Guia ETS - Teoría Del Control 3

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Ingeniería en Control y Automatización

TEORÍA DEL CONTROL III Guía de Estudio para ETS

Web Page

www.geocities.com/ipn_filemanager/

Profesor

Moisés Antonio Fonseca Beltrán [email protected]

Fecha de Aplicación Lugar Horario Modalidad

Miércoles 13 de enero de 2010 Salón 3208 De 08:00 a 10:00 horas Individual a libro abierto

Revisión de Examen

Viernes 15 de enero de 2010 de 09:00 a 11:00 horas Anexo del Edificio 5, Sala 2

Asesorías

Lunes a Viernes de 10:00 a 15:30 horas Anexo del Edificio 5, Sala 2

Temario por evaluar 1. Representación en Variable de Estado 2. Formas Canónicas 3. Matriz de Transferencia 4. Controlabilidad y Observabilidad 5. Respuesta en el tiempo 6. Asignación de Dinámica 7. Observadores 8. Propiedades de Sistemas Lineales

Instituto Politécnico Nacional Diciembre, 2009

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Control y Automatización

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Teoría del Control III Guía de Estudio para ETS

PARTE I. 1.

REPRESENTACIÓN EN VARIABLE DE ESTADO

Hallar una representación en variable de estado para el siguiente sistema

Σ:

f u(t )

∫

+ -

2.

Hallar una representación en variable de estado para el siguiente sistema f 1 u(t )

+ -

Σ:

f 2

∫

∫

+

k 1

-

l1

3.

∫

+

l

y(t )

+

k

f 3 y(t )

∫

+

k 2

-

l2

k 3

+

l3

Hallar una representación en variable de estado para el siguiente sistema:

– u1(t )

+

∫

u2(t )

+

∫

+

y1(t )

+

K 1

y2(t )

K 2

–

4.

Hallar una representación en variable de estado para el siguiente sistema

∫

y2(t )

∫

+

+

Σ:

∫

u2(t )

+

– u1(t )


+

∫

∫

∫


y1(t )

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PARTE II. 5.

FORMAS CANÓNICAS

Hallar para el sistema del ejercicio 1, las formas canónicas: a) Controlador (FCC), b) Observador (FCO), c) Controlabilidad (FCCo), d) Observabilidad (FCOb), y e) Diagonal, cuando k = 2, f = 3 y l = –2 Nota:

6.

Hallar para el sistema del ejercicio 2, las formas canónicas: a) Controlador (FCC), b) Observador (FCO), c) Controlabilidad (FCCo), d) Observabilidad (FCOb), y T T T e) Diagonal, cuando k = [2 3 1] , f = [3 –3 1] y l = [–1 –2 –3] Nota:

7.

Cada forma canónica incluye la realización Σ( A, B,C ) y el diagrama de computadora analógica correspondientes.

Cada forma canónica incluye la realización Σ( A, B,C ) y el diagrama de computadora analógica correspondientes.

Sea el circuito RLC serie:

vi(t )

i(t )

R

v R(t )

L

v L(t )

C

vC (t )

Determine: a)

b)

c)

d)

la representación en variable de estado del sistema V R(s)/ V i(s), en las formas canónicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), así como los diagramas de computadora analógica correspondientes. la representación en variable de estado del sistema V L(s)/ V i(s), en las formas canónicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), así como los diagramas de computadora analógica correspondientes. la representación en variable de estado del sistema V C( s)/ V i(s), en las formas canónicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), así como los diagramas de computadora analógica correspondientes. la representación en variable de estado del sistema I (s)/ Vi (s), en las formas canónicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), así como los diagramas de computadora analógica correspondientes.



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PARTE III.

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

8.

Determine la matriz de transferencia del sistema del ejercicio 1.

9.


10.


11.


12.

Determine la matriz de transferencia del sistema del ejercicio 7, considerando que el sistema tiene una sola entrada, vi(t ), y cuatro salidas, i(t ), v R(t ), v L(t ) y vC (t ).

13.

Sea un sistema lineal Σ de dos entradas y una sola salida, donde: a) la salida se ve afectada por la entrada 1, a través de la función de transferencia F (s). b) la salida se ve afectada por la entrada 2, a través de la función de transferencia G(s). donde: F ( s ) =

10

G (s) =

s ( s + 3)

Construya la matriz de transferencia del sistema

14.

y

2

Σ y

3 ( s + 1)( s + 2)

determine la dimensión del espacio de estado.

