villavicencio et al., 1983), y se reconoce la importancia de considerar en la educación formal los conocimientos matemáticos del grupo cultural al cual pertenece el educando como base para mejorar el nivel de sus aprendizajes en el área Matemática (Villavicencio, 1990). Luego de la institucionalización de la Educación Bilingüe en Perú expresada, entre otros, en la incorporación de la Educación Bilingüe en la estructura orgánica del Ministerio de Educación mediante la creación de la DIGEBIL (Dirección General de Educación Bilingüe) en diciembre de 1987, en la primera Estructura Curricular de Educación Bilingüe, publicada en el periodo 1988junio-1990 por la DIGEBIL, se hace referencia explícita a la importancia de la etnomatemática propia como contenido a desarrollar en el proceso de aprendizaje de los estudiantes en el área Matemática. 1.2

Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de la sesión de aprendizaje. 1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje. La sesión de aprendizaje es el conjunto de situaciones que cada docente diseña, organiza con secuencia lógica para desarrollar un conjunto de SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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aprendizajes propuestos en la unidad didáctica, la sesión de aprendizaje desarrolla dos tipos de estrategias de acuerdo a los actores educativos: 

Del Docente: Estrategias de enseñanza o procesos pedagógicos



Del Estudiante: Estrategias de aprendizaje o procesos cognitivos / afectivos / motores.

SESIÓN DE APRENDIZAJE

PROCESOS COGNITIVOS Estrategias de Aprendizaje

PROCESOS PEDAGÓGICOS

Estrategias de Enseñanza En este artículo me referiré a las estrategias de enseñanza o también llamados Procesos Pedagógicos que se tienen presente al desarrollar la sesión de aprendizaje. Se define a los Procesos Pedagógicos como “actividades que desarrolla el docente de manera intencional con el objeto de mediar en el aprendizaje del estudiante” estas prácticas docentes son un conjunto de acciones intersubjetivas y saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias para la vida en común. Cabe señalar que

los procesos pedagógicos no son

momentos, son recurrentes y se acuden a ellos en cualquier momento que sea necesario.


17

INICIO DEL APRENDIZAJE

Los procesos pedagógicos son: 1. MOTIVACIÓN: Es el proceso permanente mediante el cual el docente crea las condiciones, despierta y mantiene el interés del estudiante por su aprendizaje.

2. RECUPERACIÓN DE LOS SABERES PREVIOS: Los saberes previos son aquellos conocimientos que el estudiante ya trae consigo, que se activan al comprender o aplicar un nuevo conocimiento con la finalidad de organizarlo y darle sentido, algunas veces suelen ser erróneos o parciales, pero es lo que el estudiante utiliza para interpretar la realidad.

METACOGNICIÓN Y EVALUACIÓN

APLICACIÓN O TRANSFERENCIA DEL APRENDIZAJE

CONSTRUCCIÓN DEL APRENDIZAJE

3. CONFLICTO COGNITIVO: Es el desequilibrio de las estructuras mentales, se produce cuando la persona se enfrenta con algo que no puede comprender o explicar con sus propios saberes.

4. PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: Es el proceso central del desarrollo del aprendizaje en el que se desarrollan los procesos cognitivos u operaciones mentales; estas se ejecutan mediante tres fases: Entrada – Elaboración – Salida.

5. APLICACIÓN: Es la ejecución de la capacidad en situaciones nuevas para el estudiante, donde pone en práctica la teoría y conceptuación adquirida.

6. REFLEXIÓN: Es el proceso mediante el cual reconoce el estudiante sobre lo que aprendió, los pasos que realizó y cómo puede mejorar su aprendizaje.

7. EVALUACIÓN: Es el proceso que permite reconocer los aciertos y errores para mejorar el aprendizaje.


18

E M O

V

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

A T

CONFLICTO COGNITIVO

L

I V A C

PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN APLICACIÓN DE LO APRENDIDO / TRANSFERENCIA A SITUACIONES NUEVAS

I Ó

Son procesos recurrentes y no tiene categoría de momentos fijos.

U A C I Ó

REFLEXIÓN SOBRE EL APRENDIZAJE

N N

Lo anterior significa que sea cual fuera el esquema que se utiliza en una sesión, deben diseñarse estrategias que comprendan los procesos pedagógicos señalados, que viene a ser lo más importante de una sesión.

1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje

1. ¿Qué van aprender?

Aprendizajes esperados:  Capacidades  Actitudes  Conocimientos Secuencia Didáctica

2. ¿Cómo van aprender?

 

Estrategias de aprendizaje Actividades de aprendizaje.

Recursos educativos

3. ¿Con qué se va a aprender?

4. ¿Cómo y con qué compruebo que están aprendiendo?

 

Medios Materiales Educativos

Criterios e indicadores  

Técnicas Instrumentos de evaluación


19

1.2.3 Procesos cognitivos “Conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas, por las cuales se elabora la información procedente de las fuentes internas y externas de estimulación”. La cantidad de procesos cognitivos que involucra la manifestación de una capacidad depende de su complejidad.

1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento Capacidades de:

COGNICIÓN

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO RACIONAL

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO SENSORIAL

METACOGNICIÓN

1. Aprender a aprender

2. Aprender a emprender 3. Aprender a vivir juntos 4. Aprender a ser 5. Aprender a pensar 6. Aprender a hacer

ETAPA CONCEPTUAL SIMBÓLICA

Aprender la realidad que nos rodea a través de nociones, conceptos, teorías, leyes, principios, símbolos, etc.

ETAPA GRÁFICO REPRESENTATIVA

Aprender la realidad a través de sus diversas formas y maneras de representarla y graficarla como un medio elemental de razonamiento.

ETAPA INTUITIVO CONCRETA

Aprender la realidad a través de diversas sensaciones, es decir, mediante la información que nos proporcionan los sentidos.

En el diseño de una sesión de aprendizaje se debe tomar en cuenta este proceso, partiendo del pensamiento sensorial hacia el nivel del pensamiento lógico.


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C A P A C I D A D PROCESOS

PASOS SECUENCIADOS

ESTRATEGIAS manejo de

PROCEDIMIENTOS

FORMAS DE OPERAR

ALGORITMOS Y/O HEURÍSTICO

MÉTODOS

1.2.5

TÉCNICAS

Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidades Las capacidades se desarrollan mediante estrategias/actividades de aprendizaje que permitan activar en los estudiantes los procesos cognitivos o motores que involucra la capacidad específica. Ejemplo: PROCESOS COGNITIVOS DE LA CAPACIDAD ANALIZA

BÚSQUEDA Y RECEPCIÓN DE LA INFORMACIÓN

OBSERVACIÓN SELECTIVA DE LA INFORMACIÓN

DESCOMPOSICIÓN

INTERRELACIONAR

DEL TODO EN PARTES

LAS PARTES PARA EXPLICAR O JUSTIFICAR

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE




LECTURA INDIVIDUAL

SUBRAYADO DE LAS IDEAS PRINCIPALES

ELABORACIÓN DEL ORGANIZADOR GRÁFICO

EXPOSICIÓN

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE


21



Función mediadora del docente en relación con los ejes curriculares nacionales (aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender y aprender a hacer).



Estrategias cognitivas y meta cognitivas para el aprendizaje.



Procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de la sesión de aprendizaje.

1.3

APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE? 1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes) Los aprendizajes esperados están constituidos por las capacidades, conocimientos y actitudes que se espera que el estudiante alcance al término de la sesión, estos surgen de las capacidades, conocimientos y actitudes previstas en la unidad didáctica. No

hay

necesidad

de

que

el

profesor

formule

“aprendizajes

esperados”, como se hacía con el DCN en proceso de articulación. Ahora estos aprendizajes están expresados en las capacidades de cada área curricular. Cuando las capacidades están expresadas en forma global pueden ser desagregadas teniendo en cuenta los procesos o los conocimientos que involucran. 1.3.2 Secuencia didáctica La secuencia didáctica comprende el conjunto de actividades de aprendizaje previstas para desarrollar los aprendizajes de la sesión. En cada secuencia se van incluyendo los materiales que se utilizarán y el tiempo destinado para cada actividad. La columna vertebral de la sesión de aprendizajes son las estrategias previstas para desarrollar los procesos cognitivos, motores o socio afectivos que están involucrados en las capacidades. Las estrategias para desarrollar los procesos pedagógicos (motivación, recuperación de saberes previos, generación de conflictos cognitivos, construcción del aprendizaje, aplicación del aprendizaje, etc.) se van


22

incorporando en los momentos que el docente considere oportunos y pertinentes, de acuerdo con las situaciones de aprendizaje que se generen. 1.3.3 Evaluación Para la evaluación se deben formular los indicadores en función de los criterios establecidos, de manera que permitan evaluar los aprendizajes logrados en la sesión. Es preciso indicar además que en cada sesión se debe evaluar, pero no es necesario otorgar calificaciones en cada una de ellas.

SESIÓN DE APRENDIZAJE

MOMENTOS PEDAGÓGICOS

SECUENCIA DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS Motivación

1. Inicio del aprendizaje

Exploración Problematización

2. Construcción del aprendizaje

3. Aplicación o transferencia del aprendizaje

Integración de los saberes previos con el nuevo saber. Elaboración de su nuevo esquema conceptual. Práctica o aplicación

La evaluación está presente a lo largo de todo el proceso, tanto como actividad del estudiante que está aprendiendo, como actividad didáctica del profesor que va controlando y retroalimentando el proceso de aprendizaje.

1.4

MOMENTOS Y PROCESOS 1.4.1 Inicio del aprendizaje La motivación consiste en: Atraer la atención sobre el conocimiento. Despertar el interés sobre el conocimiento. Se trata de crear un clima favorable para el aprendizaje. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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Podemos motivar con diversos recursos: 

Alguna noticia impactante actual



Juegos



Visitas



Gráficos y pistas para encontrar caminos



Imágenes



Dinámica grupal



Actividades vivenciales



Dramatizaciones



Una historia, etc.

Queda a criterio del docente el que más se adecue a su clase. La exploración consiste en indagar sobre cuánto saben los estudiantes sobre el conocimiento a tratar, ¿qué es lo que mis alumnos ya saben sobre esto?, es decir sus saberes previos traídos desde la educación inicial, primaria, vivencias; más sus saberes cotidianos obtenidos en el hogar o en su entorno familiar y social. La exploración puede darse a través de diversas actividades como: 

Interrogantes



Prueba de entrada



Fichas



Mapas conceptuales para completar

Problematización: El docente crea un conflicto cognitivo, enfrentando al estudiante a un nuevo desempeño que debe tratar de resolver haciendo uso de todos sus recursos disponibles. Cada cual aportará sus conocimientos y sus especulaciones, analizando un aspecto que tiene relación con el tema a tratar en la que han vertido opiniones contradictorias. Por ejemplo: Si estamos trabajando el tema de valores podemos crear textos narrativos, instructivos, etc. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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La práctica autónoma: Es la transferencia, es decir, la capacidad desarrollada en el estudiante para aplicar los conocimientos adquiridos cada vez que lo necesite en su vida. Se estimula propiciando una práctica a una experiencia concreta de la vida diaria. Se les puede pedir que resuelvan dos o más problemas en clase, de esta manera se les retroalimenta y el estudiante tiene la oportunidad de ejercitarse y aplicar lo que ha aprendido en clase. A los que tienen dificultad el docente les puede dar ejemplos y darles retroalimentación adicional, hasta que demuestren que han tenido éxito en sus habilidades recién adquiridas, éxito en lo que hacen y aprenden. Así los mantendremos motivados para seguir aprendiendo. Los estudiantes pueden trabajar en grupos cooperativos para compartir sus respuestas, analizar cómo solucionaron el problema y cómo aplicaron la información. El momento de aplicación proporciona una multitud de oportunidades para el desarrollo y utilización del pensamiento crítico porque aprovechan al máximo lo que están aprendiendo, empiezan a comprender su significado y la manera en que pueden tener cabida en sus bancos de información, conocimiento y memoria.



Ampliar las ideas



Revisar las predicciones



Pensar acerca del punto en cuestión



Hablar acerca de él



Leer más acerca del mismo



Escribir acerca de este conocimiento



Transferir, utilizando o desecharlo



Relacionarlo con otras áreas



Apreciar y opinar



Juzgar y evaluar.


25

1.5

La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela Asumimos el enfoque centrado en resolución de problemas o enfoque problémico como marco pedagógico para el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas, por dos razones:  La resolución de situaciones problemáticas es la actividad central de la matemática.  Es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemática con la realidad cotidiana. Este enfoque supone cambios pedagógicos y metodológicos muy significativos, pero sobre todo rompe con la tradicional manera de entender cómo es que se aprende la matemática. Este enfoque surge de constatar que todo lo que aprendemos no se integra del mismo modo en nuestro conocimiento matemático. EJEMPLO: Una fórmula matemática o la enunciación de una propiedad matemática, pueden adquirirse de forma superficial mediante un proceso de memorización simple. Esto posibilitará su reproducción de forma más o menos literal, pero no su utilización para la resolución de situaciones problemáticas. Es posible disponer de muchos aprendizajes matemáticos que no sólo seamos capaces de reproducir, sino de utilizar para dar respuesta a situaciones problemáticas reales.

1.6

El enfoque centrado en la resolución de problemas ¿Cuál es la importancia del enfoque centrado en la resolución de problemas? Este enfoque consiste en promover formas de enseñanza-aprendizaje que den respuesta a situaciones problemáticas cercanas a la vida real. Para eso recurre a tareas y actividades matemáticas de progresiva dificultad, que plantean demandas cognitivas crecientes a los estudiantes, con pertinencia a sus diferencias socio culturales. El enfoque pone énfasis en un saber actuar pertinente ante una situación problemática, presentada en un contexto particular preciso, que moviliza una serie de recursos o saberes, a través de actividades que satisfagan determinados criterios de calidad. Permite distinguir: SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

26

a)

Las características superficiales y profundas de una situación problemática. Está demostrado que el estudiante novato responde a las características superficiales del problema (como es el caso de las palabras clave dentro de su enunciado), mientras que el experto se guía por las características profundas del problema (fundamentalmente la estructura de sus elementos y relaciones, lo que implica la construcción de una representación interna, de interpretación, comprensión, matematización, correspondientes, etc.).

b) Relaciona la resolución de situaciones problemáticas con el desarrollo de capacidades matemáticas. Aprender a resolver problemas no solo supone dominar una técnica matemática, sino también procedimientos estratégicos y de control poderoso para desarrollar capacidades, como: la matematización, representación, comunicación, simbólicas,

elaboración

argumentación,

de

estrategias,

entre otras.

utilización

de

expresiones

La resolución de situaciones

problemáticas implica entonces una acción que, para ser eficaz, moviliza una serie de recursos, diversos esquemas de actuación que integran al mismo tiempo conocimientos, procedimientos matemáticos y actitudes. c)

Busca

que

los

estudiantes

valoren y aprecien el

conocimiento

matemático. Por eso propicia que descubran cuán significativo y funcional puede ser ante una situación problemática precisa de la realidad. Así pueden descubrir que la matemática es un instrumento necesario para la vida, que aporta herramientas para resolver problemas con mayor eficacia y que permite, por lo tanto, encontrar respuestas a sus preguntas, acceder al conocimiento científico, interpretar y transformar el entorno. También aporta al ejercicio de una ciudadanía plena, pues refuerza su capacidad de argumentar, deliberar y participar en la institución educativa y la comunidad. 1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución de problemas Los rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes


27

a) La resolución de problemas debe impregnar íntegramente el currículo de matemática. La resolución de problemas no es un tema específico, ni tampoco una parte diferenciada del currículo de matemática. La resolución de problemas es el eje vertebrador alrededor del cual se organiza la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la matemática. b) La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos. c) Las situaciones problemáticas deben plantearse en contextos de la vida real o en contextos científicos Los estudiantes se interesan en el conocimiento matemático, le encuentran significado, lo valoran más y mejor, cuando pueden establecer relaciones de funcionalidad matemática con situaciones de la vida real o de un contexto científico. En el futuro ellos necesitarán aplicar cada vez más matemática durante el transcurso de su vida. d) Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes Los

problemas

deben

ser

interesantes

para

los

estudiantes,

planteándoles desafíos que impliquen el desarrollo de capacidades y que los involucren realmente en la búsqueda de soluciones. e) La resolución de problemas sirve de contexto para desarrollar capacidades matemáticas Es a través de la resolución de problemas que los estudiantes desarrollan sus

capacidades

matemáticas

tales

como:

la

matematización,

representación, comunicación, utilización de expresiones simbólicas, la argumentación, etc. El enfoque centrado en la resolución de problemas surge como una alternativa de solución para enfrentar en nuestro quehacer docente:  Las dificultades para el razonamiento matemático. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

28

 Las dificultades para promover la significatividad y funcionalidad de los conocimientos matemáticos.  El aburrimiento, desvaloración y falta de interés por la matemática.  Las dificultades para el desarrollo del pensamiento crítico en el aprendizaje de la matemática.  El desarrollo de un pensamiento matemático descontextualizado. 1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas Lograr que el estudiante: 

Se involucre en un problema (tarea o actividad matemática) para resolverlo con iniciativa y entusiasmo.



Comunique y explique el proceso de resolución del problema.



Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el proceso de resolución del problema, partiendo de un conocimiento integrado, flexible y utilizable.



Busque información y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje significativo.



Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situación problemática presentada.



Reconozca sus fallas en el proceso de construcción de sus conocimientos matemáticos y resolución del problema.



Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de manera conjunta para lograr una meta común.

 ¿Qué es una situación problemática? Una situación problemática es una situación de dificultad ante la cual hay que buscar y dar reflexivamente una respuesta coherente, encontrar una solución. Estamos, por ejemplo, frente a una situación problemática cuando no disponemos de estrategias o medios conocidos de solución.


29

¿Qué es resolver una situación problemática? Resolver una situación problemática es:  Encontrarle una solución a un problema determinado.  Hallar la manera de superar un obstáculo.  Encontrar una estrategia allí donde no se disponía de estrategia alguna.  Idear la forma de salir de una dificultad.  Lograr lo que uno se propone utilizando los medios adecuados. 1.7

COMPETENCIA MATEMÁTICA Como una alter nativa a los modelos formativos tradicionales de aprendizaje memorístico de matemáticas, los cuales difícilmente pueden ser aplicados a la vida real, surge la competencia matemática. a) Saber actuar: Alude a la intervención de una persona sobre una situación problemática determinada para resolverla, pudiendo tratarse de una acción que implique sólo actividad matemática. b) Tener un contexto particular: Alude a una situación problemática real o simulada, pero plausible, que establezca ciertas condiciones y parámetros a la acción humana y que deben tomarse en cuenta necesariamente. c) Actuar pertinentemente: Alude a la indispensable correspondencia de la acción con la naturaleza del contexto en el que se interviene para resolver la situación problemática. Una acción estereotipada que se reitera en toda situación problemática no es una acción pertinente. d) Seleccionar y movilizar saberes: Alude a una acción que echa mano de los conocimientos matemáticos, habilidades y de cualquier otra capacidad matemática que le sea más necesaria para realizar la acción y resolver la situación problemática que enfrenta. e) Utilizar recursos del entorno: Alude a una acción que puede hacer uso pertinente y hábil de toda clase de medios o herramientas externas, en la medida que el contexto y la finalidad de resolver la situación problemática lo justifiquen.


30

f) Utilizar procedimientos basados en criterios: Alude a formas de proceder que necesitan exhibir determinadas características, no todas las deseables o posibles sino aquellas consideradas más esenciales o suficientes para que logren validez y efectividad.


31

1.8

Capacidades matemáticas La resolución de situaciones problemáticas es entonces una competencia matemática importante que nos permite desarrollar capacidades matemáticas. Todas ellas existen de manera integrada y única en cada persona y se desarrollan en el aula, la escuela, la comunidad, en la medida que dispongamos de oportunidades y medios para hacerlo. En otras palabras, las capacidades matemáticas se despliegan a partir de las experiencias y expectativas de nuestros estudiantes, en situaciones problemáticas reales. Si ellos encuentran útil en su vida diaria los aprendizajes logrados, sentirán que la matemática tiene sentido y pertinencia. La propuesta pedagógica para el aprendizaje de la matemática toma en cuenta el desarrollo de seis capacidades matemáticas, consideradas esenciales para el uso de la matemática en la vida cotidiana. Éstas sustentan la competencia matemática de resolución de problemas y deben abordarse en todos los niveles y modalidades de la Educación Básica Regular. Estas seis capacidades son las siguientes:  Matematizar  Representar  Comunicar  Elaborar estrategias  Utilizar expresiones simbólicas  Argumentar Todas ellas están implicadas en

cualquier

situación

problemática

real,

o

matemática.

Pueden

ser

utilizadas

por

nuestros

estudiantes cada vez que las enfrentan para resolverlas.


32

Matematizar: La matematización es un proceso que dota de una estructura matemática a una parte de la realidad o a una situación problemática real. Este proceso es eficaz en tanto pueda establecer igualdad en términos de la estructura matemática y la realidad. Cuando esto ocurre las propiedades de la estructura matemática corresponden a la realidad y viceversa. Matematizar implica también interpretar una solución matemática o un modelo matemático a la luz del contexto de una situación problemática. Representar: Existen diversas formas de representar las cosas y, por tanto, diversas maneras de organizar el aprendizaje de la matemática. El aprendizaje de la matemática es un proceso que va de lo concreto a lo abstracto. Entonces, las personas, los niños en particular, aprendemos matemática con más facilidad si construimos conceptos y descubrimos procedimientos matemáticos desde nuestra experiencia real y particular. Esto supone manipular materiales concretos (estructurados o no), para pasar luego a manipulaciones simbólicas. Este tránsito de la manipulación de objetos concretos a objetos abstractos está apoyado en nuestra capacidad de representar matemáticamente los objetos. Comunicar: El lenguaje matemático es también una herramienta que nos permite comunicarnos con los demás. Incluye distintas formas de expresión y comunicación oral, escrita, simbólica, gráfica. Todas ellas existen de manera única en cada persona y se pueden desarrollar en las escuelas si éstas ofrecen oportunidades y medios para hacerlo. Elaborar diversas estrategias: Al enfrentar una situación problemática de la vida real, lo primero que hacemos es dotarla de una estructura matemática. Luego, seleccionamos una alternativa de solución entre otras opciones. Si no disponemos de ninguna alternativa intentamos crearla. Entonces, cuando ya disponemos de una alternativa razonable de solución, elaboramos una estrategia. De esta manera, la resolución de una situación problemática supone la selección o elaboración de una estrategia para guiar el trabajo, interpretar, evaluar y validar su procedimiento y solución matemáticos. La construcción de conocimientos matemáticos requiere también seleccionar o crear y diseñar estrategias de construcción de conocimientos.


33

Expresar

expresiones

simbólicas:

construir

sistemas

simbólicos

con

características sintácticas, semánticas y funcionales peculiares. El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la comprensión de las ideas matemáticas, sin embargo éstas no son fáciles de generar debido a la complejidad de los procesos de simbolización.

Argumentar: Esta capacidad es fundamental no solo para el desarrollo del pensamiento matemático, sino para organizar y plantear secuencias, formular conjeturas y corroborarlas, así como establecer conceptos, juicios y razonamientos que den sustento lógico y coherente al procedimiento o solución encontrada. Así, se dice que la argumentación puede tener tres diferentes usos:  Explicar procesos de resolución de situaciones problemáticas.  Justificar, es decir, hacer una exposición de las conclusiones o resultados a los que se haya llegado.  Verificar

conjeturas,

tomando

como

base

elementos

del

pensamiento

matemático. 1.9

Escenarios de aprendizaje: El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

34

adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que el Ministerio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía, ciencia, tecnología y productividad. En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas. Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos, como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en forma simultánea, configurando el desarrollo de la competencia.

¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes? En esta sección desarrollaremos algunos puntos que nos ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren los aprendizajes matemáticos. Desarrollando escenarios de aprendizaje El desarrollo progresivo de las competencias en el área de Matemática se manifiesta por medio de las capacidades de manera dinámica, lo que permite generar condiciones adecuadas para los espacios de aprendizaje. La matemática basada en la resolución de problemas requiere de contextos de aprendizaje donde tengan lugar diversas experiencias, acciones y situaciones. Por ello, es importante reconocer estos escenarios que actúan de forma complementaria: SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

35

a) Sesión laboratorio matemático El estudiante, a partir de actividades vivenciales y lúdicas, logra construir conceptos y propiedades matemáticas. La experimentación le permite el reconocimiento de regularidades para generalizar el conocimiento matemático. b) Sesión taller matemático El estudiante pone en práctica aquellos aprendizajes que ya ha desarrollado. Despliega diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) en la intención de resolver situaciones problemáticas. c) Proyecto matemático Se pone en práctica el acercamiento de los conocimientos matemáticos a aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto comprende un conjunto de actividades para indagar y resolver una situación problemática real con implicancias sociales, económicas, productivas y científicas.


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SESION DE APRENDIZAJE ESCENARIO: LABORATORIO Nombre: Identificamos las rectas y puntos notables en el triángulo. I. PARTE INFORMATIVA: AREA: Matemática Docente:

Ciclo: VI Fecha:

Grado(s) y Sección(es): 4°

Dominio:

Tiempo

Geometría

3 horas pedagógicas

II. PARTE INTENCIONAL: Propósito de la sesión Aprendizaje Estándares de Aprendizaje Competencia Fundamental Hace uso de Resuelve problemas Resuelve situaciones problemáticas saberes geométricos estableciendo de contexto real y matemático que científicos y relaciones entre conceptos, implican el uso de propiedades y matemáticos para técnicas y procedimientos de relaciones geométricas, su afrontar desafíos distintas áreas de la diversos, en matemática. Selecciona entre construcción y movimiento en el contextos reales o varios procedimientos para plano y el espacio, utilizando plausibles, desde resolver problemas en diversas estrategias de solución y una perspectiva diferentes contextos justificando sus procedimientos y intercultural. geométricos, acorde a las resultados. características del problema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas y verifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas. Tema Transversal: Promoviendo práctica de valores con el ejemplo SITUACION PROBLEMÁTICA Un agricultor tiene un terreno de forma triangular, quiere construir dentro un jardín de forma circular que cubra la mayor área posible para sembrar flores ornamentales. ¿Cómo le ayudaría usted a diseñarlo? Conocimiento: Líneas y puntos notables en un triángulo.

Contexto Situación contexto vivencial

Áreas afines - Ciencia tecnología y ambiente. - Educación para el trabajo. - Persona, familia y relaciones humanas.

Propósitos Utilizar conocimientos geométricos para resolver problemas en variados contextos.

Conocimientos previos Segmentos, ángulos, punto medio, perpendicularidad.


37

III. PARTE OPERATIVA: Secuencia didáctica CAPACIDADES E INDICADORES

ACTIVIDADES

El especialista muestra el material didáctico con el que se va a trabajar el día de hoy.

Capacidades. Matematiza, representa, comunica, elabora estrategias, utiliza expresiones simbólicas, argumenta

Se va a solucionar situaciones problemáticas desde el contexto de la vivencia del poblador andino.

RECURSOS

Proyector multimedia Laptop Material didáctico.

Se presenta la situación problemática.  Armar el material didáctico que utiliza en la solución de la situación problemática.  Representar de manera enactiva el terreno de la comunidad utilizando el material didáctico.  Determinar el área del terreno desde el lugar donde se encuentran cada uno de sus hijos del presidente de la comunidad.  Elaborar un gráfico de la forma de determinar el área del terreno de la comunidad.  Argumentar la forma como calculó el área del terreno en cada uno de los casos.  Comunicar a sus compañeros la forma de solución de la situación problemática.  Simbolizar matemática mente la forma de determinar el área del terreno de la comunidad.

 Se les presenta el material didáctico, con el cual trabajará cada grupo.  Se les pide que la situación problemática sea resuelto con la ayuda del material que tienen en su mesa.  Armen el triángulo, que represente al terreno del jardinero.  Construya una circunferencia con la cartulina y ubícala dentro del triángulo.  Une el punto centro de la circunferencia inscrita en el terreno triangular con cada uno de sus vértices.  Mide cada ángulo del interior del terreno triangular cortado por las líneas que unen el vértice y el centro de la circunferencia.  Elabore el gráfico de la situación problemática.  Argumenta los pasos que realizas en el proceso solución de la situación problemática.  Comunique a sus compañeros la forma de solución de la situación problemática.  En términos matemáticos ¿Cómo llamaría usted al punto centro de la circunferencia inscrita en el triángulo? Reflexionen:

Papeles Reglas Transportador Compas Lapiceros Plumones Material didáctico manipulable.



Argumenta en forma coherente los procesos que ha empleado para resolver el problema. Resuelvan situaciones problemáticas:

 ¿Qué pasaría si el triángulo fuese acutángulo?  ¿Qué pasaría si el triángulo fuese rectángulo? Metacognición ¿Qué dificultades he vencido para resolver el problema? ¿Qué conocimientos nuevos he descubierto para mejorar los que ya tenía?


38

IV. PARTE EVALUATIVA TÉCNICAS: Trabajo grupal. Diálogo. Observación

INSTRUMENTO: Lista de cotejo.

V. BIBLIOGRAFÍA:  GARRIGA R. FranciscoMatemática Moderna II, editorial Norma, Cali Colombia.  RAMOS P. Rafael y otros Matemática 1, editorial Norma, lima Perú

1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, la interculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática. 1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer un buen gobierno y tener un buen clima en el aula. Justificación para su utilización en la mejora de la convivencia. El profesorado de secundaria se enfrenta en su práctica docente al reto de

proporcionar una

respuesta educativa adecuada a

una gran

diversidad de alumnado, siendo un reto permanente, resulta muy complicado atender a las necesidades de algunos alumnos que muestran conductas desadaptadas por desequilibrios emocionales y conductuales, junto a un conjunto

de estudiantes que se suman al fenómeno de

“disfunción en el aula” por diferentes razones. “La disrupción en el aula” supone la alteración de la adecuada marcha de la dinámica del aula y se traduce en un conglomerado de conductas inapropiadas dentro del contexto específico de la clase que retarda y en algunos casos impide el proceso de enseñanza y aprendizaje, se nutre de malas relaciones interpersonales y de falta de comunicación entre los miembros (Fernández, 2000).Por tanto, su repercusión excede a los individuos sobre los que se centra la acción (estudiante-profesor) ya que produce mayor fracaso escolar en el grupo clase y propicia un clima del aula tenso donde se crean malas relaciones interpersonales tanto entre profesores y estudiantes como entre los propios estudiantes. La presencia de diferentes profesores en el aula de educación secundaria, genera desorganización y supone una fuerte exigencia de coordinación entre profesores para el control de la clase y de algunos estudiantes, supone a su vez

sumar esfuerzos para lograr pautas

concretas y claras de funcionamiento. La insuficiente clarificación y SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

39

asunción de las líneas, pautas disciplinarias y de funcionamiento del aula por parte del

profesorado desemboca en el abandono del control

ejercido sobre algunos estudiantes, insuficiente control diario de las actividades de clase, etc. Estilos de intervención educativa del profesorado no coincidentes pueden facilitar la presencia de grupo de estudiantes incontrolados, ya que la incapacidad de control de la clase por parte de un profesor puede actuar como un poderoso refuerzo de posteriores conductas desordenadas, y no solo porque los estudiantes puedan salirse con la suya sino porque justamente se divierten comprobando el fracaso del profesor. Cuando en el ámbito educativo se manifiesta un comportamiento del adaptado, disruptivo, hemos de entender que se produce en un contexto. Por tanto, la respuesta educativa para modificar o mejorar esa conducta deberá afectar a ambos, ya que tienen un origen interactivo, es decir estas manifestaciones

dependen tanto de la situación personal del

alumno (de sus necesidades personales y sociofamiliares) como los estímulos que interactúan. Este documento educación sobre la

se ofrece al personal docente de los centros de

secundaria como un instrumento

de apoyo y orientación

respuesta educativa que pueden adoptar ante

estos

comportamientos disruptivos. Enfoques para su tratamiento Resulta difícil determinar un único modelo teórico que permita abordar el tratamiento de los problemas de conducta, puesto que las causas que desencadenan estas conductas son complejas y variables, se sitúan en factores personales (baja autoestima por su ineficacia ante las tareas escolares, reacciones inadecuadas ante la frustración por ausencia de éxito , déficit en

habilidades sociales que afecta a las relaciones

interpersonales, ausencia de

valores prosociales compatibles con el

contexto escolar y aprendidos en el ámbito familiar o sociocultural) del individuo que interactúa en un contexto educativo diverso y diferente en cada situación, momento.


40

El enfoque conductista de los problemas exige del profesor tener en cuenta la conducta los estudiantes, sus consecuencias y el contexto en el que se desarrolla. La reacción (respuesta) del profesor y del contexto interpersonal, situacional ante una conducta problemática determinará su aparición o mantenimiento. El estudiantes aprende, a través del condicionamiento operante, que ciertas formas de comportamiento (conducta) parecen lograr la atención que está buscando, por ello, ciertas formas de interactuar del profesor y compañeros, que actúan como estímulos desencadenantes, refuerzan su aparición y frecuencia. Esta perspectiva no especula sobre los motivos, no tiene en cuenta lo que pasa por la mente del estudiante, no considera que el alumno tome conciencia de su conducta inadecuada. Al contrario, el enfoque cognitivo, considera la actividad mental del alumno, su mundo interior de pensamientos, motivos, intereses, motivaciones

y emociones. Intenta determinar el modo en como el

alumno interpreta y juzga su entorno, así como sus propias relaciones. Pretende que el alumno realice una reestructuración cognitiva, es decir se produzca una modificación y mejora de

su forma de pensar sobre el

ambiente y sobre el mismo, así como a saber interpretarlo para favorecer un cambio de actitudes que modifique su conducta. La disminución

de los problemas de conducta radicaría en hacer

relevante los aprendizajes, las tareas escolares, mejorando la motivación, el interés del alumno, el cambio de actitudes y desarrollo de estrategias de autocontrol. Un rasgo fundamental del tratamiento cognitivo sobre el control de la clase,

es la posibilidad de prevenir muchos problemas antes de su

manifestación, el profesor debe analizar a los alumnos y hacer una valoración profunda de las variables que influyen en su modo de conceptuar los sucesos de clase adaptando la respuesta educativa a las necesidades que el alumno presenta: mejorar la autoestima, su SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

41

autoeficacia y oportunidades de éxito en el ámbito académico, cambiar actitudes y desarrollar estrategias de autocontrol. Estos dos enfoques no son excluyentes sino complementarios en una serie de puntos y coinciden parcialmente en una variedad de aspectos. Además, hemos de contar con las aportaciones que ofrece el aprendizaje social, el cual considera la importancia que tienen los condicionamientos sociales

en

el

surgimiento

y mantenimiento

de

la

conducta

desadaptadas. Así pues, el estudio de una conducta en relación con el contexto en que se aparece •

debe tener en cuenta:

Que la influencia del medio sobre el sujeto está afectado por los procesos cognitivos que determinan su percepción e interpretación.

•

Que precisamente esos procesos inciden en la autoeficacia de la persona, ya que influyen en la valoración que puede hacer de su capacidad para realizar la conducta requerida y obtener un resultado exitoso.

•

Que unido a esos procesos, debe acompañarse el esfuerzo por desarrollar estrategias de autocontrol y autorregulación.

•

Que junto a este tipo de estrategias de autogobierno debemos integrar otras basadas en el condicionamiento y en el aprendizaje vicario (por observación o por modelado).

Con todo ello, nos resultará más fácil analizar la respuesta en interacción con el ambiente en el que se manifiesta, lo que implica que consideraremos la conducta como algo aprendido para hacer frente a demandas autoimpuestas y/o impuestas por el entorno, convirtiendo el desajuste en un problema de aprendizaje social susceptible de readaptación a través de adecuados procesos de modificación tanto internos como externos. Entendemos, por tanto como alteración

conductual en el contexto

educativo, como un proceso de inadaptación del individuo, incapaz de ajustarse adecuadamente a su medio físico, académico o social, generalmente

con repercusión en su vida emocional, en su

comportamiento y en el propio medio en que se realiza. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

42

1.10.2 Objetivos de la estrategia. Nos planteamos como objetivos la prevención para minimizar en lo posible la aparición de conductas no deseadas, ya que entendemos que el centro educativo, con su estructura y organización, puede constituirse en sí mismo en causa de problemas de adaptación. La prevención hace necesario prestar la mayor importancia posible al

logro de comportamientos que

permitan el aprendizaje y convivencia, ya que se presentan íntimamente unidos. El control y el manejo del proceso de enseñanza y aprendizaje, al clima del aula, al complejo mundo de relaciones interpersonales en el aulaclase, así como a la motivación de los alumnos se hacen imprescindibles en la mejora de la convivencia que permita el aprendizaje. La planificación preventiva, que si bien, no va evitar que situaciones problemáticas surjan, al menos conseguirá que disminuyan y se vivan con un talante más proclive a las soluciones. Por ello, hemos determinado un primer apartado de prevención a través de reglas básicas que orientan la gestión de la clase y mejora del clima social de la clase. La intervención ha de ser lo más coherente que sea posible, mediante pautas de actuación a establecer por el profesorado con criterios comunes. Estos recursos y estrategias docentes han de ser asumidas por todo el equipo educativo en su totalidad, para que los alumnos perciban que existe una coherencia en la actuación del profesorado ante las conductas no deseadas o disruptivas. Cabe señalar, que

somos conscientes de que

existen otras variables influyentes, los estímulos son diferente en cada contexto, tanto personales (personalidades, formas de relación, estilos de enseñanza, aprendizaje) como ambientales. Las técnicas de intervención que más adelante expondremos, se derivan de enfoques conductuales, cognitivos de la conducta y del aprendizaje social. Descripción de la medida. Breve repaso de la misma a) "Reglas" básicas de una buena gestión de la clase: Necesarias para una adecuada prevención de conductas disruptivas o no deseadas en clase, pretenden controlar el contexto en el que se suelen producir estas conductas inadecuadas. Aquellos profesores que SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

43

no determinan su actuación en función de una serie de reglas que facilitan el control y gestión, se muestran ambivalentes, actuando de forma desordenada, impulsiva, desestructuran el proceso de la clase y tienen más probabilidades de disrupción que aquellos que no las establecen. Si el profesor resulta sensible a estas variables, podrá manipularlas

en cierta medida con objeto de eliminar

las

circunstancias que aparentemente dan lugar al problema. Se constituyen en alguna medida en modos de proceder que regulan la actividad, permiten predecir la marcha de la clase, estructura la actividad y le da seguridad. Muchas de ellas forman parte del estilo docente de cada profesor y de su visión de cómo enseña, muy influyente en el clima social del aula. Pasan a formar parte de las estrategias de resolución de conflictos, de los procesos de instrucción y de las maneras en que un profesor determinado controla y gestiona su aula. Las englobamos en los siguientes criterios: adaptación de Fontana La Disciplina en el aula; Isabel Fernández Guía Para Convivencia en el Aula: Criterios organizativos: Organización eficaz de la clase; puntualidad; ponerse rápidamente a la tarea y tratar de conseguir la atención; colaboración de toda la clase. Criterios metodológicos y curriculares: buena preparación; adaptación de

la

programación

a

la

diversidad

del

alumnado;

brindar

oportunidades de éxito; garantizar oportunidades adecuadas de actividades prácticas; mantener las notas al día; distribución justa y equitativa de la atención del profesor. Criterios

socioemocionales:

mantenerse

alerta

ante

Utilizar las

una

incidencias

comunicación de

la

efectiva;

clase;

evitar

comparaciones; mantenimiento de las promesas; delegación en la medida de lo posible de las tareas rutinarias de la clase a los alumnos; crear expectativas positivas; establecimiento claro de límites dentro del aula; cuidar el clima social y cohesión grupal. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

44

Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos, materiales sobre “reglas básicas de una buena gestión de la clase” inserto en el bloque prevención de problemas de conducta. b) Eestrategias y técnicas docentes para el control de la clase: Constituyen recursos específicos que orientan al profesor sobre cómo actuar ante un problema de conducta. Adaptación de Emilio Cidad Maestro(1987) Modificación de Conducta en el Aula e Integración Escolar;

Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica del

Principado de Asturias “Técnicas Básicas de la Disciplina ” y otros autores Fontana , Vallés ...:  COMO IGNORAR: Retirar la atención, no se debe reaccionar. La ignorancia sistemática es el arte de ignorar los comportamientos que desagradan y prestar atención positiva a los que agradan. Nunca debe hacerse una cosa sin la otra. Ejemplo: ante los chillidos de un alumno se debe ignorar y reforzar cuando hable en un tono adecuado “que bien has hablado sin levantar la voz” no se recomienda “que bien has hablado sin chillar” , porque con esta última opción se pone atención en la conducta negativa que queremos suprimir “chillar”.  COMO ELOGIAR: Alabar el comportamiento, la conducta y no la personalidad. El propósito de elogiar es aumentar conductas deseables, de modo que es necesario hacer hincapié en qué conducta concreta se persigue. El modo más eficaz de formar una buena conducta es moldearla con elogios. Ejemplo: has recogido muy bien la mesa, en vez de a todo lo que obedezca se le diga que obediente eres, pues el alumno no pondrá la atención en las conductas concretas a instaurar.  CÓMO ATENDER A LA CONDUCTA DESEADA: Incidir sobre la conducta positiva y dar mensajes sobre los que se ha de hacer, no sobre lo que se quiere corregir. Se puede activar la SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

45

extinción de las conductas indeseables reforzando las buenas conductas con elogios y recompensas. Por ejemplo: se debe decir “me parece muy adecuado que hayas permanecido sentado en tu lugar durante la explicación” en vez de “ me parece muy adecuado que NO te levantes” para ello se debe evitar decir NO y convertirlo en una conducta positiva , calla en vez de decir no hables...  COMO USAR LA SOBRECORRECCION: Es una alternativa para acabar con los comportamientos indeseables persistentes. Utiliza consecuencias naturales para romper con los malos hábitos y para enseñar comportamientos apropiados al mismo tiempo. Si un estudiante ha tirado papeles o a rayado la mesa debe limpiar el lugar y la mesa en vez de que se quede sin recreo.  COMO PREMIAR: Las recompensas de conductas deseables actúan como refuerzos que hacen que el alumno se sienta bien por lo que ha hecho y quiera hacer lo mismo más a menudo. Proporcionan motivación e inciden en la autoestima.  COMO USAR EL "TIEMPO FUERA": Supone apartar al alumno de una actividad o situación para que no pueda tomar parte en esa actividad o recibir elogios y atención. Un estudiante que insistentemente está interrumpiendo la clase sin parar y los demás lo refuerzan con sus miradas y risas constantes, debe salir de clase por un momento.  ASPECTOS A TENER EN CUENTA ANTE EL CASTIGO: No se recomienda en castigo porque existen varios inconvenientes: deteriora las relaciones, puede generar sentimientos negativos, baja autoestima, puede actuar como reforzador. Es más aconsejable usar técnicas positivas. En sí mismo, el castigo no enseña al alumno a portarse bien. Para animar al estudiante a actuar de la forma deseada, se deben definir,


46

enseñar y recompensar las conductas positivas que se quieren establecer. Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos, materiales “técnicas conductuales para el control de la clase”.

c) Estrategias

del

profesorado

para

enfrentarse

a

amenazas

concretas al control de la clase. Adaptación de diferentes autores Fontana Disciplina en el Aula, Vaello Orts Las habilidades Sociales en el aula, Rodríguez y Luca de Tena (2001): Programa de Disciplina en la Enseñanza Secundaria Obligatoria.



GROSERÍAS

Definición: una aparente insolencia a alguna observación del profesor, sea de tipo verbal o como una conducta desdeñosa de carácter actitudinal, no verbal (marcharse y dejarlo hablando, suspiros mirando al cielo, etc.). Objetivo del alumno es medir las fuerzas del profesor e intentar desacreditarle frente al grupo para demostrar así su poder. Busca ofender o desautorizar al profesor para ganar prestigio o expresar su resentimiento. Cuando el profesor reacciona con un gesto de enfado manifiesto, que muestra su ira, el alumno puede sentirse satisfecho: él ha ganado. Ante esto, el profesor debe no actuar impulsivamente, esperar unos segundos. Evitar responder de la misma forma, no mostrar signos de enfado. Conversación privada, intentando interrumpir el menor tiempo posible. Manifestar atención positiva a la conducta a instaurar, borrado de una queja anterior por cada tiempo sin groserías. Entrenamiento en reciprocidad, exigencia de respeto. Compromiso público y contrato de conducta, junto con reflexión individual

mediante

una

registro

por

escrito

“Analizo

mi

comportamiento”. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

47



DESAFÍOS

Definición: Enfrentamiento al profesor negándose a seguir sus órdenes: “no pienso hacerlo…”, “no me da la gana…”. Se opone a todo lo que dice el profesor. Igual que arriba Objetivo del estudiante: provocar al profesor con una negativa rotunda para llamar su atención, para demostrar su poder, cuestionando la autoridad del profesor, al cual procura enfurecerle reaccionando en contra, puede que muestre rechazo por fracaso escolar continuado, su conducta empeora si le miran o hacen caso, por ello se ha de hacer un pacto con los satélites los que le siguen, le refuerzan. No suele importarle las opiniones y valores de los demás. Suele burlarse y criticar a los que no son como él. Ante esto, el profesor debe mantener el control y permanecer callado. Demorar la respuesta, posponer las explicaciones al final de clase. Petición y entrenamiento en el respeto mutuo. Advertencia en privado, pidiendo explicaciones sobre los motivos de su provocación. Evitar las ironías. Centrarse en la conducta y no en el alumno. Contrato de compromiso estudiante-profesor-padres. Reflexión sobre su conducta con un registro por escrito “analizo mi comportamiento”. Toma de conciencia del sentido y la necesidad de las normas, razone por qué existe la norma que se ha violado y que de otra. Triangulación de otro profesor o cargo directivo.

 AGRESIÓN FÍSICA AL PROFESOR: Definición: actuación violenta de un alumno hacia un profesor, enfrentamiento físico. El agresor suele

tener escaso autocontrol,

autoestima. Ante esto, el profesor no debe responder con otra agresión. Pararle las manos diciéndole tranquilízate, cálmate. Buscar la causa de esa reacción e intentar llegar a una solución pacífica.


48

 AGRESIONES FÍSICAS ENTRE ESTUDIANTES: Definición:

violencia

física

y

verbal

entre

iguales,

diferentes

manifestaciones de maltrato entre iguales, una entre ellas bullying, acoso escolar continuado. Ante esto, el profesor debe intervenir de forma rápida y decisiva. Suele bastar una orden firme para que paren. Debe ser una acción tranquila: los llamará por sus nombres y dirá “¡basta ya!”. Mediar a través de un experto para que los estudiantes lleguen una solución negociada del conflicto. En el caso de bullying existen métodos específicos para intervenir Método Pikas, círculo de amigos, entrenamiento en el autocontrol, ... INCIDENTES VIOLENTOS: Diferentes manifestaciones agresivas... Ante esto, el profesor debe proporcionar una respuesta calmada y decisiva, intentando que no se convierta en un espectáculo disolviendo rápidamente y aislando a los implicados para buscar la descripción del detonante del conflicto, qué ocurrió y posibles soluciones a través de un compromiso mutuo y negociado con o sin sanción. Contrato conductual con el agresor en el que intervengan los padresestudiante–profesor. Adiestrar al violento en el control de la ira y la impulsividad.  HIPERACTIVIDAD: Definición: alumno con

déficit de atención, impulsividad y gran

actividad motriz que ocasiona con frecuencia disrupción en el grupoclase. Conductas típicas: se muestra muy movido, no para, se levanta constantemente, habla demasiado, no se concentra en las tareas, baja o escasa atención. Es impulsivo, irreflexivo, suele buscar excusas para todo, no suele ser consciente de que está haciendo algo malo. Puede llegar a salirse de la clase sin ningún motivo.


