INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica Unidad Pro!esional Cul"uacan Carrera# Ingeniería en Co$unicaciones y Elecr%nica E lecr%nica Acade$ia de &ísica Curso# Ondas $ecánicas 'UIA PA(A PA(A EL E)AMEN ESPECIAL Pro!* M* en C* Sergio I+án Pére, Teniers Ondas ar$%nicas -* Un .oe en $o+i$i $o+i$ien enoo produc producee ond ondas as super!ic super!icial iales es en un lago ran/ui ran/uilo* lo* El .oe e0ecua -1 oscilaciones en 12 segundos3 cada oscilaci%n produce una cresa de onda* La cresa de la onda arda 4 s para alcan,ar la orilla disane -1 $* Calcular la longiud de onda de las ondas de la super!icie* (espuesa* 5*55 $6s 1* La ecu ecuac aci% i%nn de una una cier ciera a onda onda es es ξ = -2 sen1π ( 1 x − -22t ) 7 donde 8 se $ide en $eros y en segundos* 9allar :a; la a$pliud* :.; la longiud de la onda7 :c; la !recuencia y :d; la +elocidad de propagaci%n de la onda*
2 y > -6?2 s* (epeir el pro.le$a para ξ = 1 sen1π ( 2*= x + -2t ) * Co$parar resulados* (espuesa* ?* 27 @Cuál es el despla despla,a$ ,a$ien ieno o cuando cuando 8 > 2*-$7 2*-$7 2*1$ 2*1$ y 2*5$ 2*5$ :.; Para Para 8 > 2*-$7 2*-$7 @Cuál @Cuál es el despla,a$ieno cuando > 27 2*- s y 2*1 s :c; @Cuál es la ecuaci%n de la +elocidad de oscila oscilaci% ci%nn de las paríc parícula ulass de la cuerda cuerda @Cuál @Cuál es la +eloci +elocida dadd $á8i$a $á8i$a de oscilaci%n :d; @Cuál es la +elocidad de propagaci%n de la onda (espuesa* :a; C*C4 x-2 :b; C*C4 x-2 :c ;
−
5
m7 -*4B x-2
5
1*BB x-2
−
−
m7
2*24 cos( 5 x − 1t ) 7 4 x-2
1
1
−
1
m7
5
m7−
−
−
1*5= x-2
1
−
1*BB x-2
m 6 s7 :d ;
2*44D
m3 5
−
m
m6 s
=* La !unci%n /ue descri.e a un $o+i$ieno ondulaorio unidi$ensional es ξ ( x7 t )
π = 2*-2 sen ? x − 1t − 1 * 'ra!i/ue ξ ( x7 t ) conra 87 para > 2 s* Los
pará$eros x y t esán dados en el sise$a inernacional de unidades :SI;* 4* La !unci%n /ue descri.e a un $o+i$ieno ondulaorio unidi$ensional es ξ ( x7 t ) = 2*1= cos( 4 x − t 6 1 + 2*=) * 'ra!i/ue ξ ( x7 t ) conra 87 para > 2 s* Los pará$eros x y t esán dados en el sise$a inernacional de unidades :SI;* D* La !unci%n /ue descri.e a una onda rans+ersal en una cuerda es ξ ( x7 t ) = 2*-= cos( 1 x − ?t − π ) * Los pará$eros x y t ienen unidades en el SI* (ealice lo /ue a coninuaci%n se indica* a; @Cuál es su a$pliud .; @Cuál es su !recuencia angular c; O.enga el periodo* d; O.enga la !recuencia* e; @Cuál es su n$ero de onda !; O.enga la longiud de onda* g; Calcule la +elocidad de !ase :+elocidad de propagaci%n de la onda; "; @Cuál es su ángulo de !ase i; O.enga el +alor de la !ase en 8 > 2*=$ y > 2s* 0; @Cuál es el +alor del despla,a$ieno en 8 > 2*=$ y > 2s π
1
s
(espuesa* a; 2*-= $7 .; ? rad6s7 c; 1 7 d; π "; − π rad 7 i; 1*-?-= rad o -11*DF7 0; G2*2- $*
s
-
−
-
7 e; 1 m 7 !; π m 7 g; −
1
m s
7