Sea el sistema MIMO G(s) con matriz de transferencia 10( s + 4)   ( s + 3)(s 2 + s + 4)  s+4   s( s + 5)( s 2 + s + 4) M ( s ) =  s+4 5  s+5  4  2  s( s + s + 4)

10( s + 4)

10( s + 4)

10( s + 4)

s+3 5( s + 4)

2

s 1

s ( s 2 + s + 4) 1

s ( s + 3) 10( s + 4)

s ( s + 5) 1

10( s + 4)

( s + 3)(s + 5)

s ( s + 3)

s ( s + 3)( s + 5)

0

( s + 3)( s + s + 4) 0 0

 ( s + 3)(s + 6 s + 4)   4  s ( s + 5)( s 2 + s + 4)   10( s + 4)  2 ( s + 3)( s + s + 4)  3( s + 4)  2  s ( s + s + 4) 10( s + 4) 2

Determine: a) El número de entradas y salidas del sistema. b) El orden de la dinámica con que se ve afectada la salida y1(t ) por la entrada u4(t ) c) La contribución de la entrada u2(t ) = δ(t )en la respuesta de la salida y3(t ) d) La condición de estabilidad de la salida y2(t ) e) La salida y2(t ) cuando las entradas u1(t ) = u3(t ) = u4(t ) = u5(t ) = 0 y u2(t ) = δ(t )



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PARTE IV. 15.

CONTROLABILIDAD Y OBSEVABILIDAD

Determine para el sistema del ejercicio 1: a) La matriz de Controlabilidad del sistema y su rango b) La condición de controlabilidad del sistema c) La matriz de Observabilidad del sistema y su rango d) La condición de observabilidad del sistema Nota: Considere para este caso que k = 2, f = 3 y l = –2

16.

Determine para el sistema del ejercicio 2: a) La matriz de Controlabilidad del sistema y su rango b) La condición de controlabilidad del sistema c) La matriz de Observabilidad del sistema y su rango d) La condición de observabilidad del sistema T

T

T

Nota: Considere para este caso que k = [2 3 1] , f = [3 –3 1] y l = [–1 –2 –3]

17.

Determine para el sistema del ejercicio 3: a) La matriz de Controlabilidad del sistema y su rango b) La condición de controlabilidad del sistema c) La matriz de Observabilidad del sistema y su rango d) La condición de observabilidad del sistema Nota: Considere para este caso que K 1 = 2 y K 2 = 4

18.

Determine para el sistema del ejercicio 4: a) La matriz de Controlabilidad del sistema y su rango b) La condición de controlabilidad del sistema c) La matriz de Observabilidad del sistema y su rango d) La condición de observabilidad del sistema

PARTE V. 19.

RESPUESTA EN EL TIEMPO

Determinar la salida y(t ) del sistema del ejercicio 1, para cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = 0 b) x(0) = [ 1 –1]T , u(t ) = 0 c) x(0) = [–1 –1]T , u(t ) = 0 d) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = 1(t ) e) x(0) = [ 1 –1]T , u(t ) = 1(t ) T f) x(0) = [–1 –1] , u(t ) = 1(t ) Nota: Considere para este caso que k = 2, f = 3 y l = –2



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20.

Determinar la salida y(t ) del sistema del ejercicio 2, para cada uno de los siguientes escenarios: T a) x(0) = [–1 1 –1] , u(t ) = 0 T b) x(0) = [ 1 –1 1] , u(t ) = 0 c) x(0) = [–1 –1 –1]T , u(t ) = 0 T d) x(0) = [–1 1 –1] , u(t ) = δ(t ) T e) x(0) = [ 1 –1 1] , u(t ) = δ(t ) f) x(0) = [–1 –1 –1]T , u(t ) = δ(t ) T

T

T

Nota: Considere para este caso que k = [2 3 1] , f = [3 –3 1] y l = [–1 –2 –3]

21.

Determinar la salida y(t ) del sistema del ejercicio 3, para cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = [0 0]T b) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = [0 0]T c) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = [0 0]T d) x(0) = [–1 1]T , u(t ) = [δ(t ) δ(t )]T T T e) x(0) = [–1 1] , u(t ) = [1(t ) δ(t )] T T f) x(0) = [–1 1] , u(t ) = [δ(t ) 1(t )] T T g) x(0) = [–1 1] , u(t ) = [1(t ) 1(t )] Nota: Considere para este caso que K 1 = 2 y K 2 = 4

22.

Dado el siguiente sistema: u2(t )

–2

u1(t )

+

∫

x1(t )

3 y2(t )

∫

+

–2

x3(t )

x2(t )

∫

y1(t )

+

u3(t )

2

Determine la respuesta del sistema, en cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [–1 –2 1]T , u(t ) = 0 b) x(0) = [–1 2 1]T , u(t ) = 0 c) x(0) = [–1 2 –1]T , u(t ) = 0 d) x(0) = [–1 –2 1]T , u(t) = [ 1(t) 1(t ) 1(t )] e) x(0) = [ –1 2 1]T , u(t) = [ 1(t) 1(t ) 1(t )] f) x(0) = [ –1 2 –1]T , u(t) = [ 1(t) 1(t ) 1(t )]



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PARTE VI. 23.

ASIGNACIÓN DE DINÁMICA

Determine para el sistema del ejercicio 1 una retroalimentación de estado de la forma u = –kx, tal que asegure que el sistema a lazo cerrado tiene la siguiente dinámica: a) Pk (s) = s2 + 10 s + 21 b) Pk (s) = s2 + 8 s + 15 c) Pk (s) = s2 + 6 s + 9 d) Pk (s) = s2 + 8 s + 17 Sugerencia: Para cada inciso, desarrolle los métodos de igualación de polinomios característicos y aplicación de las fórmulas de Ackerman, Bass-Gura y Mayne-Murdock.

