Cap´ıtulo 4
Estimaci´ on on por intervalos 4.1. 4.1.
Inte Interv rvalo aloss de de confian confianza za
1. En el caso del interva intervalo lo de confianza confianza para la media cuando σ 2 es conocida, conoci da, ¿qu´e relaci´on on existe entre la longitud del intervalo de confianza y: a ) El coeficiente coeficiente de confianza. confianza. b ) El tama˜no no de la muestra. 2. Indique Indique en cada una de las siguiente siguientess aseveracione aseveracioness si es verdader verdaderaa o falsa. Justifique su respuesta. respuesta. a ) Mientras Mientras m´ as as grande sea el tama˜no no de la muestra, menor ser´a la longitud del intervalo de confianza. b ) Un interva intervalo lo de confianza del (1 − α)100 % para cierto cierto par´ametro ametro est´a contenido contenido en el corresponcorrespondiente intervalo de confianza del (1 − α)100 )100 % con α > α. c ) El intervalo de confianza consta de una gama de valores usados para estimar la forma de la distribuci´ on on de una poblaci´on. on. d ) La probabilidad de que un intervalo de confianza contenga al verdadero verdadero valor del par´ametro ametro recibe el nombre de nivel de confianza. e ) No es recomendable emplear altos niveles de confianza, pues producen intervalos intervalos de confianza m´as as amplios. 3. Despu´es es de seleccionar una muestra y calcular el intervalo intervalo de confianza para µ, una persona dice: Tengo una confianza confianza del 88 % de que la media de la poblaci´on on fluctua entre 106 y 122. ¿Qu´e es e s lo l o que qu e realmente r ealmente est´a diciendo? ue ue entre 106 y 122. a ) Hay una probabilidad de 0.88 de que µ fluct´ b ) Hay una probabilid probabilidad ad de 0.88 de que el valor real de µ sea 114 (i.e. el punto medio del intervalo). c ) 88 % de los intervalos intervalos calculados calculados de las muestras muestras de este tama˜ tama˜no no contendr´an an la media poblacional. d ) Todas las anteriores. anteriores. 4. Una muestra muestra de 100 votantes votantes elegidos al azar de todos de cierto distrito indic´ o que el 55% de ellos estaban estaban a favor favor de un determina determinado do candidato. candidato. Hallar los l´ımites ımites de confianza del 95 % y 99 %, para estimar la proporci´on on de todos los votantes que est´an a favor de este candidato. 5. En el ejerci ejercicio cio 2.2 del cap´ cap´ıtulo ıtulo 3, suponga suponga que el tiempo tiempo de espera espera es una variabl ariablee aleato aleatoria ria con distribuci´ on on normal, normal, y a partir partir de este este supues supuesto, to, halle un inve inverv rvalo alo de confian confianza za del 99 % para para la varianza. 6. Las pelotas de tenis que se utilizan utilizan en torneos torneos profesionales profesionales deben paras pruebas rigurosas rigurosas para demostrar que la variaci´on on del rebote alrededor alreded or de un valor espec´ e spec´ıfico ıfico es m´ınima. Cuando ´estas estas se dejan caer de cierta altura, deben rebotar a una altura promedio de 4 pies. En una muestra aleatoria de 91 pelotas, la altura media en los rebotes fue de 4 pies y la varianza de 0.36. a ) Encuentr Encuentree un interv intervalo alo de confianza del 90 % para la varianza arianza poblacional. 1
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Cap´ıtulo 4: Estimacio ´n p or intervalos