49

Ante esto, el profesor debe ubicarlo cerca y mantener una fijación visual constante. Autorizar movimientos cada cierto tiempo; dar responsabilidades que impliquen movilidad. Instrucciones constantes. Alabar los logros y pequeños progresos, trazar actividades variadas y cortas. Reforzar conductas más adaptativas (atender al profesor, estar sentado...)  EL ESTUDIANTE INADAPTADO Definición: alumno que presenta grandes dificultades para relacionarse en todos los contextos que se desenvuelve: escolar, familiar, social, manifestando una conducta desviada de la normalidad con alta frecuencia. Ante esto, el profesor debe conocer las características peculiares del alumno para intentar responder de forma más adecuada. Para su valoración

y

tratamiento

se

requiere

el

concurso

de

varios

especialistas. Se debe hacer consciente de su problema, a su vez debe percibir que se le ayuda.  CLASE DESCONTROLADA Definición Alto grado de disrupción en el aula que impide el proceso de enseñanza y aprendizaje Ante esto, el profesorado debe mostrarse unido y coherente con las pautas a llevar a cabo. Deben valorarse las relaciones y los comportamientos, las conductas disruptivas y establecer las conductas a instaurar, reforzando las conductas adaptativas. Analizar las relaciones en el grupo a través de un tets sociométrico, potenciar los roles positivos o prosociales; reconducción de los roles obstructivos de la convivencia o antisociales, sustituyéndolos por otros constructivos (contratos de conducta, compromiso público, implicación

de los

padres); inhibición de los roles incompatibles. Para

más

información

consultar

materiales

sobre

“estrategias

concretas ante amenazas”. Otros documentos prácticos sobre reflexión conductual “Cuestionario de autoanálisis conductual” y “contrato conductual”. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

50

Procedimiento para implementarla en el centro. Secuencia de acciones y responsables. Las medidas indicadas para prevenir o aminorar la aparición y frecuencia de conductas disruptivas, así como para su intervención más directa, exigen la actuación coherente del profesorado. Debe existir una cierta coherencia del profesor en su actuación diaria ante un grupo aula, pero también debería haber una cierta coherencia del equipo de profesores que imparte a un mismo grupo-clase, por ello, se hace imprescindible establecer reuniones del equipo docente para determinar: 

Las reglas básicas mínimas de gestión del aula, que consideran prioritarias en función de las características del grupo.



Determinar las actuaciones para mejorar el clima y cohesión grupal de los alumnos de una clase.



Identificar las conductas disruptivas o desadaptadas de alumno/nos o clase y establecer aquellas que se quieren instaurar para reforzarlas positivamente y atender a las conductas deseadas.

Es necesaria

la aceptación y puesta

en marcha de las estrategias y

técnicas docentes para el control de la clase por

parte de

equipo

educativo que atiende al grupo para que sean más efectivas. Se han de aprovechar situaciones conflictivas para que los profesores que las conocen las expliquen

a los profesores nuevos o a los que

desconozcan la técnica o se sientan inseguros ante su aplicación. Resulta fácil olvidar la secuencia de pasos a realizar ante conductas disruptivas si el profesor no está familiarizado con ellas, por ello, se hace recomendable practicarlas incluso entre los mismos profesores que presentan interés por aplicarlas. Se debe tener en cuenta que no siempre obtendremos el efecto deseado, ya que las variables personales a veces son impredecibles, hay que contar con un margen

de fracaso en su

aplicación. Valoración del proceso: el proceso de aplicación debe ser registrado semanalmente, en un primer momento, por cada profesor para después poder realizar un análisis comparativo (triangulación de datos) y establecer actuaciones más efectivas durante el desarrollo. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

51

Los resultados positivos de la aplicación de éstas, animaran a la puesta en práctica de la parte restante del equipo educativo. Es imprescindible combinar las técnicas y estrategias con las reglas básicas del control de la clase, ya que la gestión del aula, planificación, metodología de trabajo, expectativas de logros, clima de la clase... todas ellas están más o menos presentes en los incidentes disruptivos y confieren claves interpretativas más allá del sujeto o sujetos protagonistas en los incidentes, ya que se encuentran en el contexto, en las variables que interactúan. Sugerencias de aplicación, dificultades más comunes, buenas prácticas, combinación con otras medidas a) Sugerencias de aplicación. Sería necesario que se establecieran “protocolos de actuación de buenas práctica” en el tratamiento de las conductas inadecuadas dentro del aula, en las que se especificarán estrategias alternativas a las punitivas para el tratamiento de las mismas. Estas estrategias deberían ser bien conocidas, ejercidas dentro del aula y revisadas por un grupo amplio de profesores para proporcionar consistencia y coherencia de actuación ante el alumnado. El contraste de estilos docentes que confluyen en un mismo grupo y en un mismo centro, se constituyen en un banco de estrategias docentes que amplíe las perspectivas individuales de cada profesor en su isla-aula. Ello exige un cambio de perspectiva del profesor en la que impere la confianza, el apoyo mutuo y la ayuda como elemento clave de mejora del clima del aula y de intervención en la disrupción, lo cual repercute en el conjunto del centro y no sólo sobre el profesor concreto que necesita ayuda. Estimamos que la mayor dificultad del desarrollo de esta medida es la actuación coherente del profesorado necesario para que

el alumnado

perciba que todo el equipo educativo responde por igual ante una conducta disruptiva o no deseada, puesto que existen otras variables contextuales y personales que pueden incidir en un momento dado en la respuesta o reacción del profesorado. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

52

La diferente perspectiva que cada profesor tenga sobre el conflicto derivado de una disrupción, ya que cada profesor interpreta el escenario del aula desde su propia visión y la forma peculiar en que afronta dichas situaciones es un componente básico para su resultado final. Además, existen diferentes estilos personales para afrontar los conflictos que se pueden categorizar como agresivo, pasivo y asertivo

que dan lugar a climas

sociales diferentes en el aula (agresividad, falta de responsabilidad

y

respeto, beneficio mutuo). Por ello, la forma de actuar del profesor puede convertirse en una variable condicionante en la prevención y en la intervención. b) Dificultades más comunes. Destacamos como dificultad que puede existir para llegar acuerdos sobre la gestión unificada del aula, los diferentes

estilos de enseñanza y

personalidades de los profesores que interactúan en un mismo grupoclase diverso. Tal vez la principal dificultad estriba en que las propias circunstancias personales de cada profesor que nos puedan pillar fuera de juego y no estemos preparados para reaccionar como sabemos, o que no nos acordemos de cómo se aplica en ese momento. Hay que asumir un porcentaje de errores, pero que van a disminuir rápidamente a medida que utilicemos estas estrategias cotidianamente. c) Combinación con otras medidas.

Con relación a la combinación con otras medidas y estrategias, existen numerosas interacciones con todas aquellas que están directamente relacionadas con la prevención de conductas disruptivas o desadaptadas. Las estrategias que van destinadas a la mejora de la convivencia que inciden en el clima social y cohesión grupal de la clase, programas específicos de mejora de la convivencia: 

P-1.Dinámicas

de

prevención

y

resolución

de

conflictos.

Habilidades sociales, asertividad, autocontrol, autoestima. 

P-2.Los Proyectos de Educación Emocional SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

53



P-3.Programa de Asunción de Normas por el grupo



P-4.Mediación educativa



P-5.Acoso Escolar. (Método Pikas y otras cosas)

La tutoría como recurso para mejorar la convivencia, el tutor ejerce un papel imprescindible en la implementación: 

T-1.Tutoría en grupo.



T-2.Tutoría personal



T-3.Tutoría con familias.



T-4.Tutoría y coordinación de equipos educativos

En la adaptación de la respuesta educativa a la diversidad del alumnado de un aula para la prevención de las conductas disruptivas, ya que se hace necesaria recurrir a las estrategias de: 

A-1.Aprendizaje COOPERATIVO



A-2.Interacción entre iguales



A-3.Otras metodologías y técnicas docentes



A-4.Adaptación de Unidades Didácticas al aula.

1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad. Medidas de atención a la diversidad Todas las estrategias que se relacionan a continuación y que tienen que ver con el modelo de Atención a la Diversidad derivado de la Orden de 4 de junio de 2010, de la Consejería de Educación, Formación y Empleo, por la que se regula el Plan de Atención a la Diversidad de los Centros Públicos y Centros Privados Concertados de la Región de Murcia, tienen componentes organizativos, curriculares y didácticos. Todas estas medidas no son excluyentes. Se pueden utilizar de manera complementaria. La mayoría de estas estrategias se pueden aplicar de manera individual o combinándolas con una o varias medidas de las aquí relacionadas. Sin la pretensión de ser exhaustivo, este documento puede constituir una primera toma de contacto con alguna de ellas. a) Los métodos de aprendizaje cooperativo. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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Son estrategias de carácter organizativo y didáctico. De una parte organizan al alumnado por medio de pequeños grupos de trabajo a la hora de trabajar. Por otra el modelo de aprendizaje se realiza desde una perspectiva cooperativa. Consiste, fundamentalmente, en que los alumnos se ayuden para aprender trabajando en equipos reducidos. El grupo cooperativo permite que la adquisición de conocimientos sea compartida, fruto de la interacción y cooperación entre los miembros del grupo, por lo que resulta muy positivo para que el alumnado con necesidades específicas de apoyo educativo pueda aprender y autorregular sus procesos de aprendizaje.

b) Aprendizaje por tareas. Partimos de la idea de que una tarea es una actividad o conjunto de actividades debidamente organizadas y enlazadas entre sí con el fin de conseguir un fin o una meta determinada. Una tarea es un modelo de secuencia didáctica organizada de tal forma que ayuda a los estudiantes a lograr la realización de una actividad compleja relacionada con distintas áreas de conocimiento y con la experiencia vital de los propios estudiantes. Se trata de una estrategia que todos los expertos la señalan como idónea para el desarrollo de las competencias básicas. c) El aprendizaje basado en proyectos. El trabajo basado en proyectos se articula en base de los interrogantes que formula el alumnado. Cada nuevo interrogante puede constituir un nuevo proyecto y éste a su vez un nuevo aprendizaje. Esta forma de organizar

la

enseñanza-aprendizaje

implica

asumir

que

los

conocimientos escolares no se articulan para su comprensión de una forma

rígida,

en

función

de

unas

referencias

disciplinares

preestablecidas y de una homogeneización de los individuos y de la didáctica de las disciplinas. d) El auto aprendizaje o aprendizaje autónomo. Proceso mediante el cual los estudiantes asumen la iniciativa, con o sin ayuda del profesorado, en el diagnóstico de sus necesidades de aprendizaje, la formulación de sus objetivos, la identificación de los SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

55

recursos necesarios para aprender, la elección de las estrategias adecuadas y la evaluación de los resultados de su aprendizaje. El auto aprendizaje es algo que el ser humano posee en sí mismo y tiene la función principal de aprender nuevas habilidades o mejorar las que ya se poseen. e) El aprendizaje por descubrimiento. El sujeto no recibe los contenidos de forma pasiva, sino todo lo contrario, de forma activa. Descubre los conceptos y sus relaciones, y los reordena para adaptarlos a su esquema cognitivo. Los alumnos deben ser estimulados a descubrir, a formular conjeturas y a exponer sus propios puntos de vista. La utilización del descubrimiento y de la intuición es propuesta por Bruner (1988) en razón de una serie de ventajas didácticas como son: un mayor potencial intelectual, motivación intrínseca, procesamiento de memoria y aprendizaje de la heurística del descubrimiento. f)

El contrato didáctico o pedagógico. Un contrato es un acuerdo negociado (oral o por escrito), precedido de un diálogo entre profesor y alumno con la finalidad de conseguir unos aprendizajes a través de una propuesta de trabajo autónomo, que puede ser de carácter cognitivo, metodológico o actitudinal.

g) La enseñanza multinivel. El diseño de actividades multinivel constituye otra forma de atender la diversidad en el aula porque posibilita que cada estudiante encuentre, respecto al desarrollo de un contenido, actividades acordes a su nivel de competencia curricular. La enseñanza multinivel trata de dar respuesta a la diversidad de niveles. Las claves de este procedimiento está en la multiplicidad en la formas de aprender (estilos de aprendizaje), el desglose de actividades en distintos niveles (de más simple a más complejo) y en las formas de evaluar (utilizando variedad de técnicas e instrumentos). h) Los talleres de aprendizaje. Los talleres son espacios donde se realizan actividades dirigidas y sistematizadas, con una progresión de dificultad ascendente para SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

56

conseguir que el alumnado haga uso de diversos recursos y conozca diferentes técnicas y procedimientos que posteriormente utilizará de forma individual en el aula. En enfoque del taller debe contener componentes experienciales y manipulativos. i)

La organización de contenidos por centros de interés. Esta estrategia curricular obedece a la organización creativa del currículum (objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de evaluación) en torno a centros de interés. Estos intereses parten del alumno y pueden ser propios del currículum, de relevancia social y de interés personal de los estudiantes. Una vez organizados el currículum a través de estos centros de interés pueden utilizarse en el desarrollo de otra estrategia didáctica (tarea, proyecto, secuencia...). Ovide Decroly (1871-1932), desde un enfoque globalizador, introduce los centros de interés como propuesta pedagógica intentando dar respuesta a las necesidades e intereses naturales de los alumnos.

j)

El trabajo por rincones. Los rincones son un modelo organizativo y de gestión del aula que nos permite distribuir el espacio físico del que disponemos en una estructura de diferentes microespacios que, relacionados

con el

modelo curricular o didáctico que se desarrolle en el aula, coadyuvan a conseguir los objetivos propuestos en el currículum. Así se puede distribuir por rincones de contenidos (el rincón de lengua, rincón de los problemas, rincón de los experimentos..); por rincones de habilidades ( el rincón de las construcciones, el rincón del teatro, el rincón de los inventos, ..); por rincones de materiales (el rincón de las pinturas, rincón de la biblioteca...). En cada uno de estos pequeños espacios se realiza un tipo de actividad determinada y diferente. k) Los grupos interactivos. Los Grupos interactivos es una estrategia didáctica activa que usa el diálogo como base del aprendizaje. Los grupos interactivos son una forma de concretar el aprendizaje dialógico dentro del aula. Para ello requieren una organización flexible del aula. El grupo clase se divide en varios grupos heterogéneos, tanto en género como en nivel de SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

57

aprendizaje u origen cultural, donde más de un adulto dinamiza el trabajo del alumnado. Cada grupo está tutelado por una persona adulta. Estos adultos pueden ser profesores del mismo centro (tutores o de apoyo), familiares, voluntariado, estudiantes etc...). Así se crea un nuevo espacio de trabajo orientado a la aceleración del aprendizaje comunicativo y cooperativo. La atención de los adultos permite un seguimiento individualizado y grupal. l)

La gradación de las actividades. Con esta estrategia didáctica, los maestros trabajan adecuaciones en los elementos del currículo para atender a las necesidades de todos sus alumnos haciendo énfasis en los contenidos procedimentales, por medio de una

graduación de las actividades en cuanto a su

complejidad. m) La elección de materiales y actividades. Visto desde la perspectiva de la elección de materiales y actividades por parte del alumno, esta estrategia se basa en metodologías para el aprendizaje activo y se apoya en un modelo de aprendizaje en el que el papel principal corresponde al estudiante, quien construye el conocimiento. El papel del profesor o maestro es proporcionar y diseñar pautas, actividades, materiales o escenarios variados donde los alumnos eligen aquellos que mejor se adaptan a su estilo de aprendizaje a sus características y necesidades, tanto de forma individual como colectiva de cada grupo. n) El refuerzo y apoyo curricular de contenidos trabajados en clase, especialmente en las materias de carácter instrumental. Esta medida es básica. El diseño de actividades para todos de refuerzo y de apoyo a currículo satisface la idea de inclusión, en el sentido de que cada alumno pueda desarrollar sus capacidades y competencias al máximo de sus posibilidades personales. Estas actuaciones de refuerzo y apoyo curricular de los contenidos de las materias básicas deberán contemplar las diferentes formas de acceso a la información, de integración de los esquemas de aprendizaje y de las diferentes


58

formas de expresión de lo aprendido de cada alumno de forma individual y del grupo, de manera colectiva. o) El apoyo en el grupo ordinario. (Apoyo Curricular). Los Grupos de Apoyo al profesor son un sistema de apoyo interno formado por un grupo de profesores que colaboran con sus compañeros en el análisis y búsqueda de soluciones a los problemas que estos planteen al grupo. Apoyo al alumnado: La atención a las necesidades de cada uno de los alumnos visto de manera individual es uno de los ejes de la acción tutorial. Una vez detectadas esas necesidades es imprescindible promover medidas de apoyo individualizado que les proporcione orientación y respuestas concretas a sus necesidades. Desde el modelo curricular de apoyo, no se trata que se les proporcionen a este alumno medidas de recuperación diferentes y aisladas, sino que desde una perspectiva curricular, éstas estarán contempladas e insertas en las propias decisiones y estrategias del centro y a partir de la propia programación de aula con las consiguientes adaptaciones curriculares más o menos significativas según las necesidades y potencialidades del alumnado. Apoyo al grupo –Aula. No podemos confundirlo con la idea de apoyo “dentro del aula”, el cual sólo se produce de forma física puesto que la actuación continúa recayendo en el alumno/a determinado, en sus necesidades, teniendo que ver o no las actividades allí realizadas con lo que desarrolla el resto de la clase. Desde esta medida el foco de la actuación es el aula como un todo global, en la que existen diversas realidades.

Tutor y

Profesor de Apoyo aúnan esfuerzos para dar

respuesta a la realidad de su aula, partiendo desde la colaboración como medio de atención para dar una respuesta adecuada y coherente a todos y cada uno de los alumnos, sabiendo que un apoyo dirigido a las necesidades del grupo –aula no repercutirá sólo sobre el grupo en su totalidad, sino en cada alumno individualmente. p) La tutoría entre iguales. La tutoría entre iguales es un sistema de instrucción constituido por una díada, en la que uno de los miembros enseña al otro, dentro de un marco planificado externamente. Es una estrategia que trata de SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

59

adaptarse a las diferencias individuales en base a una relación que se establece entre los participantes. Suelen ser dos compañeros de la misma clase y edad, uno de los cuales hace el papel de tutor y el otro de alumno. El tutor enseña y el alumno aprende. También puede darse la tutoría entre compañeros de distinta edad o la tutoría con inversión de roles. q) La enseñanza compartida o co-enseñanza de dos profesores en el aula ordinaria. (Apoyo dentro del aula). Dos profesores enseñan juntos y comparten la responsabilidad docente. Esta alternativa supone el aprovechamiento de los recursos personales del centro (profesores de apoyo, profesores de pedagogía terapéutica, profesores de compensatoria...) en el aula ordinaria. En la Co-enseñanza, los profesionales participan en la enseñanza en condiciones de paridad o igualdad.

Se establece

durante un periodo de tiempo concreto todos los días, o ciertos días semana. Los profesores son corresponsables de la actividad docente: programan, realizan y evalúan conjuntamente. Reconocimiento de sus fortalezas y debilidades de manera complementaria. Los profesores en parejas se observan entre sí como medio para mejorar desarrollo profesional. r)

Los agrupamientos flexibles de grupo. Son una respuesta organizativa de los centros para atender las necesidades originadas por la diversidad de los alumnos presentes en las aulas y sus diferentes formas de aprender. Los agrupamientos flexibles consisten en la organización de varios grupos a partir de uno o varios establecidos, que serán atendidos cada uno de ellos por uno o varios profesores a la vez. Son grupos que varían de tamaño y que se reúnen durante periodos de distinta duración, e implica una utilización más eficaz del personal docente disponible (Yates, 1990). A través de los grupos flexibles se organizan a los estudiante en nuevas estructuras grupales en función de su nivel académico y en determinadas áreas del currículo, especialmente las áreas instrumentales (Rué, 1991). Los agrupamientos flexibles se realizan en función de la progresión del alumno y de su nivel de rendimiento. No hay cursos ni trimestres, ni SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

60

junio ni septiembre, ni promoción o no. La edad no importa. Lo importante es adecuar el aprendizaje al nivel del alumno (Barrueco, 1984). Condiciones o requisitos (Darder y Gairín, 1994): Existencia de grupos diferentes al grupo clase de referencia durante, al menos 2 horas Semanales, y para trabajar alguna área curricular. Los alumnos pueden pasar de un grupo a otro en cualquier momento. Están pensados para favorecer el trabajo con la diversidad de los alumnos, nunca para facilitar el trabajo uniforme con grupos supuestamente homogéneos. s) Los desdoblamientos del grupo. Esta estrategia organizativa que significa la separación de un grupo en dos nuevos grupos, para desarrollar algunas actividades en otro agrupamiento. Debe llevar aparejada el cambio de estrategia metodológica en los momentos del desdoble. Esta estrategia es utilizada habitualmente en idiomas, para realizar interacción oral entre todos los alumnos o en laboratorio, donde la actividad práctica y los espacios impiden la participación de toda la clase a la vez. Esta medida, además, ofrece varias posibilidades: o

Enseñanza paralela: 

Mismo contenido a la vez en los 2 grupos.



Diferente contenido en cada grupo y luego se cambia un grupo por otro.

o

Enseñanza alternativa: 

1 profesor atiende a 1 grupo reducido que necesita refuerzo o ampliación y el otro atiende a los demás.

t)

La utilización flexible de espacios y tiempos en la labor docente. Distribuir adecuadamente el espacio para compensar las dificultades de determinados alumnos es una de las medidas ordinarias de atención a la diversidad. Esta estrategia metodológica pone de relieve la utilización de todos los elementos que intervienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje al servicio del mismo. Así, los espacios y los tiempos se


61

deben distribuir en función del tipo de tarea a realizar y de las necesidades que planteen los alumnos. Una concepción flexible del tiempo implicaría no el mismo horario todo el curso para determinadas materias, grupos o alumnos. Los desdobles, desde la perspectiva de la atención a la diversidad para todos, se deben realizar con profesores que previamente se hayan coordinado en la actividad a desarrollar, desarrollando un mismo currículum y sin que obedezca a criterios de homogeneidad en habilidades, conocimientos o destrezas, la separación del grupo. La reducción evidente del número de alumnos por grupo desdoblado debe repercutir en una atención individualizada más acorde a las necesidades de cada uno de los alumnos y del grupo desdoblado en su conjunto. u) La inclusión de las tecnologías de la información y la comunicación en el trabajo diario de aula. Consiste en aprovechar las Tecnologías de la Información y la Comunicación, utilizando el ordenador como un instrumento más al alcance del docente, que facilite el poder dar una respuesta ajustada a las necesidades de su alumnado, y que ayuda en la eficacia de algunas tareas del proceso de enseñanza y aprendizaje inherentes a la labor del profesor v) Las redes de colaboración y coordinación del profesorado para el diseño de proyectos, programaciones y para el seguimiento y evaluación del alumnado. Las herramientas tecnológicas ofrecen la organización de redes en la educación y posibilitan la colaboración entre expertos y profesionales que trabajan en un mismo proyecto o en temas de interés común. En este sentido, existen multitud de herramientas de Internet que ofrecen diversas utilidades (espacios compartidos, toma de decisiones, asignación de tareas, votaciones, gestión de grupos, etc.) que facilitan este trabajo colaborativo.


62

II UNIDAD: Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

ESQUEMA DE CONTENIDOS

Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

Transposición didáctica” de Yves Chevallard.

Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele.

Herramientas para el aprendizaje con el modelo Van Hiele (papiroflexia, mapas mentales, uso de software, regla y compas).


63

PARTE 1:

DESDE LA PRÁCTICA

2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard Yves Chevallard nació el 1 de mayo de 1946 en Francia. Es Licenciado en Matemáticas e investigador de la Université d'Aix-Marseille II. Ha sido Director de l'IREM de Aix-Marseille II; desde esa fecha se desempeña como Catedrático Universidad IUFM d'AixMarseille. Es responsable de la formación inicial y continua de profesores de matemáticas en el IUFM d’Aix-Marseille. Miembro de la

Association pour la Recherche en

didactique des mathématiques. Miembro del comité científico de la colección Raisons éducatives publicada por la Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Éducation de l’Université de Genève. Ha sido conferencista invitado en diferentes

congresos y reuniones científicas.