* La !unci%n /ue descri.e a una onda rans+ersal en una cuerda es ξ ( x7 t ) = 2*1= cos( x − ?t + π ) * Los pará$eros x y t ienen unidades en el SI* (ealice lo /ue a coninuaci%n se indica* a; @Cuál es su a$pliud .; @Cuál es su !recuencia angular c; O.enga el periodo* d; O.enga la !recuencia* e; @Cuál es su n$ero de onda !; O.enga la longiud de onda* g; Calcule la +elocidad de !ase :+elocidad de propagaci%n de la onda; "; @Cuál es su ángulo de !ase i; O.enga el +alor de la !ase en 8 > 2*=π $ y > π6?s* 0; @Cuál es el +alor del despla,a$ieno en 8 > 2*= π $ y > π6?s π
1
s
(espuesa* a; 2*1= $7 .; ? rad6s7 c; 1 7 d; π "; π rad 7 i; 2*=π rad rad o B2F7 0; 2 $* 2
s
-
−
−-
7 e; - m 7 !; 1π m 7 g;
?
m s
7
B* una onda +ia0era se propaga en una cuerda con rapide, de 5=5$6s y iene una !recuencia de ?B5",* a; @Cuál es la disancia de separaci%n enre dos punos /ue ienen una di!erencia de !ase de ==° .; o.enga la di!erencia de !ase enre dos despla,a$ienos de un $is$o puno de la cuerda cuando la di!erencia en el ie$po enre ellos es de -*-1$s* -2* La !unci%n de una onda unidi$ensional es ξ ( x7 t ) = 2*1 sen1π ( 2*- x − =t ) * Los pará$eros x y t ienen unidades en el SI* (ealice lo /ue a coninuaci%n se indica* a; @Cuál es su a$pliud .; O.enga el periodo* c; O.enga la !recuencia* d; O.enga la longiud de onda* e; Calcule la +elocidad de propagaci%n de la onda* !; @Cuál es su ángulo de !ase g; @Cuál es la direcci%n de propagaci%n de la onda "; @Cuál es la ecuaci%n de ora onda con los $is$os pará$eros de y ξ ( x7 t ) 7 /ue se propaga en senido opueso i; gra!i/ue ξ ( x7 t ) conra 8 y $uesre e8plícia$ene la a$pliud y la longiud de onda* --* La !unci%n de una onda unidi$ensional ξ ( x7 t ) = 2*= senπ ( 2*= x − -2t ) Los pará$eros x y t ienen unidades en el SI* (ealice lo /ue a coninuaci%n se indica* a; @Cuál es su a$pliud .; O.enga el periodo* c; O.enga la !recuencia* d; O.enga la longiud de onda* e; Calcule la +elocidad de propagaci%n de la onda* !; @Cuál es su ángulo de !ase g; @Cuál es la direcci%n de propagaci%n de la onda "; @Cuál es la ecuaci%n de ora onda con los $is$os pará$eros de y ξ ( x7 t ) 7 /ue se propaga en senido opueso i; gra!i/ue ξ ( x7 t ) conra 8 y $uesre e8plícia$ene la a$pliud y la longiud de onda* -1* Una onda senoidal /ue se propaga en la direcci%n H8 iene una a$pliud de -=c$7 una longiud de onda de ?2c$ y una !recuencia de ",* El despla,a$ieno de la onda en 8 > 2 $ y > 2 s es de -= c$* a; o.enga el n$ero de onda7 el periodo7 la !recuencia angular y la rapide, de la onda* .; deer$ine el ángulo de !ase y escri.a la !unci%n /ue caraceri,a a la onda* El despla,a$ieno de la onda en 8 > 2 $ y > 2 s es de -=c$* 3