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b ) Encuentr Encuentree un interv intervalo alo de confianza del 95 % para la varianza arianza poblacional. c ) Si la varianza m´axima axima que se permit p ermitee es de 0.5, ¿ser´ ¿ser´ıa razonable razonable decir que las pelota p elotass de esta marca marca se pueden pueden utilizar utilizar en torneos torneos profesional profesionales? es? 7. Se recibe un lote muy grande de art´ art´ıculos proveniente de un fabricante que asegura que el porcentaje de art´ art´ıculos defectuosos defectuo sos en la producci pr oducci´´on on es del 1 %. Al seleccionar una muestra aleatoria de 500 art´ art´ıculos se encuentran encuentran 8 defectuos defectuosos. os. Obtenga los intervalos intervalos de confianza del 90 % y 99 % para la verdadera verdadera proporci´on on de art´ art´ıculos defectuosos defectuosos en el proceso de manufac manufactura tura del fabricant fabricante. e. Con base en estos resultados, ¿qu´e se puede concluir con respecto a la informaci´on on den fabricante? Compare los dos intervalos. 8. Una m´aquina aquina produce piezas met´alicas alicas en forma for ma cil ci l´ındrica. ındric a. Se S e toma una muestra de ´estas estas y los l os di´ di ´ameametros resultan ser los siguientes: { 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03} medidos medi dos en cent´ımeımetros. Obtenga Obtenga un interv intervalo alo de confianza confianza del 99 % para el di´ametro ametro medio de las piezas producidas por la m´aquina. aquina. Indique Indique los supuestos supuestos necesarios necesarios para su desarrollo. desarrollo. 9. Un instrumento instrumento de precisi´ precisi´ on on tiene como garant garant´ıa el leer con un error error m´aximo aximo de una unidad. Una muestra de cuatro lecturas del mismo objeto di´o como mediciones: { 353, 351, 351, 355}. Calcule Calcule un inter interv valo de confian confianza za del 90 % para para la varianz arianzaa de la poblaci poblaci´´on. on. ¿Qu´e supuestos supuesto s deben establecerse? estable cerse? ¿Es adecuada la garant´ garant´ıa? 10. Tome los datos del ejercicio ejercicio 5 de la secci´ on on anterior y: Obtenga un interv intervalo alo de confianza del 98 % para la cantidad cantidad promedio promedio real. Indique Indique los supuestos supuestos a ) Obtenga en los cuales basa su desarrollo. b ) Obtenga Obtenga un interv intervalo alo de confianza confianza del 95 % para la varianz varianza a e interpret interpretee el resultado. resultado. 11. El fabricant fabricantee de cierto cierto tipo de cigarros cigarros asegura que ´estos estos contienen contienen en promedio promedio 14 mg. de alquitr´ alquitr´an. an. Se seleccionan 5 cigarros de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes datos en mg. de alquitran: {14.5, 14.2, 14.4, 14.3, 14.6} a ) Construya un intervalo intervalo del 95 % de confianza para la media del contenido contenido de alquitr´an an por cigarro. Indique los supuestos sobre los cuales basa su desarrollo. b ) ¿Cu´al al es el l´ımite m´aximo aximo para el error de estimaci´on on del inciso anterior? anterior? 12. Considere Considere la poblaci´ on constituida por los estudiantes de licenciatura del ITAM. Sean p, pm y ph la on proporci´on on total, la proporci´on on de mujeres y la proporci´on on de hombres respectivamente que piensan que las pr´oximas oximas elecciones ser´an an limpias. Seleccione una muestra aleatoria simple de 40 mujeres y otra de 40 hombres. a ) Constr Construy uyaa los interv intervalo aloss del 90 % y 95 % de confianza confianza para cada cada uno de los par´ par´ametros ametros p, pm y ph . b ) ¿Podr´ ¿Podr´ıa decirse que el 80 % de los estudiantes de licenciatura del ITAM piensan que ser´an an limpias? 