También ha dirigido tesis doctorales. Desde el año 1971, publica artículos y textos en diferentes revistas científicas. Es autor junto con Marinna Bosch y Josep Gascón del libro “Estudiar Matemática; el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje” (Barcelona/ICE Horsori) y de una de las obras más difundidas en el ámbito educativo de los países de habla hispana como es “La Transposición Didáctica: del saber sabio al saber enseñado” (Bs. As./Aique grupo Editor). Lectura Hemos caracterizado el hacer matemáticas como un trabajo de modelización. Este trabajo convierte el estudio de un sistema no matemático o un sistema previamente matematizado en el estudio de problemas matemáticos que se resuelven utilizando adecuadamente ciertos modelos. Se puede destacar tres aspectos en este trabajo: La utilización rutinaria de modelos matemáticos ya conocidos; el aprendizaje (y la eventual enseñanza) de modelos y de la manera de utilizarlos; y la creación de conocimientos matemáticos, es decir de nuevas maneras de modelizar los sistemas estudiados. Yves Chevallard et al. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. pp 57. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

64

Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:

4.

¿El problema central de la didáctica de las matemáticas es la enseñanza o en aprendizaje?

5.

¿Hacer matemáticas es repetir adecuando los contenidos que ya fueron estudiados por los creadores de la matemática?

6.

¿El

trabajo

del

profesor

de

matemática

consiste

en

vulgarizar

los

conocimientos? 7.

¿Si la Trigonometría fue creada para resolver problemas de navegación, es en ese mismo contexto que debe ser enseñada?

8.

Si la respuesta es negativa, ¿Qué debe hacerse entonces?

PARTE 2: 2.2

REFLEXIÓN TEÓRICA

LA TEORÍA DE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA Yves Chevallard (1991) ha creado una teoría de la “transposición didáctica”. La transposición didáctica es la transformación del saber científico en un saber posible de ser enseñado, se interesa por establecer una relación entre el saber sabio de los matemáticos y el saber a enseñar y de ésta al saber enseñado.

La importancia de este concepto, reside en el quiebre de la ilusión de correspondencia entre el saber que se enseña y el conocimiento específico de la disciplina en el ámbito académico pues, el saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico al saber científico, y su legitimidad depende de la relación que éste establezca desde el punto intermedio en el que se encuentra respecto de los académicos y del saber banalizado de los padres.

El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico al saber científico. Una asignatura denominada “matemática” no es idéntica a la ciencia “matemática”

La “transposición didáctica”, intenta proporcionar un esquema teórico de estudio del proceso mediante el cual cierto conocimiento matemático, reconocido por la SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

65

sociedad de matemáticos; se transpone con el fin de llegar a ser enseñado, en un ambiente totalmente distinto: el ámbito escolar (generalmente); esto es, representa una conversión de un objeto del saber que se va a enseñar en un objeto de enseñanza. Para que un niño de los primeros grados de educación primaria desarrolle el pensamiento probabilístico, no se le debe enseñar el “cálculo de probabilidades” que conoce un matemático. Hay necesidad de hacer una transposición didáctica

Para hacer la enseñanza más fácil se tamizan ciertas nociones y propiedades, sacándolas de la red de actividades que le dieron, significado, motivación y uso

Es decir se adecuan al contexto de la clase. Se produce una distancia entre el saber a enseñar y el saber científico. La transformación de los conocimientos en su proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la descontextualización y finalmente una despersonalización.

OBJETO DE SABER

OBJETO A ENSEÑAR

OBJETO DE ENSEÑANZA El saber científico, tiene su historia, posee una epistemología. Para su transformación en un saber a enseñar, es necesario que el Profesor conozca el o los problemas que le dieron origen, el conjunto de conocimientos que se tenía en la época de su creación, el conjunto de dificultades que se tuvieron que vencer, los caminos que se evitaron, etc.


66

La construcción de un conocimiento, frecuentemente se encuentra contextualizada a la o las situaciones que le dieron origen, pero finalmente, el conocimiento científico que es aceptado por la comunidad de científicos, se encuentra descontextualizada, despersonalizada

Cuando Isaac Newton (1643-1727) comenzó sus trabajos, de lo que sería después el cálculo infinitesimal, él estaba interesado en resolver la “velocidad de cambio” o “fluxión” de magnitudes que varían de manera contínua o fluentes, tales como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, y logró resolver situaciones contextualizadas; sin embargo, cualquiera que estudia hoy un curso de Análisis Matemático, puede estudiarla sin hacer referencia a los problemas que le dieron origen. Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto grado de despersonalización, que constituye un requisito para la publicidad del saber. Se hace necesario, el análisis de la epistemología del conocimiento matemático de la matemática como saber sabio que pertenece a los investigadores a la matemática y su relación con la matemática que debe ser enseñada, ya que, evidentemente, son distintas. El conocimiento Matemático, puede presentarse de diferentes formas, pero para los matemáticos una de las formas clásicas es la presentación axiomática. Esta hace posible definir este objeto de estudio en términos de nociones introducidas previamente, permitiendo la organización de nuevos conocimientos en relación con los ya adquiridos. El conocimiento matemático provee al profesor y al alumno una manera de ordenar y acumular en un mínimo de tiempo, un máximo de conocimientos, próximos al conocimiento optimado, sin importar la sucesión de dificultades y preguntas que provocaron la aparición de otros conceptos fundamentales, se usa en el planteamiento de nuevos problemas, la inclusión de técnicas y preguntas que permitieron buenos resultados en otros sectores, el rechazo de puntos de vista que resultaron ser falsos y las discusiones en relación con ellos.


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Saber

Concepciones de la cultura, de la escuela, del saber

Epistemología del docente

Estudiante o

Profesor

Relación didáctica (Asimétrica)

El saber a enseñar, es distinto, no se trata de una adaptación, sino de una reinvención.

El saber, como objeto del conocimiento de la comunidad de científicos que es descontextualizada, ahora se vuelve a contextualizar con situaciones o problemas acorde al momento de enseñanza y tomando como base los conocimientos que tiene el alumno, algunas de la cuales no existían en la época en la que se elaboró el conocimiento sabio.

Las situaciones de aprendizaje pueden tener características muy originales. Se produce una epistemología del que aprende. El que aprende posee un conjunto de conocimientos distinto de los conocimientos que se tenía en la época de su creación, las dificultades que tienen que vencer, los caminos que se deben evitar, etc… son diferentes a las de los científicos.


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Uno de los temas que interesa a la transposición didáctica, es la cronología del saber a enseñar, evidentemente, que esta cronología tiene dos direcciones. El tiempo dedicado a la enseñanza, frecuentemente determinado por los documentos oficiales, tales como el DCN o el DCR, pero el tiempo de aprendizaje, casi nunca o nunca es considerado; pues, para el sistema didáctico clásico los alumnos se encuentran en grupos homogéneos (pese al psicologismo). Inicialmente, y porque el profesor es el que sabe más o porque ya sabe el saber a enseñar, determina el tiempo dedicado a la enseñanza a través del conjunto de actividades de aprendizajes, pero frecuentemente, esta cronología se destruye por el propio aprendizaje (los alumnos tienen dificultades y requieren más tiempo de lo previsto), en el mejor de los casos se reconstruye el tiempo, pero frecuentemente no se considera y se pasa al siguiente saber a enseñar (lo que sucede, es problema de los alumnos). Los cronogramas de exámenes, casi nunca consideran el tiempo de enseñanza ni de aprendizaje. Los profesores deben determinar el tiempo de enseñanza para hacer coincidir con el cronograma de exámenes, pero no se toma en cuenta la cronología de aprendizaje de los estudiante. Se tiene la ficción de isomorfismo entre el tiempo de enseñanza con el tiempo de aprendizaje. La relación tiempo de enseñanza con el tiempo de aprendizaje se denomina la cronogénesis del saber. Frecuentemente el tiempo de aprendizaje no coincide con el tiempo de enseñanza

Pero hay algo más: ¿se debe enseñar, por ejemplo, la sustracción de números naturales, de la misma manera a los estudiantes trabajadores que ya tienen experiencia con el manipulación del dinero y a los estudiantes citadinos sin tal experiencia?. La respuesta parece obvia, existe pues, también una topogénesis del saber. El aprendizaje es diferente según los lugares donde hay experiencia previa del saber.


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Este y otros temas, son objetos de investigación para edificar sólidamente la Didáctica de la Matemática, pues toda ciencia se edifica con la investigación, aunque lo recíproco no es cierto, pues se puede hacer investigación científica, pero el resultado no ser ciencia. Por esta razón, hay necesidad de que las Facultades de Educación peruanas, reorienten sus programas de investigación. Chevallard parte del análisis del sistema didáctico, que lo representa como una relación ternaria entre los docentes, los estudiantes y el saber (que se enseña)

Por otra parte el saber enseñado dentro del sistema didáctico, requiere la aprobación de la comunidad científica, pero también el de los padres que delegan en las instituciones la instrucción de sus hijos Así, alrededor del sistema didáctico aparece lo que el autor denomina noosfera y que representa una suerte de tamiz en el cual interactúa dicho sistema con el entorno social. La noosfera se encuentra representada por instituciones que representan a los distintos integrantes, y todas ellas tienen sus propias expectativas, cuando no sus propios caprichos. Las agrupaciones de docentes, algunos opinan desde el punto de vista profesional, otros lo hacen desde la perspectiva ideológica.

Las instituciones de Padres de Familia, generalmente, tienen expectativas distintas al sistema, por ejemplo, ingreso a las universidades (lo que provoca, que muchas veces la acción educativa se desvíe hacia la algoritmización, en lugar de la construcción del pensamiento matemático Por otra parte: Los productores del saber (Matemáticos asesores en el Ministerio de Educación), evidentemente, piensan desde el punto de vista de la estructura de la ciencia

Además, las autoridades educacionales y sus instancias de supervisión y control, están más interesados en el cumplimiento de las normas emitidas por el Ministerio de Educación y elaboración de los diseños de aprendizaje, que realmente en los


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procesos mismos del aprendizaje, no se toma en cuenta ni la cronogénesis ni la topogénesis. 2.3

La perspectiva antropológica Una profundización de la teoría de la transposición didáctica, al mismo Y. Chevallard le ha conducido a proponer una perspectiva antropológica. Como se afirmó anteriormente, la actividad matemática escolar no está aislada, sino que se integra dentro de las actividades matemáticas institucionales, los que ahora pasan a constituirse en el objeto primario de las investigaciones didácticas. Esta es la perspectiva antropológica, desde esta perspectiva la didáctica de la matemática sería el estudio de hombre -las sociedades humanas- aprendiendo y enseñando matemática.

Plantea que el objeto principal de estudio de la didáctica de la matemática está constituido por los diferentes tipos de sistemas didácticos -formados por los subsistemas: docentes, alumnos y saber enseñado- que existan actualmente o que puedan ser creados, por ejemplo, mediante la organización de un tipo especial de enseñanza. (Yves Chevallard, 1989) El problema central de la didáctica es para Chevallard el estudio de la relación institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos, considerando el conjunto

de

condicionantes

cognitivos,

culturales,

sociales,

inconscientes,

fisiológicos del alumno, que juegan o pueden jugar un papel en la formación de su relación personal con el objeto de saber en cuestión. Así pues, los enfoques clásicos se fundamentan científicamente en los aportes de la psicología, y con énfasis en dos actores del proceso enseñanza-aprendizaje, que responden al siguiente esquema:

ENSEÑANZA

APRENDIZAJE


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En este esquema está ausente el ¿qué se aprende? y el ¿cómo se aprende? Sin embargo todo profesor, sabe que el “aprendizaje” de los alumnos no es un resultado mecánico de la “enseñanza” del profesor, sino del conjunto de acciones que realizan tanto profesores como estudiantes cuando resuelven situaciones específicas que son parte de un conocimiento matemático determinado. No se puede hablar del proceso enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, sin preguntarnos, ¿qué es la matemática?, en qué consiste y para qué sirve hacer matemáticas. Sin embargo, estas preguntas no sólo deben referirse a las matemáticas escolares, sino en general, a toda la matemática que existe en la sociedad.

No se aprende ni se enseña en el vacío, se aprende y se enseña un determinado saber. Se aprende y se enseña matemática que existe en la sociedad. Se aprende y se enseña a grupos sociales y mediante múltiples acciones. Este conjunto de acciones que realizan los estudiantes y el profesor, Yves Chevallard, la ha denominado “el eslabón perdido” o estudio. En este enfoque, la enseñanza, ocupa el lugar de un subproceso del proceso de estudio, es decir:

ESTUDIO APRENDIZAJE ENSEÑANZA

El estudio es hoy el eslabón perdido entre una enseñanza que parece querer controlar todo el proceso didáctico y un aprendizaje cada vez más debilitado por la exigencia de que se produzca como una consecuencia inmediata, casi instantánea, de la enseñanza. “ La Didáctica de la Matemática como ciencia trata de restituir al estudio en el lugar que le corresponde: el corazón del proyecto educativo de nuestra sociedad. (…) Se propone considerar a la educación de manera más amplia como un proyecto de estudio cuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesor dirige el estudio, el alumno estudia.”


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Así, el estudio como conjunto de actividades que se realiza con la intención de apropiarse de un conocimiento ya establecido o en vías de constitución, se convierte en el eje central de la nueva Didáctica de la Matemática. El proceso del estudio está constituido por subprocesos, tales como: 

La tarea escolar



Toma de apuntes y su sistematización



Resolución de problemas, individual o grupalmente



Resolución de problemas reales del entorno



Ejercitación, individual o grupalmente,



Lectura, comentario y exposición de temas específicos,



Aplicación y transferencia de determinados conocimientos,



Investigación bibliográfica o investigación científica,



Enseñanza sistematizada,



Clase magistral por parte del profesor u otro especialista,



Participación en conferencias, etc.

Es en este marco, el que la tarea del estudiante toma sentido: Hay necesidad que el estudiante realice tareas de alta demanda cognitiva. Pues, las tareas de baja demanda cognitiva, tales como la ejercitación y los ejercicios y problemas tipo, que sólo reducen el tiempo de su ejecución sirven para reducir tiempos

en la

realización mecánica, pero que pueden obstaculizar la comprensión. Actualmente, la Didáctica de la Matemática se ocupa del proceso del estudio, pasando los procesos de enseñanza y aprendizaje a un segundo plano, pero no por ello de menor importancia. Además, cuando se habla de un saber matemático ya constituido o en vías de constitución, no sólo nos referimos a LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES o matemáticas que se encuentra en el DCN o en DCR, sino al PENSAMIENTO MATEMÁTICO que el estudiante necesita para el desenvolvimiento en el mundo social, del que es parte; por tanto, incluye la resolución de problemas reales que el entorno social plantea al que aprende.


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El alumno se comporta como un matemático, aprender matemática se convierte en hacer matemática, y la didáctica toma como objeto de estudio la epistemología del aprendizaje, hay que explicar la evolución del pensamiento matemático, sus dificultades y obstáculos, las simplificaciones, el paso del saber hacer a la reconstrucción lógica, la conversión de las acciones físicas en conocimiento matemático. Entonces, ¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se trata de hacer reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de involucrarlos en un proceso de producción matemática donde su actividad tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos que crean conceptos matemáticos nuevos. Hacer matemática no debería ser una actividad que permitiera a un pequeño número de elegidos por la naturaleza o por la cultura acceder a un mundo muy particular signado por la abstracción. Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar. No se trata de dar respuestas definitivas a estas cuestiones; por el contrario, cada uno de los argumentos o de las cuestiones que se abordaron abre una gran cantidad de nuevas preguntas, pero hay algo que es indiscutible y es que más allá de qué matemática se enseñe o se aprenda en la escuela, debe ser una matemática con sentido, que permita al alumno ingresar al universo matemático, no sólo conocer y aprender los conceptos fundamentales de este edificio, sino también conocer y practicar las actividades propias de esta ciencia, su forma de actuar, de obtener nuevos resultados, de validarlos..., y que fundamentalmente le permita involucrarse en el aprendizaje. Es probable, que muchas personas opinen que todos o casi todos los subprocesos descritos anteriormente ya se utilizan en la actualidad; sin embargo, conviene SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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resaltar, que en efecto, muchos de los denominados subproceso del proceso didáctico del estudio ya son parte de la práctica de los docentes; pero no con la importancia que considera la Didáctica Moderna. No se trata de trabajos complementarios que formalmente preparan los estudiantes. Se trata de considerarlas como las actividades centrales del aprendizaje, por tanto, hay que analizarlos, corregirlos, respetar y discutir las respuestas, orientar o reorientar hacia logros, etc., pues, en estos trabajo es donde se encuentran plasmados los errores y dificultades que los seres humanos comenten cuando se trata de aprender, y cuando ellos se superan se encuentra el sentido y significado de los aprendizajes. Las limitaciones de los enfoques anteriores se centran en el sentido y significado de lo que se aprende.

En los enfoques tradicionales, el sentido y significado de un aprendizaje se hace por sobredosis de ejercitación o aplicación de la teoría que se aprende o por la resolución de situaciones nuevas por transferencia.

En el enfoque de la Didáctica Moderna, el sentido y significado de un aprendizaje se adquiere cuando se pone en juego lo que se está aprendiendo para resolver situaciones problemáticas específicas, analizando los errores y las dificultades que cometemos cuando estamos aprendiendo, lo que conducen a los modelos teóricos que la sintetizan.

En el enfoque moderno: aprender, es otorgar sentido y significado a las construcciones cognitivas que realizamos y que se inician con las acciones de todo tipo cuando se resuelven situaciones problemáticas. Estudiar significa mucho más que resolver ejercicios del texto o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Sabemos que estudiar un concepto involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué.


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Como es sabido, cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos. No se estudia de la misma manera conceptos de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Naturales, y menos aún los conceptos de la Matemática. Estas formas específicas deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir, el estudiante no puede estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir el conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio del estudiante.

Estudiar matemáticas, supone, pues, resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.

En la actualidad los alumnos estudian de manera independiente y en muy escasos momentos –en general antes de un examen–. Las actividades de los estudiantes se restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor. Esta dependencia se ve fortalecida por otras cuestiones. En las clases de matemática no es común el uso de libros de referencia, con lo cual –en el momento de estudiar– los alumnos sólo disponen de los apuntes que tomaron en clase y de lo que el profesor explicó.

El aprendizaje no es la consecuencia inmediata de la enseñanza; no hay aprendizaje sin un trabajo personal del alumno, es decir sin estudio; contribuir a la organización del estudio del alumno debería ser parte del proyecto del profesor.

Chevallard, manifiesta que cuando se trata de resolver problemas como actividad matemática de aprendizaje, hay que distinguir por lo menos tres tipos de actividades distintas: 

Utilizar matemáticas conocidas: Consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que ya se posee. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

76



Aprender y enseñar matemáticas: Cuando se presenta un problema y nos faltan herramientas, la solución consiste en hacerse de esas herramientas, ya sea por nosotros mismos o recurriendo a alguien que conoce los instrumentos que nos falta.



Crear matemáticas nuevas: Se trata de resolver situaciones matemáticas o extra matemáticas para lo que es necesario crear nuevos modelos o imaginar nuevas utilizaciones para modelos antiguos.

PARTE 3:

HERRAMIENTAS PRÁCTICA

PARA

LA

NUEVA

ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN

En el 2013, el Profesor Alberto Aguilar de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos que propuse”, ante esta situación, el profesor debe decidir: retiro esos temas en los que no tuvimos éxitos deseados el año anterior. Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especializazión, le sugieren hacer una buena transposición didáctica de dichos temas. Si estarías en esta situación ¿Qué alternativa de solución darías?. ¿Por qué?

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

El Lic. Mario Carillo de la I.E. “27 de Mayo” - Quilcas reflexiona: “En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes, existen estudiantes

con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de aprendizajes en

resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, a quienes no los he atendido adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear como docente? Ayuda a Mario a solucionar el problema que se le ha presentado.

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN ¿Qué situaciones didácticas me permiten aproximarme a la visión antropológica de la didáctica? ¿Qué transposición didáctica debo hacer para que mi silabo refleje mejor “el saber a enseñar”? ¿Qué relación existe entre una transposición didáctica y el pensamiento variacional? ¿Qué relación existe entre la transposición didáctica y las tareas de alta demanda cognitiva?

2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele. DESDE LA PRÁCTICA

PARTE 1:

Lectura n m r

n

r m

Al efectuar los cálculos obtenemos:

=

Si hallamos el área del mismo trapecio sumando las áreas de los tres triángulos, obtenemos

=

+

+

=

Finalmente igualando A y simplificando se obtiene: conocido teorema de Pitágoras.

=

+

qie no es sino el


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Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Qué tipos conocimientos de base debe tener un estudiante para seguir la demostración del teorema de Pitágoras, siguiendo los pasos seguidos por J.A. Garfield? 2. ¿La demostración dada por J.A. Garfield, pertenece al álgebra o a la Geometría? 3. ¿Si este tipo de demostración. Consideras que es simple, entonces se puede concluir que existen niveles de comprensión en la geometría? 4. ¿Qué entiendes por deducción formal? 5. ¿Toda demostración tiene que ser formal? 6. ¿Qué entiendes por rigor en una demostración?

PARTE 2:

REFLEXIÓN TEÓRICA

La Teoría de van Hiele o Modelo de van Hiele o Niveles de van Hiele es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio holandés van Hiele. El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van HieleGeldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se desarrolla la teoría se conoce como Structure and Insight : A theory of mathematics education. La teoría propuesta por los esposos Van Hiele se ubica dentro de la concepción de currículo de la matemática y específicamente en la elaboración de un currículo abierto de la Geometría. El modelo está conformado por Niveles y por Fases

NIVELES: Ayudan a secuenciar los contenidos Currículo abierto de Geometría FASES: Organizan las actividades del aprendizaje


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La idea básica del modelo, expresado en forma sencilla se resume en lo siguiente:

El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de pensamiento. Según, este modelo, se requiere una adecuada instrucción para que los alumnos puedan pasar a través de los distintos niveles

Al contrario de lo que piensa J. Piaget, considera que estos niveles no están asociados con la edad, y concordando con J. Bruner, consideran que van asociados con cada aprendizaje, además cumplen con las siguientes características:

No se puede alcanzar el nivel n sin haber pasado por el nivel anterior n-1, o sea, el progreso de los alumnos a través de los niveles es secuencial.

Cada nivel tiene su lenguaje utilizado (símbolos lingüísticos) y su significatividad de los contenidos (conexión de estos símbolos dotándolas de significado.

Lo que es implícito en un nivel de pensamiento, en el nivel siguiente se vuelve explícito

Dos estudiantes con distinto nivel no pueden entenderse.

Estas características o propiedades del modelo de Van Hiele, se relacionan con los Niveles. Los niveles van Hiele son cinco, se suelen nombrar con números del 1 a 5, siendo esta notación la más utilizada; aunque también existe la notación del 0 al 4, que es la que utilizaremos en el presente texto.


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Ellos, en su serie de conferencias, manifestaban que al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia, permite promover al estudiante al nivel siguiente del que se encuentra. Los niveles, en notación que va del 0 al 4, se expresa de la manera siguiente:

Nivel 0 : Visualización o Reconocimiento

Nivel 1 : Análisis

Nivel 2 : Ordenación o clasificación

Nivel 4 : Rigor

Nivel 3 : Deducción Formal

A continuación, intentaremos hacer una descripción de cada nivel:

Nivel 0 : Visualización o reconocimiento En este nivel se perciben los componentes y propiedades; los objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades. Las descripciones son visuales y tendientes a asemejarlas con elementos familiares. Experimentando con las figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades. A pesar de la experimentación no se llegas todavía a clasificaciones. No se realizan definiciones Ejemplo: identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ángulos y triángulos en diferentes posiciones en imágenes. (Si se trata del teorema de Pitágoras, en este nivel, se juegan con triángulos rectángulos y no rectángulos y con varios tipos de cuadriláteros)

Nivel 1: Análisis


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De una manera informal pueden describir figuras por sus propiedades, pero no relacionar unas propiedades con otras figuras o unas figuras con otras. No pueden elaborar definiciones Experimentan con figuras u objetos y establecen nuevas propiedades, pero no pueden realizar clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.

