Estadística II Docente: Iliana Paternina Ortega INTERVALOS DE CONFIANZA
Un estimador por intervalo de confianza de un parámetro poblacional es un estadístico para determinar un rango o intervalo, en el cual posiblemente se encuentre dicho parámetro. La estimación correspondiente correspondiente se denomina estimación por intervalos. Sea el parámetro que se desea estimar, la idea es encontrar, basados en la muestra, dos variables
aleatorias U y V, con U menor que V, tales que:
Para un
.
,
Suponga que con la ayuda de la información muestral se encuentran esas variables aleatorias, entonces:
a)
La fracción
recibe el nombre de GRADO DE CONFIANZA,
b)
y el intervalo de U hasta V es un ESTIMADOR POR INTERVALOS de del . Si u y v representan un valor particular de U y V, respectivamente, entonces el intervalo de u hasta v se denomina INTERVALO DE CONFIANZA del
se llama NIVEL DE SIGNIFICANCIA,
para
El intervalo de confianza hallado, se interpreta así: si se extraen muestras aleatorias de la población un número elevado de veces, el parámetro estará contenido en un de los intervalos calculados. Intervalo de confianza para la media poblacional Caso 1:
. Supongamos que se cumple alguna de las siguientes condiciones: a) La población es normal y es conocida (no importa el tamaño de n); b) La población es normal y es desconocida y n . c) La forma de la población es desconocida (o no normal), es conocida o desconocida y n . Nota: Cuando se da el caso b) o c) y es desconocida se estima a partir de la muestra. Sea
la media de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con media μ y varianza
Entonces, el intervalo de confianza del (1- ) 100% para μ es:
Caso 2:
Sean
y
la media y varianza de una muestra aleatoria de tamaño n < 30, tomadas de una población
normal con media μ y varianza
desconocida.
Entonces, el intervalo de confianza del (1- ) 100% para μ es:
siendo
el valor de una t-Student con n-1 grados de libertad.
Determinación del tamaño de muestra
Suponga que se especifica el tamaño del intervalo de confianza y el nivel de confianza deseados. Si se conoce la varianza poblacional, o se puede estimar, el tamaño de la muestra requerido, basándose en el uso
de la distribución normal, es:
Ejemplo 1: Un analista de un departamento de personal selecciona de manera aleatoria los registros de 16
empleados que trabajan por horas y encuentra que la tarifa salarial media por hora es U$9,50. Se supone que las tarifas salariales en la empresa tienen distribución normal. Si se sabe que la desviación estándar de las tarifas salariales es de U$1,00, estime la tarifa salarial media en esa empresa usando un intervalo de confianza del 80%. R/ $9,18-$9,82 aprox. Ejemplo 2: Una maquina produce reglas de madera. Se toma una muestra de las reglas, hallándose que las
longitudes son: 1,04; 0,99; 1,01; 1,01; 1,03; 0,97; 1,03; 0,98 y 0,99 metros. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la longitud de las reglas de esta máquina. Suponga que la población tiene una distribución aproximadamente normal. R/ 0,975-1,035. Ejemplo 3: Un analista desea estimar con un margen de error de 25¢ y 90% de confianza la tarifa salarial
media de los trabajadores de una empresa del sector industrial. Se estima que la desviación estándar de las tarifas salariales es U$1,00. ¿Cuál es el número mínimo de registros de personal que debe tomarse como muestra para satisfacer este objetivo de investigación? R/ 43,44 aprox. Intervalo de confianza para la proporción p
Supóngase que se tiene las variables muéstrales variable de interés. Además, supóngase que
que forman una muestra X de tamaño n para la
o
Entonces un intervalo de confianza del
para p esta dado por:
Ejemplo 4: De una muestra aleatoria de 140 estudiantes de una universidad, 74 indicaron que provienen de
estratos altos. Construya un intervalo de confianza del 90%, para estimar la proporción de estudiantes en toda la universidad que provienen de estratos altos. R/(0.459,0.60) Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
Considere dos muestras aleatorias independientes de tamaño respectivamente.
Si:
o
y
con proporciones muéstrales
Entonces un intervalo de confianza del
para
esta dado por:
Ejemplo 5: Una encuesta respondida por 1000 estudiantes de un colegio A concluye que 726 no tienen
hábitos de lectura. En otro colegio B se realizo la misma encuesta a 760 estudiantes, concluyéndose que 240 de ellos tienen hábitos de lectura. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la proporción de estudiantes que tienen hábitos de lectura entre los dos colegios. ¿Hay diferencia significativa? R/ (-0.892, -0.0019). Intervalos de confianza para la diferencia de medias
MUESTRAS PAREADAS O DEPENDIENTES:
Un intervalo de confianza del
Donde:
para
es:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Sean
una muestra aleatoria de tamaño
varianza
y
esperado
y varianza
de una población normal con valor esperado
una muestra aleatoria de tamaño
de una población normal con valor
. Las dos poblaciones son estadísticamente independientes.
Caso 1: Ambas poblaciones normales y
conocidas o desconocidas y
conocidas
o
poblaciones no normales,
.
Un intervalo de confianza del
para
Caso 2: Ambas poblaciones normales y,
desconocidas pero iguales y para es:
Un intervalo de confianza del
Con
y
es:
.
Ejemplo 6: Un científico intenta estimar la efectividad de un medicamento en la habilidad de los individuos
para realizar una determinada tarea de coordinación psicomotriz. Los elementos de una muestra aleatoria de 9 personas tomaron el medicamento antes de realizar la prueba. La calificación media obtenida fue 9.78 y la varianza muestral 17.64. Otra muestra aleatoria independiente de 10 personas, que no tomo el medicamento, se empleo como grupo de control. L a calificación media y varianza muestral de este grupo de control fueron 15.10 y 27.01, respectivamente. Suponiendo que las distribuciones poblacionales son normales con varianzas iguales, calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos calificaciones medias. ¿Hay diferencia significativa? Explique. R/ (-9.12,-1.52)
Caso 3: Ambas poblaciones normales y,
Un intervalo de confianza del
Con
desconocidas diferentes y para es:
.
Ejemplo 7: Un científico intenta estimar la efectividad de un medicamento en la habilidad de los individuos
para realizar una determinada tarea de coordinación psicomotriz. Los elementos de una muestra aleatoria de 9 personas tomaron el medicamento antes de realizar la prueba. La calificación media obtenida fue 9.78 y la varianza muestral 17.64. Otra muestra aleatoria independiente de 10 personas, que no tomo el medicamento, se empleo como grupo de control. La calificación media y varianza muestral de este grupo de control fueron 15.10 y 27.01, respectivamente. Suponiendo que las distribuciones poblacionales son normales con varianzas iguales, calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos calificaciones medias. ¿Hay diferencia significativa? Explique. R/ (-9.12,-1.52)