13. Se dice que un bolichista bolichista es consistente consistente en su juego, si la desviaci´ desviaci´ on on est´andar andar en los puntos que obtiene es a lo m´as as de 3.4. En una muestra tomada al azar de 41 juegos, un bolichista logr´o un promedio de 158 puntos con una varianza de 30.96. a ) Construy Construya a un interv intervalo alo del 98 % de confianza confianza para la varianza varianza del b olichista. olichista. ales son los requisitos necesarios necesarios para obtener obtener el interv intervalo alo del inciso anterior? anterior? b ) ¿Cu´ales c ) ¿Se puede concluir concluir con una confianza confianza del 98 % que el b olichista olichista no es consistente consistente en su juego? 14. Un m´edico edico investigador piensa seleccionar una muestra aleatoria de personas que hayan fumado por lo menos una cajetilla diaria durante 20 a˜nos, nos, para saber cu´antos antos llegan a desarrollar c´ancer ancer pulmonar en el transcurso de los pr´oximos oximos 5 a˜ nos. nos. ¿Cu´ al al debe ser el tama˜no no de la muestra que el investigador debe seleccionar de manera tal que, con una probabilidad probabilidad de 0.95, la proporci´ proporci´ on muestral se encuentre a no m´as on as de 0.02 unidades de la proporci´on on verdadera? Estad´ ıstica ıstica II
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15. Al gerente gerente de producci´ on on de una compa˜n´ıa procesadora de c´ıtricos le interesa saber sab er si en los ultimos ´ ltimos u 3 a˜ nos nos las heladas han da˜nado nado los 2500 naranjos que posee la empresa. A fin de averiguar el da˜no no causado a los ´arbole arb oles, s, ´el el mand´ mand o´ contar el n´umero umero de naranjas producidas por ´arbol arbol en una muestra de 42 de estos y obtuvo una media muestral de 525 naranjas por ´arbol. La poblaci´on on de naranjas que ha venido manejando la empresa tiene una desviaci´on est´andar andar de 30 naranjas por ´arbol. arbol. Construy uyaa un inter interv valo de confian confianza za del 98 % para para la producc producci´ i´on on media por ´arbol arbol de los 2500 a ) Constr naranjos. b ) Si el rendimiento promedio de naranjas por ´arbol arbol fue de 600 naranas hace 5 a˜nos, nos, ¿qu´e puede pued e decir el gerente de producci´on on sobre la posible existencia de un da˜no no en este momento? 16. Una papeler pap eler´´ıa recibe recib e un embarque de cierta marca de bol´ bol´ıgrafos. El propietario desea estimar la proporci´on on de defectuosos que ´este este contiene y para ello, toma una muestra aleatoria de 300 plumas, de las cuales 30 tienen alg´ un defecto. Establezca una estimaci´on un on por interv intervalo, alo, con una confianza confianza del 90 %, para la proporci´on on de bol´ bol´ıgrafos defectuosos en el embarque. Suponga que se puede devolver el embarque si ´este contiene m´as as de 5 % de defect defectuos uosos. os. Con base en los resultados de la muestra, ¿le recomendar´ recomendar´ıa al due˜no no de la papeler papel er´´ıa regresar regresa r todos los bol´ıgrafos? ıgrafos ? 17. Un lote de azulejos azulejos de cer´ cer´amica amica es inspeccionado justo antes de ser embarcado. El gerente de control de calidad manda revisar 6 cajas completas, cada una con un contenido de 144 azulejos. Se encuentran los siguientes defectuosos: { 2, 3, 6, 0, 4, 9 } . Si los datos pueden considerarse como una muestra aleatoria de una poblaci´on, on, construya construya un intervalo intervalo de confianza del 98 % para el n´umero umero promedio de unidades defectuosas por caja. Establezca los supuestos sobre los cuales basa su desarrollo. 18. El due˜ no de una inmobiliaria revis´o aleatoriamente 150 de las 3000 cuentas de la compa˜n´ıa y deterno det ermin´o que el 60 % de ´estas estas estaban al corriente. a ) Encuentr Encuentree un interv intervalo alo de confianza del 95 % para la proporci´on on de cuentas de la compa˜n´ n´ıa ıa que qu e est´ an an al corriente. b ) En base al resultado resultado del inciso anterior, anterior, estime por un interv intervalo alo el n´umero umero total de cuentas de la inmobiliaria que est´an an al corriente corriente.. (Utilice el mismo mismo nivel de confianza confianza del 95 %). 