Nivel 2: Ordenación y clasificación Se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través de sus propiedades (ya no solo visualmente). Señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben reunir. Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras. Realizan clasificaciones lógicas, se inicia el razonamiento matemático; se reconoce que algunas propiedades se derivan de otras, estableces consecuencias de esas relaciones. Pueden seguir demostraciones en presencia de los objetos, pero no asimilarlo en su integridad. Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un cuadrado tiene ángulos iguales, porque tiene lados iguales. (En el caso del teorema de Pitágoras: Experimentando pueden construir cuadrados sobre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo, y pueden experimentar con figuras recortadas o recortándolas, que el cuadrado grande sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos)

Nivel 3: Deducción formal En este nivel ya pueden efectuar deducciones y demostraciones lógicas y formales, estableciendo la necesidad de justificar las proposiciones planteadas.


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Se puede reestructurar una demostración experimental mediante la deducción a partir de proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se pueden realizar distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado. Se puede comprender un sistema axiomático Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos. Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales. (En el caso del Teorema de Pitágoras, se puede efectuar otra demostración, por ejemplo siguiendo el razonamiento de nuestra lectura inicial: Demostración del Presidente J.A. Garfield.) En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos. Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática Ejemplo: demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. En este nivel se ubicaría también, la demostración del teorema de Pitágoras, tal y como fue descrita en nuestra lectura inicial.

Nivel 4: Rigor Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar. Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento es válido. (En el caso del teorema de Pitágoras, se pueden efectuar la demostración mediante la propiedad de la media proporcional geométrica, o la demostración clásica atribuida a Pitágoras, y establecer equivalencias, clasificación de demostraciones, etc.) Frecuentemente se considera que el nivel 4 es inalcanzable para los estudiantes y muchas veces se prescinde de él, además, trabajos realizados señalan que los estudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. Es importante señalar que, un o una estudiante puede estar, según el contenido trabajado, en un nivel u otro distinto. Algo importante que señalar: Los niveles se encuentran “secuancializados”, es decir “jerarquizados; en otras palabras, los van Hiele considera que existe un orden inalterable SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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en los niveles. Y llegan a expresar que “lo que es inmplícito en un nivel se convierte en explícito en el siguiente nivel” Cambios de nivel. Fases del paso entre niveles Las fases pueden dar pistas de cómo se puede secuenciar los contenidos curriculares de la Geometría. Se trata, entonces, de la organización de las actividades dentro de una unidad didáctica Además de los niveles, que se refieren a la estructura de los contenidos geométricos de la instrucción, los Van Hiele propones una secuenciación en fases de la instrucción o proceso del desarrollo didáctico de los contenidos geométricos, y son los siguientes:

FASE 1 : Información

FASE 2 : Orientqación guiada o dirigida

FASE 3 : Explicitación

FASE 5 : Integración

FASE 4 : Orientación libre

FASE 1: Preguntas/Información Se trata de determinar, o acercarse lo más posible, a la situación real de los estudiantes. Esta fase tiene por objetivo conocer lo que los estudiantes ya conocen y qué desconocen para efectuar una adecuad secuenciación de aprendizaje. Esta fase, podría decirse que se encuentra íntimamente vinculado con la propuesta ausubeliana: “Si tuviera que reducir toda la Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el estudiante sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia”. Esta fase es oral, y mediante preguntas adecuadas se trata de establecer el punto de partida de los estudiantes. Hay que esperar que las respuestas pueden estar en un nivel concreto. FASE 2: Orientación guiada o dirigida SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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Esta es la fase en la que el tacto docente es de suma importancia. Se trata de organizar una serie de actividades concretas, secuenciados adecuadamente, para que los estudiantes experimenten, descubran, comprendan, asimilen, expliquen, etc., las ideas, conceptos, propiedades, relaciones, etc. Que se convertirán en el motivo y eje de la siguiente fase.. No se trata de divertirse con el uso de materiales o situaciones concretas, se trata de actividades que poseen una intencionalidad hacia la determinación de ideas y acciones fundamentales de base para la siguiente fase FASE 3: Explicación (Explicitación) Esta fase se puede favorecer mediante situaciones de comunicación, se trata de una fase de interacción, de intercambio de ideas y experiencias, entre estudiantes, en la que el rol del profesor se debe limitar a una intervención sólo cuando se trata de contenidos nuevos o no previstos. El buen profesor participa sólo para permitir el uso adecuado y correcto del lenguaje pertinente. Las representaciones semióticas diferenciales de los estudiantes deben homogenizarse conforme a lo requerido por la situación y en el nivel correspondiente. La interacción entre pares es importante, porque obliga a los propios estudiantes a ordenar sus ideas, y argumentar de modo comprensible para los demás. FASE 4: Orientación libre Es la fase direccionada a adquirir lo previsto, por tanto aparecen actividades más complejas orientadas a aplicar los esquemas mentales ganadas en las fases anteriores, tanto de los contenidos como del lenguaje necesario. Lo ideal son los problemas abiertos o las situaciones problemáticas igualmente abiertas, que, sin embargo, deben ser abordables de diferentes maneras o que puedan de varias respuestas igualmente valederas, de conformidad con la interpretación del enunciado. Estas tareas deben ser de alta demanda cognitiva con la finalidad de que se produzca una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje cada vez de mayor potencia. FASE 5: Integración Se trata de una fase, no en la que aparecen nuevos conceptos, sino que se sintetizan los que ya se han trabajado con anterioridad. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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Se trata de establecer una red interna de contenidos y procedimientos. Si hay necesidad de una acomodación o simplificación para mejorar lo ya aprendido, hay necesidad de una reorganización, que inclusive sustituya lo que ya se posee. Es en esta fase, que si hay necesidad de efectuar una recuperación con determinados estudiantes por algunos retrasos en la adquisición de los conocimientos, se organiza el aula para tal efecto. Por ejemplo, responsabilizando a los más destacados de otros grupos a efectuar las recuperaciones pertinentes.

PARTE 3:

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA


El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos geométricos que propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente, ¿qué debería hacer para mejorar mis sesiones de clases en el presente año? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?


Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y fases para desarrollar una unidad de geometría escolar. Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y fases para desarrollar una unidad de trigonometría escolar

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

Investigue si el modelo de van Hiele ¿puede considerarse una propuesta constructivista? ¿Por qué? SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

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¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la transposición didáctica? ¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las tareas de alta demanda cognitiva?

PARTE 3 o Herramientas para el aprendizaje con el modelo Van Hiele (papiroflexia, mapas mentales, uso de software, regla y compas).

2.5. Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele PARTE 1:

DESDE LA PRÁCTICA

Una hoja de papel A4 tiene la forma de un rectángulo de dimensiones 21 cm x 29,7 cm. ¿Sabías que esas medidas tienen algunas propiedades importantes?. Por ejemplo, si recortas un cuadrado de 21 cm x 21 cm, la diagonal de dicho cuadrado mide exactamente el otro lado del papel A4, es decir 29,7 cm. Si ahora divides el papel A4 en dos partes iguales por el lado más grande, la propiedad anterior se conserva. Si ahora recortas un nuevo cuadrado de lado 29,7 cm – 21 cm = 8,7 cm. El pedazo de papel restante forma otro rectángulo que tiene la misma proporción del A4. El proceso pude seguirse indefinidamente. Uniendo los cuadrados resultantes como en la figura y dibujando arcos en lugar de las diagonales, se obtiene la Espiral de Arquímedes.

Existen muchas propiedades geométricas que se pueden hacer doblando y cortando papeles.


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PARTE 2: 1.

REFLEXIÓN TEÓRICA

Rectas horizontales y verticales. Para construir dos rectas perpendiculares, consecuentemente ángulos rectos, usaremos la técnica del “doblado de papel”. (Algunos lo denominan papiroflexia). Podemos utilizar cualquier papel, por ejemplo un A4. Doblamos tal como indica la figura, y en segundo lugar volvemos a doblar el papel haciendo coincidir el lado doblado anteriormente. Si desdoblamos el papel, las huellas nos dan dos rectas perpendiculares. Si mantenemos si desdoblar, tenemos una escuadra, que se puede utilizar como medidor de ángulos rectos.

1. Explique, por qué, al doblar una hoja de papel usado, tal y cómo se sugiere en los gráficos, las líneas dibujadas en rojo, son líneas perpendiculares? 2. ¿Es verdad que dicho ángulo mide 90°? 2.

¿CÓMO CONSTRUIR UN JUEGO DE TANGRAMA? El Tangramao simplemente Tangram es un juego chino muy antiguo. El libro más antiguo conocido es el Ch’iCh’iaot’uho-pi que reúne 323 figuras, sin embargo el juego tiene una antigüedad mayor, se cree que data aproximadamente de unos 800 años antes de nuestra era. Se die que fue conocido con el nombre de Chi Chiao Pan, que significa “juego de los siete elementos” o “tabla de la sabiduría” Desde su aparición como rompecabezas o juego, el Tangrama ha sido objeto de numerosos estudios muy serios, así en 1942, Fu Traing Wang y ChuanChihHsiung, de la Universidad Nacional Chekiang, demostraron que sólo existen trece polígonos convexos que se puede construir con el Tangrama.


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El Tangram, el milenario juego chino, no es un juego competitivo, sino un juego individual o en grupo que estimula la imaginación y la fantasía creadora. Hoy el tangram no sólo se utiliza como entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de la enseñanza de la matemática, se utiliza para la introducción de conceptos de la geometría plana, y para desarrollar capacidades psicomotrices e intelectuales en los jóvenes estudiantes, pues, permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta con la formación de ideas abstractas. 1. Desde la construcción de nuestro tangram, ya hacemos uso de propiedades geométricas. Iniciamos haciendo un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una de sus diagonales y recortamos por la línea del doblez para obtener dos triángulos. ¿Qué fracción del cuadrado es cada triángulo?, ¿Qué clases de triángulos se han formado, por qué?

 2. Tomamos uno de los dos triángulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos por el vértice del

ángulo recto, de tal manera que éste quede dividido en dos

ángulos iguales, y que los lados de igual tamaño del triángulo queden uno sobrepuesto al otro, consecuentemente en dos partes iguales. Recortamos por el doblez y así obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos triángulos. ¿Qué fracción del cuadrado es cada nuevo triángulo?, ¿Qué clases de triángulos se han formado, por qué?




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3. Con el otro triángulo que quedó del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente: doblamos el vértice del ángulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto del triángulo, y que la línea que resulte del doblado sea paralela a ese lado. Recortamos por el doblez para obtener un triángulo –tercera pieza de nuestro tangram – y un trapecio. ¿Qué fracción del cuadrado es este triángulo?



4. Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vértices del lado menor, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor. Recortamos por el doblez para obtener otro triángulo –cuarta pieza de nuestro tangram– y un trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado es el nuevo triángulo?

 5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ángulos rectos, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor, y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un cuadrado – quinta pieza de nuestro tangram – y de nuevo un trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado grande es el cuadrado cortado?, ¿Qué fracción del cuadrado grande es el trapecio rectangular que queda?

 6. Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vértice del ángulo recto del lado mayor coincida con el vértice del ángulo obtuso del lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un triángulo y un paralelogramo – sexta y séptima piezas de nuestro tangram. ¿Qué fracción del cuadrado grande SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

90

es el paralelogramo cortado? ¿Qué fracción del cuadrado grande es el triángulo cortado?, ¿Es cierto que el paralelogramo tiene el doble de área que el triángulo?



Ahora ya tienes las siete piezas de un tangram clásico. Debes mezclarlos y comienza a construir figuras.

3.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ELEMENTALES DOBLANDO PAPEL 1. Línea que pasa por dos puntos: Se trata de conseguir que el doblez pase simultáneamente por dos puntos previamente marcados. No es un ejercicio fácil si la línea no tiene otra condición y no importa cuando sea necesario hacer trampa. Con un lápiz unir los dos puntos, repasar la línea con objeto agudo no cortante, y doblar por el segmento marcado. 2. Línea perpendicular a una dada: Doblamos el papel por la línea dada y hacemos un nuevo doblez que lleve dicha línea sobre ella misma. La superposición de cuatro ángulos que al desdoblar conforman un ángulo de 360º confirma el hecho de la perpendicularidad. 3. Línea paralela a una dada: Perpendicular a una perpendicular. 4. Línea paralela a una dada que pasa por un punto: La segunda perpendicular se hace pasar por el punto. 5. Mediatriz y punto medio de un segmento: Se hacen coincidir en el doblez los extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo teniéndose una perpendicular. 6. Figura simétrica (punto simétrico, línea simétrica) respecto de otra respecto de una línea: Se dobla el papel por la línea dada y la figura descansa sobre su simétrica. 7. Bisectriz de un ángulo: Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que forman el ángulo. (Tanto bisectrices como mediatrices son de fácil construcción).


91

4.

CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO DOBLANDO PAPEL A PARTIR DE UNA HOJA A 4 1. Doblando el papel A4 haciendo coincidir los lados mayores del rectángulo, traza la paralela media en el sentido largo del rectángulo.

2. Doblar el papel que lleva A sobre la paralela media, se obtiene el punto A’ sobre la paralela media y el punto C sobre uno de los lados del papel. El punto B se mantiene fijo

3. Doblar el papel hacia atrás prolongando el lado CA’. Tienes el triángulo equilátero BCF.

D

4. ¿Puedes justificar por qué?

C ¿Qué ángulo forma el segmento BA´ con el segmento CF ? ¿Por qué?. ¿Qué es BA´ en el triángulo CBF?. ¿Qué es A’ en el segmento CF. ¿Por qué? ¿Qué es el segmento BA’ en el triángulo CBF? ¿Es cierto, que el triángulo BCF es isósceles y de base CF? ¿Cómo son los ángulos: BFC y BCF? ¿Por qué? ¿Cómo es el ángulo CBF? ¿Por qué? Hemos obtenido un triángulo equilátero partiendo de una hoja de papel A4. ¿Hay algún problema si se intenta hacer sobre un papel rectangular cualquiera?


92

5.

CONSTRUCCIÓN DIRECTA DEL HEXÁGONO REGULAR A PARTIR DE UN RECTÁNGULO Para la construcción de un hexágono regular, partimos de una situación análoga a la anterior. Trazamos la paralela media en el sentido largo, como en el caso anterior; sin embargo, ahora necesitamos además dos nuevas paralelas medias intermedias, como en la figura.

Seguidamente se hacen los dobleces que se indican a continuación: Se doblan las esquinas como en el caso anterior, pero sólo hasta las paralelas intermedias. Con un lápiz se dibujan las prolongaciones de los segmentos resultantes de las dobleces, que deben intersecarse en la paralela media del papel. De ésta manera, se obtiene cinco de los vértices del hexágono regular. El sexto vértice, se obtiene de varias maneras: a) Doblando hacia adentro, para obtener una simetría por el punto de intersección en la paralela media. b) Doblando toda la figura por alguna de las diagonales (prolongaciones del paso anterior)

Desdoblando el papel, puede identificar el hexágono regular. ¿Puede justificar, por qué se dice que es un hexágono regular?


93

.

De nuevo, para que la figura esté completa hace falta que haya una relación de medidas entre los lados del rectángulo. ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos internos? ¿Por qué? Sí se sabe que se ha utilizado una hoja A4. ¿Cuánto mide cada lado del hexágono?

6.

TRIÁNGULOS ISÓSCELES INSCRITOS EN UNA HOJA RECTANGULAR COMPARTIENDO DOS VÉRTICES CONTIGUOS DEL RECTÁNGULO. EL TAMAÑO A4. 1.

Hay dos soluciones y ambas son fáciles. Justifica, ¿por qué, son triángulos isósceles?

7.

D

C

A

B

COMPROBACIÓN DOBLANDO PAPEL DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO. ÁREA DEL TRIÁNGULO. 1.

Recorta un triángulo cualquiera. Apóyalo sobre el lado más largo. Doblando traza una altura sobre ese lado. B a

c

A

h

T

b

C


94

2.

Doblando lleva B sobre T.

3.

A 4.

T-B

C

Llevar tanto A como C sobre T.

T-B-A-C 8.

TRAZADO DEL INCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIA DEL INCENTRO A LOS LADOS. 1.

Recorta un triángulo cualquiera.

2.

Traza doblando sus bisectrices (une de dos en dos los lados que forman los distintos ángulos). Observa que las tres líneas se cortan en un punto (tiene que salir bastante bien ya que el trazado de bisectrices doblando es fácil). Marca por las dos caras del papel ese punto y nómbralo con la letra I.

I recibe el

nombre de incentro del triángulo.


95

3.

Ahora

vamos

perpendiculares desde

a I

trazar

segmentos

a los lados. Hacemos

resbalar un lado sobre él mismo doblando el papel, aplastando sin marcar hasta que vemos aparecer en el doblez el punto I. Sin perder la guía del lado marcamos el doblez desde

I

hasta el lado.

Repetimos la operación en los otros lados.

Prueba que la distancia de I a los lados AB, AC y BC, son congruentes. ¿Cómo harías doblando papel?

9.

TRAZADO DEL CIRCUNCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIA A LOS VÉRTICES. 1.

Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus mediatrices doblando papel (haz coincidir de dos en dos sus vértices). Comprueba que las tres se cortan en un punto que notaremos con la letra F y que llamamos circuncentro.


96

2.

Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF. Prueba que la distancia de F a los vértices A, C y B, son congruentes. ¿Cómo harías doblando papel? De mayor ángulo en F debe ser el que se cierre abarcando a los otros dos.

3.

La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que son tanto miran al lado común bajo un ángulo de

………. Por

…….. y así M, N y P en esa

figura plegada están en una circunferencia de centro …………………… y radio …………………. 10. OCTÓGONO REGULAR Vamos a construir un octógono regular por duplicación del número de lados de un cuadrado o cuadrilátero regular. Este procedimiento puede generalizarse a algunos otros polígonos regulares, por duplicación del número de lados. Primero construimos un cuadrado, a partir de una hoja de papel A4. Llevamos un vértice hasta el lado largo del rectángulo, se obtiene la diagonal del cuadrado. Unimos los dos puntos y cortamos. Se tiene un cuadrado. Doblando

trazamos

los

cuatro ejes de simetría del cuadrado.

Una

vez

hecho

esto,

doblamos haciendo coincidir dos ejes consecutivos:


97

Sin desdoblar la figura, doblamos las cuatro

puntas

no

solapadas

y

desdoblamos habiendo obtenido un octógono regular:

La duplicación de lados es siempre posible tanto con compás como con plegado. 11. OTRA FORMA DE OBTENER UN HEXÁGONO REGULAR Construyamos un triángulo equilátero, como ya fue descrito antes. Ahora vamos a construir un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero, siguiendo el método anterior de duplicación, o más rápidamente localizando su centro (se puede hacer, siguiendo las pautas para hallar el incentro) y después doblando las puntas hacia él:

La figura resultante está formada por un hexágono equiláteros

regular de

y

igual

tres lado

triángulos que

el

hexágono.


98

12. CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR COMO NUDO. La forma más simple de hacer un pentágono regular es haciendo un nudo a partir de una tira o rectángulo bastante alargado.

Busca el o los argumentos para demostrar que el pentágono que se acaba de justificar que ajustando se obtiene realmente un pentágono regular veamos las dos de hallar, realmente es un pentágono regular. 13. CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO REGULAR A PARTIR DE UN CUADRADO

Sea

E

el

punto

medio

de

BC.

Tracemos

la

bisectriz

de

BEA.

Sea G en EA tal que EB = EG.


99

Tracemos la bisectriz de EAB y sea X en BA tal que AG = AX. Sea M el punto medio de BX y N su simétrico respecto a la mediatriz de BA. MN es el lado del pentágono regular que buscamos. Transportemos esa medida.

14. LA REGLA Y EL COMPÁS DE LA GEOMETRÍA CLÁSICA La regla y el compás de las construcciones geométricas elaborada por los griegos son idealizaciones de la regla y compas del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos. Por tanto, lo que se puede hacer con ellos son operaciones matemáticas, es decir: idealizaciones de las acciones físicas que se pueden hacer con un compás y una regla del mundo físico. En ese sentido, el compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar. Así mismo, la regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasiparalelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

100

manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra. Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Para estudiar la Geometría Clásica, los griegos, fieles a su tradición, sólo se limitaron al uso de la regla y del compás. 15. ALGUNAS CONSTRUCCIONES BÁSICAS:

15.1.

Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás

Paso

1:

Se

toma

el

compás y se traza desde los

extremos

misma

con

una

A

B

abertura,

A

B

obteniéndose dos puntos de corte como en la figura:

Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen. Luego la intersección entre el segmento inicial y la línea de unión de los puntos de corte será el punto medio buscado.

A

M

B


101

15.2.

Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás

Paso 1: Con una abertura arbitraria y a Vértice

partir del vértice del ángulo, se traza un arco con el compás y se marcan los puntos de corte.

Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y con la misma o con otra abertura trazar con el compás y marcar el punto de corte.

Vértice

W

P Bisectriz del ángulo Vértice

W

aso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de corte “W”, se obtiene la bisectriz del ángulo inicial.

15.3.

Construcción de ángulos rectos El procedimiento es similar para encontrar el punto medio. Al unir los puntos C con D, se obtiene, CD perpendicular a AB, y como consecuencia, cuatro ángulos rectos


102

15.4.

Construcción de rectas paralelas: Explique el procedimiento utilizado describiendo lo señalado en la figura adjunta.

15.5.

División de un segmento en n partes: Se trata de dividir el segmento WT en 5 partes iguales, por ejemplo. Se dibuja una recta que pasa por W, con el compás, se toma como unidad una longitud cualesquiera, por ejemplo WE1. Se mide 5 veces y se obtiene el punto F. Se construye la recta que pasa por F y T. Por cada punto del segmento WF medido con WE1 se traza una paralela a FT. De esta manera el segmento WT queda dividido en 5 partes. F

15.6.

Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener.

Su

construcción

es

muy

sencilla: Trazamos una circunferencia con centro en centro en

y radio

y otra con

y mismo radio. Esas

dos circunferencias se cortan en dos


103

puntos. Tomamos uno de ellos, digamos

. Trazando los segmentos

obtenemos el triángulo equilátero 15.7.

y

.

Polígono regular de 4 lados: Cuadrado La construcción del cuadrado también es sencilla: Trazamos una circunferencia con centro en y radio

. Esa circunferencia corta al eje

en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos

. Trazamos la recta paralela al eje

que pasa por que pasa por

y la recta paralela al eje . El punto de corte de las

mismas, digamos ,

15.8.

y

, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos

obtenemos nuestro cuadrado.

Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible: Trazamos la paralela al eje

que pasa por

, digamos . Se traza la mediatriz del segmento corte

obteniendo el punto

con

el

circunferencia

Con

centro

circunferencia

en radio

obteniendo el punto

de

.

centro

Trazamos y

digamos

. Obtenemos el punto

corte de

con la recta .

trazamos

de

eje

,

como

radio

la ,

como

la ,

de corte con el eje

. Trazamos ahora la circunferencia de centro

y radio

,

punto

al cortar con

. Obtenemos el y el punto

como corte con la mediatriz del segmento SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

104

. Para obtener el vértice que nos falta, punto simétrico a

, simplemente construimos el

respecto de la mediatriz del segmento

. Uniendo los

vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

15.9.

Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos: Con radio

trazamos circunferencias con centro

los puntos de corte, digamos

. Tomamos uno de

. Ese es el centro del hexágono. Trazamos

ahora la circunferencia de centro

y radio

. Obtenemos los puntos

como cortes con las circunferencias anteriores y Trazando la paralela al eje

y

que pasa por

y

como corte con el eje

.

obtenemos el último vértice S,

como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.

PARTE 3

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA


¿Las actividades geométricas más importantes que deben realizar los estudiantes se refieren a las actividades de familiarización con el uso de instrumentos, o la resolución de problemas de familiarización de las fórmulas? ¿Por qué? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?


¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol juega la papiroflexia?. ¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol desempeña las construcciones con regla y compás?.


