GU´ IA DE ESTUDI ESTUDIOS OS PARA EL EXAME EXAMEN N A TITUL TITULO O ´ DE SUFICIEN SUFICIENCIA CIA DE FUNDAME FUNDAMENTOS NTOS DE ALGEBRA.
on se presenta tienen como objetivo proporon INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuaci´ cionarte orientaci´on on sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos de ´ Algebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta gu´ gu´ıa no ser´an an los mismos que se incluyen en el examen. ´ NUMEROS COMPLEJOS.
1. Efect´ ue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular. ue (a)
5 3
− 2i + 10 − i (Resp. (Resp. 6.8 − 1.6i) 3i − 4i 4 + 3i 4 i − i (Resp. (Resp. 3 + 4i 4i) (d) 11
(c) (e)
2
1 + 2i 2i
3∠ 15◦ + (3∠ 20◦ )3 (Resp. (Resp. 0 (1 + 3 i)(2e )(2eiπ/2 )
√
(b)
i
2
3
−i −i
+ i4
(1 + i)2
3 1 + i − 2 1 − i 3
1
27ii) − 27
−i
(f ) f )
− i)
(Resp. (Resp. 2
− 3i)
2
1+i
(2
(Resp. (Resp. 1
− 2i)(4 − 3i) (Resp. (Resp. 8 − 6i) 1−i
1 2 1 3 (g ) (4 + 5i) − + i + (Resp. 71 71//20 + 35/ 35/6i) − i (Resp. 4
3
5
2
2. Simplificar Simplificar cada una de las siguientes siguientes expresiones expresiones.. i4 + i7 i10 4 i5 + i8
(i).
(ii) ii).
(iii) iii). (2
−
−
(’Resp: 0. 0.42
(2 + i)(1 i)( 1 + i) ( 2 + 2i 2 i)2
−
− −
(’Resp:
− 2i) √2 −2 √2i − √2 +i √2i 2
12ii’) − 0.12 25ii’) −0.5 − 0.25
(’Resp: 2. 2.83
83ii’) − 2.83
3. Dados los n´ umeros umeros complejos Z 1 = 4e2π/3 i , Z 2 = 2∠ 60◦ , Z 3 = 1 + i. Calcule Calcule las siguiente siguientess operaciones operaciones y exprese los resultados en forma polar. (a) Z =
1 i25 (Z 3 )8 (Resp. Z = ∠ 150◦ ) 5 (Z 2 ) 2
(b) Z =
1
2Z 1 + 4Z 4Z 3 (Resp. Z = 1.4∠ 270◦ ) Z 1 Z 2
4. Dados los n´umeros umeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangular, polar y exponencial. Z 1 = 5e 5 eiπ/ 4 (a) Z = Z 1
• Z • Z 2
3
(Resp. (Resp. 67 67..08 + 55. 55.98 98ii)
(c) Z = 5. Para Para Z 1 , Z 2 , Z 3 exponencial.
∈
C,
Z 2 = 3 ∠ 15◦
Z 1
− Z
2
Z 3
Z 3 = 2 + 4i 4i
(b) Z = Z 1 + Z 2 + Z 3 (Resp. (Resp. 8.42 + 8. 8.3i)
(Resp. (Resp. 0.61 + 0. 0.14 14ii)
(d) Z =
(Z 1 )3 Z 2 (Z 3 )2
realiz realizar ar las siguie siguiente ntess operaci operacione oness y expres expresarl arlas as en forma forma rectan rectangul gular, ar, polar polar y
Z 1 = 2e 2 eiπ/ 6
Z 2 =
(i). (z1 z3 ) + z2 (Resp: 3. 3.8 z1 2 z2 (iii) iii). ( ) ( ) (Resp: (Resp: z3 z3
√
3
−
√
3i
Z 3 = 4(cos 4(cos π/4 π/4 + i sen π/4) π/4) 3 (ii) ii). 5z1 + z2 5
− 9.5i)
− 2z
3
(Resp: 4. 4.0 + 9. 9.6i)
(iv) iv ). (z1 + z3 )3 (Resp: 49. 49.11
59ii) −0.17 − 0.59
107..97 97ii) − 107
6. Encuentre las ra´ıces ıces indicadas de las n´umeros umeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular y grafique las ra´ ra´ıces en el plano complejo (a) Las ra´ ra´ıces c´ubicas ubicas de z = 8 + 8i 8i
√
(b) Las ra´ıces ıces cuadradas cu adradas de z = 8 + 8 3 i (c) Las ra r a´ıces quintas de z =