19. Se seleccion´ seleccion´o una muestra aleatoria de 21 ingenieros de un grupo m´as grande que labora para un fabricante de equipo electr´onico onico y se les pregunt´o sobre el n´umero umero de horas que trabajan semanalmente. La desviaci´ desviaci´ on on est´andar andar muestral fue de 7 horas. Determine Determine un intervalo intervalo de confianza confianza del 90 % para la varianza arianza de las horas de trabajo para todos los ingenieros que laboran para el fabricante. (Suponga que dichas mediciones tienen una distribuci´on normal). 20. Los empleados empleados que trabajan para para una compa˜n´ıa de mudanzas llevan las cajas al sitio, las ensamblan y las empacan. La compa˜ compa˜n´ıa quiere estimar el tiempo requerido para ensamblar un tipo especial esp ecial de caja. Se eligen aleatoriamente en las cuales se toma el tiempo de ensamblaje de dicho tipo 16 situaciones X i = 336s y X i2 = 7116s2 donde s quiere decir segundos. Determine un de cajas, y se obtiene: interv intervalo alo de confianza confianza del 99 % para el tiempo medio de ensamblaje. ensamblaje. 21. Se cree que los anticoncept anticonceptivo ivoss orales orales reducen el nivel nivel de hemoglobina hemoglobina del usuario. usuario. En un estudio de sangre sangre de una muestra muestra de 37 mujeres mujeres que reportaron reportaron estar tomando tomando dicho dicho m´ etodo, etodo, se obtuvo obtuvo una media de 14.491 con una desviaci´on on est´andar andar de 1.079 en el nivel de hemoglobina. Construya un interv intervalo alo de confianza confianza del 95 % para el nivel medio poblacional poblacional de hemoglobin hemoglobinaa de mujeres mujeres que toman anticonceptivos orales. Si el nivel medio normal es de 14.9, ¿hay raz´on on para sustentar la sospecha? 22. Se desea realizar un estudio sobre sobre las utilidades utilidades que tienen las peque˜nas nas industrias industr ias en M´exico. exico. En una u na primera etapa se decidi´o seleccionar una muestra aleatoria en Guadalajara y otra del mismo tama˜no en la Ciudad de M´ exico. exico. Los datos registrados, medidos en millones de pesos, son los siguientes:
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Guadalajara 11.2 9.4 8.7 12.2 7.7 11.5 7.3 11.8 15.1 10.5 17.0 15.6 13.2 17.2 14.6 12.2 9.8
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Cd. de M´ exico exico 16.7 17.9 17.4 14.9 16.2 14.0 15.1 18.3 11.3 18.3 17.1 12.0 15.2 16.2 14.9 10.5 16.5
a ) Estime Estime el valor valor medio y el coeficiente coeficiente de variaci´ variaci´on on de las utilidades para las industrias en Guadalajara y para las de la Ciudad de M´ exico. exico. b ) Calcule Calcule los interv intervalos alos de confianza para el valor medio y la varianza varianza de las utilidades utilidades en GuadaGuadalajara y en la Ciudad de M´ exico; exico; utilize utilize una confianza del 98 % y 95 % respectivamen respectivamente. te. c ) ¿Qu´e supuestos supu estos consider´ conside r´o en cada uno de los incisos anteriores? 23. Con el objeto objeto de estimar estimar la proporc proporci´ i´on on de televidentes que han visto el anuncio de un producto, se entrevist´ o a 2300 personas y result´o que 1974 de ellos s´ı lo hab´ hab´ıan visto. a ) Encuentr Encuentree un interv intervalo alo de confianza del 95 % para la proporci´ proporci´on on de todos los espectadores que han visto la publicidad del producto. b ) Obtenga el tama˜no no de la muestra necesario para que el intervalo del inciso anterior tenga una longitud m´ axima axima de 10 % con % con la misma confianza. 