105

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la papiroflexia? ¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las construcciones con regla y compás? ¿La papiroflexia se puede considerar una tarea de alta o baja demanda cognitiva?. ¿Por qué? ¿Las construcciones con regla y compás se puede considerar una tarea de alta o baja demanda cognitiva?. ¿Por qué? Averiguar, en qué consistía los denominados tres problemas clásicos de la geometría de los griegos.


106

III UNIDAD: MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS DEL ENTORNO, UTILIZANDO EL SOFTWUARE CABRI GEOMETRE

Presentación Estimado (a) docente participante en esta parte del texto podrá encontrar estrategias y /o métodos de presentar los fenómenos geométricos y trigonométricos, así, como también las situaciones geométrica y trigonométricas, análisis e interpretación de la información proporcionada, de manera creativa y reflexiva haciendo el análisis de la realidad y empleando la tecnología como un software, aplicando los recursos metodológicos elaborando estrategias didácticas, para la enseñanza.

ESQUEMA DE CONTENIDOS MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS DEL ENTORNO, UTILIZANDO EL SOFTWARE CABRI GEOMETRE

Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría

Fenómenos y situaciones Geométricas

Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría

Resolución de situaciones problemáticas según Polya - Guzmán.

Fenómenos y situaciones Trigonométricas SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

107

3.1 El uso de programas computacionales Es el empleo de programas computacionales como el software, que pueden estar o no estar en el computador o en diversas tecnologías vinculadas a internet. Permiten reforzar, completar o servir de material pedagógico, en el desarrollo de actividades educativas que potencien el aprender de modo entretenido y la estimulación del pensamiento en los niños El uso de un software en geometría como herramienta pedagógica facilita el ambiente de enseñanza y el aprendizaje, pues producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En matemática el factor imagen otorga un valor muy importante pues permite acercar el niño a los conceptos, los saca del plano abstracto para llevarlo a un plano natural, por medio de la animación de acuerdo a reglas o valores numéricos preestablecidos. En estos programas los conceptos geométricos se pueden examinar y analizar propiedades del espacio bi y tridimensional, así como las formas geométricas que se encuentran en ellos. De la misma manera, se pueden realizar transformaciones, traslaciones y reflexiones para analizar situaciones matemáticas, para presentar argumentos matemáticos acerca de las relaciones geométricas, además de utilizar la visualización, el razonamiento espacial y la modelación geométrica para resolver problemas. Es el empleo del programa computacional: Software Cabri Geomètre desarrollado por Yves Baulac, Franck Bellemain y Jean Marie Laborde del laboratorio de estructuras discretas y de didáctica LSD2 del instituto de Informática y Matemáticas aplicadas de Grenoble (Imag) Francia. El Cabri es un programa para geometría interactiva más utilizado en el mundo. Incluye geometría analítica, transformacional y euclidiana. Sus funciones abarcan la construcción de puntos, líneas, triángulos, polígonos, círculos y otros objetos geométricos básicos. El software seleccionado se consideró como un medio para desarrollar algunas actividades sobre cuadriláteros, para profundizar el estudio de las propiedades de estas figuras, a través de la construcción, medición y animación.


108

Software Cabri Geometry II

Cabri Geometry es un software de geometría interactiva producida por

los

franceses

Cabrilog empresa para la

enseñanza

y

el

aprendizaje

de

la

geometría

y

la

trigonometría. Fue diseñado facilidad

con de

uso

la en

mente. El programa permite al usuario animar figuras geométricas, lo que demuestra una ventaja significativa sobre los dibujados en una pizarra. Las relaciones entre los puntos de un objeto geométrico se pueden demostrar fácilmente, que puede ser útil en el proceso de aprendizaje. También hay gráficas y funciones de visualización que permiten la exploración de las conexiones entre la geometría y el álgebra. El programa se puede ejecutar en virtud de Windows.

Construye figuras geométricas tan fácilmente (o más) que si lo hicieras con un lápiz, regla y compás sobre una hoja de papel. Cabri II es un programa que permite "hacer geometría" tanto al estilo sintético como al estilo euclídeo. Permite experimentar, analizar situaciones geométricas de muy diverso tipo, permite comprobar resultados, inferir, refutar y también, aunque parezca mentira, demostrar. Este programa brinda una nueva dimensión a las construcciones ya que: 

Permite manipular libremente las figuras. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

109



Permite actualizar las construcciones en tiempo real.

Se pueden dibujar lugares geométricos y envolventes a familias de curvas. Permite realizar animaciones y construir gráficas de funciones asociadas a problemas geométricos lo que es muy interesante para familiarizar a los alumnos con el concepto de función y con el de gráfica de una función.

La ventana de Cabri Geometry II En la siguiente ilustración se muestra la ventana de Cabri Geometry II, que contiene los elementos esenciales del software Cabri Geometry II, Depues de la ilustración se ofrece la descripción de cada elemento. Nota: En la pantalla se ilustra la versión Macintosh. Las pantallas en los sistemas Windows y DOS son similares, pero no idénticas.

Elementos de la ventana Cabri Geometry II  Ventana de diseño: En esta región se generan las construcciones geométricas.  Barra de menús:

La barra de menús contiene los menús comunes del

interface gráfico de usuarios para la gestión y edición de archivos, así como las opciones de Cabri Geometry II.  Barra de herramientas:

La barra de herramientas contiene las herramientas

que permiten generar construcciones. En esta barra hay once cuadros de SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

110

herramientas (ver en la siguiente ilustración). Para acceder a un cuadro de herramientas, mantenga pulsado el botón del ratón sobre el icono. Se mostraran los elementos del cuadro de herramientas.

 Iconos distribuidos: Los iconos distribuidos sólo aparecen cuando se elige la orden Mostrar atributos del menú. Estos iconos permiten modificar el aspecto de los objetos. Puede crear una paleta de atributos (menú desplegable) arrastrando un icono desde los iconos de atributos a la ventana de diseño.  Icono ayuda A: Haga clic en el icono de ayuda A para crear una ventana de ayuda en la parte inferior de la pantalla, donde podrá ver útiles mensajes de ayuda para cada orden. Haga clic de nuevo en A para suprimir la ventana ayuda.  Opción de menús ayuda: Puede hacer clic en la opción menú Ayuda y seleccionar Ayuda o bien pulsar la tecla F1 para activar y desactivar la ventana ayuda.  Puntero

de

selección:

El

puntero

de

selección es la herramienta principal para seleccionar menús y generar construcciones. La forma del puntero cambia según la operación y el lugar actuales.  Cuadro de cierre:

El cuadro de cierre la

ventana y crea un cuadro de dialogo que le permite guardar el trabajo si no lo ha hecho ya. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

111

 Cuadro de zoom: El cuadro de zoom alterna el tamaño de la ventana entre el tamaño actual y la pantalla completa.  Cuadro de tamaño: Arrastre el cuadro de tamaño a una nueva posición redimensionar la ventana de diseño.  Barras de desplazamiento: Haga clic en las barras de desplazamiento o en las flechas de desplazamiento mover el contenido de la ventana de diseño vertical u horizontalmente.

3.2 Situaciones problemáticas de Geometría Cuando un área como la geometría tiene un prestigio de miles de años, cabe hacer un recorrido a través del tiempo, para reconocer su importancia en el desarrollo de la humanidad. Para los egipcios, fue práctica y utilitaria, pues medían los terrenos después que eran inundados por las crecidas del río Nilo y, para ello, utilizaban el método de la triangulación. Podemos encontrar, en esta cultura, la culminación de una geometría aplicada, tanto ligada a la resolución de problemas cotidianos como también a la creación artística. Según Proclo, Thales fue el primero que después de haber estado en Egipto lleva esta disciplina a Grecia. Junto a las escuelas de aquella época (Alejandría, Pitagórica y otras), como también nombres célebres como Apolonio, Eudoxio, Euclídes transforman la geometría en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo, la que emplea nociones comunes, postulados, axiomas, teoremas que otorgan una categoría de rango universal; por lo tanto, surge como la primera ciencia que construye el hombre en la antigua Grecia. Los griegos la consideraban como una ciencia formativa que le ayudaba al hombre a razonar; no la estudiaban SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

112

con fines prácticos, sino como desarrollo de la mente humana. Platón decía “Dios mismo geometriza” Seguramente, esta afirmación significaba que el universo estaba regido por formas y números. La proporción que se obtiene del rectángulo dorado, llamado también el número de oro, se utilizó como símbolo de belleza desde los griegos hasta el renacimiento. La aplicación de la proporción dorada o de la estrella pitagórica, plantea en las grandes obras un nuevo significado de perfección de belleza. En el siglo XVI, es el gran desarrollo de las nuevas geometrías: la proyectiva y la descriptiva son términos con un nombre de origen común en las técnicas perspectivas que la gran obra de Euclídes los “Elementos” había obviado. La descriptiva puso el énfasis en la resolución gráfica, la Proyectiva en los modelos en perspectiva. La nueva geometría que surgirá al servicio de las construcciones y de las fortificaciones, necesitará de cálculos exactos y encontrará su respuesta en la Geometría Analítica de Descartes (Alsina y otros 1989). Las culturas orientales y precolombinas desarrollaron hermosos tallados o pinturas en piedras, metales, telas basados en las transformaciones que realizaban de figuras geométricas a través de traslaciones, rotaciones o simetría (Perero, 1994) La idea de que la geometría es una ciencia que enseña a medir este conocimiento, también, se encontraba presente en la península de Yucatán, territorio de la cultura Maya. La serpiente emplumada y las fases de la luna son el punto de partida de esta ciencia pues surgen el círculo, el cuadrado, el pentágono y las relaciones del número de oro pitagórico. Este animal posee las formas geométricas antes descritas y también un patrón perfecto que en la geometría todo lo rige (base 20). La geometría se desarrolló y floreció de acuerdo a estas formas, y cayó para nunca levantarse, cuando desapareció el modelo crotálico por la conquista española que erradicó sus usos y sus costumbres (Díaz Bolio, 1995) Con el nacimiento de la matemática moderna, la geometría deja de ser importante frente a la Teoría de Conjuntos. A partir de 1960, comienza a verse un importante avance en esta, teoría, en toda Latinoamérica y, finalmente, se encuentra que a mediados de los 70; la Teoría de Conjuntos, como base de toda la matemática no estaba permitiendo a los niños desarrollar competencias intelectuales, comenzando con ello las primeras críticas. Los niños habían perdido capacidades concretas de, SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

113

modelización, de interpretación, de visualización. Por lo tanto, a principios de los 80, en Europa se comienza a dar lugar, al estudio del Espacio y de la Geometría. La geometría no ha logrado aún recuperar el lugar que le corresponde. Es un proceso de transformación lento, de formación y capacitación para los nuevos docentes, que son productos de un modelo diferente de enseñar (Gil Pérez, 1998). En Chile, al igual que en otros

países,

comienzan

a

se

efectuar

cambios importantes en la educación pues las demandas

al

sistema

escolar son el desarrollo de

nuevas

competencias, necesarias sociedad

para de

una la

comunicación e información globalizada. Es así que, en el año 1999, se forma la Comisión de Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación que se propone doce iniciativas y entre ellas está la de: Consolidar el Proyecto Enlaces y proyectarlo a una Segunda Fase que incluya todos los establecimientos educacionales del país, robusteciendo la formación de profesores y el desarrollo de contenidos. El uso de tecnologías de la información y la comunicación en la Educación se sustenta en la afirmación de que los recursos informáticos constituyen un apoyo significativo en el proceso enseñanza-aprendizaje, comparados con otros medios, debido a que presentan, además de texto y dibujos, animaciones, video y sonido, permitiendo la interacción, la reorganización y búsqueda de un extenso contenido de información, la descentralización de la información y la retroalimentación del usuario; lo que hace que el estudiante responda de manera más efectiva y desarrolle diferentes habilidades, destrezas y aprendizajes por la variedad de estímulos que se le presentan. Junto con las Políticas Educacionales que promueven el uso y la implementación de recursos informáticos, es necesario que, hoy, el docente sea una persona que esté SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

114

preparado para promover el cambio educativo que responda a los requerimientos de la sociedad. Además durante el año 2000 el Ministerio de Educación llama a propuestas a diversas instituciones para mejorar los rendimientos en Matemáticas y Lenguaje. Ejemplos de problemas de la vida cotidiana yen Geometría Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. ¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?

Martín

necesita

medir

el

ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medir el ancho del río?

Para resolver su problema, Martín hace lo siguiente: 1. Identifica un punto determinado al otro lado del río, en donde quiere medir el ancho del río, por ejemplo el árbol (Punto A).


115

2. Del punto identificado (el árbol), traza una línea imaginaria sobre la longitud que quiere medir. Ésta debe ser perpendicular al cauce del río para que la medida que obtenga sea la adecuada (Punto B). 3. Se desplaza a uno de los lados del punto de observación, también de manera perpendicular, a una distancia considerable (Punto C). 4. De ahí camina de manera perpendicular al cauce, alejándose del río para establecer un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 3 m.

5. Martín, desde el punto de observación 2, ve hacia el punto de referencia al otro lado del río y pide ayuda para que por donde pasa la línea imaginaria que resulta al mirar el punto de referencia desde el punto D, se ponga una marca (Punto E). Ahora

Martín

tiene

dos

triángulos semejantes, como se muestra en el siguiente croquis: Si observa el croquis, se dará cuenta que los triángulos ABE y ECD son semejantes por lo que se puede plantear que:


116

3.3 LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA COTIDIANA PARTE 1:

DESDE LA PRÁCTICA

El puente del alamillo Es una de las construcciones realizadas en Sevilla con motivo de la exposición universal de 1992. Diseñado y construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava. El puente tiene figura de arpa y un solo brazo soporta todo su peso. Tiene 140 m de altura con una inclinación de 58°, del que parte una pareja de tirantes que lo sujetan (de 300 m de longitud, los mas largos del mundo) y salva una luz de 200 m. Para su construcción se empleó una de las mayores grúas de tierra del mundo, capaz de elevar 200 Tm a 150 m de altura. El proyecto inicial fue realizar un puente igual que mirase en sentido contrario, en el otro margen del rio; pero por motivos de presupuesto solo alcanzo para uno. El ojo de la cabeza de caballo sirve como mirador.

¿Qué distancia hay entre el pie de la altura y el otro extremo del puente? ¿Qué longitud tiene el puente (la base)?


117

REFLEXIÓN TEÓRICA

PARTE 2:

Las matemáticas

no solo se usan para sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Si no

también su aplicación y el uso es en diversas actividades de la vida diaria ya sea directa o indirectamente. En este caso se tratará el uso de la trigonometría en la vida diaria pero primero; ¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. La trigonometría a aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. la trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

118

distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera. Esto sería una aplicación en el desarrollo tecnológico. Una aplicación o un aporte de la trigonometría en el desarrollo científico serían en la elaboración de métodos numéricos por parte de matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se pueda trabajar con los métodos convencionales. Otro aporte en el plano científico podría ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos parámetros trigonométricos. ¿Es la trigonometría una ciencia con pasado y futuro? Si ya que la trigonometría la hemos utilizado y la vamos a utilizar cada vez más porque es una herramienta que nos sirve para la diferentes carreras de ingeniera o simplemente para la vida diaria. En conclusión, la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual no solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo piensa, sino también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de peralte en una carretera; la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver problemas de la vida diaria y como ya saben también se utiliza mucho en la ingeniería; ve a tu alrededor y veras siempre una figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de fuerzas, etc. Y en general la trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria y en algún momento de tu vida vas a poder ver esta materia en tu vida cotidiana ya sea directa o indirectamente. Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los triángulos. Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación, ingeniería, topografía, la geografía y muchos otros campos. Precisamente, la trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de triángulos, círculos, ondas y oscilaciones. Trigonometría y Arquitectura No se puede separar la arquitectura de la trigonometría, que es fundamental para curvar las superficies de los materiales de construcción, como el acero y el vidrio. La ciencia se utiliza para encontrar las alturas de los edificios, o crear objetos tridimensionales a utilizar en los edificios. La trigonometría se utiliza para hacer las demarcaciones de cubículos en SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

119

un edificio de oficinas. Es útil en el diseño de un edificio para predeterminar los patrones geométricos y la cantidad de material y mano de obra necesaria para erigir una estructura. Cuando el edificio se erige, no sólo será fuerte, tendrá mediciones precisas. Imagen Digital La misma ciencia se utiliza en la industria de la música. El sonido viaja en ondas que se utilizan en el desarrollo de la música generada por el ordenador. Un equipo no va a entender la música como un ser humano, sino que la representa matemáticamente por las ondas sonoras que la constituyen. Precisamente, los ingenieros de sonido que trabajan en la promoción de música computarizada y de alta tecnología, tienen que aplicar la ley fundamental de la trigonometría: la función del seno y coseno. Los patrones de las ondas musicales no son tan regulares como la función del seno y coseno, pero aún es útil para el desarrollo de música computarizada. Navegación, Geografía y Astronomía La triangulación, que es una aplicación de la trigonometría, es utilizada por los astrónomos para calcular la distancia a las estrellas cercanas. En geografía, se utiliza para medir la distancia entre puntos de referencia. También se utiliza en los sistemas de navegación por satélite. Por ejemplo, un piloto que despega del aeropuerto JFK de Nueva York, tiene que saber en qué ángulo despegar y cuándo dar vuelta a un cierto ángulo en el cielo con el fin de alcanzar el aeropuerto de Heathrow en Londres. Ejemplos en la vida diaria de trigonometría 1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas. Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º. 2) Convertir medidas de grados a radianes. Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes 3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas. Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10 horas y es el día 355. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

120

4) El puente de la Barqueta El puente de la barqueta cuyo verdadero nombre es puente Mapfre, al ser la entidad que lo financió, fue construido entre 1989 y 1992, como acceso al recinto de la exposición universal. Fue diseñado por los ingenieros, Juan J. Arenas y Marcos J. Pantaleón como un puente colgante, cuenta con un solo ojo apoyado de orilla a orilla, su único arco es de acero atirantado por el propio tablero, mide 214 m, salvando una luz libre de 168 m sin apoyos intermedios y con un ancho de 21,40 m. Fue construido en tierra y girado hasta su emplazamiento. En su montaje definitivo uno de los extremos se desenganchó y volvió al rio. Si el diámetro de la circunferencia a la que pertenece el arco fuera de 270 m, ¿Cuánto medirá dicho arco?


121

3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA

“En la mayor parte de las ciencias una generación derriba lo que otra había construido, y lo que uno parecía haber demostrado firmemente otro lo deshace. Sólo en las matemáticas cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura" (Hermann Hankel). A partir del texto,

¿Qué opinión le merece? ¿Conoce usted la evolución histórica de la Geometría? ¿A qué se debe según usted la evolución de la Geometría? ¿Sabe usted de qué trata la Geometría Afín?


122

Situación problemática 1. En un viaje a Egipto no podemos perdernos la visita a sus pirámides. Observa cómo puede medirse la altura de una pirámide. Si colocamos un palo y medimos su sombra, como podemos medir la sombra de la pirámide, basta con relacionar los triángulos rectángulos por semejanza.

¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos se puede construir una pirámide?

En la situación problemática identifique el contenido, el contexto y el nivel según PISA.


123

2. Un aserrador estima la altura de un árbol alto midiendo primero un árbol pequeño alejado 125 pies del árbol alto; luego se desplaza de tal manera que sus ojos estén en la visual de las copas de los árboles y mide después que tan lejos está en árbol pequeño (véase la figura). Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de altura, el hombre está a 25 pies del árbol pequeño y sus ojos están a 5 pies por arriba del suelo. ¿Cuánto mide el árbol más alto?

Esta parte del módulo se ha elaborado con la finalidad de manejar un lenguaje matemático-gráfico que permita al participante identificar las leyes y principios necesarios para resolver un problema de su entorno relacionado con la geometría. Aprendizaje esperado: Diseñar estrategias didácticas para:



Enseñar el manejo de elementos geométricos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales básicos de acuerdo con sus propiedades.


124

PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA 3.4.1 Tarea

La

praxeología

encuentra

la Teoría Antropológica

en

de

lo

Didáctico la noción solidaria de esquemas

de

conductas

que

singularizas modos propios de actuar

conforme

a

las instituciones sociales que se dedican

a

la

actividad

escolar matemática. Por lo tanto, La

tarea

es

una

solicitud

institucional de acción puntual y particular en la dimensión del verbo y adverbio frente una secuencia de eventos; concretamente, el género de la tarea no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas cuyo contenido está estrechamente especificado. Por ejemplo, demandar a los estudiante de un curso geometría a calcular, la acción tendría un significado incompleto y estaría carente de sentido, ¿Qué se calcula?¿El cálculo está referido a cuál objeto? Muy distinto sería, Calcular el valor asociado de la siguiente función

( )

= (50 − ) si el largo de la base es 10 m, este hecho

es una acción puntual y particular asociada al verbo calcular, lo cual supone

un objeto relativamente preciso. Se trata de una puesta en práctica especialmente

simple

del

principio

antropológico

basado

en

un comportamiento social evocado por la acción cultural compartida en un mismo nivel de frecuencia interpretativa por las partes involucradas (profesorestudiante). Las tareas no son datos de la naturaleza ni tampoco maniobras divinas, son ajustes adaptativos de construcciones institucionales que diseña el profesor con el objeto de provocar en sus estudiantes el dinamismo de haciendo y aprendiendo el saber matemático.


125

La puesta en práctica de la tarea representa la forma estática de la praxeología, la cuestión dinámica y la razón de su génesis requiere una manera de realizar las tareas, determinada por una manera de hacer. Chevallard (1989) denomina el saber hacer una tarea en técnica, el autor sospecha,

que

la

técnica

define

la competencia matemática

cuya

caracterización se ubica en: 1) Tener el compromiso por solucionar la tarea, esto es, estar sensibilizado por el problema y asumir la responsabilidad por resolverlo. 2) Contar con los medios y recursos tanto cognitivo como instrumentales en matemática para llevar a cabo la terea. El componente que contiene a la Tarea (T) y su técnica (t), dibuja una forma de praxeología relativa (T, t) denominada bloque práctico-técnico con el objeto de dar significado a la práctica de la actividad escolar matemática y que identificará genéricamente con lo que se llama un saber hacer tareas. El saber hacer tarea debe estar precedido de los medios y recursos para encarar dicha situación de reto, el saber. Serán las combinaciones inteligibles de los dispositivos cognitivos de origen antropológico e instrumentales de origen cultural, quienes estructuran el bloque de tecnologías (?) y teorías matemáticas (T). El bloque de tecnologías y teorías (?,T) es el saber en la Estructura Matemática, una ciencia de formalizaciones de un conjuntos de leyes descubierta

en

un carácter deductivo

el de

seno

de

su

misma

implicación lógica finita

estructura y

sin

mediante

contradicción,

subordinados a los sistemas de transformación que desembocan dentro de su frontera, Angulo (2002). Pues bien, la tecnología es un discurso formal interpretativo y justificativo que nace en la Estructura Matemática en su naturaleza clasificatoria como algoritmo o como elemento de una clase; al respecto Negel (1979) afirma: Los sistemas formales

que

constituyen

los matemáticos pertenecen

al grupo denominado matemática; la descripción, discusión y teorización que se realiza en torno a los sistemas pertenecen a un grupo que lleva el epígrafe de metamatemática.