32ii −32 (d) Las ra´ıces ıces cuadradas cu adradas de z = −7 + 24i 24i. (Resp. (Resp. w = 2 + i,w = −1 + 2i 2 i,w = −2 − i w = 1 − 2i) √ (e) Las ra´ ra´ıces quintas de z = −16 + 16 3 i (Resp. w = 1.8 + 0.8i, w = −0.2 + 2i 2 i,w = −1.9 + 0. 0 .4i, w = −1 − 1.7i, w = 1.3 − 1.4i) 7. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), ki), calcule el valor de k para que z sea un n´ umero imaginario puro. (Resp. k = 2) umero 8. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), ki), calcule el valor de k para que z sea un n´ umero umero real. (Resp. k = −8) 9. Sea z = (5 − 2i)(4 − ki), ki), calcule el valor de k para que z sea un n´ umero imaginario puro. (Resp. k = 10) umero 10. Sea z = (3∠30◦ )(3 − ki), ki), determine el valor de k para que z sea un n´ umero umero imaginario puro. 0
1
0
3
2
1
3
2
4
11. Sea z = 31−−kii , calcule el valor de k de tal manera que arg( arg (z ) =
π 4
(Resp. k = 0)
12. Una ra r a´ız c´ c ubica u ´ bica de un n´ umero umero complejo es 1+ i. Halle dicho n´ umero umero complejo complej o y sus s us otras ot ras dos ra´ ra´ıces c´ c ubicas. ´ubicas. (Resp. z = 2 + 2i 2i, w0 = 1 + i w1 = 1.36 + 00..36 36ii, w2 = 0.36 1.36 36ii)
−
−
−
2
13. De un pent´agono agono regular centrado en el origen conocemos un v´ ertice ertice que es el punto (1 ( 1, los retantes ret antes v´ertices ert ices..
MATRICES Y DETERMINANTES.
(a) Sean A=
−2 4 1
B=
0
2
−4
−1
k
Calcular el valor de k para que AB = BA. BA . Respuesta: k = 0 (b) Obtener el valor de X de la expresi´on on matricial matricial siguiente, siguiente, dadas las matrices matrices
2 A = −2
2 B = 0
1 5 1 0 1 1
4
0
1 3 2 7 0 1
−
i. Ecuaci´ Ecuaci´ on: on: X = A B + 2A 2A Respuesta:
8 X = −2 18
8 6 1 11 7 18
ii. Ecuaci´ Ecuaci´ on: on: X = (BA) BA )
− 2B
Respuesta:
10 X = 6
30 9 13 7
−2 −13 −1
(c) Obtener la matr´ m atr´ız ız X , de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B . i. X = A−1 B + B −1 A ii. X = (A B )−1 Si A=
0 −1 1
2
B=
2 −1 0
2
Respusta:
(a)X =
1717//4 0 −3/2
2
3
(b)X =
3/4 −
1/2 1/2 0
−√3). Determinar
(d) Para a
∈Ry A=
1 a 0 a2
Calcular A2 , A3 . Respusta: 2
(a)A =
1
a + a3 0 a4
3
(b)A =
1
a + a3 + a5 0 a6
(e) Dadas las las matrices matrices
3 A = 2
2 4 B = 4 5
1 0 0 3 4 1 2
Calcular: A2 , A B ,
2 C = 3
0 0 0 1 1 0 2
2 7
8C y A + C (C − A) ∗ −3A + 8C
Respuestas:
11 3 3 A = 18 5 6 22 6 7 7 −3 0 0 − 1 8C = 18 −3A + 8C
10 8 A B = 10 23 16 23 1 A + C (C − A) = −4
2
−4 −3
−1 −4 −3 −2
10
0 3 2
(f) (f ) Mediante operaciones elementales elementales transformar A en una matr´ matr´ız escalonada, e identificar el n´umero umero de filas no nulas (ese valor es el rango de una matr´ matr´ız)
1 A = 2
4 5 1 10
−1 3 −11
3 1 B = 1 4 5
C =
2 4
C =
1 2
−2
5 3
Respuesta:
1 A = 0 0
4 3 0
−
−1 5 0
1 B = 0
4 11 0
−
0
0
−7
Todas tienen rango 2. (g) Calcular la matr´ matr´ız inversa de cada una de ellas.
1 A= 0 −
0 4 1 2 1 3 1
2 B = 0
1 0 1 3 1 1
− 1 B= 3
−0.5
2
1 C = 0 2
−1 1 0
0 0 1
Respuesta:
5 A= 2
−1
−12 −5 3
4 2 1
−
−1
4
1 0
− 1.5 3 1
1 C = 0
1 1 2
−2 −
0 0 1
(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo conmutativo calculando ambos productos en las matrices.