24. Los costos variables variables,, principalme principalmente nte la mano de obra, hacen que los costos de la construcci´ construcci´on on de casas var´ var´ıen de una edificaci´ edificaci ´on on a otra. Un constructor de casas necesita una ganancia media por encima de $8500 por casa para alcanzar una ganancia anual establecida como meta. La ganancias por casa para las cinco edificaciones edificaciones m´as as recientes del constructor, medidas en d´olares olares son: { 8760, 6370, 9620, 8200, } 10350 respectivamente. a ) Encuentr Encuentree un interv intervalo alo de confianza confianza del 95 % para el promedio promedio de la ganancia ganancia del constructo constructor. r. Indique los supuestos sobre los cuales basa su desarrollo. b ) Con la informaci´on on obtenida obtenida en el inciso anterior, anterior, ¿ser´ ¿ser´ıa razonable razonable pensar que el construct constructor or est´ a trabajando al nivel de ganancia deseado? 25. En una muestra muestra aleatoria aleatoria de 100 estudiante estudiantess de cierto cierto colegio, 60 de ellos opinaron opinaron que estaban estaban a favor favor del pase autom´atico atico a las universidades. Obtenga un intervalo intervalo de confianza del 95 % para la proporci´on on poblacional. 26. Un hombre hombre de negocio negocioss est´ est´a interesado en invertir en un instrumento que piensa le puede dar altos rendimientos. No obstante, sabe que, en general, a mayor rendimiento, mayor riesgo. Al considerar instrumentos similares, se observaron observaron los siguientes rendimientos ( %): {8.7, 15.5, 21, 18, 17.3, 22.1, 25} El inversionista considera que si se tiene un riesgo mayor a 10 (desviaci´on est´andar), andar), no le conviene invertir. Construya un intervalo intervalo de confianza del 95 % para el par´ametro ametro adecuado e indique si el hombre har´a la inversi´on on o no. Justifique su respuesta e indique los supuestos sobre los cuales basa su desarrollo.
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Respuestas 1. — 2. — 3. — 4. (0.4525, 0.6475), 0.4216, 0.6783) 5. (0.0002, 0.0023) 6.
a ) (0.2864, 0.4687) b ) (0.2743, 0.4935) c ) S´ı.
7. (0.00674, 0.0253), (0.0015, 0.0305) 8. (0.9781, 1.0331), normalidad. 9. Supuesto: Supuesto: las lecturas lecturas del instrumen instrumento to de distribuye distribuyen n normal. normal. e s adecuada ade cuada la garant´ garant´ıa. σ 2 ∈ (1 .4075, 31.2637), σ ∈ (1.1864, 5.5914). No es 10.
a ) (147.65, 168.96), normalidad. b ) (146.36, 642.52), normalidad.
11.
a ) (14.204, 14.596), normalidad. b ) 0.2
12. — 13.
a ) (19.44, 55.87) b ) La distribuci´on on de los puntos del bolichista es normal. c ) No.
14. n = 2401 15.
a ) (514.21, 535.79) b ) Dado que los valores valores del intervalo intervalo son menores menores a 600, se puede pensar que s´ı hubo un da˜no no por las heladas.
16. (0.0716, 0.12 1284 84), ), s´ı.ı. 17. (−0.334, 8.344) 18.
a ) (0.5216, 0.6784) b ) (1564.8, 2035.2)
19. (31.2, 90.32) 20. (19.53, 22.47) 21. (14.13, 14.85 85), ), s´ı. 22.
a )
¯ = = 12.06, C V = 25.31 % X ¯ = 15.44, C V = 15.28 % ii) X = i)
b ) Guadalajara: Guadalajara: µ ∈ (10.15, 13.97); σ 2 ∈ (5 .17, 21.57) Ciudad Ciu dad de M´exico: exi co: µ ∈ (13 .96, 16.92); σ 2 ∈ (3 .09, 12.9) c ) Las utilidades utilidades de las industrias industrias se distribuy distribuyen en normal. 23.
a ) (0.8440, (0.8440, 0.8725) 0.8725) b ) n = 385
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a ) (6772.79, 10547.21), normalidad. b ) No.
25. (0.5040, 0.696) 26. σ 2 ∈ (11 .6038, 135.5491) σ ∈ (3 .4064, 11.6426)
No; los rendimientos de los instrumentos de inversi´on on tienen tienen una distribuci´ distribucion o´n normal. normal.
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