126

En palabras de Chevallard (1989) tenemos "El bloque tecnológico-teórico no es más que la conclusión de un discurso más amplio, que lo justifica o, como se dice en matemática, que lo demuestra". Gascón (1998) sostiene que "Llamaremos teoría asociadas a una técnica a la tecnología de sus tecnología, esto es un discurso suficientemente amplio como para justificar e interpretar la tecnología de dicha técnica". Entonces, el bloque de tecnologíateorías (?,T) lo constituye la matemática y la metamatemática manipuladas por las instituciones, con ello se consuma, según la metáfora de esta posición, la praxeología completa (T,t,?,T) la cual surge como respuesta a la matemática institucionalizada que organiza la actividad escolar en: prácticas matemáticas que consta en tareas-técnicas (T,t,) utilizadas para llevar a cabo el trabajo escolar, y el discurso razonado sobre dichas prácticas que está constituido en dos niveles el de las tecnologías y el de la teoría (?,T). 3.4.2 Situación problemática Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo matemático. Consideraciones para el diseño de la situación problemática Estar frente a una situación problemática significa encontrarse en estado de desequilibrio. Cada problema, teórico o práctico, pone de manifiesto la existencia de una laguna o de una perturbación. Resolver la situación problemática es lograr un nuevo estado de equilibrio "...La solución de problemas de modo organizado; resolución que se apoya en un programa lógico

de

operaciones

relacionadas entre si" (Luria, A.R. y L. S. Tsvetkova la


127

resolución de problemas y sus trastornos pág. 9), es una de las formas como definen Luria y Tsvetkova (1981) la actividad intelectual. Dentro de la actividad intelectual se dan una serie de fases o procesos, empezando por una pregunta específica sin respuesta inmediata, esta pregunta orientada será luego el problema a resolver. La producción del hombre, partiendo de los datos suministrados en el problema, confronta la información y selecciona las operaciones que conducen a las respuestas frente a los espacios de interrogación. Criterios para diseñar una situación problema La definición anterior pretende acogerse

a

los

siguientes

criterios: La enseñanza y el aprendizaje de

las

ciencias

matemáticas dentro

de

y

deben una

las ocurrir

concepción

constructivista del conocimiento, esto es, el sujeto posee una competencia cognoscitiva para asimilar los problemas y situaciones que se le presentan. Si aparecen obstáculos para la asimilación, el sujeto deberá modificar sus esquemas, reconstruyéndolos o acomodándolos, de modo qu e el desequilibrio creado desaparezca y se constituya un nuevo equilibrio. Los constructos científicos exigen, para ser interiorizados significativamente, de las capacidades de generalización y abstracción, a su vez vinculadas con la capacidad de reconocer semejanzas "olvidando" diferencias, y de reconocer diferencias en presencia de semejanzas. Las interacciones entre el estudiante, el objeto a conocer y el docente deben ser fuertemente participativas. El estudiante, deseando conocer por él mismo, anticipando respuestas, aplicando esquemas de solución, verificando procesos, confrontando resultados, buscando alternativas, planteando otros interrogantes. El docente, integrando significativamente el objeto de estudio según los significados posibles para los estudiantes; respetando estados SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

128

cognoscitivos, lingüísticos y culturales; acompañando oportunamente las respuestas y las inquietudes y; sobre todo, planteando nuevas preguntas que le permitan al estudiante descubrir contradicciones en sus respuestas equivocadas, o "abrirse" a otros interrogantes. En cuanto al objeto de conocimiento, este no debe asumirse como un producto terminado, siempre debería ofrecer posibilidades de profundización y ampliación. En diferentes momentos del aprendizaje, el objeto poseerá diferentes significados, de acuerdo a los logros de los estudiantes para comprenderlo en variados sistemas teóricos, los que a su vez permitirán reconocerlo en distintos sistemas de aplicación. Los contenidos temáticos deben organizarse coherentemente alrededor de objetos de conocimiento que potencialicen y faciliten variabilidad y riqueza de preguntas y problemas. La situación problema debe fomentar la movilización de habilidades básicas, tanto del pensamiento científico como matemático. En cuanto al primero, son generalmente reconocidas las habilidades para observar e interrogar los fenómenos, además de sistematizarlos, estructurarlos y explicarlos. En cuanto al segundo, la comprensión significativa de los conceptos, la ejercitación de algoritmos y la resolución de problemas parecen dar cuenta de lo esencial en cuanto a la habilidad matemática. Referentes para el diseño de las situaciones problema De

acuerdo

con

nuestra

interpretación de la orientación constructivista, diseño

de

abordaremos

el

estrategias

de

las

intervención pedagógica hacia el acompañamiento

para

el

aprendizaje de las cienc ias y la matemática,

de

acuerdo

al

siguiente orden: 

La selección de un motivo o problema inicial. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

129



La organización básica de los contenidos temáticos que el motivo permite trabajar.



La estructuración previa de niveles de conceptualización.



La selección de actividades y preguntas fundamentales.



La escogencia de los medios y los mediadores.



Las posibilidades de motivación hacia otros aprendizajes.



La evaluación de los procesos de aprendizaje detectables en la situación problema.



La selección de los contenidos temáticos

Los contenidos temáticos, que se tratan en un currículo, poseen tres espacios posibles de referencia: El saber universal o saber formal aceptado por cada sector de la cultura, el saber particular requerido para una situación específica y el saber por intereses individuales. El referente universal. En él se encuentran las respuestas a los objetos de estudio, sus orígenes, los métodos para sustituir o crear conceptos, sus aplicaciones y las relaciones con otros objetos. Puesto que es imposible dar cuenta de todo lo que es importante en una área del conocimiento, es necesario recurrir a la opinión de las comunidades académicas para seleccionar, a través de ellas, los contenidos básicos de la enseñanza; afortunadamente existen suficientes y variadas propuestas para elegir con gran probabilidad de acierto. El problema aparece, generalmente, cuando se trata de precisar el significado, la profundidad y el sentido de los conceptos que se van a trabajar en la escuela. No es adecuado presentar los conceptos, tal y como están dados en los saberes formales, ellos requieren ser reconceptualizados para que se ajusten a las condiciones cognitivas y socio-culturales de los estudiantes. Se constituye, entonces, en una tarea ineludible del educador, el trabajo de reconceptualización en los contextos particulares y específicos. Las categorías epistemológicas son de gran ayuda para efectuar este proceso. Así, por ejemplo, si pensamos que en cualquier área de acción SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

130

pedagógica se pueden señalar cinco espacios de reflexión: el sistémico, el de validación, el estructural, el de aplicación y el de explicación, el currículo deberá orientar los contenidos temáticos hacia la comprensión de estos espacios. En el espacio sistémico se dará cuenta de los objetos, las operaciones y las relaciones; en el espacio de validación se tratarán los métodos para aceptar o rechazar proposiciones y teorías; en el espacio estructural se analizarán las propiedades generales comunes a varios sistemas; en el espacio de aplicación se recurrirá a las prácticas y solución de problemas, y en el espacio explicativo se analizarán los significados que tienen las estructuras desde una o varias teorías más generales. El referente particular. Para que la educación tenga sentido social es necesario abordar temáticas de interés nacional y regional; de este modo los estudiantes adquieren elementos básicos para la participación ciudadana y para hacer uso de los medios que les ofrece su entorno político y sociocultural. Una estrategia que ha tenido gran éxito para incorporar estos elementos en el currículo, consiste en diseñar situaciones problemáticas que motiven el estudio de los temas requeridos. Situaciones que se refieran a la economía, el medio ambiente, la política, la vida ciudadana y, en general, a una mejor calidad de vida. El referente individual. Las actitudes y aptitudes de los estudiantes deben ser reconocidas y promovidas por el currículo. Por lo tanto, los educadores deberán disponer de una variada y buena oferta de orientaciones, guías y talleres para que los estudiantes puedan, no sólo ajustarse a sus limitaciones y posibilidades, sino también ampliar y profundizar en sus conocimientos y habilidades.


131

PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN: En el año 2013, el Profesor Hugo de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no se abordaron los temas desde situaciones problemicas por lo que los estudiantes no estaban motivados en clase y no se lograron aprendizajes de calidad. Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especialización, le sugieren hacer sus clases desde situaciones problemicas. Si estarías en esta situación ¿Qué decisión tomarias?. ¿Por qué? ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN: El Lic. Miguel Rojas de la I.E. “9 de julio” reflexiona: “En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes, existen estudiantes con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de aprendizajes en

el tema de ángulos, a quienes no los he

atendido

adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear como docente? Ayuda a Miguel a solucionar el problema que se le ha presentado ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN: ¿Identifique y mencione situaciones problemicas para la enseñanza de volumen de sólidos geométricos? Diseñe una sesión de aprendizaje en geometría para el tema de área de un trapecio partiendo de una situación problemica en los tres escenarios de aprendizaje.


132

¿Qué relación existe entre la resolución de situaciones problemicas en geometría y el pensamiento variacional? 3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA En el contexto mundial, los educadores de matemáticas han sostenido de forma convincente, que el desarrollo pleno del entendimiento matemático se despliega en aulas que más que entregar conocimientos de conceptos, sus principios o su estructura, se preocupan de situar a los estudiantes como agentes activos de su aprendizaje (Schoenfeld, 2004). Así, la literatura existente parece estar de acuerdo que los estudiantes desarrollan de mejor manera sus habilidades matemáticas resolviendo problemas que les planteen situaciones desafiantes, donde tengan que imponer sentido a lo que hacen, tomar decisiones sobre qué hacer y cómo hacerlo e interpretar las soluciones y acciones de su proceso de aprendizaje (Stigler & Hiebert, 2004; Schoenfeld, 2004; Stein, Grover & Henningsen, 1996). A partir del texto, ¿Cómo cree Ud. que la geometría se aprende con mayor facilidad? ¿La manipulación de objetos por parte de los estudiantes beneficia a la comprensión de conceptos en geometría? ¿Cuál sería el orden, si es que se puede ordenar los escenarios de aprendizaje?

Problema 1 Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, recto en B, y P un punto de la hipotenusa AC tal que AP + BP = PC. Si definimos α =
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Problema 2 En la figura se muestran dos rectas paralelas L1 y L2, y un triángulo equilátero ABC. Si la distancia de A a la recta L2 es la mitad de la distancia de A a la recta L1, calcule el valor de 3 .

Problema 3 Tres circunferencias pasan por los puntos P y Q. Una recta corta a esas circunferencias en los puntos A, B, C, D, E y F, como muestra la figura. Si AB = 5, EF = 4 y AF = 20, determina cuántos valores enteros puede tomar CD.


134

PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA

3.5.1 ¿Qué significa demanda cognitiva? Es el nivel de complejidad que demanda una tarea a partir del tipo de habilidad cognitiva que se exige al estudiante. En este sentido los ejercicios que realizan los estudiantes pueden requerir mayor o menor esfuerzo cognitivo. La demanda cognitiva es independiente de los contenidos involucrados en los ejercicios o tareas. Los niveles de demanda cognitiva en las tareas de matemática en la taxonomía de Stein La taxonomía de Stein (2000) es la que permite analizar los niveles de demanda cognitiva en el dominio de matemática.

La demanda cognitiva tiene dos niveles: 3.5.2 Las tareas de demanda cognitiva baja Consisten en la memorización y la aplicación rutinaria de algoritmos. Las

tareas

de

baja

demanda

cognitiva se clasifican en categorías de memoria y de procedimientos sin conexiones. Los procedimientos sin conexiones, no están conectados con una comprensión más profunda de

los

contenidos

matemáticos

involucrados en la tarea. Cuando las tareas son de estos dos tipos, los alumnos generalmente resuelven de 10 a 30 problemas o ejercicios en un periodo de clase.


135

Características • Constituidas tanto por la memorización de información, como por la ejecución de los llamados procedimientos sin conexiones. • Son las tareas rutinarias que se aprenden por repetición. • Para su ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso. • Solo es necesario “aprender el procedimiento” para ejecutarlas.

3.5.3 Las tareas de demanda cognitiva alta Refieren a otras maneras a través de las cuales los alumnos pueden “pensar” acerca de las relaciones

existentes

entre

fracciones,

decimales y porcentajes. Estas formas de demanda cognitiva alta, también exigen el uso de procedimientos o algoritmos; sin embargo, éstos

están

asociados

con

conceptos

y

significados importantes de los contenidos matemáticos involucrados en la tarea. Estas tareas, se clasifican como procedimientos

con

conexiones

o

hacer

matemáticas, donde los algoritmos que se aplican

están

comprensión

asociados de

con

significados

una y

mayor

conceptos

matemáticos involucrados en la tarea. Los estudiantes desarrollan mucho menos problemas o actividades (a veces dos o tres) en un solo periodo de clase. Enfocan la atención en el uso de procedimientos destinados a desarrollar niveles más profundos de comprensión de conceptos e ideas matemáticas. Sugieren vías que constituyen una extensión de procedimientos generales con conexiones cercanas a ideas conceptuales subyacentes.


136

Características • Se representan de múltiples formas (por ejemplo: diagramas visuales, manipulativos, símbolos, situaciones problemáticas). • Se necesita conectar las ideas conceptuales que subyacen a los procedimientos, a fin de completar exitosamente la tarea y desarrollar su compresión. • Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (no existe una vía predecible, una aproximación bien realizada, una vía dada por la tarea, la instrucción o un ejemplo trabajado). • Llevan

a

explorar

y

entender

la

naturaleza

de

los

conceptos,

procedimientos o relaciones matemáticas. • Demandan monitoreo y autorregulación de los procesos cognitivos. • Llevan a conocimientos y experiencias relevantes, y a hacer un uso adecuado de ellos a través de la tarea. • Requieren que se analice la tarea y examine para delimitar las posibles estrategias de solución. • Pueden involucrar cierto nivel de ansiedad para el estudiante, debido a la naturaleza impredecible del proceso de solución que se necesita.

Ejemplos de situaciones problemáticas

Ejemplo 1:

A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se muestra en el gráfico de la derecha Susana tiene muchos cubos pequeños como este. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros bloques. Primero Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en el gráfico A.


137

Luego Susana hace los bloques macizos que se muestran en los gráficos B y C.

PISA (2012)

Pregunta 1 ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se muestra en el gráfico B? Rpta.

cubos.

 Análisis de la pregunta: Clasificación de la pregunta Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para formar un bloque. Proceso: interpretar. Contenido matemático: espacio y forma. Contexto: personal. Calificación de la respuesta Respuesta correcta: 12 cubos. Pregunta 2 ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque macizo que se muestra en el gráfico C? Rpta.

cubos.

 Análisis de la pregunta: Clasificación de la pregunta Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para formar un bloque. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

138

Proceso: interpretar. Contenido matemático: espacio y forma. Contexto: personal. Calificación de la respuesta Respuesta correcta: 27 cubos. Pregunta 3 Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que realmente necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en el gráfico C. Podría haber construido un bloque como el del gráfico C pegando los cubos pequeños, pero dejándolo hueco por dentro. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque como el que se muestra en el gráfico C, pero hueco? Rpta.

cubos.

 Análisis de la pregunta: Clasificación de la pregunta Descripción: analizar posibilidades de adecuación de la solución de un problema a una solución alternativa en una situación geométrica. Proceso: formular. Contenido matemático: espacio y forma. Contexto: personal. Calificación de la respuesta Respuesta correcta: 26 cubos. Ejemplo 2: Saúl ha recibido como herencia un terreno como el que se muestra a continuación, en él se cumple que dos lados consecutivos son siempre perpendiculares. Determine cuántos m2 (metros cuadrados) mide el área de dicho SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

139

terreno, si las longitudes mostradas en la figura están expresadas todas en metros. (ONEM 2012) Segunda Fase - Nivel 2 Realice el análisis de esta pregunta e indique el resultado

3.6 Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzmán

PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". A partir del texto, ¿Cuál es la diferencia entre problema y ejercicio geométrico? ¿En su práctica pedagógica, toma en cuenta e método de los cuatro pasos de Polya? ¿Aplica Ud. El método heurístico en la resolución de problemas? ¿Qué otro método aplica en la resolución de problemas?


140

PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA GEORGE

POLYA:

ESTRATEGIAS

PARA

LA

SOLUCIÓN

DE

PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás

Paso 1: Entender el Problema.  ¿Entiendes todo lo que dice?  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?  ¿Distingues cuáles son los datos?  ¿Sabes a qué quieres llegar?  ¿Hay suficiente información?  ¿Hay información extraña?  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

141

Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable. 3. Buscar un Patrón 4. Hacer una lista. 5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura. 7. Hacer un diagrama 8. Usar razonamiento directo. 9. Usar razonamiento indirecto. 10. Usar las propiedades de los Números. 11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás. 13. Usar casos 14. Resolver una ecuación 15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo. 17. Usar análisis dimensional. 18. Identificar sub-metas. 19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría. Paso 3: Ejecutar el Plan. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

142

Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!). No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Mirar hacia atrás.  ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?  ¿Adviertes una solución más sencilla?  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? EJEMPLO DE LA RESOLUCION DE UN PROBLEMA EMPLEANDO LOS 4 PASOS DE POLYA Problema 1: ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de 10 lados? Resolución: Paso 1. Comprende el problema. El problema pide que se determine el número de diagonales que tiene un polígono de 10 lados. Paso 2. Elabora un plan. Podríamos dibujar este polígono de 10 lados y contar sus diagonales, pero dibujar un polígono de 10 lados con sus diagonales es bien difícil. Estrategia: Un modo de resolver este problema es utilizando la estrategia resolver un problema más sencillo antes; es decir, estudiar el número de diagonales de polígonos con menor número de lados. Paso 3. Ejecuta el plan. Observa las figuras:


143

Colocamos en una tabla los valores que observamos en las figuras anteriores y analizamos la tabla para buscar algún patrón que nos ayude a completarla:

Respuesta: Un polígono de 10 lados debe tener 35 diagonales. Paso 4. Generalizando. Algunas veces un patrón nos puede llevar a encontrar una regla general que puede ser escrita como una expresión algebraica. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. El polígono de 3 lados tiene 0 diagonales. El polígono de 4 lados tiene 2 diagonales. El polígono de 5 lados tiene 2 + 3 = 5 diagonales. ………………………….. El polígono de 10 lados tiene 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales. Extendiendo este patrón: Para el polígono de 11 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Para el polígono de 12 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54 …………………………………………………………………………. Para el polígono de n lados: 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n ¬- 2) diagonales. La expresión algebraica 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n - 2) representa el número de diagonales de un polígono de n lados.


144

•

Verifica si esta expresión es correcta para calcular el número de diagonales que tiene los de polígonos de 3 a 10 lados. Compara tus resultados con la tabla anterior.

• Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales que debe tener un polígono de 15 lados. • Veamos otro razonamiento, inductivo también, para determinar el número de diagonales de un polígono de n lados. Piensa en un polígono de n lados. Ese polígono tendrá n vértices. Como de cada vértice salen n - 3 diagonales porque de él mismo y los 2 lados contiguos no salen diagonales, para calcular el número de diagonales que salen de cada vértice tenemos que hacer el producto: n vértices • (n - 3) Tenemos que dividir entre 2 ese resultado porque al hacer el producto estamos contando 2 veces cada diagonal, pues la diagonal que va de un vértice al otro y la que viene de ese vértice a sí mismo es la misma y se está contando 2 veces. Por tanto la expresión algebraica [n • (n - 3)] / 2 representa el número de diagonales que tiene un polígono de n lados. Si d representa el número de diagonales de un polígono podemos escribir: d = [n • (n - 3)] / 2 Esta última igualdad es la fórmula que permite calcular el número de diagonales que debe tener un polígono conociendo el número de lados que tiene. Utilizando la fórmula anterior calcula el número de diagonales que debe tener un polígono de 10 lados y de uno de 15 lados. ¿Estos polígonos tienen algún nombre especial?


145

PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos geométricos que propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente, ¿qué debería hacer para mejorar mis sesiones de clases en el presente año? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula? ¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción? ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN Siguiendo la teoría de Polya, resuelva el siguiente los siguientes problemas: Problema 1: ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 529u2? Problema 2: Un cilindro de revolución de 8cm de radio de la base contiene agua hasta su mitad, se introduce un pedazo metálico de forma cubica y el nivel de agua sube 8cm. Hallar la arista del pedazo metálico. ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN Investigue si existe otra propuesta aparte de la de polya para resolver problemas ¿Qué relación existe entre el modelo de polya y las tareas de alta demanda cognitiva?

3.7 El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría El material manipulativo facilita los procesos de enseñanza y aprendizaje de los alumnos, pues los alumnos experimentan situaciones de aprendizaje de forma manipulativa, que les permite conocer, comprender e interiorizar las nociones estudiadas, por medio de sensaciones (Área, 2010). SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

146

Los sentidos son el medio natural por el cual adquirimos conocimiento. La vista, el oído y el tacto permiten conocer el mundo e interpretarlo de manera personal y única. El profesor pasa a ser el mediador del aprendizaje. En este sentido, Área (2010) afirma: En un proceso educativo, el educando o educanda construye su aprendizaje paso a paso, avanzando pero también con retrocesos. En la tarea de aprender nadie le puede sustituir: tiene que implicarse y esforzarse y tiene que aprender a autorregular su propio proceso de aprendizaje (aprender a aprender). La función del docente es ayudarle en este proceso de aprendizaje, acompañándole y tomando las decisiones necesarias y poniendo todos los recursos posibles, entre ellos los materiales didácticos. (Área, 2010, 16) El conocimiento humano se adquiere por medio de los sentidos, el conocimiento matemático específicamente utiliza el sentido del tacto, complementándolo con la audición y la visión. Según Castro y otros (1997) los modelos como esquemas o materiales estructurados, tales como materiales manipulativos, permiten la formación de conceptos y el desarrollo de procedimientos matemáticos. En nuestra experiencia, hemos observado que los docentes le han dado más importancia a otros aspectos de las matemáticas y han relegado los contenidos geométricos a un segundo plano, dejándolos para ser tratados en las últimas unidades o simplemente no contemplarlos durante el curso, como manifiestan Pérez y Guillén (2009). Sin embargo, hay que hacer un esfuerzo por recuperar la enseñanza de la geometría en la educación obligatoria, para permitir al alumnado desarrollar las competencias necesarias para la vida, de acuerdo con el currículo obligatorio correspondiente a cada país. Otros autores, (Figuereas y otros, 2001; Guillén y Figuereas, 2004 y 2005; Guillén et. Al., 2006; en Pérez S. y Guillén G., 2007) han realizado investigación sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría y sobre las posibles causas que explican la situación actual de la enseñanza de la geometría en primaria. Para superar las dificultades que presenta la enseñanza de la geometría de manera estática y con el exclusivo uso del cuaderno y libro del texto, Chamorro (2003) fundamenta una “didáctica específica para la geometría”. En dichos fundamentos se justifica el uso de material didáctico en la enseñanza y aprendizaje de la geometría. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

147

Cascallana (1970) proporciona otra perspectiva sobre la enseñanza de la geometría al considerar que existe una heterogeneidad dentro de la sociedad y específicamente dentro de un mismo grupo curso, por lo tanto el uso de una única estrategia no considera las diferencias que existen entre ellos, y por tanto es necesario recurrir a otros medios como el uso de materiales. Además, sostiene que las explicaciones verbales a toda la clase y la realización individual de ejercicios, como único recurso, limita el aprendizaje a la mayoría de los alumnos. Aún así, en la educación tradicional, las explicaciones verbales, los escritos en la pizarra y la ejercitación individual, son los elementos básicos y casi exclusivos de todos los días. Esto produce una gran brecha de aprendizaje entre el alumnado de un mismo curso, ya que aquellos alumnos y alumnas que tienen un bajo nivel, no alcanzan a comprender las explicaciones, mientras que aquellos con un alto nivel se aburren y sólo reciben la información los de nivel medio. De acuerdo a lo anterior asumimos que el protagonista del proceso de enseñanza y aprendizaje es el alumnado, y por lo tanto su trabajo en las clases debe ser activo, partiendo de un pensamiento concreto en donde debe manipular objetos concretos y operar sobre ellos. En este sentido estamos de acuerdo con Serrano (en Castro, 2007) cuando afirma que: En la enseñanza de la geometría los materiales didácticos proporcionan al alumno la oportunidad de manipular, experimentar e investigar, ayudándole a desarrollar gradualmente la visualización espacial” Alsina, Burgués y Fortuny (en Castro, 2007), sostienen que el material didáctico en geometría es muy importante en la adquisición de conceptos, relaciones y métodos geométricos, ya que posibilitan una enseñanza activa de acuerdo con la evolución intelectual del alumno. Basados en los resultados de las referencias anteriores, hemos procedido a la selección de los materiales que forman parte de nuestro cuestionario, que básicamente responde a dos aspectos, recogidos en la clasificación de Flores (2010): contenido y nivel educativo, como recoge el esquema de la figura 3.