1 A = 2
2 B = 3
0 0 1 2 2 1
−
2
1 0 1
4
−
− 4 1 5
(i) Dadas la matr´ız ız
1 A = 0
1 A = 0
1 1 1 1 0 0 1
Calcular: A2 , A3 , A4 Respuestas:
1 A = 0
2 3 1 2 0 0 1
2
3 6 1 3 0 0 1
3
A4
1 = 0
4 10 1 4 0 0 1
(j) Dadas las matrices A=
3
−5
−4
B=
1
7 −4 5
k
Determinar el valor de k para que AB = BA. BA . Respuesta: k = 9
4 (k) De la matriz A = 1
0 0 1 1 a 2 Calcular el valor de a para que la matr mat r´ız A sea singular, es decir, su determinante sea cero. Respuestas: a = 1/4
−
−1
−
−
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
(a) Se tiene el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales siguiente siguiente x + z = 10 2x + 3y 3y = 17 3x + 4y 4y + z = 32 y adem´as as se sabe que la matr´ matr´ız de coeficientes co eficientes A del sistema tienen como inversa:
3/2 A− = −1 1
−1/2
5
2 1 2
− −
−3/2 1 3/2
C´ alcular alcular la soluci´ soluci´ on on del sistema. 5, z = 9 Respuesta: x = 1, y = 5, (b) Utilize el m´ etodo etodo de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. i. 2x 5y + 3z 3z = 4 x 2y + z = 3 5x + y + 7z 7z = 11
− −
5 , y = 0, z = Respuesta: x = 5, ii.
−2 2x + 3y 3y + z = 1 3x
1, y = Respuesta: x = 1, iii.
− 2y − 4z = −3 5x − y − z = 4
−1, z = −2 2x + y + z = 4 3x y + z = 8
−
− y − 7z = −8
2, y = Respuesta: x = 2, iv.
−1, z = 1 3x + 2y 2y + 4z 4z = 1 5x y 3z = 7 4x + 3y 3y + z = 2
− −
Respuesta: x =
−
−1, y = 2, z = 0
(c) Aplicando el m´ etodo etodo de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. i. 2x y + z = 3 x + y 2z = 3 x + 4y 4y 5z = 6
− − −
− −
1 , y = 2, z = 3 Respuesta: x = 1, ii. 8y + 2z 2z = 15 −5x + 8y x + 7y 7y + 4z 4 z = −8 3x − 2y − z = − 2 Respuesta: x =
−1, y = 3, z = −7 6
iii. x+y +z =0 x y + 3z 3z = 1
−
− x + y + 9z 9 z = −2 0 , y = 1/4, z = 1/4 Respuesta: x = 0, iv. 4x y + 5z 5z = 25 7x + 5y 5y z = 17 3x y + z = 21
−
−
−
Respuesta: x =
v.
− −
−4, y = 9, z = 0 10 10x x
−
x + 2y 2y = 2 5y + 9z 9z = 48 y z= 4
−
−
−
2 , y = 2, z = 2 Respuesta: x = 2,
VECTORES.
1. Determine Determine 2 vectores vectores perpendicular perpendiculares es al vector vector (1, (1 , 1, 1) que no sean paralelos entre si. Respuesta: Los vectores son (a,b,c ( a,b,c)) = (1, (1, 1, 2) y (u,v,w (u,v,w)) = ( 1, 0, 1)
−
−
2. Determine Determine si alguno alguno de los siguientes siguientes vectores vectores es paralelo paralelo al vector vector 4 i Respuesta 3
Respuesta
a)
−i −
j
Si
c)
b)
8i + 12 j
Si
d)
2
− 6 j .