23.

Determine para el sistema del ejercicio 2 una retroalimentación de estado de la forma u = –kx, tal que asegure que el sistema a lazo cerrado tiene la siguiente dinámica: a) Pk (s) = s3 + 6 s2 + 11 s + 6 b) Pk (s) = s3 + 3 s2 + 3 s + 1 c) Pk (s) = s3 + 4 s2 + 5 s + 2 d) Pk (s) = s3 + 6 s2 + 12 s + 8 Sugerencia: Para cada inciso, desarrolle los métodos de igualación de polinomios característicos y aplicación de las fórmulas de Ackerman, Bass-Gura y Mayne-Murdock.

24.

Sea el sistema F ( s ) =

10 2

s ( s + 3) 2

Diseñe una ley de control por retroalimentación de estado estática que compense el sistema con la dinámica Pk (s) = (s + 4)(s + 4.2)( s + 4.5)2 Sugerencia: Para cada inciso, desarrolle los métodos de igualación de polinomios característicos y aplicación de las fórmulas de Ackerman, Bass-Gura y Mayne-Murdock.

25.

Sea el sistema F ( s ) =

10 ( s − 2)( s + 1)( s + 2)( s + 3)

Diseñe una ley de control por retroalimentación de estado estática que compense el sistema con la dinámica Pk (s) = (s + 0.5)4 Sugerencia: Para cada inciso, desarrolle los métodos de igualación de polinomios característicos y aplicación de las fórmulas de Ackerman, Bass-Gura y Mayne-Murdock.



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PARTE VII. 26.

OBSERVADORES

Sea el sistema:  1 0  0 0 •     0 1 x(t ) + 0 u (t )  x (t ) =  0    Σ ( A, B, C ) :    1 − − − 6 11 6     y (t ) = [ 1 0 1] x(t )

Diseñe un observador de orden completo para el sistema anterior, tal que los polos de su matriz de ganancia estén colocados en las coordenadas µ1, 2, 3 = –5.

27.

Diseñe un observador de orden reducido para el sistema del ejercicio 26, tal que los polos de su matriz de ganancia estén colocados en las coordenadas µ1, 2 = –5. Asuma que la salida y(t ) es medible, con lo que el estado x1(t ) no necesita estimarse.

PARTE VIII. 28.

PROPIEDADES DEL ESPACIO DE ESTADO

Sea el sistema:  1 0 2 − 2 − 2 0   0 2  0 1 −1 −1 •     x (t ) =  0 2 0 3 0 x(t ) +  2     1   0 −1 −1 − 2 0 Σ:  1 0 − 3 − 4  1 0   1 1 0 − 2 0    0 0 x (t )  y (t ) =  0 − 1 − 1     − − 1 0 0 2 1  

Determine las siguientes características del sistema

Σ y

0

0

0

0

1

1

  0 0 0u (t )  1 0 0 1 0 0

en su caso, responda las siguientes preguntas:

a)

El número de entradas

b)

El número de salidas

c)

El número de estados

d)

¿Está desacoplado totalmente (entrada–salida)?

e)

¿Está desacoplado a bloques?

f)

¿Cumple con la condición mínima necesaria para ser desacoplado totalmente?

g)

¿Es MIMO o SISO?

h)

¿Es posible llevarlo a una forma canónica MIMO?

i)

¿Existe una representación en el dominio de la frecuencia?

j)

¿Es invariante en el tiempo?

k)

La dimensión de la matriz del sistema

l)

La dimensión de la matriz de entrada

m) La dimensión de la matriz de salida n)

¿Existe algún lazo de retroalimentación?

o)

¿Se trata de un sistema lineal?



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29.

Sea un sistema lineal Σ cuya matriz de transferencia es:  1 2  s s+2    2 s +1  2 G (s) =  s s+2   10 3( s + 3)  s2 s +1   Determine las siguientes características del sistema

Σ y

1



( s + 2)(s + 3) 

  10( s + 2)   s( s + 3)    s +1  s   

en su caso, responda las siguientes preguntas:

a)

El número de entradas

b)

El número de salidas

c)

El número mínimo de estados

d)

¿Está desacoplado totalmente (entrada–salida)?

e)

¿Está desacoplado por bloques?

f)

¿Cumple con la condición mínima necesaria para ser desacoplado totalmente?

g)

¿Es MIMO o SISO?

h)

¿Es posible llevarlo a una forma canónica?

i)

¿Existe una representación en el dominio del tiempo?

j)

¿Es invariante en el tiempo?

k)

¿Se trata de un sistema autónomo?

l)

¿Se trata de un sistema continuo o discreto?

m) En la realización Σ( A, B,C ) correspondiente, ¿es cuadrada la matriz B? n)

En la realización Σ( A, B,C ) correspondiente, ¿es cuadrada la matriz C ?

o)

¿Se trata de un sistema lineal?



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