148

Figura 3: Esquema de clasificación de materiales manipulativos según Flores y otros (2010)

En primer lugar determinamos el contenido que sería objeto de nuestro estudio, en este caso Geometría, en la cual se observan dos elementos: geometría plana, en que sólo se cuestiona el uso de materiales para polígonos e isometría plana. El segundo elemento es geometría espacial, estudiando sólo el material manipulativo para poliedros. En segundo lugar determinamos el contexto según el nivel educativo, en nuestro caso el uso de materiales manipulativos en Educación primaria, en algunos colegios de la Región Metropolitana en Chile. También se hace uso de otros aspectos de la clasificación dada por Flores y otros (2010), incluyendo una tabla (Tabla Nº 2) en el cuestionario aplicado en este estudio, que permite obtener información sobre el uso de materiales manipulativos en diversos contextos de aula. Dificultades y errores en el uso del material Coriat, Cañizares y Alsina (en Castro, 2007), incluyen una lista de errores y dificultades que aparecen a la hora de utilizar materiales manipulativos en la enseñanza de la geometría, entre los que destacamos los siguientes: sofisticación del material (complejidad del objeto), utilización del material por el docente y no por el alumno, poca cantidad de materiales, la no adecuación del concepto presentado por el material, creer que el material ya asegura la adquisición de un concepto, falta de recursos para obtener materiales. Estas dificultades dependen en gran medida del uso que el docente haga del material en cuestión. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

149

Materiales didácticos manipulativos en los siglos XX y XXI A continuación señalamos solo algunos autores que justifican el uso de materiales manipulativos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, en nuestros tiempos. Szendrei (1996) hace un recorrido por la historia, del uso de materiales concretos en el aula. Comienza indicando la importancia en el uso de materiales concretos para resolver situaciones matemáticas en el diario vivir, en épocas antiguas, hecho que desaparece con el aprendizaje por algoritmos. Luego, hay un proceso de reintroducción del material, influido por Comenius y Pestalozzi. A partir de estos filósofos, Decroly y Montessori se inician en el uso de materiales concretos para la enseñanza de las matemáticas. Así muchos otros autores del siglo XX proponen nuevas razones y cientos de materiales manipulativos disponibles para la enseñanza de las matemáticas. A continuación apuntamos algunas ideas propuestas por algunos autores que justifican el uso de materiales y recursos para la enseñanza de la matemática. Castelnuovo (1970) propone una manera de enseñar las matemáticas, destacando el paso de lo concreto a lo abstracto, de la percepción a la representación abstracta, proponiendo un curso de geometría intuitiva, sustentada por las ideas antes expuestas. La autora justifica la necesidad de lo concreto, dando un ejemplo en geometría, demostrando que el dibujo es insuficiente para desarrollar las competencias de una geometría intuitiva. Se necesita de un material manipulable y movible, con el cual el alumno construya. Ella distingue entre materiales individuales y colectivos. Coriat (1997) propone los materiales como campo de problemas en Educación Matemática y como tema de investigación. Plantea además, las dificultades que se pueden dar tanto a nivel de aula como a nivel de colegio. Indica a su vez las razones por las cuales es necesario utilizar estos materiales y recursos en el aula, y sostiene que el uso de materiales constituye un problema metodológico y cultural del centro, ya que “los materiales didácticos y recursos plantean dificultades curriculares tales como: nivel de diseño curricular e infraestructura, nivel de currículo planificado y nivel de currículo implementado.


150

Finalmente, Coriat destaca la idea de que los materiales aportan a la enseñanza y aprendizaje una variada ayuda potencial a los alumnos y profesores durante su interacción. Cascallana (1988), justifica el uso de materiales y recursos en el aprendizaje matemático, resaltando la idea de que es necesario comenzar la enseñanza de conceptos matemáticos a través de materiales manipulativos, pero no es el único medio, pues se debe complementar con otros modos de enseñanza. El autor propone crear situaciones educativas que permitan enfrentar al alumno a problemas y a cómo resolverlos Casacallana (1988) ante la pregunta ¿Cuál es el papel que desarrollan los materiales en la enseñanza de las matemáticas?, sostiene que debido a que el aprendizaje es una actividad interna del niño, el conocimiento no se puede obtener por transmisión verbal; la libre manipulación de objetos no es un medio para llegar al conocimiento. Este autor hace una diferencia entre el material estructurado y no estructurado. Alsina (2005), estudia el uso de materiales educativos para la enseñanza y aprendizaje de la geometría y propone estrategias para su implementación. También describe algunas clasificaciones sobre el material de acuerdo a diferentes criterios. El grupo PI (2005 y 2007), trabaja en el desarrollo de actividades para el aula utilizando el papel y la papiroflexia. Su objetivo es proporcionar al profesor un material didáctico (el papel), como un recurso que permite al alumno aproximarse a la geometría plana y espacial. Los materiales didácticos cumplen una función mediadora, entre el profesor y el alumno, entre los contenidos y el aprendizaje, por lo tanto es importante escoger el material idóneo para los objetivos propuestos, según Área y otros (2010). Según Área y otros (2010), ubicar los materiales en una secuencia educativa, trae consigo el uso en determinados momentos de la clase: inicio, desarrollo y cierre. Cumpliendo dentro de ellas varias funciones distintas como motivar, reflexionar, proporcionar información, sintetizar o evaluar, entre otras. Momentos de la clase que utilizaremos en el análisis de los datos de nuestro estudio. Según Montero (citado por Jipoulou y Loyola, 1997), las guías de aprendizaje son un material educativo, que puede potencialmente contribuir a modificar y SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

151

materializar un conjunto de principios educacionales que sustentan las características de los roles del que aprende, del que enseña y del ambiente de trabajo. Las guías de aprendizaje son un instrumento que pueden producir efectos como: interés del que aprende, aprendizajes significativos, respuestas originales, detección de fallas en los conocimientos previos y una dinámica apropiada para seguir aprendiendo. Para diseñar este tipo de material didáctico, se debe considerar: 

Selección de los aprendizajes.



Secuencia de los aprendizajes.



Formas de interacción entre las personas con el conocimiento y entre actores del proceso educativo.



La secuencia y ritmo.



Experiencias previas del estudiante.



Instancias evaluativas.



Vincular apropiadamente los recursos didácticos entre ellos los informáticos. 3.7.1 a)

Materiales manipulativos para geometría plana

Bloques lógicos. El

objetivo

de

este

juego

es

introducir en los primeros conceptos matemáticos y dar conocimiento de semejanzas,

diferencias

y

asociación por colores, tamaños, formas y espesores. Propiedades de los bloques: Color: azul, rojo y amarillo. Forma: cuadrada, triangular, rectangular y circular. Tamaño: grande y pequeño. Grosor grueso, delgado.


152

El juego consta de 48 piezas en caja de madera con tapa corrediza. Medidas 26 x 18,50 x 6 cm. Estimulación: Concepto de conjunto, pertenencia y no pertenencia. Desarrollar la capacidad espacial, que se relaciona con la que se tiene frente a aspectos como color, línea, forma, figura, espacio, y la relación que existe entre ellos. Percibir la realidad, apreciando tamaños, direcciones y relaciones espaciales. Reproducir mentalmente objetos que se han observado. Reconocer el mismo objeto en diferentes circunstancias. Describir coincidencias o similitudes entre objetos que lucen distintos. En niños pequeños ayuda en el conocimiento y aprendizaje de formas regulares. En niños mayores es una herramienta concreta para la medición de las propiedades de figuras. b)

Geoplano orto-isométrico El Geoplano , inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno , es una plancha de madera o de caucho, en la que se disponen regularmente una serie de clavos o puntillas. En el Geoplano se pueden formar figuras utilizando gomas elásticas, al mismo tiempo éste es empleado para que el alumnado construya figuras geométricas, establezca semejanzas, diferencias

entre

perpendicularidad

y

paralelismoemplee

un

lenguaje gráfico-algebraico. Además,

el

Geoplano

ofrece

la

oportunidad para que el alumno y la


153

alumna estudie y descubra la relación entre superficie-volumen, profundice y comprenda los conceptos de áreas y planos

geométricos

,

y

asocie

contenidos de la Geometría con el Álgebra y el Cálculo . Esta construcción cognitiva se produce de

una

forma

creativa

mediante

actividades grupales, en las cuales se presentan preguntas dirigidas por el docente, con la finalidad de ayudarles a construir sus respuestas. Y al mismo tiempo lograr que el estudiante formule sus propios interrogantes , permitiéndole así crear sus propias conjeturas acerca de algún concepto matemático, favoreciendo con ello la optimización de los procesos de aprendizajes significativo y el desarrollo de capacidades cognitivas complejas. Existen distintos tipos de Geoplanos dependiendo de la posición de los clavos o puntillas. Los más utilizados son los Geoplanos cuadrado, triangular (isométrico) y circular. c)

Cuadrado, Cuadrado Isométrico Circular Los Geoplanos pueden encontrarse en el mercado, pero su construcción no es difícil: se necesita un tablero de 30x30 cm y clavos o puntillas de 2 cm. ¿Cómo se construye el Geoplano? Geoplano cuadrado: Se marcan en el tablero cuadrículas de 1 cm de lado. Una vez cuadriculado, se clavan las puntillas en cada vértice. Geoplano triangular (isométrico): En un tablero de las mismas dimensiones, se marcan triángulos equiláteros de 1 cm de lado. En cada vértice se clava una puntilla. Geoplano circular: Resulta más fácil elaborar una plantilla en A3 con una circunferencia de dos cm menos de diámetro que el lado del tablero. La circunferencia puede dividirse en 12, 24, 36…. partes. En cada uno de los puntos marcados, así como en el centro se clavan las puntillas.


154

Para construir figuras en los Geoplanos de puntillas se utilizan gomillas elásticas. En vez de Geoplanos podemos utilizar tramas de puntos , que son Geoplanos en papel sobre el que se marcan las cuadrículas o los triángulos según corresponda. ¿Cómo utilizar el Geoplano? Con el Geoplano circular se pueden trabajar actividades de construcción de polígonos regulares, polígonos estrellados, polígonos inscritos, circunscritos; elementos geométricos como el radio, diámetro, cuerda, tangente, secante, etc., y demostraciones como que en una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, etc... a)

El alumnado que va consiguiendo los objetivos, no tiene que repetir actividades de un nivel ya superado.

b)

El alumnado que necesita más tiempo para afianzar los conocimientos puede realizar actividades adaptadas a su nivel de competencia. Ventajas de utilizar el Geoplano

c)

Al alumnado se le brindan las ayudas individualizadas, o en pequeño grupo, que necesita para seguir avanzando.

d)

Potencia la autonomía del alumnado.

e)

Desarrolla la evaluación formativa.

f)

Permite tanto al estudiante como al docente experimentar con patrones numéricos, dar paso al pensamiento intuitivo y aperturar el pensamiento hacia la innovación, lo cual es la base de la creatividad.

Este material, sencillo y eficaz, le permite a los estudiantes experimentar con modelos matemáticos y construir conceptos numéricos en diversos contextos. Él puede ser usado con la finalidad de establecer patrones ideales, para combinar y realizar medidas directas o indirectas. También, es útil para reproducir en forma creativa nuevas colecciones de figuras complejas, innovar conceptos, descubrir propiedades-relaciones exactas y comprobar conjeturas e hipótesis. Además, el Geoplano es potencialmente beneficioso para estimular y despertar la creatividad, buscando integrar lo pedagógico con el desarrollo de estrategias y habilidades cognitivas. SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

155

Incorporar el Geoplano en las clases de matemáticas, puede ser considerado simplemente una novedad, o puede significar una oportunidad para que los docentes aborden los contenidos matemáticos de una forma creativa, valiéndose de esta única herramienta para inducir al alumnado a pensar en forma divergente. Es por ello que el docente tiene que profundizar, apoyado en la epistemología de la educación matemática, en el conocimiento de las aplicaciones prácticas y teóricas del Geoplano e internalizar las posibilidades que le brinda esta herramienta. Si el docente conoce el Geoplano , podrá conducir a sus alumnos y alumnas a construir conceptos matemáticos propios y favorecerá el desarrollo de procesos de aprendizaje significativo y con ello estimulará algunas capacidades cognitivas más complejas. La experiencia con el Geoplano en el aula, se asocia a la organización de contenidos, a la posibilidad de que por ejemplo, los conceptos de proporcionalidad,

cuadriláteros,

triángulos,

segmentos,

paralelismo,

perpendicularidad, congruencia, medida, relaciones y proporciones, el lenguaje gráfico y algebraico "se encuentren todos“ integrados en una actividad y en una sola discusión participativa dentro del ambiente educativo ideal propiciado por el docente. El Geoplano , es un excelente recurso didáctico para dirigir el proceso de aprendizaje-enseñanza matemática, ya que le da la oportunidad al docente de mejorar su labor pedagógica, y transformarse en personas originales junto con los educandos: constructores del conocimiento, imaginativos, dinámicos, y creadores de ideas. Conclusión Por otro lado, le permitirá incluir interrogantes a través de actividades por niveles, y trabajar tanto con las necesidades como con las potencialidades de una manera personalizada. Sin embargo, actualmente existen otras herramientas instructivas que contribuyen en el desarrollo cognitivo del educando, a diferencia de éstas mediante el uso del Geoplano se busca despertar el potencial creativo de los


156

alumnos y alumnas y obtener resultados transcendentes, que no sólo tendrán implicaciones en la matemáticas sino en otras áreas de estudio. En relación a lo anterior, esto no se logrará si los docentes no unen esfuerzos, por romper los esquemas tradicionales y asumir el desarrollo de la creatividad del educando de acuerdo con su edad y capacidad mental. Para que esto se alcance se debe dejar a un lado, en lo posible, la impertinencia, la improvisación y la carencia de ideas. La innovación educativa no se conseguirá si se encierran en sus propias apreciaciones y conceptos. Deben asociarse, compartir experiencias, interactuar, enriquecerse de ideas con grupos de profesores y profesoras que vayan en la misma vía. Si desean ser innovadores en su labor pedagógica, es necesario socializar el conocimiento, pues en la época en que se encuentran es muy difícil ser un creador solitario. d)

Un tangram especial Es un material didáctico que consta de cinco piezas; es muy adecuado para realizar

actividades

relacionadas

a

longitudes,

ángulos,

áreas,

proporcionalidad, etc., mediante el uso de herramientas conceptuales muy simples. El tamaño ideal es el de un cuadrado de 10 cm x10 cm así:

1

4 3

2 5

e)

Rompecabezas geométricos Los rompecabezas son juegos muy valorados, desde el punto de vista educativo, porque a la vez que fomentan la creatividad, el desarrollo de las capacidades de análisis y síntesis, la visión espacial, las estructuras SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

157

y los movimientos geométricos.

f)

Los policubos La teoría de policubos es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de unidades modulares cúbicas, tal que unidas por sus caras configuran formas en el espacio tridimensional. El módulo básico es un cubo, la combinación de varios cubos permite obtener una gran variedad de módulos que conservan ortogonalidad entre sus caras y, dentro de la sencillez de sus formas, aportan riqueza volumétrica y modularidad,

estableciendo

correspondencias

con

formas

de

uso

arquitectónico.


158

g)

El cubosoma El Cubo Soma es un puzzle de tres dimensiones que fue inventado en 1936 por el matemático danés Piet Hein. El Cubo Soma, está formado por seis tetracubos y un tricubo no lineal, con él, se pueden construir una gran

variedad de formas geométricas; figuras de animales, muebles, etc.

h) Elaboración del hexagrama Se hacen los trazos y la cuadrícula en el papel o cartulina y luego se procede a cortar con una tijera por las líneas que forman los seis triángulos rectángulos isósceles.


159

Para la mejor presentación y conservación del hexagrama se elabora un estuche que sirve de marco a fin de encajar en ella las seis piezas, como si fuera un rompecabezas, y se forme un rectángulo. Así:

i)

Utilización del hexagrama Formación de siluetas

Flecha j)

Gato

Pez

Formación de Figuras Geométricas Triángulos El triángulo es aquella figura geométrica formada por tres rectas que se cortan dos a dos. Es un polígono plano constituido por tres lados y tres ángulos. Con el hexagrama se forman los siguientes triángulos:


160

GLOSARIO Competencia.- Son las capacidades de poner en operación los diferentes conocimientos, habilidades, pensamiento, carácter y valores de manera integral en las diferentes interacciones que tienen los seres humanos para la vida en el ámbito personal, social y laboral. Etnomatemática.- Es la forma de explicar, enseñar, diseñar, comprender, manejar, lidiar y construir a partir de su propia cultura, es decir, es una matemática de la vida y para la vida, que se aprende por la interacción social. Procesos pedagógicos.- Es el conjunto de prácticas, relaciones intersubjetivas y saberes que acontecen entre los que participan en procesos educativos, escolarizados y no escolarizados, con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias para la vida en común. Cambiar estas prácticas, relaciones y saberes implica por tanto influir sobre la cultura de los diversos agentes que intervienen en los procesos de enseñar y aprender. Los cambios culturales como sabemos requieren, entre otros factores importantes, de sostenibilidad en el tiempo para concretarse. No son de corto plazo. Procesos cognitivos.-

Son todos aquellos procesos a través de los cuales, la

información es captada por los sentidos, transformada de acuerdo a la propia experiencia en material significativo para la persona y finalmente almacenada en la memoria para su posterior utilización. Estrategia.-

Es una acción humana orientada a lograr un propósito de manera

intencional, consciente movilizando sus capacidades. Estrategias de enseñanza.- Son experiencias o condiciones que el maestro crea para favorecer el aprendizaje del alumno. Estrategias de enseñanza.- Son procedimientos que un estudiante adquiere y emplea de forma intencional para aprender significativamente y solucionar problemas

de su

entorno. Capacidad.- Potencialidad inherente a toda persona capaz de ser desarrollado durante toda su vida. Competencia.- Son un conjunto de conocimientos, habilidades y valores que convergen y permiten llevar a cabo un desempeño de manera eficaz, es decir que el estudiante logre SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

161

los objetivos de manera eficiente y que obtengan el efecto deseado en el tiempo estipulado y utilizando los mejores métodos y recurso para su realización. Aprendizaje Cooperativo.- Es una forma de trabajo en grupo basado en la construcción colectiva del conocimiento y el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social), donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje como del de los restantes miembros del grupo. Las dinámicas internas que hacen que el aprendizaje cooperativo funcione se basan en características que posibiliten a los docentes estructurar las actividades de manera tal que los estudiantes se vuelvan positivamente interdependientes, individualmente responsables para hacer su parte del trabajo, trabajen cara a cara para promover el éxito de cada cual, usen apropiadamente habilidades sociales y periódicamente procesan cómo pueden mejorar la efectividad de sus esfuerzos. Papiroflexia.- Técnica de plisado de papel con fines recreativos. Transposición Didáctica.- Es la transformación del saber científico en un saber posible de ser enseñado, se interesa por establecer una relación entre el saber sabio de los matemáticos y el saber a enseñar y de ésta al saber enseñado. Contrato didáctico.-

En todo proceso de enseñanza-aprendizaje siempre existe un

discurso o “contrato” entre profesor y alumno resultado del conjunto de códigos y pactos implícitos y explícitos que regulan los comportamientos, interacciones y relaciones de los docentes y el alumnado (normas, programas de asignatura, etc.)


162

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

Callejón, M (2000) “El clima del aula cómo influyen las habilidades sociales de los alumnos y profesores “ en FERNÁNDEZ Guía Para la Convivencia en el Aula. Escuela Española. Madrid. Casamayor (1998) Cómo Dar Respuesta a los Conflictos. Grao, Barcelona. Equipo de Psíquicos y Conductuales (2000) Comportamiento Desadaptado y Respuesta Educativa en Secundaria. Propuestas para la Reflexión y Acción. Gobierno de Navarra. Departamento de Educación y Cultura. Emilio Cidad Maestro(1987) Modificación de Conducta en el Aula e Integración Escolar ,UNED. Isabel Fernández (coord.) (2001) Guía Para Convivencia en el Aula. Escuela Española. Madrid. Rodríguez, R y Luca de Tena, C (2001): Programa de Disciplina en la Enseñanza Secundaria Obligatoria: ¿Cómo Puedo Mejorar la Gestión y el control de mi aula?Aljibe. Torrego Seijo, J.C. (2003) Resolución de Conflictos Desde la Acción Tutorial. Comunidad de Madrid, Consejeria de Educación. VaelloOrts,J. (2005) Las Habilidades Sociales en el Aula, Santillana, Madrid. Brousseau Guy. (1972), Processus de mathématisation. En La mathématique a l’école élémentaire.

Paris. Francia: Association des professeurs de mathématiques de

l’enseignement public. Brousseau Guy. (2007), Iniciación al estudio de la teoría de situaciones didácticas. Buenos Aires. Argentina: Libros del Zorzal. Chevallard Yves. (2009). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires. Argentina: Editorial Aique. Chevallard Yves, Bosch Marianna y Gascón Josep. (1997). Barcelona. España : Editorial Horsori. Cuadernos de Educación. DÁMORE Bruno. (2006). Didáctica de la matemática. Bogotá. Colombia : Cooperativa editorial Magisterio.


163

DÁMORE Bruno, DIAZ GODINO Juan y FANDIÑO PINILLA, Martha I. (2008). Competencias y matemática. Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio. Dámore Bruno, Fandiño Pinilla, Martha I, Marazzani Inés y Sbaragli Silvia. (2010). La Didáctica y la dificultad en matemática. Bogotá. Colombia. : Cooperativa editorial Magisterio. Fandiño Pinilla, Martha I. (2005). Las fracciones. Aspectos conceptuales y didácticos. Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio. Fandiño Pinilla, Martha I. (2010). Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática. Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio. GARCÍA ROA María Agustina, ALBA FRANCO Flor y GARZÓN Doris. (2006). Didáctica de la geometría euclideana. Conceptos básicos para el desarrollo del pensamiento espacial. Bogotá – Colombia: Cooperativa editorial Magisterio. POLYA, G. (1969) Cómo plantear y resolver problemas. México: Serie de matemáticas. Editorial Trillas. Marco Antonio Moreira. La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, la enseñanza de las ciencias y la investigación en el área. Instituto de Física de Porto Alegre. Brasil. [email protected] Fernando Fouz. Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría. divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php Teoría de van Hiele. Es.wikipedia.org/wiki/teoría-de-van-hiele ANGULO, P (2002). Efecto de la Estrategia Metodológica Condicionamiento Piter (EMCOPI) en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el cuarto semestre de Ingeniería Mecánica. Trabajo Final de Grado en el nivel de Maestría, UC, Valencia. CHEVALLARD, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 19, nº 2, pp. 221-266. Van Hiele, P.M. (1957). El problema de la comprensión en conexión con la comprensión de los escolares en el aprendizaje de la geometría.Disertación doctoral. Traducción al español de Ángel Gutiérrez et al. Universidad Real de Utrecht. Holanda.


164

Flores, P., Lupiáñez, J. y Marín, A. (2010). Materiales y recursos en el aula de matemáticas de secundaria y bachillerato. Universidad de Granada. Thales-Cica 2007. Sin editar. Corbalán, (1994). Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid, Síntesis. Guillén, g. y Figuereas, O. (2005). Estudio exploratorio sobre la enseñanza de la geometría en primaria. Curso taller como técnica para la obtención de datos, en Maz, A., Gómez, B., Torralbo, M. (eds) (2004). Investigación en Educación Matemática. Noveno Simposio de la Sociedad Española de la Investigación en Educación Matemática (S.E.I.E.M), (pp. 227-234) Córdoba, España. Coriat, M. (1997) Materiales, Recursos y Actividades: Un panorama. En Luis Rico (Ed.), La educación matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona, Horsori. pp. 155-178. Cascallana, M. T. (1988). Iniciación de la Matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid, Santillana. Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. Mª. (1988). Materiales para construir la geometría. Editorial Síntesis S.A. Área, M., Parcerisa, A. y Rodriguez, J. (Coords) (2010). Materiales y recursos didácticos en contextos comunitarios. Ed: Grao. Montero, I. y León, O. (2007) International journal of clinical and health psychology, ISSN 1697-2600, Vol. 7, Nº. 3, 2007, págs. 847-862. Macarena Valenzuela Molina (2012) Uso de materiales didácticos manipulativos para la enseñanza y aprendizaje de la geometría, Granada, Junio 2012


Sesión de aprendizaje y Didáctica de la Geometria - Huancayo.

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