-5* Una onda rans+ersal se propaga a lo largo de una cuerda con rapide, de 12$6s* la onda iene una a$pliud de -1c$ y la !recuencia es de =",* considere /ue el ángulo de !ase es de 2 rad* a; o.enga la !recuencia angular7 el periodo y el n$ero de onda* .; escri.a la !unci%n /ue caraceri,a a la onda* c; calcule el +alor $á8i$o para la +elocidad y la aceleraci%n de un puno cual/uiera de la cuerda -?* Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda dando lugar a una onda ar$%nica rans+ersal* El ie$po /ue ranscurre para /ue un puno en paricular se $ue+a desde el despla,a$ieno $á8i$o "asa el despla,a$ieno de 2 $ es de -D $6s* La longiud de onda de la onda es de -*5$* O.enga el periodo7 la !recuencia y la rapide, de la onda* -=* Una onda +ia0era se propaga en una cuerda con rapide, de 5=5$6s y iene una !recuencia de ?B5",* a; @Cuál es la disancia de separaci%n enre dos punos /ue ienen una di!erencia de !ase de ==° .; o.enga la di!erencia de !ase enre dos despla,a$ienos de un $is$o puno de la cuerda cuando la di!erencia en el ie$po enre ellos es de -*-1$s* -4*
=
ξ 2 sen[ kx − ω t + δ ]
Enonces el $o+i$ieno +erical de la cuerda es ar$%nico si$ple* (espuesa* Es $o+i$ieno ar$%nico si$ple ya /ue
a
a
es proporcional a ξ *
12*
4
= −ω 1 ξ
= e( a y + b t − 1 abty) ξ ( z 7 t ) = ξ 2 sen( az 1 − bt 1 ) x t ξ ( x7 t ) = ξ 2 sen1π + a b ξ ( x7 t ) = ξ 2 cos1 1π ( t − x ) ξ ( y7 t )
1
1
1 1
2* .;
onda descria en a;* 11* a; Escri.a la e8presi%n para ξ ( x7 t ) en !unci%n de 8 y de de una onda +ia0era senoidal /ue +ia0a a lo largo de una cuerda en la direcci%n de 8 negai+a y iene −las siguienes caracerísicas# ξ 2 = C cm 7 λ = 2 cm 7 v = 5 s 7 y ξ ( 27 t ) = 2 en > 2* .; Escri.a la e8presi%n para ξ ( x7 t ) co$o una !unci%n de 8 de la onda en :a; suponiendo /ue ξ ( x72) = 2 en el puno 8 > -2 c$* −
ξ ( x7 t )
π = -= sen ( 1 x − 4? t ) -4 7
15* Considere una onda en una cuerda descria por donde 8 y esán en c$ y es s* a; Calcule la +elocidad rans+ersal $á8i$a en un puno de la cuerda* .; Calcule la $á8i$a +elocidad rans+ersal en 8 > 4 c$ cuando > 2*1= s*
1?* Para la onda descria en el pro.le$a :15; calcule# a; la aceleraci%n rans+ersal $á8i$a y .; la aceleraci%n rans+ersal de un puno locali,ado en 8 > 4 c$7 cuando > 2*1= c$* 1=* Para ciera onda rans+ersal se o.ser+a /ue la disancia enre dos $á8i$os sucesi+os es de -*1 $* Ta$.ién se o.ser+a /ue por oc"o cresas o $á8i$os pasa un puno dado a lo largo de la direcci%n del recorrido cada -1 s* Calcule la rapide, de la onda* 14* Una onda ar$%nica +ia0a a lo largo de una cuerda* Se o.ser+a /ue el oscilador /ue genera la onda produce ?2 +i.raciones en 52 s* Ta$.ién un $á8i$o +ia0a ?1= c$ a lo largo de la cuerda en -2 s* @Cuál es la longiud de la onda 1D* Cuando ciero ala$.re +i.ra con una !recuencia de ? 9,7 se produce una onda rans+ersal cuya longiud de onda es de 42 c$*