2(i
1
5
2
12
− j ) − 3( i − j ) (5i + j ) − (7i + 4 j )
No Si
sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo. 3. Calcule Calcule c (si existe) para que uyw Respuesta
a)
u =5i + 3 j
=2i + c j w
c = 65
b)
u =2i
=i + 4 j w
c= 8
c)
u = ci + 5 j
=8i w
c =20
d)
1 2
− c j
− u =− i −
1 5
j
− 2 j =−ci − 2 j w
−
c =5
7
4. Dados u y w calcule: i ) ii ) iii ) iv ) v )
u+w u w 3u 5w 4u 2w 3(u 3(u + w)
− −
− −
2(u − w) − 2(u
en los siguientes problemas. a ) c) e)
u = i j u = i + 12 j u = 2i j + 3k
− −
w = i + 2 j w = 35 i 14 j w = i 2k
b) d ) f )
− − −
u = j u = 2 i 25 j u = i 4 j + 2k
w = 3i 3 j w = 13 i + 5 j w = 4i + 7 j + 5k
− −
− −
−
Respuesta
a )
i )
j
i )
3i
ii )
2i
ii )
v )
−3i + 4 j −15i + 18 j i + 2 j √−6421
i )
3i
v )
− 3 j 8i − 13 j i √−2117
i )
5 3
i +
ii )
7
i
iii ) iv )
d )
iii ) iv )
23 5 27
ii )
5
23
131
3
5
22 3
e)
42 5
136186
v )
iii ) iv )
j
− j i − j − i − j 3
b)
225
iii ) iv ) v )
− 2 j
i ) c)
i + 14 j
11
iii )
−
v ) i ) ii ) f )
5
ii ) iv )
− j + k i − j + 5k i − 3 j + 19k −√10i + 4 j − 8k 3 11
8
iii ) iv ) v )
4
j
26
20 5
5
i
− i
−
3 2
3 4
j
6625 400
−3i + 3 j + 7k 5i − 11 j − 3k 23i − 47 j − 19k + 2 j − 18k √4i 2051
5. Sea w el vector con direcci´on on π4 y magnitud 2, y v el vector con direcci´on on π3 y magnitud magnitud 3. Calcule Calcule w , v , w v , el vector unitario en la direcci´ on on de v y el vector unitario en la direcci´on on de w. Dibu Dibuje je los los vectores de cada inciso.
·
Respuesta a ) b) c) d ) e)
w v w·v
vector ctor unita nitarrio en la
direccion de w vector ctor unit unitar ario io en la direccion de v
2 √ 3 √ 3 2 + 326 2
√ , √ , √ 2
2
1 2
2
2
3
2
6. Determine Determine en cada problema problema las variables variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones:
8
Respuesta
a )
(8a, (8a, 2b, 13 13cc) = (52, (52, 12 12,, 11)
b)
( 4a,b, 3c) = (5, (5, 6, 1)
c)
( 15 a,
−
−
−
2 3
−
b, 47 c) = ( 13 , 27 ,
−
3 4
a
b
c
13
6
11
2
− )
5
13
−6 − − −
4
5 3
1 3
3
21
7
16
7. Encuentre Encuentre n´ umeros umeros a y b tales u = av + bw Respuesta a )
u= i + j
v= 2i
− 3 j
w= i + 5 j
a=
b)
u= i
v=
−2i + 4 j
w= 5i + 7 j
a=
−
4 13
5 34
b= b=
5 13 1 7
8. Los puntos puntos A = (1 ( 1, 2), 2), B = (3 ( 3, 4), 4), C = (5, (5, 1) forman un tri´angulo. angulo. Calcule el ´area area del tri´angulo. angulo. 9. Determine Determine en cada inciso si los puntos puntos A, B y C son colineales. Respuesta
A =(1, =(1, 2, 3)
− − A =(−5, −2, 4)
B =(2, =(2, 1, 0)
C =(4, =(4, 7, 6)
Si son colineales
B =( 3, 1, 5)
C =(2, =(2, 5, 6)
No son colineales
A =(1, =(1, 4, 5)
B =(1, =(1, 3, 7)
C =( 4, 1, 3)
No son colineales
A =(0, =(0, 2, 3)
B =(3, =(3, 4, 5)
−
− − C =(−9, −4, 3)
Si son colineales
10. Los siguientes siguientes puntos P = (0, (0, 0), 0), Q = (1, (1, 1), 1), R = (1, (1, 5), 5), S = (0, (0, 6) forman un trapezoide. Calcule el ´area area de esta figura utilizando el producto cruz. Respuesta: 5 unidades cuadradas.
11. Un avi´ avi´ on on vuela vue la en l´ınea recta re cta con vector de direcci´on 10i +6 j +5 k (en kil´ometros ometros por hora). En un momento momento el avi´on on se encuentra en el punto (3, (3, 4, 5). (a) ¿En que posici´on on se encuentra 1 hora h ora despu´es? es? (b) ¿En que posici´ posi ci´on on se s e encuentra en cuentra 1 minuto m inuto despu´es? es? (c) ¿Cu´anto anto tarda en subir 10 metros y en que posici´on on se encuentra? (d) ¿Cu´anto anto tarda en subir a una altura de 10 metros y en que posicion se encuentra? Respuesta:
(a) (13, (13, 10 10,, 10) (b) (3.166 , 4.1, 5.083) (c) Tarda 2 horas y se encuentra encuentra en la posici p osici´´on on (23, (23, 16 16,, 15). (d) Tarda 1 hora y se encuentra en la posici´ p osici´ on on (13, (13 , 10 10,, 10)
9