1*G de$uesre /ue y : 87 ; > a sen : 8 G J G φ ; es una !unci%n peri%dica de periodos λ > 1π6 y > 1 π6J* 1B*G de$uesre /ue η : 87 ; > a cos : 8 G J G φ ; es una !unci%n peri%dica de periodos λ > 1π6 y > 1 π6J* 5*2G o.enga el +alor pro$edio de y : 87 ; > a sen : 8 G J G φ ;7 para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;* 5-*G o.enga el +alor pro$edio de η : 87 ; > a cos : 8 G J G φ ;7 para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;* 51*G o.enga el +alor pro$edio de y 1 : 87 ;7 para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;* 55*G o.enga el +alor pro$edio de η1 : 87 ; para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;* 5?*G o.enga el +alor e!ica, de y : 87 ; > a sen : 8 G J G φ ;7 para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;* 5=*G o.enga el +alor e!ica, de η : 87 ; > a cos : 8 G J G φ ;7 para ello use por separado cada periodo : λ > 1π6 y > 1 π6J ;*
54*G de$uesre /ue y : 87 ; > a sen : 8 K J G φ ; es la !unci%n /ue caraceri,a a una onda +ia0era la cual se propaga en el espacio de una di$ensi%n con rapide, + en la direcci%n H8* 5D*G de$uesre /ue η : 87 ; > a cos : 8 K J G φ ; es la !unci%n /ue caraceri,a a una onda +ia0era la cual se propaga en el espacio de una di$ensi%n con rapide, + en la direcci%n H8* 5*G @ y : 87 ; > a sen : J K 8 G φ ; es la !unci%n /ue caraceri,a a una onda +ia0era la cual se propaga en el espacio de una di$ensi%n con rapide, + en la direcci%n H8 5B*G @ η : 87 ; > a cos : J K 8 G φ ; es la !unci%n /ue caraceri,a a una onda +ia0era la cual se propaga en el espacio de una di$ensi%n con rapide, + en la direcci%n H8 ?2*G de$uesre /ue y : 87 ; > a sen : 8 K J G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n* 6
?-*G de$uesre /ue η : 87 ; > a cos : 8 G J G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n* ?1*G @ y : 87 ; > a sen : J G 8 G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n ?5*G @ η : 87 ; > a cos : J G 8 G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n ??*G @ y : 87 ; > a sen : 8 G J G φ ; H . cos : 8 G J G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n considere /ue a y . son conanes* ?=*G @ y : 87 ; > a sen : J G 8 G φ ; H . cos : J G 8 G φ ; es soluci%n de la ecuaci%n de onda en el espacio de una di$ensi%n considere /ue a y . son consanes* ?4*G @ y : 87 ; > 1 6 : 8 K 5 ; 1 H - es un ca$po /ue caraceri,a a algn ipo de onda en el espacio de una di$ensi%n ?D* Una sirena e$ie una onda senoidal con !recuencia 5229,* La rapide, del sonido es de 5?2 $6s a; Calcule la longiud de onda del sonido si la sirena esa en reposo en el aire .; si la sirena se $ue+e a 52 $6s calcule la longiud de onda para las sondas adelane y arás ? El ono del sil.ao de una loco$oora es de =22 9,*
Teoría
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-* Concepo de onda peri%dicas 1* Energía de una onda 5* (apide, y aceleraci%n de una onda ?* Ondas rans+ersales y longiudinales =* Ondas en una .arra 4* ondas en una cuerda D* Iner!erencia de ondas * re!le8i%n y re!racci%n B* E!eco doppler -2* Inensidad de una onda sonora en d
8
